08Elizabete Alves de Freitas

C U R S O T C N I C O E M S E G U R A N A D O T R A B A L H O

Taxa de porcentagem e outros tpicos de matemtica financeira

matemtica

coordenadora da Produo dos materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

coordenador de edio Ary Sergio Braga Olinisky

coordenadora de Reviso Giovana Paiva de Oliveira

Design Grfico Ivana Lima

Diagramao Ivana Lima Jos Antnio Bezerra Jnior Mariana Arajo de BritoVitor Gomes Pimentel

arte e ilustrao Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin

Reviso tipogrfica Adriana Rodrigues Gomes

Design instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias

Reviso de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Reviso das Normas da aBNt Vernica Pinheiro da Silva

adaptao para o mdulo matemtico Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Reviso tcnica Rosilene Alves de Paiva

equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte ufrn

Projeto Grfico

Secretaria de Educao a Distncia SEDIS

Governo Federal

ministrio da educao

Voc ver

por aqui...

Objetivo

Matemtica a08

Saber resolver situaes que envolvam taxa de porcentagem, lucro ou prejuzo em operaes com mercadorias e descontos ou acrscimos sobre preos de produtos, inclusive de forma sucessiva.

...um estudo que apresenta alguns tpicos abordados na Matemtica Financeira.

Aqui voc ter a oportunidade de estudar o que taxa de porcentagem, como calcular a porcentagem de um valor dado, calcular qual a taxa de porcentagem correspondente razo entre dois valores, solucionar problemas que envolvem lucro e prejuzo em operaes com mercadorias, calcular descontos e acrscimos sobre preos de mercadorias, inclusive em situaes que envolvem clculo de preos com acrscimos sucessivos ou descontos sucessivos.

Todo o contedo apresentado atravs de exemplos diversos e intercalado com algumas atividades que propem questes subjetivas. A lista de exerccios, no final da aula, apresenta questes objetivas para uma melhor fixao dos contedos.

Aps a resoluo de todas as atividades, voc poder verificar sua aprendizagem na seo Auto-avaliao.

Bons estudos!

20

38

14

72

22 1610

484254

24

120

0

20

40

60

80

100

120

140

EnsinoFundamental

Ensino Mdio Ensino Superior Total

Feminino

Masculino

Total

Matemtica a08

Para comeo de conversaAtente para a seguinte situao, criada para fins desta aula: em uma empresa que contrata 120 funcionrios, observou-se:

Grfico Escolaridade dos 120 funcionrios da Empresa SADE PERFEITA S.A., segundo o sexo.

exemplo

Matemtica a08

Podemos afirmar que a razo entre o nmero de funcionrios do sexo feminino e o total de funcionrios de 72 para 120, ou mesmo:72120

=72 12120 20

=610=

6 1010 10

=60100

= 60% , ou seja, setenta e dois para cento e

vinte igual a sessenta para cem ou sessenta por cento.

Significa dizer que a cada 100 funcionrios, 60 so do sexo feminino. Essa idia fica simplificada na taxa percentual 60%.

Na Empresa SADE PERFEITA, outras porcentagens podem ser observadas, a partir dos dados apresentados no Grfico 1. Mas antes de determinar essas porcentagens, que tal aprender um pouco sobre taxa de porcentagem?

taxa de porcentagem comum, no nosso dia-a-dia, vermos expresses que indicam percentuais de acrscimos ou de descontos em preos, como as seguintes:

Nessa liquidao, o cliente recebeu um desconto de vinte por cento em todas as mercadorias, o rendimento da caderneta de poupana em fevereiro foi de quase um por cento, a mdia de reajustes nos combustveis foi de dois por cento ou seis por cento daquela comunidade j contraiu a virose.

Essas expresses envolvem uma razo especial denominada porcentagem ou percentagem. A representao numrica de uma porcentagem uma taxa percentual ou taxa de porcentagem.

12% uma taxa de porcentagem (ou taxa percentual).

Uma taxa de porcentagem pode ser escrita como uma razo centesimal.

Razo centesimal toda razo que tem o conseqente 100.

exemplo

exemplo

Matemtica a08

Veja alguns exemplos de razes centesimais:

1100

,2100

,20100

,152100

e275100

.

Escrever a porcentagem 12% escrever a razo centesimal 12100

ou escrever 0,12, que seu valor equivalente na forma unitria.

Observe algumas taxas percentuais e como essas podem ser escritas na forma de razo centesimal, no exemplo a seguir:

Percentual Razo centesimal

0,01%0, 01100

ou1

10 000

2,5%2, 5100

ou25

1 000

5%5100

28%28100

147%147100

235,8%235, 8100

ou2 3581 000

2.000%2 000100

ou201

Calculamos uma porcentagem atravs de uma proporo na qual cada razo exibe uma relao entre dois valores, o primeiro representa a parte e o outro representa o todo. Em uma das razes essa relao feita entre os valores absolutos e na outra razo essa relao entre os valores percentuais, ou seja, uma das razes tem conseqente igual a 100.

Matemtica a08

Ou Valor absoluto da parte valor percentual da parte

valor absoluto do todo valor percentual do todo= ainda, como o todo

corresponde a 100%, temos:

Quando precisamos calcular a porcentagem de uma quantidade porque dispomos de trs elementos conhecidos de uma proporo e pretendemos calcular o quarto elemento. Nesse clculo, estamos lidando com um caso de regra de trs, assunto j abordado em aulas anteriores. Veja o exemplo a seguir.

Valor absoluto da parte valor percentual da parte

valor absoluto do todo 100=

exemplo

Pedro vendeu 20% de seus 150 carrinhos. Quantos carrinhos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos substituir os valores conhecidos na seguinte proporo:

Ou seja,

Aplicando a propriedade fundamental das propores, temos que:

100 x = 150 20 100 x = 3 000 x = 3 000 100 x = 30

Pedro vendeu 30 carrinhos.

Valor absoluto da parte valor percentual da parte

valor absoluto do todo 100=

x150

=20100

Para esse mesmo problema, podemos resolver de uma segunda maneira. Observe:

2. resoluo do exemplo 4:

20% de 150 =20100

150 = 0,20 150 = 30 (carrinhos)

Isso se justifica, pois calcular uma porcentagem de uma quantidade o mesmo que calcular uma razo de uma quantidade, que pode ser resolvido como na segunda resoluo do exemplo 4.

Veja mais um exemplo:

Praticando...

Matemtica a08

exemplo

Em uma liquidao, uma camisa que custava R$ 32,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi a economia, em reais, nessa compra?

Temos que:

Aplicando a propriedade fundamental das propores, temos:

100 x = 32 25 100 x = 800 x = 800 100 x = 8

Nessa compra houve uma economia de R$ 8,00.

Que tal praticar um pouco resolvendo algumas atividades?

Valor absoluto da parte valor percentual da parte x 25valor absoluto do todo 100 32 100

= = =

. Calcule as seguintes porcentagens:

a) 12% de 300 revistas. b) 25% de 1 200 kg.

c) 8% de 75 gols. d) 2% de R$ 250,00.

. Uma pessoa devia R$ 2.800,00 e pagou 5% dessa dvida. Quanto falta pagar, em reais, para liquidar a sua dvida?

. Um corretor imobilirio recebeu R$ 3.200,00 pela comisso de venda de um apartamento. Sabendo que ele cobra 5% de taxa de comisso, por quanto foi vendida a propriedade em questo?

. Considerando os valores do Grfico 1, responda ao que se pede a seguir.

Calcule, em relao ao nmero total de funcionrios, as taxas de porcentagens

a) de funcionrios do sexo feminino que apenas concluram o ensino fundamental.

b) de funcionrios do sexo masculino que apenas concluram o ensino mdio.

c) de funcionrios do sexo feminino que concluram o ensino superior.

Responda aqui

Matemtica a08

8Matemtica a08

Lucro e prejuzo em operaes com mercadoriasA idia de porcentagem est muito presente em alguns tpicos de Matemtica Financeira, como lucro e prejuzo em operaes com mercadorias e em descontos e acrscimos.

Quando voc compra uma mercadoria, paga por ela um determinado preo que chamado de preo de custo, e quando vende uma mercadoria, estabelece para esse produto um valor correspondente ao produto, que chamado de preo de venda.

O preo de custo de uma mercadoria formado por todas as despesas que so geradas pela aquisio de matria prima, pela fabricao (inclusive com custos das instalaes), pela estocagem, pelo transporte e pela manuteno desse produto.

Custos de produo + estocagem

Custo de manuteno +

impostos

Custo de transporte

Preo de Custo+ + =

O preo de venda o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da mercadoria/produto/servio, as despesas variveis, como impostos, comisses, etc., as despesas fixas proporcionais, ou seja, aluguel, gua, luz, telefone, salrios e outros custos. Esse preo de custo deve ainda prever algum lucro.

CUSTOS DIRETOS

DESPESAS VARIVEIS

(comisses + impostos + ...)

DESPESAS FIXAS PROPORCIONAIS

PREO DE VENDA

+ + =

A compra ou venda de uma mercadoria pode ser efetuada com lucro ou com prejuzo.

Quando o preo de venda maior que o preo de custo, dizemos que a venda foi efetuada com lucro.

Quando o preo de venda menor que o preo de custo, dizemos que houve prejuzo na operao de venda.

Preo de custoPreo de Venda

V C = L<

Preo de custo Preo de Venda

C V = P

<

Matemtica a08

A esse lucro (ou prejuzo podemos associar uma taxa, que aqui representaremos por i, que pode ser calculada utilizando como referncia o preo de custo ou o preo de venda.

iCC=

x100 iC = x% de C ou

iLL=

y100 iL = y% de L

Observe que essa taxa pode ser apresentada na forma percentual ou unitria.

exemplo

A taxa i = 10% (escrita na forma percentual) tambm pode ser apresentada como i = 0,10 (quando escrita na forma unitria).

A taxa i = 3% (escrita na forma percentual) tambm pode ser apresentada como i = 0,03 (quando escrita na forma unitria).

A taxa de 1,5% (escrita na forma percentual) tambm pode ser apresentada como i = 0,015 (quando escrita na forma unitria).

Para simplificar a escrita de algumas situaes, em nossa aula, vamos representar algumas palavras por uma de suas letras iniciais. O preo de custo ser representado por C. O preo de venda ser representado por V. O valor do lucro ser representado por L. O valor do prejuzo ser representado por P.

Vejamos, ento, cada um dos casos citados anteriormente:

Lucro sobre o preo de custoQuando um comerciante efetua uma venda com lucro sobre o preo de custo, significa que o preo de venda superior ao preo de custo e que esse lucro foi comparado com o preo de custo da mercadoria.

Lembre-se:

Na venda de um

produto, temos lucro

quando o preo de

venda maior que o

preo de custo.

exemplo

exemplo 8

0Matemtica a08

O preo de custo de uma mercadoria de R$ 10,00. Para ser vendida com um lucro de 25% sobre o preo de custo, qual ser seu preo de venda?

Utilizando as informaes que a questo nos apresenta, temos:

C =10,00 e L = 25% de C L = 0,25 C L = 0,25 R$ 10,00 L= R$ 2,50

V = C + L V = 10,00 + 2,50 V = R$ 12,50

Ou, resolvendo de uma segunda maneira, podemos escrever:

V = C + L V = C + 0,25 C V = (1+0,25) C V = 1,25 C (eq.1)

Para calcular o valor de V, podemos substituir o valor de C na eq.1 e obtemos:

V = 1,25 10,00 V = R$ 12,50

Por qualquer uma forma de resoluo, o resultado encontrado para o valor de venda da mercadoria de R$ 12,50.

Que tal mais um exemplo?

Um comerciante vendeu uma mercadoria por R$ 560,00 para obter um lucro de 12% sobre o preo de custo. Descubra qual foi o preo de custo dessa mercadoria.

Sabemos que:

L = 12 % de C L = 0,12 C e

C + L = 560 C + 0,12 C = 560 C (1 + 0,12) = 560

C (1, 12) = 560 C =5601, 12

C = 500

O preo de custo da mercadoria igual a R$ 500,00.

Vejamos mais um exemplo:

exemplo

Matemtica a08

Cada unidade de um determinado produto custou R$ 30,00. Querendo obter um lucro de 20% sobre esse preo de custo, qual dever ser o preo de venda por unidade?

C = R$ 30,00 e L = 20% de C L = 0,20 (R$ 30,00) L = R$ 6,00

Lembrando, tambm, que: V C = L.

Assim: V 30 = 6 V = 6 + 30 = 36.

O preo de venda, por unidade, desse produto de R$ 36,00.

De uma forma geral, podemos escrever: V = C + L (eq.2) e L = i C (eq.3),

em que i a taxa de lucro sobre o preo de custo.

Quando substitumos o valor de L da eq.3 na eq.2, temos:

V = C + i C V = (1+i) C

V = (1+i) C a frmula que relaciona o preo de venda e o preo de custo, em uma venda com lucro sobre o preo de custo.

Praticando...

. Um comerciante comprou um objeto de R$ 250,00. Desejando ganhar 14% sobre o preo de custo, qual deve ser o preo de venda?

. Um aparelho de som foi vendido por R$ 480,00. Qual o lucro obtido, sabendo que o mesmo foi calculado como 20% sobre o preo de custo?

Responda aqui

exemplo 0

Matemtica a08

Lucro sobre o preo de vendaQuando afirmamos que um objeto foi vendido com lucro sobre o preo de venda significa dizer que o percentual de lucro foi calculado tomando-se como referncia o preo de venda, ou seja, tomando o preo de venda como 100%.

Ruth comprou uma blusa por R$ 40,00 e resolveu vend-la com um lucro de 20% sobre o preo de venda. Qual deve ser o preo dessa mercadoria?

Sabemos que: V = 40 + L (eq.4) e L = 20% de V L = 0,20 V (eq.5)

Substituindo a eq.5 na eq.4, temos: V 0,20 V = 40 (1 0,20) V = 40 0,80 V = 40 V = 40 0,80 V = 50.

O preo de venda dessa mercadoria deve ser igual a R$ 50,00.

exemplo

Matemtica a08

Observe mais um exemplo:

Uma roupa foi vendida, com um lucro de 15% sobre o preo de venda, por R$ 120,00. Qual foi o preo de custo dessa mercadoria?

Temos que V = C + L, ou seja, C = V L (eq.6), sendo L = 0,15 V (eq.7).

Assim, quando substitumos a eq.7 na eq.6, temos:

C = V 0,15 V C = (1 0,15) V C = 0,85 V

Substituindo V por R$ 120,00, temos:

C = 0,85 120 C = 102

O preo de custo dessa roupa foi de R$ 102,00.

De uma forma geral: C = V L e L = i V C = V i V C = (1 i) V

(1 i) V = C V =C

1 i .

V = C (1 i) a frmula que relaciona o preo de venda com o preo de custo, quando ocorre uma operao de venda com lucro sobre o preo de venda.

Praticando...

. Um produto foi vendido com um lucro de 40% sobre o preo de venda. Se esse produto foi vendido por R$ 60,00, qual o valor de preo de custo desse produto?

. Um eletrodomstico que custou R$ 450,00 foi vendido com um lucro de 10% sobre o preo de venda. De quanto foi o lucro?

Prejuzo

Na venda de um

produto, temos

prejuzo quando o

preo de venda

menor que o preo

de custo.

Matemtica a08

Prejuzo sobre o preo de custoQuando dizemos que uma mercadoria foi vendida com prejuzo sobre o preo de custo, significa que o preo de venda dessa mercadoria foi menor que o preo de custo, e esse prejuzo foi comparado ao preo de custo dessa mercadoria.

Responda aqui

exemplo

exemplo

Matemtica a08

Um comerciante vendeu um produto com um prejuzo de 5% sobre o preo de custo. Qual foi o preo de venda dessa mercadoria, se o preo de custo foi de R$ 40,00?

Nesse caso, temos:

P = C V V = C P (eq.8) e P = 5% de C P = 5100

C (eq.9).

Substituindo o valor de P da eq.9 na eq.8, temos:

V = C 5100

C V = (15100

) C V =100 5100

C

V =95100

C V = 0, 95 C

Substituindo o valor de C por R$ 40,00, temos:

V = 0,95 40 V = 38

A mercadoria foi vendida por R$ 38,00.

Vejamos mais um exemplo:

Um celular foi vendido com um prejuzo de 30% sobre o preo de custo. Se esse produto foi adquirido pelo preo de R$ 300,00, por qual preo foi vendido?

Temos que:

V = C P (eq.10) e P = 30% de C P = 0,3 (eq.11)

Substituindo o valor de P da eq.11 na eq.10, temos:

V = C 0,3 C V = (1 0,3) C V = 0,7 C

Substituindo C por R$ 300,00, temos:

V = 0,7 300 V = 210

O celular foi vendido por R$ 210,00.

Praticando...

Responda aqui

Matemtica a08

De uma forma geral, podemos escrever: V = C P e P = i C, o que nos garante que V = C i C V = (1 i) C, sendo i a taxa de prejuzo sobre o preo de custo.

V = (1 i) C a frmula que relaciona o preo de venda com o preo de custo em uma venda com prejuzo sobre o preo de custo.

. Um equipamento foi vendido por R$ 22.000,00, com prejuzo sobre o preo de custo. Determine o preo de custo.

. Determine o preo de custo de um imvel que foi vendido por R$ 120.000,00 dando ao proprietrio inicial um prejuzo de 10% sobre o preo de custo.

exemplo

exemplo

Matemtica a08

Prejuzo sobre o preo de vendaQuando se diz que uma venda foi realizada com prejuzo sobre o preo de venda significa dizer que estamos comparando o prejuzo com o preo de venda da mercadoria, em uma venda que foi realizada por um preo no satisfatrio para o vendedor. Vejamos o exemplo a seguir:

Se certo objeto for vendido por R$ 30,00, haver um prejuzo de 15% sobre o preo de venda. Quanto custou esse objeto?

Temos que: V = C P (eq.12) e P = 0,15 V. (eq.13).

Assim, quando substitumos a eq.13 na eq.12, temos:

C = V + P C = V + 0,15 V C = (1 + 0,15) V C = 1,15 V

Substituindo V por R$ 30,00, temos: C = 1,15 30 C = 34,50

O preo de custo do objeto foi de R$ 34,50.

Que tal mais um exemplo?

Uma casa que custa R$ 60.000,00 foi vendida com um prejuzo de 5% sobre o preo de venda. Qual o preo de venda do imvel?

Como houve prejuzo, temos P = C V, ou seja, V = C P (eq.14)

Sabemos que C = 60 000 e P = 0,15 V. Substituindo essas expresses na eq.19, temos: V = 60 000 0,15 V V + 0,15 V = 60 000

V (1 + 0,15) = 60 000 1,15 V = 60 000 V = (60 000) (1,15)

V 52.173,91.

O preo de venda da casa foi de, aproximadamente, R$ 52.173,91.

Praticando...

Responda aqui

8Matemtica a08

De uma forma geral, P = C V e como P = i V, temos que

i V = C V V + i V = C V (1 + i) = C C = (1 + i) V

C = (1 + i) V a frmula para preo de custo em uma venda com prejuzo sobre o preo de venda e i a taxa de prejuzo sobre o preo de venda.

. Calcule o preo de venda de uma mercadoria que custou R$ 50,00 e foi revendida com um prejuzo de 5% sobre o preo de venda.

. Ao revender uma camiseta por R$ 27,00, Maria teve um prejuzo de 10% sobre o preo de venda. Qual foi o preo de custo dessa camiseta?

Matemtica a08

Descontos e acrscimosNas operaes com mercadorias vemos situaes que tratam de descontos e de acrscimos. Que tal estudarmos sobre isso?

DescontosQuando o preo de um produto sofre um desconto, podemos escrever seu novo preo da seguinte forma: B = A i A B = A (1 i).

B = A (1 i) a expresso que representa o novo preo do produto, sendo A o preo inicial; B, o preo aps desconto e i, a taxa unitria de desconto.

Descontos sucessivosQuando um produto sofre um desconto aps o outro, temos uma operao comercial com descontos sucessivos (ou abatimentos sucessivos). O valor final desse produto ser obtido pelo produto de seu valor inicial pelos fatores de desconto.

De uma forma geral, o clculo do preo B aps o desconto sobre o preo A pode ser feito da seguinte forma: B = A iA A B = A (1 iA) (eq.15)

O clculo do preo C, aps o segundo desconto incidir sobre o preo B, ser

C = B iB B C = B (1 iB) (eq.16)

Substituindo o valor de B, da eq.15 na eq.16, temos:

C = A (1 iA) (1 iB), que o preo do produto aps dois descontos consecutivos.

Que tal vermos um exemplo?

exemplo

exemplo

0Matemtica a08

Um produto recebeu um desconto de 10% e logo em seguida um desconto de 5%. De quanto foi o desconto total sobre o produto?

J vimos que o preo de um produto aps dois descontos sucessivos pode ser representado pela expresso: C = A (1 iA) (1 iB), onde iA e iB so as taxas correspondentes aos referidos descontos.

Substituindo iA = 10% = 0,10 e iB = 5% = 0,05 na expresso do valor de C, temos: C = A (1 0,10) (1 0,05) C = A (0,90) (0,95) C = A 0,855.

Como 0,855 = 1 0,145, temos C = A (1 0,145) iC = 0,145 ou iC = 14,5%.

O desconto real aps os dois descontos sucessivos foi de 14,5%.

E se tivermos mais descontos sucessivos? Vejamos mais um exemplo.

Uma mercadoria teve descontos sucessivos de 3%, 2% e 8%. Sabendo-se que seu preo inicial era de R$ 42,00, qual o preo final aps os trs descontos?

Utilizando um raciocnio semelhante ao do exemplo anterior, podemos representar o preo final da mercadoria pela expresso a seguir:

D = A (1 iA) (1 iB) (1 iC)

D = 42 (1 0,03) (1 0,02) (1 0,08)

D = 42 (0,97) (0,98) (0,92)

D = 42 0,874552

D = 36,731184 D 36,73

O preo final foi de, aproximadamente, R$ 36,73.

Matemtica a08

De uma forma geral, podemos escrever a expresso do preo final aps n descontos atravs da seguinte expresso:

Pf = Pi (1 i1) (1 i2) (1 i3) (1 i4) ... (1 in); Pf e Pi so, respectivamente, os valores do preo final e do preo inicial de um

produto.

Praticando...

Responda aqui

. Ana Maria pretende vender seu carro pelo valor de mercado que era R$ 20.000,00, porm o valor do automvel sofreu trs desvalorizaes consecutivas de 3%, 5% e de 6,5%. Qual o valor de mercado desse veculo aps essas desvalorizaes?

. Bernardo comprou um imvel por R$ 80.000,00 para revender, mas o valor do imvel teve decrscimos de 3%, 4%, 5% e 2%, consecutivamente. Aps essas desvalorizaes, qual o valor do imvel?

. Uma fatura de R$ 6.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 5% e 4%. Qual o valor lquido a pagar?

exemplo 8

Matemtica a08

acrscimosQuando um produto sofre um acrscimo, temos uma operao comercial, em que o valor final desse produto pode ser obtido pela seguinte expresso:

B = A + i A B = A (1 + i), sendo A o preo inicial do produto; B, o preo depois do acrscimo e i, a taxa unitria do acrscimo.

acrscimos sucessivosQuando um produto sofre um acrscimo aps o outro, temos uma operao comercial com acrscimos sucessivos. O valor final desse produto ser obtido pelo produto de seu valor inicial pelos fatores de acrscimo.

O clculo do preo B aps o acrscimo sobre o preo A pode ser feito da seguinte forma: B = A + iA A B = A (1 + iA) (eq.16)

O clculo do preo C, aps o segundo acrscimo incidir sobre o preo B, ser

C = B + iB B C = B (1 + iB) (eq.17)

Substituindo o valor de B, da eq.16 na eq.17, temos:

C = A (1 + iA) (1 + iB), que o preo do produto aps dois acrscimos consecutivos.

Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 foi paga aps o vencimento e, por isso, sobre seu valor inicial, incidiram acrscimos sucessivos de 2% e 3%. Quanto foi pago pela duplicata no ato de sua liquidao?

Como os acrscimos foram sucessivos, para o clculo do valor final utilizaremos a expresso C = A (1 + iA) (1 + iB), substituindo os valores conhecidos.

C = 5 000 (1 + 0,02) (1 + 0,03) C = 5 000 (1,02) (1,03)

C = 5 000 (1,0506) C = 5 253,00

O valor pago pela duplicata foi de R$ 5.253,00

exemplo

Matemtica a08

Que tal mais um exemplo?

Um produto que custava R$ 4,00 sofreu acrscimos sucessivos de 1%, 2% e 1,5%. Qual o valor final desse produto?

Utilizando a expresso D = A (1 + iA) (1 + iB) (1 + iC) para o clculo do preo final do produto e, substituindo os valores conhecidos, temos:

D = 4 (1 + 0,01) (1 + 0,02) (1 + 0,015) D = 4 (1,045653) D 4,18

O preo final do produto , aproximadamente, de R$ 4,18.

De uma forma geral, podemos escrever a expresso do preo final aps n acrscimos atravs da seguinte expresso:

Pf = Pi (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) (1 + i4) ... (1 + in), onde Pf e Pi so, respectivamente, os valores do preo final e do preo inicial de um

produto.

Praticando...

. No ato da liquidao, uma fatura de R$ 1.500,00 sofre acrscimos sucessivos de 2%, 3% e 5%, por motivo de atraso em seu pagamento. Quanto foi pago para liquidar a dvida representada por essa fatura?

. O preo de uma mercadoria sofreu acrscimos sucessivos de 12% e 5%. Qual foi o preo final do produto, se seu preo inicial era de R$ 50,00?

Matemtica a08

Responda aqui

Se voc j resolveu todas as atividades e no tem mais dvida, que tal resolver a lista de exerccios a seguir?

exer

cci

os

Matemtica a08

REVIS

O

. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Para incentivar suas vendas, anunciou um preo para esse produto com um prejuzo de 2% sobre o preo de venda. O preo de venda desse produto nessa promoo foi de

a) R$ 54,60. b) R$ 57,60.

c) R$ 58,60. d) R$ 64,60.

. Renata comprou um objeto por R$ 52,00. Para obter um lucro de 20% sobre o preo de venda, deve vend-lo por

a) R$ 62,00. b) R$ 63,50.

c) R$ 65,00. d) R$ 68,00.

. Marina comprou um relgio por R$ 125,00, mas logo depois decidiu vend-lo. Com um prejuzo de 8% sobre o preo de venda, o preo que conseguiu receber pelo relgio foi, aproximadamente, de

a) R$ 105,68. b) R$ 110,02.

c) R$ 115,74. d) R$ 120,03.

. Pedro comprou uma TV por R$ 650,00. Para obter um lucro de 30% sobre o preo de custo, dever revender esse produto por

a) R$ 652,50. b) R$ 654,00.

c) R$ 664,50. d) R$ 669,50.

. Aps dois descontos sucessivos de 10% e de 8%, uma fatura de R$ 8.000,00 tem o valor lquido a pagar de

a) R$ 6.624,00. b) R$ 6.642,00.

c) R$ 6.264,00. d) R$ 6.462,00.

. Por causa do atraso em seu pagamento, uma fatura de R$ 5.000,00 sofre dois aumentos sucessivos de 10% e 15%. O valor fi nal dessa fatura de

a) R$ 6.325,00. b) R$ 6.352,00.

c) R$ 6.235,00. d) R$ 6.523,00.

Res

post

a

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REVIS

O

REVIS

O

REVIS

O

REVIS

O

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Leitura complementarPara ver mais alguns exemplos e exerccios sobre porcentagens, que o contedo dominante desta aula, acesse os seguintes endereos:

EXATAS. Porcentagem. Disponvel em: . Acesso em: 30 out. 2008.

WIKIPDIA. Porcentagem. Disponvel em: . Acesso em: 30 out. 2008.

Para saber um pouco mais sobre como formar o preo de venda, preo de custo e outros assuntos, acesse o endereo:

SEBRAERN. aprenda com o SeBRae. Disponvel em:

. Acesso em 1 nov.08.

Nesta aula, voc aprendeu o que preo de venda e o que preo de custo de um produto, como calcular o lucro ou prejuzo sobre o preo de venda, como calcular o lucro ou prejuzo sobre o preo de compra, como calcular o preo de venda (ou de custo) dado o percentual de lucro sobre o preo de venda (ou de custo).

auto-avaliao

. Carol comprou um brinquedo por R$ 80,00 e o revendeu por R$ 104,00. Qual a taxa de lucro (a) sobre o preo de custo? (b) sobre o preo de venda?

Para consulta

m% =m100

Valor absoluto da parte valor percentual da parte x 25valor absoluto do todo 100 32 100

= =

8Matemtica a08

. Anderson vendeu um objeto com um prejuzo de 12% sobre o preo de venda. Sabendo que o objeto lhe custou R$ 558,00, qual foi o valor apurado em sua venda?

. Caio vendeu um objeto com 15% de prejuzo e outro objeto com 35% de lucro, ambos sobre o preo de custo. Por quanto vendeu cada um deles, se cada objeto custou R$ 748,00?

. Gabriela Pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira, lucrou 100% e em cada uma das demais perdeu 15%. Ao final das operaes, houve lucro ou prejuzo? De quanto?

taxa de Porcentagem

Formatos

Taxa percentual Razo centesimal Taxa unitria

m%m100

Nmero decimal resultante da diviso de m por 100.

Lucro

Lucro (L) existe em uma venda na qual o preo de venda (V) maior que o preo de custo (C). L = V C

Prejuzo

Prejuzo (P) existe em uma venda na qual o preo de venda (V) menor que o preo de custo (C). P = C V

Matemtica a08

Vendas

Com lucro

Sobre C L = V C; L = i C; V = (1 + i) C

Sobre V L = V C; L = i V; V = C1 i

Com prejuzo

Sobre C P = C V; P = i C; V = (1 i) C

Sobre V P = C V; P = i V; V =

C1 + i

Descontos sucessivos:

Pf = Pi (1 i1) (1 i2) (1 i3) (1 i4) ... (1 in), sendo Pf e Pi respectivamente, os valores do preo final e do preo inicial de um

produto.

acrscimos sucessivos:

Pf = Pi (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) (1 + i4) ... (1 + in), sendo Pf e Pi respectivamente, os valores do preo final e do preo inicial de um

produto.

RefernciasASSAF NETO, Alexandre. matemtica financeira e suas aplicaes. 7. ed. So Paulo: Atlas, 2002.

CLCULO do preo de custo e preo de venda. Disponvel em: . Acesso em: 23 set. 2008.

CRESPO, Antnio Arnot. matemtica comercial e financeira fcil. 11. ed. So Paulo: Saraiva, 1996.

MERCHEDE, Alberto. matemtica financeira para concursos: mais de 1.500 aplicaes. So Paulo: Atlas, 2003.

SEBRAERN. aprenda com o SeBRae. Disponvel em:

. Acesso em 01nov.08.

WIKIPDIA. Porcentagem. Disponvel em: . Acesso em: 30 out. 2008.

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anotaes

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