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IntroducaoConceitos Basicos

Definicao de Probabilidade

TEORIA DA PROBABILIDADE

Lucas Santana da [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

Universidade Estadual de Londrina

22 de maio de 2017

Lucas Santana da Cunha ESTATISTICA ECONOMICA - TURMA 2000



Introducao

Conceitos probabilısticos sao necessarios para se estudar fenomenosaleatorios, isto e, situacoes em que os resultados possıveis saoconhecidos, mas nao se pode saber a priori qual deles ocorrera.

Em particular, a distribuicao de frequencias e um instrumentoimportante para avaliar a variabilidade das observacoes de umfenomeno aleatorio.

Assim, podemos criar um modelo teorico que reproduza de ma-neira razoavel a distribuicao de frequencias. Tais modelos saochamados modelos probabilısticos.




Experimento AleatorioEspaco AmostralEvento

Experimento Aleatorio

E um processo de coleta de dados relativo a um fenomeno queacusa variabilidade em seus resultados, mesmo que as condicoesiniciais sejam sempre as mesmas.

Exemplo 1

a) o lancamento de uma moeda;

b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;

c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;

d) resultado de um exame de gravidez;

e) resultado da eleicao de certo candidato.





Experimento Aleatorio

E um processo de coleta de dados relativo a um fenomeno queacusa variabilidade em seus resultados, mesmo que as condicoesiniciais sejam sempre as mesmas.

Exemplo 1

a) o lancamento de uma moeda;

b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;

c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;

d) resultado de um exame de gravidez;

e) resultado da eleicao de certo candidato.





Espaco Amostral

Quando se tem um experimento aleatorio, nao se pode prevercom certeza o resultado. Pode-se, no entanto, descrever todosos possıveis resultados deste experimento.

O conjunto de todos os resultados possıveis de um experimentoaleatorio e chamado de espaco amostral. Vamos representa-lopor Ω.





Exemplo 2

a) o lancamento de uma moeda:Ω = C ,K, em que C = cara e K = coroa.

b) lancar tres moedas justas e observar as faces voltadas pracima;Ω = CCC ,CCK ,CKC ,CKK ,KCC ,KKC ,KCK ,KKK.

c) lancar um dado e observar a face voltada para cima;Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

d) resultado de um exame de gravidez;Ω = Positivo,Negativo.

e) resultado da eleicao de certo candidato.Ω = Elegeu,Nao elegeu.





Exemplo 2










Exemplo 2










Exemplo 2










Exemplo 2










Evento

E qualquer subconjunto do espaco amostral. Os eventos sao ge-ralmente representados por letras maiusculas, como A,B,C , . . ..

Dentre os eventos a considerar, deve-se incluir o proprio espacoamostral, Ω, que denominamos evento certo e o conjuntovazio, ∅, que denominamos evento impossıvel.





Exemplo 3

a) No lancamento de um dado, considere os seguintes eventos:

A: ser sorteado o numero 2;

B: ser sorteado um numero par;

C: ser sorteado numero primo.

b) Suponha que em um lote de 12 pecas, 4 sejam defeituosas.Duas pecas sao retiradas aleatoriamente sem reposicao. As-sim, o espaco amostral e Ω = DD,DD, DD, DD, em queD e peca defeituosa e D e peca nao defeituosa. Considere osseguintes eventos:

A: ambas sejam defeituosas;

B: pelo menos uma seja defeituosa;

C: ambas sejam perfeitas.





Exemplo 3

a) No lancamento de um dado, considere os seguintes eventos:

A: ser sorteado o numero 2;

B: ser sorteado um numero par;

C: ser sorteado numero primo.

b) Suponha que em um lote de 12 pecas, 4 sejam defeituosas.Duas pecas sao retiradas aleatoriamente sem reposicao. As-sim, o espaco amostral e Ω = DD,DD, DD, DD, em queD e peca defeituosa e D e peca nao defeituosa. Considere osseguintes eventos:

A: ambas sejam defeituosas;

B: pelo menos uma seja defeituosa;

C: ambas sejam perfeitas.





Operacoes com Eventos

Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventosque podem ser expressos em termos de dois ou mais eventos,formando unioes, intersecoes e complementos.

Os espacos amostrais e os eventos, especialmente as relacoesentre os eventos, costumam ser ilustrados por diagramas deVenn.





Uniao de eventos: O evento uniao de A e B equivale aocorrencia de A, ou de B, ou ambos. Contem os elementosdo espaco amostral que estao em pelo menos um dos dois con-juntos. Diz-se “ocorre A ou B”.

Figura 1: Diagrama de Venn

Notacao: A ∪ B





Interseccao de eventos: A interseccao de dois eventos A e Be o evento que consiste de todos os elementos contidos simul-taneamente em A e em B. Contem todos os pontos comuns aA e B.


Notacao: A ∩ B





Sub-Conjuntos: Diz-se: “B e sub-conjunto de A” ou “B im-plica em A”.


Notacao: B ⊂ A⇒

B ∪ A = A,B ∩ A = B.





Eventos Disjuntos: Dois eventos A e B, dizem-se disjuntosou mutuamente exclusivos, quando a ocorrencia de um delesimpossibilita a ocorrencia do outro. Os dois eventos nao temelementos em comum.


Notacao: A ∩ B = ∅





Complemento: E o evento que consiste de todos oselementos do espaco amostral que nao estao contidos em A,ou seja, e a negacao de A.


Notacao: Ac ⇒

Ac ∪ A = Ω,Ac ∩ A = ∅.





Exemplo 4

Em um lancamento de um dado, considere os seguintes eventos:A: sair uma face par; B: sair uma face maior que 3; C: sair a face 1.Calcule:

a) sair uma face par e maior que 3.

b) sair uma face par e face 1.

c) sair uma face par ou maior que 3.

d) sair uma face par ou face 1.

e) nao sair face par;




Definicao classicaDefinicao frequentista

Definicao classica

O conceito classico ou “a priori”surgiu no seculo XVII a partirdos jogos de azar e define a probabilidade de o evento A ocorrercomo sendo:

P(A) =numero de resultados favoraveis a A

numero de resultados possıveis=

n(A)

n(Ω)

Esse conceito aplica-se somente quando todos os resultadospossıveis sao igualmente provaveis.





Exemplo 5

No lancamento de um dado honesto, qual e a probabilidade de oresultado ser um numero:

a) ımpar?

b) Menor que 3?

c) primo?

d) Maior que 6?

e) entre 1 e 6?





Mas como podemos calcular as probabilidades “a priori”nasseguintes situacoes:

Uma pessoa que fuma um pacote de cigarros por dia desenvolvercancer;

Ocorrer uma geada no proximo inverno;

Sair cara em uma moeda desonesta;

As vendas decrescerem se aumentarmos os precos;

Um novo metodo de montagem aumentar a produtividade.

E importante notar que a definicao classica exige que os resul-tados tenham todos a mesma chance.

Se os resultados nao tem a mesma chance, deve-se apelar paraa estimativa pela frequencia relativa.





Definicao frequentista

Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande)e destas o evento A ocorre exatamente nA < n vezes, entao afrequencia relativa de vezes que ocorreu o evento A, “nA/n”, ea estimacao da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja,

P(A) = fA =nAn

Essa estimacao da probabilidade por frequencia relativa de umevento A, e proxima da verdadeira probabilidade do evento A,quando n tende ao infinito.





Exemplo 6

a) Considere o lancamento de uma moeda desonesta. Calcular aprobabilidade de A = resultado obtido e cara.

b) Considere o lancamento de uma moeda honesta. Calcular aprobabilidade de A = resultado obtido e coroa.





Exercıcio 1

Um casal pretende ter filhos. Admitindo probabilidades iguais paraambos os sexos, qual a probabilidade de que venha a ter tres filhosdo mesmo sexo?

Exercıcio 2

Suponha que em um lote de 12 pecas, 4 sejam defeituosas. Duaspecas sao retiradas aleatoriamente sem reposicao. Calcule aprobabilidade de:

a) ambas sejam defeituosas;

b) ambas sejam perfeitas;

c) pelo menos uma seja defeituosa.





Exercıcio 3

Os registros indicam que 34 de de 956 pessoas que recentementevisitaram Africa Central contraıram malaria. Qual a probabilidadede que uma pessoa que recentemente visitou a Africa Central naotenha contraıdo malaria?


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