1

SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO ISOMÉTRICO

Observações.

Os pinos ou pregos do geoplano isométrico são chamados de pontos.

A menor distância entre dois pontos consecutivos é estabelecida como a unidade de

comprimento linear. Notação. 1u : uma unidade de comprimento linear

A área do triângulo equilátero com lados medindo uma unidade linear é uma unidade de

área triangular. Notação. 1𝑢2 : uma unidade de área triangular.

Nos casos de indicação de desenvolvimento de uma Atividade em um geoplano de menor

tamanho dos disponíveis na sala de aula ou no Laboratório simplesmente delimitamos com

ligas de borracha, fios ou elástico a malha do tamanho requerido no geoplano maior.

Para representar uma reta no geoplano isométrico, são unidos dois pontos do geoplano

com uma liga de borracha; essa é a representação de uma reta. Imaginamos que a reta se

estende indefinidamente em ambos sentidos.

1. Segmentos colineares: EF e FG.

Segmentos adjacentes: HJ e JK.

Segmentos paralelos: AB e CD.

2. Representação no geoplano isométrico dos seguintes ângulos:

Ângulos consecutivos: : 𝐴𝐵�̂� e 𝐴𝐵�̂�; 𝐾𝐿�̂� e 𝐾𝐿�̂�.

Ângulos adjacentes: 𝐴𝐵�̂� e 𝐶𝐵�̂�; 𝐾𝐿�̂� e 𝑀𝐿�̂�.

Ângulos opostos pelo vértice: 𝐸𝐹�̂� e 𝐻𝐹𝐽̂ ; 𝐸𝐹�̂� e 𝐺𝐹𝐽̂ .

3. Representação no geoplano exemplos dos seguintes ângulos:

Ângulo reto: 𝐴𝐵�̂�.

Ângulo agudo: 𝐷𝐸�̂�.

Ângulo obtuso: 𝐺𝐻𝐽̂ .

2

4. Classificação dos ângulos representados no geoplano.

i. Ângulos retos: α, δ, ε, λ, σ.

ii. Ângulos agudos: β, γ, θ, μ, ρ, ω.

iii. Ângulos obtusos: η, φ.

5. Exemplo de representação de segmentos perpendiculares que

são concorrentes num ponto do geoplano isométrico.

6. Classificações dos seguintes polígonos representados no geoplano isométrico.

- Triângulo equilátero G.

- Quadrilátero: trapézio isóscele D.

- Pentágono irregular não convexo E.

- Pentágono irregular convexo F.

- Hexágono irregular não convexo C.

- Heptágono irregular não convexo H.

- Octógono irregular não convexo B.

- Eneágono irregular não convexo A.

3

7. Representação de todas as diagonais dos polígonos dados.

I II

O polígono (I) é um octógono convexo, ele tem vinte diagonais.

O polígono (II) é um decágono convexo, ele tem trinta e cinco diagonais.

8. Representação e identificação de triângulos no geoplano.

i. Retângulo: C e F.

ii. Acutângulo: A, E, G, H.

iii. Obtusângulo: B e D.

iv. Equilátero: E.

v. Isóscele: A, G e H.

vi. Escaleno: B, C, D e F.

9. Representação no geoplano isométrico:

- Triângulo retângulo isóscele (A).

- Triângulo obtusângulo escaleno (B).

4

10. Construção de triângulos equiláteros com lados 1u, 2u, 3u, 4u, 5u, 6u e com um vértice comum.

Triângulo

equilátero

n

Número

de

pinos

Triângulo básicos em: Triângulos

básicos

acrescentados

Triângulo

(n – 1)

Triângulo

n

1 3 0 1 1

2 6 1 4 3

3 9 4 9 5

4 12 9 16 7

5 15 16 25 9

6 18 25 36 11

n 3n (𝑛 − 1)2 𝑛2 2n - 1

Portanto, ao (n-1)-ésimo triângulo equilátero devem ser acrescentados (2n-1) triângulos unitários

para obter o n-ésimo triângulo equilátero.

11. Exemplos de trapézios, com bases que medem 4u, dos seguintes tipos:

i. Trapézio retângulo D, E, G.

ii. Trapézio isóscele A, B, C.

iii. Trapézio escaleno D, E, F, G.

Observação. São trapézios escalenos retângulos os polígonos D, E e G.

São polígonos congruentes os trapézios isósceles B e C.

5

12. Representação no geoplano isométrico dos seguintes

polígonos:

i. Paralelogramos ou rombóides A e B.

ii. Hexágono regular convexo C.

iii. Hexágono irregular convexo D.

13. Construção das alturas dos triângulos dados.

14. Os polígonos regulares convexos que podem ser representados no geoplano isométrico são

triângulo equilátero e hexágono regular convexo.

6

15. i. O menor segmento por três pontos do geoplano, AB: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2u.

ii. Segmento por três pontos do geoplano, CD: 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 2√3 u.

iii. Segmento por três pontos do geoplano, EF: 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 2√7u.

Comparação dos comprimentos dos segmentos de (i), (ii) e (iii):

2 < 2√3 < 2√7; logo, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ < 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ .

16. Representação dos seguintes triângulos no geoplano isométrico:

i. Menor triângulo equilátero no geoplano isométrico, A.

ii. Menor triângulo retângulo no geoplano, B.

17. Cálculo do perímetro P dos seguintes triângulos equiláteros.

P(∆A) = 6 u

P(∆B) = 12 u

P(∆C) = 3√3 u

P(∆D) = 1 u

P(∆E) = (2√7 + √14 ) u

P(∆F) = 9 u

18. Calculo do perímetro P dos seguintes polígonos representados no geoplano.

- P(A) = 14u.

- P(B) = 12u.

7

19. Representação de um hexágono convexo com perímetro

P = 16u e área triangular A = 40𝑢2.

20. Cálculo da área triangular de cada um dos seguintes polígonos.

Área(A) = 4 u² Área(E) = 3 u²

Área(B) = 22 u² Área(F) = 8 u²

Área(C) = 7 u² Área(G) = 6 u²

Área(D) = 16 u² Área(H) = 12 u²

Área(J) = 6 u²

Área(F) = 11 u²

21. i. Representação no geoplano isométrico de um paralelogramo P com lados consecutivos

medindo 10u e 4u.

ii. A área triangular do polígono: Área(P) = 80 u²

iii. A partição de P determina cinco regiões poligonais

equivalentes e não congruentes, vide figura, cada

polígono da partição tem área triangular medindo 16 u².

22. Representação no geoplano de um polígono não convexo em forma de estrela de seis pontas

(estrela de David), com lados medindo 2u de

comprimento.

- Perímetro de R: P(R) = 24 u

- Área triangular de R: Área(R) = 48 u²

8

23. Representação de uma partição do polígono da Atividade 22 em oito regiões poligonais

equivalentes e não congruentes.

Todos os polígonos A, B, C, D, E, F, G e H contidos em R

têm área triangular medindo 6 u².

Logo, A, B, C, D, E, F, G e H são polígonos equivalentes e

eles são não congruentes.

24. Construção no geoplano isométrico, de dez polígonos equivalentes medindo 8u de perímetro e

6𝑢2 de área triangular.

9

25. Construção de triângulos retângulos e representação de triângulos equiláteros semelhantes sobre

os lados dos triângulos retângulos. Cálculo dos perímetros P e cálculo das áreas desses polígonos.

P(A) = ( 3 + √3 ) u P(E) = ( 6 + 2 √3 ) u

P(B) = 3 √3 u P(F) = 6 u

P(C) = 3 u P(G) = 12 u

P(D) = 6 u P(H) = 6 √3 u

Área(A) = 2 u² Área(E) = 8 u²

Área(B) = 3 u² Área(F) = 4 u²

Área(C) = 1 u² Área(G) = 16 u²

Área(D) = 4 u² Área(H) = 12 u²

26. Representação de um triângulo retângulo com base e hipotenusa medindo 1u e 2u e de losangos

semelhantes com base em cada um dos lados do triângulo

retângulo. Cálculo da área desses polígonos.

Àrea(A) = 2 u²

Área(B) = 2 u²

Área(C) = 8 u²

Área(D) = 6 u²

10

27. Cálculo das áreas dos três hexágonos regulares semelhantes representados no geoplano

isométrico sobre os três lados de um triângulo retângulo com base e hipotenusa que medem 1u e 2u,

respectivamente.

Àrea(A) = 6 u²

Área(B) = 24 u²

Área(C) = 18 u²

28. Representação de um triângulo retângulo com catetos medindo √3 u e 2√3 u, respectivamente.

Construção de trapézios isósceles semelhantes com base menor em cada um dos lados do triângulo

retângulo.

Cálculo da área triangular dos quatro polígonos:

Área(A) = 5𝑢2 Área(C) = 16𝑢2

Área(B) = 9𝑢2 Área(D) = 24𝑢2

Os três trapézios isósceles não são polígonos semelhantes.

11

29. Representação de um friso no geoplano isométrico formado por trapézios isósceles congruentes.

A análise da figura acima indica que esse padrão de friso apresenta simetrias de rotação, de reflexão

(vertical e horizontal) e de translação.

30. Representação no geoplano isométrico das seguintes figuras espaciais:

i. um cubo (I); ii. dois cubos com uma fase comum (II).

I II