Lúcia Dinis 2005/2006 Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana 1 Sumário e Objectivos Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo

Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não LinearElasticidade Plana

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo à Função de Tensão de Airy.Entrega dos TrabalhosObjectivos da Aula: Apreensão do Método da Função de Tensão para Efeitos de Solução de Alguns Problemas Planos.



2

ESTADO PLANO DE TENSÃO

zz 33

xz yz 13 23

0 ou 0

0 ou 0

xx,x xy,y x

xy,x yy,y y

z

iij, j

B 0

B 0

B 0

ou

0 com i=1,2 e j=1,2B

Equações de Equilíbrio

Tensões Nulas no Estado Plano de Tensão



3

Forças de Volume

O vector das Forças de Volume pode ser estabelecido em termos de uma função potencial V

,i iˆV V e B

corresponde em termos energéticos a considerar um campo de forças conservativo.

xx,x xy,y ,x

xy,x yy,y ,y

ij, j ,i,z

V 0

V 0

V 0 ou 0V

Equações de Equilíbrio tomam a forma:



4

Função de Tensão

É possível definir uma Função de Tensão tal que:

xx ,yy

yy ,xx

xy ,xy

V

V

As Tensões assim definidas verificam automaticamente as Equações de Equilíbrio



5

Deformações em termos da Tensões

As Deformações relacionam-se com as tensões através da Lei de Hooke generalizada

xx xx yy

yy yy xx

zz xx yy

xy xy

xz yz

1ε = σ -νσ

E1

ε = σ -νσE-ν

ε = σ +σE1

ε = σ2G

ε =ε =0



6

Deformações em Termos da Função de Tensão

xx ,yy ,xx

yy ,xx ,yy xy ,xy

zz ,xx ,yy xz yz

1ε = -ν + 1-ν V

E1 1

ε = -ν + 1-ν V ; ε =E 2G-ν

ε = + +2V ; ε =ε =0E

Tendo em conta as equações anteriores as deformações exprimem-se em termos da função de tensão do seguinte modo:



7

Equações de Compatibilidade de St Venant

2 22yy xyxx

2 2

2 22yy yzzz2 2

2 2 2zz xx xz2 2

2 22 2xy yzxz xx

2

2 2 22yz xy yyxz

2

2 22 2xy yzxz zz

2

∂ ε ∂ ε∂ ε+ =2

∂x∂y∂x ∂y

∂ ε ∂ ε∂ ε+ =2

∂y∂z∂z ∂y

∂ ε ∂ ε ∂ ε+ =2

∂x∂z∂x ∂z

∂ ε ∂ ε∂ ε ∂ ε+ - =

∂x∂z ∂x∂y ∂y∂z∂x

∂ ε ∂ ε ∂ ε∂ ε+ - =

∂x∂z ∂y∂z ∂x∂z∂y

∂ ε ∂ ε∂ ε ∂ ε+ - =

∂y∂z ∂x∂z ∂x∂y∂z



8

Equações de Compatibilidade no Caso do Estado Plano de Tensão

No caso do Estado Plano de Tensão todas as derivadas em ordem a z são nulas e as deformações fora do plano x,y são tais que: zz

xz yz

ε ≠0

ε =ε =0

As equações de compatibilidade relevantes são

a) b)

d)

2 22 2yy xyxx zz

2 2 2

2 2zz zz2

∂ ε ∂ ε∂ ε ∂ ε+ =2 =0

∂x∂y∂x ∂y ∂y

∂ ε ∂ ε=0 c) =0

∂x∂y∂x



9

Equação de Compatibilidade em Termos da função de Tensão

sendo

,yyyy ,xxyy ,xx ,xxxx ,xxyy ,yy

,xxyy

1- + 1+ V + - + 1+ V

E1 E

=- =2( 1+ )G G

4 2

4 4 44

4 2 2 4

4 4 4 2 2

4 2 2 4 2 2

(1 ) V

sendo : 2x x y y

V V2 (1 )

x x y y x y

ou



10

Equações Fundamentais

O processo de deformação correspondente a um estado plano de tensão passa a ser regido pelas equações seguintes

4 2

xx ,yy

yy ,xx

xy ,xy

(1 ) V

V

V

Ou na ausência de forças de volume 4

xx ,yy

yy ,xx

xy ,xy

0



11

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO

No caso do Estado Plano de Deformação as Equações a que se chega são:

4 2

xx ,yy

yy ,xx

xy ,xy

(1 2 )V

1

V

V

Ou na ausência de Forças de Volume 4

xx ,yy

yy ,xx

xy ,xy

0



12

Equação Biharmónica

Na ausência de Forças de Volume a solução de Probemas de Estados Planos de Tensão e Deformação passa pela solução da equação Biharmónica ou seja pela solução de

4

xx ,yy

yy ,xx

xy ,xy

0

Soluções Polinomiais são possíveis para alguns problemas e têm a forma

m nmn

m nC x y

com m n 3



13

Placas Rectangulares

S1

S12cy

x x

yS2

(a) (b)



14

Função de Tensão para as placas Rectangulares

Placa da Figura (a) uma função de tensão possível é22

1 2 3xy ya a ax As Tensões correspondentes são:

x 3 y 1 xy 22 2 a a a

Condições de Fronteira x 1 y 2 xy 12 S S S

Coeficientes ai 2 1

1 2 12 3S S a a S a2 2

Função de Tensão 22 1212

S Sxy ySx2 2



15


Placa da Figura (b) uma função de tensão possível é2 33 2

1 2 3 4y xy ya a a ax x

Esta função de tensão conduz às tensões seguintes:

x 4 3

y 1 2

xy 2 3

6 y 2 xa a6 x 2 ya a

2 x 2 ya a

Para x=0 e x=L as tensões são:

x y xycy 0 0



16


Para y=±b/2 as tensões são: x y xy0 0 0

Estas condições de fronteira implicam que as constantes sejam:

1 2 3 40 e c / 4a a a a

ou seja a função de Airy é:

3cy

6



17

Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual

h

y

x

P

b

y

z

P

l



18

Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual

A função de tensão neste caso é: 3 2P x xyb

I 6 8

y

As componentes da tensão são 2 3

2xx y xy

P P hb bxy 0 sendo I=yI 2I 4 12

A tensão máxima émax 2

6Pl

hb



19

Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída

y

xb

y

z

p

l

p

h



20


Afunção de Airy a considerar é de 5ª ordem e tem a forma seguinte:

3 5 32 2 21 2 3 4 5yy y yC C C C Cx x x

as condições de fronteira que são:

Esforço Normal nulo nas extremidades Livre e.Encastrada

yy xy yy xy

b b

2 2xx xyb b

- -2 2

b b pPara y= 0 e 0 Para y=- e 0

2 2 h

Para x=0 e x=l h dy 0 Para x=0 h dy 0

Esforço de Corte nulo na extremidade.Livre

Esforço de Corte prescrito na extremidade.Encastrada

M

b

2xyb

-2

b

2b xx-2

Para x=l h dy pl

Para x=0 h dy 0 y

omento Flector nulo na extremidade.Livre

Momento Flector prescrito na extremidade.Encastrada

b 22b xx-2

plx=l h dy y2



21


A equação de compatibilidade obriga a que seja 2 1

1C C

5

Tendo em conta as condições de fronteira referidas obtém-se as constantes seguintes:

1 3 4 13

p 3 p 1 p 1 p C C C C

h 4 hb 4 h 10 hbb

Consequentemente as tensões, são:

33

xx 3 3

3

yy 3

2

xy 3

p y p 3 pyyx6 4h h 5 bhb b

p 3 py 1 py2

h 2 bh 2 hb

px 3 pxy6

h 2 bhb



22

ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

r

r

rr



23


As Equações de Equilíbrio de Forças tomam a forma:

rr θθ θθrrr

rθ rθ θθθ

σ σ σσ 1B 0

r r r θσ 2σ σ1

B 0r r r θ

As relações Deformações – Deslocamentos são:r

rr r,r

r r,

rr ,r r,

uu

ruu u1 1

ur r r r

u u uu1 1 1 1u u

2 r r r 2 r r



24


2 2 2

-1

x r cos θ

y r sin θ

x y r

yθ tan

x

122 2

,x

,y

,x 2 2 2yx

,y 2 2yx

1 xr x y 2x cos θ

2 ry

r sin θr

1 y y sin θθ

rx r1

1 1 y cos θθ

x rr1



25


As derivadas de uma função em ordem a x e a y podem ser calculadas a partir das derivadas em ordem a r e do seguinte modo:

,x ,x

,y ,y

sin θr θ ou cos θ

x r x r r

cos θr θ ou sin θ

y r y r r



26

Transformação do Tensor das Tensões de Coordenadas Cartesianas em Polares

rr ri rj ij

i j ij

r ri j ij

ij

cos sen 0

sen cos 0

0 0 1

2 2rr xx yy xy

2 2xx yy xy

2 2r xx yy xy

cos sin 2 cos sin

sin cos 2 cos sin

cos sin cos sin cos sin



27

Derivadas da Função de Tensão

,xx

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2,rr ,r

sincos

x x x r r

sin sincos cos 0

r r r rr

sin sin sin cos sincos cos

r r r r r

cos 2

2 2

, ,r , 2

cos sin cos sin sin sin2

r r r r

De modo análogo se calculam as derivadas em ordem a yy e xy.



28


A relação entre as tensões e a função de Airy em coordenadas cilíndricas toma a forma: rr ,r ,2

,rr

r , ,r

1 1

r r

1 1

r r

A equação Biharmónica toma a forma seguinte:

4 2 2 2,rr ,r ,2

2 2 2 24

2 2 2 2 2 2

1 10

r r

1 1 1 1

r r r rr r r r



29

Problemas Axisimétricos

rr ,r ,rr r

2,rr ,r

,r

24

,rr ,r2

4 3 24

4 3 2 2 3

1 0

r1 1

rr r r

1 1

r r rr

2 1 1

r rr r r r r



30

Solução da Equação Biharmónica para Problemas Axiximétricos

2 21 2 3 4C r ln r C r C ln r C

rr 1 2 3 2

1 2 3 2

r

1C 1 2ln r 2C C

r1

C 3 2ln r 2C Cr

0

rr rr

rr

r r r

1

E1

E11

2G E



31

Deslocamentos

3rrr 2 1 12

3r2 1 12

C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C

dr E r

C 1u 12C 1 C 1 2ln r 1 2C

r E r

3r2 1 12

3r 2 1 1

3r2 1 12

3r 2 1 1

C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C

dr E r

C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2 C r constante

E r

e

C 1u 12C 1 C 1 2ln r 1 2C

r E r

C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2C r

E r



32

Deslocamentos

Comparando as duas expressões obtidas para o deslocamento na direcção radial conclui-se:

3r 2 1 1

32 1 1

1

3r 2

C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2 C r constant

E r

C 112C 1 r C 1 2r ln r r 2C r

E r

C 0 constante 0

C 11u 2C 1 r

E r



33

Problemas Quasi Axisimétricos

No caso de se admitir que o problema é quasi axisimétrico, isto é que as tensões só dependem de r mas os deslocamentos podem depender de , as deformações são então em termos dos deslocamentos as seguintes.

3rrr 2 1 12

3r2 1 12

rr

C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C

dr E r

C 1uu 1 12C 1 C 1 2ln r 1 2C

r r E r

u u u1 1

2 r r r



34


3r2 1 12

3r 2 1 1

3 r2 1 12

1

C 1du 12C 1 C 1 2ln r 1 2 C

dr E r

C 11u 2C 1 r C 1 2r ln r r 2 C r f

E r

C 1u u1 12C 1 C 1 2ln r 1 2C

r E rr

fu1 14C

r E r



35


Integrando esta última equação obtém-se:

1

1

u 14C r f

E1

u 4C r f d g rE

Substituindo na expressão da deformação de corte obtém-se:

5

5

g r 1 1g r f θ dθ f θ 0

r r r1 1

rg r g r f θ dθ f θr r

rg r g r C

f θ dθ f θ C



36


Obtém-se duas equações uma só dependente de r e outra só dependente de que podem ser integradas obtendo-se:

5

5 6

6

rg r g r C

g r C C r

g r C

5

7 8

5 7 8

f θ dθ f θ C

f θ C sin C cos

f θ dθ C C cos C sin



37

Os deslocamentos radiais e circunferenciais tomam a forma:

32

r

1 1 7 8

1 7 8 6

C 12C 1 r1

u rE

C 1 2r ln r r 2 C r C sin C cos

1u 4 C r C cos C sin C r

E



38

CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO

po

pi

Ro

Ri

Pi – Pressão na superfície interiorPo- Pressão na superfície exteriorRi – Raio interiorRo – Raio exterior



39


As Tensões são Calculadas de acordo com

rr 1 2 3 2

1 2 3 2

r

1C 1 2ln r 2C C

r1

C 3 2ln r 2C Cr

0

E têm de verificar as condições de Fronteira

rr o o

rr i i

R p

R p

o 1 o 2 3 2o

i 1 i 2 3 2i

1p C 1 2ln R 2C C

R

1p C 1 2ln R 2C C

R

Ou seja



40


Estas duas condições são insuficientes para se calcularem as constantes, considerando o problema como quais axisimétrico e considerando o deslocamento circunferencial pode dizer-se que

1 7 8 6

1

1u 4 C r C cos C sin C r

Eu 0 u 2

C 0

o 2 3 2o

i 2 3 2i

1p 2C C

R

1p 2C C

R

2 2i i o o

2 2 2o i

2 2i o o i

3 2 2o i

p R p RC

2 R R

R R p pC

R R



41


As tensões tomam a forma

2 22 2i o o ii i o o

rr 2 2 2 2 2o i o i

2 22 2i o o ii i o o

2 2 2 2 2o i o i

R R p pp R p R

R R r R R

R R p pp R p R

R R r R R

e para o estado plano de deformação é

2 2i i o o

zz rr 2 2o i

2 p R p R

R R



42


Os deslocamentos são

3r 2

2 2i i o o

2 2 2o i

2 2i o o i

3 2 2o i

2 2 2 2i o o i i i o o

r 2 2 2 2o i o i

C 11u 2C 1 r

E r

p R p RC

2 R R

R R p pC

R R

R R p p p R p R1u 1 1 r

E R R r R R



43

PLACA INFINITA COM

PEQUENO ORÍFICIO

pi pi

R

i



44

PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO

Considerem-se as tensões obtidas no caso anterior e manipulem-se as expressões de forma a obter as tensões com a seguinte forma:

2i

i o 22i o io

rr 2 22i i

2 2o o

2i

i o 22i o io

2 22i i

2 2o o

Rp p

R p pR

R R1 r 1

R R

Rp p

R p pR

R R1 r 1

R R

Fazendo as aproximações seguintes

22 i

o o 2o

2 2i i i i

rr 2 2

Rp 0 sendo R 0

R

R p R p

r r



45

PLACA COM ORÍFICIO

TRACCIONADA

y

x

B

A

Tx

Tx

Axx x

yy

xy

T

0

0

Tensões Longe do Orifício



46

PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA

No caso de existir o orifício a distribuição de tensões só se altera próximo do orifício. Considerando o princípio de St. Venant pode considerar-se um círculo de raio RB tal que B>>A e no qual as tensões ainda são obtidas considerando as expressões e convertam-se as tensões em coordenadas cilíndricas.

2 xrr x

2 xx

xrr x

TB, T cos 1 cos 2

2T

B, T sin 1 cos 22

TB, T cos sin sin 2

2



47


Alternativamente pode considerar-se.

xx x

2x

2x

2 2 2x x

T

1T y

2y r sin

1T r sin

21 1

T r sin T r 1 cos 22 4



48


Sendo as tensões em termos da função de Airy, as seguintes: rr ,r ,2

,rr

r , ,r

1 1

r r

1 1

r r

As tensões são nestas condições:

x x xrr

x xr

T T TB, 1 cos 2 cos 2

2 2 2T T

B, sin 2 0 sin 22 2



49


Estas tensões correspondem à sobreposição de dois estados de tensão um axisimétrico e outro dependente de , estes estados de tensão são:

1 2x xrr rr

1 2 x

Axisimetrico: dependente de :

T TB, B, cos 2

2 2T

B, 0 B, sin 22



50

Problema Axisimétrico

As tensões para o problema axisimétrico são

i

o

i

xo

2 2 21 x

rr 2 2 2 2 2

2 2 21 x

2 2 2 2 2

R A

R B

p 0

Tp

2

T B A B

2 B A r B A

T B A B

2 B A r B A



51

Problema dependente de

No caso do problema dependente de q considera-se a equação biharmónica e uma função de Airy com a forma adequada às condições de fronteira: F r cos 2θ

A equação biharmónica toma a forma seguinte.

,rrrr ,rrr ,rr ,r2 3

2 41 2 3 4 2

2 9 9F F F F 0

r r r1

F r C C r C r Cr



52


As tensões correspondentes são:

2 41 2 3 4 2

2rr 1 2 42 4

2 22 3 4 4

2 21 2 3 4r 2 4

1C C r C r C cos 2θ

r

1 14C 2C 6C cos 2θ

r r

12C 12C r 6C cos 2θ

r

1 12C 2C 6C r 6C cos 2θ

r r



53


As constantes determinam-se considerando as condições de fronteira:

2rr

2r

2 xrr

2 xr

A, 0

A, 0

TB, cos 2

2T

B, sin 22



54


Obtendo-se o sistema de equações seguinte:

2 4

122 4

2 x

32 4

4 x

22 4

4 62 0

0A AC2 6 0

2 6ACA A TC4 6 22 0

B B C T2 6 22 6B

B B



55


No caso de A<<B pode-se considerar pela 4ª equação que:2 2 2 2 2

2 x1 2 3 42 2 2 2 4 2 2

2 2 2 22 x

1 2 3 42 2 2 4 2 2

22

3 32

TA 2 A A 6 A AC 2 C 6B C C

2B B B B B B B

TA 2 A 6 A AC 2 C 6A C C

2B B B B B B

A0 6A C 0 C 0

B

A 3ª equação implica.2 2 2 2x

1 2 42 4

22 2x x

2 22

T4 6A C 2A C A C A

2B B

T TA0 2A C A C

2 4B



56


Finalmente resolvendo as duas restantes equações obtém-se:

2x

1 4 1 x2 4

4x

1 4 4 x2 4

T4 6 AC C 0 C T

2 2A A

T2 6 AC C 0 C T

2 4A A

Substituindo as constantes obtidas nas expressões das tensões obtém-se:

2 42

rr x2 4

42

x4

2 42

xr 2 4

A 1 3 A2 T cos 2θ

2 2r r

1 3 AT cos 2θ

2 2 r

A 1 3 AT sin 2θ

2 2r r



57

Caso Axi simétrico

As Tensões no caso axisimétrico são:

i

o

i

xo

2 2 21 x

rr 2 2 2 2 2

2 2 21 x

rr 2 2 2 2 2

R A

R B

p 0

Tp

2

T B A B

2 B A r B A

T B A B

2 B A r B A



58

Caso Axi-simétrico

Adimitindo A/B tendente para zero obtém-se:

2 21 x x

rr 22 22

2 2

2 21 x x

22 22

2 2

A0

B

T T1 A A1

2 2 rA A1 r 1

B B

T T1 A A1

2 2 rA A1 r 1

B B



59

Tensões Totais

As tensões totais quando A/B tende para zero são:

2 2 41 2 x

rr rr rr x2 2 4

2 41 2 x

x2 4

2 41 2

r xr r 2 4

T A A 1 3 A1 2 T cos 2θ

2 2 2r r r

T A 1 3 A1 T cos 2θ

2 2 2r r

A 1 3 AT sin 2θ

2 2r r

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