A CONSIDERAÇÃO DE DEFORMAÇÕES IMPOSTAS NO

PROJECTO DE TANQUES

Óscar Ferreira Vieira

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Professor José Manuel Matos Noronha da Camara

Vogais: Professor António José da Silva Costa

Outubro de 2011

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Resumo

As estruturas de betão armado estão sujeitas a deformações impostas quando expostas à acção do

meio ambiente. Estas deformações ao serem restringidas pelas condições de apoio ou de ligação a

outros elementos estruturais, como no caso dos reservatórios, induzem tensões axiais. Este trabalho

tem como finalidade estudar os efeitos das deformações impostas nas paredes de reservatórios.

Como se sabe na construção de um tanque as fundações são betonadas em primeiro lugar, e só

numa fase seguinte as paredes. As fundações ficam com uma face em contacto com o terreno, que

constitui um ambiente húmido e impede o contacto directo do betão com o ambiente exterior. Por

outro lado, quando a parede é betonada o betão da fundação já retraiu parcialmente, em especial a

sua parcela endógena. Estes dois factos juntamente com o facto da rigidez da fundação ser em geral

maior que a da parede originam uma retracção a longo prazo, diferencial e restringida parcialmente

entre a parede e a fundação. O betão da parede fica, então, sujeito a tensões de tracção horizontais,

que se podem sobrepor aos efeitos das cargas, e que poderão provocar fendas verticais. Estas

fendas devem ser convenientemente controladas com armaduras horizontais junto às faces do muro.

Refira-se que nas estruturas de betão estrutural a fendilhação é quase inevitável ou, pelo menos

difícil de assegurar a não formação de fendas, daí a necessidade de tomar medidas para controlar a

sua abertura, de modo a garantir condições de funcionalidade adequadas em serviço, em particular

em tanques.

Esta dissertação tem como objectivo avaliar as quantidades de armaduras nas paredes dos

reservatórios de modo a assegurarem características aceitáveis, não só esteticamente, mas

principalmente de garantia de uma estanquidade adequada. Para tal apresentam-se e aprofundam-se

as mais recentes disposições regulamentares para ter em consideração estes efeitos e os critérios

propostos para dimensionamento estrutural. Analisa-se a aplicação a um tanque de uma ETAR dos

princípios gerais de dimensionamento tendo em conta as deformações impostas, na qual se discutem

as diferenças para o caso usual de uma deformação impostas a actuar num elemento restringido nas

extremidades.

Palavras-chave: Deformações impostas, Restrição ao longo de um bordo, Sobreposição de

efeitos, Tanques, Fendilhação, Estanquidade

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Abstract

Concrete structures are subjected to imposed deformations when exposed to the action of the

environment. The restriction of these deformations by conditions of support or connection to other

structural elements, as in the case of reservoirs, induces axial stress. This work aims to study the

effects of the strain imposed on tank walls by these deformations.

It is known that during the construction process of a tank the foundations are concreted first, with the

walls coming at later phase. The foundations are left with one side in contact with the ground,

providing moisture and preventing the direct contact of concrete with the outside environment. On the

other hand, when the walls are concreted, the foundations have already partially shrunk, specifically in

their endogenous parts. These two facts, together with the fact that the stiffness of the foundations is

generally greater than that of the walls, leads to a long-term shrinkage, differential and partially

restricted between the walls and the foundations. The concrete in the walls is then subject to

horizontal tensile stresses that can lead to superposition of load effects, which can cause vertical

cracking. These cracks should be properly controlled with horizontal reinforcement along the sides of

the walls.

Note that in structural concrete constructions cracking is almost inevitable and very difficult to prevent,

hence the need to take measures to control its formation, in order to ensure appropriate service

functionality, particularly in tanks.

This paper aims to assess the amount of reinforcement to be used in the walls of the reservoirs in

order to ensure acceptable characteristics, not only aesthetically, but in first instance to guarantee an

adequate permeability control. For this purpose we present and analyze the latest regulations to take

into account these effects and the proposed criteria for structural design. An analysis of the general

principles of design, taking into account imposed deformations is applied to a tank at a wastewater

treatment plant. The results present the differences to the usual case of imposed deformations acting

on an element that is restrained at its ends.

Keywords: Imposed deformations, Restrained along one edge, Superposition of effects, Tanks,

Cracking, Permeability control

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Agradecimentos

Agradeço ao professor José câmara, pela sua orientação, disponibilidade que sempre demonstrou

para tirar todas as dúvidas que foram surgindo no decorrer do trabalho e várias revisões do texto, que

foram contribuído para a consolidação dos meus conhecimentos e do texto final do documento.

Agradeço a todos os que me ajudaram na elaboração deste trabalho nomeadamente o Bruno Santos,

Alexandre Teixeira e o João Pereira.

Agradeço aos meus pais, pelo apoio prestado em todo o percurso escolar e, em particular, nesta

fase, sendo exemplos em dedicação e amor dado aos filhos.

Dedico este trabalho ao meu pai, um exemplo a todos os níveis. A vida prega-nos partidas que nunca

imaginamos. Com a tua enorme força, não tenho dúvidas que vais conseguir passar por este desafio

que a vida te pôs a prova. Conta comigo para dar sempre o meu melhor.

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Índice

I. Introdução ......................................................................................................................................... 1

1.1. Enquadramento do tema ............................................................................................................. 1

1.2. Faseamento construtivo ............................................................................................................... 6

1.3. Cuidados especiais na pormenorização e dimensionamento de reservatórios ........................... 6

1.4. Organização e Objectivos do Estudo ............................................................................................ 9

II. Caracterização do comportamento dos materiais ...................................................................... 11

2.1. Betão .......................................................................................................................................... 11

2.2. Aço .............................................................................................................................................. 12

2.3. Caracterização das acções indirectas no comportamento dos materiais .................................. 13

2.3.1 Retracção .............................................................................................................................. 13

2.3.2. Fluência ............................................................................................................................... 18

2.3.3. Módulo de elasticidade ajustado ........................................................................................ 20

2.3.4. Análise conjunta da evolução da retracção e a evolução do módulo de elasticidade ........ 23

2.3.5. Variações de temperatura ................................................................................................... 24

III. Mecanismo de fendilhação e as suas propriedades .................................................................. 29

3.1. Efeito das acções isoladas .......................................................................................................... 29

3.1.1. Resposta estrutural de um tirante submetido tracção pura ............................................... 29

3.1.2. Resposta estrutural de um tirante submetido a uma deformação imposta axial .............. 31

3.1.3. Conceito de armadura mínima para o efeito axial .............................................................. 33

3.1.4. Análise comparativa entre Deformação imposta exterior e interior. ................................. 35

3.1.5. Flexão .................................................................................................................................. 36

3.1.6. Conceito de armadura mínima para o efeito flexão ........................................................... 40

3.2. Cálculo da armadura mínima de acordo com EC2 [24] ............................................................. 41

3.3. Espaçamento entre as fendas .................................................................................................... 43

3.4. Estimativa da abertura de fendas .............................................................................................. 49

3.5. Modelo simplificado da abertura de fendas .............................................................................. 51

3.6. Critério de plastificação da armadura versus controlo da fendilhação ..................................... 52

3.7. Limites das aberturas fendas - em particular para reservatórios .............................................. 54

3.8.Controlo abertura de fendas de acordo com Eurocódigo 2 parte 3 [25] .................................... 57

3.9. Comparação entre o controlo indirecto do EC2 parte 1 e o EC2 parte 3 ................................... 59

viii

IV. Comportamento de paredes laterais ............................................................................................ 63

4.1. Abordagem efectuada por Luís [38] e Teixeira [48] ................................................................... 63

4.2. Abordagem de acordo com anexo M do Eurocódigo 2 – parte 3 [25] ....................................... 75

4.3. Análise das abordagens .............................................................................................................. 79

V. Análise de sobreposição de cargas com deformações impostas ............................................ 81

5.1. Considerações Iniciais ................................................................................................................ 81

5.2. Deformação imposta axial, com sobreposição de cargas verticais ao plano ............................. 81

5.3. Critérios de dimensionamento propostos.................................................................................. 84

5.3.1. Deformação imposta isolada ............................................................................................... 84

5.3.2. Deformação imposta em paredes laterais .......................................................................... 85

5.3.3. Sobreposição de cargas com deformações impostas axiais................................................ 86

VI. Apresentação do caso de estudo ................................................................................................. 91

6.1. Considerações iniciais ................................................................................................................. 91

6.2. Materiais utilizados e acções consideradas ............................................................................... 93

6.3. Qualidade do betão para assegurar uma boa estanquidade ..................................................... 97

6.4. Recobrimento ............................................................................................................................. 99

6.5. Esforços nas paredes exteriores e validação do modelo ........................................................... 99

6.6. Esforços nas paredes interiores ............................................................................................... 113

6.7. Deformações impostas de acordo com anexo M do EC2 parte 3 ............................................ 114

6.8. Análise de secções e pormenorização de acordo com abertura de fendas ............................. 117

6.9. Controlo indirecto de fendilhação............................................................................................ 127

VII. Conclusão e desenvolvimentos futuros ................................................................................. 130

7.1. Conclusão ................................................................................................................................. 130

7.2. Desenvolvimentos futuros ....................................................................................................... 132

VIII. Bibliografia ................................................................................................................................. 134

IX. Anexos ........................................................................................................................................... 138

Anexo 1 – Cálculo da extensão de fluência ..................................................................................... 138

Anexo 2 – Cálculo da extensão de retracção .................................................................................. 140

Anexo 3 – Formulação do controlo indirecto da fendilhação ......................................................... 142

Anexo 4 – Cimentos adequados para os reservatórios [16] ........................................................... 145

Anexo 5 – Tipos de cimentos, composição e classes de resistência [18] ........................................ 146

Anexo 6 – Composição do cimento Pozolânico (CEM IV/A (V) 32,5 R) [42] .................................... 147

Anexo 7 – Composição do cimento Portland de Calcário CEM II/A-L 42,5R [16] ............................ 149

Anexo 8 – Composição do cimento Portland de Calcário CEM II/B-L 42,5R [16] ............................ 151

Anexo 9 – Tabela 1.96 de Bares [7] ................................................................................................. 153

ix

Anexo 10 – Tabela 1.82 de Bares [7] ............................................................................................... 155

Anexo 11 – Valores de T1 em função da espessura e da quantidade de ligante ............................. 157

Anexo 12 – Armaduras necessárias de modo a que a abertura de fendas seja compatível com a

classe de estanquidade 1 ................................................................................................................ 158

Paredes exteriores sem cobertura: ............................................................................................. 158

Paredes exteriores com cobertura: ............................................................................................. 159

Ligação dos tanques com cobertura com os tanques sem cobertura (a 1 m do meio): ............. 161

Paredes interiores: ...................................................................................................................... 161

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xi

Índice de figuras

Figura I-1 – Influencia do sistema estático e das juntas no risco de fissuração [27] .............................. 2

Figura I-2 – Infiltração de água numa junta deficiente ............................................................................ 3

Figura I-3 – Distancia máxima entre juntas de dilatação segundo o EC2-parte 3 [23] ........................... 4

Figura I-4 – Pormenor de uma junta Waterstop e sua colocação em obra ............................................ 5

Figura I-5 – Juntas de construção e dilatação indicadas por Montoya [43] ............................................ 5

Figura I-6 – Avaliação do risco de fissuração de um muro muito longo, em função das escolhas das

fases de betonagem [27] ......................................................................................................................... 6

Figura I-8 – Efeito do nível freático exterior ............................................................................................ 7

Figura I-7 – Exemplo de esquadro na ligação parede á laje de fundo ................................................... 7

Figura I-9 – Tanques com soluções pré-esforçadas (cabos horizontais e verticais). ............................. 8

Figura I-10 – Exemplo de uma junta entre a cobertura e a parede [40] ................................................. 9

Figura II-1 – Diagrama de tensão-extensão do betão [19] .................................................................... 11

Figura II-2 - Diagrama de tensão-extensão do aço [4] .......................................................................... 12

Figura II-3 – Avaliação do risco de aparecimento de fissuras com a evolução da retracção térmica [27]

............................................................................................................................................................... 14

Figura II-4 – Efeito da razão entre o agregado e cimento (a/c) e da razão água e cimento (A/C) na

retracção de secagem [44] .................................................................................................................... 15

Figura II-5 – Comparação da evolução da extensão de retracção no tempo (total, de secagem e

endógena) para um betão C25/30 (azul) e C35/45 (vermelho) num ambiente interior com uma

humidade relativa de 50% ..................................................................................................................... 16

Figura II-6 - Comparação da evolução da extensão de retracção no tempo (total, de secagem e

endógena) para um ambiente interior (humidade relativa de 50%) e exterior (humidade relativa de

80%) num betão C35/45 ........................................................................................................................ 16

Figura II-7 - Comparação da evolução do coeficiente de fluência no tempo, para diferentes classes de

resistência de betões (C25/30 e C35/45) e diferentes humidades relativas (50% e 80%) ................... 19

Figura II-8 - Comparação da evolução do coeficiente de fluência no tempo, num betão C35/45 com

uma humidade relativa de 80%, fazendo variar a idade do betão na data do carregamento. ............. 19

Figura II-9 – Evolução do coeficiente de envelhecimento do betão com tempo, segundo Trevino [49]

............................................................................................................................................................... 21

Figura II-10 – Evolução do módulo de elasticidade ajustado com o tempo .......................................... 22

Figura II-11 – Evolução da tensão devido á retracção para um elemento bi-encastrado com o tempo

............................................................................................................................................................... 23

Figura II-12 – Diagramas das componentes de um perfil de temperaturas [23] ................................... 24

Figura II-13 – Variações diferenciais de temperatura para tabuleiros de betão [23] ............................ 25

Figura II-14 – Principais componentes da temperatura para condutas, silos e reservatórios [23] ....... 26

Figura II-15 – Resposta estrutural, a) parcela uniforme e b) parcela diferencial [37] ........................... 27

Figura III-1 – Comportamento de um tirante de betão armado solicitado por um esforço axial de

tracção crescente [27] ........................................................................................................................... 29

Figura III-2 – Comportamento de um tirante de betão armado solicitado por uma deformação imposta

axial crescente [27] ................................................................................................................................ 31

Figura III-3 – Comportamento global da abertura de fendas num elemento de betão estrutural ......... 32

Figura III-4 – Evolução típica das tensões nas armaduras e consequente abertura de fendas num

tirante sujeito a uma deformação imposta: a) sem armadura mínima; b) com armadura superior á

mínima [37]. ........................................................................................................................................... 33

Figura III-5 – Comparação de resultados entre deformações impostas externa (a) e a retracção do

betão (b) [15] ......................................................................................................................................... 35

Figura III-6 – Equilíbrio de tensões numa secção sujeita ao efeito da retracção. ................................ 36

Figura III-7 – Relação entre o momento aplicado e a curvatura média resultante. .............................. 37

Figura III-8 – Relação Momento-Curvatura para as várias fases da estrutura. .................................... 37

xii

Figura III-9 – Exemplo da resposta de uma viga bi-encastrada a uma variação linear de temperatura

para uma análise linear (a) e não linear (b) [13] ................................................................................... 38

Figura III-10 – Importância entre a diferença de valores Mcr e My [13] ................................................. 39

Figura III-11 – Diagrama de tensões na secção imediatamente antes e após fendilhar ...................... 40

Figura III-12 – Variação de k em função da espessura, h [24] ............................................................. 41

Figura III-13 – Estimativa do parâmetro kc, em função da tensão média do elemento [37]. ................ 42

Figura III-14 – Equilíbrio de tensões ao longo do elemento, na fase de formação de fendas [37] ....... 43

Figura III-15 – Ensaios tipo – comportamento da aderência aço – betão para várias situações tipo [37]

............................................................................................................................................................... 44

Figura III-16 – Transmissão de tensões ao longo do comprimento 𝓵𝟎 ................................................. 45

Figura III-17 – Variação do espaçamento entre fissuras de acordo com a pormenorização adoptada

[27] ......................................................................................................................................................... 46

Figura III-19 – Secções efectivas de betão traccionado (casos típicos) [24] ........................................ 47

Figura III-18 – Extensões na face exterior e interior da área efectiva .................................................. 47

Figura III-20 – Largura de fendas, w, na superfície de betão em função da distância às armaduras. . 48

Figura III-21 – Contribuição do betão entre as fissuras [4] ................................................................... 49

Figura III-22 – Equilíbrio de tensões aquando da abertura da primeira fenda [27]............................... 51

Figura III-23 – Proposta de dimensionamento entre os dois critérios enunciados apresentada por

Favre [27]............................................................................................................................................... 53

Figura III-24 – Percepção humana comum ao fenómeno da fendilhação em função da distância [34] 54

Figura III-25 – Distinção entre fissuras transversais á totalidade da secção ou não [27] ..................... 55

Figura III-26 – Valores recomendados para a abertura, Wk1 ................................................................ 58

Figura III-27 – Diâmetro máximo dos varões para o controlo de fendilhação em função da tensão nas

armaduras [25] ...................................................................................................................................... 60

Figura III-28 – Comparação da tabela 7.2 do EC2 parte 1 com a figura 7.103 do EC2 parte 3 para

uma abertura de fendas de 0,2 mm ...................................................................................................... 61

Figura IV-1 – a) Geometria geral da parede; b) Distribuição de tensões antes de formar a 1ª fenda; c)

Resultante das tensões longitudinais antes de formar a 1ª fenda [48] ................................................. 63

Figura IV-2 – Comparação de distribuição de tensão no centro das paredes com as dum tirante em

função da razão l/b [27] ......................................................................................................................... 64

Figura IV-3 – Característica imediatamente antes da formação da 2ª fenda: a) Parede; b) Distribuição

de tensões; c) Resultante de tensões, para um comportamento não linear [48] .................................. 65

Figura IV-4 – Características geométricas da parede utilizada nas análises de Luís [37] e Teixeira [48]

............................................................................................................................................................... 65

Figura IV-5 – Variação das resultantes de tensões ao longo da parede para o caso 1 [38] ................ 66

Figura IV-6 – Evolução da tensão média e abertura de fendas ao longo da parede para o caso 1, para

deformação imposta externa e interna respectivamente [38] ............................................................... 68

Figura IV-7 – Variação da força ao longo da parede, para o caso 1 (armadura mínima) [48] ............. 69

Figura IV-8 – Variação da força ao longo da parede, para o caso 2 (armadura inferior á mínima) [48]

............................................................................................................................................................... 70

Figura IV-9 - Variação da força ao longo da parede, para o caso 2 (armadura superior á mínima) [48]

............................................................................................................................................................... 70

Figura IV-10 – Variação da tensão média na secção central, para os casos analisados [48]. ............ 71

Figura IV-11 – Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação

da 1ª fenda, ΔT=8,63 0C para o caso 1 [48] .......................................................................................... 72

Figura IV-12 – Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação

da 4ª e 5ª fenda, ΔT=12,35 0C para o caso 1 [48] ................................................................................ 72

Figura IV-13 – Deformada para a situação imediatamente antes da formação da 3º fenda, ao longo do

comprimento da parede SAP2000 [48] ................................................................................................. 73

Figura IV-14 – Fendilhação tipo que ocorre num muro sem juntas ...................................................... 73

Figura IV-15 – Variação da tensão (azul) e valor médio (cinzento), na secção central da parede

aquando da formação das fendas seguintes para: a) caso 1; b) caso 2; c) caso 3 [48] ...................... 74

Figura IV-16 – Deformações impostas de um muro longo de betão armado restringido na base ....... 75

xiii

Figura IV-17 – Factores de restrição para situações correntes [25] ..................................................... 76

Figura IV-18 – Distribuição de extensões no aço e no betão após a fendilhação. ............................... 78

Figura IV-19 – Análise individual dos dois modelos presentes numa parede (a) e modelo da zona

superior que se comporta como um tirante (b). .................................................................................... 80

Figura V-1 – Sobreposição de uma deformação imposta axial com cargas verticais [47] ................... 82

Figura V-2 – Comportamento à flexão simples e composta com esforço axial constante [10] ............ 82

Figura V-3 – Deformação imposta externa e interna, sem e com sobreposição de efeitos [37] .......... 83

Figura V-4 – Comparação de esforços elásticos com os esforços resultantes de uma deformação

imposta .................................................................................................................................................. 85

Figura VI-1 – Efeito das deformações impostas num muro longo de betão armado restringido na base

............................................................................................................................................................... 91

Figura VI-2 – Modelo dos tanques de decantação primária propostos no concurso da nova ETAR de

Alcântara................................................................................................................................................ 92

Figura VI-3 – Simplificação do modelo dos tanques de decantação primária propostos a concurso

para a nova ETAR de Alcântara ............................................................................................................ 92

Figura VI-4 – Evolução da tensão devido á retracção para um elemento bi-encastrado com o tempo.

Comparação de um elemento com uma espessura equivalente de 500 mm e de 300 mm. ................ 94

Figura VI-5 – a) Variação da permeabilidade com A/C; b) Variação da permeabilidade com os aditivos

e a qualidade de cura [18,48] ................................................................................................................ 97

Figura VI-6 – Comportamento predominante de reservatórios rectangulares de base pequena e altos

(efeito de quadro horizontal). Diagrama de momentos está ao contrário apenas por uma questão

apresentação [40] ................................................................................................................................ 100

Figura VI-8 – Modelo simplificado de repartição do impulso hidrostático (efeito de anel e efeito de

consola) ............................................................................................................................................... 101

Figura VI-7 – Comportamento predominante de reservatórios rectangulares de grande largura de

parede e baixos (efeito de consola) .................................................................................................... 101

Figura VI-9 – Momentos Myy nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura ............................. 102

Figura VI-10 - Momentos Myy nas paredes exteriores dos tanques com cobertura ............................ 103

Figura VI-11 – Momentos Myy nas paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (comparação)

............................................................................................................................................................. 104

Figura VI-12 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura ........................... 104

Figura VI-13 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques com cobertura ........................... 105

Figura VI-14 - Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (comparação)

............................................................................................................................................................. 106

Figura VI-15 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura (modelo

simplificado) ......................................................................................................................................... 106

Figura VI-16 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques com cobertura (modelo

simplificado) ......................................................................................................................................... 106

Figura VI-17 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (modelo

simplificado) ......................................................................................................................................... 107

Figura VI-18 – Esforço normal (Nxx) provocado pelo impulso da água nas paredes exteriores dos

tanques sem cobertura ........................................................................................................................ 107

Figura VI-19 – Esforço normal de quadros rectangulares sob pressão uniforme............................... 107

Figura VI-20 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques sem cobertura .................................................................................. 108

Figura VI-21 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques com cobertura (cobertura com retracção e temperatura uniforme igual

ás paredes exteriores) ......................................................................................................................... 109

Figura VI-22 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques com cobertura (cobertura com grande retracção: -100ºC) .............. 110

Figura VI-23 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques com cobertura (cobertura sem retracção e/ou variação de

temperatura) ........................................................................................................................................ 110

xiv

Figura VI-24 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (cobertura com retracção e temperatura

uniforme igual ás paredes exteriores) ................................................................................................. 110

Figura VI-25 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques sem cobertura .................................................................................. 111

Figura VI-26 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques com cobertura .................................................................................. 111

Figura VI-27 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas

paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura ....................................................................... 111

Figura VI-28 – Esforços devidos ao impulso hidrostático em paredes de reservatórios .................... 112

Figura VI-29 – Esforços nas Paredes interiores: Distribuição mais desfavorável do fluido nos diversos

compartimentos ................................................................................................................................... 113

Figura VI-30 – Representação, em planta, da sobreposição de efeitos no tanque: a) acção da água

nas paredes; b) N, esforço normal devido às deformações impostas e à acção da água e Mcp,

momentos devido à acção da água – este diagrama está ao contrário apenas por uma questão

apresentação. ...................................................................................................................................... 117

Figura VI-31 – Zonas a analisar .......................................................................................................... 118

Figura VI-32 – Variação do momento devido ao impulso da água e ao peso próprio ........................ 118

Figura VI-33 – Variação do esforço axial devido ao impulso da água ................................................ 118

Figura VI-34 – Pormenor da secção na zona 1 a analisar .................................................................. 119

Figura VI-35 - Variação do momento devido ao impulso da água e ao peso próprio ......................... 120

Figura VI-36 – Variação do esforço axial devido ao impulso da água ................................................ 120

Figura VI-37 - Pormenor da secção na zona 2 a analisar ................................................................... 120

Figura VI-38 – Armaduras necessárias para resistir ao impulso da água na face exterior e interior . 122

Figura VI-39 - Variação do esforço axial, devido às deformações impostas na zona localizada ....... 123

Figura VI-40 - Variação do esforço axial, devido às deformações impostas na zona localizada ....... 124

Figura VIII-1 – Curva do controlo indirecto da fendilhação preconizada no EC2 [24] sobe a fórmula da

tabela 7.2 ............................................................................................................................................. 144

xv

Índice de tabelas

Tabela I.1 – Projecto das juntas para controlo da fendilhação [23] ........................................................ 4

Tabela III.1 - Valores recomendados para a abertura de fendas, Wmax [24] ......................................... 57

Tabela III.2 - Classificação da exigência da estanquidade [25] ............................................................ 57

Tabela III.3– Diâmetros e espaçamentos máximos dos varões para o controlo indirecto da

fendilhação, admitindo a situação de flexão [24] .................................................................................. 59

Tabela IV.1– Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise não linear de Luís

[38] ......................................................................................................................................................... 66

Tabela IV.2– Valores do esforço axial estabilizado (N) para os 3 casos analisados [38] .................... 67

Tabela IV.3 – Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise linear de Teixeira

[48] para uma parede encastrada na base e com espessura de 0,30 m .............................................. 69

Tabela IV.4 – Valores de T1 (⁰C) para diferentes classes de resistência de betão e para diferentes

espessuras de cofragem metálica e de madeira (mm). Neste quadro assume-se que foi usado o

CEM I ..................................................................................................................................................... 77

Tabela V.1 – Coeficientes de redução de esforço axial de fendilhação para uma deformação imposta

axial [15] ................................................................................................................................................ 87

Tabela VI.1– Massa volúmica de alguns líquidos [31, 41] .................................................................... 96

Tabela VI.2 – Valores do recobrimento mínimo, Cmin,dur requisitos relativos à durabilidade das

armaduras para betão armado, de acordo com a EN 10080 [24] ......................................................... 99

Tabela VI.3 – Relação H*/H em painéis rectangulares com bordo livre no topo e restantes bordos

encastrados, M0=”coef.”x(γH3) [7] ...................................................................................................... 101

Tabela VI.4 – Quantidade de ligante (kg/m3) em função da classe de resistência e da quantidade de

adições ................................................................................................................................................ 114

Tabela VI.5 – Espaçamento máximo de fendas para um esforço normal e uma armadura típica para o

caso em análise ................................................................................................................................... 116

Tabela VI.6– Armaduras mínimas para os dois tipos de espessura da parede ................................. 121

Tabela VI.7– Abertura média, característica e máxima de fendas para as armaduras do estado limite

último ................................................................................................................................................... 125

Tabela VI.8 – Armaduras necessárias de moda a que a abertura de fendas seja compatível com a

classe de estanquidade 1 do EC2 – parte 3 [25] ................................................................................ 126

Tabela VI.9– Comparação entre o controlo directo e indirecto de abertura de fendas ...................... 127

Tabela VI.10– Comparação entre o controlo directo e controlo indirecto de abertura de fendas ...... 128

Tabela VII.1 – Valores de Kh na expressão VII.16 .............................................................................. 140

Tabela VII.2 – Diâmetro máximo em função da tensão nas armaduras para uma abertura de fendas

de 0,3 mm. Taxa de armadura mínima para um dado valor de 𝝈𝒔 que cumpre a condição 𝝈𝒔 > 𝝈𝒔𝒓.

............................................................................................................................................................. 143

xvi

xvii

Simbologia Alfabeto latino

A - Área

Ac - Área de betão

Act - Área de betão traccionado

Ac,ef - Área efectiva de betão

As - Área de aço (armadura ordinária)

As,min - Armadura mínima

b - Aderência; Largura

c - Recobrimento de armaduras

cp - Cargas permanentes

d - Altura útil da peça

dmax - Máxima dimensão do inerte

E - Módulo de elasticidade

Ec - Módulo de elasticidade do betão

Ecm - Módulo de elasticidade médio do betão

Ecs - Módulo de elasticidade secante do betão

Ec,28 - Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias

Ec,ajust - Módulo de elasticidade ajustado do betão

Ec,eff - Módulo de elasticidade efectivo do betão

Es - Módulo de elasticidade do aço

F - Força

fcd - Tensão resistente de compressão do betão (de segurança)

fct - Tensão resistente de tracção do betão

fct,ef - Tensão resistente de tracção do betão na área efectiva(=fctm)

fctm - Tensão resistente média de tracção do betão

fck - Tensão resistente característica de compressão do betão

fcm - Tensão resistente média de compressão do betão

fy - Tensão resistente de cedência do aço

fyd - Tensão resistente de cedência do aço (de segurança)

fyk - Tensão resistente característica de cedência do aço

h - Altura do elemento; espessura

h0 - Espessura equivalente

I - Inércia

K - Rigidez

L - Comprimento do elemento

ℓ0 - Comprimento de transmissão de força entre a armadura e o betão em tracção

n - Relação entre os módulos de elasticidade Es/Ec

N - Esforço axial

xviii

Ncr - Esforço axial de fendilhação (ou Nr)

Ncr,n - Esforço axial de fendilhação da fenda n (ou Nr,n)

Ncs - Esforço axial devido à retracção

Ndi - Esforço axial devido à deformação imposta

Nserv - Esforço axial devido às cargas aplicadas em serviço

Ny - Esforço axial de cedência

NΔt - Esforço axial devido a uma variação de temperatura

M - Momento flector

Mdi - Momento flector devido à deformação imposta

My - Momento flector de cedência

Mu - Momento flector último

Mcr - Momento flector de fendilhação

Mserv - Momento flector devido às cargas aplicadas em serviço

RH - Humidade relativa

s - Deslizamento; Escorregamento

sr - Espaçamento entre fendas

srm - Espaçamento médio entre fendas

sr,max - Espaçamento máxima entre fendas

sr,min - Espaçamento mínimo entre fendas

sc - Sobrecarga

t - tempo

T - Temperatura

u - Perimetro

Wc - Módulo de flexão

w - Abertura de fendas

wk - Abertura de fendas característica

wm - Abertura média de fenda

wmax - Abertura máxima de fendas

x - Distância; coordenada

y - Coordenada

z - Braço; coordenada

1/r - Curvatura

1/rm - Curvatura média

Alfabeto grego

β - Coef. multiplicativo; parâmetro de busca; coef. de redução de momento de fend.

Δ - Variação

χ - Curvatura; coeficiente de envelhecimento do betão

xix

ε - Extensão

εc - Extensão no betão

εca - Extensão de retracção endógena

εcd - Extensão de retracção por secagem

εcs - Extensão total de retracção

εcm - Extensão média no betão entre fendas

εsm - Extensão média nas armaduras

εff - Extensão de fim do processo de formação de fendas

εΔt - Extensão de uma variação de temperatura

εimp - Extensão imposta

εs - Extensão na armadura

εyk - Extensão característica de cedência do aço

ε0 - Extensão na linha média

ϕ - Diâmetro dos varões

φ - Coeficiente de fluência

γ - Coeficiente de segurança; factor de orientação de localização da extensão

ν - Coeficiente de poisson

ρ - Percentagem geométrica de armadura

ρmin - Percentagem mínima de armadura

ρef - Percentagem de armadura na área efectiva

σ - Tensão

σc - Tensão no betão

σs - Tensão na armadura

ζ - Coeficiente de repartição

ξcs - Coeficiente de redução para a retracção

ξΔt - Coeficiente de redução para variação de temperatura

τb - Tensão de aderência aço-betão

τbm - Tensão de aderência média aço-betão

Índices Numéricos

I - Estado de secção não fendilhada

II - Estado de secção fendilhada

1 - Estado de secção não fendilhada; Coeficiente

2 - Estado de secção fendilhada; Coeficiente

xx

1

I. Introdução

1.1. Enquadramento do tema

Como é conhecido para as estruturas, em geral, e em particular para as de betão, as verificações de

segurança à rotura, que garantem uma probabilidade de colapso quase nula, têm de ser

complementadas com as verificações de segurança relativas ao comportamento em serviço. Um

dimensionamento estrutural, com avaliação das quantidades de armaduras, verificando apenas a

segurança à rotura, pode conduzir a deficiências no comportamento em serviço, com mais acuidade

em estruturas para as quais as exigências de funcionalidade dependam da limitação da abertura de

fendas. Assim, será sempre necessário, mas em particular nestes casos, avaliar o comportamento

em serviço através das verificações aos estados limite utilização, e, se for caso disso, condicionar as

disposições de dimensionamento, geometria ou/e quantidades de armadura, nesse contexto.

Muitos dos problemas que as estruturas de betão apresentam em serviço prendem-se com uma má

quantificação das deformações impostas (acções indirectas) e da avaliação dos seus efeitos nas

estruturas. Uma vez que as deformações impostas não podem ser responsáveis pelo colapso duma

estrutura de betão armado, a menos de situações com relevância dos efeitos de 2ª ordem, as

consequências, de uma má concepção estrutural para este tipo de acções ou de uma avaliação

menos correcta dos seus efeitos, centram-se, sobretudo, no comportamento em serviço.

O comportamento próximo da rotura das estruturas com alguma ductilidade aproxima-se ao da

formação de um mecanismo e, portanto, os efeitos de deformações impostas (variação de

temperatura, retracção do betão, assentamentos diferenciais) não geram, nessa fase, esforços

internos mas sim deformações e/ou rotações nalguns elementos estruturais que exigem capacidade

de deformação, ou seja, ductilidade.

Torna-se necessário esclarecer bem, neste âmbito, a diferença da resposta estrutural para acções

directas e indirectas. As acções directas são, tipicamente as cargas verticais ou horizontais (acção do

vento), que solicitam a estrutura através de forças, gerando necessariamente, para garantir o

equilíbrio daquelas, esforços na estrutura. O valor global destes esforços depende apenas das

acções aplicadas, sendo independente do material estrutural ou das suas características de

comportamento, que influenciam a sua distribuição pelos elementos estruturais. Já as deformações

impostas dependem do tipo de material (através do módulo de elasticidade, ou mais genericamente

da relação tensão-extensão), da sua geometria (inércia) e do seu estado (variação da rigidez através

da fendilhação no betão armado). Num elemento de betão armado solicitado por uma deformação

imposta, a abertura de fendas e /ou cedência das armaduras, com consequente perda de rigidez leva

a uma diminuição global dos esforço na peça, que tendem a desaparecer próximo da rotura.

2

Assim, uma vez que as tensões induzidas pelas acções indirectas dependem da rigidez e que os

esforços devido às acções directas tendem a fendilhar as peças de betão armado, pode também

concluir-se que os esforços provocados pelas acções indirectas podem ser inferiores quando se

verifica, por exemplo, uma sobreposição de efeitos destes dois tipos de acções.

A adopção de juntas é sempre uma hipótese que se coloca quando, por efeito de acções indirectas,

se prevêem riscos de ocorrerem fendas pois torna a estrutura menos hiperestática, como ilustrado na

figura I.1. De facto a colocação das juntas, neste caso dos muros, faz com que se diminua de forma

significativa as fendas no elemento estrutural, sendo de notar que, em certa medida, as juntas

substituem as potenciais fendas transversais.

Figura I-1 – Influencia do sistema estático e das juntas no risco de fissuração [27]

No entanto, há várias razões que apontam para que a adopção de juntas estruturais não seja a

solução conceptual mais eficiente para resolver a necessidade de controlar as aberturas de fendas no

betão estrutural e que a seguir se analisam.

O principal motivo, no caso dos reservatórios, está relacionado com o facto de as juntas estruturais

serem reconhecidamente um ponto fraco em termos da garantia da estanquidade, com risco de

menor eficácia (ver figura I.2), e/ou durabilidade pois o tempo de vida útil dos elementos da junta é,

em geral, inferior à prevista para a estrutura dos tanques. Por exemplo no caso de uma ETAR, seria

de prever que fossem necessárias interrupções no normal funcionamento de alguns órgãos, ao longo

do tempo, para efectuar a sua manutenção/reparação, com os inevitáveis prejuízos em termos do

normal desempenho da infra-estrutura no seu conjunto.

Outro motivo assenta no próprio comportamento do betão estrutural. Sendo a retracção uma

característica intrínseca do material, só anulável nos casos em que se garante a permanente imersão

do mesmo, o seu valor não depende do comprimento total do elemento que se betona, apesar dos

seus efeitos serem menores em paredes menos compridas, como acima ilustrado.

3

Os problemas que a execução deste tipo de juntas gera no planeamento e execução das obras é,

também, um aspecto importante a considerar na fase de concepção. Por um lado, o faseamento da

obra fica condicionado e, por outro lado, a preparação da junta para uma correcta e eficiente

execução é exigente e requer um trabalho particularmente cuidado.

Assim, a adopção de juntas de dilatação deve ser considerada em situações particulares, como entre

tanques ou outros elementos com variações de geometria significativas, mas tendo sempre presente

a necessidade de medidas de controlo da fendilhação ao nível dos critérios de dimensionamento do

betão estrutural. Aliás, como nas estruturas em geral, o princípio da concepção estrutural de adoptar

tanta continuidade quanto razoável é hoje praticamente consensual.

Neste enquadramento o EC2 – parte 3 [25] aponta para duas linhas gerais de concepção para o

dimensionamento das paredes, que dependem das condições de serviço e do grau de exigência

admissível. Estas opções são:

(a) cálculo para uma restrição total. Dimensionamento considerando as paredes contínuas,

sem juntas de dilatação, sendo a abertura e o espaçamento das fendas controladas de

acordo com as recomendações técnicas conhecidas, em particular, a secção 6 e 7.3 do EC2

[24].

(b) cálculo para uma liberdade de movimento. Dimensionamento considerando juntas, que

libertam parcialmente as dilatações das paredes, sendo as deformações absorvidas em parte

pelas juntas, e permitindo, desta forma, moderar a quantidade da armadura necessária para

o controlo das aberturas de fendas.

As opções acima referidas implicam, a nível de dimensionamento, as indicações da tabela I.1

apresentada pelo EC2 – parte 3 [25], no anexo N e apresentada seguidamente.

Figura I-2 – Infiltração de água numa junta deficiente

4

Opção Método de controlo Espaçamento das juntas de

dilatação Armaduras

(a) Continuidade – restrição

total

Em geral não existem juntas, embora no caso em que se preveja uma deformação imposta considerável (temperatura ou retracção) possa ser desejavel a existencia de juntas bastante espaçadas.

Armaduras de acordo com os capitulos 6 e 7.3 do EC2

(b) Juntas de dilatação próxima – restrição

mínima

Juntas com um espaçamento no máximo de 5 m ou de 1,5 vezes a altura da parede

Armaduras de acordo com capitulo 6 mas não inferiores ao minimo dado em 9.6.2 a

9.6.4 do EC2

Tabela I.1 – Projecto das juntas para controlo da fendilhação [23]

Segundo este anexo temos um espaçamento maximo de 5,0 m ou de 1,5 vezes a altura da parede

para as juntas (ver figura I.3).

Pensa-se que, no essencial, como atrás referido, a utilização de juntas faz sentido quando existem

transições geométricas bruscas ou assimetrias de rigidez. Também a sua utilização se deve ponderar

quando existem partes da estrutura com diferentes condições de fundação de modo a minorar efeitos

previsíveis de assentamentos diferenciais.

Se a solução adoptada for o recurso a juntas e tratando-se de estruturas como a que será

considerada no exemplo do capítulo IV, de tanques, é necessário prevenir as possíveis fugas de

líquido, como as ilustradas na figura I.2. Uma adequada escolha e boa aplicação dos conhecidos

perfis de Waterstop (ver figura I.4) pode ser uma boa opção. Estes são compostos de resinas de

cloreto de polivinil de alta qualidade e plastificantes seleccionados que lhe conferem a maleabilidade

necessária para assegurar a aderência eficaz aos elementos de betão, conforme explicado por

Borges [8].

Figura I-3 – Distancia máxima entre juntas de dilatação segundo o EC2-parte 3 [23]

5

É importante distinguir as juntas estruturais, que temos estado a descrever, das de construção. As

primeiras são referidas no EC2 parte 3 [25], e destinam-se a permitir o movimento relativo entre os

elementos ligados (devido à acção térmica uniforme ou à retracção, como explicado), pelo que as

armaduras são interrompidas. Pelo contrário, as armaduras nas juntas de construção não são

interrompidas, pois é suposto que estas não comprometam a continuidade entres os elementos

estruturais.

As juntas de construção são inevitáveis nas estruturas e, na betonagem de grandes volumes e/ou

comprimentos de betão. Minoram os efeitos da retracção endógena e do calor de hidratação libertado

pelo betão jovem. São indicados por Montoya [41], valores 7,5 m para os comprimentos de parede

entre juntas (figura I.5), nos quais também se propõe a utilização de vedantes de borracha.

Tipo de depósito Separação entre juntas

Dilatação Construção

Enterrados, piscinas

25-30 m 7,5 m

Apoiados, pouco expostos

15-25 m 7,5 m

Apoiados, muito expostos

10-15 m 5-7 m

Figura I-4 – Pormenor de uma junta Waterstop e sua colocação em obra

Figura I-5 – Juntas de construção e dilatação indicadas por Montoya [43]

6

1.2. Faseamento construtivo

A adopção de um faseamento construtivo (com juntas de construção) concebido de modo a minimizar

as restrições às deformações livres iniciais permite diminuir os riscos de fendilhação do betão. O tipo

de faseamento construtivo a que se refere dever-se-á basear num processo sequencial e, no caso de

paredes por exemplo, com comprimentos limitados de betonagem dos vários troços das paredes,

diminuindo-se o efeito restritivo da laje de fundo (ver figura I.6)

Como se pode ver pela figura I.6, para se evitar a fendilhação, cada etapa de betonagem deve seguir

o faseamento previsto. Desta forma reduz-se a retracção diferencial entre as etapas de construção

e/ou o grau de restrição contrariando a eventual fendilhação. Quanto maior for o tempo decorrido

entre a construção de duas zonas da estrutura que imponham uma restrição relativa à deformação

livre, maior o efeito estrutural (risco de fendilhação e dimensão da abertura de fenda).

1.3. Cuidados especiais na pormenorização e dimensionamento de

reservatórios

Ao definir a geometria de um reservatório há que considerar alguns aspectos específicos, como por

exemplo, nas ligações monolíticas de ligação parede – laje de fundo adoptar esquadros (ver figura

I.7). Estes esquadros para além de terem a função de dificultar a deposição de resíduos e favorecer

as operações de limpeza, têm um importante papel estrutural – a zona de ligação fica mais rígida e

permite uma mais suave transmissão de tensões naquela zona e uma eventual fendilhação mais

distribuída (contrariando a abertura de uma fenda maior localizada no canto).

Figura I-6 – Avaliação do risco de fissuração de um muro muito longo, em função das escolhas das fases de

betonagem [27]

7

No caso da susceptibilidade do terreno de fundação provocar assentamentos diferenciais

significativos devem adoptar-se juntas estanques na laje de fundo de modo a que estas possam

acomodar esses deslocamentos.

Quando o reservatório é térreo é necessário analisar a situação de água existente no terreno

envolvente e as suas eventuais acções sob a laje de fundo, devendo ser previsto um sistema de

drenagem adequado. Assim, se houver condições para se gerar um nível freático estável no terreno a

laje de fundo, numa situação de depósito vazio, fica sujeita a uma pressão hidrostática “de baixo para

cima”. Deve, então, verificar-se desde logo se o peso da estrutura é superior ao efeito de impulsão da

água, para evitar o fenómeno geralmente designado por “flutuação”. Esta verificação pode conduzir à

necessidade de aumentar a espessura da laje de fundo ou considerar a extensão para o exterior das

paredes, de forma a tirar proveito do peso do terreno sobrejacente (ver figura I.8). Em alternativa

haveria que prevêr um sistema de drenagem em funcionamento contínuo para baixar o nível da

pressão da água exterior.

Figura I-8 – Efeito do nível freático exterior

Por outro lado, em caso de eventual acumulação sazonal de água nos muros e/ou laje de fundo é

usual prever sistemas de drenagem adaptados às situações. Com efeito, a compactação das

camadas laterais de terreno não é em geral suficiente para evitar a acumulação de água de origem

pluvial na envolvente do depósito.

Figura I-7 – Exemplo de esquadro na ligação parede á laje de fundo

8

Em qualquer caso há que estimar as acções a considerar no dimensionamento e avaliar quantidades

de armadura necessárias, que podem ser significativas para controlo eficaz da fendilhação do betão.

Para além do controlo da abertura de fendas, pode-se recorrer a uma protecção epoxídica nas

superfícies de betão. Por exemplo nos tanques de ETARes, é favorável a pintura com uma tinta

epoxídica que ajuda na impermeabilização e atenua os efeitos da fendilhação.

No caso de paredes sujeitas a esforços significativos, e se pretender nomeadamente garantir a

verificação das condições de não fendilhação (considerando o critério de estanquidade 2 ou 3 do EC2

– parte 3 [25] ou tabela III-2), é possível recorrer a soluções pré-esforçadas (ver figura I.9). De entre

as variantes possíveis, destaca-se o recurso a cabos horizontais e/ou verticais colocados no interior

da parede, para tanques rectangulares, e a cabos helicoidais contínuos ou independentes, no caso

de depósitos circulares, dispostos exteriormente á parede e ao longo de toda a sua altura.

Com o objectivo de reduzir os efeitos das deformações impostas, é possível, nos depósitos

enterrados ou ao nível do solo, colocar uma camada de terra sobre a estrutura de cobertura com o

objectivo de proteger esta última de gradientes térmicos (embora à custa duma sobrecarga vertical

que deve, nesse caso, ser considerada no projecto).

Em reservatórios com grandes dimensões, é frequente adoptar uma ligação articulada entre as

paredes e o elemento de cobertura, ou seja, sem transmissão do momento flector (ver figura I.10).

Neste caso, a ligação é assegurada com uma junta deslizante que permite movimentos horizontais

relativos, de forma a evitar que a retracção e acção térmica uniforme induzam esforços transversos

na ligação ás paredes. Em relação a este aspecto, refira-se que mesmo em juntas deslizantes o

esforço transverso transmitido às paredes não é exactamente nulo devido ao atrito que se desenvolve

na ligação.

Figura I-9 – Tanques com soluções pré-esforçadas (cabos horizontais e verticais).

9

1.4. Organização e Objectivos do Estudo

Este trabalho tem como objectivo estudar os efeitos das deformações impostas nas paredes de

reservatórios. As dimensões dos tanques considerados como base do estudo foram definidas com

base nas dimensões de uma proposta de concurso dos tanques de decantação primária da ETAR de

Alcântara.

Como já se referiu as estruturas de betão estão sujeitas a deformações impostas por efeito do

comportamento do betão ao longo do tempo e das acções do meio ambiente, como as variações de

temperatura. Estas deformações ao serem restringidas pelas ligações ao exterior, e entre os

diferentes elementos estruturais, induzem tensões axiais de tracção e/ou flexão que podem fendilhar

o betão. As aberturas dessas fendas têm de ser limitadas de modo a permitir um comportamento

adequado em serviço, em particular garantido condições de funcionamento adequadas. Para limitar

eficientemente as aberturas de fendas, há que adoptar quantidades de armadura adequadas, como

será discutido.

A regulamentação sugere que se use uma armadura mínima, que poderá ser insuficiente como se

verá, nomeadamente quando as exigências funcionais são elevadas.

Também no cálculo da abertura de fendas, para a situação de uma parede restringida na base

(parede dos reservatórios) existem várias formas de abordar o problema, as quais serão discutidas.

Para esta situação bastante corrente parece não existir total consenso na comunidade científica e

técnica, pelo que, neste trabalho, se dá um contributo para clarificação desta problemática.

No presente capítulo, é apresentado o enquadramento geral do trabalho, referindo-se a necessidade

de verificar com mais cuidado o estado limite de serviço, ao nível dos critérios e modelos de cálculo.

Apresenta-se, também, neste capítulo o tipo de acções a que este tipo de estruturas pode ser

submetido e refere-se o papel das juntas estruturais na concepção estrutural.

Figura I-10 – Exemplo de uma junta entre a cobertura e a parede [40]

10

No capítulo II apresentam-se e analisam-se as características dos materiais em estudo, o aço e

betão. Também neste capítulo se descrevem as acções indirectas no caso de uma parede de

reservatório e quantificam-se os valores de extensão de retracção do betão e do módulo de

elasticidade ajustado como definidos no EC2 [24]. Destaca-se, ainda neste capítulo, a avaliação da

forma que permite definir o espaço temporal na qual a combinação conjunta da acção da extensão de

retracção e do módulo de elasticidade ajustado, que tem em conta a fluência, pode gerar efeitos mais

desfavoráveis. Esta análise é desenvolvida como se tratasse de um tirante, no entanto dará boas

indicações sobre o espaço temporal onde são de prever efeitos mais significados nas estruturas em

geral.

No capítulo III analisa-se o comportamento do betão estrutural quando solicitado por vários tipos de

acções, directas e deformações impostas (internas e externas). Também neste capítulo, apresentam-

se as formulações propostas pelo EC2 [24] para a definição de armadura mínima, avaliação de

abertura de fendas e espaçamento máximo de fendas. Neste capítulo estuda-se, ainda, as

propriedades essenciais para assegurar características de funcionalidade adequadas às paredes dos

reservatórios e a regulamentação em causa, analisando-se em particular o regulamento específico

para o caso de reservatórios EC 2 - para 3 [25].

No capítulo IV analisam-se as características principais da resposta das paredes laterais face às

deformações impostas, com base em estudos recentemente realizados. Também neste capítulo se

apresenta o anexo M do EC 2 – parte 3 [25], em que as deformações impostas ao longo de um bordo

são tratadas de uma maneira diferente do habitual.

No capítulo V estudam-se situações de sobreposição dos efeitos de flexão gerados por cargas

aplicadas, com efeitos axiais provocados pelas deformações impostas. Apresentam-se também

algumas recomendações propostas para o dimensionamento de estruturas de betão armado face às

deformações impostas.

No capítulo VI apresenta-se o caso de estudo, com geometria baseada nos reservatórios de uma

ETAR, e nos quais são analisados os efeitos das deformações impostas nas paredes desses

reservatórios. Nestas paredes ocorre uma sobreposição de efeitos que será analisada de acordo com

as diferentes metodologias de dimensionamento.

No capítulo VII apresentam-se as considerações finais deste trabalho.

11

II. Caracterização do comportamento dos materiais

A análise do comportamento de estruturas de betão armado e pré-esforçado em condições de serviço

e as regras de dimensionamento aos estados limites de utilização exigem a avaliação das

propriedades dos materiais constituintes e a compreensão da forma como contribuem para a resposta

estrutural às acções de serviço. São abordados, nos parágrafos seguintes, as formas de

quantificação das características dos materiais, em particular, aquelas que mais se enquadram no

presente tema da tese.

2.1. Betão

O comportamento do betão pode ser expresso pela relação constitutiva extensão - tensão. Esta

relação, segundo o Model Code 90 [19], apresenta o comportamento representado na figura II.1.

Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um material que

possui uma boa resistência à compressão e uma baixa resistência à tracção (da ordem de 1/10 a

1/15 da resistência à compressão). Para cargas de carácter permanente, é comum não ter tensões

superiores a valores da ordem de 40% da capacidade resistente à compressão do material, o que

significa que, geralmente, é possível assumir um comportamento elástico-linear para esta gama de

acções. O EC2 [24] recomenda que para as acções quase permanentes a tensão deva ser limitada a

0,45𝑓𝑐𝑘 para considerar a fluência como linear. A partir deste valor começa-se a observar a não

linearidade nas deformações diferidas no tempo devido a fluência pelo que, em princípio, se deve

evitar esse nível de tensão. Também é possível assumir um comportamento elástico linear quando o

material é mobilizado por tracção, desde que não se ultrapasse a resistência á tracção. Para além

deste valor pode ser considerado, com controlo de extensões, um ramo descendente como

representado na figura II.1.

2 a 5 MPa 20 a 80 MPa

Figura II-1 – Diagrama de tensão-extensão do betão [19]

12

Como a resistência à compressão do betão é a sua característica mais importante, este é

normalmente classificado tendo em conta esse valor, sendo a resistência à tracção obtida em função

daquela. O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção, parâmetro importante na análise do

comportamento em serviço, pode ser estimado, segundo o EC 2 [24], pela expressão (válida para

betões de classes baixa a media, ≤ C50/60):

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,30 × 𝑓𝑐𝑘2/3

, 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎 (II.1)

Refira-se que segundo o EC 2 [24] a tensão de compressão no betão em serviço deve ser limitada,

para além do valor atrás mencionado para as combinações de acções permanentes, à tensão

compressão máxima a 0,6𝑓𝑐𝑘 para as combinações características de acções, com o objectivo de

evitar alguma micro-fendilhação ou mesmo o aparecimento de fendas longitudinais.

2.2. Aço

O comportamento do aço é bastante mais simples. Por um lado, responde de forma semelhante à

compressão e à tracção e, por outro lado, o comportamento do aço não é, praticamente, influenciado

por processos diferidos no tempo, muito embora possa se deteriorar por corrosão, se não for

convenientemente protegido.

Na figura II.2, mostra-se o diagrama “tipo” de extensão-tensão do aço. Refira-se ainda que, para

verificação do comportamento em serviço, se pode utilizar um diagrama elasto-plástico, semelhante

ao de cálculo aos E. L. Últimos, apresentada na figura, mas com início do comportamento plástico

para 𝜍𝑠 = 𝑓𝑦𝑘 .

As tensões de tracção na armadura devem ser limitadas a fim de evitar as deformações não elásticas

assim como níveis de fendilhação ou de deformação inaceitáveis. Neste contexto, e para além de

outras verificações mais explícitas, é imposto que, para a combinação característica de acções, a

tensão de tracção na armadura não deverá exceder 0,8𝑓𝑦𝑘 . Nos casos em que a tensão é devida a

uma deformação imposta, a tensão de tracção poderá se aproximar a 𝑓𝑦𝑘 .

Figura II-2 - Diagrama de tensão-extensão do aço [4]

13

2.3. Caracterização das acções indirectas no comportamento dos materiais

2.3.1 Retracção

A retracção é um fenómeno caracterizado pela diminuição gradual de volume do betão ao longo do

processo de endurecimento, na ausência de cargas aplicadas medido a temperatura constante. Essa

redução que acontece quer devido à perda de água para o exterior, quer devido a reacções químicas

dos seus componentes, denomina-se de retracção hídrica, que como veremos no subcapítulo

seguinte, é composta por duas parcelas (parcelas de secagem e endógena). De qualquer forma é

usual considerar outras componentes do fenómeno que ocorrem em simultâneo, identificadas pelas

seguintes denominações: retracção plástica, retracção térmica e retracção de carbonatação que

serão analisadas seguidamente, de acordo com [21, 29, 37, 47, 48].

A retracção plástica é a retracção antes da presa, por vezes denominada retracção capilar. Esta é

devida à velocidade de evaporação da água da superfície livre do betão fresco, ser superior à água

que migra do interior do betão para a superfície. Pode provocar uma fendilhação superficial e

consequentemente prejudicar a durabilidade futura da estrutura. É devida a ela, que por vezes, se

observa em obra algumas horas, ou dias após a betonagem, uma fendilhação irregular. Para diminuir

o seu efeito, deve assegurar-se uma boa protecção para diminuir a velocidade de evaporação, quer

aplicando produtos de cura, quer cobrindo o betão com uma camada impermeável, o mais cedo

possível, após a betonagem.

A retracção térmica tem em conta o arrefecimento do betão devido ao efeito das reacções químicas

de hidratação do cimento, que são exotérmicas e libertam calor. No fim da presa (1 a 2 dias), as

reacções são mais lentas e a temperatura baixa progressivamente graças à dissipação de calor para

o exterior através das cofragens e da superfície livre. A retracção térmica é o efeito da contracção do

betão que acompanha este arrefecimento gradual (ver figura II.3). Por outro lado, o gradiente térmico

entre o interior da peça de betão e o exterior gera tensões de tracção que podem provocar a

ocorrência de fendilhação superficial como se pode ver na figura II.3. Depende da temperatura do

meio ambiente exterior, da natureza do material da cofragem, da dimensão do elemento e da

dosagem do cimento utilizado. Com o aumento da dosagem do cimento, maior é a quantidade de

componentes hidratados e, assim, maior será a libertação de calor para o exterior e por conseguinte

maior será o risco de fissuração. O nível de fendilhação causado por este tipo de retracção pode

agravar-se no caso de uma descofragem prematura (perda precoce de isolamento térmico) pois o

betão pode não ter adquirido o nível de resistência desejável. Este tipo de retracção encontra-se bem

discriminada no documento CIRIA C660 [5], a qual irá ser analisada com mais detalhe no subcapítulo

4.2.

14

Figura II-3 – Avaliação do risco de aparecimento de fissuras com a evolução da retracção térmica [27]

A retracção de carbonatação produz-se logo que o hidróxido de cálcio Ca(HO)2 reage com o dióxido

de carbono CO2 para formar o carbonato de cálcio Ca(HO)3. É um fenómeno muito localizado no

betão superficial e que muitas vezes, nem é considerado como de retracção.

No entanto, como referido anteriormente, a parcela mais importante que contribui para retracção

global é a retracção hídrica. Este tipo de retracção ocorre devido á perda de água do interior do

betão, segundo dois processos distintos: o processo endógeno e o de secagem:

Retracção endógena que é também chamada de autogénea. Esta retracção ocorre sem

trocas de humidade com o exterior e aumenta com a diminuição da relação água/cimento,

fazendo com que esta parcela da retracção seja mais relevante nos betões de elevada

resistência, onde a razão entre a dosagem de água e cimento é baixa. Isto explica-se pois

estes betões consomem toda a água dos poros maiores na hidratação.

Nesta retracção à medida que as reacções químicas de hidratação ocorrem, a água presente

no interior dos poros do betão é consumida, causando perda de pressão. Esta diminuição de

pressão nos poros origina a retracção no betão. A retracção endógena é uma parcela

normalmente pequena da retracção total e ocorre cerca de 80% até aos 28 dias, pelo que a

retracção endógena é um fenómeno que acontece nas primeiras idades do betão e é função

linear da resistência do betão.

15

Retracção de secagem, por vezes denominada de retracção de dissecação, é a parcela

mais significativa da retracção global. Produz-se pela difusão da água na direcção das faces

expostas à secagem em presença de um gradiente hídrico entre o betão e o ar ambiente e é

tanto maior quanto maior for a relação água/cimento (ver figura II.4). Assim este fenómeno

em betões de alta resistência é menor que no caso dos betões correntes devido às pequenas

quantidades de água livre após a hidratação e á menor porosidade. A retracção de secagem

tem lugar muito lentamente e dura vários anos até que a humidade do betão fique em

equilíbrio com a humidade média do meio ambiente. Esta retracção depende do equilibro

entre a humidade relativa do meio ambiente e humidade interna do betão pelo que se

tivermos uma humidade relativa do meio ambiente de 100% não existe retracção de

secagem. Também depende da razão agregado/cimento (ver figura II.4). Quanto maior esta

razão menor é a retracção de secagem pois o uso de agregados grossos minimiza a

quantidade total de água e restringe o encurtamento da pasta de cimento.

Figura II-4 – Efeito da razão entre o agregado e cimento (a/c) e da razão água e cimento (A/C) na retracção de secagem [44]

Apresenta-se nas figuras II.5 e II.6, dois gráficos com estas duas parcelas de retracção ao longo do

tempo para uma peça com 300 mm de espessura equivalente utilizando-se um cimento de classe N

(presa normal ou rápida).

16

Figura II-5 – Comparação da evolução da extensão de retracção no tempo (total, de secagem e endógena) para um betão C25/30 (azul) e C35/45 (vermelho) num ambiente interior com uma humidade relativa de 50%

Figura II-6 - Comparação da evolução da extensão de retracção no tempo (total, de secagem e endógena) para um ambiente interior (humidade relativa de 50%) e exterior (humidade relativa de 80%) num betão C35/45

Para a obtenção destes gráficos foram utilizadas as equações do anexo 2 presentes no EC 2 [24]

para a retracção. Este regulamento considera apenas a parcela hídrica da retracção para o cálculo da

extensão de retracção. Esta simplificação pode fazer sentido pois esta é a mais elevada e, porque as

extensões devidas às restantes “retracções”, dão-se ou muito rapidamente e numa fase muito jovem,

ou têm pouco significado, pelo que o efeito global na estrutura, depois de construída, em geral, não é

significativa.

Total

Secagem

Endógena

Endógena

Secagem

Total

Secagem

Total

17

Temos assim:

𝜀𝑐𝑠 = 𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑐𝑎 (II.2)

Analisando a figura II.5, verifica-se que com o betão C25/30, a parcela de retracção de secagem é

muito mais significativa que a endógena, ao passo que com o betão C35/40 há uma clara menor

diferença relativa entre as duas parcelas. Esta diminuição acentua-se para uma humidade relativa

mais alta (figura II.6) que, conduz a uma menor retracção de secagem. No limite com uma humidade

relativa de 100% não há retracção de secagem. Por outro lado, a parcela endógena não é

influenciada pela humidade.

Assim, para betões de alta resistência, com baixa relação água/cimento (<0,4), a retracção endógena

pode exceder a retracção de secagem [6].

Um aspecto importante realçar é que a retracção de secagem desenvolve-se muito mais lentamente,

dando-se ao longo de anos, mas com maior incidência, até aproximadamente aos 1000 dias. Assim,

quando esta parcela é significativa, o faseamento construtivo, em que a construção se faz por troços

independentes, com estabelecimento de ligação após 30 a 45 dias, não é uma forma eficaz de

eliminar os efeitos da retracção ou grande parte deles. Neste período, poder-se-á ter um valor de

retracção da ordem de 30% do valor final para betões com classes de resistência normais (≤

C40/50). Sendo assim, em estruturas sensíveis aos efeitos de deformações impostas, haverá sempre

necessidade de avaliar a eventual fendilhação, não só nas primeiras horas de vida do betão, mas

também as que possam surgir posteriormente. A forma de controlar essas aberturas de fendas é com

a adopção de quantidades de armadura convenientemente avaliadas e, em geral, superiores aos

valores considerados como mínimos.

Importa referir que nestes gráficos não se encontra representada a parcela denominada de retracção

térmica atrás referida. No entanto esta pode atingir, consoante a dosagem e a natureza do cimento,

extensões de 0,4 a 0,5‰ (ΔT=40 a 50 ºC) no caso de peças de grande espessura (ver tabela IV.4) e

tem especial significado em termos de valores diferenciais na mesma secção, sendo responsável, por

vezes, por fendilhação superficial. Para a análise global das estruturas, a sua quantificação e

modelação é “esquecida” devido á sua rápida evolução no tempo, que termina com o fim do processo

de cura do elemento. Porém, a sua importância não deve ser esquecida na fase inicial uma vez que,

em conjunto com a endógena, que é caracterizada igualmente por uma evolução muito rápida, pode

gerar valores de extensão consideráveis numa idade “jovem” do betão e contribuir para o

aparecimento de fendilhação indesejada. Pode contudo ser limitada através de medidas construtivas

como, por exemplo, uma composição adequada do betão, cuidados de cura, cofragem especial ou

ainda através da utilização de juntas de construção. No subcapítulo 4.2 será analisada e quantificada

este tipo de retracção, que encontra-se muitas vezes esquecida, até pela própria regulamentação.

Para betões com classe de resistências correntes a retracção de secagem, que tem maior relevância

para o comportamento conjunto da estrutura, toma valores da ordem de 0,15 a 0,40‰ e a retracção

18

endógena, entre 0.05 a 0.15‰. É, portanto, importante realçar que, para diminuir o valor da acção de

retracção nas estruturas, pode fazer sentido optar por composições que assegurem uma menor

parcela da retracção de secagem, mesmo que á custa de um aumento da componente endógena. No

entanto, esta possível opção, em geral, está associado a um maior custo.

2.3.2. Fluência

A fluência do betão é definida como o aumento gradual, no tempo, da sua deformação relativa, sob

uma tensão aplicada. Quando a tensão se mantém constante no tempo chama-se fluência intrínseca.

A descrição aqui apresentada baseia-se nas referências [6, 21, 29].

Do ponto de vista da ciência dos materiais, a fluência pode ser considerada como a soma de duas

componentes:

A fluência básica, que é a fluência que se produz sem troca de humidade entre o elemento

da estrutura e o ar ambiente.

A fluência de secagem ou de dissecação, que pode ser definida como a fluência adicional,

que se produz logo que o betão, sob carregamento, é submetido às condições de secagem.

Na prática estas fluências ocorrem simultaneamente e sobrepõem-se.

A fluência do betão e a velocidade do seu desenvolvimento no tempo são influenciadas por diversos

parâmetros ligados à composição do betão, às condições ambientes e às condições de

carregamento. Estes parâmetros são:

Período do carregamento [t,t0]

A idade do betão no momento do carregamento t0;

A relação água/cimento e, indirectamente, a correspondente resistência do betão;

A velocidade de endurecimento do betão;

A temperatura e humidade relativa ambiente;

Tipo de cimento utilizado;

Dimensões do elemento.

Do nível das solicitações aplicadas se 𝜍𝑐 > 𝑓𝑐𝑘 2

Apresenta-se nas figuras II.7 e II.8, exemplos de gráficos de fluência para uma peça com 300mm de

espessura equivalente utilizando-se um cimento de classe N (resistência inicial normal) a uma

temperatura média de 20ºC. No gráfico da figura II.7 o betão tinha 20 dias quando foi carregado.

Estes gráficos foram obtidos segundo as equações do anexo 1 presentes no EC2 [24] para fluência.

19

Figura II-7 - Comparação da evolução do coeficiente de fluência no tempo, para diferentes classes de resistência de betões (C25/30 e C35/45) e diferentes humidades relativas (50% e 80%)

Figura II-8 - Comparação da evolução do coeficiente de fluência no tempo, num betão C35/45 com uma humidade relativa de 80%, fazendo variar a idade do betão na data do carregamento.

20

Como podemos ver pelo gráfico da figura II.7 um aumento da resistência do betão corresponde, em

geral, a uma diminuição da fluência: quanto mais alta a resistência, menor a sua deformabilidade a

curto e longo prazo. A fluência é tanto menor quando maior for o diâmetro máximo dos inertes e

também a sua dureza.

A fluência depende da idade do betão no instante do carregamento, mais precisamente do grau de

hidratação do cimento no momento do primeiro carregamento. A fluência diminui com a idade do

betão no início do carregamento, como podemos ver pelo gráfico da figura II.8. O carregamento de

betões muito jovens produz um incremento significativo da fluência. No entanto, a tendência a fluir,

mesmo de um betão com maior idade, não deixa de se verificar. Também podemos ver no gráfico da

figura II.8 que a parte elástica instantânea da deformação global, diminui à medida que a idade do

primeiro carregamento aumenta. Isto deve-se ao facto de o módulo de elasticidade do betão

aumentar com a idade e, por isso, a extensão, correspondente à mesma tensão, diminuir.

A fluência é também função de factores que afectam a secagem do material, como sejam, a

humidade relativa e a temperatura do ambiente. Aumenta com o abaixamento da humidade relativa

gráfico da figura II.7 e com a diminuição das dimensões do elemento. O incremento da temperatura

aumenta igualmente a fluência. A dependência da fluência com a temperatura é muito mais

pronunciada a temperaturas elevada. A fluência a uma temperatura media de 40º C é cerca de 25%

mais elevada que a 20º C.

Por fim, a fluência depende do nível da tensão aplicada. Desde que a tensão para a acção quase

permanente seja limitada a 0,45𝑓𝑐𝑘 (como referido no subcapítulo 2.1) a fluência é aproximadamente

proporcional à tensão aplicada e é definida como fluência linear. Para níveis de tensão elevados, a

fluência aumenta a uma velocidade mais rápida e torna-se não linear em relação à tensão. Pensa-se

que este comportamento não linear a níveis de tensão elevados está ligado a um aumento da

microfissuração.

A definição fiável do valor final do coeficiente de fluência φ é difícil, principalmente na fase de

projecto, variando entre valores da ordem de 1 a 4. Em obras especiais, estes valores podem ser

eventualmente medidos através de ensaios em provetes retirados do betão da obra e guardados em

condições similares.

2.3.3. Módulo de elasticidade ajustado

Para calcular os efeitos de acções de longa duração nas estruturas de betão, é necessário ter em

conta os efeitos que a fluência e a idade do betão provocam na resposta das estruturas. Assim, para

avaliar as tensões provocadas por uma deformação imposta aplicada lentamente ao longo do tempo

ou a evolução das deformações no tempo provocadas por variações de tensão nesse período, pode

utilizar-se um processo simplificado baseado no módulo de elasticidade ajustado, 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 , definido a

21

χ partir do coeficiente de envelhecimento. Este é dado, de acordo com a formulação proposta por

Trevino [49]:

𝜒 𝑡, 𝑡𝑜 ≅ 𝜒 𝑡𝑜 = 𝑡𝑜3

1 + 𝑡𝑜3

(II.3)

No cálculo do coeficiente de envelhecimento admite-se que este depende unicamente da idade do

carregamento 𝑡𝑜 pois a função, formalmente correcta, atinge rapidamente o valor a longo prazo. Esta

simplificação é suficientemente precisa para casos em que o intervalo de tempo de 𝑡𝑜 a 𝑡 ultrapassa

os três dias [21].

A representação gráfica da equação II.3 varia entre 0,5 e 1 e apresenta-se na figura II.9:

Figura II-9 – Evolução do coeficiente de envelhecimento do betão com tempo, segundo Trevino [49]

A deformação total de um elemento é então dada, nesta formulação simplificada, pela seguinte

expressão:

𝜀𝑐 𝑡, 𝑡0 =𝜍𝑐 𝑡0

𝐸𝑐 ,𝑒𝑓𝑓

+∆𝜍𝑐 𝑡, 𝑡0

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡

(II.4)

Caso as tensões sejam constantes ao longo do tempo, as deformações associadas podem ser

calculadas utilizando o módulo de elasticidade efectivo (sem o coeficiente de envelhecimento) em vez

do ajustado. No caso da tensão ser variável ao longo do tempo de acordo com uma evolução

semelhante à da fluência, a deformação associada à variação de tensão deve ser calculada utilizando

o módulo de elasticidade ajustado que é dada por:

22

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 =𝐸𝑐(𝑡0)

1 + 𝜒(𝑡, 𝑡0)𝐸𝑐(𝑡0)𝐸𝑐 ,28

𝜑(𝑡, 𝑡0) (II.5)

Isto deve-se ao facto da variação de tensão, ∆𝜍𝑐 , não ser introduzida de uma só vez no instante inicial

(𝑡0) e sim gradualmente variando de 0 no instante 𝑡0 até ∆𝜍𝑐 no instante 𝑡. Refira-se que na

formulação matemática deste modelo se admite que esta variação gradual no tempo se dá de uma

forma homotética à variação do coeficiente de fluência. Como a retracção e a fluência têm variações

no tempo do mesmo tipo esta é uma boa aproximação para analisar a resposta estrutural aos efeitos

da retracção.

Na figura II.10 mostra-se a representação gráfica da equação II.5, considerando para o coeficiente de

fluência e para o coeficiente de envelhecimento os resultados apresentado nos gráficos das figuras

II.7 e II.9, respectivamente. De realçar que para este gráfico foi utilizado um betão C35/45 ou seja,

com um módulo de elasticidade aos 28 dias de 34 GPa, com uma humidade relativa de 80%

(ambiente exterior) e todas as condições descritas na elaboração do gráfico da figura II.7.

Figura II-10 – Evolução do módulo de elasticidade ajustado com o tempo

Pela análise da figura II.10 percebe-se que o módulo de elasticidade ajustado tem um decréscimo

muito elevado para acções com duração de 30 a 200 dias, tendendo a estabilizar para acções

impostas num maior período de tempo.

𝐸𝑐

,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡

(𝐺𝑃𝑎

)

23

2.3.4. Análise conjunta da evolução da retracção e a evolução do módulo de

elasticidade

Ao aplicar uma extensão a uma secção de um qualquer material, pode-se estabelecer uma relação

entre essa extensão e a tensão por ela provocada:

𝜍 = 𝐸𝑐 × 𝜀𝑐 (II.6)

Ao aplicar uma extensão no betão, ao longo do tempo, não se verifica uma relação constante entre as

extensões e as tensões como a apresentada na equação II.6. No entanto, o aumento de tensão pode

considerar-se como proporcional à relação 𝐸(𝑡) × 𝜀(𝑡), onde o módulo de elasticidade e o valor da

extensão variam no tempo. Pode-se, então, estabelecer uma relação entre o valor da extensão de

retracção, se esta estiver impedida, para um dado tempo t e a evolução do módulo de elasticidade

ajustado, para avaliar as variações de tensões no betão. Temos, então, que:

∆𝜍𝑡 ≅ −𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 𝑡 × 𝜀𝑐𝑠 𝑡 (II.7)

Refira-se que esta situação de impedimento total da deformação livre de retracção não se verifica nas

obras em geral, o que diminui os efeitos da retracção a nível de tensões e/ou eventual fendilhação,

como será analisado no capítulo VI.

Na gráfico da figura II.11, mostra-se a representação gráfica da função II.7. Para os valores de

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡) e 𝜀𝑐𝑠(𝑡) usaram-se os gráficos das figuras II.10 e II.6, respectivamente. Importa dizer que

para os valores de 𝜀𝑐𝑠(𝑡) foi usado uma humidade relativa de 80% (ambiente exterior) e um betão

C35/45, ou seja as mesmas condições usadas para os valores de 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡).

Figura II-11 – Evolução da tensão devido á retracção para um elemento bi-encastrado com o tempo

𝜍𝑐𝑠

=𝐸𝑐

,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡

𝑡

× 𝜀𝑐𝑠 𝑡

(𝑀𝑃𝑎

)

28

24

Analisando o gráfico da figura II.11, podemos concluir que, neste caso, os valores máximos de 𝜍𝑡 se

verificam para t=1500 a 2000 dias, tendendo a diminuir de uma forma não perceptível a partir daí.

Assim, este é o espaço temporal em que, numa estrutura, se poderão esperar efeitos mais

desfavoráveis. Em termos práticos faz sentido, por simplificação, tomar o tempo infinito já que, como

foi referido, a diminuição a partir do ponto máximo é pouco significativa.

2.3.5. Variações de temperatura

Se a retracção acontece, de forma crescente a partir da fase inicial da vida de uma obra, as

diferenças de temperatura ocorrem ao longo de toda a sua vida, de uma forma cíclica, com maior ou

menor intensidade, consoante esta se encontre mais ou menos exposta ao meio ambiente, e em

particular ao efeito directo do sol. A magnitude do efeito térmico dependerá das condições climáticas

locais, conjuntamente com outros efeitos secundários, como a orientação da estrutura, a sua massa,

o tipo de revestimento, e no caso de edifícios, os regimes de aquecimento e ventilação e o sistema de

isolamento térmico. Podem ainda ser caracterizadas como sazonais (verão/inverno) ou diários

(dia/noite).

A exposição da estrutura á variação térmica depende dos vários factores apresentados, pelo que a

sua amplitude será menor em edifícios devido aos revestimentos adoptados e aos sistemas de

climatização interior, de aquecimento/arrefecimento, que estabilizam a temperatura ao longo do dia e

do ano. No entanto, existem estruturas, como é o caso pontes, de reservatórios e outras, que são

sujeitas a variações de temperatura directamente relacionadas com as condições de ambiente e de

exposição que, na generalidade dos casos, também têm situações diferentes entre elementos e na

sua espessura.

De facto o efeito da temperatura numa secção não é uniforme, pelo que a sua distribuição como

acção é dividia, em geral, em diferentes parcelas como representado na figura II.12:

Componente de temperatura uniforme ΔTu;

Componente de temperatura diferencial linear, segundo as componentes definidas pelos

planos yy e zz, ΔTMy, ΔTMz;

Componente não linear de temperatura, que gera um sistema de tensões auto-equilibradas.

Figura II-12 – Diagramas das componentes de um perfil de temperaturas [23]

25

Com a introdução do Eurocódigo 1 parte 5 [23] passou a existir um tratamento da acção temperatura

nas estruturas mais detalhado e aproximado da realidade. Este regulamento considera vários efeitos

como:

A distribuição em altura de diferentes temperaturas, consoante a exposição do elemento e a

sua geometria;

Diferentes distribuições de temperatura para estruturas em betão, aço ou mistas;

O efeito de arrefecimento e de aquecimento, ocorrendo em modo diferente;

Introdução dos efeitos não lineares da acção da temperatura, dependentes das diferentes

inércias térmicas, assim como de outros parâmetros;

Consideração da acção diferencial em elementos não estruturais, que induzem efeitos

suplementares na estruturas, como os carris em pontes ferroviárias.

Como exemplo apresentam-se, nas figuras II.13 e II.14, alguns exemplos de avaliação das variações

de temperaturas nas estruturas pelo Eurocódigo 1 parte 5 [23].

Em estruturas de betão estrutural:

Figura II-13 – Variações diferenciais de temperatura para tabuleiros de betão [23]

26

Em reservatórios (caso estudado nesta tese):

Tal como apresentado na figura II.14, considerando a deformação da secção plana é possível dividir

estes diagramas em três parcelas, isto é, uniforme, diferencial e em escada. A distribuição em escada

da temperatura ao longo do perímetro admite-se quando um quadrante do perímetro está a uma

temperatura média superior á dos restantes. Quanto à componente linear de variação de

temperatura, esta deve ser considerada como sendo resultante da diferença entre a temperatura

mínima (ou máxima) do ar á sombra na face exterior e o valor da temperatura do líquido ou do gás na

sua face interior, tendo em conta os efeitos de isolamento.

A variação de temperatura, ao actuar numa estrutura isostática, provoca extensões axiais associadas

à parcela de variação uniforme e curvaturas associadas á parcela de variação linear (ver figura II.15).

Refira-se que a parcela de deformação não linear gera estados de tensão auto-equilibrados, que

poderão provocar alguma fendilhação local na secção nas zonas traccionadas. Por sua vez se as

parcelas de deformação uniformes e de curvatura estiverem restringidas, como acontece em

estruturas hiperestáticas, geram esforços hiperestáticos.

(a) Componente da variação uniforme de

temperatura

(b) Componente da distribuição em escada da

temperatura ao longo do perímetro

(c) Componente linear da variação diferencial de

temperatura entre as faces interior e exterior

da parede

Figura II-14 – Principais componentes da temperatura para condutas, silos e reservatórios [23]

27

Figura II-15 – Resposta estrutural, a) parcela uniforme e b) parcela diferencial [37]

Neste trabalho damos maior atenção à parcela uniforme da temperatura pois é aquela que

juntamente com a retracção gera efeitos mais significativos. No entanto, os vários efeitos devem ser

sempre considerados.

Verifica-se, que uma variação uniforme de temperatura juntamente com a retracção de betão induz,

em geral, esforços axiais que se devem sobrepor aos efeitos das cargas verticais que, em vigas ou

lajes, são de flexão. Uma vez contabilizada a perda de rigidez por fendilhação ou/e o efeito do tempo,

devem ser sobrepostos os efeitos axiais provocados pela deformação imposta axial aos efeitos de

flexão das cargas, para uma coerente análise do comportamento em serviço.

28

29

III. Mecanismo de fendilhação e as suas propriedades

O betão, como discutido nos capítulos anteriores, está sujeito a efeitos diferidos no tempo como a

retracção e a variação de temperatura, que correspondem a deformações impostas que, ao serem

restringidas, podem gerar tensões de tracção nos elementos estruturais (em particular nas paredes

dos reservatórios) e provocar fendilhação. Para introduzir o mecanismo de fendilhação e, assim

apresentar a forma de controlar a abertura de fendas, analisa-se seguidamente o comportamento de

um tirante de betão submetido a diferentes acções. Esta descrição foi efectuada com recurso a

diversas referências bibliográficas [14, 21, 29, 37, 47, 48].

3.1. Efeito das acções isoladas

3.1.1. Resposta estrutural de um tirante submetido tracção pura

O elemento estrutural mais simples é o de um tirante. Nesse sentido começa-se por descrever a sua

resposta quando solicitado por uma força de tracção, para posteriormente se compreender o

comportamento do mesmo quando solicitado por uma deformação imposta axial.

O tirante de betão armado ao ser solicitado por uma força de tracção pura (N) crescente, passa no

essencial por três estados até atingir a rotura, como se pode verificar na figura III.1: inicialmente um

estado não fendilhado (estado I, regime elástico), depois o estado fendilhado (comportamento não

linear do elemento) que se subdivide em duas fases, a primeira de formação de fendas e a segunda

de fendilhação estabilizada e, finalmente, um terceiro estado a partir da cedência do aço ate á rotura.

No estado não fendilhado o tirante exibe um comportamento elástico-linear, Estado I, no qual as

tensões de tracção são inferiores às da resistência do betão, fctm, sendo de salientar o peso pouco

significativo do aço.

Figura III-1 – Comportamento de um tirante de betão armado solicitado por um esforço axial de tracção crescente [27]

CEDÊNCIA

30

A partir do momento em que a solicitação ultrapassa o esforço Nr,1 nalguma zona, correspondente ao

valor mínimo da resistência à tracção do betão, o elemento fendilha; a extensão média sob a qual a

primeira fenda aparece é aproximadamente igual a 0,10‰, se se tratar de uma acção a curto prazo e

da ordem de duas a três vezes este valor se for ao longo prazo. A fase fendilhada pode dividir-se em

duas partes: fase formação de fendas e fase de estabilização de fendas como se ilustra na figura III.1.

Na fase de formação de fendas a abertura média das fendas permanece praticamente constante

durante esta fase, verificando-se que o número de fendas aumenta com o esforço, desde que a

quantidade de armadura seja suficiente para evitar a plastificação a quando da formação das

primeiras fendas como se verá adiante. Observa-se, assim, um comportamento caracterizado por

uma diminuição progressiva da rigidez do elemento à medida que aparecem novas fendas, para uma

variação do esforço normal, num intervalo, entre valores NR,1 e NR,n, correspondente à aparição da

primeira e n-ésima fenda, respectivamente.

Entra-se num processo de fendilhação estabilizada quando não é possível a formação de mais

fendas, correspondente a uma extensão média da ordem de 1,00 a 1,50‰. A partir daqui o elemento

comporta-se de novo quase linearmente, mas com uma rigidez incremental superior á anterior. A

deformação global segue uma lei intermédia entre as rectas correspondentes ao Estado I (não

fendilhado) e ao Estado II (fendilhado, com a rigidez só da armadura, sem qualquer contribuição do

betão traccionado). Sob solicitação crescente durante esta fase não se formam mais fendas e

verifica-se um aumento progressivo da abertura das fendas formadas anteriormente.

Refira-se que em todo o estado fendilhado a estimativa da deformação média pode ser obtida como

um valor intermédio entre os estados I e II tal que:

𝜀𝑠𝑚 = 1 − 𝜁 𝜀𝑠1 + 𝜁𝜀𝑠2 (III.1)

Em que 𝜁 é um coeficiente de repartição sempre inferior a 1 e dado por uma expressão do tipo:

𝜁 = 1 − 𝛽 𝑁𝑐𝑟𝑁

2

(III.2)

Em que 𝛽 é um coeficiente que se obtêm do produto de 𝛽1 que define a influência do tipo de varões e

propriedades de aderência da armadura com 𝛽2 que define a influência da duração da aplicação e o

carácter de repetição da mesma.

Por último, na sequência do carregamento a armadura atinge o valor limite de elasticidade, ou seja, a

cedência. A rotura produz-se quando se atinge a extensão de rotura que tem valores entre 3,0 e 8,0%

para os aços correntes.

31

Como apontamento, importa salientar que a transição entre a fase de formação de fendas e a de

fendilhação estabilizada produz-se sob uma extensão média de 1,00 a 1,50‰ para elementos com

uma pequena a média percentagem de armadura (0,40 ≤ ρ ≤ 1,00%). Só para percentagens de

armadura mais elevadas (1,0% e mais) a extensão média, nessa transição, poderá apresentar

valores inferiores da ordem de 0,50 a 1,00‰.

3.1.2. Resposta estrutural de um tirante submetido a uma deformação imposta

axial

No caso de uma deformação imposta, observa-se que, após a formação da cada nova fenda, ocorre

uma redução brusca do esforço N sob uma deformação, ΔL, mantida constante, como se poderá

observar na figura III.2. Essa é a principal diferença de comportamento, pois enquanto que no caso

da força aplicada, após a abertura de uma fenda, a extensão aumenta para o mesmo nível de força

aplicada, na resposta a uma deformação imposta acontece o oposto, ou seja, após a abertura de

fenda a deformação mantém-se e a força diminui. Este aspecto deve-se à diferença do tipo de acção

em causa, pois quando se trata de uma força aplicada é necessário que essa força seja equilibrada,

logo, quando a rigidez de uma secção diminui (com a abertura de uma nova fenda) ocorre

obrigatoriamente um aumento de deformação, quando a força no elemento é devido a uma

deformação imposta, ela é tanto maior quanto maior for a rigidez, assim, ao se abrir uma nova fenda,

a perda de rigidez origina uma diminuição da força instalada no elemento (ver figura III.2).

Figura III-2 – Comportamento de um tirante de betão armado solicitado por uma deformação imposta axial crescente [27]

CEDÊNCIA

32

No que concerne às etapas do mecanismo de fendilhação, verifica-se que são as mesmas que se

observaram no caso da acção de uma carga. Como se salientou, após a formação de cada nova

fenda ocorre um decréscimo de esforço e, à medida que a deformação imposta aumenta, o processo

repete-se até que ocorra a sua estabilização, para um valor de extensão de aproximadamente 1,0 a

1,5‰. A partir dessa extensão, a deformação imposta desenvolve-se com rigidez próxima de Estado

II até que a cedência seja alcançada.

Como modelo de simulação do comportamento podemos tomar o esquema apresentado na figura

III.3, onde se verifica que na formação de cada nova fenda a rigidez, num dado comprimento próximo

desta, passa a ser só a correspondente ao aço. Inicialmente o comportamento é elástico linear

(elemento homogéneo ao longo de todo o comprimento, estado I), em que a rigidez axial é dada pela

soma da rigidez dos dois materiais que a compõe (EsAs+AcAc), sendo a parcela do betão muito mais

significativa. Com o incremento da extensão começam a aparecer sucessivas fendas, e junto a estas,

passa-se a ter somente o comportamento em Estado II, sendo a rigidez dada por EsAs (ver figura

III.3).

Em condições de serviço a deformação imposta axial normalmente não ultrapassa valores da ordem

de 0,5 a 0,7‰ (sob o efeito conjunto da retracção 𝜀𝑐𝑠 ≈ 0,30 𝑎 0,40‰, e de variações de temperatura,

ΔTmax= ±20ºC 𝜀𝛥𝑇 = 0,20‰), logo, os elementos estruturais encontram-se usualmente na fase de

formação de fendas, marcada pela aparição de algumas fendas isoladas com aberturas controladas,

desde que se tenha uma quantidade mínima de armadura. É com base neste tipo de avaliação que

se é levado a adoptar, em zonas de paredes dos reservatórios que possam estar sujeitas a restrições

à deformação livre, pelo menos uma armadura mínima de tracção para o controlo da fendilhação. No

entanto, esta orientação, embora essencial, poderá, como também se refere neste trabalho, não ser

Abertura da 2ª Fenda

Estado I Fase Elástica

Abertura da 1ª Fenda

Figura III-3 – Comportamento global da abertura de fendas num elemento de betão estrutural

33

suficiente para a garantia da estanquidade requerida, além de que não tem em conta situações de

sobreposição de efeitos de outras acções que, de certo modo, alteram a resposta estrutural. Neste

trabalho analisa-se precisamente a influência da sobreposição da flexão devida ás cargas

permanentes (liquido presente no reservatório) com o esforço axial provocado por uma deformação

imposta.

3.1.3. Conceito de armadura mínima para o efeito axial

Um primeiro critério para definição da quantidade de armadura mínima, para qualquer tipo de

solicitação, quer seja força ou deformação imposta, é condição necessária que a armadura não

plastifique para o esforço de fendilhação da peça. Com efeito, ao assegurar que os esforços de

cedência da secção são superiores aos de fendilhação, garante-se, por um lado, um mínimo de

ductilidade para o caso da acção de uma carga, evitando a rotura “frágil” (caso de betão não armado),

e por outro lado, a não formação de uma fenda isolada para o caso de uma deformação imposta.

Para esta última situação, caso o esforço de fendilhação seja superior ao de plastificação da

armadura, após a formação da 1ª fenda nunca mais será possível a formação de outra, conduzindo a

uma abertura de fenda que aumenta proporcionalmente à deformação imposta (ver figura III.4 -

situação a).

Figura III-4 – Evolução típica das tensões nas armaduras e consequente abertura de fendas num tirante sujeito a uma deformação imposta: a) sem armadura mínima; b) com armadura superior á mínima [37].

Na figura III.4 pode observar-se a diferença de comportamento de dois tirantes, submetidos a uma

deformação imposta, um com resistência da armadura inferior à força de fendilhação do tirante e

outro com resistência superior.

34

No primeiro caso, como foi referido, a armadura plastifica na secção onde se formou a primeira fenda

e o alongamento imposto irá se concentrar nessa abertura. De facto, depois da formação da primeira

fenda e da queda do esforço associado, na continuação da imposição da deformação vai dar-se a

plastificação da armadura junto à referida fenda e não é possível atingir mais o nível de tensão no

betão, fctm, que daria origem a novas fendas. No segundo exemplo, verifica-se que ocorre todo o

processo de formação de fendas, pois após a formação da primeira fenda e com a continuação da

imposição da deformação não ocorre a plastificação da armadura formando-se novas fendas, com

aberturas de fendas controladas. Assim, para que ocorra este processo de fendilhação distribuída,

tem que se prever uma quantidade de armadura mínima.

O critério de não plastificação da armadura (𝜍𝑆 ≤ 𝑓𝑦𝑘 ), define essa quantidade mínima de armadura.

Sendo o esforço constante no tirante há que assegurar que a resistência em Estado I é inferior à do

Estado II, ou seja:

𝑁𝑟 ,𝐼 < 𝑁𝑟 ,𝐼𝐼 ⟺ 𝐴𝐶 × 𝑓𝑐𝑡 < 𝐴𝑠 × 𝑓𝑠𝑦 (III.3)

Ou em termos de definição de uma armadura mínima:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝐴𝑐 ×𝑓𝑐𝑡𝑚𝑓𝑦𝑘

⟺ 𝜌 =𝐴𝑠𝐴𝑐≥ 𝜌𝑚𝑖𝑛 =

𝑓𝑐𝑡𝑓𝑦

(III.4)

Para que, no caso de uma deformação imposta maior, se possa garantir a ocorrência de todo o

processo de formação das fendas, a expressão anterior deveria ser multiplicada por um coeficiente

da ordem de 1,3, que equivale ao aumento do esforço de fendilhação entre a formação da primeira e

última fenda (Nr,n/Nr1) (ver Figura III.4). Contudo não se justifica a utilização deste coeficiente de

majoração pois só em casos de geometria particular é que se poderia atingir uma situação de

fendilhação estabilizada para deformações impostas.

No entanto, a consideração desta armadura mínima, definida pelo critério de não plastificação das

armaduras, pode revelar-se insuficiente. Se é verdade que o cumprimento deste critério, permite a

formação de algumas fendas, sem concentração de deformação numa só, tal não implica que a

deformação aconteça com as exigências de serviço adequadas. De facto, a estimativa de cálculo da

abertura de fendas, para uma peça dimensionada segundo aquele critério, mostra que se obtém uma

fissuração controlada, com abertura de fendas da ordem dos 0,4 a 0,7 mm (dependendo da tensão

de cedência do aço adoptado e da pormenorização de armaduras). Ora valores desta ordem de

grandeza podem não ser, em geral, aceitáveis do ponto de vista da aparência, nem, certamente, da

estanquidade, quando há exigências desse tipo. Não é também uma boa solução, em ambientes com

maior agressividade, para protecção das armaduras em relação ao risco de corrosão.

i

35

3.1.4. Análise comparativa entre Deformação imposta exterior e interior.

Uma deformação imposta externa, como é o caso da variação de temperatura, é aplicada a toda a

secção, aço e betão, ao passo que a deformação imposta interna, como é o caso da retracção, é

aplicada somente num dos materiais da peça, o betão, apresentando-se a própria armadura como

elemento de restrição ao fenómeno. As características de resposta estrutural têm algumas afinidades,

mas existem diferenças mais ou menos relevantes que interessa explicitar. Essas diferenças foram

resumidas na figura III.5.

Figura III-5 – Comparação de resultados entre deformações impostas externa (a) e a retracção do betão (b) [15]

A partir da resposta elástica, numa situação de deformação imposta exterior cada nova fenda forma-

se para um valor de esforço axial próximo de Ncr, enquanto no caso da retracção do betão o esforço

axial resultante para formar cada nova fenda tem tendência a ser inferior a Ncr e menor do que o valor

da anterior fenda. Tal facto é justificado pelo efeito restritivo da acção da armadura relativamente ao

livre encurtamento do betão, gerando tensões auto-equilibradas na secção em estado não fendilhado,

com tracção no betão e compressão no aço, conforme se pode observar na figura III.6. Estas tensões

no betão, que aumentam à medida que se processa o fenómeno da retracção, é tal que diminui a

reserva para que se atinja de novo a tensão de resistência do betão e, consequentemente, o valor de

esforço axial na abertura de cada nova fenda.

Este aspecto, chama a atenção para o facto do fenómeno da retracção introduzir, em estruturas

hiperestáticas, duas características diferenciadas da resposta. Em primeiro lugar, o facto da armadura

impedir o livre encurtamento do betão, gera tensões auto-equilibradas na secção, e em segundo

lugar, a restrição estrutural, que temos vindo a estudar através do encastramento nas extremidades

provoca um esforço global hiperestático. Refira-se, que é precisamente o estado de tensões auto-

equilibradas que distingue a resposta à acção da retracção da de uma deformação imposta exterior.

36

Figura III-6 – Equilíbrio de tensões numa secção sujeita ao efeito da retracção.

O incremento das tensões auto-equilibradas, com o aumento de extensão, verifica-se de forma linear,

segundo uma relação proporcional à rigidez da armadura (𝐸𝑠𝐴𝑠), como está representado na figura

III.5, resultando no aparecimento de fendilhação para valores mais baixos de esforço axial, podendo

assemelhar-se o fenómeno a um enfraquecimento progressivo do betão à tracção.

Como se chamará a atenção posteriormente, é de salientar que apesar do nível de tensões no aço

ser inferior neste caso da deformação imposta por retracção do betão, as aberturas de fendas têm

valores da mesma ordem de grandeza do que no caso de uma deformação imposta exterior. Isto

acontece pois o encurtamento simples do betão em relação à armadura na zona entre fendas

também contribui para o aumento da abertura de fendas.

3.1.5. Flexão

As características do comportamento à flexão de um elemento de betão estrutural são, no geral,

semelhantes às de tracção, uma vez que a zona traccionada apresenta um comportamento análogo

ao de um tirante.

No entanto, as estruturas de betão são concebidas, em geral, para resistir a efeitos de flexão, sendo

os momentos variáveis ao longo do vão, quer para a acção de cargas, quer mesmo para

deformações impostas (caso de assentamentos diferencias nos apoios). Assim se, por um lado, ao

nível do comportamento de um elemento, a resposta à flexão é do mesmo tipo da de um tirante, por

outro lado, relativamente ao comportamento global, o facto dos esforços de flexão não serem, em

geral, constantes no vão, introduz alguma diferença nas características do comportamento, quer

considerando a acção isoladamente ou em sobreposição. De facto, para situações correntes de

flexão, os esforços maiores concentram-se em determinadas zonas das estruturas, ao passo que na

resposta estrutural com efeitos de tracção, há maior uniformidade na sua distribuição pelo elemento.

Uma outra distinção na resposta à flexão consiste no facto da resistência do betão, quando solicitado

à tracção simples ser inferior ao verificado à flexão. Uma forma simples de compreender o fenómeno

37

é o de tratar o elemento como um conjunto de fibras longitudinais, justapostas entre si. Na situação

de tracção, as fibras são todas sujeitas a tensões de tracção idênticas, ao passo que, na situação de

flexão, as fibras mais distantes do centro de gravidade, sujeitas a tensões superiores, têm adjacentes

fibras com menores extensões, que restringem a deformação daquelas e contribuem para aumentar a

resistência global à tracção. Este fenómeno pode ser compreendido como um efeito de

contraventamento lateral. O EC2 [22] contempla este aumento de resistência à tracção no caso de

flexão através da expressão:

𝑓𝑐𝑡𝑚 ,𝑓𝑙 = 𝑚𝑎𝑥 1,6 − 𝑕/1000 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 ;𝑓𝑐𝑡𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝑕 𝑒𝑚 𝑚𝑚 (III.5)

A flexão simples de um elemento implica uma rotação das secções em torno do alinhamento definido

pelo eixo (centro geométrico) do elemento estrutural (ver figura III.7), com curvatura constante no

elemento. Essa rotação, em fase elástica é directamente proporcional ao valor do momento flector. A

partir da formação de fendas, a distribuição de curvaturas passa a ser variável, mesmo para valores

de momento flector iguais, devendo para tal situação, definir-se uma curvatura média.

Figura III-7 – Relação entre o momento aplicado e a curvatura média resultante.

Assim, no caso de um elemento de betão armado à flexão pode observar-se pela figura III.8, que

existe uma resposta estrutural semelhante ao verificado para o caso da tracção.

Figura III-8 – Relação Momento-Curvatura para as várias fases da estrutura.

38

O comportamento à flexão, após fendilhação enquadra-se entre dois limites, definidos pelo Estado I

(peça não fendilhada) e pelo estado II (peça fendilhada – sem contribuição do betão à tracção). O

fenómeno da fendilhação induz um aumento de deformação ou seja uma perda de rigidez, que pode

ser significativa, mas inferior ao caso de tracção pura.

A quantificação da curvatura está naturalmente associada ao comportamento das zonas de tracção e

compressão. Se em termos elásticos a sua definição é directa, após o aparecimento das primeiras

fendas, a situação altera-se. Deixa assim, de fazer sentido avaliar a curvatura da secção, mas sim

uma curvatura média de um elemento, podendo esta ser definida, de uma forma em tudo semelhante

ao caso da tracção, segundo Jaccoud e Favre [27], tal que:

1

𝑟𝑚= 1 − 𝜁

1

𝑟𝐼+ 𝜁

1

𝑟𝐼𝐼 (III.6)

Em que 𝜁 é um coeficiente de repartição sempre inferior a 1 e dado por uma expressão do tipo:

𝜁 = 1− 𝛽 𝑀𝑐𝑟

𝑀

2

,𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑀 ≥ 𝛽.𝑀𝑐𝑟 (III.7)

Em que β tem o mesmo significado referido para a tracção.

Na figura III.9 ilustra-se uma sobreposição do efeito de uma deformação imposta de flexão com o de

cargas, admitindo um comportamento linear e não linear, em que se questiona a avaliação do

incremento de momento devido a uma variação de temperatura diferencial.

Figura III-9 – Exemplo da resposta de uma viga bi-encastrada a uma variação linear de temperatura para uma análise linear (a) e não linear (b) [13]

39

Da observação da figura ressalta que, na situação de sobreposição, a rigidez para a acção da

deformação imposta, é diferente ao longo da viga ao contrário do que aconteceria se tivéssemos

apenas esforços de tracção. Também se observa que os esforços gerados são inferiores aos

elásticos e a variação de curvaturas no elemento é do tipo representado na Figura III-9. Nas zonas

fendilhadas, nas quais o aumento de esforços é do mesmo sinal do das cargas, os incrementos de

curvatura dão-se para uma rigidez aproximadamente igual à rigidez do Estado II; por sua vez, nas

zonas em descarga estes incrementos dão-se para a rigidez de descarga e no resto da estrutura para

a rigidez de Estado I. Caso se considere a rigidez de descarga igual à do Estado I obtém-se uma

distribuição de curvaturas com um andamento similar ao representado na Figura III-9 b).

Assim, o incremento de esforços devido à acção da deformação imposta não é independente do valor

da carga actuante pois é afectada pelo nível de esforços e a sua distribuição devidas às cargas. O

valor de incremento de esforços depende das rigidezes incrementais das diferentes zonas, da

extensão das zonas fendilhadas, das percentagens de armadura e do sentido de variação dos

esforços conforme Camara [13] pôde constatar.

Outro aspecto importante salientar no comportamento à flexão prende-se com a diferença de

condições que um elemento de betão estrutural tem para responder a deformações impostas. Assim,

para uma maior diferença entre o momento devido às cargas aplicadas em serviço e o momento de

cedência, maior será a capacidade do elemento estrutural em admitir eventuais incrementos de

momento flectores por deformações impostas, sem que este atinja a cedência (ver figura III.10).

Figura III-10 – Importância entre a diferença de valores Mcr e My [13]

Este aspecto ganha particular relevância, em situações de sobreposição de efeitos de deformações

impostas, devido a deformações diferenciais nos diferentes apoios, ou em situações de variações de

temperatura diferencial, que impliquem o aumento do momento flector. Se a resistência da secção é

elevada (quantidades de armadura importantes) a reserva de momento flector, Δ𝑀 = 𝑀𝑌 −𝑀𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖 ç𝑜 , é

maior para absorver os eventuais efeitos das deformações impostas, sem atingir a cedência das

secções. De factor este aspecto é igualmente pertinente, apesar de uma forma menos directa, em

relação à sobreposição de um efeito axial, resultante de uma deformação imposta.

40

3.1.6. Conceito de armadura mínima para o efeito flexão

Anteriormente descreveu-se o conceito da armadura mínima para a deformação imposta axial. Para o

efeito de flexão, o raciocínio é análogo, pois por meio do critério de não plastificação, obtêm-se a

armadura mínima para o caso de se tratar de uma deformação imposta de flexão:

𝐹𝑡 ≤ 𝑁𝑦𝑘 ⇔1

2𝐴𝑐𝑡 × 𝑓𝑐𝑡 ≤ 𝐴𝑠 × 𝑓𝑦𝑘 (III.8)

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =1

2𝐴𝑐𝑡 ×

𝑓𝑐𝑡𝑓𝑦

(III.9)

Onde Ft, força de tracção no betão e 𝐴𝑐𝑡 =𝑏×𝑕

2, é a área de betão na zona traccionada.

A figura III.11 apresenta o diagrama de tensões numa secção de betão armado, de um elemento

sujeito à flexão, imediatamente antes e após fendilhar.

Figura III-11 – Diagrama de tensões na secção imediatamente antes e após fendilhar

Assim, em rigor, armadura mínima de flexão, referida à área total da secção, é obtida da seguinte

forma:

𝑀𝑐𝑟 = 𝐹𝑡 ×2

3𝑕 =

𝐴𝑐2

×1

2𝑓𝑐𝑡 ×

2

3𝑕 = 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑠𝑦𝑘 × 𝑧 (III.10)

Tomando-se aproximadamente 𝑧 = 0,9𝑑 = 0,9 × 0,9𝑕, temos que:

1

6𝐴𝑐𝑓𝑐𝑡 = 0,81𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑠𝑦𝑘 (III.11)

Ou em termos de definição de armadura mínima de flexão:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 ≅1

5𝐴𝑐𝑓𝑐𝑡𝑚𝑓𝑦𝑘

⇔ 𝜌𝑚𝑖𝑛 =1

5

𝑓𝑐𝑡𝑓𝑦

(III.12)

41

Logo, verifica-se que a percentagem de armadura mínima para o caso de flexão pura equivale a

cerca de 20% da correspondente à tracção simples, mas a colocar somente na face mais traccionada

da secção.

3.2. Cálculo da armadura mínima de acordo com EC2 [24]

O EC 2 [24] apresenta uma expressão para a avaliação da armadura mínima, que incorpora os

conceitos resumidos anteriormente, para assegurar, que em condições de serviço, não ocorram

fendas com abertura não controladas. Nesse documento na parte 1, na secção 7.3.2, a expressão

para esse cálculo é a seguinte:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝑘𝑐 × 𝑘 × 𝐴𝑐𝑡 ×𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

𝜍𝑠 (III.13)

em que:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 é a área mínima de armaduras para o betão armado na zona traccionada;

𝐴𝑐𝑡 é a área de betão traccionado, antes da abertura da primeira fenda;

𝜍𝑠 é o valor da tensão máxima admissível na armadura logo após a formação da fenda.

Poderá tomar no máximo o valor da tensão de cedência, 𝑓𝑦𝑘 . No entanto, quando se pretende

fazer um controlo de abertura de fendas sem cálculo directo (será abordado no subcapítulo

3.9), segundo a secção 7.3.3 do EC2 [24], este valor tem que respeitar o disposto na tabela

III.3.

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓 é o valor médio da tensão de resistência à tracção do betão, à data que se prevê que

possam formar as primeiras fendas. Normalmente assume-se 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓 = 𝑓𝑐𝑡𝑚 ;

k considera o efeito da distribuição não uniforme das tensões auto-equilibradas, que por

gerarem tracções, implicam uma diminuição da resistência efectiva à tracção, 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓 . Este

efeito, equivalente à parcela auto-equilibrada da variação de temperaturas (ver subcapítulo

2.3.5), varia com a espessura ou altura do elemento, conforme apresentado na figura III.12.

Figura III-12 – Variação de k em função da espessura, h [24]

42

kc considera a distribuição de tensões na secção imediatamente antes da abertura da

primeira fenda, englobando não só a tracção (para tracção simples kc=1,0), mas também a

flexão simples e composta. Para o caso de secções rectangulares no caso de flexão simples

kc=0,4, no caso de flexão composta (em particular para o caso da secção pré-esforçada) kc é

definido pela expressão III.14:

𝑘𝑐 = 0,4 × 1,0−𝜍𝑐

𝑘1 𝑕𝑕∗ 𝑓𝑐𝑡

≤ 1,0 (III.14)

Na qual, 𝜍𝑐 é a tensão media do betão existente na parte da secção considerada, tal que:

𝜍𝑐 =𝑁𝑒𝑑𝑏𝑕

(III.15)

em que:

𝑁𝑒𝑑 é o esforço normal no estado limite de utilização, actuando na parte da secção

considerada (positivo para um esforço de compressão).

h é a espessura ou altura da secção;

𝑕∗ para h < 1,0m ⟶ 𝑕∗ = 𝑕 e para h ≥ 1,0m ⟶ 𝑕∗ = 1,0𝑚

k1 é o coeficiente que considera os efeitos dos esforços normais na distribuição de tensões.

Para Ned de compressão k1=1,5 e para Ned de tracção 𝑘1 =2𝑕∗

3𝑕;

Na figura III.13 apresenta-se um gráfico que ilustra a aplicação da expressão III.14 para três secções

tipo em função da tensão média.

Figura III-13 – Estimativa do parâmetro kc, em função da tensão média do elemento [37].

43

Observa-se que os valores de kc são independentes da geometria, exceptuando a situação de

compressão em que a altura do elemento (h) toma valores importantes. Verifica-se que para tracções

médias superiores ao esforço axial de fendilhação, o valor de kc é unitário e que, no caso de

compressões (como por exemplo para situações de pré-esforço), a redução é ainda considerável.

3.3. Espaçamento entre as fendas

Qualquer elemento estrutural, sob a acção de um efeito axial, ao fendilhar desenvolve fendas

transversais na totalidade da secção, onde o elemento passa a ter um comportamento de estado II

(somente a armadura a resistir aos esforços σs= σs2; σc=0). Entre as fissuras, a uma certa distância

destas, o elemento volta a ter tensões de tracção no betão que, no entanto, não ultrapassam, como é

natural, a tensão de fendilhação, como se pode constatar na figura III.14.

Figura III-14 – Equilíbrio de tensões ao longo do elemento, na fase de formação de fendas [37]

Da observação da figura III.14, verifica-se que na zona fissurada há um aumento da tensão na

armadura, associado também ao aumento da deformação da armadura em relação à do betão. O

aumento desta deformação diferencial faz gerar tensões de aderência na proximidade das fendas que

diminuem a partir da zona da fenda até se efectuar a transferência de tensões da armadura para o

betão, ao longo do comprimento ℓ0 (ver figura III.14), até se restabelecer naquele um nível de tensões

próximo ao de fendilhação. Assim, a distância ℓ0, denomina-se de comprimento de transferência de

tensões.

44

A distância entre as fendas, dependem portanto, da maior ou menor eficiência da transmissão de

tensão entre o aço e o betão. Esta por sua vez depende das condições de aderência, que se baseiam

numa relação local de tensão-escorregamento entre os dois materiais. Os factores que estão

directamente relacionados com este modelo local são a geometria das nervuras e a maior ou menor

superfície de contacto entre os dois materiais (depende do diâmetro dos varões). No entanto, são de

realçar outros factores menos directos, mas igualmente importantes, como o confinamento (ver figura

III.15) e as condições de betonagem do elemento.

Figura III-15 – Ensaios tipo – comportamento da aderência aço – betão para várias situações tipo [37]

Verifica-se da observação da figura III.15, que o aço nervurado e confinado atinge valores de

aderência maiores, tendendo após a abertura da fenda, para um valor residual de tensão. Se não

houver confinamento do betão, como no caso do segundo modelo, verifica-se que a tensão máxima

baixa um pouco, e após a fendilhação do betão, o modelo perde praticamente toda a capacidade de

transmitir tensões de novo para o betão. Ao se analisar os resultados do ensaio com um aço liso,

embora confinado, verifica-se que não são atingidos os valores de tensão de aderência anteriores,

uma vez que apenas é mobilizada a parcela de adesão química entre os dois materiais e o atrito. No

entanto, após um certo nível de deslizamento, a desvantagem inicial pelo facto da face ser lisa perde-

se, uma vez que o modelo tende para os valores da tensão residual do primeiro modelo.

Considerando um elemento traccionado com a disposição de armadura corrente em elementos

armados, é possível definir o valor da fendilhação dado aproximadamente por:

𝑁 = 𝑁𝑟 = 𝐴𝑐 ,𝑒𝑓 × 𝑓𝑐𝑡 (III.16)

Resulta então, que ao longo do comprimento ℓ0, as tensões de aderência entre a armadura e o betão

deverão ser, tal que,

𝑁 = 𝑁𝑟 = 𝜏𝑏 × 𝜋𝜙 × 𝑑𝑥ℓ0

0

= 𝜏𝑏𝑚 × 𝜋𝜙 × ℓ0 (III.17)

onde 𝜏𝑏𝑚 representa o valor médio de aderência no comprimento ℓ0.

45

Esta situação de transmissão de tensões pode ser exemplificada como indicado na figura III.16.

Figura III-16 – Transmissão de tensões ao longo do comprimento 𝓵𝟎

Substituído a expressão III.16, em III.17, resulta a seguinte relação:

ℓ0 =𝐴𝑐,𝑒𝑓

𝜋𝜙2

4

×𝑓𝑐𝑡𝜏𝑏𝑚

×𝜙

4=

1

4× 𝑘 ×

𝜙

𝜌𝑒𝑓 (III.18)

Sendo que:

𝜌𝑒𝑓é a percentagem de armadura na zona definida como 𝐴𝑐 ,𝑒𝑓 .

𝑘 = 𝑓𝑐𝑡 𝜏𝑏𝑚 é o coeficiente que representa as características de aderência.

Caracterizando o comprimento, ℓ0, no processo de formação de fendas, está-se em condições de

definir aproximadamente o afastamento entre fendas.

É de prever que sempre que uma nova fenda se forme, esta apareça nas zonas em estado I, onde o

betão se encontra submetido a tensões mais elevadas. Ou seja, para além do comprimento, ℓ0, onde

existem condições para a formação da nova fenda.

Assim, à medida que o número de fissuras vai aumentando, o espaçamento entre estas vai

diminuído, tendendo a estabilizar quando este atingir valores entre ℓ0 e o dobro de ℓ0 (ver figura III.17).

Muitos ensaios laboratoriais realizados ao logo de muitos anos, entre eles os apresentados por

Jaccoud [34], mostram que a estabilização ocorre para o intervalo indicado, dependente da

distribuição de armadura adoptada. Isto é, quando mais apertada for a malha da armadura (diâmetros

menores para uma dada quantidade de armadura) o espaçamento entre fendas tende a ser menor.

46

Figura III-17 – Variação do espaçamento entre fissuras de acordo com a pormenorização adoptada [27]

Logo, a menor distância entre fendas deverá ser dada por ℓ0. É essa a base que o EC2 [24] toma

para essa distância (comparar com III.18):

𝑆𝑟 ,𝑚𝑖𝑛 = 0,25𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑒𝑓 (III.19)

O mesmo regulamento avalia, por seu lado, a abertura característica de fendas com base numa

expressão de espaçamento máximo entre fendas, dada por :

𝑆𝑟 ,𝑚𝑎𝑥 = 1,7 × 2𝑐 + 0,25𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑒𝑓 = 3,40𝑐 + 0,425𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑒𝑓 (III.20)

onde:

𝑘1 é o coeficiente que contabiliza a aderência dos varões, cujo valor é 0,8 para varões de alta

aderência (nervurados ou rugosos) e 1,6 para varões lisos;

𝑘2 é o coeficiente que tem em consideração a forma da distribuição de extensões na secção,

e que toma o valor de 0,5 para flexão, 1,0 para tracção simples. No caso de tracção

excêntrica, ou para zonas localizadas, devem utilizar-se valores médios de 𝑘2 que podem ser

calculados pela expressão:

𝑘2 =𝜀1 + 𝜀2

2𝜀1

(III.21)

𝑘2 = 1,0 ⇐ 𝜀1 = 𝜀2 𝑡𝑟𝑎𝑐çã𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑎 0,5 ⇐ 𝜀2 = 0 (𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑝𝑜𝑢𝑐𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑎)

(III.22)

em que 𝜀1 e 𝜀2, são respectivamente extensões nas faces exterior e interior da área efectiva

(ver figura III.18):

47

𝜙 é o diâmetro dos varões, sendo que, no caso de serem utilizados, na mesma secção

transversal, varões com diâmetros diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro

equivalente, dado por:

𝜙𝑒𝑞 = 𝑛𝑖𝜙𝑖

2

𝑛𝑖𝜙𝑖 (III.23)

em que 𝑛𝑖 é o número de varões corresponde ao diâmetro, 𝜙𝑖 .

𝜌𝑒𝑓 representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva 𝐴𝑠

𝐴𝑐 ,𝑒𝑓; em que a

área efectiva, que representa a zona de betão mobilizada por aderência, é calculada pela

seguinte expressão:

𝐴𝑐 ,𝑒𝑓 = 𝑏 × 𝑕𝑐 ,𝑒𝑓 (III.24)

na qual,

𝑕𝑐 ,𝑒𝑓 = min 2,5 𝑕 − 𝑑 ; (𝑕 − 𝑥)/3; 𝑕/2 (III.25)

Sendo, 𝑥, a altura da zona comprimida, para o caso da flexão e, d, a distância do centro da armadura

de um lado da secção à superfície do betão do outro lado. O EC2 [24] apresenta alguns casos típicos

para obtenção de 𝑕𝑐 ,𝑒𝑓 , conforme se apresenta na figura seguinte:

Figura III-19 – Secções efectivas de betão traccionado (casos típicos) [24]

Figura III-18 – Extensões na face exterior e interior da área efectiva

48

A expressão do espaçamento máximo entre fendas (expressão III.20) é equivalente à do

espaçamento mínimo (expressão III.19) multiplicada por 1,7 e na qual 2c é um termo corrector que

leva em conta o facto da abertura de fendas na face do betão ter tendência a ser maior do que ao

nível da armadura (ver figura III.16). Também se verifica que, quanto menor o diâmetro dos varões e

maior a quantidade de armadura, na área efectiva, menor a distância entre fendas.

Refira-se que a aplicação da expressão III.21 não esta bem enquadrada no EC2 [24]. Por exemplo,

num caso de flexão pura ao se aplicar a expressão, não se obtêm o valor de 0,5 pois para isso o

𝑕𝑐 ,𝑒𝑓 tinha que ser igual a h/2, o que só se poderia verificar em lajes pouco espessas. Por outro lado,

o EC2 [24] refere que a expressão III.21 deve ser usada em zonas localizadas, não explicitando o que

são essas zonas.

Importa também referir que segundo o EC2 [24] a expressão do espaçamento máximo entre fendas

(expressão III.20) é valida quando é razoavelmente pequena a distância entre os eixos das

armaduras aderentes localizados na zona traccionada. Assim, temos:

𝑆𝑟 ,𝑚𝑎𝑥 = 3,40𝑐 + 0,425𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑒𝑓se o espaçamento ≤ 5(𝑐 + 𝜙/2) (III.26)

ou 𝑆𝑟 ,𝑚𝑎𝑥 = 1,3 × 𝑕 − 𝑥 se o espaçamento > 5 𝑐 +𝜙

2 (III.27)

Podemos ver pela figura III.20 um esquema destas duas expressões:

Por último importa dizer que, segundo o EC2, no caso de paredes sujeitas precocemente a uma

contracção de origem térmica nas quais a área de armadura horizontal, As, não satisfaz os requisitos

de armadura mínima e com a base encastrada numa sapata betonada previamente (situação referida

no Capítulo I e analisada no capítulo VI), poderá considerar-se que:

𝑆𝑟 ,𝑚𝑎𝑥 = 1,3 × 𝑕𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 (III.28)

Figura III-20 – Largura de fendas, w, na superfície de betão em função da distância às armaduras.

49

3.4. Estimativa da abertura de fendas

É importante mencionar que, em geral, só é possível determinar uma estimativa da abertura de

fendas e não do seu cálculo “correcto” pois aquela é uma característica do comportamento do betão

estrutural que tem uma grande variabilidade. Para além dos aspectos referidos é conhecida a própria

variação da abertura de fendas ao longo do seu desenvolvimento, ou como em alguns casos, a sua

ramificação noutras mais pequenas.

A abertura de uma fissura ocorre devido ao facto da secção de betão armado não permanecer plana,

pois existe escorregamento entre o aço e o betão traccionado na vizinhança da secção fissurada,

num comprimento ℓ0. Deste comportamento resulta uma diferença de extensão entre a armadura e o

betão traccionado, em 𝐴𝑐 ,𝑒𝑓 , ao longo da distância 𝑆𝑟𝑚 e de valor igual abertura de fenda. O que

permite apresentar a seguinte expressão:

𝑤 = 𝜀𝑠𝑟𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑟

= (𝜀𝑠𝑥 − 𝜀𝑐𝑥 ) 𝑑𝑥

𝑠𝑟

(III.29)

E que, em termos médios, pode ser definida por:

𝑤 = 𝑆𝑟𝑚 × 𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 (III.30)

Da observação do gráfico da figura III.21, constata-se também como a extensão média de um tirante

é inferior à extensão do aço em estado II (ou seja estado fendilhado, 𝜀𝑠𝐼𝐼 ), devido a contribuição do

betão entre fendas.

Figura III-21 – Contribuição do betão entre as fissuras [4]

Assim, a extensão média no aço, é dada por:

𝜀𝑠𝑚 =𝐹𝑠 − 𝐹𝑐𝐸𝑠𝐴𝑠

=𝜍𝑠𝐴𝑠 − 𝑘𝑡𝑓𝑐𝑡𝐴𝑐

𝐸𝑠𝐴𝑠=𝜍𝑠𝐸𝑠− 𝑘𝑡

𝑓𝑐𝑡𝐸𝑠𝜌𝑒𝑓

(III.31)

𝜀𝑠𝑚

50

Em que 𝑘𝑡 , tem em consideração a parcela média de tensões no betão traccionado, e varia com a

duração ou repetição das cargas (𝑘𝑡=0,60 para acções de curta duração; 𝑘𝑡=0,40 para acções de

longa duração). Para a extensão média no betão, tem-se:

𝜀𝑐𝑚 =𝜍𝑐𝐸𝑐

=𝐹𝑐𝐸𝑐𝐴𝑐

=𝑘𝑡𝑓𝑐𝑡𝐴𝑐𝐸𝑐𝐴𝑐

= 𝑘𝑡𝑓𝑐𝑡𝐸𝑐

(III.32)

Juntando as expressões III.31 e III.32, define-se a expressão média para extensão relativa entre o

aço e o betão, tal como posposto pelo EC2 [24]:

𝜀𝑠𝑟𝑚 = 𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =𝜍𝑠𝐸𝑠− 𝑘𝑡

𝑓𝑐𝑡𝐸𝑠𝜌𝑒𝑓

− 𝑘𝑡𝑓𝑐𝑡𝐸𝑐

=𝜍𝑠𝐸𝑠− 𝑘𝑡

𝑓𝑐𝑡𝐸𝑠𝜌𝑒𝑓

1 +𝐸𝑠𝜌𝑒𝑓

𝐸𝑐 (III.33)

𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =𝜍𝑠𝐸𝑠− 𝑘𝑡

𝑓𝑐𝑡𝐸𝑠𝜌𝑒𝑓

1 + 𝛼𝑒𝜌𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑚 𝛼𝑒 =𝐸𝑠𝐸𝑐

(III.34)

Segundo o EC2 [24], a expressão da extensão média relativa entre o aço e o betão está limitada a:

(𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 ) ≥ 0,6𝜍𝑠𝐸𝑠

(III.35)

Quer isto dizer que a contribuição do betão entre fendas, para efeitos de diminuição da abertura de

fendas, é no máximo 40% da extensão na armadura, avaliada em secção fendilhada.

Por fim, substituído a expressão III.34, na expressão III.30, obtêm-se a expressão para a abertura

média de fendas.

A dificuldade de avaliação de fendas e a sua significativa variabilidade faz com que a abertura

máxima (como definido no EC2), ou o seu valor característico superior, seja definido a partir do valor

médio através da expressão:

𝑤𝑚𝑎𝑥 ≈ 𝑤𝑘 = 𝛽 × 𝑤𝑚 (III.36)

Em que o coeficiente multiplicativo, 𝛽, toma em geral, valores inferiores para deformações impostas.

Em certas publicações e regulamentos [19, 24] são indicados valores que variam entre 1,30 e 1,70,

dependo da natureza da solicitação e da dimensão do elemento estrutural. Alguns ensaios sugerem

que, caso a acção seja predominantemente devido a uma deformação imposta, o parâmetro 𝛽 é da

ordem de 1,30 a 1,50, aumentando para situações de cargas aplicadas (1,70). No entanto o EC2 [24]

não faz referência a esta situação tomando sempre o valor de 1,7 (𝑆𝑟 ,𝑚𝑎𝑥 = 1,7 × 𝑆𝑟𝑚 ).

51

3.5. Modelo simplificado da abertura de fendas

Pode simplificar-se a expressão da abertura média de fendas, admitindo a não existência de

aderência aço-betão, ou seja, considerando nula a participação do betão entre fendas, obtendo-se a

expressão simplificada e conservativa para a abertura de fendas, dada por:

𝑤𝑚 = 𝑠𝑟𝑚 × 𝜀𝑠𝑚 = 𝑠𝑟𝑚 ×𝜍𝑠𝐸𝑠

(III.37)

Favre e Jaccoud [27,34] apresentam uma proposta simplificada e ligeiramente diferente, para a

avaliação de abertura de fendas na fase de formação de fendas, sob a acção de deformações

impostas. Estes optaram por uma definição baseada num modelo local da abertura de fenda,

fazendo-a depender directamente do comprimento de transmissão, e de uma simplificação

relativamente ao estado de tensão no betão e nas armaduras ao longo daquele comprimento. Para tal

consideram um modelo definido por dois estados distintos (ver figura III.22), o primeiro, em 0,35 ℓ0 da

fenda para cada um dos lados – Estado II; e, para além desta distância, um segundo, admitindo uma

ligação perfeita entre materiais – Estado I.

Figura III-22 – Equilíbrio de tensões aquando da abertura da primeira fenda [27].

Dessa base resulta uma expressão simplificada para quantificar a abertura de fendas, tal que:

𝑤𝑚 = 0,7 × ℓ0 × 𝜀𝑠2 − 𝜀𝑐𝑠 ≈ 0,7 × ℓ0 × 𝜀𝑠2 (III.38)

Em que o valor de extensão 𝜀𝑐𝑠 representa a extensão, por retracção livre do betão, ao longo do

comprimento 0,7ℓ0, devendo tomar um valor negativo, uma vez que se trata de um encurtamento do

material e que se traduz numa maior fenda aparente à superfície do elemento estrutural.

52

Ao considerarmos uma deformação imposta externa o termo 𝜀𝑐𝑠 será nulo, sendo a abertura de

fendas proporcional à tensão/extensão. Porém, no caso da consideração da retracção do betão,

aparecerá o termo 𝜀𝑐𝑠 (considerado com um valor negativo), sendo somado ao valor 𝜀𝑠2. Esta soma

faz sentido pois o encurtamento simples do betão em relação à armadura na zona entre fendas

também contribui para o aumento da abertura de fendas.

De acordo com esta formulação, a abertura de fendas seria, para o mesmo nível de tensão nas

armaduras, maior no caso da retracção do que no caso de uma deformação imposta exterior. No

entanto, como referido no no subcapítulo 3.1.4, para o caso da deformação imposta interior o nível de

esforço axial e de tensão, para a mesma quantidade de armaduras, é menor e consequentemente a

extensão (𝜀𝑠2). Resulta, assim, por estes dois efeitos contrários, que as aberturas de fendas devidas a

deformações impostas exteriores ou interiores, como também foi referido no subcapítulo 3.1.4, são

pouco diferentes.

Em termos práticos é razoável que, apesar de fazer menos sentido físico, se avalie, por simplificação,

a abertura de fendas no caso da acção da retracção, não considerando o valor de 𝜀𝑐𝑠 e tomando a

retracção como se tratasse de uma deformação imposta exterior.

A extensão na armadura, 𝜀𝑠2, depende directamente da tensão na armadura em estado II e é, em

primeira aproximação, inversamente proporcional à percentagem de armadura, pelo que se conclui

que a abertura de fendas será tanto menor quanto maior for a percentagem de armadura. A

distribuição da armadura e as características de aderência influenciam directamente o parâmetro ℓ0,

verificando-se que a abertura de fendas apresenta valores menores, à medida que o espaçamento

entre varões diminui e a superfície de contacto entre materiais aumenta.

3.6. Critério de plastificação da armadura versus controlo da fendilhação

Favre et al [27], num projecto de investigação experimental, desenvolveram os gráficos da figura

III.23, mostrando a diferença entre dois critérios de avaliação das quantidades de armaduras para o

efeito da deformação imposta – critério baseado no diâmetro máximo dos varões e o critério da não

plastificação das armaduras.

53

Figura III-23 – Proposta de dimensionamento entre os dois critérios enunciados apresentada por Favre [27]

Os ábacos permitem a avaliação da percentagem de armadura necessária em função da resistência

do betão e do diâmetro máximo de varões utilizados. Constata-se que para betões com fcm entre 20 a

120 MPa, aços A400 a A600, diâmetros de armadura entre 6 mm e 30 mm, espessuras de elementos

entre 0,30 m e 0,80 m e fendas limite de 0,30 mm e 0,50 mm, as percentagens de armadura variam

entre mínimos de 0,20 a 0,25% e máximos de 1 a 1,20%. Refira-se, as menores exigências de

percentagem de armadura para peças mais espessas, pois nestas, o esforço axial de fendilhação é

reduzido pelas tensões auto-equilibradas na secção, como referido em 3.2.

De um modo geral, para valores fixos de wk, e dos diâmetros de varões, a armadura necessária não

aumenta significativamente, com a resistência do betão. Tal deve-se sobretudo ao aumento das

condições de aderência aço-betão, que se sobrepõem de forma crescente ao efeito negativo

resultante do aumento de resistência à tracção do betão.

Mas a principal conclusão a retirar dos digramas anteriores, é de que para betões correntes, o

condicionamento da armadura mínima pelo critério de abertura de fendas (wk<0,30mm ou mesmo

wk<0,50mm) é claramente mais exigente, que o da não plastificação da armadura, sendo a diferença

tanto menor quanto mais pequenos forem os diâmetros dos varões adoptados.

54

3.7. Limites das aberturas fendas - em particular para reservatórios

A necessidade de efectuar o controlo da fendilhação deve-se sobretudo a três motivos ou exigências:

durabilidade, estética e funcionalidade.

A durabilidade de uma estrutura, por via da fendilhação, está directamente relacionada com a

eventual perda de alguma protecção da armadura às condições ambientes exteriores, e desta forma

à criação de condições para se poder iniciar o processo de corrosão. A investigação experimental de

Schiessel [45] mostra claramente a não dependência directa do nível de corrosão nas armaduras

ordinárias com aberturas de fenda perpendiculares à armadura, desde que aquelas não ultrapassem

valores de ordem dos 0,3 a 0,4mm. Para esta ordem de grandeza das fendas existem condições para

se dar o início do processo de corrosão, mas não à sua progressão no tempo, de tal forma que após

um período considerável de tempo, o nível de corrosão é praticamente independente da existência de

aberturas de fendas daquela ordem de grandeza. Em termos de durabilidade da obra, factores como

a qualidade do betão colocado em obra e o recobrimento adoptado, têm muito maior influência do

que a abertura de fendas, se forem inferiores ao limite referido. Refira-se que este estado do

conhecimento está traduzido nos critérios de dimensionamento em serviço do EC2 [24].

No que concerne a exigências estéticas, a quantificação da abertura de fendas para valores

aceitáveis é subjectivo, dependendo de inúmeros factores, que não estruturais, entre os quais a

sensibilidade do observador, a distância entre este e o elemento estrutural, textura do elemento

estrutura, etc. A experiencia mostra que caso a abertura de fenda não exceda os 0,30 a 0,40mm não

se torna inquietante para a generalidade das pessoas, sendo o valor característico de 0,40mm

apresentado como limite para as acções quase permanentes no EC2 [24]. Jaccoud [34] refere uma

ordem de grandeza da abertura de fenda visível em função da distância do observador à mesma,

como se pode observar na figura III.24.

Figura III-24 – Percepção humana comum ao fenómeno da fendilhação em função da distância [34]

55

Em termos funcionais, como por exemplo a garantia de estanquidade de reservatórios (aspecto

abordado no capítulo VI), há a necessidade de limitar a abertura de fendas directamente, para além

de tomar outras decisões ao nível da concepção estrutural. Assim, para além da verificação da

segurança estrutural à rotura há que garantir padrões de qualidade específicos de forma a assegurar

o seu bom funcionamento. Neste aspecto importa salientar a compacidade e espessura do betão

estrutural e, em grande parte, a limitação da fendilhação. A experiência demonstra que, para este tipo

de estruturas, não se deve optar por espessuras inferiores a 0,25 a 0,30 m. No que respeita à

limitação de abertura de fendas, há que distinguir as fendas transversais, que atravessam toda a

espessura do elemento e que são condicionantes para estanquidade do elemento, das não

transversais (essencialmente de flexão), que se verificam junto a uma das faces, e

consequentemente não traduzem o mesmo nível de preocupação (ver figura III.25).

Figura III-25 – Distinção entre fissuras transversais á totalidade da secção ou não [27]

As fissuras não transversais não afectam, em princípio, a estanquidade dos elementos estruturais,

enquanto existir uma zona de betão comprimida de espessura igual ou superior a 50mm ou ao dobro

do diâmetro máximo dos inertes.

O caudal infiltrado nas fissuras transversais, por metro linear de fissura, q, depende de vários

parâmetros, tais como a diferença de pressão hidrostática, Δρ, espessura do elemento, h, a

viscosidade dinâmica do fluido, η , e a abertura da fenda medida na superfície do elemento, w.

O caudal pode ser estimado graças à seguinte relação, estabelecida por Poiseuille [27] para o caso

de escoamento laminar entre dois planos lisos afastados por w :

𝑞 =𝜉 × 𝑤3 × ∆𝜌

12𝜂 × 𝑕 (III.39)

Onde:

𝜂 é a viscosidade dinâmica que pode ser considerada como igual a 1,0 × 10−3 ou 1,3 ×

10−3 𝑁𝑠/𝑚2 para o caso de água a temperatura de 20 a 10ºC respectivamente;

56

𝜉 é o coeficiente de atrito que depende da rugosidade das faces de fissuras, sendo

independente da natureza do fluido; 𝜉 = 1,0 para um caso teórico (dois planos lisos e

paralelos); 𝜉 ≈ 0,125 pode ser admitido como um valor médio para o caso de uma fissura

transversal;

É de salientar que, um estudo realizado sobre este tema, por Mivelaz P, no contexto da sua tese de

doutoramento na EPFL, e apresentado por Favre [27], mostra que é mais apropriado considerar na

expressão III.39, um valor de coeficiente de atrito a depender da abertura de fenda, tomando assim

valores de:

𝜉 ≈ 0 para 𝑤 ≈ 0,05 𝑚𝑚

𝜉 ≈ 0,2 para 𝑤 ≈ 0,3 𝑚𝑚

Como se pode constatar na expressão III.39 a questão da estanquidade e, por conseguinte a

eficiência na contenção de líquidos, depende essencialmente do valor da abertura de fenda e, esta

por sua vez depende da quantidade da armadura utilizada. Na hipótese de 𝜉 ser constante, a relação

anterior mostra que o caudal de infiltração aumenta proporcionalmente ao cubo do valor da abertura

de fendas, w. Este facto realça a importância da estimativa do valor da abertura de fenda, verificando-

se que com a redução do valor da abertura de fenda de 0,3 para 0,15 mm, obtém-se uma diminuição

do caudal de infiltração de um factor de 8.

A consideração de valores reduzidos da abertura de fenda para obter uma boa estanquidade,

justifica-se no caso de estruturas com elevado grau de exigências desse ponto de vista (depósitos,

piscinas, etc), apesar do custo associado à utilização de maiores percentagens de armadura.

É de salientar que no caso de estruturas com solicitações permanentes de pressão de água ou de

ambiente húmido, pode-se esperar a colmatação das fissuras, se estas tiverem aberturas de cerca de

0,1 a 0,2 mm. A colmatação é consequência de vários fenómenos (aumento do volume do betão no

meio húmido, acumulação de elementos finos de inertes e depósitos de partículas suspensas no

liquido) que, progressivamente tapam as fendas após alguns dias ou semanas tornando a estrutura

praticamente estanque. É de salientar ainda que, para estruturas em ambientes geralmente secos,

com presença ocasional de água (lajes de parques de estacionamento) o risco de infiltrações de água

pode ser maior, apesar de aquelas não estarem sob pressão.

57

3.8.Controlo abertura de fendas de acordo com Eurocódigo 2 parte 3 [25]

Assim, para termos em conta os aspectos analisados no subcapítulo anterior, da estanquidade em

reservatórios, devem-se seguir as recomendações do EC2 - parte 3 [25], especificas para este tipo de

situação. Como vimos para uma dada abertura de fendas, há necessidade de avaliar a quantidade do

líquido que aquela poderá deixar passar. Assim, de acordo, com o grau de exigência pretendido, há

que limitar as aberturas de fendas. O EC2 - parte 3 [25] cobre todos estes aspectos sendo o EC2 -

parte 1 [24] (ver tabela III.1) insuficiente para as exigências de estanquidades próprias á

funcionalidade dos reservatórios.

Classe de

exposição

Elementos de betão armado e

elementos de betão pré-esforçado

com armaduras não aderentes

Elementos de betão pré-

esforçado com armaduras

aderentes

Combinação de acções quase-permanente

Combinação de acções frequente

X0,XC1 0,4 0,2

XC2, XC3, XC4

0,3

0,2

XD1, XD2, XS1, XS2, XS3

Descompressão

Tabela III.1 - Valores recomendados para a abertura de fendas, Wmax [24]

O EC2 - parte 3 [25] procede à classificação de reservatórios em função do grau de exigência

requerido em relação às fugas de água. Tal classificação encontra-se no quadro 7.105 do

regulamento referido e apresenta-se na tabela III.2. Convém notar que todos os betões permitem a

passagem por difusão de pequenas quantidades de líquidos e de gases.

Classe de estanquidade

Requisitos em matéria de fugas

0 Aceitável um certo nível de fuga, ou fuga de líquidos sem consequências

1 Fugas limitadas a uma pequena quantidade. São aceitáveis algumas

manchas superficiais ou manchas de humidade.

2 Fugas mínimas. Aspecto não afectado por manchas.

3 Nenhuma fuga é permitida

Tabela III.2 - Classificação da exigência da estanquidade [25]

Assim, são escolhidos valores limites adequados para a fendilhação em função da classificação do

elemento estrutural. Na falta de requisitos mais específicos, a regulamentação [25], propõe que se

sigam as seguintes indicações:

Para a Classe 0 poderão ser adoptadas as disposições de 7.3.1 do EC2 - parte 1 [24], que

neste documento são apresentados na tabela III.1;

58

Para a Classe 1 deve ser limitada a wk1 a largura de quaisquer fendas que se preveja

atravessarem a espessura total da secção. Aplicam-se as disposições 7.3.1 do EC2 – parte 1

[24], no caso em que a secção não esta fendilhada em toda a sua espessura. Considera-se

que se pode aplicar as disposições 7.3.1 do EC2 - parte 1 [24] quando a secção apresenta

uma altura comprimida para a combinação quase permanente de pelo menos 50mm ou 0,2 h

(menor destes dois valores) considerando a resistência à tracção do betão como nula.

Para a Classe 2 há que evitar fendas que possam vir a atravessar a espessura total da

secção, a não ser que venham a ser adoptadas medidas adequadas (por exemplo,

revestimentos ou perfis de estanquidade);

Para a Classe 3 são necessárias medidas especiais, tais como, revestimentos ou pré-esforço,

com o objectivo de garantir a estanquidade à água.

Os valores wk1 recomendados para as estruturas de retenção de água são definidos como uma

função da relação entre a pressão hidrostática, hD e a espessura da parede da estrutura de

contenção, h, (ver figura III. 26) tais que: para hD/h≤5, wk1=0,2 mm, enquanto para hD/h≥35, wk1=0,05

mm. Para valores intermédios de hD/h, poderá efectuar-se uma interpolação linear entre 0,2 e 0,05. A

limitação da largura de fendas a estes valores deverá resultar numa auto-selagem eficaz das fendas

num período de tempo relativamente curto, desde que as acções em serviço (temperatura e pressão

hidrostática) não gerem deformações superiores a 150 × 10−6. Se a auto-selagem das fendas for

pouco provável, qualquer fenda que atravesse a espessura total da secção poderá conduzir a fugas,

independentemente da sua largura.

Figura III-26 – Valores recomendados para a abertura, Wk1

Estes valores de wk1 têm em conta a expressão III.39, para limitar o caudal de infiltração por metro

linear de fissuras. Como valor necessário para que as fendas não transversais, com betão de boa

qualidade, assegurem a estanquidade (ver figura III.25 b), é referido por Favre [27], o valor de 50mm.

Também o EC2 - parte 3 [25], refere que, para se considerar nas classes de estanquidade 2 e 3,que

as fendas não atravessem a secção em toda a sua espessura, o valor de cálculo da zona comprimida

deverá ser, para combinação de acções quase-permanentes, pelo menos igual a 50mm ou 0,2h

(menor destes dois valores). Também para classe de estanquidade 1 quando temos essa zona

comprimida podemos ser menos exigentes e adoptar as disposições 7.3.1 do EC2 – parte 1 [24]

(quadro III.1) em vez dos valores de wk1, como referido em cima.

35

59

3.9. Comparação entre o controlo indirecto do EC2 parte 1 e o EC2 parte 3

Como simplificação do cálculo directo apresentado no subcapítulo 3.4, poderá ser efectuado o

controlo indirecto de fendilhação.

Na secção 7.3.3 (2) do EC2 - parte 1 [24] apresentam-se a tabela III.3 onde se limita o diâmetro ou o

espaçamento dos varões para uma determinada abertura de fendas.

Tabela III.3– Diâmetros e espaçamentos máximos dos varões para o controlo indirecto da fendilhação, admitindo a situação de flexão [24]

Tensão no

aço [MPa]

Diâmetros máximos dos varões (mm) Espaçamento máximo dos varões (mm) *

Wk=0,40 mm Wk=0,30 mm Wk=0,20 mm Wk=0,40 mm Wk=0,30 mm Wk=0,20 mm

160 40 32 25 300 300 200

200 32 25 16 300 250 150

240 20 16 12 250 200 100

280 16 12 8 200 150 50

320 12 10 6 150 100 -

360 10 8 5 100 50 -

400 8 6 4 - - -

450 6 5 - - - -

* Estas duas condições, limitação do diâmetro máximo e limitação do espaçamento máximo de armaduras, são ambas

válidas para acções directas, podendo ser utilizada qualquer uma delas. No entanto, quando a fendilhação é

provocada predominantemente por acções indirecta apenas a condição de limitação do diâmetro máximo dos varões é

considerada válida.

De referir que estes quadros foram obtidos para as seguintes hipóteses:

𝑐 = 25𝑚𝑚; 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓 = 2,9 𝑀𝑃𝑎; 𝑕𝑐𝑟 = 0,5𝑕; 𝑕 − 𝑑 = 0,1𝑕; 𝑘1 = 0,8; 𝑘2 = 0,5; 𝑘𝑐 = 0,4; 𝑘 = 1,0;

𝑘𝑡 = 0,4 𝑒 𝑘4 = 1,0

No anexo 3 é mostrado como se avaliaram os diâmetros máximos dos varões para o controlo

indirecto. Também é explicado porque razão o diâmetro máximo dos varões poderá ser modificado da

seguinte forma:

Flexão (com pelo menos uma parte da secção em compressão):

𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓

2,9

𝑘𝑐𝑕𝑐𝑟2(𝑕 − 𝑑)

(III.40)

Tracção (tracção simples):

𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓

2,9

𝑘𝑐𝑕𝑐𝑟8(𝑕 − 𝑑)

(III.41)

onde,

60

Tensão das armaduras, σs (N/mm2)

Diâ

me

tro

má

xim

o d

os v

arõ

es (

mm

)

𝜙𝑠 é o diâmetro máximo dos varões já modificado;

𝜙𝑠∗ é o diâmetro máximo do varões obtido a partir do quadro III.3;

h é a espessura total da parede;

𝑕𝑐𝑟 altura total da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação para a combinação

quase - permanente de acções;

d é a distância do centro de gravidade da camada exterior das armaduras à face oposta do

betão.

Assim, podemos ver que o quadro III.3, foi desenvolvido com base em algumas simplificações as

quais implicam aproximações. Uma das simplificações, como se pode ver no anexo 3, consiste em

considerar (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 ) = 0,6𝜍𝑠

𝐸𝑠, que é o limite inferior para 𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 , hipótese não conservativa para a

acção de cargas. De notar que o quadro III.3 também foi construído para k=1,0 ou seja para alturas

até 0,3m pelo que este factor também devia entrar na correcção do diâmetro para espessuras

maiores.

O EC2 – parte 3 [25] também estabelece gráficos para o controlo indirecto das fendas. Estes gráficos

estão nas figuras 7.103N e 7.104N do referido regulamento, apresentando-se o gráfico da figura

7.103N [25] na figura III.27. Este gráfico fornece os valores máximos dos diâmetros para os vários

limites de aberturas características, em função da tensão na armadura após a fendilhação.

Figura III-27 – Diâmetro máximo dos varões para o controlo de fendilhação em função da tensão nas armaduras [25]

De referir novamente que quando a fendilhação é provocada predominantemente por acções

indirectas (deformações impostas) apenas a condição de limitação do diâmetro máximo dos varões é

válida, ou seja o gráfico da figura 7.104N do EC2 – parte 3 [25] não é valido nestas situações.

61

Os máximos diâmetros das armaduras dadas pelo gráfico da figura III.27 devem ser modificados

através da expressão seguinte:

𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓

2,9

𝑕

10(𝑕 − 𝑑) (III.43)

Onde os diversos parâmetros foram referidos anteriormente.

Desta expressão é importante salientar que, sendo em geral 𝑕 − 𝑑 da ordem de 4 a 5 cm, para

espessuras da ordem de 0,40m a 0,50m os valores dos diâmetros de referência do quadro não

necessitam de adaptação mas que, para menores espessuras, as exigências são significativamente

maiores.

Do gráfico da figura III.27 constata-se quão elevado é o grau de exigência em relação à tensão

admissível nas armaduras para valores de abertura característica de fendas da ordem de 0,05mm a

0,1mm.

Refira-se, ainda, que se têm valores da mesma ordem de grandeza para os limites de tensões na

armadura, para aberturas características de 0,2 mm e 0,3 mm, entre os apresentados no EC2 – parte

1 [24], para o controlo indirecto da abertura de fendas (ver tabela III.3) e os apresentados no EC2 –

parte 3 [25] (ver figura III.27). Como exemplo podemos ver no gráfico da figura III.28, a comparação

entre a tabela III.3 e o gráfico da figura III.27 para uma abertura de fendas de 0,2 mm, por efeito de

tracção.

Figura III-28 – Comparação da tabela 7.2 do EC2 parte 1 com a figura 7.103 do EC2 parte 3 para uma abertura de fendas de 0,2 mm

Como os valores da tabela III.3 do EC2 - parte 1 [24] tem uma expressão de correcção para tracção

com um 8 no denominador (expressão III.41), em vez de um 10 (expressão III.43) corrigiu-se os

valores do quadro III.3 multiplicando por 1,25 (=10/8) para permitir a comparação.

Tensão das armaduras, σs (MPa)

Diâ

me

tro

má

xim

o d

os v

arõ

es (

mm

)

Figura 7.103

Tabela 7.2

62

Como se pode constatar os diâmetros apresentam a mesma ordem de grandeza com ligeiras

diferenças. Assim, no caso de se querer adoptar o controlo indirecto de fendilhação por efeitos de

tracção resultantes de deformações impostas, o gráfico da figura III.27 deve ser preferencialmente

utilizado porque foi directamente preparado para a tracção (k2=1), contrariamente à tabela III.3 da

parte 1 do EC2 – parte 1 [24] que foi construído para situações de flexão (k2=0,5), apesar de que, se

for aplicada a correcção regulamentar indicada, o resultado é semelhante.

63

IV. Comportamento de paredes laterais

No caso de muros de contenções de terras e das paredes laterais dos depósitos, a sapata da

fundação ou a laje de fundo, respectivamente, betonadas em geral numa fase anterior e com

espessuras maiores, restringem o seu livre encurtamento por retracção e/ou variações da

temperatura, induzindo, assim, tensões de tracção na parede.

4.1. Abordagem efectuada por Luís [38] e Teixeira [48]

A avaliação elástica da distribuição das tensões de tracção na parede mostram que, apesar da

restrição se verificar ao longo da ligação inferior parede/fundação, há só uma pequena variação de

tensões em altura, tendendo para uma distribuição quase uniforme na zona central. Apresenta-se de

forma qualitativa, na figura IV.1, a distribuição das tensões e resultantes de tensões ao longo do

comprimento da parede.

Figura IV-1 – a) Geometria geral da parede; b) Distribuição de tensões antes de formar a 1ª fenda; c) Resultante das

tensões longitudinais antes de formar a 1ª fenda [48]

Assim, constata-se que, o comportamento elástico da parede sujeita a deformação imposta é

semelhante ao de um tirante restringido nas extremidades. Esta semelhança fica melhor quantificada

na figura IV.2, na qual se observa que a uniformização das tensões, na zona central da parede

lateral, é tanto mais significativa quanto maior for o seu comprimento em relação à altura, l/b.

64

Figura IV-2 – Comparação de distribuição de tensão no centro das paredes com as dum tirante em função da razão l/b [27]

Devido a estas características elásticas do comportamento das paredes laterais, a área de armadura

mínima necessária é usualmente avaliada pelo mesmo procedimento que é aplicado para um tirante

restringido nas extremidades. Assim, essa área é dada pela expressão regulamentar referida

anteriormente (expressão III.13), para avaliação das quantidades de armadura longitudinal nas duas

faces:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛

𝑠= 𝑘𝑐 × 𝑘 × 𝐴𝑐𝑡 ×

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

𝜍𝑠= 1,0 × 𝑘 𝑕 × 𝑕 ×

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

𝜍𝑠 [𝑐𝑚2/𝑚] (IV.1)

em que:

𝑘 = 𝑘 𝑕 , em que h é a espessura das paredes laterais, dado pela figura III.12

𝑘𝑐 = 1,0 para tracção pura

𝐴𝑐𝑡 = 𝑕 × 1

De acordo com um estudo realizado por Luís e apresentado no artigo “Controlo de fendilhação para

deformações impostas” [38], verificou-se que, depois da formação da primeira fenda transversal, e

perda consequente da rigidez longitudinal, a resultante de tensões transversais na parede, a quando

da formação de uma 2ªfenda, deixa de ter um valor quase constante ao longo da parede, tomando na

zona da 1ªfenda uma resultante inferior (ver na figura IV.3 uma representação qualitativa).

65

Figura IV-3 – Característica imediatamente antes da formação da 2ª fenda: a) Parede; b) Distribuição de tensões; c) Resultante de tensões, para um comportamento não linear [48]

Luís [38], através de uma análise não linear, e Teixeira [48], através de análises lineares e um

processo iterativo que simula o comportamento não linear, estudaram a acção das deformações

impostas em paredes laterais. Em ambos os casos foi simulada uma parede com as seguintes

características geométricas (ver figura IV.4): 30 metros de comprimento, 3 metros de altura e 0,3

metros de espessura. A fundação da parede foi modelada com restrição total, pois o processo de

retracção da laje de fundo, no momento da betonagem da parede, encontra-se numa etapa mais

avançada e dá-se mais lentamente, devido à sua maior espessura e condições de exposição

ambiental mais desfavorável à evolução da retracção.

Figura IV-4 – Características geométricas da parede utilizada nas análises de Luís [37] e Teixeira [48]

Os dois estudos [38, 48] efectuados sobre o comportamento de paredes laterais apontam para

conclusões no mesmo sentido no que diz respeito à variação das tensões em altura da parede e à

evolução da tensão média nas armaduras. Seguidamente, esses resultados são analisados.

66

Luís [38] estudou a resposta das paredes laterais à acção das deformações impostas efectuando

análises não lineares, com o ATENA®, simulando três situações de distribuição de armadura,

indicadas na tabela IV.1, sendo que o caso 1 corresponde à armadura mínima regulamentar, definida

pela expressão IV.1, e as restantes situações correspondem a uma quantidade inferior (caso 2) e

superior (caso3).

Casos de análise

As,adoptado Percentagem de

Armadura (%)

1 Ø 12//0,15 (2x7,54 cm2/m) 0,50

2 Ø 10//0,15 (2x5,14 cm2/m) 0,35

3 Ø 16//0,15 (2x13,41 cm2/m) 0,89

Tabela IV.1– Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise não linear de Luís [38]

Na figura IV.5 apresenta-se, para o caso 1, a variação da resultante das tensões longitudinais ao

longo da parede, obtida por Luis [38], à medida que a deformação imposta aumenta e o processo de

fendilhação evolui, notando-se a simetria do sistema. Cada linha corresponde à distribuição do

esforço axial, sendo de referir que os casos intitulados 1ª fenda (linha roxa) e 2ª fenda (linha verde)

correspondem às situações antes da formação de uma nova fenda.

Figura IV-5 – Variação das resultantes de tensões ao longo da parede para o caso 1 [38]

Betão:

Ec=30,5 GPa

fct=2,35 MPa

A500:

Es=200 GPa

fyk=500 MPa

67

Pela observação da figura verifica-se que a formação das fendas ocorre das extremidades para o

centro da parede, devido a picos de tensões de tracção na proximidade da zona de ligação

parede/fundação. Pode notar-se que, à medida que se formam as fendas, o esforço axial não se

mantém constante ao longo da parede, o que constitui um comportamento distinto do verificado no

tirante sujeito a uma deformação imposta axial. Neste último caso o esforço axial, por equilíbrio, é

necessariamente o mesmo em todas as secções, ao passo que na situação das paredes laterais tal

não acontece, verificando-se que a resultante das tensões normais, ao longo dessas paredes,

distingue-se da que ocorre no tirante, devido à ligação inferior parede/fundação.

Analisando a figura IV.5 constata-se, que, com o crescimento da deformação imposta, na zona das

fendas anteriormente formadas, o nível de esforço axial nunca retoma o valor correspondente ao de

fendilhação, Ncr, tomando antes valores máximos da ordem de grandeza de metade de Ncr, como

indicado na tabela IV.2. Nesta, estão resumidos os principais resultados das análises aos vários

casos. É de salientar que para deformações impostas elevadas o esforço axial resultante,

dependente da quantidade de armadura e converge para um valor quase uniforme ao longo da

parede, sendo que no caso 1 esse valor corresponde a 1000 KN.

Casos de análise

ρ (%)

Deformação imposta externa

Deformação imposta interna

N (KN) N/Ncr N (KN) N/Ncr

1 0,50 1000 0,47 850 0,40

2 0,35 850 0,40 720 0,34

3 0,89 1250 0,60 1020 0,48

Tabela IV.2– Valores do esforço axial estabilizado (N) para os 3 casos analisados [38]

É interessante notar também que o esforço axial estabilizado no caso de a acção ser uma

deformação imposta interna é inferior ao que se verifica no caso de essa ser externa. Tal é explicado

pela existência das tensões auto-equilibradas, exactamente pela mesma razão constatada no

subcapítulo 3.1.4. Na figura IV.6 mostram-se os resultados apresentados por Luís e obtidos no

programa Atena [38], para o caso 1 (armadura mínima), em relação à evolução da tensão nas

armaduras (corresponde à média das tensões ao longo da altura da parede) e a abertura de fendas

nas secções previamente fendilhadas.

68

Figura IV-6 – Evolução da tensão média e abertura de fendas ao longo da parede para o caso 1, para deformação imposta externa e interna respectivamente [38]

Na figura IV.6 verifica-se que os níveis de abertura de fendas são da ordem de 0,20mm e que esses

valores são semelhantes para ambos os casos de deformação imposta (externa e interna). É de notar

que os níveis de tensão nas armaduras para os dois tipos de deformação imposta são inferiores aos

que se verificam no tirante e à tensão de cedência, aspecto realçado por Luís [38].

Verificam-se também aberturas de fendas da mesma ordem de grandeza, apesar das tensões serem

menores para o efeito da retracção. Esta constatação também está de acordo com a análise de

tirantes para acções internas e externas.

Com o objectivo de clarificar algumas destas características de comportamento, Teixeira [48],

efectuou um estudo, para uma parede com o mesmo tipo de geometria mas recorrendo a uma análise

linear, com o SAP2000® para a variação diferencial de temperatura entre a parede e a base, tendo

procedido à modelação da perda de rigidez da zona onde as fendas se vão formando de uma forma

simplificada. É um processo por etapas, pois recorre a uma sequência de análises lineares, que exige

após a formação de cada nova fenda baixar a rigidez dessa zona. Para tal, fez actuar uma diminuição

de temperatura na parede até se atingir, numa dada secção, uma resultante de tensões axiais

correspondentes ao início da fendilhação, tendo constatado que seria na secção central da parede.

Após atingir o valor de Ncr, Teixeira [48] teve em conta indirectamente a não linearidade do

comportamento do elemento no modelo, simulando a perda de rigidez nessa zona. A avaliação da

perda de rigidez baseou-se num modelo simplificado de avaliação da abertura de fendas, referido no

subcapítulo 3.5, onde se admite que na zona da fenda, e num comprimento de 0,35 ℓ0 para cada

lado, a rigidez do elemento é a das armaduras, rigidez em Estado II.

Refira-se que no modelo não linear elaborado por Luís [38], as fendas se formaram da extremidade

para o meio da parede, como referido anteriormente, contrariamente ao que sucedeu nesta análise

69

linear. No entanto, este aspecto não afecta as características principais da modelação simplificada

adoptada e da comparação com esses resultados.

Na tabela IV.3 apresentam-se as quantidades de armadura consideradas para cada caso de parede

estudada por Teixeira [48], sendo que a armadura no caso 1 corresponde à mínima regulamentar,

admitindo tracção simples, e os casos 2 e 3 correspondem, respectivamente, a menos e mais,

aproximadamente 1/3 daquela quantidade. São casos de pormenorização próximos aos adoptados

na análise não linear, efectuada por Luís [38], de modo a permitir uma comparação de resultados.

Casos de análise

As,adoptado ρef (%)

1 Ø 10//0,10 (2x7,85 cm2/m) 0,785

2 Ø 10//0,15 (2x5,14 cm2/m) 0,524

3 Ø 12//0,10 (2x11,31 cm2/m) 1,131

Tabela IV.3 – Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise linear de Teixeira [48] para uma

parede encastrada na base e com espessura de 0,30 m

Nas figuras IV.7, IV.8, e IV.9 apresenta-se para os três casos, a variação da resultante da força

(resultante de tensões na secção transversal) ao longo da parede com uma deformação imposta

equivalente a um abaixamento de temperatura efectuada por Teixeira [48]. Os valores da resultante

das forças em cada secção apresentados naqueles gráficos foram obtidos a partir da soma de todos

os valores da força de cada nó pertencente à secção em causa.

Figura IV-7 – Variação da força ao longo da parede, para o caso 1 (armadura mínima) [48]

Betão:

Ec=30,5 GPa

Fct=2,6 MPa

A500:

Es=200 GPa

Fyk=500 MPa

70

Figura IV-8 – Variação da força ao longo da parede, para o caso 2 (armadura inferior á mínima) [48]

Reconhece-se que os resultados obtidos da análise linear, com introdução, após a formação de cada

fenda, de uma redução de rigidez, são qualitativamente e mesmo quantitativamente semelhantes aos

da análise não linear. Um exemplo disso é o facto de se ter chegado nos dois casos a valores de

esforço axial máximo gerado nas secções anteriormente fendilhadas da mesma ordem de grandeza.

Teixeira [48] também conclui que, quanto menor a quantidade de armadura, maior é o abaixamento

dos esforços globais nas zonas previamente fendilhadas, o que é expectável pois há uma maior

diminuição da rigidez (ver figuras IV.7, IV8 e IV.9). Também se conclui que o valor da deformação

imposta, para formar o mesmo número de fendas, é maior para quantidades de armadura menores, e

Figura IV-9 - Variação da força ao longo da parede, para o caso 2 (armadura superior á mínima) [48]

71

isto porque a diminuição da tensão e da rigidez, aquando da formação de uma nova fenda, são

maiores.

A tensão nas armaduras é um parâmetro importante do controlo da fendilhação pelo que faz sentido

ser analisada. Assim, apresenta-se na figura IV.10, para os casos analisados, as variações de

tensões médias no aço nas secções fendilhadas à medida que se impõe a variação da temperatura.

Figura IV-10 – Variação da tensão média na secção central, para os casos analisados [48].

Os resultados apresentados revelam que antes da formação da primeira fenda ocorre uma pequena

variação de tensão na armadura, a qual se deve ao comportamento elástico da secção (estado I).

Quando se forma a primeira fenda observa-se um aumento significativo da tensão, apesar da queda

do esforço axial global, conforme também verificado no caso do tirante.

Com o aumento da variação da temperatura, a tensão no aço volta a aumentar, verificando-se com a

formação de cada nova fenda, uma diminuição ligeira, mas brusca, da tensão no aço. Estas variações

tendem a ser menores, quanto maior for a quantidade de aço na secção. Nesta figura nota-se

também como se formam mais fendas, para um dado valor de deformação imposta, quanto maior for

a quantidade de armadura.

Da análise das tensões médias nas armaduras Teixeira [48] atestou o mesmo que Luís [38], ou seja,

que mesmo para uma armadura inferior à mínima, a tensão média máxima, antes da formação da

fenda seguinte, é significativamente inferior à tensão característica de cedência. No entanto, o facto

de se considerar, nesta avaliação, valores médios ao longo da altura da parede implica que se está a

desconsiderar a existência de tensões não uniformes ao longo da parede. Para a avaliação da

abertura máxima de fendas dever-se-ia, portanto, tomar, eventualmente, valores de tensão

superiores.

Teixeira [48] analisou a distribuição de tensões ao longo da altura da parede na secção central da

mesma, para o estados I e II e para o caso 1 de quantidade de armadura. Na figura IV.11 apresenta-

72

se a variação de tensões no betão na zona central no Estado I (não fendilhado) e a razão entre a

tensão no topo e na base, σc, com a tensão uniforme, σ0, imediatamente antes da formação da 1ª

fenda.

Figura IV-11 – Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação da 1ª fenda, ΔT=8,63

0C para o caso 1 [48]

Na zona de ligação entre a parede e a laje de fundo há restrição total da deformação imposta, logo a

tensão é maior nessa zona, mas a variação ao longo da altura é quase nula (da ordem de 1,3%). O

valor obtido para a razão das tensões no topo e base da parede é concordante com o que tem sido

referido por outros autores, em particular por Favre [27] (ver figura IV.2, onde l/b=10).

Na figura IV.12 apresenta-se a distribuição de tensão nas armaduras na 1ª fenda (central) para a

situação imediatamente antes da formação da 2ª e 3ª fendas (formam-se em simultâneo).

Figura IV-12 – Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação da 4ª e 5ª fenda, ΔT=12,35

0C para o caso 1 [48]

73

Como se pode constatar, ao contrário do que se verifica no modelo não fendilhado, na secção central

a distribuição de tensões nas armaduras não é uniforme, mas antes aumenta ao longo da altura da

parede. Este comportamento deve-se à restrição na base da parede, que faz com que as aberturas

tendam a ser maiores no topo (ver figura IV.13). Assim, o modelo utilizado por Teixeira [48], com

impedimento total da deformação na base faz com que a deformação imposta na base seja

absorvida, no essencial, em tensões no betão e, na zona superior, estando o efeito de restrição mais

afastado, a deformação concentra-se nas zonas menos rígidas e anteriormente fendilhadas. Assim, é

natural que, devido às maiores tensões no betão na zona de ligação, se venham a formar fendas

suplementares, com menor altura, junto à base (ver figura IV.14), situação que corresponde ao

encontrado em muitas situações práticas.

Figura IV-13 – Deformada para a situação imediatamente antes da formação da 3º fenda, ao longo do comprimento da

parede SAP2000 [48]

Figura IV-14 – Fendilhação tipo que ocorre num muro sem juntas

Na figura IV.15 apresenta-se, para os 3 casos de distribuição de armadura, os gráficos da variação de

tensão na secção central da parede, juntamente com o seu valor médio. Estes valores médios de

tensões foram indicados no gráfico da figura IV.10 para a mesma situação de variação de

temperatura, marcados naquela figura com letra de A a C.

Verifica-se em todos os casos, pelos motivos mencionados anteriormente, uma considerável variação

de tensão em altura, que diminui, no entanto, com o aumento da quantidade de armadura.

74

Figura IV-15 – Variação da tensão (azul) e valor médio (cinzento), na secção central da parede aquando da formação das fendas seguintes para: a) caso 1; b) caso 2; c) caso 3 [48]

Observa-se, também, que, de qualquer forma, a tensão máxima na secção central é de cerca de 385

Mpa para o caso 1 (armadura mínima) e de cerca de 445 Mpa para o caso 2, com armadura inferior à

mínima. Estes valores são inferiores à tensão característica de cedência (500 Mpa) mas não são

aceitáveis em termos de exigência em serviço, pois os valores das aberturas de fendas expectáveis,

com tensões desta ordem de grandeza, podem tomar valores não admissíveis em termos de

durabilidade, aspecto e/ou estanquidade.

Para valores mais exigentes de abertura de fendas, com o fim de assegurar boas características em

termos de estanquidade (reservatórios analisados no capitulo IV), Teixeira [48] concluiu que poderiam

ser necessárias quantidades de armaduras superiores às do caso 3. Apesar desta constatação, o

mesmo autor admitiu que, o facto de se poder ter o processo de formação de fendas com esforços

axiais inferiores aos da fórmula da armadura mínima para deformações impostas, permite assegurar,

determinados níveis de exigências, com menores quantidades de armadura.

Em ambos os estudos concluiu-se que com a formação de fendas transversais, e consequente perda

de rigidez, as tensões nas armaduras tomam valores inferiores àqueles que teriam se de facto se

tratasse de uma situação típica de tirante, na qual se baseia a expressão base de estimativa da

armadura mínima ou de avaliação do nível de tensão para o caso da deformação imposta. Verificou-

se, de facto, que o nível de tensões nas armaduras, nas secções previamente fendilhadas é inferior à

tensão de cedência do aço, mesmo para o caso em que se adopta uma quantidade de armadura

inferior à mínima definida para o caso do tirante, em termos complementares.

75

4.2. Abordagem de acordo com anexo M do Eurocódigo 2 – parte 3 [25]

No anexo M do EC2 - parte 3 [25] são tratadas a retracção e os movimentos de origem térmica inicial

devido ao arrefecimento dos elementos durante os dias imediatamente a seguir à betonagem. Neste

anexo a situação (b) (restrição ao longo do bordo) enquadra-se no estudo efectuado neste capítulo.

Esta situação ocorre por exemplo quando uma parede é betonada sobre uma laje de base rígida já

existente (ver figura IV.16) como já referido.

Figura IV-16 – Deformações impostas de um muro longo de betão armado restringido na base

Para esta situação, este anexo recomenda que pode ser feita uma avaliação razoável da largura de

fendas substituído o valor de (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 ) dado pela expressão III.34 pela expressão IV.2.

𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 = 𝑅𝑎𝑥 𝜀𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 = 𝜀𝑟 (IV.2)

em que:

𝑅𝑎𝑥 é o factor que define o grau de restrição axial exterior devido aos elementos ligados à parede

considerada e pode ser avaliado pela figura IV.17.

76

Factores de restrição

horizontal para a zona

central das paredes

Relação L/H Factor restrição

na base

1 0,5

2 0,5

3 0,5

4 0,5

>8 0,5

1 - Factor restrição vertical

2 - Factor restrição horizontal

3 - Juntas de dilatação

4 - (o maior dos valores)

5 - Fendas primárias

e 𝜀𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 é a extensão que ocorreria se o elemento tivesse totalmente livre

Neste caso, a formação de uma fenda apenas influencia a distribuição local de tensões, e a sua

abertura é função da extensão impedida e do grau de restrição.

Este anexo é um pouco vago na definição de 𝜀𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 mas no livro CIRIA C660 - Early-age thermal crack

control in concrete [5] de 2007 e na British Standard 8007:1987 - Design of concrete structures for

retaining aqueous liquids – anexo (a) [9] esta formulação encontra-se bem explicada.

No documento CIRIA C660 [5] onde se faz referência ao EC2 - parte 3 [25] apresenta-nos a seguinte

formula para idade precoce do betão (≈3 dias):

𝜀𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 (IV.3)

E para longo prazo (assumindo que se encontra fendilhada):

𝜀𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 + 𝛼𝑐𝑇2𝑅2 + 𝜀𝑐𝑑𝑅3 (IV.4)

onde:

Figura IV-17 – Factores de restrição para situações correntes [25]

77

T1 é a diferença entre a temperatura de pico e a temperatura média do meio ambiente. Esta

temperatura tem em conta a conta o arrefecimento do betão após as reacções químicas de

hidratação do cimento, que são exotérmicas e libertam calor. Como já se referiu a propósito da

retracção térmica (subcapítulo 2.3.1) esta temperatura chega ao seu ponto máximo 1 a 2 dias após

betonagem, e depende de vários factores enumerados nesse subcapítulo, entre eles: dosagem de

cimento, tipo de confragem e sua espessura, dimensão do elemento e temperatura do meio

ambiente. No livro CIRIA C660 [5] encontra-se bem avaliada esta temperatura para os diferentes

casos. Como exemplo temos a seguinte tabela:

Tabela IV.4 – Valores de T1 (⁰C) para diferentes classes de resistência de betão e para diferentes espessuras de

cofragem metálica e de madeira (mm). Neste quadro assume-se que foi usado o CEM I

𝛼𝑐 é o coeficiente de dilatação térmica do betão (≈ 10−5)

𝜀𝑐𝑎 é a retracção endógena do betão (para idade precoce do betão aos 3 dias e para longo prazo aos

28 dias)

𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 restrição a curto, médio e longo prazo. Estes valores são, em geral, propostos como

sendo iguais a 0,5 – ver figura IV.17. Este valor é conservativo pois estes são indicados normalmente

entre os 0,26 - 0,46, como descrito no CIRIA C660 [5].

𝑘1 tem em conta o efeito da fluência e é igual a 1 (pois no valor de R dado pela figura IV.17 do EC2 –

parte 3 [25] já se encontra o efeito da fluência). O efeito da fluência proposto é igual a 0,65

(recomendado pelo CIRIA C660 [5]) pelo que, no fundo, o valor da restrição R seria igual a 0,8

(R = 0.5/0.65 ≈ 0.8).

𝜀𝑐𝑑é a retracção de secagem do betão

𝑇2 é a queda da temperatura a longo prazo (≈20ºC). A fundação é enterrada e irá responder a

condições ambientais mas mais lenta do que a parede.

78

Para haver fendilhação tem que existir a seguinte relação:

𝜀𝑟 > 𝜀𝑐𝑡𝑢 (IV.5)

em que 𝜀𝑐𝑡𝑢 é a extensão máxima do betão em tracção.

O EC2 – parte 3 [25] não tem em conta o facto de a secção depois de fendilhar ter uma extensão de

tracção residual no betão, que não contribui para a abertura de fendas. Assim como indicado no livro

CIRIA C660 [5] podemos ter a seguinte expressão:

𝜀𝑐𝑟 = 𝜀𝑟 − 0,5𝜀𝑐𝑡𝑢 (IV.6)

Ou

𝜀𝑐𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 + 𝛼𝑐𝑇2𝑅2 + 𝜀𝑐𝑑𝑅3 − 0,5𝜀𝑐𝑡𝑢 (IV.7)

Onde:

𝜀𝑐𝑡𝑢 =𝑓𝑐𝑡𝑚𝐸𝑐𝑚

≈ 0,7 × 10−4 para idade precoce do betão (IV.8)

e 𝜀𝑐𝑡𝑢 =𝑓𝑐𝑡𝑚𝐸𝑐𝑚

≈ 1 × 10−4 para longo prazo (IV.9)

Pode-se supor que, depois de fendilhar a extensão residual média no betão vai equivaler a metade da

extensão de tracção do betão (ver figura IV.18).

Figura IV-18 – Distribuição de extensões no aço e no betão após a fendilhação.

Este caso de restrição ao longo de um bordo apresenta fendas menores do que o caso de restrição

de um elemento nas suas extremidades pois, como se referiu, neste caso a formação de uma fenda

apenas influencia localmente distribuição de tensões.

Assim, considerando o caso comum de uma parede sobre uma base rígida, quando uma fenda

ocorre, o alívio de tensão na parede é transferido para a base por corte, bastando para isso que a

parede possua a armadura mínima de tracção. Embora haja alguma redução na rigidez local devido à

fenda, a uma pequena distância da fenda as tensões não serão afectadas e mais fendas se poderão

εsm

εc

εs

εcm≈ 0.5 εctu

ε = 0

εctu

εsmaxa

79

formar. Assim, mesmo numa secção sem armadura, existe alguma distribuição de fendas. O EC2 -

parte 1 [24] recomenda que, nas condições em que a área de armadura não cumpra os requisitos

mínimos, o espaçamento máximo da fenda seja assumido como 1,3 vezes a altura da parede. Ora

esta característica de comportamento difere de forma significativa da situação do tirante (caso (a) do

anexo M do EC2 - parte 3) onde, numa secção com armadura inferior à mínima, não se podem formar

fendas adicionais, como se analisou no subcapítulo 3.1.1.

No caso de uma restrição ao longo do bordo, a fenda tenderá a aparecer quando a tensão de tracção

exceder pela primeira vez a resistência à tracção do betão, e a extensão restringida adicional irá

afectar apenas a abertura da fendas naquela zona.

4.3. Análise das abordagens

A abordagem à problemática das deformações impostas impedidas efectuada nos subcapítulos 4.1 e

4.2 não têm em conta a sobreposição de efeitos, considerando o efeito isolado das deformações

impostas. A situação prática a ser abordada no capítulo VI, de uma parede sujeita ao impulso

simultâneo da água e das deformações impostas não está clara na regulamentação actual, havendo

alguns estudos dessa avaliação. No entanto, as abordagens aqui descritas dão-nos boas indicações

do funcionamento das paredes às deformações impostas.

Na abordagem efectuada por Luís [38] e Teixeira [48] aferiu-se que com o crescimento da

deformação imposta, na zona das fendas anteriormente formadas, o nível de esforço axial nunca

retoma o valor correspondente ao de fendilhação, Ncr, tomando antes valores máximos da ordem de

grandeza de metade de Ncr, o que permite aceitar como razoável a indicação do anexo M do

Eurocódigo 2 – parte 3 [25] que refere a utilização de apenas uma armadura mínima de tracção.

Realçou-se que, mesmo sem armadura mínima, existe no caso das paredes sempre uma

possibilidade de haver uma distribuição de fendas, o que difere da forma significativa para o caso da

restrição de um elemento nas suas extremidades.

Como Teixeira [48] concluiu, ao contrário do que se verifica no modelo não fendilhado, na secção

central a distribuição de tensões nas armaduras não é uniforme, mas antes aumenta de baixo para

cima ao longo da altura da parede. Este comportamento deve-se à restrição na base da parede, que

faz com que as aberturas tendam a ser maiores no topo (ver figura IV.13). Assim, o modelo utilizado

por Teixeira [48], com impedimento total da deformação na base faz com que a deformação imposta

na base seja absorvida, no essencial, numa fendilhação distribuída na ligação por corte à base e, na

zona superior, estando o efeito de restrição mais afastado, a deformação concentra-se nas zonas

menos rígidas e anteriormente fendilhadas com um comportamento mais próximo de um tirante. Esta

interpretação vem no sentido de explicar que, se venham a formar fendas suplementares, com menos

altura, junto à base (ver figura IV.14), situação que corresponde ao encontrado na prática.

80

Em conclusão e como se pode observar pela figura IV-19 acha-se que a abordagem do EC2 – parte 3

[25] deve ser efectuada para as fendas com menos altura, junto á base, em que o cálculo destas

depende apenas da extensão do betão para distâncias pequenas entre fendas sendo a restrição axial

dada pela resistência ao corte na ligação. Já para zona superior deve ser utilizada a abordagem

efectuado por Luís [38] e Teixeira [48], ou seja, o cálculo do EC2 – parte 1 [24] pois aqui a abertura

de fendas, depende da tensão na armadura, de uma forma equivalente ao do tirante.

Figura IV-19 – Análise individual dos dois modelos presentes numa parede (a) e modelo da zona superior que se comporta como um tirante (b).

Tirante (EC2 - PARTE 1)

Restrição na base

(Anexo M: EC2 – parte 3)

81

V. Análise de sobreposição de cargas com deformações impostas

Neste capítulo faz-se um enquadramento do comportamento de um elemento de betão estrutural,

quando, no essencial, está sujeito à acção de deformações impostas axiais quando sobrepostas a

situações de flexão devido a cargas verticais. Refira-se que estas são notoriamente situações

correntes em que os efeitos das deformações impostas se sobrepõem aos efeitos das acções

verticais, em particular das cargas com carácter de permanência.

5.1. Considerações Iniciais

A análise dos efeitos das acções quer sejam directas ou indirectas, não deve ser realizada de forma

separada, mas sobrepondo esses dois tipos de efeitos, pois, como se analisou anteriormente, o nível

das tensões induzidas pelas deformações impostas dependem da rigidez e, como os esforços

introduzidos pelas acções directas provocam a fendilhação do betão estrutural, os esforços

provocados pelas deformações impostas diminuem numa situação de sobreposição de efeitos.

Na situação de sobreposição a questão que se coloca é saber se a quantidade de armadura

necessária para verificar a segurança à rotura, considerando só as cargas, é suficiente para garantir

boas características de comportamento em serviço, considerando agora também as acções

indirectas. A adopção de uma armadura mínima de tracção terá condições para responder

eficientemente às acções das deformações impostas axiais, mas será suficiente para as situações de

sobreposição de efeitos? Na regulamentação mais recente verifica-se que a definição da armadura

mínima para as deformações impostas depende exclusivamente do nível máximo de esforço axial

que se desenvolve para aquelas acções, não se colocando directamente a situação de sobreposição

de efeitos, apesar de estar implícita a necessidade de, nesses casos, controlar a abertura de fendas.

As situações, que se apresentam no próximo subcapítulo, são as de sobreposição de efeitos de uma

deformação imposta axial e de cargas perpendiculares à estrutura.

5.2. Deformação imposta axial, com sobreposição de cargas verticais ao plano

Numa estrutura de betão armado quando existe restrição à deformação livre nos pisos dos edifícios a

situação mais comum é a de ocorrer a sobreposição do efeito da flexão provocada por cargas

verticais com deformações impostas axiais, conforme a figura V.1 exemplifica. Também no caso

analisado no capítulo VI de reservatórios existe esta sobreposição ou seja, a restrição à retracção das

paredes do reservatório juntamente com os efeitos de flexão devido ao impulso horizontal da agua.

De referir, que os efeitos das acções indirectas são consideradas, em geral, as mais desfavoráveis no

que concerne ao comportamento em serviço do betão estrutural.

82

Figura V-1 – Sobreposição de uma deformação imposta axial com cargas verticais [47]

Numa estrutura hiperstática, a sobreposição dos efeitos de um esforço normal (independentemente

do sinal) e de um momento flector por soma directa de efeitos é valida na fase elástica, isto é, desde

que não haja formação de fendas. A fissuração embora introduza uma alteração localizada da

distribuição de tensões, na zona de formação da fenda, afecta o comportamento global do elemento,

ao modificar a distribuição de rigidezes. Portanto, se pretender realizar a sobreposição de efeitos esta

deve ser considerada como aproximação, tendo em consideração, de uma forma mais ou menos

directa, os efeitos da fendilhação no comportamento conjunto.

O comportamento global de um elemento de betão estrutural à flexão apresenta diferenças, caso se

sobreponha a esse efeito, o de esforço normal de compressão ou de tracção, como é indicado nos

gráficos da figura V.2. Se um efeito de compressão aumenta o esforço de fendilhação, a rigidez do

elemento e o momento de cedência, um esforço axial de tracção tem precisamente o efeito contrário.

Também para o mesmo momento, a curvatura da peça é maior no caso de um esforço normal de

tracção do que para um de compressão.

Figura V-2 – Comportamento à flexão simples e composta com esforço axial constante [10]

83

De facto, o efeito de compressão é, até níveis baixos a moderados, favorável ao comportamento

estrutural de um elemento de betão, sendo esta a situação que se verifica em elementos pré-

esforçados.

O efeito de tracção axial devido às deformações impostas, embora seja pouco referido, em termos de

regulamentação, ocorre em sobreposição com o efeito de flexão devida às cargas. Esta situação

surge quando, à flexão, por acção do peso próprio e restantes cargas permanentes numa laje ou

devido ao impulso hidrostático da água nas paredes de um reservatório, se sobrepõe um efeito axial

devido a uma restrição à livre deformação por retracção ou variação uniforme de temperatura. Esse

efeito de tracção que, diga-se, pode, nalguns casos, ser devido a cargas, é desfavorável para as

características da resposta do elemento estrutural. No entanto, a sua consideração, nos casos de

sobreposição de acções directas e indirectas, tem sido pouco realçada até recentemente, nos

regulamentos e na prática do projecto estrutural.

Assim, se, por um lado, o esforço axial de tracção afecta as características da relação M - 1/Rm, por

outro lado, a presença de flexão, modifica alguns aspectos do comportamento N - ɛm. Em particular,

este aspecto é importante para a situação da sobreposição, de um efeito axial, devido a uma

deformação imposta, à flexão devido às cargas, que, em geral, actuam primeiro.

Na figura V.3 apresenta-se uma comparação entre o comportamento de uma viga de betão armado à

tracção solicitada por uma deformação imposta crescente, de origem externa e interna, sobreposta

aos efeitos de flexão de cargas verticais.

Figura V-3 – Deformação imposta externa e interna, sem e com sobreposição de efeitos [37]

Pode observar-se que, a sobreposição do efeito da deformação imposta à flexão devido às cargas

verticais, faz diminuir os esforços axiais que se desenvolvem, quer a deformação seja interna ou

externa ao betão. Esta diminuição do valor do esforço axial é mais significativa para níveis mais

84

baixos e correntes da deformação imposta. Também se pode observar que o elemento estrutural

fendilhará para um valor de esforço axial inferior ao de fendilhação (em tracção pura) dado por:

𝑁𝑐𝑟 ,1∗ = 𝐴𝑒𝑓 × 𝑓𝑐𝑡 −

𝑀𝐶𝑃

𝐼. 𝑥 (V.1)

Em estado não fendilhado, o incremento de esforços devido às acções indirectas, corresponde aos

valores de cálculo elástico, quanto muito tendo em conta o efeito da fluência, se a acção se

desenvolver ao longo do tempo. No entanto, se houver zonas em estado fendilhado, os incrementos

de esforços não poderão ser avaliados de forma elástica, pois esta não contempla a menor rigidez da

peça naquela situação, que faz com que os incrementos globais de esforços sejam inferiores. Este

aspecto diferencia a actuação das deformações impostas do efeito das cargas, pois para estas o

comportamento não linear interfere na distribuição de esforços entre zonas da estrutura, mas não

numa redução global de esforços.

As indicações para ter, na fase de dimensionamento, como orientação, na análise destas situações,

são apresentadas no subcapítulo 5.3

5.3. Critérios de dimensionamento propostos

5.3.1. Deformação imposta isolada

Para situações de deformação imposta axial actuando isoladamente, em geral, pode-se considerar

que o esforço axial gerado será sempre inferior ou igual ao esforço de fendilhação, ou seja:

𝑁𝑑𝑖 ≤ 𝑁𝑐𝑟 (V.2)

Para uma melhor explicação sobre este aspecto, analisemos a título de exemplo a actuação de uma

extensão imposta com valor de 0,3‰. Conforme se observa na figura abaixo, se o esforço normal

provocado pela deformação fosse obtido por um cálculo elástico, Nel, resultaria um valor bastante

superior ao que realmente se verifica para aquela extensão (que é o de 𝑁𝑐𝑟 )

85

Figura V-4 – Comparação de esforços elásticos com os esforços resultantes de uma deformação imposta

Isto verifica-se pois o início da fendilhação ocorre, para valores médios das características do betão,

para uma extensão de 0,1‰ e, tendo em conta que a deformação imposta axial normalmente não

ultrapassa o valor da ordem de 0,5 a 0,7‰, os elementos estruturais encontram-se usualmente na

fase de formação de fendas, como já referido no subcapítulo 3.1.2. Assim, e como em geral a

deformação imposta actuando isoladamente não atinge a fendilhação estabilizada, o esforço máximo

gerado por essa acção corresponde ao que é necessário para a formação de uma nova fenda e é

muito inferior ao que resultaria de uma análise elástica. Esse esforço máximo é da ordem de

grandeza dos esforços de fendilhação e, consequentemente é independente do valor da acção

imposta. Logo, para valores de extensão imposta da ordem de 0,1‰ a 1,0‰, o esforço axial devido à

actuação isolada da deformação imposta corresponde ao esforço de fendilhação, Ncr (ver expressão

IV.2), que deve portanto ser adoptado na avaliação do comportamento em serviço.

Já no caso da retracção do betão, deformação imposta interna, para garantir a não plastificação da

armadura poder-se-ia utilizar um valor inferior para o esforço axial, da ordem de 0,80 a 0,90Ncr.

Conclui-se então que na situação de deformação imposta isolada, o nível de esforço a usar na

definição de uma quantidade de armadura que garanta a não plastificação da armadura (valor

mínimo) ou um limite adequado de abertura de fendas, é menor ou igual ao de fendilhação.

5.3.2. Deformação imposta em paredes laterais

Em relação às paredes de muros de suporte ou de depósitos, como se pôde observar no capítulo IV

se o objectivo é garantir o critério da não plastificação da armadura, os estudos realizados, e aqui

referidos, indicam, eventualmente, poder utilizar-se quantidades de armadura inferiores às que são

obtidas pela expressão regulamentar do EC 2 (ver expressão III.13).

86

Luís [38] sugeriu, caso o objectivo seja o de limitar a abertura característica de fendas a um

determinado valor, adoptar para esforço axial o valor resultante dos índices da tabela IV.2, sendo

que, em alternativa, e conservativamente, poder-se-á utilizar 2/3fct,effAct e 1/2fct,effAct, para

deformações impostas externas e internas, respectivamente. O mesmo autor concluiu que para a

situação de deformação imposta interna deve ser usada para o cálculo da extensão relativa média na

avaliação da abertura de fendas, a seguinte expressão:

𝜀𝑠𝑟𝑚 = 𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 + 𝜀𝑐𝑠 (V.3)

Refira-se, o facto de se considerar o termo adicional da retracção livre do betão à deformação relativa

aço/betão devido ao estado de tensão, tem sentido físico, para além de que, como se viu no

subcapítulo 3.1.4, apesar das menores tensões no aço, nos casos de deformação imposta interna, se

obtêm aberturas de fendas da mesma ordem de grandeza da deformação imposta externa.

5.3.3. Sobreposição de cargas com deformações impostas axiais

Os esforços normais devidos às deformações impostas em condições de serviço, no caso da

sobreposição de efeitos com cargas verticais ao plano, devem ser obtidos por meio de uma

percentagem dos esforços elástico, o que pode ser descrito da seguinte forma, considerando o

coeficiente de comportamento 𝜉, tal que:

𝑁𝑑𝑖 = 𝜉 𝑁𝑑𝑖𝑒𝑙á𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚 𝜉 < 1,0 (V.4)

Para as deformações impostas axiais sobrepostas a cargas, para efectuar o cálculo das tensões nas

armaduras e/ou abertura de fendas, a principal variável a definir para análise do comportamento em

serviço é o valor de esforço axial, a combinar com o momento flector devido às cargas permanentes

ou quase permanentes. Verificou-se que a quantificação desse esforço axial é sensível na análise de

tensões. Uma vez que este valor depende de vários factores, Luís [37], considerou duas relações,

adaptadas às situações de deformação imposta exterior e interior, respectivamente dadas por:

𝑁𝛥𝑇 = 𝜉𝛥𝑇 × 𝑁𝑐𝑟 (V.5)

𝑁𝑐𝑠 = 𝜉𝑐𝑠 × 𝑁𝑐𝑟 (V.6)

Há que notar que o estudo desenvolvido por Luís [37] foi restrito, não tendo considerado toda a

variabilidade de factores que influenciam a resposta estrutural (como percentagens de armadura e a

sua distribuição nos elementos, condições de fronteira etc), sendo discutível estabelecer critérios

gerais de dimensionamento. Apesar disso, o referido autor conseguiu clarificar alguns aspectos

importantes do comportamento estrutural nas situações de sobreposição e até mesmo considerou

possível fornecer indicações muito credíveis para a avaliação do esforço axial devido às deformações

impostas naquelas situações.

87

Assim, Luís [15,37] propôs os coeficientes 𝜉𝛥𝑇 e 𝜉𝑐𝑠 , definidos em função da percentagem de

armadura e do nível de extensão imposta. Os valores propostos para esses coeficientes são

apresentados na tabela seguinte:

ρ (%) Deformação imposta externa Deformação imposta interna

0,20‰ 0,30‰ 0,50‰ 0,20‰ 0,30‰ 0,50‰

0,50 0,40 0,55 0,65 0,40 0,45 0,50

0,80 0,50 0,60 0,70 0,40 0,40 0,45

1,00 0,55 0,60 0,80 0,35 0,35 0,40

Tabela V.1 – Coeficientes de redução de esforço axial de fendilhação para uma deformação imposta axial [15]

Como se pode observar, o coeficiente de redução não varia muito com as diferentes percentagens de

armadura e, como tal, Luís [15] propôs, para um certo patamar de simplificação, valores únicos

correspondentes ao caso de 𝜌=0,80%.Um nível de aproximação maior seria tomar 𝜉 igual a 0,6 ou 0,4

(deformação imposta externa e interna, respectivamente) independentemente do valor da deformação

imposta e quantidade de armadura.

Para a verificação ao estado limite de fendilhação para deformações impostas é necessário

considerar dois critérios de dimensionamento: a garantia de não plastificação da armadura e o critério

de controlo da abertura de fendas.

Com o primeiro critério a questão da limitação da abertura de fenda máxima não tem uma exigência

quantitativa, mas assegura-se a não formação de uma fenda com abertura não controlada, sendo

exigido que no processo de fendilhação nenhuma das armaduras, atinja a cedência, ou seja, que haja

capacidade de formar outras fendas. O segundo critério, é claramente mais exigente, pretendendo-se

limitar a abertura de fenda a valores mais restritos, por exemplo a 0.2 ou 0.4 mm.

Para o dimensionamento de uma situação de sobreposição de efeitos, com a actuação de uma

variação de temperatura, deve-se aplicar o coeficiente de redução 𝜉𝛥𝑇 , apresentado na tabela V.1.

Porém, para uma situação idêntica, mas considerando unicamente o efeito da retracção, sugere-se a

aplicação do coeficiente 𝜉𝑐𝑠 , apresentado na mesma tabela.

Contudo, serão poucas as situações em que não seja necessário considerar aquelas duas

deformações impostas conjuntamente. Para esse caso é expectável que o nível de esforço axial seja

intermédio, respeitando uma certa proporcionalidade em relação à grandeza de cada acção. Para

estas situações propõe-se, então, que se tome uma valor intermédio, por interpolação dos valores 𝜉𝑐𝑠 ,

e 𝜉𝛥𝑇 , respeitando a referida proporção, ou simplificando, tomar 𝜉=0.5.

88

Caso se pretenda fazer a avaliação da abertura de fendas para uma situação de variação de

temperatura, de retracção ou de sobreposição pode-se recorrer a uma expressão geral do tipo da

III.38, sugerida por Favre et al [27], que contempla a parcela de deformação livre do betão:

𝑊𝑚 = 0,7 × 𝑙0 × 𝜀𝑠2𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 +𝛥𝑇+𝑐𝑠

+ 𝜀𝑐𝑠 para 𝑁 = 𝑘𝜉𝛥𝑇 + 1 − 𝑘 𝜉𝑐𝑠 × 𝑁𝑐𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ 0,1 (V.7)

sendo k um coeficiente de ponderação da importância relativa da retracção e da variação de

temperatura que serve para estimar o valor de N para calculo de 𝜉𝑠2.

Como alternativa, e de forma mais directa e simples, pode considerar-se ambas as extensões

impostas como sendo exteriores ao elemento, recorrendo-se somente ao coeficiente 𝜉𝛥𝑇 . Esta

situação permite uma boa avaliação em termos da avaliação abertura de fendas. Tem-se, neste caso:

𝑊𝑚 = 0,7 × 𝑙0 × 𝜀𝑠2

𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 +𝛥𝑇𝑒𝑞 para 𝑁 = 𝜉𝛥𝑇𝑒𝑞 × 𝑁𝑐𝑟 (V.8)

em que Δ𝑇𝑒𝑞 corresponde a uma variação de temperatura equivalente, a qual contempla também o

efeito da retracção e pode ser obtida da seguinte forma:

𝛥𝑇𝑒𝑞 = 𝛥𝑇 +𝜀𝑐𝑠𝛼

com 𝛼 = 1 × 10−5 (V.9)

Definido o método proposto para avaliar o valor do esforço axial a combinar com os esforços das

cargas verticais, de modo a analisar a situação em flexão composta, importa definir como aplica-lo

numa situação de projecto. Esta é uma análise que deve ser encarada como de verificação de

tensões e/ou abertura de fendas e não de dimensionamento directo, uma vez que, para efectuar a

análise proposta deve estar definida a quantidade de armadura.

Luís [37], partindo do pressuposto que a avaliação de esforços é efectuada segundo uma análise

elástica, situação corrente em projecto, sugeriu uma metodologia de dimensionamento estrutural para

o caso da sobreposição dos efeitos de cargas e de deformações impostas axiais. A metodologia

sugerida é sintetizada nos seguintes passos:

1. Dimensionamento corrente aos Estados Limites Últimos sem consideração das deformações

impostas;

2. Colocação de pelo menos uma armadura mínima de tracção, nas zonas onde se possa prever que

o efeito de restrição às deformações impostas é importante;

Definida uma distribuição de armaduras, deve-se então efectuar a análise de tensões, tendo em

conta a sobreposição de efeitos, tal que:

1. Para as cargas verticais considera-se, em princípio, a combinação quase permanente de acções;

2. De forma a avaliar o nível de esforço axial gerado, pela restrição ao livre encurtamento deve-se

aplicar as acções indirectas (retracção e/ou variação de temperatura) no modelo estrutural, com um

89

módulo de elasticidade ajustado à natureza da acção. Os módulos de elasticidade a adoptar são

definidos, tais que:

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝛥𝑇 =

𝐸𝑐 ,28

1+𝜒𝜑𝛥𝑇 (considerando a acção como cíclica e anual, pode-se tomar como valor médio

𝜑𝛥𝑇 ≈ 1,0);

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑐𝑠 =

𝐸𝑐 ,28

1+𝜒𝜑𝑐𝑠 (considerando a acção como permanente e crescente, pode-se tomar como valor

médio 𝜑𝑐𝑠 ≈ 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠õ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑥𝑜 1 );

3. Definir alguns alinhamentos para análise de secções e avaliar em que zonas o esforço axial

elástico, combinado com o momento flector, se traduz na existência de fendilhação;

4. Definir o critério de análise para a definição do nível da redução de esforço axial a considerar.

Caso o esforço axial elástico seja superior a Ncr, aplicar o factor de redução, ξ (ver tabela V.1), ao

valor de Ncr. Caso o esforço axial elástico avaliado em 2, seja inferior a Ncr aplicar o mesmo

coeficiente de redução a esse esforço axial;

5. Proceder à análise de flexão composta em secção fissurada, definindo a adequabilidade da

percentagem de armadura colocada, de acordo com os critérios estipulados;

6. De acordo com o resultado, ajustar as quantidades de armadura definidas na primeira fase, de

forma a baixar a tensão na armadura e limitar a abertura de fendas, nas zonas indicadas pela análise.

Estas linhas gerais de orientação da verificação da segurança serão implementadas no Capítulo

seguinte.

90

91

VI. Apresentação do caso de estudo

No sentido de analisar os efeitos das deformações impostas no dimensionamento e controlo de

abertura de fendas considerou-se um caso prático de um tanque/reservatório. Neste exemplo que se

analisa de seguida, estudam-se os aspectos das deformações impostas nas paredes dos tanques

considerando situações sem cobertura e com cobertura.

6.1. Considerações iniciais

Na construção de um tanque as fundações são betonadas em primeiro lugar, e só numa fase

seguinte as paredes. As fundações ficam com uma face em contacto com o terreno, que constitui um

ambiente húmido e impede o contacto directo do betão com o ambiente exterior. Quando a parede é

betonada o betão da fundação já retraiu parcialmente, em especial a sua parcela endógena. Estes

dois factos juntamente com o facto da rigidez da fundação ser em geral maior que a da parede

originam que a retracção a longo prazo seja muito mais pequena na fundação que nas paredes.

Assim, verifica-se uma retracção diferencial restringida parcialmente pela fundação. O betão da

parede fica, então, sujeito a tensões de tracção horizontais, que poderão provocar fendas verticais

(ver figura VI.1). Estas fendas devem ser convenientemente controladas com armaduras horizontais

junto às faces do muro. Para além destas tracções horizontais há que ter em conta os efeitos de

flexão provocados pelo impulso da água nas paredes dos reservatórios que irão influenciar o estado

de tensão no betão estrutural e por consequência nas disposições e critérios de dimensionamento.

Nos reservatórios há que garantir o controlo de mais ou menos estanquidade, devendo as aberturas

de fendas ser controladas, resultando soluções com taxas de armadura que podem ser significativas.

De modo a considerar dimensões realistas para os tanques/reservatórios foram analisados os

tanques de decantação primária propostos no concurso da nova ETAR de Alcântara (ver figura VI.2).

Figura VI-1 – Efeito das deformações impostas num muro longo de betão armado restringido na base

92

Figura VI-2 – Modelo dos tanques de decantação primária propostos no concurso da nova ETAR de Alcântara

Estes tanques apresentam muitas aberturas as quais não foram consideradas de forma a simplificar,

nesta dissertação, o problema. Refira-se ainda que foram considerados não enterrados, ou seja, com

a fundação apenas apoiada no terreno. A fundação também foi considerada directa sem ser

necessário recorrer a estacas, admitindo-se assim que o terreno tem uma boa capacidade resistente

próximo da cota de fundação

Também de forma a simplificar o modelo e a comparar as diferenças considerámos apenas 4 tanques

(dois cobertos e dois sem cobertura) como podemos ver na figura VI.3. Esta simplificação implica

apenas algumas diferenças de comportamento para as deformações impostas, não significativas pelo

que se considerou como simplificação.

Figura VI-3 – Simplificação do modelo dos tanques de decantação primária propostos a concurso para a nova ETAR de Alcântara

93

Para este modelo foram considerados 4 tanques quadrados (dois cobertos e dois sem cobertura),

apresentado cada tanque uma dimensão em planta de 13,0x13,0m e uma altura de 6 m. As paredes

dos tanques descobertos têm uma espessura de 0,50m (a amarelo nas figuras VI.2 e VI.3), e as

paredes dos tanques cobertos 0,35m (a azul nas figuras VI.2 e VI.3). Estas dimensões parecem

adequadas, pois segundo uma indicação corrente de pré-dimensionamento se tem a seguinte

equação no caso das paredes sem cobertura:

𝑕 ≈𝑙

10 𝑎 12≈

6

10 𝑎 12≈ 0,6 𝑎 0,5 (VI.1)

Quando a parede tem o apoio da cobertura a sua espessura pode ser reduzida pois a deformação e o

momento máximo reduzem-se.

Para a laje de fundo esta foi considerada como variável, apresentado 0,60m de espessura junto às

paredes (a verde nas figuras VI.2 e VI.3) e 0,35m na restante laje. Esta espessura de 0,60m foi

considerada com 1 m para cada lado do centro da parede. Diminui-se a espessura da laje na zona

central pois aqui a sua função limita-se a transmitir ao solo o peso da água sobrejacente. Por último,

para a laje de cobertura foi definida uma espessura de 0,35m. Todos estes elementos (lajes e

paredes) foram modelados no SAP2000® com elementos finitos bidimensionais – “casca”.

A laje de fundo foi considerada como simplesmente apoiada, não impondo o solo qualquer tipo de

restrição horizontal à laje. Na prática existe sempre algum atrito que pode ser reduzido dispondo de

uma membrana lubrificante entre o solo e a fundação. Se fosse considerado o atrito do solo ou fosse

necessário a consideração de estacas, a laje de fundo estaria mais restringida e assim aumentaria o

efeito das deformações impostas nas paredes.

6.2. Materiais utilizados e acções consideradas

Os materiais escolhidos foram um betão C35/45 e um aço para as armaduras ordinárias de A500.

Assim, temos:

𝐁𝐞𝐭ã𝐨 𝐂𝟑𝟓/𝟒𝟓:

𝑓𝑐𝑘 = 35𝑀𝑃𝑎; 𝑓𝑐𝑑 = 23,3𝑀𝑃𝑎; 𝑓𝑐𝑡𝑘 0,05 = 2,2𝑀𝑃𝑎; 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 3,2𝑀𝑃𝑎; 𝑓𝑐𝑡𝑘 0,95 = 4,2𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑐 ,28 = 34𝐺𝑃𝑎;

𝐀𝟓𝟎𝟎:

𝑓𝑦𝑘 = 500𝑀𝑃𝑎; 𝑓𝑦𝑑 = 435𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑠 = 200𝐺𝑃𝑎

No entanto como analisado no capítulo II, as características de deformação no betão variam com o

tempo. Assim como analisado nesse capítulo os maiores valores de tensão para uma deformação

imposta de um elemento bi-encastado verificam-se para aproximadamente 4000 𝑑𝑖𝑎𝑠, tendendo a

diminuir pouco a partir daí. Apesar deste valor se verificar para uma situação de impedimento total da

94

𝐸𝑐

,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡

𝑡

× 𝜀𝑐𝑠 𝑡

(𝑀𝑃𝑎

)

deformação livre (situação rara nas obras em geral), dá uma boa referencia para o caso em estudo.

Como podemos ver no gráfico da figura II.10 o modulo de elasticidade ajustado aos 4000 dias é de:

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 𝑡 = 4000 𝑑𝑖𝑎𝑠 ≈ 15𝐺𝑃𝑎 (VI.2)

E a retracção até esse período, como podemos ver pela figura II.6, é dada por:

𝜀𝑐𝑠 𝑡 = 4000𝑑𝑖𝑎𝑠 ≈ 2,5 × 10−4 (VI.3)

Na estimativa destes valores foi adoptada uma humidade de 80%, uma espessura equivalente de

0,3m e as características do betão correspondente. De realçar que mesmo existindo paredes de

maior espessura estes valores não se alteram pois, por exemplo para uma parede de 0,5 m, o que se

verifica é que o valor máximo de tensão dá-se mais tarde como podemos ver no gráfico da figura

VI.4.

Figura VI-4 – Evolução da tensão devido á retracção para um elemento bi-encastrado com o tempo. Comparação de

um elemento com uma espessura equivalente de 500 mm e de 300 mm.

Para as fundações a retracção irá ser muito menor devido aos aspectos atrás analisados, a qual vai

ser admitida igual a:

𝜀𝑐𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎çã𝑜 = 1,0 × 10−4 (VI.4)

O módulo de elasticidade ajustado para uma acção cíclica e anual (temperatura) é como referido no

capítulo V, igual a:

𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝛥𝑇 =

𝐸𝑐 ,28

1 + 𝜒𝜑𝛥𝑇 𝑐𝑜𝑚 𝜑𝛥𝑇 ≈ 1,0 (VI.5)

95

Por se tratar de uma estrutura num ambiente exterior, há que considerar uma variação uniforme de

temperatura. O EC1 - parte 5 [23] indica duas expressões, uma para o cálculo do valor característico

da contracção, Δ𝑇𝑁 ,𝑐𝑜𝑛 = 𝑇0 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 , e outra para a expansão, Δ𝑇𝑁 ,𝑒𝑥𝑝 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇0. Em termos de

análise estrutural é mais relevante a temperatura de contracção que juntamente com a retracção

causam os efeitos mais desfavoráveis. Na falta de informação mais detalhada, o valor definido para a

temperatura inicial do elemento (𝑇0), no documento nacional de aplicação é de 15ºC. A temperatura

mínima do ar á sombra (𝑇𝑚𝑖𝑛 ) é igual a -5ºC para a maioria do território nacional. Assim, em situação

de Inverno, temos:

Δ𝑇𝑁 ,𝑐𝑜𝑛 = ∆𝑇𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 = −20º𝐶 (VI.6)

Esta variação uniforme de temperatura apenas deverá ser considerada nas paredes e na laje de

cobertura do tanque uma vez que estão expostas directamente às condições atmosféricas. As

fundações ao estarem pouco expostas a variações de temperatura climática diária ou sazonal

consideraram-se, conservativamente, nulas na análise seguinte. A temperatura diferencial,

apresentada no subcapítulo 2.3.5, não é aqui considerada, por uma questão de simplicidade, sendo

conhecido que a temperatura uniforme juntamente com a retracção geram os efeitos mais

desfavoráveis, em termos da limitação da abertura de fendas. No entanto, em termos de projecto

devem, naturalmente, ser consideradas e sobrepostas de acordo com as regras e combinações

estabelecidas. A titulo de exemplo podemos ver que se actuando uma temperatura diferencial de

10ºC, e admitindo restrição total de rotação, o efeito não é insignificante. As tensões de tracção

seriam para uma laje, iguais a:

𝜍+ =𝑀

𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑊 =

𝑕2

6 𝑒 𝑀 =

𝛼𝛥𝑇𝑑𝑖𝑓

𝑕× 𝐸𝐼 =

𝛼𝛥𝑇𝑑𝑖𝑓

𝑕

𝐸𝑕3

12(1 − 𝜈2) (VI.7)

Considerando 𝜈 = 0,2 e simplificando ficamos com:

𝜍+ =𝛼𝛥𝑇𝑑𝑖𝑓𝐸

2(1 − 𝜈2)= 0,52𝛼𝛥𝑇𝑑𝑖𝑓𝐸 (VI.8)

Adoptando E=34 GPa; 𝛼 = 10−5/º𝐶 e 𝛥𝑇𝑑𝑖𝑓 = 10º𝐶 (30ºC exterior e 20ºC no interior) teríamos:

𝜍+ = 1,77 𝑀𝑃𝑎 (VI.9)

Este valor já é relevante face aos valores de tensão de resistência à tracção do betão. Em rigor o

momento gerado pela temperatura diferencial deve-se sobrepor ao momento gerado pelo impulso da

água aliviando o momento nas ligações com outras paredes (momento negativo) e aumentando o

momento entre as ligações (momento positivo). Assim, a única consequência da não consideração da

temperatura diferencial neste trabalho resume-se a subestimar o momento positivo, considerando-o

apenas igual ao impulso da água. Comparando também a tracção devida a uma variação de

temperatura uniforme e uma temperatura diferencial verifica-se que a primeira actua em toda a

secção provocando tracções muito mais significativas.

96

A acção de carga mais importante é o impulso estático que é exercido sobre as paredes e a laje de

fundo pelo fluido armazenado no tanque dependendo do peso volúmico do próprio fluido (𝛾). Na

tabela VI.1 apresentam-se valores usuais da massa volúmica de diversos fluidos (𝜌 = 𝛾/g).

Fluido ρ (ton/m3)

Água potável 1000

Águas residuais 1050 a 1100

Álcool 780 a 820

Azeite 920 a 970

Cerveja 1020 a 1040

Gasolina 750 a 810

Leite 1030

Petróleo 780 a 950

Vinho 950 a 1000

Tabela VI.1– Massa volúmica de alguns líquidos [31, 41]

Neste caso considerou-se o 𝜌 = 1000𝑡𝑜𝑛/𝑚3 ou seja, 𝛾𝑎 = 10𝐾𝑁/𝑚3.

O impulso estático é dado por:

𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 = 𝛾 × 𝑕 (VI.10)

sendo γ o peso especifico do material armazenado dado por γ=ρ×g

Para a análise de cada parede, e como se trata de vários tanques, analisou-se a distribuição mais

desfavorável de fluido pelos diversos compartimentos. Este aspecto será examinado mais á frente, no

entanto, refere-se, desde já, que considerar todos os compartimentos cheios pode não ser o caso

mais desfavorável. Há também que referir que se fossem considerados os tanques como enterrados,

seria necessário considerar o impulso lateral do terreno nos tanques em contacto com este. Estes

tanques seriam considerados vazios, actuando apenas o impulso lateral do terreno pois seria,

naturalmente, um caso de carga condicionante.

As restantes acções foram consideradas da seguinte forma:

Sobrecarga: 4𝐾𝑁/𝑚2

Peso próprio betão armado: 𝛾𝑐 = 25𝐾𝑁/𝑚3

Segundo o EC 0 [22] deve-se usar a combinação quase permanente para análise dos efeitos a longo

prazo, dada pela equação VI.11.

𝐺𝑘 ,𝑗 " + " 𝑃 " + "

𝑗≥1

𝜓2,𝑖𝑄𝑘 ,𝑖

𝐼≥1

(VI.11)

Assim, para a análise do comportamento em serviço nas paredes considera-se a seguinte

combinação de acções:

𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑜 + 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 + 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑐çã𝑜 + 𝜓2 .∆𝑇 Com 𝜓2 = 0,5 (VI.12)

97

6.3. Qualidade do betão para assegurar uma boa estanquidade

O betão deve ser suficientemente compacto e ter características de estanquidade necessárias,

através de uma adequada combinação dos seus componentes, cuidados na colocação em obra e

processo de cura. A análise das melhores características do betão para o caso em estudo foi

efectuada segundo as seguintes referências bibliográficas [16, 18, 42, 48].

A permeabilidade do betão depende de vários factores:

Relação água/Cimento (A/C >0.5 permeabilidade aumenta muito, ver figura VI.5 a);

Qualidade da cura do betão (ver figura VI.5 b));

Dosagem do cimento (uma dosagem de 300 kg/m3 é normalmente suficiente para se obter

um aceitável nível de permeabilidade);

Da figura VI.5 a) podemos ver que a razão água-cimento (A/C) é o parâmetro que mais influencia as

propriedades do betão. Quanto maior for o seu valor, mais porosa e permeável é a pasta de cimento,

tornando o betão também menos resistente e mais sensível à acção dos agentes agressivos que

originam a deterioração das estruturas.

Geralmente para casos de ambiente muito agressivo ou elevado grau de exigência de estanquidade,

utiliza-se um betão de melhor resistência, fck≥35 MPa com cimento combinado com escoria de alto

forno ou pozolanas naturais e baixas relações de água cimento (A/C≤0.5), típicas de betões com boa

resistência (uma dosagem de ligante superior a 500 kg/m3).

Figura VI-5 – a) Variação da permeabilidade com A/C; b) Variação da permeabilidade com os aditivos e a qualidade de

cura [18,48]

98

Da observação da figura VI.5 b) conclui-se que, com os cimentos combinados com pozolanas ou

escórias de alto forno, pode conseguir-se uma permeabilidade muito mais baixa do que com o

cimento portland, isto se a cura for boa. Pelo contrário, se a cura for defeciente, as características de

permeabilidade podem ser piores do que com cimento Portland.

Assim, e avaliando os cimentos correntes em Portugal, deve utilizar-se o cimento Portland de

Calcário (CEMII/A-L 42,5 R ou CEMII/B-L 42,5 R), ou o cimento Pozolânico (CEM IV/A (V) 32,5R)

como podemos ver nos anexos 4 a 8. No anexo 5, podemos ver a diferença em termos de

constituintes dos diversos tipos de cimento. Nos cimentos CEMII/A-L e CEMII/B-L é adicionado filer

de calcário ao clinquer, sendo maior a quantidade de calcário no cimento CEMII/B-L. Nesse caso, o

cimento CEMII/B-L terá de ser de uma classe de resistência superior ao cimento CEMII/A-L, se se

quiser ter a mesma resistência inicial. Isto porque, este último, como tem menos calcário e mais

clinquer, apresenta melhor resistência inicial. Este aumento de resistência consegue-se reduzindo a

relação a/c ou adicionando mais cimento.

O calcário tem um efeito benéfico nas seguintes propriedades do betão: trabalhabilidade, menor

permeabilidade, exsudação, menor calor de hidratação e atenua, ainda, a tendência para fendilhar.

No que diz respeito ao cimento pozolânico, ao clinquer é adicionado sílica de fumo, pozolanas e

cinzas volantes. As adições com propriedades pozolânicas, isto é, as que apresentam reactividade

com o hidróxido de cálcio, ao reagirem com este composto libertado nas reacções de hidratação do

cimento, dão origem a silicatos de cálcio hidratados semelhantes aos produzidos pelo cimento

portland. A pasta de cimento endurecida apresenta, desta forma, um maior teor de silicatos de cálcio

hidratados e um menor teor de hidróxido de cálcio, melhorando a sua compacidade e aumentando a

sua resistência à deterioração.

Os cimentos com adições apresentam, em geral, menores resistências iniciais, mas a prazo (3 – 6

meses) exibem:

Maiores resistências mecânicas, em resultado da sua maior compacidade e do maior teor em

silicatos de cálcio;

Maior resistência ao ataque químico devido à menor porosidade;

Menor teor em hidróxido de cálcio;

Maior resistência à penetração de cloretos.

Refira-se que com a utilização de sílica de fumo o problema da redução de resistência inicial é

eliminado devido à elevada finura deste material e à sua elevada reactividade. Em resumo, com estes

cimentos com adições consegue-se reduzir o calor de hidratação, contrariar a fendilhação nas

primeiras idades do betão, reduzir a permeabilidade e reduzir a retracção.

De realçar que o calor de hidratação é muito elevado em betões de elevada resistência pois estes

tem uma grande quantidade de cimento, responsável por esta libertação de calor e que a sílica de

fumo também é favorável nesta vertente.

99

Esta análise das propriedades do betão terá uma enorme importância nas primeiras idades do betão,

e será tratada no subcapítulo 6.7, através da regulamentação já exposta no subcapítulo 4.2 (anexo M

do EC2- parte 3 [25]).

6.4. Recobrimento

As paredes dos tanques foram consideradas com a classe de exposição XC4 de Acordo com a EN

206-1 [26]. Esta classe de exposição é recomendada para ambientes alternadamente húmidos e

secos como é o caso dos tanques em estudo. O recobrimento é definido no EC2 [24] por:

𝐶𝑛𝑜𝑚 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 + ∆𝑐𝑑𝑒𝑣 (VI.13)

𝐶𝑚𝑖𝑛 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝐶𝑚𝑖𝑛 ,𝑑𝑢𝑟 𝑒 é 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜:

e ∆𝑐𝑑𝑒𝑣 é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑐𝑢çã𝑜 𝑒 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 10𝑚𝑚

Assim, para um tempo de vida útil de projecto 50 anos (classe estrutural S4) e para classe de

exposição XC4, temos:

𝐶𝑛𝑜𝑚 = 40 𝑚𝑚 (VI.14)

6.5. Esforços nas paredes exteriores e validação do modelo

Neste capítulo referem-se alguns aspectos importantes no domínio da análise estrutural de

reservatórios. O desenvolvimento dos meios de cálculo automático permite hoje em dia analisar com

“rigor” o comportamento de estruturas complexas. No entanto, é possível cometer erros na definição

dos modelos numéricos e faltar capacidade de análise dos resultados obtidos, assumindo então

valores sem sentido. Desta forma, é fundamental possuir conhecimentos consistentes no domínio do

Tabela VI.2 – Valores do recobrimento mínimo, Cmin,dur requisitos relativos à durabilidade das armaduras

para betão armado, de acordo com a EN 10080 [24]

– Valores do recobrimento mínimo, Cmin,dur requisitos relativos à durabilidade das armaduras para betão armado, de acordo com a EN 10080 [24]

100

comportamento estrutural, para conceber bem as estruturas, definir modelos numéricos ajustados aos

problemas e, posteriormente, analisar os resultados com sentido crítico.

Nas paredes de reservatórios de base rectangular com pequena área em planta e grande altura, o

efeito de encastramento na laje de fundo apenas se faz sentir na base das paredes, sendo

preponderante o funcionamento no plano horizontal. Assim, a evolução dos esforços de

dimensionamento nas paredes pode ser efectuado dividindo-as em faixas horizontais, as quais

podem ser analisadas, numa 1ª abordagem, como quadros fechados sujeitos ao impulso hidrostático

correspondente (figura VI.6).

O momento flector nos vértices duma secção rectangular com lados AxB (figura VI.6) é igual a:

𝑀𝐶− =

𝜌

12

𝐴3 + 𝐵3

𝐴 + 𝐵 𝑒 𝑀𝑎

+ = 𝑀𝐶− −

𝜌𝐴2

8 (VI.15)

Registe-se que para 𝐵/𝐴 > 1,366 deixa de se registar a inversão de sinal nos momentos flectores ao

longo dos lados menores (A), ficando a face interna destas paredes sujeita a tracções, por flexão,

devido ao impulso hidrostático, exceptuando-se a ligação com a laje de fundo.

No caso de reservatórios de base rectangular com grande área em planta e pequena altura (ou seja,

com uma esbelteza reduzida), o comportamento estrutural das paredes sob o efeito do impulso

hidroestático manifesta-se essencialmente em flexão segundo a direcção vertical. Assim as paredes

de reservatórios deste tipo funcionam praticamente como consolas verticais. Na figura VI.7 é ilustrado

o diagrama de momentos no conjunto “parede - laje de fundo” e a disposição tipo das armaduras

resistentes. Refira-se que, no diagrama da figura, o tanque é considerado só apoiado no seu

contorno.

Figura VI-6 – Comportamento predominante de reservatórios rectangulares de base pequena e altos (efeito de

quadro horizontal). Diagrama de momentos está ao contrário apenas por uma questão apresentação [40]

101

Em situações intermédias de geometria, a zona superior das paredes funciona, essencialmente,

como um quadro horizontal e a zona inferior responde, principalmente, á flexão vertical. Assim, é

possível idealizar o esquema do carregamento ilustrado na figura VI.8 - em termos de flexão vertical.

Considera-se uma consola com altura 𝐻∗ < 𝐻 sujeita a um impulso variando linearmente entre 0 à

cota 𝐻∗ e 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 𝐻 na base. A restante parcela do impulso hidrostático mobiliza o funcionamento em

plano horizontal (efeito quadro horizontal).

Figura VI-8 – Modelo simplificado de repartição do impulso hidrostático (efeito de anel e efeito de consola)

No anexo 9 [7] 𝑀 = "𝑐𝑜𝑒𝑓." × 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 × 𝐻3 ⇔ 𝑀 = 𝛾𝑎𝑔𝑢𝑎 × 𝐻 ×𝐻∗ 2

6 (VI.16)

onde 𝐻∗ 2 𝐻 = 6 × "𝑐𝑜𝑒𝑓. "

e o “coeficiente” dependente da relação B/H é igual a:

B/H 0,25 0,5 0,75 1,00 1,50 2 3

“coef.” 0,0030 0,0107 0,0200 0,0325 0,0586 0,0845 0,1262

H*/H 0,13 0,25 0,35 0,44 0,59 0,71 0,87

Tabela VI.3 – Relação H*/H em painéis rectangulares com bordo livre no topo e restantes bordos encastrados,

M0=”coef.”x(γH3) [7]

Figura VI-7 – Comportamento predominante de reservatórios rectangulares de grande largura de parede e baixos

(efeito de consola)

102

Pode concluir-se pelos valores indicados na tabela VI.3, que estes ilustram os aspectos qualitativos

atrás referidos. O comportamento das paredes é tanto mais próximo do comportamento duma

consola quanto menos esbelto for o reservatório (ou seja, 𝐻∗/ 𝐻 tende para 1 com valores crescentes

de B/H).

Para se compreender melhor estas características de comportamento e para validar os resultados do

modelo desenvolvido no SAP2000® avaliaram-se inicialmente os momentos Myy nas paredes devidas

ao impulso da água, isto apesar dos momentos que mais interessam, para este trabalho, serem os

Mxx e o esforço normal Nxx.

Os momentos Myy devido ao impulso da água na parede exterior dos tanques sem cobertura têm a

distribuição apresentada na figura VI.9.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-9 – Momentos Myy nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura

Como podemos ver no diagrama temos o valor máximo negativo de Myy=-175 KN/m em baixo e

aproximadamente a meio, o valor máximo positivo de Myy=38 KN/m. Usando a tabela do anexo 9 [7]

temos:

𝛾 =𝑎

𝑏=

13

6= 2,167 (VI.17)

para o momento negativo: 𝑀𝑦𝑦 = −0,09145 × 𝜌 × 𝑏2 = −0,09145 × 60 × 62 = −197,5 𝐾𝑁/𝑚 (VI.17)

para o momento positivo: 𝑀𝑦𝑦 = 0,01482 × 𝜌 × 𝑏2 = −0,01482 × 60 × 62 = 32 𝐾𝑁/𝑚 (VI.18)

Assim, verifica-se que os valores obtidos no modelo e nas tabelas de Bares [7] constata-se que são

valores da mesma ordem de grandeza.

Tendo como referência o momento de fendilhação à flexão, sem esforço axial associado e

considerando o aumento da resistência á tracção por flexão, ter-se-ía como espessura para a não

fendilhação a seguinte:

y

x

103

𝑀𝑐𝑟 = 𝑊𝑒𝑙 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 =𝑏 × 𝑕2

6× 𝑓𝑐𝑡𝑚 ,𝑓𝑙 =

𝑕2 × 1

6× (1,6 − 𝑕) × 3200 = 175 𝐾𝑁/𝑚 𝑕 ≈ 0,56𝑚 (VI.19)

Verifica-se assim que a espessura para a não fendilhação por flexão dever-se-ia situar entre 0,5 e

0,6m. Apesar de discutível como critério, pois o risco de fendilhação por efeitos de tracção é superior

ao de flexão, este aspecto reforça a pertinência do valor de espessura considerada.

Assim, como a fendilhação irá ocorrer como se verá, será necessário, no essencial, limitar a abertura

de fendas para se conseguir uma estanquidade aceitável através de uma quantidade apropriada de

armaduras e uma boa pormenorização.

Analisando agora os momentos Myy devidos ao impulso da água na parede exterior dos tanques com

cobertura obtemos o diagrama da figura VI.10.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-10 - Momentos Myy nas paredes exteriores dos tanques com cobertura

Como podemos observar no diagrama temos o valor máximo negativo de Myy=-129,86 KN/m em

baixo e aproximadamente a meio o valor máximo positivo de Myy=67,20 KN/m. Usando a tabela do

anexo 10 [7] temos:

𝛾 =𝑎

𝑏=

13

6= 2,167 (VI.20)

para o momento negativo: 𝑀𝑦𝑦 = −0,06003 × 𝜌 × 𝑏2 = −0,06003 × 60 × 62 = −129,7 𝐾𝑁/𝑚 (VI.21)

para o momento positvo: 𝑀𝑦𝑦 = 0,02653 × 𝜌 × 𝑏2 = 0,02653 × 60 × 62 = 57,3 𝐾𝑁/𝑚 (VI.22)

Também aqui comparando os valores retirados do Sap2000® e das tabelas de Bares [7] verificam-se

valores muito aproximados.

Como o máximo momento é mais pequeno do que no caso de tanques descobertos, justifica-se que a

espessura das paredes seja mais pequena, neste caso, 0,35m.

y

x

104

Tendo como referência a figura VI.11 e comparando-se os tanques onde não existe cobertura (2

tanques á esquerda) e onde existe cobertura (2 tanques á direita) pode ver-se que nos tanques sem

cobertura o momento negativo é mais elevado enquanto nos tanques cobertos o momento positivo é

maior.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-11 – Momentos Myy nas paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (comparação)

Analisando agora os momentos Mxx devidos ao impulso da água na parede exterior dos tanques. Na

zona sem cobertura obtemos o digrama da figura VI.12.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-12 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura

Estes momentos, juntamente com os esforços normais das cargas e da temperatura uniforme e

retracção vão contribuir para o aparecimento/desenvolvimento de fendas verticais.

Para validar o modelo, e evitar que se tenham cometido erros na introdução de dados comparam-se

os momentos obtidos com o das tabelas de Bares [7] á semelhança do que foi feito anteriormente.

Assim como podemos ver, no diagrama temos valores máximos negativos de Mxx=-171,86 KN/m e

Mxx=-114,66 KN/m nos topos. O valor máximo positivo de Mxx=71,53 KN/m verifica-se, como seria de

esperar, no topo mas a meio da parede dos reservatórios. Usando a tabela do anexo 9 [7] temos

valores próximos:

𝛾 =𝑎

𝑏=

13

6= 2,167 (VI.23)

y

x

y

x

-171,86 KNm/m -114,66 KNm/m 71,53 KNm/m

105

para o momento negativo:𝑀𝑥𝑥 = −0,01500 × 𝜌 × 𝑎2 = −0,01500 × 60 × 132 = −152,13 𝐾𝑁/𝑚 (VI.24)

para o momento positivo: 𝑀𝑥𝑥 = 0,00619 × 𝜌 × 𝑎2 = 0,00619 × 60 × 132 = 62,77 𝐾𝑁/𝑚 (VI.25)

Comparando também com o digrama da figura VI.9 verifica-se, como já referido que, a zona superior

das paredes funciona essencialmente como um quadro horizontal e a zona inferior principalmente á

flexão vertical. Verifica-se que o momento 𝑀𝑥𝑥 é da mesma ordem da grandeza do momento 𝑀𝑦𝑦

sendo então a parede principalmente armada na direcção horizontal pois para alem do impulso da

água há que juntar o esforço normal provocado pelas cargas e pelas temperatura uniforme e

retracção. Só quando o B/H>3 é que o efeito de consola é mais importante, como foi explicado.

Analisando agora os momentos Mxx devidos ao impulso da água na parede exterior dos tanques com

cobertura obtemos o diagrama da figura VI.13.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-13 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques com cobertura

Como podemos ver, no diagrama temos o valor máximo negativo de Mxx=-79,34 KN/m e Mxx=-48,8

KN/m aproximadamente a meio e o valor máximo positivo de Mxx=24,00 KN/m. Usando a tabela do

anexo 10 [7] verificámos ter valores da mesma ordem de grandeza, pois:

𝛾 =𝑎

𝑏=

13

6= 2,167 (VI.26)

para o momento negativo:𝑀𝑥𝑥 = −0,006463 × 𝜌 × 𝑎2 = −0,006463 × 60 × 132 = −65,54𝐾𝑁/𝑚 (VI.27)

para o momento positivo: 𝑀𝑥𝑥 = 0,002175 × 𝜌 × 𝑎2 = 0,002175 × 60 × 132 = 22,05 𝐾𝑁/𝑚 (VI.28)

Tendo como referência a figura VI.14 e comparando-se os tanques onde não existe cobertura (2

tanques á esquerda) e onde existe cobertura (2 tanques á direita) pode ver-se que nos tanques sem

cobertura o momento negativo e positivo é muito maior que nos tanques cobertos. Assim, existe uma

diferença em relação aos momentos Myy pois como se disse, o momento Myy negativo é mais elevado

y

x

-79,34 KNm/m -48,8 KNm/m

24,0 KNm/m

106

nos tanques sem cobertura sendo o momento Myy positivo maior nos tanques cobertos, enquanto que

o momento Mxx positivo e negativo é maior nos tanques descobertos.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-14 - Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (comparação)

Analisando agora os momentos Mxx devidos ao impulso da água, mas num reservatório com apenas 4

tanques como apresentado logo no início deste capítulo, pode ver-se pelas figuras IV.15, IV.16 e

IV.17 que estes apresentam valores iguais ao caso analisado, sendo que as forças devidas ao

impulso da água dependem apenas das dimensões de cada tanque (L/H), como seria de esperar.

Obtêm-se então, uma boa simplificação do modelo com apenas os 4 tanques.

Figura VI-15 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura (modelo simplificado)

Figura VI-16 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques com cobertura (modelo simplificado)

y

x

y

x

y

x

107

2𝑁 = 𝜌𝐵 𝑁 =𝜌𝐵

2

Figura VI-17 – Momentos Mxx nas paredes exteriores dos tanques sem e com cobertura (modelo simplificado)

Analisou-se também o esforço normal provocado pelo impulso da água. Este esforço normal está

representado na figura VI.18 para as paredes exteriores dos tanques sem cobertura.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-18 – Esforço normal (Nxx) provocado pelo impulso da água nas paredes exteriores dos tanques sem cobertura

Para perceber este esforço normal podemos observar a figura VI.19.

Figura VI-19 – Esforço normal de quadros rectangulares sob pressão uniforme.

Esta análise é valida para a parte superior dos tanques com 𝐵/𝐻 ≈ 2 ou para tanques de pequena

área e grande altura (𝐵/𝐻 < 2) á semelhança do que foi discutido para os momentos Mxx.

Recorrendo às tabelas de Bares [7] (anexo 9), temos:

𝛾 =𝑎

𝑏=

13

6= 2,167 𝑁𝑥 = 0,1231 × 𝜌 × 𝑎 = 0,1231 × 60 × 13 = 96𝐾𝑁/𝑚 (VI.29)

y

x

y

x 120,27 KN/m

108

Como podemos constatar, também pela tabela do anexo 9 quanto menor o 𝐵/𝐻, maior o valor do

esforço normal provocado pelo impulso da água e mais aproximado é do modelo apresentado na

figura VI.19. Também quanto menor o B/H mais perto do fundo se dá o valor máximo do esforço

normal, pois maior o efeito de quadro horizontal.

Apenas foi analisada esta parede pois as conclusões para as restantes são previsíveis. Assim para

uma parede exterior com cobertura, os esforços normais provenientes do impulso da água vão ser

menores do que nos tanques descobertos, á semelhança do andamento do momento Mxx.

Para estes esforços normais também se pode usar o modelo de apenas 4 tanques, pois os resultados

são semelhantes.

Seguidamente, analisa-se o esforço normal provocado pela temperatura uniforme e pela retracção.

Para estas acções está representado na figura VI.20 o diagrama de esforço normal (N11), nas

paredes exteriores dos tanques sem cobertura.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-20 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques sem cobertura

Como apresentado no capítulo IV, o esforço normal na zona central tende a ser uniforme, apesar da

alguma diminuição de tracção na zona inferior de ligação às paredes perpendiculares. Isto deve-se a

alguma restrição que a parede exerce sobre a contracção da parede perpendicular aparecendo

alguma compressão que irá aliviar a tracção como será analisado mais adiante.

Compara-se agora este valor com o valor obtido para o caso de um tirante com restrição total. Assim

temos:

𝑁𝑚𝑎𝑥 ,𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 𝐴𝑐 × 𝜀𝑐𝑠 × 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 + 0,5 × 𝜀∆𝑡 ×𝐸𝑐 ,28

1 + 𝜒𝜑𝛥𝑇

= 0,5 × (2,5 × 10−4 × 15 × 106 + 0,5 × 2 × 10−4 ×34 × 106

1 + 0,8 × 1,0= 2760,42 𝐾𝑁/𝑚 (VI.30)

De notar que a fundação também sofre alguma retracção como quantificado em cima (εcs = 1,0 ×

10−4), logo o efeito da retracção diferencial em vez de 2,5 × 10−4 deverá ser de 1,5 × 10−4 .

y

x

109

Assim temos:

𝑁𝑚𝑎𝑥 = 0,5 × (1,5 × 10−4 × 15 × 106 + 0,5 × 2 × 10−4 ×34 × 106

1 + 0,8 × 1,0= 2010,42 𝐾𝑁/𝑚 (VI.31)

No diagrama do modelo realizado no Sap2000® vê-se que o esforço normal apresenta valores

máximos de 1400 KN/m na zona central e de 1650KN/m nas extremidades esquerda e direita (sendo

na zona de baixo onde se obtêm os maiores valores como seria de esperar). Estes valores afastam-

se um pouco dos valores obtidos para uma restrição total pois a parede está menos “restringida”

neste caso. Assim, como se verificou no capítulo IV, no caso de comportamento elástico, a restrição

ao se verificar ao longo da ligação inferior parede/fundação, há uma variação de tensões elásticas em

altura, especialmente nas zonas mais afastadas da zona central, que tende para uma distribuição

mais uniforme na zona central.

No caso dos tanques cobertos (ver figura VI.21) as mesmas conclusões podem ser retiradas sendo

os esforços normais menores do que no caso anterior. Esta diminuição poderia ser considerada

inesperada, já que apesar da espessura diminuir e assim também os esforços axiais associados ás

deformações impostas, esta parede fica mais hiperestática que a parede descoberta devido á

cobertura, e assim maiores esforços axiais se poderiam verificar.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-21 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos tanques com cobertura (cobertura com retracção e temperatura uniforme igual ás paredes exteriores)

No entanto constata-se que a diminuição da tracção verifica-se pois a cobertura ao retrair tem como

restrição as paredes do reservatório. A cobertura fica assim á tracção e as paredes do reservatório ao

restringirem este movimento apresentam compressões. Essas compressões vão aliviar as tracções

produzidas nas paredes pela restrição da laje de fundo, diminuindo assim os esforços finais de

tracção. De realçar que a cobertura apresenta a mesma exposição que as paredes, pelo que foi dado

o mesmo valor de retracção e de variação de temperatura. Se a cobertura apresentar valores

superiores de retracção e temperatura, mais compressão se vai ter nas paredes e menores os

esforços globais de tracção nas paredes. Este aspecto foi verificado admitindo-se para a laje da

cobertura uma grande retracção (-100ºC), como se pode constatar comparando os valores de tracção

da figura VI.22 com os da figura VI.21.

y

x

110

Figura VI-22 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques com cobertura (cobertura com grande retracção: -100ºC)

Se pelo contrario, se se considerar que a laje da cobertura não retrai nem tem uma diminuição de

temperatura, os esforços de tracção nas paredes aumentam em relação ás paredes descobertas (ver

figura VI.20) pois a estrutura ficava mais hiperestática, estando a restringir os movimentos da parede:

a laje de cobertura e a laje de fundo (ver figura VI.23).

Figura VI-23 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques com cobertura (cobertura sem retracção e/ou variação de temperatura)

Por último apresenta-se o diagrama de esforços normais da parede exterior onde existem dois

tanques sem cobertura (2 tanques á esquerda) e dois tanques com cobertura (2 tanques á direita).

Aqui pode confirmar-se o referido anteriormente, notando-se que os esforços normais nas paredes

dos tanques cobertos são menores do que nas paredes dos tanques descobertos.

É de especial interesse realçar que, junto aos tanques cobertos existe um pico de tracção na zona

superior da parede descoberta (ver figura VI.24) que resulta da deformação imposta pela cobertura.

Esta tracção é tanto maior quando maior for a retracção da laje de cobertura.

Posição da parede (vista de planta dos tanques):

Figura VI-24 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques sem e com cobertura (cobertura com retracção e temperatura uniforme igual ás paredes exteriores)

y

x

y

x

y

x

111

Analisando agora o esforço normal provocado pela temperatura e pela retracção mas num

reservatório com apenas 4 tanques como apresentado no início deste capítulo pode ver-se pelas

figuras VI.25, VI.26 e VI.27 que estes apresentam valores da mesma ordem de grandeza aos casos

analisados. No entanto, pode observar-se que a distribuição dos esforços normais não chega a se

uniformizar completamente na região central pois o L/H das paredes exteriores é mais pequeno.

Assim, embora para a temperatura se possa recorrer também ao modelo de apenas 4 tanques, esta

simplificação tem que ser encarada com alguma reserva pois existe uma menor uniformização do

esforço normal na zona central, zona mais comparável com um tirante.

Figura VI-25 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques sem cobertura

Figura VI-26 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques com cobertura

Figura VI-27 – Esforço normal (Nxx) provocado pela retracção e pela temperatura uniforme nas paredes exteriores dos

tanques sem e com cobertura

y

x

y

x

y

x

112

Em resumo, e tendo em consideração o anexo 9 e os esforços presentes nas paredes (ver figura

VI.28), para os reservatórios sem cobertura podemos ver que quanto maior a área do reservatório e

menor a altura mais significativos são os momentos Myy, sendo pouco importantes os esforços

normais Nxx e os momentos Mxx. Á medida que o reservatório tem uma maior altura e/ou uma base

mais pequena (a/b<3), surgem momentos Mxx e esforços normais Nxx, mais relevantes. Estes últimos

são importantes pois vão sobrepor-se ao esforço normal provocado pela temperatura uniforme e pela

retracção. De notar que o momento máximo Myy aparece sempre na base das paredes, e o momento

máximo Mxx, assim como o esforço normal máximo Nxx no topo superior das paredes para a/b>2.

Para a/b<2 vai deslocando-se para baixo á medida que a relação a/b é menor.

Para os reservatórios com cobertura os esforços vão ser, em geral, menores, sendo válidas, em

geral, as observações feitas para os reservatórios sem cobertura. Apenas há a realçar que para estes

reservatórios o momento Myy positivo é maior que nos reservatórios descobertos e que os momentos

máximos Mxx, assim como o esforço normal Nxx tem sempre o valor máximo perto do meio do

reservatório.

É de especial importância a zona de ligação das paredes sem cobertura com as paredes com

cobertura pois neste ponto desenvolvem-se tracções importantes tanto por efeito da temperatura e da

retracção, assim como do impulso da água.

Por último, e focando apenas os esforços de dimensionamento da armadura horizontal junto á base

temos essencialmente esforços de tracção devido á retracção e á temperatura sendo pouco

importantes os momentos Mxx. Para o topo vão crescendo os momentos Mxx e diminuído o esforço

axial elástico.

Figura VI-28 – Esforços devidos ao impulso hidrostático em paredes de reservatórios

113

6.6. Esforços nas paredes interiores

Para análise dos momentos Mxx nas paredes interiores considerou-se a distribuição mais

desfavorável do fluido nos diversos compartimentos. A compartimentação imporia naturalmente

diversas combinações com carregamentos paralelos, cruzados e isolados. No entanto como temos

reservatórios quadrados apenas é necessário considerar dois casos: um reservatório descoberto

cheio de água e um reservatório coberto cheio de água.

Como se pode verificar pela figura VI.29, apenas é necessário considerar um caso de carga na

eventualidade de termos só reservatórios quadrados cobertos ou descobertos. Se a célula 1 estiver

cheia e a 2 vazia, a impossibilidade de rotação de A1B1 será devida a A1A2, não tendo nenhum papel

A1C1. Se as duas células estão cheias (1 e 2), A1A2 não exerce nenhum papel, sendo a

impossibilidade de rotação de A1B1, devida a A1C1.

Este resultado é verdadeiro para qualquer que seja o número de células quadradas agrupadas e

todas as suas eventualidades de enchimento. No entanto, como temos alguns reservatórios cobertos

e outros descobertos, temos que considerar dois casos.

Para análise do esforço normal devido ao impulso da água considerou-se todos os reservatórios

cheios (caso mais desfavorável).

C2 A2 B2

C1 A1 B1

1

2

Figura VI-29 – Esforços nas Paredes interiores: Distribuição mais desfavorável do fluido nos diversos compartimentos

114

6.7. Deformações impostas de acordo com anexo M do EC2 parte 3

Apresenta-se no subcapítulo 4.2 [25] uma expressão para o cálculo da retracção e dos movimentos

de origem térmica iniciais devido ao arrefecimento dos elementos durante os dias imediatamente a

seguir á betonagem.

Para que estes efeitos se façam sentir o menos possível utilizou-se um cimento adequado de acordo

com o apresentado no subcapítulo 6.3. De acordo com este subcapítulo e a partir de cimentos

correntes em Portugal seleccionou-se o cimento Pozolânico (CEM IV/A (V) 32,5R), por ser o que

melhor se adequa á situação presente. Este cimento, como podemos ver no anexo 6, tem as

seguintes propriedades:

65% a 89% de clinquer de Portland

11% a 35% cinzas volantes

0% a 5% de outros constituintes

Para se estimar a temperatura libertada durante o arrefecimento do betão devido ao efeito das

reacções exotérmicas de hidratação do cimento, há que definir a quantidade de ligante usado. Assim

recorrendo ao documento CIRIA C660 [5] que como referido no subcapítulo 4.2, analisa esta situação

com todo o detalhe, podemos consultar a tabela VI.4.

Assim, usando um betão C35/45 e uma quantidade de 20 a 30% de cinzas volantes (característica do

cimento pozolânico escolhido), tem-se uma quantidade de ligante de 405 a 410kg/m3.

Tabela VI.4 – Quantidade de ligante (kg/m3) em função da classe de resistência e da quantidade de adições

– Quantidade de ligante (kg/m3) em função da classe de resistência e da quantidade de adições

115

Utilizando uma cofragem de madeira de 18 mm e consultando o anexo 11, temos para as paredes

dos tanques de 500mm uma temperatura libertada durante o arrefecimento do betão de 30 a 35ºC.

Para as paredes dos tanques de 350mm tem-se uma temperatura de 24 a 28ºC.

Se se utilizar uma cofragem metálica pode constatar-se pelo anexo 11, que obteríamos valores

menores pois a madeira isola melhor o calor libertado na hidratação do betão.

Também a título de exemplo pode observar-se que utilizando apenas o cimento Portland sem

adições, apesar da menor quantidade de ligante usada (para se obter o betão com a resistência

desejada - C35/45) temos uma temperatura maior do que no cimento pozolânico (com adições).

Assim, usando o cimento de Portland tem-se uma quantidade de ligante de 380 kg/m3

para se obter

um betão C35/45 em vez dos 410kg/m3 de ligantes utilizados num cimento pozolânico. No entanto

para uma secção de 500mm e utilizando uma cofragem de madeira de 18mm tem-se uma

temperatura libertada durante o arrefecimento do betão de 40ºC em vez dos 30 a 35ºC consoante a

dosagem de cinzas volantes seja mais ou menos, respectivamente.

Neste exemplo reforça-se a ideia referida no subcapítulo 6.3, ou seja, a importância que as adições

têm no abaixamento da temperatura libertada durante os dias imediatamente a seguir á betonagem, e

que contribui para diminuir a possibilidade de fendilhação precoce do betão.

Considerou-se nos cálculos das paredes dos reservatórios um abaixamento de temperatura de 35ºC

(paredes de 500mm), usando uma cofragem de madeira. Calculando em concordância com

subcapítulo 4.2 a abertura de fendas para idade precoce do betão (≈3 dias) e considerando o

𝜀𝑐𝑎 (3𝑑𝑖𝑎𝑠 ) = 0,2 × 10−4 de acordo com a figura II.6, temos assim:

𝜀𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 = 0,5 × 10−5 × 35 + 0,2 × 10−4 = 1,9 × 10−4 (VI.33)

Para a idade precoce do betão temos também:

𝜀𝑐𝑡𝑢 =𝑓𝑐𝑡𝑚𝐸𝑐𝑚

≈ 0,7 × 10−4 (VI.34)

Conclui-se que deverá haver fendilhação para uma idade jovem pois 𝜀𝑟 > 𝜀𝑐𝑡𝑢 . Retirando a extensão

de tracção residual no betão, que não contribui para a abertura de fendas ficamos com:

𝜀𝑐𝑟 = 𝜀𝑟 − 0,5𝜀𝑐𝑡𝑢 = 1,9 × 10−4 − 0,5 × 0,7 × 10−4 = 1,55 × 10−4 (VI.35)

Apesar de a secção estar fendilhada, esta extensão não causa uma abertura de fendas significativa,

como apresentado na sequência, desde que se considere uma armadura igual ou superior à mínima

de tracção.

116

Para longo prazo e de acordo o subcapítulo 4.2 temos a seguinte expressão:

𝜀𝑟 = 𝑘1 𝛼𝑐𝑇1 + 𝜀𝑐𝑎 𝑅1 + 𝛼𝑐𝑇2𝑅2 + 𝜀𝑐𝑑𝑅3

𝜀𝑟 = 0,5 × 10−5 × 35 + 0,63 × 10−4 + 0,5 × 20 × 10−5 + 0,5 × 1,81 × 10−4 = 3,97 × 10−4 (VI.36)

o valor 𝜀𝑐𝑎 e de 𝜀𝑐𝑑 foi considerado a longo prazo e baseado na figura II.6.

Para a idade a longo prazo tem-se também:

𝜀𝑐𝑡𝑢 =𝑓𝑐𝑡𝑚𝐸𝑐𝑚

≈ 1 × 10−4 (VI.37)

E á semelhança do que foi feito para idade precoce tem-se:

𝜀𝑐𝑟 = 𝜀𝑟 − 0,5𝜀𝑐𝑡𝑢 = 3,97 × 10−4 − 0,5 × 1 × 10−4 = 3,47 × 10−4 (VI.38)

Considerando:

Tabela VI.5 – Espaçamento máximo de fendas para um esforço normal e uma armadura típica para o caso em análise

Temos então:

𝑊𝑘 = 𝑆𝑟 ,𝑚𝑎𝑥 × 𝜀𝑐𝑟 = 0,14 𝑚𝑚 (VI.39)

Esta expressão deve ser usada com alguma reserva pois a extensão 𝜀𝑐𝑟 não depende da tensão nas

armaduras para uma restrição ao longo do bordo como referido no subcapítulo 4.2, e conduz a

aberturas de fendas, em geral, pequenas. Apesar disso, e para a fendilhação transversal junto à

ligação das paredes à fundação deve ser credível.

Para esta metodologia e como se analisou no capitulo IV para uma parede restringida ao longo de um

bordo a deformação imposta na base é absorvida, no essencial, por fendilhação distribuída (não

dependendo da armadura). Já na zona superior, estando o efeito de restrição mais afastado, a

deformação concentra-se nas zonas menos rígidas e anteriormente fendilhadas dependendo aqui da

tensão na armadura.

Em conclusão acha-se que esta metodologia deve ser utilizada para as fendas com menor altura,

junto á base, em que o cálculo destas depende apenas da extensão no betão sendo as tensões no

betão transferidas para a base por corte. Na zona superior deve ser utilizada a abordagem efectuada

por Luís [38] e Teixeira [48], ou seja, o cálculo do EC2 – parte 1 [24] pois aqui a abertura de fendas,

depende da tensão na armadura.

De realçar também, pelo que foi visto acima na análise dos esforços, na zona da base, as tensões

devidas ao impulso da água são muito baixas pois os esforços são pequenos. Assim nesta zona faz-

se sentir quase unicamente o efeito das deformações impostas, o que vem dar peso à hipótese da

utilização desta expressão para as fendas de pequena altura junto á base.

Esta proposta de orientação para a forma de avaliação da fendilhação nesta situação necessita de

maior aprofundamento.

h (m) Asn (cm2/m) Φ (mm) hc,ef (m) ρef (%) k2 Sr,max (cm)

0,5 31,42 20 0,125 2,51 1 40,65

117

6.8. Análise de secções e pormenorização de acordo com abertura de fendas

Num tanque em utilização existe a acção do impulso da água sobre as paredes, que geram efeitos de

flexão e tracção (ver figura VI.30) que se vão juntar às tracções e aos momentos das deformações

impostas (temperatura e retracção).

Figura VI-30 – Representação, em planta, da sobreposição de efeitos no tanque: a) acção da água nas paredes; b) N, esforço normal devido às deformações impostas e à acção da água e Mcp, momentos devido à acção da água – este diagrama está ao contrário apenas por uma questão apresentação.

Para o estado limite último, como se viu no capítulo I, as deformações impostas podem ser

desprezadas desde que haja suficiente ductilidade, ou seja, capacidade de deformação plástica dos

elementos estruturais, devendo ser consideradas no estado limite de utilização.

Em resumo:

- para os estados limite de utilização e aplicando a combinação da equação VI.11 temos :

𝑀𝑐𝑞𝑝 = 𝑀𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 á𝑔𝑢𝑎 + 𝑀𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 çõ𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 (VI.40)

𝑁𝑐𝑞𝑝 = 𝑁𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 á𝑔𝑢𝑎 + 𝑁𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 çõ𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠 (VI.41)

- para os estados limite último temos:

𝑀𝑠𝑑 = 1,5 × 𝑀𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 á𝑔𝑢𝑎 (VI.42)

𝑁𝑠𝑑 = 1,5 × 𝑁𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 á𝑔𝑢𝑎 (VI.43)

Aplicando a metodologia proposta por Luís [37], e apresentada no subcapítulo 5.3.3, começa-se por

avaliar a quantidade de armadura aos estados limite últimos.

Assim, dividiu-se a parede, em altura, em três zonas, como mostra a figura VI.31, com 2m cada.

118

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 1 2 3 4 5 6

Mo

me

nto

(K

N.m

/m)

Altura(m)

Localização em planta:

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

110

130

0 1 2 3 4 5 6

Esfo

rço

Axi

al (

KN

/m)

Altura (m)

Localização em planta:

Figura VI-31 – Zonas a analisar

Para estas três zonas, numa extremidade e a meio da parede de um tanque, avaliaram-se as

quantidades de armadura longitudinal para a verificação da segurança aos estados limites últimos.

Considera-se a extremidade da parede pois como podemos ver pelo gráfico da figura VI.12, os

momentos negativos devidos ao impulso da água são maiores nesta zona.

Assim obtiveram-se os esforços (a vermelho) nas figuras VI.32 e VI.33.

Momento devido ao impulso

da água e ao peso próprio

Esforço normal devido ao

impulso da água

2

1

3

Figura VI-32 – Variação do momento devido ao impulso da água e ao peso próprio

Figura VI-33 – Variação do esforço axial devido ao impulso da água

119

Em cada zona efectuou-se o dimensionamento das armaduras á rotura, para os esforços médios (a

azul nos gráficos das figuras VI.32 e VI.33). De seguida apresentam-se os cálculos do

dimensionamento das armaduras interiores nas três zonas:

Zona 1:

𝑁𝑠𝑑 = 1,5 × 32,61 = 48,92𝐾𝑁/𝑚 ; 𝑀𝑠𝑑 = 1,5 × 43,26 = 64,89𝐾𝑁𝑚/𝑚 (VI.44)

𝐴𝑆2:𝐹𝑠2 =𝑀

0,9𝑑+𝑁

2=

64,89

0,9 × 0,45+

48,92

2= 184,68𝐾𝑁/𝑚 (VI.45)

𝐴𝑆2 =𝐹𝑠2

𝑓𝑦𝑑=

184,68

435 × 103× 104 = 4,25𝑐𝑚2/𝑚 (VI.46)

Zona 2:

𝑁𝑠𝑑 = 1,5 × 93,97 = 140,96𝐾𝑁/𝑚; 𝑀𝑠𝑑 = 1,5 × 119,10 = 178,65𝐾𝑁𝑚/𝑚 (VI.47)

𝐴𝑆2:𝐹𝑠2 =𝑀

0,9𝑑+𝑁

2=

178,65

0,9 × 0,45+

140,96

2= 511,59𝐾𝑁/𝑚 (VI.48)

𝐴𝑆2 =𝐹𝑠2

𝑓𝑦𝑑=

511,59

435 × 103× 104 = 11,76𝑐𝑚2/𝑚 (VI.49)

Zona 3:

𝑁𝑠𝑑 = 1,5 × 100,62 = 150,94𝐾𝑁/𝑚; 𝑀𝑠𝑑 = 1,5 × 161,26 = 241,89𝐾𝑁𝑚/𝑚 (VI.50)

𝐴𝑆2:𝐹𝑠2 =𝑀

0,9𝑑+𝑁

2=

241,89

0,9 × 0,45+

150,94

2= 672,73𝐾𝑁/𝑚 (VI.51)

𝐴𝑆2 =𝐹𝑠2

𝑓𝑦𝑑=

672,73

435 × 103× 104 = 15,47𝑐𝑚2/𝑚 (VI.52)

Figura VI-34 – Pormenor da secção na zona 1 a analisar

120

Localização em planta:

-40

-20

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6Mo

me

nto

(K

N.m

/m)

Altura (m)

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

Esfo

rço

axi

al (

KN

/m)

Altura (m)

Localização em planta:

Localização em planta:

Como o momento positivo é maior a meio da parede de cada tanque como podemos ver pela figura

VI.12, avaliaram-se os esforços nessa região. Estes são apresentados nas figuras VI.35 e VI.36.

Á semelhança do que foi feito para os momentos negativos é agora efectuado o dimensionamento

das armaduras á rotura, para os esforços médios (a azul nos gráficos das figuras VI.35 e VI.36) nas

duas zonas onde se apresentam os maiores momentos positivos. Assim, o dimensionamento das

armaduras exteriores para as duas zonas é o seguinte:

Zona 2:

Momento devido ao impulso

da água e ao peso próprio

Esforço normal devido ao

impulso da água

Figura VI-35 - Variação do momento devido ao impulso da água e ao peso próprio

Figura VI-36 – Variação do esforço axial devido ao impulso da água

Figura VI-37 - Pormenor da secção na zona 2 a analisar

121

𝑁𝑠𝑑 = 1,5 × 87,38 = 131,07𝐾𝑁/𝑚; 𝑀𝑠𝑑 = 1,5 × 40,73 = 61,10𝐾𝑁𝑚/𝑚 (VI.53)

𝐴𝑆1:𝐹𝑠1 =𝑀

0,9𝑑+𝑁

2=

61,10

0,9 × 0,45+

131,07

2= 216,40𝐾𝑁/𝑚 (VI.54)

𝐴𝑠1 =𝐹𝑠1

𝑓𝑦𝑑=

216,40

435 × 103× 104 = 4,97𝑐𝑚2/𝑚 (VI.55)

Zona 3:

𝑁𝑠𝑑 = 1,5 × 96,80 = 145,20𝐾𝑁/𝑚; 𝑀𝑠𝑑 = 1,5 × 62,98 = 94,47𝐾𝑁𝑚/𝑚 (VI.56)

𝐴𝑆1:𝐹𝑠1 =𝑀

0,9𝑑+𝑁

2=

94,47

0,9 × 0,45+

145,20

2= 305,86𝐾𝑁/𝑚 (VI.57)

𝐴𝑆1 =𝐹𝑠1

𝑓𝑦𝑑=

305,86

435 × 103× 104 = 7,03𝑐𝑚2/𝑚 (VI.58)

As armaduras mínimas definidas pela expressão III.13, para as paredes sem cobertura 0,5m e para

as paredes com cobertura 0,35m são as indicadas na tabela VI.6.

h(m) k 𝒌𝒄 𝑨𝒔,𝒎𝒊𝒏 (𝒄𝒎𝟐/𝒎)

0,35 0,965 1 21,62

0,5 0,860 1 27,52

Tabela VI.6– Armaduras mínimas para os dois tipos de espessura da parede

Como proposto por Luís [37], e apresentado no subcapítulo 5.3.3, deve colocar-se pelo menos uma

armadura mínima de tracção, nas zonas onde se possa prever que o efeito de restrição às

deformações impostas é importante. Assim, olhando para a armadura mínima de cada parede e para

os estados limites últimos propor-se-ia a seguinte pormenorização:

Para as paredes dos tanques com cobertura com espessura de 0,35m:

Armadura interior tanque - 𝜙12//0,10 (As2=11,31 cm2/m)

Armadura exterior tanque - 𝜙12//0,10 (As2=11,31 cm2/m)

Para as paredes dos tanques sem cobertura com espessura de 0,5m:

Para o momento negativo:

Armadura interior tanque - 𝜙16//0,20 (As2=10,05 cm2/m)

Armadura exterior tanque - 𝜙16//0,10 (As2=20,11 cm2/m)

122

Para o momento positivo:

Armadura interior tanque - 𝜙16//0,10 (As2=20,11 cm2/m)

Armadura exterior tanque - 𝜙16//0,20 (As2=10,05 cm2/m)

Ou simplificadamente e como a força de tracção é preponderante tem-se:

Armadura interior tanque - 𝜙20//0,20 (As2=15,71 cm2/m)

Armadura exterior tanque - 𝜙20//0,20 (As2=15,71 cm2/m)

As armaduras para resistir unicamente ao impulso da água tem a disposição da figura VI.38 pois o

momento negativo devido a estas cargas aparece na zona dos cantos e o momento positivo a meio

vão.

Pode observar-se que, na generalidade, a armadura mínima é claramente condicionante na direcção

longitudinal pelo que deve ser adoptada em todas as paredes dos reservatórios, com eventual reforço

onde se verificam maiores momentos devido às cargas.

Definida uma distribuição de armaduras, deve-se então efectuar a análise de tensões ao estado limite

de utilização a partir dos esforços da combinação da equação VI.12, obtidos com os módulos de

elasticidades adequados á natureza da acção: para as cargas devido ao impulso da agua utilizou-se

o 𝐸𝑐 ,28, para a temperatura o 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝛥𝑇 , e para a retracção 𝐸𝑐 ,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 .

De acordo com a metodologia proposta por Luís [37], e apresentada do subcapítulo 5.3.3, optou-se

por, nas zonas da estrutura onde o esforço axial devido á deformação imposta seja superior a 𝑁𝑐𝑟 ,

aplicar-se o factor de redução 𝜉 = 0,6 (ver tabela V.1), ao valor de 𝑁𝑐𝑟 ou a N se este fosse inferior a

𝑁𝑐𝑟 .

Teixeira [48] e Luís [38], como apresentado no capítulo IV, realizaram um estudo em paredes laterais

aplicando somente deformações impostas ás paredes. Nesse estudo conclui-se que se podiam

utilizar quantidades de armadura inferiores às que são obtidas pela expressão regulamentar do

Eurocódigo 2 (ver expressão III.13) se o objectivo era garantir o critério da não plastificação da

armadura, ou seja obteríamos com, valores inferiores a 𝑁𝑐𝑟 , a estabilização da fendilhação. Segundo

Luís [38] poder-se-á utilizar 2/3fct,effAct e 1/2fct,effAct (para deformações impostas externas e internas,

respectivamente) obtendo-se um valor conservativo do valor esforço axial para limitar a abertura de

Figura VI-38 – Armaduras necessárias para resistir ao impulso da água na face exterior e interior

123

fendas. Este valor vem também de encontro á redução utilizada (𝜉 = 0,6) e reflecte a diminuição do

esforço axial no processo de formação de fendas devido às deformações impostas, em paredes.

Pelo que foi dito, surge então a necessidade de avaliar o esforço axial de fendilhação:

Para as paredes dos tanques com cobertura com espessura de 0,35m:

𝑁𝑐𝑟 = 𝐴𝑐 × 𝐾 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,35 × 0,965 × 3200 = 1080,80 𝐾𝑁/𝑚 (VI.59)

Para as paredes dos tanques com cobertura com espessura de 0,5m:

𝑁𝑐𝑟 = 𝐴𝑐 × 𝐾 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,5 × 0,86 × 3200 = 1376,00 𝐾𝑁/𝑚 (VI.60)

Nas figuras VI.39 e VI.40 apresentam-se graficamente os valores obtidos do esforço axial elástico

devido á deformação imposta, para uma extremidade da parede sem cobertura e para meio dessa

parede respectivamente. A azul nas figuras VI.39 e VI.40, representa-se o esforço axial elástico

obtido pelo programa de cálculo automático (SAP2000®), e a vermelho o esforço axial de

dimensionamento, ou seja com a metodologia descrita anteriormente.

Para todas os alinhamentos apresentados de seguida foi aplicada esta metodologia, apresentando-se

apenas estes dois alinhamentos como exemplo.

Figura VI-39 - Variação do esforço axial, devido às deformações impostas na zona localizada

-100

100

300

500

700

900

1100

1300

1500

1700

0 1 2 3 4 5 6

Esfo

rço

axi

al (

KN

/m)

Altura (m)

N elástico

N dim

Ncr

Localização em planta:

124

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

0 1 2 3 4 5 6

Esfo

rço

axi

al (

KN

/m)

Altura (m)

N elástico

N dim

De referir que aos momentos provenientes das deformações impostas, foi aplicado o mesmo factor

de redução ( 𝜉 = 0,6) que aos esforços normais provenientes das deformações impostas. Estes

momentos embora pequenos não podem ser completamente desprezados pois possuem alguma

expressão nas ligações com as paredes. Um coeficiente desta ordem de grandeza, pensa-se, faz

sentido já que os momentos são produzidos pelas deformações impostas. Ora reduzindo o esforço

axial, devido a essa acção, os momentos devem-no ser na mesma proporção, por uma questão de

equilíbrio de distribuição de esforços.

De acordo com o apresentado efectuou-se a análise ao comportamento em serviço para vários

alinhamentos tomando a combinação de esforços mais desfavorável para cada zona, ou seja, a 2 m

da base para zona 2 e a 4 m da base para zona 3. Refere-se que a zona 1 não deverá ser avaliada

por esta metodologia como anteriormente referido. Para abertura de fendas e dimensionamento das

armaduras para a zona 1 deve seguir o exposto no capítulo 6.7.

Seguidamente apresenta-se a avaliação das tensões nas armaduras e respectiva abertura de fendas

para os casos mais condicionantes utilizando-se para abertura de fendas as expressões do capítulo

III. As armaduras utilizadas são as anteriormente avaliadas e as tensões são calculadas como

descrito no subcapítulo 5.3.3.

Para o cálculo da abertura de fendas foi ainda considerado:

𝐾1 = 0,8 𝑣𝑎𝑟õ𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑒 𝐾𝑡 = 0,4 (𝑎𝑐çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑎çã𝑜)

𝛼 𝑒 =𝐸𝑠𝐸𝑐

=200

15= 13,333 (VI.61)

𝑕 − 𝑑 = 𝑟𝑒𝑐 + 𝜙/2 = 0,04 + 0,02/2 = 0,05 (VI.62)

Localização em planta:

Figura VI-40 - Variação do esforço axial, devido às deformações impostas na zona localizada

125

Para o valor de k2 (como este não esta bem enquadrado no EC2 [24], como referido) o critério usado

foi o seguinte: quando a linha neutra se encontrava a 10 cm ou mais da face exterior, ou seja havia

uma zona comprimida significativa usou-se o valor de 0,5. Caso contrário usou-se a expressão III.21.

Assim temos:

Met. Simp. FAVRE

σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

Subcapítulo 6.7

251,41 0,63 -0,59 0,125 1,26 0,000754 0,94 64,60 0,487 40,00 0,302 0,812 35,00 0,308 0,524

243,64 0,63 -0,04 0,125 1,26 0,000731 0,89 61,49 0,449 38,17 0,279 0,749 33,17 0,283 0,481

Tabela VI.7– Abertura média, característica e máxima de fendas para as armaduras do estado limite último

Observa-se que as aberturas de fendas não são, especialmente por razões de estanquidade,

admissíveis. Assim, é necessário, para se obter um melhor comportamento em Serviço, dispor de

outras quantidades de armaduras, de forma a assegurar características de comportamento

adequadas á sua funcionalidade.

Referindo-se o subcapítulo 3.8, e aplicando os critérios de estanquidade 1 de acordo com EC2 –

parte 3 [25] temos de acordo com a figura III.26 as seguintes exigências de estanquidade:

Para as paredes dos tanques com cobertura com espessura de 0,35m:

𝑕𝐷𝑕

=6

0,35= 17,14 ⟹ 𝑤𝑘1 = 0,14 𝑚𝑚 (VI.63)

Para as paredes dos tanques com cobertura com espessura de 0,5m:

𝑕𝐷𝑕

=6

0,5= 12 ⟹ 𝑤𝑘1 = 0,17 𝑚𝑚 (VI.64)

Esforços

Tensões

Zona N (KN/m) M (KNm/m) ysn (m) Asn

(cm2/m)

ϕ (mm) σs (MPa) σc (MPa)

1 Subcapítulo 6.7

2 637,77 30,44 0,05 15,71 20,0 154,55 0,00

0,45 15,71 20,0 251,41 -

3 455,66 61,97 0,05 15,71 20,0 46,40 0,00

0,45 15,71 20,0 243,64 -

Localização em planta:

126

Também como referido no EC2 - parte 3 [25] e no subcapítulo 3.8, para classe de estanquidade 1

quando temos uma zona comprimida de pelo menos 50mm podemos ser menos exigentes e adoptar

as disposições 7.3.1 do EC2 – parte 1 [24] (ver tabela III.1) em vez dos valores de 𝑤𝑘1 referidos em

cima. Assim, de acordo com o tabela III.1 e para classe de exposição XC4, quando temos uma zona

comprimida de pelo menos 50mm, a abertura de fendas pode ser menos exigente e ter-se no máximo

uma abertura de 𝑤𝑘 = 0,3𝑚𝑚.

De notar que para as paredes interiores nunca se tem esta zona comprimida já que os momentos

devido ao impulso da água podem ter os dois sentidos (reservatório cheio e os reservatórios

adjacentes vazios – a água exerce impulso na face interior da parede ou reservatório vazio e

reservatórios adjacentes cheios – a água dos reservatórios adjacentes exerce impulso na face

exterior da parede). Também devido a esta razão, nas paredes interiores deve considerar-se a

mesma armadura nas duas faces.

Pode observar-se que as armaduras calculadas para o estado limite último e depois da consideração

da armadura mínima de tracção, não asseguram as exigências de estanquidade. Aplicando os

critérios de estanquidade 1 adoptaram-se as quantidades de armadura necessárias, de forma a

baixar a tensão nas armaduras e limitar a abertura de fendas de acordo com este critério (ver tabela

VI.8).

Met. Simp. FAVRE

σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

Subcapítulo 6.7

125,71 1,03 -9,66 0,125 2,51 0,000377 0,99 40,49 0,153 25,82 0,097 0,254 20,82 0,092 0,156

121,82 0,79 -1,23 0,125 2,51 0,000365 0,96 39,68 0,145 25,34 0,093 0,242 20,34 0,087 0,147

Esforços

Tensões

Zona N (KN/m) M (KNm/m) ysn (m) Asn

(cm2/m)

ϕ (mm) σs (MPa) σc (MPa)

1 Subcapítulo 6.7

2 637,77 30,44 0,05 20,11 16,0 120,73 0,00

0,45 31,42 20,0 125,71 -

3 455,66 61,97 0,05 7,85 10,0 92,86 0,00

0,45 31,42 20,0 121,82 -

Tabela VI.8 – Armaduras necessárias de moda a que a abertura de fendas seja compatível com a classe de estanquidade 1 do EC2 – parte 3 [25]

Localização em planta:

127

Chegaram-se a Φ20//0,10 (31,42 cm2/m) a colocar em ambas as faces para cumprir as exigências de

estanquidade exigidas para este tipo de obra (2 × 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 ).

No anexo 12 encontra-se para todas as outras regiões dos reservatórios o cálculo da armadura de

modo que se cumpram as exigências da classe de estanquidade 1.

Também há que referir que o metodo simplificado de Favre dá uma estimativa de fendas muito

idêntica ao calculo directo perconizado pelo EC2 [24] (ver tabela VI.7, VI.8 e anexo 12). Por outro

lado verifica-se que os valores das aberturas de fendas calculados pela expressão

𝑤1 = 𝑠𝑟𝑚𝑎𝑥 ×𝜍𝑠

𝐸𝑠 são claramente maiores, pois é uma expressão simplificada, que não tem conta a

contribuição do betão entre fendas.

6.9. Controlo indirecto de fendilhação

Como vimos pelo cálculo directo da fendilhação temos tensões das armaduras da ordem dos σs=130

MPa. Olhando para o gráfico da figura III.27, e limitando a abertura de fendas a Wk=0,165mm tem-se

um diâmetro (sem correcção) de Φ=30mm.

Aplicando o coeficiente de correcção da expressão III.43 tem-se:

𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗ 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓

2,9

𝑕

10(𝑕 − 𝑑) = 30

3,2

2,9

0,5

10 × 0,05 = 33𝑚𝑚 (VI.65)

Agora fazendo o cálculo directo Φ=20mm e para Φ=33mm temos:

h (m) Asn

(cm2/m)

Φ (mm) σsmáx

(MPa) hc,ef (m) ρef (%)

εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm)

0,5 31,42 20 130 0,125 2,51 0,00039 1 40,65 0,160

0,5 31,42 33 130 0,125 2,51 0,00039 1 58,24 0,227

Tabela VI.9– Comparação entre o controlo directo e indirecto de abertura de fendas

Como se pode ver pela tabela VI.9 para temos uma abertura de fendas de 0,160 mm pelo cálculo

directo temos que ter varões de 20mm. Olhando para o gráfico da figura III.27, este indica-nos que

podemos usar diâmetros de 33mm se queremos limitar a mesma abertura de fendas, para uma

tensão de 130MPa. Verifica-se que, pelo controlo indirecto de fendilhação, obtêm-se uma indicação

demasiado optimista. Seguindo o gráfico da figura III.27 do controlo indirecto da fendilhação obtêm-se

diâmetros que levam a aberturas de fendas, pelo cálculo directo, da ordem de 1,4 do valor admitido

inicialmente para abertura de fendas. Posto de outra forma, verifica-se pelo cálculo directo, que as

128

quantidades de armadura necessárias para um dado nível de exigência são superiores às obtidas

para o controlo indirecto. Como exemplo pode-se analisar a tabela VI.10, Se escolhermos um

diâmetro de 20mm e segundo o gráfico da figura III.27 para uma abertura de fendas de 0,165 mm e

para um diâmetro corrigido de 18mm (para podermos consultar este gráfico), teremos que ter tensões

da ordem dos 180 MPa. Isto consegue-se com uma quantidade de armadura de 22,50 cm2/m. No

entanto pelo cálculo directo obtêm-se fendas com estas tensões e com estes diâmetros de 0,274 mm,

muito superiores ao admitido. Assim, para termos uma abertura de fendas de 0,165 mm como

admitido, teremos que ter quantidades de armadura de 31,42 cm2/m. O controlo indirecto da

fendilhação deve então ser revisto no futuro.

Tabela VI.10– Comparação entre o controlo directo e controlo indirecto de abertura de fendas

h (m) Asn

(cm2/m)

Φ (mm) σsmáx

(MPa) hc,ef (m) ρef (%)

εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm)

0,5 22,50 20 178 0,125 1,80 0,00053 1 51,38 0,274

0,5 31,42 20 130 0,125 2,51 0,00039 1 40,65 0,160

129

130

VII. Conclusão e desenvolvimentos futuros

7.1. Conclusão

Neste trabalho foram, em primeiro lugar, caracterizadas as acções indirectas e a correcta avaliação

da retracção e dos seus efeitos, antes da formação de fendas tendo em consideração que se trata de

uma acção que se verifica ao longo do tempo. Também para a caracterização do comportamento do

betão armado foram quantificadas e descritas todas as outras acções indirectas.

De seguida, foram apresentadas e resumidas as bases teóricas sobre o comportamento do betão

estrutural, quando submetido a acções directas e indirectas, fruto do processo de pesquisa

bibliográfica, desenvolvido principalmente na fase inicial do trabalho. As características, mais

significativas para o presente estudo, do comportamento estrutural foram devidamente apresentadas,

salientando-se as diferentes fases de resposta de um tirante face a acção de deformações impostas

externas (variação de temperatura, simultaneamente no aço e betão) e internas (retracção do betão).

Chama-se a atenção para que, embora nas últimas, as resultantes de tensões no aço, após o

processo de formação de fendas fossem menores, as aberturas de fendas são da mesma ordem de

grandeza, devido ao encurtamento livre do betão entre fendas. Sendo assim, os dois tipos de acções

têm efeitos equivalentes em termos de aberturas de fendas, podendo ser avaliados de forma

semelhante no comportamento em serviço.

Um dos aspectos que se salientou é que a consideração das deformações impostas é fundamental

na verificação das condições de serviço das estruturas, sendo a sua consideração no

dimensionamento à rotura limitada aos eventuais esforços de segunda ordem e à verificação da

ductilidade disponível. Como os efeitos desfavoráveis das deformações impostas se fazem sentir

fundamentalmente no comportamento em serviço, devem ser considerados, essencialmente, na

verificação aos Estados Limites de Utilização, ou seja, neste caso, no controlo da fendilhação. Assim

sendo, é pressuposto a estrutura encontrar-se fendilhada e, portanto, no cálculo dos esforços faz todo

o sentido considerar a diminuição de rigidez e, por conseguinte, dos esforços gerados relativamente

aos elásticos.

Esta dissertação teve como objectivo principal integrar os estudos desenvolvidos por Ricardo Luís

[38] e Teixeira [48] para o caso de paredes laterais de um reservatório. Luís [38], através de uma

análise não linear com recurso ao programa ATENA, e Teixeira [48], através de análises lineares

(SAP2000) e um processo iterativo que simula o comportamento não linear, estudaram a acção das

deformações impostas em paredes laterais. Nestes dois estudos chegou-se a uma avaliação

qualitativa e quantitativa semelhante, tendo-se verificado que com a formação de fendas transversais,

e consequente perda de rigidez, as tensões nas armaduras tomam, em média, valores inferiores

àquelas que teriam se se tratasse de uma situação típica de tirante, na qual se baseiam as indicações

regulamentares. Estas características de comportamento têm repercussões no dimensionamento das

armaduras para assegurem as características exigíveis de funcionalidade deste tipo de estruturas.

Por outro lado, analisou-se a regulamentação presente no Eurocódigo 2 – parte 3 [25]. No anexo M

deste regulamento, que trata exactamente desta problemática, observa-se uma abordagem diferente,

131

no qual é referido que a formação de uma fenda apenas influencia a distribuição local de tensões, e a

sua abertura é função da extensão impedida e do grau de restrição, não dependendo da tensão nas

armaduras como nos estudos anteriores. Parece-nos que esta formulação pode fazer sentido para a

zona inferior das paredes restringidas na base como se propõe no modelo esquemático da figura

IV.19. Nesta zona, junto á base, aparecem em geral fendas com pouca altura em que o calculo

destas poderá depender apenas da extensão no betão. Assim, quando a fenda ocorre, o alívio da

tensão na parede é transferido para a base por corte, num comprimento curto e localizado em torno

da fenda, prevendo o EC2, que para isso basta que a parede possua a armadura mínima de tracção.

É necessária uma escolha muito rigorosa do betão a colocar em obra pois, nesta zona, a abertura de

fendas parece depender mais directamente da extensão do betão. Já para o cálculo da zona superior

das paredes deve ser utilizada a abordagem efectuada por Luís [38] e Teixeira [48], ou seja, o cálculo

da abertura de fendas preconizado no EC2 – parte 1 [24], de forma equivalente a um tirante, mas

com uma eventual redução do esforço axial resultante das deformações impostas como referido nos

dois estudos. De referir que, ao separar, no modelo, esta zona da inferior, o efeito da restrição da

base está mais afastado, e a restrição principal advém do encastramento das extremidades,

assemelhando-se essa zona ao comportamento de tirante. Aliás a tendência para uma maior

uniformização de tensões nas armaduras na parte superior da parede foi constatada no trabalho de

Teixeira [48]. Evidentemente que a interdependência do comportamento nas duas zonas existe e a

sua individualização só faz sentido como modelação, verificando-se que se formam menos fendas na

parte superior com aberturas, dependentes da tensão nas armaduras que parece aumentam um

pouco de baixo para cima (ver figura IV.15 e IV.19).

Como se analisou no exemplo apresentado no capítulo VI na zona superior das paredes laterais

temos a sobreposição do efeito da flexão provocada pelo impulso da água com as deformações

impostas axiais. De referir que na zona inferior o efeito das cargas pouco se faz sentir como se pode

observar na figura VI.12 e VI.13 pelo que se poderá adoptar a abordagem do EC2 – parte 3 [25] para

esta zona. Assim para a zona superior das paredes terá que se adoptar a metodologia efectuada por

Luís [37], não se podendo separar o efeito das cargas devido ao impulso da água, das situações de

deformação imposta. É de salientar que as exigências de estanquidade regulamentares para

reservatórios (EC2 – parte 3) impõem quantidades de armaduras claramente superiores à mínima,

como definida no EC2 – parte 1, para zonas onde haja probabilidade de ocorrem importantes

tracções, por efeito das deformações impostas. No entanto, é importante a constatação efectuada por

Luís [38] e Teixeira [48], que aponta para a possibilidade de admitir, no caso da sobreposição com os

efeitos das cargas, um esforço axial inferior ao da fórmula da armadura mínima, nas verificações para

assegurar determinados níveis de exigências, conduzindo, mesmo assim, a quantidades de armadura

mais razoáveis.

Por último, verificou-se que pelo cálculo directo de abertura de fendas, as quantidades de armadura

necessárias para um dado nível de exigência são superiores às obtidas pelo controlo indirecto, devido

às inúmeras simplificações detalhadas no anexo 3. Parece justificar-se, assim, que este aspecto seja,

no futuro, clarificado.

132

7.2. Desenvolvimentos futuros

No sentido de se clarificarem os efeitos das deformações impostas nas paredes dos reservatórios, e

validar as hipóteses agora admitidas, há que analisar alguns aspectos como:

Verificação se a zona superior da parede se comporta, no essencial, como um tirante, e qual

o nível de tensões que se desenvolvem e, se, de facto, a fendilhação da zona inferior pode

ser considerada como independente da tensão na armadura e proporcional à extensão do

betão.

Aprofundamento das regras simples para estimar os valores de esforço axial, considerando

uma percentagem do valor de fendilhação, tendo em atenção que o comportamento das

paredes laterais não é exactamente igual ao comportamento de um tirante.

Para se ter um contributo suplementar na compreensão no funcionamento das paredes laterais de um

reservatório, dever-se-ia se recorrer a programas de análise não linear e/ou a ensaios laboratoriais,

apesar da dificuldade prática de implementação destes últimos. Através de uma análise deste tipo

será possível avaliar a resposta das paredes e verificar o processo de formação das fendas mais

localizadas nas zonas inferiores (de maior tracção na fase não fendilhada) mas que acabam por não

se desenvolver em toda a altura da parede, e perceber melhor a avaliação da abertura de fendas na

zona superior. Estas apesar de serem menos, apresentam aberturas de fendas maiores pelo que

devem ser bem avaliadas.

Além destes estudos de caracterização do comportamento e de complementarização das regras de

dimensionamento, parece importante fazer um levantamento de situações verificadas em obras de

reservatórios, salientando as que mostram um comportamento adequado e as que tiveram

comportamento anómalo, tentando fazer, face as características e quantidades dos matérias

adoptados, uma análise de causa e efeito.

133

134

VIII. Bibliografia

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[30] Goodchild, Charles –“Practical Design to Eurocode 2”, The Concrete Center, 2010;

136

[31] Guerrin, A. – “Traité de Béton Armé, Volume V: Réservoirs, Châteaux de’eau et Piscines”. Dunod,

Paris, 1972 (edição brasileira – Hemus Editora, São Paulo);

[32] Harrison, T. A. – “CIRIA R.91: Early-age Thermal Crack Control in Concrete” CIRIA Report 91,

London, 1992;

[33] Hempel, http://www.hempel.pt/, 24 de Fevereiro de 2011;

[34] Jaccoud, J.-P. – “Armateur Minimale pour le Contrôle de la Fissuration des Strutures en Béton”.

PhD. École Polytechnique Fédérale de Lausanne (nº666), Lausanne, 1987;

[35] Jones, Tony – “Simpósio de Eurocódigos – Eurocódigo 2: Projecto de estruturas de betão - parte

3: Silos e Reservatórios”, Arup, Bruxelas, Fevereiro de 2008;

[36] Lúcio, Valter – “Estruturas de betão armado I, capítulo 9: Estado limite de fendilhação”,

Faculdade de ciências e tecnologia , Maio de 2006;

[37] Luís, Ricardo – “Análise e dimensionamento de estruturas de betão com sobreposição de cargas

e Deformações Impostas”, Tese de mestrado, Instituto Superior Técnico, 2005;

[38] Luís, Ricardo – “Crack control for imposed deformations”, Laussane, Artigo científico, 2007;

[39] Marti, P. et al. Tension Chord Model for Structural Concrete. “Publication on Structural

Engineering International”, pg. 287-298, 1998;

[40] Mendes, Pedro – “Reservatórios em betão armado – Análise estrutural e dimensionamento”,

Instituto Superior Técnico, Maio de 2000;

[41] Montoya, P. J.- “Hormigón Armado”, 14ª edição, Editorial Gustavo Gili, Barcelona, 2000;

[42] Secil, http://www.secil.pt/, 24 de Fevereiro de 2011;

[43] Simtejo – “Concepção/Construção da Adaptação da ETAR de Alcântara - tanques de decantação

primária ”. Lisboa, 2006;

[44] Silva, Ana – “A influência dos adjuvantes redutores da retracção no controlo da fissuração”.

Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Dissertação de Mestrado, Núcleo de Betões, Lisboa Março

de 2006;

[45] Schiessel, P – “Einfluss von Rissen auf die Doucrhaftigkeit von Stahblbeton – und

Spannbetonbauteilen”, Deutscher Ausschus für Stahlbeton, Berlin Heft 370, 1986;

[46] Structural Concrete. Text Book – Updated knowledge of the CEB-FIP Model Code 90 – Vol. 1, 2,

e 3;

137

[47] Tavares, Rodolfo – “State-of-Art sobre o Controlo da Fendilhação devido a Deformações

Impostas”, Tese de mestrado, Instituto Superior Técnico, 2010;

[48] Teixeira, Wilson – “Controlo de fendilhação para deformações impostas em depósitos”, Tese de

mestrado, Instituto Superior Técnico, 2008;

[49] Trevino, J. – “Methode Directe de Calcul de l’Etat de Deformation et de Contraite a Longue Terme

d’une Structure Composee”, Tese de Doutoramento, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne,

Lausanne, 1988;

[50] Walraven, J.C. – “Simpósio de Eurocódigos – Eurocódigo 2: Projecto de estruturas de betão -

parte 1.1: regras gerais e regras para edifícios”, TU Delft, Bruxelas, Fevereiro de 2008;

[51] “Worked examples”, European Concrete Platform ASBL, Maio de 2008.

138

IX. Anexos

Anexo 1 – Cálculo da extensão de fluência

De acordo com o EC2 [24] a deformação do betão por fluência, 𝜀𝑐𝑐(∞, 𝑡0), no instante t, para uma

tensão de compressão constante, 𝜍𝑐 , aplicada na idade do betão 𝑡0, é obtida por:

𝜀𝑐𝑐 𝑡, 𝑡0 = 𝜑 𝑡, 𝑡0 × (𝜍𝑐/𝐸𝑐) (VII.1)

O coeficiente de fluência 𝜑 𝑡, 𝑡0 , poderá ser calculado a partir de:

𝜑 𝑡, 𝑡0 = 𝜑0 × 𝛽𝑐(𝑡, 𝑡0) (VII.2)

em que:

𝜑0 coeficiente de fluência que poderá ser calculado a partir de:

𝜑0 = 𝜑𝑅𝐻 × 𝛽 𝑓𝑐𝑚 × 𝛽 𝑡0 (VII.3)

𝜑𝑅𝐻 factor que tem em conta a influência da humidade relativa no coeficiente de fluência:

𝜑𝑅𝐻 = 1 +1− 𝑅𝐻/100

0,1 × 𝑕03

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑚 ≤ 35 𝑀𝑃𝑎 (VII.4)

𝜑𝑅𝐻 = 1 +1− 𝑅𝐻/100

0,1 × 𝑕03

× 𝛼1 × 𝛼2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑚 > 35 𝑀𝑃𝑎 (VII.5)

RH humidade relativa do meio ambiente, em %;

𝛽 𝑓𝑐𝑚 factor que tem conta a influencia da resistência do betão no coeficiente de fluência

convencional:

𝛽 𝑓𝑐𝑚 =16,8

𝑓𝑐𝑚 (VII.6)

𝑓𝑐𝑚 valor médio da tensão de rotura do betão à compressão, em MPa, aos 28 dias de idade;

𝛽 𝑡0 factor que tem em conta a influência da idade do betão à data do carregamento no coeficiente

de fluência:

𝛽 𝑡0 =1

0,1 + 𝑡00,20

(VII.7)

𝑕0 espessura equivalente do elemento, em mm, em que:

𝑕0 =2𝐴𝑐𝑢

(VII.8)

𝐴𝑐 área da secção transversal;

u parte do perímetro do elemento em contacto com o ambiente;

𝛽𝑐 𝑡0 coeficiente que traduz a evolução da fluência no tempo, após o carregamento, e que poderá

ser estimado pela seguinte expressão:

𝛽𝑐 𝑡0 = (𝑡 − 𝑡0)

𝛽𝐻 + 𝑡 − 𝑡0

0,3

(VII.9)

t idade do betão, em dias, na data considerada;

𝑡0 idade do betão, em dias, à data do carregamento;

139

𝑡 − 𝑡0 duração não corrigida do carregamento, em dias;

𝛽𝐻 coeficiente que depende da humidade relativa (RH em %) e da espessura equivalente do

elemento (h0 em mm). Poderá ser estimado a partir de:

𝛽𝐻 = 1,5 1 + (0,012𝑅𝐻)18 𝑕0 + 250 ≤ 1500 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑚 ≤ 35 𝑀𝑃𝑎 (VII.10)

𝛽𝐻 = 1,5 1 + (0,012𝑅𝐻)18 𝑕0 + 250𝛼3 ≤ 1500𝛼3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑚 ≥ 35 𝑀𝑃𝑎 (VII.11)

𝛼1/2/3 coeficientes que têm em conta a influencia da resistência do betão:

𝛼1 = 35

𝑓𝑐𝑚

0,7

𝛼2 = 35

𝑓𝑐𝑚

0,2

𝛼3 = 35

𝑓𝑐𝑚

0,5

(VII.12)

A influência do tipo de cimento no coeficiente de fluência do betão poderá ser tida em conta

corrigindo na expressão VII.7 a idade à data do carregamento 𝑡0 de acordo com a seguinte

expressão:

𝑡0 = 𝑡0,𝑇 × 9

2 + 𝑡0,𝑇1,2 + 1

𝛼

≥ 0,5 (VII.13)

em que:

𝑡0,𝑇 idade do betão à data do carregamento, em dias, corrigida em função da temperatura de

acordo com a expressão VII.14;

𝛼 expoente função do tipo de cimento:

=-1 para cimento da Classe S;

=0 para cimento da Classe N;

=1 para cimento da Classe R.

A influência de temperaturas elevadas ou baixas, no intervalo de 0º C a 80º C, na maturidade do

betão poderá ser considerada corrigindo a idade do betão de acordo com a seguinte expressão:

𝑡𝑇 = 𝑒−(4000 / 273+𝑇 ∆𝑡𝑖 −13,65) × ∆𝑡𝑖 (VII.14)

𝑛

𝑖=1

em que:

𝑡𝑇 idade do betão corrigida em função da temperatura, que substitui t nas expressões

correspondentes:

𝑇 ∆𝑡𝑖 temperatura em ºC durante o intervalo de tempo ∆𝑡𝑖 ;

∆𝑡𝑖 número de dias em que se mantém a temperatura T.

Nota: CEM42,5 R; CEM52,5 N e CEM52,5 R são

classificados pelo EC2 por classe R;

CEM32,5 R e CEM42,5 N são classificados pelo EC2

por classe N;

CEM32,5 N são classificados pelo EC2 por classe S.

140

Anexo 2 – Cálculo da extensão de retracção

De acordo com o EC2 [24] a extensão total de retracção é constituída por duas componentes, a

extensão de retracção por secagem e a extensão de retracção autogénea. Assim, o valor da

extensão total de retracção 𝜀𝑐𝑠 é igual a:

𝜀𝑐𝑠 = 𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑐𝑎 (VII.15)

em que:

𝜀𝑐𝑠 extensão total de retracção;

𝜀𝑐𝑑 extensão de retracção por secagem;

𝜀𝑐𝑎 extensão de retracção autogénea.

A evolução com o tempo da extensão de retracção por secagem é obtida por:

𝜀𝑐𝑑 𝑡 = 𝛽𝑑𝑠 𝑡, 𝑡𝑠 × 𝑘𝑕 × 𝜀𝑐𝑑 ,0 (VII.16)

em que:

𝑘𝑕 coeficiente que depende da espessura equivalente, 𝑕0, de acordo com o a tabela VII.1.

𝒉𝟎 𝒌𝒉

100

200

300

≥500

1,0

0,85

0,75

0,70

Tabela IX.1 – Valores de Kh na expressão VII.16

A extensão de retracção por secagem de referencia, 𝜀𝑐𝑑 ,0, é calculada por:

𝜀𝑐𝑑 ,0 = 0,85 220 + 110 × 𝛼𝑑𝑠1 × 𝑒𝑥𝑝 −𝛼𝑑𝑠2 ×𝑓𝑐𝑚𝑓𝑐𝑚0

× 10−6 × 𝛽𝑅𝐻 (VII.17)

𝛽𝑅𝐻 = 1,55 1 − 𝑅𝐻

𝑅𝐻0

3

(VII.18)

em que:

𝑓𝑐𝑚 valor médio da tensão de rotura do betão à compressão (MPa);

𝑓𝑐𝑚0 =10MPa;

𝛼𝑑𝑠1 coeficiente que depende do tipo do cimento:

=3 para cimento da Classe S;

=4 para cimento da Classe N;

=6 para cimento da Classe R.

𝛼𝑑𝑠2 coeficiente que depende do tipo de cimento:

=0,13 para cimento da Classe S;

=0,12 para cimento da Classe N;

=0,11 para cimento da Classe R.

Nota: CEM42,5 R; CEM52,5 N e CEM52,5 R

são classificados pelo EC2 por classe R;

CEM32,5 R e CEM42,5 N são classificados

pelo EC2 por classe N;

CEM32,5 N são classificados pelo EC2 por

classe S.

141

RH humidade relativa ambiente (%);

RH0 100%

A função de desenvolvimento do tempo é definido por:

𝛽𝑑𝑠 𝑡 − 𝑡𝑠 = 𝑡 − 𝑡𝑠

𝑡 − 𝑡𝑠 + 0,04 𝑕03

(VII.19)

em que:

t idade do betão na data considerada, em dias;

𝑡𝑠 idade do betão (dias) no início da retracção por secagem (ou expansão); normalmente

corresponde ao fim da cura;

𝑕0 espessura equivalente (mm) da secção transversal dada pela expressão VII.8;

A extensão de retracção autogénea é obtida por:

𝜀𝑐𝑎 𝑡 = 𝛽𝑎𝑠 𝑡 × 𝜀𝑐𝑎 ∞ (VII.20)

em que:

𝜀𝑐𝑎 ∞ = 2,5(𝑓𝑐𝑘 − 10)10−6 (VII.21)

e

𝛽𝑎𝑠 𝑡 = 1 − 𝑒𝑥𝑝(−0,2𝑡0,5) (VII.22)

em que t é expresso em dias.

142

Anexo 3 – Formulação do controlo indirecto da fendilhação

A expressão da abertura de fendas do EC2 [24] é dada pela seguinte expressão:

𝑤𝑘 = 1,7𝑠𝑚 (𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 ) = 3,40𝑐 + 0,425𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑒𝑓 𝜍𝑠𝐸𝑠 1 − 𝑘𝑡

𝜍𝑠𝑟𝜍𝑠 (VII.23)

𝜍𝑠𝑟 é a tensão calculada na secção fendilhada para o momento fendilhação. 𝜍𝑠𝑟 pode ser calculado

por:

𝜍𝑠𝑟 =𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝐴𝑐𝑡𝑘𝑐𝑘

𝐴𝑠=𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑘𝑐𝑘

𝜌𝑠,𝑒𝑓

𝑕𝑐𝑟2,5𝑘′(𝑕 − 𝑑)

(VII.24)

Introduzindo a expressão do 𝜍𝑠𝑟 na expressão VII.23, e arranjando esta em função do diâmetro, ficamos com:

𝜙 =

𝑤𝑘

1− 𝑘𝑡 𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑘𝑐𝑘𝜌𝑠,𝑒𝑓𝜍𝑠

𝑕𝑐𝑟2,5𝑘′(𝑕 − 𝑑)

𝐸𝑠𝜍𝑠− 3,4𝑐

𝜌𝑒𝑓

0,425𝑘1𝑘2

(VII.25)

Assumindo os seguintes valores:

𝑘 = 1,0 𝑕 ≤ 0,3 (pressuposto do lado seguro);

𝑘𝑐 = 0,4 𝑒 𝑘’ = 1 flexão pura ; 𝑕𝑐𝑟𝑕 − 𝑑

≈𝑕

2

10

𝑕= 5;

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓 = 2,9 𝑁/𝑚𝑚2;

𝑘𝑡 = 0,4;

0,425𝑘1𝑘2 = 0,17 (k1=0,5 para flexão pura; k2=0,8 varões de alta aderência)

𝑐 = 25𝑚𝑚

Com estes valores, a equação VII.25 pode ser escrita como:

𝜙 =

200000

1− 0,928𝜌𝑠,𝑒𝑓𝜍𝑠

𝑤𝑘𝜍𝑠− 85

5,88𝜌𝑒𝑓 (VII.26)

A expressão acima é válida apenas para 𝜍𝑠 > 𝜍𝑠𝑟 e é uma função com 3 variáveis. Portanto, alguma

suposição sobre 𝜌𝑒𝑓 deve ser feita a fim de obter o quadro 7.2N do EC2 [24]. A suposição de que

será feita é que 𝜌𝑒𝑓 = 𝜌𝑒𝑓 ,𝑚𝑖𝑛 (isto é, 𝜍𝑠 = 𝜍𝑠𝑟 ). Esta suposição é justificada porque para valores mais

baixos de 𝜍𝑠 não há fendilhação. Se esta ocorrer, então a expressão VII.26 vai dar varões menores,

pois estamos a utilizar o valor mais pequeno de

𝜌𝑒𝑓 (quanto maior o valor de ρef

maior o diâmetro dos varões). O valor da 𝜌𝑒𝑓 pode ser considerado a

partir da seguinte equação:

𝜌𝑒𝑓 = 𝜌𝑒𝑓 ,𝑚𝑖𝑛 =𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑘𝑐𝑘

𝜍𝑠

𝑕𝑐𝑟2,5𝑘′(𝑕 − 𝑑)

(VII.27)

143

Se a expressão acima de 𝜌𝑒𝑓 é substituída na equação VII.25, esta equação pode ser simplificada

para:

𝜙 = 𝑤𝑘

1 − 𝑘𝑡

𝐸𝑠𝜍𝑠− 3,4𝑐

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑘𝑐𝑘

𝜍𝑠0,425𝑘1𝑘2

𝑕𝑐𝑟2,5𝑘′(𝑕 − 𝑑)

≈ 100000

𝜍𝑠− 85

13,65

𝜍𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑤𝑘 = 0,3 (VII.28)

Esta curva é representada na figura VII.1 e apresentada em forma numérica na tabela VII.2. Pode-se

ver que uma boa concordância é obtida entre a teoria e a tabela 7.2 do EC2 [24]. As pequenas

diferenças observadas são devidas à necessidade de usar varões de diâmetros comerciais.

𝒘𝒌 = 𝟎,𝟑 𝒎𝒎 𝜍𝑠 𝜌𝑒𝑓 ,min 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑜 𝜙𝑚𝑎𝑥 ,𝑒𝑞 𝜙𝑚𝑎𝑥 ,𝐸𝐶2

160 200 240 280 320 360 400 450

14,5 11,6 9,7 8,3 7,3 6,4 5,8 5,2

46 28 19 13 10 7 6 4

32 25 16 12 10 8 6 5

Tabela IX.2 – Diâmetro máximo em função da tensão nas armaduras para uma abertura de fendas de 0,3 mm. Taxa de

armadura mínima para um dado valor de 𝝈𝒔 que cumpre a condição 𝝈𝒔 > 𝝈𝒔𝒓.

Se valores diferentes são usados para os coeficientes assumidos em cima, então o valor obtido a

partir das tabelas devem ser corrigido pelas seguintes expressões:

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

2,9

0,5

𝑘1

𝑘𝑐0,4

𝑕𝑐𝑟0,5𝑕

0,1𝑕

(𝑕 − 𝑑)

1

𝑘′=𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

2,9

0,5

0,5

𝑘𝑐𝑕𝑐𝑟2(𝑕 − 𝑑)

1

1 (VII.29)

𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

2,9

0,5

𝑘1

𝑘𝑐0,4

𝑕𝑐𝑟0,5𝑕

0,1𝑕

(𝑕 − 𝑑)

1

𝑘′=𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓

2,9

0,5

1

𝑘𝑐𝑕𝑐𝑟2(𝑕 − 𝑑)

1

2 (VII.30)

em que:

para a flexão 𝑘′ = 1 pois 2,5𝑘′ 𝑕 − 𝑑 = 2,5 × 0,1𝑕 = 0,25𝑕 𝑕𝑐 ,𝑒𝑓 = 2,5 𝑕 − 𝑑 (VII.31)

para a tracção 𝑘′ = 2 pois 2,5𝑘′ 𝑕 − 𝑑 = 2,5 × 2 × 0,1𝑕 = 0,5𝑕 𝑕𝑐 ,𝑒𝑓 = 0,5𝑕 (VII.32)

Que pode ser escrito por:

𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓

2,9

𝑘𝑐𝑕𝑐𝑟2 𝑕 − 𝑑

(VII.33)

𝜙𝑠 = 𝜙𝑠∗𝑓𝑐𝑡 ,𝑒𝑓𝑓

2,9

𝑘𝑐𝑕𝑐𝑟8 𝑕 − 𝑑

(VII.34)

para flexão (com pelo menos uma parte

da secção em compressão) (k1 = 0,5)

para tracção (k1 = 1)

caso de flexão (com pelo menos uma

parte da secção em compressão)

caso de tracção

144

Figura IX-1 – Curva do controlo indirecto da fendilhação preconizada no EC2 [24] sobe a fórmula da tabela 7.2

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

145

Anexo 4 – Cimentos adequados para os reservatórios [16]

146

Anexo 5 – Tipos de cimentos, composição e classes de resistência [18]

Nota: CEM42,5 R; CEM52,5 N e

CEM52,5 R são classificados pelo EC2

por classe R;

CEM32,5 R e CEM42,5 N são

classificados pelo EC2 por classe N;

CEM32,5 N são classificados pelo EC2

por classe S.

147

Anexo 6 – Composição do cimento Pozolânico (CEM IV/A (V) 32,5 R) [42]

148

149

Anexo 7 – Composição do cimento Portland de Calcário CEM II/A-L 42,5R [16]

150

151

Anexo 8 – Composição do cimento Portland de Calcário CEM II/B-L 42,5R [16]

152

153

Anexo 9 – Tabela 1.96 de Bares [7]

154

155

Anexo 10 – Tabela 1.82 de Bares [7]

156

157

Co

m a

diç

õe

s

Anexo 11 – Valores de T1 em função da espessura e da quantidade de ligante

Sem

ad

içõ

es

20% cinzas volantes – cofragem metálica 20% cinzas volantes – cofragem madeira

35% cinzas volantes – cofragem metálica 35% cinzas volantes – cofragem madeira

Espessura (mm) Espessura (mm)

Au

me

nto

de t

em

pera

tura

T1(º

C)

Au

me

nto

de t

em

pera

tura

T1(º

C)

CEM I – cofragem madeira CEM I – cofragem metálica

Au

me

nto

de t

em

pera

tura

T1(º

C)

Au

me

nto

de t

em

pera

tura

T1(º

C)

Espessura (mm) Espessura (mm)

Espessura (mm)

Au

me

nto

de t

em

pera

tura

T1(º

C)

Au

me

nto

de t

em

pera

tura

T1(º

C)

Espessura (mm)

Nota: Todos estes gráficos foram obtidos com uma cofragem de 18mm de espessura.

158

Anexo 12 – Armaduras necessárias de modo a que a abertura de fendas seja compatível com a classe de estanquidade 1

Paredes exteriores sem cobertura:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 146,97 -135,77 0,05 20,11 16,0 201,14 -

201,14 0,56 0,10 0,125 1,61 0,000603 0,50 30,51 0,184 19,95 0,120 0,307 14,95 0,105 0,179 0,45 7,85 10,0 -28,74 -4,50

3 101,42 -166,99 0,05 20,11 16,0 228,24 -

228,24 0,56 0,11 0,125 1,61 0,000685 0,50 30,51 0,209 19,95 0,137 0,348 14,95 0,119 0,203 0,45 7,85 10,0 -39,89 -5,66

Localização do corte em planta:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 637,77 30,44 0,05 20,11 16,0 120,73 0,00

125,71 1,03 -9,66 0,125 2,51 0,000377 0,99 40,49 0,153 25,82 0,097 0,254 20,82 0,092 0,156 0,45 31,42 20,0 125,71 -

3 455,66 61,97 0,05 7,85 10,0 92,86 0,00

121,82 0,79 -1,23 0,125 2,51 0,000365 0,96 39,68 0,145 25,34 0,093 0,242 20,34 0,087 0,147 0,45 31,42 20,0 121,82 -

Localização do corte em planta:

159

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 601,46 -37,71 0,05 31,42 20,0 125,72 -

125,72 1,03 -1,73 0,125 2,51 0,000377 0,97 39,90 0,150 25,47 0,096 0,251 20,47 0,090 0,153 0,45 20,11 16,0 102,66 0,00

3 582,18 -73,84 0,05 31,42 20,0 151,39 -

151,39 1,03 -0,17 0,125 2,51 0,000454 0,91 38,11 0,173 24,42 0,111 0,288 19,42 0,103 0,175 0,45 20,11 16,0 52,96 0,00

Localização do corte em planta:

Paredes exteriores com cobertura:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 134,71 -95,58 0,05 20,11 16,0 212,18 -

212,18 0,80 0,08 0,089 2,26 0,000692 0,83 33,69 0,233 21,82 0,151 0,357 16,82 0,125 0,212 0,3 7,85 10,0 -31,92 -6,19

3 130,71 -99,87 0,05 20,11 16,0 219,18 -

219,18 0,80 0,08 0,089 2,27 0,000728 0,83 33,60 0,245 21,77 0,158 0,368 16,77 0,129 0,219 0,3 7,85 10,0 -34,27 -6,48

Localização do corte em planta:

- a 1 m do meio

160

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 466,64 20,52 0,05 20,11 16,0 75,20 0,00

100,38 1,47 -0,70 0,125 2,51 0,000301 0,94 39,04 0,118 24,96 0,075 0,196 19,96 0,070 0,119 0,3 31,42 20,0 100,38 -

3 276,10 34,81 0,05 7,85 10,0 9,24 -0,71

98,72 1,02 0,02 0,109 2,57 0,000296 0,83 31,21 0,092 20,36 0,060 0,154 15,36 0,053 0,090 0,3 27,96 16,0 98,72 -

Localização do corte em planta:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 375,92 -16,03 0,05 27,96 16,0 90,16 -

90,16 1,37 -0,49 0,125 2,24 0,000270 0,93 36,11 0,098 23,24 0,063 0,163 18,24 0,058 0,098 0,3 20,11 16,0 61,58 0,00

3 312,38 -24,41 0,05 27,96 16,0 90,78 -

90,78 1,02 -1,10 0,125 2,24 0,000272 0,96 36,87 0,100 23,69 0,065 0,167 18,69 0,059 0,101 0,3 7,85 10,0 74,59 0,00

Localização do corte em planta:

- a 1 m do meio

161

Ligação dos tanques com cobertura com os tanques sem cobertura (a 1 m do meio):

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1

Subcapítulo 6.7

2 517,45 -20,14 0,05 31,42 20,0 98,37 -

98,37 1,26 -0,78 0,125 2,51 0,000295 0,95 39,33 0,116 25,14 0,074 0,193 20,14 0,069 0,118 0,45 31,42 20,0 66,32 0,00

3 515,20 -45,33 0,05 31,42 20,0 118,06 -

118,06 1,03 -0,57 0,125 2,51 0,000354 0,94 39,07 0,138 24,98 0,088 0,231 19,98 0,083 0,140 0,45 20,11 16,0 71,74 0,00

Localização do corte em planta:

Paredes interiores:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1

Subcapítulo 6.7

2 407,54 -69,67* 0,05 20,11 16,0 234,69 -

234,69 1,15 0,05 0,102 1,97 0,000764 0,83 36,56 0,279 23,51 0,180 0,429 18,51 0,152 0,258 0,3 20,11 16,0 5,11 -3,25

3 403,68 -78,45* 0,05 20,11 16,0 249,66 -

249,66 1,15 0,05 0,1 2,01 0,000845 0,83 36,13 0,305 23,25 0,196 0,451 18,25 0,159 0,271 0,3 20,11 16,0 -0,16 -3,95

Localização do corte em planta:

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

-a 1 m do meio

162

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1

Subcapítulo 6.7

2 454,04 15,73* 0,05 27,96 16,0 58,68 0,00

103,70 1,60 -0,28 0,125 2,24 0,000311 0,90 35,49 0,110 22,88 0,071 0,184 17,88 0,065 0,110 0,3 27,96 16,0 103,70 -

3 309,47 25,88* 0,05 27,96 16,0 18,31 0,00

92,37 1,60 -0,01 0,121 2,32 0,000277 0,83 33,15 0,092 21,50 0,060 0,153 16,50 0,053 0,091 0,3 27,96 16,0 92,37 -

Localização do corte em planta:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1

Subcapítulo 6.7

2 524,13 -33,38* 0,05 31,42 20,0 125,91 -

125,91 1,80 -0,07 0,125 2,51 0,000378 0,85 36,63 0,138 23,55 0,089 0,231 18,55 0,082 0,139 0,3 31,42 20,0 40,91 0,00

3 448,03 -37,03* 0,05 31,42 20,0 118,44 -

118,44 1,80 -0,01 0,121 2,59 0,000355 0,83 35,49 0,126 22,87 0,081 0,210 17,87 0,074 0,126 0,3 31,42 20,0 24,15 0,00

Localização do corte em planta:

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

163

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1

Subcapítulo 6.7

2 656,67 19,78*

0,05 31,42

20,0 88,76 0,00 120,24 1,26 -1,08 0,125 2,51 0,000361 0,96 39,58 0,143 25,28 0,091 0,238 20,28 0,085 0,145

0,45 31,42 20,0 120,24 -

3 572,23 51,70* 0,05 31,42 20,0 49,93 0,00

132,20 1,26 -0,19 0,125 2,51 0,000397 0,91 38,21 0,152 24,48 0,097 0,253 19,48 0,090 0,153 0,45 31,42 20,0 132,20 -

Localização do corte em planta:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 483,44 12,32* 0,05 27,96 16,0 68,82 0,00

104,08 1,60 -0,44 0,125 2,24 0,000312 0,92 35,99 0,112 23,17 0,072 0,187 18,17 0,066 0,113 0,3 27,96 16,0 104,08 -

3 319,28 13,03* 0,05 20,11 16,0 53,47 0,00

105,30 1,15 -0,21 0,125 1,61 0,000316 0,89 43,63 0,138 27,66 0,087 0,230 22,66 0,084 0,142 0,3 20,11 16,0 105,30 -

Localização do corte em planta:

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

164

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1

Subcapítulo 6.7

2 481,87 -87,92* 0,05 31,42 20,0 146,37 -

146,37 1,26 0,02 0,125 2,51 0,000439 0,87 37,11 0,163 23,83 0,105 0,272 18,83 0,096 0,164 0,45 31,42 20,0 9,39 -0,63

3 462,50 -108,31* 0,05 20,11 16,0 247,73 -

247,73 0,80 0,05 0,125 1,61 0,000756 0,86 42,80 0,323 27,17 0,205 0,530 22,17 0,192 0,327 0,45 20,11 16,0 4,71 -2,07

Localização do corte em planta:

Esforços

Tensões

Met. Simp. FAVRE

Zona N

(KN/m) M

(KNm/m) ysn

(m) Asn

(cm2/m)

Φmax (mm)

σs

(MPa) σc

(MPa) σsmáx

(MPa) ρ

(%) x (m)

hc,ef

(m) ρef

(%) εsm-εcm

≥0,6.σs/Es k2

Sr,max

(cm) Wk

(mm) Sr,m

(cm) Wm

(mm) W1

(mm) l0k

(cm) Wm

(mm) Wk

(mm)

1 Subcapítulo 6.7

2 319,58 -60,19* 0,05 20,11 16,0 194,15 -

194,15 1,15 0,05 0,1 2,00 0,000582 0,83 36,24 0,211 23,32 0,136 0,352 18,32 0,124 0,212 0,3 20,11 16,0 1,02 -3,00

3 277,31 -57,70* 0,05 20,11 16,0 178,43 -

178,43 1,15 0,05 0,099 2,03 0,000535 0,83 35,93 0,192 23,13 0,124 0,321 18,13 0,113 0,193 0,3 20,11 16,0 -2,08 -3,05

Localização do corte em planta:

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

*Nota: Nas paredes interiores o momento devido ao impulso da água pode actuar nos dois sentidos pelo que faz

sentido as armaduras serem iguais nas duas faces.

165