TEOREMA DA INVARINCIA

PROF. FRANCISCO MEDEIROS

Introduo lgebra Linear - 2012.1http://docente.ifrn.edu.br/franciscomedeiros

Entregar na aula do dia 01/06/2012

O objetivo principal dessa atividade mostrar que num espao vetorial, finitamentegerado, duas bases quaisquer tm o mesmo nmero de elementos. Esse resultado conhecidocomo Teorema da Invarincia. A demonstrao deste resultado ser divida em quatroetapas, onde trs dessas etapas so compostas por lemas. Aqui, V denotar sempre umespao vetorial finitamente gerado.

Lema 1. Seja B = {u1, u2, . . . , un} uma base do espao V. Se u V tal que(1) u = 1u1 + + iui + + nuncom i 6= 0, ento o conjunto C = {u1, . . . , ui1, u, ui+1, . . . , un} tambm uma base doespao V .

Ideia da Prova: Para facilitar as contas suponha i = 1, ou seja, 1 6= 0 em (1). Use (1) para escrever u1 como combinao linear dos vetores u, u2, . . . , un; Dado v V , escreva ele como combinao linear do vetores da base B e use o itemanterior para mostrar que v combinao linear dos vetores u, u2, . . . , un; Conclua que V gerado por C = {u, u2, . . . , un}; Suponha que exista uma combinio linear nula dos elementos de C. Use (1) ea hiptese 1 6= 0, para concluir que os escalares da combinao linear nula doselementos de C tm que ser todos iguais a zero; Conclua que C uma base do espao V .

O prximo lema nos diz que qualquer subconjunto L.I. de V com o mesmo nmero devetores de uma dada base de V, gera V, ou seja, tambm uma base de V .

Lema 2. Suponhamos que exista uma base de V com n vetores. Neste caso, se B ={u1, . . . , un} V L.I. e possui n vetores, ento B tambm uma base de V .

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Ideia da Prova: Seja C = {v1, . . . , vn} uma base de V . Escreva u1 como combinao linear dos elementos de C; Verifique que existe algum escalar no nulo no item anterior. Suponha que o escalar no nulo obtido no item anterior o coeficiente de v1. Useo Lema 1 para concluir que {u1, v2, . . . , vn} uma base de V ; Ento u2 combinao linear dos vetores u1, v2, . . . , vn, isto , existem 1, 2, . . . , nem R tais que

u2 = 1u1 + 2v2 + + nvn.Verifique que no podemos ter 2 = = n = 0; Suponha que 2 6= 0 na concluso do item anterior e use o Lema 1, novamente, paramostrar que {u1, u2, v3, . . . , vn} tambm uma base para o espao V ; Conclua.

O prximo lema nos garante que nenhum subconjunto L.I. de um espao vetorial, fini-tamente gerado, pode ter mais vetores que uma base desse espao.

Lema 3. Suponhamos que exista uma base de V com n vetores. Ento todo subconjunto deV que seja L.I. tem no mximo n vetores.

Ideia da Prova: Suponha que exista S = {u1, . . . , un, un+1, . . . , ut} V que tenha t > nvetores e que seja L.I.

Use o fato de subconjunto de conjunto L.I. ser tambm L.I. e o Lema 2 paraconcluir que B = {u1, . . . , un} base de V ; Conclua que existem 1, . . . , n em R tais que un+1 = 1u1 + + nun; Do item anterior conclua que o conjunto B = {u1, . . . , un, un+1} L.D.; Finalmente, conclua que S L.D. e que assim temos um absurdo.

Teorema da Invarincia. Duas bases quaisquer do mesmo espao vetorial finitamentegerado tm o mesmo nmero de vetores.

Ideia da Prova: Sejam B = {u1, . . . , un} e C = {v1, . . . , vm} duas bases quaisquer de V . Aplique o Lema 3 a base B e ao conjunto C, que L.I., para concluir que m n; Aplique o Lema 3 a base C e ao conjunto B, que L.I., para concluir que n m; Conclua que n = m.