Sumário e Objectivos - fe.up.ptldinis/mecsol4.pdf · Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 26 Resolução do Problema1) As Direcções Principais são determinadas de forma análoga

2007/2008Lúcia MJS Dinis

Mecânica dos Sólidos 4ª Aula 1

Sumário e Objectivos

Sumário: Deformações. Conceito de Extensão e Distorção. Componentes do Tensor das Deformações. Propriedades do Tensor das Deformações. Deformação Volumétrica. Casos Particulares do Estado de Deformação.

Objectivos da Aula: Apreensão das Grandezas associadas àcaracterização do Processo de Deformação de Sólidos no que respeita ao seu movimento após solicitação. Construção do Tensor das Deformações e estabelecimento das suas propriedades por analogia com o tensor das Tensões.



Conceito de Extensão-1

x

Oy

z

V*V

P

P*

Componentes do Vector OP : {x,y,z}

Componentes do Vector *OP : {x*,y*,z*}

Componentes dos vectores *PP :{u,v,w}



Conceito de Extensão-2

As componentes do vector u = *PP podem ser calculadas a partir das Coordenadas dos pontos P e P*, do seguinte modo:

u = x*-x; v = y*-y e w = z*-z

x

Oy

z

PP*

V*Q*V

Q

O vector tem de grandeza ds e o vector tem de dimensão ds* , a extensão do segmento no processo de deformação édesignada por ε, sendo por definição:

PQ

*Q*P

dsds*ds −

=ε



Tensor das Deformações-1

dyP

x xdy

dy*y y

z z

P

P*

Q

Q*

u

vw




Comprimento doVector *Q*P 2 2 2

u v wdy* dy dy dy dyy y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2

yyu v wdy * dy v ( ) ( ) ( )1 2y y ydy y

∂ ∂ ∂− ∂= = + + + +ε ∂ ∂ ∂∂

-1

1yw,1

yu

<<∂∂

<<∂∂

yv

yy ∂∂

=ε

Coordenadas do Ponto P ------------------------------------------------- 0,0,0 Coordenadas do Ponto P* ------------------------------------------------ u,v,w Coordenadas do Ponto Q--------------------------------------------------0,dy,0 Coordenadas do Ponto Q*----------------------------------

dyywwdy,

yvvdy dy,

yuu

∂∂

+∂∂

++∂∂

+

Comprimento do Vector PQ ---------------------------------------------------dy



Tensor das Deformações – 3

xx zzu w;x z

∂ ∂= =ε ε

∂ ∂

As extensões segundo o eixo dos xx e segundo o eixo dos zz são obtidas de modo análogo e são:




O

x

y

z

QP

S

RR* Q*

S*

P*

dz




Ponto Posição Inicial Ponto Posição Final P x

y z

P* x+u y+v z+w

R x+dx y z

R* x+u+dx+(∂u/∂x)dx y+v+(∂v/∂x)dx z+w+(∂w/∂x)dx

Q x y+dy

z

Q* x+u+(∂u/∂y)dy y+v+dy+(∂v/∂y)dy

z+w+(∂w/∂y)dy S x

y z+dz

S* x+u+(∂u/∂z)dz y+v+(∂v/∂z)dz

z+w+dz+(∂w/∂z)dz



Tensor das Deformações –6

Ângulo Inicial Ângulo Final RPQ 90º R*P*Q* 90º- xyφ QPS 90º Q*P*S* 90º- yzφ RPS 90º R*P*S* 90º- xzφ

Vector Componentes Vector Componentes PR dx

0 0

P*R* dx+(∂u/∂x)dx (∂v/∂x)dx (∂w/∂x)dx

PQ 0 dy 0

P*Q* (∂u/∂y)dy dy+(∂v/∂y)dy

(∂w/∂y)dy PS 0

0 dz

P*S* (∂u/∂z)dz (∂v/∂z)dz

dz+(∂w/∂z)dz



Tensor das DeformaçõesDistorção -7

O s ângulos fo rmados pelos vecto res na configuração defo rmadas podem ser calculados considerando o produto escalar entre vecto res e calculando esse produto escalar das duas maneiras possíveis, ou seja:

u v u u v v w w dxdyy x x y x y x y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

P*Q* P* R *

( )( ) ( )xx yy xy1 1 dxdy cos 2= + + π − φε εP*Q* P* R *

( )( )xy xyxx yy

u v u u v v w wy x y x x y x ysen cos( )

2 1 1

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + +

π ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − =φ φ+ +ε ε

xx 1<<ε e yy 1<<ε

xy xysen=φ φ xy xyu vy x

∂ ∂= = +γ φ

∂ ∂



Tensor das Deformações – 8

As deformação de corte , xyε , xyε e xyε são iguais a metade da distorçãocorrespondente, ou seja

xy xy / 2=γε , xz xz / 2=γε e yz yz / 2=γε

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

u 1 u v 1 u wx 2 y x 2 z x

1 u v v 1 v w2 y x y 2 z y

1 u w 1 v w w2 z x 2 z y z

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎡ ⎤ε ε ε ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +ε ε ε ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦



Operações com Deformações -1

As operações e propriedades do Tensor das Deformações são em tudo análogas às operações efectuadas e às propriedades consideradas para o Tensor das Tensões.

Assim a operação de mudança de sistema de eixos das componentes do Tensor das Deformações éanáloga à operação efectuada com o tensor das Tensões, ou seja:

T´ QQε = ε



Operações com Deformações –2

Para o Estado de Deformação também se podem considerar extensões principais edirecções principais de extensão, sendo os seus valores calculados de forma análoga aoconsiderado para o Estado de Tensão num ponto. A Equação Característica toma nestecaso a forma:

3 21 2 3 0I I I− + − ε+ =ε ε

(6.11) sendo

1 xx yy zzI = + +ε ε ε 2 2 2

2 xx yy xx zz yy zz xy xz yzI = + + − − −ε ε ε ε ε ε ε ε ε 2 2 2

3 xx yy zz xy xz yz xx yz yy xz zz xy2I = + − − −ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε



Deformação Volumétrica

V = dxdydz ( )( )( )*

xx yy zz1 1 1 dxdydzV = + + +ε ε ε (6.12) dV=V*-V

A deformação volumétrica, vε , é de acordo com a definição

( )( )( )xx yy zzv

1 1 1 dxdydz dxdydzV* VV dxdydz

+ + + −ε ε ε−= =ε

( )( )( )v xx yy zzdV 1 1 1 1V

= = + + + −ε ε ε ε

= xx yy zz xx yy xx zz yy zz xx yy zz+ + + + + +ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε =



Extensão Média ou Hidrostática

A Extensão média ou hidrostática é: xx yy zz

m v13 3

+ +ε ε ε= =ε ε

O tensor das Deformações de Desvio é:

xx m xy xz

d xy yy m yz

xz yz zz m

−⎡ ⎤ε ε ε ε⎢ ⎥= −ε ε ε ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥−ε ε ε ε⎣ ⎦



Casos Particulares do Estado de Deformação

Estado Uniforme 0 00 00 0

ε⎡ ⎤⎢ ⎥ε = ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

Estado Uniaxial ou Simples

xx 0 00 0 00 0 0

⎡ ⎤ε⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Estado Plano de Deformação

xx xy

xy yy

00

0 0 0

⎡ ⎤ε ε⎢ ⎥ε = ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Estado DistorcionalSimples

xy

xy

0 00 0

0 0 0

⎡ ⎤ε⎢ ⎥ε = ε⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



Problemas Propostos para Resolução

1. Considere um ponto de um estado de deformação plana, as componentes da deformação associadas com os eixos Ox e Oy são: 10600;10150;10250 6

xy6

yy6

xx−−− ×=×=×= γεε

Determine as Extensões Principais e Direcções Principais de Deformação.

2. Considere o tensor das deformações num ponto do sólido. As componentes são:

i jε =− × − × ×− × − × ×

× × ×

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

− − −

− − −

− − −

8 10 8 10 905 108 10 16 10 4525 10

905 10 4525 10 56 10

5 5 5

5 5 5

5 5 5

..

. .

a)Determine as Extensões Principais. b)Determine as Orientações das Extensões Principais.




3. Considere o tensor das deformações abaixo indicado

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×××××××××

=−−−

−−−

−−−

ε104010101045101010201025104510251030

555

555

555

ij

e determine a dilatação volumétrica.




4. Considere a placa de profundidade unitária representada na figura e admita que - o comprimento de AB após deformação passou a ser de 252mm- o ângulo BAC passou a ser de 89,783º- a diagonal AD passou a ter o comprimento de 474mm.

B

x

250mm

A C

D

400mm

a) Determine o Tensor das Deformaçõesb) Determine a mudança de área do elemento rectangular representado.

y




5. O Campo de deslocamentos num sólido é definido do seguinte modo u axy= v bxy= w 2c(x y)z= +

(2.0) a) Determine as constantes a, b e c tendo em conta que a deformação volumétrica é 0.0004, a extensão segundo x é 0.0001 e a distorção no plano xy é 0.0025 rad no ponto de coordenadas (1,2,1.5). (1.0) b) Determine o tensor das Deformações.




6. Considere a placa quadrada representada na figura da página seguinte a qual está carregada de tal modo que corresponde a um estado plano de deformação. (1.0) a) Determine as expressões dos deslocamentos segundo x (u) e segundo y (v) e determine o tensor das deformações admitindo que o campo de deslocamentos élinear.(0.5) b) Determine o tensor das deformações no Sistema de Eixos Ox´y´.




Segmentos de Recta

x

y

3.5mm

1mm

1m

2.5mm

3mm

θ=π/6

x´

y´

B

B*

C

C* D

D*

O=O*

5mm

2mm




7. Considere o cubo de dimensões unitárias representado na figura 1 no qual se pode considerar válidas as funções deslocamento seguintes:

e determine:(1.0) a)O tensor das deformações admitindo que se trata de pequenas deformações.(0.5) b)A variação do ângulo formado por AO e OG.(1.0) c)A variação de comprimento do segmento OC durante o processo de deformação do sólido.

( )u 2x 3y ; v 2 y; w 2 z onde , e são constantes= α + = β = γ α β γ




y,y*

x,x*

z,z*

O

A B

CD

E F

G



Resolução do Problema1)

6250 60010 0

600 150(250 )(150 ) 360000 0

−− ε× =

− ε

− ε − ε − =

6250 60010

600 150−⎡ ⎤

×⎢ ⎥⎣ ⎦

O Tensor das Deformações é:

A equação Característica é:

As Extensões ou Deformações Principais são: 200 50 145

200 50 145

⎧ ⎫+⎪ ⎪⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭



Resolução do Problema1)

As Direcções Principais são determinadas de forma análoga à considerada no caso do Estado Plano de Tensão.



Resolução do Problema 3)

3. Considere o tensor das deformações abaixo indicado

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×××××××××

=−−−

−−−

−−−

ε104010101045101010201025104510251030

555

555

555

ij

e determine a dilatação volumétrica.

A dilatação Volumétrica ou Deformação Volumétrica é:5

v xx yy zz 90 10−ε = ε + ε + ε = ×



Resolução do Problema 4a)

yydy* dy 252 250 0.008

dy 250− −

ε = = =

xy(90 89.783) 0.003787

180− × π

γ = =T

2 2 2 2

0.848400 250,0.53400 250 400 250

⎛ ⎞ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎜ ⎟

+ + ⎩ ⎭⎝ ⎠

A deformação εyyé:

A distorção γxy é:

O versor da direcção AD é:

A extensão segundo a direcção AD é:*

xx xy xx xyx*

xy yy xy yyy

T 2 2xx xy 2 2

xx xy yy 2 2xy yy

l ml*

l mm

l m l 474 400 250l 2 lm ml m m 400 250

ε ε ε + ε⎧ ⎫ε⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪ε = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ε ε ε + εε⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

ε + ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − += ε + ε + ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ε + ε +⎩ ⎭⎩ ⎭



Resolução do Problema 4a)

2n xy yy

xx 2

2 lm m0.00129

lε − ε − ε

ε = =Consequentemente:

O Tensor das Deformações é: 0.00129 0.00190.0019 0.008

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦



Resolução do Problema 4b)

A Área Final é: f xx yy

i

f i

A (1 )(1 )dxdy

(1 0.00129)(1 0.008) 400 250100930.1682

400 250 100000.0A930.1682A -A

= + ε + ε =

= + + × × ==

= × ==

A Área Inicial



Resolução do Problema 5ª)

xx

xy

v xx yy zz

du aydxdu dv ax bydy dx

ay bx 2c(x y)

ε = =

γ = + = +

ε = ε + ε + ε = + + +

A Deformação εxx é:

A Distorção

A Deformação Vol.

No ponto de coordenadas x=1, y=2 e z=1.5 é:2a 0.0001 a 0.00005

a 2b 0.0025 b 0.0012252a b 6c 0.0004 c 0.0001542

= =⎧ ⎧⎪ ⎪+ = ⇒ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = = −⎩ ⎩



Resolução do Problema 5b)

O Tensor das Deformações é:

( )( )

12

12

0.00005y 0.00005x 0.001225y 0.0003084z0.00005x 0.001225y 0.001225x 0.0003084z

0.0003084z 0.0003084z 0.0003084(x y)

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥− − − +⎣ ⎦

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