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Sub-an¶eis, ideais e an¶eis quocientes

3.1 Sub-an¶eis e ideais

De¯ni»c~ao 3.1.1 (Sub-anel de um anel) Seja (A;+; ¢) um anel e seja B um subcon-junto n~ao vazio de A.

Dizemos que B ¶e um sub-anel de A se

1. B ¶e fechado nas opera»c~oes + e ¢ de A, ou seja

8a; b 2 B; tem-se a+ b 2 B e a ¢ b 2 B

2. A estrutura alg¶ebrica (B;+; ¢), em que + e ¢ s~ao as restri»c~oes das opera»c~oes deA ao subconjunto B, ¶e um anel.

Proposi»c~ao 3.1.1 Sejam A um anel e B um subconjunto n~ao vazio de A. Ent~ao B ¶esub-anel de A se e somente se

8a; b 2 B; tem-se a¡ b 2 B e a ¢ b 2 B

Demonstra»c~ao..

(Se) ou (() Suponhamos que 8a; b 2 B; tem-se a¡ b 2 B e a ¢ b 2 B.

Temos ent~ao que, 8a; b 2 B,

(i) b¡ b 2 B, logo 0 2 B;

(ii) 0¡ b 2 B (pois 0 2 B e b 2 B), logo ¡b 2 B;

(iii) a¡ (¡b) 2 B (pois a 2 B e ¡b 2 B, logo a+ b 2 B.

Assim, B ¶e fechado na opera»c~ao + do anel A, e podemos portanto restringirtal opera»c~ao ao conjunto B. Como a adi»c~ao de A ¶e associativa e comutativa,sua restri»c~ao a B mant¶em estas propriedades. Pelos propriedades veri¯cadas nos

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itens (i) e (ii) acima, temos ent~ao que a estrutura alg¶ebrica (B;+) ¶e um grupoabeliano.

Por hip¶otese, a opera»c~ao multiplica»c~ao de A pode ser restringida ao conjunto B,e como a multiplica»c~ao de A ¶e associativa e tamb¶em distributiva em rela»c~ao µaadi»c~ao, sua restri»c~ao a B mant¶em estas propriedades.

Assim sendo, temos que a estrutura (B;+; ¢) ¶e um anel, e portanto B ¶e umsub-anel de A.

(Somente se) ou ()) Sendo B um sub-anel de A, temos que 8a; b 2 B, temostamb¶em ¡b 2 B, logo a¡ b = a+ (¡b) 2 B e a ¢ b 2 B.

Exemplo 3.1.1 Consideremos o anel A = M(2;R) das matrizes quadradas 2 £ 2 den¶umeros reais, e seja B o sub-conjunto de A constitu¶³do de todas as matrizes da formaµ

a b¡b a

¶

.

Sendo X =

µ

a b¡b a

¶

e Y =

µ

c d¡d c

¶

dois elementos de B (a; b; c e d todos

reais), temos

X ¡ Y =

µ

a¡ c b¡ d¡(b¡ d) a¡ c

¶

;

X ¢ Y =

µ

ac¡ bd ad+ bc¡(ad+ bc) ac¡ bd

¶

Logo, X ¡ Y e XY tem o formato das matrizes de B. Pela proposi»c~ao 3.1.1, B ¶e umsub-anel do anel M(2;R).

Exemplo 3.1.2 (A unidade de um sub-anel pode n~ao ser a do anel) Considereo anel Z12 e seu subconjunto B = f0; 3; 6; 9g. ¶E f¶acil veri¯car que para cada x 2 B ecada y 2 B, tem-se x¡ y 2 B e xy 2 B. Assim, B ¶e um sub-anel de Z12.

Agora note que 9 ¢3 = 3, 9 ¢6 = 6 e 9 ¢9 = 9. Portanto, denotando 1B = 9, temos1B ¢ x = x, 8x 2 B. Como ¢ ¶e comutativa, temos que 1B = 9 ¶e elemento unidade daopera»c~ao multiplica»c~ao em B.

Assim, B ¶e sub-anel (comutativo) com unidade, muito embora seu elementounidade n~ao seja a unidade do anel Z12, que ¶e a classe 1.

De¯ni»c~ao 3.1.2 (Ideal de um anel) Sejam A um anel e I ½ A um sub-conjunto n~aovazio. Dizemos que I ¶e um ideal do anel A se

1. I ¶e um sub-anel de A;

2. Para cada a 2 A, e para cada x 2 I, tem-se a ¢ x 2 I e x ¢ a 2 I.

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Observa»c~ao 3.1.1 Sendo A um anel e I um sub-conjunto n~ao vazio de A, combinandoo resultado da proposi»c~ao 3.1.1 e a de¯ni»c~ao de ideal, ¶e f¶acil concluir que:

I ¶e um ideal de A se e somente se

8x; y 2 I;8a 2 A; tem-se x¡ y 2 I; xa 2 I e ax 2 I

A prova desta observa»c~ao ¶e deixada como exerc¶³cio para o leitor

Exemplo 3.1.3 (Nem todo sub-anel ¶e um ideal) Considere o anel (corpo) Q dosn¶umeros racionais e seu sub-anel Z dos n¶umeros inteiros. Conven»ca-se primeiramenteque Z ¶e sub-anel de Q.

Agora note que 1 2 Z, 122 Q, mas 1

2¢ 1 = 1

262 Z. Assim, Z n~ao ¶e ideal de Q.

Exemplo 3.1.4 Considere o anel Z dos n¶umeros inteiros e seja I o conjunto dosm¶ultiplos de 5 em Z:

I = f5n j n 2 Zg

Dados x; y 2 I, x = 5r e y = 5s para certos r; s 2 Z. Temos ent~ao x ¡ y =5r¡5s = 5(r¡s) 2 I. Al¶em disso, se a ¶e um inteiro qualquer, ax = a(5r) = 5(ar) 2 I,e xa = (5r)a = 5(ra) 2 I.

Logo, pela observa»c~ao 3.1.1, I ¶e um ideal de Z.

3.1.1 Ideais gerados por subconjuntos ¯nitos. Ideais principais

Proposi»c~ao 3.1.2 Sejam A um anel comutativo e S = fa1; : : : ; ang um subconjuntode A.

O conjunto, denotado por (S) (ou por (a1; : : : ; an)), de¯nido por

(S) = fx1a1 + : : :+ xnan j x1; : : : ; xn 2 Ag;

¶e um ideal de A.

Demonstra»c~ao.. Seja (S) = fx1a1 + : : :+ xnan jx1; : : : ; xn 2 Ag.

Sendo ® = x1a1+: : :+xnan e ¯ = y1a1+: : :+ynan, com x1; : : : ; xn; y1; : : : ; yn 2A, temos:

®¡ ¯ = (x1 ¡ y1)a1 + : : :+ (xn ¡ yn)an 2 (S)

e, para cada r 2 A,

r® = r(x1a1 + : : :+ xnan) = (rx1)a1 + : : :+ (rxn)an 2 (S);

®r = (x1a1+ : : :+ xnan)r = (x1a1)r+ : : :+(xnan)r = (rx1)a1+ : : :+(rxn)an 2 (S)

(combinando as propriedades comutativa e associativa de ¢ de A).

Pela observa»c~ao 3.1.1, (S) ¶e ideal do anel A.

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De¯ni»c~ao 3.1.3 Sejam A um anel comutativo e S um subconjunto de A. O ideal(S) = fx1a1 + : : : + xnan j x1; : : : ; xn 2 Ag ¶e chamado ideal gerado pelo conjunto S.Os elementos a1; : : : ; an s~ao chamados geradores do ideal (S).

No caso que (S) tem um ¶unico elemento a, o ideal (S) = (a) = fxa jx 2 Ag ¶echamado ideal principal gerado por a

De¯ni»c~ao 3.1.4 Um anel A ¶e chamado um anel principal ou dom¶³nio de ideaisprincipais se A ¶e um anel de integridade (tamb¶em chamado de dom¶³nio) e se todoideal I de A ¶e um ideal principal.

De¯ni»c~ao 3.1.5 Um anel A ¶e chamado um anel euclidiano ou um dom¶³nio eu-clidiano se A ¶e um anel de integridade comutativo e se existe uma fun»c~ao ±:A ! N

satisfazendo:

8a; b 2 A; b6= 0; existem q; r 2 A satisfazendo a = bq + r e ±(r) < ±(b)

Exemplo 3.1.5 Como exemplos de an¶eis euclidianos temos os seguintes

1. O anel Z dos n¶umeros inteiros, tomando-se ±(x) = jxj, para cada x 2 Z. Peloteorema do algoritmo da divis~ao em Z, para cada par de inteiros a e b, com b6= 0,existem inteiros q e r satisfazendo a = bq + r e 0 · r < jbj, logo jrj < jbj, ouseja, ±(r) < ±(b).

2. O anel K[x] dos polinomios sobre um corpo K, na indeterminada x. Para cadap(x) 2 K[x], de¯nimos ±(p(x)) = 2 grau (p(x)), de¯nindo-se 2¡1 = 0. Dados doispolinomios f(x); g(x) 2 K[x], com g(x)6= 0, pelo teorema do algoritmo da divis~aoem K[x], existem polinomios q(x); r(x) 2 K[x] satisfazendo f(x) = g(x)q(x) +r(x) e grau (r(x)) < grau(g(x)), logo ±(r(x)) = 2 grau (r(x)) < 2 grau (g(x)) =±(g(x)).

3. Todo corpo K ¶e um anel euclidiano, de¯nido-se ±(0) = 0 e ±(a) = 1, se a 2 K ea6= 0. Dados a; b 2 K, com b6= 0, podemos escrever a = b(b¡1a) + 0. Assima = bq + r, sendo q = b¡1a e r = 0, tendo-se portanto ±(r) = ±(0) = 0 < 1 =±(b).

Proposi»c~ao 3.1.3 Todo anel euclidiano ¶e um anel principal, ou seja, se A ¶e um aneleuclidiano ent~ao todo ideal de A ¶e um ideal principal.

Demonstra»c~ao.. Seja A um anel euclidiano e seja ±:A ! N a fun»c~ao que d¶a a pro-priedade euclidiana a A.

Seja I ½ A um ideal de A. Se I = f0g ent~ao I = (0) e portanto ¶e um idealprincipal.

Se I6= f0g, consideremos o conjunto de n¶umeros naturais

D = f±(x) j x 2 A; x6= 0g

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Pelo princ¶³pio do menor inteiro, D tem um menor n¶umero natural, e a ele corres-ponde um elemento c 2 A com a propriedade, ±(c) · ±(x), 8x 2 A; x6= 0.

Mostramos que I = (c) = fcx jx 2 Ag, ou seja, que c ¶e o gerador do ideal I.

De fato, para cada elemento a 2 I, se a = 0 ent~ao a = c ¢ 0 2 (c). Se a6= 0,ent~ao existem elementos q e r em A satisfazendo a = cq + r e ±(r) < ±(c).

Como ±(c) · ±(x) para todo x 2 A, x6= 0, temos que r = 0 (se r6= 0, temos aseguinte contradi»c~ao: ±(r) < ±(c) e ±(c) · ±(r)).

Logo, a = cq 2 (c).

Portanto I = (c).

Exemplo 3.1.6 (Ideais em Z, ideais num corpo K, ideais em K[x])Pela proposi»c~ao 3.1.3 e observa»c~ao precedente, o anel Z ¶e um anel principal. Assim todoideal I de Z ¶e da forma

I = (m) = fkm j k 2 Zg

para algum inteiro m, e denotamos tamb¶em I = mZ.

Se K ¶e um corpo, o anel de polinomios K[x] ¶e euclidiano, logo ¶e um anel principal.Assim, todo ideal de J de K[x] ¶e da forma

J = fp(x)q(x) j q(x) 2 K[x]g

para algum polinomio p(x) 2 K[x], e denotaremos tamb¶em J = (p(x)) = p(x)K[x].

3.2 O anel quociente de um anel por um ideal

3.2.1 O conjunto quociente de um anel por um ideal

Sejam A um anel e I um ideal de A.

De¯ne-se em A a congruencia m¶odulo I como sendo a rela»c~ao em A dada por

8a; b 2 A; a ´ b (mod I), a¡ b 2 I

(\a ´ b (mod I)" le-se \a ¶e congruente a b, m¶odulo I")

Proposi»c~ao 3.2.1 A rela»c~ao de congruencia m¶odulo I ¶e uma rela»c~ao de equivalenciaem A, ou seja: 8a; b; c 2 A,

1. a ´ a (mod I) (a rela»c~ao ¶e re°exiva);

2. se a ´ b (mod I) ent~ao b ´ a (mod I) (a rela»c~ao ¶e sim¶etrica);

3. se a ´ b (mod I) e b ´ c (mod I) ent~ao a ´ c (mod I) (a rela»c~ao ¶e transitiva)

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Demonstra»c~ao.. 8a; b; c 2 A, como I ¶e um sub-anel de A,

1. a¡ a = 0 2 I, logo a ´ a (mod I).

2. se a ´ b (mod I) ent~ao a ¡ b 2 I. Logo, ¡(a ¡ b) = b ¡ a 2 I, e portantob ´ a (mod I).

3. se a ´ b (mod I) e b ´ c (mod I) ent~ao, a ¡ b 2 I e b ¡ c 2 I. Logo,(a¡ b) + (b¡ c) = a¡ c 2 I e portanto a ´ c (mod I).

De¯ni»c~ao 3.2.1 (Classes laterais do ideal I em A) Sejam A um anel e I um idealde A. Para cada a 2 A, a classe de equivalencia de A, com respeito µa rela»c~ao decongruencia m¶odulo I, ¶e chamada classe lateral de I, determinada por a.

Tal classe de equivalencia ¶e o conjunto

a = fx 2 A j x ´ a (mod I)g

Notemos agora que, 8x 2 A,

x 2 a , x ´ a (mod I)

, x¡ a 2 I

, x¡ a = r para algum r 2 I

, x = a+ r para algum r 2 I

Portanto, a = fa + r j r 2 Ig. Denotando a + I = fa+ r j r 2 Ig, acabamos de verque a classe lateral do ideal I, determinada por um elemento a do anel A, ¶e dada por

a = a+ I = fa+ r j r 2 Ig

De¯ni»c~ao 3.2.2 (Conjunto quociente do anel A pelo ideal I) Sendo A umanel e I um ideal de A, o conjunto das classes laterais a + I, com a 2 A, ¶e chamadoconjunto quociente do anel A pelo ideal I, e ¶e denotado por A=I. Simbolica-mente

A=I = fa+ I j a 2 Ag

3.2.2 Estrutura de anel em A=I, sendo I um ideal do anel A

Sejam A um anel e I um ideal de A. No conjunto quociente A=I, de¯niremos duasopera»c~oes, tamb¶em denotadas por + e ¢, ambas \induzidas" pelas opera»c~oes de A, asquais dar~ao uma estrutura de anel a A=I. Antes por¶em estabeleceremos a

Proposi»c~ao 3.2.2 (Igualdade de classes laterais) Sejam A um anel, I um ideal deA,e x e y elementos de A. Ent~ao

x+ I = y + I , x¡ y 2 I

(em particular, x 2 I , x+ I = I)

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Demonstra»c~ao..

(Se) Suponhamos x¡ y 2 I. Ent~ao x¡ y = r, para algum r 2 I. Mostraremos ent~aoque x+ I ½ y + I e que y + I ½ x+ I.

Para cada a 2 A, a 2 x+I, temos a = x+s, para algum s 2 I. Como x¡y = r,temos ent~ao a = (y + r) + s = y + (r + s) 2 y + I, j¶a que r + s 2 I. Portantoa 2 x+ I ) a 2 y + I. Logo, x+ I ½ y + I

Analogamente, prova-se que y + I ½ x+ I.

(Somente se) Suponhamos que x+ I = y + I. Tome um elemento x + r 2 x + I.Ent~ao x+r 2 y+I. Da¶³, existe s 2 I, tal que x+r = y+s. Logo x¡y = s¡r 2 I.

De¯ni»c~ao 3.2.3 (Adi»c~ao e multiplica»c~ao em A=I) Sejam A um anel, I umideal de A e A=I o conjunto quociente de A por I.

De¯nem-se em A=I as opera»c~oes + e ¢, dadas por: 8x; y 2 A

1. (x+ I) + (y + I) = (x+ y) + I

2. (x+ I) ¢ (y + I) = (xy) + I (tamb¶em denotamos (xy) + I = xy + I)

Teorema 3.2.1 A adi»c~ao e a multiplica»c~ao de duas classes x+ I e y+ I em A=I, n~aodepende dos representantes x e y dessas classes, ou seja, se x+I = x0+I e y+I = y0+Ient~ao (x+ y) + I = (x0 + y0) + I e xy + I = x0y0 + I. (Este fato ¶e tamb¶em enunciadodizendo-se que a adi»c~ao e a multiplica»c~ao em A=I s~ao bem-de¯nidas)

Demonstra»c~ao.. A prova deste teorema ¶e essencialmente conseqÄuencia do seguinte

Lema 3.2.1 Sejam A um anel e I um ideal de A. A rela»c~ao de congruencia m¶odulo I¶e compat¶³vel com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao em A, ou seja,

8x; x0; y; y0 2 A, se x ´ x0 (mod I) e y ´ y0 (mod I), ent~ao x+ y ´ x0 + y0 (mod I)e xy ´ x0y0 (mod I).

Demonstra»c~ao.. Sendo x; y; x0; y0 2 A, se x ´ x0 (mod I) e y ´ y0 (mod I), ent~aox¡ x0 2 I e y ¡ y0 2 I.

Da¶³, como I ¶e ideal de A, temos:

1. (x¡x0)+(y¡y0) 2 I ) (x+y)¡ (x0+y0) 2 I ) (x+y)+ I = (x0+y0)+ I )x+ y ´ x0 + y0 (mod I)

2. (x¡ x0)y 2 I e x0(y ¡ y0) 2 I ) xy ¡ x0y 2 I e x0y ¡ x0y0 2 I ) (xy ¡ x0y) +(x0y ¡ x0y0) 2 I ) xy ¡ x0y0 2 I, logo xy ´ x0y0 (mod I)

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Demonstra»c~ao. do teorema 3.2.1. Se x+ I = x0 + I e y+ I = y0+ I, ent~ao x¡ x0 2 Ie y ¡ y0 2 I. Pelo lema 3.2.1, x + y ´ x0 + y0 (mod I) e xy ´ x0y0 (mod I), logo(x+ y) + I = (x0 + y0) + I e xy + I = x0y0 + I.

Teorema 3.2.2 Sejam A um anel comutativo e I um ideal de A. O conjunto A=I,juntamente com as opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao dadas por

(x+ I) + (y + I) = (x+ y) + I e (x+ I)(y + I) = xy + I; 8x; y 2 A;

¶e um anel, em que

1. 0 + I = I ¶e o elemento neutro da adi»c~ao;

2. (¡x) + I ¶e o elemento oposto (inverso aditivo) de x+ I, 8x 2 A.

Al¶em disso,

3. Se A ¶e anel com unidade 1, ent~ao A=I ¶e anel com unidade 1 + I;

4. Se, alem disso, x ¶e um elemento invert¶³vel do anel A, ent~ao a classe lateral x+ I¶e elemento invert¶³vel do anel A=I, sendo (x+ I)¡1 = x¡1 + I;

5. Se A ¶e anel comutativo, ent~ao A=I ¶e tamb¶em comutativo;

Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema ¶e f¶acil, por¶em com muitas linhas, e ser¶adeixada para o leitor.

Para provar por exemplo, que a multiplica»c~ao em A=I ¶e associativa, usamos o fatode que a multiplica»c~ao em A ¶e associativa:

8x; y; z 2 A,

(x+ I) ¢ [(y + I) ¢ (z + I)] = (x+ I)(yz + I) (pela de¯ni»c~ao de ¢ em A=I)

= x(yz) + I (idem)

= (xy)z + I (pela associatividade de ¢ em A

= (xy + I)(z + I) (pela de¯ni»c~ao de ¢ em A=I)

= [(x+ I) ¢ (y + I)] ¢ (z + I) (idem)

Para provar o item 4, suponhamos que x 2 A ¶e um elemento invert¶³vel. Ent~ao

(x+ I)(x¡1 + I) = (xx¡1) + I = 1 + I

e tamb¶em(x¡1 + I)(x+ I) = (x¡1x) + I = 1 + I

o que prova que (x+ I)¡1 = x¡1 + I, uma vez que 1 + I ¶e a unidade do anel A=I.

Os demais detalhes ser~ao deixados para o leitor.

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3.3 Homomor¯smos de an¶eis. O teorema fundamen-

tal do isomor¯smo

Muitas vezes dois an¶eis aparentemente diferentes, comportam-se como se fossem ummesmo anel. Considere por exemplo, os an¶eis A = Z3 = f[0]; [1]; [2]g e o sub-anel A

0

de Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g, dado por A0 = f0; 2; 4g. Neste exemplo, temos que denotar

as classes de congruencia m¶odulo 6 diferentemente das classes m¶odulo 3, para evitarconfus~ao.

Estabelecendo-se a correspondencia biun¶³voca entre Z3 e A0,

[0] $ 0[1] $ 4[2] $ 2

notamos que [1] + [1] = [2] corresponde a 4 + 4 = 2, [1] + [2] = [0] corresponde a4 + 2 = 0, [1] ¢ [1] = [1] corresponde a 4 ¢ 4 = 4, etc., ou seja, a soma ou produtode elementos de A corresponde µa soma ou produto dos elementos correspondentes µasparcelas (no caso da soma) ou dos fatores (no caso do produto).

Neste caso, dizemos que A e A0 s~ao an¶eis isomorfos, pois tratam-se de um mesmoanel, embora com \roupagens" diferentes.

De¯ni»c~ao 3.3.1 Sejam (A;+; ¢) e (A0;+; ¢) dois an¶eis (cujas opera»c~oes + e ¢ tem amesma nota»c~ao por simplicidade). Uma aplica»c~ao (ou fun»c~ao) f :A ! A0 ¶e chamadaum homomor¯smo de an¶eis, se:

1. f(x+ y) = f(x) + f(y); 8x; y 2 A; e

2. f(x ¢ y) = f(x) ¢ f(y);8x; y 2 A.

De¯ni»c~ao 3.3.2 Sendo f :A! A0 um homomor¯smo de an¶eis, dizemos que

1. f ¶e um endomor¯smo se A = A0;

2. f ¶e um monomor¯smo se a fun»c~ao f ¶e injetora;

3. f ¶e um epimor¯smo se a fun»c~ao f ¶e sobrejetora;

4. f ¶e um isomor¯smo se a fun»c~ao f ¶e bijetora (correspondencia biun¶³voca);

5. f ¶e um automor¯smo se A = A0 e f ¶e um isomor¯smo.

Proposi»c~ao 3.3.1 Seja f :A! A0 um homomor¯smo de an¶eis.

1. f(0A) = 0A0;

2. f(¡x) = ¡f(x), 8x 2 A;

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3. O conjunto Im(f) = f(A) = ff(x) jx 2 Ag ¶e sub-anel de A0;

4. Se B ¶e sub-anel de A ent~ao f(B) = ff(x) j x 2 Bg ¶e sub-anel de A0;

5. Se A tem elemento unidade 1A ent~ao f(1A) ¶e elemento unidade do anel Im(f)(sub-anel de A0);

6. Se A tem elemento unidade 1A e f ¶e um epimor¯smo ent~ao f(1A) ¶e elementounidade de A0;

7. Se A tem elemento unidade e

(a) x 2 A ¶e elemento invert¶³vel ent~ao f(x) ¶e elemento invert¶³vel do anel Im(f);

(b) x 2 A ¶e elemento invert¶³vel e f ¶e um epimor¯smo ent~ao f(x) ¶e elementoinvert¶³vel do anel A0

Proposi»c~ao 3.3.2 Seja f :A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis, e considere o n¶ucleoou kernel de f , de¯nido como sendo o conjunto

ker(f) = f¡1(0) = fx 2 A j f(x) = 0g

Ent~ao

1. ker(f) ¶e um ideal de A;

2. Se I 0 ½ A0 ¶e um ideal de A0 ent~ao I = f¡1(I 0) = fx 2 A j f(x) 2 I 0g ¶e um idealde A (com ker(f) ½ I)

Proposi»c~ao 3.3.3 Seja f :A! A0 um homomor¯smo de an¶eis. Ent~ao f ¶e um monomor-¯smo se e somente se ker(f) = f0g.

O teorema que segue ¶e tamb¶em chamado Teorema fundamental do homo-mor¯smo de an¶eis. Ele estabelece uma ferramenta que nos permite identi¯car, emtermos de isomor¯smo, um anel quociente com um anel \previamente conhecido."

Teorema 3.3.1 (Teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis)Sejam (A;+; ¢) e (A0;+; ¢) dois an¶eis e seja f :A ! A0 um homomor¯smo de an¶eis.Seja K = ker(f). Ent~ao a aplica»c~ao

f :A=K ! Im(f)

de¯nida por8 a+K 2 A=K; f(a+K) = f(a)

¶e bem-de¯nida e ¶e um isomor¯smo de an¶eis.

Simpli¯cando,A=ker(f) »= Im(f)

atrav¶es do isomor¯smo f .

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Demonstra»c~ao.. Provemos primeiramente que f ¶e bem-de¯nida, ou seja, f(a+K) n~aodepende do representante a da classe lateral a+K.

Se a+K = b+K ent~ao, a¡b 2 K = ker(f). Logo, f(a¡b) = 0) f(a)¡f(b) =0) f(a) = f(b), logo f(a+K) = f(b+K).

Provemos agora que f ¶e um monomor¯smo de an¶eis.

f ¶e injetora:

8a; b 2 A, f(a+K) = f(b+K)) f(a) = f(b)) f(a¡ b) = f(a)¡ f(b) = 0) a¡ b 2 K = ker(f) ) a+K = b+K.

f ¶e sobrejetora:

Para cada y 2 im(f), y = f(x) para algum x 2 A, logo y = f(x+K).

f ¶e um homomor¯smo de an¶eis:

8a; b 2 A,

f((a+K)+(b+K)) = f((a+b)+K) = f(a+b) = f(a)+f(b) = f(a+K)+f(b+K);

f((a+K) ¢ (b+K)) = f((ab) +K) = f(ab) = f(a)f(b) = f(a+K) ¢ f(b+K)

Portanto, f ¶e um isomor¯smo de an¶eis.

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3.4 Problemas do Cap¶³tulo 3

1. De exemplo de um anel A contendo um sub-anel B, em cada um dos casos:

(a) A tem unidade 1A, B tem unidade 1B, e 1A 6= 1B;

(b) A tem unidade 1A e B n~ao tem unidade;

(c) B tem unidade 1B e A n~ao tem unidade.

2. Sejam A um anel e sejam I e J ideais de A. Prove que

(a) I \ J ¶e um ideal de A

(b) De¯nindo-se I + J = fx+ y jx 2 I; y 2 Jg e

I ¢ J = fx1y1 + : : :+ xnyn jn ¸ 1; x1; : : : ; xn 2 I e y1; : : : ; yn 2 Jg

mostre que I + J e I ¢ J s~ao ideais de A

3. Sejam a e b inteiros e seja I = (a) + (b) = fma + nb jm;n 2 Zg. Mostre queI = (d) = dZ, sendo d = mdc(a; b).

Mostre ainda que:

(a) (a) ½ (b), b j a.

(b) (a) ¢ (b) = (ab).

(c) (a) \ (b) = (m), sendo m = mmc (a; b) [Sugest~ao: Use a caracteriza»c~aonatural de m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros: se a6= 0 ou b6= 0,mmc (a; b) ¶e o menor inteiro positivo que ¶e m¶ultiplo de ambos a e b.]

4. Mostre, com um contra-exemplo que, se I e J s~ao ideais de um anel A, o conjuntoP = fxy jx 2 I e y 2 Jg n~ao ¶e necessariamente um ideal de A.

5. Seja A um anel e seja C = fI® j® 2 ¤g um conjunto (cole»c~ao) de ideais de A.Mostre que

T

®2¤

I® ¶e um ideal de A.

[Lembre-se de que, por de¯ni»c~ao, \®2¤I® = fa 2 A j a 2 I®; 8® 2 ¤g.]

6. (Ideal gerado por um subconjunto) Sejam A um anel e S um subcon-junto de A. Seja C o conjunto dos ideais de A que cont¶em S, ou seja, C =fJ jJ ¶e um ideal de A e S ½ Jg.

De¯ne-se L =T

J2C

J como sendo a interse»c~ao dos elementos da cole»c~ao C. Ou

seja, L = fa 2 A j a 2 J; 8J 2 Cg.

Mostre que

(a) L ¶e um ideal de A contendo o conjunto S.

(b) L ¶e o menor ideal de A que cont¶em o conjunto S, ou seja, se I ¶e um idealde A que tamb¶em cont¶em S ent~ao S ½ J ½ I.

Nota: Tal ideal L, ¶e denotado por L = (S), ¶e chamado ideal gerado por S.

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7. Mostre que, se A ¶e um anel comutativo e S = fa1; : : : ; ang ¶e um subconjunto deA ent~ao o ideal gerado por S, L = (S), segundo a de¯ni»c~ao dada no exerc¶³cioanterior, ¶e o conjunto

J = fx1a1 + : : :+ xnan jx1; : : : ; xn 2 Ag

ou seja, coincide com o ideal gerado por S segundo a de¯ni»c~ao dada na proposi»c~ao3.1.2.

8. Mostre que os ¶unicos ideais de um corpo K s~ao I = f0g e J = K.

9. Se A ¶e um anel, n~ao necessariamente comutativo, sendo a um elemento de A,de¯ne-se

(a) = fx1ay1 + : : :+ xsays j s ¸ 1; e x; y 2 Ag

Mostre que (a) ¶e ideal de A (chamado ideal gerado por a). Mostre que, nocaso de A ser comutativo, (a) = fxa jx 2 Ag, ou seja (a) coincide com o idealprincipal gerado por a.

10. (Z ¶e um anel principal, mas Z[x] n~ao o ¶e) Em Z[x], considere o ideal J = (2; x), ouseja, o ideal gerado pelos elementos 2 e x. Mostre que J n~ao ¶e um ideal principal,isto ¶e, que n~ao existe p(x) 2 Z[x] tal que J = (p(x)). [Sugest~ao: Supondo queJ = (p(x)), como 2 2 J e x 2 J , temos que 2 = p(x)f(x) e x = p(x)g(x)para certos polinomios f(x) e g(x) em Z[x]. Mostre que isto implica p(x) = §1.Mostre que n~ao existem polinomios a(x) e b(x) em Z[x] tal que 2a(x)+xb(x) = 1.]

11. Mostre que um homomor¯smo de an¶eis de um corpo K num anel A6= f0g ¶e ummonomor¯smo.

12. Considere o anel Zm dos inteiros m¶odulo m, m ¸ 0, e a aplica»c~ao f :Z ! Zm,de¯nida por f(a) = a, 8a 2 Z.

(a) Mostre que f ¶e um homomor¯smo de an¶eis.

(b) Mostre que K = ker(f) = mZ = fkm j k 2 Zg.

(c) Aplicando o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis, mostre que o anelquociente Z=mZ ¶e isomorfo ao anel Zm, sendo tal isomor¯smo dado pelaaplica»c~ao

f : Z=mZ ! Zma+mZ 7! a

13. Seja A um anel com unidade 1A e seja f :Z! A a aplica»c~ao de¯nida por f(n) =n ¢ 1A.

(a) Mostre que f ¶e um homomor¯smo de an¶eis. Voce ter¶a que mostrar primeira-mente que 8m;n 2 Z, (mn)1A = (m1A)(n1A). [Sugest~ao: Para um inteirogen¶erico m, prove primeiramente que o resultado ¶e v¶alido para n 2 N, por in-du»c~ao sobre n. Depois prove o resultado para n inteiro negativo, escrevendon = ¡ jnj e usando a validade do resultado para jnj.]

(b) A imagem do homomor¯smo f , im(f) = f(Z) = fn1A jn 2 Zg ¶e um sub-anel de A. Mostre que f(Z) ¶e o menor sub-anel de A que cont¶em a unidade1A.

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(c) Mostre que f(Z) ¶e isomorfo ao anel Z dos n¶umeros inteiros ou ao anel Zmpara algum inteiro positivo m.

(d) De¯nimos a caracter¶³stica do anel A como sendo o n¶umero natural carac(A), dado por

carac (A) =

½

0; se ker(f) = f0g,m; se ker(f) = mZ

Note que, alternativamente,

carac (A) =

½

0; se f(Z) »= Z,m; se f(Z) »= Zm

Mostre que se carac (A) = m ent~ao ma = 0, 8a 2 A.

14. Mostre que se A ¶e um anel de integridade, ent~ao a caracter¶³stica de A ¶e 0 ou umn¶umero primo.

15. Mostre que, se A ¶e um anel de integridade, os ¶unicos homomor¯smos f :A ! As~ao a aplica»c~ao identidade idA e o homomor¯smo nulo. [O homomor¯smo nulof :A! A ¶e a aplica»c~ao de¯nida por f(a) = 0; 8a 2 A.]

16. Seja m inteiro positivo.

(a) Mostre que se f :Z ! Zm ¶e um homomor¯smo de an¶eis e f(1) = a, ent~aoa2 = a.

(b) Mostre que se a 2 Zm, com a 2 Z, e a2 = a, ent~ao a aplica»c~ao f :Z! Zm,

dada por f(n) = na ¶e bem-de¯nida e ¶e um homomor¯smo de an¶eis.

(c) Considere a aplica»c~ao f :Z ! Z6, dada por f(n) = 4n. Mostre que f ¶eum homomor¯smo de an¶eis. Mostre que ker(f) = 3Z e que, aplicandoo teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis, obtemos um isomor¯smoentre Z3 = f[1]; [2]; [3]g e o sub-anel de Z6, A

0 = f0; 2; 4g, dado ao in¶³cioda se»c~ao 3.3.

17. Determine todos os homomor¯smos f do anel Z no anel Z12. Em cada caso,determine o sub-anel A de Z12 que ¶e imagem do homomor¯smo f , e determine,via teorema fundamental do isomor¯smo, um inteiro k tal que A »= Zk.

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