Teorema de Poynting

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…

. , 0B r t

. , ,D r t r t

,,

H r tE r t

t

,, ,

E r tH r t J r t

t

Equações de Maxwell

EE H E J E

t

EE J E H E

t

A B B A A B

E H H E E H

E H H E E H

EE J H E E H E

t

HE

t

EE J H E E H E

t

H EE J H E H E

t t

H EE J H E E H

t t

21 1 1 1

2 2 2 2

E EE E E EE E E

t t t t t

2 2

2 2

H EE J E H

t t

2 2

2 2

H EE Jdv dv E H dv

t t

s cE Jdv E J dv E J dv

2 22 2

2 2 2 2

H Edv H E dv

t t t

E H dv E H ds S E H

2 2

2 2E Jdv H E dv E H ds

t

Re Re Ajj t j tA t Ae Ae e

Re Re Bjj t j tB t Be Be e

Re Re Rej t j t j tA t B t Ae Be ABe

cos cosA BA t B t A t B t

cos cos 22 A B A B

ABA t B t t

*1cos Re

2 2A B

ABA t B t AB

Teorema Complexo de Poynting

E j H

H j E J

*1cos Re

2 2A B

E HS E t H t E H

* *H E j H H

* * *E H j E E E J

*S E H

2 2* * *H E E H j H j E E J

2 2* *E H j H j E E J

2 2* *E H j H j E E J

2 2* *E H dv j H E dv E J dv

2 2* *E H ds j H E dv E J dv

1Im 2

2 m e RS ds W W P

2 2 *1 1 1 12

2 4 4 2S ds j H E dv E J dv

2*1 1 1Re Re

2 2 2SS ds E J dv E dv

Parte Real

1Re

2 S CS ds P P

2 2 *1 1 1 1Im 2 Im

2 4 4 2S ds H E dv E J dv

Parte Imaginária

1Im 2

2 m e RS ds W W P

Exemplo:Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos

Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a, y=b e z=c.

0ˆ, cosE r t xE t kz

0ˆ, cosE

H r t y t kz

2 2 *1 1 1 12

2 4 4 2S ds j H E dv E J dv

2 2

2 2E Jdv H E dv E H ds

t

2 2

2 2E Jdv H E dv E H ds

t

S E H 0

0ˆ ˆcos cosE

S xE t kz y t kz

2

20ˆ cosE

S z t kz

2 2 20 cos2 2eW E E t kz

2

2 2 2 2002

cos cos2 2 2m e

EW H t kz E t kz W

0E Jdv

2 2

0 0 02 2

a b c

m eH E dv W W dxdydz

2 2 2 2

0 0

0 0 0 0

cos cos

a b c c

E t kz dxdydz ab E t kz dz

2 20 0

0

sin 2 sin 21 cos 2

2 2 2 2

ct t kcab ab

E t kz dz E ck k

Aplicando d/dt

20

cos 2 cos 2

2

t t kcabE

k k

2 2 20 cos 2 cos 2

2 2 2

abH E dv E t t kc

t

2 2

2 20 0

0 0 0 0

cos cos

a b a bE E

E H ds t dz t kc dz

2

20ˆ cosE

S z t kz

20 cos 2 cos 2

2

abE H ds E t t kc

2 2

2 2E Jdv H E dv E H ds

t

Teorema de Poynting

2 2 *1 1 1 12

2 4 4 2S ds j H E dv E J dv

0ˆjkzE r xE e

0ˆ jkzEH r y e

2* 0 0

0ˆ ˆ ˆjkz jkzE ES E H xE e y e z

Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos perdas, devemos demonstrar que:

1Re 0

2 S CS ds P P

2 20 0

0 0 0 0

1 1Re Re 0

2 2

a b a bE ES ds dz dz

1Im 2

2 m e RS ds W W P

Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We

2 2 *1 1 1 1Im 2 Im

2 4 4 2S ds H E dv E J dv

2 22 20 0

02 20 0 0

1 1

4 4 4 4

a b c

m

E Eabc abcW H dv dxdydz E

2 2 20 0

0 0 0

1 1

4 4 4

a b c

e

abcW E dv E dxdydz E

Propagação em Meios com Perda

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…

Considere um meio com perdas, caracterizado pela sua condutividade , porem sem cargas livres.As equações de Maxwell para campos harmônicos são escritos da seguinte forma:

Aplicando o rotacional na Eq (10.13)

Fazendo uso da identidade vetorial

e da Eq. (10.14)

Obtem-se

Ou

Onde

é conhecida como constante de propagação, e será uma variável complexa,Podendo ser expressa na forma,

de forma similar pode ser obtida uma equação para o campo magnético,

Para obtermos os valores de e na Eq. (10.20) faremos o seguinte:

Resolvendo o sistema de equações (10.21) e (10.22) obtem-se

Consideremos um campo propagando na direção +z, com apenas uma componente em x,

Substituindo na Eq. (10.17), obtem-se

Colocando em evidencia o operador laplaciano, lembrando que não existe variação na direção x e y

Obtem-se a equação diferencial,

Cuja solução tem a forma,

Como o campo deve ser finito em z=infinito, considera-se apenas a exponencial negativa, o campo E(r,t) pode ser então escrito como,

Resultando em ,

0 ˆ, coszE z t E e t z x

De forma analoga, pode ser obtida a solução da Eq. (10.19)

Onde

é conhecida como impedância do meio e será complexa

Onde

O ângulo varia entre 0 e 45 graus.

Substituindo (10.31) e (10.32) em (10.30)

Observe a defasagem entre os campos,

As propriedades de propagação são calculadas usando

Podemos também re-escrever a Eq (10.14)

onde

0 ˆ, coszEH z t e t z y

0 ˆ, coszE z t E e t z x

Ou

onde