NOTA TÉCNICAN T - 004/83

04.^5.1983

TEORIA DAS CÉLULAS DE MÚLTIPLAS PASSAGENS

por

Rudimar Riva

Ctntro Técnico AwxtpoctolInstituto d* Ettudoo Avonçodot

Rodovlo dot Tomoloi, Km òfi12.200-Soo Jos# dot Compot-SP

Bretil

RESUMO

—«££ •»

Apresentamos uma revisão dos principais conceitos envolvidos nas

células de multi£las_passagens não astigmãticas.>cMostraste que esses conceitos podem ser extendidos para cavidades

em anel» onde a análise da propagação de raios 'na aproximação paraxial) e

efetuada em dois planos distintos. Aplicam»* os conceitos desenvolvidos

para uma cavidade em anel simples (um espelho curvo e dois planos),mostrando

que o padrão formado pelas projeções do raio nos espelhos i o das Figuras

de Lissajous, que permitem um melhor aproveitamento da área do espelho e

conseqüentemente um numero maior de passagensv<A cavidade tem aplicações em linhas de atraso Ótico, medidas de

refletividade de espelhos com alta refletividade e possivelmente em giros- ' L "~

cõpios do tipo passivo.

ABSTRACT

A review of the main concepts envolved in non astigmatic

multiple passes cells is presented.^

It is shown that these concepts can be extended to ring cavities

in which the analysis of the ray propagation (in the paraxial approaching)

in two separated plans is accomplished. The concepts developed are applyed

to a simple ring cavity (one curve mirror and two plane ones) showing that

the acquired pattern of the rays on the mirrors is the one of a Lissajours

figure which allows a better use of the mirror's area and consequently a

larger number of passes,y

''The cavity has applications in optical delay lines, measurements

of mirrors reflectivities and possibly in passive optical gyroscopes.

ÍNDICE

1 - LISTA DE FIGURAS H

2 -INTRODUÇÃO 1

3 - TEORIA DAS CAVIDADES DE MÚLTIPLAS PASSAGENS 1

4 - CÉLULA DE MÚLTIPLAS PASSAGENS EM ANEL 5

5 - ESCOLHA DA CAVIDADE 9

6 - APLICAÇÕES 10

7 - APÊNDICE 11

8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14

9 - FIGURAS (CONFORME "LISTA DE FIGURAS" CEm seqüência) IS a 26

ill

LISTA DE FIGURAS

N9 TÍTULO PAGINA

1 Propagação do raio em uma CMP com 6 passagens. 15

2 Seqüência de lentes equivalente i uma cavidade com

dois espelhos iguais (f.-f• " •»• )• A linha tracejada

representa o plano de entrada. • 15

3 Projeções do raio no plano dos espelhos. 16

4 Arranjo das projeções do raio no plano dos espelhos

(El ou E 2 ) . 16

5 Casamento de modos de um feixe gaussiano utilizando

uma lente. 17

6 Métodos de injeção do feixe em uma CMP. 17

7 CMP en anel. 18

8 Seqüência de lentes equivalente ã cavidade em anel. 18

9 Projeções do raio no espelho curvo de uma CMP em anel

com N-21 passagens, Kx • 3 e ky « 2. Os pontos marca_

dos com p.r sao os pontos de retorno. 19

10 Projeções do raio no espelho curvo de uma CMP em anel

com N • 21 passagens, kx • 5, ky • 10. 20

11 Variação dos parâmetros da cavidade (B e 40 em função

das freqUências 0 e 0 . 21x y

12 Taxa de variação das freqUências 0 e 0 em relação dos

parâmetros da cavidade. 22

13 Astigmatismo da cavidade em função das freqUsncias

V ey ' 23

14 Diâmetro da cintura do feixe gaussíano nos planos sagí_

tal e tangencial em função das freqUências 0 e 0 . 24

15 Seqüência das projeções do raio no plano dos espelhos

para uma CMP em anel com N • 21 passagens, kx • 4,

ky - 3. 25

16 Propagação do raio (uma dimensão) em uma seqUência

periódica de lentes, igualmente espaçadas. 26

INTRODUÇÃO:

Em 1963, Herriot ei Allis (1), utilizando a teoria desenvolvida

por Pierce (2), estudaram pela primeira vez a célula de múltiplas passa

gens para aplicações óticas.

Nesta nota técnica extendeoos os conceitos das células de mui

tiplas passagens com dois espelhos não astigmãticos para uma cavidade em

anel.

Devido ao astigmatismo, inerente às cavidades em anel, faz-se

necessário analisar a propagação de raios (na aproximação paraxial) em

dois planos distintos (3).

E possível construir uma cavidade astigmãtica com dois espelhos

somente (A), entretanto a cavidade em anel pode ser utilizada em giroscõ

pios do tipo passivo.

Apresentamos inicialmente uma revisão dos conceitos básicos das

células de múltiplas passagens.

Esses conceitos são utilizados na segunda parte deste trabalho

na análise de uma cavidade em anel

São apresentados também, alguns resultados numéricos derivados

da análise efetuada nas cavidades em anel, com os quais pode-se escolher

a cavidade adequada.

Na última seção mostramos algumas das possíveis aplicações das

células de múltipla passagem.

1. TEORIA DAS CAVIDADES DE MÜLTIPLAS PASSAGENS

En uma célula de múltiplas passagens (CMP), o caminho ótico é

muitas vezes maior que a distância entre os espelhos da cavidade. Quando

um feixe de luz entra em um interferômetro, do tipo Fabry-Perot com esp£

lhos esféricos,desalinhados em relação do eixo ótico, observa-se um "free

spectral range" correspondente a um espaçamento entre os espelhos, muito

maior que a distância que os separa.

0 raio luminoso é refletido várias vezes em pontos diferentes

do espelho e sob certas condições pode retornar ao ponto de origem (FIG.-l)

Como exemplo de uma CMP, analisamos uma cavidade simples, cons ti

tuida por dois espelhos esféricos com iguais raios de curvatura. Utiliza

mos no estudo da propagaçlo de raios pela cavidade a aproximação paraxial.

Sendo os dois espelhos iguais, a seqUência de lentes equivalente

à cavidade é composta simplesmente por lentes de igual distância focaiR •»

£ " —o" separadas por L (distancia entre espelhos; (FIG.-2).A matriz ABCD para esta seqüência de lentes é dada por (5):

M -

1J 1 -

Um raio propagando-se pelo sistema tem coordenada rn (distância

do raio ao eixo õtico do sistema (Ver apêncide A.I).

r n. r,max sen (̂ 6 • (1)

onde:

cos e

Ctg(o) - 1 -,1/2

(2)

(3)

R

rmax m ,ro•en (a)

(4)

Com ro , r'o sendo a coordenada e a inclinação inicial do raio,

respectivamente. (0 subíndice n se refere a n-ésima passagem do raio

pelo sistema õtico).

Utilizando o sistema de coordenadas cartesíanas, com origem no

eixo ótico da cavidade, podemos descrever a projeção do raio no plano dos

espelhos (FIG.-3).

Se o raio ro (inicial) se encontra no espelho El, então para

todo n par retornará a esse espelho.

Como as coordenadas x , y do sistema de coordenadas cartesia

nas são independentes» temos:

xn » \ax sen (n0 + ox) (5)

yn - max sem (n© + oy) (6)

tg(ox) .Cl-Cl-i)2") 1' 2 O)

x'o Lx5 R

tg(ay)

y« *

senoy(10)

xmax • yn»ax r e P r e 8 e n t a o a «ãxi"* excursão do raio nos eixos x e y exo, x*o, yo e y'o se referem as coordenadas do raio inicial

A freqüência angular e está definida por (2) e quando

Ne - 2 * J (N,J são inteiros) (11)

Temos xn - xo e yn - yQOu seja, o raio apôs efetuar M passagens pelo sistema Stico

retorna ao ponto de origem. Essa 5 a "condição reentrante" definida por

Herriot (1).

As projeções do raio, no limite das cavidades estáveis

r * e > •y(A + D ) < l ) v f ornam no plano dos espelhos da

cavidade uma elipse com semi-eixos *máx e ya2x, que depeniem das coordena

das iniciais do raio.

6 sempre possível, ajustar as condições iniciais de forma a ter_

mos:xmax - ymax - r (12)

ox - oy ± — (ou tan(ox). tan(ay) - - 1) (13)

Neste caso as projeções do raio são dadas por

*n - r sen(ne) (14)

yn « r cos (n6) (15)

que representam na forma parametrica a equação de um circulo de raio r .

Em cada um dos espelhos da cavidade os pontos (projeções do

raio) estão separados por uma distância angular 20. (FIG.-4). A matriz

ABCD transfere o raio de um espelho para o outro em cada passagem deste

pelo sistema que é composto apenas por uma lente e uma distância.

0 feixe de luz injetado em uma CMP deve ser "adaptado" (mode

matching) aos modos naturais da cavidade (dimensão do feixe gaussiano).

Para um sistema ótico estável representado por uma matriz de

transferencia de raios ABCD o diâmetro da cintura do feixe gaussiano

(2wo) e a distância da cintura do feixe ao plano de entrada do sistema

ótico Z são dados por f*5 J :

2 1/2

« 2 X 4 - ( A • D y (16)

2* C

( A - D2 C (17)

(X e o comprimento de onda do feixe luminoso ) .

0 diâmetro do feixe gaussiano em qualquer ponto dentro da

cavidade, seu raio de curvatura e outros parâmetros, podem ser calcula

dos conhecendo-se Wo e Zwo f5"] .

O casamento de modos do feixe injetado e da cavidade é obtido

utilizando-se uma lente TsH * 6 necessário apenas conhecer as cinturas

de feixe a ser em "casadas!* A distancia das cinturas do feixe â lente são

dadas por:

(f2 - f o 2 ) 1 / 2 (18)

J* ( f 2 - f o 2 ) 1 / 2 (19)

fo - * "* "2 ;( f*fo ) (20)

(f é distancia focai da lente;(FIG.-5).

Existem varias maneiras de injetar o feixe de luz em uma

CMP £4^] .As mais utilizadas são mostradas na (FIG.-6). Um projeto

muito bem detalhado de uma CMP similar a descrita aqui e fornecido em

CO.

2. CÉLULA DE MÚLTIPLAS PASSAGENS EM ANEL;

A cavidade analisada £ constituída por um espelho curvo e dois

planos, dispostos de maneira a formar um triângulo isõceles (FIG.-7),

Essa escolha se deve a simplicidade da matriz de transferência de raios.

Isso é importante quando tem-se que analisar o sistema em dois planos com

diferentes matrizes devido ao astigmatismo.

Essa cavidade tem como unidade da seqüência de lentes, o siste

ma formado por somente uma lente, cora distância focal f • R/2 e

uma distância L • 2d + t (perímetro da cavidade; ver (FIG.-8).

A diferença nos planos sagital e tangencial da cavidade está

nas distancias focais (*3*1 :f R L J

t • •=• cos • (plano tangencial) (21)

R ( plano sagital )2 cosi»

definido na figura 7 )

(22)

Com essa definição para as distâncias focais nos dois planos,

temos então para as matrizes ABCD:

-1

Tl-L

(Plano sagital) (23)

(Plano tangencial) (24)

A condição de estabilidade é diferente nos planos sag tal e

tangencial CJ] e pode ser definida pelo intervalo de validade do

parâmetro ft " õ" 5

0 < ft < 2 cos V (tangencial)

0 < ft < _2cosv

(sagital)

(25)

(26)

• 6

Satisfeita a condição (25), temos necessariamente uma cavidade

estável (em ambos os planos). As coordenadas do raio (projeções no plano

do espelho curvo) são dadas por:

nx max sen(n6 + <*x) (p. tangencial) (27)6

yn - ymax sen(n9y + oy) (p. sagital) (28)

C "máximas, expressos como em (3) e (10) )

Note-se que agora as freqüências 8x e ey são diferentes e

definidas através de:

k C23)

cos 6y - 1 - Pcos* (30)

Para as fases ax e cey temos que:

tg(ox) - 5 --=» (31)

tg(oy) . té*' O7 (32)

eoif yo

As dimensões do feixe gaussiano não são iguais nos planos

tangencial e sagital como podemos ver pelas expressões abaixo:

( p.tangencial )

ços* (34)

• v < -àsr • x' í35>

( p.sagital )

W2 . ^ 1 (36)Ely "P 2 1/2

onde 2WElx 2WElx representam o diâmetro do feixe gaussiano nos planos

tangencial e sagital, respectivamente. Devido a simetria da cavidade

Cintura do feixe gaussiano em ambos os planos esta localizada em Zo • -5- ,

a meio caminho entre os espelhos planos da cavidade.

No projeto de uma CMP £ importante conhecer o padrão formado

nos espelhos pelas projeções do raio descritas em (27) e (28). 0 fato de

não se ter mais uma freqüência única (ângulo 6) para os dois planos (sagj.

tal e tangencial) em uma cavidade em anel (como em qualquer cavidade astig_

tnãtica) implica na ampliação da condição reentrante:

N9x - 2*kx (37)

(kx,ky inteiros)

N9y - 2nky (38)

Para termos um caminho fechado, isto é, o retorno do raio do

ponto de origem apôs N passagens pelo sistema ótico é necessário satisfa

ser (37) e (38) simultaneamente dentro do intervalo o o<(5<2Lcos^ (cavi

dade estável). Satisfeitas essas condições, as projeções dos raios nos

espelhos formam as conhecidas figuras de Lissajous. Das expressões (28)

e (30) temos:

B2 - (1 - cos0x) C 1 - cosQy ) (39)

2., 1 - cos 6y (40)cos • - I—

1 - cos Ox

0 intervalo 0 < * < * representa todas as configurações possjí

veis para a cavidade. Então, com o auxílio de (40),e possível descobrir

a limitação nos inteiros kx e ky definidos por (37) e (38), ou seja:2

- Para cos *>0 ky < kx < (N - ky)

- Para cos2*<l ky < -

u

0 intervalo — < kx < N-ky representa os ângulos completnentares

ao intervalo ky<kx<-x . Portanto o» valores possíveis para kx e ky estão

nos intervalos:

1 * ky < - (41)2

ky % kx < - (42)2

8

Kem todos os valores de kx e ky nos intervalos descritos por

(41) e (42) são realmente possíveis. 6 necessário descartar desse intejr

valo os inteiros que sao fatores de — .

Por exemplo, o par kx * 10 e ky > 12 para uma CMP com N - 40

passagens representa a mesma cavidade i.e., iguais valores de 0 e •

que o par kx • 5 e ky • 6 com N • 20 passagens.

E Óbvio que a CMP real 5 a de N « 20, pois os vinte pontos

subseqüentes são retraçados pelos pontos anteriores. Fisicamente os

inteiros kx e ky representam o número de pontos de retorno nos planos x

e y. (FIG.-9).

Se entretanto os valores de kx e ky são divislveis pelo mesmo

fator (desde que N não o seja também) o número de pontos de retorno e dado

pelo resultado da divisão de kx e ky por esse fator.

Por exemplo o par kx • 10 , ky - 5 tem como máximo divisor comum

o numero 5. Logo o numero de pontos de retorno é dado por 2 e 1 nos planos

x e y respectivamente (FIG.-10). 0 valor 5 nesse caso representa também

o numero de vezes que o raio percorre o caminho representado pela linha

continua da figura 10 antes de retornar ao ponto de origem. Nessa figura

os pontos estão numerados para melhor visualização do fato enunciado acima

e representam a localização do raio no espelho curvo para uma CMP com 21

passagens.

Normalmente o feixe de luz injetado na cavidade não é astigmáti

co. Para efetuar o casamento de modos e necessário transformar o feixe tor

nando-o astigmático. Isso é possível usando no casamento um elemento as_

tigmãtico, como por exemplo uma lente inclinada em relação ao eixo Ótico

CO.

3. ESCOLHA DA CAVIDADE:

Os valores possíveis de kx e ky representam um número muito

grande de cavidades» Os parâmetros da cavidade (dimensões do feixe

gaussiano, dimensões da cavidade, etc) devem ser escolhidos de acordo

com a aplicação a que se destina a CMP, respeitando os limites impostos

na execução prática do projeto (alinhamento, tamanho finito dos espelhos,

etc.) E necessário então esboçar o comportamento desses parâmetros no

intervalo de variação de kx e ky definido por (41) e (42). 0 gráfico da

(FIG.-11) mostra o comportamento dos parâmetros 3 e • em função das fre_

qUencias Ox e 6y. (8 - 2»kx e 9y - 2*ky\ £ importante escolherN « '" N í -os valores de Ox e Oy que sejam menos sensíveis â variação de 3 e 1),

A taxa de variação das freqllências Ox e Oy em função de 3 e <» de acordo

com as expressões (29) e (30) é dada por:

38x 1 1 (43)1( 2 cosV -L)

3

1

(2 cost!» -1 ]

12 ]

( Tcosif" * '

1i 1 / 2 3

t|

1L/2 3

w

( 4 5 )

2 1/2Icos* 1 '

(A6)

A freqliência 8x e mais sensível a variação de B e •.A (FIG.-12)

era as derivadas de 8x em função das freqüências 6x e 6y. Os m<?n£

res valores de -rg- e — w ocorrem quando 9x u 8y tem valores próximos

e a melhor situação acontece para 8y » v/2 ou ky - N/4. Neste caso o

ângulo ty da cavidade ver (FIÜ.-7) é pequeno e o astigmatismo é pouco

pronunciado. Como medida de astigmatismo do feixe gaussíano tomamos a

razão entre os diâmetros do feixe medido no espelho curvo, nos dois planos

(FIG.-13), Para 6x >> ôy o feixe torna-se bastante astigmãtico,

palmente para valores pequenos de 8y,

10

A (FIG.-14) ilustra a dependência do diâmetro da cintura do feixe (em

unidades relativas) em função das frequencies Ox e Oy. Com os gráficos

apresentados pode-se escolher a cavidade desejada de acordo com a aplic£

ção a que se destina a CMP.

Após a definição da cavidade (escolha de 6 e 4'|número de pas

sagens, etc) i interessante conhecer o padrão formado pelos pontos nos

espelhos. Isso porque, no alinhamento da cavidade devemos acompanhar a

trajetória de raio.

As (FIGs.-lO e 151 mostram as projeções dos raios no espelho

curvo para uma cavidade com K • 21 passagens. Qualquer dos pontos marca

dos pode ser o ponto inicial (injeção do feixe) desde que os pontos sub-

sequentes acompanhem a seqüência na figura. A linha continua nas figuras

representa o padrão formado para um número infinito de passagens, manten

do os valores de kx e ky.

4. APLICAÇÕES:

As CMP foram utilizadas principalmente com o objetivo de cons_

truir amplificadores de laser compactos, devido a multiplicação do meio

ativo provocada pelas muitas passagens do feixe. ( Q>J , Q H ) .

Elas se tornam potencialmente úteis; em sistemas onde o ganho é extremamejn

te baixo, como é o caso das células de Hidrogênio utilizadas para gerar

radiação por espalhamento Raman estimulado [ól . Nas CMP não-astigmá

ticas devido ao padrão único apresentado pelas projeções do raio nos espe_

lhos (elipses) o número jáximo de passagens e reduzido.

já nas CMP astigmaticas devido aos variados padrões das figuras

de Liosajours que podem ocupar nos espelhos uma área maior, o número de

passagens e sensivelmente aumentado. A limitação maior ao número de passj*

gens i a refletividade dos espelhos, a qual deve ser a maior possível.

D. Herriot e H.J.Sehulte fí] obtiveram uma CMP astigmátj^

ca de dois espelhos com até 1000 passagens. Uma das aplicações desse tipo

de cavidade é no atraso ótico de um feixe luminoso. Com uma cavidade de

apenas 3 m (separação entre os espelhos) foi possível se obter um atraso de

10P s , com perdas na intensidade luminosa de apenas lOdB PAJ . Essa

mesma cavidade foi utilizada na medida de espelhos com alta refletividade,

0 principal interesse no desenvolvimento da CMP em anel está na

aplicação em giroscõpíos do tipo passivo» em substituição aqueles feitos

com fibras óticas.

11

APÊNDICE I

A transferencia de raios em uma seqllência de lentes pode ser

expressa por (_9 J :

rn • l - A rn • Br'n

rn • 1 • C rn + Dr'n

(1.1)

(1.2)

onde:

r • distância do raio ao eixo ótico do sistema

rn » inclinação do raio ea relação ao eixo ótico

n • n - ésima transferência do raio pelo sistema

periódico (FIG.-16).

De forma mais compacta» podemos escrever as equações de transferência

de raios na forma matricial 6 :

As matrizes ABCD são bem conhecidas e um resumo de tais matrizes pode

•er encontrado em £3} e [5] . Utilizando (A.l) vemos que:

rn - i ( r n + l - Am ) (1.3)

Logo:

•I ( r n + 2 - A r n + l ) (1.4)

Substituindo (A.4) em (A.2) obtemos:

" <A + D> (AD " BC) r (1.5)

12

C propriedade das matrizes ABCD que AD-BC * — onde n e n* são os índjL̂

ces de refração dos planos de entrada e saida do sistema ótico, respe£

ti vãmente (3*1 •

A equação de diferença (A.5) e equivalente a equação diferen

ciai: r "tí2r " 0 cuja solução é dada por r(Z) • r(0) exp f - iwz J

Substituindo a solução tentativa r " rQe in

em (A.5) obtemos:

e - (A+D) e x*+ 1 « 0 (1.6)

Efetuando algumas transformações obtemos finalmente que:

COS» » j (A + D) e portanto, (1.7)

ie i r i 7 ̂ 1/2

e i e - i (A + D) - i | 1 - i (A + D ) Z \ (1.8)

Note que se •=• (A + D) - ̂ 1 - as soluções serão do tipo e

onde a é real, ou seja:

t|| - a e + o n + be"°n (1.9)

S õbivio de (A.3) que para n •*• •» a solução é divergente, ou seja, o

sistema e instável. Portanto a condição de estabilidade é dad£ por:

| cos (8) | - | I (A • D | < 1 ( I 1 0

A solução mais geral para a propagação do raio pelo sistema é

periódica:

rn • a sen(nô) + b cos(nõ) (1.11)

ou de outra forma:

rn " rmax sen(n8+o) (1.12)

Conhecendo as condições iniciais do raio, ro e r'o e com

o auxilio das equações (A.3) e (A.A) podemos descrever rmax e a fase a:

13

r 2 1 1 / 2

tgo - I.» - <A • D) J ( i a 3 )

Note-se que estas equações são válidas para qualquer sistema ótico que

possa ser representado por una matriz ABCD, dentro da região de estabili^

dade definida por (A-10).

0 sub índice n se refere então a n-esima passagem pelo sistema

ABCD, seja ele composto por 2,3 ou mais elementos.

14

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1- D.Herriot, H.Kogelnik e R.Kompfner, Appl. Opt;.2 » 523 (1964)

2- J.R.Pierce, Theory and Design of Electron Beams (Van Nostrand,N.York),

1954, Cap. 11, PP 194-137

3- A.Lago, Nota Técnica, (LEA/NT-022/81), Dez (1981)

4- D.R.Herriot e H.J.Schultz, Appl. Opt, £ 883 (1965)

5- H.Kogelnik e T.Li, Proc. IEEE, 54 , PP. 1312-29 (1966)

6- W.R.Trutna, R.L.Byer. Appl. Opt., 2_ , 301. (1980)

7- A.Lago, a ser publicado

8- H.Kogelnik, T.J. Bridges. IEEE, J.Quant .Electr, 2_ , 95, (1966)

9- A.Yariv., Introduction to Optical Electronics (Holt,Rinehart and

Wiston, Inc) N.York, 1971, ch 2, PP 19-24.

15

(FIG.-l)

lf,« R/2 •fz«R/2

(FIG.-2)

16

Espdho

(FIG.-3)

(FIG.-4)

17

(FIG.-5)

(FIG.-6)

18

E..R

(FIG.-7)

1ft

/ ft12

/ \

(FIG

1 1

•

20

V \II- j

M J.-10)

•

I

II

II*

(FIG.-1A)

25

(FIG.-15)

26

raio no n-ésimo MÇÔO

(FIG.-16)