Tarefa - anchietaba.com.br€¦ · 09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 6 (04) VERDADEIRA. 36 2 1 9 8 n(E) C2 9 = × × = = (Número de possibilidades distintas de se

Tarefa:

SIMULADO DE MATEMÁTICA

ALUNO(A): ______________________________________________ 3ª série do

ensino médio Turma: ___ Nº: ______

Professores:

Octamar e Caribé Nº de questões: 15 Data: ____/____/____ Unidade: II Nota:

09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

SIMULADO_2010 DE MATEMÁTICA APLICADO ÀS TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM JULHO DE 2010.

ELABORAÇÃO:

PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÕES DE 01 A 08QUESTÕES DE 01 A 08QUESTÕES DE 01 A 08QUESTÕES DE 01 A 08

Assinale os itens verdadeiros em cada questão, some os resultados e marque na Folha de Respostas. Questão 01 Questão 01 Questão 01 Questão 01

Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado 6cm e CDEF, um quadrado de lado 2cm. É verdade que: (01) 6,3 < BF < 6,4. (02) A altura do triângulo equilátero é igual a 32 cm.

(04) AF = 33102 − cm. (08) A área do triângulo ACF é igual a 6cm².

(16) A área do triângulo ACE °sen7526 cm². (32) O raio do círculo que passa nos pontos B, D e E , é igual a 17 cm.

09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 2

RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA.

No triângulo retângulo BCE da figura ao lado:

6,3240x364x 2 ==⇒+= cm

(02) FALSA.

h = 332

36

2

3==

lcm

(04) VERDADEIRA. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ACF:

33102AF31240AF2

3262436AF 22 −=⇒−=⇒×××−+= cm.

(08) FALSA.

A área do triângulo ACF é igual a 3sen30262

1s =°×××= cm².

(16) VERDADEIRA.

A área do triângulo ACE è: °=°×××= sen7526sen752262

1S cm².

(32) VERDADEIRA. B, D e E, são os vértices de um triângulo retângulo. Logo a medida do raio do círculo que o circunscreve é igual à metade da sua hipotenusa:

172

68

2

464

2

BE==

+= cm.


Questão 02 Questão 02 Questão 02 Questão 02 O crescimento anual das exportações de um país, em um determinado ano, é medido tendo-se por base o valor total das exportações do ano imediatamente anterior. Supondo que o crescimento das exportações de um país foi de 20% em 2006 e de 10% em 2007, julgue os itens seguintes. (01) O valor total das exportações em 2006 foi igual a 1,2 vezes o valor correspondente em 2005. (02) Diminuindo-se 10% do valor total das exportações ocorridas em 2007, obtém-se o valor total das

exportações ocorridas em 2006. (04) Em 2007, o valor total das exportações foi 32% maior que o de 2005. (08) O crescimento do valor das exportações durante o biênio 2006 – 2007 equivale a um crescimento

anual constante inferior a 15% ao ano, durante o mesmo período. (16) Supondo que em 2008 as exportações caíram 30%, então nesse ano o país exportou menos que em 2005. RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA. Valor2006 = Valor2005 + 0,20 Valor2005 = 1,20 Valor2005 (02) FALSA. Valor2007 = Valor2006 + 0,10 Valor2006 = 1,10 Valor2006 1,10 Valor2006 – 0,10 × 1,10 Valor2006 = 0,99Valor2006

(04) VERDADEIRA.

Valor2007 = 1,10 Valor2006 = 1,10 × 1,20 Valor2005 = 1,32 Valor2005 (08) VERDADEIRA. Considerando a como a taxa anual de variação constante do valor das exportações: (x + ax) + (x + ax)a = 1,32x ⇒ 1 + a + a + a2 = 1,32 ⇒ a2 + 2a – 0,32 = 0 ⇒

a = 0,150,14892

2978,22a

2

28,142<=

+−=⇒

+±−

(16) VERDADEIRA. Valor2008 = 0,70 Valor2007 = 0,70 × 1,32 Valor2005 = 0,924 Valor2005


Questão 0Questão 0Questão 0Questão 03333 Sobre polígonos é verdade que: (01) Se l e R são, respectivamente , lado e raio de um triângulo eqüilátero, então 2R=l . (02) A área de um quadrado de raio R é igual a 2R². (04) Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 96°. (08) A área de um dodecágono regular de raio R é igual a 3R². (16) As menores diagonais de um hexágono regular de lado l , tem medida igual a 3l .

(32) O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pela fórmula ( )2

3nn − , portanto

existe polígono convexo com 30 diagonais. RESOLUÇÃO: (01) FALSA. No triângulo retângulo ABC da figura ao lado:

3R2

32Rcos30R

2=⇒×=⇒°×= ll

l

(02) VERDADEIRA. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura ao lado:

( ) 2222 R22RS2R2R4 ==⇒=⇒= ll

(04) FALSA.

Num polígono convexo regular, a medida do ângulo interno é dada pela relação: ( )n

2n180a i

−°= .

Então no pentágono regular: ( )

°=×°−°

= 1083365

25180a i

(08) VERDADEIRA. O dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio R divide essa

circunferência em 12 arcos congruentes que medem °=°

3012

360.

Logo a área do dodecágono é 222 R32

1R630senR

2

112S =×=°×××=


(16) VERDADEIRA. Uma das diagonais menores do hexágono regular ao lado, é a corda AB cuja medida é 2x. No triângulo retângulo destacado:

3AB2

3x

4

3x

4x

22

222

llll

l =⇒=⇒=⇒−=

(32) FALSA.

( ) ( ) N2

2493

2

24093n060n3n603nn30

2

3nn 2 ∉±

=+±

=⇒=−−⇒=−⇒=−

Questão 04 Questão 04 Questão 04 Questão 04 (UFBA2008/Mod(UFBA2008/Mod(UFBA2008/Mod(UFBA2008/Modificada)ificada)ificada)ificada) Uma caixa contém cinco varetas azuis, medindo 1cm, 3cm, 4cm, 5cm e 7cm, e quatro varetas verdes, medindo 2cm, 3cm, 4cm e 5cm. Com relação às varetas da caixa, é correto afirmar: (01) A média aritmética dos comprimentos das varetas é menor que 4cm. (02) Escolhendo-se, ao acaso, uma vareta, a probabilidade de ser azul ou ter comprimento maior que 4cm é igual a 2/3. (04) Escolhendo-se, ao acaso, duas varetas, sem reposição, a probabilidade de serem da mesma cor é igual a 4/9. (08) Existem exatamente 21 maneiras distintas de escolher três varetas que formem um triângulo isósceles. (16) Existem exatamente 9! maneiras distintas de se enfileirar as varetas. RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA.

43,777...9

34

9

543275431Ma <==

++++++++= ,

(02) VERDADEIRA. Existem 5 varetas azuis ou 3 com comprimentos maiores que 4cm, das quais, duas são azuis. Assim ao todo existem 6 varetas que satisfazem à condição estabelecida.

A probabilidade pedida é 3

2

9

6p == .


(04) VERDADEIRA.

3612

89Cn(E) 2

9 =×

×== (Número de possibilidades distintas de se escolher 2 entre as 9 varetas).

36610CCn(A) 24

25 =+=+= (Número de possibilidades distintas de se escolher, sem reposição, 2

varetas de mesma cor, entre as 9 varetas).

A probabilidade pedida é 9

4

36

16p == .

(08) FALSA. Para a resolução, deve-se considerar o teorema: “Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma dos outros dois lados”. 1) Para formar os lados congruentes, pode-se escolher duas varetas medindo 3cm. Sendo 6m a soma desses lados, o terceiro lado somente poderá ser escolhido entre as varetas que medem 1cm, 2cm, 4cm (azul), 4cm (verde), 5cm (azul) e 5cm (verde), logo, nesse caso, poderão ser formados 6 triângulos. 2) Para formarem os dois lados congruentes, pode-se também escolher –se duas varetas medindo 4cm ou duas medindo 5cm, e, em cada caso, restarão sempre, 7 varetas para o terceiro lado. Então poderão ser formados exatamente 2 × 7 = 14 triângulos isósceles. Ao todo são (6 + 14) = 20 maneiras distintas de se escolher três varetas que formem um triângulo isósceles. (16) VERDADEIRA. Existem exatamente 9! maneiras distintas de se enfileirar as varetas. Questão 0Questão 0Questão 0Questão 05555 Considere a figura, a seguir, onde ABCD é um quadrado de lado 6cm e centro M. A reta VM é perpendicular ao plano ABCD e o diedro VBCA mede 60°.

É verdade que:

(01) As retas VM e BC são ortogonais. (02) A interseção dos planos VBC e VAD é uma reta paralela ao plano ABCD. (04) Pelo vértice V passa uma única reta paralela ao plano ABCD.

(08) VM = 33 cm.

(16) A área do triângulo VBC é igual a 36 cm².

(32) A área do triângulo VAC é igual a 39 cm².


RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA. Sendo a reta VM perpendicular ao plano ABCD, ela é ortogonal a toda reta desse plano que não passe pelo ponto M, pois sempre existe uma reta s contida no plano passando pelo ponto M, paralela a infinitas retas desse

plano. No exemplo, s // BC .

(02) VERDADEIRA. Como se vê na figura ao lado, os planos VBC e VAD se interceptam segundo a reta s paralela ao plano ABCD.

(04) FALSA. Todas as retas que passam por V e estão contidas no plano α paralelo ao plano ABCD, são paralelas a este palno.

(08) VERDADEIRA.

No triângulo retângulo VMN, 33VM3

VM3

3

VM60tg =⇒=⇒=° cm.

(16) FALSA.

No triângulo retângulo VMN, 6VNVN

3

2

1

VN

360cos =⇒=⇒=° .

A área do triângulo VBC é igual a 182

66=

×cm².

(32) FALSA.

Considere-se AC , diagonal do quadrado ABCD como base do triângulo VAC,

cuja altura é o segmento VM .

Então a área do triângulo VAC é: 692

3326

2

VMAC=

×=

× cm².


Questão 06 Questão 06 Questão 06 Questão 06 No 3o ano de um colégio existem 3 turmas (A; B e C) com as seguintes quantidades de alunos:

HOMENS MULHERES TURMA A 20 30 TURMA B 30 20 TURMA C 10 40

Com base nas informações, é verdade que:

(01) A probabilidade de, sorteando-se um aluno do 3o ano, ele ser homem é 0,4. (02) A probabilidade de, sorteando-se um aluno da turma B, ele ser homem é 0,6. (04) A probabilidade de, sorteando-se um aluno do 3o ano, ele ser mulher ou ser da turma B é 0,8. (08) A probabilidade de, sorteando-se dois alunos do 3o ano A, encontrarmos um homem e uma mulher é

12/49. (16) A probabilidade de, sorteando-se três homens do 3º ano, encontrarmos um de cada turma é

300/1711. (32) A probabilidade de, sorteando-se três alunos do 3º ano C, encontrarmos pelo menos um homem é

111/245. RESOLUÇÃO:

HOMENS MULHERES TOTAL TURMA A 20 30 50 TURMA B 30 20 50 TURMA C 10 40 50

TOTAL 60 90 150 (01) VERDADEIRA.

4,05

2

150

60p ===

(02) VERDADEIRA.

6,0100

60

50

30p ===

(04) VERDADEIRA.

n(M∪B) = n(M) + n(B) – n(M∩B) = 90 + 50 – 20 = 120 ⇒ 8,05

4

150

120p ===

(08) FALSA.

49

24

245

120

2

49503020

C

CCp

2,50

1,301,20 ==××

=×

=


(16) VERDADEIRA.

1711

300

23

5859606000

C

103020p

3,60

=

×

××=

××=

(32) FALSA.

( ) ( ) ( )

140

111

980

777

19600

15540

19600

01415700870023

48495023

18192030

2

1920

2

293020

C

CCCCCp

3,50

3,201,302,202,301,20

===++

=

=

×

××

×

××+

×

×+

××

==+×+×

=

Questão 0Questão 0Questão 0Questão 07777 Considere os polinômios p(x) = x³ − 2x² + 1 e q(x) = x² − 1. É verdade que: (01) Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por q(x), então r(2) = 0. (02) O resto da divisão de p(x) por 2x – 1 é igual a 5/8. (04) A equação p(x) = 0 possui duas raízes irracionais.

(08) A equação 3

1

)x(q

)x(p= possui duas raízes positivas.

(16) A equação p(x) .q(x) = 0 possui uma raiz dupla. (32) 3 é raiz da equação p(2x – 7) = 0. RESOLUÇÃO: (01) FALSA.

x² − 1 x³ − 2x² + 0x + 1 − x³ + x x − 2 − 2x² + x + 1 2x² − 2 (Resto) x − 1

x(x² − 1) = x³ − x − 2 (x² − 1) = − 2x² + 2

(02) VERDADEIRA.

8

5

8

8411

2

1

8

11

2

12

2

1

2

1p

23

=+−

=+−=+

−

=


(04) VERDADEIRA. x³ − 2x² + 1 = 0 ⇒ p(1) = 1 – 2 + 1 = 0 ⇒ p(x) é divisível por x – 1 Aplicando Briot-Ruffini:

1 −2 0 1 1 1 −1 −1 0

Logo podemos escrever: p(x) = (x – 1)(x² – x – 1)

Resolvendo a equação x² – x – 1 = 0 ⇒ x = 2

51

2

411 ±=

+±.

Logo as raízes de p(x) = 0 são: 1, 2

51− e

2

51+

(08) FALSA.

⇒=−−⇒+=−−⇒=+

−−=

−

+−= 04x4x31x3x3x3

3

1

1x

1xx

1x

1x2x

)x(q

)x(p 222

2

23

o produto das suas

raízes é 3

4− ⇒ que as raízes possuem sinais diferentes.

(16) VERDADEIRA. A equação p(x) . q(x) = ( 1x2x 23 +− )( x² – 1) =0 ⇒ (x – 1)(x² – x – 1)(x – 1)(x + 1) = 0⇒ (x² – x – 1)(x – 1)²(x + 1) = 0 ⇒ 1 é uma raiz dupla. (32) FALSA. p(2x – 7) = (2x – 7) 2(2x – 7)² +1. Substituindo x por 3: (6 – 7)³ – 2(6 – 7)² +1 = –1 – 2 + 1 = – 2 ⇒ 3 não é raiz da equação p(2x – 7) = 0 Questão 0Questão 0Questão 0Questão 08888

Considere as matrizes: A =

112

101 e B =

11

10

11

Pode-se afirmar que: (01) A matriz AB é simétrica. (02) A matriz BA é inversível.

(04) (3, 1) é solução do sistema (AB) X = C, onde X =

y

x e C =

13

8.

(08) 24 x 2

XA.B

3

X22

tt =⇒=+ .


(16) det ( )4

1AB 1 −=− .

(32) O sistema (AB)X = C, onde X =

y

x e C =

b

a é determinado, ∀ a, b ∈ R.

RESOLUÇÃO: (01) FALSA.

AB =

112

101

11

10

11

=

43

22 não é simétrica, pois a21 ≠ a12.

(02) FALSA.

BA =

11

10

11

112

101= ⇒=−−−++=⇒

=

++

++

0363346)BAdet(

213

112

213

11121

112

11121

BA não é inversível. (04) VERDADEIRA.

(AB) X = C ⇒

43

22

y

x=

13

8 ⇒

+

+

y4x3

y2x2=

13

8 ⇒

=

=⇒

=+

=+⇒

=+

=+

1y

3x

13y4x3

16y4x4

13y4x3

8y2x2

(08) VERDADEIRA.

⇒

=⇒=+⇒=+

42

326X3X6(AB)2X

2

XAB

3

X ttt x22 = 24.

(16) FALSA.

( )2

1

68

1

43

22det

1

)ABdet(

1ABdet 1 =

−=

==− .

(32) VERDADEIRA.

Como det

43

22= 2 ≠ 0 ⇒ o sistema

43

22

y

x=

b

a é determinado, ∀ a, b ∈ R.

.


QUESTÕES DE 09 E 10QUESTÕES DE 09 E 10QUESTÕES DE 09 E 10QUESTÕES DE 09 E 10

Resolva as questões 09 e 10, deixando os cálculos e suas justificativas, e marque as respostas encontradas na Folha de Respostas.

Questão 09

Na segunda guerra mundial, mensagens secretas eram enviadas por meio de códigos que utilizavam matrizes.

Suponha que uma mensagem foi enviada por meio da matriz A =

−

121

201

011

.

Para encontrar a matriz B a ser decodificada usa-se a matriz C =

201

121

110

tal que BC = A.

Cada número da matriz B corresponde a letras que traduzirão a mensagem enviada. Calcule o número b12. RESOLUÇÃO:

201

121

110

bbb

bbb

bbb

333231

232221

131211

=

−

121

201

011

⇒ ⇒−

=++

=+

=+

)LL;L(

0b2bb

1b2b

1bb

321

131211

1211

1312

=

=⇒

=−

=+⇒

=−

=+

1b

3b3

1b2b

2b2b2

1b2b

1bb

12

12

1312

1312

1312

1312 .

RESPOSTA: b12 = 1


Questão 10 Seis operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 9 operários, para construírem um muro semelhante ao anterior, só que com 48 m de comprimento e em 4 dias? RESOLUÇÃO: Representando em uma tabela as grandezas que aparecem na questão:

1) Trabalhando-se 6h/d, o trabalho foi feito em 6 dias. Trabalhando-se (2×6)h/d, o trabalho será feito em (6÷2) dias. Ao se multiplicar a primeira grandeza por 2, a segunda ficou dividida pelo mesmo dois, logo h/dia e dias são grandezas inversamente proporcionais.

H/DIA DIAS 6

(2×6) ↓ 5

(6÷2) ↑

2) Trabalhando-se 6h/d, o trabalho foram feitos em 30 metros. Trabalhando-se (2×6)h/d, serão feitos (2×30) metros. Ao se multiplicar a primeira grandeza por 2, a segunda ficou multiplicada pelo mesmo dois, logo h/dia e comprimento são grandezas diretamente proporcionais.

H/DIA METROS 6

(2×6) ↓ 30

(2×30) ↓

3) Trabalhando 6h/d, 6 operários fizeram o trabalho num certo tempo. Trabalhando (2×6)h/d, (6÷2) operários farão o trabalho no mesmo tempo. Ao se multiplicar a primeira grandeza por 2, a segunda ficou dividida pelo mesmo dois, logo h/dia e número de operários são grandezas inversamente proporcionais.

H/DIA OPERÁR. 6

(2×6) ↓ 6

(6÷2) ↑

Representando os resultados da comparação na tabela inicial:

Armando a proporção:

8x4

3

x

6

1

1

2

1

2

3

x

6

5

4

8

5

2

3

x

6

5

4

48

30

6

9

x

6=⇒=⇒××=⇒××=⇒××=

RESPOSTA: 8 horas

Documents

Tarefa - anchietaba.com.br€¦ · 09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 6 (04) VERDADEIRA. 36 2 1 9 8 n(E) C2 9 = × × = = (Número de possibilidades distintas de se