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Álgebra Linear
Tema # 3. Resolução de problema que conduzem a S.E.L. de infinita solução
Assunto: Resolução de problemas modelada a través Sistema de Equações Lineares utilizando
comando Solve no Derive.
Introdução aos problemas com infinitas soluções
Até agora estudamos resolução de problemas que conduzem a sistema equações lineares que o
número de incógnitas e de equações é igual, representando por AnxnXnx1=Bnx1. A solução é dada
pela expressão X=A-1B, para que exista a solução o determinante de A é diferente de zero, isto
implicaria que a matriz A possui inversa e o sistema tem solução única.
A teoria estudada tem limitações, por exemplo, quando det(A)=0 o sistema pode ter infinita
soluções e quando número incógnitas e equações são diferentes o sistema pode ter solução única
ou infinitas soluções, isto dois casos não podem ser resolvido pela formula X=A-1B.
No Derive existe o comando “Solve” que permite resolver equações, inequações, sistema de
equações e sistema de inequações, dentro desse grupo temos o sistema de equações lineares que
combinado com o teorema de condicionalidade da solução constitui uma poderosa ferramenta.
Os princípios que devemos seguir são seguintes:
I. Compreender o problema
a) Expressar o problema com outras palavras.
b) Domínio dos conceitos necessários para interpretar o problema.
c) Determinar os dados do problema.
d) Estabelecer o objetivo do problema.
II. Construção do modelo matemático.
a) Determinar as variáveis.
b) Construção do sistema de equações lineares identificando cada equação e elementos dela.
III. Solução do modelo matemático.
a) Expressar o sistema de equações lineares da forma AX=B
b) Verificar a compatibilidade do sistema de equações lineares utilizando teorema de
condicionalidade da solução dos posto da matriz dos coeficientes e matriz ampliada.
c) Achar sua solução do sistema a través do comando “Solve” no sistema de computação
Algébrica Derive.
IV. Interpretação da solução.
a) Analisar o resultado em correspondência com o problema.
Teorema: Seja o sistema de equações lineares de m equações lineares com n incógnitas
nxxx ,,, 21 e
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
cujos coeficientes iij bea ;
consideremos a matriz A formada pelos coeficientes do sistema de equações lineares e A|B a matriz
ampliada formada pelos coeficientes e termo independente do sistema de equações lineares,
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
e
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
BA
21
212221
111211
|
Consideremos P(A) posto da matriz dos coeficientes, P(A|B) posto da matriz da matriz ampliada
e N o número de incógnitas então se:
)()|()(
)mindet(
)min(det)()|()(
elIncompatívsoluçãoadmiteNãoBAPAP
adoerinsoluçõesInfinitasNP
adoerúnicaéSoluçãoNPCompatívelsoluçãoAdmitePBAPAP
Se sistema equações lineares é compatível indeterminado o seja possui infinitas soluções podemos
escolher N – P incógnitas como variáveis independentes.
Problema 1
Um agricultor tem uma fazenda com 10 ha e deseja plantar dois cultivos, se por cada hectare do
cultivo 1 e 2 gasta R$ 700. Que quantidade de hectare deve plantar o agricultor se possui para
inverter na plantação R$ 7000?
I. Compreender o problema
a) É muito importante compreender o problema porque as próximas etapas quedarão
comprometidas, não deve passar para outra etapa se não é superada está com qualidade.
b) Interpretar os conceitos que intervierem no problema.
Hectare: Unidade de medida agrária equivalente a 10000 metros quadrados, simbolizado por ha.
Hectare
aisRe Quantidade de reais gastado por cada hectare produzida, denotado por
ah
R$
c) Determinar e interpretar os dados do problema.
A fazenda possui 10 hectare para plantar dois cultivos.
O dinheiro disponível para os dois cultivos é de R$ 7000
Os gasto por hectare para plantar cada cultivo é de R$ 700.
d) O objetivo do problema é determinar a quantidade de hectare a plantar para cada cultivo, se
deseja cultivar dois tipos de cultivo.
II. Construção do Modelo Matemático.
a) Determinar as variáveis.
A variáveis “x” representa a quantidade de hectare a ser plantada do cultivo 1 e “y” a
quantidade hectare do cultivo 2.
As varáveis são 0|0| yyexx porque representam hectare.
Atividade 1. Definir as variáveis.
b) Construção do sistema de equações lineares.
Como (quantidade de hectare do cultivo 1) + (quantidade de hectare do cultivo 2) = 10
hectare então a equação x + y = 10 representa quantidade de hectare cultivada.
O capital disponível para cultivar é de R$ 7000 e como (cultivo 1 gasta R$ 700 por ha) +
(cultivo 2 gasta R$ 700 por ha) = R$ 7000 é representado pela equação 700x + 700 y = 7000
que representa o gasto em reais na plantação.
A expressão 700x significa a quantidade de reais a ser gastado pelo cultivo 1,
xRxhh
Ra
a
700$$
700 e para o cultivo 2 a expressão 700y significa yRyhh
Ra
a
700$$
700
Podemos resumir
Cultivo 1 Cultivo 2 Total
Hectare (ha) x ha y ha 10 ha
Gasto (R$) R$ 700 x R$ 700 y R$ 7000
O sistema queda representado por:
7000700700
10
yx
yx
III Solução do modelo matemático
a) Representar o sistema da forma AX=B
700
10
700700
11
y
x
Atividade 2. Definir o sistema em forma matricial AX=B.
b) Determinar a solubilidade do sistema de equações lineares
Por ser um sistema de duas equações por duas incógnitas podemos utilizar o método gráfico
para determinar a solubilidade do sistema. Devemos representar graficamente cada equação, se
elas se cortam então no ponto de intercessão será a solução do sistema de equações lineares.
Atividade 3. Método gráfico para determinar a solubilidade do sistema.
Podemos observar que ambas equações são coincidentes, todos os pontos sobre as equações são
soluções, concluímos que o sistema tem infinitas soluções.
Critério do posto da matriz dos coeficientes e matriz ampliada.
O comando RANK(A) simplifica para o posto da matriz A. O posto de uma matriz é igual ao
número de linhas não nulas da matriz em sua forma escada
Como o P(A)=P(A|B)=P=1 e P=1<2=N, então tem infinitas soluções escolher N-P=2-1=1
variáveis independentes.
Podemos concluir que o sistema tem infinitas soluções.
c) Calcular a solução utilizando o comando “Solve”
O comando Solve permite a solução de equações, inequações e sistema de equações e de
inequações, o primeiro argumento do SOLVE é a equação ou inequação o sistema a ser resolvida.
Se nenhum termo for dado após a igualdade, o mesmo é assumido como 0. O segundo argumento
é a variável ou variáveis da solução,por tanto Solve(Expressão,Variáveis)
Para ativar o comando Solve podemos o menu como é indicado abaixo.
Atividade 4. Calcular a solução utilizando o comando “Solve”.
Posteriormente devemos selecionar o número de equações ou 1nequações.
Entramos as equações ou inequações e indicamos as variáveis da solução. Se clicarmos no botão
Ok é indicado na Janela Álgebra o comando Solve e se clicamos no Resolver aparece o comando
Solve e a solução
A solução é dada pela equação x+y=10, em ela são representadas infinitas soluções, dita equação
pode ser representada y = 10 –x, onde “x” é uma variáveis independente e “y” variáveis
dependente, para cada valor de “x” que representa hectare do cultivo 1 existe um valor y que
representa hectare do cultivo “y”.
Como as variáveis 00 yex , também pode ser expressado 0100 xex , devemos
calcular os valores de x que satisfaze as inequações.
0
010
x
x, A resolução deste sistema de inequação nos permite saber o intervalo x (hectare do
cultivo 1) para qual tem sentido a solução de nosso problema e por conseguinte podemos
determinar os valores de y (hectare do cultivo 2).
Podemos observar, quando 0x então 100 x e os valores de y variam 100 y . Também
podemos chegar a mesma conclusão resolvendo o sistema de inequações analiticamente.
Atividade 5. Resolvendo o sistema de inequações .
Os valores ]10,0[x e devemos calcular os valores de y a través da expressão y=10-x. Será
construída uma tabela utilizando o Derive com o seguinte cabeçalho, representando as hectares de
cada cultivos e os gastos em reais por cultivo.
x ha y ha R$ 700 x R$ 700 y
Para construir ou gerar uma tabela de dados utilizaremos o comando “Table”. A tabela mostra os
valores de uma expressão avaliados para uma seqüência de valores. O comando permite que você
selecione a variável, entre o valor inicial, o valor final e o tamanho do passo ou incremento da
variável, então podemos escrever Table (Expressão, Variáveis, Variável Inicial, Variável Final,
Incremento ou passo).
Vamos introduzir na linha de comandos o vetor formado pelos elementos [y, 700 x, 700 y]. O
elemento y ha será representado na segunda coluna, R$ 700x será representado na terceira coluna
e R$ 700y será reapresentado na quarta coluna. A primeira coluna xha será informada no elemento
variável do comando “Table”.
Atividade 6. Construção da tabela utilizando o comando “Table”.
Introduzir o vetor
Para ativar o comando “Table”, deve estar selecionado o vetor
Selecione a variáveis “x”; valor inicial 0; valor final 10 e tamanho do passo 1, este último você
pode testar com outros tamanhos.
IV Interpretação da Solução
Considerando o tamanho do passo ou incremento 1 de “x” representado pela quantidade hectare
do cultivo 1, podemos concluir que a fazenda deve plantar qualquer das combinações apresentada
na tabela de abaixo nas colunas 1 e 2.
Hectare do Cultivo 1 Hectare do Cultivo 2 Gasto em Reais do
Cultivo 1
Gasto em Reais do
Cultivo 2
0 10 0 7000
1 9 700 6300
2 8 1400 5600
3 7 2100 4900
4 6 2800 4200
5 5 3500 3500
6 4 4200 2800
7 3 4900 2100
8 2 5600 1400
9 1 6300 700
10 0 7000 0
Problema 2
Carlos tem um programa de exercícios para queimar caloria por horas, fazendo quatro tipos de
exercícios, caminha, correr, andar de bicicleta e jogar tênis. Ele segunda feira caminha uma hora
e também anda de bicicleta por uma hora, terça joga tênis durante dois horas, quarta feira e sexta
feira caminha 24 minutos e corre 30 minutos e quinta feira anda de bicicleta 30 minutos e joga
tênis 2 horas. Carlos segunda feira gasta 605 calorias, terça feira 984 calorias, quarta feira e sexta
feira gasta 481,6 calorias e quinta feira 1162 calorias. Quanta caloria queima Carlos por cada
exercícios?
I Compreender o problema
Primeiramente devemos saber os conceitos que formam parte de nosso problema.
hora
caloria: Quantidade de calorias queimada em uma hora, denotado por
h
cal.
Os dados de nosso problema são:
Carlos está praticando quatro exercícios, caminhada, correr, andar de bicicleta e jogar tênis
de segunda feira a sexta feira.
O programa de exercício de horas por dia para cada atividade e total de calorias queimadas
por dia é:
Caminhar Correr Andar de
Bicicleta Jogar Tênis
Total de
Calorias
Queimadas
2ª Feira 1 hora - 1 hora 1 605 cal
3ª Feira - - - 2 horas 984 cal
4ª Feira 24 minutos 30 minutos - - 481.6 cal
5ª Feira - - 30 minutos 2 horas 1162 cal
6ª Feira 24 minutos 30 minutos - - 481.6 cal
O objetivo do problema é determinar a quantidade de caloria que gasta Carlos por cada exercício.
II Construção do Modelo Matemático.
A quantidade de caloria queimada para caminhar é representada pela variável “ca”, para correr
“co”, para andar de bicicleta “bi” e para jogar tênis “te”. Todas as variáveis devem ser maiores e
iguais que zero porque representam calorias queimadas.
Atividade 7. Definir as variáveis.
Construção do sistema de equações lineares
Como Carlos segunda feira caminha, anda de bicicleta e joga tênis então (calorias
queimadas por caminhar) + (calorias queimadas por andar de bicicleta) + (calorias queimadas
por jogar tênis) = 605 calorias; é representado pela equação ca + bi + te = 605; a expressão ca
significa calcahr
calcahr ))(1( , bi, significa calbi
hr
calbihr ))(1( e te significa
caltehr
caltehr ))(1( .
Terça feira joga 2 horas de tênis, (caloria queimadas por jogar tênis) = 984 caloria; é
representado pela equação 2 te = 984, a expressão 2 te significa caltehr
caltehr 2))(2(
Quarta feira e sexta feira ele caminha por 24 minutos e corre por 30 minutos, devemos
transformar os minutos por horas dividendo por 60 minutos, (24 minutos) = (0,4 hora) e (30
minutos) = (0,5 hora). Por tanto (calorias queimada por caminhar) + (calorias queimadas por
correr) = 481,6; representado pela equação 0,4ca + 0,5co = 481,6; a expressão 0,4ca significa
calcahr
calcahr 4,0))(4,0( e 0,5co significa cal
hr
calcohr 5,0))(5,0( .
Quinta feira ele anda de bicicleta por 30 minutos e jogas tênis por 2 horas, por tanto
(calorias queimadas por andar de bicicleta) + (calorias queimadas por jogar tênis) = 1162
calorias, representado pela equação 0,5bi + 2te = 1162, a expressão 0,5bi significa
calbihr
calbihr 5,0))(5,0( e 2te significa calte
hr
caltehr 2))(2( .
Podemos resumir:
Caminhar
(ca)
Correr
(co)
Andar de
Bicicleta
(bi)
Jogar Tênis
Total de
Calorias
Queimadas
2ª Feira ca cal - bi cal te cal 605 cal
3ª Feira - - - 2te cal 984 cal
4ª Feira 0,4ca cal 0,5co cal - - 481.6 cal
5ª Feira - - 0,5bi cal 2te cal 1162 cal
6ª Feira 0,4ca cal 0,5co cal - - 481.6 cal
O sistema é representado.
6,4815,04,0
116225,0
6,4815,04,0
9842
605
coca
tebi
coca
te
tebica
III Solução do Modelo Matemático
O sistema representado da forma AX=B
6,481
1162
6,481
984
605
005,04,0
25,000
005,04,0
2000
1101
te
bi
co
ca
Atividade 8. Definir o sistema em forma matricial AX=B.
Utilizaremos o critério do posto da matriz dos coeficiente e de matriz ampliada para determinar a
solubilidade do sistema.
Atividade 9. Solubilidade do sistema de equações.
Como P(A) = P(A|B) = P= 4 e P = N = 4 então tem solução única.
Atividade 10. Calcular a solução a partir do comando “Solve”.
IV Interpretação da Solução.
A quantidade de calorias a ser queimada para caminhar é de 249, correr é de 764, andar de bicicleta
é de 356 e jogar tênis é de 492.
Problema 3
Foram testados três tipos de alimentos. Fixadas a mesma quantidade 1 grama por alimento
determinou-se que: o alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4
unidades de vitamina C; o alimento II tem, 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B
e C; o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 de vitamina C e não contém vitamina B. Se
são necessária 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, determine:
a) Todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II, e III, que fornecem a quantidade de vitamina
desejada.
b) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros dois custam 10, existe uma combinação
custando exatamente R$ 1,00?
I Compreender o Problema
Começaremos com as definições necessária para compreender o problema
Vitamina: Nome de varias substancias, muitas dela já conhecidas em sua constituição química, as
quais introduzidas no organismo em pequenas quantidades, desempenham importante papel na
nutrição, favorecendo a assimilação dos alimentos, etc. Seus nomes se distinguem por letras,
exemplo vitamina A, vitamina B, vitamina C, etc.
grama
unidade Quantidade de unidade por grama produzida, denotada por
gr
und
Temos três tipos de alimentos compostos por três vitaminas A, B, C como é mostrado na tabela
seguinte:
Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3 Total
Vitamina A 1 und/gr 2 und/gr 3 und/gr 11 und
Vitamina B 3 und/gr 3 und/gr - 9 und
Vitamina C 4 und/gr 5 und/gr 3 und/gr 20 und
O objetivo do problema é determinar todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II, e III, com
as vitaminas desejadas de A, B, C e se é possíveis encontrar um produto com um custo de um real.
II Construção do Modelo Matemático.
A variáveis a1, a2, a3 representam respectivamente a quantidades de gramas dos alimentos I, II e
II. Todas as variáveis devem ser maior igual que zero porque representam gramas de alimentos.
Atividade 11. Definir as variáveis.
Construção do sistema de equações lineares.
Como (quantidade unidade de Vitamina A do Alimento 1) + (quantidade unidade de
Vitamina A do Alimento 2) + (quantidade unidade de Vitamina A do Alimento 3) = 11
unidades, representado pela equação a1 + 2a2 +3a3 = 11; onde a1 significa
undagragr
und1)1)(1( , a2 significa undagra
gr
und22)2)(2( e a3 significa
undagragr
und33)3)(3(
Como (quantidade unidade de Vitamina B do Alimento 1) + (quantidade unidade de
Vitamina B do Alimento 2) + (quantidade unidade de Vitamina B do Alimento 3) = 9 unidades,
representado pela equação 3a1 + 3a2 = 9; onde 3a1 significa undagragr
und13)1)(3( e 3a2
significa undagragr
und23)2)(3( .
Como (quantidade unidade de Vitamina C do Alimento 1) + (quantidade unidade de
Vitamina C do Alimento 2) + (quantidade unidade de Vitamina C do Alimento 3) = 20 unidades,
representado pela equação 4a1 + 5a2 +3a3 = 20; onde 4a1 significa undagragr
und14)1)(4( ,
5a2 significa undagragr
und25)2)(5( e 3a3 significa undagra
gr
und33)3)(3(
Podemos resumir
Alimento 1 Alimento 2 Alimento 3 Total
Vitamina A a1 und 2a2 und 3a3 und 11 und
Vitamina B 3a1und 3a2 und - 9 und
Vitamina C 4 und 5 und 3 und 20 und
O sistema de equações está formado
20332314
92313
1133221
aaa
aa
aaa
III Solução do Modelo Matemático
Representação da matriz na forma AX=B
20
9
11
3
2
1
354
033
321
a
a
a
Atividade 12. Definir o sistema em forma matricial AX=B.
Calculemos o posto da matriz dos coeficientes e de matriz ampliada para determinar a solubilidade
do sistema.
Atividade 13. Solubilidade do sistema de equações.
Como P(A)=P(A|B) = P = 2 e P=2<3=N, então o sistema tem infinitas soluções e podemos escolher
N-P=3-2=1 variáveis independentes.
Atividade 14. Calcular a solução a partir do comando “Solve”.
As vaiáveis a1 e a2 são variáveis dependentes da variável independentes a3. As variáveis a1, a2 e
a3 devem ser maiores iguais que zero.
03
0338
0533
a
a
a
Utilizando o comando “Solve” obtemos os seguintes resultado:
A variável ]3
8,
3
5[3a para que as variáveis 0201 aea . Com a condição de a3 vamos a
calcular os valores a1 e a2 correspondente utilizando o comando “Table”, considerando como
tamanho do passo 0,1
Atividade 15. Utilizar o comando “Table” para calcular os valores a1, a2 e a3.
Na coluna 1 está representado pelos alimento 3, coluna 2 alimento 1 e coluna 3 alimento 2.
Outro objetivo do problema é se o alimento I custa 60 centavos por grama e o alimento II e II
custam 10, verificar se existe uma solução custando exatamente R$ 1,00.
Ao sistema de equações lineares anterior vamos que adicionar uma equação que tem a
característica (custo do alimento 1 em reais) + (custo do alimento 2 em reais) + (custo do alimento
3 em reais) = R$ 1; representado pela equação 0,6 a1+ 0,1 a2 + 0,1 a3 = 1. A variáveis 0,6a1
significa 16,0$)1)($
6,0( aRundaund
R , variáveis 0,1a2 significa 21,0$)1)(
$1,0( aRunda
und
R e
variáveis 0,1 a3 significa 31,0$)3)($
1,0( aRundaund
R . O novo sistema queda representado por:
131,021,016,0
20332314
92313
1133221
aaa
aaa
aa
aaa
Atividade 16. Analisando a solubilidade e solução.
IV Interpretação da Solução
Podemos concluir que combinação de alimentos I, II e III em gramas com as vitaminas desejadas
são:
Alimento I Alimento II Alimento III
0,1 2,9 1,7
0,4 2,6 1,8
0,7 2,3 1,9
1 2 2
1,3 1,7 2,1
1,6 1,4 2,2
1,9 1,1 2,3
2,2 0,8 2,4
2,5 0,5 2,5
2,8 0,2 2,6
A combinação que o custo vale R$ 1 é de 1 grama do alimento I e 2 grama de alimento II e III.
Exercícios Propostos
1. Uma empresa fabrica 200 produtos de três tipos diferentes em 500 horas de trabalho,
consumido R$ 22800. Para fabricar cada produto do tipo A se necessitam 2 horas e R$ 80 e é
vendido a R$ 200; para fabricar o tipo B se necessitam 3 horas e R$ 150 e é vendido a R$ 300;
para fabricar o tipo C se necessitam 4 horas e R$ 210 e é vendido a R$ 450. Determine a quantidade
de cada tipo de produto que deve ser fabricada se a receita total obtida pela venda de todos os
produtos é R$ 51000
2. Numa fazenda se deseja plantar 100 ha entre três tipos de cultivos consumindo-se R$
25000 com uma produção total de 250 toneladas. Para cultivar uma ha do cultivo 1 é necessário
gastar R$ 200 produzindo 2 toneladas e tendo um lucro de R$ 40; para o cultivo 2 o custo é de R$
300 por ha com uma produção de 3 toneladas e um lucro de R$ 50 e para o cultivo 3 se gasta R$
400 por ha com uma produção de 4 toneladas e um lucro de R$ 52,50. Determine a quantidade que
deve ser plantada de cada tipo de cultivo e o lucro total alcançado.
3. Numa empresa se deseja comprar uma frota de veículos para transportar 107,5 toneladas
de mercadoria diariamente utilizando três tipos diferentes de veículos. Diariamente cada veículo
do tipo 1 transporta 8 toneladas e se desloca 800 km, cada veículo do tipo 2 transporta 4 toneladas
e se desloca 400 km e cada veículo do tipo 3 transporta 6,5 toneladas e se desloca 650 km. Se a
quantidade de do veículo do tipo 1 deve ser triplo que a quantidade de veículo do tipo 2 e 3 juntos,
determine a quantidade de veículo que devem ser comprados de cada tipo e os quilômetros
percorrido por toda a frota.
4. Uma fabrica produz 200 unidades entre três tipos de produtos a partir de duas matérias
primas. Do tipo B se fabrica igual quantidade que as fabricadas entre os tipos A e C. Cada unidade
fabricada do produto tipo A consume 2 kg da matéria prima 1 e 3 kg da matéria prima 2, o produto
B consume 3 kg da 1 e 4 kg da 2 e produto C consume 5 kg da 1 e igual quantidade da 2. Determine
a quantidade de unidades que devem fabricar-se de cada tipo de produtos e o consumo total de
matérias prima 1 e 2.
5. Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170
unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades
de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma
refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade de 1 grama por
cada alimento, determinou-se que:
i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 de unidade de
vitamina C, 2 de unidade de vitamina D, e 2 de unidade de vitamina E
ii) O alimento II tem 9 unidade de vitamina A, 1 unidades de vitamina B, 0 de unidade de
vitamina C, 1 de unidade de vitamina D, e 1 de unidade de vitamina E
iii) O alimento III tem 2 unidade de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 de unidade de
vitamina C, 1 de unidade de vitamina D, e 2 de unidade de vitamina E
iv) O alimento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidades de vitamina B, 1 de unidade de
vitamina C, 2 de unidade de vitamina D, e 13 de unidade de vitamina E
v) O alimento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidades de vitamina B, 1 de unidade de
vitamina C, 9 de unidade de vitamina D, e 2 de unidade de vitamina E
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III IV e V devemos ingerir diariamente para
que nossa alimentação seja equilibrada? Se cada uns dos alimentos I, IV, V custa 10 centavos por
grama, alimento II 90 centavos e alimento III 20 centavos, será possível encontrar uma combinação
custando R$ 2,00?
