Te or i a Fundamental Do Motor de Indu Cao

IVO BARBI

TEORIA FUNDAMENTAL DO

MOTOR DE INDUÇÃO

d

q

EDIÇÃO DO AUTOR

CAPÍTULO

1 INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

1.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos os

princípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes.

Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação de

energia elétrica em mecânica ou vice-versa.

O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos que

explicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia.

Os resultados obtidos serão genéricos e serão empregados no

desenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos da

máquina de indução.

As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presença

de campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interesse

para o estudo da máquina de indução.

1.2 CIRCUITO R - L

Consideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído por

uma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 está

representado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina e

a resistência do fio.

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com

v

Fig. 1.1 – Circuito magnético simples.

L

v

R

i

+

-

vR

+ -vL

Fig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente.

Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações

(1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito.

R Lv v v= + (1.1)

div Ri Ldt

= + (1.2)

Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se a

equação (1.3)

2 div i Ri Lidt

= + (1.3)

mas

21d Lidi 2Lidt dt

= (1.4)

Assim

2

2

1d Li2vi Ridt

= + (1.5)

Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas:

Vi → potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito;

TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 3


2Ri → potência instantânea dissipada na resistência do

circuito;

2Li21 → energia instantânea armazenada no campo

magnético;

21d Li2dt

→ velocidade instantânea de crescimento da energia no

campo magnético. Esta grandeza tem a dimensão de

potência.

É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existe

conversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte é

transformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente a

equação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado.

1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEAR

Considerando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferença

fundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo.

Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância da

bobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo.

v

x

i L(x)

Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma força

mecânica externa.

L(x)

v

R

i

+

-

vR

+ -vL

Fig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente.



O circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se a

teoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6)

R Lv v v= + (1.6)

dv Ridtφ

= + (1.7)

( )ixL=φ (1.8)

Assim:

( )( )d L x i

v Ridt

= + (1.9)

como L(x) e i são variáveis, obtém-se:

( ) ( )dL xdiv Ri L x idt dt

= + + (1.10)

Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se a

expressão (1.11)

( ) ( )2 2 dL xdivi = Ri + L x i + idt dt

(1.11)

( )

( ) ( )2

2

1d L x i dL xdi 12 = L x i + idt dt 2 dt

(1.12)

( )( ) ( )

2

2

1d L x i dL xdi 12L x i = - idt dt 2 dt

(1.13)

Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão

(1.14):



( ) ( ) ( )

2

2 2 2

1d L x i dL x dL x12vi = Ri + - i + idt 2 dt dt

(1.14)

Assim:

( )( )

2

2 2

L x id

2 dL x1vi = Ri + + idt 2 dt

(1.15)

Observamos que a expressão (1.15) possui o termo ( )dt

xdLi21 2 a mais em

relação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação da

indutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte e

as potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético.

Assim:

( ) ( ) 2

2 2

1d L x idL x1 2i = vi - Ri +2 dt dt

(1.16)

Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica.

Portanto:

( )dt

xdLi21

dtdxFP 2

cme == (1.17)

( ) ( )dL x dL x dx=dt dx dt

(1.18)

Assim:

( )2 dL x1F = i2 dx

(1.19)

A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico da

conversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a



indutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento de

todos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia.

O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, a

corrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pela

expressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveis

dependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razão

a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento.

Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo.

Considerando-se a Fig. 1.5

v

x

i L(x)R

FFFF

i

e

a

Fig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo.

dtdxDFa = ⇒ é a força de atrito.

2

2

i dtxdmF = ⇒ é a força de inércia.

eF ⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo

( )2 dL x1F = i2 dx

⇒ é a força elétrica.

O equilíbrio mecânico estabelece que:

aie FFFF ++= (1.20)

Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completo

representado pelas equações (1.21) e (1.22):



( ) 22

e2

dL x1 dx d xi - D - m = F2 dx dt dt

(1.21)

( ) ( ) Vdt

xdLidtdixLRi =++ (1.22)

Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa.

Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i.

Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa do

núcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x).

Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6.

- Parâmetros

- Modelo

SISTEMAv(t)

Fe(t)

x(t)

i(t)

Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações.

O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por um

modelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senão

impossível, tratamento analítico.

1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO. TORQUE DE RELUTÂNCIA

Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7:



R

L( )

Rotor0

d

q

θ

θ+

-

v

Fig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento.

O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando o

rotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia.

Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equação

elétrica do sistema, representado pela expressão (1.23):

( ) ( )dt

dLidtdiLRiV θ

+θ+= (1.23)

Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrico

produzido pelo sistema

( )dt

dLi21

dtdTP 2

mecθ

=θ

= (1.24)

Assim:

( )2 dLd 1 dT = idt 2 d dt

θθ θθ

(1.25)

Portanto:

( )2 dL1T = i2 d

θθ

(1.26)

A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre o

rotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o



sistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria do

enrolamento.

A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixo

da bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque de

relutância.

Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição,

constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0o e 180o, assume

valores mínimos quando θ é igual a 90o e 270o.

Pode-se representar ( )θL de acordo com a Fig. 1.8:

90 135 1800 270

2 Lm

L0

45

L( )

θ

θ

Lq

Ld

Fig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ.

Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pela

expressão (1.27):

( ) 0m L2cosLL +θ=θ (1.27)

Neste caso, em que a função L ( )θ é conhecida, a expressão do torque pode

ser obtida numa forma mais adequada ao uso.

Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28):

( )0m2 L2cosL

dtdi

21T +θ= (1.28)

Assim, em módulo:

θ= 2seniLT 2m (1.29)



De acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumem

os valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31):

m0d LLL += (1.30)

m0q LLL +−=− (1.31)

Assim:

2

LLL qd

m

−= (1.32)

( )

θ−

= seni2

LLT 2qd (1.33)

A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em que

as indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representar

a expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq.

Sabe-se que:

d

2

d RnL = (1.34)

q

2

q RnL = (1.35)

onde n representa o número de espiras da bobina. Assim:

θ⋅

−= 2seni

R1

R1

2nT 2

qd

2

(1.36)

Deste modo:

θ⋅

⋅

−= 2seni

RRRR

2nT 2

qd

dq2

(1.37)

Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo.



Resta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementar

representada na Fig. 1.7.

A equação mecânica é representada pela expressão (1.38):

iea TTTT ++= (1.38)

Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40).

( ) 22

e2

dL1 d di - D - J = T2 d dt dt

θ θ θθ

(1.39)

( ) ( )dLdiRi + L + i = vdt dt

θθ (1.40)

A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9.

MÁQUINAv(t)

Te(t)

i(t)

ELEMENTAR (t)θ

Fig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída.

A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveis

independentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes.

O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar o

elevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância,

instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc.

1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. TORQUE DE EXCITAÇÃO

Considerando a máquina elementar representada na Fig. 1.10. Admitindo que

os dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as



suas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somente

a indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição.

S

Rv

+

-

S

vR

+

-

i S

iRθ

Fig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos.

As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estão

representadas a seguir:

( ) ( )( )SR RS SS S S

d M id L iv = R i + +

dt dtθ

(1.41)

( ) ( )( )SR SR RR R R

d M id L iv = R i + +

dt dtθ

(1.42)

LS e LR são as indutâncias próprias.

MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos.

Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões

(1.43) e (1.44).

( ) ( )SRS RS S S S R SR

dMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt

θθ (1.43)

( ) ( )SR SRR R R R S SR

dM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt

θθ (1.44)

Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se as

expressões (1.45) e (1.46).



( ) ( )2 SRS RS S S S S S S R S SR S

dMdi diP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt

θθ (1.45)

( ) ( )2 SR SRR R R R R R R S R SR R

dM didiP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt

θθ (1.46)

PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dos

enrolamentos.

A potência total será:

SR PPP += (1.47)

Assim:

( ) ( )

( ) ( )

2 SRS RS S S S R S SR S

2 SR SRR R R R S R SR R

dMdi diP = R i + L i + i i + M i +dt dt dt

dM didi+R i + L i + i i + M idt dt dt

θθ

θθ

(1.48)

Sabemos que:

( )

( ) ( ) ( )

2 2S S R R SR S R

SRS SR RS S R R SR S SR R S R

d 1 1L i + L i + M i i =dt 2 2

dMdi didi di= L i + L i + M i + M i + i idt dt dt dt dt

θ

θθ θ

(1.49)

Portanto:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

SRS SR RS S R R SR S SR R S R

2 2S S R R SR S R

SRS R

dMdi didi diL i + L i + M i + M i + 2i i =dt dt dt dt dt

1 1d L i + L i + M i i dM2 2= + i idt dt

θθ θ

θ θ

(1.50)

Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51):

( ) ( )2 2S S R R SR S R

2 2 SRS S R R S R

1 1d L i + L i + M i idM 2 2P = R i + R i + i i +dt dt

θ θ (1.51)



Seja:

2 2r S S R RP =R i +R i (1.52)

( )2 2

S S R R SR S R

L

1 1d L i + L i + M i i2 2P =

dt

θ (1.53)

rP representa a potência dissipada nos resistores.

LP representa a potência acumulada no campo magnético.

Assim:

( )SRmec S R

dMP = i i

dtθ

(1.54)

mecP representa a quantidade de potência elétrica convertida em potência

mecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada,

mais a potência acumulada, mais a potência convertida.

Por outro lado:

dtdTPmecθ

= (1.55)

Assim:

( )SRS R

dMd dT = i idt d dt

θθ θθ

(1.56)

Então a expressão do torque será:

( )SRS R

dMT = i i

dθ

θ (1.57)

A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se a

indutância mútua variar com o deslocamento angular.

O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque de

excitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas,



como o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de corrente

contínua.

A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, pode

ser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máxima

para θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação pode

então ser representada graficamente segundo Fig. 1.11.

32

M

π2 π π

2 π

0

θ

M ( )SR θ

Fig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ.

É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58).

( ) θ=θ cosMM 0SR (1.58)

Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59).

θ= seniiMT RS0 (1.59)

A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12:

2

M i i

π2 π π3

2 π

0

θ

T

R S

Fig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ.



Com as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelo

completo do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica e

mecânica.

Seja:

iae TTTT ++= (1.60)

Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e

(1.63):

( ) 2SR

e S R 2

dM d dT = i i - D - Jd dt dt

θ θ θθ

(1.61)

( ) ( )SRS RS S S S R SR

dMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt

θθ (1.62)

( ) ( )SR SRR R R R S SR

dM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt

θθ (1.63)

A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveis

dependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ.

A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13.

MÁQUINA

v (t)

Te(t)

v (t)

S

R i (t)

(t)θ

i (t)

S

R

Fig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada e saída.



1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. ROTOR COM PÓLOS SALIENTES

Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutância

própria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem do

ângulo θ .

+

-

+

-

vS

vR

iS

iR

θ

Fig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes.

Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64):

( )SRexc S R

dMT = i i

dθ

θ (1.64)

O torque de relutância é representado pela expressão (1.65):

( )2R S

dL1T = i2 d

θθ

(1.65)

O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância e

de excitação. É representado pela expressão (1.66):

( ) ( )2 S SRS S R

dL dM1T = i + i i2 d d

θ θθ θ

(1.66)

Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelas

expressões (1.67) e (1.68):



( ) 2θ 0s ML θ =L cos +L (1.67)

( ) θ=θ cosMM 0SR (1.68)

Obtém-se:

θ+θ= seniiM2seniLT RS02

Sm (1.69)

A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitação

e é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressão

com a forma da expressão (1.69).

1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOS

Os resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de três

enrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73).

( ) ( ) ( )1 1 12 2 13 31 1 1

d L i d M i d M iv = R i + + +

dt dt dt (1.70)

( ) ( ) ( )12 1 2 2 23 32 2 2

d M i d L i d M iv = R i + + +

dt dt dt (1.71)

( ) ( ) ( )13 1 23 2 3 33 3 3

d M i d M i d L iv = R i + + +

dt dt dt (1.72)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 12 13 231 2 3 1 2 1 3 2 3

dL dL dL dM dM dM1 1 1T = i i i i i i i i i2 d 2 d 2 d d d d

θ θ θ θ θ θ+ + + + +

θ θ θ θ θ θ (1.73)

Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial,

As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74).

1 1 1 1 12 13 1

2 2 2 12 2 23 2

3 3 3 13 23 3 3

v R 0 0 i L M M idv = 0 R 0 i M L M idt

v 0 0 R i M M L i

+

(1.74)



Vamos em seguida reescrever a equação do torque:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11 12 13

1 1 1 2

3

112 2 23

2 2 2 2

3

113 23 3

3 3 3 2

3

idL dM dM1T = i i i i

2 d d di

idM dL dM1 i i i i

2 d d di

idM dM dL1 i i i i

2 d d di

θ θ θ + + + θ θ θ

θ θ θ + + + + θ θ θ

θ θ θ + + + θ θ θ

(1.75)

A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76):

[ ]

131 12

12312 2

1 2 3 2

313 23 3

dMdL dMd d d i

dM1 dM dLT = i i i i2 d d d

idM dM dLd d d

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

(1.76)

Seja:

1

2

3

i= i

i

i (1.77)

1

2

3

R 0 00 R 00 0 R

R = (1.78)

[ ]t1 2 3= i i ii (1.79)



( )

131 12

2312 2

13 23 3

dMdL dMd d d

d dMdM dLd d d d

dM dM dLd d d

θ θ θ = θ θ θ θ θ θ θ

L θ (1.80)

Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensões

são representadas pela expressão (1.81):

( )d= +

dtL

v Ri iθ

(1.81)

( )t d1T =2 dθ

Li i

θ (1.82)

As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com três

enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde exista

conversão eletromecânica de energia.

1.8 CONCLUSÕES

Pode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, do

seguinte modo:

(a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica em

conversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias próprias

ou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento.

(b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversão

eletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos de

fácil interpretação física e de fácil manuseio.



1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

I = 2A

P

S = 5cm2

= 40cm

+ -v

Fig. 1.15 – Representação física do eletroimã do

problema 1.

1) Um eletroímã de manutenção tem uma

secção reta uniforme de 5cm2 e um

comprimento total médio de 40cm

(incluindo a armadura). O enrolamento é

excitado por uma corrente de 2A; supõe-

se que o núcleo e a armadura possuem a

mesma permeabilidade. A permeabilidade

relativa (µr) é igual a 2500. Calcular o

número de espiras necessário para resistir

a uma massa de 50kg. (Fig. 1.15)

2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada, com

lado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. A

carcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobina

possui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidade

infinita.

(a) Calcular a indutância do relé em função de x.

(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, em

função de i e x.

(c) Calcular a força quando o relé está “colado”.

(d) Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e

i = 0,5A



d +-v

dx

d/2

g

g

N

N

I

Fig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2.

3) Na Fig. 1.17 está representada uma

peça de aço, de massa M, suspensa por

uma mola de constante K (N/m) e

submetida a influência de uma bobina cuja

resistência é desprezível. Supõe-se que a

indutância da bobina varia em função da

posição x da massa, segundo a expressão

L (x) = A + Bx, sendo A e B constantes.

v(t)i(t)

M

x(t)

+

-

Fig. 1.17 – Representação física do problema 3.

(a) Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t)

em função de i(t) e de x(t).

(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M.

(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema.



θ

v

i

i

Fig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel.

4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas são

ligadas eletricamente em série; uma está

alojada no estator fixo e a outra no rotor

móvel. As indutâncias próprias e mútuas

valem:

L1 = 0,2mH,

L2 = 0,1mH,

L3 = 0,05cos θ mH

As duas bobinas são percorridas por uma

corrente senoidal de valor eficaz igual a

5A (i = 2 5 sen ωt).

(a) Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre a

bobina móvel em função de θ.

(b) Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900, por

ação de uma mola espiral que exerce um torque dado pela

expressão T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2. Calcular o valor do

ângulo “θ“ de equilíbrio em graus.

5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao se

deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel em

relação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferro-

móvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxo

são ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula.

O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo no

entreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt.

(a) Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre o

ferro-móvel em função de Bm, ω e t.

(b) Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento em

função de Bm, ω e t.



(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm,

ω e t.

Mola

v(t)

x

D A

Fig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel.

6) Seja a estrutura representada a seguir:

R

L( )

Rotor0

d

q

θ

θ+

-

v

Fig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento.

(a) Obter a expressão geral do torque.

(b) Explicar fisicamente a origem do torque.

(c) Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque.

(d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento

dinâmico da estrutura.

CAPÍTULO

2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

2.1 INTRODUÇÃO

A máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresenta

estruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos,

tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados.

A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmas

razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cada

barra da gaiola constitui uma fase.

Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda de

generalidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e

conseqüentemente para o rotor em gaiola.

Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig.

2.1.

vS3

vS2

vS1

i S3

i S1

i S2

+

-

+-

+-

++

+

-- -i R3i R1i R2

vR1

vR2

vR3

Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica.

26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA


2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕES

Para que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serão

feitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasse

impossível, tornar-se-ia extremamente complexa.

A) Hipóteses de estudo e conseqüências:

(a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si.

(b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si.

(c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no

estator quanto no rotor.

(d) O entreferro é considerado constante.

(e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe.

(f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é

radial e senoidal.

(g) A máquina será considerada bipolar.

(h) Não serão consideradas as perdas magnéticas.

Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer

que:

(a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim:

totalφ = ∑=

φ3

1iR i

+∑=

φ3

1iSi

(2.1)

sendo iRφ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e

iSφ o fluxo produzido pelo

enrolamento “i” do estator.



(b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias próprias

constantes. Assim:

1SL ,

2SL , 3SL ,

1RL , 2RL e

3RL são constantes.

(c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se:

SSSS LLLL321===

RRRR LLLL321===

SSSS RRRR321===

RRRR RRRR321===

(d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se:

SSSS MMMM132312===

RRRR MMMM132312===

onde:

SM = indutância mútua entre dois enrolamentos do estator

RM = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor

(e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos são

funções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor

estão representados simbolicamente na Fig. 2.2:



S1

S2

S3

R1

R2

R3

θ

θ

Fig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor.

( )( )3/4cosMM

3/2cosMM

cosMM

SRRS

SRRS

SRRS

31

21

11

π+θ=

π+θ=

θ=

(2.2)

( )

( )3/2cosMM

cosMM

3/4cosMM

SRRS

SRRS

SRRS

32

22

12

π+θ=

θ=

π+θ=

(2.3)

( )( )θ=

π+θ=

π+θ=

cosMM

3/4cosMM

3/2cosMM

SRRS

SRRS

SRRS

33

23

13

(2.4)

B) Convenções:

A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a

forma representada pela expressão (2.5)

aa a a

dv R idtφ

= + (2.5)

onde φ representa o fluxo total que envolve o enrolamento “a”.



2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOS

Adotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas

expressões (2.6), (2.7) e (2.8).

3312211113211 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.6)



Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se a

equação (2.9):

+

=

φφφ

3

2

1

332313

322212

312111

3

2

1

3

2

1

R

R

R

RSRSRS

RSRSRS

RSRSRS

S

S

S

SSS

SSS

SSS

S

S

S

iii

MMMMMMMMM

iii

LMMMLMMML

(2.9)

Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se a

representação obtém-se as expressões (2.10):

( )

( )= +

= +S SS S SR R

R RS S RR R

L i L i

L i L i

φ θ

φ θ (2.10)

onde:

S S S

S S S

S S S

L M MM L MM M L

=

SSL (2.11)

R R R

R R R

R R R

L M MM L MM M L

=

RRL (2.12)



( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

SR

cos cos 2 / 3 cos 4 / 3M cos 4 / 3 cos cos 2 / 3

cos 2 / 3 cos 4 / 3 cos

θ θ + π θ + π = θ + π θ θ + π θ + π θ + π θ

SRL θ (2.13)

( ) ( )t=RS SRL Lθ θ (2.14)

As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas.

2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕES

Na medida que for possível será mantida a representação matricial no

desenvolvimento deste capítulo.

Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estão

representadas nas expressões (2.15) e (2.16):

ddt

= + SS S Sv R i

φ (2.15)

ddt

= + RR R Rv R i

φ (2.16)

onde:

=

S

S

S

R000R000R

SR (2.17)

=

R

R

R

R000R000R

RR (2.18)

A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos:

( )( )dd

dt dt+ θ

= SS S SR RS L i L iφ (2.19)



( ) ( )( )dd ddt dt dt

θ= + SR RS SS S L iL iφ

(2.20)

( ) ( )d dd ddt dt dt dt

θ= + θ +S SRS R

SS SR R

Li iL L iφ

(2.21)

mas

( ) ( )d ddt dt

θ ∂ θ θ=

∂θSR SRL L

(2.22)

Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23).

( ) ( )d d d ddt dt dt dt

∂ θ θ= + θ +

∂θS SRS R

SS SR R

Li iL L iφ

(2.23)

A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pela

expressão (2.24):

( ) ( )d dd ddt dt dt dt

∂ θ θ= + θ +

∂θR RSSR

RR RS S

LiiL L iφ

(2.24)

Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nas

expressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26):

( ) ( )d d ddt dt dt

∂ θ θ= + + θ +

∂θSRS R

S S S SS SR R

Li iv R i L L i (2.25)

( ) ( )dd ddt dt dt

∂ θ θ= + + θ +

∂θRSSR

R R R RR RS S

Liiv R i L L i (2.26)

2.5 EQUAÇÃO DO TORQUE

Como foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata de

dois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27):



( )dT

dt= SR

S R

Mi i

θ (2.27)

Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor.

Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão

(2.28):

3 11 1 2 1

1 1 2 3

3 21 2 2 2

2 1 2 3

1 3 2 3 3 3

3 1 2 3

S RS R S RR S S S

S RS R S RR S S S

S R S R S RR S S S

MM MT = i i + i + i +

MM M+i i + i + i +

M M M+i i + i + i

∂∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ

∂∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ

∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ

(2.28)

Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29):

[ ]

θ∂∂

=

3

2

1

332313

322212

312111

321

R

R

R

RSRSRS

RSRSRS

RSRSRS

SSS

iii

MMMMMMMMM

iiiT (2.29)

Seja:

( )1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

S R S R S R

S R S R S R

S R S R S R

M M MM M MM M M

=

SRL θ (2.30)

1

2

3

R

R

R

iii

=

Ri (2.31)

1

2

3

S

S

S

iii

=

Si (2.32)

A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33).



( )( )tT

∂=

∂θSR

S R

Li i

θ (2.33)

Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34):

( )( )tT

∂=

∂θRS

R S

Li i

θ (2.34)

Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-se

a expressão (2.35).

( )( ) ( )( )t t1T

2

∂ ∂= + ∂θ ∂θ

SR RSS R R S

L Li i i i

θ θ (2.35)

A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36).

( ) ( )( )

t t 01T02

∂ = ∂θ

SSRS R

RRS

iLi i iL

θθ

(2.36)

As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posição

angular θ. Por isto:

0∂ ∂= =

∂θ ∂θSS RRL L (2.37)

Pode-se consequentemente estabelecer que:

( )

( )( )

( )0

0 ∂ ∂

= ∂θ ∂θ

SR SS SR

RS RS RR

L L LL L L

θ θθ θ

(2.38)

Seja:

( )tttRS iii = (2.39)

=

R

S

ii

i (2.40)



( )( )

( )

=

SS SR

RS RR

L LL

L Lθ

θθ

(2.41)

Assim o torque será representado pela expressão (2.42):

( )t1T2

∂=

∂θL

i iθ

(2.42)

2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINA

Reunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42)

respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelas

expressões (2.43), (2.44) e (2.45).


∂ θ θ= + + θ +

∂θSRS R

S S S SS SR RLi iv R i L L i (2.43)

( ) ( )dd ddt dt dt

∂ θ θ= + + θ +

∂θRSSR

R R R RR RS SLiiv R i L L i (2.44)

( )t1T2

∂=

∂θL

i iθ

(2.45)

As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46):

( )

( )( )

( )

0 0 d0 0 dt

0 0d d0 0dt dt

= + +

∂ θ

+ + ∂θ

S S S SS S

R S R RR R

S SSR SR

R RRS RS

v R i L iv R i L i

i iL Li iL L

θ θθ θ

(2.46)

As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta,

segundo a expressão (2.47):

( ) ( )d ddt dt

∂ θ= + +

∂θLiv Ri L i

θθ (2.47)



Pois:

=

R

S

RR

R0

0 (2.48)

( )

( )( )

( )0 0

0 0

+ =

SS SR SS SR

RR RS RS RR

L L L LL L L L

θ θθ θ

(2.49)

Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquina

simétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50):

( ) ( )

( )t

p

1T2

•∂= + + θ

∂θ∂

=∂θ

Lv Ri L i i

Li i

θθ

θ (2.50)

2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DO TORQUE

Consideremos a expressão das tensões (2.51):

( ) ( )p•∂

= + + θ∂θ

Lv Ri L i i

θθ (2.51)

Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente

transposto obtém-se a equação (2.52):

( ) ( )t t t tp•∂

= + + θ∂θ

Li v i Ri i L i i i

θθ (2.52)

Por outro lado:

( ) ( ) ( ) ( )t t t1 1 d 1 1 dp2 2 dt 2 2 dt

•∂ = + θ+ ∂θ

tLi ii L i i L + i i L iθ

θ θ θ (2.53)

mas:



( ) ( )t

t1 d 1 d2 dt 2 dt

i ii L = L iθ θ (2.54)

Assim:

( ) ( ) ( )t t td 1 1pdt 2 2

∂ = − θ+ ∂θ

Lii L i i i L iiθ

θ θ (2.55)

Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56):

( ) ( )t t t t1 1p2 2

•∂ = + + θ ∂θ

Li v i Ri i L i i i

θθ (2.56)

O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétrica

absorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim:

( )tm

1P2

•∂= θ

∂θL

i iθ

(2.57)

portanto:

( )t1T2

∂=

∂θL

i iθ

(2.58)

Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um método

diferente daquele empregado no item 2.5.

Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretados

fisicamente. Assim:

(a) iR → Representa as quedas de tensão nas resistências dos

enrolamentos da máquina.

(b) ( )pL iθ → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadas

pela variação das correntes. São tensões variacionais.

(c) ( ) •∂θ

∂θL

iθ

→ São as tensões geradas nos enrolamentos, quando há

deslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais.



Quando •θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa a

ser representado pela expressão (2.59):

( )p= +v Ri L iθ (2.59)

que representa um transformador.

2.8 CONCLUSÕES

As equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não são

empregadas no estudo do comportamento da máquina.

Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares,

com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original

estabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes.

Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina de

indução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representado

pelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular e

só pode ser realizado com o emprego de computadores.




1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor.

As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes:

( )1S S S Si I cos t= ω + θ

( )2S S S Si I cos t 2 / 3= ω + θ − π

( )3S S S Si I cos t 4 / 3= ω + θ − π

( )1R R R Ri I cos t= ω + θ

( )2R R R Ri I cos t 2 / 3= ω + θ − π

( )3R R R Ri I cos t 4 / 3= ω + θ − π

O rotor gira com velocidade mω em relação ao estator. Será considerada uma

máquina de indução de dois pólos. Assim:

mRS ω+ω=ω

Pede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina.

CAPÍTULO

3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

3.1 INTRODUÇÃO

O primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para a

análise da máquina de indução é o estudo da transformação 0αβ . Consiste numa

transformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecem

na formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica.

Fisicamente a transformação 0αβ transforma a máquina simétrica trifásica

numa máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e

número de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásica-

bifásica.

Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios de

transformadores simétricos e reatores trifásicos.

A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquina

seja simétrica.

3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 e

Fig. 3.2:

Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e os

que compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras.

Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma força

magnetomotriz F.

40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0


S1

S2

S3

F2 F1

F3

n3

n3n3

iS2

iS1iS3

Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico.

S

SF

n2iS

F n2

iSα

α

α

β

β

β

Fig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico.

Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função

de F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotriz

resultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica.

Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontra-

se as expressões (3.1) e (3.2).

( ) ( )1 2 3S S SF F + F cos 2 / 3 F cosSα

= π + 4π/3 (3.1)

( ) ( )2 3S S SF = 0 + F sen 2 /3 + F sen 4 /3

βπ π (3.2)

Assim:

1

2

3

SS

SS

S

FF 1 1 2 1 2FF 0 3 2 3 2 F

α

β

− − = −

(3.3)

mas:

S S2

S S

F inF i

α α

β β

=

(3.4)

e

1 1

2 2

3 3

S S

S 3 S

S S

F iF n iF i

=

(3.5)



Substituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos a

expressão (3.6):

1

2

3

SS 3

SS 2

S

ii 1 -1 2 -1 2n ii n 0 3 2 - 3 2 i

α

β

=

(3.6)

Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamos

definir a corrente i0 segundo a expressão (3.7):

( )0 1 2 3

3S S S S

2

ni a i i in

= + + (3.7)

Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8):

0 1

2

3

S S3

S S2

S S

i a a a ini 1 1 2 1 2 in

i i0 3 2 3 2α

β

= − − −

(3.8)

Seja a matriz definida pela expressão (3.9):

3

2

a a an 1 1 2 1 2n

0 3 2 3 2

−

= − − −

1A (3.9)

Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinte

relação:

( ) 1t11 AA−

=−− (3.10)

ou

t1 AA =− (3.11)

ou

− − =t1 1A A I (3.12)



sendo I a matriz identidade, ou:

1 0 00 1 00 0 1

=

I (3.13)

Portanto:

2

3

2

a 1 0a a a 1 0 0n 1 1 2 1 2 a 1 2 3 2 0 1 0n

0 0 10 3 2 3 2 a 1 2 3 2

− − − = − − −

(3.14)

Assim:

2

23

2

n3 a 1n

=

(3.15)

( ) 141411nn

2

2

3 =++

(3.16)

Portanto:

32

nn

2

3 = (3.17)

e

2

1a = (3.18)

Assim a matriz torna-se:

−−−=−

2323021211212121

321A (3.19)

Seja:



=

β

ααβ

S

S

S

iii

0

0Si (3.20)

e

=

3

2

1

321

S

S

S

iii

Si (3.21)

3210 S

1S iAi −=

αβ (3.22)

αβ

=0321 SS iAi (3.23)

A matriz 1A − define a transformação 0αβ ou trifásica-bifásica.

3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor de

indução com enrolamento rotórico aberto).

Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressão

dos fluxos, representada por (3.24):

=

φφφ

3

2

1

3

2

1

iii

LMMMLMMML

(3.24)

ou

1 2 3 1 2 3= L iφ (3.25)

Seja:

3210 φφ 1A−αβ = (3.26)



0 1 2 3αβ−= 1i A i (3.27)

Assim:

321321 iLAA 11 −− =φ (3.28)

αβ−

αβ = 00 iALA 1φ (3.29)

Seja:

ALAL 1N

−= (3.30)

Assim:

αβαβ = 00 iLNφ (3.31)

Calculemos a matriz NL :

−−

−−−=

232121232121

0121

LMMMLMMML

2323021211212121

32

32

NL (3.32)

−−

+=

ML000ML000M2L

NL (3.33)

Seja:

0 L 2M= +L (3.34)

S L M= −L (3.35)

Assim:

0 0 0

S

S

0 0 i0 0 i0 0 i

α α

β β

φ φ = φ

LL

L (3.36)



As novas indutâncias são definidas do seguinte modo:

0L - indutância cíclica homopolar

SL - indutância cíclica

Comparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matriz

indutância foi diagonalizada.

A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece na

formulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática da

transformação 0αβ .

3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICO

Será empregada, a título de exemplo, a transformação 0αβ na análise de um

reator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3:

v1

v2

v3

i1

i2

i3

R

L

M

2

2

2

R3

R1

L3

L1

3

M13

M12

Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.

São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t).

Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t).

A equação das tensões é representada pela expressão (3.37).



123 123 123p= +v Ri Li (3.37)

Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1 obtém-se a expressão (3.38):

321321321 p iLAiRAVA 111 −−− += (3.38)

Assim:

0 0 0pαβ αβ αβ− −= +1 1v A RAi A LAi (3.39)

Seja:

−1NR = A RA (3.40)

−1NL = A LA (3.41)

Assim:

0 N 0 N 0pαβ αβ αβ= +V R i L i (3.42)

mas,

=

R000R000R

NR (3.43)

0

S

S

0 00 00 0

=

NLL

LL

(3.44)

O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45)

0 0 0

S

S

v R p 0 0 iv 0 R p 0 iv 0 0 R p iα α

β β

+ = + +

LL

L (3.45)



Constata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é então

representado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelas

expressões (3.46).

( )

( )

( )

0 0 0

S

S

v R p i

v R p i

v R p i

α α

β β

= +

= +

= +

L

L

L

(3.46)

Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicos

independentes, representados na Fig. 3.4.

v0

i0

R L0

vα

iα

R Lα

vβ

iβ

R Lβ

Fig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0.

Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3

determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβ

Aplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3.



3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DO TRANSFORMADOR

Seja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada na

Fig. 3.5.

MSRS1

S2

S3

R1

R3

R2

Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico.

O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6.

vS1

vS2

vS3

iS1

iS2

iS3

RS1

RS2

RS3

L S1

L S2 L S3

iR3

iR2

iR1

L R3

L R2L R1

RR3

RR2

RR1

Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico.

O transformador é representado pelas equações (3.47).



d ddt dt

dddt dt

= + +

= + +

S RS S S SS SR

SRR R R RR RS

i iv R i L L

iiv R i L L (3.47)

onde:

=

S

S

S

R000R000R

SR (3.48)

=

R

R

R

R000R000R

RR (3.49)

=

SSS

SSS

SSS

LMMMLMMML

SSL (3.50)

=

RRR

RRR

RRR

LMMMLMMML

RRL (3.51)

−−−−−−

==

SRSRSR

SRSRSR

SRSRSR

M2M2M2MM2M2M2MM

RSSR LL (3.52)

Aplicando-se a transformação 0αβ nas equações (3.47), obtém-se as

equações (3.53) e (3.54):

0 0

0 0

d d

dt dtαβ αβ

αβ αβ

− − −= + +S R1 1 1

S S S SS SR

i iv A R Ai A L A A L A (3.53)

0 0

0 0

dd

dt dtαβ αβ

αβ αβ

− − −= + +SR1 1 1

R R R RR SR

iiv A R A i A L A A L A (3.54)



As expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões

(3.55) e (3.56).

0 0

N N N0 0

d d

dt dtαβ αβ

αβ αβ= + +

S RS S S SS SR

i iv R i L L (3.55)

0 0

N N N0 0

d d

dt dtαβ αβ

αβ αβ= + +

R RR R R RR RS

i iv R i L L (3.56)

As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões

(3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61):

S

S

S

R 0 00 R 00 0 R

=

NSR (3.57)

=

R

R

R

R000R000R

NRR (3.58)

S

S

S

0 00 00 0

=

SSLL

LL

(3.59)

R

R

R

0 00 00 0

=

RRLL

LL

(3.60)

==

SR

SR

m000m0000

RSSR LL (3.61)

onde:

S0 S SL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do primário.

R0 R RL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do secundário.



S S SL M= −L ⇒ indutância cíclica do primário.

R R RL M= −L ⇒ indutância cíclica do secundário.

SR SR3m = M2

⇒ indutância mútua cíclica.

O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62).

0 0 0

00 0

S S SS

S S S SRS

S S S SRS

RRR R

SR RRR R

SRRR R

v i p 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0v i 0 p 0 0 pm 00 R 0 0 0 0v i 0 0 p 0 0 pm0 0 R 0 0 0

0 0 0 pL 0 00 0 0 R 0 0v i0 pm 0 0 pL 00 0 0 0 R 0v i0 0 pm 0 0 p0 0 0 0 0 Rv i

α α

β β

α α

β β

= +

LL

L

0

0

S

S

S

R

R

R R

iii

ii

L i

α

β

α

β

(3.62)

Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode ser

reescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65).

0 0 0 0

0 0 0 0

S S S SS

RR R R R

v i 0 iR 0p

0 Rv i 0 i

= +

LL (3.63)

0

0

S S S SS

RR R R R

v i 0 iR 0p

0 Rv i 0 iα α α

α α α

= +

LL (3.64)

0

0

S S SSS

RR R R R

v i i0R 0p

0 Rv i 0 iβ β β

β β β

= +

LL (3.65)

As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadores

monofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9.

iS0 iR0vS0 vR0

+

-

Fig. 3.7 – Seqüência 0.



iSα iRαvSα vRα

+

-

Fig. 3.8 – Seqüência α.

iSβ iRβvSβ vRβ

+

-

Fig. 3.9 – Seqüência β.

Desse modo, a transformação 0αβ apresenta a importante propriedade de

converter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicos

independentes, tornando a análise muito simples.

3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NAS EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

No capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica,

representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68).


∂ θ θ= + + θ +

∂θSRS R

S S S SS SR R

Li iv R i L L i (3.66)

( ) ( )dd ddt dt dt

∂ θ θ= + + θ +

∂θRSSR

R R R RR RS S

Liiv R i L L i (3.67)

( )t1T2

∂=

∂θL

i iθ

(3.68)



Aplicando-se a transformação A-1 na expressão (3.66) obtém-se a expressão

(3.69):

( ) ( )0 000

d d ddt dt dtαβ αβ− − − − −

αβαβ

∂ θ= + +

∂θS R1 1 1 1 1

S S S SS SR SR R

i iA v A R Ai + A L A A L A A L Aiθ θ (3.69)

Definindo-se:

N

−= 1S SR A R A (3.70)

N

−= 1R RR A R A (3.71)

N

−= 1SS SSL A L A (3.72)

N

−= 1RR RRL A L A (3.73)

( ) ( )N−= 1

SR SRL A L Aθ θ (3.74)

( ) ( )N−= 1

SR SRL A L Aθ θ (3.75)

Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultados

para a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que são

as equações elétricas da máquina nas variáveis 0αβ .

( ) ( )0 0

N N 00 0

NN

d d ddt dt dt

αβ αβ

αβαβ αβ

∂ θ= + + +

∂θS R SR

S S S SS SR R

i i Lv R i L L i

θθ (3.76)

( ) ( )0 0

N N0 0 0N

dd ddt dt dt

αβ αβ

αβ αβ αβ

∂ θ= + + +

∂θSR RS N

R R R RR RS S

ii Lv R i L L i

θθ (3.77)

Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir:

( )tT∂

=∂θSR

S R

Li i

θ (3.78)

0αβ

= SS iAi (3.79)



tSS Aii tt

0αβ= (3.80)

( )00

tTαβαβ

∂=

∂θSRt

S R

Li A Ai

θ (3.81)

( )( )

00

tTαβαβ

∂=

∂θ

tSR

S R

A L Ai i

θ (3.82)

Assim:

( )

00

t NTαβαβ

∂=

∂θSR

S R

Li i

θ (3.83)

As matrizes NSR ,

NRR , NSSL e

NRRL são as mesmas obtidas no estudo do

transformador.

No procedimento que segue, é estabelecida a matriz ( )NRSL θ .

Substituindo-se as matrizes -1A , A e ( )SRL θ na expressão (3.75), obtém-se a

expressão (3.84).

( ) SRN

1 1 1 12 4 1 0cos cos cos2 2 2 23 3

2 1 1 4 2 1 1 3M 1 cos cos cos3 2 2 3 3 2 22

2 43 3 1 1 3cos cos cos03 32 2 2 22

π π θ θ+ θ+

π π = − − θ+ θ θ+ − π π θ + θ+ θ− − −

SRL θ

(3.84)

Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86):

( ) SR SRN

SR SR

0 0 00 m cos m sen0 m sen m cos

= θ − θ θ θ

SRL θ (3.85)

( ) SR SRN

SR SR

0 0 00 m cos m sen0 m sen m cos

= θ θ − θ θ

RSL θ (3.86)



Pois

( ) ( )N N

t=RS SRL Lθ θ (3.87)

Com:

( )( ) ( )

0 N N

0 0N

dd ddt dt dt

αβ

αβ αβ

∂ θ+ =

∂θSR SRR

SR R R

L LiL i i

θ θθ (3.88)

pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis 0αβ da máquina simétrica

trifásica, segundo as expressões (3.89):

( )

( )

( )

0 N

N N 00 0

0 N

N N0 0 0

N

00

t

dd

dt dtdd

dt dt

T

αβ

αβαβ αβ

αβ

αβ αβ αβ

αβαβ

= + +

= + +

∂=

∂θ

SRSS S S SS R

SRRR R R RR S

SRS R

Liv R i L i

Liv R i L i

Li i

θ

θ

θ

(3.89)

O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representado

pelas expressões (3.90).

Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Por

isto o modelo é não linear e de difícil solução analítica.

0 0

0 0

0

0

S S

SS S

SS SS

RR R

RR R

R

R R

S

S SR SR

S SR SR

R

SR SR R

p

v iR 0 0v i0 R 0 0

v i0 0 RR 0 0v i

0 0 R 0v i0 0 Rv i

0 0 0 0 00 0 0 m cos m sen0 0 0 m sen m cos0 0 0 0 00 m cos m sen 0 0

α α

β β

α α

β β

= +

+

θ − θθ θ

θ θ

LL

LL

L

0

0

S

S

S

R

R

SR SR RR

i

i

i

i

i0 m sen m cos 0 0 i

α

β

α

β

− θ θ

L



0

0

R

SR S S S R

R

i0 0 0T m i i i 0 sen cos i

0 cos sen iα β α

β

= − θ − θ θ − θ

(3.90)

No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada a

simplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica.

O efeito da transformação 0αβ aplicado á máquina simétrica trifásica pode ser

melhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11:

S1

S2

S3

R1

R2

R3

θ

θ

S1i

S2i

S3i

R1i

R2i

R3i

Fig. 3.10 – Motor trifásico.

Sβ

Sα

Rβ

Rα

θ

Rβi Sβ

i

Rαi

Sαi

Fig. 3.11 – Motor bifásico equivalente.

Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásica

imaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar será

explicada no item 3.7.



3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLAR

Seja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentos

estatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado

na Fig. 3.12.

iS

i

i

S

SiS

vS

1

2

3

S1

S2

S3

R1

R2

R3

Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentados com a mesma tensão.

1 2 3S S S Sv v v v= = = (3.91)

Levando-se as tensões 1Sv ,

2Sv e 3Sv da expressão (3.91) na expressão (3.92),

obtém-se os resultados a seguir:

0 1 2 3αβ

−= 1S Sv A v (3.92)

Sv 0α= (3.93)

Sv 0β= (3.94)

0S Sv 3 v= (3.95)

Considerando a máquina em regime permanente, tem-se:

0

0

SS

0

vi

2 f=

π L (3.96)



( )0 1 2 3S S S S1i i i i3

= + + (3.97)

Então

3

ii SS0= (3.98)

Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se:

S S

0

i 3 v2 f3

=π L (3.99)

Assim:

SS

0

3viX

= (3.100)

onde:

0 0X 2 f= π L (3.101)

Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte fica

limitada apenas pela reatância cíclica homopolar.

Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11:

ROTOR

FS1

FS3FS2

iS1

iS3

iS2

Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica.



Como as correntes 1Si ,

2Si e 3Si , são iguais, as três forças magnetomotrizes,

1SF , 2SF e

3SF são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos,

com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estão

representados na Fig. 3.13.

Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclica

homopolar é uma imagem da indutância da dispersão.

Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir das

equações (3.90).

0 0 0 0

0 0 0 0

S S S SS

RR R R R

v i p 0 iR 00 Rv i 0 p i

= +

LL (3.102)

Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre as

componentes de seqüência homopolar do estator e do rotor.

Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica as

tensões e correntes homopolares não existem.

Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componentes

homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partir

das expressões (3.90).




v

R i

i i

1

2 3

LS

LS

R R

LS

Fig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.

1) Seja a estrutura representada na Fig.

3.14, com os seguintes parâmetros:

R = 1Ω

SL = 0,280H (indutância cíclica)

f = 60Hz

V = 380V (valor eficaz)

O circuito é considerado em regime

permanente. Determinar as expressões e

os valores das correntes nas fases da

estrutura.

2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir:

i

v

1

1

LSLS

LS

RR

Rv

i

2v3v

+

+ +

- -

-+

-

3 2i

Fig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por uma fonte de tensão única.

3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16:



i 1v1

+

-

i 2v2

+

-

i 3v3

+

-

Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico.

onde: 50RRRR 321 ,==== Ω ,

60LLLL 321 ==== mH (próprias)

=M -30mH (mútuas)

No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos:

1v 50V= ; 2v 30V= ; 3v 100V=

Empregando a transformação 0αβ , determinar as correntes nos enrolamentos

em função do tempo.

4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17:

v

v

v

S

S

S i

i

i

1

2

3

1

2

3

R

LSM

Fig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.

Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores 1S , 2S e 3S são

fechados simultaneamente.



1

2

3

v Vcos t2v Vcos t3

4v Vcos t -3

= ω

π = ω −

π = ω

onde

377=ω rad/s

v 2 220= volts

Determinar as correntes ( )ti1 , ( )ti 2 e ( )ti3 .

5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18.

S1 S2 S3

R3R2R1

iS1iS2

iS3

iR1 iR2 iR3

v1 v2 v3

Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases.

É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinar

a expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação 0αβ , sabendo

que:



1

2

3

v Vcos t2v Vcos t3

4v Vcos t -3

= ω

π = ω −

π = ω

CAPÍTULO

4 A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA

4.1 INTRODUÇÃO

A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das

máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações

das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas.

Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos

e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos

pseudo-estacionários.

4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as

correntes ficam relacionados pelas equações (4.1).

0 00

00 0

S SS

S SS SR SR

S SS SR SR

RR R

SR SR RR R

SR SR RR R

i0 0 0 0 0i0 0 0 m cos m seni0 0 0 m sen m cos

0 0 0 0 0 i0 m cos m sen 0 0 i0 m sen m cos 0 0 i

α α

β β

α α

β β

φ φ θ − θ φ θ θ = φ θ θ φ − θ θ φ

LL

LL

LL

(4.1)

Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).

0 0 00

S S RS

S S S SR SR R

S SR SRS S R

i i0 0 0 0 00 0 i 0 m cos m sen i0 0 0 m sen m cosi i

α α α

β β β

φ φ = + θ − θ θ θφ

LL

L (4.2)



Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão

(4.3):

φφφ

θθθ−θ=

φφφ

β

α

R

R

R

R

R

R 0

q

d

0

cossen0sencos0001

(4.3)

Assim:

00dq αβ

−= R1

R iBi (4.4)

onde:

θθθ−θ=−

cossen0sencos0001

1B (4.5)

A matriz B-1 define a transformação de PARK.

4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as

expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão

alteradas pela transformação de PARK.

S SRmαβ αβ αβ

−= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6)

R SRmαβ αβ αβ= +R R Si B iL Iφ (4.7)

onde:

θθ−θθ

=cossensencos

B (4.8)

e

66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA


1 00 1

=

I (4.9)

Aplicando-se a transformação B-1 na equação (4.7), obtém-se:

dqSR Rm

αβ αβ

− − −= +1 1 1R S RB B B i B B iφ L (4.10)

Assim:

dq dqSR Rm

αβ= +R S Ri iI L Iφ (4.11)

A partir da expressão (4.6) obtém-se:

dqSR Sm

αβ αβ= +S R Si iI L Iφ (4.12)

Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma

matricial, encontra-se a expressão (4.13).

0 00

00 0

d d

q q

S SS

S SS SR

S SS SR

RR R

SR RR R

SR RR R

i0 0 0 0 0

i0 0 0 m 0i0 0 0 0 m

0 0 0 0 0 i0 m 0 0 0 i0 0 m 0 0 i

α α

β β

φ φ φ = φ φ φ

LL

LL

LL

(4.13)

A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas

pela transformação de PARK.

Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram

transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de

PARK.

Fazendo-se o produto BB 1− obtém-se:

=

θθ−θθ

θθθ−θ

1001

cossensencos

cossensencos

(4.14)



Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob

esta transformação, a potência é invariante.

4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar

os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1.

•

θ

R q

R d

Rβ

Rα

θ

Rβi Rq

i

Rαi

Rdi

Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park.

Os eixos βαRR giram no sentido anti-horário com velocidade •

θ . Os eixos

qdRR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRi

e βRi e dois estacionários com correntes Rdi e

qRi . Todos os enrolamentos são

considerados idênticos.

Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes

segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações

(4.15) e (4.16).

θ−θ=βαsenicosii RRR d

(4.15)

θ+θ=βα

cosisenii RRR q (4.16)

Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação

de PARK:

θθθ−θ

=

β

α

R

R

R

R

ii

cossensencos

ii

q

d (4.17)



Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter

um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo

os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das

correntes dos enrolamentos girantes.

A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a

seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em

movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de

PARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, em

enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também

conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a

transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada

a transformação física.

R

Rα

β

VRβ

VRα Rq

Rd

VR d

VR q

Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.

Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação está

representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4.

Sβ

Sα

Rβ

Rα

θ

Fig. 4.3 – Máquina original.

q

d

R

R

S = S

q

d

q β

S = Sd α

Fig. 4.4 – Máquina transformada.



4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK

O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e

(4.19).

ddtαβ αβ αβ

= +S S S Sv R i φ (4.18)

ddtαβ αβ αβ

= +R R R Rv R i φ (4.19)

Aplicando-se a matriz B-1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).

( )

dq

dq

d

dtαβ

− − −= +R

1 1 1R R R

BB v B R B i B

φ (4.20)

dq

dq dq dq

d ddt dt

− − ∂ θ= + +

∂θ

R1 1R R R R

Bv R i B B Bφ

φ (4.21)

cos sen sen cossen cos cos sen

− θ − θ − θ θ ∂= θ θ − θ − θ∂θ

1 BB (4.22)

Assim:

0 11 0θ

− − ∂= ∂

1 BB (4.23)

dq

dq dq dq

d 0 1d1 0dt dt

− θ= + +

R

R R R Rv R iφ

φ (4.24)

dq

dq dq

d

dt= +

S

S S Sv R iφ

(4.25)

As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões

(4.26) e (4.27) respectivamente.



d d d d

q q q q

S S S RS S SR

S S SRS S S R

v i i iR 0 p 0 pm 00 R 0 p 0 pmv i i i

= + +

LL (4.26)

d d

d d q q

q q d d

q q

S S

R R S SSR R SR RR

SR R SR RRR R R R

R R

i i

v i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1p

0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 i

i i

•

− = + + θ

L LL L (4.27)

Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).

d d

q q

d d

q q

S S SRS S

S SS S SR

R RSR SR R R R

R RSR SR R R R

R p 0 pm 0v i

v i0 R p 0 pmv ipm m R pv i

m pm R p

• •

• •

+

+ = θ + θ − θ − θ +

L

L

L L

L L

(4.28)

As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica

trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada

uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de

pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem,

poderão ser adicionadas nas equações (4.28).

Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a

máquina sob não importa qual condição de operação.

4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE

Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma:

( )

T tαβαβ

∂ θ=

∂θSR

S R

Li i (4.29)

mas,

( ) 1SR BθL −= SRm (4.30)



Portanto:

SRT = m t

αβαβ

−∂∂θ

1

S RBi i (4.31)

SRT = mdqdq

t

θ

−∂∂

1

S RBi Bi (4.32)

sen cos

cos sen

− − θ − θ ∂= θ − θ∂θ

1B (4.33)

sen cos cos sen

cos sen sen cos

− − θ − θ θ θ ∂= θ − θ − θ θ∂θ

1B B (4.34)

0 11 0

− − ∂= ∂θ

1B B (4.35)

Assim:

dqdq 01

10mT t

SR RS ii

−= (4.36)

d

d q

q

R

SR S SR

i0 1T m i i

1 0 i

− = (4.37)

( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38)

4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA

O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é

representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que

d qR Rv v 0= = (rotor em curto-circuito).



d d

q q

d

q

S S SRS S

S SS S SR

RSR SR R R R

RSR SR R R R

R p 0 pm 0v i

v i0 R p 0 pm0 ipm n m R p n0 i

n m pm n R p

• •

• •

+

+ = θ + θ − θ − θ +

L

L

L L

L L

(4.39)

( )q d d qSR S R S RT = nm i i - i i (4.40)

S

nωω

= (4.41)

onde:

ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.

Sω ⇒ Velocidade síncrona do motor.

4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK

Neste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, para

um sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado na

Fig. 4.5.

Os enrolamentos do estator, αS e βS estão em repouso. Os enrolamentos do

rotor, αR e βR giram com velocidade •

θ . Os eixos qd giram com velocidade •

Ψ . Todos

os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.



S

S

R

R β

β

α

α

d

q

isβ

i sα

i Rα

i Rβ

i s

i R

d

d

i sq

i Rq

θΨ

ωm

Fig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.

Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobre

os eixos de referência qd , obtém-se as expressões a seguir:

a)

dSi i cos i senS Sα β= Ψ + Ψ (4.42)

qS S Si i sen i cos

α β= − Ψ + Ψ (4.43)

Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).

S S

S S

i icos seni sen cos i

d

q

α

β

Ψ Ψ = − Ψ Ψ

(4.44)

b)

( ) ( )dR R Ri i cos i sen

α β= Ψ −θ + Ψ −θ (4.45)

( ) ( )qR R Ri = -i sen i cos

α βΨ −θ + Ψ −θ (4.46)

( ) ( )( ) ( )

R R

R R

i icos sensen cosi i

d

q

α

β

Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ

(4.47)

Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes:



I ) Referencial no estator ( )0Ψ =

=

β

α

S

S

S

S

ii

1001

ii

q

d (4.48)

θθθ−θ

=

β

α

R

R

R

R

ii

cossensencos

ii

q

d (4.49)

II ) Referencial no rotor ( )Ψ = θ

θθ−θθ

=

β

α

S

S

S

S

ii

cossensencos

ii

q

d (4.50)

=

β

α

R

R

R

R

ii

1001

ii

q

d (4.51)

III ) Referencial no campo girante

StΨ = ω (4.52)

tmω=θ (4.53)

ωω−ωω

=

β

α

S

S

SS

SS

S

S

ii

tcostsentsentcos

ii

q

d (4.54)

( ) ( )( ) ( )

d α

q β

R RS m S m

S m S mR R

i icos ω -ω t sen ω -ω t=

-sen ω -ω t cos ω -ω ti i

(4.55)



4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOS GENÉRICOS

Sejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).

cos sensen cos

− Ψ Ψ = − Ψ Ψ

1SB (4.56)

( ) ( )( ) ( )

cos sensen cos

− Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ

1RB (4.57)

Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ ,

representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).

d

dtαβ

αβ αβ= +

S

S S Sv R iφ

(4.58)

d

dtαβ

αβ αβ= +

R

R R Rv R iφ

(4.59)

Vamos aplicar a transformação BS-1 na equação (4.58).

d

dtαβ

αβ αβ

− − −= +S1 1 1

S S S S S SB v B R i Bφ

(4.60)

( )

dq

dq dq

d

dt− −= +

S S1 1S S S S S S

Bv B R B i B

φ (4.61)

SSS1

S RBRB =− (4.62)

dq dq

dq

d d

dt dt

•− − − ∂

= + Ψ∂Ψ

S S S1 1 1 SS S S S S

B BB B B Bφ φ

φ (4.63)

0 1d1 0d

− − = Ψ

1 SS

BB (4.64)



Levando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:

dq

dq dq dq

d 0 11 0dt

•− = + + Ψ

S

S S S Sv R iφ

φ (4.65)

Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:

dq

dq dq dq

d 0 11 0dt

• •− = + + Ψ−θ

R

R R R Rv R iφ

φ (4.66)

Em seguida será deduzida a expressão do torque:

( )tTαβαβ

∂=

∂θSR

S R

Li i

θ (4.67)

dqSSS iBi =

αβ (4.68)

Assim:

ttt

dq SSS Bii =αβ

(4.69)

dqRRR iBi =

αβ (4.70)

Assim:

( )dqdq

t tT∂

=∂θSR

S S R R

Li B B i

θ (4.71)

mas,

( ) SRm −= 1SRL Bθ (4.72)

Assim:

dqdqSRT = m t t

−∂∂θ

1

S S R RBi B B i (4.73)

Assim:



( )d d q dSR R S R ST = m i i - i i (4.74)

Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se e

generalizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelas

equações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer d qR Rv v 0= = .

d d

q q

d d

q q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS S

R RSR SR R R R

R R

SR SR R R R

R p n pm m nv i

n R p m n pmv i

v ipm m n R p n

v i

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(4.75)

( )qddq RSRSSR iiiimnT −= (4.76)

Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas da

máquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear.

Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece o

produto de duas correntes.

O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquer

referencial.

4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIO

Ao se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelas

equações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre os

enrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações,

deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidos

no lado do rotor.



Porém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se tem

acesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações da

máquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetros

medidos em relação a um só lado.

Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primária-

secundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui está

representada pela expressão (4.77):

dd

qq

dd

qq

SS

SS

'RR

'RR

vv 1 0 0 0vv 0 1 0 0

0 0 a 0 vv0 0 0 a vv

=

(4.77)

Assim:

[ ]'SR SRv v− =

1PS (4.78)

Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espiras

do rotor.

A matriz PS-1 refere todas as tensões ao estator.

Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).

=

q

d

q

d

q

d

q

d

R

R

S

S

'R

'R

S

S

iiii

a10000a10000100001

iiií

(4.79)

SR'

SR iSPi = (4.80)

Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina.

='SR SRv Z i (4.81)

1−=' 'SR SRPS v Z PS i (4.82)



1 1− −=' 'SR SRv PS Z PS i (4.83)

onde Z é dada pela expressão (4.84).

S S S SR SR

S S S SR SR

SR SR R R R

SR SR R R R

R p n pm m n

n R p m n pm

pm m n R p n

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

Z

L L

L L

L L

L L

(4.84)

Realizando o produto matricial determinado pela expressão (4.83),

encontramos as equações representadas pela expressão (4.85).

Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação é

desconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serão

determinados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, como

tensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d d

q

d

q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS

'2 2R

SR SR R R R'

R

2 2SR SR R R R

R p n p a m a m nv i

n R p a m n p amv

v p am am n a R p n av

a m n p am n a a R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

q

d

q

S

'R

'R

i

i

i

(4.85)

Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinar

os parâmetros elétricos.

1) 1SR mma = ⇒ indutância magnetizante medida em relação

ao estator.

2) S 1 1m= +L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do

estator.



3) '2R 2 1 Ra m= + =L L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do rotor

referida ao estator.

4) SR ⇒ resistência do estator.

5) 'RR

2 RRa = ⇒ resistência do rotor referida ao estator.

Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pela

expressão (4.86):

d d

q q

d d

q q

S S S 1 1

S S

S S S 1 1S S

' '' ' 'R R

1 1 R R R' '

R R' ' '

1 1 R R R

R p n pm m nv i

n R p m n pmv i

v ipm m n R p nv i

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(4.86)

( )q d d d

' '1 S R S RT = nm i i - i i (4.87)

O torque fica representado pela expressão (4.87).




1) Seja:

( )1S Sv 2 Vsen t= ω + θ

( )2S Sv 2 Vsen t 120= ω − ° + θ

( )3S Sv 2 Vsen t 120= ω + ° + θ

Determinar 0Sv ,

dSv e qSv para o referencial colocado no estator e colocado no

campo girante.

2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo °180 . As formas de onda

impostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamente

as tensões 0Sv ,

dSv e qSv .

vS1

vS2

vS3

(2E/3)

(E/3)

(2E/3)

(E/3)

(2E/3)

(E/3)

O O O O0 60 120 180

Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.



3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, em

termos de variáveis dq.

4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:

1S Sv 2Vsen t= ω

( )2S Sv 2Vsen t 120= ω + °

( )3S Sv 2Vsen t 120= ω − °

Consideremos o motor em regime permanente.

(a) As tensões dSv e

qSv são funções do tempo? Por que?

(b) As correntes dSi ,

qSi , dRi e

qRi são funções do tempo? Por que?

5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentido

anti- horário em relação ao estator. Seja:

( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆

( )2R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆

( )3R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆

Seja SmR ω=ω+ω onde:

mω ⇒ velocidade do rotor

Sω ⇒ pulsação das correntes do estator

Rω ⇒ pulsação das correntes do rotor

a) Determinar as tensões 0Rv , Rv

α e Rv

β. Qual a freqüência dessas tensões?



b) Determinar as tensões 0Rv ,

dRv e qRv para um referencial colocado no estator. Qual a

freqüência dessas tensões?

Supor em seguida que:

( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆

( )2R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆

( )3R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆

Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?

6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:

m 0tθ = ω + θ

S m Rω = ω +ω

( )1S S Si I sen t= ω + φ

( )2S S Si I sen t 120= ω − °+ φ

( )3S S Si I sen t 120= ω + °+ φ

( )1R R Ri I sen t= ω + ∆

( )2R R Ri I sen t 120= ω − °+ ∆

( )3R R Ri I sen t 120= ω + °+ ∆

Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo da

expressão:



( )SR Sq Rd Sd RqT m i i i i= −

7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguinte

alimentação:

(a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC.

(b) a fase β do estator é mantida aberta.

Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator,

determinar:

(a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade.

(b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque é

máximo.

(c) a expressão do torque máximo.

8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante.

Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:

dS S Si I sen t= ω

qS S Si I cos t= ω

Determinar as expressões das correntes dRi e

qRi e do torque desenvolvido

pelo motor.

9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t 0= as

três fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidais

balanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo.

Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.



10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d é

alimentada por uma tensão do tipo:

dS Sv 2Vsen t= ω

A fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar.

q

d

vSd

ωm

Fig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

Demonstrar que a tensão qSv é função da

velocidade do rotor. Que condições devem

ser satisfeitas para que a relação entre

qSv e mω seja linear ?

Empregar as equações de PARK para o

referencial colocado no estator. Este

sistema é conhecido como tacogerador de

indução. A sua característica principal é o

fato da tensão gerada qSv apresentar

freqüência constante, igual à freqüência

da tensão dSv de excitação.

11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator é

alimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.

12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado por

uma corrente contínua.

CAPÍTULO

5 AS COMPONENTES SIMÉTRICAS

INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA

5.1 INTRODUÇÃO

O emprego das componentes simétricas instantâneas permite a obtenção de

modelos mais simples que aqueles obtidos com a transformação de PARK. Esses

novos modelos são adequados para estudos analíticos para as situações em que a

máquina gira em velocidade constante.

5.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS

Vamos considerar o modelo estabelecido no capítulo IV e representado pelas

equações (5.1).

d d

q q

d d

q q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS S

R RSR SR R R R

R R

SR SR R R R

R p pm m

v iR p m pmv i

v ipm m R pv i

m pm R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(5.1)

Verifica-se que cada submatriz da matriz é do tipo representado pela

expressão (5.2).

a bb a

− =

Z (5.2)



Vamos determinar uma transformação que diagonalize a matriz Z. Tomando-

se:

( ) ( ) 2a a b 0−λ −λ + = (5.3)

encontra-se:

1

2

a jba jb

λ = +λ = −

(5.4)

que são os autovalores da matriz Z.

A seguir são calculados os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2.

( )11 11

21 21

z za ba jb

z zb a−

= +

(5.5)

( )11 21 11az bz a jb z− = + (5.6)

Assim:

21 11z jz= − (5.7)

( )12 12

22 22

z za ba jb

z zb a−

= −

(5.8)

( )12 22 12az bz a jb z− = − (5.9)

Assim:

22 12z jz= (5.10)

Assim os autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2 são respectivamente:

88 CAPÍTULO 5. AS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA


zjz

= −

1z (5.11)

e

zjz

=

2z (5.12)

Consequentemente, a matriz [ D2 ] que diagonaliza a matriz Z é dada pela

expressão (5.13).

1 1

zj j

= −

2D (5.13)

Para que a transformação mantenha invariante a potência, ela deve ser

unitária. Assim:

( )*t 1−=2 2D D (5.14)

ou

( )*1 t− =2 2D D (5.15)

onde a matriz inversa é igual à transposta conjugada.

A partir de (5.13), obtém-se:

t 1 jz

1 j−

=

2D (5.16)

( )*1 1 j11 j2z

− − =

2D (5.17)

Para que a relação (5.14) se verifique é necessário que:



1z2z

= (5.18)

1z2

= (5.19)

Assim:

1 11j j2

= −

2D (5.20)

1 1 j11 j2

− = −

2D (5.21)

Conhecendo-se as expressões de [ D2 ] e [ D2-1 ], pode-se diagonalizar a matriz

Z, com o emprego da expressão (5.22).

1−=DZ 2 2D ZD (5.22)

Assim:

a jb 0

0 a jb+

= − DZ (5.23)

como era de se esperar, pois os termos que aparecem são os autovalores da matriz Z.

Sabe-se que:

=dq dq dqv z i (5.24)

=+- +- +-v z i (5.25)

onde a notação [ +- ] refere-se às componentes simétricas instantâneas, obtidas a

partir das componentes de PARK.

Sabemos que:



1−=+-Z 2 dq 2D Z D (5.26)

Assim

1−=+- +-v i2 dq 2D Z D (5.27)

ou

=+- +-v i2 dq 2D Z D (5.28)

Comparando-se (5.28) com (5.24) obtém-se:

=dq +-v v2D (5.29)

1−=+-v 2 dqD v (5.30)

=dq +-i i2D (5.31)

1−= dqi+- 2i D (5.32)

Assim, a matriz D2-1 transforma as variáveis de Park ( dq ) em componentes

simétricas instantâneas ( +- ).

Pode-se assim estabelecer a expressão (5.33).

d

q

d

q

SS

SS

R R

R R

vv 1 j 0 0vv 1 j 0 01

v 0 0 1 j v2v 0 0 1 j v

+

−

+

−

− = −

(5.33)

A mesma transformação pode ser empregada nas demais variáveis da

máquina, como fluxos e correntes.



Quando se trata de transformação trifásica, a forma empregada é a

representada pela expressão (5.34).

1

2 0 01 0 1 j2 0 1 j

−

= −

2D (5.34)

5.3 EQUAÇÕES DAS TENSÕES

Definimos anteriormente a transformação componentes simétricas

instantâneas. Vamos a seguir aplicá-la na obtenção de um novo modelo para a

máquina simétrica.

As equações (5.1) podem ser reescritas segundo as equações .

=

dq dq

dq dq

S S

R R

v i

v i1 3

2 4

Z ZZ Z (5.35)

Assim:

=

+- +-

+- +-

S S

R R

v iv i

1 32 2

2 42 2

Z ZD DZ ZD D

0 00 0

(5.36)

Podemos então estabelecer que:

1 1

1 1

− −

− −

=

+- +-

+- +-

S S

R R

v iv i

2 1 2 2 3 2

2 2 2 2 4 2

D Z D D Z DD Z D D Z D

(5.37)

Cada submatriz da matriz impedância fica então diagonalizada. Assim:



S S

1

S S

R p j 0

0 R p j

−

+ + Ψ = + − Ψ

i

i

L

L2 1 2D Z D (5.38)

SR

1

SR

m p j j 0

0 m p j j

−

+ Ψ− θ = − Ψ+ θ

i i

i i2 2 2D Z D (5.39)

SR

1

SR

m p j 0

0 m p j

−

+ Ψ = − Ψ

i

i2 3 2D Z D (5.40)

R R

1

R R

R p j j 0

0 R p j j

−

+ + Ψ− θ = + − Ψ+ θ

i i

i i

L

L2 4 2D Z D (5.41)

Levando-se as expressões (5.38) a (5.41) na expressão (5.37), obtém-se a

expressão (5.42).

+ +

-

+

-

S S SR

S SS S SR

S

RSR R R

R

SR R R

R p j 0 m p j 0

v i0 R p j 0 m p j

v

vm p j j 0 R p j j 0

v

0 m p j j 0 R p j j

+ + Ψ + Ψ + − Ψ − Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

− Ψ+ θ + − Ψ+ θ

i i

i i

i i i i

i i i i

L

L

L

L

-

+

-

S

R

R

i

ii

(5.42)

A partir da expressão (5.33), constatamos que:

*v v=- +S S (5.43)



e

*v v=- +R R (5.44)

Portanto as equações de seqüência negativa contém as mesmas informações

que as de seqüência positiva e portanto serão desconsideradas. O modelo é

representado pelas expressões (5.45)

+ +

+ +

S S SRS S

R RSR R R

R p j m p jv iv i

m p j j R p j j

+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

i i

i i i i

L

L (5.45)

Fica assim estabelecido que a máquina, mesmo para uma situação genérica,

fica representada por apenas duas equações. Isto é possível porque as variáveis são

complexas e contém sempre duas informações, uma do eixo “d” e outra do eixo “q”.

5.4 EQUAÇÃO DO TORQUE

Foi demonstrado que o torque desenvolvido pela máquina é representado pela

expressão

( )q d d qSR S R S RT m i i i i= ⋅ − ⋅ (5.46)

mas,

d +

q -

S S

S S

i i1 11i ij j2

= − (5.47)

d +

q -

R R

R R

i i1 11i ij j2

= − (5.48)

Assim:



( )d + -S S S1i i i2

= + (5.49)

( )q + -S S Sji i - i2

=− (5.50)

( )d + -R R R1i i i2

= + (5.51)

( )q + -R R Rji i - i2

=− (5.52)

Substituindo-se as expressões (5.49) a (5.52) na expressão (5.46), obtém-se

( )- + + -SR S R S RT m ji i ji i= − (5.53)

( )+ - + -

* *SR S R S RT m ji i ji i= − (5.54)

( )+ - + -

* *SR S R S RT m j i i i i= − (5.55)

se

A a jb= + (5.56)

e

*A a jb= − (5.57)

obtém-se

*A A 2jb− = − (5.58)

portanto



( )*j A A 2b− = (5.59)

Assim:

( )+ -SR S RT 2 m Im i i= ⋅ ⋅ ⋅ (5.60)

( )- +SR S RT 2 m Im i i= ⋅ ⋅ ⋅ (5.61)

Assim, o modelo final da máquina para “n” pares de pólos, é representado

pelas equações

+ +

+ +

S S SRS S

R RSR R R

R p jn m p jnv iv i

m p jn jn R p jn jn

+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

i i

i i i i

L

L (5.62)

( )+ -SR S RT 2 n m Im i i= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (5.63)

O termo Im( x ) significa, parte imaginária de x.

Para o motor de indução com rotor em curto, toma-se a Rv 0+= .

Para o referencial colocado no estator, toma-se 0Ψ =i

.

5.5 INTERPRETAÇÃO DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS

Seja a Fig. 5.1



d

q

iSq

iSq-

iSd

iS--

iS+

ωS

ωS-

Fig. 5.1 – Representação das componentes simétricas.

como

( )+ d qS S S1i i ji2

= + (5.64)

a corrente +Si é um fasor que instantaneamente assume um módulo dado por:

qd

+

22SS

S

iii

2 2= + (5.65)

Se as correntes dSi e Sqi forem senoidais balanceadas da forma:

( )dS si I cos t= ⋅ ω (5.66)

e

( )qS si I sen t= ⋅ ω (5.67)

obtém-se

( ) ( )( ) s

+

j tS s s

I Ii cos t jsen t e2 2

ω= ω + ω = (5.68)



Assim a corrente +Si possui módulo constante, e gira no sentido anti-horário

com velocidade constante igual a Sω .

A corrente -Si será da forma

s

-

j tS

Ii e2

− ω= (5.69)

é igual em módulo à +Si mas gira em sentido oposto.

É preciso fazer uma cuidadosa distinção entre as componentes simétricas

instantâneas definidas neste trabalho e as componentes simétricas tradicionais. As

tradicionais são definidas para grandezas fasoriais e só são válidas no estudo de

regimes permanentes. As instântaneas são válidas para qualquer situação.

5.6 MODELO PARA OS PARÂMETROS ROTÓRICOS REFERIDOS AO ESTATOR

A exemplo do que foi feito para o modelo de PARK obtido no capítulo IV, serão

estabelecidas as equações da máquina para componentes simétricas instantâneas,

representadas pelas expressões (5.70) e (5.71).

+ +

+ +

S S 1S S

' '' 'R R

1 R R

R p jn m p jnv i

v im p jn jn R p jn jn

+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

i i

i i i i

L

L (5.70)

( )+ -

'1 S RT 2 n m i i= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅I (5.71)

onde:



1 SRm a m= ⋅ (5.72)

' 2R RR a R= ⋅ (5.73)

' 2R R 2 1a l m= ⋅ = +L L (5.74)

S 1 1l m= +L (5.75)

A obtenção dos parâmetros é conseguida através dos ensaios a vazio e em

curto-circuito.




1 ) Considere um motor de indução operando com carga nominal. Subitamente

as três fases são desconectadas simultaneamente da rede de alimentação. Determinar

o comportamento da tensão do estator empregando o modelo deduzido para

componentes simétricas instantâneas (ver item 8.3).

2 ) Seja um motor de indução alimentado por um inversor trifásico do tipo 180o.

A tensão da fase 1 está representada na Fig. 5.2. As tensões das demais fases são

idênticas mas defasadas de 120o e 240o em relação a primeira. Aplicando a

transformação componentes simétricas instantâneas, obter a tensão +Sv .

(2E/3)

(E/3)

O O O O0 120 240 360

Fig. 5.2 – Forma de onda da tensão da fase 1.

3 ) Considere um motor de indução alimentado por um par de correntes

balanceadas da forma:

( )S S si I cos tα= ⋅ ω (5.76)

( )S S si I sen tβ= ⋅ ω (5.77)

Obter a expressão do torque médio e instantâneo que o motor produz.

Considerar o referencial colocado no campo girante. Empregar o modelo deduzido para

componentes simétricas instantâneas.



Obter também a expressão da tensão instantânea nos terminais dos

enrolamentos do estator.

4 ) Considere uma máquina de indução trifásica com rotor bloqueado

alimentado por tensões balanceadas.

( )1S sv 2 V cos t= ⋅ ⋅ ω (5.78)

( )2

oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω − (5.79)

( )3

oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω + (5.80)

O motor possui 2 pólos.

Os enrolamentos rotóricos são mantidos abertos. Utilizando as componentes

simétricas instantâneas, determinar as expressões matemáticas das correntes do

estator.

5 ) Considere o seguinte modelo:

+ +

+ +

S S SRS S

R RSR R R

R p j m p jv iv i

m p j j R p j j

+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

i i

i i i i

L

L (5.81)

Estabelecer as expressões de +Si e

+Ri em função de +Sv e

+Rv .

CAPÍTULO

6 MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

INTRODUÇÃO

No desenvolvimento dos modelos para estudo do motor de indução, em regime

permanente, será empregado o modelo geral representado pelas expressões (6.1) e

(6.2) desenvolvidas no capítulo V.

S S SR

SS

RSR R R

R p pm ivim p jn R p jn0

++

+

• •

+ = − θ + − θ

L

L (6.1)

( )SR S RT 2 n m Im i i+ −

= ⋅ ⋅ ⋅ (6.2)

Será considerada alimentação senoidal desbalanceada tanto a nível da

amplitude quanto a nível de fase. A partir das equações (6.1), com o emprego de

variáveis instantâneas, extrai-se o modelo para variáveis fasoriais, empregado no

estudo do motor em regime permanente.

O motor será considerado com velocidade constante tornando possível a

superposição. Isto permitirá a generalização dos resultados par alimentação não

senoidal, bastando para tanto empregar o modelo obtido para cada harmônica de

alimentação.

MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA ESTUDO DO REGIME PERMANENTE

Seja a referência fixa no estator. Assim:

102 CAPÍTULO 6. MODELOS DO MOTOR DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE


α

β

d

q

S S

S S

v = v

v = v (6.3)

Conhecendo-se as tensões de alimentação e aplicando-se a transformação αβ,

obtém-se:

( )( )

v v cos t

v v sen tα α α

β β β

= ω +θ

= ω +θ (6.4)

Se a alimentação for balanceada, tem-se Vα = Vβ e θα = θβ. Nós vamos analisar

uma situação genérica em que Vα ≠ Vβ e θα ≠ θβ.

Considerando as identidades conhecidas da trigonometria, podemos escrever:

( ) ( )( )( ) ( )( )

j t j t

j t j t

vv e e2

vv e e

2j

α α

β β

ω +θ − ω +θαα

ω +θ − ω +θββ

= +

= − (6.5)

Definindo-se:

_ _*j j

_ _j j*

v e v v e v

v je v v je v

α α

β β

θ − θα αα α

θ − θβ ββ β

= ⋅ ∴ = ⋅

= − ⋅ ∴ = ⋅ (6.6)

obtém-se com (6.5) e (6.6)

_ _*j t j t

_ _*j t j t

1v v e v e21v v e v e2

ω − ωα αα

ω − ωβ ββ

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

(6.7)

As expressões (6.7) indicam que as tensões pulsativas foram decompostas em

tensões rotativas, com módulos iguais e sentidos diferentes.

Considerando que:



( )

( )

S

S

1v v jv2

1v v jv2

+

−

α β

α β

= +

= − (6.8)

obtemos

_ _ _ _

* *j t j t j t j tS

1 1 1v v e v e j v e v e2 22+

ω − ω ω − ωα α β β

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (6.9)

Assim:

_ _ _ _

* *j t j t

S1 v jv v jvv e e2 2 2+

α β α βω − ω + + = ⋅ + ⋅

(6.10)

Definindo-se:

_ __

S

_ __

S

v jvv2

v jvv2

+

−

α β

α β

+=

−=

(6.11)

Assim:

_ _*j t j t

S SS

_ _* j t j t

S SS

1v v e v e21v v e v e2

+ −+

+ −−

ω − ω

− ω ω

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

(6.12)

Convém ressaltar que _

vα e _

vβ são fasores. Portanto +

_

Sv e -

_

Sv também são fasores.

As expressões (6.11) podem ser representadas do seguinte modo:



_ _

S

_ _

S

v 1 j v11 j2v v

+

−

α

β

= −

(6.13)

que é a transformação componentes simétricas tradicionais.

As grandezas +Sv e

-Sv são temporais e portanto não são fasores.

Por analogia com a expressão (6.12) podemos estabelecer as expressões

estatóricas e rotóricas.

_ _*j t j t

S SS

_ _* j t j t

S SS

1i i e i e21i i e i e2

+ −+

+ −−

ω − ω

− ω ω

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

(6.14)

_ _*j t j t

R RR

_ _* j t j t

R RR

1i i e i e21i i e i e2

+ −+

+ −−

ω − ω

− ω ω

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

(6.15)

Levando-se as expressões (6.12), (6.14) e (6.15) na expressão (6.1), obtém-se:

( )_ _ _ _ _ _

* * *j t j t j t j t j t j tS S R RS S S S SR

1 1 1v e v e R p i e i e pm i e i e2 2 2+ − + −+ −

ω − ω ω − ω ω − ω ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

L (6.16)

e

_ _ _ _

* *j t j t j t j tS S R RSR R R

1 10 m p jn i e i e R p jn i e i e2 2+ − + −

•ω − ω ω − ω = − θ ⋅ + ⋅ + + − θ ⋅ + ⋅

iL (6.17)

Se a máquina gira com velocidade constante, o seu modelo é linear, valendo

portanto a superposição. Podemos então escrever:



( )

_ _ _j t j t j t

S RS S S SR

_ _j t j t

S RSR R R

v e R p i e pm i e

0 m p jn i e R p jn i e

+ ++

+ +

ω ω ω

•ω ω

⋅ = + ⋅ + ⋅

= − θ ⋅ + + − θ ⋅

i

L

L (6.18)

( )

_ _ _* * *j t j t j t

S RS S S SR

_ _* *j t j t

S RSR R R

v e R p i e pm i e

0 m p jn i e R p jn i e

− −−

− −

− ω − ω − ω

•− ω − ω

⋅ = + ⋅ + ⋅

= − θ ⋅ + + − θ ⋅

i

L

L (6.19)

Tomando-se as derivadas

j t j tpe j eω ω= ω⋅ (6.20)

e cancelando-se as exponenciais, obtém-se

( )

_ _ _

S RS S S SR

_ _

S RSR R R

v R j i j m i

0 m j jn i R j jn i

+ ++

+ +

•

= + ω + ω

= ω− θ + + ω− θ

i

L

L (6.21)

( )

* * *_ _ _

S RS S S SR

* *_ _

S RSR R R

v R j i j m i

0 m jn j i R jn j i

− −−

− −

= + ω + ω

= θ+ ω + + θ+ ω

i i

L

L (6.22)

como

mn•

θ = ω (6.23)

m R sω−ω =ω = ω (6.24)

( )m 2 sω+ω = − ω (6.25)

Substituindo em (6.21) e (6.22), obtém-se:



( )

( )

_ _ _

S RS S s S s SR

_ _

S Rs SR R s R

v R j i j m i

0 js m i R js i

+ ++

+ +

= + ω + ω

= ω + + ω

L

L (6.26)

( )

( ) ( )( )

_ _ _

S RS S s S s SR

_ _

S RSR s R R s

v R j i j m i

0 jm 2 s i R + j 2 s i

− −−

− −

= + ω + ω

= − ω + − ω

L

L (6.27)

Dividindo-se a segunda equação por “s” e a quarta por “2 – s”, obtém-se:

( )

_ _ _

S RS S s S s SR

_ _R

S Rs SR s R

v R j i j m i

R0 j m i j is

+ ++

+ +

= + ω + ω

= ω + + ω

L

L (6.28)

( )

( )

_ _ _* * *

S RS S s S s SR

_ _* *R

S RSR s R s

v R j i j m i

R0 m i - j i2 s

− −−

− −

= − ω − ω

= − ω + ω −

L

L (6.29)

Estes dois conjuntos de equações levam ao circuito equivalente para o motor,

representado na Fig. 6.1.

RS

RS

RR

RR

mSR

( - m )S SRL

( - m )S SRL L( - m )R SR

L( - m )R SR

mSR

RR (1 - s)s

RR (1 - s)(2 - s)

-

vS+

vS-

i S+

i S-

i R+

i R-

Fig. 6.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação desbalanceada.



Este circuito vale para operação desbalanceada, desde que as tensões sejam

senoidais e a velocidade constante.

Para operação balanceada, tem-se _

S-v = 0; assim o modelo e o circuito

eqüivalente são representados pela expressão (6.32) e pela Fig. 6.2.

( )

_ _ _

S RS S s S s SR

_ _R

S Rs SR s R

v R j i j m i

R0 j m i j is

+ ++

+ +

= + ω + ω

= ω + + ω

L

L (6.30)

RS RR

mSR


RR (1 - s)s

vS+

i S+i R+

Fig. 6.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.

O circuito eqüivalente pode ainda ser representado segundo a Fig. 6.3.

RS

L SvS+

i S+

RR

RR (1 - s)s

i R+

mSR

L R

Fig. 6.3 – Representação alternativa para o circuito eqüivalente do motor de indução com operação balanceada.

TRANSFORMAÇÃO PRIMÁRIO-SECUNDÁRIO

Consideremos o circuito representado na Fig. 6.4.



RS

L SvS+

i S+

R2

s

i R+

mSR

L R

n n1 2

Fig. 6.4 –Circuito eqüivalente do motor de indução com operação balanceada.

Seja

1

2

nan

= (6.31)

Assim

_

S_

R

v av

+

+

= (6.32)

e

_

R_

S

i ai

+

+

= (6.33)

Seja

'R Rv av+ += ⇒ tensão rotórica referida ao estator e (6.34)

' RR

ii .

a+

+= ⇒corrente rotórica referida ao estator (6.35)

Definimos a transformação:

+ +

+ +

'S S

'R R

i i1 0i 0 a i

=

(6.36)



Assim:

+ +

++

'S S

'RR

1 0i i1 i0ia

=

(6.37)

Do mesmo modo:

+ +

+ +

'S S

'R R

v v1 0v 0 a v

=

(6.38)

+ +

++

'S S

'RR

1 0v v1 v0va

=

(6.39)

Seja

1 1 00 a

− =

PS (6.40)

e

1 0

10a

=

PS (6.41)

Tomemos as equações da máquina simétrica:

_ _S S S S SR

SS

R_ _S SR S R

RR

R j j mv iRj m jv is

++

++

+ ω ω = ω + ω

L

L (6.42)

que podem ainda ser escritas:

_ _

=v Z i++ (6.43)



Assim

_ _

' '⋅ = ⋅ ⋅-1PS v Z PS i++ (6.44)

_ _

' '= ⋅ ⋅ ⋅-1 -1v PS Z PS i++ (6.45)

Seja

' = ⋅ ⋅-1 -1Z PS Z PS (6.46)

Assim

_ _

' '= ⋅'v Z i++ (6.47)

Calculemos a nova matriz impedância Z’. Assim:

S S S S SR

RS SR S R

R j j m1 0 1 0R0 a 0 aj m js

+ ω ω = ω + ω

'ZL

L (6.48)

Assim:

S S S S SR

22R

S SR S R

R j j ama Rj am j a

s

+ ω ω = ω + ω

'ZL

L (6.49)

Como +

_'

Sv = +

_

Sv e +

_'

Si = +

_

Si tem-se para o motor de indução o seguinte modelo:

__ S S S S SRSS 2

2 _R'S SR S R R

R j j am iv a Rj am j a0 is

++

+

+ ω ω = ω + ω

L

L (6.50)

O novo circuito eqüivalente associado ao novo modelo está representado na

Fig. 6.5.



RS

amSR

( - am )S SRL L(a - am )R SR

RR as

vS+

i S+i R+

2

2

Fig. 6.5 – Circuito eqüivalente para o motor de indução.

Vamos definir os seguintes parâmetros:

1 SR

1 S SR2

2 R SR2

R R

m am .l am .

l a am .

r a Rs s

= ⇒= − ⇒

= − ⇒

= ⇒

LL

indutância de magnetizaçãoindutância de dispersão do estator

indutância de dispersão do rotor referida ao estator

resistência do rotor referida ao estator.

(6.51)

Desse modo o modelo para o motor de indução passa a ser:

( )

'_ _ _ _

S S RS S 1 1

' '_ _ _R

S R R1 2

v R jX i jXm i i

r0 jXm i i jX is

+ + ++

+ + +

= + + +

= + + +

(6.52)

O circuito eqüivalente será o representado na Fig. 6.6.

RS

RR (1-s)s

vS+

jX1 jX2

jXm1

RR


Este é o circuito eqüivalente clássico do motor de indução para alimentação

senoidal balanceada em regime permanente. Na teoria clássica ele é normalmente

estabelecido intuitivamente.



O maior interesse deste circuito deve-se ao fato que os seus parâmetros

podem ser medidos com facilidade e com relativa precisão, através dos ensaios de

rotor travado e a vazio.

O circuito eqüivalente para alimentação desbalanceada será o representado

pela Fig. 6.7.

RR (1-s)s

vS+jXm1

RS

jX1 jX2 RR

vS- R (1-s)(2-s)

RS

jX1 jX2 RR

jXm1 -R


Estes circuitos têm grande importância prática.

CÁLCULO DO TORQUE MÉDIO DA MÁQUINA DE INDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE

Vamos inicialmente estabelecer a expressão geral do torque para regime

permanente.

Foi estabelecido que:

( )SR S RT 2 n m Im i i+ −

= ⋅ ⋅ ⋅ (6.53)

Levando-se as expressões (6.14) e (6.15) em (6.53), obtém-se

* *_ _ _ _

j t j t j t j tS S R RSR

1T 2 n m Im i e i e i e i e4 + − + −

ω − ω − ω ω

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ (6.54)



Portanto

* * * *_ _ _ _ _ _ _ _

j2 t j2 tSRS R S R S R S R

n mT Im i i i i e i i e i i2 + + − + + − − −

− ω ω ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

(6.55)

Os termos onde aparecem ej2ωt e e-j2ωt possuem torque médio nulo e podem

então ser abandonados. Assim:

* *_ _ _ _

SRS R S R

n mT Im i i i i2 + + − −

⋅= ⋅ + ⋅

(6.56)

Podemos definir:

*_ _

SRS R

n mT Im i i2+ + +

⋅= ⋅

(6.57)

e

*_ _

SRS R

n mT Im i i2− − −

⋅= ⋅

(6.58)

Assim:

T T T−+= + (6.59)

Para se obter as expressões do torque é necessário que se conheça as

expressões das correntes. Foi visto que:

__ S s S s SRSS

R _s SR s R

R

R j j m iv Rj m j0 is

++

+

+ ω ω = ω + ω

L

L (6.60)

A inversa da matriz Z é dada por:



( )

Rs R s SR1

2 2RS s S s R s SR s SR S s S

R j j m1sRR j j m j m R j

s

− + ω − ω = + ω + ω +ω − ω + ω

ZL

L L L (6.61)

Como:

( )

_ _RS s R s SR S

_ 2 2RR S s S s R s SR s SR S s S

Ri j j m1 vsR 0R j j m j m R jis

++

+

+ ω − ω = + ω + ω +ω − ω + ω

L

L L L (6.62)

obtém-se:

( )

_R

Ss R_

S2 2R

S s S s R s SR

R j vsi

RR j j ms

+

+

+ ω =

+ ω + ω +ω

L

L L (6.63)

( )

__ Ss SR

R2 2R

S s S s R s SR

j m viRR j j ms

++

− ω=

+ ω + ω +ω

L L (6.64)

De um modo semelhante podemos obter:

( )

_R

Ss R_

S2 2R

S s S s R s SR

R j v2 si

RR j j m2 s

−

−

+ ω − = + ω + ω +ω −

L

L L (6.65)

( )

__ Ss SR

R2 2R

S s S s R s SR

j m viRR j j m2 s

−−

− ω=

+ ω + ω +ω − L L

(6.66)

Podemos ainda representar as correntes do seguinte modo:



_R

Ss R_

S2 2 2S R s S R

s R S s SR s R S

R j vsi

R R Rm j Rs s

+

+

+ ω =

ω −ω +ω + +ω

L

LL L L (6.67)

_

_ Ss SRR

2 2 2S R s S Rs R S s SR s R S

j m viR R Rm j R

s s

++

− ω=

ω −ω +ω + +ω

LL L L (6.68)

Desse modo, tem-se:

_

*_ S* s SRR

2 2 2S R s S Rs R S s SR s R S

j m viR R Rm j R

s s

++

ω=

ω −ω +ω − +ω

LL L L (6.69)

Assim:

_ _2 *s SR R

S Ss SR R_ _*

S R 2 22 2 2S R s S R

s R S s SR s R S

m Rm j v vsi i

R R Rm Rs s

+ +

+ +

ω −ω + ⋅ ⋅ =

ω −ω +ω + +ω

L

LL L L (6.70)

Pela teoria dos números complexos, sabemos que:

2_ _ _

*S S Sv v v+ + +⋅ = (6.71)

Consequentemente as expressões do torque serão:

22 _s SR R

S

2 22 2 2S R s S R

s R S s SR s R S

n m R1 v2 sT

R R Rm Rs s

+

+

ω

=ω −ω +ω + +ω

LL L L

(6.72)



22 _s SR R

S

2 22 2 2S R s S R

s R S s SR s R S

n m R1 v2 (2 s)T

R R Rm R(2 s) (2 s)

−

−

ω−

−= ω

−ω +ω + +ω − −

LL L L (6.73)

Se a alimentação for balanceada tem-se:

_ _

v jvα β= (6.74)

_

Sv 0− = (6.75)

_ _ _

S S2jv 2v v v

2 2+ +

ββ= ⇒ = (6.76)

_

v v v vβ β α αβ= = = (6.77)

2_

2Sv 2v+ αβ= (6.78)

mas

SP3v V2αβ = (6.79)

onde VSP é o pico da tensão de fase.

Assim:

2_

2S SPv 3V+ = (6.80)

mas



SP SV 2 v= ⋅ (6.81)

Assim:

2_

2S Sv 6v+ = (6.82)

onde vS é o valor eficaz da tensão de alimentação.

Assim a expressão do torque para uma máquina balanceada será:

2 2Rs SR S

2 22 2 2S R s S R

s R S s SR s R S

R3n m vsT

R R Rm Rs s

+

ω=

ω −ω +ω + +ω

LL L L (6.83)

É mais freqüente encontrar-se a expressão (6.83) modificada, reescrita

segundo a expressão (6.86).

2 2 2Rs SR S

2 22 2 2S R s S R

SN s R S s SR s R S

R3 m vsT

R R Rm Rs s

+

ω=

ω ω −ω +ω + +ω

LL L L (6.84)

onde ωSN é a velocidade síncrona.

É interessante expressar o torque em função das reatâncias de dispersão e

magnetizante no lugar das reatâncias cíclicas.

Multiplicando-se o numerador e o denominador da expressão (6.84) por a4,

obtém-se a expressão (6.87).

2 2 22 2Rs SR S

2 22 22 2 22 2 2S R s S R

SN s R S s SR s R S

R3 a a m vsT

R a R R aa a m a Rs s

+

ω =

ω ω −ω +ω + +ω

LL L L (6.85)

Seja:



2

2 2 22 2S Rs R S s SR

R a RA a a ms

= −ω +ωL L (6.86)

2

2s S Rs R S

R aB a Rs

ω= +ω

L L (6.87)

Assim:

2

22 2S RR S M

R a RA a X X a Xs

= − + (6.88)

onde:

M S SR

S S S

R S R

X mXX

=ω ⇒=ω ⇒

=ω ⇒

LL

Reatância mútua cíclica.Reatância cíclica do estator.Reatância cíclica do rotor.

A expressão (6.88) pode ser reescrita segundo a expressão (6.91).

2

2 2 22 2 3 3 2 2S RR S M M R M R S M S M M M

R a RA a X X a X a X X a X X aX X aX X a X a Xs

= − + − + − + + − (6.89)

Assim:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2S RM R M M S M S M R M

R a RA aX a X aX aX X aX X aX a X aXs

= − − − − − − − (6.90)

mas:

' 2

R RR a Rs s

= (6.91)

m M

1 S M' 2

2 R M

X aXX X aX

X a X aX

= ⇒= − ⇒

= − ⇒

Reatância magnetizante.Reatância de dispersão do estator.

Reatância de dispersão do rotor referida ao rotor.



2

´ ´S Rm 2 1 m 1 2

R a RA X X X X X Xs

= − − − (6.92)

Vamos em seguida manipular a expressão (6.87).

2 S RR S

X RB a X Rs

= +

(6.93)

2 3 3

2S R M R M RR S S M S M

a X R a X R a X RB a X R R aX R aXs s s

= + − + + − (6.94)

( ) ( )( )' '

2R RS M M S M R M

R RB X aX aX R aX + a X aXs s

= − + + − (6.95)

( )' '

'R R1 m S m 2

R RB X X R X + Xs s

= + + (6.96)

Levando-se as expressões (6.92) e (6.96) na expressão (6.85), obtém-se a

expressão (6.100).

( )

'2 2R

m S

2 22 ' '' ' 'S R R R

SN m 2 1 m 1 2 1 m S m 2

R3 X vsT

R a R R RX X X X X X X X R X + Xs s s

+ = ω − − − + + +

(6.97)

A expressão (6.97) é mais difundida que a expressão (6.83). É obtida

normalmente pela análise do circuito eqüivalente da máquina. É sem dúvida uma das

expressões mais importantes em engenharia elétrica.

A representação gráfica da expressão (6.97) encontra-se na Fig. 6.8. O torque

é representado em função do escorregamento s.



Freio Motor Gerador12 0

T

TMAX

s

Fig. 6.8 – Torque da máquina de indução em função do escorregamento.

MODELO PARA O REGIME PERMANENTE A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE PARK

Nos itens anteriores, for a obtidos modelos para o motor de indução em regime

permanente, a partir do modelo genérico estabelecido para componentes simétricas

instantâneas.

Neste item será estabelecido o modelo para estudar em regime, a partir do

modelo genérico estabelecido pela transformação de PARK.

Seja o modelo de PARK, obtido no capítulo IV, representado pela expressão

(6.101).

d d

q q

d d

q q

S S SRS S

S SS S SR

R RSR SR R R R

R RSR SR R R R

R p 0 pm 0v i

v i0 R p 0 pmv ipm m n R p nv i

m n pm - n R p

• •

• •

+

+ = θ + θ − θ θ +

L

L

L L

L L

(6.98)

Em regime permanente senoidal as tensões e correntes instantâneas serão

substituídas por fasores, com módulos iguais aos valores eficazes. Fazendo p = jω

obtém-se a expressão .



d d

q q

d d

q q

S S SRS S

S SS S SR

R RSR SR R R R

R RSR SR R R R

R j 0 j m 0v i

v i0 R j 0 j mv ij m m n R j nv i

m n j m - n R j

• •

• •

+ ω ω

+ ω ω = ω θ + ω θ − θ ω θ + ω

L

L

L L

L L

(6.99)

A expressão (6.99) pode ser representada compactamente pela expressão

(6.103).

=

v i•

Z θ (6.100)

Para se obter as correntes do motor faz-se:

1

=

-

i v•

Z θ (6.101)

Com o auxílio de um computador, pode-se calcular as correntes em função da

velocidade do rotor θi, conhecendo-se as tensões de alimentação, os parâmetros e a

freqüência de alimentação.

Podemos afirmar que os modelos obtidos a partir das transformações

complexas são mais adequados para o estudo analítico, por serem mais simples. Além

disso, levam ao estabelecimento de circuitos eqüivalentes, que permitem a

interpretação física do comportamento do motor.

Para a obtenção da expressão do torque, será adotado o procedimento

descrito a seguir:

S

S

R

R

R 0 0 00 R 0 00 0 R 00 0 0 R

=

R (6.102)



S SR

S SR

SR R

SR R

0 m 00 0 m

m 00 m 0

=

L

LL

LL

(6.103)

SR R

SR R

0 0 0 00 0 0 00 m 0

m 0 - 0

= −

G LL

(6.104)

Assim:

= + jw + nθv Ri Li Gii

(6.105)

Pré-multiplicando todos os termos da expressão (6.105) por *ti obtém-se:

= + j + nω θ* * * *t t t ti v i Ri i Li i Gi

i (6.106)

Tomando-se a parte real de cada termo, obtém-se a expressão (6.110).

( ) ( ) ( )Re = Re + Re j + Re n ω θ

* * * *t t t ti v i Ri i Li i Gi

i (6.107)

onde:

( )( )( )

Re

Re

Re j

n

⇒

⇒

ω ⇒

θ ⇒

*t

*t

*t

*t

i v

i Ri

i Li

i Gii

potência entregue ao motor.

potência perdida nas resistências dos enrolamentos.

potência puramente reativa, necessária para produzir fluxo no motor.

potência mecânica produzida pelo motor.

( )mP = n Reθ *ti Gi

i (6.108)



mPT =θi (6.109)

Assim:

( )T = nRe *ti Gi (6.110)

Assim:

d

q

d q d q

d

q

S

S* * * *S S R R

SR R R

SR R R

i0 0 0 0i0 0 0 0

T = nRe i i i i0 m 0 i

m 0 - 0 i

−

LL

(6.111)

Fazendo-se o produto matricial e ignorando-se o sentido do torque, obtém-se a

expressão .

( )q d d d

* *SR S R S RT = nm Re i i i i− (6.112)

Com as correntes obtidas na expressão (6.99) entra-se na expressão (6.112) e

obtém-se o torque médio desenvolvido pelo motor em função da velocidade.



EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja um motor de indução com os seguintes parâmetros:

1 2

R

1

X X 42

R 3Xm 100

(220V

= = Ω= Ω= Ω= Ω

=

S

S

(reatâncias de dispersão)R

(reatância magnética)f = 60Hzn = 2 pares de pólos)v (tensão eficaz de fase)

(6.113)

Determinar as seguintes características:

a) Torque médio em função do escorregamento;

b) Corrente eficaz de fase em função do escorregamento;

c) Determinar para qual escorregamento o torque é máximo;

d) Supondo escorregamento nominal igual a 0,03, determinar a velocidade, o torque e

a potência nominais.

2) Dos ensaios de um motor trifásico de indução foram obtidos os seguintes dados:

(a) Ensaio a vazio: 220

2, 2f

f

v Vi A

=

=

(b) Ensaio do rotor travado: 80 130

5, 2f f

f

v V P Wi A

= ∴ =

=

(c) Medida de resistência do estator: 2,6SR = Ω

Determinar:

(a) Indutância magnetizante;

(b) Indutância de dispersão;



(c) Resistência do rotor (RR);

(d) Indutância cíclica do rotor referida ao estator (L’R);

(e) Indutância cíclica do estator (LS) e

(f) Indutância mútua cíclica .

3) Considere o modelo do exercício 1, alimentado por tensões desbalanceadas do

seguinte tipo:

( )1S sv 2 V cos t= ⋅ ⋅ ω (6.114)

( )2

oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω − (6.115)

( )3

oS sv 2 V cos t 120= ⋅ ⋅ ω + (6.116)

Determinar as correntes 1 2S Si , i e

3Si e o torque do motor em função do

escorregamento.

4) Considere o motor do exercício número 1, alimentado por tensões trifásicas

balanceadas, geradas por um inversor, cuja forma está representada na Fig. 6.9

para uma fase.

(2E/3)

(E/3)

O O O O0 120 240 360

Fig. 6.9 – Forma de onda da tensão da fase 1.

Onde E = 400V, f = 60Hz



(a) Empregando o princípio da superposição, determinar a característica torque-

velocidade do motor.

(b) Obter a corrente de uma das fases em função do tempo.

CAPÍTULO

7 TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

7.1 INTRODUÇÃO

Vamos considerar o caso de um motor de indução industrial, alimentado por

tensões trifásicas balanceadas. Tal motor tem a característica torque-velocidade

representada na Fig. 7.1.

01s

T

Tn

sn

Fig. 7.1 – Característica de torque-velocidade de um motor de indução.

Normalmente o motor opera na região de baixos escorregamentos, onde 0 < s

< sn sendo sn o escorregamento em que o motor produz o torque nominal. Durante o

transitório de partida o escorregamento varia de 1 até um valor próximo de zero.

Dois transitórios mecânicos são de interesse prático:

(a) partida do motor;

(b) variação de carga na região normal de operação.

Como já foi estabelecido nos capítulos anteriores a solução completa das

equações da máquina só pode ser obtida por simulação.

Neste capítulo nós procuraremos estabelecer métodos de análise dos

transitórios citados, sem recorrer aos modelos completos do motor. Serão

estabelecidos métodos simplificados, mas que produzam resultados satisfatórios do

ponto de vista prático.



A simplificação decorre dos seguintes fatos:

(a) a constante de tempo mecânica é muito maior que as constantes de

tempo elétricas.

(b) consequentemente, durante um transitório elétrico, a velocidade da

máquina poderá ser considerada constante.

(c) por outro lado, por serem os transitórios mecânicos muito lentos, as

variáveis elétricas evoluirão através de regimes permanentes

sucessivos.

As conseqüências dessas simplificações serão evidenciadas no

desenvolvimento deste capítulo.

7.2 COMPORTAMENTO DINÂMICO NA REGIÃO DE BAIXOS ESCORREGAMENTOS

Foi estabelecida no capítulo VI a expressão do torque médio desenvolvido pelo

motor, representada aqui pela expressão (7.1).

( )

22 RSR S

2 222 2S R R

R S SR R S S

n Rm v2 sT

R R Rm Rs s

+ω

= −ω − +ω +

L L L L

(7.1)

Multiplicando-se o numerador e o denominador por s2, obtém-se a expressão

(7.2).

( )( ) ( )

22 2RSR S

2 222 2S R R S SR R S S R

n Rm v s2 sT

R R s m R s R

+ω

=− ω − +ω +L L L L

(7.2)

Na região em estudo, o escorregamento é muito baixo, assim s ≅ 0. Portanto:

22

SR R S2 2 2 22

S R S R

m R v snT2 R R R

+ω

=+ω L

(7.3)

130 CAPÍTULO 7. TRANSITÓRIOS MECÂNICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO


( )

22SR S

2 22R S S

m v snT2 R R

+ω

=+ω L

(7.4)

m mn ns 1ω− ω ω= = −

ω ω (7.5)

Assim:

( )

22 mSR S

2 22R S S

nm v 1nT2 R R

+

ω ω − ω =+ω L

(7.6)

Podemos então concluir que na região de baixos escorregamentos o torque é

função linear da velocidade. Desenvolvendo a expressão (7.6) encontramos a

expressão (7.7).

( ) ( )

2 22 22SR S SR S m

2 2 2 22 2R S S R S S

m v m vn nT2 2R R R R

+ +ω ω

= −+ω +ωL L

(7.7)

Seja:

( )

222SR S

2 22R S S

m vnDe2 R R

+=+ω L

(7.8)

Portanto o torque pode ser representado pela expressão (7.9):

mDeT De

n⋅ω

= − ⋅ω (7.9)

O transitório mecânico é descrito pela equação (7.10):

j D LT T T T= + + (7.10)

onde:

T ⇒ torque do motor

Tj ⇒ torque de inércia total



TD ⇒ torque de atrito total

TL ⇒ torque de carga

assim,

( )mL m

dT J D De Dedt nω ω

+ + + ω = (7.11)

Desse modo o comportamento do motor fica representado por uma equação

diferencial linear de primeira ordem.

Quando TL e ωm é constante, obtém-se

( )0m

DeD De n

ωω =

+ (7.12)

que é a velocidade inicial do motor com torque de carga nulo.

Uma aplicação interessante do modelo estabelecido pelas expressões

anteriores é o estudo do motor submetido a cargas impulsivas periódicas, encontradas

em indústrias ligadas à metalurgia.

O torque impulsivo é aquele cuja duração é muito pequena em relação à

constante de tempo mecânica do motor, incluindo o momento de inércia da máquina

acionada por ele. Tal torque está representado na Fig. 7.2.

t

T

j

Fig. 7.2 – Representação do torque impulsivo.

A impulsão é definida pela expressão

0

I T(t)dtγ

= ∫ (7.13)



A impulsão produz uma redução eqüivalente da quantidade de movimento do

motor, definida pela expressão (7.14).

mI J= ∆ω (7.14)

assim:

mIJ

∆ω = (7.15)

Do ponto de vista teórico, a impulsão produz uma redução instantânea da

velocidade, dada pela expressão (7.15). Assim, antes da impulsão a velocidade é dada

pela expressão (7.16). Após a impulsão é representada pela expressão (7.18).

( )0m

DeD De n−

ωω =

+ (7.16)

0 0m m m+ −

ω = ω −∆ω (7.17)

Assim:

( )0m

De ID De n J+

ωω = −

+ (7.18)

Após a redução da velocidade provocada pela impulsão, a velocidade do motor

começa a aumentar, obedecendo à equação (7.11) e com valor inicial 0m +

ω , com torque

de carga TL nulo. Vamos rescrever a equação mecânica, que passa a ser representada

pela expressão.

( )mm

dJ D De Dedt nω ω

+ + ω = (7.19)

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação (7.19). Assim:

( ) ( ) ( )0m m m

DesJ s J D De sn s+

ωω − ω + + ω = (7.20)



( ) 0mm

DeJ nsD De D Des s s

J J

+

⋅ωω⋅ω = +

+ + + +

(7.21)

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos a expressão .

( ) ( ) 0

D De D Det tJ J

m mDet 1 e e

D De n +

+ + − −

ωω = − +ω +

(7.22)

Assim:

( ) ( )

D De tJ

mDe It e

D De n J

+ − ω

ω = −+

(7.23)

A evolução da velocidade em função do tempo está representada na Fig. 7.3.

ttt0 f+

ωm

D(D+De) n

ω

ωm0+

Fig. 7.3 – Evolução da velocidade após um torque impulsivo.

O motor readquire a sua velocidade quanto t = tf

f m5Jt ~ 5

D De≅ τ =

+ (7.24)

A freqüência dos impactos é definida pela expressão (7.25).

máxf

1 D Deft 5J

+= = (7.25)

A quantidade máxima de impactos aumenta na medida em que a inércia do

conjunto diminui.



Vamos a seguir determinar a forma da corrente estatórica da máquina durante

o transitório imposto pela carga. A corrente em regime permanente é dada pela

expressão (7.26), estabelecida no capítulo VI.

( )

RR S

S22R

S S R SR

R j vsi

RR j j ms

+

+

+ ω =

+ ω + ω +ω

L

L L (7.26)

Multiplicando-se o numerador e o denominador por s encontrarmos a

expressão (7.27).

( )

( ) ( )R R S

S 22S S R R SR

R j s vi

R j R j s s m+

+

+ ω=

+ ω + ω + ω

LL L

(7.27)

Como s ≅ 0 encontramos:

( )

( )R R S

SR S S

R j s vi

R R j+

+

+ ω=

+ ω

LL (7.28)

mns ω− ω=

ω (7.29)

Assim:

( )( )

( )R R m S

SR S S

R j n vi

R R j+

+

+ ω− ω=

+ ω

LL (7.30)

Levando-se a expressão (7.23) na expressão (7.30) obtém-se a expressão .

( )( )

D De tJ

R R S

SR S S

De nR j Ie vD De J

iR R j

+

+

+ −

+ ω− ω− + =

+ ω

L

L (7.31)

Sv+ e Si +

estão relacionados com o valor de pico dos valores de fase pela mesma

constante de proporcionalidade.



Assim o valor de pico da corrente de fase passa a ser representado pela

expressão (7.32).

( )( )

( )p

p

2D De t2 2 JR R

SS 2 22

RS S

De nR IeD De J v

i tRR

+ −

+ ω− ω+ + = ⋅

+ω

L

L (7.32)

Na Fig. 7.4 está representada a corrente do estator em função do tempo, cuja

envoltória é representada pela expressão (7.32).

i (t)

t

s

t0

Fig. 7.4 – Comportamento da corrente de estator durante o torque impulsivo.

7.3 TRANSITÓRIO MECÂNICA DE PARTIDA

Seja a Fig. 7.5. Nela estão representados o torque produzido pelo motor e o

torque oferecido pela carga, TE e TL respectivamente, em função da velocidade.

0

TE

TL

T( )∆ ωm

ωm

ωn

Fig. 7.5 – Característica de torque-velocidade de um motor de indução (TE) e de uma carga (TL).



( )m E LT T T∆ ω = − (7.33)

Ignorando o torque de atrito, o comportamento dinâmico obedece à expressão

(7.34).

mE L

dT T Jdtω

− = (7.34)

ou

( ) mm

dT Jdtω

∆ ω = (7.35)

que é uma equação diferencial de primeira ordem não linear. Vamos estabelecer um

método gráfico para resolvê-la.

Podemos escrever:

( ) m

m

Jdt dT

= ω∆ ω

(7.36)

( )

m

mm0

Jt dT

ω

= ω∆ ω∫ (7.37)

A expressão (7.37) determina o tempo necessário para a velocidade evoluir de

zero até ωm.

A partir da Fig. 7.5 podemos obter a curva representada na Fig. 7.6.

0ωmω

n

T( )∆ ωm

J

ωm1

Fig. 7.6 – Curva para o cálculo do tempo de aceleração na partida do motor de indução.



Portanto a área hachurada na Fig. 7.6 representa o tempo necessário para a

velocidade evoluir até ω1m . Assim, para cada valor de ωm pode-se determinar

graficamente o respectivo valor de t e obter a função ( )ωm t , como está representada

na Fig. 7.7.

t

ωm

ωn

Fig. 7.7 – Velocidade angular em função do tempo.

Com o método descrito, apesar de sua simplicidade, obtém-se resultado

satisfatórios e por isto é de grande interesse prático.

Conhecendo-se a função ( )ωm t , pode-se estabelecer a função ( )iS t com o

emprego da expressão (7.32).




1) Considere um motor de indução com os seguintes parâmetros:

J = 2,63 x 10-2 kg . m2 (inércia)

D = 2,60 x 10-2 kg . m2/s (atrito)

n = 4 (pares de pólos)

f = 60Hz (freqüência de alimentação)

mSR = 265 mH

RS = 2,0 Ω

RR = 3,0 Ω

LS = 275 mH

LR = 275 mH

vS = 220 V (tensão de fase)

O motor inicialmente funciona a vazio. Sofre a ação de um torque impulsivo

cujo valor I = 0,5 N.m. Determinar a resposta que o motor apresenta, em velocidade e

corrente.

CAPÍTULO

8 ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS

TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO

8.1 TRANSITÓRIO ELÉTRICO DE PARTIDA

Vamos considerar o caso de um motor de indução com constante de tempo

mecânica muito maior que as constantes de tempo elétricas. O motor encontra-se em

repouso quando é subitamente alimentado por tensões senoidais balanceadas. Como

conseqüência da diferença entre as constantes de tempo, o transitório das correntes se

estingue antes que o motor comece a girar. Assim a análise será feita para velocidade

nula.

Seja:

( )1S Sv 2v sen t= ω (8.1)

( )2

oS Sv 2v sen t 120= ω − (8.2)

( )3

oS Sv 2v sen t 120= ω + (8.3)

Assim:

( )S Sv 3v cos tα= ω (8.4)

( )S Sv 3v sen tβ= ω (8.5)

Seja o modelo do motor em componentes simétricas instantâneas.

+ +

+

S S SRS S

RSR R R

R p j m p jv i0 i

m p j j R p j j

+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

i i

i i i i

L

L (8.6)

140 CAPÍTULO 8. ESTUDO ANALÍTICO DE ALGUNS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS DO MOTOR DE INDUÇÃO


Como o motor encontra-se em repouso θi = 0. Colocando-se o referencial no

estator tem-se Ψi

= 0.

Assim:

+ +

+

S SS S SR

RSR R R

v iR p pm0 ipm R p

+ = +

LL (8.7)

O modelo está representado pelo circuito a seguir.

RS RR

mSR


vS+

i S+i R+

Fig. 8.1 – Circuito eqüivalente para o motor de indução com operação balanceada.

Todos os parâmetros estão referidos ao primário.

Seja:

S = LS - mSR (dispersão primária)

R = LR - mSR (dispersão secundária)

como S e R são muito menores que mSR, a presença desta última indutância será

ignorada. Assim o circuito adquire a configuração representada na Fig. 8.2.

RS RRS R

vS+

i S+

Fig. 8.2 – Circuito eqüivalente para o motor de indução simplificado.

O modelo então passa a ser:

( ) ( )+ + +S S R S S R Sv R R i p i= + + + (8.8)



Seja:

S RR R R= + (8.9)

S R= + (8.10)

Assim:

+ + +S S Sv Ri p i= + (8.11)

Aplicando-se a transformação de Laplace, obtém-se:

( ) ( )+

+

SS

v s 1i sRs

= +

(8.12)

( )+S S S1v v jv2 α β

= + (8.13)

( ) ( )( )+S S

3v v cos t jsen t2

= ω + ω (8.14)

Assim:

+

j tS S

3v v e2

ω= (8.15)

Assim:

( )+

SS

v3v s2 s j

=− ω

(8.16)

Levando-se (8.16) em (8.12) obtém-se (8.17):

( )( )

+

SS

v3 1i sR2 s j s

= − ω +

(8.17)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.18).



( ) ( )+

R tj tS S

3 1i t v e e2 R j

−ω = − + ω

(8.18)

0j2 2 2R j R e φ+ ω = +ω (8.19)

onde

10 tan

R− ω φ =

(8.20)

Assim:

( ) ( ) 00

+

R t jj tSS 2 2 2

v3i t e e2 R

− − φω −φ = −

+ω (8.21)

Por outro lado:

( ) ( ) ( )d + +S S Si t 2 Re i t i t= = Parte real (8.22)

Assim:

( ) ( ) ( )d

R tS

S 0 02 2 2

vi t 3 cos t e cosR

− = ω −φ − φ

+ω (8.23)

mas,

d 1S S

3i i2

= (8.24)

Assim:

( ) ( ) ( )1

R tS

S 0 02 2 2

2vi t cos t e cosR

− = ω −φ − φ

+ω (8.25)

A expressão (8.25) representa a corrente transitória na fase 1 do motor. Possui

uma componente cosenoidal e uma exponencial. A sua forma está representada na

Fig. 8.3.



t

iS1

Fig. 8.3 – Corrente transitória na fase 1 um do motor de indução.

Após o transitório a corrente é limitada somente pelas resistências do estator e

do rotor e pelas reatâncias de dispersão do motor.

A constante de tempo elétrica é muito pequena. Consideremos a título de

exemplo os seguintes valores:

S R

S R

R R 2,0X X 4,0

+ ≅ Ω+ ≅ Ω

(8.26)

Assim:

S R 10,6mH+ = = (8.27)

Assim:

e10,6 5,3ms

R 2,0τ = = = (8.28)

Supondo que o transitório elétrico esteja terminado após cinco constantes de

tempo, tem-se:

et 5 26,5ms∆ = τ = (8.29)

Assim o transitório tem uma duração aproximada de dois ciclos da rede. É

muito rápido e na maioria das vezes é desconsiderado.



8.2 CURTO-CIRCUITO TRIFÁSICO DO MOTOR DE INDUÇÃO

a) modelos básicos:

Vamos considerar um motor trifásico de indução alimentado pela rede e

acionando uma carga mecânica. Num determinado instante, quando t = 0, é

estabelecido um curto circuito trifásico nos seus terminais. Deseja-se expressar, em

função do tempo, a evolução das correntes nas fases.

O transitório elétrico de curto-circuito é muito rápido. Por isto, para efeito de

estudo, a velocidade do motor será considerada constante.

MOTOR

i (t)1

i (t)2

i (t)3

Fig. 8.4 – Representação de um curto-circuito trifásico em um motor de indução.

Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com

referencial preso no estator, de acordo com a expressão (8.30).

+ +

+

S S SRS S

RSR R R

R p pmv i0 i

m p jn R p jn

+ = − θ + − θ

i i

L

L (8.30)

Para facilitar a análise, a resistência do estator será inicialmente ignorada. Ela

influencia basicamente na forma de envoltória da corrente e o seu valor poderá ser

incluído no valor de RR. Seja ωθ =i

mn sendo ωm a velocidade do motor.

Durante o curto tem-se ωθ =i

mn . Assim o modelo adquire a forma de expressão

(8.31).

+

+

S SRS

RSR R R

p pm i0i0

m p jn R p jn

= − θ + − θ

i i

L

L (8.31)



Tomando-se a transformada de Laplace, obtém-se a expressão (8.32).

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ 0+ + 0+

+ 0+ + + 0+

S S S S SR R SR R

SR m S SR S R R R m R R R

s i s i sm i s m i0m s j i s m i R i s s j i s i0

− − = − ω − + − ω −

L LL L (8.32)

Da expressão (8.32) obtém-se a expressão (8.33).

( ) ( )( )( )

0++

0++

SS SR S S SR

RSR m R R m R SR R

is sm i s m0im s j R s j i s m0

= − − ω + − ω

L LL L (8.33)

Seja:

0 0+ 0+S S S SR Ri m i+

φ = +L (8.34)

0 0+ 0+R SR S R Rm i i+

φ = +L (8.35)

O modelo adquire então a forma da expressão (8.36).

( ) ( )( )( )

0+ +

0+ +

S S SR S

R SR m R R m R

s sm i sm s j R s j i s

φ = φ − ω + − ω

LL (8.36)

Portanto:

( )( ) ( ) ( )

0++

0++

1SS SRS

RSR m R R mR

s smi sm s j R s ji s

− φ = φ− ω + − ω

LL (8.37)

Invertendo a matriz Z e isolando-se a corrente ( )s+Si , obtém-se a expressão

(8.38).

( )( )

( )

0+ 0+

+

SRRm S R

R RS 2

S SRR S m

R R

mR s j si s

ms R s j s

+ − ω φ − φ

=

+ − − ω

L LL LL L

(8.38)

2

' SRS S

R

m= −L L L (8.39)



Assim:

( )( )

( )

0+ 0+

+

SRRm S R

R RS

'SR S m

R

mR s j si s

s R s j s

+ − ω φ − φ

=+ − ω

L LL LL

(8.40)

(b) correntes sem amortecimentos:

Para uma máquina ideal na qual não houvesse resistência, a energia inicial

acumulada no campo magnético não seria convertida em calor. Assim as correntes de

curto–circuito seriam senoidais, com valores de pico invariáveis ao longo do tempo.

Numa primeira etapa da análise, vamos determinar essas correntes.

Considerando RR = 0 na expressão (8.40), obtém-se a expressão (8.41).

( )( )

( )0+ 0+

+

SRm S R

RS '

S m

ms j si s

s j s

− ω φ − φ=

− ωL

L (8.41)

( ) ( )0+ 0+

+

S RSRS ' '

mS S R

mi ss js

φ φ= −

− ωL L L (8.42)

( ) ( )0+ 0+

+

S RSRS '

R mS

m1i ss s j

φ φ= − − ω LL

(8.43)

Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se a expressão (8.44).

( ) m

+ 0+ 0+

j tSRS S R'

RS

m1i t e ω = φ − φ

LL (8.44)

Para que a corrente ( )+Si t fique completamente conhecida, deve-se

estabelecer as expressões de 0+Sφ e

0+Rφ .

(c) cálculo dos fluxos iniciais:



Vamos considerar o motor inicialmente em regime permanente. É representado

pelas expressões (8.45).

( ) ( )

0+ 0+

0+

S SS S S S SR

RSR S m R R S m

v iR j j m0 ijm R j

+ ω ω = ω −ω + ω −ω

LL (8.45)

R S mω =ω −ω (8.46)

0+ 0+

0+

S SS S S S SR

RSR R R R R

v iR j j m0 ijm R j

+ ω ω = ω + ω

LL (8.47)

Da expressão (8.47) obtém-se as correntes iniciais representadas pelas


( )

( ) ( )0+

0+

R R R SS 2

R R R S S S S R SR

R j vi

R j R j m+ ω

=+ ω + ω +ω ω

LL L

(8.48)

( ) ( )

0+

0+

SR R SR 2

R R R S S S S R SR

jm vi =

R j R j m− ω

+ ω + ω +ω ωL L (8.49)

Levando-se as expressões (8.48) e (8.49) nas expressões (8.34) e (8.35),

obtém-se as expressões dos fluxos iniciais, representados por (8.50) e (8.51).

( )( )

( ) ( )0+

0

2S R R R SR R S

S 2R R R S S S S R SR

R j jm v

R j R j m+

+ ω − ωφ =

+ ω + ω +ω ω

L LL L

(8.50)

( )( )

( ) ( )0+

0

SR R R R R SR R SR 2

R R R S S S S R SR

m R j j m vR j R j m+

+ ω − ωφ =

+ ω + ω +ω ω

L LL L

(8.51)

Resta-nos determinar as tensões iniciais. Tomando-se a expressão (8.15) tem-

se:

S

+

j tS S

3v v e2

ω= (8.52)

Para t = 0, tem-se:



+S S

3v v2

= (8.53)

As expressões de fluxo inicial são muito complexas para serem levadas na

expressão (8.44). Porém algumas modificações podem ser feitas.

1) ωR ≅ 0

De fato, se o motor opera na região nominal, próximo da velocidade síncrona, a

pulsação rotórica é praticamente nula.

2) RS ≅ 0

Na região de escorregamento nominal a resistência do estator tem muito pouco

influência no comportamento do motor.

Com tais simplificações, os fluxos iniciais passam a ser representados pelas


0

SS

S

v32 j+

φ =ω

(8.54)

0

SR SR

S S

m v32 j+

φ =ω L (8.55)

Assim:

0

jS 2

SS

v3 e2+

π−

φ =ω

(8.56)

0

jSR S 2R

S S

m v3 e2+

π−

φ =ω L (8.57)

Levando-se (8.56) e (8.57) em (8.44), obtém-se a expressão (8.58).

( ) m

+

2 j tj 2S SR2S '

S RS S

v m3i t e e2

π π ω −−

= −

ω L LL (8.58)

Por outro lado, a partir da expressão (8.22) obtem-se:



( ) ( )( )d +S Si t 2 Re i t= (8.59)

Assim:

( ) ( )d

2S SR

S m'S RS S

v mi t 3 sen t= − ωω L LL

(8.60)

Da expressão (8.24) tem-se:

1 dS S

2i i3

= (8.61)

Assim:

( ) ( )1

2S SR

S m'S RS

v mi t 2 sen tX

= − ωL L (8.62)

onde:

( )1Si t ⇒ corrente na fase 1 do motor.

' 'S S SX = ω L ⇒ reatância transitória.

'SL ⇒ indutância transitória.

A partir da expressão (8.62) pode-se estabelecer duas conclusões

importantes:

(a) a freqüência da corrente de curto-circuito é proporcional à velocidade do motor.

(b) o pico da corrente de curto circuito é limitado pela reatância transitória do motor.

Para se conhecer completamente a corrente de curto-circuito, deve-se

determinar a lei de decrescimento com o tempo. A expressão (8.62) estabelece a

corrente que existiria sem as resistências.

(d) cálculo da corrente de curto-circuito com amortecimento:

Vamos considerar a expressão (8.63), na qual está incluída a resistência

do rotor do motor.



( )( )

( )

0+ 0+

+

SRRm S R

R RS

'SR S m

R

mR s j si s

s R s j s

+ − ω φ − φ

=+ − ω

L LL LL

(8.63)

O denominador pode ser reescrito segundo a expressão (8.64):

' SRS m '

R S

Rs s j

∆ = − ω +

LL L L (8.64)

Seja:

'

' S R

S RRζ =

L LL (8.65)

Assim:

'S m '

1s s j

∆ = − ω − ζ L (8.66)

onde 'ζ é definido como a constante de tempo de curto-circuito do motor.


(8.67).

( )( )

0+ 0+

+

SRRm S R

R RS

'S m '

mR s j si s

1s s j

+ − ω φ − φ

= − ω − ζ

L L

L (8.67)

Os fluxos iniciais já foram estabelecidos e estão representados pelas


0

jS 2S

S

v3 e2+

π−

φ =ω

(8.68)

0

jSR S 2

RS S

m v3 e2+

π−

φ =ω L (8.69)



Levando-se as expressões (8.68) e (8.69) na expressão (8.67), obtém-se a

expressão .

( )+

2SR R

mj R S RS 2

S 'S S

m '

m Rs 1 jv3i s e

2 1s s j

π−

− − ω +

= ω − ω − ζ

L L LL

(8.70)

Como:

2

SR

R S

m 1=L L (8.71)

Assim:

( )+

Rj m2S R

S 'S

m '

R jv e3i s

2 X 1s s j

π− − ω

= − ω − ζ

L (8.72)

Seja:

Rm

R

m 'm '

R jA Bs 11 s js s j

− ω= +

− ω −− ω − ζζ

L (8.73)

Assim:

R Rm m

R R

S Rm m''

RS

R Rj jA 1 Rj j

− ω − ω= =

− ω − ωζ

L LL

LL

(8.74)

Rm

R

m '

R jB A1j

− ω= = −

ω −ζ

L (8.75)



Levando-se as expressões (8.74) e (8.75) na expressão (8.76) obtém-se a

expressão .

( )+

Rj m2S R

S 'S RS

m' m 'RS

R jv e3 1 1i s R2 s 1X j s j

π−

− ω

= − − ω − ω − ζ

LL

LL

(8.77)

mas,

Rm

R

S Rm'

RS

R j1R j

− ω≅

− ω

LL

LL

(8.78)

Assim:

( )+

j2

SS '

Sm '

v e3 1 1i s2 s 1X s j

π−

= −

− ω − ζ

(8.79)

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se a expressão .

( )m '

+

j 1j t2S

S 'S

v e3i t 1 e2 X

π −ω − ζ

= −

(8.80)

( ) m '

+

1 tj tj 2S 2S '

S

v3i t e e e2 X

π π −ω −− ζ

= −

(8.81)

como:

( ) ( ) d +S Si t 2 Re i t= (8.82)

obtém-se:

( ) ( ) '

d

1 tS

S m'S

vi t 3 sen t eX

−ζ= ω (8.83)



Portanto a corrente na fase 1 do motor é representada pela expressão (8.84).

( ) ( )'

1

1 tS

S m'S

vi t 2 e sen tX

−ζ= ω (8.84)

A forma da corrente está representada na Fig. 8.5.

0

2 Vs

X s

2πω s

2πωm

sζ

2 i (0)s1

Fig. 8.5 – Formato da corrente de curto-circuito na fase um.

Vamos fazer um comentário adicional sobre a constante de tempo de curto-

circuito.

'

' S R

S RRζ =

L LL (8.85)

RR

RRζ =

L (8.86)

onde ζR é definida como constante de tempo de circuito aberto.

Assim:

'

' SR

S

ζ = ζLL (8.87)

Durante o curto-circuito o motor pode ser representado pelo circuito equivalente

mostrado na Fig. 8.6.



RR

vS1

i S1

LS

Fig. 8.6 – Circuito equivalente para o motor para análise de curto-circuito.

A tensão 1

'sv tem um valor de pico igual a s2v .

Como LS ≅ LR quando os parâmetros estão referidos ao estator, pode-se

afirmar que:

'

' S

RRζ =

L (8.88)

(e) comentários sobre a reatância transitória:

A indutância transitória é definida pela expressão (8.89).

2

' SRS S

R

m= −L L L (8.89)

mas:

S S SRam= +L (8.90)

R SRR 2

ama+

=L (8.91)

onde:

a ⇒ relação de transformação entre os enrolamentos do estator e do rotor.

S ⇒ indutância de dispersão do estator.

R ⇒ indutância de dispersão do rotor referido ao estator.

Assim:



22

' SRS S SR

R SR

a mamam

= + −+

L (8.92)

Multiplicando-se convenientemente os termos por ωS, obtém-se:

2 22

' S SRS S S S S SR

S R S SR

a ma mam

ωω =ω + ω −

ω +ωL (8.93)

Assim:

2

' mS S m

R m

xX x xx x

= + −+

(8.94)

Portanto a reatância transitória pode ser facilmente determinada, a partir dos

ensaios a vazio e de rotor bloqueado.

Convém observar que 'SX é relativamente baixa. Tomemos os seguintes valores

numéricos como exemplos:

xS = 1Ω

xR = 1Ω

xm = 100Ω

Assim:

'SX =1Ω

8.3 TENSÃO RESIDUAL

Há certos tipos de cargas, como por exemplos bombas de refrigeração de

centrais térmicas, que não podem ser paralisadas mesmo por tempo muito curto. Essas

cargas em geral, são acionadas por motores trifásicos de indução.

Nesses casos, dispõe-se de duas fontes de alimentação. Quando a fonte

principal falha, o motor automaticamente passa a ser alimentado por uma fonte de

emergência.



Quando a fonte principal é interrompida, existe fluxo magnético no motor. Estes

fluxos geram tensões nos enrolamentos do estator, enquanto ele permanece aberto.

Essas tensões são conhecidas com o nome de tensões residuais.

Se a fonte auxiliar for conectada imediatamente após a falha da fonte principal

e se as tensões da fonte e as tensões residuais estiverem com defasamento

inadequado, podem ser produzidos transitórios de correntes e de torques capazes de

danificar o motor. Uma solução possível para resolver esse tipo de problema,

consistem em instalar relés controlados por tensão. Somente quando as tensões

residuais atingirem valores iguais a 25% da tensão de alimentação, a fonte auxiliar é

conectada ao motor.

Neste item será obtida uma expressão aproximada, analiticamente, para

representar as tensões residuais geradas pelo motor.

Consideremos o modelo do motor de indução sob a forma de componentes

simétricas instantâneas, representado pela expressão (8.95). O referencial será

colocado no estator.

+ +

+

S S SRS S

RSR R R

R p pmv i0 i

m p jn R p jn

+ = − θ + − θ

i i

L

L (8.95)

Durante o transitório a corrente do estator +Si é nula. Assim o modelo passa a

ser representado pelas expressões (8.96) e (8.97). A velocidade ωm será considerada

constante.

+ +S SR Rv pm i= (8.96)

+ + +R R R R m R R0 R i p i j i= + − ωL L (8.97)

Para se conhecer a tensão do estator em função do tempo, deve-se conhecer a

corrente do rotor, que é obtida a partir da solução da equação (8.97).

Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão (8.97) obtém-se a

expressão (8.98).



( ) ( ) ( )+ + + +R R R R m R R R R00 R i s s i s j i s i= + − ω −L L L (8.98)

Assim:

( ) +

+

R0R

Rm

R

ii s

Rs j=

+ − ω L

(8.99)

Passando para o domínio tempo, obtém-se a expressão .

( )R

mR

+ +

R j t

R R0i t i e

− − ω = L (8.100)

Para se conhecer a tensão do estator, a expressão (8.96) é levada na

expressão (8.100) resultando na expressão (8.101).

R

mR

+ +

R j t

S SR R0dv m i edt

− − ω

=

L (8.101)

Assim:

R

R m

+ +

R tj tR

S SR m R0R

Rv m j i e e−

ω = ω −

L

L (8.102)

O valor inicial da corrente do rotor, definido pela expressão (8.49) é

representado pela expressão (8.103).

( ) ( )

0+

0+

SR R SR 2

R R R S S S S R SR

jm vi =

R j R j m− ω

+ ω + ω +ω ωL L (8.103)

0+S S

3v = v2

(8.104)

Assim:

( ) ( )0+

SR R SR 2

R R R S S S S R SR

jm v3i =2 R j R j m

− ω+ ω + ω +ω ωL L

(8.105)



Vamos tomar:

ωR ≅ 0 e RS ≅ 0

Assim:

0+

SR R SR

R S S

m v3i = -2 R

ωω L (8.106)


(8.107).

( )R

R m

+

R2 tj tS SR R R

S mS S R R

v m3 Rv t j e e2 R

−ω ω

= − ω ω L

L L (8.107)

ou

( ) ( )R

R m

+

R2 tj tS SR R

S R m RS S R R

v m3v t R j e e2 R

−ωω

= − ωω

LLL L (8.108)

RR

RRζ =

L ⇒ constante de tempo de circuito aberto.

R2 2 2 jR m R R m RR j R e− θ− ω = +ωL L (8.109)

1 m RR

R

tgR

− ωθ =

L (8.110)

Assim:

( ) ( ) m RR

+

t22 2 2 j tS SR R

S R m RS S R R

v m3v t R e e2 R

−ω −θζω

= +ωω

LL L (8.111)

Por outro lado,

2

SR

R S

m 1≈L L (8.112)

Assim:



( ) ( ) ( )R

+

t2 2R

S S m R m RS

3v t v 1 e cos t2

−ζω

= +ω ζ ω −θω

(8.113)

Em geral, a constante ζR é importante e a hipótese de que a velocidade do

motor se mantém invariável não é válida.

Se o motor inicialmente gira a vazio tem-se ωm ≅ ωS, sendo ωS a velocidade

síncrona.

Se o motor estivesse girando com velocidade síncrona, acionada por uma

máquina auxiliar, ωR seria nula, não havendo correntes rotóricas e consequentemente

não existiria correntes rotóricas e consequentemente não existiria tensão residual.

O estudo rigoroso de tensão residual não pode ignorar a equação mecânica e

só é possível através de simulação.

CAPÍTULO

9 MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO

9.1 VARIÁVEIS DQ

Seja as equações elétricas do motor de indução, escritas sob a forma de

variáveis dq, para um referencial genérico, representados pela expressão (9.1).

d d

q q

d d

q q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS S

R RSR SR R R R

R R

SR SR R R R

R p n pm m nv i

n R p m n pmv i

v ipm m n R p n

v i

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(9.1)

As equações (9.1) podem ser reescritas segundo as expressões (9.2).

d d

q q

d d

q q

S SS SR

S SS SR

SR RR R

SR RR R

S S SR

S S SR

SR R R

SR R R

v i0 m 0v i0 0 m

pm 0 0v i

0 m 0v i

R n 0 m n

n R m n 0

0 m n R n

m n 0 n R

• •

• •

• • • •

• • • •

= + − Ψ − Ψ

Ψ Ψ+

− Ψ−θ − Ψ−θ

Ψ−θ Ψ−θ

LL

LL

L

L

L

L

d

q

d

q

S

S

R

R

i

i

i

i

(9.2)

Assim:

p= +4 3v Z i Z i (9.3)



p 4 3Z i -Z i v= + (9.4)

p -1 -14 3 4i -Z Z i Z v= + (9.5)

onde:

S SR

S SR

SR R

SR R

0 m 00 0 m

m 0 00 m 0

4Z

LL

LL

= (9.6)

R SR

R SR2

SR SS R SR

SR S

0 m 00 0 m

m 0 0m0 m 0

− − −− −

4Z

LL

LL LL

-1 1= (9.7)

S S SR

R SRS S SR

R SR

SR SSR R R

SR S

SR R R

R n 0 m n

0 m 0n R m n 0

0 0 m1m 0 0

0 m n R n0 m 0

m n 0 n R

• •

• •

• • • •

• • • •

− Ψ − Ψ

− Ψ Ψ − = −σ − Ψ− θ − Ψ− θ −

Ψ− θ Ψ− θ

-14 3Z Z

L

LLL

L LL

L

(9.8)

onde:

2R S SR

1 1m

=σ −L L

(9.9)

Substituindo-se as expressões (9.7), (9.8) e (9.9) na expressão (9.5), encontra-

se a expressão (9.10).

162 CAPÍTULO 9. MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO


d

q

d

q

S R

S R SR R SR R2SR

S R

S S R SR R SR R2SR

S

RS R

SR S SR S R SR2

SR

S R

SR S SR S2

SR

nR m R m n

m n

ni R m n m R

m ni 1pi n

m R m n Rim n

nm n m R

m

•

•

• •

•

•

• •

• •

•

•

• •

•

Ψ +− θ − Ψ−θ

− Ψ + − − θ + Ψ−θ

= σ Ψ−θ + − θ −

− Ψ

− Ψ−θ + θ

+

L LL L

L LL L

L LL L

L LL

d

q

d

q

S

S

R

R

R S

i

i

i

i

R

n•

+

− Ψ

L

d

q

d

q

SR SR

SR SR

SR S R

SR S R

v0 m 0v0 0 m1

m 0 0 v0 m 0 v

− − + −σ −

LL

LL

(9.10)

As expressões (9.10) representam as equações elétricas da máquina sob a

forma de estado. Caso se deseje o referencial no estator, basta fazer 0Ψ =i

. No

modelo está incluído o número de pares de pólos n. Para o rotor em curto-circuito,

toma-se d qR Rv = v 0= .

Para a equação mecânica tem-se:

LTe Jp D T= θ+ θ+i i

(9.11)

Assim:

LTe D TpJ J J

θ = − θ−i i

(9.12)

mas,

( )q d d qSR S R S RTe nm i i i i= − (9.13)



Portanto:

( )q d d q

SR LS R S R

nm D Tp i i i iJ J J

θ = − − θ−i i

(9.14)

9.2 VARIÁVEIS COMPONENTES SIMÉTRICAS INSTANTÂNEAS

Seja as equações elétricas do motor, escritas sob a forma de componentes

simétricas instantâneas para um referencial genérico, representada pela expressão

(9.15).

+ +

+ +

S S SRS S

R RSR R R

R p jn m p jnv iv i

m p jn jn R p jn jn

+ + Ψ + Ψ = + Ψ− θ + + Ψ− θ

i i

i i i i

L

L (9.15)

A expressão (9.15) é reescrita e passa a ser representada pela expressão

(9.16).

+ + +

+ + +

S S SRS S SS SR

R R RSR RSR R R

R jn jn mv i im

pv i im jn m R jn

+ Ψ Ψ = + Ψ−θ + Ψ−θ

i i

i i i i

LL

L L (9.16)

Assim:

p= +4 3v Z i Z i (9.17)

p -1 -14 3 4-Z Z i Z vi = + (9.18)

Onde:

S SR

SR R

mm

=

ZL

L4 (9.19)

164 CAPÍTULO 9. MODELOS DE ESTADO PARA O MOTOR DE INDUÇÃO


S S SR

SR R R

R jn jn m

jn m R jn

+ Ψ Ψ = Ψ− θ + Ψ− θ

Z

i i

i i i i

L

L3 (9.20)

1 R SR2

SR SS R SR

m1mm

− − = −−

ZL

LL L4 (9.21)

Assim:

+ +

+ +

S S SRS SR SR R SR

R RSR S SR SSR R R

R jn jn mi vm m1 1p i vm mjn m R jn

+ Ψ Ψ − − = − + − −σ σ Ψ−θ + Ψ−θ

i

i i

i i i i

LL L

L LL(9.22)

+

+

R S S R SR

2SR R RSR

S R

R2SR S S SR

S R RSR S

R jn j n m

m R jnm jni1 1p i

m R jn jn m

R jnjn m

+ Ψ + Ψ + − + Ψ−θ − Ψ−θ − = − + σ σ − + Ψ + − Ψ + + + Ψ−θ + Ψ−θ

i

i i

i ii i

i i

i ii i

L L L

LL

L

L LL

+

+

SSR

RSR S

vmvm − L (9.23)

onde:

2R S SR

1 1m

=σ −L L

(9.24)

Portanto:

pi Ai Bv= + (9.25)

2S R R S SR R SR SR R

2S SR SR S SR R S S R

R jn jn m R m jn m1

R m jn m jn m R jn

− − Ψ + Ψ−θ − θ = σ + θ Ψ − − Ψ−θ

A

i i i i

i i i i

L L L L

L L L L (9.26)



R SR

SR S

m1m

− = −σ

BL

L (9.27)

Em seguida será tratada a equação mecânica.

( )SR S RTe 2nm i i+ −

= I (9.28)

Assim:

LTe Jp D T= θ+ θ+i i

(9.29)

LTe D TpJ J J

θ = − θ−i i

(9.30)

Caso se deseje o referencial colocado no estator, basta fazer 0Ψ =i

.

CAPÍTULO

10 MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTUBAÇÕES

10.1 INTRODUÇÃO

No capítulo VII foi estabelecido um método para estudo da resposta do motor

de indução submetido a perturbações no torque, baseado no fato de que nos motores

normais a constante de tempo mecânica é muito maior que as constantes tempo

elétricas. Naquela situação, o emprego das equações elétricas de regime permanente

para obtenção das correntes e do torque elétrico levava a resultados suficientemente

precisos na análise do transitório de partida e das respostas à pequenas perturbações

na região normal de operação.

Contudo, quando se trata de máquinas de momentos de inércia baixos, como

aqueles destinados a sistemas de controle, tais aproximações não podem ser feitas,

pois conduzem a erros não aceitáveis.

Neste capítulo serão estabelecidos modelos linearizados destinados a

estabelecer a resposta dos motores de indução submetidos a perturbações no torque

de carga ou na tensão de alimentação de pequenas amplitudes, capazes de

representar satisfatoriamente os motores de baixa inércia.

10.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES

Como modelo inicial será empregado aquele obtido através da transformação

de PARK, representado pelas expressões (10.1) e (10.2).

Será utilizado o referencial colocado no campo girante. Com isto, para tensões

de alimentação senoidal, obtém-se valores iniciais das tensões e das correntes com

maior facilidade, por serem constantes.



d d

q q

d d

q q

S S S SR SR

S S

S S S SR SRS S

R RSR SR R R R

R R

SR SR R R R

R p n pm m nv i

n R p m n pmv i

v ipm m n R p n

v i

m n pm n R p

• •

• •

• • • •

• • • •

+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +

L L

L L

L L

L L

(10.1)

( )q d d qSR S R S RT nm i i i i= − (10.2)

A expressão mecânica é representada pela expressão (10.3).

LT Jp D T= θ+ θ+i i

(10.3)

Normalmente o torque de atrito será desconsiderado. Assim:

( )q d d qL SR S R S RT Jp nm i i i i= − θ+ −i

(10.4)

A expressão (10.1) é reescrita segundo a expressão (10.5).

Sp n= ω θ1 2 3v Ri + L i + L i + L ii

(10.5)

onde:

S nω = Ψi

(pulsação da alimentação)

Ψi

= velocidade do referencial igual à velocidade síncrona.

Sendo:

S

S

R

R

R 0 0 00 R 0 0

R 00 00 R0 0

=

R (10.6)

168 CAPÍTULO 10. MODELO DO MOTOR DE INDUÇÃO PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES


S SR

S SR

SR R

SR R

0 m 00 0 m

m 0 00 m 0

=

1L

LL

LL

(10.7)

S SR

S SR

SR R

SR R

0 0 m0 m 0

0 m 0m 0 0

− − = − −

2L

LL

LL

(10.8)

SR R

SR R

0 0 0 00 0 0 0

0 m 0m 0 0

= − −

3L LL

(10.9)

Consideremos o motor inicialmente em regime permanente com velocidade

constante. Uma perturbação é introduzida no torque de carga ou nas tensões de

alimentação. As equações (10.5) tornam-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sp n ∆ = ∆ ∆ ω ∆ θ+∆θ ∆ 1 2 3v + v R i + i + L i + i + L i + i + L i + ii i

(10.10)

Desenvolvendo a expressão (10.10) obtém-se:

S Sp p n n n n∆ = ∆ ∆ ω ω ∆ θ θ ∆ ∆θ ∆θ ∆1 1 2 2 3 3 3 3v + v Ri + R i + L i + L i + L i + L i + L i + L i + L i + L ii i i i

(10.11)

Subtraindo-se a expressão (10.11) da expressão (10.5) e anulando-se os

produtos de segunda ordem obtém-se:

Sp n n∆ = ∆ ∆ ω ∆ θ ∆ ∆θ01 2 3 3 0v R i + L i + L i + L i + L ii i

(10.12)

onde:

θ0

i= velocidade inicial do motor.

0i = correntes iniciais do motor.



Assim:

Sp n n ∆ = ω θ ∆ ∆θ

01 2 3 3 0v R + L + L + L i + L ii i

(10.13)

O mesmo procedimento será adotado para o torque.

LT Jp Te= − θ+i

(10.14)

L LT T Jp Te Te + ∆ = − θ+∆θ + +∆

i i (10.15)

Assim:

LT Jp Te∆ = − ∆θ+∆i

(10.16)

Calculemos o torque ∆Te.

( )q d d qSR S R S RTe nm i i i i= − (10.17)

( ) ( ) ( ) ( )( )q q d d d d q qSR S S R R S S R RTe Te nm i i i i i i i i+∆ = +∆ +∆ − +∆ +∆ (10.18)

Assim:

( )q d d q d q q dSR S0 R S0 R R0 S R0 STe nm i i i i i i i i∆ = ∆ − ∆ + ∆ − ∆ (10.19)

onde qS0i ,

dS0i , qR 0i e

dR 0i representam as correntes iniciais.

Levando-se a expressão (10.19) na expressão (10.16), obtém-se a expressão

(10.20).

( )q d d q d q q dL SR S0 R S0 R R0 S R0 ST Jp nm i i i i i i i i∆ = − ∆θ+ ∆ − ∆ + ∆ − ∆i

(10.20)

Reunindo-se as equações (10.13) e (10.20), obtém-se as equações .



d

qq

qd

dq

d

S S S S SR S SR

S S S S S SR SRS

SR S0S0 0SR SR S R R R S

R R0R

SR S0R0 0SR S SR R S R R

R R0L

R p pm m 0R p m pm 0v

nm iv pm m n R p nn iv

nm ivm n pm n R p

n iT

• •

• •

+ −ω −ωω + ω∆

+∆ − ω − θ + − ω − θ + ∆ = +∆ ω − θ ω − θ + − + ∆

L LL L

L L L

L L L

d

q

d

q

q d q d

S

S

R

R

SR R0 SR R0 SR S0 SR S0

i

i

i

i

nm i nm i nm i nm i Jp

∆

∆ ∆

∆

∆θ− − −

i

Seja:

d

q

d

q

S

S

R

R

vv

vv

∆ ∆

∆ ∆ ∆

v = (10.22)

d

q

d

q

S

S

R

R

ii

ii

∆ ∆

∆ ∆ ∆

i = (10.23)

0 0

0 0

S S S S SR

S S S S SR

R SR R R R

R SR R R R

R 0 mR m 0

0 m Rm 0 R

−ω −ω ω ω = −ω −ω ω ω

1Z

LL

LL

(10.24)

0R S nω = ω − θ

i (10.25)

q d q d2 SR R0 SR R0 SR S0 SR S0nm i nm i nm i nm i = − − Z (10.26)

( )q q

d d

3SR S0 R R0

SR S0 R R0

00

nm i n i

nm i n i

= + − +

Z LL

(10.27)



S SR

S SR

SR R

SR R

0 m 00 0 m

m 0 00 m 0

=

4Z

LL

LL

(10.28)

Assim:

TL

pT J

∆ ∆ ∆ = + ∆ ∆θ ∆θ

1 3 4

2

i iv Z Z Z 0Z 0 0 -i i (10.29)

As equações (10.29) representam o motor nas situaçòes em que o torque de

carga TL ou as tensões de alimentação sofrem perturbações de pequenas amplitudes.

O modelo é linear e útil no estudo da estabilidade local do motor de indução.

Vamos em seguida representar o modelo (10.29) segundo a expressão (10.30).

p = +X AX BU (10.30)

Isolando-se a esquerda do sinal de igualdade o termo que contém o símbolo de

derivação encontramos a expressão (10.31).

TL

p J T

∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆θ ∆θ

4 1 3

2

i iZ 0 v Z Z0 - Z 0i i (10.31)

Assim:

1 1

T TL

p 1 1TJ J

− − ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆θ ∆θ

4 41 3

2

Z 0 Z 0i iv Z ZZ 00 - 0 -

i i (10.32)

1 11

TL

p 1 T 0J J

− −− ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆θ ∆θ

4 1 4 34

2

Z Z Z ZZ 0i ivZ0 - -

i i (10.33)

As equações (10.33) estão na forma de estado e são úteis na realização de

vários estudos inclusive de estabilidade do motor.



Nas perturbações usuais as tensões estatóricas permanecem constantes

enquanto que as tensões rotóricas se mantém nulas. Nestes casos ∆v = 0. O modelo

passa a ser representado pela equação (10.34).

1 1

L

0p T

0JJ

− − ∆ ∆ = − + ∆ ∆θ ∆θ

4 1 4 3

2

-Z Z -Z Zi iZi i (10.34)

APÊNDICE

CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO

(A) TRANSFORMAÇÃO REAL

Seja uma estrutura genérica representada na Fig. 1.

+-v1

i1

+-v2

i2

+-v3

i3

+-vn

in

Fig. 1 – Estrutura genérica.

Seja:

1

2

3

n

iiii

i = (1)

1

2

3

n

vvvv

v = (2)

A potência envolvida é definida genericamente pela expressão (3).

tP = v i (3)

Seja:

-1T =v A v (4)

174 APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO


-1T =i A i (5)

Onde A-1 é uma matriz real n x n.

vT e IT representam os vetores tensão e corrente transformados pela matriz A-1.

Das expressões (4) e (5) obtém-se:

T=v Av (6)

T=i Ai (7)

tt tT=v v A (8)

Levando-se as expressões (7) e (8) na expressão (3) obtém-se:

t tT TP = v A Ai (9)

Seja:

tT T TP = v i (10)

Assim, para que PT = P é necessário que:

t =A A I (11)

ou

t -1=A A (12)

Portanto para que a potência seja a invariante, é necessário que a

transformação seja ortogonal.

(B) TRANSFORMAÇÃO COMPLEXA

Quando as variáveis são complexas, a potência é definida pela expressão (13).

tP = ∗i v (13)


Seja:

-1T =v A v (14)

-1T =i A i (15)

Assim:

T=v Av (16)

T=i Ai (17)

tt tT=i i A (18)

tt tT=∗ ∗i i A (19)

Levando-se (19) e (16) em (13) obtém-se:

t tT TP =∗ ∗i A Av (20)

Como,

T T TP = ∗ti v (21)

Para que PT = P é necessário que:

t =∗A A I (22)

ou

t -1=∗A A (23)

Portanto quando a transformação é complexa, a matriz que a realiza deve ser

unitária.

A transformação real é um caso particular da transformação complexa. Nesse

caso:

176 APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO


t t=∗A A (24)

Assim,

t -1=A A (25)

EXERCÍCIOS

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

1. CAPÍTULO 1

1) I = 2A µR = 2500

= 40cm µ0 = 4π x 10-7H/m (SI)

s = 5cm2 m = 50kg

Deseja-se calcular o número de espiras n

I = 2A

P = 50kg

S = 5cm2

= 40cm

+ -v

2x

n

Fig. 1 – Eletroimã do exercício 1.

21 LF i2 x

∂=

∂ (1)

2nL

R= (2)

184 EXERCÍCIOS. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS


11 0 R

1 1Rs s

= =µ µ µ

(relutância do ferro) (3)

20

1 xRs

=µ

(relutância do entreferro) (4)

1 2R R R= + (5)

0 R 0

1 1 xRs s

= +µ µ µ

(6)

2

0 R 0

nL 1 1 xs s

=+

µ µ µ

(7)

2

0

R

n sLx

µ=

+µ

(8)

Seja:

20A n s= µ (9)

R

B =µ

(10)

Assim:

ALB x

=+

(11)

( )

20

2 2

R

n sL Ax B x

x

µ∂= − = −

∂ + + µ

(12)

Assim:



2

2 02

R

n s1F i2

x

µ=

+ µ

(13)

Para x = 0 tem-se:

2 22

0R 0

1 1F i n2 1 s

s

=

µ µ µ

(14)

2

02

R 0

2F s 1ni s

µ= µ µ

(15)

Entrando-se com os valores das grandezas na expressão (15), todas do

Sistema Internacional obtém-se:

n ≅ 100 espiras

2) O circuito magnético equivalente é apresentado na Fig. 2.

R x

R g

Rg

NI

NI

φ2

φ2

φ

Fig. 2 – Circuito magnético equivalente do exercício 2.

gg x x

RNI R R R

2 2 φ

= + φ = + φ

(16)

Assim:



gx

RR R

2= + (17)

x 20

1 xRd

=µ

(18)

g 20

2 gRd

=µ

(19)

( )20

1R g xd

= +µ

(20)

( )

2 20N dL

g xµ

=+

(21)

para uma bobina.

21 LF I2 x

∂=

∂ (22)

( )

2 20

2N dL

x g xµ∂

= −∂ +

(23)

( )

2 22 0

2N d1F I

2 g xµ

=+

(24)

Para x = 0, tem-se:

2 2 2

02

I N dF2g

µ= (25)

Supondo:

g = 0,001m I = 0,5A

d = 0,04m N = 1000



2 2 7 2

2

0,5 1000 4 10 0,04F2 0,001

−⋅ ⋅ π ⋅ ⋅=

⋅ (26)

F 251,2N≅ (27)

3)

a) ( )d Li di dLv L idt dt dt

= = + (28)

L A Bx= + (29)

dL L dx dxBdt x dt dt

∂= =

∂ (30)

( ) ( )d Li di dxv A Bx iBdt dt dt

= = + + (31)

b) 2

21 L i BF i2 x 2

∂= =

∂ (32)

M

x(0)

F P

Fk Fi

Fig. 3 – Diagrama de forças do sistema mecânico.

c) kF kx= (33)

2

i 2

d xF mdt

= (34)

P mg= (35)



Na condição inicial de equilíbrio tem-se:

0kP F= (36)

0mg kx= (37)

A equação mecânica será:

2

22

1 d xi B m kx2 dt

= + (38)

sendo x o deslocamento em relação à x0.

4) Dados:

L1 = 0,2 mH = 0,2 x 10-3H

L2 = 0,1 mH = 0,1 x 10-3H

M = 0,05cos θ mH = 0,05cos θ x 10-3H = m0cos θ

i1= i2 = i = 2 5sen ωt

(a)

2 20 mT m i sen t sen= ω θ (39)

2

2 2md 0 m

0

1T m i sen t sen d t2

π

= ω θ ωπ ∫ (40)

22 2

0 mmd

0

m i sen t sen tT2 2 4

π θ ω ω

= − π (41)

2

0 mmd

m i senT2

θ= (42)

Substituindo os valores obtém-se:

mdT 0,00125sen= θ (43)



(b) Seja o torque da mola:

kT k2π = θ −

(44)

Para θ = π/2 o torque da mola é nulo.

No ponto de equilíbrio tem-se

k mdT T= (45)

2

0 mm i senk2 2

θπ θ − =

(46)

Assim:

0,004 0,00125sen2π θ − = θ

(47)

3,2 sen2π θ − = θ

(48)

Esta é uma equação transcendental e sua solução somente é possível

numericamente e ou graficamente. Reescrevendo (48) na forma da equação (49) pode-

se obter o gráfico da Fig. 4 e encontrar o valor de θ que satisfaz a igualdade.

F ( )1 θ

F ( )2 θ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 45

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

θ

Fig. 4 – Resolução gráfica da equação (48).



( )

( )

1

2

F sen

F 3,22

θ = θ

π θ = θ −

(49)

Pela Fig. 4 o ângulo é:

o

1,87rad107,13

θ =

θ = (50)

Deve-se tomar um cuidado na resolução deste exercício pois se θ está em

radianos, F2(θ) apresenta uma inclinação diferente do que em graus. O correto é utilizar

como referência o sistema em radianos.

5)

Mola

v(t)

x

D A

Fig. 5 – Instrumento do tipo ferro móvel do exercício 5.

(a)

2NL =R

(51)

( )0

D x1A−

=µ

R (52)

( )

20N AL

D xµ

=−

(53)



( )

202

N ALx D x

µ∂= −

∂ − (54)

( )

2 2 2 22 0

e 2 2

020

N I A1 L 1 N IF I2 x 22 D x 1 D x A

A

µ∂= = =

∂ − − µ µ

(55)

Como:

2

22 20

1 1 D xL AN

LI

− = µ φ =

(56)

Tem-se:

2e

0

1F2A

== φµ

(57)

Mas:

2 2 2 2 2 2mB A B sen t Aφ = = ω (58)

Assim:

2 2e m

0

1F AB sen t2

= ωµ

(59)

(b)

( ) dv t Ndtφ

= (60)

( ) ( )md AB sen tv t N

dtω

= (61)

( ) mv t AN B cos t= ω ω (62)



(c)

FF

Fe

i

x

Fig. 6 – Representação das forças mecânicas envolvidas.

e k iF F F= + (63)

2

2 2m 2

0

1 d xAB sen t kx M2 dt

ω = +µ

(64)

2. CAPÍTULO 2

(1)

( )tT∂

=∂θS Ri iSRL θ

(65)

onde:

( )S S

S S S

S S

cos t2I cos t3

4cos t3

ω + θ π = ω + θ −

π ω + θ −

Si (66)

( )R R

R R R

R R

cos t2I cos t3

4cos t3

ω + θ π = ω + θ −

π ω + θ −

Ri (67)



SR

2 4cos cos cos3 3

4 2M cos cos cos3 3

2 4cos cos cos3 3

π π θ θ + θ + π π = θ + θ θ +

π π θ + θ + θ

SRL (68)

Levando as expressões (66), (67) e (68) na expressão (65), obtém-se:

_ _ _

SR S R S S S2 4T M I I cos t cos t cos t3 3

2 4cos cos cos3 3

4 2cos cos cos3 3

2 4cos cos cos3 3

π π = ω ω − ω − ⋅ π π θ θ + θ + ∂ π π ⋅ θ + θ θ + ∂θ π π θ + θ + θ

_

R

_

R

_

R

cos t

2cos t3

4cos t3

ω π ω −

π ω −

(69)

onde:

_

S S St tω = ω + θ (70)

_

R R Rt tω = ω + θ (71)

Multiplicando-se as duas últimas matrizes da equação (69) obtém-se:

_

R

_ _ _ _

SR S R S S S R

_

R

cos t

3 2 4 4T M I I cos t cos t cos t cos t2 3 3 3

2cos t3

θ + ω π π ∂ π = ω ω − ω − θ + ω + ∂θ π θ + ω +

(72)

A partir da expressão (72), obtém-se a expressão (73).



_ _ _ _

SR S R S R S R

_ _

S R

3 2 4T M I I cos t cos t cos t cos t2 3 3

4 2cos t cos t3 3

∂ π π = ω θ + ω + ω − θ + ω + + ∂θ π π + ω − θ + ω +

(73)

Desenvolvendo-se a expressão (73), obtém-se a expressão (74).

_ _

SR S R S R9T M I I cos t t4

∂ = ω − ω − θ ∂θ (74)

Assim:

_ _

SR S R S R9T M I I sen t t4

= −ω + ω + θ

(75)

Levando-se as expressões (70) e (71) na expressão (75), obtém-se:

( )SR S R S S R R9T M I I sen t t4

= −ω − θ + ω + θ + θ (76)

( )SR S R S S R R m9T M I I sen t t4

= −ω − θ + ω + θ + ω (77)

Mas,

m S Rt t t 0ω − ω + ω = (78)

Assim:

( )SR S R R S9T M I I sen4

= θ − θ (79)

A diferença (θR – θS) representa o defasamento entre as correntes do estator e

as do rotor. Seja ∆ = (θR – θS).

Assim:

SR S R9T M I I sen4

= ∆ (80)



Quando as correntes estiverem em fase o torque será nulo.

A título de exemplo vamos tomar uma máquina com:

IS = 10A

IR = 10A

MSR = 0,245H

∆ = (θR – θS) = 45o

sen ∆ = 0,866

Assim:

9T 0,265 10 10 0,8664

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (81)

T 51,63N m= ⋅ (82)

A máquina de dois pólos gira com velocidade próxima de 377rad/s. Assim a

potência desenvolvida pela máquina será:

mP T 51,63 377= ω = ⋅ (83)

P 19,47kW= (84)

3. CAPÍTULO 3

1)



v

R i

i i

1

3 2

LS

LS

R R

LS

+ +

- -v3 v2

Fig. 7 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.

v = 380V

i1 = 0

i2 = -i3

0

2

2

1 1 12 2 2i 0

2 1 1i 1 i3 2 2

i i3 30

2 2

α

β

= − − − −

(85)

Assim:

0i i 0α= = (86)

2i 2 iβ = (87)

Os circuitos de seqüência 0 e α estão abertos. O circuito de seqüência β está

representado a seguir.

vβ

i

R LS

Sjω

β

S

Fig. 8 – Circuito de seqüência β.

3 2 2 3v v v v v v+ = ⇒ = − (88)



0 1

2

3

1 1 12 2 2v v

2 1 1v 1 v3 2 2

v v3 30

2 2

α

β

= − − −

(89)

( )2 3 2 32 3 3 1 1v v v v v v3 2 2 2 2β

= − = − =

(90)

Que é o valor eficaz.

( )S S Sv R j iβ β= + ω L (91)

Assim,

( )S S S

vi2 R jβ =

+ ω L (92)

Que é o valor eficaz.

( )2 2

S S S

i vi i2 R j2

β= ⇒ =+ ω L (93)

( )3

S S S

vi2 R j

= −+ ω L (94)

Assim:

( )

902 3

380i i 1,8 A2 1 j377 0, 28

= − = =+ ⋅

(95)

2)



i

v

1

1

LSLS

LS

RR

Rv

i

2v3v

+

+ +

- -

-+

-

3 2i

Fig. 9 – Reator trifásico do exercício 2.

2 3v v= (96)

1 2v v v− + = (97)

12v v3

= (98)

2 31v v v3

= = − (99)

Aplicando-se a transformada αβ0 obtém-se:

0v v 0β= = (100)

2v v3α = (101)

Assim:

0I I 0β= = (102)

S S S

v 2 vIZ 3 R j

αα

α

= =+ ω L (103)



Por outro lado:

1 0

2

3

1 1 02

i i2 1 1 3i i3 2 22i i

1 1 32 22

α

β

= −

− −

(104)

Assim:

12I I3 α= (105)

2II6α= − (106)

3II6α= − (107)

3) Foi estabelecido que:

0 0 0v Ri p i= + L (108)

v Ri p iα α α= + L (109)

v Ri p iβ β β= + L (110)

0

1 1 12 2 2v 50

2 1 1v 1 303 2 2

v 1003 30

2 2

α

β

= − − −

(111)

0v 103,92V= (112)



v 12,25Vα = − (113)

v 49,5Vβ = − (114)

Resolvendo-se as equações acima obtém-se:

(a)

00

vi 207,84AR

= = (115)

pois

0 L 2M 60 60 0= + = − =L (116)

(b)

( )S

R t5,55tvi 1 e 24,5 1 e A

R

−−α

α

= − = − −

L (117)

pois

S L M 60 30 90mH 0,09H= − = + = =L (118)

(c)

( )S

R t5,55tv

i 1 e 99 1 e AR

−β −

β

= − = − −

L (119)

As correntes nos enrolamentos são calculadas pelas seguintes expressões:

01

02

03

i2i i3 2

3 ii i2i3 2 22

3 ii i2i3 2 22

α

βα

βα

= +

= − +

= − −

(120)



Assim:

( )( )

( )

5,55t1

5,55t2

5,55t3

i 100 20e A

i 60 60e A

i 200 80e A

−

−

−

= +

= +

= −

(121)

Em regime permanente tem-se e-5,55t = 0.

Assim:

1

2

3

i 100Ai 60Ai 200A

==

= (122)

Estes resultados poderiam ser obtidos sem resolver as equações diferenciais.

Estas correntes são limitadas apenas pelas resistências.

Como explicar a existência de corrente nos enrolamentos quanto t=0?

4) Seja

( )( )( )

1

o2

o3

v V cos t

v V cos t 120

v V cos t 240

= ω − ∆

= ω − ∆ −

= ω − ∆ −

(123)

Como:

0

1 1 12 2 2v 50

2 1 1v 1 303 2 2

v 1003 30

2 2

α

β

= − − −

(124)



( )

( )

0v 0

3v V cos t23v Vsen t2

α

β

=

= ω − ∆

= ω − ∆

(125)

Os modelos dos circuitos de seqüência 0, α e β são os seguintes:

( )( )( )

0 0 0v R p i

v R p i

v R p iα α α

β β β

= +

= +

= +

LLL

(126)

0i 0= (127)

( ) ( )

( ) ( )

3R p i V cos t23R p i Vsen t2

α α

β β

+ = ω − ∆

+ = ω − ∆

L

L (128)

Resolvendo-se as equações diferenciais acima obtém-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t

t

3 Vi t cos t cos e2 Z

3 Vi t sen t sen e2 Z

−ζ

α

−ζ

β

= ω − ∆ − φ − ∆ + φ

= ω − ∆ − φ + ∆ + φ

(129)

onde:

2 2 2S

S

1 S

Z R

R

tgR

−

= + ω

ζ =

ωφ =

LL

L

(130)

As correntes nas fases do reator são representadas pelas expressões abaixo:



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

01

02

03

i t2i t i t3 2

3 i ti t i t2i t3 2 22

3 i ti t i t2i t3 2 22

α

βα

βα

= +

= − +

= − −

(131)

Substituindo-se as correntes i0(t), iα(t) e iβ(t) nas expressões acima, obtém-se

as correntes de fase do reator durante o transitório.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t

1

to

2

to

3

Vi t cos t cos eZ

Vi t cos t 120 cos 60 eZ

Vi t cos t 120 cos 60 eZ

−ζ

−ζ

−ζ

= ω − ∆ − φ − ∆ + φ

= ω − ∆ − φ − + ∆ + φ +

= ω − ∆ − φ + + ∆ + φ −

(132)

4. CAPÍTULO 4

1)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 S S

o2 S S

o3 S S

v t 2 v sen t

v t 2 v sen t 120

v t 2 v sen t 120

= ω + φ

= ω − + φ

= ω + + φ

(133)

(a) Para o referencial colocado no estator tem-se:

d

q

S S

S S

v v

v vα

β

=

= (134)

Assim:



0 1

d 2

q 3

S S

S S

S S

1 1 12 2 2v v

2 1 1v 1 v3 2 2

v v3 30

2 2

= − − −

(135)

Assim:

a.1)

( ) ( ) ( )( )0

0

o oS S S S S

S

2 1v 2 v sen t sen t 120 sen t 1203 2

v 0

= ω + φ + ω − + φ + ω + + φ

= (136)

a.2)

( ) ( ) ( )d

o oS S S S S

2 1 1v 2 v sen t sen t 120 sen t 1203 2 2

= ω + φ − ω − + φ − ω + + φ

(137)

60.000°

60.000°

vS

2

vS

3

vS

1

vS

α

Fig. 10 – Diagrama de fasores para o eixo direto.

( )dS S S

2 3v 2 v sen t3 2

= ω + φ (138)

( )dS S Sv 3 v sen t= ω + φ (139)

a.3) ( ) ( )q

o oS S S S

2 3 3v 2 v sen t 120 sen t 1203 2 2

= ω − + φ − ω + + φ

(140)



60°

vS3vS 2

vSβ

30°

30°

Fig. 11 – Diagrama de fasores para o eixo em quadratura.

Assim:

( )qS S Sv 3 v cos t= ω + φ (141)

b) Em seguida serão obtidas as tensões dSv e

qSv para o referencial colocado no campo

girante.

d

q

S Ss s

S Ss s

v vcos t sen tv vsen t cos t

α

β

ω − ω = ω ω

(142)

( )( )

d

q

S S Ss s

S s s S S

v 3 v sen tcos t sen tv sen t cos t 3 v cos t

ω + φω − ω = ω ω ω + φ

(143)

( ) ( )( )( ) ( )( )

d

d

d

S S s S s S

S S s S S s S S

S S

v 3 v cos t sen t sen t cos t

v 3 v cos t sen t cos sen cos t sen t cos t cos sen sen t

v 3 v sen

= ω ⋅ ω + φ − ω ω + φ

= ω ⋅ ω ⋅ φ + φ ⋅ ω − ω ω ⋅ φ − φ ⋅ ω

= φ

(144)

( ) ( )( )( ) ( )( )

q

q

q

S S s S s S

S S s S S s S S

S S

v 3 v sen t sen t cos t cos t

v 3 v sen t sen t cos sen cos t cos t cos t cos sen sen t

v 3 v cos

= ω ⋅ ω + φ + ω ⋅ ω + φ

= ω ⋅ ω ⋅ φ + φ ⋅ ω + ω ⋅ ω ⋅ φ − φ ⋅ ω

= φ

(145)

Seja:

0φ = (146)



Assim:

d

q

S

S S

v 0

v 3 v

=

= (147)

Visto por um observador colocado no campo girante, as tensões de PARK são

contínuas. A transformação de PARK é aplicada em cada intervalo, neles as tensões

de alimentação permanecem constantes. Era de se esperar portanto que as tensões

dSv e qSv também permanecessem constantes nesses intervalos. A Fig. 12 apresenta

as tensões transformadas.

2)

60o0 o 120o 180oVs1

Vs2

Vs0

2E/3

E/3

2E/3

E/3

Vsd

Vsq

π 20

π 20

E/2^1/2

-E/2^1/2

π

π

2E/6^1/2

E/6^1/2

Fig. 12 – Representação gráfica das formas de onda transformadas.



6)

m 0

S m R

tθ = ω + θω = ω + ω

(148)

( )

( )( )

1

2

3

S S S

S S S

S S S

i I sen t

i I sen t 120

i I sen t 120

= ω + φ

= ω − ° + φ

= ω + ° + φ

(149)

( )

( )( )

1

2

3

R R R

R R R

R R R

i I sen t

i I sen t 120

i I sen t 120

= ω + ∆

= ω − ° + ∆

= ω + ° + ∆

(150)

Aplicando-se a transformação de PARK com referencial no estator obtém-se:

( )

( )

d

q

S S S

S S S

3i I sen t23i I cos t2

= ω + φ

= ω + φ

(151)

Pois:

d

q

S S

S S

i i

i iα

β

=

= (152)

( )

( )

R R R

R R R


α

β

= ω + ∆

= ω + ∆

(153)

mas,

d

q

R Rm m

R Rm m

i icos t sen ti isen t cos t

α

β

ω − ω = ω ω

(154)

Observar que o motor está girando no sentido horário e foi convencionado o

sentido anti-horário na obtenção das matrizes de transformação. Assim,



( ) ( )( ) ( )

d

q

R Rm m

R Rm m


α

β

−ω − −ω = −ω −ω

(155)

( ) ( )( ) ( )

d d

q d

R Rm m

R m m R

i icos ω t sen ω t=

i -sen ω t cos ω t i

(156)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

d

q

R R m R m R

R R m R m R

3i I cos t sen t sen t cos t2

3i I sen t sen t cos t cos t2

= ω ⋅ ω + ∆ + ω ⋅ ω + ∆

= − ω ⋅ ω + ∆ − ω ⋅ ω + ∆

(157)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )m R m R m R

m R m R m R

cos ω t sen ω t + sen ω t cos ω t + sen ω t +ω t +

cos ω t cos ω t + sen ω t sen ω t + cos ω t +ω t +

⋅ ∆ + ⋅ ∆ = ∆

− ⋅ ∆ − ⋅ ∆ = − ∆ (158)

Assim:

( )( )

( )( )

d

q

R R R m

R R R m


= ω + ω + ∆

= ω + ω + ∆

(159)

mas:

R m Sω + ω = ω (160)

Assim:

( )

( )

d

q

R R S

R R S


= ω + ∆

= ω + ∆

(161)

Em seguida será calculado o torque:

( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (162)



( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

SR S R S S S S

SR S R

3T m I I cos t sen t sen t cos t2

3T m I I sen2

= ω + φ ⋅ ω + ∆ − ω + φ ⋅ ω + ∆

= ∆ − φ (163)

7)

a)

d

q

S S

S S

i Icc i

i 0 iα

β

= =

= = (164)

O modelo para estas restrições e para o referencial colocado no campo girante

é o seguinte:

d d

d q

d d q

S S S

R R R R

SR S R R R R

v R i

0 R i n i

0 n m i n i R i

= = + θ = − θ − θ +

i

i i

L

L

(165)

O torque é dado pela expressão:

( )q d d qSR S R S RT nm i i i i= − (166)

Assim, em módulo:

qSR RT nm Icci= (167)

Resta-nos determinar a corrente qRi .

q d

SR RR R

R R

n m Icc ni iR R

θ θ= +

i iL (168)

q

d

R RR

R

n ii

Rθ

= −

iL

(169)



Assim:

q

q

R RSR RR

R R R

n in m Icc niR R R

− θθ θ= + ⋅

ii i LL (170)

q

SR RR 2

2 2 2R R

n m Icc RiR n

θ=

+ θ

i

iL

(171)

Levando-se a expressão de qRi na expressão do torque obtém-se:

22 2

SR R2

2 2 2R R

n m Icc RTR n

θ=

+ θ

i

iL

(172)

mas,

dS

S

vIcc

R= (173)

Assim:

d

2 22SR S R

22 2 2 2S R R

n m v RT

R R n

θ=

+ θ

i

iL

(174)

b)

d

2 22SR S R

2 2S 2 2 2

R R

n m v RTR

R n

∂ ∂ θ = ∂θ ∂θ + θ

i

iL

(175)

22 2

R2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2 2R R R R R R

1 2n 0R n R n R n

∂ θ θ = − = ∂θ + θ + θ + θ

i i

i i i

L

L L L (176)



Assim:

2 22 2 2 2 2R R R

22 2 2R R

R

R

R n 2n

R nRn

+ θ = θ

= θ

θ =

i i

i

i

L L

L

L

(177)

Está é a condição para o máximo torque.

c)

d

2 2RSR S R

R2

2 2 2RS R R2

R

Rn m v RT

RR R=

+

L

LL

(178)

d

2 2SR S

2R S

nm vT

2 R= L (179)

Esta expressão dá o torque máximo de frenagem.

9) Seja o modelo, sob a forma de componentes de PARK instantâneos, com referencial

no estator. Como o rotor está aberto, tem-se:

d qR Ri i 0= = (180)

Se o motor está em repouso, então os eixos d e q são desacoplados. Para

fazer o estudo será considerado então somente o eixo d. Assim:

d d d

d d

S S S S S

R SR S

v R i p i

v pm i

= + =

L (181)

Aplicando a transformação de Laplace obtém-se:



( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d d

d

d

d d

S S S S

SS

S S

R SR S

v s R s i s

v si s

R sv s sm i s

= +

=+

=

L

L (182)

Assim:

( ) ( )d

d

SR SR

S S

v sv s sm

R s=

+ L (183)

Seja:

( )

( )( )

1

2

3

S S S

S S S

S S S

v v sen t

v v sen t 120

v v sen t 120

= ω

= ω − °

= ω + °

(184)

Assim:

( )dS S S

3v v sen t2

= ω (185)

( ) ( )d

S SS S S2 2

S S S

3 3v v v2 s 2 s j s j

ω ω= =

+ ω + ω − ω (186)

Portanto:

( )( ) ( )

d

SRR S S

S SS S

S

m3 sv s v2 R s s j s j

= ω

+ + ω − ω

LL

(187)

Seja:

S

S S

R1=

ζ L (188)

Assim:



( ) ( ) S S

S SSS

s A B B1 s j s j1 ss s j s j

∗

= + ++ ω − ω ++ + ω − ω ζζ

(189)

Assim:

( ) ( ) S SS S

SS

2S S2

S

SS

SS

s A B B1 s j s j1 ss s j s j

1A1

1B12 j

1C12 j

∗

= + ++ ω − ω ++ + ω − ω ζζ

−=

ζ + ω ζ

=

− ω ζ

=

+ ω ζ

(190)

( )d

SRR S S

2S S SS S S S2

SS S S

m3 1 1 1 1 1 1v s v 12 s j s j1 1 1s 2 j 2 j

− = ω + + + ω − ω +ζ + ω − ω + ω ζζ ζ ζ

L (191)

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace obtém-se:

S S

S S

j t j1

2SSS 2

SS

j t j2

2SSS 2

SS

1 S SS

S

1 1 1 e e As j 11 22 j

1 1 1 e e As j 11 22 j

tgR

− ω φ

ω − φ

−

= =+ ω

+ ω− ω ζζ

= =− ω

+ ω+ ω ζζ ω

φ =

L

(192)

Somando-se A1 e A2 obtém-se:



( ) ( )( )S S S Sj t j t3 1 2

2S2

S

1A A A e e12

ω −φ − ω −φ= + = ++ ω

ζ

(193)

Como:

( )jA jA1cos A e e2

−= + (194)

Assim:

( )3 S S2S2

S

1A cos t1

= ω − φ+ ω

ζ

(195)

Portanto:

( ) ( )S

d

1 tSR

R S S S S22SSS S 22

SS

m3 1 1v t v e cos t2 11

−ζ

− = ω + ω − φ + ωζ + ω ζζ

L (196)

( ) ( ) ( )S

d

1 tS

R S S SR S S2 2 2 2 2 2S S S S S S

R3 1v t v m e cos t2 R R

−ζ

− = ω + ω − φ + ω + ω L L

(197)

( ) ( ) S

d

1 tS S SR S

R S S2 2 2 2 2 2S S S S S S

v m R3v t cos t e2 R R

−ζ

ω = ω − φ − + ω + ω L L

(198)

Por outro lado:

( ) SS 2 2 2

S S S

RcosR

φ =+ ωL

(199)

Assim:

( ) ( ) S

d

1 tS S SR

R S S S2 2 2S S S

v m3v t cos t cos e2 R

−ζ

ω= ω − φ − φ + ω L

(200)



10)

q

d

vSd

ωm

Fig. 13 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

qSi 0= (201)

O modelo de PARK, para referencial no estator, regime permanente,

velocidade constante e qSi 0= está representado a seguir.

( )

( )( )

d d d

q q

d d q

d d q

S S S S S S SR R

S S SR R

S SR S R S R R m R R

SR m S m R R R S R R

v R j i j m i

v j m i

0 j m i R j i i

0 m i i R j i

= + ω + ω

= ω = ω + + ω +ω = − ω −ω + + ω

L

L LL L

(202)

Vamos considerar:

a) RS ≈ 0

b) RR >> ωSLR

Assim:

d d d

q q

d d q

d d q

S S S m R

S m R

m S R R m R R

SR m S m R R R R

v jX i jX i

v jX i

0 jX i R i i

0 m i i R i

= +

= = + +ω = − ω −ω +

LL

(203)

( )m S1 sω = − ω (204)



Assim:

( )

( ) ( )

d d d

q q

d d q

d d q

S S S m R

S m R

m S R R R R

m S R R R R

v jX i jX i

v jX i

0 jX i R i 1 s X i

0 X 1 s i 1 s X i R i

= +

= = + + − = − − − − +

(205)

A idéia é empregar as expressões (205) para determinar a corrente qRi .

d d d d

d

S m R S m RS

S S S

v jX i v X ii

jX jX X−

= = − (206)

10)

q

d

vSd

ωm

Fig. 14 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.

qSi 0= (207)

O modelo de PARK, para referencial no estator, regime permanente,

velocidade constante e qSi 0= está representado a seguir.

( )

( )( )

d d d

q q

d d q

d d q

S S S S S S SR R

S S SR R

S SR S R S R R m R R

SR m S m R R R S R R

v R j i j m i

v j m i

0 j m i R j i i

0 m i i R j i

= + ω + ω

= ω = ω + + ω +ω = − ω −ω + + ω

L

L LL L

(208)

Vamos considerar:

c) RS ≈ 0



d) RR >> ωSLR

Assim:

d d d

q q

d d q

d d q

S S S m R

S m R

m S R R m R R

SR m S m R R R R

v jX i jX i

v jX i

0 jX i R i i

0 m i i R i

= +

= = + +ω = − ω −ω +

LL

(209)

( )m S1 sω = − ω (210)

Assim:

( )

( ) ( )

d d d

q q

d d q

d d q

S S S m R

S m R

m S R R R R

m S R R R R

v jX i jX i

v jX i

0 jX i R i 1 s X i

0 X 1 s i 1 s X i R i

= +

= = + + − = − − − − +

(211)

A idéia é empregar as expressões (205) para determinar a corrente qRi .

d d d d

d

S m R S m RS

S S S

v jX i v X ii

jX jX X−

= = − (212)

Levando-se (212) na terceira expressão de (205) obtém-se:

( )

( )

( )

d d

d q

d d d q

d d q

S m Rm R R R R

S S

2m m

S R R R R RS S

2m m

S R R R RS S

v X i0 jX R i 1 s X i

jX X

X X0 v j i R i 1 s X iX X

X X0 v R j i 1 s X iX X

= − + + −

= − + + −

= + − + −

(213)

Levando-se (212) na quarta expressão de (205) obtém-se:



( ) ( )

( ) ( )

d d

d q

d

d q

S m Rm R R R R

S S

2S m

m R R R RS S

v X i0 X 1 s 1 s X i R i

jX X

v X0 X 1 s 1 s X i R ijX X

= − − − − − +

= − − + − − +

(214)

Isolando-se dRi na expressão final de (213) obtém-se:

( )

( ) ( )( )

d d q

d d q

qd

d

2m m

R R S R RS S

2R S m R m S S R R

S R Rm SR 2 2

R S m R S m

X XR j i v 1 s X iX X

R X jX i X v 1 s X X i

1 s X X iX vi

R X jX R X jX

− = − − −

− = − − −

−= − −

− −

(215)

Levando-se a última expressão de (215) na última expressão de (214) obtém-

se:

( ) ( )d

d q

2S m

m R R R RS S

v X0 X 1 s 1 s X i R ijX X

= − − + − − +

(216)

( ) ( ) ( )d d q

2m S m R S R R S R0 jX 1 s v 1 s X X X i R X i= − + − − + (217)

( ) ( ) ( ) ( )qd

d q

S R Rm S2m S m R S R S R2 2

R S m R S m

1 s X X iX v0 jX 1 s v 1 s X X X R X i

R X jX R X jX

− = − − − − + + − −

(218)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )qd

d q

S R Rm S2 2m S R S R m R S m R S2 2

R S m R S m

1 s X X iX v0 jX 1 s v R X i 1 s X X X 1 s X X X

R X jX R X jX

−= − + − − − − − −

− − (219)

Assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d q q

22 2 2 2m R S m S m R S m S R S R S m R m R S S R R0 jX 1 s R X jX v 1 s X X X X v R X R X jX i X X X 1 s X X i= − − − − − + − − − −

(220)

Assim:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )q d

22 2 2 2R S R S m m R S S R R m R S m m R S m SR X R X jX X X X 1 s X X i jX 1 s R X jX 1 s X X X X v− − − − = − − − − − −

(221)



( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )q d

22 2 2 2R S R S m m R S S R R m R S m m R S m SR X R X jX X X X 1 s X X i jX 1 s R X jX 1 s X X X X v− − − − = − − − − − −

(222)

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )q d

22 2 2 2R S R S m m R S S R R m R S m m R S m SR X R X jX X X X 1 s X X i 1 s X X X X jX 1 s R X jX v− − − − = − − − − −

(223)

Portanto:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )q d

2 2m R S m m R S m

R S22 2R S R S m m R S S R

1 s X X X X jX 1 s R X jXi v

R X R X jX X X X 1 s X X

− − − − −=

− − − − (224)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )q d

3 3m R S m m R S m

R S22 2R S R S m m R S S R

1 s X 1 s X X X 1 s jX R X 1 s Xi v


− − − − − − −=

− − − − (225)

( ) ( )( ) ( )( )q d

R S m m R SR S22 2

R S R S m m R S S R

1 s X X X 1 s jX R Xi v


− − − −=

− − − − (226)

( ) ( )( ) ( )q d

R m m RR S2 22 2 2 2

R S m R R m R S

1 s X X 1 s jX Ri v

R X jX R 1 s X X 1 s X X

− − − −=

− − − + − (227)

Assim:

q qS m Rv jX i= (228)

( ) ( )( ) ( )q d

2 2R m m R

S S2 22 2 2 2R S m R R m R S

j 1 s X X 1 s X Rv v


− − + −=

− − − + − (229)

( ) ( )( ) ( )q d

2m R m

S S2 22 2 2 2R S m R R m R S

j 1 s X X jXv v


− − +=

− − − + − (230)

Se RR é suficientemente grande, pode-se adotar:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2R m S R R R S m R S R m1 s X X X X R R X jX R X jR X− − − − ≈ − + (231)

Assim:



( ) ( )q d

2m R m

S S2 2R S R m

j 1 s X X jXv v

R X jR X− − −

=−

(232)

Tomando os módulos, obtém-se:

( )q dS Sv 1 s Kv= − (233)

Sendo:

( )2m R m

2 2R S R m

jX X jXK

R X jR X− +

=−

(234)

mas:

( ) m

S

1 s ω− =

ω (235)

Assim:

d

q

SS m

S

Kvv = ω

ω (236)

Deste modo, para as condições adotadas, em que RS ≈ 0 e RR é grande em

relação às indutâncias, a tensão gerada no enrolamento aberto é proporcional à

velocidade.

5. CAPÍTULO V

3) Seja

S S S

S S S

i 2 I cos t

i 2 I sen tα

β

= ω

= ω (237)

Assim, para o referencial colocado no campo girante, obtém-se:



d

q

S SS S

S SS S


α

β

ω ω = − ω ω

(238)

( )

( )d

q

2 2S S S S S

S S S S S S

i 2 I cos t sen t 2 I

i 2 I sen tcos t sen tcos t 0

= ω + ω =

= − ω ω + ω ω = (239)

S S

S

i 1 j1 2 Ii 1 j2 0

+

−

= −

(240)

S S

S S

i I

i I+

−

=

= (241)

Consideremos o modelo do motor, sob a forma de componentes simétricas

instantâneas, para o referencial no campo girante:

( )( ) ( )

( ) ( )( )S S S S S SR S R

SR S m S R R S m R

v R p j i m p j i

0 m p j j i R p j j i+ + +

+ +

= + + ω + + ω

= + ω − ω + + + ω − ω

LL

(242)

Em regime permanente, tem-se _

R Ri I+

= .

Seja

S m Rj j jω − ω = ω (243)

a pulsação das correntes do rotor.

Assim a equação do rotor será:

( ) ( )( )_

SR R S R R R R0 m p j I R p j I= + ω + + + ωL (244)

As correntes IS e _

RI são constantes. Portanto:

_

S RpI pI 0= = (245)

Assim:



( )

( )

_

R SR S R R R R

_R SR

R SR R R

2_ R SR R R SR RR S2 2 2

R R R

0 j m I R j Ij mI I

R j

m j m RI I

R

= ω + + ω

ω= −

+ ω

ω + ω= −

+ω

L

LL

L

(246)

Assim:

( )

( )

2R SR R R SR R

R S2 2 2R R R

R R

2R SR R R SR R

R S2 2 2R R R

m j m Ri I

R

i i

m j m Ri I

R

+

− +

−

∗

ω + ω= −

+ω

=

ω − ω= −

+ω

LL

LL

(247)

Em seguida será calculado o torque.

( )+ -SR S ST = 2nm Im i i (248)

2R SR R R SR R

SR 2 2 2R R R

ω m + jω m RT = 2nm Im -

R +ω

LL (249)

2

2R R SRS2 2 2

R R R

2nR mT IR

ω=

+ω L (250)

Este é o torque instantâneo. É constante ao longo do tempo. Portanto o torque

médio é igual ao torque instantâneo.

Em seguida será obtida a tensão Sv+.

( )+ + +S S S S S R SR Rv = R + jω i + jω m iL (251)

( )+

2 2R SR

S S S S S SR R R

ω mv = R + jω I + I

R + jωL L (252)

( )+

2 2 3 2R SR R R SR R

S S S S S SR R R

ω m R - jω mv = R + jω I + I

R +ωLL L (253)



+


S S S S SR R R R R R

ω m R ω mv = R + + j ω - I

R +ω R +ω

LLL L (254)

-


S S S S SR R R R R R

ω m R ω mv = R + - j ω - IR +ω R +ω

LLL L (255)

( )d + -S S S1v = v v2

+ (256)

( )q + -S S Sjv = - v v2

− (257)

Assim:

d

2 2R SR R

S S SR R R

ω m Rv = 2 R + IR +ω

L (258)

q

3 2R SR R

S S S SR R R

ω mv = 2 ω - IR +ω

LL L (259)

Por outro lado:

d qS S S S Sv v cos t v sen t

α= ω − ω (260)

Assim:

( )

d q

q

d

2 2S S S S

S

S

v v v sen t

vtg

v

α= + ω −φ

φ = (261)

4) Seja o modelo sob a forma de componentes simétricas instantâneas, com referencial

colocado no estator

( ) ( )

SS S SRS

RSR m R R m

iR p pmvim p j R p j0

++

+

+ = − ω + − ω

LL (262)



Para os enrolamentos rotóricos abertos obtém-se

( )S S S Sv R p i+ +

= + L (263)

d

q

S S

S S

v 3Vcos t

v 3Vsen t

= ω

= ω (264)

( )d qS S S1v v jv2+

= + (265)

Assim:

Sj tS

3v Ve2+

ω= (266)

( ) Sj tS S S

3R p i Ve2+

ω+ =L (267)

Seja:

0Si 0+

= (268)

e aplicando a transformada de Laplace

( ) ( )S S Ss

3 VR s i s2 s j+

+ =− ω

L (269)

( ) ( ) ( )SS S s

3 1i s V2 R s s j+

=+ − ωL

(270)

( )( )

SS

sS

S

S S

3 V 1i s2 1s s j

R1

+=

+ − ω ζ

=ζ

L

L

(271)



( ) s

sSS

1 A B1 s j1 ss s j

= +− ω ++ − ω ζζ

(272)

s

S

sS

1A1 j

1B1 j

= −

+ ω ζ

=

+ ω ζ

(273)

( )SS s

sSS

3 V 1 1 1i s 12 s j1 sj+

= − +

− ω ++ ω ζζ

L (274)

Encontrando-se a transformada inversa de Laplace, obtém-se:

( ) ( )s S

1 tj t

SS s S

3 1i t V e e2 R j+

−ω ζ

= − + ω L

(275)

Após o transitório, tem-se:

( ) ( )sj t

SS s S

3 1i t V e2 R j+

ω=+ ωL

(276)

Assim:

( ) ( )1S sS s S

1i t 2Vcos tR j

= ω+ ωL

(277)

As correntes ( )2Si t e ( )

3Si t são defasadas em relação à ( )1Si t de 120o e 240o.

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Te or i a Fundamental Do Motor de Indu Cao