Solucionario VJ a 8 Capitulo 2

resoluo de atividades

Captulo 2

Mdulo 1: Reta, semirreta e segmento de retaPgina

44

Atividades para classe

b) Construa uma reta, concorrente reta r, que passeporA. Resposta possvel.B r A s

1 Afiguraaseguirmostraumcuboeasretassuportesdealgumasarestas.Indiqueemseucadernoos paresderetasparalelas,osparesderetasconcorrenteseosparesderetasreversas.b a

c) Construaumareta,paralelaretar,quepasse porB. Resposta possvel.B r A t s

c

d

Paralelas: (b, c); (b, d); (c, d); concorrentes: (a, b); reversas: (a, c); (a, d). 2 Asafirmaesabaixotmerrosdeconceito.Expliqueemseucadernoporqueessasafirmaesso falsas. a) Duasretasquenotmpontoemcomumso reversas. Duas retas que no tm ponto em comum podem ser reversas ou paralelas. b) Duas retas que tm um ponto em comum so concorrentes. Duas retas que tm um ponto em comum podem ser concorrentes ou coincidentes. Duas retas que tm apenas um ponto em comum so concorrentes. c) Duasretascoplanaressoparalelas. Duas retas coplanares podem ser coincidentes, concorrentes ou paralelas. d) Duasretasreversaspodemsercoplanares. Duas retas reversas nunca so coplanares. e) Duasretascoplanaressoconcorrentes. Duas retas coplanares podem ser coincidentes, concorrentes ou paralelas. 3 Desenheumaretaremseucadernoe,sobreela, ___ ___ um segmento congruente ao segmento AB a CD seguir.

d)Qualaposiorelativaentreasretastraadas nositensb)ec)? So retas concorrentes. 5 SabendoquenafiguraaseguirBpontomdiodo ___ AC segmento ,equeAC58cmeBD59cm,determineemseucadernoamedidadossegmentos ___ ___ ABe CD .A B C D

B 1 BC 5 AC. Se o ponto B o ponto mdio do A ___ segmento AC ento AB 5 BC. , ___ Como o segmento AC mede 8 cm, tem-se AB 1 BC 5 5 8 V 2AB 5 8 V AB 5 BC 5 4 cm. ___ ___ 1 CD 5 BD. Como o segmento BDmede 9 cm e BC BCmede 4 cm, tem-se 4 1 CD 5 9 V CD 5 5 cm. 6 Emseucaderno,determineovalordexemcada caso. a)A 32 42 A 26 C x B x C 15 B

x 5 AB 5 AC 1 CB. assim, x 5 32 1 15 V x 5 47 b)

AB 5 AC 1 CB. assim, x 1 26 5 42 V x 5 42 2 26 V V x 5 16 c)A 2x 1 5 23 C x B

A

B

AB 5 AC 1 CB. assim, (2x 1 5) 1 x 5 23 V V 2x 1 5 1 x 5 23 V 3x 1 5 5 23 V 3x 5 23 2 5 V 18 V 3x 5 18 V x 5 ___ 5 6 3 d)A 3x 2 3 2x 2 2 C 7 B

O segmento CD deve ter a mesma medida do seg___ mento AB.C D r

___

4 Faaoquesepedenositensaseguir. a) Construaumaretar.MarqueumpontoAsobre reumpontoBforader. Resposta possvel.B r A

AB 5 AC 1 CB. assim, (2x 2 2) 1 7 5 3x 2 3 V V 2x 2 2 1 7 5 3x 2 3 V 2x 2 3x 5 2 3 1 2 2 7 V V 2x 5 28 V x 5 8 e)A 6 2x 1 1 C 9 B

AB 5 AC 1 CB. assim, 2x 1 1 5 6 1 9 V 2x 5 14 5 6 1 9 2 1 V 2x 5 14 V x 5 ___ 5 7 2

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Captulo 2

7 Determine em seu caderno o valor de x em cada um dos casos a seguir, sabendo que M o ponto ___ mdiode . AB a)A 3x 2 5 M___

3o passo

16 B A M B

Se M o ponto mdio de AB ento AM 5 MB. assim, , 3x 2 5 5 16 V 3x 5 16 1 5 V 21 V 3x 5 21 V x 5 __ 5 7 3 b)A 4x 2 12 M 2x 1 30___

O tringulo construdo issceles. 9 Consideretrsretascoplanaresdistintas:r,set.Sabe-sequeasretasressoperpendicularesretat. Qualaposiorelativaentreasretasres?r s

B

Se M o ponto mdio de AB, ento AM 5 MB. assim, 4x 2 12 5 2x 1 30 V 4x 2 2x 5 30 1 12 V 42 V 2x 5 42 V x 5 ___ 5 21 2 c)A 2,5x 1 10 100

t M B

, AM 1 MB 5 AB. Se M o ponto mdio de AB ento AM 5 MB. assim, (2,5x 1 10) 1 (2,5x 1 10) 5 100 V V 5x 1 20 5 100 V 5x 5 100 2 20 V 5x 5 80 V 80 V x 5 ___ 5 16 5 d)A 12x 2 24 M 18 B

___

as retas re sso paralelas.Pgina

45

Atividades para casa

10 ConsideredoispontosdistintosAeB.Quantasretaspodempassarporessesdoispontos?Quantos segmentosessespontosdeterminam?___

, AM 1 MB 5 AB. Se M o ponto mdio de AB ento AM 5 MB. assim, 2x 2 24 5 18 1 18 V V 12x 2 24 5 36 V 12x 5 36 1 24 V 12x 5 60 V 60 V x 5 ___ 5 5 12 e)A 16 4x 20 M B

A

B

Por dois pontos s possvel passar uma reta, e um segmento.A B

11 Desenhe,emseucaderno,quatropontosdistintos, A,B,CeD,sobreumaretar.___

8

___ Desenhe em seu caderno um segmento AB qual

AM 1 BM 5 AB. Se M o ponto mdio de AB ento , AM 5 MB. assim, 4x 1 20 5 16 1 16 V V 4x 1 20 5 32 V 4x 5 32 2 20 V 4x 5 12 V 12 V x 5 __ 5 3 4

A

B

C

D

r

a) Quantossegmentosessesquatropontosdeterminam? Seis segmentos. b) Quaissoossegmentosqueessesquatropon___tosdeterminam? ___ ___ ___ ___ ___ AB, AC, AD, BC, BD e CD. 12 Desenhe,emseucaderno,quatropontosdistintos de modo que sejam vrtices de um quadriltero qualquer.Quantossegmentosessespontosdeterminam?A B

quer. Determine com rgua e compasso o ponto mdiodessesegmento.NomeieessepontodeM. ___ Trace por M uma reta perpendicular a . ConsAB truaumtringulocujosvrticessejamA,Beum pontodaltimaretaconstruda.Quetipodetringuloesse? 1o passoA B

2o passo

A

M

B

C

D___ ___ ___ ___ ___ ___

Seis segmentos: AB, AC, AD, BC, BD e CD.

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Captulo 2

13 Observe a figura e responda s questes em seu caderno.

r

s t

17 Desenhe em seu caderno quatro pontos distintos A, B, C e D, nessa ordem, sobre uma re- tar.SeAC536cm,BC513cmeBD525cm, calculeasmedidasAB,CDeAD.r A B C D

u

Se AC 5 36 cm e BC 5 13 cm, ento AB 5 36 2 13 5 5 23 cm. Se BD 5 25 cm e BC 5 13 cm, ento CD 5 5 25 2 13 5 12 cm. Logo AD 5 23 1 13 1 12 5 48 cm. 18 Determine em seu caderno o valor de x em cada casoaseguir. a)A 3x 2 14 34 C x B

a) Quaissoosparesderetasconcorrentes? So pares de retas concorrentes reu,ret,seu, set,teu. b) Qualoparderetasparalelas? O par de retas paralelas res. 14 Comoauxliodeumargua,identifiqueemseucadernoossegmentoscongruentes.N M O P E___

AC 1 CB 5 AB. assim, 3x 2 14 1 x 5 34 V 48 V 4x 5 34 1 14 V 4x 5 48 V x 5 ___ 5 12 4 b) 56 2 7xA 3x C x11 B

A

C

T

U

B F D

AC 1 CB 5 AB. assim, 3x 1 x 1 1 5 56 2 7x V V 4x 1 1 5 56 2 7x V 4x 1 7x 5 56 2 1 V 55 V 11x 5 55 V x 5 ___ 5 5 11

MN e AB, CD e OP, TU e EF 15 Verifiqueseasafirmaesaseguirsoverdadeiras ejustifiqueasfalsasemseucaderno. a) Duas retas concorrentes tm um nico ponto emcomum. V b) Duasretasconcorrentessocoplanares. V c) Duasretascoplanaressoconcorrentes. F Duas retas coplanares podem ser paralelas. d)Se duas retas no so coplanares, ento elas soreversas. V e) Seduasretasnotmpontoemcomum,ento elassoparalelas. F Duas retas que no possuem ponto em comum podem ser paralelas ou reversas. 16 ___ AB SendoMopontomdiode ,calculeemseuca___ dernoamedidade . AB

___ ___

___ ___

___

AB 19 Nafiguraabaixo,ospontosassinaladossobre dividem-noemsegmentosdemesmamedida.3x 2 12 A C D___

___

x12 B

Determine, em seu caderno, a medida de em CD , centmetros. Como os segmentos so congruentes, ento 3x 2 12 5 x 1 2 V 3x 2 x 5 2 1 12 V 2x 5 14 V 14 V x 5 ___ 5 7. Substituindo o valor de x na expres2 so x 1 2, conclui-se que cada segmento mede ___ 7 1 2 5 9 cm. Como o segmento CDtem a medida de trs desses segmentos, ele mede 3 ? 9 5 27 cm. 20 Nasfigurasabaixo,Mpontomdiode ABCalcule . emseucadernoovalordasincgnitasdecadaitem. a)A x12 2x 1 y M y11 B___

x A 30 2 2x M B

AM 1 MB 5 AB. assim, 2x 1 y 5 (x 1 2) 1 (y 1 1) V V 2x 1 y 2 x 2 y 5 2 1 1 V x 5 3. ___ , Se M o ponto mdio de AB ento AM 5 MB, de forma que se tem x 1 2 5 y 1 1 Substituindo o valor dex 5 3 & 3 1 2 5 y 1 1 V V55y11V5215yVy54 b)A 3x 2 y 2y 1 2 M x13___

AM 1 MB 5 AB. Se M o ponto mdio de AB, ento AM 5 MB. assim, (30 2 2x) 1 (30 2 2x) 5 x V V 30 1 30 2 2x 2 2x 5 x V 60 2 4x 5 x V V 24x 2 x 5 260 V 25x 5 260 V 5x 5 60 V 60 V x 5 ___ 5 12 5

___

B

Se M o ponto mdio de AB ento AM 5 MB. , assim, 3x 2 y 5 x 1 3 V 2y 5 x 1 3 2 3x V V 2y 5 22x 1 3 V y 5 2x 2 3

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Captulo 2

Como AM 1 MB 5 AB tem-se (3x 2 y) 1 (x 1 3) 5 5 2y 1 2 V 4x 2 3y 5 21 V 3y 2 4x 5 1. Substituindo o valor de y 5 2x 2 3 & 3 ? (2x 2 3) 2 4x 5 5 1 V 6x 2 9 2 4x 5 1 V 2x 5 10 V x 5 5. Substituindo o valor de x para encontrar y & y 5 5 2x 2 3 V y 5 2 ? 5 2 3 V y 5 10 2 3 V y 5 7 21

b)B

60 A x O 24

___ AB Emseucaderno,determineamedidade ,sendo ___ Mopontomdiode . AB

3x 2 y A y23___

M

2x 2 9

B

x 1 24 5 60 V x 5 60 2 24 V x 5 36 c)A

Se M o ponto mdio de ABtem-se AM 5 MB. assim, y 2 3 5 2x 2 9 V y 5 2x 2 9 1 3 V y 5 2x 2 6. Como AM 1 MB 5 AB tem-se 3x 2 y 5 5 y 2 3 1 2x 2 9. Substituindo o valor de y 5 2x 2 6 na expresso & 3x 2 (2x 2 6) 5 (2x 2 6) 2 3 1 2x 2 9 V V 3x 2 2x 1 6 5 2x 2 6 2 3 1 2x 2 9 V x 1 6 5 4x 2 18 V x 2 4x 5 218 2 6 V 24 23x 5 224 V 3x 5 24 V x 5 ___ 5 8. 3 Substituindo o valor de x para encontrar y & y 5 5 2x 2 6 V y 5 2 ? 8 2 6 V y 5 16 2 6 V y 5 10. Como o segmento AB mede 3x 2 y, tem-se que AB5 5 3 ? 8 2 10 5 24 2 10 5 14. 22 Observeospontossobreumaretar.A M B 32 cm 24 cm C N D

B x 32

O

x 1 32 5 90 V x 5 90 2 32 V x 5 58 d)110 B 2x 2 20 x 1 10 A

Sabe-se que AB o___ triplo de BC e BC o dobro deCN.Quantomede ND ? Chamando BC de x, tem-se AB 5 3x, pois AB o triplo de BC. assim, AB 1 BC 5 32 V 3x 1 x 5 32 V 32 V 4x 5 32. Ento x 5 BC 5 ___ 5 8 4 Como BC mede o dobro de CN, ento CN 5 4 cm. Como BC 1 CN 1 ND 5 24, tem-se 8 1 4 1 ND 5 5 24 V ND 5 24 2 8 2 4 V ND 5 12 cm 23 Desenhe em seu caderno seis pontos colinea es e r distintosA,B,C,D,MeN,detalmodoqueMsejao ___ ABNopontomdiodo , pontomdiodosegmento ____ ___ segmento eamedidade sejaiguala28mm. CD MN Resposta possvel.28 mm A M B C N D

(2x 2 20) 1 (x 1 10) 5 110 V 3x 2 10 5 110 V 120 V 3x 5 110 1 10 V 3x 5 120 V x 5 ____ 5 40 3 2 Determine em seu caderno o valor de x em cada caso. a)

O

6x 1 18

6x 1 18 5 90 V 6x 5 90 2 18 V 6x 5 72 V 72 V x 5 ____ 5 12 6 b)110 2 2x 4x 1 10

Mdulo 2: ngulosPgina

50


1 Determine em seu caderno o valor de x em cada caso. a)B

note que a soma dos dois ngulos 180. assim, (110 2 2x) 1 (4x 1 10) 5 180 V V 2x 1 120 5 180 V 2x 5 180 2 120 V 60 V 2x 5 60 V x 5 ____ 5 30. 2 c) 170 2 2x

26 O 18

x

3x 1 40

x 5 26 1 18 V x 5 44

A

Os dois ngulos assinalados so opostos pelo vrtice, e portanto so congruentes. assim, 170 2 2x 5 3x 1 40 V 22x 2 3x 5 40 2 170 V 130 V 25x 5 2130 V 5x 5 130 V x 5 _____ 5 26. 5

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Captulo 2

3 Calculeemseucadernoovalordexnasseguintes equaes. 15 a) 2x 2 15 5 0 V 2x 5 15 V x 5 ___ 5 2 14 1 60 _________ 5 7 30 5 2 b) 3x 2 54 5 15 V 3x 5 15 1 54 V 3x 5 69 V 69 V x 5 ____ 5 23 3 c) 5x 1 30 5 60 V 5x 5 60 2 30 V 5x 5 30 V 30 V x 5 ____ 5 6 5 d)2x 5 x 1 125 V 2x 2 x 5 125 V x 5 125 4 ___ Calculeemseucadernoovalordex,sabendoque OPbissetrizdeA B. O a)A

5 Determineemseucadernoovalordexedey.

x1y 2x 2 40

y 1 4

x 1 y 5 90 V y 5 90 2 x A soma dos trs ngulos 180. Assim, (2x 2 40) 1 (x 1 y) 1 (y 1 4) 5 180. Substituindo y 5 90 2 x na expresso, (2x 2 40) 1 90 1 (90 2 x 1 4) 5 180 V V 2x 2 40 1 90 1 90 2 x 1 4 5 180 V V x 1 144 5 180 V x 5 180 2 144 V x 5 36. Substituindo o valor de x para encontrar y & & y 5 90 2 36 V y 5 54. OP O OQ 6 Na figura seguinte, bissetriz de A B, e bissetriz de B C. Se P Q 5 65, quanto mede O O A C? O

___

___

P 20 O 3x 2 10

Q

C B

30 V 3x 5 20 1 10 V 3x 5 30 V x 5 ____ 5 10. 3 b)A P

B ___ B OP bissetriz de A , ento 3x 2 10 5 20 V O

P

58

5x 2 24

5x 2 24 5 116 V 5x 5 116 1 24 V 5x 5 140 V 140 V x 5 _____ 5 28. 5 c)B

O B ___ B OP bissetriz de A , ento 5x 2 24 5 2 ? 58 V O

PginA

P B Se OP bissetriz de ___ , ento A 5 P . De A B O O O C, ento maneira anloga, se OQ bissetriz de B O Q C C P B Q B 5 Q . Assim, A 5 A 1 P 1 B 1 O O O O O O C P B Q C 1 Q . Como A 5 P e B 5 Q , a soma O O O O O C Q pode ser escrita como A 5 P B 1 P B 1 B 1 O O O O 5 2 ? (P 1 B ). Tem-se que P 5 B Q Q 1 B Q O O O O B Q C 5 P 1 B 5 65, assim A 5 2 ? 65 5 130. O O O

___

O

A

51


7 Observeafiguraabaixoe,emseucaderno,escreva quantomedecadangulopedido. C

B D

P O 3x 2 21

A a) b) c) d) e) f)B A 540 O C O A 590 D O A 5150 C O B 590 2 40 5 50 D O B 5150 2 40 5 110 5150 2 90 5 60 O C D

A

B O O O ngulo A mede 90. Assim, P A mede 45. O ngulo em destaque na figura igual ao suple mentar de P A. Assim, 3x 2 21 5 180 2 45 V O V 3x 2 21 5 135 V 3x 5 135 1 21 V 3x 5 156 V 156 V x 5 _____ 5 52. 3

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Captulo 2

8 Escreva,emseucaderno,umaexpressoalgbrica querepresentecadasituao. a) Asomadedoisngulos50. Sendo x um dos ngulos e y o outro & x 1 y 5 50. b) Adiferenaentredoisngulos36. Sendo x um dos ngulos e y o outro & x 2 y 5 36. c) Asomadeumngulocomametadedessengulo126. 1 1 Sendo x o ngulo, sua metade ser __ x & x 1 __ x 5 2 2 5 126, ou x 1 0,5x 5 126. d)Aterapartedeumngulo20. 1 Sendo x o ngulo, sua tera parte ser __ x & 3 x __ 5 20, ou x ; 3 5 20. & 3 e) Otriplodametadedeumngulo12. x 1 Sendo x o ngulo, sua metade ser __x & 3 ? __ 5 12, 2 2 ou 3 ? (x ; 2) 5 12. f) Ametadedaterapartedeumnguloigual a10. 1 Sendo x o ngulo, sua tera parte ser __ x & 3 x x 1 & __ ; 2 5 10 V __ ? __ 5 10 V 3 3 2 x V __ 5 10, ou (x ; 3) ; 2 5 10. 6 g)Aterapartedeumngulo18. 1 x Sendo x o ngulo, sua tera parte ser __x & __ 5 18, 3 3 ou (x ; 3) 5 18. h)Asomadametadedeumngulocomaquinta partedestengulo23. 1 Sendo x o ngulo, sua quinta parte ser __x, e sua me5 x x 1 tade, __x& __ 1 __ 5 23, ou (x ; 2) 1 (x ; 5) 5 23. 2 2 5 9 Calculeemseucadernoovalordecadaincgnita aseguir. a)x 40

3a 1 10 5 70 (ngulos opostos pelo vrtice) V 60 V 3a 5 70 2 10 V 3a 5 60 V a 5 ____ 5 20 3 5b 2 40 1 70 5 180 V 5b 1 30 5 180 V 150 V 5b 5 180 2 30 V 5b 5 150 V b 5 _____ 5 30 5 10 Asomadeumngulocomaterapartedongulo retoiguala90.Determine,emseucaderno,a medidadessengulo. a tera parte do ngulo reto mede 90 ; 3 5 30. assim, x 1 30 5 90 V x 5 90 2 30 5 60. 11 Adiferenaentre180eumnguloigualaodobrodadiferenaentre90e20.Calculeemseu cadernoamedidadessengulo. Seja xo ngulo. 180 2 x 5 2 ? (90 2 20) V V 180 2 x 5 2 ? 70 V 180 2 x 5 140 V V 180 2 140 5 x V x 5 40 12 Determineemseucaderno. a) Umngulocujamedidametadedonguloreto. O ngulo reto mede 90. assim, um ngulo que mede a metade de um ngulo reto medir 90 ; 2 5 45. b) Umngulocujamedidaumterodeumngulo raso. O ngulo raso mede 180. assim, um ngulo que mede um tero de um ngulo raso medir 180 ; 3 5 60. c) Um ngulo cuja medida o dobro do ngulo reto. O ngulo reto mede 90. assim, um ngulo que mede o dobro de um ngulo reto medir 2 ? 90 5 180.B 13 CalculeemseucadernoamedidadeA ,sabendo O ___ . que bissetrizdeA B OP O

a)

B

x 1 40 5 180 V x 5 180 2 40 V x 5 140 b)52 3y 2 14 O

P

2x

1

8A

3x 2 10

3y 2 14 5 52 (ngulos opostos pelo vrtice) V 66 V 3y 5 52 1 14 V 3y 5 66 V y 5 ____ 5 22 3 c)4x 1 30

4x 1 30 1 90 5 180 V 4x 1 120 5 180 V 60 V 4x 5 180 2 120 V 4x 5 60 V x 5 ____ 5 15 4 d)5b 2 40 3a 1 10

B OP bissetriz de A , ento 2x 1 8 5 3x 2 10 V O V 8 1 10 5 3x 2 2x V x 5 18. B O Tem-se que A 5 (2x 1 8) 1 (3x 2 10) 5 2 ? (2x 1 B 1 8). Substituindo o valor de x na expresso, A 5 O 5 2 ? (2 ? 18 1 8) V A B 5 2 ? (36 1 8) 5 2 ? 44 V O V A B 5 88. O

___

b)

B

2x 1 3 P A O

6x 2 24

70

B B OP bissetriz de A , ento A 5 2 ? (2x 1 3). O O B alm disso, A 5 6x 2 24 (ngulos opostos pelo O

___

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Captulo 2

vrtice). Ento se tem 6x 2 24 5 2 ? (2x 1 3) V V 6x 2 24 5 4x 1 6 V 6x 2 4x 5 6 1 24 V 30 V 2x 5 30 V x 5 ____ 5 15. 2 B O Como A 5 2 ? (2x 1 3), substituindo o valor de x na B expresso tem-se A 5 2 ? (2 ? 15 1 3) 5 2 ? 33 V O B V A 5 66. O c)P B

Substituindo o valor de y na expresso x 5 y 2 10 & & x 5 35 2 10 V x 5 25. assim, x 5 25 e y 5 35.Pgina

52

Atividade para casa

15 Efetueemseucaderno. a) (604230)1(401841) 1 60 40 100 100 1 101 42 18 60 1 61 1 1 30 41 71 11 & 71 5 1 11 11 & 61 5 1 1 11

x 1 16 A O

3x 2 22

___ B OP O 14 Sabendoque bissetrizdeA ,determineem

(x 1 16) 1 (x 1 16) 1 (3x 2 22) 5 180 V V 5x 1 10 5 180 V 5x 5 180 2 10 V 170 V 5x 5 170 V x 5 _____ 5 34. 5 B O Como A 5 (x 1 16) 1 (x 1 16), substituindo o valor de x na expresso, tem-se B B A 5 34 1 16 1 34 1 16 V A 5 100. O O

___ B OP bissetriz de A , ento O

1 1

b) (403226)2(184036) Transformase 40 32 26 em 39 91 86, pois no possvel subtrair 40 de 32 e nem 36 de 26. assim, 2 39 91 86 18 40 36 21 51 50

seucadernoovalordexey. a)B

c) 5?(162040) 40 35 80 100 200 & 100 5 1 40 1 1 40 3 20 & 200 5 3 20 81 43 20 d)(184328):4 2 18 43 28 4 16 4 40 52 2 120 1 43 163 2 160 3 180 1 28 208 2 208 0 16 20

P x 1 5

y O

2x 1 y

___

A

B OP bissetriz de A , entox 1 5 5y Vx 5 y 2 5. O a soma dos trs ngulos 180. assim, (x 1 5) 1y 1 (2x 1y) 5 180. Substituindo o valor dex 5y 2 5 na expresso & & (y 2 5 1 5) 1y 1 [2 ? (y 2 5) 1y] 5 180 V Vy 2 5 1 5 1y 1 2y 2 10 1y 5 180 V

V 5y 2 10 5 180 V 5y 5 180 1 10 V 5y 5 190 V 190 Vy 5 _____ 5 38. 5 Substituindo o valor de y na expresso x 5 y 2 5 & & x 5 38 2 5 V x 5 33. assim, x 5 33 e y 5 38. b)A P 2x 1 2y x 1 5 y 2 5B OP bissetriz de A , ento x 1 5 5 y 2 5 V O Vx 5y 2 5 2 5 Vx 5y 2 10. a soma dos trs ngulos 180. assim, (2x 1 2y) 1 (x 1 5) 1 (y 2 5) 5 180. Substituindo o valor dex 5y 2 10 na expresso & & [2 ? (y 2 10) 1 2y] 1 (y 2 10 1 5) 1 1 (y 2 5) 5 180 V 2y 2 20 1 2y 1y 2 10 1 5 1 1 y 2 5 5 180 V 6y 2 30 5 180 V 6y 5 210 5 180 1 30 V 6y 5 210 Vy 5 _____ 5 35. 6

16 Calculeemseucaderno a) Otriplode463142

___

O

B

42 33 138 93 126 & 93 5 1 33 1 1 33 2 6 & 126 5 2 6 139 35 6 b) Odobrode1341421 134 14 21 32 268 28 42

46 31

44

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Captulo 2

c) Ametadede561814 56 18 14 2 56 18 14 0 0 0 2 2897

B 19 Determine a medida de A , sabendo que ON O B bissetrizdeA . O

___

A

d)Umterode1391715 139 17

2 138

15 3 46254522 16 43

N

1 60 1 17 77 2 75 2 120 1 15 135 2 135 0 e) Umquartode1941648 194 16 48 4 2 192 483412 2 120 1 16 136 2 136 0 48 2 48 0 17 Doisngulosopostospelovrticetmsuasmedidasexpressaspor3x236e6023x.Calculea somadessesngulos. Comosoopostospelovrtice,osngulossocongruentes&3x23656023xV 6x596V Vx516. Asomadosdoisngulos(3x236)1(6023x)5 5 2 ? (3x 2 36) 5 2 ? (3 ? 16 2 36) 5 52 ? 12524 18 Calculeemseucadernoovalordex. 3731 ______ 3x537131V3x53731Vx5 5 3 36190160 ________________ 5 5123020 3 b) 8x514 14 64 _____ 58 x5 ____ 5 8 8 c) x159555121 x5121259555120596025955V V x51205 d)x21051010 x51010110Vx5101010 e) x110516 x51621051560210Vx51550 a) 3x231537

20 Determineemseucadernoovalordeb.

B V A 52?(221643)5443326. O

O B ___ ,entoA 52?N V B B Se bissetrizdeA B ON O O O

b 17 11 14

b5902171114589596021711145 5724846 21 Construa,emseucaderno,umtringuloABCqualquer. a) Determine, com rgua e compasso, os pontos ___ ___ ___ AB BC , . mdiosdoslados ACe A

C B

b) Desenheossegmentoscujasextremidadesso umvrticedotringuloeopontomdiodolado opostoaessevrtice.A

C B

c) Oquevocobservou? Ossegmentossoconcorrentesemumnicoponto. 22 Construa,emseucaderno,umtringuloABCqualquer. a) Determine, com rgua e compasso, os pontos ___ ___ ___ mdiosdoslados ACe AB BC , .A

C B

45

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Captulo 2___ ___

b) ___ NomeiedeM,NePospontosmdiosde AC AB , , BCrespectivamente. ,A N M C B P

c) ConstruaporMaretaperpendicularaolado AB , ___ porNaperpendicularaolado e,finalmente, AC ___ porParetaperpendicularaolado BC .A N M P B C

___

Substituindo x 5 132 2 2y & 2y 2 48 5 5 (132 2 2y) 2 y V 2y 2 48 5 132 2 3y V V 2y 1 3y 5 132 1 48 V 5y 5 180 V 180 V y 5 _____ 5 36 5 Voltando em x 5 132 2 2y & x 5 132 2 2 ? 36 V V x 5 132 2 72 V x 5 60 (x 1 y) 1 a 1 (x 2 y) 5 180 V 2x 1 a 5 180 V V 2 ? 60 1 a 5 180 V 120 1 a 5 180 V V a 5 180 2 120 V a 5 60 d)

58 2 x

a 4x 2 27

d)Oquevocobservou? as retas assim construdas so concorrentes em um nico ponto. 23 Determineemseucadernoamedidadea . a)

2

a 1 8

a

(a 1 8) 1 90 1 a 5 180 V 2a 1 98 5 180 V 82 V 2a 5 180 2 98 V 2a 5 82 V a 5 ____ 5 41 2 b)5x 1 y 3x 1 2 a y 1 22

Temse o seguinte sistema de equaes. 58 2 x 1 a 5 90 4x 2 27 1 a 5 90 Multiplicando a primeira das equaes do sistema 232 2 4x 1 4a 5 360 por 4 temse 4x 2 27 1 a 5 90 Somando agora as duas equaes temse 5a 1 4x 2 4x 1 232 2 27 5 360 1 90 Os termos envolvendo a varivel x se anulam, de forma que a equao resultante 5a 1 205 5 450 V 5a 5 245 V 245 V a 5 _____ 5 49 5 e)

2

a x1y 2x 1 2y

y 1 22 5 3x 1 2 (opostos pelo vrtice) V V y 5 3x 1 2 2 22 V y 5 3x 2 20 (3x 1 2) 1 (5x 1 y) 5 180 V 3x 1 2 1 5x 1 1 3x 2 20 5 180 V 11x 2 18 5 180 V 11x 5 198 5 180 1 18 V 11x 5 198 V x 5 _____ 5 18 11 Substituindo em y 5 3x 2 20 & y 5 3 ? 18 2 20 V V y 5 54 2 20 V y 5 34 a 5 5x 1 y (opostos pelo vrtice) V a 5 5 5 ? 18 1 34 V a 5 90 1 34 5 124 c)x1y 2y 2 48 a x2y 132 2 y

(x 1 y) 1 (2x 1 2y) 5 90 V 3x 1 3y 5 90 V 90 V 3 ? (x 1 y) 5 90 V x 1 y 5 ____ 5 30 3 Como a 5 x 1 y (opostos pelo vrtice), temse a 5 x 1 y 5 30 24 Encontreovalornumricodecadaexpressoabaixo,considerandoA5612,B588,C51235 eD51203. a) 2A1B 2 ? (6 12) 1 88 5 12 24 1 88 5 100 24 b) 3(A1D)2(B1D) 3 ? (6 12 1 120 3) 2 ( 88 1 120 3) 5 5 3 ? (126 3 12) 2 208 3 5 5 378 9 36 2 208 3 5 5 170 6 6 c) 5[A1402(B280)]12(C1 D) 5 ? [6 12 1 40 2 (88 2 80)] 1 1 2 ? (12 35 1 120 3) 5 5 ? [ 6 40 12 2 8] 1 1 2 ? (120 15 35) 5 5 ? [21 19 48] 1 240 31 10 5 5 26 39 1 240 31 10 5 233 52 10

x 1 y 5 132 2 y (opostos pelo vrtice) V V x 5 132 2 y 2 y V x 5 132 2 2y 2y 2 48 5 x 2 y (opostos pelo vrtice)

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Captulo 2

Pgina

53


25 Utilizando rgua e compasso, transporte o nguloabaixoemseucadernoe,depois,faaoquese pedeemcadaitem.

27 Desenhe um segmento de extremidades A e B e determine o ponto mdio desse segmento. Construapelopontomdioaperpendicularaosegmento. Assinale um ponto qualquer sobre essa perpendiculareonomeiedeP.Comapontasecado compassoemPeaberturaigualaPA,traceuma circunferncia.Oquevocobservou?

B P B Se OP bissetriz de A , ento A 5 P . O O O ___ , ento B 5 Q . Q C O O O Se OQ bissetriz de B C 5 A 1P 1 B 1 Q V A 5 P B Q C C A C O O O O O O B B Q Q B Q O O O O O O 5 P 1 P 1 B 1 B 5 2 ? (P 1 B ). 150 _____ 5 C B Q ComoA 5 150, tem-se P 1 B 5 O O O 2 Q B Q O O O 5 75, e P 5 P 1 B 5 75

___

a) Traceabissetrizdessengulo.A M B A

P M B A

P M B

a circunferncia tambm passa pelo ponto B, logo PA 5 PB. b) MarqueumpontoqualquerdabissetrizeonomeiedeP. 28 Desenheemseucaderno umtringuloqualquere construa as bissetrizes dos ngulos internos desse tringulo. O que vocobservou? as bissetrizes so concorrentes em um nico ponto. 29 Desenhe em seu caderno uma ___ circunferncia de dimetro BC . Construa um tringulo ABC, comovrticeApertencente circunferncia.A

P

c) ConstruaporPasperpendicularesaosladosdo ngulo.A P

B

C

B

d)SejamAeBospontosondeasperpendiculares ___ ___ cruzamosladosdongulo.Mea PAemea PB . Oquevocconclui? PA 5 PBB OP O OQ 26 Nafiguraaseguir, bissetrizdeA e bis C Q setrizdeB C.SeA 5150,quantomedeP ? O O O

a) MeaonguloB Ccomum A transferidor.Qualamedidadessengulo? 90 b) Compareasuarespostacomadeseuscolegas. Oquevocpodeconcluirarespeitodasrespostasencontradas? O tringulo ABC retngulo em A e isso independe da posio do ponto A sobre a circunferncia.

30 Emseucaderno,calculeamedidadomenorngulo presentenafiguraaseguir.144 2 4x 3x 1 10 4x 1 4

___

___

Q B C P54 5x 1 4

A O

(3x 1 10) 1 (144 2 4x) 1 (4x 1 4) 1 (5x 1 4) 1 1 54 5 360 V 8x 1 216 5 360 V V 8x 5 360 2 216 V 8x 5 144 V 144 V x 5 _____ 5 18 8

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Captulo 2

Assim os ngulos desconhecidos medem 3x 1 10 5 3 ? 18 1 10 5 54 1 10 5 64 144 2 4x 5 144 2 4 ? 18 5 144 2 72 5 72 4x 1 4 5 4 ? 18 1 4 5 72 1 4 5 76 5x 1 4 5 5 ? 18 1 4 5 90 1 4 5 94 Desse modo, o menor ngulo o que mede 54. 31 Nogrficodesetoresmostradoabaixo,arazoentreareadecadaumadasparteseareatotal estindicadapercentualmenteemcadaparte.10%

a)20% 10%

20%

os dois ponteiros esto sobrepostos. A partir desse instante h dois ngulos formados por eles dividindo a circunferncia em duas partes, sendo que enquanto um dos ngulos vai aumentando a sua abertura o outro vai diminuindo. O primeiro ngulo aumenta at que, em um determinado momento, passa a medir 90, e posteriormente o segundo vai diminuindo at medir tambm 90. Desse modo, durante uma hora, os ponteiros formam ngulos retos por duas vezes, e consequentemente em 24 horas os ponteiros formam ngulos retos 48 vezes.

%

a 25%

a

Mdulo 3: Pares de ngulosPginA

57


12,5%

12,5%

Determine, em seu caderno, a medida do ngulo indicadopora. O percentual correspondente ao ngulo a 100% 2 20% 2 10% 2 25% 2 12,5% 5 32,5% Assim, a corresponde a 32,5% de 360, ou seja, a 5 0,325 ? 360 5 117 b)50% 50%

1 Observe a figura e responda s questes em seu caderno.t a

b

r

d x y w

c s

x y

z

y

Determineasmedidasxeysabendoque y quatrovezesamedidax. x 1 y 5 50%. Se y 5 4x, ento x 1 4x 5 50% V V 5x 5 50% V x 5 10%; y 5 4x 5 4 ? 10% 5 40%. Ento x corresponde a 10% de 360, ou seja: x 5 0,1 ? 360 5 36. E y corresponde a 40% de 360, ou seja: y 5 0,4 ? 360 5 144. 32 Onguloformadopelosponteirosdashorasedos minutosdorelgioaseguiraomarcar9horas reto.

a) Quaisparesdengulosformadospelasretasr,se tsocorrespondentes? So pares de ngulos correspondentes (a, x); (b, y); (c, z); (d, w). b) Quaisparesdengulosformadospelasretasr, setsoalternosinternos? So pares de ngulos alternos internos (c, x); (d, y). c) Quaisparesdengulosformadospelasretasr,se tsoalternosexternos? So pares de ngulos alternos externos (a, z); (b, w). d)Quaisparesdengulosformadospelasretasr, set so colateraisin ernos? t So pares de ngulos colaterais internos (c, y); (d, x). e) Quaisparesdengulosformadospelasretasr, setsocolateraisexternos? So pares de ngulos colaterais externos (a, w); (b, z). 2 Nas figuras abaixo, as retas r e s so paralelas. Determine,emseucaderno,ovalordex.

Determineemseucadernoquantasvezesosponteirosdashorasedosminutosformamnguloreto emumperodode24horas. Determinando quantas vezes os ponteiros das horas e dos minutos formam um ngulo reto em 1 hora: Considerase como ponto inicial o momento em que

a) x

r

b)x

112

s r s

132

48

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Captulo 2

c) r x 40 s

f)

r

s

c)

r

s 3x 18

f) r2x 38 s y 176 x

3x 10

130

82 2x

y

d) r

s

g) r

s 4x 50

35 x 6x 18

e)

r

s

h)r 4x 34 x 2x 92 s

a) O ngulo x e o ngulo de 32 so alternos externos, portanto so congruentes. Os ngulos x e y so suplementares, de forma que se tem x 1 y 5 180 V V 32 1 y 5 180 V y 5 180 2 32 V y 5 148 assim, x 5 32 e y 5 148 b) Os ngulos (3x 1 10) e 80 so suplementares, assim, (3x 1 10) 1 80 5 180 V 3x 1 90 5 5 180 V 3x 5 180 2 90 V 3x5 90 V 90 V x 5 ____ 5 30 3 Os ngulos (3x 1 10) e y so opostos pelo vrtice, ou seja, so congruentes. assim, y 5 3x 1 10 V y 5 3 ? 30 1 10 V y 5 5 90 1 10 5 100. Logo, x 5 30 e y 5 100 Os ngulos (82 2 2x) e (3x 2 18) so alternos externos, portanto congruentes. assim, 82 2 2x 5 3x 2 18 V 82 1 18 5 3x 1 2x V 100 V 100 5 5x V _____ 5 x V x 5 20 5 Os ngulos (3x 2 18) e y so suplementares. assim, (3x 2 18) 1 y 5 180 Substituindo x 5 20 & 3 ? 20 2 18 1 y 5 180 V 60 2 18 1 y 5 180 V V 42 1 y 5 180 V y 5 180 2 42 V y 5 138 assim, x 5 20 e y 5 138 Os ngulos (4x 2 42) e (98 2 x) so alternos externos, portanto congruentes. assim, 4x 2 42 5 98 2 x V 5x 5 98 1 42 V 140 V 5x 5 140 V x 5 _____ 5 28 5 Os ngulos y e (98 2 x) so suplementares, assim, y 1 98 2 x 5 180 Substituindo x 5 28 & y 1 98 2 28 5 180 V V y 5 180 2 70 V y 5 110 assim, x 5 28 e y 5 110 Os ngulos (2x 2 18) e (3x 1 8) so suplementares. assim, (2x 2 18) 1 (3x 1 8) 5 180 V V 5x 2 10 5 180 V 5x 5 180 1 10 V 190 V 5x 5 190 V x 5 _____ 5 38 5 Os ngulos (2x 2 18) e y so alternos externos e, portanto, congruentes. assim, 2x 2 18 5 y. Substituindo x 5 38 & 2 ? 38 2 18 5 y V V 76 2 18 5 y V y 5 58 assim, x 5 38 e y 5 58 Os ngulos (2x 1 38) e (176 2 x) so alternos internos, ento so congruentes. assim, 2x 1 38 5 176 2 x V 2x 1 x 5 176 2 38 V 138 V 3x 5 138 V x 5 _____ 5 46 3 Os ngulos y e (176 2 x) so suplementares, assim, y 1 (176 2 x) 5 180. Substituindo x 5 46 & & y 1 176 2 46 5 180 V y 1 130 5 180 V V y 5 180 2 130 V y 5 50 assim, x 5 46 e y 5 50

a) Os ngulos so correspondentes. Ento x 5 112. b) Os dois ngulos so suplementares. assim, x 1 132 5 180 V x 5 180 2 132 V x 5 48. c) Os dois ngulos so alternos internos, portanto so congruentes & x 5 40. d) Os dois ngulos so alternos externos, portanto so congruentes & x 5 35. e) Os dois ngulos so alternos externos, portanto so congruentes & x 5 90. f) Os dois ngulos so suplementares. assim, (3x 2 10) 1 130 5 180 V V 3x 1 120 5 180 V 3x 5 180 2 120 V 60 V 3x 5 60 V x 5 ____ 5 20. 3 g) Os dois ngulos so alternos externos, portanto so congruentes & 6x 1 18 5 4x 1 50 V V 6x 2 4x 5 50 2 18 V 2x 5 32 V 32 V x 5 ____ 5 16. 2 h) Os dois ngulos so suplementares. assim, (4x 1 34) 1 (2x 1 92) 5 180 V 6x 1 126 5 5 180 V 6x 5 180 2 126 V 6x 5 54 V 54 V x 5 ____ 5 9. 6 3 Sabendoqueasretasressoparalelas,determineovalordasincgnitasaseguir. a) r 32

c)

d)

e)

d)

r

s

4x 42s x y y y 98 x

f)

b) 3x 10

r

e)2x 18 r

3x 8

y

s 80

s

49

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Captulo 2

4 Doisngulossosuplementareseumotriplodo outro.Calculeessesngulos. Chamando um dos ngulos de x, o segundo, por ser o triplo do primeiro, ser representado por 3x. as180 sim, x 1 3x 5 180 V 4x 5 180 V x 5 _____ 5 45; 4 3x 5 3 ? 45 5 135 Os ngulos medem 45 e 135. 5 Doisngulossocomplementareseumexcedeo outroem10.Quantomedecadangulo? Chamando um dos ngulos de x, o outro ser representado por x 1 10. assim, x 1 (x 1 10) 5 90 V 2x 1 10 5 90 V 2x 5 80 5 90 2 10 V 2x 5 80 V x 5 ____ 5 40; 2 x 1 10 5 40 1 10 5 50. Os ngulos medem 50 e 40. 6 Nasfigurasabaixo,asretasressoparalelas.Calcule,emseucaderno,ovalordecadaincgnita. a)z y x 48 36 r

d)

r x s

160 a b 60

Traase uma reta paralela s demais, dividindo o ngulo x em dois (a e b). Os ngulos a e 160 so suplementares, portanto, a 5 180 2 160 5 20. Os ngulos b e 60 so alternos internos, portanto b 5 60. assim, x 5 a 1 b V x 5 20 1 60 V V x 5 80. 7 Nafigura,asretasressoparalelaseconcorrem comatransversalt.Determineovalordex.x 20 r s 3x 60 t

s

Os ngulos y e 36 so alternos internos, ou seja, so congruentes. Os ngulos z e 48 tambm so alternos internos, sendo tambm congruentes. Os ngulos x, y e z somam 180, assim, x 1 y 1 z 5 180 V x 1 36 1 48 5 180 V V x 1 84 5 180 V x 5 180 2 84 V x 5 96. b)b a c r s

Os ngulos so colaterais externos, ou seja, so suplementares. assim, (x 1 20) 1 (3x 1 60) 5 180 V 4x 1 80 5 180 V 100 V 4x 5 180 2 80 V 4x 5 100 V x 5 _____ 5 25. 4Pgina

58


8 Sabendoqueasretasressoparalelas,determineemseucadernoovalordexemcadacaso. a)74 2x 10 r

x

74 46

O ngulo a vale 74 (opostos pelo vrtice). O ngulo b vale 46 (alternos internos). Como a 1 b 1 c 5 180, temse 74 1 46 1 c 5 180 V c 1 120 5 180 V V c 5 180 2 120 V c 5 60. Os ngulos x e c so correspondentes, ento x 5 60. c) analogamente atividade resolvida da pgina 56.r x s 42 a b 36

s

Os ngulos so alternos internos, ou seja, so congruentes. assim, 2x 2 10 5 74 V 2x 5 74 1 10 V 84 V 2x 5 84 V x 5 ____ 5 42. 2 b)3x 19 r

2x 26

s

Traase uma reta paralela s demais, dividindo o ngulo x em dois (a e b). Os ngulos a e 36 so correspondentes, portanto a 5 36. Os ngulos b e 42 so correspondentes, portanto b 5 42. assim, x 5 a 1 b V V x 5 36 1 42 V x 5 78.

Os ngulos so suplementares. assim, 2x 2 26 1 3x 2 19 5 180 V 5x 2 45 5 180 V 225 V 5x 5 180 1 45 V 5x 5 225 V x 5 _____ 5 45. 5 c)r x 60 164 x s

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Captulo 2

Os ngulos so alternos internos, ou seja, so congruentes. assim, x 1 60 5 164 2 x V x 1 x 5 104 5 164 2 60 V 2x 5 104 V x 5 _____ 5 52 2 d)3x 24 192 x

V y 5 180 2 128 V y 5 52 Os ngulos x e 71 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, x 1 71 5 180 V V x 5 180 2 71 V x 5 109 c)D y x 20 A B 39 C

r

s

Os ngulos so alternos externos, ou seja, so congruentes. assim, 3x 1 24 5 192 2 x V 3x 1 x 5 168 5 192 2 24 V 4x 5 168 V x 5 _____ 5 42 4 e)x 20 2x 10 r s

Os ngulos y e 20 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, y 1 20 5 180 V V y 5 180 2 20 V y 5 160 Os ngulos x e 39 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, x 1 39 5 180 V V x 5 180 2 39 V x 5 141 10 Duas retas paralelas determinam com uma reta transversalnguloscolateraisquemedem4x112 e 6x 1 38. Calcule, em seu caderno, os ngulos obtusosdeterminadosporessasretas. Os dois ngulos so colaterais, portanto so suplementares. assim, 6x 1 38 1 4x 1 12 5 180 V V 10x 1 50 5 180 V 10x 5 180 2 50 V 130 V 10x 5 130 V x 5 _____ 5 13 10 Os dois ngulos mediro 6x 1 38 5 6 ? 13 1 38 5 116; 4x 1 12 5 4 ? 13 1 12 5 64 Os ngulos obtusos formados pelas retas medem 116 11 O suplemento de um ngulo igual sua quinta parte.Quantomedeessengulo? x Chamando o ngulo de x, seu suplemento ser __. 5 5x x 900 x __ 5 180 V ___1 __ 5 _____ V assim, x 1 5 5 5 5 900 V 5x 1 x 5 900 V 6x 5 900 V x 5 _____ 5 150 6 12 Determine,emseucaderno,ovalordedoisngulos suplementarescujadiferenasejaiguala104. Chamando um dos ngulos de x, o outro ser x 2 104. assim, x 1 x 2 104 5 180 V 284 V 2x 5 180 1 104 V 2x 5 284 V x 5 _____ 5 2 5 142; x 2 104 5 142 2 104 5 38 Os ngulos medem 142 e 38 13 Adiferenaentreumnguloeseucomplemento 40.Calculeovalordessengulo. Chamando o ngulo de x, seu complemento ser 90 2 x. assim, x 2 (90 2 x) 5 40 V V x 1 x 2 90 5 40 V 2x 5 90 1 40 V 130 V 2x 5 130 V x 5 _____ 5 65 2 14 A diferena entre um ngulo e seu suplemento igual a 120. Determine em seu caderno o valor dessengulo. Chamando o ngulo de x, seu suplemento ser 180 2 x. assim, x 2 (180 2 x) 5 120 V V x 1 x 2 180 5 120 V 2x 5 180 1 120 V 300 V 2x 5 300 V x 5 _____ 5 150 2

Os ngulos so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, 2x 2 10 1 x 2 20 5 180 V V 3x 2 30 5 180 V 3x 5 180 1 30 V 3x 5 210 5 210 V x 5 _____ 5 70 3 r s f)60 2x210 4x

Os ngulos so congruentes. assim, 210 2 4x 5 5 60 1 2x V 4x 1 2x 5 210 2 60 V 6x 5 150 V 150 V x 5 _____ 5 25 6 9 Determine em seu caderno as medidas dos n___ gulosxey,sabendoqueasretassuportesde AB ___ e CDsoparalelas. a)D x y C

46 A

34 B

Os ngulos y e 34 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, y 1 34 5 180 V V y 5 180 2 34 V y 5 146. Os ngulos x e 46 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, x 1 46 5 180 V x 5 180 2 46 V x 5 134 b)D x 128 C

71 A

y B

Os ngulos y e 128 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. assim, y 1 128 5 180 V

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Captulo 2

15 Osuplementodeumnguloexcedeem10otriplo doseucomplemento.Qualovalordessengulo? O complemento de um ngulo x pode ser representado por 90 2 x, e seu suplemento, por 180 2 x. Assim, 180 2 x 5 3 ? (90 2 x) 1 10 V V 180 2 x 2 10 5 3 ? (90 2 x) V V 170 2 x 5 270 2 3x V 2x 1 3x 5 270 2 170 V 100 V 2x 5 100 V x 5 _____ 5 50 2 16 Duasretasparalelas,interceptadasporumatransversal, determinam ngulos alternos cujas medidassoexpressaspor10x21e6x115.Calcule emseucadernoamedidadeumdosngulosobtusosdeterminadosporessasretas. Os dois ngulos so alternos, portanto so congruentes. Assim, 10x 2 1 5 6x 115 V 16 V 10x 2 6x 5 15 1 1 V 4x 5 16 V x 5 ___ 5 4. 4 Assim, os ngulos medem 10 ? 4 2 1 5 5 40 2 1 5 39. Como se quer encontrar os ngulos obtusos formados pelas retas, temse que 180 2 395 141. 17 Osparesdeladosopostosdosquadrilterosabaixoestocontidosemretasparalelas.Porissoeles so chamados de paralelogramos. Determine, em seucaderno,osvaloresdex,yeznosparalelogramosaseguir. a)x z

c)x 30 y

z

x

Os ngulos x 1 30 e x so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, x 1 30 1 x 5 180 V V 2x 5 180 2 30 V 2x 5 150 V 150 V x 5 _____ 5 75 2 Os ngulos x e y so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, y 1 x 5 180 V y 1 75 5 180 V y 5 180 2 75 V V y 5 105 Os ngulos z e y so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, z 1 y 5 180 V z 1 105 5 180 V z 5 180 2 105 V V z 5 75; x 5 z 5 75, y 5 105 d)x y

x 90

z

y 40

Os ngulos x e 40 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, x 1 40 5 180 V V x 5 180 2 40 V x 5 140. Os ngulos y e 40 so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, y 1 40 5 180 V V y 5 180 2 40 V y 5 140. Os ngulos z e x so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, z 1 x 5 180 V z 1 140 5 5 180 V z 5 180 2 140 V z 5 40; x 5 y 5 140, z 5 40 b)y z

Os ngulos x 2 90 e x so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, x 2 90 1 x 5 180 V V 2x 5 180 1 90 V 2x 5 270 V 270 V x 5 _____ 5 135 2 Os ngulos x e y so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, y 1 x 5 180 V V y 1 135 5 180 V y 5 180 2 135 V y 5 45. Os ngulos z e y so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, z 1 y 5 180 V V z 1 45 5 180 V z 5 180 2 45 V z 5 135; x 5 z 5 135, y 5 45 18 Uma transversal determina, com duas retas paralelas, ngulos colaterais cujas medidas so expressas por 4x 1 16 e x 1 14. Calcule, em seu caderno,amedidadeumdosngulosagudosdeterminadosporessasretas. Os dois ngulos so colaterais, portanto so suplementares. Assim, 4x 1 16 1 x 1 14 5 180 V V 5x 1 30 5 180 V 5x 5 180 2 30 V 150 V 5x 5 150 V x 5 _____ 5 30 5 Os ngulos mediro 4x 1 16 5 4 ? 30 1 16 5 5 120 1 16 5 136; x 1 14 5 30 1 14 5 44 O ngulo agudo mede 44.PginA

x

74

59


Os ngulos z e 74 so alternos internos, ou seja, so congruentes. Assim, z 5 74. Os ngulos z e y so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, y 1 z 5 180 V V y 1 74 5 180 V y 5 180 2 74 V y 5 106. Os ngulos y e x so colaterais internos, ou seja, so suplementares. Assim, y 1 x 5 180 V V x 1 106 5 180 V x 5 180 2 106 V x 5 74; z 5 x 5 74, y 5 106.

19 Nafiguraaseguir,asretasressoparalelas.Determineemseucadernoovalorde3x2y.r 110 x 30 y s

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Captulo 2

Pela figura, podese ver que 30 1 x 5 110 (alternos internos) V x 5 110 2 30 V x 5 80. Mas x 5 y, pois so opostos pelo vrtice. Assim, y 5 80. Deste modo, 3x 2 y 5 3 ? 80 2 80 5 240 2 80 5 5 160. 20 Determine em seu caderno o valor do ngulo a dafiguraabaixo,sabendoqueasretasresso paralelas.r 3x 2x s 130 a

b) Traase outra reta, paralela a r e s, e nomeiase um dos ngulos da nova figura.r 133 s 23 x

O ngulo formado pela soma de a e 23 colateral interno do ngulo de 133. Assim, a 1 23 1 133 5 180 V a 1 156 5 180 V V a 5 180 2 156 V a 5 24. Os ngulos x e a so colaterais internos, logo a sua soma 180. x 1 a 5 180 V x 1 24 5 180 V V x 5 180 2 24 V x 5 156 c) Traamse duas outras retas, paralelas a r e s, e nomeiamse dois dos ngulos da nova figura.r 50

A soma dos ngulos 2x e 3x correspondente ao ngulo de 130. Assim, 2x 1 3x 5 130 V 5x 5 130 5 130 V x 5 _____ 5 26 5 Como o ngulo buscado suplementar ao ngulo 3x, 180 2 3x 5 a V a 5 180 2 78 5 102 21 Duasretasparalelasconcorremcomumatransversaldemodoqueotriplodonguloagudoformado, somadocomaquartapartedonguloobtuso,resultaem177.Calculeemseucadernoamedidado nguloagudoformadoporessasretas. Chamando de x o ngulo agudo e y o ngulo obtuso, y temse 3x 1 __ 5 177. Sabese que x 1 y 5 180 V 4 V x 5 180 2 y. Substituindo x por 180 2 y na priy meira relao & 3 ? (180 2 y) 1 __ 5 177 V 4 (180 2 y) y 708 V 12 ? __________ 1 __ 5 _____ V 4 4 4 V 12 ? (180 2 y) 1 y 5 708 V 2 160 2 12y 1 y 5 5 708 V 211y 5 708 2 2 160 V (21) ? (211y) 5 1 452 5 (21 452) ? (21) V 11y 5 1 452 V y 5 _____ 5 132 11 O ngulo agudo ser x 5 180 2 y V x 5 180 2 132 V V x 5 48 22 Sendoresretasparalelas,determine,emseucaderno,ovalordecadaincgnita. a) Traase outra reta, paralela a r e s, e nomeiase um dos ngulos da nova figura.r x s 12 t 130

s

160

100

x

O ngulo formado pela soma de a e 100 alterno interno do ngulo de 160. Assim, a 1 100 5 60 V V a 5 160 2 100 V a 5 60. Os ngulos a e b so alternos internos e, portanto, a 5 b 5 60. O ngulo formado pela soma de b e x colateral interno do ngulo de 50. Desse modo, temse que b 1 x 1 50 5 180 V 60 1 x 1 50 5 180 V V x 1 110 5 180 V x 5 180 2 110 V x 5 70 23 Calculeemseuca ernoamedi adonguloA d d OB, ___ sabendoqueasretasressoparalelas,eque AO ___ e sotransversais. 0B Traase outra reta, paralela a r e s, dividindo o nOB gulo A em dois (a e b).A 2x 1 6 r

O

a b B 5x 1 16 s 118 2 3x

Os ngulos a e 130 so colaterais internos e, portanto, so suplementares. Assim, a 1 130 5 180 V V a 5 180 2 130 V a 5 50. O ngulo formado pela soma de a e 12 alterno interno de x. Deste modo, a 1 12 5 x V 50 1 12 5 5 x V x 5 62

Os ngulos a e 2x 1 6 so correspondentes e, portanto, a 5 2x 1 6. Os ngulos b e 118 2 3x so correspondentes e, portanto, b 5 118 2 3x. OB Assim, temse que A 5 a 1 b V V 5x 1 16 5 2x 1 6 1 118 2 3x V V 5x 1 16 5 2x 1 124 V 5x 1 x 5 124 2 16 V 180 V 6x 5 108 V x 5 _____ 5 18 6

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Captulo 2

24 Calculeemseucadernoovalordecadaincgnita, sabendoqueasretasressoparalelas. Traamos outra reta, paralela reta t, e nomeamos um dos ngulos da nova figura.r s a80

B Desse modo, AO 5 5x 1 16 V A 5 5 ? 18 1 16 V OB V A 5 90 1 16 V AOB 5 106. OB

a 1 b 5 162 V a 1 84 5 162 V a 5 162 2 84 V V a 5 78 Os ngulos a e x so correspondentes, ento x 5 78. c) Traamos outra reta, paralela a r e s, dividindo o ngulo x em dois (a e b).r

b

80 c d

110 t

a

x b 170

s

O outro ngulo interno do tringulo mede 80 (so opostos pelo vrtice). Os ngulos d e 110 so suplementares, assim d 5 70. Os ngulos a e d so correspondentes, assim a 5 d 5 70. no tringulo tem-se: d 1 80 1 c 5 180 V V 70 1 80 1 c 5 180 V 150 1 c 5 180 V V c 5 180 2 150 V c 5 30 A soma de a, b e c igual a 180, assim b 5 180 2 30 2 70 5 80. Os ngulos medem a 5 70; b 5 80; c 5 30; d 5 70. 25 Calculeemseucadernoovalorde x,sabendoque asretasressoparalelas. a) Traamos outra reta, paralela a r e s, dividindo o ngulo x em dois (a e b).r 152

Os ngulos a e 90 so correspondentes, ento a 5 90. Os ngulos b e 170 so colaterais internos, ento b 5 10. Deste modo temse que x 5 a 1 b V V x 5 90 1 10 V x 5 100. d) Traamos outra reta, paralela a r e s, dividindo o ngulo de 90 em dois (a e b).r 180 2 2x a b s 180 2 3x

s

144

x a b

Os ngulos a e 180 2 2x so colaterais internos, ento a 5 180 2 (180 2 2x) 5 5 180 2 180 1 2x 5 2x. Os ngulos b e 180 2 3x so colaterais internos, ento b 5 180 2 (180 2 3x) 5 180 2 180 1 3x 5 3x. Desse modo, temse que x 5 a 1 b V 90 5 2x 1 3x V 90 V 90 5 5x V ____ 5 x V x 5 18 5 Mdulo 4: PolgonosPginA

Os ngulos a e 152 so suplementares, assim a 5 28. Os ngulos b e 144 so colaterais internos, ento b 5 36. Desse modo, temse que x 5 a 1 b V V x 5 28 1 36 V x 5 64 b) Traamos outra reta, paralela a r e s, dividindo o ngulo de 162 em dois (a e b).r x

61

Boxe Clculo mental

a b s

162 96

Os ngulos b e 96 so colaterais internos, ento b 5 84

Seonmerodediagonaisddeumpolgonoconn . (n23) __________ ,calcule vexodenladosdadopord5 2 mentalmenteonmerodediagonaisdosseguintes polgonos convexos: quadriltero, pentgono, hexgono,heptgonoeoctgono. 4 . (4 2 3) Quadriltero & n 5 4 V d 5 __________ 5 2 2 5 . (5 2 3) __________ 5 5 Pentgono & n 5 5 V d 5 2 6 . (6 2 3) Hexgono & n 5 6 V d 5 __________ 5 9 2 7 . (7 2 3) __________ 5 14 Heptgono & n 5 7 V d 5 2 8 . (8 2 3) __________ 5 20 Octgono & n 5 8 V d 5 2

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Captulo 2

Pgina

62


b)4,1

4,1 4,1

1 Calcule, em seu caderno, o nmero de diagonais dosseguintespolgonos. a) Undecgono 11 ? (11 2 3) 11 ? 8 88 D 5 __________ 5 _____ 5 ___ 5 44 2 2 2 b) Enegono 9 ? (9 23) 9 ? 6 54 D 5 __________ 5 _____ 5 ___ 5 27 2 2 2 c) Decgono 10 ? (10 2 3) 10 ? 7 70 D 5 ___________ 5 _____ 5 ___ 5 35 2 2 2 d) Dodecgono 12 ? (12 2 3) 12 ? 9 108 D 5 ___________ 5 _____ 5 ____ 5 54 2 2 2 2 Qualaquantidademximadediagonaisquepodem ser traadas a partir de um nico vrtice de umpolgonoconvexode15lados? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. assim, n 2 3 5 15 2 3 5 12. 3 possvel traar, de cada vrtice de um polgono convexo,umnmeromximode28diagonais.Quantosladostemessepolgono? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. assim, se o nmero de diagonais que sai de cada vrtice 28, temse que n2 3 5 28 V n 5 28 1 3 5 31. Esse polgono tem 31 lados. 4 Umquiligonoumpolgonode1000lados.Quantasdiagonaistemumquiligono? 1 000 ? (1 000 2 3) 1 000 ? 997 997 000 D 5 _________________ 5 __________ 5 ________ 5 2 2 2 5 498 500 5 Quantas diagonais um icosgono tem a mais que umdecgono? nmero de diagonais do icosgono & 20 ? (20 2 3) 20 ? 17 340 & D 5 ____________ 5 _______ 5 ____ 5 170 2 2 2 nmero de diagonais do decgono & 10 ? (10 2 3) 10 ? 7 70 & D 5 ___________ 5 _____ 5 ___ 5 35 2 2 2 a diferena entre as diagonais dos dois polgonos 170 2 35 5 135 diagonais. 6 Calculeopermetrodospolgonosaseguir a)0,8 2,7

4,1 4,1

4,1

P 5 6 ? 4,1 5 24,6 c)0,9 0,8 2,1 2,6 1,8 0,4 0,4 0,4

P 5 1,8 1 0,4 1 0,4 1 0,4 1 2,6 1 2,1 1 0,8 1 1 0,9 5 9,4 d)4,5 3,2

2,6 4,9

P 5 4,5 1 3,2 1 4,9 1 2,6 5 15,2 e)1,3 0,8 1,9 2,3 0,6 1,1

P 5 2,3 1 0,6 1 1,1 1 0,8 1 2,6 1 1,9 1 1,3 5 10,6 f)2,5 2,5

2,6

2,5 2,5

2,5

P 5 5 ? 2,5 5 12,5 7 Aquantidadedediagonaisdecertopolgonoque partedeumnicovrtice27. a) Qualaquantidadedevrticesdessepolgono? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. assim, se o nmero de diagonais que sai de cada vrtice 27, temse que n 2 3 5 27 V n 5 27 1 3 5 30. Esse polgono tem 30 vrtices. b) Quantosladospossuiessepolgono? O nmero de vrtices e lados de um polgono igual, ento se o polgono tem 30 vrtices ele ter 30 lados. c) Qualaquantidadetotaldediagonaisqueesse polgonotem? 30 ? (30 2 3) 30 ? 27 810 D 5 ____________ 5 _______ 5 ____ 5 405 diagonais 2 2 2

2,5

3

3

P 5 2,7 1 3 1 3 1 2,5 1 0,8 5 12

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Captulo 2

8 Sedecadavrticedeumpolgonoconvexopartem 12diagonais,quantasdiagonaiseletem? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. Assim, se o nmero de diagonais que sai de cada vrtice 12, temse que n 2 3 5 12 V n 5 12 1 3 5 15. Esse polgono tem 15 lados. Assim, o total de diago15 ? (15 2 3) 15 ? 12 180 nais ser D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 90. 2 2 2 9 Qualonomedopolgonoquenotemdiagonais? Se o polgono no tem diagonais, ento D 5 0. n ? (n 2 3) n ? (n 2 3) D 5 __________ V 0 5 __________ V 2 ? 0 5 2 2 5 n ? (n 2 3) V n ? (n 2 3) 5 0 V n 5 0 ou n 5 3 n 5 3 & o polgono que tem trs lados denominase tringulo. 10 Qualpolgonotemonmerodeladosigualaonmerodediagonais? Se o nmero de lados igual ao nmero de diagonais, ento D 5 n. n ? (n 2 3) 2n __________ V ___5 n 2 3 V 2 5 n 2 3 V n 5 5 n5 n 2 O polgono que tem cinco lados denominase pentgono. 11 Qualpolgonotemonmerodediagonaisigualao qudruplodonmerodelados? Se o nmero de diagonais igual ao qudruplo do nmero de lados, ento D 5 4n. n ? (n 2 3) 4n 5 __________ V 2 ? 4n 5 n ? (n 2 3) V 8n 5 2 5 n2 2 3n V n2 2 3n 2 8n 5 0 V n2 2 11n 5 0 V V n ? (n 2 11) 5 0 V n 5 0 ou n 5 11 O polgono que tem 11 lados denominase undecgono. 12 Juliano pretende cercar com arame farpado um terrenocomoformatoeasmedidasindicadasna figuraaseguir.14,8 m 6,4 m

responda:quantasdiagonaistemopolgonoconvexocujosvrticessoospontosdeinterseco dasretascomacircunferncia?C C

B

O

A

B

O

A

D

D

O polgono construdo tem oito lados. Assim o nmero de diagonais ser 8 ? (8 2 3) 8 ? 5 40 D 5 __________ 5 _____ 5 ___ 5 20. 2 2 2 14 Numafestaestavam14pessoas,ecadaumacumprimentou as demais com apenas um aperto de mo.Quantosapertosdemoforamdados? Considerando um polgono de 14 lados, em cada vrtice representa uma pessoa da festa, cada aperto de mo corresponde a um lado ou uma diagonal desse polgono. Dessa forma, o nmero total de apertos de mo corresponde soma do nmero de lados com o nmero de diagonais do polgono de 14 lados. O n . (n 2 3) 14 ? 11 nmero de diagonais __________ 5 ______ 5 77. 2 2 Logo o nmero de apertos de mo 77 1 14 5 91.PginA

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15 Sedecadavrticedeumpolgonopartem30diagonais,quantosladoseletem? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. Assim, se o nmero de diagonais que sai de cada vrtice 30, temse que n 2 3 5 30 V n 5 30 1 3 5 33. 16 Quantasdiagonaispartemdecadavrticedeum polgonode18lados? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. Assim, se o nmero de lados 18, temse que n 2 3 5 18 2 3 5 15. 17 Calcule o nmero de diagonais dos seguintes polgonos. a) Pentadecgono 15 ? (15 2 3) 15 ? 12 180 D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 90 2 2 2 b) Hexadecgono 16 ? (16 2 3) 16 ? 13 208 D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 104 2 2 2 c) Icosgono 20 ? (20 2 3) 20 ? 17 340 D 5 ____________ 5 _______ 5 ____ 5 170 2 2 2 d)Tridecgono 13 ? (13 2 3) 13 ? 10 130 D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 65 2 2 2

6,2 m

7,8 m 12,7 m

Sabendoqueeleirpassarquatrovoltasdearame emtornodoterreno,calculequantosmetrosJulianoprecisacomprar. Juliano ir passar 4 voltas de arame em volta do terreno, assim ter de comprar 4 vezes a medida de seu permetro. Assim, 4P 5 4 ? (14,8 1 6,4 1 7,8 1 12,7 1 6,2) V V 4P 5 4 ? 47,9 V 4P 5 191,6 m. Ele ter de comprar 191,6 m de arame. 13 DesenheumacircunfernciadecentroOeraio4cm ___ emseucadernoeaseguirdesenheumdimetro AB . ___ Depois, desenhe um dimetro perpendicular CD , ___ a e trace as bissetrizes dos ngulos formaAB , dosporessesdimetros.Observandoessafigura,

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Captulo 2

18 Calculeopermetrodecadaumdospolgonosa seguir. a)3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2

P 5 8 ? 3,2 5 25,6 b)2,3 4,7 4,7 2,3

P 5 4,7 1 2,3 1 4,7 1 2,3 5 14 c)1,2 1,7 4,6 2,8 5,8

22 LucascontouaPauloquetinhaidoaumafesta.Pauloperguntouquantaspessoashavianafesta.Ento Lucasdisse:Quantaspessoashavia,eunosei,mas seiquecadaumadaspessoaspresentesfestacumprimentoucadaumadasoutrascomumnicoaperto demo,eseiqueforamdados45apertosdemo. Paulofezalgumascontasedescobriuonmerode pessoasnafesta.Quantaseramessaspessoas? imaginando cada pessoa como o vrtice de um polgono, cada aperto de mo corresponde a um lado ou uma diagonal do polgono. Assim, sendo n o nmero de pessoas na festa, o nmero de apertos de mo corresponde soma do nmero de lados e do nmero de diagonais de um polgono de n lados. n . (n 2 3) n . (n 2 3) n 1 __________ 5 45 V n 1 __________ 5 2 2 2n 1 n2 2 3n n . (n 2 1) ____________ _________ 5 45 V n. (n 2 1) 5 90. 5 5 2 2 Assim, a quantidade de pessoas na festa um nmero que, multiplicado por seu antecessor, resulta em 90. Por investigao, esse nmero 10, pois 10 ? 9 5 90. Portanto, havia dez pessoas na festa. 23 Copieecompleteatabelaabaixoemseucaderno.Nmero de lados do polgono4lados 5lados 6lados 7lados 8lados nlados (n12)lados (n25)lados

P 5 2,8 1 5,8 1 4,6 1 1,7 1 1,2 5 18,9 d)3,3 1,8 2,5 2,5 2,6 2,3

Nmero de diagonais do polgono

2 diagonais 5 diagonais 9 diagonais 14 diagonais 20 diagonais n ? (n 2 3) __________ 2 (n 1 2) ? (n 2 1) _______________ 2 (n 2 5) ? (n 2 8) _______________ 2

P 5 2,6 1 2,3 1 1,8 1 2,5 1 2,5 1 3,3 5 15 19 Um triacontgono um polgono com 30 lados. Quantasdiagonaistemumtriacontgono? 30 ? (30 2 3) 30 ? 27 810 D 5 ____________ 5 _______ 5 ____ 5 405 2 2 2 20 Sedecadavrticedeumpolgonoconvexopartem 20diagonais,quantasdiagonaisessepolgonotem? O nmero de diagonais que sai de cada vrtice representado por n 2 3. Assim, se o nmero de diagonais que sai de cada vrtice 20, temse que n 2 3 5 20 V n 5 20 1 3 5 23 Assim, o nmero de diagonais 23 ? (23 2 3) 23 ? 20 460 D 5 ____________ 5 _______ 5 ____ 5 230 2 2 2 21 Qual polgono tem nmero de lados igual a dois terosdonmerodediagonais? Se o nmero de lados do polgono igual a dois 2 teros do nmero de diagonais, ento __D 5 n, ou 3 3 D 5 __ n. 2 n ? (n 2 3) 3 Assim, __n 5 __________ V 2 ? 3n 5 2n ? (n2 3) V 2 2 V 6n 5 2n2 2 6n V 2n2 2 6n 2 6n 5 0 V V 2n2 2 12n 5 0 V 2n ? (n 2 6) 5 0 V 2n 5 0 V V n 5 0 ou n 2 6 5 0 V n 5 6 O polgono que tem seis lados denominase hexgono.

24 a) mumpolgonoconvexo,aquantidadedediaE gonaisigualaotriplodaquantidadedelados. Qualessepolgono? A quantidade de diagonais o triplo da quantidade de lados & D 5 3n (n2 3) 3n n . (n 2 3) __________V _______ ___5 3 V n 2 3 5 5 n 3n5 2 2 56Vn59 O polgono convexo que tem 9 lados o enegono. b)Qualopolgonoconvexoemqueaquantidade dediagonaisigualaseisvezesaquantidadede lados? A quantidade de diagonais o sxtuplo da quantidade de lados & D 5 6n (n 2 3) 6n n . (n 2 3) _______ ___5 6 V n 2 3 5 5 n 6n5__________V 2 2 5 12 V n 5 15 O polgono convexo que tem 15 lados o pentadecgono. Observao: Em ambos os itens foi feita uma diviso por n, o que possvel, visto que se n representa o nmero de lados de um polgono, ele diferente de zero.

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Captulo 2

25 Umpolgonotemcincoladosamaisqueoutro.Determinequepolgonossoesses,sabendoqueadiferenaentreototaldediagonaisdelesiguala40. Se um dos polgonos tem n lados, o outro tem (n 1 5) lados. assim o nmero de diagonais n ? (n 2 3) n2 2 3n para n lados & __________ 5 _______ 2 2 (n 1 5) ? (n 1 2) _______________ 5 para (n 1 5) lados & 2 n2 1 7n 1 10 5 ____________ 2 a diferena entre eles ser (n 1 5) ? (n 1 2) n ? (n 2 3) _______________ 2 __________ 5 40 2 2 n2 1 7n 1 10 2 (n2 2 3n) 80 V _______________________ 5 ___ V 2 2 V n2 1 7n 1 10 2 n2 1 3n 5 80 V 10n 1 10 5 5 80 V 10n 5 80 2 10 V 10n 5 70 V n 5 7. Logo um polgono tem 7 lados, e o outro, 12 lados. Desse modo eles so chamados heptgono e dodecgono. 26 A soma do nmero de lados de dois polgonos igual a 36 e a diferena entre as quantidades de diagonaisdessesdoispolgonosiguala66.Dentre esses dois, quantas diagonais tem o polgono comomenornmerodelados? Se chamarmos o nmero de lados de um dos polgonos de n, o nmero de lados do outro ser (36 2 n). assim o nmero de diagonais para o polgono de n n?(n23) n2 2 3n lados ser __________ _______ 5 . 2 2 Para o polgono de (36 2 n) lados & (36 2 n) ? (33 2 n) 1 188 2 69n 1 n2 & _________________ 5 _______________ 2 2 a diferena entre eles ser 1 188 2 69n 1 n2 n2 2 3n _______________ 2 _______ 66 V 5 2 2 1 188 2 69n 1 n2 2 (n2 2 3n) 132 __________________________ 5 ____ V V 2 2 V 1 188 2 69n 1 n2 2 n2 1 3n 5 132 V V 266n 5 132 2 1 188 V (21) ? (266n) 5 1 056 5 21 056 ? (21) V 66n 5 1 056 V n 5 _____ 5 16 66 Ento um dos polgonos tem 16 lados e o outro tem 36 2 16 5 20 lados, de modo que o primeiro tem um nmero menor de lados. assim o nmero de diagonais deste polgono ser 16 ? (16 2 3) 16 ? 13 108 D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 104 2 2 2 Mdulo 5: ngulos de um polgonoPgina

O ngulo de 50 corresponde a 2 lados e meio, assim o ngulo correspondente a cada lado de 20. Para encontrar o nmero de lados fazse 360 360 n 5 _____ 5 _____ 5 18 lados. a 20Pgina

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1 Determine a soma dos ngulos internos dos seguintespolgonos. a) Octgono Si 5 (8 2 2) ? 180 5 6 ? 180 5 1 080 b) Decgono Si 5 (10 2 2) ? 180 5 8 ? 180 5 1 440 c) Pentadecgono Si 5 (15 2 2) ? 180 5 13 ? 180 5 2 340 d)Icosgono Si 5 (20 2 2) ? 180 5 18 ? 180 5 3 240 2 Determine a soma dos ngulos externos dos seguintespolgonos. a) Pentadecgono c) Quiligono b) Icosgono d)Enegono a soma dos ngulos externos de qualquer polgono sempre 360. 3 Calcule a soma dos ngulos internos, a soma dos nguloexternoseonmerodediagonaisdeumpolgonode24lados. Si 5 (24 2 2) ? 180 5 22 ? 180 5 3 960 Se 5 360 24 ? (24 2 3) 24 ? 21 504 D 5 ____________ 5 ______ 5 ____ 5 252 2 2 2 4 Determine o ngulo desconhecido dos seguintes polgonos. a)x 120 100 100 130

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Boxe Desafio

Soma dos ngulos internos de um pentgono & & Si 5 (5 2 2) ? 180 5 3 ? 180 5 540. Dessa forma, tem-se: x 1 120 1 100 1 130 1 100 5 540 V V x 1 450 5 540 V x 5 540 2 450 V V x 5 90 b)120 130 160 x 60 150

AfiguraabaixomostrapartedeumpolgonoregularABCDE...,ondearetarperpendicularaolado ___ ABearetasbissetrizdonguloC . D Er A B C s D E 50

x

Calcularonmerodeladosdessepolgono.

Soma dos ngulos internos de um hexgono & & Si 5 (6 2 2) ? 180 5 4 ? 180 5 720.

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Captulo 2

Dessa forma, tem-se: x 1 120 1 130 1 160 1 x 1 60 1 150 5 720 V V 2x 1 620 5 720 V 100 V 2x 5 720 2 620 V 2x 5 100 V x 5 _____ 5 50 2 O valor do ngulo representado por x 1 60 ser x 1 60 5 50 1 60 5 110. c)170 100 120 130 x 140

a soma dos ngulos internos de um pentgono igual a 540. assim, 120 1 100 1 150 1 130 1 (180 2 x) 5 540 V V 500 1 180 2 x 5 540 V 680 2 x 5 540 V V 680 2 540 5 x V x 5 140 6 Nos itens abaixo voc visualiza partes de polgonos regulares, com os ngulos externos assinalados. Determine a medida do ngulo interno em cadacaso. a soma do ngulo interno de um polgono com seu ngulo externo sempre 180. assim, a)36

Soma dos ngulos internos de um heptgono & & Si 5 (7 2 2) ? 180 5 5 ? 180 5 900. Dessa forma tem-se: x 1 90 1 170 1 100 1 120 1 130 1 140 5 5 900 V x 1 750 5 900 V x 5 900 2 750 V V x 5 150 5 Determineovalordexnosseguintescasos. O exerccio no fornece todos os ngulos internos dos polgonos, mas mostra as medidas dos ngulos externos & ai 5 180 2ae a)52 3x 20 48

ai 5 180 2 36 5 144 b) ai 5 180 2 24 5 156 c) ai 5 180 2 30 5 150 7 Osvaloresabaixoexpressammedidasdengulos internos de polgonos regulares. Para cada item, damedidadonguloexternocorrespondente. a soma do ngulo interno de um polgono com seu ngulo externo sempre 180. assim, a) 140 ae 5 180 2 140 5 40 b) 120 ae 5 180 2 120 5 60 c) 160 ae 5 180 2 160 5 20 d)165 ae 5 180 2 165 5 15 8 Umpolgonotem4 320comosomadosngulos internos.Quantosladostemessepolgono? Si 5 (n 2 2) ? 180 V 4 320 5 (n 2 2) ? 180 V 4 320 V _______ 5 (n 2 2) V 24 5 n 2 2 V n 5 26 180

24

30

a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180. assim, 48 1 52 1 [180 2 (3x 2 20)] 5 180 V V 48 1 52 1 180 2 3x 1 20 5 180 V V 300 2 3x 5 180 V 23x 5 180 2 300 V 120 V 3x 5 120 V x 5 _____ 5 40 3 b)x 112 50 78

a soma dos ngulos internos de um quadriltero igual a 360. assim, 78 1 (180 2 112) 1 (180 2 50) 1 1 (180 2 x) 5 360 V 78 1 68 1 130 1 1 180 2 x 5 360 V 456 2 x 5 360 V V 456 2 360 5 x V x 5 96 c)130 150 x 100 120

9 A soma dos ngulos internos de um polgono 2 520.Quantasdiagonaiseletem? Para determinar o nmero de diagonais calculase o nmero de lados do polgono. Si 5 (n 2 2) ? 180 V 2 520 5 (n 2 2) ? 180 V 2 520 V _______ 5 (n 2 2) V 14 5 n 2 2 V n 5 16 180 Determinando o nmero de diagonais & 16 ? (16 2 3) 16 ? 13 208 & D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 104 2 2 2

10 Emcadaitemabaixodadoonguloexternode umpolgonoregular.Determineonmerodelados decadaumdeles. a) e512 360 360 12 5 _____V 12n 5 360 V n 5 _____ 5 30 n 12

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Captulo 2___ ___

b) e515 360 360 15 5 _____V 15n 5 360 V n 5 _____ 5 24 n 15 c) e520 360 360 20 5 _____V 20n 5 360 V n 5 _____ 5 18 n 20 d)e545 360 360 45 5 _____V 45n 5 360 V n 5 _____ 5 8 n 45 11 Emcadaitemabaixohovalordongulointerno deumpolgonoregular.Calculeonmerodelados decadaumdessespolgonos. a) 150 Primeiramente, determinase a medida do ngulo externo & ae5 180 2 150 5 30. Em seguida, determinase o nmero de lados do 360 polgono & 30 5 _____V 30n 5 360 V n 360 V n 5 _____ 5 12 30 b) 144 360 ae 5 180 2 144 5 36 V 36 5 _____V 36n 5 360 V n 360 _____ 5 10 Vn5 36 c) 140 360 ae5 180 2 140 5 40 V 40 5_____ 40n 5 360 V n V 360 V n 5 _____ 5 9 40 d)160 360 ae 5 180 2 160 5 20 V 20 5 _____V 20n 5 360 V n 360 V n 5 _____ 5 18 20 12 Determineonmerodediagonaisdeumpolgono convexocujasomadosngulosinternosiguala 3960. Para determinar o nmero de diagonais calculase o nmero de lados do polgono. 3 960 Si 5 (n 2 2) ? 180 V _______ 5 (n 2 2) V 22 5 180 5 n 2 2 V n 5 24 Determinando o nmero de diagonais 24 ? (24 2 3) 24 ? 21 504 D 5 ____________ 5 ______ 5 ____ 5 252 2 2 2 13 Determineonmerodediagonaisdeumpolgono regularcujonguloexterno24. Para determinar o nmero de diagonais calculase o nmero de lados do polgono. 360 360 24 5 _____V 24n 5 360 V n 5 _____ 5 15 n 24 Determinando o nmero de diagonais 15 ? (15 2 3) 15 ? 12 180 D 5 ___________ 5 ______ 5 ____ 5 90 2 2 2 14 Afiguraabaixomostrapartedeumpolgonoregular ___ ___ ABCDE...,emque e sobissetrizesdosngu OA OC losinternos.Quantasdiagonaistemessepolgono?B A C

Se OAe OCso bissetrizes dos ngulos internos, en B A C ____ B B A C to O 5O 5 . 2 B B e O de x e A C de 2x, a soma A C B Chamando O dos ngulos internos do quadriltero ABCO x 1 x 1 2x 1 90 5 360 V 4x 5 360 2 90 V 270 V 4x 5 270 V x 5 _____ 5 67,5; 4 B A C 5 2 ? 67,5 5 135. Se o ngulo interno do polgono mede 135, seu ngulo externo mede 45. assim, o nmero de lados 360 360 desse polgono ser ae 5 _____V 45 5 _____V n n 360 V 45n5360V n 5 _____ 5 8. 45 Determinando o nmero de diagonais 8 ? (8 2 3) 8 ? 5 40 D 5 __________ 5 _____ 5 ___ 5 20 2 2 2Pgina

67


15 Determine a soma dos ngulos internos dos seguintespolgonos. a) Heptgono Si 5 (7 2 2) ? 180 V Si 5 5 ? 180 V Si 5 900 b) Undecgono Si 5 (11 2 2) ? 180 V Si 5 9 ? 180 V Si 5 1 620 c) Tridecgono Si 5 (13 2 2) ? 180 V Si 5 11 ? 180 V Si 5 1 980 d)Hexadecgono Si 5 (16 2 2) ? 180 V Si 5 14 ? 180 V Si 5 2 520 16 Determine quantos lados tem o polgono regular cujonguloexternoiguala24. 360 360 24 5 _____V n 5 _____ 5 15 n 24 17 Calculeamedidadongulointernodeumpolgono regularde30lados. Primeiramente, determinase o valor do ngulo 360 externo & ae5 _____ V ae 5 12. 30 Em seguida determinase o valor do ngulo interno. ai5 180 2 12 V ai 5 168 18 Calculeonmerodediagonaisdeumpolgonoregularcujonguloexternomede40. Para determinar o nmero de diagonais calculase o nmero de lados do polgono. 360 360 40 5 _____V n 5 _____ 5 9 n 40 Determinando o nmero de diagonais 9 ? (9 2 3) 9 ? 6 54 D 5 __________ 5 _____ 5 ___ 5 27 2 2 2 19 Respondaemseucaderno. a) Quantomedeongulointernodeumpolgono regularcujonguloexternomede20? a soma do ngulo interno com o ngulo externo de um polgono 180. assim, ai 5 180 2 ae V V ai 5 180 2 20 5 160.

0

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Captulo 2

b) Quantosladostemopolgonocujasomadosngulosinternosiguala6120? Si5(n22)? 180V61205(n22)? 180V 6120 ______ V 5n22V345n22Vn536 180 c) Quantasdiagonaistemopolgonoregularcujo nguloexternomede12? Paradeterminaronmerodediagonaiscalculaseo nmerodeladosdopolgono. 360 360 _____Vn5 _____ 125 n 530 12 Determinandoonmerodediagonais 30?(3023) 30?27 ____ 810 ____________ _______ 5 5 5405 D5 2 2 2 d)Quantomedeonguloexternodeumpolgono regularquetem72lados? 360 _____ ae5 e55 Va 72 e) Quanto mede o ngulo interno de um pol ono g quetem40lados? Primeirodeterminaseovalordonguloexternodo 360 _____ Vae59. polgono&ae5 40 Comoasomadonguloexternocomongulointerno180,tem-seai51802aeV Vai5180295171 20 Calculeovalordexnosseguintescasos. a)112 100 126 130

b) Aquantidadedeladosdeumpolgono,sabendo quedecadaumdeseusvrticespodemsertraadasat17diagonais. Onmerodediagonaisquesaidecadavrticede umpolgonodadoporn23.Assim,n23517V Vn51713Vn520lados. c) Aquantidadedediagonaisdeumpolgono,sabendoquedecadaumdeseusvrticessaem18 diagonais. Se de cada vrtice do polgono so traadas 18 diagonais, ento o nmero de lados 21. Assim, 21?(2123) 21?18 ____ 378 ___________ ______ 5 5189diagonais. 5 D5 2 2 2 d)Amedidadonguloexternodeumpolgonoregular,sabendoquedecadaumdeseusvrtices partem21diagonais. Se de cada vrtice do polgono so traadas 21 diagonais, ento o nmero de lados 24. Assim, 360 _____ 515. ae5 24 22 ObserveamoedadeRS ||0,25nafotografia: a) Quantosladospossuiopolgono representadonessamoeda? Setelados. b) Se esse polgono regular, qual a medida aproximadadongulointernodele? Determinando a soma dos ngulos internos & Si5(n22)? 180VSi5(722)? 180V VSi55? 180VSi5900.Assim,ovalordon900 _____ gulointernoserai5 5128,5. 7 c) Qualamedidaaproximadadonguloexterno? ae51802aiVae51802128,5Vae551,5 d)Determine o nmero de diagonais desse polgono. 7?(723) 28 7?4 ___ __________ _____ 514diagonais 5 5 D5 2 2 2 23 Calculeonmerodediagonaisdeumpolgonoregularcujongulointernomede150. Determinandoonmerodeladosdessepolgono& Seongulointernomede150,entoonguloex360 _____V ternomede30.Assim,ae5 n 360 360 _____ _____ 5 V305 n V30n5360Vn5 30 512lados.Dessamaneira,onmerodediagonaisser 12?(1223) 12?9 ____ 108 ___________ _____ 5 D5 5 554diagonais. 2 2 2 24 As diagonais do octgono regular abaixo foram pintadasconformeotamanho:diagonaisquetm omesmotamanhoforampintadasdamesmacor.

x

Clculodasomadosngulosinternosdopentgono &Si5(522)? 180VSi53? 180VSi5540. Assim, x 1 112 1 100 1 126 1 130 5 540 V Vx14685540Vx55402468Vx572 b)x x20 x10 x20 x40 x30

Clculo da soma dos ngulos internos do hexgono & Si 5 (6 2 2) ? 180 V Si 5 4 ? 180 V VSi5720. Assim,x1x1101x1201x1401x130 1x1205720V6x11205720V 600 _____ 5 V6x57202120V6x5600Vx5 6 5100 21 Determineemseucaderno. a) Aquantidademximadediagonaisquepodem ser traadas a partir de um vrtice de um polgonode32lados. O nmero de diagonais que podem ser traadas decadavrticedeumpolgonodadoporn23. Assim,3223529diagonais.

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Captulo 2

Repare que foram usadas trs cores. Indique no caderno quantas cores sero necessrias para executar o mesmo tipo de pintura das diagonais dospolgonosseguintes. Todasasdiagonaissopintadasempares,excetoa diagonalcentralquedivideopolgonoemduaspartesiguais. a) Quadrado Oquadradopossuiduasdiagonaiscongruentes.Assim,necessriaapenasumacor. b) Hexgonoregular Decadavrticedeumhexgonoregularsaemtrs diagonais. Tem-se assim um par de diagonais de mesmo tamanho e a diagonal central. Assim, so necessriasduascores. c) Dodecgonoregular Decadavrticedeumdodecgonoregularsaem9 diagonais, sendo 4 pares e a diagonal central. Assim,sonecessrias5cores. 25 Calculeasomadasmedidasdoscincongulosassinaladosnafiguraabaixo.

Tratamento da informao Construir e interpretar grficos de setor circularPginA

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Coleta de informao

Matilderealizouumapesquisacom400estudantes.Elaperguntouaelesporquantashorasdirias utilizavamainternet.Atabelaabaixomostraoresultado.Horas por diaMenosde1hora 2horas 3horas 4horas 5horasoumaisPginA

Nmero de pessoas80 140 100 60 20

68

Oraganizao da informao

a

b

e

Paradivulgarosdadosobtidos,Matildequerutilizarumgrficodesetorcircular. Paraisso,necessriocalcularaporcentagemque cada resposta representa em relao ao nmero totaldeestudantesconsultados. Copieatabelaabaixoemseucadernoecompletea com as porcentagens correspondentes ao nmerodevezesquecadaalternativaderesposta foimencionada.Horas por diaMenosde1hora

Nmero de Pessoas80 140 100 60 20

Porcentagem20% 35% 25% 15% 5%

c

d

2horas 3horas 4horas 5horasoumais

Para resolver esse exerccio devemse nomear algunsngulosdafigura.a

b h

g i c

f j

e

d

noscincotringulosmaioresexistentesnafigura temseb1i1e5180;a1j1c5180; b1d1f5180;a1h1d5180; c1g1e5180. Agora,devemsesomarasequaes: b1i1e1a1j1c1b1d1f1a1h1d1c1g1e5 55? (180)V V (a1b1c1d1e)1(a1b1c1d1e)1 1(f1g1h1i1j)5900. A soma dos ngulos (f 1 g 1 h 1 i 1 j) 540, porsetratardeumpentgono.Ento, (a1b1c1d1e)1(a1b1c1d1e)15405 900 V 2 ? (a 1 b 1 c 1 d 1 e) 5 360 V Va1b1c1d1e5180.

Determinandoasporcentagens: 140 140 _____ ?100%5 ____535% 4 400 100 100 _____ ?100%5 ____525% 4 400 60 60 _____ ? 100%5 515% ___ 4 400 20 20 _____ ? ___ 100%5 55% 4 400 Cada setor do grfico de setor circular deve ser proporcional a uma das porcentagens obtidas na tabelaacima.Assim,devemosdividiroarcototal em partes proporcionais s porcentagens encontradasemcadacaso. Consideramos ento que um arco de 360 representa 100% dos estudantes e utilizamos uma regra de trs simples para encontrar o arco correspondente porcentagem dos estudantes que mencionoudeterminadaresposta. Exemplo: 20%dosestudantesficammenosde1horautilizandoainternet. 100% 360 x 20% Obtemosassimx572.

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Captulo 2

Determinase o ngulo de cada fatia do grfico correspondente aos dados da pesquisa. 20% dos estudantes ficam, em mdia, menos de 1 hora utilizando a internet. 100% 360 20% x 7 200 100x 5 20 ? 360 V 100x 5 7 200 V x 5 ______ V 100 V x5 72 35% dos estudantes ficam, em mdia, 2 horas utilizando a internet. 360 100% 35% x 12 600 100x 5 35 ? 360 V 100x 5 12 600 V x 5 ______ V 100 V x5 126 25% dos estudantes ficam, em mdia, 3 horas utilizando a internet. 360 100% 25% x 9 000 100x 5 25 ? 360 V 100x 5 9 000 V x 5 ______ V 100 V x5 90 15% dos estudantes ficam, em mdia, 4 horas utilizando a internet. 100% 360 15% x 5 400 100x 5 15 ? 360 V 100x 5 5 400 V x 5 ______ V 100 V x5 54 5% dos estudantes ficam, em mdia, 5 horas ou mais utilizando a internet. 100% 360 5% x 1 800 100x 5 5 ? 360 V 100x 5 1 800 V x 5 _____ V 100 V x5 18 Apscalcularosnguloscorrespondentesacada setor, faa um crculo e dividao de acordo com as medidas obtidas. Utilize o transferidor para marcarosngulos.Depois,traceossegmentos quedelimitamossetoresepintecadaumdeles de uma cor diferente, para facilitar a visualizao das informaes obtidas. D um ttulo ao grficoefaaumalegenda.Horas gastas por dia na internet 5% 15% 20%

b) Existealgumsetorquecorrespondaaumngulo agudo?Qual? Sim, as fatias correspondentes s porcentagens de 5%, 15% e 20%. c) Existealgumsetorquecorrespondaaumngulo reto?Qual? Sim, a fatia correspondente a 25%. d)Vinte e cinco por cento correspondem a qual fraodoarcodocrculo? 25 1 25% 5 ____ 5 __ 100 4Pgina

69

Comunicao de resultados

Vocfezumgrficodesetorcircularpararepresentarasituaoestudada.Agora,representeos resultadosdessamesmapesquisacomumgrfico debarras.Horas gastas por dia na Internet 160 140 120 100 80 60 40 20 0

menos de 1 hora

2 horas

3 horas

4 horas

5 horas ou mais

Pgina

69

Faa voc

1 Mnicareuniusecomalgumasamigasesaiupela escolaentrevistandoalgunsalunosefuncionrios. Entre outras perguntas, elas pediam que as pessoas dissessem, dentre as frutas representadas abaixo,qualeraasuapreferida.

abacate

abacaxi

Banana

Mamo

Melancia

25%

35%

menos de 1 hora 2 horas 3 horas 4 horas 5 horas ou mais

Apartirdasrespostasobtidas,elasmontarama tabelaabaixo.Utilizeasinformaesdatabela emonteumgrficodesetorcircular.FrutasAbacate Abacaxi Banana Mamo

Quantidade de pessoas166 150 100 50 34

Pgina

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Leitura de dados

Melancia

a) Existealgumsetorcircularformadoporumarcode medidaigualaumnguloobtuso?Qual? Sim, a fatia correspondente a 35%.

Determinase a porcentagem que cada resposta representa em relao ao nmero total de pessoas entrevistadas.

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Captulo 2

O nmero total de pessoas 166 1 150 1 100 1 1 50 1 34 5 500. Ento as porcentagens so 166 166 ____ ? 100% 5 ____ 5 33,2% 5 500 150 150 ____ ? 100% 5 ____ 5 30% 5 500 100 100 ____ ? 100% 5 ____ 5 20% 5 500 50 ____ ? 100% 5 50 5 10% ____ 500 5 34 34 ____ ? 100% 5 ___ 5 6,8% 5 500FrutasAbacate Abacaxi Banana Mamo Melancia

2

O grfico abaixo mostra a distribuio das 30 medalhas que os alunos da escola Bom Futuro ganharam em um campeonato estadual.QUADRO DE MEDALHAS DA ESCOLA BOM FUTURO

30% 50% 20%

Ouro Prata Bronze

Quantidade de pessoas166 150 100 50 34

Porcentagem33,2% 30,0% 20,0% 10,0% 6,8%

Em seguida determinase o ngulo de cada fatia do grfico correspondente aos dados da pesquisa. 33,2% dos entrevistados preferem abacate. 360 100% x 33,2% 11 952 100x 5 33,2 ? 360 V 100x V 11 952 V x 5 ______ 5 100 5 119,5 30% dos entrevistados preferem abacaxi. 360 100% x 30% 10 800 100x 5 30 ? 360 V 100x 5 10 800 V x 5 _______ 5 100 5 108 20% dos entrevistados preferem banana. 360 100% x 20% 7 200 100x 5 20 ? 360 V 100x 5 7 200 V x 5 ______ 5 100 5 72 10% dos entrevistados preferem mamo. 360 100% x 10% 3 600 100x 5 10 ? 360 V 100x 5 3 600 V x 5 ______ 5 100 5 36 6,8% dos entrevistados preferem abacate. 360 100% x 6,8% 2 448 100x 5 6,8 ? 360 V 100x 5 2 448 V x 5 ______ 100 24,5FRUTAS PREFERIDAS 6,8% 33,2% Abacate Abacaxi Banana Mamo Melancia 30%

a) Analisando os dados do grfico, encontre a quantidade de medalhas de ouro, de prata e de bronze que os alunos dessa escola ganharam. Medalhas de ouro & 30% de 30 5 0,3 ? 30 5 5 9 medalhas. Medalhas de prata & 20% de 30 5 0,2 ? 30 5 5 6 medalhas. Medalhas de bronze & 50% de 30 5 0,5 ? 30 5 5 15 medalhas. b) Qual a medida, em graus, de cada arco indicado? 30% das medalhas so de ouro. 360 100% x 30% 10 800 100x 5 30 ? 360 V 100x 5 10 800 V x 5 _______ 5 100 5 108 20% das medalhas so de prata. 360 100% x 20% 7 200 100x 5 20 ? 360 V 100x 5 7 200 V x5 ______ 5 100 5 72 50% das medalhas so de bronze. 360 100% x 50% 18 000 100x 5 50 ? 360 V 100x 5 18 000 V x 5 _______ 5 100 5 180Pgina

72

Questes globais

1

C B Calcule o valor do ngulo A em cada caso indicado abaixo.

a)

b)

A

A 31 44

31 24 B 22 30 C 48 30 B C

10%

20%

31 24 1 22 30 53 54

31 44 1 48 30 79 74 1 1 14 80 14

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29.10.08 14:58:43


Captulo 2

2 Antonietadecoradoraerecebeuatarefadedecorar umasalanoformatoabaixo. Paraisso,elaprecisasaberasmedidasdetodosos ngulos. Meaosnguloscomumtransferidoredigaquais soagudos,obtusosouretos.C 135 D 135 154 B A 101

90 E

105 F

agudo: nenhum. Obtusos: A, B, C, D, F. Reto: E. ABcalculeAB. , 3 SendoMopontomdiode A 18 x M 16 y B___

x 2y

5 Nafiguraabaixo,asretasressoparalelas. r A Determineamedidado B 3x 4 nguloA . O 0 a 2x 4 Traamos outra reta, pab ralela a r e s, dividindo o 120 B O ngulo A em dois (a s e b). B Os ngulos a e (3x 2 4) so colaterais internos, portanto, a 1 3x 2 4 5 180 V a 5 180 2 3x 1 4 V a 5 184 2 3x. Os ngulos b e 120 so colaterais internos, portanB to, b 5 60. Desse modo, temse que A 5 a 1 b O V 2x 1 4 5 184 2 3x 1 60 V 2x 1 4 5 5 2442 3x V 2x 1 3x 5 244 2 4 V 5x 5 240 V 240 V x 5 _____ 5 48. 5 B O assim, para determinar o ngulo A , faz2se B B A 5 a 1 b V A 5 184 2 3 ? 48 1 60 V O O B B A 5 184 2 144 1 60 V A 5 40 1 60 V O O 5 100 V A B O 6 Copie a tabela abaixo em seu caderno e completea,efetuandoosclculosmentalmente.Polgono regular Soma dos ngulos internos360

Se M o ponto mdio de AB ento se tem , AM5BM. 18 2 x ___16 2 y V 2x 5 16 2 y 2 18 V x 5 y 1 2 5 Como ABmede x 1 2y, temse que x 1 2y 5 5 18 2 x 1 16 2 y. Substituindo x por y 1 2 & & y 1 2 1 2y 5 18 2 (y 1 2) 1 16 2 y V 3y 1 2 5 5 18 2 y 2 2 1 16 2 y V 3y 1 2 5 32 2 2y V 30 V 3y 1 2y 5 32 2 2 V 5y 5 30 V y 5 ___ 5 6. 5 Ento tem-se x 5 y 1 2 V x 5 6 1 2 5 8. Desse modo, AB 5 x 1 2y V V AB 5 8 1 2 ? 6 5 8 1 12 5 20.B 4 Nafiguraabaixo, bissetrizdeA .Calcule OP O C B . O

___

ngulo externo90

ngulo interno90

540

72

108

720

60

120

___

B

x 6 4x 3y y 1 C 0B A , O P A O

P

B ento 5 P . assim, O Se OP bissetriz de x 1 6 5 y 1 1 V x 5 y 1 1 2 6 V

___

A

V x5 y 2 5. C O ngulo A mede 180. assim, O

7 Numafestahavia18pessoas,ecadaumacumprimentouasdemaisumanicavez,comapenasumaperto demo.Quantosapertosdemoforamdados? Considerando um polgono de 18 lados, em que cada vrtice representa uma pessoa da festa, cada aperto de mo corresponde a um lado ou uma diagonal desse polgono. Dessa forma, o nmero total de apertos de mo corresponde soma do nmero de lados com o nmero de diagonais do polgono de 18 lados. n(n 2 3) 18 ? 15 O nmero de diagonais _________ 5 ______ 5 135. 2 2 Logo o nmero de apertos de mo 135 1 18 5 153. 8 Umpolgonoregulartemsomadosngulosinternosiguala1800.Calculeamedidadeumngulo externodessepolgono. Determinase o nmero de lados desse polgono. Si 5 (n 2 2) ? 180 V 1 800 5 (n 2 2) ? 180 V 1 800 V ______ 5 n 2 2 V 10 5 n 2 2 V n 5 12 180 Determinase a medida do ngulo externo. 360 360 ae5 _____5 _____ 5 30. n 12

4x 1 3y 1 x 1 6 1 y 1 1 5 180 V

V 5x 1 4y 1 7 5 180. Substituindo x por y 2 5 & & 5 ? (y 2 5) 1 4y 5 173 V 198 V 5y 2 25 1 4y 5 173 V 9y 5 198 V y 5 _____ 5 9 5 22.

x 5 y 2 5 V x 5 22 2 5 V x 5 17. Desse modo, C tem-se B 5 4 ? 17 1 3 ? 22 V O 5 68 1 66 V B 5 134. C O O V B C

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Captulo 2

9 Um programa de computador tem como objetivofazerumbichinhodeslocarsenatela.Acada 2cmquesedesloca,obichinhodevegirar15para adireita(vejafigura).Seobichinhopartedoponto A, quantos centmetros ele percorrer at retornaraopontodepartida?

a) Quantos pentgonos faltam para Joana fechar um colar feito de pentgonos regulares e congruentes,comomostraafiguraabaixo?

15

C 15

2 cm

B 2 cm

A

Para fechar o colar, Joana forma um polgono com os lados do pentgono, sendo que o ngulo interno desse polgono igual a 360 menos o dobro do ngulo interno do pentgono, ou 360 2 2 ? 108 5 5 360 2 216 5 144. O ngulo externo desse polgono mede 36. assim, 360 seu nmero de lados ser ae 5 _____ 5 10 lados. 36 Como Joana j utilizou 3 pentgonos, faltam, ainda, 7 pentgonos. b) Qualamenorquantidadepossveldehexgonos queJoanautilizarparafecharumcolarmontadocommetadesdehexgonosregularesdivididoscomomostraafiguraabaixo?

Para retornar ao ponto de partida, o bichinho deve percorrer o permetro de um polgono cujo ngulo externo mede 15. Determinase o nmero de lados desse polgono. 360 360 ae 5 _____V 15 5 _____V 15n 5 360 V n n 360 V n 5 _____ 5 24 lados. 15 Como cada lado do polgono mede 2 cm, o bichinho vai percorrer no total 48 cm. 10 Copieospontosnocaderno,deacordocomadisposioindicadaabaixo.Depoisindique,paracada item,quantospolgonosdetrslados,comvrticesnessespontos,vocconsegueconstruir. a) 4 polgonos. b)

Para fechar o colar, Joana forma um polgono com os lados do hexgono, sendo que o ngulo interno desse polgono igual a 360 menos o dobro do ngulo interno do hexgono, ou 360 2 2 ? 120 5 360 2 240 5 120. assim, como 120 o ngulo interno de um hexgono regular, o polgono formado por Joana um novo hexgono, de modo que so necessrias 6 peas para fechlo. Como cada pea consiste de um hexgono dividido ao meio, ela precisa de um mnimo de 3 hexgonos, que cortados ao meio produziro 6 peas. 12 AfiguraabaixomostrapartedeumpolgonoregularABCDE...,ondeasretasressoperpendi___ ___ cularesaoslados e AB CDCalculeonmerode . diagonaisdessepolgono.r B A C D s

60 0

18 polgonos.Pgina

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Questes globais

11 Joana faz bijuterias com peas com formato geomtrico. Calcule o material necessrio para ela finalizaraspeasaseguir.

Chamando os ngulos internos do polgono de x, a soma dos ngulos internos do pentgono na figura x 1 x 1 90 1 90 1 60 5 540 V 2x 1 240 5 540 V 300 V 2x 5 540 2 240 V 2x 5 300 V x 5 _____ 5 2 5 150. Se o ngulo interno do polgono mede 150, seu ngulo externo mede 30. assim, o nmero

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Captulo 2

360 de lados desse polgono ser: ae 5 _____ V 30 5 n 360 360 _____V 30n 5 360 V n 5 _____ 5 12 5 n 30 Determinando o nmero de diagonais: 12 ? (12 2 3) 12 ? 9 108 D 5 ___________ 5 _____5 ____ 5 54 2 2 2 13 Umpolgonoconvexotemamaisqueoutro12ladose222diagonais.Quantosladostmessespolgonos? Se um dos polgonos tem n lados, o outro ter (n 1 12) lados. assim, o nmero de diagonais ser n ? (n 2 3) n2 2 3n para n lados & __________ 5 _______ 2 2 para (n 1 12) lados & (n 1 12) ? (n 1 9) n2 1 21n 1 108 ________________ 5 ______________ 2 2 a diferena entre eles ser n2 1 21n 1 108 n2 2 3n ______________ 2 _______ 222 V 5 2 2 n2 1 21n 1 108 2 (n2 2 3n) 444 V _________________________ 5 ____ V 2 2 V n2 1 21n 1 108 2 n2 1 3n 5 444 V V 24n 1 108 5 444 V 24n 5 444 2 108 V 336 V 24n 5 336 V n 5 ____ 5 14 24 Logo, um polgono tem 14 lados, e o outro, 26 lados. 14 Julianadecoracamisetas.Elagostadeutilizarpolgonosregularesemseustrabalhos.Emalgumas camisetas,eladesenhaasfigurasenasdiagonais cola fitas de tecido decoradas. Por causa disso, o preo da decorao dessas camisetas varia de acordocomopolgonoregulardesenhado. a)Sabendo que cada diagonal decorada com fita || custaRS 0,35,copieatabelanocadernoecomplete-a,indicandoocustodadecoraodascamisetasdeacordocomopolgonodesenhado. Calculase primeiramente o nmero de diagonais. || Em seguida multiplica-se esse nmero por RS 0,35 para obter o custo. n(n 2 3) 4 ? 1 Quadrado & D 5 _________ 5 ____ 5 2 2 2 Custo 5 2 ? RS 0,35 5 RS 0,70 | | | | n(n 2 3) _____ 5 _________5 ? 2 Pentgono regular & D5 55 2 2 Custo 5 5 ? RS 0,35 5 RS 1,75 | | | | n(n 2 3) 6 ? 3 Hexgono regular & D 5 _________ 5 _____ 5 9 2 2

Custo 5 9 ? RS 0,35 5 RS 3,15 | | | | n(n 2 3) 7 ? 4 Heptgono regular & D 5 _________ 5 _____ 5 14 2 2 Custo 5 14 ? RS 0,35 5 RS 4,90 | | | | n(n 2 3) 8 ? 5 Octgono regular & D 5 _________ 5 _____ 5 20 2 2 Custo 5 20 ? RS 0,35 5 RS 7,00 | | | | n(n 2 3) 9 ? 6 _________ 5 _____ 5 27 Enegono regular & D 5 2 2 Custo 5 27 ? RS 0,35 5 RS 9,45 | | | | n(n 2 3) 10 ? 7 Decgono regular & D 5 _________ 5 _____ 5 35 2 2 Custo 5 35 ? RS 0,35 5 RS 12,25 | | | | n(n 2 3) 11 ? 8 Undecgono regular & D 5 _________ 5 _____ 5 44 2 2 Custo 5 44 ? RS 0,35 5 RS 15,40 | | | | n(n 2 3) 12 ? 9 Dodecgono regular & D 5 _________ 5 _____ 5 54 2 2 Custo 5 54 ? RS 0,35 5 RS 18,90 | | | |Custo da decorao|| RS 0,70 || RS 1,75 || RS 3,15 || RS 4,90 || RS 7,00 || RS 9,45 || RS 12,25 || RS 15,40 || RS 18,90

Nome do polgonoquadrado pentgonoregular hexgonoregular heptgonoregular octgonoregular enegonoregular decgonoregular undecgonoregular dodecgonoregular

b) Juliana compra uma cami|| seta por RS 15,00 e deseja revend-la,apsfazeradecorao,demodoqueovalorob|| tidocomavendasejaRS 5,00 maior que o valor do custo totaldacamiseta.Qualdeve seropreodevendadacamisetailustrada? Como a camiseta contm um pentgono regular, o custo da decorao RS 1,75. | | Portanto, o custo total da camiseta decorada RS 15,00 1 RS 1,75 5 RS 16,75. | | | | | | Se ela quer revender a camiseta por um preo que RS 5,00 maior do que o custo, esse preo de venda | | RS 16,75 1 RS 5,00 5 RS 21,75. | | | | | |

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Solucionario VJ a 8 Capitulo 2