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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
PROF DR. NILSON TADEU MASCIA
CAMPINAS, JANEIRO DE 2006 (REVISÃO 2017)
2
Índice 1. Introdução ........................................................................................................................... 3 2. Significado físico de deformação ....................................................................................... 3 3. Definição matemática de deformação ................................................................................ 5 4. Deformação elástica ........................................................................................................... 8
4.1 Lei de Hooke ................................................................................................................. 8 4.2 Cisalhamento puro ...................................................................................................... 11 4.3 Lei de Hooke generalizada .......................................................................................... 13 4.4 Análise do coeficiente de Poisson ............................................................................... 13 4.5 Dilatação e módulo volumétrico ................................................................................. 15
5. Deformação no estado plano de tensão ............................................................................ 17 5.1 Equações para a transformação de deformação plana ................................................. 18 5.2 Círculo de Mohr para deformação .............................................................................. 21
6. Exercícios ......................................................................................................................... 23 6.1 Exercício nº1 ............................................................................................................... 23 6.2 Exercício nº2 ............................................................................................................... 24 6.3 Exercício nº3 ............................................................................................................... 26
7. Medidas de deformação - Rosetas .................................................................................... 28 8. Bibliografia ....................................................................................................................... 30
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TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
1. Introdução
A análise das deformações de um corpo sólido iguala-se em importância à análise de tensões e se constituirá de nosso objeto de estudo nesta segunda parte da teoria das tensões e deformações.
Para isso será necessária a definição precisa de deformação em primeiro lugar, e das relações entre tensão e deformação na forma da lei de Hooke generalizada, a seguir.
2. Significado físico de deformação
Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a ação de uma carga externa. Por exemplo, num ensaio de corpo de prova de aço, como mostrado na figura abaixo, ocorre mudança no comprimento do C. P., entre dois pontos A e B. A carga aplicada é crescente e os pontos A e B são genéricos.
Fig. 1 - Modelo do ensaio de tração
4
Neste ensaio determina-se a variação do comprimento compreendido entre A e B. Se l0 é o comprimento inicial e l é aquele observado sob tensão de tração, o alongamento da barra vale:
∆l=l-l 0
O alongamento por unidade de comprimento vale:
ε=� dl
l0=
l
l0
l-l0
l0
Esse alongamento por unidade de comprimento é chamado de deformação linear ou específica, sendo uma quantidade adimensional, mas usualmente se pode referir a ela por cm/cm ou mm/mm. Algumas vezes é dada em porcentagem. A quantidade ε é numericamente bastante pequena. Se considerar a variação do comprimento da peça, a expressão anterior ficaria:
ε=� dl
l0=
l
l0
ln l�l0l =lnl
l0
Além da deformação linear descrita acima, um corpo em geral pode se deformar linearmente em outras duas direções. Analiticamente as direções são ortogonais entre si e relacionadas nos eixos x, y, z. Assim, um corpo pode se deformar como na figura abaixo.
Fig. 2 - Deformações tangenciais
Tais deformações causam uma mudança nos ângulos inicialmente retos, entre linhas imaginárias do corpo e essa alteração angular é definida por deformação cisalhante ou deformação tangencial.
5
3. Definição matemática de deformação
As deformações variam de ponto a ponto num elemento estrutural infinitesimal (continuidade do material). Para esclarecimento das deformações, via definição matemática, toma-se um elemento infinitesimal (AB), como mostra a figura:
Fig. 3 - Deslocamento e deformação
Os pontos A e B passam para A’ e B’ respectivamente. Durante a deformação, o ponto A sofre um deslocamento u. O deslocamento do ponto B é u+∆u, pois, além de u, comum a todo elemento ∆x, ocorre o alongamento ∆u no elemento. Assim, a definição de deformação linear é:
ε= lim∆x→0u+�u+∆u�
∆x = lim∆x→0∆u∆x=
dudx
A figura 4 apresenta um corpo que sofre deformações ortogonais, para o caso bi-dimensional.
Fig. 4 - Deslocamento e deformação: caso plano
6
As deformações decorrentes podem ser indicadas por meio de índices. Pela mesma razão, é necessário mudarem-se as derivadas ordinárias para parciais. Dessa forma, se em um ponto de um corpo os componentes de deslocamento nas direções x e y (caso bidimensional) forem u e v, as deformações lineares são:
εx= u+
∂u∂x dx-u
dx=∂u
∂x
εy= v+
∂v∂y dy-v
dy=∂v
∂y
No caso tridimensional acrescenta-se:
εz= ∂w
∂z
Onde w representa o deslocamento na direção z. O sinal positivo se aplica aos alongamentos e o negativo aos encurtamentos. Além da deformação linear, um elemento pode sofrer uma deformação angular
(transversal), como mostrado na figura abaixo, em relação ao plano x-y:
Fig. 5 - Deformações tangenciais: caso plano
Esta deformação inclina os lados do elemento deformado em relação aos eixos x e y.
Como v é o deslocamento na direção y, na direção x tem-se que a inclinação do lado PQ inicialmente horizontal é ∂v ∂x⁄ .1
1 Num elemento do quadrado PRSQ dx=ds cosθ dy=ds senθ
7
Fig. 6 - Deformações tangenciais: análise de γ
Num elemento do quadrado deformado P’R’S’Q’ vem:
Fig. 7 - Deformações tangenciais: análise de γ
Sendo γxy muito pequeno, vem:
cos�π2
+γxy�=-senγxy≅-γxy=γ1+γ2
Analogamente, o lado vertical gira de um ângulo ∂u ∂x⁄ , como consequência o ângulo
reto PRQ reduz de: ∂v
∂x+∂u
∂y=γ1+γ2=γxy
Valendo estas considerações para pequenas variações dos ângulos γ1 � γ2 de onde se
pode ter: tg γ1≅sen γ1≅γ1, valendo também para γ2.
O sinal positivo para a deformação angular se aplica quando é deformado segundo a figura desenhada anteriormente, e pode-se relacionar com os τxy positivos na convenção de sinais adotada anteriormente. Para os planos xz e yz as definições são semelhantes, portanto:
8
∂w∂x
+∂u
∂z =γzx = γxy ∂w
∂y+∂v
∂z=γyz=γzy
Observação: Uma importante observação a respeito das relações deslocamento/deformação é que as deformações, em número de seis, dependem de três deslocamentos. Assim as equações não são independentes, necessitando de equações de compatibilidade para solução do problema.
a) Caso Tridimensional Deformação: εx, εy, εz,γxy,γxz,γyz
Deslocamentos: u, v, w b) Caso Plano
i. Caso Plano de Tensões Deformação: εx, εy, εz,γxy
Deslocamentos: u, v, w
ii. Caso Plano de Deformações Deformação: εx, εy, εz,γxy
Deslocamentos: u, v
4. Deformação elástica
4.1 Lei de Hooke
Suponhamos que o corpo ou sólido a ser estudado siga a lei de Hooke e seja de material isótropo. Define-se isotropia a propriedade de um material ter o mesmo comportamento elástico em qualquer direção. A lei de Hooke é aplicada com as seguintes considerações:
a) Se em todos os pontos de um sólido atua a mesma tensão σ de direção constante, um comprimento l na direção de σ, sofre um alongamento:
∆l=σ×l
E
b) Na direção normal à tensão σ no comprimento t, ocorre um encurtamento:
∆t=-ν×t×σ
E
Esquematicamente:
9
Fig.8 - Alongamento e contração na tração
Fazendo-se:
∆l
l=σE
-∆t
ν×t=σE
Igualando-se as expressões tem-se:
∆l
l=-
∆t
ν×t
Como:
∆l
l=εy
∆t
t=εx
Tem-se:
εy=-εx
ν → ν=-εx
εy
Sendo ν chamado de coeficiente de Poisson e genericamente representado por:
νij =-εi
εj=
deformação lateral (-)
deformação axial (+)
Com ν variando entre 0 e 0,5, como veremos mais tarde.
10
É interessante notar que há, até agora, duas constantes de isotropia, E e ν, válidas para x, y e z. Considerando-se agora um elemento tridimensional solicitado segundo as direções principais:
a) Aplicando-se apenas a tensão σ1:
∆l1'=l1×σ1
E ; ∆l2'=-
ν×l2×σ1
E ; ∆l3'=-
ν×l3×σ1
E
Fig. 9 - Lei de Hooke: caso tridimensional
b) Aplicando-se apenas a tensão σ2:
∆l1''=-ν×l1×σ2
E ; ∆l2''=
l2×σ2
E ; ∆l3''=-
ν×l3×σ2
E
c) Aplicando-se apenas a tensão σ3:
∆l1'''=-ν×l1×σ3
E ; ∆l2'''=-
ν×l2×σ3
E ; ∆l3''=
l3×σ3
E
Juntando-se ∆l1 para os três casos tem-se:
∆l1'+∆l1''+∆l1'''=l1×σ1
E-ν×l1×σ2
E-ν×l1×σ3
E
Fazendo a superposição de efeitos:
∆l1'
l1+∆l1''
l1+∆l1'''
l1=
1
E�σ1-ν(σ2+σ3)�
∴ε1=1
E�σ1-ν(σ2+σ3)�
Analogamente para ∆l2 e ∆l3 tem-se:
ε2=1
E�σ2-ν(σ1+σ3)�
11
ε3=1
E�σ3-ν(σ1+σ2)�
4.2 Cisalhamento puro
Considerando-se o cisalhamento puro caracterizado por: �σ1=-σ3=σσ2=0
A figura abaixo mostra uma chapa com este estado de tensão e o respectivo círculo de Mohr.
Fig. 10 - Cisalhamento puro
O alongamento específico na direção da tração seria:
ε= 1
E�σ1-νσ2�= 1+ν
Eσ
Tomando-se agora um elemento quadrático 1-2-3-4 cujas faces formam um ângulo de 45º com as direções principais (tração e compressão), tem-se que a tensão normal nestas faces é nula, atuando apenas uma tensão cisalhante τ, cujo valor é σ, como mostra o círculo de Mohr. A diagonal l, horizontal, sofrerá um alongamento tal que:
∆l=l×ε=l1+νE
σ , pois ε= 1+νE
σ
12
Fig. 11 - Distorção do elemento
A diagonal vertical encurtará do mesmo valor e deste modo, o quadrado 1-2-3-4 torna-se um losango. Na figura a seguir os desenhos do quadro e do losango são repetidos, mas com os pontos 1 e 2 fixos.
Fig. 12 - Distorção do elemento.
Assim, é verificado que a deformação se resume numa variação do ângulo reto, ou seja, a distorção (variação do ângulo reto) vale, para pequenas deformações2:
γ≅tg γ≅∆l√2∆l√2
=2∆l
l=2ε
γ=21+νE
σ
2 Esta demonstração baseia-se no fato de ∆� ser “bastante” pequeno em relação a l e também E ser “bastante” grande, como ocorre, aliás, nos materiais usuais.
13
Isolando-se o elemento 1-2-3-4 pode-se concluir que as tensões τ, iguais em módulo às tensões principais ±σ, causaram a variação do ângulo reto. Vale portanto a relação (como visto em torção):
γ= τG
→ γ= σG
G=E
2(1+ν)
Esta relação vincula os três parâmetros elásticos para materiais isotrópicos: E, G, ν; sendo, dos três, apenas dois independentes.
4.3 Lei de Hooke generalizada Pode-se chegar, agora, ao nível de se indicar a lei de Hooke para um elemento solicitado pelas tensões:
σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz Portanto, considerando-se o caráter linear das relações entre tensão e deformação, que permite uma superposição de efeitos, tem-se a lei de Hooke generalizada:
εx=1
E�σx-ν(σy+σz)� γxy=
τxy
G
εy=1
E�σy-ν(σx+σz)� γxz=
τxz
G
εz=1
E�σz-ν(σx+σy)� γyz=
τyz
G
Os componentes de deformação (σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz) definem o estado de deformação, similar ao estado de tensão (este tridimensional).
4.4 Análise do coeficiente de Poisson É interessante a análise do coeficiente de Poisson no sentido de quantificá-lo numericamente e com isso também quantificar o valor de G função de E e ν, ou tendo G e ν determinar E, sendo a primeira situação a mais prática. Imaginando para este fim um corpo cilíndrico de material isótropo carregado nas bases com pressão P e lateralmente com P1, como mostra a figura:
14
Estado de tensão σ1=-P
σ2=σ3=-P1
Fig. 13 - Pressão num sólido
Neste caso, tem-se o seguinte estado de tensão: σ1=-P
σ2=σ3=-P1 A direção longitudinal é uma das principais e qualquer uma das direções transversais pode ser também principal (a forma da seção transversal não influi). Escolhemos agora a relação entre P1 e P de tal modo que a deformação elástica consista apenas numa variação dos comprimentos longitudinais sem variação da área da seção. Tem-se um estado linear de deformação3 caracterizada por:
ε1≠0, ε2=ε3 Assim, com σ1 = -P, σ2 = σ3 = P1, tem-se:
ε2=-1
E�P1-ν(P1+P)�=0→P1=
ν1-νP
E, para ε3 = 0, chegar-se-ia à mesma relação de pressões. Fazendo-se:
ε1=∆l
l=-
P
E�1-2ν ν
1-ν�
ε1=-P
E
2 0,5-ν�(1+ν)1-ν
3 No estado linear de tensão tem-se σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0
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O encurtamento específico ε1 exprime a “variação” de volume, porque a seção não varia. Desta equação resulta ν < 0,5, pois, caso contrário, as pressões P e P1 produziriam aumento de volume, o que não é possível. Da equação
P1=ν
1-νP
Conclui-se que:
ν ≥ 0 Pois se ν < 0 significaria que a tendência da pressão longitudinal P de aumentar a área deve ser combatida por uma tração transversal, que é compatível com a hipótese do problema em estudo.
Há, portanto, os limites teóricos para o coeficiente de Poisson: 0 < ν < 0,5
Por curiosidade, para o aço, ν ≈ 0,3. Vale ressaltar que estas deduções servem
apenas para materiais isótropos. Pode-se então analisar a relação:
G=E
2(1+ν) Se ν = 0,3:
G=E
2(1+0,5)→G=
E
3
Conclusão:
G < E Para o Aço:
G ≈ 8.000 KN/cm2 e E = 21.000 KN/cm2
4.5 Dilatação e módulo volumétrico Considera-se os lados de um elemento infinitesimal dx, dy, dz. Após a deformação os lados ficam: 1+εx�dx �1+εy�dy 1+εz�dz Tomando-se agora o volume antes da deformação e depois da deformação tem-se:
dV=dxdydz dV+∆dV= 1+εx�dx�1+εy�dy 1+εz�dz
16
Faz-se: dV+∆dV-dV= 1+εx�dx�1+εy�dy 1+εz�dz-dxdydz
∆dV≅(εx+εy+εz) dxdydz Neste caso foram desprezados os produtos de deformação εxεy, εxεz, εyεz, εxεyεz, pois são muito pequenos. A variação de volume é frequentemente denominada de dilatação, e pode ser escrita por:
e=εx+εy+εz=ε1+ε2+ε3 Sendo e um invariante de deformação. No caso plano:
e=εx+εy=ε1+ε2 Observa-se, neste momento, que as deformações angulares (γ) não causam variação de volume. Com base na lei de Hooke generalizada, a dilatação pode ser expressa em termos das tensões e das constantes do material. Assim:
e=εx+εy+εz
e=1
E�σx-ν(σy+σz)�+ 1
E�σy-ν(σx+σz)�+ 1
E�σz-ν(σx+σy)�
e=1-2ν
E�σx+σy+σz�
Daí tira-se que e é proporcional a �σx+σy+σz�, que é também invariante (de tensões). Portanto:
e=1-2ν
EΘ
Sendo:
Θ=�σx+σy+σz�
No caso de um corpo elástico submetido a uma pressão hidrostática de intensidade p, tem-se:
σx=σy=σz=-p Daí:
Θ=-3p
e=-31-2ν
Ep
Fazendo-se:
-p
e=K=
E
3(1-2ν)
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A quantidade K é chamada de módulo de compressão ou módulo volumétrico, e representa a relação entre compressão hidrostática e a variação de volume.
5. Deformação no estado plano de tensão Considerando um estado plano de tensões definido por: �σx,σy,τxy≠0
σz,τxz,τyz=0
Esquematicamente, é definido por:
Fig. 14 - Estado de tensão
As expressões da lei de Hooke ficam:
εx=1
E(σx-νσy)
εy=1
E(σy-νσx)
εz=-νE
(σx+σy)
εx,εy,εz,γxy≠0
γxy=τxy
G com G=
E
2(1+ν)
No caso plano de deformação tem-se: � εx,εy,γxy≠0
εz,γxz,γyz=0
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E as expressões da lei de Hooke ficam4:
εx=1
E�σx-ν(σy+σz)�
εy=1
E�σy-ν(σx+σz)�
εz=1
E�σz-ν(σx+σy)�→σz=ν(σx+σy)
γxy=τxy
G com G=
E
2(1+ν)
5.1 Equações para a transformação de deformação plana As equações para a transformação de deformação plana tem desenvolvimento análogo ao de tensão.
Fig. 15 - Estado de tensão
Então, sendo conhecidas as tensões σx, σy e τxy, deseja-se conhecer as deformações εx, εy e γxy. Assim:
εx=1
E(σx-νσy)→σz=0
εy=1
E(σy-νσx)→σz=0
εz=-νE
(σx+σy)→σz=0
γxy=τxy
G
4 Observação importante: no caso plano de deformação existe uma tensão σz ≠ 0 o que implica um estado de tensão triaxial
19
Deseja-se, também, conhecer as deformações em um plano girado dθ (anti-horário). Para rotações de tensões tem-se:
σ�̅ =σx cos2θ+σy sen2θ+τxy sen2θ σ��=σx sen2θ+σy cos2θ-τxy sen2θ
τ������=σy-σx
2sen2θ +τxy cos2θ
Tomando-se um elemento dx, dy as deformações ficam como mostradas na figura:
Fig. 16 - Deformação no elemento
Para as direções x e y tem-se:
Fig. 17 - Deformação no elemento
E as deformações ficam:
εx�=1
E(σx�-νσy�)
εy�=1
E(σy�-νσx�)
20
εz�=-νE
(σx�+σy�)
γxy���=τxy���G
Substituindo-se na equação de εx� os termos de σx� e σy� vem:
εx�=1
E�σx cos2θ+σy sen2θ+2τxysenθcosθ-ν(σx sen2θ+σy cos2θ-τxy senθcosθ)�
εx�=1
E�cos2θ(σx-νσy)+sen2θ(σy-νσx)+2senθcosθ(τxy-ντxy)�
Daí:
εx�= �cos2θ �1E
(σx-νσy)��+ �sen2θ �1E
(σy-νσx)��+ �2senθcosθE
�Gγxy+νGγxy�� Sendo:
γxyG=γxy
E
2(1+ν)
Gγxy+νGγxy=E
2(1+ν) γxy+ν E
2(1+ν) γxy=γxy
E
2�1+ν1+ν�=γxy
E
2
Assim:
εx� =εx cos2θ+εy sen2θ+2senθcosθ
Eγxy
E
2
∴ εx� =εx cos2θ+εy sen2θ+γxy
2sen2θ
Ou, em arco duplo:
εx� =�εx+εy
2�+�εx-εy
2� cos 2θ+
γxy
2sen2θ
Analogamente:
εy� =�εx+εy
2�+�εy-εx
2� cos 2θ -
γxy
2sen2θ
γxy��� =�εy-εx� sen 2θ - γxycos2θ
εz� = -νE�σx�+σy��=-
νE�σx+σy�=-
νE σ1+σ2�
Sendo o invariante: σx�+σy�=σx+σy=σ1+σ2
Supondo-se agora dois casos particulares.
1. Os eixos x e y são principais: σx=σ1, σy=σ2 e τxy=0→εx=ε1, εy=ε2 e γxy=0
Ficando as expressões de εx�, εy� e γxy���:
εx� =�ε1+ε2
2�+�ε1-ε2
2� cos 2θ
21
εy� =�ε1+ε2
2�+�ε2-ε1
2� cos 2θ
γxy��� = ε2-ε1� sen 2θ
2. Os eixos x e y são eixos principais a. γxy���=0
0=�εy-εx� sen 2θ - γxycos2θ
tg2θ1=γxy
εx-εy
b. dεx�
dθ =0 (máximo de uma função)
εx� =�εx+εy
2�+�εx-εy
2� cos 2θ+
γxy
2sen2θ
dεx�dθ = -2�εx-εy
2� cos 2θ+
γxy
22cos2θ=0
∴(εy-εx) sen 2θ+γxycos2θ=0=γxy���
Logo dεx�
dθ é extremo de uma função.
E as deformações principais podem ser escritas:
ε1
ε2=εx+εy
2±��εx-εy
2�2
+�γxy
2�2
As deformações tangenciais nestes planos são nulas. A deformação máxima de cisalhamento ocorre nos planos a 45º com os planos principais e vale:
1
2γmax=
��εx-εy
2�2
+�γxy
2�2
5.2 Círculo de Mohr para deformação Analogamente ao estado de tensão obtém-se:
22
R=��εx-εy2 �2 + �γxy2 �2 Fig. 18 - Círculo de Mohr
E como observações há:
a) A deformação linear máxima é ε1 e mínima é ε2. Essas são as deformações principais e nenhuma deformação angular (γ) está associada a elas. As direções das deformações principais coincidem com as das tensões principais.
b) A maior deformação angular é γmax e vale o raio do círculo de Mohr. Assim:
R=γmax=ε1-ε22
c) A soma das deformações lineares em quaisquer duas direções mutuamente
perpendiculares é invariante: εx+εy=ε1+ε2=constante
d) Nos planos em que as deformações angulares (cisalhantes) são máximas, as
deformações normais (lineares) são: ε1+ε22
e) O ponto P do círculo funciona como pólo e o círculo de Mohr é traçado
analogamente ao das tensões. E, finalmente, pode-se fazer a seguinte analogia entre tensão e deformação:
23
Tensões Deformações σx ε� σy εy
τxy 1
2γxy
σx� εx� σy� εy� τxy��� 1
2γxy���
6. Exercícios
6.1 Exercício nº1
Um elemento de um sólido se contrai de 5x10-4mm/mm, ao longo do eixo x, e se alonga de 3x10-4 na direção de y e se distorce de um ângulo de 6x10-2 rad, como mostra a figura. Determinar as deformações principais e as direções nas quais elas atuam. Utilizar o Círculo de Mohr para a solução do problema.
Solução:
Elemento deformado Analogia com tensão
Fig. 19 - Estado de deformação
24
Fig. 20 - Círculo de Mohr
6.2 Exercício nº2
Sendo εa = 200 x 10-6 e εb = 300 x 10-6 deformações nas direções a e b respectivamente d um certo ponto numa chapa. Sabendo-se que εa é a deformação e vale ε2, determine as tensões e as deformações para o ponto indicado. Dados: E = 20.000 KN/cm2, ν = 0,3.
Fig. 21 - Estado de tensão
Solução:
25
Fig. 22 - Estado de tensão
εb=εy=300×10-6
εa=ε2=εx�=200×10-6 O cálculo de σx, σy, e τxy deverá ser feito pela lei de Hooke. Assim:
εb=εy=300×10-6=1
20.000(σy-0,3σx)
σy-0,3σx=6 (I)
εa=εx�=200×10-6=�εx+300×10-6�
2+�εx-300×10-6�
2cos 2×60°�+
γxy
2sen 2×60°�
εx+1,732γxy=-100×10-6 (A)
Como a direção principal é obtida por rotação de 60º do eixo x-x tem-se:
tg 2×60°�= γxy
εx-300×10-6=-1,732
-εx-0,577γxy=-300×10-6 (B)
De (A) e (B) obtém-se:
εx=500×10-6 γxy=-346×10-6
Com isto:
τxy=γxyG=γxy
E
2(1+ν) =�-346×10-6� 20.000
2(1+0,3)
τxy=-2,7 kN/cm2
E:
εx=1
E(σx-νσy)=
1
20.000(σx-0,3σy)=500×10-6
σx-0,3σy=10 (II)
26
De (I) e (II): σx=13,0 kN/cm2 σy=9,9 kN/cm2
E o estado de tensão:5
Fig. 23 - Estado de tensão
6.3 Exercício nº3 Para o tubo de parede fina são dados:
εaa=-1,40×10-4 εbb=4,80×10-4
E=21.000kN/cm2 ν=0,3
Fig. 24 - Tubo de parede fina
Determinar F e T
5 Pode-se resolver este problema por rotação de eixo. Assim se:
εx�=1E (σx�-νσy�)
σx�=… σy�=… Obtêm-se condições básicas para solução.
27
Solução:
Fig. 25 - Tubo de parede fina
a) Cálculo das tensões e deformações
O tubo, segundo sua vinculação, estará sujeito pelos esforços T e F e em qualquer um dos seus pontos de uma seção transversal relacionado ao estado de tensão da figura 25.
Assim: �εaa=εy=-1,40×10-4εbb=εx�=4,8×10-4
Sendo σy e σz nulos pode-se obter por meio da expressão de εy o valor de σx.
εy=-1,40×10-4=1
21.000 0-0,3(σx+0) σx=9,8 kN/cm2
Daí:
εy=1E σx
εx=1
21.000 ×9,8=4,67×10-4
E:
εbb=εx�=4,80×10-4=4,67×10-4-1,40×10-4
2 + 4,67×10-4+1,40×10-42 cos�2×45°�+ γxy2 sen�2×45°�
γxy=6,33×10-4 E:
τxy=γxyG=γxyE
2(1+ν) =�6,33×10-4� 21.0002(1+0,3)
τxy=5,1 kN/cm2
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b) Cálculo dos esforços T e F i.Momento torçor T Em tubos de parede final tem-se:
τxy=2T
π×dm2×t ∴T=τxy× π×dm2×t2 = 5,1×π×10
2×0,22
T=160 kN.cm
ii.Espaço normal F
σx=FA→F=σx×A
F=σx×π×d×t=9,8×π×0,10×0,2 F=61,6kN
c) Sentido dos esforços:
Sendo σx e γxy positivos tem-se:
Fig. 26 - Tubo de parede fina – esforços
7. Medidas de deformação - Rosetas Extensômetros elétricos de resistência são pequenos instrumentos de uso comum
em laboratórios quando se deseja medir deformações. Fazendo-se composições com os extensômetros pode-se chegar a um conjunto chamado roseta. Na figura a seguir são apresentados dois tipos de rosetas. Uma denominada de retangular e a outra de delta.
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Arranjos de sensors Roseta retangular Roseta delta
Fig. 27 - Composições com os extensômetros.
Se conhecidos θ1, θ2 e θ3 e εθ1, εθ2 e εθ3, podem-se obter εx, εy e γxy pelas expressões:
εθ1= εx cos2θ1+εy sen2θ1+ γxycosθ1senθ1
εθ2= εx cos2θ2+εy sen2θ2+ γxycosθ1senθ2
εθ3= εx cos2θ3+εy sen2θ3+ γxycosθ1senθ3
Se θ1=0º, θ2=45º e θ3=90º, tem-se o caso da roseta retangular:
εx=ε0° εy=ε90°
ε45°=εx
2+εy
2+γxy
2
∴γxy=2ε45°-(ε90°+ε0°)
Se θ1=0º, θ2=60º e θ3=120º, tem-se o caso da roseta delta:
εx=ε0°
εy=(2ε60°+2ε120°-ε0°)
3
γxy=� 2√3� (ε60°-ε120°)
A aplicação da técnica das rosetas em problemas experimentais de análise de tensão é quase rotineiro. Exemplo: Se εa = 150×10-6, εb = 300×10-6 e εc = 150×10-6 são deformações em x, y e a distorção γxy .
Fig. 28 - Exemplo - Extensômetros
Solução:
Aplicando-se a expressão da roseta retangular obtém-se:
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εx=ε0°=εa=150×10-6 εy=ε90°=εc=150×10-6
ε45°=εb=εx
2+εy
2+γxy
2
γxy=0
Ou: γxy=2ε45°-(ε0°-ε90°)
γxy=0
8. Bibliografia FEODOSIEV, V.I. Resistencia de Materiales. Moscou: Editora Mir, 1980, 583p. POPOV, E.G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgard Blucher
Ltda, 1978. 534p. SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. São Paulo: Harpet & Row do
Brasil, 1984. 395p.
Nilson Tadeu Mascia
