Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Engenharia Meca^nicaDepartamento de Meca^nica Computacional

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NOTAS DE AULA

INTRODUC ~AO AO METODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

CAMPINAS/SPBRASIL

AGOSTO - 1997

Sumario

1 Introduc~ao 11.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Breve historico do Metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Organizac~ao do Curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Elementos Finitos na Analise Estrutural 82.1 Noc~oes Basicas do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . 82.2 Metodo direto para obtenc~ao das Matrizes do Sistema . . . . . 14

2.2.1 Matriz e Rigidez de uma Barra . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Matriz de condutibilidade unidimensional . . . . . . . . 162.2.3 Matriz de um Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Tecnicas de Montagem do sistema Global Metodo dos deslo-camentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Aplicac~ao - Analise Estatica de uma Trelica Plana. . . . . . . 23

3 Metodos de Resduos Ponderados 293.1 Notac~ao e Denic~oes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Tipos de equac~oes da fsica matematica. . . . . . . . . . . . . 333.3 Problema de Valor de Contorno - Denic~oes . . . . . . . . . . 363.4 Metodos de Resduos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1 Escolha de uma seque^ncia de Func~oes Admissveis . . . 403.4.2 Montagem da Func~ao Resduo . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3 Escolha de uma seque^ncia de Func~oes Ponderadoras . . 423.4.4 Montagem de n Resduos Ponderados . . . . . . . . . . 42

3.5 Classicac~ao e tipos de Metodos de Resduos Ponderados . . . 443.5.1 Metodo da Colocac~ao Pontual . . . . . . . . . . . . . . 453.5.2 Metodo da Colocac~ao em Subdomnios . . . . . . . . . 463.5.3 Metodo dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.4 Metodo dos Mnimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . 483.5.5 Metodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6 Aplicac~oes dos Metodos de Resduos Ponderados . . . . . . . . 49

i

3.6.1 Denic~ao do Resduo e Escolha das Func~oes Admissveis51

3.6.2 Func~oes Ponderadoras - Colocac~ao por Pontos. . . . . . 533.6.3 Func~oes Ponderadoras - Metodo de Galerkin. . . . . . . 563.6.4 Func~oes Ponderadoras - Metodo dos Mnimos Quadrados. 593.6.5 Comparac~ao do s Resultados . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Forma Fraca do Metodo de Resduos Ponderados 634.1 Formulac~ao Fraca do MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1 Problema Unidimensional - Forma Forte . . . . . . . . 634.1.2 Problema Unidimensional - Forma Fraca . . . . . . . . 664.1.3 Forma Fraca ??Abstrata?? . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.4 Exemplo:Vibrac~ao de uma Barra . . . . . . . . . . . . 724.1.5 Exemplo: Placa Fina com Gerac ao interna de Calor . 72

5 Aproximac~ao por Elementos Finitos. 735.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Tecnicas de Aproximac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1 Aproximac~ao Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Denic~ao da geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.1 Utilizando Elemento de Refere^ncia (Isoparametrico) . . 825.4 Aproximac~ao no Elemento de Refere^ncia. Espacos Isoparametricos 875.5 Construc~ao das Func~oes N() e N() . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Exemplo - Problema de "a denir ". . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Aproximac~oes polinomiais de alta ordem 103

7 Aplicac~oes em estruturas unidimensionais 1047.1 Elementos Finitos para estruturas Unidimensionais de

Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Introduc~ao e Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2.1 Formulac~ao das Equac~oes Diferenciais que Governamo Problema de Equilbrio Estatico . . . . . . . . . . . . 105

7.2.2 Construc~ao das Formas Integrais do Problema atravesdo Metodo dos Resduos Ponderados do Tipo Galerkine Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . 105

7.2.3 Obtenc~ao das Matrizes Globais para Elementos Estru-turais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3 Modelagem do Elemento de Barra Submetida a Forcas Axiais 1077.4 Obtenc~ao da Equac~ao Diferencial do Elemento . . . . . . . . . 107

7.4.1 Modelo Geometrico para a Barra . . . . . . . . . . . . 107

ii

7.4.2 Modelo de Material, Escolha da Lei Constitutiva . . . . 1087.4.3 Equac~oes de Equilbrio da Barra . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 Condic~oes de Contorno para o Caso da Barra . . . . . . . . . 1107.6 Resumo das Equac~oes da Barra em Movimentos Axiais . . . . 1117.7 Obtenc~ao da Equac~ao Matricial para o Elemento de Barra . . 111

7.7.1 Aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados . . . . 1117.7.2 Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . 1137.7.3 Matriz de Rigidez e Vetor de Forca Nodal Equivalente

para o Elemento Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.8 Elementos Finitos para estruturas Unidimensionais de

Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.9 Obtenc~ao da Equac~ao Diferencial do Elemento . . . . . . . . . 117

7.9.1 Modelo Geometrico para a Viga . . . . . . . . . . . . . 1177.9.2 Modelo de Material, Escolha da Lei Constitutiva . . . . 1207.9.3 Equac~oes de Equilbrio da Viga . . . . . . . . . . . . . 121

7.10 Condic~oes de Contorno para a Viga . . . . . . . . . . . . . . . 1277.11 Resumo das Equac~oes da Viga em Flex~ao . . . . . . . . . . . . 1287.12 Obtenc~ao da Equac~ao Matricial para o Elemento de Viga . . . 128

7.12.1 Aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados . . . . 1287.12.2 Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . 130

7.13 Elementos Finitos para estruturas Unidimensionais emTorc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.14 Obtenc~ao da Equac~ao Diferencial do Elemento . . . . . . . . . 1357.14.1 Modelo Geometrico para a Barra em Torc~ao . . . . . . 1357.14.2 Modelo de Material, Escolha da Lei constitutiva . . . . 1387.14.3 Equac~oes de Equilbrio da Barra . . . . . . . . . . . . . 139

7.15 Condic~oes de Contorno para a Barra . . . . . . . . . . . . . . 1407.16 Resumo das Equac~oes da Barra em Movimentos Axiais . . . . 1417.17 Obtenc~ao da Equac~ao Matricial para o Elemento de Barra em

Torc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.17.1 Aplicac~ao do Metodo dos Resduos Ponderados . . . . 1417.17.2 Aplicac~ao do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . 1427.17.3 Matriz de Rigidez e Vetor de Forca Nodal Equivalente

para o Elemento de Barra em Torc~ao . . . . . . . . . . 1447.18 Elementos Finitos para estruturas Reticuladas . . . . . 1467.19 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.20 Obtenc~ao da Matriz de Rigidez Global para o Elemento de

uma Trelica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.21 Obtenc~ao da Matriz de Rigidez Global para o Elemento de um

Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.22 Pos-processamento para Elementos de Trelica . . . . . . . . . 156

iii

7.23 Pos-processamento para Elementos de Portico . . . . . . . . . 157

8 Aplicac~oes em problemas de campo-Integrac~ao numerica 159

9 Aplicac~oes em Elasticidade Plana 1609.1 Denic~ao de Estado Plano de Tens~ao . . . . . . . . . . . . . . 1609.2 ESTADO PLANO DE TENS~AO . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.2.1 Equac~oes de Equilbrio em termos de tens~ao . . . . . . 1629.2.2 Relac~oes de deformac~ao-deslocamento . . . . . . . . . . 1629.2.3 Equac~oes Constitutivas do material (Lei de Hooke gen-

eralizada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2.4 Condic~oes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.2.5 Resumo das Equac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.3 Metodo dos Resduos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.4 Resduos Ponderados a partir de PD . . . . . . . . . . . . . . 1699.5 Escolha da Func~ao Teste - Metodo de Galerkin . . . . . . . . . 1739.6 Discretizac~ao do Problema - Elementos Triangulares Lineares . 1749.7 Aproximac~ao por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.7.1 Utilizando Coordenadas de Area . . . . . . . . . . . . . 176

10 Formulac~ao via princpios variacionais 182

11 Elementos Finitos em Dina^mica e Vibrac~oes 183

iv

Lista de Figuras

1.1 Esquema de um modelo generico de Elementos Finitos . . . . 21.2 Modelo de Elementos Finitos para uma estrutura Reticulada . 31.3 Evoluc~ao estimada do numero de publicac~oes em Elementos

Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Barra de sec~ao Variavel, discretizac~ao. . . . . . . . . . . . . . 92.2 Malha de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Elemento Finito - Referencial Local . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Principais Etapas do MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Elemento Finito de Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Elemento Finito de Conduc~ao de Calor . . . . . . . . . . . . . 172.7 Elemento Finito de um Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 Malha tpica de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 Trelica Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Trelica Plana - Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11 Condic~oes de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12 Deslocamentos e tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Representac~ao do Domnio e do Contorno. . . . . . . . . . . . 303.2 Problema de Transmiss~ao de Calor, Domnio e Contorno. . . . 373.3 Problema de Flex~ao de Vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Func~ao Resduo calculada pelo Metodo da Colocac~ao Pontual. 453.5 FunD elta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Modelo de Barra Engastada-Livre . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7 Primeiro Modo vibrac~ao de uma Barra Engastada-Livre . . . . 543.8 Modos de vibrac~ao do Problema PB1 . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Aproximac~ao polinomial convencional-Aproximac~ao quadratica 765.2 Func~ao de interpolac~ao N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Aproximac~ao linear por Elementos Finitos - 4 Elemetos . . . . 835.4 Exemplo de uma transformac~ao entre elemento de refere^ncia

e elemento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

v

5.5 Descric~ao da transformac~ao entre espaco real e espaco de re-fere^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6 Elemento triangular linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.7 Elemento triangular quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1 Barra submetida a Trac~ao / Compress~ao . . . . . . . . . . . . 1077.2 Barra em corte - Equilbrio entre tens~oes internas e Forcas

externas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Barra sujeita a carga distribuda . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4 Suporte Geometrico do Elemento de Barra Submetida a Forcas

Axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5 Viga submetida a flex~ao pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.6 Vista lateral da viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.7 Viga fletida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8 Superfcie neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.9 Deformac~ao de uma bra generica . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.10 Viga fletida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.11 Vista aumentada de ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.12 Viga submetida a carregamento externo . . . . . . . . . . . . . 1267.13 Forcas atuantes em elemento dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.14 Suporte Geometrico de um Elemento de Viga . . . . . . . . . 1317.15 Barra submetida a momentos torcores . . . . . . . . . . . . . . 1367.16 Elementos consecutivos de uma barra torcida . . . . . . . . . . 1367.17 Representac~ao de linhas radiais de elementos deformados . . . 1377.18 Elemento generico deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.19 Elemento de barra submetida a torque distrbudo . . . . . . . 1407.20 Modelo Geometrico para Barra em Torc~ao . . . . . . . . . . . 1437.21 Representac~ao dos Sistemas de Refere^ncia Global e Local . . . 1477.22 Representac~ao Generica de Elemento de Trelica Espacial . . . 1497.23 Congurac~ao de Esforcos para Elemento de Portico Plano . . 1517.24 Congurac~ao de Esforcos para Elemento de Portico Espacial . 1537.25 Representac~ao do Ponto de Refere^ncia . . . . . . . . . . . . . 154

9.1 Modelo Fsico para problemas de Estado Plano de Tens~oes . . 1619.2 Modelo Geometrico e Condic~oes de Contorno . . . . . . . . . . 1659.3 Discretizac~ao de um domnio generico . . . . . . . . . . . . . . 1749.4 Caracterizac~ao do elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.5 Sistema de Coordenadas de Area (L1, L2, L3) . . . . . . . . . 177

vi

Lista de Tabelas

2.1 Incide^ncia Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Material 1 - Carbon Steel - SI - Type ISOTROPIC . . . . . . 252.3 Property 1 - trelica - Type ROD . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Freque^ncias da Barra - Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Freque^ncias da Barra Engastada-Livre . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Valores de temperaturas conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Valores conhecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

vii