Exercıcios Resolvidos - 10o. Tarefa

19 de maio de 2013

Questao 1: Proposta no proprio BlogUtilizando a expressao dada como “chute” para a equacao do movimento:

Msn +K(2sn − sn−1 − sn+1) = 0

Mu(iω)2ei(naq−ωt) +K(2uei(naq−ωt) − 2uei((n−1)aq−ωt) − uei((n+1)aq−ωt)) = 0

Mu(iω)2 = Ku(e−iaq + eiaq)− 2Ku

E lembrando que podemos expressar eix como cosx+ i sinx, obtemos:

ω2 =2K(1− cos(aq))

M

Logo:

f 2 =K

2πM(1− cos(aq))

E sabendo que q =β}nπcL

, onde n e a n-esima harmonica, e β =1

kBT, em que T e a temperatura do

sistema :

f 2 =K

2πM(1− cos(

aβ}πcnL

))

Einstein e Debye estudaram o movimento dos atomos nos solidos, considerando-os osciladores. EnquantoEinstein estudou os osciladores como se fossem independentes, Debye os estudou como se estivessemacoplados (como se estivessem presos por molas). Einstein procurou obter uma aproximacao harmonicaem torno do ponto mınimo de energia potencial para osciladores desacoplados. Dessa forma, considerandoum meio isotropico, a constante elastica tambem foi considerada a mesma em todas as direcoes. Aconteceque quando o princıpio da equiparticao era aplicado a um sistema solido tridimensional levava a umvalor de calor especıfico de cV = 3R, ou cV = 24, 9 J/mol.K .Para uma grande maioria dos solidos, esseresultado(chamado Lei de Dulong-Petit era razoavel acima de certas temperaturas, mas falhava bastantecom o carbono, e em para todos os solidos o calor especıfico tendia a zero para temperaturas muito baixas.Einstein foi o primeiro a resolver esse problema, aplicando a quantizacao de energia ao estudo dos solidos,e assim conseguiu explicacoes para a dependencia do calor especıfico com a temperatura.

Questao: Proposta durante a aulaFoi proposto durante a aula o desenvolvimento da seguinte expressao:

b0 =2y0L

L∫0

sin(3π

Lx) sin(

nπ

Lx)dx

Temos de considerar dois casos: n = 3 e n 6= 3. Para o primeiro caso temos:

b0 =2y0L

L∫0

sin2(3π

Lx)dx

1

b0 =y0L

L∫0

(1− cos(6π

Lx))dx

b0 = y0 −y0L

L∫0

cos(6π

Lx)dx

b0 = y0

Para o segundo:

b0 =2y0L

L∫0

[cos(

πx(3− n)

L)− cos(

πx(n+ 3)

L)]

]dx

b0 =2y0L

(L

π(n− 3)sin(

πx(3− n)

L)− L

π(n+ 3)sin(

πx(n+ 3)

L)

)L

0

b0 =2y0π

[1

(n− 3)sin(π(3− n))− 1

(n+ 3)sin(π(n+ 3))

]

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