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CURSOS EM PDF – RACIOCÍNIO LÓGICO PARA O INSS Profa. Bruna Amaral

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APRESENTAÇÃO

Prezados (as) concurseiros (as),

Meu nome é Bruna Amaral, atualmente desempenho minhas funções na Secretaria Municipal de Fazenda (SMF) da cidade do Rio de Janeiro, onde ocupo o cargo de Fiscal de Rendas (ISS-RJ). Sou bacharel em Administração e professora de Matemática Financeira e Raciocínio Lógico em cursos preparatórios para concursos públicos.

Minha experiência em concursos públicos começou cedo. Ainda na adolescência prestei diversos vestibulares sendo aprovada nos cursos de Engenharia de Produção e Contabilidade (ambos na UERJ). Aos 17 anos prestei meu primeiro concurso difícil, fiz prova para a Academia da Força Aérea (AFA), ficando na 42ª posição. Cursei Engenharia de Produção na UERJ por 1 ano e a AFA por 3 anos, mas não cheguei a me formar em nenhum dos dois cursos. Me formei em Administração alguns anos depois e mergulhei nos estudos para concursos públicos. Tive algumas aprovações, tais como: Fiscal de Tributos Municipais em Angra dos Reis em 2010 (26ª posição); Auditor do IBGE em 2010 (20ª posição); Analista de Planejamento e Orçamento da Secretaria de Planejamento do Estado do Rio de Janeiro em 2010 (18ª posição), cargo que ocupei por 4 meses; Fiscal de Rendas do Município do Rio de Janeiro em 2010 (10ª posicão), cargo que ocupo atualmente. Meu período de “concurseira” também foi marcado por alguns “quase” (concursos que cheguei perto): Fiscal de Rendas do Estado do Rio de Janeiro em 2009 e 2010 e Fiscal de Rendas do Estado de São Paulo (2009).

Analisando as provas recentes da CESPE que envolvem questões de matemática financeira, pude perceber que a banca não dificulta muito nessa matéria. Na maior parte das questões da CESPE, com uma simples identificação dos dados dos enunciados, o aluno consegue aplicar diretamente as fórmulas de matemática financeira e achar a resposta correta da questão.

Para sua sorte, a banca também costuma repetir bastante o estilo de questões. Então, com bastante treino, e eu vou apresentar muitas questões para treinar, você vai conseguir fazer a maior parte das questões e conseguir seus pontos de Matemática Financeira.

O edital do concurso passado para analista do INSS trazia os seguintes assuntos dentro de Administração Financeira:



Matemática Financeira: juros simples e compostos; taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente.

Nosso aula seguirá o edital passado. Entretanto, caso a CESPE mude o edital de Matemática Financeira e acrescente novos conteúdos (como tem sido uma tendência nos últimos concursos), você não será prejudicado, uma vez que apresentaremos os novos conteúdos em aulas extras.

Enquanto não sai o edital novo, vamos ver como fica a distribuição desses assuntos no nosso cronograma de aulas:

AULA DEMO

Juros Simples e Compostos; Taxas de juros: equivalentes e proporcionais;

AULA 1 Taxas de juros: nominal, efetiva, real e aparente; Descontos de juros simples e compostos.

AULA 2 Revisão

Dicas pessoais sobre como estudar Matemática Financeira:

A matemática é um grande problema para a maioria das pessoas. Desde pequeno a gente ouve alguém, o irmão mais velho ou o coleguinha, dizer que matemática é difícil e muita gente internaliza isso.

Meu objetivo com este curso não é formar nenhum matemático, meu objetivo é apenas ajudá-los com as possíveis questões que a sua banca pode apresentar. Não vou me ater apenas à teoria, pretendo focar mais a prática. Vou dar o mínimo de teoria para que você entenda os mecanismos e depois consiga fazer sozinho as questões. Pretendo simplificar e dar macetes sempre que possível.

Como disse anteriormente, a CESPE tem uma linha própria de questões e não foge muito dela. Portanto, sabendo fazer as questões que eu apresento, você provavelmente terá um resultado satisfatório na sua prova.

Agora vamos às dicas propriamente ditas:

- Matemática é uma matéria que exige transpiração, portanto escreva, escreva, escreva e escreva. Não leia apenas o que eu apresento! Primeiro leia a questão e tente fazer sozinho. Não conseguiu? Leia minha resolução. Entendeu? Agora faça sozinho, escreva ao seu modo, faça suas observações. Se você errou a questão, faça uma marca nela para voltar posteriormente, pode ser um círculo ao redor do número da questão.

- Se você não tem muita afinidade com a matéria, tente estudá-la no seu melhor momento. Como assim? Se você detesta estudar de manhã cedo, não



estude matemática de manhã cedo, pois isso será uma tortura. Estude num horário que você acha mais agradável, num local mais confortável, traga algo saboroso para beliscar enquanto estuda. Faça tudo para seu estudo ser menos doloroso.

- Aliás, não veja seu estudo como algo doloroso. Pense como um investimento. Há menos de 1 ano eu estava estudando pesadamente. Hoje estou do “outro lado da força” (rs) ajudando vocês! Pense que em breve você vai estar com um salário de muitos dígitos (rs), num local bacana, horários flexíveis, e muito mais!!!!

- Quando achar que seu estudo não está rendendo, não force. Se quiser forçar um pouco, reveja as questões que você marcou como erradas ou difíceis. Veja se você ainda lembra como se faz. O processo de repetir questões um tempo depois facilita muito e solidifica o aprendizado.

- Mais perto da prova comece a fazer revisão da matéria, mesmo que você não tenha conseguido ver todo o conteúdo. Às vezes é melhor saber bem pouca coisa do que saber mais ou menos muitas.

- Nunca menospreze uma matéria que você acha fácil! Matérias fáceis você estuda para pontuar, para acertar o máximo possível; matéria difícil você estuda para passar, fazer pelo menos o mínimo que a sua banca exige. Muita gente boa é reprovada por se superestimar em algumas matérias.

- Existem questões que foram feitas para pular. Toda prova tem uma porcentagem de questões fáceis, médias e difíceis. Você deve acertar todas as questões fáceis e médias e tem o direito de errar algumas difíceis. Então não se desespere quando não conseguir resolver uma questão! Sua prova é grande, marque que não conseguiu fazer a questão e parta para a próxima! É um grande erro dos concurseiros ficar brigando com a questão. Não faça isso! Respire fundo e pule sem medo de pontuar as próximas questões! Como eu tinha dito anteriormente, a CESPE tem uma linha própria de questões e nessas aulas eu apresento a maioria das questões fáceis, médias e difíceis para que você vá bem treinado para a sua prova.

- Ao final de cada aula eu apresento um quadro resumo com informações e fórmulas que você não pode se esquecer da aula do dia. Aconselho que você faça uma listinha própria com suas observações e fórmulas e consulte com alguma freqüência para não esquecer.

- Embora você esteja fazendo um concurso para nível superior da CESPE, te apresentarei também nas aulas questões de nível médio e questões de outras bancas para que você possa fixar melhor os conteúdos.

É isso, pessoal! Vamos começar nossa aula demonstrativa?



SUMÁRIO DA AULA DEMONSTRATIVA

1. INTRODUÇÃO...........................................................05

2. JUROS SIMPLES.......................................................06

2.1 TAXAS PROPORCIONAIS......................................12

3. JUROS COMPOSTOS..................................................15

3.1 TAXAS EQUIVALENTES.........................................18

4. RESUMO DA AULA.....................................................27

5. QUESTÕES DA AULA.................................................29

6. GABARITOS..............................................................33



1. INTRODUÇÃO

Antes de começar com as questões de provas, gostaria de bater um papo com vocês e fazer uma perguntinha...

A primeira delas é: o que vale mais R$100 em janeiro de 2011 ou R$100 em fevereiro de 2011?

Um aluno poderia responder rapidamente:

- São iguais!

Um segundo mais atento poderia fazer a seguinte pergunta:

- É um investimento? Qual a taxa de juros?

Eu responderia que é um investimento cuja taxa de juros é de 10% ao mês. Então o segundo aluno falaria:

- Então R$100 em janeiro vale mais que R$100 em fevereiro, já que passando um mês o dinheiro de janeiro vai me trazer R$10,00 de juros. Ou seja, em fevereiro, os R$100 de janeiro valerão R$110. E R$110 é maior que R$100.

Esse exemplo é só para ilustrar que duas quantias só podem ser comparadas se estiverem no mesmo momento. Praticamente todas as questões de concursos de matemática financeira trabalham com o conceito do valor do dinheiro no tempo, então o que você deve fazer é identificar os diversos momentos e trazer todas as quantias para um momento comum.

Nunca esqueça que duas quantias só podem ser comparadas se estiverem num mesmo momento.

Agora a pergunta que fica, mas o que são os juros? Juros é a remuneração do capital. Como assim? Juros é quanto você recebe por deixar seu dinheiro num banco sendo aplicado. Quanto maior a taxa de juros, maior a remuneração do capital.

Como falamos em tempo, temos que ter em mente que:

Valor final = Valor inicial + juros

Vf = Vo + J

O valor final (Vf) é comumente chamado de montante (M) e o valor inicial (Vo) é comumente chamado de capital (C).

Então nossa fórmula é também conhecida por:



M = C + J

Existem dois tipos de juros: juros simples e juros compostos.

- Juros simples são os juros que incidem apenas sobre o capital inicialmente aplicado;

- Juros compostos são os juros que incidem sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores.

OBSERVAÇÃO: a diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

Ficou confuso? Vamos tentar esclarecer com as questões de concursos a seguir!

2. JUROS SIMPLES

1) (CESPE - 2011 - FUB – Contador) Com relação ao regime de juros simples, julgue o item a seguir:

Uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00.

Essa questão é ótima para conceituarmos juros simples. Mas qual é mesmo o conceito de juros simples?

- Juros simples são os juros que incidem apenas sobre o capital inicialmente aplicado.

E matematicamente? O que significa isso?

Juros simples = Valor inicial x taxa de juros x tempo

J = Vo . i . t

Agora já podemos resolver nossa questão! Vamos destacar os dados do enunciado:

Vo = 1000 (a aplicação nada mais é que o valor inicial ou capital)

i = 1,2% ao mês = 1,2/100 ao mês = 0,012 ao mês

t = 24 dias



Observe que a questão fornece a taxa (i) em valores mensais e o transcurso de tempo (t) em dias. Para resolver esse problema, podemos transformar o tempo em mês ou a taxa em diária, fica à opção do aluno. Por exemplo, vamos transformar os 24 dias em 1 mês por regra de três:

30 dias ________ 1 mês

24 dias ________ t

30. t = 24.1

t = 24/30

t = 0,8 mês

Na sequência, vamos aplicar a fórmula dos juros:

J = Vo . i . t

J = 1000 . 0,012 . 0,8

J = 9,6

Sendo assim, a questão está errada, pois o capital de 1000 rende 9,6 de juros e não 10.

GABARITO: ERRADO

2) (CESPE - 2011 - Correios - Agente de Correios) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.

Suponha que a despesa com mão de obra e materiais necessários para assentar os ladrilhos tenha sido orçada em R$ 1.000,00 o m2 e que o proprietário da sala disponha de apenas R$ 10.000,00. Nesse caso, o proprietário poderá obter o montante necessário aplicando o capital disponível à taxa de juros simples de 8% ao mês durante

a) 6 meses.

b) 7 meses.

c) 8 meses.

d) 4 meses.

e) 5 meses.



A questão tem duas partes: uma de geometria e a outra de matemática financeira.

A parte de geometria é simples. Sabemos que a área de um retângulo é a multiplicação da base pela altura:

ARETÂNGULO = BASE X ALTURA

A = b . h

No exemplo da nossa questão:

b = 4,16

h = 3,52

A = b. h

A = 4,16 . 3,52

A = 14,6432 m²

Segundo o enunciado, 1m² custa R$1000. Temos 14,6432m², logo o custo dessa metragem será:

14,6432 x 1000 = R$14643,2

Felizmente a parte de matemática financeira também é simples. Vamos colher os dados da questão:

Vo = 10000

i = 8% ao mês = 0,08 ao mês (juros simples)

t = ? (é justamente o transcurso de tempo que procuramos)

Sabemos que:

J = Vo . i . t

Como Vf = Vo + J

Vf = Vo + ( Vo . i . t)

Vf = Vo ( 1 + i . t)

O que seria o Vf? Vf é o valor final da aplicação ou montante.



Sabemos que precisamos de R$14640 pra fazer a obra, então R$14640 é o nosso Vf. Vf é o montante que queremos “juntar” com a nossa aplicação, então vamos aplicar a nova fórmula encontrada:

Vf = Vo (1 + i . t)

14643,2 = 10000 (1 + 0,08.t)

14643,2/10000 = 1 + 0,08t

1,46432 - 1 = 0,08t

0,46432 = 0,08t

t = 0,464 / 0,08

t = 5,804 meses

Como as respostas estão em meses inteiros, o tempo de aplicação será de 6 meses.

GABARITO: A

3) (CESPE - 2010 - TRE-BA - Técnico Judiciário) Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Caso um investidor aplique R$ 10.000,00 em quotas de um fundo de renda fixa, pelo período de 90 dias, e resgate, ao final do período, o valor total de R$ 10.750,00, então é correto concluir que os juros simples desse investimento são de 2,5% ao mês.

Essa questão é muito simples!! Vamos destacar os dados do problema para facilitar a visualização?

Vo = 10000

t = 90 dias = 3 meses

Vf = 10750

i = ? (juros simples)

Agora é aplicação direta da fórmula apresentada na questão anterior:

Vf = Vo (1 +i.t)

10750 = 10000 (1 + i . 3)

10750/10000 = 1 + 3i

1,075 – 1 = 3i



0,075/3 = i

i = 0,025 ao mês = 2,5/100 = 2,5% ao mês

GABARITO: CERTO

4) (CESPE – 2011 – FUB – Contador) Com relação ao regime de juros simples, julgue o item a seguir.

Um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital.

Mais uma questão de aplicação direta de fórmulas!! Vamos destacar os dados da questão:

Vo = 10000

t = 3 períodos

i = 15% ao período = 0,15 ao período

J = ?

Sabemos que:

J = Vo . i . t

J = 10000 . 0,15 . 3

J = 4500

O juro final gerado pela aplicação foi de 4500 e não metade do capital inicial (10000:2 = 5000) como sugerido pela banca.

GABARITO: ERRADO

5) (CESPE – 2011 – CBM – ES) Considere que um capital de R$10.000,00 tenha sido aplicado em determinado investimento, em regime de juros simples, pelo período de 5 meses. Com base nessas informações, julgue o item que se segue:

Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.



Vamos destacar os dados da questão:

Vo = 10000

i = ?? (juros simples)

t = 5 meses

Vf = 13000

Agora vamos aplicar a fórmula:

Vf = Vo (1 + i.t)

13000 = 10000 (1 + i.5)

13000/10000 = 1 + 5i

1,3 - 1 = 5i

0,3 = 5i

i = 0,06 ao mês = 6/100 = 6% ao mês

GABARITO: CERTO

Vocês estão percebendo que as questões são parecidas? Uma simples organização de dados do enunciado nos permite aplicar diretamente as fórmulas e achar os resultados pedidos.


Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.

Mais uma questão de aplicação direta de fórmulas para você fixar bem o conteúdo!

Dados da questão:

Vo = 10000

t = 5 meses

i = 5% ao mês = 0,05 ao mês (juros simples)

Vf = ??



Basta aplicar mais uma vez a fórmula:

Vf = Vo (1 + i.t)

Vf = 10000 (1 + 0,05.5)

Vf = 10000 (1,25)

Vf = 12500

Encontramos o montante (Vf) de 12500 e não 12000, como sugeriu a banca. Sendo assim, está errado.

GABARITO: ERRADO

TAXAS PROPORCIONAIS

7) (CESPE – 2008 - ANALISTA DE SEGURO SOCIAL) O instituto de previdência privada IPP paga, no início de cada mês, a cada um de seus segurados, um auxílio — que pode ser auxílio-doença ou auxílio-maternidade — no valor de R$ 500,00. Também no início de cada mês, o IPP concede 800 novos auxílios-doença e uma quantidade constante x de auxílios-maternidade. Para o pagamento desses auxílios, o IPP recorre a uma instituição financeira, tomando empréstimos à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Com referência aos meses de janeiro, fevereiro e março do último ano, o IPP pagou R$ 90.000,00 de juros à instituição financeira por conta dos empréstimos para pagamento desses novos auxílios.

Com base nessa situação hipotética, julgue o item subseqüente:

A taxa de juros simples anual proporcional à taxa de juros cobrada pela referida instituição financeira é igual a 25%.

Ufa! Questão imensa, né? Mas o conceito que ela exige é super fácil! Ela aborda o conceito de proporcionalidade de taxas de juros simples.

Duas taxas, i e i0, relativas aos períodos t e t0 , são proporcionais se, supostos t e t0 , na mesma unidade de tempo tivermos:

i / i0 = t / t0 (regra de três)

Confuso? Vamos ver nossa questão!



O enunciado nos dá uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês e nos pergunta qual seria a taxa proporcional anual.

Para resolver questões desse tipo, basta fazer uma regra de três bastante simples. Vejam:

2,5% __________ 1 mês

i ______________ 12 meses

1.i = 12 . 2,5%

i = 30%

O enunciado diz que a taxa anual proporcional seria de 25%, porém calculamos e achamos 30%.

GABARITO: ERRADO

8) (ESAF – 2009 - APOFP-SP) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

Apesar de não ser uma questão da sua banca, colocamos essa questão para você fixar o conteúdo de taxas proporcionais!

Vamos destacar os dados da questão:

Vo = 1 (capital unitário)

Vf = 1,1

t = 2 meses e 15 dias = 2,5 meses

i = ??

Preste atenção que o tempo vem em mês e dias e a pergunta da taxa vem em ano.

O que faremos? Vamos aplicar as fórmulas:



Vf = Vo (1 + i.t)

1,1 = 1 ( 1 + i.2,5)

1,1/1 = 1 + 2,5i

1,1 – 1 = 2,5 i

0,1/2,5 = i

i = 0,04 ao mês = 4/100 = 4% ao mês

(observe que o resultado é mensal, uma vez que o tempo empregado foi mensal)

Mas a questão pede a taxa anual. E agora? O que faremos? Ora, temos a taxa mensal! Então basta fazer uma regra de três para descobrir a taxa anual!

0,04 _____________ 1 mês

i _________________ 12 meses

1.i = 0,04 . 12

i = 0,48 ao ano = 48/100 = 48% ao ano

GABARITO: E

JUROS COMPOSTOS

Agora vamos avançar mais um pouco no conteúdo e conversar sobre juros compostos. Eu já tinha dito anteriormente pra você que:

- Juros compostos são os juros sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores;

- a diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

Agora para explicar juros compostos, pense na poupança.

Você aplica R$1000 numa poupança que rende 0,5% ao mês. Depois de um mês você terá um saldo de R$1005 (R$1000 de capital inicial e R$5 de juros).

Vf = Vo + J

Vf = 1000 + (0,5/100 .1000)

Vf = 1000 + 5

Vf = 1005



Se você deixar mais um mês você terá um saldo de R$1010,25 (R$1000 de capital inicial do 1º mês, R$5 de juros do 1º mês e R$5,25 de juros do 2º mês. Observe que agora o novo “Vo” será o antigo capital inicial de R$1000 e os juros do primeiro mês de R$5).

Vf = Vo + J

Vf = (1000 + 5) + (1000 +5)x0,5/100

Vf = 1005 + 1005,25

Vf = 1010,25

Por que os juros do primeiro mês foram menores que os do segundo? Simples, porque os juros do segundo mês incidem sobre todo o capital que existia, fosse ele capital inicial (1000) ou juros do mês anterior (5).

E matematicamente? O que são os juros compostos?

J = Vo (1 + i)t – Vo

Como Vf = Vo + J (tanto para juros simples quanto para compostos)

Vf = Vo + (Vo x i)t

Vf= Vo (1 + i)t

9) (CESPE – 2010 – TRE-BA – TÉCNICO) Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Para o investidor, é mais rentável aplicar R$ 5.000,00 por 3 meses, a juros compostos de 3% ao mês, do que aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês.

Questão bem simples que compara e questiona qual o investimento é mais rentável, o investimento com juros compostos ou o investimento com juros simples. Vamos destacar os dados da questão:

Voa = 5000

ta = 3 meses

ia = 3% ao mês = 3/100 = 0,03 ao mês (juros compostos)

Vob = 5000

tb = 3 meses

ib = 5% ao mês = 0,05 ao mês (juros simples)



Eu tinha dito para vocês na introdução da nossa aula que:

- Juros simples são os juros que incidem apenas sobre o capital inicialmente aplicado;

- Juros compostos são os juros que incidem sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores.

OBSERVAÇÃO: a diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

Sabemos as fórmulas de juros simples, que são:

J = Vo . i .t

Vf = Vo (1 + i.t)

Também apresentamos as fórmulas de juros compostos:

Vf = Vo (1 + i)t

J = Vo (1 +i)t - Vo

** é muito importante que você DECORE AS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS.

Agora basta aplicar as fórmulas e ver qual investimento gera um montante (Vf) maior. Vejamos:

Vfa = Voa (1 + ia)ta (juros compostos)

Vfa = 5000 (1 + 0,03)³

Vfa = 5000 (1,03)³

Vfa = 5000 . 1,092727 = 5463,63

Vfb = Vob (1 + ib . tb) (juros simples)

Vfb = 5000 ( 1 + 0,05 . 3)

Vfb = 5000 . 1,1545 = 5772,5

DICA: observe que muitas vezes não precisamos chegar ao fim dos cálculos para achar a resposta correta!

A banca pergunta apenas qual o investimento mais rentável. Ela não pergunta qual o valor de cada rendimento. Portanto, não precisamos chegar ao final dos cálculos para perceber que o investimento a juros simples é mais rentável.



Se (5000.1,1545) > (5000.1,092727), então Vfb > Vfa. Logo, o investimento a juros simples é mais rentável.

GABARITO: ERRADO

TAXAS EQUIVALENTES

10) (CESPE – 2010 – TRE-BA – TÉCNICO)Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Considere que determinado fundo de renda variável pague a taxa de juros compostos de 16,20% pelo período de aplicação de 180 dias. Nessa situação, a taxa anual equivalente desse fundo de renda será inferior a 33%.

Essa questão aborda o conceito de taxas equivalentes. Duas taxas são equivalentes quando fazem com que um capital produza o mesmo montante ao final de um mesmo prazo de aplicação.

Com esse conceito conseguimos resolver a questão! Como assim? Vamos utilizar o exemplo da CESPE para explicar! Vamos organizar os dados da questão:

i = 16,2% ao semestre = 0,162 ao semestre (juros compostos)

t = 1 ano = 2 semestres

Vamos aplicar a fórmula dos juros compostos:

J = Vo (1 +i)t - Vo

J = Vo (1 + 0,162)² - Vo

J = Vo (1,162)² - Vo

J = 1,35Vo – Vo

J = 0,35 Vo

Ou seja, se aplicarmos uma taxa anual de 0,35 (ou 35% ano) sobre Vo, encontraríamos o mesmo resultado! Vamos conferir?

ianual = 35% ao ano = 0,35 ao ano

t = 1 ano

J = Vo (1 +i)t - Vo

J = Vo (1 + 0,35)¹ - Vo



J = 1,35 Vo – Vo

J = 0,35 Vo

Observe que tanto em juros simples quanto em juros compostos a taxa de juros “i” deve estar coordenada com o transcurso de tempo “t”. Se i estiver em semestre, t estará em semestre. Se i estiver em ano, t estará em ano.

Na questão da CESPE, o transcurso de tempo t é o mesmo na taxa anual (1 ano) e na taxa semestral (1 ano = 2 semestres). Só que na taxa anual o “t” é 1, porque ele é de ano ( 1 ano) e na taxa semestral é 2, porque ele é de semestre (1 ano = 2 semestres).

Tá achando esse raciocínio confuso? Existe uma fórmula para achar as taxas equivalentes:

i = (1 + i0)t – 1

Onde:

i = taxa do período de tempo maior

i0 = taxa do período de tempo menor

t = relação entre período maior e menor

* repare que essa fórmula é parecida com a fórmula de juros compostos cortando os “Vo”.

Vamos fazer com os dados da nossa questão:

i = anual (período maior)

i0 = semestral (período menor) = 16,2% ao semestre = 0,162 ao semestre

t = relação entre ano e semestre = 1 ano tem 2 semestres = 2

Aplicando a fórmula:

i = (1 + i0)t – 1

i = (1 + 0,162)² - 1

i = (1,162)² - 1

i = 0,35 ao ano = 35% ao ano

Assim, confirmamos que a taxa anual de 35% ao ano é equivalente à taxa semestral de 16,2% ao semestre, pois se aplicarmos um capital Vo a uma taxa semestral de 16,2% durante um ano ou se aplicarmos o mesmo capital Vo a uma taxa anual de 35% durante um ano encontraremos o mesmo resultado: 0,35Vo. A questão sugere que seria de 33% a taxa anual. Errada.

GABARITO: ERRADO



11) (ESAF – 2006 - IRB) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre

Coloquei essa questão da ESAF apenas para você exercitar mais!

Dados da questão:

i0 = 4% ao mês = 0,04 ao mês

A banca manda você calcular a taxa bimestral, trimestral, semestral e anual. Basta aplicarmos a fórmula:

i = (1 + i0)t – 1

- taxa bimestral = (1,04)2 -1 = 1,0816 – 1 = 0,0816 = 8,16% ao bimestre (logo, a alternativa E está errada)

t = 1 bimestre tem 2 meses = 2 meses

- taxa trimestral = (1,04)³ - 1 = [(1,04)²x(1,04¹)] – 1 = 1,1248 – 1 = 0,1248 = 12,48% ao trimestre (logo, a alternativa D está errada)

t = 1 trimestre tem 3 meses = 3 meses

Aqui cabe uma pequena observação das propriedades dos números exponenciais que pode facilitar suas contas:

-> Na+b = Na x Nb

Ex: 1,04³ = 1,04¹ x 1,04²

-> Na-b = Na/Nb

Ex: 1,04² = 1,04³/1,04¹

- taxa semestral = (1,04)6 -1 = [(1,04)³x(1,04)³] – 1 = 1,2653 – 1 = 0,2653 = 26,53% ao semestre (logo as alternativas B e C estão erradas)

t = 1 semestre tem 6 meses = 6 meses

Por exclusão, a alternativa A está correta, mas vamos conferir:



- taxa anual = (1,04)12 – 1 = [(1,04)6x(1,04)6] – 1 = 1,6013 – 1 = 0,6013 = 60% ao ano

t = 1 ano tem 12 meses = 12 meses

GABARITO: A

12) (CESPE – 2008 - ANALISTA DE SEGURO SOCIAL) Julgue os itens seguintes, acerca de taxas de juros.

A taxa mensal de juros compostos que equivale à taxa semestral de juros compostos de 10% é dada por [1,11/6 -1] x 12.

Nessa questão a banca nos dá a taxa de transcurso de tempo maior (semestral) e nos pede a taxa de transcurso de tempo menor (mensal).

Dados da questão:

i = 10% ao semestre = 0,1 ao semestre

t = 1 semestre tem 6 meses = 6 meses

i0 = ??? (é a taxa mensal que estamos procurando)

Agora vamos aplicar os dados na fórmula:

i = (1 + i0)t – 1

0,1 = (1 + i0)6 – 1

0,1 + 1 = (1 + i0)6

1,1 = (1 + i0)6

1,11/6 = 1 + i0

i0 = 1,1¹/6 -1 (taxa mensal)

Logo, a questão está errada!

GABARITO: ERRADO

13) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens, relativos ao regime de juros compostos.

Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é sempre superior ao montante em regime de juros simples.



Para responder essa questão, o candidato deveria conhecer os gráficos dos montantes de juros simples e de juros compostos:

Por esse gráfico, podemos perceber que:

- o montante em juros simples cresce linearmente;

- o montante em juros compostos cresce exponencialmente;

- o montante em juros simples é maior que o montante em juros compostos quando tempo <1;

- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos quando tempo = 1;

- o montante em juros simples é menor que o montante em juros compostos quando tempo >1.

LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros simples quanto para compostos!!!

DICA: DECORE ESSE GRÁFICO!!! A Cespe adora cobrar um desses 5 conceitos acima que podem ser inferidos pelo gráfico!

Agora voltando a nossa questão. A questão fala que o montante em juros compostos é sempre maior que o montante em juros simples, mas isso está errado, uma vez que quando t<1, o montante de juros simples é maior que o de juros compostos.

GABARITO: ERRADO


Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, uma curva exponencial.

Essa é mais uma questão que pode ser respondida pelo gráfico:









GABARITO: CERTO

15) (CESPE – 2011 – STM) Carlos e Paulo ganharam R$ 200.000,00 em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$ 600,00 ao mês. No mesmo dia, Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na aplicação, para render nos meses seguintes. Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006² = 1,012 , 1,006³ = 1,018 e 1,0066 = 1,0363, julgue os itens que se seguem.

O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel.

Dados da questão:

- Cada rapaz recebeu R$100000 de prêmio.

- Carlos recebe R$600 de aluguel por mês.



- Paulo faz um investimento a juros composto cuja a taxa é de 0,6% ao mês:

i = 0,6% ao mês = 0,006 ao mês (juros compostos)

Vo = 100000

A questão afirma que o investimento de Paulo no primeiro mês rendeu o mesmo que o aluguel de Carlos, vamos descobrir quanto o investimento de Paulo lhe rendeu aplicando a fórmula:

J = Vo (1 + i)t – Vo

J = 100000 (1+0,006)¹ - 100000

(t=1, porque a questão fala em um transcurso de tempo do primeiro mês apenas)

J = 100000.1,006 – 100000

J = R$600

Ou seja, o rendimento de Paulo lhe rendeu o mesmo que o aluguel de Carlos: R$600.

GABARITO: CERTO

Essa questão também poderia ter sido resolvida pelo gráfico dos montantes de juros simples e juros compostos.

Para isso, o candidato precisaria perceber que Carlos fez um investimento a juros simples! Vamos explicar melhor:

Carlos comprou um apartamento e o aluga por R$600 por mês. Ou seja, é como se ele tivesse aplicado os R$100000 num investimento de juros simples que lhe rendesse R$600 por mês. É juros simples porque incide apenas no capital inicialmente aplicado. Vamos achar que taxa de juros seria?

Antes disso vamos destacar os dados da questão:

Vo = 100000

J = 600 (juros mensal de uma taxa de juros simples)

t = 1 mês

Agora vamos aplicar a fórmula de juros simples:

J = Vo . i .t (juros simples)

600 = 100000 . i . 1

i = 600/100000 = 0,006 ao mês = 0,6% ao mês



Paulo – a banca nos informa que ele investiu a juros compostos. Vamos ver os dados:

i = 0,6% ao mês = 0,006 ao mês (juros compostos)

Com isso, o aluno poderia visualizar o nosso conhecido gráfico de montantes de juros simples e juros compostos:








Observe que no exemplo da nossa questão que temos a mesma taxa de juros simples e compostos (0,6% ao mês) e o mesmo capital inicial (R$100000), logo, quando o transcurso de tempo for de 1 mês, teremos o mesmo montante.

Espero que vocês tenham aproveitado a aula e que nos encontremos em breve! Um forte abraço e fiquem com Deus!



4. RESUMO DA AULA - duas quantias só podem ser comparadas se estiverem num mesmo momento.

- Juros é a remuneração do capital.

Valor final = Valor inicial + juros

Vf = Vo + J

- Juros simples são os juros sobre o capital inicialmente aplicado.

Juros simples = Valor inicial x taxa de juros x tempo J = Vo . i . t Vf = Vo ( 1 + i . t)

- Juros compostos são os juros sobre todo o capital, seja ele capital inicial ou juros de períodos anteriores.

J = Vo (1 + i)t – Vo Vf= Vo (1 + i)t

- a diferença entre os juros simples e os juros compostos é basicamente que os simples incidem apenas sobre o capital inicial e os compostos sobre o capital inicial E sobre os juros de períodos anteriores.

- taxas equivalentes: i = (1+i0)t – 1 - gráfico de montantes de juros simples e juros compostos:












5. QUESTÕES

1) (CESPE - 2011 - FUB – Contador) Com relação ao regime de juros simples, julgue o item a seguir:

Uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00.

2) (CESPE - 2011 - Correios - Agente de Correios) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.

Suponha que a despesa com mão de obra e materiais necessários para assentar os ladrilhos tenha sido orçada em R$ 1.000,00 o m2 e que o proprietário da sala disponha de apenas R$ 10.000,00. Nesse caso, o proprietário poderá obter o montante necessário aplicando o capital disponível à taxa de juros simples de 8% ao mês durante

a) 6 meses.

b) 7 meses.

c) 8 meses.

d) 4 meses.

e) 5 meses.

3) (CESPE - 2010 - TRE-BA - Técnico Judiciário) Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Caso um investidor aplique R$ 10.000,00 em quotas de um fundo de renda fixa, pelo período de 90 dias, e resgate, ao final do período, o valor total de R$ 10.750,00, então é correto concluir que os juros simples desse investimento são de 2,5% ao mês.

4) (CESPE – 2011 – FUB – Contador) Com relação ao regime de juros simples, julgue o item a seguir.



Um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante três períodos sucessivos, à taxa de 15% ao período, gerará um juro final igual à metade desse capital.


Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00 ao final do período, é correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da aplicação foi de 6%.


Se a taxa de juros mensal da aplicação for de 5%, então o montante auferido no período será de R$ 12.000,00.

7) (CESPE – 2008 - ANALISTA DE SEGURO SOCIAL) O instituto de previdência privada IPP paga, no início de cada mês, a cada um de seus segurados, um auxílio — que pode ser auxílio-doença ou auxílio-maternidade — no valor de R$ 500,00. Também no início de cada mês, o IPP concede 800 novos auxílios-doença e uma quantidade constante x de auxílios-maternidade. Para o pagamento desses auxílios, o IPP recorre a uma instituição financeira, tomando empréstimos à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Com referência aos meses de janeiro, fevereiro e março do último ano, o IPP pagou R$ 90.000,00 de juros à instituição financeira por conta dos empréstimos para pagamento desses novos auxílios.

Com base nessa situação hipotética, julgue o item subseqüente:

A taxa de juros simples anual proporcional à taxa de juros cobrada pela referida instituição financeira é igual a 25%.

8) (ESAF – 2009 - APOFP-SP) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital?



a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

9) (CESPE – 2010 – TRE-BA – TÉCNICO) Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Para o investidor, é mais rentável aplicar R$ 5.000,00 por 3 meses, a juros compostos de 3% ao mês, do que aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês.

10) (CESPE – 2010 – TRE-BA – TÉCNICO)Acerca de matemática financeira, julgue o item que se segue, considerando, para os cálculos, o ano comercial de 360 dias.

Considere que determinado fundo de renda variável pague a taxa de juros compostos de 16,20% pelo período de aplicação de 180 dias. Nessa situação, a taxa anual equivalente desse fundo de renda será inferior a 33%.

11) (ESAF – 2006 - IRB) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês.

a) 60% ao ano

b) 30% ao semestre

c) 24% ao semestre

d) 10% ao trimestre

e) 6% ao bimestre

12) (CESPE – 2008 - ANALISTA DE SEGURO SOCIAL) Julgue os itens seguintes, acerca de taxas de juros.

A taxa mensal de juros compostos que equivale à taxa semestral de juros compostos de 10% é dada por [1,11/6 -1] x 12.




Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é sempre superior ao montante em regime de juros simples.


Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, uma curva exponencial.

15) (CESPE – 2011 – STM) Carlos e Paulo ganharam R$ 200.000,00 em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$ 600,00 ao mês. No mesmo dia, Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na aplicação, para render nos meses seguintes. Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006² = 1,012 , 1,006³ = 1,018 e 1,0066 = 1,0363, julgue os itens que se seguem.

O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel.



6. GABARITO

1- E

2- A

3- C

4- E

5- C

6- E

7- E

8- E

9- E

10- E

11- A

12- E

13- E

14- C

15- C

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