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Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos8ªAula

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Sumário e Objectivos

Sumário: Resolução de Problemas.Objectivos da Aula: Ser Capaz de resolver problemas com perfis tubulares



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Vigas



3

Camião



4

Bicicleta



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Função de Tensão de Prandtl

A solução do problema de torção de um veio de secção arbitrária, na ausência de forças de massa, passa pela solução do sistema de equações

zyzx 0x y

∂∂ ττ + =∂ ∂

zyzx 2Gy x

∂∂ ττ − = − θ∂ ∂

considerando as condições de fronteira seguintes

zx zyl m 0+ =τ τ na superfície lateral do sólido

t yz xzA(x y )dxdyM = −τ τ∫∫ para z=0 e z=L.



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Função de Tensão de Prandtl

Para resolver este problema um dos métodos disponíveis recorre à chamada função de tensão de Prandtl que é uma função tal que

zx zy e y x∂φ ∂φ

= = −τ τ∂ ∂

verificando automaticamente as equações de equilíbrio.

Substituindo estas expressões na equação de compatibilidade obtém-se2 2

222G

yxφ φ∂ ∂+ = − θ

∂ ∂

Esta equação é muitas vezes referida como Equação de Poisson. A solução do problema passa agora pela solução da equação de compatibilidade sujeita às condições de fronteira

l m 0y x∂φ ∂φ

− =∂ ∂



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Veio de Secção Elíptica

x

xy

a

b

A função φ a considerar é22

2 2

yxk 1a b

⎛ ⎞φ = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

sendo k uma constante

Substituindo a função φ na equação de compatibilidade, obtém-se

2 2

2k 2k 2G Ha b

+ = − θ =2 2

2 2a bk H

2( )b a=

+



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A função de Prandtl para o veio de secção elíptica toma a forma

( )22 2 2

2 22 2

ya b xH 12 a ba b

⎛ ⎞φ = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

A1ª condição de fronteira refere-se ao contorno do veio e é y x 0

y s x s s∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ

+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A outra condição de fronteira diz respeito aos extremos do veio e é

t yz xzA(x y )dxdyM = −τ τ∫∫ A

(x y )dxdyx y∂φ ∂φ

− +∂ ∂∫∫=

por aplicação do teorema de Gauss obtém-se

t A

C A

( x) ( y)( y 2 )dxdyM x y

=- (x cos( , x) y cos( , y))ds 2 dxdy

∂ φ ∂ φ= − + − φ =

∂ ∂

φ ν + φ ν + φ

∫∫

∫ ∫∫



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O integral estendido ao contorno é nulo pela 1ª condição de Fronteira e o Momento torsor é

tA

2 dxdyM = φ∫∫ Ou seja( )

3 3

t 2 2a b GM

a bπ= θ+

No caso do veio elíptico a função de Prandtl pode ser escrita em termos do Momento torsor, com a seguinte forma 22

t2 2

yM x 1ab a b

⎛ ⎞φ = − + −⎜ ⎟π ⎝ ⎠

As tensões sãot t

xz 3x

2 y yM My a 2b I∂φ

= = − = −τ∂ π

t txz 3

y

2 x xM Mx b 2a I∂φ

= − = =τ∂ π

( )1/ 2

221/ 2t2 2

zx zyz4 4

yx2Mab a b

α = =τ τ +τ +π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Tensão Resultante



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Membrana Elástica



11

Membrana Elástica



12

Membrana Elástica



13

Membrana Elástica



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Analogia de Membrana



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Analogia de Membrana de Prandtl

2 2

222G

yxφ φ∂ ∂+ = − θ

∂ ∂

2 2

22

z z pTyx

∂ ∂+ = −∂ ∂

x

z

α p

x

y

dydx

S

S

Prandtl mostrou que as deformações de corte numa barra elástica rectilínea sujeita a um momento torsor estão relacionadas com as inclinações da membrana estendida num orifício de uma placa plana e sujeita a uma pressão p, considerando o orifício com a forma da secção recta da barra e a membrana ligada

à fronteira do orifício.



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Analogia de MembranaSecção Rectangular



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Secções Abertas de parede delgada

t 3p3

13M ; C=G b GtIG 3btθ = =t

max 23M G t;bt

= = θτ



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22



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Secções Abertas de Paredes Delgadas

n3

p i ii 1

GC G k b aI 3 =

= = ∑ tiG sendo = / Ca Mτ = θ θ



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Secção Tubular de parede Fina



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L é o perímetro



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Secção Multicelular



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Veio Circular de Secção Variável



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Veio Circular



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Energia de Deformação de Torção



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Problema 1



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Resolução Problema 1



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Problema 2



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Problema 3



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Problema 4



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Problemas Propostos

1. Mostre que a função de tensãoG 2a 2a ax 3y x 3y x2a 3 3 3θ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤φ = − − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

é adequada para efeitos de cálculo das tensões num triângulo equilátero com a forma representada na figura. Determine as tensões tangenciais

a/3

x

2a/3

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