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2007/2008Lúcia M.J.S. Dinis

Mecânica dos Sólidos15ªAula

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Sumário e Objectivos

Sumário: Tensões de corte em Secções de parede delgada. Centro de corte. Tensões de corte em peças mistas ou compostas.

Objectivos da Aula: Ser capaz de calcular as tensões de corte em peças delgadas não simétricas e mistas. Ser capaz de determinar o centro de corte.



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Viga Carregada



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Tensões de Corte



4

Vigas em Consola



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Tensões de Corte em Vigas com Secções Rectas Abertas de Paredes Delgadas

Na secção anterior procedemos ao cálculo das tensões tangenciais verticais,τxy , na secção de vigas sujeitas a um esforço transverso V. Os planos de corte foram considerados a uma distância do eixo dos zz e paralelos a Oxz, sendo Ox coincidente com a direcção do eixo da viga. No caso das secções rectas serem abertas e de paredes delgadas é possível considerar planos de corte com orientações distintas, nomeadamente com orientações tais que o plano de corte seja paralelo a Oyx como se representa na figura seguinte. Nestas condições podem calcular-se as tensões, τxz que ocorrem na faceta perpendicular ao eixo dos zz e que têm a direcção do eixos dos xx, como se representa na figura. As tensões que aparecem no banzo são iguais a τzx , como resulta da simetria do tensor das tensões.



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Tensões de Corte em Vigas com Secções Rectas

Abertas de Paredes Delgadas

y

z

xzVSIe

=τ

onde S é o momento estático da área abcd em relação ao eixo dos zz.

a



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Vigas de Secção Aberta. Fluxo das Tensões de Corte



8

Exemplo 14.1

Considere a viga cuja secção tem a forma de T como se representa na figura e determine as tensões que se desenvolvem junto ao plano de corte que intersecta a secção em a-b como se representa na figura. Determine também as forças resultantes . Admita que a viga estásujeita a uma solicitação tal que produz um esforço cortante T=5kN na secção em que se pretendem as tensões.



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Exemplo 14.1

É indispensável determinar a posição do centro de gravidade da Secção. Para isso considera-se que

1 21 2g

1 2

y y 150 30 185 170 30 85A A 131.875mmy150 30 170 30A A

+ × × + × ×= = =

+ × + ×

Uma vez conhecida a posição do centro de gravidade há necessidade de calcular o momento de Inércia, que é

( )

( )

32

z

32 6 4

150 30 150 30 200 131.875 15I 1230 170 170 30 131.875 85 36.53 10 mm12

×= + × × − − +

×+ + × × − = ×



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Exemplo 14.1

É necessário calcular também o momento estático da área de corte que é 4 3S 40 30 (200 131.875 15) 6.375 10 mm= × × − − = ×

Uma vez determinados os momentos de Inércia da Secção e o momento estático da área de corte pode aplicar-se a fórmula de Jouravsky e determinar as tensões de corte que são

5

xz 6 3z

VS 5000 6.375 10 0.29MPae 36.53 3010 10I

−

− −

× ×= = =τ

× × ×Para determinar a força resultante convém calcular a tensão xzτ máxima na secção que corresponde à área de corte 60×30, cujo momento estático é:

4 3S 60 30 (200 131.875 15) 9.5625 10 mm= × × − − = ×5

xz 6 3z

TS 5000 9.5625 10 0.44MPae 36.53 3010 10I

−

− −

× ×= = =τ

× × ×2 0.44 60 30 / 2F = × × = 396N



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Centro de Corte

xzmax1 b eF 2

τ= ×

e a espessura do U considerada pequena quando comparada com as restantes dimensões.

1h VdF = 1hFdV

=

No caso da viga em U representada na figura, cujo centro de gravidade é G, as forças 1F tendem a produzir torção no caso do plano de solicitação passar por G, como

resultado da acção do momento resultante que é 1F ×h, sendo

V- Esforço Transverso

V



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Exemplo 15.1



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Exemplo 15.1-Resolução



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15




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20




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40

Exemplo 15.2



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45




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47


+



48

Vigas Compostas



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Vigas



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Vigas Compostas

1 1x1 x kyE E= =σ ε −

2 2x2 x kyE E= =σ ε −

( )

⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 1 2

2 2z 1 2x1 x2

A A A A

1 1 2 2

= ydA + ydA = k dA + dA =y yσ σM E E

= k +E I E I

z

1 1 2 2

Mk =+E I E I

1 zx1

1 1 2 2

dME= ydσ +E I E I

d 2 zx2

1 1 2 2

dME= yσ+E I E I

1 1x1 x dkyd dE E= =σ ε −

2 2x2 x dkyd dE E= =σ ε −

z

1 1 2 2

dMdk =+E I E I



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Vigas Compostas -Tensão de Corte

abcd

abcd

dy dy

S

= =σ∫ ∫

=

1 zA x1

abcd 1 1 2 2

1 z

1 1 2 2

dMEd = d yF +E I E IdME+E I E I

( )∑ x A H A A

H A

= + - + d = 0F F F F Fou

= dF F

Caso 1: Acima da Secção de corte há só um material

Sendo FH = τxy bdx

1

2

a bc d

1 abcdxy

1 1 2 2

V SEbE I E I

=τ+



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Vigas Compostas

abcd cdef cdef

cdef abcd

dy d dy dy dy

S S

+ = + =σ σ∫ ∫ ∫ ∫

= +

1 2z zA x1 x2

cdef 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2z z

1 1 2 2 1 1 2 2

dM dME Ed = d y yF + +E I E I E I E IdM dME E+ +E I E I E I E I

Caso 2: Acima da Secção de corte há dois materiais

1

2a b

c d

e f

1 2cdef abcdxy

1 1 2 2 1 1 2 2

V VS SE Eb bE I E I E I E I

= +τ+ +



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Vigas Compostas-Método da Secção Equivalente

1 abcdxy

1 1 2 2

V SEbE I E I

=τ+

1E

Caso 1: Homogeneização no material 1

Dividindo o numerador e o denominador por

abcd abcdxy

1 2 eq

V VS Sn b bI I I

= =τ+

1

2

a bc d



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Vigas Compostas -Método da Secção Equivalente

2E

1 abcdxy

1 1 2 2

V SEbE I E I

=τ+

Caso 1: Homogeneização no material 2

1

2

a bc d

Dividindo o numerador e denominador por

abcd abcdxy

1 2 eq

mV mVS Sb bmI I I

= =τ+

mSabcd momento estático da Secção equivalente



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Peças Mistas

A determinação das tensões de corte pode ser feita considerando o método da secção equivalente como foi considerado para o caso da determinação dos esforços axiais, sendo também possível considerar um método directo e deduzir as fórmulas adequadas para esse efeito. Sendo o momento de inércia equivalente, no caso de uma viga constituída por dois materiais

2eq 1 2

1

En com n=I I IE

= +



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Problemas Propostos

1. Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual P, representada na figura seguinte. A secção da viga foi obtida a partir de um perfil em I e dois perfis Ucolados como se representa na figura. A cola utilizada na ligação tem uma tensão máxima admissível ao corte de 300kPa e o material dos perfis tem tensões normais admissíveis de 150MPa e tensões de corte admissíveis de 80Mpa. Determine a carga máxima P que a viga pode suportar desprezando o peso próprio da viga e considerando as tensões admissíveis atrás referidas.



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Problemas Propostos (cont.)



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Problemas Propostos

2. Considere as secções representadas na figura e determine a posição do centro de corte. Admita que V = P. As secções são consideradas de espessura constante e igual a 15mm.



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Problemas Propostos

3. Considere uma viga constituída por dois materiais distintos, cuja secção tem a forma representada na figura seguinte. Considere que as várias partes são coladas e determine as tensões de corte na secção nas várias zonas de colagem admitindo que o esforço cortante na secção é de 5kN. A unidade em que estão expressas as dimensões é o mm.O módulo de Young do material 1 é 200GPa e o módulo de Young do material 2 é 100GPa



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Problemas Propostos (cont)

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