ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…

Teorema de Poynting

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez‐Esquerre

Equações de Maxwell

( ) ( ),H r tE r t μ

∂∇× = −( ),E r t

tμ∇× =

∂

( )E r t∂( ) ( ) ( ),, ,

E r tH r t J r t

tε∂

∇× = +∂

( ) ( ). , ,D r t r tρ∇ =

( ). , 0B r t∇ =( ),

EE H E J Eε ∂∇× = +i i iE H E J E

tε∇× = +

∂i i i

E∂EE J E H Et

ε ∂= ∇× −

∂i i i

( ) ( ) ( )A B B A A B∇ × = ∇× − ∇×i i i

( ) ( ) ( )E H H E E H∇ × = ∇× − ∇×i i i

( ) ( ) ( )E H H E E H∇× = ∇× −∇ ×i i i

( ) ( ) EE J H E E H Eε ∂= ∇× −∇ × −

∂i i i i( ) ( )

t∂

( ) ( ) EE J H E E H E ∂∇ ∇( ) ( )E J H E E H E

tε= ∇× −∇ × −

∂i i i i

HEt

μ ∂∇× = −

∂

( )H EE J H E H Eμ ε∂ ∂⎛ ⎞= − −∇ × −⎜ ⎟i i i i( )E J H E H Et t

μ ε∇ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )H EE J H E E Ht t

μ ε∂ ∂= − − −∇ ×

∂ ∂i i i i

( )21 1 1 1E EE E E EE E E

∂∂ ∂ ∂ ∂i( )2 2 2 2

E E Et t t t t

∂ ∂ ∂= = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂i i i

2 2H Eμ ε⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ( )

2 2H E

E J E Ht t

μ ε⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= − + −∇ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

i i

( )2 2H E

E Jdv dv E H dvμ ε⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= − + − ∇ ×⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i( )

2 2E Jdv dv E H dv

t t⎜ ⎟= + ∇ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i

s cE Jdv E J dv E J dv= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i i∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫2 2⎛ ⎞2 2

2 2

2 2 2 2H E

dv H E dvt t t

μ ε μ ε⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫2 2 2 2t t t⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫∫( )E H dv E H ds∇ × = ×∫∫∫ ∫∫i i

S E H= ×

2 2

2 2E Jdv H E dv E H ds

tμ ε∂ ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i2 2t ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

( ) φ⎡ ⎤⎡ ⎤

Teorema Complexo de Poynting

( ) Re Re Ajj t j tA t Ae Ae eφω ω⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) Re Re Bjj t j tB t Be Be eφω ω⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) Re ReB t Be Be e⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) Re Re Rej t j t j tA t B t Ae Be ABeω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ≠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )cos cosA t B t A t B tω φ ω φ+ +( ) ( ) ( ) ( )cos cosA BA t B t A t B tω φ ω φ= + +

( ) ( ) ( ) ( )AB⎡ ⎤( ) ( ) ( ) ( )cos cos 2

2 A B A BABA t B t tφ φ ω φ φ= − + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

1AB( ) ( ) ( ) *1cos Re2 2A B

ABA t B t ABφ φ ⎡ ⎤= − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) *1cos Re2 2A B

E HS E t H t E Hφ φ× ⎡ ⎤= × = − = ×⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2*S E H= ×

E j Hωμ∇× = −

H j E Jωε∇× = +H j E Jωε∇× = +

* *H E j H Hωμ∇× = −i iH E j H Hωμ∇

* * *E H j E E E Jωε− ∇× = −i i i

2 2* * *H E E H j H j E E Jωμ ωε∇× − ∇× = − + −i i i

( ) 2 2* *E H j H j E E Jωμ ωε∇ × = − + −i i

( ) 2 2* *E H j H j E E Jωμ ωε∇ × = − + −i i( ) j jμ

( ) ( )2 2* *E H dv j H E dv E J dvω μ ε∇ × = − − −∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i( ) ( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

( )2 2* *E H ds j H E dv E J dvω μ ε× = − − −∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i( )∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

2 2 *1 1 1 12S ds j H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i

[ ] ( )1 Im 2S ds W W Pω= +∫∫ i

22 4 4 2

S ds j H E dv E J dvω μ ε⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

[ ] ( )Im 22 m e RS ds W W Pω= − − +∫∫ i

Parte Real

[ ] 2*1 1 1Re Re2 2 2SS ds E J dv E dvσ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i

Parte Real

2 2 2

[ ]1 Re2 S CS ds P P= −∫∫ i

Parte Imaginária

[ ] 2 2 *1 1 1 1Im 2 Im2 4 4 2

S ds H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i⎝ ⎠

[ ] ( )1 Im 22 m e RS ds W W Pω= − − +∫∫ i2 ∫∫

Exemplo:Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos

( ) ( )0ˆ, cosE r t xE t kzω= −

( ) ( )0ˆ, cosEH r t y t kzω= −

Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a, y=b e z=c.

( ) ( )η

2 2E Jdv H E dv E H dsμ ε∂ ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i2 2t ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

2 2 *1 1 1 122 4 4 2

S ds j H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i

2 4 4 2⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

2 2E Jd H E d E H dμ ε∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫2 2

E Jdv H E dv E H dst

μ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i

S E H= × ( ) ( )00ˆ ˆcos cosES xE t kz y t kzω ω

η= − × −

2E ( )20ˆ cosES z t kzωη

= −

( )2 2 20 cos

2 2eW E E t kzε ε ω= = −

( ) ( )2

2 2 2 2002 cos cos

2 2 2m eEW H t kz E t kz Wμ μ εω ω= = − = − =( ) ( )022 2 2m eη

0E Jdv =∫∫∫ i 0E Jdv∫∫∫

( )2 2a b c

H E dv W W dxdydzμ ε⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟∫∫∫ ∫ ∫ ∫( )0 0 0

2 2 m eH E dv W W dxdydz+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ ∫ ∫ ∫

a b c c

∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )2 2 2 20 0

0 0 0 0

cos cosE t kz dxdydz ab E t kz dzε ω ε ω− = −∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 20 0

sin 2 sin 21 cos2

2 2 2 2

ct t kcab abE t kz dz E c

k kω ωε εω

⎛ ⎞−⎡ ⎤+ − = + −⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠∫ ( )0

2 2 2 2k k⎣ ⎦⎝ ⎠∫

Aplicando d/dt

( ) ( )2 cos 2 cos2t t kcab Eω ωεω ⎛ ⎞−

−⎜ ⎟02E

k k⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 2 2abμ ε∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤∫∫∫ ( ) ( )2 2 20 cos 2 cos2

2 2 2abH E dv E t t kc

tμ ε ω ω

η∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠∫∫∫

( )2

20ˆ cosES z t kzωη

= −

( ) ( )2 2

2 20 0cos cosa b a b

E EE H ds t dxdy t kc dxdyω ω× = − + −∫∫ ∫∫ ∫∫i

η

( ) ( )0 0 0 0

cos cosE H ds t dxdy t kc dxdyω ωη η

× = +∫∫ ∫∫ ∫∫i

b ( ) ( )20 cos 2 cos2

2abE H ds E t t kcω ωη

⎡ ⎤× = − − −⎣ ⎦∫∫ i

∂ ⎛ ⎞∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

Teorema de Poynting

2 2

2 2E Jdv H E dv E H ds

tμ ε∂ ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i

2 2 *1 1 1 12S d j H E d E J d⎛ ⎞⎜ ⎟∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫2

2 4 4 2S ds j H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i

( ) 0ˆ jkzE r xE e−=

E( ) 0ˆ jkzEH r y eη

−=

2* 0 0

0ˆ ˆ ˆjkz jkzE ES E H xE e y e zη η

−= × = × =

Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos perdas, devemos demonstrar que:p , q

[ ]1 Re 02 S CS ds P P= − =∫∫ i2

[ ]2 2

0 01 1R R 0a b a bE ES d d d d d

⎡ ⎤⎢ ⎥∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫[ ] 0 0

0 0 0 0

Re Re 02 2

S ds dxdy dxdyη η

= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫i

[ ] ( )1 I 2S d W W P∫∫

Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We

[ ] ( )Im 22 m e RS ds W W Pω= − − +∫∫ i

[ ] 2 2 *1 1 1 1Im 2 ImS ds H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i[ ]Im 2 Im2 4 4 2

S ds H E dv E J dvω μ ε ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

2 2 20 0

0 0 0

1 14 4 4

a b c

eabcW E dv E dxdydz Eμ ε ε= = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

2 22 20 01 1a b c E Eabc abcW H dv dxdydz Eμ μ μ ε= = = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 02 2

0 0 04 4 4 4mW H dv dxdydz Eμ μ μ εη η

= = = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫