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R. M. Natal Jorge L. M. J. S. Dinis

Teoria da Plasticidade

Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Faculdade de Engenharia Universidade do Porto

(2004/2005)

Teoria da Plasticidade 1

Teoria da Plasticidade

1. Introdução

Na generalidade dos projectos de componentes estruturais, admite-se que as solicitações impostas conduzem a um comportamento elástico dos materiais que os constituem. No entanto, em determinadas situações, como por exemplo, motivos de segurança, é necessário prever o comportamento dos componentes perante o aparecimento de deformações com características plásticas. Por outro lado, a simulação dos processos tecnológicos de fabrico, como por exemplo a estampagem ou o forjamento por injecção, envolvem inevitavelmente deformações plásticas nas peças a enformar.

Para os materiais utilizados normalmente na construção mecânica, e à temperatura ambiente, é possível analisar o seu comportamento recorrendo à teoria matemática da plasticidade [6][18][19][22][28][36], pois, de uma forma geral, as deformações plásticas envolvidas podem-se considerar independentes do tempo.

No presente texto apresenta-se, de um ponto de vista genérico, os conceitos fundamentais do modelo elasto-plástico: critério de cedência, regras de encruamento e de escoamento plástico e, leis constitutivas.


2. Problemas Uniaxiais

Tomando a tensão aplicada σ e a deformação ε, para um comportamento que se possa identificar com o comportamento plástico, podem-se fazer as seguintes distinções:

i) Comportamento linear elástico: σ

σ σ

ε Fig. 1-Modelo linear elástico.

ii) Comportamento rígido-perfeitamente plástico:

σ

atritoσ σ

ε Fig. 2-Modelo rígido-perfeitamente plástico.


iii) Comportamento rígido-plástico com encruamento linear:

σ

σ

atrito

ε

Fig. 3-Modelo rígido-plástico com encruamento linear.

iv) Comportamento elástico-perfeitamente plástico:

σatrito

σ σ

ε

Fig. 4-Modelo elástico-perfeitamente plástico.

v) Comportamento elásto-plástico com encruamento linear:

σatrito

σ

ε Fig. 5-Modelo elásto-plástico com endurecimento linear.


Como exemplo de aplicação, considere-se uma estrutura articulada hiperestática representada na figura seguinte.

y

45 45

L 1 2 3

x, Δ1

P, Δ2 Fig. 6-Estrutura articulada.

Considere-se que as três barras são constituídas do mesmo material, cujo módulo de elasticidade vale E, apresentam igual secção, A, e a carga de rotura, isto é, a força uniaxial (compressão ou tracção) a que corresponde um estado de tensão coincidente com a tensão de cedência obtida no ensaio de tracção, é Pc. Admita-se ainda que, uma vez atingida a tensão de cedência o material pode deformar-se infinitamente mantendo-se contudo o estado de tensão constante. Pretende-se determinar qual o valor da carga de rotura da estrutura, Pr, em função de Pc.

EiAi/Li×cosθi

EiAi/Li×cosθi×senθi

cosθiEiAi/Li×(cosθi)2

Li

y

θi

x Fig. 7-Esforços normais numa barra.


Numa primeira fase estabelece-se um cálculo linear elástico, o que permitirá determinar quais os esforços normais suportados por cada barra. Para o efeito, pode-se recorrer ao método dos deslocamentos [15], em que numa dada barra i, a uma variação de comprimento cosθi, corresponde um esforço normal EiAi/Li×cosθi (ver Fig. 7).

Considerando os graus de liberdade assinalados na figura, Δ1 e Δ2, tem-se os seguintes coeficientes de rigidez para a estrutura:

32

111

cosi ii

i i

E AK

Lθ

=

= ×∑

3

21 121

cos seni ii i

i i

E AK K

Lθ θ

=

= × × =∑

32

221

seni ii

i i

E AK

Lθ

=

= ×∑

(1)

ou explicitando:

2 2 2

111 2 3

cos 45 cos 90 cos 135 22

o o o EAK EAL L L L

⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 121 2 3

sen45 cos 45 sen90 cos90 sen135 cos135 0o o o o o o

K K EAL L L

⎛ ⎞× × ×= = + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2

221 2 3

sen 45 sen 90 sen 135 212

o o o EAK EAL L L L

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2)

O estabelecimento das equações de equilíbrio segundo os respectivos graus de liberdade permite determinar as componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força exterior, P:

212

2 02 0 01

20 12

u uEA Lv P v PL EA ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ = ⇒ = ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3)

O esforço normal em cada uma das barras pode ser calculado por:

cos seni i i ii i i

i i

A E A EF u v

L Lθ θ= × + × (4)

Para o conjunto das três barras tem-se:


1 1

1 11

2 22

2 23

3 3

3 3

cos sen

cos sen

cos sen

L LF

uF AE

vL LF

L L

θ θ

θ θ

θ θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ = ×⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5)

ou, atendendo à relação entre comprimentos, L2=L e L1=L3= 2 / 2L ,

2 21 2 2

2 2122 2

3 2 2

2 2cos 45 sen45 2

01cos90 sen90 2 2

cos135 sen135 2 22

FAE LF P

PL EAF

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= × × = − ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(6)

Os esforços calculados, que apenas são válidos enquanto todas as barras

"funcionarem" no domínio linear elástico, permitem concluir que a barra 2 é a que suporta um maior esforço normal, pelo que, num processo de carregamento incremental será a primeira a atingir a carga correspondente à tensão de cedência. Com base neste raciocínio é possível determinar o valor da força P (P′) que leva a que a primeira barra da estrutura (barra 2) atinja a carga de cedência:

( )2 2 22 2

cc

PF P P P′= = − → =−

(7)

a que corresponde um deslocamento vertical no nó de aplicação da força, v′:

2 21 12 2

12 2

cc

PL L LPv PEA EA EA⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′′= × = × × =−

(8)

Devido à simetria do problema, as duas restantes barras atingirão em simultâneo a

carga de cedência, o que ocorrerá quando a força P atingir um valor P″. Para o cálculo deste valor pode-se recorrer ao equilíbrio vertical do nó de aplicação da força.


A carga de rotura é atingida quando os esforços normais F1 e F3igualarem a carga de cedência, Pc. A equação de equilíbrio vertical permite escrever:

PcF1 F3

P (≡Pr)

1 30 cos 45 cos 45 0vi cF P F F P= → + + − =∑ (9)

Fazendo coincidir F1=F3≡Pc e P≡Pr, resulta:

( ) ( )1 2 cos 45 1 2r c cP P P= + × = + (10)

Para forças exteriores em que se verifique P ∈ [P′,Pr[, o cálculo dos deslocamentos

nodais faz-se de modo semelhante, mas considerando apenas as duas barras que se encontram em regime elástico.

y

45 45

L 1 3Pc

x, Δ1

P∈[P′,Pr[, Δ2 Fig. 8-Estrutura articulada para P>P′.

As componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da força tomam os seguintes valores:

2 0 0 022220

2c c

u uEA LP P P Pv vL EA

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ = ⇒ = ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

(11)


Pelo que, para uma força exterior de, (1 2)r cP P P≡ = + , o deslocamento vertical segundo o grau de liberdade Δ2 toma o valor: 2 /r cv P L EA= . Pode-se agora traçar o gráfico carga-deslocamento, que se encontra representado na Fig. 9.

P×Pc

21+

211+

1 2 ×LPc/EA v Fig. 9-Gráfico carga-deslocamento vertical.

3. Observações Experimentais: O Ensaio de Tracção

3.1. Limite de Proporcionalidade. Limite Elástico e Tensão de Cedência

A facilidade de execução e a reprodutividade dos resultados tornam o ensaio de tracção, um dos ensaios mecânicos mais importantes.

A aplicação de uma força num corpo sólido promove uma deformação do material na direcção dessa força, consistindo o ensaio de tracção em submeter ao corpo sólido uma força que tende a alongá-lo. Para a realização do ensaio o corpo sólido tem dimensões normalizadas, designando-se provete. O provete é então submetido a um carregamento uniaxial o que provoca a sua deformação. Para uma liga metálica, o gráfico tensão-deformação pode tomar o aspecto representado na Fig. 10.


σ P

B

A

O ε

tensão limite elástico

tensão limite proporcionalidade

pε eε

Fig. 10-Gráfico tensão-deformação de uma liga metálica.

No ponto A atinge-se o limite do comportamento linear, sendo a tensão correspondente designada por tensão limite de proporcionalidade, a partir do qual não é, regra geral, aplicável a lei de Hooke como lei constitutiva. Entendendo-se como comportamento elástico, o fenómeno associado à ausência de deformações pós carregamento, o limite elástico de comportamento do material ocorre no ponto B, correspondendo-lhe a tensão, conhecida como tensão limite elástico.

σ

O ε

limite superior datensão de cedência

patamar de cedência

Fig. 11-Gráfico tensão-deformação de um aço de baixo teor em carbono [13].

Outros metais apresentam no entanto uma curva ligeiramente distinta da anterior (Fig. 11). De facto, alguns metais, apresentam um valor de tensão, tensão limite superior da tensão de cedência, seguido de uma ligeira quebra. Seguidamente, verifica-se um aumento da deformação, mas que não é acompanhado por variação na tensão. Esta região


do gráfico é conhecida como patamar de cedência. Posteriormente, o valor da tensão retoma uma variação crescente, designando-se o fenómeno, como encruamento (endurecimento por deformação) do material.

Nos metais mais correntes, a parcela da curva AB no gráfico da Fig. 10 é, em geral, muito reduzida, sendo por isso frequente não distinguir entre tensão limite elástico e tensão limite de proporcionalidade. Por outro lado, também a diferença entre o valor da tensão limite superior da tensão de cedência e o patamar de cedência, ou tensão de escoamento, é normalmente muito reduzida, pelo que se refere apenas tensão de cedência, Y0σ . Devido à dificuldade existente em distinguir no ensaio todos estes parâmetros, normalmente apenas se refere a tensão de cedência como a tensão necessária para provocar uma deformação plástica de 0,2%.

3.2. Histerese e Encruamento

Na região plástica, isto é, quando o nível de carregamento corresponde a um valor

para a tensão superior à tensão de cedência, o incremento de deformação plástica é acompanhado de um incremento de tensão, e diz-se que houve um encruamento do material.

Regra geral, a curva tensão-deformação de descarregamento pós deformação plástica (AA′ do gráfico da Fig. 12) não é exactamente linear e paralela à porção elástica inicial da curva. No carregamento seguinte (curva A′A″) observa-se que a curva não coincide com a curva de descarga, retomando a curva inicial em A″. Este fenómeno é conhecido por histerese [6] não sendo considerado no modelo descrito no presente texto.

σ

O A′ ε

A

A″

Fig. 12-Gráfico tensão-deformação com descarregamento e carregamento.


3.3. Efeito de Bauschinger

Considere-se o seguinte ciclo de carregamento: o provete é submetido a um esforço de tracção de modo a que, na respectiva curva tensão-deformação se atinja o ponto D (ver Fig. 13), portanto para além do ponto representativo da tensão de cedência ( Y0

Tσ ); neste ponto (D) o carregamento é totalmente retirado, permanecendo uma deformação plástica (ponto G); seguidamente aplica-se um esforço, agora de compressão, atingindo-se o ponto D′. Como se esquematiza na figura, os valores em módulo, para a tensão de cedência à tracção ( Y0

Tσ ) e compressão ( Y0Cσ ) não coincidem, verificando-se Y0 Y0

T Cσ σ> . Esta dependência da tensão de cedência com o sentido de carregamento é conhecida como efeito de Bauschinger [9].

σ

O G ε

D

D′

Y0Cσ

Y0Tσ

Fig. 13-Efeito de Bauschinger.

3.4. Efeito do Tempo

Geralmente, a deformação permanente é dependente do tempo, verificando-se a necessidade de um certo intervalo de tempo para que a deformação plástica atinja o seu valor final (real).


σ

O C ε

PA

A′

P′

B

Fig. 14-Curvas tensão-deformação em equilíbrio dinâmico e quase-estático.

Na Fig. 14 representa-se um gráfico tensão-deformação com duas curvas obtidas em

dois ensaios de tracção realizados a velocidades diferentes. A curva OP é obtida num ensaio realizado com uma taxa de deformação superior à taxa aplicada no ensaio referente à curva OP′. Conclui-se assim, que a taxa de deformação com que se realiza o ensaio de tracção conduz a diferentes curvas tensão-deformação. Outra observação importante que se verifica nestes testes, é que, realizando-se o ensaio a uma taxa de deformação finita, e portanto numa situação dinâmica, se se parar no ponto A, verifica-se que o estado de deformação tende, com o tempo, para o ponto A′, mantendo-se contudo o mesmo nível de tensão. Quando o ponto A′ é atingido a taxa de deformação é aproximadamente nula, isto é, entre o ponto A e o ponto A′ a taxa de deformação sofreu uma variação, cuja lei pode seguir a curva do gráfico da Fig. 15.

O t

ε&p

Fig. 15-Variação da taxa de deformação com o tempo.

Realizando-se vários testes para níveis de tensão diferente obtém-se a curva OP′, denominada curva quase-estática de tensão-deformação, enquanto a curva OP é designada por curva de tensão-deformação dinâmica. O descarregamento realizado a partir do ponto A na curva de equilíbrio dinâmico, sendo feito com uma velocidade finita, segue o percurso ABC, e em que apenas, do ponto B para C se verifica uma variação linear, observando-se uma deformação plástica entre A e B.


Em certos metais, a dependência da deformação plástica com a taxa de deformação pode ser razoavelmente quantificada por [24] rε& , em que o expoente r depende da deformação plástica e da temperatura. No quadro seguinte apresentam-se vários valores de r para um ensaio de compressão realizado à temperatura ambiente [21].

Quadro I

Valores de r para as seguintes reduções em altura Metal

10% 30% 50%

Alumínio 0,013 0,018 0,020

Cobre 0,001 0,002 0,010

3.5. Efeito da Pressão, Humidade e Temperatura

O expoente r, definido anteriormente, de modo a quantificar a dependência da deformação plástica com a taxa de deformação é ainda função da temperatura, como se mostra no quadro seguinte [21].

Quadro II

Valores de r para as seguintes reduções em altura Metal Temperatura (ºC)

10% 30% 50%

18 0,013 0,018 0,020

350 0,055 0,073 0,088 Alumínio

550 0,130 0,141 0,155

18 0,001 0,002 0,010

450 0,001 0,008 0,031 Cobre

900 0,134 0,154 0,190

930 0,088 0,094 0,105 Aço 1200 0,116 0,141 0,196

Os ensaios experimentais realizados com materiais dúcteis e submetidos a diferentes pressões hidrostáticas mostraram que o valor obtido para a tensão de cedência destes materiais não é afectado com a variação da pressão hidrostática, verificando-se contudo que a deformação na fractura aumenta com a pressão hidrostática [6].


Considere-se a curva tensão-extensão representada no gráfico da Fig. 16 em que, quando se atinge o ponto A da curva localizado na região plástica, a carga é mantida constante. Observa-se que a deformação aumenta de A para B e o seu valor depende do tempo de permanência da tensão constante. Quanto maior for o tempo de permanência da tensão constante, maior será o alongamento verificado. O fenómeno acabado de descrever é conhecido por fluência (creep) [22] e para certos materiais pode até ser verificado à temperatura ambiente.

σ

O ε

AB′

B

Fig. 16-Definição de Fluência.

Considerando a extensão de fluência ( cε ) como a extensão total menos a inicial (em que se aplicou a tensão), obtém-se tipicamente para os metais uma das curvas representadas na Fig. 17 [24]. Na curva de fluência típica (a traço interrompido) é possível distinguir três estágios correspondentes a: fluência primária, secundária e terciária. Para baixas temperaturas e tensões apenas é visível o estagio de fluência primário, verificando-se um valor limite.

O t

curva de fluência paraelevada temperatura etensão

fluênciaprimária

curva de fluência a baixatemperatura e tensão

fluênciasecundária

fluênciaterciária

cε

Fig. 17-Curvas de fluência típicas para os metais.

Para elevadas temperaturas e tensões a fluência primária mostra uma dependência logarítmica ou potencial de acordo com uma das seguintes leis [24]:


ln( )c tε ∝ (12.1)

c tαε ∝ (12.2) em que α toma valores entre 0 e 1, designando-se por lei de fluência de Andrade para α=1/3.

Segundo Nadai [29], a fluência descrita pela lei da potência pode ser obtida a partir duma fórmula que relaciona a tensão, a deformação de fluência ( cε ) e a taxa de deformação de fluência ( cε& ):

( ) ( )n rc cCσ ε ε= & (13) em que C, n e r dependem da temperatura. A fluência terciária é normalmente considerada como resultante de modificações ao nível estrutural acompanhada de perda de resistência e, eventualmente, de rotura. Segundo Lubliner [24], para um metal submetido a elevadas temperaturas e tensões pode-se considerar como característica desse metal a taxa de fluência mínima. Para um determinado estado de tensão, a relação da temperatura com essa taxa de fluência segue uma lei análoga à expressão de Arrhenius para a taxa de deformação, que se analisará adiante. Por outro lado, a dependência dessa taxa de fluência mínima, para uma dada temperatura, pode ser aproximada por uma lei exponencial para um elevado estado de tensão, ou, para um estado de tensão reduzido, por uma função potencial do tipo:

minc qε σ∝& (14)

Esta relação é normalmente conhecida pela lei de Bailey-Norton [24], verificando-se que a expressão de Nadai (13) descreve esta mesma lei tomando n=0 e r=1/q. Uma aproximação utilizada para o cálculo da deformação de fluência como função do tempo e para uma dada temperatura é a seguinte:

( ) 0 minc c ct tε ε ε= + & (15)

em que min

cε& é a taxa de fluência mínima, e 0cε é um valor fictício definido pela intercepção

da recta tangente à curva de fluência num ponto pertencente à zona em que a taxa de fluência é estacionária.

Todavia, para muitos materiais e a diferentes temperaturas, a deformação inelástica é insignificante quando o nível de tensão é inferior à tensão de cedência. Um modelo simples que descreve este efeito é o modelo de Bingham:

Y0

Y0Y0

0,

1 ,

σ σε σ σ σ σ

σ η

<⎧⎪= ⎨⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩

& (16)


em que η representa a viscosidade do metal e σ representa o estado de tensão instalado. Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham acabado de descrever representa de facto o modelo mais simples apresentado pela teoria da viscoplasticidade.

Os trabalhos experimentais demonstraram que nos ensaios de tracção realizados a temperaturas superiores à temperatura ambiente se obtêm valores diferentes, quer para as constantes elásticas, quer para as propriedades de resistência, dos obtidos à temperatura ambiente. Por exemplo, os aços ao carbono revelam um aumento da resistência à tracção para temperaturas até 300ºC a partir da qual a resistência à tracção desce cerca de 50% até temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. De um modo geral, para os metais, verifica-se um decréscimo da tensão de cedência com o aumento da temperatura [6] (Fig. 18).

σ

T

ε Fig. 18-Dependência da tensão de cedência com a temperatura [24].

3.6. Combinação de Efeitos Para os metais, a tensão de escoamento é simplesmente a tensão de cedência para o

estado uniaxial de tensão, expresso como uma função da temperatura, do estado de deformação, da velocidade de deformação e da microestrutura. Genericamente, também é referida como a tensão efectiva ou tensão equivalente representando um estado triaxial de tensões. Assim, pode-se escrever:

( , , , )f Tσ ε ε ϖ= & (17) em que σ , é a tensão efectiva, ε é a deformação efectiva, ε& é a taxa de deformação efectiva, T é a temperatura e, ϖ reflecte a estrutura metalúrgica do material.

Existem de facto algumas expressões cujo objectivo é determinar a influência que cada um dos termos atrás referidos provoca no valor da tensão de cedência. Uma das


funções, baseada na equação de Arrhenius [24], foi proposta por Sellars-Tegart [23][37], permitindo analisar a influência da temperatura e da taxa de deformação em simultâneo:

( )( )273exp QTZ ε += ×& R (18)

em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon, Q representa uma energia de activação do escoamento plástico, normalmente independente da temperatura e em muitos casos independente do estado de deformação, R é a constante de Boltzmann (8,314 J/molºK) e T é a temperatura em ºC.

Outra função para a tensão de cedência e que, contrariamente à de Sellars-Tegart, tem em consideração o estado de deformação, através da deformação efectiva ε , é a seguinte [37][38]:

f0 TK K K Kε εσ = & (19) em que f0K é um coeficiente que depende do metal, tomando por exemplo para o aço inoxidável valores compreendidos entre 153 e 303, enquanto os restantes parâmetros são funções com a seguinte forma:

( )expT 1 1K A m T= − (20.1)

2m2K Aε ε= (20.2)

3m

3K Aε ε=&& (20.3)

Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o tipo de metal. Por exemplo, para o aço inoxidável tomam os seguintes valores [17]:

17,07 0,002841,647 0,2170,789 0,104

1 1

2 2

3 3

A mA mA m

= == == =

(21)

Existem ainda outras expressões que tentam combinar os vários efeitos que os

diferentes parâmetros possam provocar nas características de resistência, e que foram estabelecidas para um determinado tipo de metais, como por exemplo a expressão de ALSPEN, que é adequada para as ligas de alumínio [12]:

( )0 0.001 n mcσ α ε= + & (22) em que α0 é uma função dependente da deformação efectiva, e os coeficientes c, m e n são funções não lineares dependentes da temperatura.


4. Lei da Decomposição

O comportamento elasto-plástico é caracterizado por uma resposta do material, inicialmente elástica e, a partir de um determinado nível de tensão, por um comportamento essencialmente plástico. O comportamento plástico do material é geralmente acompanhado por uma invariância do seu volume.

σ

ε

a)

Y0σYσ Y ( )fσ ε=

pε

σ

ε

b)

Y0σ

pε

Y0σ σ=

σ

εc)

Y0σ

Yσ Y ( )pfσ ε=

pε

a) carregamento/descarregamento,

b) modelo elasto-perfeitamente plástico,

c) modelo elasto-plástico com endurecimento.

Fig. 19-Comportamento elasto-plástico obtido num ensaio de tracção.

Na Fig. 19(a) apresenta-se o comportamento típico, obtido com um provete de material plástico e submetido a um teste uniaxial de tracção, com carregamento e


descarregamento. Os modelos normalmente utilizados simulam o comportamento elasto-perfeitamente plástico (Fig. 19(b)) e elasto-plástico com endurecimento (Fig. 19(c)).

Na Fig. 20 mostra-se o modelo reológico unidimensional. Aplica-se uma força (tensão σ), que provoca um alongamento do modelo (Δl), cujo resultado pode ser aferido pela extensão causada:

0

ll

ε Δ= (23)

que comporta uma componente elástica e, uma componente plástica:

e pε ε ε= + (24)

Eatrito

σ σY0σ

1(1 )e Lε+ 2(1 )p Lε+

Fig. 20-Modelo reológico elasto-plástico.

O comportamento do material, isto é, a extensão causada pelo carregamento é elástica até um determinado ponto, denominado limite elástico (e a tensão que o provoca: tensão limite elástico ou tensão de cedência - Y0σ ), após o qual, o material apresenta deformação plástica. No modelo da figura, o comportamento linear elástico é caracterizado pela constante elástica da mola E traduzindo-se matematicamente pela expressão:

( )e pE Eσ ε ε ε= × = − (25) A deformação plástica inicia-se quando a tensão aplicada atinge o valor da tensão de

cedência ( Y0σ ). O modo como se estabelece esse valor da tensão aplicada, de modo a compará-lo com a tensão de cedência, denomina-se critério de cedência. Na figura, a tensão de cedência corresponde ao atrito entre as placas.

Atingida a tensão de cedência, este valor pode, ou não, manter-se constante com o aumento de deformação. Se esse valor não depender do aumento da extensão plástica, diz-se que o material tem um comportamento perfeitamente plástico. Se, pelo contrário, o valor da tensão de cedência, aumentar com o crescimento da extensão plástica, diz-se que o material está a sofrer um encruamento.


Nas formulações elasto-plásticas contidas neste texto, considera-se apenas as pequenas deformações. De acordo com a teoria da elasticidade para as pequenas deformações, tem-se o tensor das deformações definido do seguinte modo:

( )( )T12

s= ∇ = ∇ + ∇ε u u u (26.1)

( )1

, ,2ij i j j iu uε = + (26.2) em que u∇ é o gradiente dos deslocamentos, e us∇ a sua parte simétrica.

Considere-se a barra representada na Fig. 21, cujo eixo axial coincide com o eixo X=(1,0,0), e sobre a qual se tem como ponto de referência, a partícula com a abcissa 1 X , enquanto a extremidade esquerda coincide com a origem do referencial. Mantendo-se a extremidade esquerda fixa, aplica-se sobre a outra extremidade um esforço normal de tracção. Por facilidade de exposição considera-se apenas as variáveis (e suas derivadas) relativas ao eixo coincidente com eixo axial da barra. Numa primeira fase o esforço normal de tracção provoca uma extensão longitudinal da barra passando a referida partícula a possuir a abcissa 2 1 1X X u= + , pelo que sofreu um deslocamento na direcção axial de 1u . Na segunda fase aplica-se um segundo esforço normal de tracção passando a partícula a ocupar a posição 3 2 1 2X X u X u= + Δ = + , pelo que o ponto material sofreu um deslocamento Δu.

X

Δu

1 X1u

2 X

2u

3 X

Fig. 21-Lei da decomposição.

Para o processo referente à primeira fase da deformação, o gradiente de deformação, e considerando apenas a sua componente não nula, vem:

2 1 1 11,1

1 1 1

1X X u uFX X X

+′ = = = + (27)


Quanto à mesma componente referente à segunda fase, e considerando como configuração inicial, a configuração final da fase anterior, tem-se:

3 21,1

2 2 2

1X X u uFX X X

+ Δ Δ′′ = = = + (28)

Se o estado final, isto é, a posição do ponto em 3 X , fosse atingida com um único incremento, o gradiente de deformação viria:

31,1

1

XFX

= (29)

O mesmo resultado se obtém multiplicando (27) por (28):

3 321,1 1,1 1,1

1 2 1

X XXF F FX X X

′ ′′= × = × = (30)

a que corresponde a extensão total:

3 1 2

1 1

X X uX X

ε −= = (31)

Considerando as normas dos deslocamentos 1u e 2u muito reduzidas, quando comparadas com a dimensão 1 X , a extensão em cada uma das fases é a seguinte:

2 1 1

1 1

X X uX X

ε −′= = (32)

3 2

1 1

X X uX X

ε − Δ′′= = (33)

Adicionando as extensões de cada fase resulta:

3 2 3 12 1 2

1 1 1 1

X X X XX X uX X X X

ε ε ε − −−′ ′′= + = + = = (34)

ou seja, obteve-se o valor da extensão total calculado como se de uma só fase se tratasse.

A multiplicação efectuada em (30) designa-se por lei da decomposição multiplicativa, enquanto que a adição efectuada em (34) é denominada de lei da decomposição aditiva. Deve-se notar que o cálculo da extensão, ε″, só é válido para pequenas deformações, pelo que em pequenas deformações pode-se aplicar a lei da decomposição aditiva, enquanto que para grandes deformações pode ser vantajoso utilizar a lei multiplicativa [31][32].


Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio elástico, vindo a segunda fase a ocorrer no domínio plástico, ter-se-á formalmente para o Tensor das Deformações ε , e para o gradiente de deformação, F:

e p=F F F (35.a)

, , ,e p

i j i j j iF F F= (35.b)

e p= +ε ε ε (36.a)

e pij ij ijε ε ε= + (36.b)

Assim, numa formulação elasto-plástica envolvendo pequenas deformações, é habitual decompor-se o tensor das extensões numa componente elástica e, numa componente plástica, pelo que se torna conveniente estabelecer modelos matemáticos, que traduzam os fenómenos físicos da elasticidade e da plasticidade, separadamente.

O comportamento elástico é descrito pela teoria da elasticidade, importando agora definir o modelo matemático para a componente plástica das deformações. Com esse objectivo, três aspectos devem ser considerados:

i) Um critério de cedência indicando o nível de tensão, em termos do tensor das tensões, de modo a analisar-se o início da plastificação;

ii) Uma lei de encruamento, descrevendo, se e como, o critério de cedência depende do grau de deformação plástica, depois de se iniciar a plastificação;

iii) Uma regra de escoamento, definindo a relação entre tensão e deformação pós-plastificação, comportando a deformação total, as componentes elástica e plástica.

5. Funções de Cedência

O aparecimento do comportamento plástico é condicionado por um critério de cedência, que na sua forma mais geral, pode ser formulado do seguinte modo:

( ), 0F ′ =σ α (37) em que ′α indica um conjunto de variáveis de endurecimento e σ é o tensor das tensões. Para um material isotrópico, em que a cedência plástica dependa unicamente da grandeza das tensões principais, e nunca das suas orientações no espaço das tensões, a função escalar F torna-se apenas dependente de um valor escalar, conhecido por parâmetro de encruamento -α:


( ) ( ) ( )Y, 0F fα σ α= − =σ σ (38) em que ( )f σ é a função de cedência. Esta função pode tomar várias formas analíticas com representação geométrica no espaço distintas. Tratando-se de uma função de tensão pode assumir-se como espaço para a respectiva representação geométrica, o espaço de tensões de Westergaard [3], em que três eixos mutuamente ortogonais são coincidentes com as direcções principais de tensão (ver Fig. 22).

P O′

P″

P′

O

3σ

2σ

1σ

1 2 3σ σ σ= =

( )f σ

Fig. 22-Espaço de Westergaard.

Considere-se um ponto material com um estado de tensão representado pelo ponto P

e resultante de um incremento traduzido pelo vector uuurOP . Este vector é decomposto num

vector com a direcção OO′ ( ′uuuurOP ), que coincide com o eixo em que as três tensões

principais tomam o mesmo valor, e num outro cuja linha de acção se encontra sobre o plano normal a OO′ ( ′′

uuuurOP ). No caso de se admitir que a pressão hidrostática não tem

qualquer efeito na cedência do material, esta dependerá somente da intensidade, direcção e sentido do vector ′′

uuuurOP , ou seja, das tensões de desvio.

Admitindo que a função de cedência é independente do referencial escolhido dimn , é então possível expressá-la em função dos três invariantes das tensões:

( )1 tr iiI σ= =σ (39.1)


( )21 12 2 2tr ij jiI σ σ= =σ (39.2)

( )31 1

3 3 3tr ij jk kiI σ σ σ= =σ (39.3)

Com base em observações experimentais, é possível concluir que a deformação

plástica, ou seja, a função de cedência dos metais, não depende da pressão hidrostática, p [5][22]. Consequentemente, a partir da definição das tensões de desvio,

( ) ( )123dev tr= = −s σ σ σ I (40.a)

13ij ij kk ijs σ σ δ= − (40.b)

a função de cedência apenas depende do segundo e terceiro invariantes das tensões de desvio:

( )21 12 2 2tr ij jiJ s s= =s (41.1)

( )31 1

3 3 3tr ij jk kiJ s s s= =s (41.2) Com base nestes dois invariantes é possível estabelecer um outro, cuja interpretação geométrica se verá adiante:

31 3

32

31 π πsen ; ,3 6 62

JJ

θ θ−⎛ ⎞× ⎡ ⎤= − ∈ − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(42)

Outra forma de representação geométrica da superfície de cedência é através das

projecções ortogonais dos eixos das tensões no plano normal a OO′. Na Fig. 23 encontram-se representadas duas superfícies de cedência: uma corresponde, no espaço das tensões principais, a um cilindro; outra, no mesmo espaço, corresponde a um prisma. O plano de corte dos objectos geométricos, e que coincide com o plano do papel designa-se plano do desviador.

3σ

1σ 2σ


Fig. 23-Projecção de duas superfícies de cedência no plano do desviador.

Atendendo a (38) pode-se concluir que, se num determinado ponto de um corpo material deformável, se verificar a inequação Y( ) ( )f σ α<σ , o corpo nesse ponto apresentará um comportamento elástico. Se, por outro lado, se verificar a igualdade

Y( ) ( )f σ α=σ , o comportamento será plástico. Atingido este estado, o comportamento subsequente desse ponto material, será condicionado pela variação de f relativamente a σ ,

T

d dff ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠Lσ

σ (43)

em que f∂ ∂σ é um vector normal à superfície de cedência (ver Fig. 24) encontrando-se as componentes do tensor das tensões agrupadas sob a forma de um vector (σ ), bem como as respectivas variações ( dσ ).

f∂∂σ

1

fσ∂∂

2

fσ∂∂

2σ

1σ

Fig. 24-Condição de ortogonalidade no espaço das tensões σ1-σ2.

De um modo sucinto, pode-se concluir o seguinte:

Se df < 0, indica que se está perante uma situação de descarregamento elástico. O estado de tensão situa-se no interior da superfície de cedência, retomando o material, um comportamento elástico;

Se df = 0, indica que o estado de tensão atingiu a superfície de cedência, o que corresponde a um regime plástico, se o material apresentar comportamento perfeitamente plástico (α constante);


Se df > 0, indica que o estado de tensão se mantém sobre a superfície de cedência, não se mantendo esta constante. É o que acontece no comportamento dum material com encruamento.

Dado que os mecanismos de rotura são diferentes entre gamas de materiais diferentes, não existe um critério de cedência universal para todos os materiais. Por exemplo nos materiais correntemente utilizados, é usual distinguir-se os materiais frágeis dos materiais dúcteis, pelo que os critérios de cedência a aplicar, nuns e noutros, não coincidem.

5.1. Critério da Tensão Normal Máxima

Um dos primeiros critérios a ser estabelecido, até pela natureza do estado de tensão existente no ponto central da secção média do provete utilizado no ensaio de tracção, foi o critério da tensão normal máxima. Segundo este critério a cedência ocorre quando o estado de tensão num ponto material conduz a uma tensão normal máxima que iguala o valor da tensão normal máxima verificada para o ponto de cedência no ensaio de tracção. Em termos de função de cedência, este critério equivale à seguinte função:

( ) ( )1 Y,F α σ σ α= −σ (44)

O

1 2 3σ σ σ= =3σ

2σ

1σ

Fig. 25-Superfície de cedência para a tensão normal máxima.

Em função dos invariantes anteriormente definidos pode-se ainda escrever:


( ) ( ) ( )1 22 Y3

2, sen π3 3IF Jα θ σ α= + × + −σ (45)

5.2. Critério de Tresca

Este critério, postulado por Tresca em 1864 [44], baseado em resultados experimentais, admite por hipótese, que a deformação plástica num ponto material, ocorre sempre que a tensão tangencial máxima atinge um determinado valor limite. Esta condição pode ser representada, em função das tensões principais, pelas expressões:

( ) ( )1 2 Y Yσ σ σ α α− ≤ = (46.1)

( ) ( )1 3 Y Yσ σ σ α α− ≤ = (46.2)

( ) ( )2 3 Y Yσ σ σ α α− ≤ = (46.3) em que Y(α) é uma função característica do material obtida com base no ensaio de tracção uniaxial, e que depende da deformação plástica. Esta variação pode ser quantificada em função do parâmetro de endurecimento, α. Num ponto material, que se encontre no estado elástico de deformação, deve-se verificar todas as condições (46) com o sinal de desigualdade, enquanto que em regime plástico se deve verificar a igualdade para uma ou duas das proposições. Graficamente, as expressões (46) definem, no espaço das tensões principais, um prisma hexagonal regular e infinitamente longo, cujo eixo 1 2 3σ σ σ= = é perpendicular ao plano do desviador, Π, representado pela equação (ver Fig. 26) [35]:

1 2 3 0σ σ σ+ + = (47)


von Mises Tresca

Plano doDesviador

1 2 3σ σ σ= =

3σ

2σ

1σ

Fig. 26-Representação gráfica das superfícies de cedência de Tresca e von Mises.

Como se pode observar da figura, a projecção do prisma, representativo da superfície de cedência do critério de Tresca, no plano do desviador é um hexágono regular. O critério de Tresca apresenta a dificuldade no cálculo de f∂ ∂σ , nas regiões de singularidade (faces no modelo 3D e pontos no modelo 2D) existentes na respectiva superfície [51].

Este critério tem a seguinte representação matemática:

( ) ( ) ( )1 3 Y 1 2 3, paraF α σ σ σ α σ σ σ= − − > >σ (48.1)

( ) ( )2 Y, 2cosF Jα θ σ α= × −σ (48.2)

5.3. Critério de Mohr-Coulomb

Nos materiais frágeis a rotura verifica-se mediante a ausência de qualquer

deformação plástica prévia, pelo que no gráfico resultante do ensaio de tracção não é visível um ponto que se identifique como um ponto de cedência. Por outro lado, parte dos


materiais frágeis apresentam a particularidade de apresentarem diferentes valores característicos de resistência quando sujeitos a esforços de tracção ( Tσ ) e de compressão ( Cσ ). Este facto pode explicar-se pela existência de inclusões e vazios eventualmente existentes no corpo material que provocam uma diminuição da resistência à tracção, pois na vizinhança desses "defeitos" verifica-se a existência de elevados gradientes de tensão. Ao contrário, quando submetidos a esforços de compressão, verifica-se alguma tendência para um aumento da resistência à compressão, já que os vazios eventualmente existentes tendem a ser colmatados.

Admita-se os círculos de Mohr (ver Fig. 27) representativos dos estados de tensão limites para o caso de solicitações simples de tracção ( Tσ ) e de compressão ( Cσ ).

TσCσσ

τ

Fig. 27-Domínio de segurança segundo o critério de Mohr-Coulomb.

Resultados experimentais permitem concluir que, em aplicações cujas solicitações conduzam a estados de tensão triaxiais, existe uma curva envolvente, em parte constituída pelo lugar geométrico dos círculos intermédios (curva a traço-ponto na figura). Considere-se um estado de tensão, cujo par de coordenadas no círculo de Mohr é ( 0σ , 0τ ) provocando a cedência do material (Fig. 28).

τ τ0

AB

σσ 1σ0σ3σ

τ

( )τ φ σ= ( )0 0τ φ σ=

Fig. 28-Círculo de Mohr-Coulomb.

A curva envolvente pode ser expressa matematicamente como uma função do tipo:


( )0 0τ φ σ= (49) A variações sucessivas no estado de tensão e que provocam a deslocação do ponto A sobre a envolvente, correspondem outros pontos relativos à tensão tangencial máxima (B) constituindo outra curva cujas equações paramétricas são:

( ) ( )0

2

0 1 φστ φ σ ∂∂= + (50.1)

( )0 00

φσ σ φ σσ∂

= +∂

(50.2)

as quais por eliminação de 0σ conduzem a uma equação ( )fτ σ= .

A primeira condição de cedência baseada no círculo de Mohr foi proposta por Coulomb em 1773 e baseia-se na hipótese de que as deformações plásticas ocorrem por escorregamento existindo uma relação linear entre 0σ e 0τ :

0 0 tangcτ σ ψ= − × (51) em que c representa a coesão e ψ representa o ângulo de atrito interno. Substituindo (51) em (50) e eliminando 0σ obtém-se:

( )cos tangcτ ψ σ ψ= × − × (52) Esta condição de cedência é representada no espaço de Westergaard por uma

superfície de cedência, cuja representação geométrica corresponde a uma pirâmide hexagonal, e designa-se superfície de cedência de Mohr-Coulomb:

( ) ( ) ( )1 3 1 31 1, cos sen2 2

F cα σ σ ψ σ σ ψ⎛ ⎞= − − × − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

σ (53)

No caso particular do material apresentar um ângulo de atrito interno igual a zero

(ψ=0) resulta a seguinte superfície de cedência:

( ) ( )1 31,2

F cα σ σ= − −σ (54)

A comparação de (48) com (54) permite concluir que o critério de Tresca é um caso particular do critério de Mohr-Coulomb com Y ( ) 2 cσ α = × . De facto, no espaço de Westergaard a superfície de cedência de Tresca corresponde a um prisma, enquanto a de Mohr-Coulomb corresponde a uma pirâmide. No entanto, qualquer uma destas superfícies apresenta arestas vivas que no caso de estados de tensão complexos tornam o seu tratamento analítico ou numérico de complicada resolução.


Do ponto de vista analítico, a curva envolvente representada no semi-eixo positivo das ordenadas é substituída por uma recta tangente aos círculos limites. Na Fig. 29 encontra-se representado o limite de segurança estabelecido com base no critério de Mohr-Coulomb, mas com a envolvente substituída pelo segmento de recta FH . O estado de tensão em análise está representado pelo círculo de Mohr a traço fino sendo a tensão normal máxima 1σ e a tensão normal mínima 3σ . Do ponto de vista prático interessa estabelecer uma relação entre o estado de tensão actual, isto é, 1σ e 3σ , com os valores limites Cσ e Tσ .

A B C0

D

HF

1σ3σTσCσσ

τ

E

G

Fig. 29-Domínio de segurança simplificado do critério de Mohr-Coulomb.

Com base características geométricas observadas na figura é possível estabelecer as seguintes relações:

1 3BE BG EG2 2

Tσ σ σ−= − = − (55.1)

AD AF DF2 2

C Tσ σ= − = − (55.2)

1 3CB C0 0B

2 2

T σ σσ += + = − (55.3)

CA C0 0A2 2

T Cσ σ= + = + (55.4)

Pela semelhança dos triângulos CBE e CAD obtém-se a seguinte relação:

CACB

ADBE

= (56)

ou, em função dos valores de tensão


1 3 1 3 31 1T T

C T T C T C

σ σ σ σ σ σ σσσ σ σ σ σ σ− − − −

= ⇒ − =− +

(57)

De notar que nesta expressão os valores limites Cσ e Tσ entram em valor absoluto enquanto as tensões principais relativas ao estado de tensão tomam o seu valor algébrico.

O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para representar o comportamento dos materiais granulosos dotados de atrito interno, tendo-se no entanto verificado que estes materiais atingem em geral um estado de cedência plástica à tracção antes de se ter atingido a superfície de Mohr-Coulomb. Com o objectivo de ter em conta estes resultados, Prandtl propôs em 1921 uma superfície de cedência obtida a partir da de Mohr por substituição do vértice da pirâmide por uma superfície parabólica, conhecida por superfície de cedência de Mohr-Prandtl e que se pode representar matematicamente pela seguinte função:

( ) ( ) ( ) ( )1

22

1 2 1 31 1, 1 tang tang2

F cc

α σ σ ψ σ σ ψ⎛ ⎞= − − − − + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

σ (58)

5.4. Critério de Beltrami

Para determinado tipo de materiais verifica-se que o início do comportamento plástico está relacionado com a quantidade de energia de deformação elástica por unidade de volume (U0) que um corpo pode armazenar. A energia de deformação elástica por unidade de volume pode ser calculada a partir dos tensores de extensão e tensão:

012 ij ijU σ ε= (59)

Atendendo aos conceitos de dilatação média ( mε ) e extensão de desvio ( dε ),

m13 iiε ε= (60)

d

mij ij ijε ε ε δ= − (61) bem como aos conceitos de tensão de desvio (s) e tensão média ( mσ ), obtém-se por intermédio da lei de Hooke as seguintes relações:


mm 3k

σε = (62)

d

2ij

ij

sε

μ= (63)

em que, μ é um dos parâmetros de Lamé (numericamente igual ao módulo de elasticidade transverssal-G) e k é o módulo de expansão volumétrica:

( )2 1Eμν

=+

(64)

( )3 1 2Ekν

=−

(65)

Substituindo (62) e (63) em (61) obtém-se o tensor das extensões em função da tensão média e do tensor das tensões de desvio:

m

2 3ij

ij ij

sk

σε δμ

= + (66)

que substituindo em (59) permite rescrever a expressão para o cálculo da energia de deformação por unidade de volume:

0 m1 1 12 2 3ij ij ijU s

kσ σ δ

μ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(67)

ou ainda, apenas em função do tensor das tensões de desvio e da tensão média:

20 m

1 112 2ij ijU s s

kσ

μ= + (68)

É ainda usual escrever-se a expressão da energia de deformação em função do segundo invariante das tensões de desvio (J2) expresso em (41):

20 2 m

1 12 2

U Jkσ

μ= + (69)

Beltrami apresentou em 1885 [4] um critério de cedência que estabelece para o início

da deformação plástica o estado de tensão que corresponde a um valor crítico da energia de deformação elástica por unidade de volume:

( ) 22 m 0

1 1,2 2 critico

F J Uk

α σμ

= + −σ (70)


Este valor crítico pode ser obtido para uma estado de tensão uniaxial, resultante do ensaio de tracção:

( ) ( )2 2Y Y

0 6 18criticoU

kσ α σ α

μ= + (71)

obtendo-se a função de cedência em função da tensão de cedência:

( ) ( )2 22 m Y

1 1 1 1,2 2 6 18

F Jk k

α σ σ αμ μ

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠σ (72)

No espaço de Westergaard esta condição de cedência representa-se por uma

superfície elíptica com simetria circular em relação ao eixo hidrostático.

5.5. Critério de von Mises

Von Mises formulou um critério de cedência em 1913 [46], sugerindo que a cedência

ocorre quando o segundo invariante das tensões de desvio 2J atinge um valor crítico:

( )12 2

0J α− Φ = (73) em que ( )αΦ , dependente do parâmetro de endurecimento (α) é o raio da superfície de cedência. Devido à dependência de 2J , a teoria da plasticidade que utiliza este critério em conjunto com a lei associativa é referida na literatura como a teoria do escoamento 2J .


von Mises Tresca(J2=constante) (τmáx=constante)

θ

3σ

2σ1σ

2 3-σ σ

1 3-σ σ

(a) (b)

Fig. 30-Representação das projecções das superfícies dos critérios de Tresca e de von Mises.

Como se verá à frente, para o ensaio de tracção, ( ) 2Y3α σΦ = , pelo que a tensão

efectiva, σ , em termos do tensor das tensões de desvio, vem:

2= 3 = 3 2 : = 3 2 ij ijJ s sσ s s (74) resultando finalmente para a condição (73):

( )Y- = 0σ σ α (75) Existem duas interpretações físicas possíveis para o critério de von Mises. Uma,

dada por Nadai (em 1937), que introduziu o conceito de tensão de corte octaédrica,

2= 2 3oct Jτ , que é a tensão de corte nos planos do octaedro regular, cujos vértices coincidem com os eixos principais de inércia [13]. Outra interpretação, dada por Hencky (em 1924), mostra que a cedência ocorre quando a energia elástica de distorção atinge um valor crítico [18].

A interpretação de Hencky percebe-se rapidamente se se atender à expressão (69) para o cálculo da energia de deformação elástica por unidade de volume. De facto, nesta expressão, que contém duas parcelas, a primeira estabelece a energia de deformação associada à energia de deformação elástica de distorção, enquanto a segunda estabelece a energia de deformação associada à dilatação. Substituindo (65) em (69) resulta:


( ) 20 2 m

3 1 212 2

U JEν

σμ

−= + (76)

Por definição do módulo de expansão volumétrica, em elasticidade a condição de incompressibilidade é garantida pela imposição de ν = 0,5, resultando um valor nulo para a segunda parcela, pelo que a função de cedência vem:

( ) ( )22 Y

1 1, 02 6

F Jα σ αμ μ

= − =σ (77)

Combinando (75) com (77) obtém-se a seguinte expressão para a tensão efectiva:

23Jσ = (78) concluindo-se deste modo que o critério de von Mises é uma caso particular do critério de Beltrami e aplicável a materiais cuja energia de deformação volúmica se pode considerar desprezável.

Da figura anterior, pode-se verificar que os critérios de Tresca e von Mises apresentam a sua máxima diferença para o caso do corte puro ( 3 1σ σ= − , 2 0σ = ), resultando da aplicação de cada um dos critérios:

1 3 12Tresca

σ σ σ σ= − = (79)

( ) ( ) ( )( )2 2 211 2 2 3 3 1 12 3

von Misesσ σ σ σ σ σ σ σ= − + − + − = (80)

Combinando estas duas expressões, pode-se concluir que a tensão efectiva calculada por aplicação do critério de Tresca pode ser 2 / 3 1,15≈ vezes maior que a obtida pelo critério de von Mises, permitindo concluir que, o critério de Tresca é mais conservativo que o de von Mises.

5.6. Critério de Drucker-Prager

Ainda para aplicação ao comportamento de materiais granulosos dotados de atrito interno existe uma outra função de cedência utilizada com alguma frequência e que corresponde à superfície de cedência de Drucker-Prager cuja expressão matemática é a seguinte [10]:


m 23 0F J kασ ′= + − =( (81) em que os coeficientes α( e k ′ são constantes do material e que dependem do ângulo de atrito interno (ψ) e da coesão (c):

( )2 sen

3 3 senψαψ

×=

× −( (82.1)

( )6 cos

3 3 senck ψ

ψ×′ =

× − (82.2)

No espaço de Westergaard a superfície representativa do critério de Drucker-Prager

representa-se por um cone de revolução em torno do eixo hidrostático ( 1 2 3σ σ σ= = ).

5.7. Critério de Green

Para materiais com fendas interiores ou materiais porosos, Green apresentou uma superfície de cedência que é função do coeficiente de porosidade do material [16]:

( )( ) ( )4

3

22 3 223

m 2 Y2 3 1ln 3F Jβ

ββ σ σ− ×

−

⎛ ⎞= × + × −⎜ ⎟⎝ ⎠

(

(

( (83)

em que β

( é o coeficiente de porosidade sendo definido do seguinte modo:

volume de vaziosvolume total

β =(

(84)

6. Regra do Encruamento

A regra do encruamento estabelece as condições para que um novo escoamento plástico possa ocorrer, depois de se ter atingido o estado plástico do material. Esta situação verifica-se em virtude da superfície de cedência poder sofrer contínuas alterações à medida que se dá o escoamento plástico.


Na expressão (37) introduziu-se um conjunto de variáveis de endurecimento contidas num vector, ′α . Basicamente, existem dois tipos de aproximações para a dependência de qualquer variável interna de endurecimento iα′ ′∈α , (1 endurecimentoi n≤ ≤ ) [38]:

i) Se uma variável de endurecimento é assumida como dependente da deformação plástica efectiva, isto é, i i= ( )pα α ε′ ′ , diz-se que ocorre deformação com encruamento, em que a deformação plástica efectiva, pε , é definida do seguinte modo [27][49]:

2 23 3:p p p p p

ij ijε ε ε= =ε ε (85) Esta deformação plástica efectiva «reflecte a história» do processo de deformação plástica, na medida em que estabelece que o endurecimento é determinado por cada parcela infinitesimal de deformação plástica, e não simplesmente pelo seu estado inicial e final:

( )1 223

0 0

dd d d dd

pijt p

p p p pij ijt

t

εεε ε ε ε= = =∫ ∫ ∫ (86)

ii) A segunda possibilidade designa-se por endurecimento energético, e relaciona a variável de endurecimento com o trabalho plástico total, i i= ( )pWα α′ , em que [1]:

0 0

: d dpp ij

p p pij ijW

εε

σ ε= =∫ ∫σ ε (87)

Segundo Nayak e Zienckiewicz [30] para o caso dos materiais em que seja possível

aplicar o critério de von Mises, os dois modelos de endurecimento descritos são equivalentes, ou seja, as curvas obtidas no ensaio de tracção conduzem ao mesmo nível de encruamento.

A variação da superfície de cedência pode ser classificada, de acordo com três modelos elementares [18]:

Se a superfície de cedência subsequente, provocada pelo incremento de deformação plástica, é exclusivamente uma expansão uniforme da superfície de cedência precedente, o modelo de encruamento é designado de isotrópico [22]. Para o caso bidimensional, exemplifica-se na Fig. 31(a). Este modelo, proposto por Odquist [33] apresenta como principal vantagem, a sua simplicidade, não conseguindo, no entanto, reproduzir determinados aspectos reais da deformação de alguns materiais, como por exemplo o efeito de Bauschinger [9].


Se a superfície de cedência subsequente, mantiver a mesma forma, mas simplesmente for transladada no espaço das tensões como um corpo rígido, o tipo de encruamento diz-se cinemático (ver Fig. 31(b)) [20][35][42]. Este modo de encruamento, apresentado inicialmente por Prager, surgiu com o objectivo de modelar um fenómeno bem visível experimentalmente, o efeito de Bauschinger, muito corrente em materiais sujeitos a regimes de carregamento cíclico.

Endurecimento distorcional, em que se admite a expansão, a translação e a rotação da superfície de cedência, ou inclusive a mudança de forma [11].

Superfíciede cedênciacorrente

Superfície decedência inicial

σ

τ

Superfíciede cedênciacorrente

Superfície decedência inicial

σ

τ

Fig. 31- (a) Encruamento isotrópico (b) Encruamento cinemático

Com o objectivo de modelar matematicamente os dois primeiros modos de encruamento, admite-se que a escolha das variáveis de endurecimento no vector ′α , pode ser a seguinte:

( ){ }T ,p b pε ε′ =α σ (88) em que, o valor escalar da deformação plástica efectiva pε é suficiente para a definição de qualquer tipo de endurecimento isotrópico, enquanto que o tensor, bσ , usualmente conhecido por tensor das tensões de recuperação [38], é necessário para a descrição do endurecimento cinemático. A tensão de recuperação observa-se graficamente pela translação no espaço das tensões do centro da superfície de cedência, tendo portanto a mesma dimensão do tensor das tensões.

A expressão (38) pode ser reformulada, adicionando o encruamento cinemático e, assumindo para o endurecimento isotrópico, a igualdade = pα ε , resultando:


( ) ( )( ) ( )Y, 0b p pF f ε σ ε′ = − − =σ α σ σ (89)

Com base em (89), importa definir as leis para o encruamento isotrópico e para o encruamento cinemático. Para o encruamento isotrópico, pode-se admitir uma função, dependente simplesmente, do valor de início da plastificação Y0σ e, de uma função unicamente dependente da deformação plástica efectiva [35]:

( )Y Y0phσ σ ε= + (90)

exprimindo-se a lei do encruamento isotrópico do seguinte modo:

( )Yp pd H dσ ε ε′= (91)

em que, H ′é a derivada da função geral h, relativamente a pε .

Além do comportamento perfeitamente plástico, isto é, h ≡ 0 , em aplicações práticas assume-se normalmente outras duas hipóteses [38]:

Y Y0pHσ σ ε= + (92)

( ) ( )( )Y Y0 0 1 exp pH H nεσ σ ε∞= + − − −

) (93)

em que, H, H∞ , 0H

) e nε nε, são constantes do material.

O encruamento cinemático é mais complexo de definir, pois não é um valor escalar. É necessário expressar o incremento escalar e a direcção para o incremento da tensão de recuperação, o que pode ser feito da seguinte maneira [1][38]:

( )23

b p pk

Fd K dε ε ∂′=∂

σσ

) (94)

em que:

k b= −σ σ σ (95)

A função de cedência F é, à priori, assumida como o potencial na validação da variável interna do encruamento cinemático, o que leva à conhecida lei associativa do escoamento plástico. Na prática, o encruamento cinemático é assegurado como sendo linearmente dependente de pε , ou seja, ( )pK K constanteε′ ′= ≡

) em (94).

Também são possíveis modelos numéricos combinando os dois encruamentos. Os termos lineares de ambas as leis podem ser expressos por H e β ′ em vez de H e K ′ [2][38]:


Y Y0pHσ σ β ε′= + (96.1)

( )1K Hβ′ ′= − (96.2)

em que β ′ é uma constante, [ ]0 , 1β ′ ∈ .

Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção, mostra-se na Fig. 32 uma curva típica de um ensaio de tracção dum provete metálico. A curva resulta das medidas de 1σ e

1ε , em que o índice 1 indica a direcção para a primeira direcção principal.

ET

E

σ

τ

Y0σ

dσ

dε

d eεd pε

Fig. 32-Curva tensão-deformação de um ensaio de tracção uniaxial.

Importa agora mostrar que para além da relação entre 1σ e 1pε , o mesmo gráfico

também representa a relação entre os valores efectivos do estado de tensão e do correspondente estado de deformação, ou seja, - pσ ε .

No ensaio de tracção tem-se, por hipótese, 1 0σ ≠ e 2 3 0σ σ= = , vindo a tensão média m 13 3iiσ σ σ= = . As tensões de desvio segundo as direcções principais são:


2 11 1 2 3 13 3;= = = −s s sσ σ (97)

Utilizando o critério de von Mises e por conseguinte, substituindo estas tensões de desvio na expressão para o cálculo da tensão efectiva (74), obtém-se:

( )32 1 1 2 2 3 3 1s s s s s sσ σ= + + = (98)

De modo análogo para a deformação plástica efectiva, em que se assume a

incompressibilidade do material (ν=0,5), e consequentemente, as outras duas deformações plásticas principais são 2 3 1-0,5p p pε ε ε= = , resultando:

( )23 1 1 2 2 3 3 1

p p p p p p p pε ε ε ε ε ε ε ε= + + = (99) Então, para que a expressão que relaciona - pσ ε , seja válida para 1 1- pσ ε , pode-se relacionar facilmente 1σ com 1

pε , e assumir essa relação como válida para o caso geral - pσ ε , isto é [35]:

( ) 1

1

pp p

ddHd d

σσεε ε

′ = = (100)

A tangente local à curva tensão-deformação, TE , calcula-se a partir da curvatura obtida no ensaio:

1T

1

ddE =d d

σσε ε

= (101)

O módulo de encruamento pode-se obter, em função desta tangente, do seguinte

modo:

( )1

1 1 1 T T

1 T1 1 1 1

1 T1

111

pp e e

dd d d E E

Hd E E Ed d d dd Ed

σσ σ ε

εσε ε ε εσε

′ = = = = =−− −−

(102)

Conclui-se assim, que a função de encruamento ( )pH ε′ , necessária para uma

implementação numérica, pode ser obtida a partir do ensaio de tracção uniaxial.

Note-se ainda, que no domínio elástico se tem no ensaio a seguinte relação tensão-deformação:


1

1

=e

e

dE

dσε

(103)

7. Teoria do Escoamento Plástico

No estudo do comportamento dos materiais em regime plástico existem duas formulações em que se baseiam as relações constitutivas:

Teoria incremental - admite a influência da trajectória de carregamento e portanto relaciona o tensor das tensões aos incrementos de deformação plástica;

Teoria da deformação total - relaciona o tensor das tensões com o tensor das extensões.

A primeira formulação (teoria incremental) serve de base à denominada teoria do escoamento plástico, enquanto que a segunda (teoria da deformação total) suporta a teoria da deformação plástica. De uma forma geral, o estado de deformação plástico depende da trajectória do carregamento, coincidindo ambas as teorias para o caso em que o carregamento apresenta uma trajectória linear. Todavia, a teoria da deformação plástica, embora ignore a influência da trajectória de carregamento, é frequentemente utilizada, pois a sua aplicação simplifica consideravelmente a solução de problemas em plasticidade.

A teoria do escoamento plástico baseia-se em alguns princípios que são descritos seguidamente.

7.1. Postulado de Drucker

Se o material no ensaio de tracção atingir a tensão de cedência, passa a ter um comportamento plástico, sendo a parcela da energia acumulada denominada energia plástica. A energia elástica (associada ao processo de deformação elástico) de deformação é totalmente recuperável, designando-se esse processo conservativo. Relativamente à energia associada a um comportamento plástico, esta não se pode designar por processo conservativo, pois devido a fenómenos de origem térmica e/ou de contacto a nível atómico, o processo é dissipativo. Tendo como objectivo tratar esses fenómenos de uma maneira


sistemática e passível de modelação surgiram o postulado de Drucker e a regra da normalidade [7].

Admitindo que o encruamento do material por deformação pode ser descrito como uma função do estado de tensão e da deformação plástica na forma infinitesimal pode-se considerar as seguintes relações [24]:

0pσε > → processo de encruamento (104.1)

0pσε = → material perfeitamente plástico (104.2)

0pσε < → processo de amaciamento (104.3) que para um ensaio de tracção (estado uniaxial de tensão) podem ser representados pelo gráfico da Fig. 33.

σ

ε

0pε >0σ <

0σ >

0σ =

0σ =

0pε <

0σ >

0σ <

Fig. 33-Postulado de Drucker: ilustração para um estado uniaxial.

Para um ponto material submetido a um estado de tensão σ e a um estado de deformação plástico pε , o produto pσε corresponde, em termos dimensionais, à energia por unidade de volume. Considere-se então um estado de tensão uniaxial cujo valor é σ a que corresponde a deformação plástica pε . Admita-se um incremento de carga, que conduz a um incremento de tensão (dσ), provocando um incremento de deformação dε, o qual pode ser decomposto numa componente elástica d eε e, numa plástica d pε (sendo


portanto o incremento total de deformação: d d de pε ε ε= + ). Seguidamente procede-se ao descarregamento desse incremento de carga. O trabalho efectuado pelo incremento de carga vale:

( )d d d de pdσ ε σ ε ε= + (105) Admita-se agora um processo cíclico de carregamento-descarregamento, partindo-se do mesmo estado inicial de tensão (σ) e deformação plástica ( pε ). O trabalho desenvolvido pelo sistema que actua sobre o sólido neste ciclo de carregamento-descarregamento depende apenas da parcela plástica do incremento de deformação:

d d pσ ε (106) Por outro lado, e para os referidos incrementos de tensão e deformação, verifica-se

que o trabalho correspondente à parcela elástica do estado de deformação ( d d eσ ε ) é sempre positivo, enquanto que o trabalho correspondente à parcela plástica do estado de deformação pode tomar um valor maior ou igual a zero. Desta forma, para o estado de deformação total resulta que: d d 0σ ε > . Assim, Drucker definiu que um material é susceptível de encruar com o incremento do estado de deformação plástica se, para um carregamento incremental o trabalho desenvolvido for positivo e, no processo de carregamento–descarregamento o trabalho realizado for não negativo. A definição acabada de descrever é conhecida na literatura como o postulado de Drucker, vindo para um estado geral de tensão/deformação [24]:

d d 0ij ijσ ε > (107.1)

d d 0pij ijσ ε ≥ (107.2)

Particularizando para um material com comportamento perfeitamente plástico

verifica-se d d 0pij ijσ ε = , sendo d d 0p

ij ijσ ε ≥ válido para um material com encruamento. Note-se que o termo referido nesta descrição para incremento de carga deve entender-se como algo que provoca o incremento de tensão. Todavia, como se pode verificar facilmente pela observação do gráfico tensão-deformação esta descrição não é válida para certos materiais, como por exemplo para um material perfeitamente plástico, em que num estado uniaxial de tracção não é possível qualquer aumento no valor da tensão. Por outras palavras, para um controle ao nível do estado de tensão estes materiais são instáveis.

Também para os materiais cujo gráfico tensão-deformação revele um amaciamento do estado de tensão, o pressuposto adoptado por Drucker, ao considerar o incremento de carga (incremento de tensão) como variável independente, ao qual corresponde uma resposta em termos de extensão (variável dependente), não é válido. Neste caso, um determinado estado de tensão conduziria a mais que um estado de deformação possível.


Tendo em vista a resolução do problema descrito, isto é, a falha na relação unívoca tensão-deformação, pode-se imaginar uma relação em que a variável independente seja o estado de deformação. Segundo Lubliner [24], esse facto, decorrente do trabalho pioneiro de Ilyushin (1961), representa uma vantagem para a utilização de um critério de cedência fisicamente baseado em deformações. Para uma análise não linear do material e rotura no betão, por exemplo, alguns autores desenvolveram critérios de cedência seguindo esta abordagem [34].

O postulado de Drucker acabado de descrever e em que um incremento de carga provoca um incremento infinitesimal de tensão, também pode ser estendido para um incremento de tensão finito. Em particular, para o caso em que o estado de tensão inicial ( *

ijσ ) se encontra no interior da superfície de cedência e o estado de tensão final ( ijσ ) está sobre a superfície de cedência. Admitindo então um incremento de carga que conduza o estado de tensão de *

ijσ para o estado de tensão ijσ e subsequentemente um

descarregamento que conduza novamente o estado de tensão para *ijσ , o postulado de

Drucker implica a seguinte relação:

( )* d 0pij ij ijσ σ ε− ≥ (108)

7.2. Postulado da Dissipação Plástica Máxima

Admitindo um problema em que apenas se considere um estado de tensão uniaxial, a expressão (108) pode rescrever-se do seguinte modo:

( )* d 0pσ σ ε− ≥ (109)

Esta desigualdade representa a propriedade de que a variação de extensão é positiva

se o valor do estado de tensão final não for inferior ao estado de tensão inicial elástico. Esta interpretação constitui o postulado da dissipação plástica máxima e que, segundo Lubliner [24] foi proposto independentemente por von Mises em 1928, por Taylor em 1947 e por Hill em 1948. Utilizando uma abordagem em termos do espaço das deformações, tem-se um postulado análogo devido a Ilyushin.

A expressão (109) tem importantes consequências na teoria da plasticidade. Considere-se por exemplo, que a superfície de cedência é diferenciável em todos os seus pontos, como ocorre na superfície correspondente ao critério de von Mises. Desta forma, num qualquer ponto pertencente à superfície de cedência é possível definir um plano tangente à superfície e um vector normal a esse plano. Admitindo uma representação


esquemática da superfície de cedência num espaço bidimensional como o representado na Fig. 34, a relação (109) representa um produto escalar:

( )* d 0pσ σ ε− ⋅ ≥ (110)

σ*σ

*-σ σ

d pε

Fig. 34-Normalidade do vector incremento de deformação.

Para que o produto interno (110) possa ser válido para um estado de tensão elástico inicial arbitrário, o vector correspondente ao incremento de deformação plástica d pε , deve ser normal ao plano tangente à superfície e com o sentido a apontar para fora da superfície. A descrição acabada de descrever é conhecida como a regra da normalidade [22][24].

No entanto, como se pode verificar na Fig. 35, se o estado de tensão inicial se encontrar do outro lado do plano tangente a inequação (110) é violada. Deste modo, toda a região elástica se encontra do mesmo lado do plano tangente, pelo que se pode concluir que a superfície de cedência é convexa.

σ

*σd pε

*-σ σ

Fig. 35-Convexidade da superfície de cedência.

A regra da normalidade, bem como a conclusão acerca da convexidade da superfície de cedência são consideradas propriedades consequentes do postulado da dissipação plástica máxima.


7.3. Potencial Plástico e Regra de Escoamento

Na teoria do escoamento plástico relaciona-se incrementos infinitesimais de tensão com incrementos infinitesimais de deformação. O incremento infinitesimal de deformação total dε é igual à soma dos incrementos infinitesimais correspondentes a uma componente elástica d eε e a uma componente plástica d pε :

d d de p= +ε ε ε (111.a)

d d de pij ij ijε ε ε= + (111.b)

Lévy (1871) e mais tarde von Mises (1913) propuseram que o incremento total de

extensão se relaciona com o respectivo estado de tensão da seguinte forma: d dγ=ε s (112.a)

d d ijsε γ= (112.b)

em que γ é um coeficiente de proporcionalidade e que pode eventualmente variar ao longo do processo de deformação plástica. Naturalmente, que a expressão (112) só seria aplicável em materiais cujo processo de deformação não inclua componente elástica (Hill denomina-os de materiais fictícios [18]).

No entanto, admita-se a aplicação de (112) a um material cujo processo deformação inclua também componente elástica. Para esta situação suponha-se que à componente elástica do incremento de deformação é aplicável a lei de Hooke e que à restante parte do incremento de deformação (componente plástica) se aplica a expressão (112). Deste modo, o incremento infinitesimal de extensão total pode então ser calculado por intermédio da seguinte expressão:

( ) ( ) ( )m1 3d d d d - d

2 1e p

ij ij ij ij ij ijsνε ε ε σ δ σ γμ ν

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ (113)

O trabalho de deformação correspondente ao incremento de deformação plástica vem:

( )m 2d d d d d 2dp pij ij ij ij ij ij ij ij ijW s s s s s Jσ ε σ γ γ δ σ γ γ= = = + = = (114)

em que J2 representa o segundo invariante das tensões de desvio definido em (41.1).

A partir de (114) e considerando a condição de cedência de von Mises obtém-se para o coeficiente dγ:


22

d 3dd2 2

p pW WJ

γσ

= = (115)

Substituindo em (113) o valor de dγ calculado em (115) obtém-se a denominada equação de Prandtl-Reuss [22][24]:

m1 3 3dd d

2 1 2

p

ij ij ij ijW sνε σ δ σ

μ ν σ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(116)

De facto, segundo Hill [18], a extensão da expressão de Lévi-Mises (112) para problemas planos e em que o processo de deformação incluísse no respectivo incremento ambas as componentes (elástica a plástica) deve-se a Prandtl (1924), tendo posteriormente Reuss (1930) efectuado a generalização para problemas tridimensionais.

Admitindo que o incremento de deformação elástica é desprezável, quando comparado com o incremento de deformação total, a partir de (113) pode-se calcular o incremento de deformação total do seguinte modo:

d dij ijsε γ= (117) A expressão (117) permite calcular o incremento de extensão total a partir do tensor

das tensões de desvio e corresponde às equações de Lévi-Mises:

( )( )12

dd xx xx yy zzεε σ σ σσ

= − + (118.1)

( )( )12

dd yy yy zz xxεε σ σ σσ

= − + (118.2)

( )( )12

dd zz zz xx yyεε σ σ σσ

= − + (118.3)

3 dd2xy xy

εε τσ

= (118.4)

3 dd2xz xz

εε τσ

= (118.5)

3 dd2yz yz

εε τσ

= (118.6)

Analisando as equações de Lévy-Mises verifica-se uma analogia com a lei de Hooke

para a elasticidade em que o inverso do módulo de Young (1/E) é substituído pelo coeficiente dγ e, o coeficiente de poisson é igual a 0,5, assegurando desse modo a


condição de incompressibilidade. Pode-se ainda concluir que as equações de Lévy-Mises são um caso particular das equações de Prandtl-Reuss (116), que por sua vez são um caso particular da equação de escoamento (113).

A lei do escoamento plástico pode ser obtida por uma outra via, em que se considera que o incremento de deformação plástica deriva de uma função potencial. Entende-se por função do potencial plástico ( )Q σ a função escalar do tensor das tensões a partir da qual os incrementos de deformação plástica podem ser determinados por derivação parcial em ordem às componentes do tensor das tensões [6][18][22][36]:

dd dp Qγ=∂

εσ

(119.a)

d dp

ijij

Q∂ε γ∂σ

= (119.b)

em que o escalar dγ, é uma constante de proporcionalidade maior que zero, denominado multiplicador plástico.

Do mesmo modo, como se fez na validação do incremento da tensão de recuperação, assume-se também aqui uma lei da plasticidade associativa, isto é, a função de cedência coincide com o potencial plástico, Q F≡ .

A lei associativa do escoamento plástico também é referida como condição de normalidade, pois o gradiente /F∂ ∂σ , designado correntemente por vector fluxo, é normal à superfície de cedência em qualquer ponto do espaço das tensões.

Para os metais, a utilização da lei associativa origina resultados concordantes com observações experimentais [3][39]. No entanto, pode-se mostrar que a lei associativa do escoamento plástico e a lei associativa do encruamento cinemático, são equivalentes ao princípio da máxima dissipação plástica [18][25][26], o que torna a utilização da lei associativa aceitável do ponto de vista termodinâmico [38]. Na Fig. 36 representa-se geometricamente a lei associativa e não associativa.


F≡Q

2σ

1σ

F Q∂ ∂≡

∂ ∂σ σ

Q

F

2σ

1σ

F∂∂σ

Q∂∂σ

a) b)

Fig. 36-Formas de escoamento: (a) associado; (b) não associado.

Note-se que, para outros materiais, como por exemplo, em solos, a aplicação de regras de escoamento plástico fazendo uso da lei não associativa em simulações numéricas, conduz a resultados mais realistas [45][50].

No presente texto, a aplicação da lei associativa aos metais, significa que as funções de cedência de von Mises e de Tresca são também potenciais plásticos.

8. Anisotropia Plástica

Nos itens anteriores admitiu-se que o material apresenta propriedades com carácter isotrópico, sendo usual efectuar-se a generalização e designar-se o material por isotrópico. De facto, muitos materiais não apresentam propriedades isotrópicas, mesmo quando sujeitos a estados de tensão em domínio linear elástico (por exemplo os materiais compósitos). No entanto, outros materiais, embora apresentando características isotrópicas em regime elástico, em conjugação com determinadas aplicações envolvendo plasticidade, ou são fortemente anisotrópicos, ou adquirem anisotropia ao longo do processo de deformação plástica.


Sob uma perspectiva macroscópica, a anisotropia plástica evidencia-se como a característica do material em apresentar comportamentos diferenciados para distintas direcções. Recorrendo a título exemplificativo, a processos tecnológicos relacionados com a conformação em chapa, considere-se a direcção de rolamento (RD) e a direcção transversal à direcção de rolamento, ou simplesmente direcção transversal (TD), como se mostra na Fig. 37. As propriedades mecânicas da chapa podem apresentar características distintas, quando se considera uma, ou outra direcção.

RDTD 1

23

Rolo

Fig. 37-Direcções consideradas na anisotropia.

Em 1948, Hill propôs um critério de cedência aplicável a materiais anisotrópicos (apresentando simetria ortotrópica) e que se pode considerar como uma generalização do critério de von Mises [18]. De facto, pode-se entender a superfície de cedência representativa do critério de Hill como uma distorção da superfície correspondente ao critério de von Mises. Tomando as direcções de rolamento e transversal como sendo as direcções principais (ver Fig. 37) e considerando o espaço das tensões principais para a representação da superfície de cedência, a forma matemática representativa da superfície de cedência correspondente ao critério de Hill é a seguinte:

( ) ( ) ( )2 2 22 3 1 3 1 2F G Hσ σ σ σ σ σ− + − + − (120)

em que F,G, e H são constantes do material que caracterizam a anisotropia.

Para um estado uniaxial de tensão, correspondente ao ensaio de tracção, a direcção da tensão coincide com a direcção principal 1 (sendo o estado de tensão representado por

1 0σ σ= ≠ , 2 3 0σ σ= = ), obtendo-se:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0F G H G Hσ σ σ− + − + − = + (121)


Igualando (120) ao segundo membro de (121) obtém-se a tensão equivalente para o critério de cedência de Hill (em função das tensões principais)

( ) ( ) ( )2 2 222 3 1 3 1 2

F G HG H G H G H

σ σ σ σ σ σ σ= − + − + −+ + +

(122)

De notar, que para um material que apresente as constantes F=G=H=1/2 o critério de cedência de Hill coincide com o critério de von Mises (como se pode confirmar com (80)). Como se referiu anteriormente, uma das aplicações do critério de Hill envolve componentes em chapa, e portanto, peças em que uma das dimensões (no caso da chapa é a espessura) é muito inferior, quando comparada com as outras duas. Neste tipo de componentes é usual admitir-se que uma das tensões normais (a normal ao plano tangente à superfície média da chapa) é desprezável (tome-se 3 0σ ≈ ). A tensão equivalente correspondente ao critério de Hill vem então

( )22 22 1 1 2

F G HG H G H G H

σ σ σ σ σ= + + −+ + +

(123)

Fazendo uso da lei associativa, tomando portanto para potencial plástico a própria função de cedência e utilizando a expressão (119) para a regra de escoamento, obtém-se para os incrementos de deformação plástica (segundo as três direcções principais):

11

d dp σε γσ∂

=∂

(124.a)

22

d dp σε γσ∂

=∂

(124.b)

33

d dp σε γσ∂

=∂

(124.c)

Resultando para uma estrutura tipo casca a partir da derivação de (122) (e não de (123)) e tomando posteriormente 3 0σ ≈

( )1 1 21

dd p G HG H

σ σ σγεσ

+ −=

+ (125.a)

( )2 2 1

2dd p F H

G Hσ σ σγε

σ+ −

=+

(125.b)

1 2

3dd p G F

G Hσ σγε

σ+

=−+

(125.c)

em que σ toma o valor proveniente de (123).


Os valores associados às constantes do material F,G, e H terão que ser determinados experimentalmente. A sua determinação correcta pode ser efectuada pela medição dos valores da tensão de cedência efectuada em várias direcções e para diferentes estados de tensão. No entanto, este procedimento raramente é adoptado na prática [47], sendo as constantes determinadas de forma indirecta, por recorrência à condição de normalidade, e em que são determinados os cocientes entre extensões obtidas em ensaios de tracção. Para o efeito são efectuados provetes a partir da própria chapa como se mostra na Fig. 38.

RDTD

1

2

3

βB A

Fig. 38-Orientação dos provetes em chapa para o ensaio de tracção.

Tomando um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção RD (provete A na Fig. 38), define-se coeficiente de anisotropia (R) segundo a direcção RD como sendo:

22

33

d dd d

p pTD

RD p pesp

R ε εε ε

= = (126)

Para um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção TD (provete B), coeficiente de anisotropia segundo a direcção TD vale:

11

33

d dd d

p pRD

TD p pesp

R ε εε ε

= = (127)

Para uma direcção arbitrária, definida pelo ângulo β, o coeficiente de anisotropia resultará do cociente entre a componente do incremento de deformação d p

βε⊥ , ocorrida no plano da chapa e medida na direcção perpendicular à direcção de tracção, e a componente do incremento de deformação verificada na direcção da espessura ( 33d pε )

33

dd

p

pR ββ

εε⊥= (128)


Considerando as componentes do incremento de deformação estabelecidas no referencial definido pelo eixos RD, TD e 3, obtém-se para o coeficiente de anisotropia Rβ

( ) ( ) ( ) ( )1 111 22 11 22 122 2

33

d d d -d cos 2 d sin 2d

p p p p p

pRβ

ε ε ε ε β ε β

ε

+ − −= (129)

em que 12d pε corresponde à componente angular do incremento de deformação cuja relação com o estado de tensão se encontra definido em (118.4).

A relação entre os coeficientes de anisotropia, RDR e TDR , e as constantes do material presentes no critério de Hill (F,G e H) pode ser obtida com base no ensaio de tracção e recorrendo às expressões (125). Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado (por aplicação de uma tensão de tracção σ ) segundo a direcção RD tem-se: 1σ σ= , 2 3 0σ σ= =

( )2 2 1220 0

33 33 2 1

d dd d

p pTDp p

F H HR RF G Gβ

σ σ σε εε ε σ σ=

+ −= = = =− =

+ (130)

Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado segundo a direcção TD tem-se: 2σ σ= , 1 3 0σ σ= =

11 1 1 290 90

33 33 2 1

d dd d

p pRDp p

G H H HR RF G Fβ

ε ε σ σ σε ε σ σ=

+ −= = = =− =

+ (131)

É ainda usual considerar-se o caso em que o provete é executado de modo a que a aplicação da tensão de tracção σ se efectue segundo uma direcção a 45º com a direcção de laminagem 45 45R Rβ = = .

Em muitos problemas é por vezes conveniente considerar que as características no plano da chapa são indistintas. É o caso especial da anisotropia normal, em que o termo “normal” significa perpendicular ao plano da chapa (e portanto com isotropia plana) [48]. Relativamente à função de cedência de Hill, esta hipótese corresponde a tomar o mesmo valor para o coeficiente de anisotropia, ou seja, 0 90 45R R R R= = = .

No entanto, verificando-se de facto alguma anisotropia no plano, torna-se necessário obter um valor para R, do tipo valor médio. Se, teoricamente se dispusesse de um número infinito de coeficientes de anisotropia obtidos num número infinito de ensaios de tracção, podia-se estimar como valor médio o resultante da seguinte expressão

( )2π

0

1 d2π

R R β β= ∫ (132)


o que é impraticável. Como aproximação, utiliza-se o valor resultante da média obtida com base nos coeficientes 0R , 90R , 45R

0 45 9024

R R RR

+ += (133)

Um segundo parâmetro utilizado para considerar a variação de R com β é o seguinte [47]:

0 45 9022

R R RR

− +Δ = (134)

No entanto, a função correspondente ao critério quadrático de Hill é frequentemente

utilizada em problemas envolvendo anisotropia normal, pois os procedimentos analíticos são simplificados. Note-se que neste caso se considera 0 90 45R R R R= = = , pelo que a partir de (130) e (131) se tem: G=F e H=RF. A substituição destas relações em (123) permite estabelecer a expressão para a tensão equivalente correspondente ao critério de cedência quadrático de Hill e com aplicação em componentes de chapa (consultar alguns artigos de [14])

2 21 1 2 2

21

RR

σ σ σ σ σ= − ++

(135)

9. Modelo Constitutivo Elasto-Plástico

Na definição matemática dos comportamentos elástico e plástico é usual estabelecer-se o módulo tangente elasto-plástico, isto é, estabelecer a equação tensorial válida para uma relação tensão-deformação pós-plastificação.

Admitindo um critério de cedência que possa ser escrito com a deformação plástica efectiva, pε , como variável interna do endurecimento isotrópico, ou seja:

( ) ( ) ( )Y, 0p pF fε σ ε= − =σ σ (136)

Diferenciando (136), estabelecem-se os gradientes da função de cedência e do

potencial plástico, resultando:

; QF Q∂ ∂

= =∂ ∂

a aσ σ

(137.a)


( )= ; =ij Q ijij ij

F Qa a∂ ∂∂σ ∂σ

(137.b)

em que a e aQ são designados de vector de cedência e vector de fluxo, respectivamente. Definindo o valor do escalar Qa , como:

( ) ( )2 23 3= : =Q Q Q Q Qij ij

a a aa a (138)

e atendendo às expressões (85), (119), (137), e (138), o incremento da variável interna, isto é, da deformação plástica efectiva, pode ser exprimido como:

d = dpQaε γ (139)

Tomando a decomposição da deformação total, como a soma da deformação elástica

e da deformação plástica:

d d de p= +ε ε ε (140.a)

d d de pij ij ijε ε ε= + (140.b)

aplicando ainda a lei de Hooke à parte elástica e, substituindo (139) em (140), obtém-se para o estado de deformação total:

14d : d d Qγ−= +ε C σ a (141.a)

( )-1d = d dij ijkl kl Q ij

C aε σ γ+ (141.b) ou, para o estado de tensão:

( )4d : d d Qγ= −σ C ε a (142.a)

( )( )d = d -dij ijkl kl Q klC aσ ε γ (142.b)

No processo de plastificação o estado de tensão permanece sobre a superfície de

cedência, logo F=0. Diferenciando (136) e atendendo a (91) e (137), obtém-se:

d : d d 0pF H ε′= − =a σ (143.a)

d = d - = 0pij ijF a H dσ ε′ (143.b)

permitindo relacionar a variação da deformação plástica efectiva com a variação do estado de tensão:


1d : dp

Hε =

′a σ (144)

Atendendo a (139), vem:

1d : dQaH

γ =′a σ (145)

e substituindo (142) em (145), obtém-se:

( )41d : : d dQ Qa

Hγ γ= −

′a C ε a (146)

Daqui é possível estabelecer uma expressão para o multiplicador plástico:

4 41 1d : : : : dQ Qa

H Hγ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠

a C a a C ε (147)

1

4 4

4 4

: : d : : dd: : : :

H

Q Q Q Q

HH a H a

γ ′ ′= =′ ′+ +

a C ε a C εa C a a C a

(148.a)

( )d

d ij ijmn mn

Q ij ijmn Q mn

a C

H a a C a

εγ =

′ + (148.b)

Substituindo (148) em (142), estabelece-se uma relação entre o estado de tensão e o

estado de deformação total:

4d : dep=σ C ε (149) em que:

4 44 4

4

: := -

+ : :Qep

Q Qa H⊗

′C a a C

C Ca C a

(150.a)

( )

( )= -

ijmn Q op opklep mnijkl ijkl

Q qr qrst Q st

C a a CC C

a H a C a′ + (150.b)

Este tensor é usualmente conhecido [8][40][41] como módulo tangente contínuo e, pode ser expresso em função das constantes de Lamé, μ e λ:


( )14 3

: := +2 - 2+1+

3

ep kH K

μ μ

μ

⊗⊗ ⊗ −

′ ′

s ss s s sC I I I I I (151)

em que k, é o módulo de expansão volumétrica:

23= +k λ μ (152)

Note-se, que pode não ser um tensor simétrico, sendo a simetria verificada apenas para a lei associativa, ou seja, Q≡F ⇒ aQ = a.

Particularizando, para o critério de von Mises, tem-se =1Qa [30], sendo para o

critério de Tresca 23=Qa , enquanto que para os critérios de Mohr-Coulomb e Drucker-

Prager, Qa não é constante, dependendo do estado de tensão na superfície de cedência.

Se se admitir um encruamento energético, em vez do encruamento por deformação atrás descrito tem-se, com base em (87):

d d : dp pWα = =σ ε (153) ou, recorrendo à condição de ortogonalidade:

d d :α γ= σ a (154) resultando então:

Yd :QH adσα

′ = σ a (155)

Recorrendo ao ensaio de tracção uniaxial, sabe-se que:

Yd d pα σ ε= (156) e atendendo ao teorema de Euler [35],

Y: σ=σ a (157) resulta, para o encruamento energético:

Y Y

Y Y

d d d d 1d d d d

p

p p

Hσ σ σα α ε σ σ

′= = =

εε

(158)

Substituindo (157) e (158) em (155), resulta finalmente para o encruamento energético:


1Q QH a H a′ ′= ⇒ = (159)

Conforme foi notado por Nayak e Zienkiewicz [30], a análise de (159) permite concluir que o encruamento por deformação só coincide com o encruamento energético, para os materiais que obedecem ao critério de cedência de von Mises, relativamente aos quais se verifica 1Qa = .

Se se pretender incluir o encruamento cinemático no modelo, é necessário incluir a tensão de recuperação definida em (94). Neste caso, todas as funções ( , , , )QF Q a a são

expressas em função de kσ , em vez de σ . No módulo tangente substitui-se Qa H ′ por

( )+Qa H cK′ ′ , em que K ′ é o módulo de encruamento cinemático, e

( )2 23 3= : =Q ij Q ij

c a aa a (160)

sendo igualmente =1c , para o critério de cedência de von Mises.


10. Referências

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d dTff ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Lσσ

σ - symbol bold (vector)

( ) ( ) ( )Y, 0F fα σ α= − =σ σ σ times new roman do mahtype (tensor)

σ, σ tensão normal genérica simbolo (da janela de simbolos, ou do mahtype σ,σ )

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Teoria da Plasticidade - paginas.fe.up.ptpaginas.fe.up.pt/~ldinis/plasticidade.pdf · solicitações impostas conduzem a um comportamento elástico dos materiais que os constituem