Teoria das Distribuições e Equacões Diferenciais Parciaisim.ufrj.br/~rivera/Art_Pub/espaco.pdf · estudamos suas principais propriedades, como dualidade, ... onde o principal

Teoria das Distribuicoese Equacoes DiferenciaisParciais

Jaime E. Munoz Rivera

Coordenacao de Matematica Aplicada e ComputacionalLaboratorio Nacional de Computacao CientıficaPetropolis, Rio de Janeiro - BrasilInstituto de MatematicaUniversidade Federal de Rio de Janeiro

Serie de Textos de Pos graduacaoRio de Janeiro, Petropolis 2004.

Laboratorio Nacional de Computacao CientıficaTextos de Pos Graduacao

Coordenacao EditorialJaime E. Munoz Rivera (Coordenador)Marcio MuradGustavo Perla MenzalaGilson Antonio GiraldiMarcelo Fragoso

Ficha catalografica elaborada pela Area de Biblioteca e Documentacao doLNCC.

Munoz Rivera, Jaime EdilbertoM967t Teoria das Distribuicoes e Equacoes

Diferenciais Parciais / Jaime E. Munoz Rivera.- Petropolis,RJ.:/Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica, 2004.

242p. : il. 24 cm. (Textos de pos graduacao)

ISBN 85-99961-06-3

1. Matematica Aplicada. 2. Equacoes Diferenciais Parciais.I. Tıtulo. II.Serie.

CDD 519

ISBN 85-99961-06-3

LNCC - 2004 - 1a edicaoRua Getulio Vargas, 333Quitandinha - Petropolis - Rio de Janeiro25651-070BrasilFax : 55-24-2231-5603

Deposito Legal na Biblioteca NacionalImpresso no Brasil

Prologo

Nestas notas desenvolvemos os topicos de Teoria da Distribuicoes e Espacos deSobolev, que sao lecionados no curso de Doutorado do Instituto de Matematicada Universidade Federal do Rio de Janeiro e do Laboratorio Nacional de Com-putacao Cientıfica. O objetivo e facilitar aos alunos do curso o estudo dostopicos da ementa da disciplina. Introduzindo novas demostracoes a teoremasclassicos do Analise Funcional, ou simplificacoes de demostracoes ja existentesna literatura.

Este texto esta dividido em seis capıtulos. O primeiro esta dedicado ademonstracao de desigualdades basicas, onde a convexidade joga um papelimportante. A convexidade e um conceito chave no analise funcional. Comoveremos no segundo capıtulo este conceito esta presente nas relacoes entrea topologia fraca e forte, nas aplicacoes do Teorema de Hanh Banach e suasconsequencias. Para mostrar a importancia da convexidade, no final do segundocapıtulo introduzimos os espacos Lp para 0 < p < 1, dotamos a este espaco desua metrica natural e mostramos que ele e um espaco vetorial completo. estesespacos tem a propriedade que as bolas abertas ou fechadas nao sao conjuntosconvexos. Isto tem uma implicacao curiosa: O dual topologico de Lp se reduz azero o que mostra como os espacos Lp sao diferentes no caso em que 0 < p < 1e p > 1, e a principal diferenca entre ambos e a convexidade.

No segundo Capıtulo estudamos os espacos Lp. O objetivo central e cara-terizar os tipos de convergencia que estao definidos neste espaco, e encontraras condicoes para calcular limites do tipo

limν→∞

f(uν) = f(u)

quando a sequencia (uν)ν∈N esta limitada em Lp para p > 1.No tercer Capıtulo fazemos uma breve introducao aos espacos de Banach,

onde tenos selecionado alguns dos principais resultados que utilizaremos nestetexto.

No quarto Capıtulo fazemos um estudo das distribuicoes, dando uma rapidaintroducao aos espacos vectoriais topologicos. Introduzimos as topologias quefazem do espaco de distribuicoes um espaco de Frechet. Terminamos este

iii

iv

capıtulo estudando as distribuicoes temperadas e fazendo uma aplicacao paraa equacao do calor. No quinto Capıtulo, introduzimos os espacos de Sobolev,estudamos suas principais propriedades, como dualidade, aproximacao porfuncoes suaves, operadores de prolongamento e as princiapais desigualdadese teoremas de imersao. Damos tambem uma introducao as distribuicoes veto-riais e estudamos teoremas de compacidade sobre os espacos W 1,p(a, b;X).

No Capıtulo sexto, fazemos aplicacoes dos resultados dos capıtulos 4 e 5para os problemas de equilibrio assim como tambem o problema de Signorini.No Capıtulo 7, estudamos o teorema do traco nos espacos Wm,p(Ω). Final-mente, o capıtulo 8 estao dedicados ao estudo da compacidade compensada,onde o principal resultado e o Teorema do Divergente - Rotacional. Finalmente,no Capıtulo capıtulo 9 fazemos aplicacoes ao problemas termo e viscoelasticos.

Termino este prologo agradecendo ao Laboratorio Nacional de ComputacaoCientıfica pela reproducao parcial destas notas.

Finalmente, aceito a completa responsabilidade pelos erros ou possıveispontos obscuros na exposicao destas notas e sao bem vindos comentarios oucorrecoes por partes dos leitores.

O Autor

Conteudo

1 Desigualdades Basicas 51.1 Funcoes convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Desigualdade de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Desigualdade de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Desigualdade de Clarkson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Desigualdades tipo Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Espacos de Banach 192.1 Espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Espacos normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Minimizacao em dimensao finita . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Minimizacao em dimensao infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Teorema de Hanh-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Convergencia fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Topologıa fraca estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.8 Espacos reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Os Espacos Lp 413.1 Desigualdades de Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Desigualdade de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Desigualdade de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Convexidade e topologia fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Lema de Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Teorema da representacao de Riesz para Lp . . . . . . . . . . . 543.7 Convergencia fraca em Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Convergencia fraca em L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9 Convergencia forte em Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.10 Conjuntos compactos em Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.11 Convexidade e semicontinuidade inferior . . . . . . . . . . . . . 643.12 Os Espacos Lp com 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1

2 Conteudo

3.13 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Distribuicoes 73

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Espacos vetoriais topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Espacos das funcoes testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Funcoes de decrescimento rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6 Transformada de Fourier em L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7 Aplicacao a equacao do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7.1 Deducao Fısica do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.8 Solucao da equacao do calor no RN . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5 Espacos de Sobolev 99

5.1 Os espacos Wm,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Os espacos W−m,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Particao da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.4 Aproximacoes por funcoes suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.5 Operadores de prolongamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.6 Desigualdade de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.7 Desigualdades de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.8 Teorema de Morrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.9 Teorema das derivadas intermediarias . . . . . . . . . . . . . . 140

5.10 Desigualdades de interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.11 Distribuicoes vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.12 Teoremas de compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.13 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6 Problemas de Equilibrio 165

6.1 Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.2 Aplicacoes as equacoes elıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2.1 Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2.2 Equacao geral de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . 170

6.2.3 Problema de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.2.4 Equacao geral de Neumann de segunda ordem . . . . . 171

6.2.5 Compatibilidade do problema de Neumann . . . . . . . 173

6.3 Aplicacoes as desigualdades variacionais . . . . . . . . . . . . . 175

6.4 O problema penalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Conteudo 3

7 Teorema do Traco 1817.1 Os espacos Hs(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.2 Os espacos Hs(Γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.3 Teorema do traco em Hm(Rn−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.4 Um caso simple em Wm,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.5 Espacos intermediarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.6 Os espacos W s,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.7 Teorema do traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.8 Espacos W s,p(Γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.9 Teorema do traco em Wm,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8 Extensao de Funcionais Convexos 2118.1 Funcoes A-quase convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.2 Funcionais A-quase convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.3 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.4 Condicao pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.5 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.6 Teorema do divergente - rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.7 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9 Aplicacoes 2299.1 Desigualdades variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.2 Problema de Signorini em elasticidade . . . . . . . . . . . . . . 2299.3 Existencia de solucoes fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

A Decomposicao de campos vetoriais 239

4 Conteudo

Capıtulo 1

Desigualdades Basicas

Todo conhecimento e umaresposta a uma questao

G. Bachelard

Neste capıtulo estudaremos algumas desigualdades que serao de utilidadeao longo deste texto. Estas desigualdades estao baseadas em propriedades defuncoes convexas que estudaremos a seguir. A importancia da convexidade naestrutura topologica dos espacos vetoriais sera visto no Capıtulo 2.

1.1 Funcoes convexas

Definicao 1.1.1 Seja V um espaco normado e denotemos por F a funcao

F : V → R.

Diremos que F e uma funcao convexa se satisfaz a seguinte desigualdade

F (θu + (1 − θ)v) ≤ θF (u) + (1 − θ)F (v), ∀u, v ∈ V, ∀θ ∈ [0, 1]

Diremos que F e estritamente convexa se a igualdade acima se verifica apenasno caso em que u = v.

Exemplo 1.1.1 Seja V = R, F (x) = x2. E simples verificar que F e umafuncao convexa. De fato, seja θ ∈ [0, 1] tomemos x, y ∈ R entao

F (θx+ (1 − θ)y) = (θx+ (1 − θ)y)2

= θ2x2 + 2θ(1 − θ)xy + (1 − θ)2y2

= θx2 + (1 − θ)y2

+(θ2 − θ)x2 + 2θ(1 − θ)xy + [(1 − θ)2 − (1 − θ)]y2

= θx2 + (1 − θ)y2 − (1 − θ)θ(x − y)2

5

6 Capıtulo 1. Desigualdades Basicas

De onde segue que

F (θx+ (1 − θ)y) ≤ θF (x) + (1 − θ)F (y)

Portanto F e convexa.

Exemplo 1.1.2 Consideremos V = R2 e F (x, y) = x2 +y2. Verifiquemos queF e uma funcao convexa. De fato, denotemos por u = (a1, b1), v = (a2, b2).

F (θu + (1 − θ)v) = F (θ(a1, b1) + (1 − θ)(a2, b2))

= F (θa1 + (1 − θ)a2, θb1 + (1 − θ)b2)

= (θa1 + (1 − θ)a2)2 + (θb1 + (1 − θ)b2)

2

Usando o fato que a funcao quadratica e convexa, teremos que

(θa1 + (1 − θ)a2)2 ≤ θa2

1 + (1 − θ)a22

(θb1 + (1 − θ)b2)2 ≤ θb21 + (1 − θ)b22

Utilizando estas desigualdades encontramos que

F (θu + (1 − θ)v) ≤ θa21 + (1 − θ)a2

2 + θb21 + (1 − θ)b22

= θ(a21 + b21) + (1 − θ)(a2

2 + b22)

= θF (u) + (1 − θ)F (v)

Portanto F e convexa.

Exemplo 1.1.3 Considere o espaco V = L1(a, b), seja F (v) =∫ b

a|v(x)|2 dx.

Nestas condicoes teremos que a funcao F e convexa. De fato, consideremos

F (θu+ (1 − θ)v) =

∫ b

a

|θu(x) + (1 − θ)v(x)|2 dx

Usando o fato que a funcao quadratica e convexa, encontramos que

F (θu+ (1 − θ)v) =

∫ b

a

|θu(x) + (1 − θ)v(x)|2 dx

≤∫ b

a

θ|u(x)|2 + (1 − θ)|v(x)|2 dx

≤ θF (u) + (1 − θ)F (v)

1.1. Funcoes convexas 7

Observacao 1.1.1 O conceito de funcoes convexas pode ser estendido a funcoesdefinidas sobre conjuntos e nao sobre espacos normados. Por exemplo podemosdefinir a convexidade de uma funcao

F : Ω → R

mas para isto devemos de verificar que para qualquer par de termos x e y afuncao este bem definida no ponto θx+ (1− θ)y. Isto e que θx+ (1− θ)y ∈ Ω.Os conjuntos com esta propriedade sao chamados de Conjuntos Convexos.

Definicao 1.1.2 Diremos que um conjunto Ω ∈ Rn e um conjunto convexo se

x, y ∈ Ω ⇒ θx + (1 − θ)y ∈ Ω

A definicao anterior nos diz que um conjunto e convexo se e somente se, paracada par de pontos no conjunto, o segmento de reta que une a esses pontostambem pertence ao conjunto. Considere os seguintes exemplos.

Ω

x

y

Conjunto Convexo

Ω

x

y

Conjunto nao Convexo

Em geral o procedimento para mostrar que uma funcao e convexa nao esimple. a seguinte proposicao sera de singular importancia para identificar asfuncoes convexas de classe C2

Proposicao 1.1.1 Seja F uma funcao C2, entao F e convexa se e somente

se a matriz Hessiana de F , HF (x) = (∂2F (x)∂xi∂xj

) e semi definida positiva

Demonstracao.- Do Teorema de Taylor temos que existe um ponto ξ ∈]x, x+h[ tal que

F (x+ h) = F (x) + h · ∇F (x) +1

2h ·HF (ξ) · hτ

Tomemos x = u − h1 e h1 = (1 − θ)(u − v), nestas condicoes segue que existeum ponto ξ0 ∈]u− h1, u[ satisfazendo

F (u) = F (θu+(1−θ)v)+(1−θ)(u−v)·∇F (θu+(1−θ)v)+1

2h·HF (ξ0)·hτ (1.1)


Tomando agora x = v−h2 and h2 = θ(u−v), teremos desta vez que existe umponto ξ1 ∈]v − h2, v[ verificando

F (v) = F (θu+(1−θ)v)+θ(u−v) ·∇F (θu+(1−θ)v)+1

2h2 ·HF (ξ1) ·hτ

2 (1.2)

multiplicando as equacoes (1.1) e (1.2) por θ e (1−θ) respectivamente, somandoos produtos resultantes e lembrando que a matriz Hessiana de F , HF , e semidefinida positiva, teremos que

θF (u) + (1 − θ)F (v) ≥ F (θu + (1 − θ)v).

O que mostra que F e uma funcao convexa. Recıprocamente, suponhamos queF seja convexa e de classe C2, entao teremos que

F (v + θ(u− v)) ≤ F (v) + θ(F (u) − F (v)).

De onde chegamos a

F (v + θ(u − v)) − F (v)

θ≤ F (u)− F (v).

Fazendo θ → 0 chegamos a

∇F (v) · (u− v) ≤ F (u) − F (v).

Intercambiando as variavel u e v segue que

∇F (u) · (v − u) ≤ F (v) − F (u).

Somando as duas desigualdades acima segue que

(∇F (u)−∇F (v)) · (u− v) ≥ 0.

Tomando u = x+ h e v = x para h = τξ, onde τ ∈ R e ξ ∈ Rn, teremos

τ (∇F (x+ τξ) −∇F (x)) · ξ ≥ 0,

que implica que∇F (x+ τξ) −∇F (x)

τ· ξ ≥ 0.

Fazendo τ → 0 obtemosξtHF ξ ≥ 0.

De onde segue que a matriz Hessiana de F e semidefinida positiva. O quecompleta a demonstracao

1.2. Desigualdade de Jensen 9

Proposicao 1.1.2 Toda funcao convexa F satisfaz

F (

m∑

i=1

θiui) ≤m∑

i=1

θiF (ui) ∀θi ≥ 0 e

m∑

i=1

θi = 1.

Demonstracao.- Raciocinemos por inducao sobre m. Suponhamos que adesigualdade

F (

k∑

i=1

θiui) ≤k∑

i=1

θiF (ui)

e valida para m = k. Provaremos que a identidade acima tambem e validapara m = k + 1. De fato, note que

F (

k+1∑

i=1

θiui) = F (θ1u1 +

k+1∑

i=2

θiui) = F (θ1u1 + (1 − θ1)

k+1∑

i=2

θi

1 − θ1ui).

Da convexidade de F segue que

F (

k+1∑

i=1

θiui) ≤ θ1F (u1) + (1 − θ1)F (

k+1∑

i=2

θi

1 − θ1ui).

Comok+1∑

i=2

θi

1 − θ1= 1.

Usando a hipotese indutiva, chegamos ao nosso resultado

1.2 Desigualdade de Jensen

Como uma aplicacao da propriedades das funcoes convexas provaremos a de-sigualdade de Jensen.

Teorema 1.2.1 Seja Ω um hipercubo unitario, entao para toda funcao convexaF e toda funcao integravel g ∈ L1(Ω), teremos

F (

∫

Ω

g(x) dx) ≤∫

Ω

F (g(x)) dx

Demonstracao.- Denotemos por R uma particao de Ω e por ∆xi o i-esimoretangulo da particao. Como

∫Ωdx = 1, teremos que

∑∆xi = 1. Como a

funcao F e convexa teremos que

F (

m∑

i=1

g(xi)∆xi) ≤m∑

i=1

F (g(xi))∆xi


Tomando limite quando ∆xi → 0 segue nossa conclusao.

Observacao 1.2.1 Usando as mesmas ideias da demonstracao anterior, epossivel mostrar para um conjunto Ω ⊂ Rn qualquer que

F (

∫

Ω

g(x)h(x) dx) ≤∫

Ω

F (g(x))h(x) dx

onde h ≥ 0 e uma funcao integravel com∫Ω h dx = 1

Demonstracao.- De fato, denotando por

θi =h(ξi)∆xi∑m

j=1 h(ξj)∆xj⇒

m∑

i=1

θi = 1.

Usando a convexidade de F teremos que

F

(∑mi=1 g(ξi)h(ξi)∆xi∑m

j=1 h(ξj)∆xj

)≤

m∑

i=1

F (g(ξi))h(ξi)∆xi∑mj=1 h(ξj)∆xj

.

Tomando limites quando ∆xi → 0 teremos que

F

(∫Ωg(x)h(x) dx∫Ωh(x) dx

)≤∫ΩF (g(x))h(x) dx∫

Ωh(x) dx

.

De onde segue o resultado.

Observacao 1.2.2 Utilizando a densidade das funcoes contınuas em L1, pode-mos extender o resultado anterior para toda funcao integravel a Lebesgue, poissobre as funcoes contınuas a integral de Lebesgue e a integral de Riemanncoincidem.

Observacao 1.2.3 Tomemos µ ∈ Rn, seja F uma funcao convexa e Ω umhipercubo entao da desigualdade de Jensen 1.2.1 aplicada a h = 1

med Ω, g =

µ + ξ(x) obtemos

∫

Ω

F (µ+ ξ(x)) dx ≥ F (µ)med (Ω); ∀ξ tal que

∫

Ω

ξ(x) dx = 0 (1.3)

A continuacao provaremos que o recıproco da propriedade anterior tambem everdadera.

Teorema 1.2.2 Seja f uma funcao contınua satisfazendo (1.3) para toda funcaoξ ∈ [L∞]n e todo Ω ⊂ RN . Entao f e uma funcao convexa.

1.2. Desigualdade de Jensen 11

Demonstracao.- Como toda funcao h pode ser escrita como

h =1

med (Ω)

∫

Ω

h(x) dx

︸︷︷︸=µ

+

(h− 1

med (Ω)

∫

Ω

h(x) dx

)

︸︷︷︸=ξ

,

a relacao (1.3) e equivalente a

∫

Ω

f(h(x)) dx ≥ f

(1

med (Ω)

∫

Ω

h(x) dx

)med (Ω); ∀h ∈ L∞(Ω). (1.4)

Provaremos que

f(λu + (1 − λ)v) ≤ λf(u) + (1 − λ)f(v),

para toda u, v ∈ RN e 0 < λ < 1, o que mostrara que f e uma funcao convexa.Com efeito, denotemos por χ0 a funcao caraterıstica sobre Ω0 ⊂ Ω e tomemosλ tal que

λ :=med (Ω0)

med (Ω),

denotando por w a funcao

w(x) := χ0(x)u+ (1 − χ0(x))v,

e simples verificar que

f(w) = χ0(x)f(u) + (1 − χ0(x))f(v).

Integrando sobre Ω e multiplicando o resultado por 1

med Ωtemos

λf(u) + (1 − λ)f(v) =1

med (Ω)

∫

Ω

χ0(x)f(u) + (1 − χ0(x))f(v) dx

=1

med (Ω)

∫

Ω

f (χ0(x)u+ (1 − χ0(x))v) dx

≥ med (Ω)

med (Ω)f

(1

med Ω

∫

Ω

χ0(x)u+ (1 − χ0(x))vdx

)

= f(λu + (1 − λ)v),

de onde segue nossa conclusao.


1.3 Desigualdade de Holder

Teorema 1.3.1 (Desigualdade de Holder). Denotemos por ai numerosreais e positivos e suponhamos que pi sao reais satisfazendo pi ≥ 1 e

m∑

i=1

1

pi= 1.

Entao teremos que

m∏

i=1

ai ≤m∑

i=1

1

piapi

Demonstracao.- E simples verificar que a funcao t 7→ −ln(t) e convexa.Portanto teremos que

ln(

m∏

i=1

ai) =

m∑

i=1

ln(ai)

=

m∑

i=1

1

piln(api)

≤ ln(

m∑

i=1

1

piapi

i ).

Tomando a funcao exponencial a cada membro da desigualdade, segue o resul-tado

1.4 Desigualdade de Clarkson

Outra desigualdade importante e a chamada Desigualdade de Clarkson, paramostrar ela precisaremos do seguinte Lema.

Lema 1.4.1 Seja ai para i = 1, · · ·m numeros positivos. Denotemos por

R(p) :=

m∑

i=1

api

1p

.

Entao a funcao p 7→ R(p) e decrescente.

1.4. Desigualdade de Clarkson 13

Demonstracao.- Suponhamos que q ≤ p. Como

ai

R(q)≤ 1 ⇒

(ai

R(q)

)p

≤(

ai

R(q)

)q

Tomando sumatorio de i = 1 a i = m teremos

m∑

i=1

(ai

R(q)

)p

≤m∑

i=1

(ai

R(q)

)q

= 1,

e portantom∑

i=1

api ≤ (R(q))p ⇒ R(p) ≤ R(q),

que completa a prova.

Agora estamos em condicoes de mostrar as desigualdades de Clarkson.

Teorema 1.4.1 Suponhamos que a, b sao numeros reais e que p e um numeroreal satisfazendo, 1 < p < 2 entao teremos que

∣∣∣∣a+ b

2

∣∣∣∣p

+

∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣p

≥ 1

2|a|p +

1

2|b|p,

se p ≥ 2 entao segue que

∣∣∣∣a+ b

2

∣∣∣∣p

+

∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣p

≤ 1

2|a|p +

1

2|b|p.

Demonstracao.- Para obter a primeira desigualdade tomemos

m = 2; a1 =a+ b

2; a2 =

a− b

2; e 1 < p < 2

no Lema 1.4.1. Segue que R(2) ≤ R(p) ou equivalentemente

(a21 + a2

2)12 ≤ (ap

1 + ap2)

1p

isto e

(∣∣∣∣a+ b

2

∣∣∣∣p

+

∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣p) 1

p

≥(∣∣∣∣a+ b

2

∣∣∣∣2

+

∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣2)1

2

=

(1

2|a|2 +

1

2|b|2) 1

2

.


Como a funcao s 7→ −|s|p/2 e convexa para p/2 < 1, entao teremos que

∣∣∣∣a+ b

2

∣∣∣∣p

+

∣∣∣∣a− b

2

∣∣∣∣p

≥(

1

2|a|2 +

1

2|b|2)p

2

≥ 1

2|a|p +

1

2|b|p.

De onde segue a primeira desigualdade deste Teorema. Supponhamos agoraque p > 2. Nestas condicoes, aplicando o Lema 1.4.1 para

m = 2; a1 =a+ b

2; a2 =

a− b

2; p > 2,

segue a desigualdade. A prova esta completa.

1.5 Desigualdades tipo Gronwall

Lema 1.5.1 Seja f uma funcao real positiva de classe C1, satisfazendo

f ′(t) ≤ −c0f(t) + c1e−γt

onde c0, c1, γ sao constantes positivas. Entao, existem constantes positivas c,γ0, tais que

f(t) ≤ ce−γ0t.

Demonstracao.- Seja

F (t) = f(t) +2c1γ

e−γt.

Derivando a funcao obtemos

F ′(t) = f ′(t) − 2c1e−γt ≤ −c0 f(t) − c1e

−γt ≤ −γ0F (t),

onde γ0 = minc0,

γ2

. Finalmente, integrando de 0 a t, temos

F (t) ≤ F (0) e−γ0t ⇒ f(t) ≤ c2 e−γ0t,

onde c2 = f(0) + 2c1

γ. Isto completa a demonstracao.

Lema 1.5.2 Seja f uma funcao real positiva de classe C1, satisfazendo

f ′(t) ≤ −k0 [f(t)]1+ 1

p +k1

(1 + t)p+1,

em que p > 1, k0, k1 > 0. Entao, existe uma constante k2 > 0, tal que

f(t) ≤ k2pf(0) + 2k1

(1 + t)p.

1.5. Desigualdades tipo Gronwall 15

Demonstracao.- Tomemos h(t) = 2k1

p(1+t)p e g(t) = f(t) + h(t). Nestas

condicoes teremos

g′(t) = f ′(t) − 2k1

(1 + t)p+1≤ −k0

[f(t)]1+ 1

p +k1

k0(1 + t)p+1

≤ −k0

[f(t)]1+ 1

p +(p

2

)1+ 1p 1

k0k1p

1

[h(t)]1+ 1p

.

Seja a0 = min

1,(

p2

)1+ 1p 1

k0k1p1

. Assim,

g′(t) ≤ −k0a0

[f(t)]1+ 1

p + [h(t)]1+ 1p

.

Como existe uma constante positiva a1, tal que

[f(t) + h(t)]1+ 1p ≤ a1

[f(t)]1+ 1

p + [h(t)]1+ 1p

,

concluimos que

g′(t) ≤ −k0a0

a1[g(t)]1+ 1

p , ⇒ g′(t)

[g(t)]1+ 1p

≤ −k0a0

a1.

Integrando de 0 a t, temos

g(t) ≤ ppg(0)p + k0a0

a1[g(0)]

1p tp ≤ pp−1[pf(0) + 2k1]

ap2(1 + t)p

,

em que a2 = minp, k0a0

a1[g(0)]

1p

. Tomando k2 = 1

a2

(pa2

)p−1

, segue-se o

nosso resultado.

Terminamos este capıtulo enunciando uma variante do Lema de Gronwall

Lema 1.5.3 Suponhamos que m, g, e ϕ sao funcoes positivas satisfazendo:

ϕ(t) ≤ g(t) +

∫ t

0

m(s)ϕ(s) ds, ∀t ∈ [0, T ].

Entao teremos que

ϕ(t) ≤ g(t) +

∫ t

0

m(s)g(s)eR t

sm(τ) dτ .


Demonstracao.- Introduzamos o funcional

ψ(t) =

∫ t

0

m(s)ϕ(s) ds.

Nestas condicoes teremos que

ψ′(t) = m(t)ϕ(t) ≤ m(t)ψ(t) +m(t)g(t).

Fazendo

F (t) = e−R

t0

m(τ) dτψ(t),

obtemos

F ′(t) = −m(t)e−R t0 m(τ) dτψ(t) + e−

R t0 m(τ) dτψ′(t)

= e−R t0

m dτ [−mψ + ψ′]

portanto

F ′(t) ≤ m(t)g(t)e−R t0

m(τ) dτ

Integrando a desigualdade anterior encontramos que

F (t) ≤∫ t

0

m(τ )g(τ )e−R τ0

m(s) ds dτ.

Finalmente, lembrando a definicao de F teremos que

ψ(t) ≤∫ t

0

m(τ )g(τ )eR t

τm(s) ds dτ e como ϕ(t) − g(t) ≤ ψ(t).

segue nossa conclusao.

Corolario 1.5.1 Com as mesmas hipoteses do Lema 1.5.3, assumindo que ge uma funcao crescente, teremos que

ϕ(t) ≤ g(t)eR t0

m(τ) dτ

Demonstracao.- De fato, do Lema 1.5.3 segue que

ϕ(t) ≤ g(t) +

∫ t

0

m(s)g(s)eR t

sm(τ) dτ ds

Fazendo uma integracao por partes e usando o fato que g e crescente, teremosque

ϕ(t) ≤ g(t)

1 +

∫ t

0

m(s)eR t

sm(τ) dτ ds

De onde segue a conclusao.

1.6. Exercıcios 17

1.6 Exercıcios

1. Mostre que toda funcao convexa definida sobre a reta, e uma funcaocontınua em RN . Pode-se extender este resultado a funcoes do RN?.Justifique sua resposta.

2. Mostre que toda funcao convexa F : RN → R possui um ponto de mınimona bola Br(0).

3. Mostre que se f : RN → R e uma funcao convexa tal que |x| → ∞ ⇒f(x) → ∞ entao f tem um ponto de mınimo em RN . Que pode afirmarsobre a unicidade.

4. Mostre que o conjunto de todos os pontos de mınimos de uma funcaoconvexa, forma um conjunto convexo e fechado.

5. Mostre que toda funcao estritamente convexa, possui um unico ponto demınimo. (Uma funcao e estritamente convexa, quando

f(θu + (1 − θ)v) = θf(u) + (1 − θ)f(v) ⇒ u = v)

6. Mostre que a matriz Hessiana de uma funcao estritamente convexa declasse C2, e definida positiva. Recıprocamente, se a matriz hessiana deuma funcao e definida positiva, entao a funcao deve ser estritamenteconvexa.

7. Mostre que a media aritmetica e maior ou igual que a media Geometrica.Isto e

n

√√√√n∏

i=1

gi ≤1

n

n∑

i=1

gi.

8. Sejam b e c funcoes de classe C1, positivas e decrescentes em [0,∞[. Sejaf uma funcao que decai para zero exponencialmente, (f(t) ≤ ce−γt paraC, γ > 0). Mostre que a solucao geral de

y′′(t) + b(t)y′(t) + c(t)y(t) = f(t)

decai exponencialmente para zero.

9. No exercıcio anterior suponha que f decai polinomialmente, isto e, existeuma constante positiva C e um numero real p tais que

f(t) ≤ C

(1 + t)p.


Mostre que a solucao y da equacao ordinaria deve decaer tambem polino-mialmente com taxa igual a f . Que pode afirmar da solucao do exercico8 quando f apenas satisfaz:

limt→∞

f(t) = 0

10. Sejam a e b numeros reais. Encontre uma condicao necessaria e suficientepara que a solucao geral da equacao

y′′′(t) + ay′(t) + by(t) = 0

decaiga exponencialmente. Que relacao deve satisfazer a e b.

11. Encontre o conjunto dos dados iniciais y0 e y1, de tal forma que a solucaoda equacao diferencial ordinaria

y′′(t) + 2ay′(t) − 2a2y(t) = 0

y(0) = y0, y′(0) = y1

decaiga exponencialmente.

12. Sejam b e c funcoes de classe C1, positivas e decrescentes em [0,∞[.Mostre que a solucao geral de

y′′(t) + b(t)|y′(t)|py′(t) + c(t)y(t) = f(t)

satisfaz:|y(t)| ≤ c

(1 + t)p+1.

Para alguma constante c > 0.

Capıtulo 2

Espacos de Banach

Faremos aqui uma introducao aos espacos de Banach e as diferentes topologıasque se podem definir nelas.

2.1 Espacos metricos

O conceito de espaco metrico e um dos conceitos mais basicos do analise fun-cional. Para que um conjunto nao vazio seja um espaco metrico apenas esuficiente ter definido sobre ele uma aplicacao que sera chamada de metrica.Mais precissamente

Definicao 2.1.1 Diremos que um conjunto nao vazio X e um espaco metrico,se sobre ele esta definida uma funcao

d : X ×X → R

satisfazendo as seguintes propriedades

• d(x, y) = 0 se e somente se x = y.

• A funcao d e simetrica, isto e d(x, y) = d(y, x)

• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular)

A funcao d e chamada de metrica.

Um espaco metrico esta definido desta forma pelo par ordenado (X, d).Note que nao precissamos ter definida nenhuma operacao sobre X. Vejamosalguns exemplos.

19

20 Capıtulo 2. Espacos de Banach

Exemplo 2.1.1 Tomemos o conjunto de pontos P = x1, x2, · · · , xn. Defin-imos sobre este conjunto a funcao

d : P × P → R

da seguinte formad(xi, xj) = 1 − δij

onde δij e o delta de Kronoeker, definida como

δij = 0, se i 6= j, δii = 1.

Exemplo 2.1.2 Denotemos por X =x ∈ R3; ‖x‖ ≤ 1

. Sobre este conjunto

definimos a funcaod : X ×X → R

da seguinte formad(x, y) = ‖x− y‖

claramente esta funcao d satisfaz as condicoes de metrica, portanto o par (X, d)e um espaco metrico.

Exemplo 2.1.3 Denotemos por X = C1(a, b) o conjunto de todas as funcoescontınuas definidas sobre o conjunto fechado [a, b] com derivadas contınuas.Sobre este conjunto definimos a funcao

d(f, g) = supx∈[a,b]

|f(x) − g(x)| + supx∈[a,b]

|f ′(x) − g′(x)|

e simples verificar que este e um espaco metrico.

Exemplo 2.1.4 Seja X =f ∈ C1(a, b); |f(x)| ≤ 1, ∀x ∈ [a, b]

Se definimos

sobre este espaco a metrica


|f(x) − g(x)|

Concluimos que este (x, d) e um espaco metrico.

Definicao 2.1.2 Seja (X, d) um espaco metrico. Diremos que (xµ)µ∈N e umasequencia de Cauchy no espaco metrico X se xµ ∈ X para todo µ ∈ N e aindaverifica que para todo ε > 0 existe N > 0 tal que

µ, ν ≥ N ⇒ d(xµ, xν) < ε

Quando toda sequencia de Cauchy e convergente, diremos que o espaco metricoe completo.

2.1. Espacos metricos 21

Exemplo 2.1.5 O conjunto dos numeros reais com a metrica dada pelo valorabsoluto e um espaco completo. Fato, suponhamos que (xµ)µ∈N) seja umasequencia de Cauchy, entao teremos que ela e limitada. Dado ε > 0 existeN > 0 tal que

µ, µ0 > N ⇒ |xµ − xµ0 | < ε.

Fixemos agora o ponto µ0. Da desigualdade triangular teremos que

|xµ| < |xµ − xµ0 | + |xµ0 | < ε+ |xµ0 |.

Tomando como C0 = ε+ |xµ0 | encontramos que

|xµ| < C0, ∀µ ≥ N.

Tomando C comoC = max x1, · · ·xµ0 , C0 ,

encontramos que|xµ| < C, ∀µ ∈ N

Como a sequencia e limitada, do teorema de Heine Borel, segue que existe umasubsequencia de (xµ)µ∈N que a denotaremos por (xµk )k∈N e um numero real xtal que

xµk → x

Finalmente, mostraremos que toda a sequencia converge para x. Tomemosε > 0, entao existira N > 0 tal que

µ, µk > N ⇒ |xµ − xµ0 | <ε

2

Portanto temos que

µ > N ⇒ |xµ − x| < |xµ − xµ0 |+ |xµ0 − x| < ε

2+ε

2= ε

Exemplo 2.1.6 O espaco metrico dado por X = C(a, b) o conjunto das funcoescontınuas sobre o intervalo [a, b] com a metrica


|f(x) − g(x)|

e um espaco metrico completo. De fato. Seja fµ uma sequencia de Cauchy,entao teremos que para todo ε > 0 existe N > 0 tal que

µ, ν ≥ N ⇒ d(fµ, fν) < ε

isto eµ, ν ≥ N ⇒ sup

x∈[a,b]|fµ(x) − fν(x)| < ε


Como em R toda sequencia de Cauchy e convergente teremos que para cada x,(fµ(x))µ∈N e convergente. Isto e

fµ(x) → f(x)

Denotemos por f(x) este limite. Para mostrar que C(a, b) e completo, bastaramostrar que f e uma funcao contınua. De fato, seja ε > 0 pela convergenciaexistem N1 e N2 tais que

µ ≥ N1 ⇒ |fµ(x) − f(x)| < ε

3

µ ≥ N2 ⇒ |fµ(y) − f(y)| < ε

3

Denotemos por N = max N1, N2. Por outro lado, pela continuidade de fµ

teremos que existe δ > 0 tal que

|x− y| < δ ⇒ |fµ(x) − fµ(y)| < ε

3

Da desigualdade triangular obtemos que

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − fµ(x)|+ |fµ(x) − fµ(y)| + |fµ(y) − f(y)|

Tomando µ > N e |x− y| < δ concluimos que

|f(x) − f(y)| ≤ ε

3+ε

3+ε

3= ε

De onde segue a continuidade da f. Portanto f ∈ C(a, b). Logo o espaco ecompleto.

2.2 Espacos normados

A estrutura de espaco metrico e uma estrutura basica onde isolamos o conceitode metrica, para definir sobre ela uma convergencia de seus elementos. Osespacos normados sao estruturas mais ricas, isto e sao conjuntos nao vazios quepossuem duas operacoes fechadas definidas sobre ele. Uma delas e a soma devetores, e a outra o produto por um escalar, isto e um espaco normado e umespaco vetorial. Mais precissamente

Definicao 2.2.1 Diremos que um espaco vetorial e um espaco normado, seexiste uma funcao N : E → R satisfazendo as seguintes propriedades

• N(x) ≥ 0 para todo x ∈ E e se N(x) = 0 ⇒ x = 0

• N(x+ y) ≤ N(x) +N(y) para todo x, y ∈ E

2.2. Espacos normados 23

• N(αx) = |α|N(x)

Note que a definicao de espaco normado exige que E seja um espaco vetorial.Em particular todo espaco normado e um espaco metrico, para ver isto bastadefinir a metrica d(x, y) = N(x−y). Um espaco Normado e chamado de espacode Banach se ele e completo, isto e toda sequencia de Cauchy e convergente emE.

Exemplo 2.2.1 Denotemos por L1(a, b) o espaco de todas as funcoes definidassobre [a, b] integraveis a Lebesgue. E simples verificar que este espaco munidoda norma

‖f‖1 =

∫ b

a

|f(x)| dx

e um espaco normado. Utilizando os resultados de teorıa da medida mostra-seque toda sequencia de Cauchy e convergente.

Exemplo 2.2.2 Denotemos por C([a, b]) o conjunto de todas as funcoes contınuasno intervalo [a, b]. Isto e

C([a, b]) = f : [a, b] → R; f e contınua

Este e um espaco vetorial, pois soma de funcoes contınuas e contınua, e oproduto de uma constante por uma funcao contınua e tambem uma funcaocontınua. Este espaco vetorial tem estrutura de espaco normado se sobre eledefinimos a norma

‖f‖∞ = sup |f(x)|; x ∈ [a, b]

E simples verificar que ‖ · ‖∞ e uma norma. De fato,

‖f‖∞ = 0 ⇒ f = 0.

Por outro lado temos que

‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞

E Finalmente, que‖λf‖∞ = |λ|‖f‖∞

Exemplo 2.2.3 Consideremos o mesmos espaco do exemplo 2.2.2, C([a, b])o conjunto de todas as funcoes contınuas Como vimos e um espaco vetorial.Podemos tambem dar a este espaco, estrutura de espaco normado, introduzindoa norma

‖f‖1 =

∫ b

a

|f(x)| dx


E simples verificar que ‖ · ‖∞ e uma norma. De fato,

∫ b

a

|f(x)| dx = 0 ⇒ f = 0.


∫ b

a

|f(x) + g(x)| dx ≤∫ b

a

|f(x)| dx+

∫ b

a

|g(x)| dx

Apesar que algebricamente o espaco C(a, b) e igual ao do exemplo 2.2.2, elespossuim caraterısticas muito diferentes. O espaco C(a, b) munido da norma‖ · ‖1 nao e um espaco completo. Para isto basta considerar a sequencia defuncoes

fn : [0, 1] → R, fn(x) = xn.

E simples verificar

fn(x) → f(x), onde f(x) =

0, 0 ≤ x < 11, x = 1.


∫ 1

0

|fn(x) − f(x)| dx =

∫ 1

0

xn dx =1

n + 1→ 0

De onde fn converge para f na norma ‖·‖1. Mais f nao e uma funcao contınua.Logo C([0, 1]) nao e um espaco completo.

2.3 Minimizacao em dimensao finita

Como vimos na secao anterior, para encontrar uma solucao de um problema deequilibrio e necessario mostrar que o funcional que define a energıa potencialdo sistema pode ser minimizado. Isto e que existe uma funcao u satisfazendo

J(u) ≤ J(v), ∀v ∈ Uad

Onde J e um funcional definido sobre um espaco normado E e Uad ⊂ E oconjunto das funcoes admissiveis.

Problemas semelhantes aparecem em problemas de analise real onde muitasvezes e necessario minimizar funcionais definidos sobre RN . Por exemplo umafuncao quadratica da forma

q(x) = xAxt + a · x

2.3. Minimizacao em dimensao finita 25

Onde x = (x1, · · · , xn) e a ∈ RN . Em geral existem restricoes, da forma

F (x) ≤ 0

Onde F : RN → R. Portanto o problema se resume em encontrar um ponto x0

de tal forma que F (x0) ≤ 0 e

q(x0) ≤ q(x), ∀x ∈ R, F (x) ≤ 0

Mostrar que este ponto existe nao e tarefa dificil quando se tem as hipotesesnecessarias. Por exemplo que a matriz A seja definida positiva e F seja umafuncao convexa. A ideia da demostracao e a seguinte. Denotemos por Uad =x ∈ Rn; F (x) ≤ 0. Queremos encontrar x0 ∈ Uad tal que

q(x0) ≤ q(x), ∀x ∈ Uad

Primeiro note que como A e definida positiva, existe uma constante α > 0 talque

xAxt ≥ α‖x‖2, ∀x ∈ Rn

Somando a · x a ambos termos da desigualdade anterior teremos que

q(x) = xAxt + a · x ≥ α‖x‖2 + a · x ≥ α‖x‖2 − a2

2α− α

2‖x‖2

De onde segue que

q(x) ≥ α‖x‖2 − a2

2α≥ − a2

2α(2.1)

Portanto q(x) e limitado inferiormente em RN e em particular sobre Uad. Sabe-mos que toda funcao limitada possui um infimo. Da definicao de infimo, existeuma sequencia em xµ de elementos de Uad tais que

q(xµ) → inf q(x); x ∈ Uad := I

Note que aqui nao podemos aplicar compacidade diretamente porque o conjuntosobre o qual minimizamos nao e limitado. Usando a primeira desigualdade em(2.1) encontramos que

‖xµ‖2 ≤ 1

α

q(xµ) +

a2

2α

Como o segundo membro da desigualdade acima e limitado concluimos que asequencia (xµ)µ∈Rn e limitada. Portanto pelo Teorema de Heine Borel, existeum ponto x0 e uma subsequencia convergente tal que

xµk → x0


Como xµk ∈ Uad para todo k e o conjunto Uad e fechado, teremos que x0 ∈ Uad.Da continuidade de q obtemos que

I = limk→∞

q(xµk) = q(x0)

portanto x0 e o ponto que minimiza o problema.

2.4 Minimizacao em dimensao infinita

O metodo de resolucao do problema anterior e bastante geral e pode ser esten-dido a casos mais gerais. Infelizmente nao pode ser estendido dessa forma paraproblemas de minimizacao em dimensao infinita. Isto porque em pontos cruci-ais da demonstracao utilizamos o fato que toda sequencia limitada possui umasubsequencia convergente, isto e a compacidade. O problema deste resultado eque somente e valido em espacos de dimensao finita.

Teorema 2.4.1 Uma sequencia limitada de elementos de um espaco de Ba-nach E possui uma subsequencia convergente se e somente se E tem dimensaofinita.

Este teorema acaba com a posibilidade de aplicar o mesma ideia para mini-mizacao de funcionais em Espacos de Banach. Examinando mais de perto esteproblema, concluimos que o problema nao radica no fato da dimensao ser finitaou nao e sim na convergencia. Pois observe que nao e necessario que

limk→∞

q(xµk) = q(x0)

basta apenas mostrar que

limk→∞

q(xµk) ≥ q(x0)

Esta desigualdade nos da a posibilidade de enfraquecer nosso conceito de con-vergencia. Observe que ate agora temos tratado de convergencia no sentidoda norma. Isto e onde os conjuntos abertos estao definidos a partir de bolasabertas do tipo

Br(x0) = x ∈ E; ‖x− x0‖E < rCom estes conjuntos em espacos de dimensao infinita o conceito de compacidadee mais exigente. Veja por exemplo o teorema de Compacidade para conjuntosde Lp ou o teorema de Arsela Ascoli que carateriza conjuntos compactos noespaco das funcoes contınuas. A questao agora e saber que tipo de topologıapodemos definir de tal forma que conjuntos limitados sejam precompactos emespacos de dimensao infinita.

2.4. Minimizacao em dimensao infinita 27

Lembremos que uma funcao e contınua se e somente se a preimagem deconjuntos abertos sao tambem conjuntos abertos aberto. A ideia aqui e en-fraquecer o conceito de convergencia restringindo o conceito de continuidade.Assim a ideia e considerar o conjunto de todas as funcoes lineares e contınuas.Assim diremos que uma sequencia (xµ)µ∈N converge fraco para x se e somentese para toda funcao f linear e contınua se verifica que

f(xµ) → f(x).

O conceito de convergencia agora e mais amplo que aquele que conhecemosdo calculo diferencial e este novo conceito nos permitira desenvolver uma novateoria que e chamada de Analise funcional.

Vejamos como os espacos de dimensao finita difierem nos espacos de di-mensao infinita.

Exemplo 2.4.1 Seja (xn)n∈N uma sequencia de vetores em Rm. Suponhamosque ela seja limitada. Isto e que exista uma constante C > 0 tal que

‖xn‖ =√

|x1n|2 + |x2

n|2 + · · ·+ |xmn |2 ≤ C

Pelo Teorema de Heine-Borel existe uma subsequencia de xn, denotada por xnk

que e convergente em Rm. Por outro lado. Esta propriedade nao e valida paraespacos de dimensao infinita. Por exemplo considere o espaco E = C1(0, 1)com a norma ‖f‖∞ dada por

‖f‖∞ = supx∈[0,2π]

|f(x)|

Considere por exemplo a sequencia:

yn = sen (nx)

Claramente e uma sequencia limitada em E. Mas nao possui nenhuma sub-sequencia convergente.

Para resolver problemas de minimizacao em espacos de dimensao infinita,devemos extender o conceito de convergencia.

Lembremos o conceito de continuidade para funcoes de uma variavel. Sejaf : [a, b] → R uma funcao contınua no ponto x0, para todo ε > 0 existe δ > 0tal que

|x− x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε

Esta definicao de continuidade e equivalente a seguinte: f e uma funcao contınuase e somente se a preimagem de conjuntos abertos de R e um aberto de [a, b].Mais precissamente temos o seguinte teorema.


Teorema 2.4.2 Uma funcao f : [a, b] → R e contınua se e somente se paratodo aberto V de R, f−1(V ) e um aberto de [a, b]

Demonstracao.- Se f e uma funcao contınua o resultado e simple de verificar.Mostraremos que quando a preimagem de abertos de R e um aberto de [a, b]entao f deve ser contınua. De fato, lembremos que para toda funcao f e paratodo conjunto V ⊂ R e valido

f(f−1(V )) ⊂ V (2.2)

Tomemos agora uma vizinhanca de f(x0), isto e

Bε(f(x0)) = y ∈ R; |y − f(x0)| < ε

Como f−1(Bε(f(x0))) e um conjunto aberto e

x0 ∈ f−1(Bε(f(x0)))

entao teremos que existe δ > 0 talque

Bδ(x0) ⊂ f−1(Bε(f(x0)))

Usando a propriedade (2.2) concluimos que

f(Bδ (x0)) ⊂ f(f−1(Bε(f(x0)))) ⊂ Bε(f(x0)))

que significa que se

x ∈ Bδ(x0) ⇒ f(x) ∈ f(Bδ (x0)) ⊂ Bε(f(x0)))

Ou equivalentemente, teremos que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

|x− x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε

que mostra a continuidade de f .

O mesmo resultado e valido sobre os espacos de Banach. Isto e

Teorema 2.4.3 Seja E um espaco de Banach e denotemos por F uma funcaoda forma

F : E → R

Entao F e uma funcao contınua se e somente se para todo aberto V de R,F−1(V ) e um aberto de E.

2.4. Minimizacao em dimensao infinita 29

A demonstracao segue os mesmos passos que o correspondente teorema parafuncoes reais.

Note que a norma de E e sempre uma funcao contınua, portanto as bolas

Br(x0) = x ∈ E; ‖x− x0‖ < r

sao sempre conjuntos abertos, pois

Br(x0) = F−1(]0, r[)

onde F (x) = ‖x− x0‖.

Extensao do conceito de convergencia

Extenderemos o conceito de convergencia a partir da seguinte propriedade pro-priedade das funcoes contınuas. Se a sequencia (xν)ν∈N e convergente entaopara toda funcao contınua F teremos que F (xν)ν∈N e tambem convergente.Definiremos uma condicao mais fraca que a anterior se exigimos que a con-vergencia seja valida apenas para as funcoes lineares e contınuas. Diremosentao que uma sequencia xn converge fracamente para x, se f(xn) convergepara f(x), para todas as funcoes lineares e contınuas. Para formalizar estadefinicao introduziremos o espaco dual.

Definicao 2.4.1 Denotemos por E∗ o conjunto das funcoes f : E → R lin-eares e contınuas, isto e

E∗ = f : E → R; f e linear e contınua

O conjunto E∗ e chamado de espaco dual de E

Da definicao concluimos que E∗ e um espaco vectorial. Mais ainda, E e umespaco normado com a norma dada por

‖f‖E∗ = sup‖x‖E≤1

|f(x)|

O seguinte resultado nos diz que o espaco dual de um espaco normado qualquere completo.

Teorema 2.4.4 Seja E um espaco normado, e denotemos por E∗ o espacodual de E. Entao E∗ e um espaco completo.


Demonstracao.- Seja (fm)m∈N uma sequencia de Cauchy em E∗, entao ter-emos que para todo ε > 0 existe N > 0 tal que

m, n > N ⇒ ‖fm − fn‖E∗ < ε.

Em particular teremos que

‖fm(x) − fn(x)‖ ≤ ‖x‖E‖fm − fn‖E∗

Portanto, a sequencia (fm(x))m∈N e de Cauchy em R. Pela completitude dosnumeros reais teremos que existe f(x) tal que

fm(x) → f(x).

Mostraremos a seguir que f ∈ E∗. Note que

fm(αx+ βy) = αfm(x) + βfm(y) → αf(x) + βf(y).

De onde segue que a funcao e linear. Mostraremos agora que f e contınua,para isto bastara mostrar que e limitada.

|f(x)| = limn→∞

|fn(x)| ≤ limn→∞

‖fn‖E∗ ≤ C

Pois toda sequencia de Cauchy e limitada. Portanto f ∈ E∗. Finalmente,mostraremos que (fm(x))m∈N converge para f . Da definicao de supremo, temosque para ε > 0 existira um elemento x0 ∈ E tal que

‖fm − f‖E∗ = sup‖x‖E≤1

|fm(x) − f(x)| < |fm(x0) − f(x0)| +ε

3

Tomando m tal que

|fm(x0) − f(x0)| <1

3ε

Segue o resultado.

2.5 Teorema de Hanh-Banach

O Teorema de Hanh-Banach e a pedra fundamental do analise funcional. Umadas consequencias deste Teorema e que podemos caraterizar a convergenciafraca de uma forma relativamente simples. O Teorema nos diz que todaaplicacao linear e contınua definido sobre um subespaco de E pode ser es-tendida continuamente a todo o espaco. Mais precissamente

Teorema 2.5.1 Seja E um espaco vetorial e denotemos por p uma seminormadefinida sobre E. Isto e

2.5. Teorema de Hanh-Banach 31

• p(λx) = λp(x), ∀x ∈ E, ∀λ > 0

• p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E

Denotemos por G um subespaco de E e g : G → R uma aplicacao linear tal que

g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G

Entao existe uma forma linear f : E → R satisfazendo

g(x) = f(x), ∀x ∈ G

e aindaf(x) ≤ p(x) ∀x ∈ E

Demonstracao.- Seja E um espaco normado e G um subespaco de E. SeG 6= E, entao existe um elemento x0 ∈ E e x0 /∈ G. Definimos assim o espacoG1 = G+ Rx0. Mostraremos que f pode ser estendido a G1 satisfazendo

f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G1 (2.3)

Denotemos por f1 a extensao de f dada por

f1(x+ tx0) = f(x) + tα

Onde α sera escolhida posteriormente de tal forma que verifique a desigualdade2.3. Isto e que se verifique que

f1(x+ tx0) ≤ p(x+ tx0)

Ou equivalentemente, para t > 0

f1(x

t+ x0) ≤ p(

x

t+ x0), ou f1(

x

t− x0) ≤ p(

x

t− x0)

Isto e equivalente a mostrar que

f1(y + x0) ≤ p(y + x0), f1(y − x0) ≤ p(y − x0) ∀y ∈ G

De onde obtemos que

f(y) + α ≤ p(y + x0), f(y) − α ≤ p(y − x0) ∀y ∈ G

Por outro lado, para x, y ∈ G e da desigualdade triangular temos

f(x + y) ≤ p(x+ y) ≤ p(x+ x0) + p(y − x0).

De onde segue que

f(y) − p(y − x0) ≤ p(x+ x0) − f(x)


Tomando supremo no primeiro membro da desigualdade acima e depois infimono segundo membro obtemos que

supy∈G

f(y) − p(y − x0) ≤ infx∈G

p(x+ x0) − f(x)

Tomamos α tal que

supy∈G

f(y) − p(y − x0) ≤ α ≤ infx∈G

p(x+ x0) − f(x)

Encontramos que

f(y) + α ≤ p(y + x0), f(y) − α ≤ p(y − x0) ∀y ∈ G

De onde segue quef1(x+ tx0) ≤ p(x+ tx0)

Isto e,f1(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G1.

Continuando com este mesmo reaciocinio encontramos uma cadeia de sube-spacos de E verificando

G1 ⊂ G2 ⊂ · · · ⊂ E.

e uma sequencias de funcoes f1, f2, · · · , fn, onde fn esta definido em Gn e fn

extende fn−1. Podemos construir uma relacao de ordem da seguinte forma:Diremos que (Gi, fi) (Gj, fj) se Gi ⊂ Gj e fj extende a fi. Claramente esteconjunto tem um maiorante, e portanto pelo Lema de Zorn possui um elementomaximal, que e (E, f), Logo existe f satisfazendo as condicoes do Teorema.

Observacao 2.5.1 Para o caso dos espacos de Dimensao finita o Teorema deHanh Banach e bastante simple. Seja E = RN e denotemos por G ⊂ RN umsubespaco de E. Denotemos por g : G→ R uma funcao linear satisfazendo

g(x) = ‖x‖, ∀x ∈ G

Entao construiremos uma funcao f satisfazendo as condicoes do Teorema deHanh Banach. De fato, denotemos por e1, · · · , er a base ortonormal de G.Esta base pode ser estendida ortonormalmente a uma base do RN , denotemospor B = e1, · · · , er, er+1, · · ·en esta base. Tomemos x = c1e1 + · · ·+ cnen ef de tal forma que

f(er+1) = 0, · · · , f(en) = 0, f(c1e1 + · · ·+ crer) = g(x)

A funcao f assim definida satisfaz

f(x) = f(c1e1 + · · ·+ cnen)

= f(c1e1 + · · · crer) + f(cr+1er+1 + · · ·+ cnen)

= g(x) ≤ ‖x‖ ≤ ‖x‖

2.6. Convergencia fraca 33

Corolario 2.5.1 Para todo x ∈ E existe f0 ∈ E∗ tal que

‖f0‖ = ‖x0‖, f(x0) = ‖x0‖2

Demonstracao.- Seja G = Rx0, e definamos por g ao funcional definido sobreG da seguinte forma

g(x) = g(tx0) = t‖x0‖2 ⇒ ‖g‖ = ‖x0‖

Tomemos p(x) = ‖x0‖‖x‖. Do Teorema de Hanh-Banach existe uma funcao f0definida sobre todo E que verifica

f0(x) = g(x), ∀x ∈ G, |f0(x)| ≤ p(x) = ‖x0‖‖x‖

Portanto f0 verifica as condicoes to Corolario.

Corolario 2.5.2 Para todo elemento x ∈ E temos que

‖x‖E = supf∈E∗;‖f‖∗≤1

f(x)

Demonstracao.- Do teorema de Hanh Banach, existe uma aplicacao f0 talque

‖f0‖∗ = ‖x‖, f0(x) = ‖x‖2

Tomando f1 = f0

‖x‖ concluimos que

‖x‖ = f1(x) ≤ supf∈E∗;‖f‖∗≤1

f(x)

Comosup

f∈E∗;‖f‖∗≤1

f(x) ≤ supf∈E∗;‖f‖∗≤1

‖f‖‖x‖ ≤ ‖x‖

segue a nossa conclusao.

2.6 Convergencia fraca

Na secao anterior vimos como pode ser estendido o conceito de convergencia denumeros reais para espacos de Banach. Esta convergencia e chamada de forteporque vem da norma. Se (xn)n∈N e uma sequencia que converge forte, entaopara toda funcao contınua teremos que

f(xn) → f(x)

A seguir definiremos o conceito de convergencia fraca.


Definicao 2.6.1 Diremos que uma sequencia (xn)n∈N de elementos de umespaco de Banach E, converge fraco para x ∈ E, se e somente se

f(xn) → f(x), ∀f ∈ E∗

Da definicao concluimos que se uma sequencia convergencia forte, entao elaconverge fraco. De fato, se xn converge forte, entao para toda funcao contınuaf teremos que f(xn) → f(x), em particular para as funcoes f ∈ E. O recıproconao e verdade em geral. A excecao e quando E tem dimensao finita. Isto e,a convergencia fraca e forte sao equivalentes nos espacos de dimensao finita.De fato, considere por exemplo o caso unidimensional. Toda funcao linear econtınua f : R → R e da forma f(x) = αx, para α ∈ R. Tomando f tal queα 6= 0 encontramos que

f(xn) → f(x) ⇒ αxn → αx ⇒ xn → x

No caso do RN a situacao e semelhante. Note que todo funcional contınuof : RN → R e da forma f(x) = A · x onde A ∈ Rn. Tomando A =(0, · · · , 0, 1, 0 · · ·, 0) encontramos que

f(x) = xi.

Portanto a condicao de convergencia fraca implica que

xni → xi, ∀i = 1, · · ·n.

De onde temos que a sequencia xn converge forte. Nos casos de dimensaoinfinita este resultado nao e valido, pois por uma lado nao podemos caraterizartodos os funcionais lineares e contınuos de uma forma tao simples. E por outrolado x nao e necessariamente uma combinacao linear finita de termos de umabase. A convergencia fraca esta estreitamente viculada a semicontinuidadeinferior que definimos a seguir.

Definicao 2.6.2 Diremos que um funcional J : E → R definido sobre umespaco normado E e semicontınua inferiormente (SCI) se para toda sequencia(uν)ν∈N convergindo para u temos que

lim infν→∞

J(uν) ≥ J(u).

Para funcoes f : R → R, toda funcao contınua num ponto x sera semi-contınua inferiormente nesse ponto. Para funcoes f com discontinuidade deprimeira especie isto e quando existem os limites laterais, porem sao diferentes,a funcao deve verificar nos pontos de discontinuidade as seguintes relacoes

f(x−) ≥ f(x), f(x+) ≥ f(x).

2.7. Topologıa fraca estrela 35

Funcao S.C.I. Nao e S.C.I.

Como uma consequencia do Teorema de Hahn Banach, temos que a norma esempre uma funcao semicontınua inferiormente com respeito a topologıa fraca.

Teorema 2.6.1 Seja E um espaco normado, e seja xν uma sequencia de ele-mentos em E convirgindo fraco para x, entao temos que

lim infν→∞

‖xν‖ ≥ ‖x‖

Demonstracao.- De fato como a xν converge fraco, entao temos que

f(xν ) → f(x), ∀f ∈ E∗

Por outro lado

f(xν) ≤ ‖f‖‖xν‖ ⇒ f(x) = lim infν→∞

f(xν ) ≤ ‖f‖ lim infν→∞

‖xν‖

Do Corolario 2.5.1, encontramos que existe um funcional f satisfazendo

‖f‖ ≤ 1, f(x) = ‖x‖.

Usando este funcional na desigualdade acima, segue o resultado.

2.7 Topologıa fraca estrela

Dado um espaco normado E, podemos construir seu espaco dual E∗ comosendo o espaco formado por todos os funcionais lineares e contınuos definidosobre E. Este espaco dual e por sua vez um espaco normado. Portanto nesteespaco podemos definir tanto a convergencia forte como a convergencia fraca.Um ponto importante dos espacos duais, e que sobre eles podemos definir umaterceira convergencia, a chamada de convergencia fraca estrela. Diremos queuma sequencia de funcoes (fn)n∈N converge fraco estrela em E∗ se

fn(x) → f(x), ∀x ∈ E.


Observacao 2.7.1 Os conjuntos abertos em E∗

O dual de E, denotado por E∗ e um espaco normado, com a norma dadapor

‖f‖∗ = supx∈B1(0)

f(x).

Portanto podemos definir os conjuntos abertos de E∗ a partir das bolas abertas.Isto e, a bola aberta centrada no zero e raio ε e dada por

Vε(0) = f ∈ E∗; ‖f‖∗ < ε

=

f ∈ E∗; sup

x∈B1(0)

f(x) < ε

= f ∈ E∗; |f(x)| < ε, ∀x ∈ B1(0)

Em geral podemos afirmar que uma vizinhanca qualquer de zero e dada por

V = f ∈ E∗; |f(x)| < ε, x ∈ B

onde B e um conjunto limitado qualquer. Portanto se fn converge forte paraf, e porque

‖fn − f‖∗ → 0 ⇐⇒ supx∈B1(0)

|fn(x) − f(x)| → 0

Por outro lado, Na convergencia fraca estrela teremos que

fn? f ⇐⇒ fn(x) → f(x), ∀x ∈ E.

Onde a convergencia nao e uniforme em x.

Em particular se Tomamos B apenas um conjunto finito, teremos assimuma classe de vizinhancas de zero, e esta topologıa e chamada de topologıafraca estrela.

Definicao 2.7.1 Diremos que um espaco normado E e separavel, se existe umsubconjunto numeravel e denso em E

O conceito de separabilidade e importante, pois nos diz que todo elemento xde E pode ser escrito como limite de uma subsequencia do conjunto numeravele denso.

Teorema 2.7.1 Toda sequencia limitada de funcionais lineares e contınuasdefinidos sobre um espaco normado separavel, possui uma subsequencia queconverge fraco estrela

2.7. Topologıa fraca estrela 37

Demonstracao.- Seja x1, x2, · · · , xn, · · · um conjunto numeravel e denso.Seja (fn)n∈N uma sequencia limitada, entao a sequencia de numeros reais dadospor

f1(x1), f2(x1), f3(x1), · · · fn(x1), · · ·

e limitada, portanto podemos extraer um subsequencia convergente, denotemosela por

f(1)1 (x1), f

(1)2 (x1), f

(1)3 (x1), · · ·f(1)

n (x1), · · ·

que por nossa escolha e convergente. Consideremos agora a subsequencia de

(fn)n∈N dada por (f(1)n )n∈N. Repetindo o mesmo raciocinio anterior concluimos

que a sequencia

f(1)1 (x2), f

(1)2 (x2), f

(1)3 (x2), · · ·f(1)

n (x2), · · ·

e limitada, portanto existe uma subsequencia convergente. De onde existe

f(2)1 (x2), f

(2)2 (x2), f

(2)3 (x2), · · ·f(2)

n (x2), · · ·

e tambem uma sequencia convergente. Assim temos encontrado um sistema desequencias tais que

f(1)1 , f

(1)2 · · · f

(1)n · · · ,

f(2)1 , f

(2)2 · · · f

(2)n · · · ,

f(3)1 , f

(3)2 · · · f

(3)n · · · ,

· · · · · · · · · · · · · · ·

Onde cada sequencia e uma subsequencia da anterior. Tomando agora a

sequencia diagonal (f(n)n )n∈N teremos pela construcao que a sequencia (f

(n)n (xi))n∈N

converge para todo i ∈ N. Como o conjunto x1, x2, · · · , xn, · · · e denso ter-

emos que a sequencia (f(n)n (x))n∈N convirge para todo x ∈ E. Isto quer dizer

que para cada x ∈ E existe um numero f(x) De tal forma que

f(n)n (x) → f(x)

Note que f e linear pois cada termo fn e linear. Por outro lado

f(x) = limn→∞

f(n)n (x) ≤ lim

n→∞‖f(n)

n (x)‖ ≤ c‖x‖, ∀‖x‖ ≤ 1

pois a sequencia (fn)n∈N e limitada. Portanto f tambem e limitado. O quecompleta a demonstracao. Por outro lado, se E e um espaco separavel, temosque a bola unitaria em E∗ e metrizavel. Mais precissamente temos


Teorema 2.7.2 Denotemos por E um espaco normado separavel. A topologıafraca estrela induzida na bola B ⊂ E∗

E = f ∈ E∗; ‖f‖∗ ≤ 1

e metrizavel e sua metrica e dada por

d(f, g) =

∞∑

n=0

2−n|〈f − g , xn〉|

onde (xn)n∈N e o conjunto numeravel e denso da bola B.

A demonstracao e simple

2.8 Espacos reflexivos

Assim como construimos o espaco dual de um espaco vetorial, tambem podemosconstruir o espaco dual do dual. Isto e

E∗∗ = f : E∗ → R; f e linear e contınua

Este espaco E∗∗ e tambem um espaco normado e completo. A norma do espacobidual esta dada por

‖f‖∗∗ = supg∈E∗,‖g‖∗≤1

f(g)

Em geral dado um espaco vetorial E qualquer, podemos definir os espacos duale bidual. Inclusive podemos relacionar o espaco E com o bidual E∗∗ atravesda seguinte aplicacao

J : E → E∗∗, x 7→ J(x) ∈ E∗∗

OndeJ(x) : E∗ → R

Definindo de forma natural

〈J(x) , f〉 = f(x)

Para todo f ∈ E∗. Note que J e uma isometrıa entre os espacos E e E∗∗. Defato,

‖J(x)‖∗∗ = supf∈E∗,‖f‖∗≤1

〈J(x); f〉 = supf∈E∗,‖f‖∗≤1

〈f, x〉 = ‖x‖

De onde obtemos uma aplicacao injetora entre os espacos E e E∗∗. A aplicacaoJ e chamada de projecao canonica. Nao e verdade em geral que J definidaacima, seja sobrejetora. Os espacos nos quais J seja sobrejetora sao chamadosde Reflexivos.

2.8. Espacos reflexivos 39

Definicao 2.8.1 Seja E um espaco de Banach, diremos que E e um espacoreflexivo quando a aplicacao J definida acima e sobrejetora.

Observacao 2.8.1 Como uma consequencia imediata, temos que RN e um es-paco reflexivo. Em geral podemos afirmar que todo espaco normado e completode dimensao finita e reflexivo.

Propriedades dos espacos duais

• E e um espaco reflexivo se e somente se E∗ e reflexivo

• Se E∗ e um espaco separavel entao E e separavel.

• E e um espaco reflexivo e separavel se e somente se E∗ e um espacoreflexivo e separavel.

Teorema 2.8.1 Se E e um espaco reflexivo e separavel, entao a bola unitariae fechada de E e um conjunto compacto com respeito a topologıa fraca.

Demonstracao.- Seja xn uma sequencia limitada em E. Por ser E reflexivoteremos que

J : E → E′′

e uma bijecao. Logo teremos que J(xn) e limitada em E′. Portanto existe umasubsequencia de xn tal que

J(xnk) F fraco estrela em E′′

Onde F ∈ E′′. Pela reflexividade, existe x ∈ E tal que J(x) = F . Da con-vergencia fraca estrela temos

〈J(xnk), f〉 → 〈J(x), f〉 ∀f ∈ E′.

De onde, pela definicao de J temos

〈f, xnk〉 → 〈f, x〉 ∀f ∈ E′.

O que significa que xnk converge fraco em E.Por ser E numeravel entao a topologıa inducida sobre a bola e metrizavel.

Logo a bola e um espaco metrico onde toda sequencia limitada possui umasubsequencia convergente. Portanto, concluimos que a bola e um conjuntorelativamente compacto.

Em geral temos

Teorema 2.8.2 E e um espaco reflexivo se e somente se toda sequencia limi-tada possui uma subsequencia convergindo fraco.


Capıtulo 3

Os Espacos Lp

O espıritu so usa sua facultade criadoraquando a experiencia lhe impoe tal necessidade

H. Poincare

Neste capıtulo estudaremos as principais propriedades dos espacos Lp taiscomo o teorema da Representacao de Riesz, reflexividade, separabilidade ea convexidade uniforme. Para isto utilizaremos essencialmente as desigual-dades estudadas no capıtulo anterior. As propriedades mais importantes dosespacos Lp estao estreitamente vinculadas com a convexidade da norma, con-sideraremos o caso Lp com 0 < p < 1. Como veremos ao final deste capıtuloestes conjuntos sao espacos vetoriais metricos, com a propriedade que as bolasabertas ou fechadas em Lp nao sao convexas. Este fato implica, surprendente-mente, que os espacos duais se reduzem ao conjunto nulo.

Comecaremos este Capıtulo lembraremos alguns resultados importante daTeria de integracao

Lema 3.0.1 Seja (fν ) uma sequencia nao negativa de funcoes, fν ≥ 0 e supon-hamos que

supν∈N

∫

RN

fν dx <∞

entao a funcao definida como

f(x) = lim infν∈N

fν(x)

satisfaz,

f ∈ L1(RN),

∫

RN

f dx ≤ lim infν∈N

∫

RN

fν dx

41

42 Capıtulo 3. Os Espacos Lp

Teorema 3.0.3 (Teorema de Lusin) Seja Ω ⊂ Rn um conjunto mensuravele de medida finita. Seja f uma funcao mensuravel satisfazendo f(x) = 0 parax ∈ Rn \ Ω. Entao para todo ε > 0 existe uma funcao g ∈ C0(Ω) satisfazendo

supx∈Rn

|g(x)| ≤ supx∈Rn

|f(x)|, e med x ∈ Rn; f(x) 6= g(x) < ε.

Teorema 3.0.4 (Teorema da Convergencia Dominada) Seja Ω ⊂ Rn umconjunto mensuravel e seja fµ uma sequencia de funcoes mensuraveis con-vergindo quasi sempre para uma funcao f em Ω. Se existe uma funcao g ∈L1(Ω) verificando |fµ(x)| ≤ |g(x)|, para todo µ ∈ N e quase sempre em Ωentao

limµ→∞

∫

Ω

fµ(x) dx =

∫

Ω

f(x) dx

Teorema 3.0.5 Para todo conjunto aberto Ω ⊂ Rn temos que o conjunto defuncoes contınuas e com soporte compacto C0(Ω) e denso em Lp(Ω)

Observacao 3.0.2 Este Teorema nos diz que para qualquer funcao f ∈ Lp(Ω),existe uma sequencia de funcoes fµ ∈ C0(Ω), de funcoes contınuas e com su-porte compacto que converge forte em Lp(Ω), isto e

fµ → f forte em Lp(Ω)

Observacao 3.0.3 O Teorema 3.0.5 e muito util para mostrar desigualdadespara funcoes integraveis, pois o teorema anterior nos diz que basta mostrar quea desigualdade e valida para funcoes contınuas com suporte compacto, que peladensidade ela pode ser extendida para funcoes integraveis.

3.1 Desigualdades de Holder

Teorema 3.1.1 Suponhamos que pi ≥ 1 i = 1, · · · , m sao tais que

m∑

i=1

1

pi= 1.

If fi ∈ Lpi(Ω) for i = 1, · · · , n entao temos que∏m

i=1 fi ∈ L1(Ω) e ainda

∫

Ω

|m∏

i=1

fi| dx ≤m∏

i=1

∫

Ω

|fi(x)|pi dx

1pi

.

3.1. Desigualdades de Holder 43

Demonstracao.- Denotemos por

ai :=|fi(x)|

∫Ω|fi(x)|pi dx

1pi

.

Aplicando a desigualdade de Holder e integrando sobre Ω segue nossa conclusao

Como consequencia das desigualdades de Holder enunciamos os seguintes corolarios.

Corolario 3.1.1 Tomemos 0 < p < 1 e q tal que 1/p+ 1/q = 1. Sejam f eg funcoes tais que |f |p ∈ L1(Ω), g ∈ Lq(Ω), |g|q ∈ L1(Ω). Nestas condicoesteremos que

∫

Ω

|f(x)g(x)| dx ≥∫

Ω

|f(x)|p dx 1

p∫

Ω

|g(x)|q dx1

q

Demonstracao.- Aplicando as desigualdades de Holder as funcoes F (x) :=1/g(x) and G(x) := g(x)f(x), teremos que

∫

Ω

|f(x)|p dx =

∫

Ω

|F (x)G(x)|p dx

≤∫

Ω

| 1

g(x)| p1−p dx

1−p∫

Ω

|g(x)f(x)| dxp

≤∫

Ω

| 1

g(x)|−q dx

1−p∫

Ω

|g(x)f(x)| dxp

De onde segue o resultado

Como consequencia da desigualdade de Holder, obtemos as conhecidas desigual-dades de interpolacao.

Corolario 3.1.2 Suponhamos que f ∈ Lp(RN) ∩ Lq(RN), entao temos quef ∈ Lr(RN) para todo r ∈ [p, q]. Alem disso temos que

‖f‖Lr(RN) ≤ ‖f‖θLp(RN )‖f‖1−θ

Lr(RN)

onde 1r

= θp

+ 1−θq

Demonstracao.- Note que

1

r=

1pθ

+1q

1−θ

⇒ 1 =1prθ

+1q

r(1−θ)


Por hipotese temos que |f |θr ∈ Lp

rθ , |f |(1−θ)r ∈ Lq

r(1−θ) . Portanto o pro-duto |f |θr|f |(1−θ)r = |f |r ∈ L1(RN)

∫

RN

|f |r dx =

∫

RN

|f |θr|f |(1−θ)r dx

Aplicando a desigualdade de Holder para as potencias temos que

∫

RN

|f |r dx =

∫

RN

|f |θr|f |(1−θ)r dx ≤∫

RN

|f |p dxrθ

p∫

RN

|f |q dx r(1−θ)

p

De onde segue a desigualdade.

3.2 Desigualdade de Minkowski

Usando as desigualdades de Holder mostraremos a desigualdade de Minkowskique prova que o funcional

f 7→∫

Ω

|f |p dx1/p

,

e uma norma em Lp(Ω).

Teorema 3.2.1 (Desigualdade de Minkowski). Suponhamos que as funcoesf, g ∈ Lp(Ω) e que p ≥ 1, entao segue que

∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx 1

p

≤∫

Ω

|f(x)|p dx 1

p

+

∫

Ω

|g(x)|p dx 1

p

Por outro lado, se p < 1 teremos a desigualdade inversa de Minkowski

∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx 1

p

≥∫

Ω

|f(x)|p dx 1

p

+

∫

Ω

|g(x)|p dx 1

p

Demonstracao.- Note que

∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx =

∫

Ω

|f(x) + g(x)||f(x) + g(x)|p−1 dx

≤∫

Ω

|f(x)||f(x) + g(x)|p−1 dx+

∫

Ω

|g(x)||f(x) + g(x)|p−1 dx

3.2. Desigualdade de Minkowski 45

Como |f + g|p−1 ∈ Lq(Ω), a desigualdade de Holders implica que∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx ≤(∫

Ω

|f(x)|p dx) 1

p

+

(∫

Ω

|g(x)|p dx) 1

p

∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx1−1/p

De onde segue a primeira desigualdade. Usando a desigualdade inversa deHolder concluimos que ∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx ≥(∫

Ω

|f(x)|p dx) 1

p

+

(∫

Ω

|g(x)|p dx) 1

p

∫

Ω

|f(x) + g(x)|p dx1−1/p

De onde segue a nossa conclusao.

Agora estamos em condicoes de mostrar as desigualdades Lp–Clarkson

Teorema 3.2.2 Suponhamos que 1 < p < 2 entao toda funcao u, v ∈ Lp

teremos∫

Ω

∣∣∣∣u− v

2

∣∣∣∣p

dx

qp

+

∫

Ω

∣∣∣∣u+ v

2

∣∣∣∣p

dx

qp

≤

1

2

∫

Ω

|u|p + |v|p dx q

p

,

onde q e tal que 1/p+ 1/q = 1. Se p ≥ 2 entao teremos que∫

Ω

∣∣∣∣u− v

2

∣∣∣∣p

dx+

∫

Ω

∣∣∣∣u+ v

2

∣∣∣∣p

dx ≤ 1

2

∫

Ω

|u|p + |v|p dx.

Demonstracao.- Consideremos o caso 1 ≤ p < 2. Note primeiro que

(

∫

Ω

|f |p dx) qp = (

∫

Ω

(|f | pq )q dx)

qp = ‖ |f |q ‖

Lpq.

Usando a desigualdade inversa de Minkowski teremos que

‖ |f |q ‖L

pq

+ ‖ |g|q ‖L

pq≤ ‖ |f |q + |g|q ‖

Lpq

Tomando f = (u+ v)/2 e g = (u− v)/2 e como q > 2 temos

∫

Ω

∣∣∣∣u− v

2

∣∣∣∣p

dx

qp

+

∫

Ω

∣∣∣∣u+ v

2

∣∣∣∣p

dx

qp

≤∫

Ω

(∣∣∣∣u− v

2

∣∣∣∣q

+

∣∣∣∣u+ v

2

∣∣∣∣q) p

q

dx

qp

≤ 1

2

∫

Ω

(|u|q + |v|q)pq dx

qp

≤ 1

2

∫

Ω

|u|p + |v|p dx q

p


Onde temos usado que

(|u|q + |v|q) 1q ≤ (|u|p + |v|p) 1

p , ∀p ≤ q.

A outra desigualdade segue diretamente do Teorema 1.4.1. A prova estacompleta

3.3 Desigualdade de Young

Nesta secao estudaremos a Desigualdade de Young para convolucoes. As condicoessobre as quais esta desigualdade e valida estao resumidas no seguinte Teorema.

Teorema 3.3.1 Suponhamos que f ∈ L1(RN ) e que g ∈ Lp(RN ), entao severifica que

f ∗ g ∈ Lp(RN )

e ainda temos que

‖f ∗ g‖Lp(RN ) ≤ ‖f‖L1(RN)‖g‖Lp(RN ).

Por outro lado, se f ∈ Lq(RN) e g ∈ Lp(RN), entao a convolucao satisfaz

f ∗ g ∈ Ls(RN ), onde1

s=

1

p+

1

q− 1

e ainda temos que

‖f ∗ g‖Ls(RN) ≤ ‖f‖Lq(RN )‖g‖Lp(RN).

Demonstracao.- Assumiremos primeiro que f e g sao funcoes contınuas e comsuporte compacto. Nosso resultado seguira usando argumentos de densidade.Para demostrar a primeira parte do Teorema utilizaremos a desigualdade deHolder. Note que

∫

RN

|f ∗ g|p dx =

∫

RN

∣∣∣∣∫

RN

f(x − s)g(s) ds

∣∣∣∣p

dx

≤∫

RN

∣∣∣∣∫

RN

|f(x− s)| 1p′ |f(x − s)|1− 1

p′ |g(s)| ds∣∣∣∣p

dx

≤ ‖f‖p

p′

L1(RN)

∫

RN

∫

RN

|f(x− s)||g(s)|p ds dx

= ‖f‖p

p′

L1(RN)

∫

RN

∫

RN

|f(x− s)| dx|g(s)|p ds

= ‖f‖1+ p

p′

L1(RN)‖g‖p

Lp(RN )

3.3. Desigualdade de Young 47

De onde segue a primeira parte do Teorema. Para mostrar a segunda parteutilizaremos a desigualdade que acabamos de mostrar.

∫

RN

|f ∗ g|s dx =

∫

RN

∣∣∣∣∫

RN

f(x − s)g(s) ds

∣∣∣∣s

dx

≤∫

RN

∣∣∣∣∫

RN

|f(x− s)|a|f(x− s)|1−a|g(s)| ds∣∣∣∣s

dx

≤∫

RN

|f |ap′dx

sp′ ∫

RN

∫

RN

|f(x− s)|(1−a)p|g(s)|p ds s

p

︸︷︷︸:=I

dx

Note que I e o producto de convolucao das funcoes |f(x−s)|(1−a)p com |g(s)|p.Este ultimo termo pertence a L1(RN ), portanto para aplicar a primeira partedeste Teorema, devemos escolher a de tal forma que

|f |(1−a)p ∈ Lsp (RN )

Isto e verdade quando a seja tal que [(1 − a)p]s/p = q isto e

(1 − a)s = q ⇔ a = 1 − q

s

Por outro lado a tambem deve satisfazer,

ap′ = q ⇔ a =p− 1

pq

Das duas identidades acima obtemos que

1

s=

1

p+

1

q− 1

De onde segue

|f |(1−a)p ∗ |g|p ∈ Lsp (RN )

e ainda temos que

∫

RN

|f |(1−a)p ∗ |g|p

sp

dx ≤∫

RN

|f |q dx∫

RN

|g|p dx s

p

.

Portanto ∫

RN

|f ∗ g|s dx ≤∫

RN

|f |q dxs

q∫

RN

|g|p dxs

q

.


Tomemos agora f e g, em Lq(RN ) e Lp(RN ), respectivamente. Entao existemsequencias fν e gν de funcoes contınuas e com suporte compacto satisfazendo:

fν → f forte em Lq(RN)

gν → g forte em Lp(RN)

Como consequencia das convergencias temos que as sequencias fν e gν possuemsubsequencias que convergem quase sempre em RN . Denotando da mesmaforma essas subsequencias e simples verificar que

|fν ∗ gν(x)|s → |f ∗ g(x)|s quase sempre em RN

Usando o Lema de Fatou e as desigualdades mostradas acima teremos que

∫

RN

|f ∗ g|s dx ≤ lim infν∈N

∫

RN

|fν ∗ gν|s dx

≤ limν→∞

∫

RN

|fν|q dx s

q∫

RN

|gν|p dx s

p


3.4 Convexidade e topologia fraca

Convergencia fraca e convexidade sao conceitos que estao interligados. Poreste motivo comecaremos nosso estudo de convergencia fraca analizando deperto algumas propriedades dos conjuntos convexos. No seguinte Teoremamostraremos que todo conjunto convexo e aberto, pode ser caraterizado atravezde uma funcao convexa, que sera denominada Funcional de Minkowski.

Teorema 3.4.1 Seja C um conjunto aberto e convexo C de um espaco deBanach E. Denotemos por

p(x) := infα > 0;α−1x ∈ C

.

Entao p e uma seminorma satisfazendo

(i)

0 ≤ p(x) ≤ c0‖x‖.

(ii) Mais ainda, C pode ser escrito como

C = x ∈ E; p(x) < 1 .

3.4. Convexidade e topologia fraca 49

Demonstracao.- Sem perda de generalidade podemos supor que 0 ∈ C eportanto que existe um raio ρ > 0 tal que a bola

B(0, ρ) ⊂ C,

desta forma temos que para todo x ∈ E

ρx

‖x‖ =

(‖x‖ρ

)−1

x ∈ C,

de onde segue que para todo x ∈ E e valida a desigualdade

p(x) ≤ ‖x‖ρ.

Portanto (i) e valido c0 = 1ρ . Provaremos agora que o funcional p e uma

seminorma. Para isto tomemos x e y em E, e simples ver que

x

p(x) + ε,

y

p(y) + ε∈ C.

Como C e convexo, teremos

p(x) + ε

p(x) + p(y) + 2ε

(x

p(x) + ε

)+

p(y) + ε

p(x) + p(y) + 2ε

(y

p(y) + ε

)

=x+ y

p(x) + p(y) + 2ε∈ C.

De onde segue quep(x+ y) ≤ p(x) + p(y) + 2ε

para todo ε > 0. Mostraremos finalmente (ii). Para isto se x ∈ C e como

C e aberto, entao teremos que (‖x‖+ε‖x‖ )x ∈ C, de onde segue que p(x) ≤ 1.

Recıprocamente, tomemos x ∈ E tal que p(x) < 1 e θ satisfazendo 0 < p(x) <θ < 1, como 0 ∈ C temos que θ−1x ∈ C, segue entao que

x = θ(θ−1)x+ (1 − θ)0 ∈ C.

Isto prova o resultado.

Num espaco de Banach E a topologia definida pela norma e chamadade Topologia forte. Nesta secao introduziremos uma outra topologia que achamaremos de Topologia fraca e a denotaremos por τf .

Definicao 3.4.1 Chamaremos de topologia fraca a la topologia menos fina quefaz contınua a todos os funcionais limitados de espaco dual E∗ de E.


E simples verificar que uma base para esta topologia e dado pela famılia deconjuntos

V αf = x ∈ E; f(x) < α; ;

onde α ∈ R e f ∈ E∗. Uma primeira pregunta neste ponto, e saber quais sao asdiferencas e semelhancas entre a Topologia fraca e a topologia forte. Por exem-plo nos espacos de dimensao finita estas topologias coincidem. Mas isto nao everdade no caso geral. Pela definicao da Topologia fraca, podemos verificar quetodo aberto pode ser expressado como a uniao de preimagenes de elementos deE∗ de abertos de R, que sao abertos na topologia fraca. Portanto, todo abertofraco, e um aberto forte. Mas o recıproco nao e verdadero. Equivalentemente,podemos afirmar que todo fechado fraco e um fechado forte. O recıproco efalso. Mas se a isto acrescentamos a convexidade, entao teriamos que todoconvexo fechado na topologia forte, e tambem um fechado na topologia fraca.Resumimos esta discussao no seguinte Teorema.

Teorema 3.4.2 Seja C e um conjunto convexo de E, entao C e fechado natopologia forte se e somente se C e fechado na topologia fraca.

Demonstracao.- Suponhamos que C e fechado na topologia forte. Sem perdade generalidade podemos supor que 0 ∈ C, (se este nao for o caso, podemostomar C := C − y0, para y0 ∈ C). Provaremos que o conjunto complementarioCc e um aberto fraco. De fato, tomemos x0 ∈ Cc e denotemos por

Cε := C + y ∈ E; ‖y‖ < ε .

E simples verificar que Cε e um convexo aberto (na topologia forte) e paraε suficientemente pequenho x0 /∈ Cε. De fato se x0 ∈ Cε para todo ε > 0teriamos que x0 = yε + zε, onde yε ∈ C and ‖zε‖ ≤ ε. De onde concluimso que‖x−yε‖ = ‖zε‖ < ε para todo ε. Fazendo ε→ 0 concluimos que yε → x0, forte.Como C e fechado, entao x0 ∈ C, que e uma contradicao.

Denotemos por p o funcional de Minkowski associado a Cε. Pelo Teo-rema 3.4.1 temos que

p(x) < 1 se e somente se x ∈ Cε.

Definamos o funcional f da seguinte forma

g(tx0) = t.

Como x0 ∈ Cc temos que

g(x0) := 1 ≤ p(x0) ⇒ g(tx0) := t ≤ p(tx0) ∀t ≥ 0.

3.4. Convexidade e topologia fraca 51

Se t e negativo, como p ≥ 0, segue entao que

g(tx0) := t ≤ 0 ≤ p(tx0),

para todo t ∈ R. Portanto, teremos que

g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ Rx0.

Do Teorema de Hahn-Banach concluimos que existe um funcional f definidosobre todo o espaco E que extende g tal que

f(x) ≤ p(x) ∀x ∈ E.

Consideremos o conjunto aberto

V = x ∈ E; f(x) > 1 .

Claramente V e um aberto na topologia fraca. Como C ⊂ x ∈ E; p(x) < 1 ef(x) < p(x) < 1 entao

V ∩ C = ∅;isto significa que V ⊂ Cc. De onde segue nossa conclusao.

Teorema 3.4.3 Suponhamos que

uν → u fraco em E

entao existe uma sequencia de combinacoes convexas que convergem forte parau.

Demonstracao.- Denotemos por C o fecho da capsula convexa do conjuntouν ; ν ∈ N. E simples verificar que C e convexo e que u e um ponto deacumulacao de C. Portanto existe uma sequencia vµ de combinacoes convexasde uν, que convergem forte para u. A prova agora esta completa

Lema 3.4.1 Seja V um subespaco vetorial de Rm, e seja x0 ∈ Rm tal quex0 6∈ V , entao existe uma funcao linear f : Rm → R tal que

f(x) = 0, ∀x ∈ V, e f(x0) = 1

Demonstracao.- Como x0 6∈ V , temos que dim(V )< m. Denotemos por

w1, · · · , wj

uma base de V . Como x0 6∈ V , denotando por wj+1 = x0 temos que o conjunto

w1, · · · , wj, wj+1


e linearmente independente em Rm. Portanto podemos extender o conjuntoacima ate formar uma base do Rm. Assim teremos que

w1, · · · , wj, wj+1, · · · , wm

e base de Rm. Portanto todo x ∈ Rm pode ser escrito como

x =

m∑

i=1

αiwi

Definamos agora o funcional f tal que para j fixo tenhamos

f(wi) = 0, ∀i 6= j, f(wj) = 1

Extendendo f linearmente para todo x ∈ Rm. E simples verificar que f assimdefinida, satisfaz as condicoes do Lema.

Lema 3.4.2 Seja E um espaco vetorial e denotemos por ϕ, ϕ1, · · · , ϕm, fun-cionais definidos sobre E, isto e

ϕ, ϕ1, · · · , ϕm : E → R

satisfazendo a seguinte propriedade:

ϕi(x) = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ m, ⇒ ϕ(x) = 0.

Entao existem numeros reais λ1, · · ·λn tais que

ϕ =

m∑

i=1

λiϕi

Demonstracao.- Denotemos por F o funcional

F (x) = [ϕ(x), ϕ1(x), · · · , ϕm(x)]

Claramente temos queF : E → Rm+1.

Denotemos por S = F (E) ⊂ Rm+1 a imagem de F , entao S e um subespacode Rm+1 e

x0 = [1, 0, · · ·, 0] 6∈ S.

Pelo Lema 3.4.1, existe uma funcao linear e contınua g definida sobre Rm+1 talque

g(x) = 0 ∀x ∈ S, g(x0) = 1.

3.5. Lema de Mazur 53

De onde segue que

g([ϕ(x), ϕ1(x), · · · , ϕm(x)]) = 0 ∀x ∈ E.

Note que

[ϕ(x), ϕ1(x), · · · , ϕm(x)] = ϕ(x)e1 +

m∑

i=1

ϕi(x)ei+1

Onde por ei estamos denotando a base canonica do Rm+1 e e1 = (1, 0, · · · , 0) =x0. Da linearidade de g teremos que

g([ϕ(x), ϕ1(x), · · · , ϕm(x)]) = ϕ(x) g(e1)︸︷︷︸=1

+

m∑

i=1

ϕi(x) g(ei+1)︸︷︷︸:=λ1

= 0


3.5 Lema de Mazur

Teorema 3.5.1 (Lema de Mazur) Suponhamos que uν e uma sequenciasatisfazendo

uν → u fraco em Lp(Ω)

entao para todo ε > 0 existe N = N(ε) tal que para cada k > N teremos

∣∣∣∣∣u(x) −m∑

k=l

θkuνk(x)

∣∣∣∣∣ < ε a.e. in Ω (3.1)

onde θk satisfazm∑

k=l

θk = 1

Demonstracao.- Do Teorema 3.4.3 existe uma sequencia (vµ) de combinacoesconvexas da sequencia uν que convergem forte para u. Portanto, existe umsubsequencia de (vµ) que a denotaremos da mesma forma que converge quasesempre em Ω. Isto significa que dado ε > 0 existe N tal que

|vN (x) − u(x)| < ε.

Como vµ e uma conbinacao convexa de elementos de (uν)ν∈N segue a relacao(3.1). A prova esta completa.


3.6 Teorema da representacao de Riesz para Lp

Apresentaremos aqui uma demonstracao simple do Teorema da representacaode Riesz para os espacos Lp. Este teorema sera de muita utilidade para en-contrar uma condicao necessaria e suficiente para que uma sequencia tenhaconvergencia fraca nos espacos Lp.

Lema 3.6.1 Suponhamos que T e um funcional linear e contınuo definido emLp. Entao existe uma funcao u em Lp(Ω) satisfazendo

∫

Ω

|u|p dx = 1; T (u) = ‖T‖∗

Demonstracao.- Pela definicao de norma de um funcional linear limitado,teremos que

‖T‖∗ = sup

T (v);

∫

Ω

|v|p dx = 1

.

Denotemos por (uν)ν∈IN a sequencia satisfazendo

T (uν) → ‖T‖∗;∫

Ω

|uν|p dx = 1;

Para mostrar o resultado, e suficiente mostrar que (uν)ν∈IN e uma sequenciade Cauchy. Dividiremos a prova em duas partes. Primeiro, suponhamos que1 < p < 2. Do Teorema 3.2.2 temos que

∫

Ω

∣∣∣∣uν − uµ

2

∣∣∣∣p

dx

qp

+

∫

Ω

∣∣∣∣uν + uµ

2

∣∣∣∣p

dx

qp

≤

1

2

∫

Ω

|uν|p + |uµ|p dx q

p

De onde segue que

∫

Ω

∣∣∣∣uν − uµ

2

∣∣∣∣p

dx

qp

≤ −∫

Ω

∣∣∣∣uν + uµ

2

∣∣∣∣p

dx

qp

+

1

2

∫

Ω

|uν|p + |uµ|p dx q

p

≤ −‖T‖−q∗

1

2T (uν + uµ)

q

+ 1 → 0

quando ν, µ→ ∞. Portanto, a sequencia (uν)ν∈N e de Cauchy.Provaremos agora o caso quando p ≥ 2. Raciocinando como acima podemos

mostrar que

∫

Ω

∣∣∣∣uν − uµ

2

∣∣∣∣p

dx ≤ 1 −∫

Ω

∣∣∣∣uν + uµ

2

∣∣∣∣p

dx

≤ −‖T‖−q∗

1

2T (uν + uµ)

q

+ 1 → 0

3.6. Teorema da representacao de Riesz para Lp 55

quando ν, µ→ ∞. de onde concluimos que (uν)ν∈N e uma sequencia de Cauchy.A prova esta agora completa

Teorema 3.6.1 (Teorema da Representacao de Riesz) Seja Ω um abertodo RN e denotemos por T um operador linear e limitado definido sobre Lp(Ω).Entao existe uma funcao w em Lq(Ω), 1/p+ 1/q = 1, satisfazendo

T (v) =

∫

Ω

w(x)v(x) dx ∀v ∈ Lp(Ω)

Demonstracao.- Sem perda de generalidade, podemos supor que ‖T‖∗ = 1.Do Lema 3.6.1 existe uma funcao u tal que

∫

Ω

|u|p dx = T (u) = ‖T‖∗ = 1.

Das desigualdades de Clarkson para 1 < p < 2 teremos

1 + tp∫

Ω

|v|p dx =

∫

Ω

∣∣∣∣u+ tv

2+u− tv

2

∣∣∣∣p

dx+

∫

Ω

∣∣∣∣u+ tv

2− u− tv

2

∣∣∣∣p

dx

≥ 1

2

∫

Ω

|u+ tv|p dx+1

2

∫

Ω

|u− tv|p dx

≥ 1

2

(1 + T (v)t

)p+

1

2

∫

Ω

|u− tv|p dx,

a ultima desigualdade e valida porque ‖T‖∗ = 1. De onte obtemos que

tp−1

∫

Ω

|v|p dx ≥ 1

2t

(|1 + tT (v)|p − 1) + (

∫

Ω

|u− tv|p dx− 1)

.

Fazendo t → 0+ teremos que

0 ≥ T (v) −∫

Ω

|u|p−2uv dx ∀v ∈ Lp(Ω),

Portanto

T (v) =

∫

Ω

|u|p−2uv dx ∀v ∈ Lp(Ω).

O caso p ≥ 2 e similar. Tomando w = |u|p−2u, prova esta completa

Note que se u ∈ Lp(Ω) entao teremos que |u|p−2u ∈ Lq(Ω) onde p e q sao taisque 1/p+ 1/q = 1. Mais ainda, a aplicacao

u 7→ |u|p−2u

define uma bijecao entre os espacos Lp(Ω) e Lq(Ω).


3.7 Convergencia fraca em Lp

Toda funcao linear e contınua T sobre Lp(Ω) pode ser escrita como

T (w) =

∫

Ω

vw dx

para uma funcao v ∈ Lq com 1/p + 1/q = 1. A sequencia uµ e fracamenteconvergente para u em Lp(Ω) se e somente se

∫

Ω

uµv dx →∫

Ω

uv dx ∀v ∈ Lq(Ω)

No seguinte Teorema, mostraremos que a bola unitaria e um compacto emLp com esta topologia.

Teorema 3.7.1 Toda sequencia limitada em Lp(Ω) com p > 1, possui umasubsequencia que converge fraco em Lp(Ω)

Demonstracao.- Seja (uν)ν∈N uma sequecia limitada em Lp e denotemos por(ϕµ)µ∈N a um subconjunto denso em Lp(Ω). Para todo µ ∈ N existe umaconstante positiva cµ tal que

∣∣∫

Ω

uνϕµ dx∣∣ ≤ cµ,

Existe entao um subsequencia de (uν)ν∈N que denotaremos por uνµ satisfazendo

limk→∞

∫

Ω

uνµkϕµ dx = Tµ.

Repetindo o procedimento anterior, obtemos as seguintes convergencias

limk→∞

∫

Ω

uν1kϕ1 dx = T1,

limν→∞

∫

Ω

uν2kϕ2 dx = T2,

limν→∞

∫

Ω

uνmkϕm dx = Tm.

A subsequencia (uνkk) e uma subsequencia de todas as sequencias anteriores de

(uνmk

), de onde segue que

limk→∞

∫

Ω

uνkkϕk dx = Tk.

3.8. Convergencia fraca em L1 57

Denotemos por V o espaco generado pela sequencia (ϕµ). E simples verificarque para todo v ∈ V teremos

limk→∞

∫

Ω

uνkkv dx = Tv, (3.2)

onde

v =

l∑

i=1

ciϕµi , Tv =

l∑

i=1

ciTµi .

Definamos o funcional linearT (v) := Tv

Note que T e continuo em V . De fato

T (v) = limk→∞

∫

Ω

uνkkϕk dx ≤ ‖uνk

k‖p‖v‖q

Da densidade de V em Lq(Ω), podemos extender T para todo o espaco Lq(Ω) epelo Teorema da Representacao de Riesz, existe uma funcao u ∈ Lp satisfazendo

T (v) =

∫

Ω

uv dx.

Da identidade (3.2) teremos

limk→∞

∫

Ω

uνkkv dx =

∫

Ω

uv dx, ∀v ∈ Lq(Ω)

o que completa a demonstracao

3.8 Convergencia fraca em L1

Pelo Teorema 3.7.1 sabemos que toda sequencia de funcoes limitadas em Lp,possui um subsequencia que converge fraco tambem em Lp para p > 1. Infe-lizmente este resultado nao e valido para sequencias limitadas em L1 pois L1

nao e reflexivo. Isto e, a limitacao em L1 nao e suficiente para garantir a ex-istencia de uma subsequencia convergente. No proximo teorema mostraremosuma condicao suficiente para obter uma convergencia fraca em L1. Para istoutilizaremos o Teorema de Radon-Nikodim que enunciamos a seguir.

Teorema 3.8.1 (Radon-Nikodim) Seja µ uma medida complexa definidasobre a σ-algebra Σ de subconjuntos do RN mesuraveis a Lebesgue. Denotemospor ν a medida de Lebesgue. Entao se

ν(A) = 0 ⇒ µ(A) = 0 ∀A ∈ Σ,


entao existe uma unica funcao f ∈ L1(RN) (unicidade exceto um conjunto demedida nula) tal que

µ(A) =

∫

A

f(x) dx

Teorema 3.8.2 Seja Ω um aberto limitado de RN e suponhamos que (uν)ν∈N

e uma sequencia limitada em L1(Ω) tal que para todo ε > 0 exista δ > 0satisfazendo

med (E) < δ ⇒∫

E

|uν(x)| dx < ε.

Para todo conjunto E mensuravel. Entao existe uma subsequencia (uνk)ν∈N de(uν)ν∈N e uma funcao u ∈ L1(Ω) tal que

uνj u fraco em L1(Ω)

Demonstracao.- Seja v ∈ L∞(Ω). Mostraremos que existe uma subsequenciauνk satisfazendo

|∫

Ω

uνkv dx−∫

Ω

uv dx| < ε. (3.3)

Como uν e limitado em L1(Ω) ⊂ M(Ω) com a imersao contınua, concluimosque uν e uma medida limitada. Portanto existe uma subsequencia, que acontinuaremos denotando da mesma forma, e uma medida µ tal que

∫

Ω

uνϕ dx →∫

Ω

ϕ dµ.

E simples verificar que µ e absolutamente contınua com respeito a medida deLebesgue. De fato, suponhamos que E ⊂ Ω e tal que

∫

E

dx = 0,

como para todo ε > 0 existe δ > 0 satisfazendo

med (E) ≤ δ ⇒∫

E

|uν| dx < ε,

segue entao que|µ(E)| ≤ ε,

portanto µ(E) = 0. Do Teorema de Radon Nikodim existe uma funcao u ∈L1(Ω) tal que

µ(ϕ) =

∫

Ω

uϕ dx.

3.9. Convergencia forte em Lp 59

Seja v ∈ L∞(Ω). Como L∞(Ω) ⊂ Lp(Ω), existe uma sequencia de funcoesφl ∈ C∞

0 (Ω) para os quais teremos

φl v forte em Lp(Ω),

que implica que existe uma subsequencia, que a denotaremos da mesma forma,tal que

φl → v a.e. Ω.

Do Teorema de Egorov, segue que para todo ε > 0 existe um conjunto men-suravel E tal que med(E) < δ e ainda satisfaz

φl → v uniforme Ω \ E.

De onde segue

∫

Ω

uνkv dx−∫

Ω

uv dx =

∫

Ω

uνk(v−φl) dx+

∫

Ω

(uνk −u)φl dx−∫

Ω

u(v−φl) dx

Como

∫

Ω

uνk(v − φl) dx =

∫

E

uνk(v − φl) dx+

∫

Ω−E

uνk(v − φl) dx

≤ |v − φl|L∞

∫

E

|uνk| dx+ ε

∫

Ω−E

|uνk| dx;

como ‖u − φl‖ ≤ C e como med(E) < δ teremos entao que∫

E |uν| dx < ε,obtemos que

|∫

Ω

uνk(v − φl) dx| ≤ Cε,

que implica ∫

Ω

(uνk − u)φl dx ≤ ε,

De onde segue nosso resultado

3.9 Convergencia forte em Lp

Nesta secao estabeleceremos condicoes que uma sequencia deve satisfazer paraque ela convirja forte em Lp. Comecaremos com o seguinte teorema.


Teorema 3.9.1 Suponhamos que (uν)ν∈N converge forte para u em Lp e (vν)ν∈N

converge fraco para v em Lq com 1/p+ 1/q = 1. Entao teremos que

limν→∞

∫

Ω

uνvν dx =

∫

Ω

uv dx

Demonstracao.- Como

∣∣∣∣∫

Ω

uνvν − uv dx

∣∣∣∣ ≤∫

Ω

|(uν − u)vν | dx+

∣∣∣∣∫

Ω

u(v − vν) dx

∣∣∣∣

Das hipoteses sobre as sequencias, temos que para todo ε > 0 existe N > 0 talque ∫

Ω

|uν − u| dx < ε, |∫

Ω

u(v − vν) dx| < ε ∀ν ≥ N

Das desigualdades acima segue a conclusao

Teorema 3.9.2 Seja Ω um aberto limitado. Suponhamos que f seja umafuncao contınua e uν uma sequencia satisfazendo

uν → u q.s. em Ω

f(uν) limitado em Lp(Ω),

para p > 1. Entao existe uma subsequencia de uν satisfazendo

f(uν) → f(u) fraco em Lp(Ω)

Demonstracao.- Pelo Teorema de Egorov existe um subconjunto Ωδ de Ωsatisfazendo

uν → u uniforme em Ωδ,

f(uν) → f(u) uniforme em Ωδ,

med (Ω − Ωε) ≤ εq

onde 1/p+ 1/q = 1. Assim temos que

f(uν)φ → f(u)φ forte em Lp(Ωδ),

para cada φ ∈ C∞0 (Ω). Isto implica que para todo δ > 0 existe N > 0 tal que

∫

Ωδ

|f(uν) − f(u)| |φ| dx ≤ ε ∀ν ≥ N

3.9. Convergencia forte em Lp 61

Por outro lado

∫

Ω

f(uν) − f(u) φ dx =

∫

Ω\Ωδ

f(uν) − f(u) φ dx+

∫

Ωδ

f(uν) − f(u) φ dx

≤ C

∫

Ω\Ωδ

|φ|q dx 1

q∫

Ω\Ωδ

|f(uν) − f(u)|p dx 1

p

+ ε

≤ εC‖φ‖L∞ + ε ∀ν ≥ N

Usando a densidade das funcoes teste em Lq podemos escrever

∫

Ω

f(uν) − f(u) v dx =

∫

Ω

f(uν) − f(u) (v − φ) dx+

∫

Ω

f(uν ) − f(u) φ dx

≤ C‖v − φ‖Lq(Ω) + ε ≤ cε

De onde segue nossa conclusao.

Como consequencia dos Teoremas anteriores temos

Corolario 3.9.1 Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Suponhamos que uν e umasequencia limitada em Lp que converge quase sempre para u em Ω. Entao severifica que

uν → u forte em Lr(Ω)

para todo 1 < r < p.

Demonstracao.- Como uν e limitado em Lp(Ω) entao a sequencia uν − utambem e limitada em Lp(Ω). Entao para todo ε > 0, a sequencia |uν − u|p−ε

e limitada em Lp

p−ε (Ω). Do Teorema 3.9.2 temos que

|uν − u|p−ε 0 fraco em Lp

p−ε (Ω).

Como Ω e limitado, entao teremos que

∫

Ω

|uν − u|p−ε · 1 dx→ 0.

De onde segue a nossa conclusao

Do Corolario anterior concluimos que convergencia fraca em Lp e munida aconvergencia quase sempre implicam convergencia forte em Lr para todo 1 <r < p.


3.10 Conjuntos compactos em Lp

Nesta secao daremos uma condicao necessaria e suficiente para que um conjuntolimitado de Lp(Ω) seja um conjunto compacto.

Teorema 3.10.1 Um conjunto limitado K do Lp(Ω), e relativamente com-pacto em Lp(Ω) se e somente se para todo ε > 0 existe δ > 0 e um conjunto Glimitado tais que

(i)∫Ω\G

|u|p dx < εp

(ii) |h| < δ ⇒∫Ω |u(x+ h) − u|p dx < ε

Para todo u ∈ K e para todo h tal que |h| < δ. Por u estamos denotanto aextensao nula de u fora de Ω.

Demonstracao.- Sem perda de generalizade podemos supor que Ω = RN ,caso contrario podemos considerar o conjunto K = u, u ∈ K. Suponhamosque K seja um compacto de Lp, entao dado ε > 0 existe um numero finito defuncoes φi satisfazendo:

K ⊂ ∪mi=1Bε(φi)

onde Bε(φi) = w ∈ Lp; ‖w − φi‖Lp < ε. Pela densidade das funcoes C∞0 (RN )

em Lp(RN), podemos supor que φi ∈ C∞0 (RN). Denotemos por

Br =x ∈ RN ; ‖x‖ < r

.

Tomemos r > 0 suficientemente grande, de tal forma que

Supp (φi) ⊂ Br ∀i = 1, · · ·m.

Logo o conjunto G = Br satisfaz a condicao (ii). De fato,∫

RN\G

|u|p dx =

∫

RN\G

|u− φi|p dx ≤∫

RN

|u− φi|p dx < ε.

Tomando |h| < 1 e simples verificar que

φi(x+ h) − φi(x) = 0 ∀x ∈ Br+1 .

Denotando por Th o operador translacao Th(u) = u(x+ h) temos que

‖Th(u) − u‖Lp ≤ ‖Th(u) − Th(φi)‖Lp︸︷︷︸≤ε/3

+‖Th(φi) − φi‖Lp + ‖φi − u‖Lp︸︷︷︸≤ε/3

Como φi e contınua e possui suporte compacto, podemos encontrar δ > 0 talque

|h| < δ ⇒ ‖Th(ψi) − φi‖Lp <ε

3.

3.10. Conjuntos compactos em Lp 63

De onde segue que

‖Th(u) − u‖Lp ≤ ε.

Portanto (i) e valida. Suponhamos agora que K e um conjunto limitado, sat-isfazendo (i) e (ii). Tomemos G e ε tais que

∀u ∈ K ⇒∫

RN\G

|u|p dx ≤ ε

3(3.4)

Note que

|ρδ ∗ u(x) − u(x)|p =

∣∣∣∣∫

RN

ρδ(y) u(x− y) − u(x) dy

∣∣∣∣p

=

∣∣∣∣∫

RN

ρ1− 1

p

δ (y)ρ1p

δ (y) u(x− y) − u(x) dy

∣∣∣∣p

≤(∫

RN

ρδ dx

) 1q∫

RN

ρδ(y)| u(x− y) − u(x) |p dy

≤∫

Bδ(0)

ρδ(y)| u(x− y) − u(x) |p dy

Integrando sobre RN teremos∫

RN

|ρδ ∗ u(x) − u(x)|p dx ≤ sup|h|≤δ

‖Thu− u‖pLp < ε

Da condicao (i) segue que

limδ→0

∫

RN

|ρδ ∗ u(x) − u(x)|p dx = 0.

Mostraremos que o conjunto S = ρδu; u ∈ K e um conjunto compacto sobreC(G). Para isto utilizaremos o Teorema de Arsela - Ascoli, portanto bastaramostrar que S e uma famılia de funcoes equicontınua e equilimitada. De fato,note que se verificam as seguintes desigualdades

|ρδ ∗ u(x)| ≤ sup|h|≤δ

ρδ(h)1/p‖u‖Lp .

|ρδ ∗ u(x+ h) − ρδ ∗ u(x)| ≤ sup|h|≤δ

ρδ(h)1/p‖Th(u) − u‖Lp < ε

Que mostra que S e relativamente compacto em C(G). Portanto existe umconjunto finito de funcoes contınuas ψi sobre G tais que

S ⊂ ∪Mi=1Bε(ψi)


Denotemos por ψi a extensao nula de ψi fora de G. Assim lembrando a de-sigualdade (3.4) teremos que para toda u ∈ K se verifica

∫

RN

|u(x)− ψi(x)|p dx =

∫

RN\G

|u(x)|p dx+

∫

G

|u(x)− ψi(x)|p dx

≤ ε+ 2p

∫

G

|ρδ ∗ u(x) − u(x)|p dx

+2p

∫

G

|ρδ ∗ u(x) − ψi(x)|p dx

≤ (1 + 2p+1)ε


3.11 Convexidade e semicontinuidade inferior

Nesta secao caraterizaremos o conjunto das funcoes contınuas com respeito atopologıa fraca. Isto e encontraremos uma condicao nescessaria e suficiente paraque uma funcao seja contınua com respeito a esta topologıa. Nosso primeiropasso e caraterizar a classe de funcionais semicontınuos inferiormente respecto atopologıa fraca. Mostraremos que esta classe e formada pelas funcoes convexas.

Lema 3.11.1 Suponhamos que f ∈ Lploc(R

N) seja uma funcao perıodica sobreRN , com perıodo igual a T , entao teremos que

fν := f(νx) 1

meas(D)

∫

D

f(x) dx em Lp(Ω)

onde D e um hipercubo de lado T . Se p = ∞ entao teremos

f(νx)?

1

meas(D)

∫

D

f(x) dx em L∞(Ω).

Demonstracao.- Nos restringiremos ao caso unidimensional, no intervalo[0, 1]. A prova para o caso do RN e analoga. Note que

‖fν‖L∞ = ‖f‖L∞ .

Mostraremos que

fν? f =

∫ 1

0

f(x) dx

Isto e para toda ϕ ∈ Lq

∫ 1

0

fν(x)ϕ(x) dx →∫ 1

0

f(x) dx

∫ 1

0

ϕ(x) dx.

3.11. Convexidade e semicontinuidade inferior 65

Pela densidade das funcoes simples, bastara mostrar que para toda funcaocaraterıstica χ[a,b] se verifica

∫ 1

0

χ[a,b]fν(x) dx → (b− a)

∫ 1

0

f(x) dx.

Como

∫ 1

0

χ[a,b]fν(x) dx =

∫ b

0

f(x) dx−∫ a

0

f(x) dx,

sera suficiente mostrar que

∫ α

0

fν(x) dx → α

∫ 1

0

f(x) dx,

para toda 0 ≤ α ≤ 1. Note que

∫ α

0

fν(x) dx =

∫ α

0

f(νx) dx =1

ν

∫ να

0

f(x) dx.

Como f e uma funcao perıodica

∫ α

0

fν(x) dx =[να]

ν

∫ 1

0

f(x) dx+1

ν

∫ να

[να]

f(x) dx

Note que

αν − 1 ≤ [αν ] ≤ αν ⇒ α− 1

ν≤ [αν ]

ν≤ α

e como ∣∣∣∣∣

∫ αν

[αν]

f dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ [αν]+1

[αν]

|f | dx =

∫ 1

0

|f | dx

Fazendo ν → ∞ segue a nossa conclusaoComo consequencia deste resultado obtemos o bem conhecido Lema de

Riemann Lebesgue , isto e

Lema 3.11.2 (Rieman Lebesgue) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua,entao temos que

limk→∞

∫ b

a

f(x)sen (kx) dx = 0,

limk→∞

∫ b

a

f(x) cos(kx) dx = 0.


Demonstracao.- Basta observar que tanto o seno e o cosseno sao funcoesperıodicas de perıodo T = 2π. Como

∫ 2π

0

sen (x) dx = 0,

∫ 2π

0

cos(x) dx = 0.

Segue o resultado.

Exemplo 3.11.1 Seja f : [0, 2] → R a funcao dada por

f(x) =

x se 0 ≤ x ≤ 1,2 − x se 1 ≤ x ≤ 2,

Denotemos por F sua extensao perıodica sobre R, nestas condicoes encontramosque

-

6

?1

1y = f(x)

-

6

?2 4 6−2−4−6

y = F (x)

1

∫ 2

0

f(x) dx = 1.

De onde concluimos que

limk→∞

∫ 2

0

F (kx)g(x) dx =1

2, ∀g ∈ L∞(0, 2).

Estamos agora em condicoes de caraterizar todos os funcionais que saosemicontınuos inferiormente respecto a topologıa fraca

Teorema 3.11.1 Seja F uma funcao contınua e denotemos por J ao funcional

J(u) =

∫

Ω

F (u) dx.

Entao J e um funcional semicontınuo inferiormente se e somente se F e umafuncao convexa.

3.11. Convexidade e semicontinuidade inferior 67

Demonstracao.- Suponhamos que J seja um funcional semicontınuo inferior-mente e tomemos uν tal que

uν → u fraco estrela em L∞(Ω),

entao da hipotese segue que

lim inf

∫

Ω

F (uν) dx ≥∫

Ω

F (u) dx.

Denotemos por D um hipercubo unitario e por D1 um subconjunto de D sat-isfazendo

θ := meas(D1) ≤ 1.

Denotemos por χ1 a funcao caraterıstica sobre D1,

χ1(x) =

1 if x ∈ D1

0 if x ∈ D \D1,

e por χ sua extensao perıodica sobre todo o espaco RN . Portanto a sequenciaχν(x) = χ(νx) satisfaz

χν? meas(D1) = θ fraco estrela em L∞(Ω).

Definamos a sequenciauν := χνv + (1 − χν)w.

Nestas condicoes, e simples verificar que

uν? θu+ (1 − θ)w fraco estrela em L∞(R)

e ainda

F (uν) = χνF (v) + (1 − χν)F (w)? θF (u) + (1 − θ)F (w) em L∞(R);

Das hipoteses sobre F e como meas(D) = 1 teremos

lim inf

∫

Ω

F (uν) dx = θJ(u) + (1 − θ)J(w)

≥∫

Ω

F (θv + (1 − θ)w) dx = J(θv + (1 − θ)w).

De onde segue a primeira parte do resultado. Mostraremos agora que se F econvexa, entao e semicontınua inferiormente respecto a topologıa fraca. De fatoseja F uma funcao convexa e denotemos por uν uma sequencia satisfazendo

uν? u em L∞(Ω).


Sem perda de generalidade, podemos supor que

L = lim inf

∫

Ω

F (uν) dx = lim

∫

Ω

F (uν) dx.

Caso contrario podemos escolher uma subsequencia com a propriedade acima.Como Ω e um conjunto limitado concluimos que

uν u fraco em Lp(Ω)

para todo p > 1. Como todo conjunto fechado e convexo na topologıa fortee tambem um conjunto fechado na topologıa fraca, segue que existe umasequencia formada de combinacoes convexas tal que para todo ε > 0, existeN(ε) > 0 satisfazendo

∣∣∣∣∣∣

m∑

k=j

αkuνk − u

∣∣∣∣∣∣< ε q.s. em Ω,

para j grande suficiente onde os coeficientes αk satisfazem

αk ≥ 0,

m∑

k=j

αk = 1;

Como F e um funcional convexo e da convergencia fraca estrela em L∞ segueque

∫

Ω

F (u) dx ≤∫

Ω

F (

m∑

k=j

αkuνk) dx+ ε

∫

Ω

F (

m∑

k=j

αkuνk) dx ≤m∑

k=j

αk

∫

Ω

F (uνk) dx.

Assim para j suficientemente grande teremos que

limm→∞

m∑

k=j

αk

∫

Ω

F (uνk) dx = L = lim inf

∫

Ω

F (uν) dx.

De onde segue que

∫

Ω

F (u) dx ≤ lim inf

∫

Ω

F (uν) dx+ 2ε

Como ε e um numero positivo qualquer segue nosso resultado

3.12. Os Espacos Lp com 0 < p < 1 69

O Teorema anterior carateriza todo funcional semicontınuo inferiormente.Isto e o funcional

J(u) :=

∫

Ω

F (u) dx

e semicontınuo inferiormente se e somente se F e uma funcao convexa. Emparticular, para que um funcional J seja contınuo, isto e J e −J seja semi-contıcontınuo inferiormente, ele deve ser um funcional linear. Portanto osunicos funcionais contınuos respecto a topologıa fraca sao os funcionais lin-eares. Isto e temos mostrado o seguinte resultado.

Teorema 3.11.2 Um funcional J da forma J(u) =∫Ω F (u) dx e contınuo

com respeito a topologıa fraca, se e somente se F e uma funcao linear.

3.12 Os Espacos Lp com 0 < p < 1

Os espacos Lp para p ≥ 1 sao bastante ricos em propriedades, entre outrascoisas devido a desigualdade de Minkowski, que faz com que Lp seja um espaconormado. A desigualdade de Miskowski, nao e valida para 0 < p < 1, masmesmo assim podemos dar uma estrutura de espaco metrico para os espacosLp com p ∈]0, 1[.

Proposicao 3.12.1 O espaco Lp e um espaco vetorial completo.

Demonstracao.- De fato, denotemos por µ(f) o seguinte funcional

µ(f) =

∫

Ω

|f |p dx

Pelo Lema 1.4.1 sabemos que para 0 < p < 1 e valido

(a + b) ≤ p√ap + bp

portanto teremos queµ(f + g) ≤ µ(f) + µ(g)

De onde segue que Lp e fechado com respeito a soma. E simples verificar que oproduto por um escalar tambem e uma operacao fechada em Lp, de onde segueque Lp e um espaco vetorial. Para verificar que Lp e um espaco completo,introduzamos a metrica d(·, ·) definida atravez do funcional µ,

d(f, g) = µ(f − g)

Com o auxilio do Lema 1.4.1 podemos verificar que de fato d(·, ·) e uma metricae de forma analoga ao caso p > 1 podemos mostrar que Lp e completo. (Vejaexercıcios).

A deficiencia destes espacos e que sua topologia e bastante pobre. Aseguinte proposicao ilustra este fato


Proposicao 3.12.2 Os unicos convexo abertos de Lp sao ∅ e o proprio Lp.

Demonstracao.- De fato, raciocinemos pelo absurdo. Suponhamos que V sejaum conjunto convexo e aberto. Sem perda de generalidade, podemos supor que0 ∈ V. Entao existe r > 0 tal que a bola

Br(0) = v ∈ Lp; µ(v) < r ⊂ V.

Tomemos f ∈ Lp. Mostraremos que f ∈ V, o que mostrar a proposicao. Comop < 1 existe um numero inteiro positivo M suficientemente grande tal que

Mp−1µ(f) < r.

Por simplicidade trataremos o caso unidimensional: Ω =]a, b[. Com as mesmasideias pode-se mostrar o caso n-dimensional. Denotemos por P a uma particaode ]a, b[, P = a = x0 < x1 · · · < xM = bsatisfazendo:

∫ xi

xi−1

|f(x)|p dx =1

Mµ(f) (3.5)

Definamos agora para cada i a funcao gi como

gi(t) =

Mf(t) para xi−1 < t < xi

0 Em outro caso.

Lembrando da identidade (3.5) teremos que

µ(gi) =

∫ xi

xi−1

|Mf(x)|p dx = Mp

∫ xi

xi−1

|f(x)|p dx = Mp−1µ(f) < r

De onde segue que gi ∈ V para todo i = 1, · · · ,M . Como V e convexo elembrando a definicao de gi segue que

f(t) =

M∑

i=1

1

Mgi(t) ∈ V

Portanto V = Lp

Este resultado traz como consequencia um resultado curioso que resumimos naseguinte proposicao

Proposicao 3.12.3 O dual do espaco Lp para 0 < p < 1 e 0.

3.13. Exercıcios 71

Demonstracao.- Seja T ∈ (Lp)∗, isto e T e un funcional linear e contınou.Portanto preimagenes de abertos convexos de R, devem ser convexos abertosde Lp (veja exercıcio). Pela Proposicao 3.12.2 teremos que

T (Lp) ⊂]a, b[ ∀]a, b[⊂ R

em particular

T (Lp) ⊂] − ε, ε[ ∀ε > 0

De onde concluimos que T = 0. O que mostra a proposicaoA Proposicao anterior mostra a tremenda diferenca entre os espacos Lp

quando p ∈]0, 1[ e p ≥ 1. A proposicao anterior e tambem um importanteexemplo de como a convexidade joga um papel fundamental nesta teorıa. Noteque para 0 < p < 1 as bolas nao sao convexas.

3.13 Exercıcios

1. Denotemos por | · |p e | · |∞ as normas

|x|p := p

√√√√n∑

i=1

xpi |x|∞ := max|xi|; i= 1 · · ·n ,

do RN . Mostre quelim

p→∞|x|p = |x|∞

2. Sejam X e E dois espacos metricos. Seja F uma funcao

F : X → E

Mostre que se F e contınua, entao para todo convexo C de E o conjuntoF−1(C) e um convexo de X. O resultado contınua valido se eliminamosa continuidade de F ?. Justifique.

3. Denotemos por ‖ · ‖p a norma de Lp(Ω), e por ‖ · ‖∞ a norma de L∞(Ω)com Ω um aberto limitado. Suponhamos que u ∈ Lp(Ω), para todo p ≥ 1e que existe uma constante positiva C tal que

‖u‖p ≤ C ∀p ≥ 1

entao teremos que u ∈ L∞(Ω) mais ainda

limp→∞

‖u‖p = ‖u‖∞


4. Suponhamos que uν converge forte em Lp(Ω), entao mostre que existeuma subsequencia que converge quase sempre em Ω

5. Mostre o Teorema da Representacao Riesz para L1(Ω).

6. Mostre que Lp e reflexivo para 1 < p <∞.

7. Mostre que Lp e um espaco uniformemente convexo, para 1 < p <∞8. Se E e um espaco uniformente convexo, mostra que toda sequencia lim-

itada possui uma subsequencia convergente fraco em E.

9. Suponhamos que E e um espaco uniformente convexo e que (uν)ν∈N

satisfazuν u fraco em E.

e aindalim sup

ν→∞‖uν‖E ≤ ‖u‖E.

Mostre que uν converge forte para u em E.

10. Mostre que os espacos Lp(Ω), para 0 < p < 1 e Ω um aberto do RN eum espaco de Banach.

11. Seja Ω ⊂ Rn, mostre que em Lp(Ω) onde os unicos conjuntos convexos eabertos sao ∅ e o proprio Lp(Ω).

Capıtulo 4

Distribuicoes

E bem mais belo saber alguma coisa de tudodo que saber tudo de alguma coisa

B. Pascal

4.1 Introducao

Faremos aqui uma rapida introducao das funcoes δ de Dirac. No estudode resistencia de Materiais, ou equilibrio de corpos muitas vezes as funcoesestao definidas por unidade de comprimento, unidades de area ou unidadesde volume. Por exemplo, quando consideramos o problema de equilibrio deuma corda presa no seus extremos, vemos que a corda se deforma pela acaode seu proprio peso, que varia de acordo com o comprimento dela. Isto e, se acorda e homogenea, o peso e considerado uma forca constante uniformementedistribuida ao longo dela.

L

f(x)=ρ

Na figura acima o peso da corda pode ser considerada uma forca distribuidaconstante a cada centrımetro quadrado. A forca resultante sobre a corda seraigual a area do grafico, isto e ρL, atuando sobre o centro de masa da corda decomprimento L. Em geral se a funcao nao e homogenea entao a funcao ρ naosera constante, portanto a forca resultante por cada unidade de comprimentodx sera igual a f(x)dx, somando cada uma destas unidades, encontramos que

a resultante estara dada pela integral∫ L

0f(x) dx.

73

74 Capıtulo 4. Distribuicoes

Considere agora uma forca distribuida apenas numa parte de uma barra decomprimento L, considere o comprimento da barra despresıvel em comparacaode uma outra massa colocada acima da barra.

L

L0L-L0/2 L-L0/2

f(x)=ρ/L0

L

L0L-L0/2 L-L0/2

f(x)=ρ/L0

L

L0L-L0/2 L-L0/2

f(x)=ρ/L0

Observe que para cada uma das figuras acima, a forca resultande aplicadasobre a barra e igual a ρ. De fato, tomando nosso sistema de referencia sobreo extremo inicial da barra teremos que a forca resultande agindo sobre ela edada por

X

Y

L-L0/2 L+L0/2 L

f(x)=ρ/L0

fL0(x) =

ρ/L0 se x ∈ [(L− L0)/2, (L+ L0)/2]0 se x /∈ [(L− L0)/2, (L+ L0)/2]

A resultante desta forca e dada por

FL0 =

∫ L

0

fL0(x) dx =

∫ L+L0/2

L−L0/2

ρ

L0dx = ρ.

4.2. Espacos vetoriais topologicos 75

A unica diferenca e que ela esta aplicada sobre regioes de menores em amplitudesobre a barra. Uma forca pontual sobre a barra sera o limite quando L0 → 0.O que significa que a forca distribuida ou a densidade de forca estara dada por

f0(x) =

∞ se x = L/20 se x 6= L/2

Porem deacordo com o desenvolvido acima teremos que

F =

∫ L

0

f0(x) dx = limL0→0

∫ L+L0/2

L−L0/2

ρ

L0dx = ρ.

Uma funcao F satisfazendo as duas propriedades acima nao e uma funcaousual. Porem as propriedades de uma forca pontual agindo sobre uma barrade comprimento L estara dada pelo limite da funcao fL0 como definida acima.Esta funcao e chamada de delta de Dirac. Precisamos entao extender nossoconceito de funcoes, para as chamadas funcoes generalizadas, ou distribuicoesde Schwartz.

Antes de definir os espacos de Distribuicoes faremos uma breve introducaoaos Espacos vetoriais topologicos.

4.2 Espacos vetoriais topologicos

Definicao 4.2.1 Diremos que (X, τ ) e um espaco topologico, se X e um con-junto nao vazio e τ e uma colecao de subconjuntos de X chamados de abertossatisfazendo as seguintes propriedades:

(i) X e ∅ pertencem a τ

(ii) A intersecao finita de abertos e aberta e a uniao arbitraria de abertos eaberta.

A colecao τ e chamada de topologia de X.

A seguir enumeraremos os conceitos mais utilizados nos espacos topologicos:

• Diremos que um conjunto e Fechado se seu complemento e um aberto.

• O Fecho E de E e a intersecao de todos os fechados que contem a E

• Chama-se Interior E0 de um conjunto E a uniao de todos os abertosque sao subconjuntos de E.

• Uma Vizinhanca de x e todo aberto que contem x

• O espaco (X, τ ) e chamado espaco de Hausdorff , se τ e uma topologiade Hausdorff. Isto e se pontos diferentes de X possuem vizinhancasdisjuntas.


• Um subconjunto K de X e chamado de Compacto se todo coberturaaberto de K possui uma subcobertura finita.

• Uma subcolecao G ⊂ τ e chamada de base de uma topologia se todomembro de τ pode ser expressado como uniao dos elementos de G.

• Uma colecao γ de vizinhancas de um ponto p e chamada de Base localem p, se toda vizinhanca de p contem um membro de γ.

• Um conjunto A e chamado de Absorvente se para todo x ∈ E existeum t > 0 tal que tx ∈ A.

• Um conjunto B e chamado de Balanceado se tB ⊂ B, para todo |t| < 1.

Definicao 4.2.2 Diremos que E munido da topologia τ e um Espaco VetorialTopologico se todo ponto de E e um conjunto fechado e as operacoes, soma eproduto por um escalar, sao contınuas com respeito a topologia τ .

Definamos os operadores Ta e Mλ como

Ta(x) = x+ a, Mλ(x) = λx

Os operadores Ta : E → E e Mλ : E → E, sao bijecoes lineares e contınuas,portanto sao homeomorfismos topologicos de E sobre E. Como consequencia,toda topologia τ de um espaco vetorial topologico e invariante por translacoes.Isto e S ⊂ E e um aberto se e somente se a+ S e um aberto. Portanto τ estacompletamente definida por qualquer base local.

A seguir definiremos o conceito de conjunto limitados em espacos topologicos,onde nao necessariamente existe definida uma metrica.

Definicao 4.2.3 Diremos que um subconjunto B e um conjunto limitado deum espaco vetorial topologico X, se para toda vizinhanca V de 0 em X existes > 0 tal que

B ⊂ tV, ∀t > s

Faremos agora uma lista dos diferentes espacos topologicos que aparecemcom mais frequencia.

• Um EVT e chamado de Localmente Convexo se existe uma base localcujos membros sao convexos.

• Diremos que um EVT e Localmente Limitado, se 0 possui uma vizin-hanca limitada no sentido da Definicao 4.2.3.

• Diremos que um EVT e Localmente Compacto, se 0 possui uma viz-inhanca cujo fecho e compacto.

• Um EVT e Metrizavel se sua topologia e inducida por uma metrica.

4.3. Espacos das funcoes testes 77

• Diremos que um EVT e um espaco de Frechet ou F -espaco se e umespaco localmente convexo cuja topologia e inducida por uma metricainvariante (invariante por traslacoes)

• Um EVT possui a propriedade de Heine-Borel se todo fechado elimitado e um compacto.

Definicao 4.2.4 Seja E um espaco vetorial e p uma funcao a valores reais.Diremos que p e uma seminorma se satisfaz as seguintes propriedades

(i) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

(ii) p(αx) = |α|p(x)Se alem das propriedades acima tambem temos que

p(x) = 0 ⇒ x = 0

entao diremos que p e uma norma.

Da definicao acima segue que p e nao negativo. Para verificar isto, vejaque do item (ii) segue que p(0) = 0. Assim aplicando a condicao (i) paray = −x teremos que 0 = p(0) ≤ p(x) + p(−x). Aplicando a condicao (ii)concluimos que p(x) ≥ 0. Outra propriedade imediata de verificar e que oconjunto x; p(x) = 0 e um subespaco vetorial de E, e que o conjunto B =x ∈ E; p(x) < 1 e convexo e absorvente. (Veja Exercıcios)

4.3 Espacos das funcoes testes

Para facilitar a analise introduzimos as seguintes notacoes, α = (α1, ..., αn) ∈Nn, x = (x1, ..., xn) ∈ Rn e por

|α| =n∑

i=1

αi; xα = xα1

1 xα2

2 · · ·xαnn , Dα = (

∂

∂x1)α1 · · · ( ∂

∂xn)αn .

Seja Ω a um conjunto aberto do RN . Antes de considerar os espacos defuncoes infinitamente diferenciaves, estudaremos os espacos de funcoes definidassobre Ω com k derivadas contınuas

O conjunto Ck(Ω)

Denotaremos por Ck(Ω) o espaco dado por

Ck(Ω) = f ∈ C(Ω); Dαf ∈ C(Ω) ∀α ∈ Nn, |α| ≤ k .


O problema que se nos apresenta e encontrar uma metrica que faca deCk(Ω) umespaco completo. A norma do supremo aqui nao serve, porque as funcoes podemser nao limitadas. Por exemplo a funcao lnx definida no intervalo Ω =]0, 1[ euma funcao infinitamente diferenciavel em ]0, 1[ que nao e limitada. Queremosconstruir uma metrica que faca do espaco Ck(Ω) um espaco completo.

Por outro lado, se K um conjunto compacto, entao o espaco das funcoescontınuas sobre K, C(K) e um espaco completo com a norma ‖ · ‖∞

‖f‖∞ = supx∈K

|f(x)|,

Analogamente, seja O um conjunto aberto e limitado de RN , tomando K = Oo fecho do conjunto O, podemos definir o conjunto Ck(K) de funcoes k vezesdiferenciaveis. Neste caso, a norma ‖ · ‖∞

‖f‖k,∞ = supx∈K,|α|≤k

|Dαf(x)|,

Faz com que o espaco Ck(K) seja completo. A ideia e utilizar estas normaspara definir uma metrica onde Ck(Ω) seja completo quando Ω aberto do RN .Para isto decomporemos Ω em componentes compactas. Isto e tomemos Ki

uma sequencia de conjuntos compactos satisfazendo

Ki ⊂ K0i+1(interior de Ki+1), Ω = ∪i∈NKi

Dai consideramos a famılia de seminormas dadas por

pi(ϕ) = max |Dαϕ(x)|; x ∈ Ki, |α| ≤ k

A famılia P = pi; i ∈ N de seminormas define uma topologia, localmenteconvexa sobre C∞. Uma base local para esta topologia e dada pela famılia deconjuntos

Vi =

ϕ ∈ C∞(Ω); pi(ϕ) <

1

i

E simples verificar que Vi e um conjunto convexo. Esta topologia e metrizavel,para isto basta considerar a metrica

d(f, g) =

∞∑

i=1

2−ipi(f − g)

1 + pi(f − g),

que e invariante por translacoes. O espaco C∞(Ω) munido da esta metrica ecompleto, como e simples verificar. Portanto C∞(Ω) e um espaco de Frechet.Note que cada espaco Ck(Ki) pode ser identificado com um subespaco fechadode C∞(Ω).


Funcoes Infinitamente diferenciaves

Denotaremos por C∞(Ω) ao conjunto de funcoes infinitamente diferenciais so-bre Ω, em simbolos:

C∞(Ω) = f ∈ C(Ω); Dαf ∈ C(Ω) ∀α ∈ Nn .De forma analoga ao caso de funcoes k vezes diferenciaveis podemos definiruma topologia, e uma metrica, que faz de C∞(Ω) um espaco de Frechet, coma propriedade de Heine Borel, isto e, todo fechado e limitado de C∞(Ω) e umcompacto. Para isto, tomemos uma colecao de compactos Ki, tais que

Ki ⊂ K0i+1(interior de Ki+1), Ω = ∪i∈NKi

Para cada n ∈ N introduzimos a seminorma

ρn(ϕ) = max|Dαϕ(x)|; x ∈ Kn, |α| ≤ nA famılia P = ρn; n ∈ N de seminormas define uma topologia, localmenteconvexa sobre C∞. Uma base local para esta topologia e dada pela famılia deconjuntos

Vn =

ϕ ∈ C∞(Ω); ρn(ϕ) <

1

n

E simples verificar que Vn e um conjunto convexo. Esta topologia e metrizavel,para isto basta considerar a metrica

d(f, g) =

∞∑

i=1

2−iρi(f − g)

1 + ρi(f − g).

d(·, ·) definida acima e uma metrica invariante por translacoes, que faz que oespaco C∞(Ω) seja completo. Portanto C∞(Ω) e um espaco de Frechet. Noteque cada espaco C∞(K) e um subespaco fechado de C∞(Ω).

O espaco C∞

0 (Ω)

As funcoes polinomicas, exponenciais, trigonometricas sao exemplos de funcoesinfinitamente diferenciais. Mais funcoes que sejam infinitamente diferenciavese que se anulem fora de um conjunto compacto nao sao funcoes elementares.Considere por exemplo a funcao

f(x) =

e− 1

1−|x|2 se |x| < 10 se |x| ≥ 1

E simples verificar que f e infinitamente differenciavel em todo R e se anulafora do intervalo [0, 1]. E conveniente introduzir o conceito de suporte de umafuncao.


Definicao 4.3.1 Seja f : Ω → R uma funcao contınua. Chamaremos desoporte de f ao conjunto que denotaremos por Supp(f) e definiremos como

Supp f = x ∈ Ω; f(x) 6= 0.

Usando convolucoes encontramos uma variedade maior de funcoes infinitamentediferenciaveis com suporte compacto.

Exemplo 4.3.1 Denotemos por Ω = R, e consideremos f : R → R entaotemos que

• Se f(x) = ex entao Supp f = R

• Se f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0 entao Supp f = R

• Se f(x) = cos(x) entao Supp f = R

Posteriormente extenderemos o conceito de suporte para funcoes mais geraisque as contınuas.

Seja K um compacto de Ω, denotaremos por

DK = f ∈ C∞(Ω); Supp f ⊂⊂ K

Como na secao anterior fazemos Ω = ∪n∈NKn e definimos a famılia de semi-normas definidas na secao anterior.

ρn(ϕ) = ‖ϕ‖n = max|Dαϕ(x)|; x ∈ Kn, |α| ≤ n .

Denotemos por DKn o espaco munido com a norma (sobre Kn) pn. e um espaconormado completo. Definimos agora o espaco das funcoes testes

D(Ω) = ∪n∈NDKn

E simples verificar que D(Ω) e um espaco vetorial topologico. Seja K umcompacto qualquer de Ω. Como Kn ⊂ Kn+1 entao existe n0 ∈ N tal queK ⊂ Kn para todo n ≥ n0. Assim DK , para qualquer compacto K, pode serconsiderado um subespaco de DKn0

com a topologıa inducida por DKn0. Uma

base local para a topologia de DK e dada por

Vn =

ϕ ∈ DK ; ‖ϕ‖n <

1

n

A topologia definida acima e localmente convexa e metrizable, embora apre-sente a deficiencia de nao ser completa. De fato consideremos Ω = R e asequencia

ψm = φ(x− 1) +1

2φ(x− 2) +

1

3φ(x− 3) + · · ·+ 1

mφ(x−m).


Onde φ ∈ C∞0 (R), Supp(φ)= [0, 1] e φ ≥ 0. Pode-se mostrar que ψm e uma

sequencia de Cauchy, mais o limite dela nao tem suporte compacto, portantoo limite nao pertence a D(R)

Definicao 4.3.2 Toda aplicacao linear e contınua sobre D(Ω) com respeito atopologia anterior e chamada de Distribuicao. O conjunto de todas distribuicoese chamado de espaco de distribuicoes e e denotado por D′.

A topologıa anterior induce o seguinte conceito de convergencia. Umasequencia de funcoes ϕν de elementos C∞

0 (Ω) e dito que converge para ϕ ∈C∞

0 (Ω) quando

(i) Existe K ⊂⊂ Ω tal que suppϕν − ϕ ⊂ K, e

(ii) limν→∞Dαϕν = Dαϕ uniforme sobre K e para todo multiindice α.

O espaco D′(Ω) e dotado da topologia fraca estrela como dual de D(Ω), e eum espaco topologico localmente convexo. Isto e, diremos que uma sequenciade distribuicoes Tm converge para a distribuicao T se e somente se

Tm(ϕ) → T (ϕ) em IC

para toda funcao ϕ ∈ D(Ω)

Definicao 4.3.3 Deja T uma distribuicao, entao definimos derivada de ordemα de T ao operador denotado como DαT e definido como

〈DαT , ϕ〉 = (−1)|α|〈T , Dαϕ〉

E simples verificar que a derivada de uma distribuicao e tambem uma dis-tribuicao.

Definicao 4.3.4 Diremos que uma distribuicao tem ordem m se m e o menornumero que satisfaz

|T (φ)| ≤ CK‖φ‖Cm , ∀φ ∈ D(K)

para todo K ⊂⊂ Ω, onde CK > 0. Se nao existe um unico m para todo K,diremos que T tem ordem infinito.

Exemplo 4.3.2 Seja v uma funcao localmente integravel em Ω. Entao a dis-tribuicao Tv definida como

〈Tv , ϕ〉 =

∫

Ω

vϕ dx

e um distribuicao de ordem zero.


Exemplo 4.3.3 Seja v uma funcao localmente integravel L1loc(Ω) que nao seja

contınua em Ω. Entao a distribuicao DαTv e um distribuicao de ordem |α|.

Exemplo 4.3.4 A funcao Delta de Dirac, e uma distribuicao de ordem zero.A derivada de primeira ordem da funcao Delta de Dirac, e uma distribuicaode primeira ordem.

Exemplo 4.3.5 Definamos a aplicacao T : D(R) → R da seguinte forma

〈Tv , ϕ〉 =

∞∑

i=1

di

dxiϕ(i)

E simples verificar que T e uma distribuicao que tem infinito ordem.

Definicao 4.3.5 Diremos que uma distribuicao se anula num aberto O se paratoda φ ∈ C∞

0 (Ω) tal que Supp φ ⊂ O teremos que T (φ) = 0. Denotemos porΩ0 o maior aberto onde a distribuicao T se anula. O conjunto fechado Ω \ Ω0

e chamado de suporte da convolucao e e denotado por Supp(T )

Da definicao anterior concluimos que se existe um fechado F tal que T se anulaem Ω \ F , entao

Supp T ⊂ F

Exemplo 4.3.6 Seja v uma funcao localmente integravel. Entao o suporte dadistribuicao Tv definida como

〈Tv , ϕ〉 =

∫

Ω

vϕ dx

coincide com o suporte de v.

Teorema 4.3.1 Seja que T ∈ D′(Ω). Suponhamos que Supp(T )⊂ x0, parax0 ∈ Ω e que T seja de ordem N . Entao existem constantes cα tais que

T =∑

|α|≤N

cαDαδx0

Onde δx0 e a funcao de Dirac, dada por

〈δx0 , φ〉 = φ(x0)

Demonstracao.- A condicao Supp(T )⊂ x0, significa que a distribuicao Tse anula sobre o conjunto Ω \ x0. Sem perda de generalidade podemos supor


que x0 = 0 ∈ Ω. Faremos a demonstracao no caso unidimensional Ω =] − 1, 1[e quando a ordem N = 3. Seja φ ∈ D(] − 1, 1[)

φ′(0) = 0, φ′′(0) = 0, φ′′′(0) = 0 (4.1)

implica queT (φ) = 0.

De fato, pela continuidade dado ε > 0 existe uma vizinhanca ] − ε, ε[ tal que

|φ′′′(x)| ≤ ε, ∀ |x| ≤ ε.

Usando o Teorema de Taylor

φ(x) = φ(0) + φ′(0)x+1

2φ′′(0)x2 +

1

6φ′′′(ξ)x3

e lembrando as hipoteses sobre φ e aplicando as formulas de Taylor para φ, φ′

e φ′′, encontramos

|φ(x)| ≤ cε|x|3, |φ′(x)| ≤ cε|x|2, |φ′′(x)| ≤ cε|x| ∀ |x| ≤ ε. (4.2)

Seja ψ uma funcao de C∞0 (]− 1, 1[) com suporte contido em ] − 1/2, 1/2[ e tal

que ψ = 1 em ]-1/4,1/4[. Definamos agora

ψr(x) = ψ(x

r), r > 0, x ∈]− 1, 1[.

Tomando r = ε2 teremos que

Supp ψr ⊂ B(ε

2, 0) ⊂ B(ε, 0)

Usando as formulas de Leibniz’s teremos que

(ψrφ)(3)(x) = ψ′′′r φ+ 3ψ′′

rφ′ + 3ψ′

rφ′′ + ψrφ

′′′

=1

r3ψ′′′

r (x

r)φ(x) + 3

1

r2ψ′′

r (x

r)φ′(x) + 3

1

rψ′

r(x

r)φ′′(x) + ψr(

x

r)φ′′′(x)

Usando a desigualdade (4.2) temos que

∣∣∣(ψrφ)(3)(x)∣∣∣ ≤ 8

ε3Cε|x|3 + 3

4

ε2Cε|x|2 + 5

1

εCε|x|+ Cε

≤ C0ε.

Onde C = ‖ψ‖C3 . Assim temos

‖ψrφ‖C3 ≤ ε‖φ‖C3 (4.3)


Como T e de ordem N = 3, existe uma constante C > 0 tal que |T (ψ)| ≤C‖ψ‖C3 , para todo ψ ∈ D(K). Como ψr = 1 em ] − ε/8, ε/8[ segue que

|T (φ)| = |T (ψrφ)| ≤ C‖ψrφ‖C3 ≤ εC‖φ‖C3

Como ε e arbitrario segue que T (φ) = 0. Em outras palabras temos que

φ′(0) = 0, φ′′(0) = 0, φ′′′(0) = 0 ⇒ T (φ) = 0.

Pelo Lema 3.4.2 segue o resultado, isto e existem constantes ci tais que

T (φ) =

3∑

i=1

cidi

dxiδ(x).

4.4 Funcoes de decrescimento rapido

Nesta secao estudaremos as principais propriedades da transformada de Fourier.Denotemos por S(RN ) o espaco das funcoes rapidamente decrescentes, isto efuncoes infinitamente diferenciaveis satisfazendo

sup|α|≤N

supx∈Rn

(1 + |x|2)m|(Dαf)(x)| <∞, ∀m ∈ N, ∀N ∈ N

E simples verificar quelim

|x|→∞P (x)Dαf(x) = 0

e queC∞

0 (RN ) ⊂ SSobre o conjunto S podemos definir uma metrica d, da seguinte forma:

d(u, v) =∑

m∈N

ρm(u− v)

2m(1 + ρm(u− v))

onde por ρm(v) estamos denotando

ρm(v) = sup|α|≤m

supx∈Rn

(1 + |x|2)m|(Dαf)(x)|

Com esta metrica o espaco das funcoes rapidamente decrescentes e completo.Note que d(·, ·) nao e uma norma devido a que nao e homogeneo. (pela mesmarazao nao e seminorma).

Definicao 4.4.1 O conjunto de todas as aplicacoes lineares e contınuas comrespeito a topologia induzida pela metrica d, e denotado por S′(RN) e e chamadode espaco das Distribuicoes Temperadas.

4.4. Funcoes de decrescimento rapido 85

Note que um funcional T e linear e contınuo com respeito a topologiainduzida por d(·, ·) se e somente se existe uma constante positiva C e m ∈ N

tal que|T (φ)| ≤ C sup

|α|≤m

supx∈Rn

(1 + |x|2)m|(Dαφ)(x)|

De fato, se φν e uma sequencia de funcoes convergindo para zero em S(RN ),entao teremos que

(1 + |x|2)m|(Dαφν)(x)| → 0, uniforme em RN

De onde segue queT (φν) → 0

Toda distribuicao temperada e uma distribuicao, isto e S′(RN ) ⊂ D′(RN). Orecıproco e falso. Veja o seguinte exemplo.

Exemplo 4.4.1 D′(RN) 6⊂ S′(RN). De fato, para simplificar, consideraremoso caso unidimensional. Tomemos a funcao f(x) = ex. E simples verificar quef ∈ D′(R), pois ela e localmente integravel. Mais f 6∈ S′(R). Para mostraristo tomemos ϕ ∈ S(R) nao negativa. Consideremos a sequencia ϕn(x) =e−n/2ϕ(x/n). E simples verificar que para cada m ∈ N temos que

ρm(ϕn) = e−n/2 supi≤m

supx∈R

(1 + |x|2)mn−i|ϕ(i)(x/n)|

≤ n−me−n/2 supi≤m

supσ∈R

(1 + n2|σ|2)m|ϕ(i)(σ)|

≤ nme−n/2 supi≤m

supσ∈R

(1 + |σ|2)m|ϕ(i)(σ)|

≤ cmnme−n/2 → 0

Para m ∈ N. De onde concluimos que

ϕn → 0 em S(R).

Por outro lado

Tf(ϕn) =

∫

RN

exϕn(x) dx

≥∫

x≥n

exϕn(x) dx

≥ en/2

∫

x≥n

ϕ(x/n) dx

≥ nen/2

∫

x≥1

ϕ(σ) dσ → ∞

portanto f 6∈ S′(R)


4.5 Transformada de Fourier

Nesta secao introduziremos a transformada de Fourier para funcoes de decresci-mento rapido e extenderemos esta transformada para as distribuicoes temper-adas.

Definicao 4.5.1 Seja f ∈ S(RN ), entao denotaremos por Ff a Transformadade Fourier de f dada por

Ff(y) =

1√2π

n ∫

RN

f(x)e−ixy dx.

Proposicao 4.5.1 A transformada de Fourier satisfaz as seguintes propriedades:

(i) F( ∂u∂xi

) = iξiFu

(ii) F(f ∗ g) = (√

2π)2nF(f)F(g)

(iii)∫

RN F(f)g dx =∫

RN fF(g) dx

Demonstracao.- A propriedade (i) obtem-se fazendo integracao por partes.Demostraremos a identidade (ii). Para isto utilizaremos o Teorema de Fubini.De fato,

∫

RN

f ∗ geixξdξ =

∫

RN

∫

RN

f(ξ − y)g(y) dye−ixξ dξ

=

∫

RN

∫

RN

f(ξ − y)g(y)e−ixξ dξdy

=

∫

RN

∫

RN

f(ξ − y︸︷︷︸:=σ

)e−ixξ dξg(y)dy

fazendo mudanca de variavel

=

∫

RN

∫

RN

f(σ)e−ix(σ+y) dσg(y)dy

=

∫

RN

(∫

RN

f(σ)e−ixσ dσ

)e−ixyg(y)dy

= (√

2π)2nF(f)F(g)

De onde segue a demonstracao. De forma analoga se mostra (iii).

Observacao 4.5.1 A transformada de Fourier esta bem definida para funcoesf ∈ L1(RN) e ainda temos que

‖F(f)‖L∞ ≤ ‖f‖L1

4.5. Transformada de Fourier 87

Em geral se f e uma funcao integravel, entao sua transformada de Fourier etambem uma funcao contınua. De fato, seja xm uma sequencia convirgindopara x, provaremos que

F(f)(xm) → F(f)(x).

Pela definicao temos

F(f)(xm) =

(1√2π

)n ∫

RN

f(y)e−iyxm

︸︷︷︸:=gm(x)

dy

Note que

|gm(y)| ≤ |f(y)|, gm(y) → g(y) = f(y)e−iyx

Do teorema da convergencia dominada, encontramos que

(1√2π

)n ∫

RN

f(y)e−iyxm dy →(

1√2π

)n ∫

RN

f(y)e−iyx dy

Isto e

F(f)(xm) → F(f)(x)

De onde segue a continuidade. Em resumo temos que

F : L1(RN) → C(RN) ∩ L∞(RN )

Proposicao 4.5.2 A transformada de Fourier de uma funcao rapidamentedecrescente e tambem uma funcao rapidamente decrescente. Isto e

F : S(RN ) → S(RN)

Demonstracao.- Temos que provar que

(1 + |ξ|2)m|F(φ)(ξ)| ≤ Cm, ∀ξ ∈ Rn

Pela continuidade e suficiente mostrar que a desigualdade e valida para |ξ| ≥Mcom M > 0. Consideremos o caso unidimensional. Fazendo integracao porpartes temos ∫

R

φ(y)e−iyξ dy = − 1

iξ

∫

R

φ′(y)e−iyξ dy

de onde segue que

∣∣∣∣∫

R

φ(y)e−iyξ dy

∣∣∣∣ ≤1

|ξ|‖φ′‖L1 ∀|ξ| ≥M > 0.


Repetindo este proceso, podemos mostrar que

∣∣∣∣∫

R

φ(y)e−iyξ dy

∣∣∣∣ ≤1

|ξ|2‖φ′′‖L1 ∀|ξ| ≥M > 0.

Em geral teremos

∣∣∣∣∫

R

φ(y)e−iyξ dy

∣∣∣∣ ≤1

|ξ|m ‖φ(m)‖L1 ∀|ξ| ≥M > 0.

Usando esta desigualdade, encontramos

(1 + |ξ|2)m|F(φ)(ξ)| = (1 + |ξ|2)

1√2π

n ∣∣∣∣∫

R

φ(y)e−iyξ dy

∣∣∣∣

≤ (1 + |ξ|2)m

|ξ|m ‖φ(2m)‖L1

≤ C‖φ(2m)‖L1 ∀|ξ| ≥M > 0.

Portanto, F(φ) ∈ S.

Lema 4.5.1 A transformada de Fourier da funcao x 7→ e−ax2

e dada por

F(e−ax2

)(ξ) =

√π

ae−ξ2/4a.

Demonstracao.- Denotemos por f(ξ) = F(e−ax2

)(ξ), e simples verificar quea derivada da funcao

f(ξ) =1√2π

∫

R

e−ay2

e−iξy dy

satisfaz

f ′(ξ) = − i√2π

∫

R

ye−ay2

e−iξy dy.

Integrando por partes teremos

f ′(ξ) = − ξ

2a√

2π

∫

R

e−ay2

e−iξy dy.

De onde segue que

f ′(ξ) = − ξ

2af(ξ) ⇒ f(ξ) = f(0)e−ξ2/4a.

4.5. Transformada de Fourier 89

Lembrando que

f(0) =

∫

R

e−ay2

dy =

√π

a

segue o resultado.

Outra relacao importante e dada no seguinte Lema

Lema 4.5.2 ∫ ∞

0

sen x

xdx =

π

2

Demonstracao.- Este valor pode ser calculado usando a funcao

F (t) =

∫ ∞

0

e−xt sen x

xdx

De fato, note que o valor que desejamos calcular e dado por F (0). Por outrolado e simples verificar que

limt→∞

F (t) = 0. (4.4)

Derivando a funcao F teremos que

F ′(t) = −∫ ∞

0

e−xt sen x dx

Integrando por partes a expressao anterior, encontramos que

(1 +1

t2)F ′(t) = − 1

t2, ⇒ F ′(t) = − 1

1 + t2

De onde segue queF (t) = −arctag t + c

Aplicando a identidade (4.4) concluimos que

c = arctag ∞ =π

2


Introduzamos o funcional

Ff =

1√2π

n ∫

RN

f(x)eixy dx

Mostraremos que F e a transformada inversa de Fourier de F . Isto e

F(F(φ)) = (√

2π)nφ, ∀φ ∈ S(RN )

Para isto precisaremos da seguinte identidade


Lema 4.5.3 Sejam u e v funcoes em S(RN ). Entao e valido∫

RN

v(y)F(u)eixy dy =

∫

RN

u(σ + x)F(v) dξ

Demonstracao.- De fato, consideremos∫

RN

v(y)F(u)eixy dy =(√

2π)−n

∫

RN

∫

RN

v(y)u(ξ)e−iξyeixy dξ dy

=(√

2π)−n

∫

RN

u(ξ)

∫

RN

v(y)e−i(ξ−x)y dy dξ

=

∫

RN

u(ξ)Fv(ξ − x) dξ

Fazendo mudanca de variavel

=

∫

RN

u(σ + x)Fv(σ) dσ

De onde segue a identidade

Proposicao 4.5.3 Para toda funcao φ ∈ S(RN) temos que

F(Fφ) =(√

2π)n

φ

Demonstracao.- Do Lema 4.5.3 temos que∫

RN

v(y)F(φ)eixy dy =

∫

RN

φ(σ + x)F(v) dξ.

Seja

v(x) = e−|x|2/2

Denotemos por vε(x) = v(εx), nestas condicoes lembrando o Lema 4.5.1 tere-mos que

∫

RN

vε(y)F(φ)(y)eixy dy =(√

2π)n

ε−n

∫

RN

φ(σ + x)e−ξ2/2ε2 dξ

Fazendo mudanca de variavel

=(√

2π)n∫

RN

φ(x+ εy)e−ξ2/2 dy

Fazendo ε → 0 teremos que∫

RN

F(φ)eixy dy =(√

2π)n

φ

∫

RN

e−ξ2/2 dy = (2π)nφ


4.6. Transformada de Fourier em L2 91

Teorema 4.5.1 (Identidade de Plancherel) Para toda funcao φ ∈ S(RN )temos que ∫

RN

|φ|2 dx =(√

2π)−n

∫

RN

|F(φ)|2 dx

Demonstracao.- De fato, considere

∫

RN

|φ|2 dx =

∫

RN

φφ dx

=(√

2π)−n

∫

RN

F(F(φ))φ dx

=(√

2π)−n

∫

RN

F(φ)F(φ) dx

=(√

2π)−n

∫

RN

F(φ)F(φ) dx


4.6 Transformada de Fourier em L2

Para funcoes em L2, o produto com e−ixy nao e em geral uma funcao L1.Portanto a integral ∫

RN

f(x)e−iξx dx

nao esta definida neste espaco. Utilizando a identidade de Plancherel definire-mos a transformada de Fourier no espaco L2(RN) por densidade. De fato, sejau uma funcao de L2(RN), entao existe uma sequencia de funcoes φν em S(RN )tais que

φν → u forte em L2(RN )

Utilizando a Identidade de Plancherel teremos que

‖F(φν) −F(φµ)‖L2(RN ) =(√

2π)n

‖φν − φµ‖L2(RN )

De onde concluimos que a transformada de Fourier da sequencia φν e tambemuma sequencia de Cauchy em L2(RN), portanto existe uma funcao u ∈ L2(RN )tal que

F(φν) → u forte em L2(RN )

O Limite u e tomado como a transformada de Fourier de u.Definiremos a seguir a transformada de Fourier de uma Distribuicao tem-

perada. Isto e feito por transposicao na seguinte definicao.


Definicao 4.6.1 A transformada de Fourier de uma distribuicao temperadaT , e definida como a distribuicao T satisfazendo

T (φ) = T (φ)

Antes de considerar alguns exemplos provaremos um conhecido Lema,

Lema 4.6.1 Seja F uma funcao contınua, e com derivadas laterais. Entao evalido

limk→0

∫ b

a

F (x)sen k(x− x0)

x− x0dx = F (x0)π

Demonstracao.- Consideremos a seguinte identidade

∫ b

a

F (x)sen k(x− x0)

x− x0dx =

∫ b

a

F (x) − F (x0)

x− x0sen k(x− x0) dx (4.5)

+F (x0)

∫ b

a

sen k(x− x0)

x− x0dx

Fazendo a mudanca de variavel σ = k(x− x0) temos que

∫ b

a

sen k(x− x0)

x− x0dx =

∫ k(b−x0)

k(a−x0)

sen σ

σdx

=

∫ 0

k(a−x0)

sen σ

σdx+

∫ k(b−x0)

0

sen σ

σdx

Usando o Lema 4.5.2 temos que

limk→∞

∫ b

a

sen k(x− x0)

x− x0dx = π

Do Lema de Riemann Lebesgue e da identidade 4.5 segue o resultado.

Exemplo 4.6.1 E simples verificar que todas as funcoes constantes sao dis-tribuicoes temperadas. Portanto todas elas possuim Tranformada de Fourierno sentido das distribuicoes temperadas. Utilizaremos o Lema anterior paracalcular a transformada de 1. Consideraremos o caso unidimensional. Seja T1

sua correspondente distribuicao. Pela definicao teremos que

T1(φ) = T1(φ)

4.6. Transformada de Fourier em L2 93

Note que a transformada de T1 pode ser aproximada por

T1 =1√2π

limβ→∞

∫ β

−β

e−ixy dy

=1

−ixe−ixy|y=β

y=−β

= 2sen βx

x

De onde segue Pelo Lema 4.5 que

T (φ) =1√2π

limβ→∞

∫

R

sen βx

xφ dx = 2πφ(0)

Portanto temos que1 =

√2πδ0

Outra forma mais direta de calcular o valor da transformada de 1, e utilizandoa tranformada inversa, isto e

T1(φ) = T1(φ) =

∫

R

φ dx =√

2πF(φ)(0) =√

2πφ(0) =√

2πδ0(φ)

Portanto, T1 =√

2πδ0.

Exemplo 4.6.2 Calcularemos agora a Transformada de Fourier da funcaosen(x). Porcedendo como no exemplo anterior termos que calcular a trans-formada da distribuicao Tsen que pode ser aproximada da seguinte forma

Tsen =1√2π

limβ→∞

∫ β

−β

sen ye−ixy dy

=1√2π

limβ→∞

∫ β

−β

eiy − e−iy

2ie−ixy dy

=1√2π

limβ→∞

1

2i

∫ β

−β

e−i(x−1)y dy − 1

2i

∫ β

−β

e−i(x+1)y dy

=1√2π

limβ→∞

− isen (β(1 − x)

1 − x− isen (β(1 + x)

1 + x

De onde segue que

Tsen = −i√π

2δ1 − i

√π

2δ−1


4.7 Aplicacao a equacao do calor

Faremos nesta secao uma aplicacao a equacao do calor. Isto e, a equacao quemodela o fluxo do calor num corpo configurado sobre um conjunto Ω ⊂ R3.

4.7.1 Deducao Fısica do Modelo

A equacao do Calor e uma consequencia de

• O princıpio da conservacao da energia.

• A lei de diferencabilidade termica dos corpos solidos, conocida como Leide Fourier, que estabelece que o fluxo de calor atraves de uma superfıcieS e proporcional a derivada normal da temperatura sobre a superfıcie.A constante de proporcionalidade que denotaremos por k e chamada decondutividade termica. Se denotamos por q a quantidade de calorque flui por unidade de tempo e por y a temperatura, temos:

q = −k∂y∂ν

= −k∇u · ν. (4.6)

Por ν estamos denotando a normal a superfıcie S.

• A Lei de Newton estabelece que a quantidade de calor que flui duranteuma unidade de tempo atraves da area σ da superfıcie do corpo ao meioambiente e proporcional a diferenca da temperatura do corpo com o meioambiente. Isto e,

q = −σα(y − y0), (4.7)

onde σ e a area da superfıcie, α e o coeficiente de intercambio de calor.

Outro coeficiente termico e a Capacidade termica c0, que se define comoquantidade de calor necessaria para elevar uma unidade de volume a umaunidade de temperatura. Temos assim definido o aumento da temperaturade um corpo e a capacidade termica do material, podemos conhecer entao aquantidade de calor que foi introduzida ao material. Assumiremos neste textoque todos os coeficientes de proporcionalidade descritos acima sao constantes.

Para obter a equacao diferencial que a temperatura y satisfaz, consideremosprimero uma pequena regiao R do solido configurado sobre Ω, cuja superfıciedenotaremos por S. Suponhamos que o fluxo de calor durante o intervalode tempo [t, t + h] incrementou em y(x, t + h) − y(x, t) a temperatura, entaousando a definicao da capacidade termica concluımos que a quantidade de calorconsumida neste processo e

Q = c0(y(x, t + h) − y(x, t))dV,

4.7. Aplicacao a equacao do calor 95

onde por dV estamos denotando o diferencial de volume. Portanto, a quanti-dade de calor em toda a regiao R e de

QTotal =

∫

R

c0(y(x, t+ h) − y(x, t))dV.

Aplicando o teorema do valor medio obtemos:

QTotal = h

∫

R

c0∂y

∂t(x, ξ) dV ξ ∈]t, t+ h[.

Como S e a superfıcie da regao R. Da lei de Fourier temos que a quantidadede calor QTotal introduzida a regiao R e igual:

QTotal = −∫

S

k∂y

∂ν(x, t)h dS.

De onde temos: ∫

R

c0∂y

∂t(x, ξ0) dV = −

∫

S

k∂y

∂νdS.

Fazendo h → 0 obtemos:∫

R

c0∂y

∂t(x, t) dV = −k

∫

S

∂y

∂ν(x, t) dS

Das formulas de Green segue∫

R

c0∂y

∂t(x, t) dV = k

∫

R

∆y(x, t) dV.

Sendo R uma regiao qualquer do material, concluımos que:

c0yt = k∆y, em Ω×]0, T [.

Por outro lado, a temperatura inicial do material deve ser uma funcao y0 co-nhecida, isto e,

y(x, 0) = y0(x) em Ω.

Devemos ter tambem informacao da solucao na fronteira de Ω. Por exemplo,o valor da temperatura, isto e,

y(x, t)|∂Ω = g(x, t).

onde g e uma funcao conhecida. Esta condicao de contorno e chamada deCondicao de Dirichlet.

Outra condicao de contorno caso nao seja conhecido o valor de y no bordode Ω e a seguinte

k∂y

∂ν(x, t)|∂Ω = q(x, t).

Esta condicao e chamada de condicao de Neumann.


4.8 Solucao da equacao do calor no RN

Como vimos na secao anterior, a equacao do calor e dada por

yt − ∆y = 0 em Rn×]0,∞[

y(x, 0) = y0(x) em Rn

onde y0 e uma funcao dada. Note que neste caso nao temos condicao de con-torno, porque nao temos bordo. Suponhamos que y0 ∈ L2(RN ). Procuremosuma solucao utilizando a Transformada de Fourier. Assim depois de tomartransformada de Fourier na equacao do Calor teremos

yt + |ξ|2y = 0

y(ξ, 0) = y0

Agora a equacao em derivadas parciais se transformou numa equacao diferencialordinaria de primeira ordem, cuja solucao esta dada por

y = e−|ξ|2ty0(ξ).

Pela parte (ii) da proposicao 4.5.1 teremos que

y =

(1√2π

)n

F(F(e−|ξ|2t) ∗ F(y0))

=

(1√2π

)n

F((1√t)ne−

|x|24t ∗ y0)).

Depois de tomar transformada inversa, segue que

y = (1√2πt

)n

∫

RN

e−|x−ξ|2

4t y0(σ) dξ. (4.8)

Onde y representa a solucao da equacao do calor. Em virtude da formula (4.8)podemos obter as seguintes conclucoes.

Proposicao 4.8.1 Seja y0 ∈ L2(RN ), entao existe uma unica solucao daequacao do calor, satisfazendo:

(i) O problema esta bem colocado e a solucao depende contınuamente do dadoinicial y0, isto e

‖y(·, t)‖L2(RN) ≤ ‖y0‖L2(RN )

Em geral temos que se y0 ∈ Lp(RN), pela desigualdade de Young segueque

y(·, t) ∈ Lp(RN)

4.9. Exercıcios 97

pois nucleo da convolucao,

S(x, t) := (1√2πt

)ne−|x|24t

e uma funcao que pertence a L1(RN ), e ainda satisfaz:

(1√2πt

)n

∫

RN

e−|x|24t dx = 1

(ii) Se m ≤ y0(x) ≤ M entao a solucao da equacao do calor satisfaz: m ≤y(x, t) ≤M para todo t > 0. Esta propriedade e conhecida como Princi-pio do maximo da equacao do calor.

(iii) A norma de y em L2(RN), ‖y(·, t)‖L2(RN ) decai uniformente quandot → ∞, isto e

‖y(·, t)‖L2(RN) ≤C√t‖y0‖L2(RN)

o que define o Comportamento Asintotico da solucao.

(iv) Como a funcao S(x, t) e uma funcao infinitamente diferenciavel para x ∈RN e t > 0 a convolucao y = S ∗ y0 e tambem uma funcao infinitamentediferenciavel para t > 0. Note que esta propriedade nao depende do dadoinicial. Isto e o dado inicial y0 pode ser irregular que a solucao y serainfinitamente diferenciavel para t > 0. Esta propriedade e conhecidacomo Efeito Regularizante

4.9 Exercıcios

1. Mostre que a funcao x 7→ cos x e uma distribuicao temperada e calculesua transformada de Fourier

2. Mostre que x 7→ ex2

nao e uma distribuicao temperada, mais e umadistribuicao de D(RN )

3. Seja φ ∈ D(RN ) e T ∈ D′(RN ). Alguma das relacoes

φT = 0, T (φ) = 0

implica a outra

4. Seja u ∈ D′(R), mostre que

u− τxu

x→ Du, em D′(R)


5. Mostre que a funcao x 7→ excos (ex) e uma distribuicao temperada.

6. Mostre que C∞0 (RN ) e denso em S(RN )

7. Seja f ∈ L1(RN ), f 6= 0. Seja λ um numero complexo tal que F(f) = λf .Que pode dizer sobre λ?

8. Suponhamos que exista uma constante C > 0 independente de φ tal que∫

RN

uφ dx ≤ C‖φ‖Lp(RN ), ∀φ ∈ C∞0 (RN )

entao u ∈ Lp′(RN ).

9. Calcular a transformada de Fourier da funcao x 7→ cos x, x 7→ sen (x−x0)

10. Mostre que a funcao x 7→ tg x e uma distribuicao temperada.

11. Seja p uma seminorma. Mostre que o conjunto V = x ∈ E; p(x) = 0e um espaco vetorial e que o conjunto C = x ∈ E; p(x) < 1 e umconjunto convexo.

12. Se ϕ ∈ S(RN ) mostre que

lim|x|→∞

q(x)ϕ(x) = 0 ∀q polinomio

13. Seja p uma seminorma. Mostre que o conjunto x; p(x) = 0 e um sube-spaco vetorial de E, e que o conjunto B = x ∈ E; p(x) < 1 e convexoe absorvente. (Veja Exercıcios)

14. Seja Ω ⊂ Rn. Considere o espaco Lp(Ω) com 0 < p < 1. Mostre que asbolas

Br(0) =

f ∈ Lp(Ω);

∫

Ω

|f |p dx < r

forman uma base para a topologia induzida pela metrica definida nasecao 3.12. Verifique que os conjuntos Br nao sao convexos.

15. Seja f(x) = e1/x2

mostre que ela nao e uma distribuicao em sobre Ω =R \ 0

16. Mostre que a aplicacao T : D(Ω) → R dada por

〈T , ϕ〉 =∑

|α|≤m

Dαϕ(x0)

com x0 ∈ Ω e uma distribuicao.

17. Mostre que a funcao f(x) = eax nao e uma distribuicao temperada paratodo a 6= 0.

Capıtulo 5

Espacos de Sobolev

Quando puder avaliar o que esta falandoe exprimirlo por numeros, voce sabe algo

a respeito disso; mas quando nao conseguir avaliar,nem exprimir por numeros, seu conhecimento e medıocre

e nao pode lhe dar satisfacaoSir W. Thomson

5.1 Os espacos Wm,p

Nesta secao introduziremos os espacos Wm,p e mostraremos algumas de suasprincipais propriedades.

Diremos que uma funcao u tem derivadas fracas em Lp(Ω), se existe umafuncao vi tal que ∫

Ω

u∂ϕ

∂xidx = −

∫

Ω

viϕ dx

Seja m um numero nao negativo e p satisfazendo 1 ≤ p ≤ ∞. Denotaremospor ‖ · ‖m,p, a expressao

‖u‖m,p =

∑

0≤|α|≤m

∫

Ω

|Dαu|p dx

1/p

, quando 1 ≤ p <∞

‖u‖m,∞ = max0≤|α|≤m

‖Dαu‖∞

O espaco Wm,p e definido como

Wm,p(Ω) = v ∈ Lp(Ω); Dαv ∈ Lp(Ω) ∀|α| ≤ m, no sentido distribucional

Usando o fato que os espacos Lp sao completos podemos mostrar que os espacosWm,p tambem sao espacos completos.

99

100 Capıtulo 5. Espacos de Sobolev

Teorema 5.1.1 Os espacos Wm,p sao espacos completos

Demonstracao.- (Exercıcio)

Teorema 5.1.2 Os espacos Wm,p sao separaveis, reflexivos e uniformementeconvexos para 1 < p <∞.

Demonstracao.- (Veja Exercıcios)

Para demostrar o teorema acima basta lembrar do conhecido resultado deAnalise Funcional:

Teorema 5.1.3 Seja E um espaco de Banach e V um subespaco fechado deE com respeito a topologia da norma de E. Entao V e um espaco de Banachcom a norma de E, e ainda temos:

• V e separavel se E e separavel

• V e reflexivo se E e reflexivo

• V e uniformemente convexo se E e uniformemente convexo

Um espaco importante, e o espaco que denotaremos por

Hm,p(Ω) = u ∈ Cm(Ω); ‖u‖Wm,p <∞‖·‖Wm,p

.

Uma conjetura que ficou em aberto por muitos anos foi se a igualdade

Hm,p(Ω) = Wm,p(Ω)

era verdadera. Este resultado foi mostrado por Meyers e Serrin [28] em 1964.

Como consequencia de que o espaco Wm,p(Ω) e completo temos a seguinteinclusao:

Wm,p(Ω) ⊂ Hm,p(Ω)

Denotemos agora por Wm,p0 (Ω) o fecho do espaco C∞

0 (Ω) com respeito a

norma de Wm,p(Ω). O dual deste espaco e denotado por W−m,p′(Ω).

Uma das propriedades de Wm,p0 (Ω) esta resumida no seguinte teorema.

Teorema 5.1.4 Se v ∈Wm,p0 (Ω)∩Cm(Ω) entao teremos que Dαv(x) = 0 para

x ∈ ∂Ω e para todo |α| ≤ m− 1.

5.1. Os espacos Wm,p 101

Demonstracao.- Como v ∈ Wm,p0 (Ω) teremos que existe uma sequencia de

funcoes vν ∈ C∞0 (Ω) satisfazendo

vν → v, forte em Wm,p(Ω)

Usando as formulas de Gauss encontramos que

∫

Ω

∂vν

∂xiϕ dx = −

∫

Ω

vν ∂ϕ

∂xidx ∀ϕ ∈ C1(Ω)

Aplicando a convergencia de vν segue que

∫

Ω

∂v

∂xiϕ dx = −

∫

Ω

v∂ϕ

∂xidx =

∫

Ω

∂v

∂xiϕ dx−

∫

Γ

vϕνi dΓ.


∫

Γ

vϕνi dΓ = 0 ∀ϕ ∈ C1(Ω)

Em particular tomando ϕ = vνi teremos que

∫

Γ

|v|2 dΓ = 0

De onde segue o resultado para m = 1. Para mostrar o caso para m > 1repetimos o mesmo processo para Dαv no lugar de v, assim teremos que Dαv =0 para todo |α| ≤m− 1. O que completa a demonstracao.

Proposicao 5.1.1 u ∈ Wm,p(Ω) se e somente se existe uma constante C talque ∣∣∣∣

∫

Ω

uDαφ dx

∣∣∣∣ ≤ C‖φ‖Lp′(Ω) ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω), ∀|α| ≤ m.

Demonstracao.- Fixemos α ∈ Nn tal que |α| ≤ m. Se u e uma funcao deWm,p(Ω), entao existe uma funcao v em Lp(Ω) tal que

∫

Ω

uDαφ dx = (−1)|α|∫

Ω

vφ dx

De onde segue que

∣∣∣∣∫

Ω

uDαφ dx

∣∣∣∣ ≤∫

Ω

|v|p dx1/p

︸︷︷︸=C

‖φ‖Lp′(Ω)


Que mostra que a condicao e necessaria. Para mostrar que esta condicao esuficiente Definimos o operador

T (φ) := φ 7→∫

Ω

uDαφ dx

Da hipotese temos que T e um operador linear e continuo definido sobre Lp′(Ω),

portanto pelo teorema da Representacao de Riez, existe uma funcao v satis-fazendo: ∫

Ω

vφ dx = T (φ) =

∫

Ω

uDαφ dx

De onde segue que u possui derivadas fracas ate o ordem m. Portanto u ∈Wm,p(Ω).

O seguinte Lema e bastante util para caraterizar funcoes que tem mediazero.

Lema 5.1.1 Seja B =]a1, b1[×]a2, b2[× · · ·×]an, bn[ um hipercubo do RN . Sejaφ ∈ C∞

0 (B) tal que ∫

B

φ dx = 0.

Entao existem funcoes φj ∈ C∞0 (B) tais que

∫ bj

aj

φj(x) dx = 0

e ainda

φ(x) =

n∑

j=1

φj(x)

Demonstracao.- Consideremos primeiro o caso n = 3. Definamos

ψ2(x2, x3) =

∫ b1

a1

φ(t1, x2, x3) dt1, ψ3(x3) =

∫ b1

a1

∫ b2

a2

φ(t1, t2, x3) dt1dt2.

Tomemos agora uj ∈ C∞0 (aj , bj) e

∫ bj

ajuj dx = 1. Definamos

ω2 = u1ψ2, ω3 = u1u2ψ3.

Logoφ1 = φ− ω2, φ2 = ω3 − ω2, φ3 = ω3.

Satisfaz as condicoes do teorema. Cosideremos o caso geral. Para j ∈ N

tomemos uj satisfazendo uj ∈ C∞0 (aj, bj) e

∫ bj

ajuj dx = 1. Denotemos por Bj

e ψj o conjunto e a funcao dadas por

Bj =]aj, bj[×]aj+1, bj+1[× · · ·×]an, bn[


ψj(xj , · · · , xn) =

∫ b1

a1

∫ b2

a2

· · ·∫ bj−1

aj−1

φ(t1, · · · , tj−1, xj, · · · , xn) dt1 · · ·dtj−1

respectivamente. Tomemos

ωj(x) = u1(x1) · · ·uj−1(xj−1)ψj(xj , · · · , xn).

Note que ψj ∈ C∞0 (Bj) e ωj ∈ C∞

0 (B). Alem disso teremos que∫

Bj

ψj(xj, · · · , xn) dxj · · ·dxn =

∫

B

φ(x) dx = 0

As funcoes φj estao definidas por

φ1(x) = φ− ω2, φn(x) = ωn, φj(x) = ωj − ωj+1, para 2 ≤ j ≤ n− 1

E simples verficar que as funcoes φj satisfazem as condicoes requeridas.

Lema 5.1.2 Seja Ω um aberto conexo do RN . Tomemos T ∈ D′(Ω) tal que∂T∂xj

= 0 para todo 1 ≤ j ≤ n, entao existe uma constante k tal que T = k.

Demonstracao.- Verifiquemos primeiro a seguinte propriedade

∫

B

φ dx = 0 ⇒ T (φ) = 0 (5.1)

De fato, do Lema 5.1.1 teremos que existem φj ∈ C∞0 (B) tais que

φ =

n∑

j=1

φj.

Denotemos por

θj(x) =

∫ xj

aj

φj(x1, · · · , xj−1, t, xj+1, · · · , xn) dt

e simples verificar que θj ∈ C∞0 (B), de onde segue que

T (φ) =

n∑

j=1

T (φj) =

n∑

j=1

T (∂θj

∂xj) =

∂T

∂xj(θj) = 0

Que mostra (5.1). Suponhamos agora que T 6= 0, entao existe uma funcao φ0

tal que T (φ0) = k1 6= 0 satisfazendo∫

Ω

φ0 dx 6= 0.


Caso contrario pelo discutido acima teriamos que T = 0. Denotemos agora pork1 e k2 os valores,

T (φ0) = k1,

∫

Ω

φ0 dx = k2

Assim teremos que

T (φ0) = k1 =k1

k2︸︷︷︸:=k

∫

Ω

φ0 dx.

Tomemos φ ∈ C∞0 (B) arbitraria. E simples verificar que

∫

B

(φ(x) −

∫Bφ(x) dx

k2φ0(x)

)dx = 0.

Da relacao (5.1) teremos que

T

(φ(x) −

∫Bφ(x) dx

k2φ0(x)

)= 0

De onde segue que

T (φ) =

∫Bφ dx

k2T (φ0) = k

∫

B

φ dx

Portanto T = k, o que completa a demonstracao.

Teorema 5.1.5 Seja Ω um aberto do RN , entao u, a extensao nula de u ∈Wm,p

0 (Ω) fora de Ω pertence a Wm,p(RN)

Demonstracao.- Tomemos u ∈ Wm,p0 (Ω), entao existe uma sequencia de

funcoes ϕν ∈ C∞0 (Ω) tais que

ϕν → u forte em Wm,p(Ω)

Como para todo ν ∈ N temos que ϕν ∈ C∞0 (Ω) concluimos que a extensao nula

de ϕν satisfaz ϕν ∈ C∞0 (RN) e ainda formam uma sequencia de Cauchy em

Wm,p(RN) que verifica

ϕν → u forte em Wm,p(RN)

Portanto, u pertence a Wm,p(RN).A seguinte proposicao nos da uma condicao necessaria e suficiente para que

uma funcao de Lp(Ω) pertenca a W 1,p(Ω)


Proposicao 5.1.2 Seja u ∈ Lp(Ω), entao u ∈ W 1,p(Ω) se e somente se paratodo ω ⊂⊂ Ω se verifica

|h| < dist(ω,Ωc) ⇒ ‖Thu− u‖Lp(Ω) ≤ c|h|. (5.2)

Demonstracao.- Da densidade de C10(Ω) em Lp(Ω) podemos supor que u ∈

C10 (Ω). Denotando por v(t) = u(x+ th), teremos que

u(x+ h) − u(x) =

∫ 1

0

d

dtv(t) dt

=

∫ 1

0

h · ∇u(x+ th) dt.

Aplicando a desigualdade de Holder e elevando a potencia p temos

|u(x+ h) − u(x)|p ≤ |h|p∫ 1

0

|∇u(x+ th)|p dt.

Integrando sobre ω ⊂⊂ Ω obtemos

∫

ω

|Thu− u|p dx ≤ |h|p∫

ω

∫ 1

0

|∇u(x+ th)| dt dx

= |h|p∫ 1

0

∫

ω

|∇u(x+ th)| dx dt

= |h|p∫ 1

0

∫

ω+th

|∇u(y)| dydt

Tomando h pequeno temos que

‖Thu− u‖Lp(ω) ≤ |h|‖∇u‖Lp(Ω)

Portanto a condicao e necessaria. Suponhamos agora que a propriedade 5.2seja valida. Tomemos uma funcao ϕ ∈ C1

0(Ω). Entao existe ω ⊂⊂ Ω tal queSupp ϕ ⊂ ω, assim

∫

ω

u(x+ h) − u(x)ϕ(x) dx ≤ ‖Thu− u‖Lp(Ω)‖ϕ‖Lp′(Ω)

≤ c|h|‖ϕ‖Lp′(Ω)

para todo h tal que h < dist(ω,Ωc). Fazendo uma mudanca de variavel, obte-mos ∫

Ω

u(x+ h) − u(x)ϕ dx =

∫

Ω

u(x) ϕ(x+ h) − ϕ(x) dx,


de onde segue que

∫

Ω

u

ϕ(x− h) − ϕ(x)

h

dx ≤ c‖ϕ‖Lp′(Ω).

Tomando h = |h|ei e fazendo h → 0 na desigualdade anterior, segue que

−∫

Ω

u∂ϕ

∂xidx ≤ c‖ϕ‖Lp′(Ω)

Para todo ϕ ∈ C10(Ω). O resultado segue da Proposicao 5.1.1.

5.2 Os espacos W−m,p

Nesta secao caraterizaremos os espacos W−m,p′(Ω). Denotemos por M o

numero de multi indices α satisfazendo |α| ≤ m. Os espacos Wm,p(Ω) po-dem ser considerados um subespaco fechado de [Lp(Ω)]M utilizando a seguinteinjecao

i : Wm,p(Ω) → [Lp(Ω)]M

v 7→ i(v) = (Dαv)|α|≤m

E simple verificar que o operador i e uma isometria entre Wm,p(Ω) e i(Wm,p(Ω)).A seguir mostratemos que toda distribuicao deW−m,p(Ω) e a soma de derivadasde funcoes de Lp(Ω). Para isto utilizaremos o seguinte Lema.

Lema 5.2.1 Tomemos 1 ≤ p <∞. Entao para todo elemento T ∈ (Wm,p(Ω))∗

dual do espaco Wm,p(Ω), existe um elemento v ∈ [Lp′(Ω)]M , da forma v =

(vα)|α|≤N tal que

T (v) =∑

|α|≤N

∫

Ω

Dαu vα dx

Demonstracao.- Denotemos por W a imagem do espaco Wm,p(Ω) pela aplicacaoi. Definamos um operador T ∗ sobre W como sendo

T ∗(i(u)) = T (u), ∀u ∈Wm,p(Ω)

Como i e um isomorfismo isometrico teremos que ‖T ∗‖ = ‖T‖. Pelo Teorema

de Hanh Banach existe uma extensao T de T ∗ a todo o espaco [Lp(Ω)]M . PeloTeorema da representacao de Riesz para os espacos Lp, teremos que existe umelemento

v = (vα)|α|≤N ∈ [Lp′(Ω)]M ,

5.2. Os espacos W−m,p 107

tal que para todo elemento

u = (uα)|α|≤N ∈ [Lp(Ω)]M ,

se verifica

T (u) =∑

|α|≤N

∫

Ω

uαvα dx.

Portanto se u ∈Wm,p(Ω) entao teremos que

T (u) = T (u) =∑

|α|≤N

∫

Ω

Dαuvα dx

Mais ainda, teremos que

‖T‖(Wm,p(Ω))∗ = ‖v‖Lp′(Ω)


Teorema 5.2.1 Tomemos 1 ≤ p <∞. Entao para todo elemento T ∈W−m,p′(Ω)

dual do espaco Wm,p0 (Ω), existem funcoes vα tais que

T =∑

|α|≤N

(−1)|α|DαTvα

Demonstracao.- Do Lema 5.2.1 podemos supor, usando o Teorema de HanhBanach se for necessario, que

T (u) =∑

|α|≤N

∫

Ω

Dαuvα dx

para vα ∈ Lp′(Ω). Tomemos um elemento φ ∈ C∞

0 (Ω), nestas condicoes tere-mos que

T (φ) =∑

|α|≤N

∫

Ω

Dαφvα dx

=∑

|α|≤N

(−1)|α|∫

Ω

φDαvα dx

Aplicando densidade, obtemos o resultado

Observacao 5.2.1 O resultado anterior nos diz que todo elemento de W−m,p′

e soma de derivadas de ate ordem m de elementos funcoes em Lp


5.3 Particao da unidade

Lema 5.3.1 Seja Φ uma colecao de abertos do RN tais que

Ω = ∪O∈ΦO

Entao existem funcoes ϕi ∈ D(Ω), ϕ ≥ 0 tais que

(i) ∀ϕi, ∃ O ∈ Φ, tal que Supp ϕi ⊂ O

(ii)∑∞

i=1 ϕi(x) = 1, ∀x ∈ Ω

(iii) ∀ Compacto K ⊂ Ω ∃m ∈ N e um conjunto W aberto, K ⊂W tal que

ϕ1(x) + ϕ2(x) + · · ·+ ϕm(x) = 1, ∀x ∈W

Demonstracao.- Seja S um subconjunto denso e numeravel de Ω. Denotemospor B1, B2, B3, · · · a famila de bolas fechadas com centro em pi ∈ S e tais queBi ⊂ O para algum O de Φ. Denotemos por Vi a bola aberta com centro em pi

e raio ri

2 . E simples verificar que Ω = ∪∞i=1Vi. Denotemos por ψi ∈ C∞

0 (RN )tal que ψi ≥ 0, ψi = 1 em Vi, e ψi = 0 fora de Bi. Definamos por

ϕ1 = ψi, ϕi+1 = (1 − ψ1) · · · (1 − ψi)ψi+1, i ≥ 1.

Note que ϕj = 0 fora de Bj , o que prova a parte (i). Por outro lado, para todai se verifica a identidade

ϕ1 + ϕ2 + · · ·+ ϕm = 1 − (1 − ψ1) · · · (1 − ψi−1)ψi

De fato, para n = 1 a identidade acima e valida. Para verificar que estaidentidade tambem e valida para i + 1 no lugar de i, basta somar as duasidentidades anteriores para obter

ϕ1 + ϕ2 + · · ·+ ϕi+1 = 1 − (1 − ψ1) · · · (1 − ψi)ψi+1

Portanto a identidade e valida para todo i ∈ N. Como ψ = 1 em Vi segue que

ϕ1(x) + ϕ2(x) + · · ·+ ϕm(x) = 1, ∀x ∈ ∪mi=1Vi

De onde segue (ii). Finalmente, se K e um compacto, existe um numero j talque

K ⊂ ∪ji=1Vi︸︷︷︸=W

De onde segue a demonstracao.

5.4. Aproximacoes por funcoes suaves 109

5.4 Aproximacoes por funcoes suaves

Denotemos por ρ ≥ 0 uma funcao C∞0 (Ω) com as seguintes propriedades:

• ρ(x) = 0 se |x| ≥ 1, e

•∫

RN ρ(x) dx = 1.

Por exemplo considere a funcao

ρ(x) =

κe

− 1

1−|x|2 se |x| < 10 se |x| ≥ 1

Onde κ e tomado de tal forma que∫

RN ρ(x) dx = 1. Definamos por ρε asequencia

ρε(x) = ε−nρ(x

ε).

Esta sequencia e chamada de sequencia regularizante. As propriedades destasequencia estao resumidas nos seguintes Lemas.

Exemplo 5.4.1 Como uma aplicacao da sequencia regularizante podemos con-struir uma funcao f ∈ C∞

0 (R) satisfazendo as seguinte propriedades:

f(x) = 1, ∀|x| ≤ 1; f(x) = 0, ∀|x| ≥ 2

Para isto definamos

h(x) =

1 x ∈ ] − 32 ,

32 [

0 x 6∈ ] − 32 ,

32 [

Fasendo f(x) = ρε ∗ h(x), para ε < 12 , se verificam as condicoes.

Lema 5.4.1 Seja u ∈ Lp(Ω), entao se verifica que

limε→0

‖ρε ∗ u− u‖Lp(Ω) = 0.

Demonstracao.- Mostraremos que para todo η > 0 existe δ > 0 tal que

ε < δ ⇒ ‖ρε ∗ u− u‖Lp(Ω) < η.

Para isto usaremos o fato que as funcoes contınuas com suporte compacto saodensas em Lp(Ω). Assim dado η existe ϕ ∈ C0(Ω) tal que

‖ϕ− u‖Lp(Ω) <η

3


Aplicando a desigualdade de Young (Teorema 3.3.1) teremos que

‖ρε ∗ u− ρε ∗ ϕ‖Lp(Ω) <η

3.

Finalmente, note que

|ρε ∗ ϕ(x) − ϕ(x)| = |∫

RN

ρε(x− y)(ϕ(y) − ϕ(x)) dy|

≤ sup|x−y|<ε

|ϕ(y) − ϕ(x)|

Tomando ε suficientemente pequeno e lembrando que ϕ possui suporte com-pacto, podemos escrever

‖ρε ∗ ϕ − ϕ‖Lp(Ω) <η

3.

Das desigualdades acima teremos que

‖ρε ∗ u− u‖Lp(Ω) ≤ ‖ρε ∗ u− ρε ∗ ϕ‖Lp(Ω) + ‖ρε ∗ ϕ − ϕ‖Lp(Ω) + ‖ϕ− u‖Lp(Ω).

De onde segue que

‖ρε ∗ u− u‖Lp(Ω) ≤ η.

Que mostra o resultado.

O Lema anterior nao implica que ρε ∗ u converge para u em Wm,p(Ω). Oproblema e que para valores de x proximos de ∂Ω e valores de y variando na bolaB(x, |x − y|), a diferencia x − y nao necesariamente esta em Ω. Isto e a con-volucao nao esta bem definida,

Dαρε ∗ u = ρε ∗Dαu =

∫

Ω

ρε(y)Dαu(x− y) dy.

O procedimento padrao nestes casos e extender a funcao nula fora de Ω, maisisto cria problemas com as derivadas. Por enquanto somente mostraremos oseguinte resultado.

Lema 5.4.2 Seja Ω′ ⊂⊂ Ω, nestas condicoes teremos que

ρε ∗ u → u em Wm,p(Ω′)


Demonstracao.- Tomemos ε < dist(Ω′, ∂Ω). A derivada no sentido das dis-tribuicoes de ρε ∗ u e dada por

∫

Ω′ρε ∗ uDαϕ(x) dx =

∫

RN

∫

RN

u(x− y)ρε(y)Dαϕ(x) dxdy

= (−1)|α|∫

RN

∫

RN

Dαu(x− y)ρε(y)ϕ(x) dxdy

= (−1)|α|∫

Ω′ρε ∗Dαuϕ(x) dxdy

De onde segue queDαρε ∗ u = ρε ∗Dαu

Aplicando o Lema 5.4.1, obtemos o resultado.

Observacao 5.4.1 Seja Ω =] − 1, 1[\ 0 e simples verificar que a funcao

sinal(x) =

−1 se x < 01 se x > 0

∈ C∞(Ω)

isso porque o unico ponto de discontinuidade e o zero, que nao pertence aoconjunto. No sentido fraco sinal(x) e um funcao que pertence a Wm,p(Ω).Similarmente em dimensao dois. Denotemos por Ω o conjunto

Ω =]0, 1[×]0, 1[\

(x, y); x =1

2, y ∈]0, 1[

Nessas condicoes teremos que

f(x, y) =

−1 se 0 < x < 1

21 se 1

2 < x < 1

∈ C∞(Ω)

Para verificar que tanto x 7→ sinal(x) como f sao funcoes emW 1,p(Ω), mostraremosque elas tem derivadas fracas em Lp(Ω). De fato, tomemos uma ϕ ∈ C∞

0 (Ω),satisfazendo Supp ϕ ⊂⊂ Ω.

Ω =]0, 1

2[∪] 1

2,1[×]0,1[

12 1

1


Integrando temos,

∫

Ω

sinal(x)ϕ′(x) dx = −∫ 0

−1

ϕ′(x) dx+

∫ 0

1

ϕ′(x) dx = 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω)

De onde segue que ddxsinal(x) = 0 e portanto x 7→ sinal(x) ∈ W 1,p(Ω). De

forma analoga mostramos que f ∈W 1,p(Ω). Como a derivada e nula em amboscasos, teremos que

x 7→ sinal(x) ∈ C∞(Ω), f ∈ C∞(Ω).

Portanto o espaco C∞(Ω) nao esta formado apenas por funcoes suaves paraqualquer aberto Ω ⊂ Rn. Nosso seguinte paso e mostrar que C∞(Ω) e umconjunto denso em Wm,p(Ω)

Teorema 5.4.1 Seja Ω um aberto do RN , entao teremos que

C∞(Ω)‖·‖Wm,p(Ω)

= Wm,p(Ω).

Demonstracao.- Seja u ∈ Wm,p(Ω), mostraremos que dado ε > 0 existe umafuncao φ ∈ C∞(Ω) tal que

‖u− φ‖Wm,p(Ω) < ε.

Para isto utilizaremos a particao da unidade. Denotemos por Ωk o conjunto

Ωk =

x ∈ Ω; |x| < k, e dist(x, ∂Ω) >

1

k

Denotemos por Ω0 = Ω−1 = ∅. Definamos por O a famılia de abertos,

O =Uk; Uk = Ωk+1 ∩ (Ωk−1)

c, k = 1, 2 · · ·

Esta famılia de conjuntos e um cobertura aberto de Ω. Denotemos por Ψ aparticao da unidade associada a O, isto e

Supp ϕi ⊂ Ui, e∞∑

i=1

ϕ(x) = 1, ∀x ∈ Ω.

Tomemos 0 < ε < 1(k+1)(k+2)

entao teremos que

Supp(ρε ∗ (ϕku)) ⊂ Vk := Ωk+2 ∩ (Ωk−2)c.

Note que ϕku ∈Wm,p(Ω), podemos entao escolher 0 < εk tal que

‖ρεk ∗ (ϕku) − ϕku‖Wm,p(Ω) = ‖ρεk ∗ (ϕku) − ϕku‖Wm,p(Vk) <ε

2k.


Por outro lado, para todo Ωk ⊂⊂ Ω temos que

ψ(x) =

∞∑

k=1

ρεk ∗ (ϕku)

e uma soma finita, portanto ψ ∈ C∞0 (Ω) e ainda temos que

u =

k+2∑

j=1

ϕju.

De onde segue que

‖u− ψ‖Wm,p(Ωk) ≤k+1∑

j=1

‖ρεj ∗ (ϕju) − ϕju‖Wm,p(Ω) < ε

Usando o teorema de convergencia monotona, segue o resultado.

Na observacao 5.4.1 mostramos um aberto Ω ⊂ Rn para o qual se verificaque sinal(x) pertence a Wm,p(Ω). Veremos porteriormente que a convergenciaem Wm,p para m > n/p implica em convergencia uniforme, portanto existemfuncoes em Wm,p(Ω) que nao podem ser aproximadas por funcoes em C∞

0 (RN ).Portanto e falso que as funcoes suaves do RN sejam densas em Wm,p(Ω) paratodo aberto Ω. Definiremos a seguir uma classe de abertos Ω onde as restricoesde funcoes C∞

0 (RN ) sao densas em Wm,p(Ω).

Definicao 5.4.1 (Propriedade do Segmento) Diremos que um aberto Ωpossui a propriedade do segmento se para todo ponto x ∈ ∂Ω existe uma vizin-hanca de x, que a denotaremos por Ux e uma direcao, yx ∈ Rn tais que

∀z ∈ Ux ∩ Ω ⇒ z + tyx ∈ Ω, ∀ t ∈]0, 1[

Exemplo 5.4.2 Como primer exemplo considere um conjunto aberto Ω doqual removemos um segmento de reta, como se mostra na figura. Isto e ospontos do segmento de reta nao pertencem a Ω. O conjunto assim definido naosatisfaz a propriedade do segmento.

'

%

x

∂Ω ∂Ω

Uxrz

@@@R

ryx

r@R

Ω


Pois para qualquer direcao yx, incluindo aquela que segue o segmento de reta,o conjunto z + tyx com 0 < t < 1, nao esta integralmente contido em Ω.

Exemplo 5.4.3 Se acrescentamos os pontos do segmento de reta no Exemplo5.4.2 a Ω o conjunto resultante satisfaz a propriedade do segmento, pois paraqualquer ponto x ∈ Ω ∩ Ux teremos que existe yx tal que o segmento de retaz + tyx ∈ Ω para todo 0 < t < 1. Veja a figura

'

%

x

∂Ω

Ux

rz

@@@R

ryx

r@R

Ω

Agora estamos em condicoes de mostrar que as funcoes suaves com suportecompacto definidas sobre todo o espaco RN sao densas nos espacos Wm,p(Ω)quando Ω possui a propriedade do segmento. A principal diferenca deste resul-tado respeito ao Teorema 5.4.1, e que neste caso precissamos definir a funcaosuave sobre todo RN .

Teorema 5.4.2 Suponhamos que Ω possui a propriedade do segmento, entaoo as restricoes a Ω das funcoes C∞

0 (RN) sao densas em Wm,p(Ω).

Demonstracao.- A demonstracao sera feita em tres etapas. A primera con-siste em mostrar que toda funcao de Wm,p(Ω) pode ser aproximada por umafuncao com suporte limitado que denotaremos por K. Na segunda etapa, ex-plorando o fato que Ω possui a Propriedade do Segmento, construiremos umafamılia de abertos que cobrem ao conjunto K. Associada a esse cobrimentoutilizaremos as funcoes da particao da unidade para definir as funcoes sobrecada um dos abertos que cobrem K. O problema central e mostrar que existeuma funcao de C∞

0 (RN ) que aproximem estas componentes.Seja f ∈ C∞

0 (RN ), satisfazendo

f(x) = 1 se |x| ≤ 1

f(x) = 0 se |x| ≥ 2

|Dαf(x)| ≤M ∀0 ≤ |α| ≤m

Definamos a sequencia fε(x) = f(εx) para todo ε > 0. E simples verificar quefε satisfaz as seguintes propriedades

fε(x) = 1 se |x| ≤ 1

ε, |Dαfε(x)| ≤Mε|α| ≤M, para ε < 1


Definamos a funcao uε = fεu, note que usando as formulas de diferenciacao,teremos que uε ∈Wm,p(Ω). Alem disso, o suporte de uε e limitado em Ω (naonecessariamente um compacto de Ω), isto e Supp(uε) ∩ ∂Ω 6= ∅. Denotemospor

Ωε =

x ∈ Ω; |x| ≥ 1

ε

Lembrando a definicao de uε obtemos que

‖u− uε‖Wm,p(Ω) = ‖u− uε‖Wm,p(Ωε)

≤ ‖u‖Wm,p(Ωε) + ‖uε‖Wm,p(Ωε)

≤ C‖u‖Wm,p(Ωε) → 0

quando ε → 0. Portanto, toda funcao u ∈ Wm,p(Ω) pode ser aproximada poruma funcao com suporte limitado em Ω. Seja K = supp(uε). Da definicao deuε K e limitado. Denotemos por Ux a colecao de conjuntos abertos dados peladefinicao da propriedade do segmento. Entao teremos que o conjunto

F = K \ (∪x∈∂ΩUx)

e um compacto contido em Ω.

q -

6

?

B

BB

BBB

Z

ZZ

ZZ

ZZ

CCCCCCC

X

Y

Ω

U0

K

Como F e compacto contido em Ω, existe um aberto U0 tal que

F ⊂⊂ U0 ⊂⊂ Ω.

com a propriedade queK ⊂ ∪k

j=0Uj.

Mais ainda, podemos encontrar abertos Uj satisfazendo


Uj ⊂⊂ Uj , e K ⊂ ∪kj=1Uj .

Denotemos por Φ a particaoC∞ da unidade subordinada aos abertosU0, U1, · · · , Uk

e por uj = ψju para ψj ∈ Φ. Mostraremos que para cada ψj temos

‖uj − ψj‖Wm,p(Ω) ≤ε

k + 1, (5.3)

fazendo ψ =∑k

j=0 ψj teriamos

‖u− ψ‖Wm,p(Ω) ≤k∑

j=0

‖uj − ψj‖Wm,p(Ω) ≤ ε

De onde segue a demonstracao deste teorema. Portanto nosso objetivo seramostrar que a desigualdade (5.3) e valida para todo j. Como Supp(u0) ⊂U0 ⊂⊂ Ω, pelo Lema 5.4.2 existe uma funcao ψ0 satisfazendo a desigualdade(5.3). Resta portanto encontrar funcoes ψj satisfazendo (5.3) para j = 1, · · · , k.Para cada j estendamos uj sendo zero fora de Ω. Portanto teremos que uj ∈Wm,p(RN \Γ), onde Γ = Uj∩∂Ω. Seja y o vetor nao nulo associado ao conjuntoUj na definicao da propriedade do segmento. Denotemos por Γt = Γ− ty, ondet e tomado tal que

0 < t < min

1, dist(Uj,RN \ Uj)/|y|

Uj

Uj

Γt

Γ Ω

y

Entao, pela propriedade do Segmento, Γt ⊂ Uj e ainda temos que Γt∩Ω = ∅.Definamos a funcao uj,t = uj(x + ty), entao e simples verificar que uj,t ∈Wm,p(RN \ Γt). Como as translacoes sao contınuas em Lp entao teremos que

Dαuj,t → Dαuj em Lp(Ω)

quando t → 0+. Portanto e suficiente mostrar que existe uma ψj ∈ C∞0 (RN )

tal que‖uj,t − ψj‖Wm,p(Ω) ≤ ε.


Como o conjunto Ω ∩ Uj ⊂⊂ Rn \ Γt pelo Lema 5.4.2, podemos tomar ψj =ρδ ∗ uj,t para δ suficientemente pequenho. Isto prova o resultado.

Como consequencia do resultado anterior teremos

Corolario 5.4.1 Wm,p0 (RN) = Wm,p(RN )

Uma pergunta natural neste ponto, e se existem outros conjuntos abertosΩ para os quais se verifica

Wm,p0 (Ω) = Wm,p(Ω) (5.4)

Observacao 5.4.2 Uma condicao necessaria para que a indentidade (5.4) sejavalida e que o complemento Ωc de Ω tenha medida nula. De fato, suponhamosque o complemento Ωc de Ω tenha medida positiva e que (5.4) seja valido.Entao existirıa um aberto limitado B que interseta Ω e Ωc em conjuntos demedida positiva. Denotemos por φ ∈ C∞

0 (RN) tal que φ(x) = 1 se x ∈ Ω ∩B,entao a restricao de φ a Ω, pertence a Wm,p(Ω) e portanto φ ∈ Wm,p

0 (Ω).Portanto podemos extender φ a todo o RN como sendo nula fora de Ω. Neste

caso φ ∈ Wm,p(RN ). Mas ∂ eφ∂xj

e nula em sobre B, de onde φ deve asumir

valores constantes em B, Como φ = 1 em B ∩ Ω e φ = 0 em B ∩ Ωc, temos acontradicao procurada.

Introduzamos agora os conjuntos (m,p’) polar

Definicao 5.4.2 Diremos que um conjunto fechado F e (m-p’) polar se paratoda distribuicao T ∈W−m,p′

(RN ) e valido

Supp(T ) ⊂ F ⇒ T = 0

Observacao 5.4.3 Todo conjunto (m,p’) polar deve ter medida nula. De fato,se Med(F ) e positiva, denotemos porK um compacto K ⊂⊂ F tal que Med(K)seja positiva. Assim definimos TK como sendo a distribuicao associada a χK

em L1loc(R

N), onde por χK estamos denotando a funcao caraterıstica sobre K.Logo teriamos que

Supp(TK) ⊂ F

mas TK nao e nula.

Observacao 5.4.4 Os conjuntos (m,p’) polares dependen da dimensao, de me p. Por exemplo, consideremos Wm,p(RN ) tal que mp < n. Entao todo pontox0 e um conjunto (m,p’) polar. De fato, se

Supp(T ) ⊂ x0


Pelo Teorema 4.3.1 teremos que T deve ser o Delta de Dirac ou uma combinacaolinear das derivadas dele. Veremos mais adiante que quando mp < n

Wm,p(RN ) 6⊂ C(RN ),

isto e δx0 6∈ W−m,p′(RN ). Mais ainda Dαδx0 6∈ W−m,p′

(RN ) para todo multiindice α. Logo a unica distribuicao em Wm,p(Ω) com suporte em x0 e T = 0.

No caso em que mp > n, Teremos que

Wm,p(RN ) ⊂ C(RN ).

Logo δx0 ∈W−m,p′(RN ), entao teriamos que o conjunto x0, nao pode ser um

conjunto (m,p’) polar. Neste caso o unico conjunto (m,p’) polar e o conjuntovazio.

O seguinte resultado e bastante ilustrativo.

Teorema 5.4.3 O conjunto C∞0 (Ω) e denso em Wm,p(RN ) se e somente se o

complemento Ωc e (m,p’) polar.

Demonstracao.- Suponhamos que C∞0 (Ω) e denso em Wm,p(RN ). Tomemos

uma distribuicao T talque seu suporte esteja contido em Ωc isto e

Supp T ⊂ Ωc

Provaremos que T e nula. De fato, tomemos u ∈ Wm,p(RN ), pela hipotesesegue que existe uma sequencia de funcoes ϕν em C∞

0 (Ω) tal que

ϕν → u em Wm,p(RN).

Note que Supp(ϕν )⊂ Ω. Como o suporte de T esta contido no complementode Ω teremos que

T (u) = limν→∞

T (ϕν) = 0, ∀u ∈Wm,p(RN )

De onde segue que T = 0. Portanto Ωc e (m,p’) polar.Recıprocamente, suponhamos que C∞

0 (Ω) nao seja denso em Wm,p(RN ).Lembrando que as extencoes nulas fora de Ω de funcoes em Wm,p

0 (Ω) sao el-ementos de Wm,p(RN ), podemos identificar Wm,p

0 (Ω) como um subconjuntode Wm,p(RN ). Logo existe um elemento v de Wm,p(RN ) que nao pertence aWm,p

0 (Ω). Pelo teorema de Hahn-Banach existe uma aplicacao linear, contınua

e nao nula T sobre Wm,p(RN ), isto e T ∈ W−m,p′(RN) tal que T = 0 em

Wm,p0 (Ω) e T (v) 6= 0. Como T se anula em Wm,p

0 (Ω) o suporte deve estarcontido em Ωc, mais como T e nao nula, entao Ωc nao pode ser (m,p’) polar.


Teorema 5.4.4 • Se Wm,p(Ω) = Wm,p0 (Ω) entao Ωc e (m,p’) polar.

• Se o complemento de Ω, Ωc e simultaneamente (m,p’) polar e (1,p) polar,entao teremos que Wm,p(Ω) = Wm,p

0 (Ω)

Demonstracao.- Suponhamos queWm,p(Ω) = Wm,p0 (Ω). Pelo Exemplo 5.4.2,

temos que Ωc tem medida nula. Tomemos uma funcao v ∈ Wm,p(RN ) e de-notemos por u sua restricao ao conjunto Ω, portanto como

u ∈Wm,p(Ω) = Wm,p0 (Ω).

Denotemos por u a extensao de u ao RN nula fora de Ω. Por ser zero em Ωc

podemos aproximar u por funcoes de C∞0 (Ω). Mas v = u quase sempre em

RN . Portanto, suas derivadas distribucionais coincidem em Wm,p(RN). Logo,C∞

0 (Ω) e denso em Wm,p(RN ). Pelo Teorema 5.4.3 segue que Ωc deve ser(m,p’) polar.

Para demostrar a segunda parte do teorema, suponhamos que Ωc seja simul-taneamente (m,p’) polar e (1,p) polar. Tomemos u ∈ Wm,p(Ω). Mostraremosque u ∈ Wm,p

0 (Ω). Denotemos por u a extensao de u nula fora de Ω, entaoteremos que u ∈ Lp(RN ). Denotemos por TDj eu, a distribuicao associada aDj u. Claramente temos que

TDj eu ∈W−1,p(RN ).

Por outro lado, como (Dju) ∈ Lp(RN ) ⊂W−1,p(RN), portanto temos que

TgDju ∈ W−1,p(RN )

Logo segue que

TDj eu− gDju

∈W−1,p(RN ).

Como Dj u− Dju e nula em Ω, entao temos que

Supp TDj eu− gDju

⊂ Ωc

Sendo Ωc (1,p) polar, teremos que

Dj u = Dju

no sentido das distribuicoes. Raciocinando da mesma forma podemos mostrarque

Dαu = Dαu

no sentido das distribuicoes. Mas a identidade acima implica que

u ∈Wm,p(RN ).


Finalmente, como Ωc e (m,p’) polar segue que as funcoes C∞0 (Ω) sao densas em

Wm,p(RN), portanto existe uma sequencia de funcoes em C∞0 (Ω) convergindo

para u que implica em particular que u ∈ Wm,p0 (Ω). O que completa a demon-

stracao.

5.5 Operadores de prolongamento

Nesta secao estudaremos algumas das condicoes que deve satisfazer um abertoΩ para que exista um operador que possa extender funcoes de Wm,p(Ω) paraWm,p(RN).

Definicao 5.5.1 Diremos que um operador P e de prolongamento se satisfazas seguintes propriedades:

• P : Wm,p(Ω) → Wm,p(RN).

• Pu(x) = u(x), quase sempre em Ω

• ‖Pu‖Wm,p(RN) ≤ C‖u‖Wm,p(Ω)

Estes operadores sao importantes porque permitem extender as propriedadesque tem os espacos Wm,p(RN) aos espacos Wm,p(Ω). Por exemplo, se a imersaoWm,p(RN) ⊂ Lq(RN ) e conhecida, entao usando as propriedades de oper-ador prolongamento podemos extender os resultados para abertos limitadosWm,p(Ω) ⊂ Lq(Ω). De fato, tomemos u ∈ D(Ω)

‖u‖Lq(Ω) ≤ c‖Pu‖Lq(RN ) ≤ cK‖Pu‖Wm,p(RN ) ≤ c2‖u‖Wm,p(Ω)

Como D(Ω) e denso em Wm,p(Ω) segue o resultado. Para mostrar a existenciadestes operadores, introduziremos as seguintes notacoes.

Se x ∈ RN , escreveremos x = (x′, xn) o vetor tal que x′ ∈ Rn−1 e x′ =(x1, · · · , xn−1). Introduzimos tambem os seguintes conjuntos:

RN+ = x = (x′, xn); xn > 0Q = x = (x′, xn); |x′| < 1, |xn| < 1Q+ = Q ∩ Rn

+

Q0 = x = (x′, xn); |x′| < 1, xn = 0

5.5. Operadores de prolongamento 121

q -

6

?

X

Y

Q+

Q0Q−

Q

No grafico acima temos queQ = Q+∪Q−∪Q0. Nesta secao nos limitaremosa estudar a existencia dos operadores Prolongamento para dominios de classeCm, que definimos a seguir.

Definicao 5.5.2 Diz-se que um aberto Ω e de classe Cm, se para todo x ∈ ∂Ω,existe um entorno de x que denotaremos por Vx e uma aplicacao bijetiva

H : Q → Vx,

satisfazendo as seguintes propriedades,

H ∈ Cm(Q), H−1 ∈ Cm(Vx), H(Q+) = Vx ∩ Ω, H(Q0) = Vx ∩ ∂Ω,

No seguinte Lema construiremos um operador que extende as funcoesWm,p(Q+)para Wm,p(Q+ ∪Q− ∪Q0). Graficamente teremos

Para construir um operador prolongamento que seja contınuo, teremos queextender as funcoes por simetria ou por reflexoes, veja os graficos.

Grafico obtido por simetrıa

q -

6

?

'%'

$&$

y = f(x)

y = f(−x)

X

Y

Grafico obtido por reflexao

q -

6

?

X

Y

#!#

!#!

y = f(x)


Lema 5.5.1 Existe um operador p : Wm,p(Q+) →Wm,p(Q), com as seguintespropriedades:

• pu(x) = u(x) para todo x ∈ Q+

• ‖pu‖Wm,p(Q) ≤ ‖u‖Wm,p(Q+)

Demonstracao.- Denotemos por D(Q+) o espaco de todas as restricoes defuncoes de C∞

0 (RN) ao conjunto Q+. Pelo teorema de densidade, D(Q+) edenso em Wm,p(Q+). Definamos p da seguinte forma:

pu(x′, xn) =

u(x′, xn) se 0 < xn < 1∑n

k=1 αku(x′,− 1

kxn) se −1 < xn < 0

Onde os valores αk sao escolhidos tais que

m∑

k=1

(−1)jk−jαk = 1 ∀ j 0 ≤ j ≤ m− 1.

E simples verificar que toda funcao φ ∈ D(Q+) satisfaz

pφ ∈ Cm−1(Q+),∂mPφ

∂xmn

∈ Lp(Q+).

Portanto para φ ∈ D(Q+) temos que

p(φ) ∈Wm,p(Q).

fazendo uma mudanca de variavel verificamos a desigualdade

‖pφ‖Wm,p(Q) ≤ C‖φ‖Wm,p(Q+). (5.5)

Pela densidade das funcoes D(Q+) em Wm,p(Q+) podemos extender de formaunica o operador P ao espaco

p : Wm,p(Q+) → Wm,p(Q).

O operador P verifica as propriedades do Lema. De fato, seja u ∈Wm,p(Q+).Entao existe uma sequencia de funcoes testes φν convergindo forte para u. Sex ∈ Q+, teremos que

pu(x) = limν→∞

Pφν(x) = limν→∞

φν(x) = u(x), quase sempre em Q+.

Finalmente, por densidade podemos extender a desigualdade (5.5) para todafuncao Wm,p(Q). De onde segue o resultado.

5.5. Operadores de prolongamento 123

Teorema 5.5.1 Suponhamos que Ω seja um aberto de classe Cm com fronteiralimitada. (Ou Ω = RN

+ ). Entao existe um operador prolongamento

P : Wm,p(Ω) → Wm,p(RN )

linear, tal que para todo u ∈ Wm,p(Ω) satisfaz

• Pu(x) = u(x), para quase todo x ∈ Ω

• ‖Pu‖Wm,p(RN) ≤ C‖u‖Wm,p(Ω)

Onde C e uma constante que somente depende de m, p e Ω.

Demonstracao.- Usando as cartas locais podemos retificar o dominio Ω. Pelashipoteses existem abertos U1, U2, · · ·Um e aplicacoes bijetivasHi : Q → Ui, taisque

H ∈ Cm(Q), H−1 ∈ Cm(Ux), H(Q+) = Ux ∩ Ω, H(Q0) = Ux ∩ ∂Ω,

Denotemos por U0 um aberto tal que U0 ⊂⊂ Ω tal que

Ω ⊂ ∪mj=0Uj

Sejam ψj as funcoes de particao da unidade associada ao cobertura de Ω acima.Tomemos u ∈Wm,p(Ω), e denotemos por uj = uψj . Assim teremos que

u =

m∑

j=0

uψj =

m∑

j=0

uj.

Nosso objetivo e extender cada uma das funcoes uj para j = 1, · · · , m. ComoSupp(u0)⊂⊂ Ω, entao teremos que a extensao nula de u0 fora de Ω satisfaz

u0 ∈Wm,p(RN )

e ainda temos que‖u0‖Wm,p(RN ) ≤ ‖u0‖Wm,p(Ω).

O nosso proximo paso e extender as funcoes ui para i = 1, · · · , m. Para esteproposito utilizaremos as aplicacoes Hi. Definamos o operador Ri como

Ri(ui) = ui(Hi(y)) ∀y ∈ Q+

Pelas hipoteses temos que Ri(ui) ∈ Wm,p(Q+). Usando o Lema anterior,existe um operador prolongamento pi que extende a funcao Ri(ui) para todo oquadrado Q e ainda satisfaz,

pi(Ri(ui)) = Ri(ui) ∀x ∈ Q+


‖pi(Ri(ui))‖Wm,p(Q) ≤ C‖Ri(ui)‖Wm,p(Q+) ≤ C‖ui‖Wm,p(Ω∩Ui) (5.6)

Voltaremos agora ao dominio inicial usando a funcao H−1i definindo

Ri(wi)(x) = wi(H−1i (x)), para x ∈ Ui.

Assim teremos que o operador RopioRi satisfaz

RopioRi(ui)(x) = ui(x) ∀x ∈ Ui ∩ Ω.

Agora o operador que extende a funcao ui de Ui ao Rn estara dado por

Ei(ui) =

ψi(x)RopioRi(ui)(x) se x ∈ Ui

0 se x /∈ RN \ Ui

Note que se x ∈ Ui ∩ Ω, entao teremos que

Ei(ui)(x) = ui(x)φi(x)

E ainda que

‖Ei(ui)‖Wm,p(RN) ≤ C ≤ C‖ui‖Wm,p(Ui∩Ω)

Finalmente, o operador Prolongamento de u esta dado por

Pu = u0 +

m∑

i=1

Ei(ui)

O que completa o resultadoSe Ω e um hipercubo, entao com aplicacoes sucesivas do Lema 5.5.1 pode-

mos construir um operador prolongamento, sem necesidade de introduzir cartaslocais nem a particao da unidade. De fato, usando o Lema 5.5.1, existe umoperador p1 que extende Ω para Ω1, onde

Ω1 = Ω ∪R1 ∪ (Ω ∩R1)

Veja a figura.

q -Ω

R1

R2

R3

R4

6

?

5.6. Desigualdade de Poincare 125

De forma analoga podemos definir um operador prolongamento de Ω1 paraΩ2 onde

Ω2 = Ω1 ∪R2 ∪ (Ω1 ∩R2).

Seguidamente prolongamos de Ω2 ate Ω3 onde

Ω3 = Ω2 ∪R3 ∪ (Ω2 ∩R3)

Indutivamente podemos prolongar de Ωi−1 para Ωi, onde

Ωi = Ωi−1 ∪Ri ∪ (Ωi−1 ∩Ri)

ate a 2n-eixo. Finalmente, tomamos uma funcao ϕ ∈ C∞0 (RN) tal que ϕ = 1

em Ω, logo o operador

P = ˜ϕp2nop2n−1o · · · op1(u)

e um operador prolongamento.

5.6 Desigualdade de Poincare

Nesta secao mostremos a desigualdade de Poincare para funcoes em Wm,p(Ω),quando Ω e limitado numa direcao. Quando o conjunto Ω e limitado, ele estacontido num hipercubo, veja o grafico.

q -

6

?

R

&

@

@@Ω

X

Y

Mostraremos a desigualdade de Poincare no caso em que Ω seja um abertolimitado numa direcao. Quando a direcao em que ela e limitado e paralela aalgum eixo, temos a seguinte situacao.


q -

6

?

%

6

BB

BBB

6Y

Xa b

Ω

Quando a limitacao do aberto Ω e dada numa direcao que nao e paralelaaos eixos temos por exemplo que Ω e da forma

q -

6

?

&

Ω

Y

X

Teorema 5.6.1 Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado numa direcao. Entao, existeuma constante positiva C = C(Ω, p), tal que

||u||W1,p0 (Ω) ≤ C||∇u||Lp(Ω), ∀u ∈ W 1,p

0 (Ω).

Demonstracao.- Primeiro assumiremos que Ω e um conjunto limitado numadirecao paralela aos eixos coordenados. Portanto, sem perda de generalidadepodemos supor que

Ω ⊂ x ∈ Rn; x = (x′, xn); a < xn < b := C

Denotemos por ϕ a uma funcao de C∞0 (Ω), entao teremos que ϕ, a extensao de

ϕ nula fora de Ω, pertence a C∞0 (RN), mais ainda a restricao de ϕ ao conjunto

C pertence a C∞0 (C). Por outro lado, e simples verificar que

ϕ(x1, · · · , xn−1, y) =

∫ y

a

∂ϕ

∂xn(x1, · · · , xn−1, s) ds, ∀x ∈ C.

5.6. Desigualdade de Poincare 127

Usando a desigualdade de Holder teremos que

|ϕ(x1, · · · , xn−1, y)| ≤ (b− a)1q

∫ b

a

| ∂ϕ∂xn

(x1, · · · , xn−1, s)|p ds 1

p

.

Elevando a potencia p e integrando novamente sobre [a, b] teremos que

∫ b

a

|ϕ(x1, · · · , xn−1, s)|p ds ≤ (b− a)1+ 1q

∫ b

a

| ∂ϕ∂xn

(x1, · · · , xn−1, s)|p ds.

Integrando com respeito as variaveis (x1, · · · , xn−1) teremos que

∫

C

|ϕ|p dx ≤ (b− a)1+ 1q

∫

C

| ∂ϕ∂xn

|p dx.

Aplicando a densidade das funcoes C∞0 (Ω) em W 1,p

0 (Ω) segue que a desigual-dade anterior e valida para todo u ∈ W 1,p

0 (Ω), isto e

∫

C

|u|p dx ≤ (b− a)1+ 1q

∫

C

| ∂u∂xn

|p dx

De onde segue o resultado. No caso em que a direcao v = (a1, · · · , an) naoseja paralela a algum eixo fazemos uma rotacao de forma que o novo sistemacoordenado tenha um eixo que seja paralelo ao vetor v. Aplicando o resultadoanterior a este caso obtemos

∫

Ω

|w|p dx ≤ c

∫

Ω

| ∂w∂xn

|p dx

Tomando u(x) = w(b1x1, · · · , bnxn) aplicando mudanca de variaves obtemos oresultado.

A desigualdade de Poincare e valida tambem para funcoes que se anulam(no sentido de traco) em apenas uma parte da fronteira ∂Ω e tambem para asfuncoes que tem media nula, isto e 1

med(Ω)

∫Ω u dx = 0.

Teorema 5.6.2 Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado e seja u ∈ W 1,p(Ω) commedia nula, entao, existe uma constante positiva C = C(Ω, p), tal que

||u||W1,p(Ω) ≤ C||∇u||Lp(Ω), ∀u ∈W 1,p(Ω) tal que

∫

Ω

u(x) dx = 0

Demonstracao.- Este resultado vale para qualquer aberto limitado regular,faremos aqui a prova no caso em que Ω e um hiperparalelepıpedo. Suporemosprimeiro que u e uma funcao C1(Ω) nosso resultado seguira por densidade.


Suporemos que n = 3, o caso geral segue de forma semelhante. Do teoremafundamental do calculo teremos

u(x1, x2, x3) − u(y1, x2, x3) =

∫ x1

y1

∂u

∂x1(x, x2, x3) dx

De forma analoga teremos

u(y1, x2, x3) − u(y1, y2, x3) =

∫ x2

y2

∂u

∂x2(y1 , w, x3) dw

Finalmente,

u(y1, y2, x3) − u(y1, y2, y3) =

∫ x3

y3

∂u

∂x3(y1, y2, w) dw

Somando estas tres ultimas identidades, obtemos

u(x1, x2, x3) − u(y1, y2, y3) =

∫ x1

y1

∂u

∂x1(x, x2, x3) dx

+

∫ x2

y2

∂u

∂x2(y1, w, x3) dw

+

∫ x3

y3

∂u

∂x3(y1, y2, w) dw

Integrando com relacao a y = (y1, y2, y3) (note que x = (x1, x2, x3) e constantecom relacao a y) e aplicando o fato que u tem media nula, obtemos

med(Ω) u(x1, x2, x3) =

∫

Ω

∫ x1

y1

∂u

∂x1(x, x2, x3) dx dy

+

∫

Ω

∫ x2

y2

∂u

∂x2(y1, w, x3) dw dy

+

∫

Ω

∫ x3

y3

∂u

∂x3(y1, y2, w) dw dy

Tomando valor absoluto, aplicando a desigualdade de Holder e usando o fatoque Ω e limitado, obtemos

med(Ω) |u(x1, x2, x3)| ≤ C

∫

Ω

|∇u|p dy1/p

Onde C e uma constante que depende de Ω. Elevando a potencia p a desigual-dade anterior e integrando novamente com relacao a Ω obtemos

∫

Ω

|u(x1, x2, x3)|p dx ≤ med(Ω)1−pCp

∫

Ω

|∇u|p dy


5.7. Desigualdades de Sobolev 129

5.7 Desigualdades de Sobolev

Teorema 5.7.1 (Sobolev, Gagliardo, Niremberg) Seja 1 ≤ p < N e denotandopor p∗ ao numero tal que 1

p∗ = 1p− 1

N, temos que

W 1,p(RN) ⊂ Lp∗(RN )

e ainda temos que existe uma constante C > 0 tal que

‖u‖Lp∗ ≤ C‖∇u‖Lp, ∀u ∈W 1,p(RN )

Demonstracao.- Para mostrar este teorema utilizaremos o seguinte Lema

Lema 5.7.1 Tomemos N ≥ 2 e denotemos por f1, f2, · · · , fN ∈ LN−1(RN−1).Para cada x = (x1, x2, · · · , xN) ∈ RN e para cada subındice 1 ≤ i ≤ N escreve-mos

xi = (x1, x2, · · · , xi−1, xi+1, · · · , xN) ∈ RN−1.

Entao a funcao definida por

f(x) = f1(x1)f2(x2) · · ·fN (xN)

pertence a L1(RN ) e ainda temos:

‖f‖L1(RN) ≤N∏

i=1

‖fi‖LN−1(RN−1)

Demonstracao.- O caso N = 2 e trivial. Consideremos o caso N = 3.∫

R

|f(x)| dx3 = |f3(x1, x2)|∫

R

|f1(x2, x3)||f2(x1, x3)| dx3

≤ |f3(x1, x2)|∫

R

|f1(x2, x3)|2 dx3

1/2∫

R

|f2(x1, x3)|2 dx3

1/2

Integrando com respeito a x2 obtemos e aplicando a desigualdade de Holderobtemos

∫

R

∫

R

|f(x)| dx3dx2 ≤∫

R

|f3(x1, x2)| dx2| 1

2∫

R

|f1(x2, x3)|2 dx3dx2

1/2∫

R

|f2(x1, x3)|2 dx3

1/2

Finalmente, integrando com respeito a x3 e repetindo o argumento anteriorobtemos ∫

R3

|f(x)| dx ≤ ‖f1‖L2(R2)‖f2‖L2(R2)‖f3‖L2(R2).


Onde dx = dx1 · · ·dxN . Suponhamos que o Lema seja valido paraN , mostraremosque ele tambem sera valido para N+1. De fato, fixemos xN+1. Da desigualdadede Holder temos para p = N , q = N

N−1que

∫

RN

|f(x)| dx1 · · · dxN ≤∫

RN

|f1f2 · · · fN ||fN+1| dx

≤ ‖fN+1‖LN(RN )

∫

RN

|f1f2 · · ·fN | NN−1 dx1 · · · dxN

N−1N

Aplicando as hipotese indutivas para |f1|N

N−1 , |f2|N

N−1 , · · · |fN | NN−1 resulta que

∫

RN

|f1f2 · · ·fN | NN−1 dx1 · · · dxN ≤

N∏

i=1

∫

RN−1

|fi|N dx

1N−1

=

N∏

i=1

‖fi‖N

N−1

LN(RN−1).

Das duas desigualdades acima obtemos

∫

RN

|f | dx1 · · · dxN ≤ ‖fN+1‖LN (RN)

N∏

i=1

‖fi‖LN(RN−1)

Como cada uma das funcoes xN+1 7→ ‖fi‖LN(RN−1) pertence a LN(R) para1 ≤ i ≤ N , integrando a expressao acima sobre R concluimos que o produtopertence a L1(R) e utilizando a desigualdade de Holder obtemos

‖f‖L1(RN+1) ≤N+1∏

i=1

‖fi‖LN(RN)


Demostracao do Teorema 5.7.1 Comensemos com o caso p = 1, e u ∈C1

0 (RN) assim e simples verificar que

|u(x1, x2, · · · , xN)| =

∣∣∣∣∫ x1

−∞

∂u

∂x1(t, x2, · · · , xN) dt

∣∣∣∣ ≤∫ +∞

−∞

∣∣∣∣∂u

∂x1(t, x2, · · · , xN)

∣∣∣∣ dt

De forma analoga teremos que

|u(x1, x2, · · · , xN)| ≤∫ +∞

−∞

∣∣∣∣∂u

∂xi(x1, x2, · · · , xi−1, t, xi+1, · · · , xN)

∣∣∣∣ dt := fi(xi)


Para i = 2, · · · , N . De onde

|u(x)|N ≤N∏

i=1

fi(xi) ⇒ |u(x)| NN−1 ≤

N∏

i=1

fi(xi)1

N−1

Do Lema 8.6.1

∫

RN

|u(x)| NN−1 dx ≤

N∏

i=1

‖fi‖1

N−1

L1(RN−1)=

N∏

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥1

N−1

L1(RN )

,

de onde segue que

‖u‖L

NN−1 (RN)

≤N∏

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

L1(RN)

≤ ‖∇u‖L1(RN ).

Que mostra o resultado para p = 1. Consideremos t ≥ 1 e tomemos na de-sigualdade anterior |u|t−1u no lugar de u. Dai segue que

‖u‖t

LtN

N−1 (RN)≤ t

N∏

i=1

∥∥∥∥|u|t−1 ∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

L1(RN )

≤ t ‖u‖t−1

Lp′(t−1)(RN)

N∏

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

Lp(RN )

Tomando t de tal forma que Nt = (N − 1)p′(t − 1), temos t = N−1N p∗. Assim

obtemos que

‖u‖tLp∗(RN ) ≤ t

N∏

i=1

∥∥∥∥|u|t−1 ∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

L1(RN)

≤ t ‖u‖t−1Lp∗

(RN )

N∏

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

Lp(RN)

(5.7)

De onde segue que existe uma constante positiva tal que

‖u‖Lp∗ ≤ C‖∇u‖Lp, ∀u ∈ C10(RN )

Nosso resultado segue aplicando a densidade e o Lema de Fatou

Observacao 5.7.1 Note que de (5.7) segue que

‖u‖Lp∗(RN ) ≤ tΠm

i=1‖∂u

∂xi‖

1N

Lp(RN)

≤ N − 1

Np∗Πm

i=1‖∂u

∂xi‖

1N

Lp(RN )

≤ N − 1

N − ppΠm

i=1‖∂u

∂xi‖

1N

Lp(RN )


Observacao 5.7.2 No caso unidimensional segue imediatamente que

W 1,p(R) ⊂ L∞(R)

Com a imersao contınua. De fato, tomemos u ∈ W 1,p(R), sem perda de gen-eralidade podemos supor que u ∈ C∞

0 (R). Tomemos agora x ∈ R. ComoR = ∪i∈N ] − i,−i + 1]∪]i, i+ 1] teremos que x ∈]a, a + 1] portanto podemosescrever

u(x) − u(y) =

∫ y

x

du

dsds, para x, y ∈]a, a+ 1]. (5.8)

Integrando a desigualdade anterior sobre ]a, a+1] com respeito a y e usando oteorema do valor intermediario teremos

u(x) =

∫ a+1

a

u(y) dy+

∫ y0

x

du

dsds, x, y ∈]a, a+ 1].

Usando a desigualdade de Holder, teremos

|u(x)| ≤(∫ a+1

a

|u(y)|p dy) 1

p

+

(∫ a+1

a

|duds

|p ds) 1

p

.


‖u‖L∞(a,a+1) ≤ ‖u‖W1,p(R)

Sendo a um inteiro qualquer teremos que

‖u‖L∞(R) ≤ ‖u‖W1,p(R)

De onde segue o resultado.Da identidade (5.8) segue que

|u(x) − u(y)| ≤ |x− y|1− 1p ‖duds

‖Lp(R)

Portanto as funcoes de W 1,p(R) sao contınuas.

Observacao 5.7.3 Como consequencia do resultado anterior, temos que seu ∈Wm,p(RN ) possui uma derivada parcial nula em Lp(RN ), entao u = 0.

Corolario 5.7.1 Seja u ∈ W 1,p(RN ) para 1 ≤ p < N , entao teremos que paratodo q ∈ [p, p∗] e valido

‖u‖Lq(RN ) ≤ C‖u‖αLp(RN )‖u‖1−α

W1,p(RN )


em particular temos que

W 1,p(RN ) ⊂ Lq(RN ), ∀q ∈ [p, p∗],

com a imersao contınua

Demonstracao.- Para todo q ∈ [p, p∗] e valido

1

q=α

p+

1 − α

p∗, 0 ≤ α ≤ 1

Portanto se u ∈ W 1,p(RN ) ⊂ Lp(RN). Do Teorema anterior temos u ∈Lp∗

(RN ), de onde por interpolacao nos espacos Lp segue que

W 1,p(RN) ⊂ Lq(RN ), ∀q ∈ [p, p∗]

Para ver que a imersao e contınua ponhamos

‖u‖Lq ≤ ‖u‖αLp‖u‖1−α

Lp∗ ≤ ‖u‖Lp + ‖u‖Lp∗

Finalmente, do Teorema obtemos que ‖u‖Lp∗ ≤ C‖u‖W1,p De onde segue oresultado.

Corolario 5.7.2 Para p = N se verifica:

W 1,N(RN ) ⊂ Lq(RN), ∀q ∈ [N,∞[

com imersao contınua.

Demonstracao.- Podemos supor que u ∈ C10(RN ). Usando a desigualdade

encontrada na demonstracao do Teorema 5.7.1,

‖u‖t

LtN

N−1 (RN)≤ t

N∏

i=1

∥∥∥∥|u|t−1 ∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

L1(RN )

≤ t ‖u‖t−1Lp′(t−1)(RN)

N∏

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥1N

Lp(RN )

para p = N teremos

‖u‖tLtN/(N−1) ≤ t‖u‖t−1

L(t−1)N/(N−1)‖∇u‖LN , ∀t ≥ 1

De onde segue que

‖u‖LtN/(N−1) ≤ t√t‖u‖1−1

t

L(t−1)N/(N−1) ‖∇u‖1t

LN , ∀t ≥ 1

Da desigualdade de Young obtemos:

‖u‖LtN/(N−1) ≤ C (‖u‖L(t−1)N/(N−1) + ‖∇u‖LN) (5.9)


Tomando t = N encontramos

‖u‖LN2/(N−1) ≤ C‖u‖W1,N

Das desigualdades de interpolacao resulta que

‖u‖Lq ≤ C‖u‖W1,N , ∀N ≤ q ≤ N2

N − 1

Tomando t = N + 1, N + 2 · · · em (5.9) encontramos que

‖u‖Lq ≤ C‖u‖W1,N , ∀N ≤ q ≤ ∞

Onde C e uma constante que depende de N . O que completa a demon-stracao

Observacao 5.7.4 A imersao acima e estrita para N > 1. De fato, paraisto basta considerar a funcao f(x, y) = ln(x2 + y2), e simples verificar quef ∈W 1,1(B1(0)), onde B1(0) e a bola do R2 centrada no zero e de raio unitarioe que f nao e limitada na bola. Podemos tambem construir um exemplo emW 1,1(R2), utilizando o operador prolongamento P . De fato, P (f) ∈ W 1,1(R2)e P (f) nao e limitada.

5.8 Teorema de Morrey

Teorema 5.8.1 Seja p > N entao temos que

W 1,p(RN ) ⊂ L∞(RN ) ∩ C(RN )

com imersao contınua. Alem disso se verifica que

|u(x)− u(y)| ≤ C|x− y|α‖∇u‖Lp (5.10)

onde α = 1 − np e C e uma constante positiva.

Demonstracao.- Como antes suporemos que u ∈ C10(RN). Denotemos por Q

um cubo aberto de lado r que comtem ao 0, e tomemos x ∈ Q. Assim teremosque

u(x) − u(0) =

∫ 1

0

d

dtu(tx) dt

entao e simples verificar que

|u(x)− u(0)| ≤∫ 1

0

N∑

i=1

|xi|∣∣∣∣∂u

∂xi(tx)

∣∣∣∣ dt.

5.8. Teorema de Morrey 135

Denotemos por u = 1|Q|∫

Q u(x) dx. Integrando a desigualdade anterior e mul-

tiplicando por 1/|Q| temos:

|u− u(0)| ≤ r

|Q|

∫

Q

∫ 1

0

N∑

i=1

∣∣∣∣∂u

∂xi(tx)

∣∣∣∣ dtdx.

Mudando a ordem de integracao temos

|u− u(0)| ≤ 1

rN−1

∫ 1

0

∫

Q

N∑

i=1

∣∣∣∣∂u

∂xi(tx)

∣∣∣∣ dxdt

≤ 1

rN−1

∫ 1

0

1

tN

∫

tQ

N∑

i=1

∣∣∣∣∂u

∂xi(x)

∣∣∣∣ dxdt.

Da desigualdade de Holder se verifica

∫

tQ

∣∣∣∣∂u

∂xi(y)

∣∣∣∣ dy ≤∫

Q

∣∣∣∣∂u

∂xi(y)

∣∣∣∣p

dy

1p

|tQ| 1p′ ,

pois tQ ⊂ Q para 0 ≤ t ≤ 1. De onde obtemos

|u− u(0)| ≤ r1+N( 1

p′ −1) ‖∇u‖Lp(Q)

∫ 1

0

tN/p′

tNdt =

r1−N/p

1 −N/p‖∇u‖Lp(Q)

Por translacao a desigualdade acima e valida para todo cubo de lado r e dearistas paralelas aos eixos coordenados. De onde segue:

|u− u(x)| ≤ r1−N/p

1 −N/p‖∇u‖Lp(Q) (5.11)

Inserindo o termo u(y) e aplicando a desigualdade triangular obtemos

|u(y) − u(x)| ≤ 2r1−N/p

1 −N/p‖∇u‖Lp(Q)

Finalmente, para dois pontos quaisquer x, y do RN , existe um cubo de aristar = |x−y| que contem eles. Do onde segue a desigualdade (5.10). Para mostrarque a imersao e contınua usamos a desigualdade (5.11) para obter:

|u(x)| ≤ |u| + C‖∇u‖Lp(Q) ≤ C‖u‖W1,p(Q) ≤ C‖u‖W1,p(RN), ∀x ∈ Rn


Da imersao acima e da densidade das funcoes C∞0 (RN) em W 1,p(RN ) segue que

limx→∞ u(x) = 0, para toda funcao u ∈W 1,p(RN ) para N < p <∞.


Os teoremas anteriores facilmente podem ser estentidos para os espacos Wm,p

como se mostra no seguinte Corolario.

Corolario 5.8.1 Seja m um inteiro m ≥ 1 e 1 ≤ p <∞, entao se verifica.

1

p− m

N> 0 ⇒ Wm,p(RN) ⊂ Lq(RN ) onde

1

q=

1

p− m

N1

p− m

N= 0 ⇒ Wm,p(RN) ⊂ Lq(RN ) ∀q ∈ [p,∞[

1

p− m

N< 0 ⇒ Wm,p(RN) ⊂ L∞(RN ) ∩ C(RN),

Com as imersoes contınuas. Alem disso se m− np > 0 nao e um numero inteiro,

denotamos por

k =

[m− N

p

]e θ = m− N

p− k, 0 < θ < 1.

Verificamos que para toda u ∈ Wm,p(RN ) e valido

‖Dαu‖L∞ ≤ ‖u‖Wm,p ∀α, |α| ≤ k

e ainda temos

|Dαu(x) −Dαu(y)| ≤ C|x− y|θ ‖u‖Wm,p .

Em particular temos que Wm,p(RN ) ⊂ Ck(RN ).

Demonstracao.- A demonstracao e baseada na seguinte formula de recorrencia.

p∗0 = p,1

p∗i=

1

p∗i−1

− 1

N.

para i = 1, · · · , m. Fazendo q = p∗m obtemos que

1

q=

1

p∗m−1

− 1

n=

1

p∗m−2

− 2

N= · · · = 1

p∗0− m

N=

1

p− m

N.

Aplicando o Teorema 5.7.1 temos

‖u‖Lq ≤ C‖∇u‖L

p∗m−1

≤ C‖∇2u‖L

p∗m−2

≤ C‖∇3u‖L

p∗m−3

≤ · · · ≤ C‖∇mu‖Lp∗

0.

Suponhamos agora que

1

p− m

N= 0 ⇒ 1

p− m− 1

N> 0


Da primeira parte deste Teorema encontramos que

u,∂u

∂xi∈ Wm−1,p(RN) ⊂ Lp∗(RN ) onde

1

p∗ =1

p− m− 1

N=

1

N

A ainda

‖u‖Lp∗(RN ) ≤ C‖u‖Wm−1,p(RN), ‖ ∂u∂xi

‖Lp∗(RN ) ≤ C‖u‖Wm,p(RN )

De onde segue que u ∈ W 1,N(RN), pois p∗ = N . Pelo Corolario 5.8.1 con-cluimos que

‖u‖Lq(RN ) ≤ C‖u‖W1,p∗(RN) ≤ C‖u‖Wm,p(RN ), ∀q ∈ [p,∞[.

Finalmente, consideremos1

p− m

N< 0.

Sem perda de generalidade podemos supor que m e o menor numero para oqual e verdadera a desigualdade acima. Caso que m = 1 o resultado segueimediatamente. Suponhamos que m ≥ 2, entao temos que

1

p∗ =1

p− m− 1

N> 0.

Da primeira parte deste Teorema segue que

u,∂u

∂xi∈ Wm−1,p(RN) ⊂ Lp∗(RN )

De onde segue que u ∈W 1,p∗(RN), e ainda

‖u‖W1,p∗(RN) ≤ C‖u‖Wm,p(RN).

como1

p∗ − 1

N=

1

p− m

N< 0.

Pelo Teorema 5.8.1 segue que W 1,p∗(RN) ⊂ L∞(RN) com imerssao contınua.De onde segue o resultado

Corolario 5.8.2 Seja Ω um aberto limitado de fronteira de classe C1, outambem Ω = RN

+ . Seja 1 ≤ p <∞, entao se verifica.

p < N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) onde1

q=

1

p− 1

n

p = N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [p,∞[

p > N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω) ∩ C(Ω),


Com as imersoes contınuas. Alem disso se m − Np > 0 nao e um numero

inteiro, denotamos por

k =

[m− N

p

]e θ = m− N

p− k, 0 < θ < 1.

Verificamos que para toda u ∈ Wm,p(Ω) e valido

‖Dαu‖L∞ ≤ ‖u‖Wm,p ∀α, |α| ≤ k

e ainda temos


Em particular Wm,p(Ω) ⊂ Ck(Ω).

Demonstracao.- A demonstracao faz uso dos operadores de Prolongamento.(Exercıcio)

Teorema 5.8.2 (Rellich-Kondrachov) Suponhamos que Ω seja um conjuntolimitado de classe C1, nestas condicoes teremos:

p < N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1, p∗[ onde1

p∗=

1

p− 1

n

p = N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1,∞[

p > N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ C(Ω),

Com as imersoes compactas.

Demonstracao.- No caso p > n aplicamos o Teorema 5.8.1 e o Teorema deArsela-Ascoli. Nos casos restantes se aplica o criterio de compacidade em Lp.Denotemos por B a bola unitaria de W 1,p. Seja 1 ≤ q ≤ p∗, pode-se escrever

1

q=α

1+

1 − α

p∗

Sejam ω ⊂⊂ Ω, u ∈ B, e h < dist(ω,Ωc). Das desigualdades de interpolacaoteremos

‖τhu− u‖Lq(ω) ≤ ‖τhu− u‖αL1(ω)‖τhu− u‖1−α

Lp∗(ω).

Portanto‖τhu− u‖Lq(ω) ≤ C|h|‖∇u‖α

L1(Ω))‖u‖1−αLp∗(Ω)

≤ C|h|.

De onde segue que‖τhu− u‖Lq(ω) ≤ ε


para h suficientemente pequeno. Finalmente, das desigualdades de Holder setem:

‖u‖Lq(Ω\ω) ≤ ‖u‖Lp∗(Ω\ω)|Ω \ ω|1− qp∗ < ε

Para ω escolhido convenientemente. De onde pelo Teorema 3.10.1 segue que Be compacto em W 1,p .

Corolario 5.8.3 Seja Ω um aberto limitado do RN entao a imersao

Wm,p(Ω) ⊂W j,p(Ω)

e compacta pata m > j.

Demonstracao.- Seja ϕν uma sequencia limitada em Wm,p(Ω), entao teremosque existe uma subsequencia dela, que a denotaremos da mesma forma, tal que

ϕν → ϕ forte em Lp(Ω)

Da mesma forma concluimos que para j < m que

Dαϕν → Dαϕ forte em Lp(Ω)

para |α| ≤ j. O que significa que ϕν converge forte em W j,p(Ω).

Observacao 5.8.1 As imersoes compactas indicadas nos teoremas 5.8.2 so-mente sao validas em domınios limitados. De fato, mostraremos que o espacoW 1,p(]0,∞[) nao esta imerso compactamente em Lp(]0,∞[). Para esto tomemosuma funcao ϕ ∈ C1

0(R) nao nula com suporte contido em ]0,∞[. Definimos asequencia ϕν(x) = ϕ(x − ν) de elementos de W 1,p(]0,∞[). Note que ϕν temsuporte compacto contido em ]0,∞[, portanto teremos que

limν→∞

ϕν(x) = 0 (5.12)

Por outro lado, esta sequencia e limitada em W 1,p(]0,∞[), pois

‖ϕν‖pW1,p =

∫ ∞

0

|ϕ(x−ν)|p dx+∫ ∞

0

|ϕx(x−ν)|p dx =

∫ ∞

0

|ϕ|p dx+∫ ∞

0

|ϕx|p dx

Para todo ν ∈ N, pois o suporte da funcao ϕ esta sontido em ]0,∞[. Sea imersao fosse compacta em Lp(]0,∞[), existirıa uma subsequencia ϕνk queconverge forte para uma funcao χ.

ϕνk → χ forte Lp(]0,∞[)

Esta ultima convergencia implica existe uma subsequencia (que a denotaremosda mesma forma) que converge quasi sempre em ]0,∞[, isto e

ϕνk(x) → χ(x) q.s. ]0,∞[


Da convergencia em (5.12) concluimos que χ = 0. Mais isto e contradictorio,pois pela convergencia forte teremos que

∫ ∞

0

|ϕ(x)|p dx = limν→∞

∫ ∞

0

|ϕ(x− νk)|p dx = 0

Que e contraria a nossa escolha de ϕ.

5.9 Teorema das derivadas intermediarias

Nesta secao estudaremos o Teorema das derivadas intermediarias para aber-tos Ω do RN satisfazendo a propriedade do cone. Para facilitar a exposicaocomecaremos considerando o caso unidimensional.

Teorema 5.9.1 Seja a e b numeros reais tais que −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Tomemos1 ≤ p < ∞ e 0 < ε0 < ∞. Entao existe uma contante K = K(ε0, p, b− a) talque para todo 0 < ε ≤ ε0 e para toda f ∈ W 2,p(a, b) se verifica

∫ b

a

|f ′(t)|p dt ≤ Kε

∫ b

a

|f ′′(t)|p dt+Kε−1

∫ b

a

|f(t)|p dt

A desigualdade acima e valida para todo ε > 0 quando b− a = ∞

Demonstracao.- Usando argumentos de densidade, e suficiente mostrar adesigualdade acima para funcoes de classe C2. Sem perda de generalidadepodemos supor que ε0 = 1. Comecaremos analizando o caso a = 0 e b =1. Tomemos uma funcao g definida sobre [0, 1]. Do teorema fundamental docalculo teremos que

g′(x) = g′(λ) +

∫ x

λ

g′′(σ) dσ

︸︷︷︸:=G(x)

.

Integrando com respeito a λ sobre [α, β] ⊂ [0, 1] e aplicando o teorema de valormedio para integrais teremos que existe x0 ∈ [a, b] tal que

(β − α)g′(x) = g(β) − g(α) + (β − α)G(x0).

Integrando a expressao acima com respeito a β sobre [0, 1] teremos

(1

2− α)g′(x) =

∫ 1

0

g(β) dβ − g(α) + (1

2− α)G(x0).

Finalmente, integrando com respeito a α no intervalo [0, 12 ] teremos que

5.9. Teorema das derivadas intermediarias 141

(1

4− 1

8)g′(x) =

1

2

∫ 1

0

g(β) dβ − 1

2

∫ 12

0

g(α) dα+ (1

4− 1

8)G(x0).

Tomando valor absoluto, podemos escrever a identidade acima como

1

8|g′(x)| ≤

∫ 1

0

|g(β)| dβ +1

8

∫ 1

0

|g′′(s)| ds

Aplicando a desigualdade de Holder, e elevando a potencia p a desigualdaderesultante, teremos

|g′(x)|p ≤ Kp

∫ 1

0

|g(s)|p ds+Kp

∫ 1

0

|g′′(s)|p ds,

de onde segue que

∫ 1

0

|g′(s)|p ds ≤ Kp

∫ 1

0

|g(s)|p ds+Kp

∫ 1

0

|g′′(s)|p ds.

Onde Kp e uma constante dependendo somente de p. Note que toda funcao fdefinida sobre o intervalo [α, β] pode ser escrita como

f(x) = g(x− α

β − α),

para alguma funcao g definida em [0, 1]. Assim teremos que

f ′(x)

=1

β − αg′(

x− α

β − α), f ′′

(x)

=1

(β − α)2g′′(

x− α

β − α).

Fazendo a mudanca de variavel s = (β − α)x + α e levando em consideracaoque

∫ β

α

|f(s)|p ds = (β − α)

∫ 1

0

|g(x)|p dx,∫ β

α

|f ′(s)|p ds = (β − α)

∫ 1

0

|g′(x)|p(β − α)p

dx,

∫ β

α

|f ′′(s)|p ds = (β − α)

∫ 1

0

|g′′(x)|p(β − α)2p

dx.

teremos que

∫ β

α

|f ′(s)|p ds ≤ Kp(β − α)−p

∫ β

α

|f(s)|p ds+Kp(β − α)p

∫ β

α

|f ′′(s)|p ds.


Note que para todo ε > 0 existe n ∈ N tal que

1

2ε

1p ≤ b− a

n≤ ε

1p . (5.13)

-

a=α1 b = α8α2 α3 α4 α5 α6 α7

ε

Para mostrar a desigualdade, subdividiremos o intervalo [a, b] em subinter-

valos de amplitude menor ou igual a ε. Para isto, ponhamos αj = a+ (b−a)jn para

j = 0, 1, · · ·n. Note que αj − αj−1 = b−an , a chave da demonstracao e tomar

n grande de tal forma que se verifique a desigualdade (5.13). Assim podemosescrever:

∫ b

a

|f ′(s)|p ds =

n∑

j=1

∫ βj

αj

|f ′(s)|p ds

≤n∑

j=1

Kp

(b− a

n

)p ∫ βj

αj

|f ′′(s)|p ds+

(n

b− a

)p ∫ βj

αj

|f(s)|p ds

≤ K1

ε

∫ b

a

|f ′′(s)|p ds+1

ε

∫ b

a

|f(s)|p ds

Onde K1 = max(b− a)p, 2p(b− a)−p. O que mostra o resultado no caso emque b− a seja finito. Caso em que b− a seja infinito, subdividimos o intervalo,na seguinte forma

]a, b[ = ∪i∈N]a+ (i− 1), a+ i], se a <∞ e b = ∞]a, b[ = ∪i∈N]b− (i− 1), b− i], se a = −∞ e b <∞]a, b[ = ∪i∈N (] − i− 1,−i]∪]i− 2, i− 1]) , se a = −∞ e b = ∞

e a cada uns dos subintervalos aplicamos o resultado obtido no caso finito.Neste caso a amplitude de cada subintervalo pode ser arbitraria, logo nestecaso e valido o Teorema para todo ε > 0. Isto completa a demonstracao.


Corolario 5.9.1 Seja ]a, b[ um intervalo nao limitado. Entao existe uma con-stante positiva K tal que

‖f ′‖Lp(a,b) ≤ K‖f‖12

Lp(a,b)‖f ′′‖12

Lp(a,b)

Demonstracao.- Do Teorema 5.9.1 segue que para todo ε > 0

∫ b

a

|f ′(t)|p dt ≤ Kε

∫ b

a

|f ′′(t)|p dt+Kε−1

∫ b

a

|f(t)|p dt

Tomando ε =(

‖f‖Lp(a,b)

‖f ′′‖Lp(a,b)

)p/2

, segue o resultado.

Observacao 5.9.1 Denotemos por |||f |||p2,p = ‖f‖pLp(a,b)

+ ‖f ′′‖pLp(a,b)

. Do

Teorema 5.9.1 obtemos que

‖f ′‖Lp(a,b) ≤ K

ε|||f |||2,p +

1

ε‖f‖Lp(a,b)

Tomando ε = ε0‖f‖Lp(a,b)

|||f|||2,p, e substituindo na expressao acima teremos que existe

uma constante positiva, tal que

‖f ′‖Lp(a,b) ≤ K|||f |||122,p‖f‖

12

Lp(a,b)

Como consequencia do Teorema 5.9.1 temos o seguinte resultado.

Corolario 5.9.2 Suponhamos que f ∈ Lp(a, b) e f(m) ∈ Lp(a, b) entao existeum ε0 > 0 tal que para todo ε ≤ ε0 se verifica

‖f(j)‖Lp(a,b) ≤ K

εm−j‖f(m)‖Lp(a,b) +

1

εj‖f‖Lp(a,b)

Para j = 1, · · · , m. Se b− a = ∞ ε pode ser qualquer numero real.

Demonstracao.- Por densidade podemos supor que f ∈ C∞0 ([a, b]). Do Teo-

rema 5.9.1 temos

‖f ′‖pLp(a,b) ≤ K

η‖f ′′‖p

Lp(a,b) +1

η‖f‖Lp(a,b)

, ∀0 ≤ η ≤ ε0. (5.14)

para f ′ ∈Wm,p(a, b) no lugar de f temos

‖f ′′‖pLp(a,b)

≤ K

ε‖f ′′′‖p

Lp(a,b)+

1

ε‖f ′‖Lp(a,b)


Podemos supor que K > 1. Do Teorema 5.9.1, usando (5.14) temos

‖f ′′‖pLp(a,b) ≤ Kε‖f ′′′‖p

Lp(a,b) +K2η

ε‖f ′′‖Lp(a,b) +

K2

ηε‖f‖Lp(a,b)

Tomando η = ε2K2 < ε0 teremos

1

2‖f ′′‖p

Lp(a,b) ≤ K1

ε‖f ′′′‖p

Lp(a,b) +1

ε2‖f‖Lp(a,b)

Sustituindo a desigualdade na expressao (5.14) segue que

‖f ′‖pLp(a,b)

≤ K2

ε2‖f ′′′‖p

Lp(a,b)+

1

ε‖f‖Lp(a,b)

De onde e valida nossa afirmacao para m = 3. Usando inducao sobre m segueo resultado.

Observacao 5.9.2 O Corolario anterior estima as derivadas intermediariasem termos da funcao e da ultima derivada. Isto e equivalente a afirmar que

se u ∈ Lp(a, b) e dm

dtm u ∈ Lp(a, b) entao teremos que dj

dtj u ∈ Lp(a, b) paraj = 1, · · · , m.

Observacao 5.9.3 O Teorema das derivadas intermediarias a podemos apre-sentar na forma de interpolacao da seguinte forma,

‖f(j)‖Lp(a,b) ≤ C‖f‖j/mLp(a,b)‖f‖

1−j/mWm,p(a,b)

Ou em termos das normas dos espacos Wm,p

‖f‖W j,p(a,b) ≤ C‖f‖j/mLp(a,b)‖f‖

1−j/mWm,p(a,b)

Pode-se mostrar tambem que estas desigualdades sao tambem validas paraespacos fracionarios, isto e quando 0 ≤ j ≤ m sao numeros reais.

A seguir mostraremos que a desigualdade das derivadas intermediarias valepara todo domınio Ω do RN com a propriedade Uniforme do Cone quedefinimos a seguir. Comecaremos definindo a propriedade do cone.

Definicao 5.9.1 (Propriedade do Cone) Diremos que um aberto Ω ⊂ Rn

possui a propriedade do Cone, se existe um cone C tal que todo ponto x dobordo e o vertice de um cone Cx contido em Ω e congruente a C. Isto e Cx eigual a C depois de um movimento rıgido.


Conjunto com a propriedade do Cone

ConesCx

Ω

Cone

C

Conjunto sem a propriedade do Cone

Ω

Definiremos a seguir a propriedade Uniforme do Cone.

Definicao 5.9.2 Diremos que um conjunto Ω possui a Propriedade Uni-forme do Cone se existe um cobertura aberta Uj; j ∈ N de ∂Ω e um con-junto de cones Cj; j ∈ N, todos eles congruentes a um unico cone C taisque

(i) Exista M tal que diam(Uj) < M .

(ii) Exista δ > 0 tal que Ωδ = x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) < δ ⊂ ∪j∈NUj

(iii) Para todo j ∈ N, ∪x∈Ω∩Uj(x+ Cj) := Qj ⊂ Ω

(iv)Toda intersecao de R+ 1 Qj e vazia.

Teorema 5.9.2 Seja Ω ⊂ Rn um aberto com a propriedade Uniforme do Cone.Entao existe ε0 > 0, uma constante K(ε0, m, p,Ω) tais que para todo 0 < ε < ε0e todo 0 < j < m se verifica

‖∇ju‖Lp(Ω) ≤ Kεm−j‖∇mu‖Lp(Ω) + εj‖u‖Lp(Ω)

.

Por ‖∇j‖Lp(Ω) estamos denotando a norma em Lp de todas as derivadas deordem j.

Demonstracao.- Repetindo os mesmos argumentos que aqueles utilizados nademonstracao do caso unidimensional, sera suficiente mostrar a desigualdade


acima para o caso m = 2 e j = 1. Pela definicao de abertos com a propriedadeuniforme do cone, existe um cobertura aberta de ∂Ω tal que

∂Ω ⊂ ∪∞i=1Ui

e tambem existe δ > 0 verificando

Ωδ = x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) ⊂ ∪∞i=1Ui,

∪x∈Ω∩Uj (x+Cj) := Qj ⊂ Ω

e ainda a intersecao de R+ 1 Qj e vazia. Para cada λ ∈ Zn, denotemos por

Hλ =

x ∈ Rn; λk

δ

2√n

≤ xk ≤ (λk + 1)δ

2√n, para k = 1, · · · , n

E simples verificar queRN = ∪λ∈ZHλ

Hλ

t

t

t

t

δ2√

2(λ1, λ2)

δ2√

2(λ1, λ2)

δ2√

2(λ1, λ2)

δ2√

2(λ1, λ2)

δ2√

2

δ2√

2

δ2√

2λ1 ≤ x ≤ δ

2√

2(λ1 + 1)

δ2√

2λ2 ≤ y ≤ δ

2√

2(λ2 + 1)

Denotemos por Ω0 o conjunto

Ω0 = ∪Hλ⊂ΩHλ

e tomemos δ > 0 tal queΩ \ Ωδ ⊂ Ω0 ⊂ Ω

Mostraremos que se verifica

‖∇u‖Lp(Ω0) ≤ K

ε‖∇2u‖Lp(Ω0) +

1

ε‖u‖Lp(Ω0)


e para cada j ∈ N que

‖∇u‖Lp(Ω∩Uj) ≤ K

ε‖∇2u‖Lp(Ω∩Uj) +

1

ε‖u‖Lp(Ω∩Uj)

Tomando somatorio teremos

‖∇u‖Lp(Ω) ≤∞∑

j=1

‖∇u‖Lp(Ω∩Uj) + ‖∇u‖Lp(Ω0).

Como os conjuntos Qj somente tem intersecao no maximo de R + 1 termos,entao teremos que

‖∇u‖Lp(Ω) ≤ K(R+ 1)

ε‖∇2u‖Lp(Ω) +

1

ε‖u‖Lp(Ω)

.

De onde segue o resultado. Provaremos primeiro o teorema para Ω0. Aplicandoo Teorema 5.9.1, teremos que

∫ δ2√

n(λk+1)

δ2√

nλk

|Dku|p dxk ≤ K

εp∫ δ

2√

n(λk+1)

δ2√

nλk

|D2ku|p dxk +

1

εp

∫ δ2√

n(λk+1)

δ2√

nλk

|u|p dxk

Integrando na direcao ortogonal de ek teremos

∫

Hλ

|Dku|p dxk ≤ K

εp∫

Hλ

|D2ku|p dxk +

1

εp

∫

Hλ

|u|p dxk

Como as intersecoes de Hλ e vazio ou tem medida nula, teremos que

∫

Ω0

|Dku|p dxk ≤∑

λ∈Zn

∫

Hλ

|Dku|p dxk ≤ K

εp∫

Ω0

|D2ku|p dxk +

1

εp

∫

Ω0

|u|p dxk

Provaremos agora que a desigualdade tambem e valida sobre Qj. Denotemospor

Ωjv = y + tv; y ∈ Ω ∩ Uj , v uma direcao do cone

Claramente teremos queΩ ∩ Uj ⊂ Ωj

v ⊂ Qj

Cada reta paralela a v ou tem intersecao vazia ou tem intersecao com Ωjv com

uma amplitude igual a ρ, onde ρ satisfaz

h ≤ ρ ≤ h+ diamUj ≤ h+M

onde h e a altura do cone. Usando novamente o Teorema 5.9.1 na direcao de vpara

f(t) = u(x+ tv),


teremos que∫ x+ρv

x

|f ′|p dt ≤ K

εp∫ x+ρv

x

|f ′′|p dt+ 1

εp

∫ x+ρv

x

|f |p dt.

De onde segue que

∫ x+ρv

x

|Dvu|p dt ≤ K

εp∫ x+ρv

x

|∇2u|p dt+ 1

εp

∫ x+ρv

x

|f |p dt.

Integrando na direccao ortogonal a v teremos que

∫

Ω∩Uj

|Dvu|p dt ≤ K

εp∫

Ω∩Uj

|∇2u|p dt+ 1

εp

∫

Ω∩Uj

|f |p dt.

Tomemos uma base do RN de vetores unitarios v1, v2, · · ·vn com direcoes nocone. Nestas condicoes teremos que

∂u

∂xj=

n∑

i=1

aiDviu.

De onde segue que

∫

Ω∩Uj

|∇u|p dx ≤ K

εp∫

Ω∩Uj

|∇2u|p dx+1

εp

∫

Ω∩Uj

|u|p dx

O que completa a demonstracao.

5.10 Desigualdades de interpolacao

Comecaremos estudando a versao unidimensional do Terema de Interpolacao

Teorema 5.10.1 (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg). Seja 1 ≤ q ≤p ≤ ∞ e tomemos r > 1, entao teremos que

‖u‖Lp(a,b) ≤ ‖u‖1−αLq(a,b)‖u′‖α

Lr(a,b)

se o intervalo b− a = ∞. Quando b− a e finito teremos,

‖u‖Lp(a,b) ≤ ‖u‖1−αLq(a,b)‖u‖α

W1,r(a,b)

onde

α =

1q− 1

p1q + 1 − 1

r

5.10. Desigualdades de interpolacao 149

Demonstracao.- Pela densidade de D([a, b]) podemos supor que u ∈ C∞0 (R).

Portanto podemos escrever

u(x) = u(y) +

∫ y

x

u′(ξ) dξ

Integrando com respeito a y sobre [α, β] teremos

(β − α)u(x) =

∫ β

α

u(y) dy + (β − α)

∫ x

y0

u′(ξ) dξ

Na identidade acima temos usado o teorema do valor medio para integrais.Aplicando a desigualdade de Holder teremos

(β−α)|u(x)| ≤ (β−α)q

q−1

∫ β

α

|u(y)|q dy 1

q

+(β−α)1+r−1r

∫ β

α

|u′|r dx 1

r

Elevando a potencia p e integrando com respeito a x teremos que

(β − α)p

∫ β

α

|u(x)|p ≤ 2p(β − α)p(q−1)

q +1

∫ β

α

|u(y)|q dy p

q

+2p(β − α)1+p+p(r−1)

r

∫ β

α

|u′|r dxp

r

(5.15)

Onde temos usado(A+ B)p ≤ 2p(Ap +Bp)

No caso em que b − a seja finito, tomemos ε > 0 tal que 0 < ε < b−am−1 .

Decompomos o intervalo [a, b] da seguinte forma

[a, b] = ∪mi=1[αi, αi+1], onde αi = a+

(b − a)i

m

No caso em que b − a = ∞, podemos supor que b = ∞, (as outras posibili-dades se mostram da mesma maneira), podemos decompor o intervalo [a, b] daseguinte forma

[a, b] = ∪∞i=1[αi, αi+1], onde αi = a+ εi

Da expressao 5.15 teremos que

(αi+1 − αi)p

∫ αi+1

αi

|u(x)|p ≤ 2p(αi+1 − αi)p(q−1)

q +1

∫ αi+1

αi

|u(y)|q dy p

q

+2p(αi+1 − αi)1+p+

p(r−1)r

∫ αi+1

αi

|u′|r dxp

r


De onde obtemos

∫ αi+1

αi

|u(x)|p ≤ 2pεp(q−1)

q +1−p

∫ αi+1

αi

|u(y)|q dy p

q

+2pε1+p(r−1)

r

∫ αi+1

αi

|u′|r dx p

r

tomando somatorio teremos

∫ b

a

|u(x)|p dx ≤ 2pεp(q−1)

q +1−pm∑

i=1

∫ αi+1

αi

|u(y)|q dy p

q

+2pε1+p(r−1)

r

m∑

i=1

∫ αi+1

αi

|u′|r dxp

r

Usando o Lema 1.4.1 para pq ≥ 1 e p

r ≥ 1 segue que

∫ b

a

|u(x)|p dx ≤ 2pεp(q−1)

q +1−p

∫ b

a

|u(y)|q dy p

q

+2pε1+ p(r−1)r

∫ b

a

|u′|r dxp

r

Que implica

‖u‖Lp(a,b) ≤ Kε

1p− 1

q ‖u‖Lq(a,b) + ε1p + r−1

r ‖u′‖Lr(a,b)

(5.16)

No caso em que b− a = ∞, podemos tomar

ε =

( ‖u‖Lq(a,b)

‖u′‖Lr(a,b)

)σ

substituindo ε na desigualdade (5.16) teremos

‖u‖Lp(a,b) ≤ K

‖u‖σ( 1

p− 1q )+1

Lq(a,b)‖u′‖σ(− 1

p + 1q )

Lr(a,b)+ ‖u‖σ( 1

p + r−1r )

Lq(a,b)‖u′‖1−σ( 1

p + r−1r )

Lr(a,b)

Igualando as potencias teremos

σ

(1

p− 1

q

)+ 1 = σ

(1

p+r − 1

r

)

De onde obtemos

σ =1

1q + 1 − 1

r

Tomando

α =

1q− 1

p1q + 1 − 1

r


teremos‖u‖Lp(a,b) ≤ 2K

‖u‖1−α

Lq(a,b)‖u′‖α

Lr(a,b)

De onde segue a primeira desigualdade. No caso em que b − a seja finitoa substituicao de ε e valida somente para valores menores do que ε0 < 1.Tomando neste caso

ε = ε0

( ‖u‖Lq(a,b)

‖u′‖W1,r(a,b)

)

e fazendo o mesmo raciocioneo, segue o resultado. A prova esta completa.

Teorema 5.10.2 (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg).Seja Ω ⊂ RN um conjunto aberto, com a propriedade uniforme do cone.

Sejam 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ e r > n, p ≥ r. Entao, existe uma constante C > 0, talque

||u||Lp(Ω) ≤ C||u||1−αLq(Ω)||u||αW1,r(Ω), ∀u ∈ W 1,r(Ω)

com α satisfazendo α(

1q + 1

n − 1r

)= 1

q − 1p .

Demonstracao.- Pela densidade de C∞(Ω) podemos supor que u ∈ C∞(Ω).Assim teremos que

u(x) = u(y) +

∫ 1

0

d

dtu(tx+ (1 − t)y) dt

= u(y) +

∫ 1

0

∇u(tx+ (1 − t)y) · (x − y) dt

Integrando com respecto a y1 no intervalo [α1, β1] obtemos

(β1 − α1)u(x) =

∫ β1

α1

u(y) dy1 +

∫ β1

α1

∫ 1

0

∇u(tx+ (1 − t)y) · (x− y) dtdy1

Tomando modulo e aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwards, obtemos,

(β1 − α1)|u(x)| ≤ (β1 − α1)q−1

q

∫ β1

α1

|u(y)|q dy1 1

q

+(β1 − α1)r−1

r

∫ 1

0

∫ β1

α1

|∇u(tx+ (1 − t)y)|r |x− y|r dy1 1

r

dt

Tomando x e y no paralelepıpedo ω :=∏n

i=1[αi, βi] temos que

|x− y| ≤ maxβi − αi, i = 1 · · ·n := L,


obtemos

(β1 − α1)|u(x)| ≤ (β1 − α1)q−1

q

∫ β1

α1

|u(y)|q dy1 1

q

+(β1 − α1)r−1

r L

∫ 1

0

∫ β1

α1

|∇u(tx+ (1 − t)y)|r dy1 1

r

dt

Note que

∫ β1

α1

|∇u(tx+(1−t)y)|r dy1 =

∫ β1

α1

|∇u(tx1+(1−t)y1, · · · , txn+(1−t)yn)|r dy1

Fazendo uma mudanca de variavel obtemos

∫ β1

α1

|∇u(tx+(1−t)y)|r dy1 =1

1 − t

∫ tx1+(1−t)β1

tx1+(1−t)α1

|∇u(σ, · · ·, txn+(1−t)yn)|r dσ1

Lembrando que α1 < x1 ≤ β1 concluimos que

∫ β1

α1

|∇u(tx+ (1 − t)y)|r dy1 ≤ 1

1 − t

∫ β1

α1

|∇u(σ1, · · · , txn + (1 − t)yn)|r dσ1.

De onde obtemos

(β1 − α1)|u(x)| ≤ (β1 − α1)q−1

q

∫ β1

α1

|u(y)|q dy1 1

q

+(β1 − α1)r−1

r L

∫ 1

0

1

(1 − t)1r

∫ β1

α1

|∇u(σ1, · · · , txn + (1 − t)yn)|r dσ1

1r

dt

Integrando sobre [α2, β2] com respecto a y2 e repetindo os mesmos argumentos,encontramos que

2∏

i=1

(βi − αi)|u(x)| ≤ (

2∏

i=1

(βi − αi))q−1

q

∫ β1

α1

∫ β2

α2

|u(y)|q dy1dy2 1

q

+(

2∏

i=1

(βi−αi))r−1

r L

∫ 1

0

1

(1 − t)2r

∫ β2

α2

∫ β1

α1

|∇u(σ1, σ2, · · · , wn)|r dσ1dσ2

1r

dt

onde wn = txn + (1 − t)yn. Repetindo este processo desde i = 3 · · ·n encon-tramos que


n∏

i=1

(βi − αi)|u(x)| ≤ (

n∏

i=1

(βi − αi))q−1

q

∫

ω

|u(y)|q dy1dy2 1

q

+(

n∏

i=1

(βi − αi))r−1

r L

∫ 1

0

1

(1 − t)nr

∫

ω

|∇u(σ1, σ2, · · · , σn)|r dσ 1

r

dt,

com ω :=∏n

i=1[αi, βi]. Ou equivalentemente

|u(x)| ≤ (n∏

i=1

(βi − αi))q−1

q −1

∫

ω

|u(y)|q dy1dy2 1

q

+(

n∏

i=1

(βi − αi))r−1

r −1L

∫ 1

0

1

(1 − t)nr

∫

ω

|∇u(σ1, σ2, · · · , σn)|r dσ 1

r

dt,

Como ∫ 1

0

dt

(1 − t)nr

=r

r − n

Tomando αi e βi de tal forma que

βi − αi = ε

encontramos que

|u(x)| ≤ ε−nq

∫

ω

|u(y)|q dy 1

q

+rε−

nr +1

r − n

∫

ω

|∇u|r dσ 1

r

dt.

De onde segue que

|u(x)|p ≤ ε−pnq

∫

ω

|u(y)|q dy p

q

+rε−

npr +p

r − n

∫

ω

|∇u|r dσ p

r

,

Integrando sobre ω con respecto a x, encontramos que

∫

ω

|u(x)|p ≤ εn−pnq

∫

ω

|u(y)|q dy p

q

+rε−

npr +p+n

r − n

∫

ω

|∇u|r dσp

r

Como Ω =∑m

j=1 ωj, tomando somatorio e aplicando o Lema 1.4.1 obtemosque

∫

Ω

|u(x)|p ≤ εn−pnq

∫

Ω

|u(y)|q dy p

q

+rε−

npr +p+n

r − n

∫

Ω

|∇u|r dσ p

r


Para p > n. Finalmente, tomando

ε =

( ‖u‖Lq(Ω)

‖∇u‖Lr(Ω)

)σ

De onde encontramos que

∫

Ω

|u(x)|p ≤( ‖u‖Lq(Ω)

‖∇u‖Lr(Ω)

)σ(n− pnq )∫

Ω

|u(y)|q dy p

q

+

( ‖u‖Lq(Ω)

‖∇u‖Lr(Ω)

)σ(−npr +p+n)

rp

(r − n)p

∫

Ω

|∇u|r dσ p

r

,

Ou equivalentemente

∫

Ω

|u(x)|p ≤ ‖u‖σ(− pnq +n)+p

Lq(Ω) ‖∇u‖σ(pnq −n)

Lr(Ω)

+rp

(r − n)p‖u‖σ(−np

r +p+n)

Lq(Ω) ‖∇u‖σ(npr −p−n)+p

Lr(Ω) .

Nosso seguinte passo e encontrar σ de tal forma que as potencias fiquem uni-formes. Com este proposito igualamos as potencias na norma de u,

σ(−pnq

+ n) + p = σ(−npr

+ p+ n), ⇒ p = σ(pn

q− np

r+ p)

De onde

σ =1

nq − n

r + 1

Note que

σ(−pnq

+ n) + p = p + p

1p− 1

q1q − 1

r + 1n

Tomando

α =

1q− 1

p1q − 1

r + 1n

Encontramos que

σ(−pnq

+ n) + p = p− pα, σ(pn

q− n) = pα

Sustituindo estes valores encontramos

∫

Ω

|u(x)|p ≤ (1 +rp

(r − n)p)‖u‖p−αp

Lq(Ω)‖∇u‖pαLr(Ω).


5.11. Distribuicoes vetoriais 155

5.11 Distribuicoes vetoriais

Nesta secao introduziremos brevemente o conceito de Distribuicoes vetoriais.Seja X um espaco de Banach, com norma ‖ · ‖X . Seja f um funcao definida avalores em X.

Definicao 5.11.1 Diremos que f

f : [a, b] → X

e uma funcao simple se a imagem de f e constituıda por um numero finitox1, · · · , xm de vetores de X. Diremos que uma funcao simples f e mensuravelse para todo x ∈ X f−1(x) e um conjunto mensuravel de ]a, b[. Finalmente,diremos que uma funcao

g : [a, b] → X

e uma funcao mensuravel se existe uma sequencia de funcoes simples fν talque

fν(s) → g(s) q.s. em ]a, b[.

Uma caraterizacao das funcoes mensuraveis e dada pelo seguinte Proposicao.

Proposicao 5.11.1 Uma funcao F :]a, b[→X e mensuravel se, e somente severificam as seguintes propriedades:

(i) A imagem de ]a, b[ por F e separavel quase sempre. Isto e existe umconjunto S de medida nula tal que F (]a, b[\S) e separavel.

(ii) F e fracamente mensuravel. Isto e para todo w ∈ X∗ a funcao s 7→〈F (s) , w〉 e mesuravel

Definicao 5.11.2 Diremos que uma funcao F :]a, b[→ X e integravel se F emensuravel e ∫ b

a

‖F (s)‖X ds <∞

A definicao anterior tambem e chamada de Teorema de Bochner.A seguir enunciaremos teoremas classicos que sao extensoes dos Teoremas

sobre RN .

Teorema 5.11.1 (Teorema da Convergencia Dominada) Seja f umasequencia de funcoes integraveis tal que

fν(s) → f(s) q.s. em ]a, b[

e que exista uma funcao integravel ϕ :]a, b[→ R satisfazendo


‖fν(s)‖X ≤ ϕ(s) ∀ν ∈ N.

Entao, f e integravel e ainda temos

limν→∞

∫ b

a

‖fν(s) − f(s)‖X ds = 0.

Lema 5.11.1 (Lema de Fatou) Seja fν uma sequencia de funcoes integraveistal que

fν(s) → f(s) fracamente q.s. em ]a, b[

Isto e 〈fν(s) , w〉 → 〈fν(s) , w〉 quase sempre em ]a, b[ para todo w ∈ X∗.Suponhamos que exista uma constante C, tal que

∫ b

a

‖fν(s)‖X ds ≤ C, ∀ν ∈ N.

Entao f e integravel e ainda temos que

∫ b

a

‖f(s)‖X ds ≤ lim infν→∞

∫ b

a

‖fν(s)‖X ds.

Denotaremos por Lp(a, b;X), o conjunto

Lp(a, b;X) = f mensuravel; s 7→ ‖f(s)‖X ∈ Lp(a, b)

O espaco acima, munido da norma

‖f‖Lp(a,b;X) =

∫ b

a

‖f(s)‖p ds

1p

e um espaco de Banach. Quando X e um espaco reflexivo, entao o espacoLp(a, b;X) tambem sera um espaco reflexivo para p > 1 e seu dual e identificadopor Lp′

(a, b;X∗), onde 1/p+ 1/p′ = 1. Se X e um espaco de Hilbert, e simpleverificar que L2(a, b;X) e tambem um espaco de Hilbert.

Definicao 5.11.3 Seja P uma particao de ]a, b[, isto e, P = a = a1 < · · · < an = b.Diremos que uma funcao f :]a, b[→X e de variacao limitada, se

supP∈P

m∑

k=1

‖f(ak) − f(ak−1)‖X <∞.

Onde por P estamos denotando o conjunto de todas as particoes sobre ]a, b[.Denotaremos por Var(f, [a, b]) ao valor

5.11. Distribuicoes vetoriais 157

Var(f, [a, b]) = supP∈P

m∑

k=1

‖f(ak) − f(ak−1)‖X

Var(f, [a, b]) e chamado variacao total de f. Denotaremos por V B(a, b;X) oconjunto de todas as funcoes de variacao limitada sobre X. Por simplicidadeescreveremos Vf(s) = Var(f, [a, s]).

Proposicao 5.11.2 Seja X um espaco reflexivo e seja f uma funcao de variacaolimitada f ∈ V B(a, b;X). Entao f e derivavel quase sempre,

df

ds∈ L1(a, b;X)

e ainda temos que ∫ b

a

‖dfdt

(s)‖ ds ≤ V ar(f ; [a, b]),

‖dfdt

(s)‖ ≤ d

dsVf (s), q.s. ]a, b[.

Definicao 5.11.4 Diremos que uma funcao f :]a, b[→ X e absolutamentecontınua sobre X se para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que para toda sequenciade subintervalos ]ai, bi[ disjuntos dois a dois se verifica

m∑

i=1

|ai − bi| < δ ⇒m∑

i=1

|f(ai) − f(bi)| < ε.

Mostra-se como no caso escalar que toda funcao f absolutamente integravele de variacao limitada. Alem do mais a aplicacao s 7→ Vf (s) e absolutamentecontınua e ainda temos que

Vf (s) =

∫ s

a

d

dtVf (τ ) dτ.

Denotaremos por D(]a, b[;X) o espaco da funcoes infinitamente diferenci-aiveis com suporte compacto contido ]a, b[ e a valores em X.

Diremos que uma funcao f ∈ Lp(a, b;X) possui uma derivada fraca emLp(a, b;X) se existe uma funcao v ∈ Lp(a, b;X) satisfazendo

∫ b

a

f(s)α′(s) ds = −∫ b

a

v(s)α(s) ds, ∀α ∈ D(a, b).

Assim definimos o espacoW 1,p(a, b;X) =


f ∈ Lp(a, b;X); tal que f tenha derivada fraca em Lp(a, b;X)Este espaco munido da norma

‖f‖pW = ‖f‖p

Lp(a,b;X) + ‖f ′‖pLp(a,b;X),

e um espaco de Banach.

Proposicao 5.11.3 Seja X um espaco reflexivo. Entao as seguintes pro-priedades sao equivalentes.

(i) f ∈W 1,1(a, b;X)

(ii)∫ b−h

a‖f(s + h) − f(s)‖X ds ≤ Ch ∀h ∈]a, b[.

(ii) |∫ b−h

a〈f(s), dϕ

ds (s)〉| ≤ C‖ϕ‖L∞(a,b;X) ∀ϕ ∈ D(a, b;X∗).

Proposicao 5.11.4 As propriedades seguintes sao equivalentes

(i) f ∈W 1,p(a, b;X).

(ii) Existe v ∈ Lp(a, b;X) tal que

limh→0

∫ b−h

a

‖f(s+ h) − f(s)

h− v(s)‖ ds = 0.

(iii) Existe k ∈ Lp(a, b;X) tal que

f(s) = f(a) +

∫ s

a

k(τ ) dτ.

5.12 Teoremas de compacidade

Nesta secao mostraremos resultados de compacidade para espacos de distribuicoesvetoriais. Denotemos por B0, B e B1 espacos de Banach onde B0 e B1 saoespacos reflexivos satisfazendo:

B0 ⊂ B ⊂ B1 , A imersao de B0 em B compacta. (5.17)

Definamos o espaco

W = v; v ∈ Lp0 (0, T ;B0), vt ∈ Lp1 (0, T ;B1) ,

com T finito e 1 < pi < ∞, i = 0, 1. E simples verificar que W munido danorma

‖v‖W = ‖v‖Lp0 (0,T ;B0)) + ‖vt‖Lp1(0,T ;B1),


5.12. Teoremas de compacidade 159

Lema 5.12.1 Suponhamos que (5.17) seja valida, entao para todo η > 0 existeuma constante C(η) > 0 tal que

‖v‖B ≤ η‖v‖B0 + C(η)‖v‖B1

Demonstracao.- Caso contrario existe uma subsequencia de funcoes (uνk), eum numero η0 > 0 que verifica

‖uνk‖B ≥ η0‖uνk‖B0 + cηk‖uνk‖B1 (5.18)

Podemos tomar cηk ≥ k de onde teremos que

‖uνk‖B ≥ η0‖uνk‖B0 + k‖uνk‖B1 .

Denotando por wk = uνk/‖uνk‖B obtemos

1 ≥ η0‖wk‖B0 + k‖wk‖B1 . (5.19)

De onde segue que

‖wk‖B = 1, ‖wk‖B1 ≤ 1

k, ∀k, (5.20)

Portanto, teremos

wk → 0 em B1, wk 0 fraco em B0

Da imersao compacta de B0 em B segue que

wk → 0 forte em B.

De onde temos que

1 = limk→∞

‖wk‖B = 0.

Esta contradicao mostra o resultado

Nestas condicoes temos o seguinte teorema devido a Lions.

Teorema 5.12.1 Sejam 1 < p0, p1 < ∞ e suponhamos que (5.17) seja valida.Entao a imersao de W sobre Lp0 (0, T ;B) e compacta.


Demonstracao.- Seja uν uma sequencia de funcoes limitadas em W. Mostraremosque existe uma subsequencia, que a denotaremos da mesma forma, que con-verge forte em Lp0(0, T ;B). Da reflexividade de W existe uma subsequenciade uν e uma funcao u ∈ W tal que

uν → u fraco em W,

sem perda de generalidade podemos supor que u = 0, caso contrario, considerea sequencia uν = uν − u no lugar de uν. Do Lema 5.12.1 segue que para todoη > 0 existe uma constante cη > 0 para o qual temos:

‖uν‖Lp0 (0,T ;B) ≤ η‖uν‖Lp0(0,T ;B0) + cη‖uν‖Lp0(0,T ;B1). (5.21)

Note que uν esta limitado em Lp0 (0, T ;B0). Assim podemos tomar η tal que

‖uν‖Lp0(0,T ;B) ≤ε

2+ cη‖uν‖Lp0(0,T ;B1).

Finalmente, para provar que uν converge forte para zero, bastara mostrar queuν converge forte para zero em Lp0 (0, T ;B1). E simples verificar que uν podeser identificada por uma funcao contınua em C(0, T ;B1), portanto limitadaem [0, T ]. Do teorema de Lebesgue, falta apenas verificar que uν convergepontualmente. Integrando por partes temos a identidade

∫ s+h

s

(s+ h− τ )u′ν dτ = (s+ h− τ )uν(τ )|s+hs +

∫ s+h

s

uν dτ.

De onde segue

uν(s) =1

h

∫ s+h

s

uν(τ ) dτ − 1

h

∫ s+h

s

(s+ h− τ )u′ν(τ ) dτ.

E simples verificar que∣∣∣∣∣1

h

∫ s+h

s

(s+ h− τ )u′ν(τ ) dτ

∣∣∣∣∣ ≤∫ s+h

s

‖u′ν(τ )‖B1 dτ ≤ ε

2.

Para h pequeno. Da compacidade segue

1

h

∫ s+h

s

uν(τ ) dτ → 0 fraco em B0, ⇒ 1

h

∫ s+h

s

uν(τ ) dτ → 0 forte em B1,

concluımos assim que

uν(s) → 0, ∀s ∈ [0, T ]

O que completa a demonstracao

Finalmente, estudaremos uma melhora do Teorema anterior devido a J.U. Kim[?].


Teorema 5.12.2 Seja uν uma sequencia de funcoes tal que

uν → u fraco * em L∞(0, T ;Hβ(Ω))

u′ν → u′ fraco em L∞(0, T ;Hα(Ω))

Para −1 ≤ α < β ≤ 1. Entao teremos que

uν → u forte em C(0, T ;Hr(Ω))

para todo r ≤ β.

Demonstracao.- Sem perda de generalidade podemos supor que α e β saodiferentes de 1/2. Denotemos por r = θα+(1−θ)β. Entao usando interpolacaoteremos para quase todo par de pontos t1 e t2 que

‖uν(t2) − uν(t1)‖Hr(Ω) ≤ Cθ‖uν(t2) − uν(t1)‖θHα(Ω)‖uν(t2) − uν(t1)‖1−θ

Hβ(Ω)

≤ Cθ

∫ t2

t1

‖u′ν(t)‖Hα(Ω) dt

θ

≤ Cθ|t1 − t2|θ2

Consequentemente uν esta em C([0, T ];Hr(Ω)) e como a imersao de Hs(Ω)e compacta em Hr(Ω) para s > r, podemos usar o teorema de Ascoli paraconcluir nosso resultado. A prova esta completa

5.13 Exercıcios

1. Mostrar que existem conjuntos Ω que nao satisfazem a propriedade dosegmento e numeros m e p tais que D(Ω) e denso em Wm,p(Ω).

2. Encontre os menores numeros m para os quais a k−esima derivada deδx pertenca a W−m,p(Ω)

3. Suponhamos que m− np > 0 nao e um numero inteiro, denotamos por

k =

[m− n

p

]e θ = m− n

p− k, 0 < θ < 1.

Mostre que para toda u ∈Wm,p(RN) e valido

‖Dαu‖L∞ ≤ ‖u‖Wm,p ∀α, |α| ≤ k

e ainda que


Finalmente, que Wm,p(RN) ⊂ Ck(RN).


4. Mostre que o espaco Wm,p(Ω) e completo, reflexivo e uniformementeconvexo.

5. Seja Ω = RN \ 0. Em que casos teremos que C∞0 (Ω) e denso em

Wm,p(Ω).

6. Mostre atraves de um exemplo que a propriedade do cone nao implica apropriedade do segmento.

7. Mostre que se Ω e um aberto de classe Cm entao Ω possui a propriedadedo segmento e a propriedade uniforme do cone.

8. Mostre que os espacos W definido na secao 5.11 sao espacos completos.

9. Na demonstracao do Teorema 5.12.1 pode ser trocada a hipothese (5.17)por B = B1?. Justifique sua resposta.

10. Escreva uma funcao satisfazendo |u| ∈ L1(Ω) e u 6∈ L1(Ω)

11. Mostre que Lp(a, b;L2(]a, b[)) = Lp(]a, b[×]a, b[)

12. Mostre que se

u ∈ Lp(a, b;Ls(Ω)) ∩ Lq(a, b;Lr(Ω)).

Entao teremos queu ∈ Lp′

(a, b;Lq′(Ω))

onde1

p′=θ

p+

1 − θ

q,

1

q′=θ

s+

1 − θ

r

para todo θ ∈ [0, 1].

13. Seja u uma funcao satisfazendo

u ∈ Lp(a, b;Hs(Ω)) ∩ Lq(a, b;Hr(Ω))

entao teremos que

u ∈ Lp′(a, b;Hθs+(1−θ)r(Ω))

onde1

p′=θ

p+

1 − θ

q

14. Caraterize como um espaco de Sobolev o fecho de C∞0 (RN ) com respeito

a norma ‖∇ϕ‖Lp(RN )

15. Seja Ω um aberto limitado de classe C2. Caraterize o fecho de C∞0 (Ω)

com respeito a norma ‖∇ϕ‖Lp(Ω)


16. Mostre que emH2(RN) sua norma usual e equivalente a ‖u‖2∆ = ‖u‖2

L2(RN)+

‖∆u‖2L2(RN ) que pode afirmar sobre a norma ‖u‖2

∆ = ‖u‖2L2(Ω)+‖∆u‖2

L2(Ω)

sobre o espaco H2(Ω).

17. Considere o espaco: H =ϕ ∈ L2(Ω); ∆ϕ ∈ L2(Ω)

munido da norma

‖ϕ‖2∆ = ‖ϕ‖2

L2(Ω) + ‖∆ϕ‖2L2(Ω) O espaco H e completo?. Justifique sua

resposta.

18. Encontre o menor numero m para que a k-esima derivada da distribuicaoδ0 (Delta de Dirac) pertenca a W−m,p(Ω)

19. Mostre que uma funcao w pertence a W 1,p(Ω), com p > 1 se e somentese existe uma constante C > 0 verificando

‖Thw −w‖Lp(Ω′) ≤ C|h| ∀Ω′ ⊂⊂ Ω

e |h| < dist(Ω′,Ωc)

20. Mostre atraves de um exemplo que a imerssao Wm,p(Ω) ⊂ Lp(Ω) nao e

compacta, quando Ω =

(x1, · · · , xn) ∈ Rn;∑n−1

i=1 |xi| ≤ 1

21. Enuncie e mostre o teorema das derivadas intermediarias no caso unidi-mensional

22. Seja u ∈ C2(a, b). Mostre que para todo ε > 0 existe um Cε tal que

ux(x) ≤ Cε

∫ b

a

|ux|2 dx 1

2

+ ε

∫ b

a

|uxx|2 dx 1

2

.

23. Mostre que sobre Wm,p(a, b) as normas

‖w‖pWm,p(a,b) =

m∑

i=0

∫ b

a

|w(i)|p dx

‖w‖pW =

∫ b

a

|w|p dx+

∫ b

a

|w(m)|p dx

sao equivalentes. Por w(j) estamos denotando a j-esima derivada de w.

24. Seja u uma funcao tal que sua m-esima derivada u(m) ∈ Lp(R). Em queespaco se encuentra a propria funcao u?. Que pode afirmar sobre suasderivadas intermediarias?.

25. Seja u ∈ Wm,p(RN). Mostre que se uma derivada parcial de u e nulaentao u = 0.


26. Considere o conjunto Lp(a, b) para 0 < p < 1. Mostre que Lp(a, b) e umespaco vetorial e que o funcional

d(f, g) =

∫ b

a

|f − g|p dx

Define uma metrica sobre Lp(a, b) que faz o espaco completo. Verifiqueque a bola

B(0) =

f ∈ Lp(a, b),

∫ b

a

|f |p dx < 1

nao e convexa.

27. Defina os espacos W 1,p(a, b) com 0 < p < 1. Mostre que e um espacovetorial, um espaco metrico completo e que a bola unitaria

B(0) =

f ∈ W 1,p(a, b),

∫ b

a

|f |p + |f ′|p dx < 1

nao e convexa.

28. Seja Ω um hipercubo. Mostre que se u ∈W 1,p(Ω) e tal que∫Ω u dx = 0.

Entao e valida‖u‖Lp(Ω) ≤ ‖∇u‖Lp(Ω)

29. Mostre que a funcao f(x) = ex e uma distribuicao, mas nao e umadistribuicao temperada.

30. Mostre que os espacos Wm,p sao uniformente convexos.

31. De um exemplo de um aberto bidimensional que nao tenha a propriedadeuniforme do cone

32. Seja H = v ∈ Lp(0,∞); v′′ ∈ Lp(0,∞). Verifique que o funcional

µ(f) =

∫ ∞

0

|f ′′|p dx 1

p

e uma norma sobre H. O espaco H e fechado?. Caraterize o espaco Hcomo um espaco de Sobolev.

33. Mostre que si uma distribuicao T tem ordem 0 e e tal que SuppT ⊂ x0entao T = δx0

Capıtulo 6

Problemas de Equilibrio

Neste capıtulo estudaremos alguns problemas de equilibrio. Comecaremosfazendo uma deducao fısica do problema utilizando o princıpio Bernoulli, tambemconhecido como princıpio de trabalho virtual ou pequenhos deslocamentos.

6.1 Principio de Bernoulli

O princıpio de Bernoulli ou princıpio de trabalho virtual, estabelece que aposicao de equilibrio de um corpo e aquela que minimiza sua energia potencial.Isto e para calcular a posicao de equilibrio de um corpo, sera necessario primeirocalcular a energia potencial associada a cada posicao admissivel do material.

Por exemplo, suponhamos que temos uma membrana inicialmente posi-cionada sobre o plano XY. Sobre ela se encontra atuando uma forca externa fe a acao de seu proprio peso. Denotemos por u(x) a funcao que define a posicaode equilibrio. Suponhamos que a tensao da membrana e conhecida e igual a ke que o coeficiente de elasticidade e definido pela funcao a(x). Denotemos porΓ o bordo da membrana e suponhamos que ela esta presa isto e

u(x) = 0, em Γ.

Esta condicao e chamada de Condicao de Dirichlet. Suponhamos que a re-sistencia elastica ao desplacamento vertical, segue a lei de Hooke, portantoesta forca pode ser calculada como o produto −a(x)u(x), logo o trabalho queela realiza para desplazar o ponto x da posicao de reposo ate a posicao de equi-librio sera igual a −1

2a(x)u2(x). Assim teremos que o trabalho realizado pela

forca externa f e pela resistencia elastica do material para mover a membranada posicao inicial a posicao de equilibrio e igual a

T1 =

∫

Ω

f(x)u(x) − a(x)

2u2(x) dx

165

166 Capıtulo 6. Problemas de Equilibrio

A membrana tambem e acionada pela acao das forcas internas. Portanto atensao k realizara trabalho na direcao da deformacao. Se denotamos por ∆Sa area da superficie deformada e por ∆x o valor da superfıcie inicial, teremosque o trabalho realizado sobre ∆x sera igual a

−k(∆S − ∆x).

No caso unidimensional (∆S − ∆x) representa o incremento da deformacaode uma corda. O trabalho e negativo, porque a forca se opone a deformacao.Sabemos que

∆S =√

1 + |∇u|2∆x.Portanto o trabalho total da tensao k realizado sobre toda a membrana seraigual a

−∫

Ω

k(∆S − ∆x) = −∫

Ω

k(x)√

1 + |∇u|2 − 1dx.

Assim teremos que a energıa potencial e dada por

J(u) =

∫

Ω

k(x)√

1 + |∇u|2 − 1dx+

a

2u2(x) − f(x)u(x) dx

Para simplificar a expressao anterior, suporemos que o gradiente de u, ∇u epequenho. De fato, sabemos pelos desenvolvimentos por series de Taylor que√

1 + x pode ser escrita como

√1 + x = 1 +

x

2− 1

8x2 +

1

12ξ3

onde ξ ∈]0, x[. Assumindo que |∇u| seja pequeno, entao podemos despreciaros termos |∇u|4 e |∇u|6. Assim teremos que

√1 + |∇u|2 − 1 ≈ 1

2|∇u|2.

Podemos entao, aproximar J pela expressao

J(u) =

∫

Ω

1

2k(x)|∇u|2 dx+

a

2|u(x)|2 − f(x)u(x) dx.

Portanto a posicao de equilibrio da membrana sera aquela que seja um pontocrıtico para o funcional J(u) sobre o conjunto de todas as funcoes admissiveis.Neste caso o conjunto das funcoes admissiveis e o espaco:

K = H10(Ω).

Neste capıtulo estudaremos alguns teoremas de convergencias sobre osespacos Lp e suas aplicacoes as Equacoes Diferenciais Parciais. Comecaremoscom o seguinte resultado de minimizacao

6.1. Principio de Bernoulli 167

Teorema 6.1.1 Seja J um funcional semicontinuo inferiormemte definido so-bre V , um espaco reflexivo com norma ‖ · ‖. E seja K um conjunto convexo efechado de V . Suponhamos que J satisfaz

J(v) ≥ α para todo v ∈ V

Onde α > 0. Suporemos ainda que J e um operador coercivo, isto e

‖v‖ → ∞ ⇒ J(v) → ∞. (6.1)

Nestas condicoes teremos que existe u ∈ K tal que

J(u) ≤ J(v) ∀v ∈ K

Demonstracao.- Denotemos por

I = inf J(v); v ∈ K

Das hipoteses sobre J concluimos que I ∈ R. Denotemos por vν a sequenciade vetores em V satisfazendo

J(vν) → I, (6.2)

da condicao (6.1) concluimos que existe uma constante positiva C tal que

‖vν‖ ≤ C ∀ν ∈ IN.

Como V e um espaco reflexivo, concluimos que existe um vetor u ∈ V e umasubsequencia de (vν) ∈ K, que a denotaremos da mesma forma, satisfazendo

vν → u fraco em V.

Como K e um convexo fechado, teremos que u ∈ K. Da semicontinuidadeinferior de J teremos

I = limν→∞

J(vν) ≥ J(u) ≥ I.

De onde concluimos que J(u) = I. Finalmente, da relacao (6.2) segue nossaconclusao

Teorema 6.1.2 (Teorema de Lions Stampachia) Seja V um espaco de Hilbertcom norma ‖ · ‖V e denotemos por K um conjunto convexo de V . Seja a(·, ·)uma aplicacao bilinear simetrica satisfazendo:

a(v, v) ≥ α0‖v‖2V , a(v, w) ≤ α1‖v‖V ‖w‖V .

Finalmente, seja f ∈ V ∗. Entao existe uma unica solucao do problema

a(u, v − u) ≥ 〈f, v − u〉, ∀v ∈ K.


Demonstracao.- A domonstracao e baseada no Teorema 6.1.1. Para istodefinimos

J(v) =1

2a(v, v) − 〈f, v〉.

Verificamos que J satisfaz todas as hipotese do Teorema 6.1.1, portanto existeum unico elemento u ∈ K tal que

J(u) ≤ J(v), ∀v ∈ K.

Passaremos agora a caraterizar este elemento. Para isto definimos a funcaoϕ(θ) como

ϕ(θ) = J(u + θ(v − u))

Note que esta funcao esta bem definida no intervalo [0, 1] e tem seu mınimo noponto θ = 0. Isto significa que ϕ′(0) ≥ 0. Caso contrario ϕ nao pode atingir omınimo em θ = 0. Note que

ϕ(θ) =1

2a(u+ θ(v − u), u+ θ(v − u)) − 〈f, u+ θ(v − u)〉

=1

2

a(u, u) + 2θa(u, v − u) + θ2a(v − u, v − u)

− 〈f, u〉 − θ〈f, v − u〉

Derivando com relacao a θ encontramos

ϕ′(θ) = a(u, v − u) + θa(v − u, v − u) − 〈f, v − u〉

De onde temos que

ϕ′(0) ≥ 0 ⇒ a(u, v − u) − 〈f, v − u〉 ≥ 0 ∀v ∈ K.


Como uma aplicacao direta do Teorema de Lions-Stampachia temos

Teorema 6.1.3 (Lema de Lax-Milgram) Seja V um espaco de Hilbert comnorma ‖ · ‖V e donotemos por a(·, ·) uma aplicacao bilinear simetrica satis-fazendo:

a(v, v) ≥ α0‖v‖2V , a(v, w) ≤ α1‖v‖V ‖w‖V .

Finalmente, seja f ∈ V ∗. Entao existe uma unica solucao do problema

a(u, v) = 〈f, v〉, ∀v ∈ V.

Demonstracao.- Basta considerar K = V no teorema 6.1.2.

6.2. Aplicacoes as equacoes elıticas 169

6.2 Aplicacoes as equacoes elıticas

Nesta secao estudaremos algumas aplicacoes dos resultados obtidos na secaoanterior para problemas elıticos. Comecaremos com uma aplicacao do Teo-rema 6.1.1. Denotaremos por Ω um aberto limitado do RN .

6.2.1 Problema de Dirichlet

Seja f uma funcao de L2(Ω). Mostraremos que existe uma unica solucao paraa equacao

−µ∆u+ γu = f em Ω (6.3)

u = 0 em ∂Ω.

Neste caso tomamos V = H10 (Ω), K = V e definimos a bilineal a(·, ·) da

seguinte forma

a(v, w) = µ

∫

Ω

∇v∇w dx+ γ

∫

Ω

vw dx.

Identificando L2(Ω) com seu dual, teremos que

H10(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ H−1(Ω).

Portanto f ∈ L2(Ω) implica que f ∈ H−1(Ω). Mais ainda

〈f, v〉 =

∫

Ω

fv dx.

Usando o Lema de Lax-Milgram encontramos que existe uma unica u ∈ V talque

µ

∫

Ω

∇u∇v dx+ γ

∫

Ω

uv dx =

∫

Ω

fv dx ∀v ∈ V.

Tomando v ∈ C∞0 (Ω), concluimos que

∫

Ω

−µ∆u+ γu− f v dx = 0 ∀v ∈ C∞0 (Ω).

Note que nao aparecem integrais de superfıcie porque v ∈ C∞0 (Ω). Portanto

no sentido das distribuicoes temos que

−µ∆u+ γu − f = 0.

Como u ∈ H10(Ω) entao ela verifica a condicao de contorno.


6.2.2 Equacao geral de segunda ordem

Denotemos por V = H10 (Ω), com Ω ⊂ Rn. Definamos por a(·, ·) a bilineal

a(u, v) =

n∑

i,j=1

∫

Ω

aij∂u

∂xi

∂v

∂xjdx

Suponhamos que a matriz A = (aij) seja simetrica e definida positiva, isto eque exista uma constante positiva a0 > 0 satisfazendo

n∑

i,j=1

ηiηjaij ≥ α0‖η‖2

onde cada um dos termos aij ∈ L∞(RN ) Nestas condicoes usando o teorema6.1.3 encontramos que para todo f ∈ L2(Ω) existe uma unica solucao do prob-lema

a(u, ϕ) =

∫

Ω

fϕ dx, ∀ϕ ∈ V

Usando integracao por partes concluimos que a solucao do problema acimaverifica a equacao

−n∑

i,j=1

∂

∂xi

aij

∂u

∂xj

= f em Ω

u(x) = 0, em ∂Ω

6.2.3 Problema de Neumann

Seja f uma funcao de L2(Ω). Mostraremos que existe uma unica solucao paraa equacao

−µ∆u+ γu = f em Ω (6.4)

∂u

∂ν= 0 em ∂Ω.

Neste caso tomamos V = H1(Ω), K = V e definimos a bilinear a(·, ·) daseguinte forma

a(v, w) = µ

∫

Ω

∇v∇w dx+ γ

∫

Ω

vw dx.

E simples verificar que a(·, ·) e contınua e coerciva em H1(Ω). Portanto usandoo Lema de Lax Milgram 6.1.3 concluimos que para toda funcao f ∈ V ∗ existeuma unica funcao u satisfazendo:

a(u, v) = 〈f, v〉


Isto e

µ

∫

Ω

∇u∇w dx+ γ

∫

Ω

uw dx =

∫

Ω

fw dx ∀w ∈ C∞0 (Ω). (6.5)

De onde temos que

∫

Ω

−µ∆u+ γu − fw dx = 0 ∀w ∈ C∞0 (Ω).

Portanto no sentido das distribuicoes a funcao u satisfaz

−µ∆u+ γu − f = 0.

Finalmente, voltando a equacao (6.5) para w ∈ H1(Ω), e usando a igualdadeanterior obtemos

µ

∫

Γ

∂u

∂νw dΓ = 0 ∀w ∈ H1(Ω) ⇒ ∂u

∂ν= 0.

Observacao 6.2.1 No problema de Neumann, a condicao de contorno e umaconsequencia da formulacao variacional.

6.2.4 Equacao geral de Neumann de segunda ordem

Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira ∂Ω e com normal exteriordenotada por ν = (ν1, · · · , νn). Denotemos por V = H1(Ω), com Ω ⊂ Rn.Definamos por a(·, ·) a bilineal

a(u, v) =

n∑

i,j=1

∫

Ω

aij∂u

∂xi

∂v

∂xjdx+ γ

∫

Ω

uv dx

Suponhamos que γ > 0 e que a matriz A = (aij) seja simetrica e definidapositiva, isto e que exista uma constante positiva a0 > 0 satisfazendo

n∑

i,j=1


onde cada um dos termos aij ∈ L∞(RN ). E simples verificar que a(·, ·) e umaaplicacao bilinear, contınua, simetrica e coerciva. Nestas condicoes usando oteorema 6.1.3 encontramos que para todo f ∈ L2(Ω) existe uma unica solucaodo problema

a(u, ϕ) =

∫

Ω

fϕ dx, ∀ϕ ∈ V (6.6)



−n∑

i,j=1

∂

∂xi

aij

∂u

∂xj

+ γu = f em Ω

No sentido das distribuicoes. Por outro lado usando esta identidade em (6.8)encontramos que

−n∑

i,j=1

∫

∂Ω

aij

∂u

∂xj

νiw dΓ = 0 ∀w ∈ H1(Ω)


n∑

i,j=1

aij

∂u

∂xj

νi = 0

Denotando por

∂u

∂νA=

n∑

i,j=1

aij

∂u

∂xj

νi

Concluimos que existe uma unica solucao do problema

−n∑

i,j=1

∂

∂xi

aij

∂u

∂xj

+ γu = f em Ω

∂u

∂νA= 0, em ∂Ω

Observacao 6.2.2 A coercividade e uma propriedade necessaria para que ex-ista solucao do problema. Por exemplo, considere o problema de Newmanndada por

uxx = 1, em ]0, L[, ux(0) = ux(L) = 0.

Com L > 0. E simples verificar que este problema nao possui solucao. De fatorazonemos pelo absurdo. Suponhamos que exista uma solucao do problema.Integrando a primeira equacao acima no intervalo [0, L] encontramos que

ux(L) − ux(0) = L

Por otro lado, aplicando a condicao de contorno, obtemos que

ux(L) − ux(0) = 0, ⇒ L = 0

O que e uma contradicao.


A contradicao no exemplo anterior e devido a que na formulacao variacionalassociada ao problema acima, devemos ter que

a(u, v) =

∫ L

0

uxvx dx

e o espaco onde esta bilinear esta definida deve ser V = H1(0, L), note que estabilinear nao e coerciva em H1, pois nao existe nenhuma constante α0 > 0 talque

a(u, u) ≥ α0‖u‖2H1 u ∈ H1(0, l)

Dado que as funcoes constantes pertencem a H1(0, L) e nao verificam a de-sigualdade acima, pois neste caso a(u, u) = 0.

6.2.5 Compatibilidade do problema de Neumann

De acordo com a observacao 6.2.2, a nao existencia de solucoes e devido a faltade coercividade do operador a(·, ·). Consideremos o problema

uxx = f, em ]0, L[, ux(0) = ux(L) = 0. (6.7)

Onde f ∈ L2(0, L). Lembremos que a contradicao vem depois de integrar eaplicar as condicoes de contorno. Se repetimos este procedimento obtemos

0 = ux(L) − ux(0) =

∫ L

0

f(x) dx

A contradicao vem do fato de escolher uma funcao que nao tem integral nula.Nao existirıa contradicao se a integral de f fosse nula. A pergunta que nospodemos formular neste caso e se neste caso existe solucao. Para isto temosque verificar se a bilinear e coerciva no espaco das funcoes que tem media nula.Isto e denotemos por

V =

w ∈ H1(0, L);

∫ L

0

w(x) dx = 0

E simples verificar neste caso que

a(u, v) =

∫ L

0

uxvx dx

e uma bilinear contınua, simetrica e coerciva em V , isto e existe uma constanteα0 > 0 tal que

a(u, u) ≥ α0‖u‖2H1 u ∈ H1(0, l)


veja Teorema 5.6.2. Portanto do Lema de Lax Milgram Teorema 6.1.3 segueque existe uma unica solucao do problema

a(u, v) =

∫ L

0

fv dx, ∀f ∈ L2(0, L),

∫ L

0

f(x) dx = 0.

Ou equivalentemente, existe uma unica solucao do problema 6.7 para todafuncao f de media nula.

Este problema pode ser generalizado na seguinte. Seja Ω ⊂ Rn um abertolimitado com fronteira ∂Ω e com normal exterior denotada por ν = (ν1, · · · , νn).Denotemos por

V =

v ∈ H1(Ω);

∫

Ω

v dx = 0

com Ω ⊂ Rn. Definamos por a(·, ·) a bilineal

a(u, v) =

n∑

i,j=1

∫

Ω

aij∂u

∂xi

∂v

∂xjdx

Suponhamos que a matriz A = (aij) seja simetrica e definida positiva, isto eque exista uma constante positiva a0 > 0 satisfazendo

n∑

i,j=1


onde cada um dos termos aij ∈ L∞(RN ). E simples verificar que a(·, ·) e umaaplicacao bilinear, contınua, simetrica e coerciva. Nestas condicoes usando oteorema 6.1.3 encontramos que para todo f ∈ L2(Ω) existe uma unica solucaodo problema

a(u, ϕ) =

∫

Ω

fϕ dx, ∀ϕ ∈ V (6.8)


−n∑

i,j=1

∂

∂xi

aij

∂u

∂xj

= f em Ω

No sentido das distribuicoes. Por outro lado usando esta identidade em (6.8)encontramos que

−n∑

i,j=1

∫

∂Ω

aij

∂u

∂xj

νiw dΓ = 0 ∀w ∈ H1(Ω)

6.3. Aplicacoes as desigualdades variacionais 175


n∑

i,j=1

aij

∂u

∂xj

νi = 0

Denotando por

∂u

∂νA=

n∑

i,j=1

aij

∂u

∂xj

νi

Concluimos que existe uma unica solucao do problema

−n∑

i,j=1

∂

∂xi

aij

∂u

∂xj

= f em Ω

∂u

∂νA= 0, em ∂Ω

6.3 Aplicacoes as desigualdades variacionais

As desigualdades variacionais aparecem quando queremos resolver problemasde contato, isto e um problema de vibracoes onde um corpo elastico pode entraem contato com um obstaculo rıgido.

| | | | | | |

| | | | | | |

| | | | | | |

| | | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | |

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Obstaculo

Barra elastica

0 1+g︸︷︷︸salto

1

Seja Ω um aberto limitado do RN , com fronteira Γ dividida em duas partes.A parte Γ0 do bordo e onde o material esta assegurado, enquanto que Γ1 e aparte do material que pode entrar em contato com um obstaculo rıgido.

Γ := Γ0 ∪ Γ1.


Corpo Elastico

Obstaculo rıgido

g(x)

Γ0

A equacao que modelam o problema e dado por

−µ∆u+ γu = f em Ω (6.9)

u = 0 em Γ0 u ≤ g;∂u

∂ν≤ 0; (u − g)

∂u

∂ν= 0. (6.10)

O problema acima e chamado de problema de Signorini ou problema decontacto. Neste caso estamos considerando que o obstaculo e rıgido, isto e naoexiste penetracao. Introduzimos as seguintes notacoes:

V =w ∈ H1(Ω); w|Γ0

= 0

K =w ∈ V ; w|Γ0

= 0, w(x) ≤ g(x) em Γ1

a(v, w) = µ

∫

Ω

∇v∇w dx+ γ

∫

Ω

vw dx.

Usando o Teorema de Lions Stampachia encontramos que existe uma unicau ∈ V tal que

µ

∫

Ω

∇u∇(v − u) dx+ γ

∫

Ω

u(v − u) dx ≥∫

Ω

f(v − u) dx ∀v ∈ V. (6.11)

Tomando v = u+ ϕ, com ϕ ∈ C∞0 (Ω), segue que u deve satisfazer

−µ∆u+ γu = f em Ω (6.12)

No sentido das distribuicoes De fato, usando as formulas de Green teremos

−∫

Ω

µ∆uφ dx+

∫

Ω

γuφ dx ≥∫

Ω

fφ dx, ∀φ ∈ C∞0 (Ω),

de onde segue que

6.4. O problema penalizado 177

∫

Ω

[−µ∆u+ γu − f ]φ dx = 0, ∀φ ∈ C∞0 (Ω).

Logo concluimos que u satisfaz (6.12). Voltando a (6.11) e usando as formulasde Green desta ves para v ∈ K, teremos

∫

Γ

∂u

∂ν(v − u) dΓ ≥ 0 ∀v ∈ K. (6.13)

Tomando v = w + u com w(x) ≤ 0 em Γ1, e simple de verificar que v ∈ K.Alem disso teremos que

∫

Γ

∂u

∂νw dΓ ≥ 0 ∀w ≤ 0,

que implica que ∂u/∂ν ≤ 0. Finalmente, como u ∈ K e tomando v ∈ H1(Ω)em (6.13), tal que v = 0 em Γ0 e v = g em Γ1, teremos

−∫

Γ

∂u

∂ν(g − u) dΓ ≥ 0.

De forma analoga, tomando v ∈ H1(Ω) em (6.13), tal que v = 0 em Γ0 ev = 2u− g em Γ1 teremos

∫

Γ

∂u

∂ν(g − u) dΓ ≥ 0 ⇒ ∂u

∂ν(u− g) = 0.

Em conclusao, se u e uma solucao regular do problema de contato, entao eladeve satisfazer

−µ∆u+ γu = f em Ω

u = 0 em Γ0 u ≤ g;∂u

∂ν≤ 0; (u − g)

∂u

∂ν= 0. (6.14)

6.4 O problema penalizado

Um metodo alternativo que nos permite aproximar a solucao de forma diretae o chamado de metodo de Penalizacao. Este metodo consiste em minimizaro funcional J sobre todo o espaco. Como consequencia disso teremos comoresultado uma equacao diferencial e nao uma desigualdade variacional, comofoi obtida no caso do problema de obstaculo.

A ideia consiste em perturbar o funcional a minimizar, da seguinte forma

Jε(v) = J(v) +1

ε

∫

Γ1

|(v − g)−|2 dΓ


Note que quando ε → 0 teremos que o peso sobre a integral a direita daigualdade anterior aumenta indeterminadamente. Portanto se funcional Jε fosselimitado, deveriamos ter que

∫

Γ1

|(v − g)+|2 dΓ → 0

o que significa que v ≤ g. Assim quando ε → 0 o ponto de mınimo de Jε

convirge para a solucao do problema de contato. Faremos isto com detalhe aseguir. Denotemos por H1

Γ0(Ω) o espaco

H1Γ0

(Ω) =v ∈ H1(Ω); v = 0 sobre Γ0

.

Utilizando o Teorema 6.1.1 mostramos que existe uε ∈ H1(Ω) solucao de

Jε(uε) = inf

v ∈ H1(Ω)

(6.15)

e com os mesmos argumentos utilizados na secao anterior, podemos verificarque a solucao do problema acima e caraterizada como

−µ∆uε + γuε = f em Ω (6.16)

u = 0;∂uε

∂ν= −1

ε[uε − g]+ on Γ0.

Onde [λ]+ = max0, λ. Nestas condicoes teremos

Lema 6.4.1 Com as notacoes anteriores a solucao uε do problema (6.15),convirge para u solucao do problema de contato.

Demonstracao.- Note que K ⊂ H1(Ω) portanto teremos que

infJε(v); v ∈ H1

Γ0

≤ inf Jε(v); v ∈ K

Como sobreK os funcionais J e Jε coincidem, da desigualdade anterior desprende-se que

Jε(uε) ≤ J(u) (6.17)

Onde u e a solucao do problema de contato. Como o funcional Jε e coercivo,concluimos que a sequencia uε e limitada em H1(Ω). Portanto existe umasubsequencia de uε, que por comodidade a continuaremos denotando da mesmaforma, e uma funcao u tal que

uε → u fraco em H1(Ω)

Da compacidade de H1−δ(Ω) em H1(Ω), podemos supor que uε satisfaz

6.4. O problema penalizado 179

uε → u Forte em H1−δ(Ω)

Usando a desigualdade (6.17) concluimos que

∫

Γ1

|(uε − g)+|2 dΓ1 ≤ εJ(u)

Tomando δ < 12 , da convergencia forte em H1−δ e pelo teorema do Traco, da

desigualdade anterior concluimos que

∫

Γ1

|(u− g)+|2 dΓ1 = 0.

De onde segue que u ≤ g, protanto u ∈ K. Finalmente, da semicontinuidadeinferior de J e como J(v) ≤ Jε(v), teremos que

lim infε→0

J(uε) ≤ lim infε→0

Jε(uε) ≤ J(u)

De onde segue queJ(u) ≤ J(u)

Como u ∈ K entao teremos que u = u, pois J e um funcional estritamenteconvexo (Veja exercicio 5). De onde segue o resultado

O resultado anterior nos fornece uma forma de calcular uma solucao aprox-imada para o problema de contato, utilizando os metodos de Equacoes Difer-enciais Parciais, via elementos finitos por exemplo.


Capıtulo 7

Teorema do Traco

Nesta secao mostraremos o Teorema do Traco para funcoes em Wm,p(Ω).Comecaremos com o caso simples p = 2.

7.1 Os espacos Hs(Ω)

Um dos problemas do centrais do teorema de traco e definir o espaco otimoonde os tracos de funcoes em Wm,p(Ω) pertencam. Estes espacos sao espacosfracionarios da forma Wm−1/2,p(∂Ω) . No caso de p = 2 podemos definirestes espacos de forma simples usando as transformadas de Fourier. E simplesverificar que o espaco

Wm,2(RN ) =u ∈ L2(RN); (1 + |ξ|2)m

2 u ∈ L2(RN )

onde por u estamos denotando a transformada de Fourier de u. No que seguedenotaremos porHm(RN) = Wm,2(RN). Note que pela identidade de Parseval,teremos que

‖u‖2Hm(RN ) =

∫

RN

(1 + |ξ|2)m|u(ξ)|2 dξ

Assim, para todo numero real s > 0 definimos o espaco Hs(RN ) como sendo

Hs(RN ) =u ∈ L2(RN); (1 + |ξ|2) s

2 u ∈ L2(RN)

Claramente este espaco coincide com os espacos Hm(RN ) quando s e o numerointeiro m. De forma analoga ao caso Wm,p(Ω) podemos mostrar que as funcoesC∞

0 (RN ) sao densas em Hs(RN ) para todo s ∈ Rn. Definimos Hs(RN) paravalores negativos de s como sendo o espaco dual de H−s(RN ).

181

182 Capıtulo 7. Teorema do Traco

No caso em que Ω seja um aberto de classe Cm podemos definir para s < mos espacos fracionarios

Hs(Ω) =v|Ω; v ∈ Hs(RN)

Se munimos estes espacos com a norma

‖u‖Hs(Ω) = inf‖v‖Hs(RN ), v = u em Ω

,

podemos mostrar que Hs(Ω) e um espaco de Hilbert. (Veja exercıcio)

7.2 Os espacos Hs(Γ)

Denotando por Γ a fronteira de Ω, utilizando as cartas locais podemos definiros espacos Hs(Γ) para s < m da seguinte forma: Sejam (hi,Vi), i = 1, · · · , νa famılia de cartas locais de Γ, e denotemos por αi a particao da unidadeassociada a Vi ∩Γ (Ver Definicao 5.5.2). Toda funcao sobre Γ pode ser escritacomo

u =

ν∑

i=1

(αiu)

Note que a funcao h∗v(x) = v(h(x)) esta definida sobre o quadrado Q e paravalores em Γ, h∗jv = v(h(x)) toma valores sobre Q0. Assim teremos que a

funcao h∗j (αju) esta definida sobre Rn−1 se a tomamos como sendo 0 fora deQ0, isto e

h∗jv(x) =

v(hj(x)) se x ∈ Q0

0 se x 6∈ Q0

Agora definimos o espaco Hs(Γ)

Hs(Γ) =u ; h∗j (αju) ∈ Hs(Rn−1), ∀j = 1 · · · , ν

Munindo ao espaco acima a norma do grafo, isto e

‖u‖Hs(Γ)) =

ν∑

j=1

‖h∗j (αju)‖Hs(Rn−1)

O espaco Hs(Γ) e um espaco de Hilbert.

Com estas definicoes a versao do teorema do Traco para conjuntos abertosde fronteira limitada e consequencia imediata do Teorema de traco para funcoesem Hm(RN

+ ) que estudamos na seguinte secao.

7.3. Teorema do traco em Hm(Rn−1) 183

7.3 Teorema do traco em Hm(Rn−1)

A dificuldade principal na demonstracao do Teorema do Traco, e a definicaodos espacos fracionarios W s,p(RN ). A definicao destes espacos e simples nocaso de p = 2, devido a que podemos usar a transformada de Fourier. Istonao e possıvel no caso geral dos espacos W s,p(Ω), p 6= 2. O que nos obrigaa utilizar um metodo mais complexo chamado metodo de interpolacao real.Portanto de forma introdutoria, contruiremos primeiro os espacos fracionariospara Hs(RN). Estes espacos serao a chave para definir os espacos Hs(Ω) eHs(Γ), para Ω um aberto do RN com fronteira Γ que assumiremos de classeCm.

Comecamos estudando o caso Ω = RN+ . Depois consideraremos o caso de

abertos regulares de classe Cm fazendo uso das cartas locais. No que segueusaremos a seguinte notacao

(x′, xn) ∈ Rn+, com x′ ∈ Rn−1

Teorema 7.3.1 A Aplicacao γ definida por

γ : Hm(RN+ ) →

m−1∏

j=0

Hm−j−12 (Rn−1)

γ(u) =u(j)(x′, 0); 0 ≤ j ≤ m− 1

e uma aplicacao linear contınua e sobrejetiva.

Demonstracao.- Provaremos primeiro que a aplicacao γ e contınua. Sem

perda de generalidade podemos supor que u ∈ D(RN+ ). Denotemos por ϕ ∈

C∞0 (R) uma funcao satisfazendo

ϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0, para t >1

2


|u′(x′, 0)|2 =

∫ t

0

d

dσ

ϕ|u(x′, σ)|2

dσ, t >

1

2

=

∫ t

0

dϕ

dσ|u(x′, σ)|2 dσ + 2

∫ t

0

ϕu(x′, σ)du(x′, σ)

dσdσ

Tomando transformada de Fourier com respeito a variavel x′ teremos

|u′(ξ, 0)|2 =

∫ t

0

dϕ

dσ|u(ξ, σ)|2 dσ + 2

∫ t

0

ϕu(ξ, σ)du(ξ, σ)

dσdσ


Multiplicando por (1 + |ξ|2)m− 12 teremos

(1 + |ξ|2)m− 12 |u′(ξ, 0)|2 = (1 + |ξ|2)m− 1

2

∫ t

0

dϕ

dσ|u(ξ, σ)|2 dσ

+2(1 + |ξ|2)m− 12

∫ t

0


dσdσ

Integrando sobre Rn−1 teremos que

‖u‖2

Hm− 12 (Rn−1)

≤ C

∫ t

0

‖u(·, σ)‖2Hm(Rn−1) dσ

+C

∫ t

0

‖u(·, σ)‖Hm(Rn−1)‖uσ(·, σ)‖Hm−1(Rn−1) dσ

≤ C

∫ t

0

‖u(·, σ)‖2

Hm(Rn−1) + ‖uσ(·, σ)‖2Hm−1(Rn−1) dσ

≤ C‖u‖2Hm(Rn

+).


|u(j)(ξ, 0)|2 =

∫ ∞

0

dϕ

dσ(σ)|u(j)(ξ, σ)|2 dσ + 2

∫ ∞

0

ϕ(σ)u(j+1)(ξ, σ)u(j)(ξ, σ) dσ

Multiplicando por (1 + |ξ|2)m−j− 12 obtemos

(1 + |ξ|2)m−j−12 |u(j)(ξ, 0)|2 =

∫ t

0

dϕ

dσ(1 + |ξ|2)m−j−1

2 |u(j)(ξ, σ)|2 dσ

+2

∫ t

0

ϕ(1 + |ξ|2)m−j− 12 u(j+1)(ξ, σ)u(j)(ξ, σ) dσ

Integrando sobre Rn−1 teremos

‖u(j)(·, 0)‖2

Hm−j− 12

≤∫ t

0

‖u(j)(·, σ)‖2

Hm−j− 12dσ

+C

∫ t

0

‖u(j)(·, σ)‖Hm−j‖u(j+1)(·, σ)‖Hm−j−1 dσ

≤∫ t

0

‖u(j)(·, σ)‖2Hm−j + ‖u(j+1)(·, σ)‖2

Hm−j−1 dσ

≤ C‖u‖2Hm(RN

+ )


De onde segue a continuidade. Para mostrar qua a aplicacao e sobre tomemosuma funcao

a = (a1, · · · , am) ∈m−1∏

j=0

Hm−j− 12 (Rn−1).

Mostraremos que existe uma funcao u ∈ Hm(RN+ ) tal que

γ(u) = a.

De fato, tomemos uma ϕj ∈ D([0,∞)) tal que

ϕ(j)j (0) = 1.

Denotemos por wj(ξ, t) a funcao cuja transformada de Fourier e

wj(ξ, t) =

(1

1 + |ξ|2)j/2

aj(ξ)ϕj

((1 + |ξ|2) 1

2 t).

Note que

w(j)j (ξ, 0) = aj(ξ).

Por outro lado e simples verificar que wj assim definido satisfaz:

wj ∈ Hm(RN+ )

De fato,

∫ t

0

∫

RN+

|wj(ξ, t)|2 dξdt ≤∫ ∞

0

|ϕj|2 dσ‖aj‖2

Hm−j− 12 (Rn−1)

,

∫ t

0

∫

RN+

|w(m)j (ξ, t)|2 dξdt =

=

∫ t

0

∫

Rn−1

(1 + |ξ|2)m−j |aj(ξ)|2|ϕ(m)j

((1 + |ξ|2) 1

2 t)|2 dξdt

=

∫

Rn−1

(1 + |ξ|2)m−j |aj(ξ)|2∫ t

0

|ϕ(m)j

((1 + |ξ|2) 1

2 t)|2 dtdξ

=

∫

Rn−1

(1 + |ξ|2)m−j− 12 |aj(ξ)|2 dξ

∫ t

0

|ϕ(m)j

((1 + |ξ|2) 1

2 t)|2 dt

≤ ‖aj‖2

Hm−j− 1

2 (Rn−1).


Finalmente, denotemos por u a funcao

u(x′, xn) =

m−1∑

j=0

m∑

r=1

crjwj(x, rxn)

onde os coeficientes crj sao tomados de forma que

m∑

r=1

rkcrj =

0 se k 6= j, 0 ≤ k ≤ m− 1.1 se k = j.

Assim teremos que

u(k)(x′, 0) =m∑

r=1

rkcrjw(k)(x, 0) = w

(k)k (x, 0) = ak(x).

De onde segue a demonstracao.

Como uma aplicacao do Teorema do Traco temos o seguinte resultado

Corolario 7.3.1 Seja f uma funcao satisfazendo:

f ∈ L2(0,∞;H1(RN)), f ′ ∈ L2(0,∞;L2(RN ))

Entao teremos que

f ∈ C(0,∞;H12 (RN )) ∩L∞(0,∞;H

12 (RN ))

Demonstracao.- Do Teorema de Fubini e a definicao dos espacos Hs(RN )segue que

H1(Rn+1+ ) =

f ; f ∈ L2(0,∞;H1(RN )), f ′ ∈ L2(0,∞;L2(RN))

Do Teorema do Traco segue que

‖f(0)‖2H1/2(RN ) ≤ c

‖f‖2

L2(0,∞;H1(RN)) + ‖f ′‖2L2(0,∞;L2(RN))

Usando traslacoes podemos obter que

‖f(s)‖2H1/2(RN ) ≤ c

‖f‖2

L2(0,∞;H1(RN)) + ‖f ′‖2L2(0,∞;L2(RN))

, ∀s > 0.

Da densidade das funcoes D(Rn+1+ ) podemos aproximar f por uma sequencia

de funcoes contınuas convergindo forte na norma de L∞(0,∞;H12 (RN )), de

onde segue nossa conclusao.De forma geral temos



f ∈ L2(0,∞;Hm(RN )), f ′ ∈ L2(0,∞;Hr(RN ))

para m > r, entao teremos que

f ∈ C(0,∞;Hm+r

2 (RN )) ∩L∞(0,∞;Hm+r

2 (RN))

Demonstracao.- Tomemos a ∈]0,∞[. Denotemos por ϕ ∈ C∞0 (R) uma funcao

satisfazendo

ϕ(a) = 1, ϕ(t) = 0, para t > a+1

2

|u′(x′, a)|2 =

∫ t

a

d

dσ

ϕ|u(x′, σ)|2

dσ, t > a+

1

2

=

∫ t

a

dϕ

dσ|u(x′, σ)|2 dσ + 2

∫ t

a

ϕu(x′, σ)du(x′, σ)

dσdσ

Tomando transformada de Fourier com respeito a variavel x′ teremos

|u′(ξ, a)|2 =

∫ t

a

dϕ

dσ|u(ξ, σ)|2 dσ + 2

∫ t

a


dσdσ

Multiplicando por (1 + |ξ|2)m+r2 teremos

(1 + |ξ|2)m+r2 |u′(ξ, a)|2 = (1 + |ξ|2)m+r

2

∫ t

0

dϕ

dσ|u(ξ, σ)|2 dσ

+2(1 + |ξ|2)m+r2

∫ t

a


dσdσ

Integrando sobre RN e lembrando que r < (m+ r)/2 < m teremos que

‖u(·, a)‖2

Hm+r

2 (RN)≤ C

∫ t

0

‖u(·, σ)‖2Hm(RN ) dσ

+C

∫ t

0

‖u(·, σ)‖Hm(RN )‖uσ(·, σ)‖Hr(RN ) dσ

≤ C

∫ t

0

‖u(·, σ)‖2

Hm(RN) + ‖uσ(·, σ)‖2Hr(RN ) dσ

≤ C‖u‖2

L2(0,∞;Hm(RN )) + ‖ut‖2L2(0,∞;Hr(RN ))

Da arbitrariedade de a segue que

‖u‖2

L∞(0,∞;Hm+r

2 (RN ))≤ C

‖u‖2

L2(0,∞;Hm(RN)) + ‖ut‖2L2(0,∞;Hr(RN))


O resultado segue por densidade.

Utilizando a desigualdade de Holder obtemos o seguinte resultado de inter-polacao.


f ∈ Lp(a, b;Hs(RN )) ∩ Lq(a, b;Hr(RN))

Entao teremos quef ∈ Ll(a, b;Hσ(RN))

onde1

l=θ

p+

1 − θ

q, σ = θs+ (1 − θ)r, ∀θ ∈ [0, 1]

e ainda que

∫ b

a

‖u‖lHσ(RN) dτ

1/l

≤∫ b

a

‖u‖pHs(RN)

dτ

θp∫ b

a

‖u‖qHr(RN )

dτ

1−θq

Note que para σ = θs + (1 − θ)r temos

‖u‖Hσ(RN ) =

∫

RN

(1 + ‖ξ‖2)σ‖u‖2 dξ

=

∫

RN

(1 + ‖ξ‖2)θs+(1−θ)r‖u‖2 dξ

=

∫

RN

(1 + ‖ξ‖2)s‖u‖2

θ (1 + ‖ξ‖2)s‖u‖2

1−θdξ

=

∫

RN

(1 + ‖ξ‖2)s‖u‖2 dξ

θ ∫

RN

(1 + ‖ξ‖2)s‖u‖2 dξ

1−θ

dξ

De onde segue que

‖u‖Hσ(RN ) ≤ ‖u‖θHs(RN)‖u‖1−θ

Hr(RN)

Finalmente, aplicando a desigualdade de Holder teremos

∫ b

a

‖u‖lHσ(RN ) dτ ≤

∫ b

a

‖u‖lθHs(RN)‖u‖

l(1−θ)

Hr(RN)dτ

≤∫ b

a

‖u‖pHs(RN )

dτ

θlp∫ b

a

‖u‖qHr(RN)

dτ

(1−θ)lq


7.4. Um caso simple em Wm,p(Ω) 189

7.4 Um caso simple em Wm,p(Ω)

Estudaremos uma versao simples do Teorema de traco nos espacos W 1,p. Estese resumira no seguinte teorema.

Teorema 7.4.1 Seja Ω = RN+ , entao existe uma constante positiva tal que

(∫

RN−1

|u(x′, 0)|p dx′) 1

p

≤ C‖u‖W1,p(Ω) ∀u ∈ C10(RN)

Demonstracao.- Tomemos uma funcao u ∈ C10(RN ) e definamos g(t) =

|t|p−1t. Nestas condicoes teremos:

g(u(x′, 0)) = −∫ +∞

0

∂g(u(x′, xN))

∂xNdxN = −

∫ +∞

0

g′(u(x′, xN))∂u(x′, xN)

∂xNdxN .

Aplicando a desigualdade de Holder obtemos

|u(x′, 0)|p ≤ p

∫ +∞

0

|u(x′, xN)|p−1

∣∣∣∣∂u(x′, xN)

∂xN

∣∣∣∣ dxN

≤ C

∫ +∞

0

|u(x′, xN)|p +

∣∣∣∣∂u(x′, xN)

∂xN

∣∣∣∣p

dxN

.

Integrando sobre a variavel x′ segue o resultado

7.5 Espacos intermediarios

Nesta secao introduzimos os espacos fracionarios, que serao utilizados na demon-stracao do Teorema do Traco. O metodo de construcao que utilizaremos echamado de Interpolacao Real. Denotemos por B1 e B2 dois espacos de Ba-nach, contidos num espaco X. Denotemos por S o espaco soma de B1 e B2

isto e:S = B1 +B2.

Note que S e um espaco completo, se munido da norma:

‖u‖S = inf ‖a1‖B1 + ‖a2‖B2 ; b1 + b2 = u, b1 ∈ B1, b2 ∈ B2 .Fixados os espacos de Banach B1 e B2 denotemos por

Wp,ν = f : [0,∞[→ B1; tνf ∈ Lp(0,∞;B1), tνf ′ ∈ Lp(0,∞;B2) .

Este espaco e um espaco de Banach quando munido da norma

‖u‖Wp,ν = max‖tνf‖Lp(0,∞;B1), ‖tνf ′‖Lp(0,∞;B2)

O seguinte Lema nos fornece os valores que deve tomar ν para que as funcoesdo espaco Wp,ν possuam traco em t = 0.


Lema 7.5.1 Denotemos por θ = 1p + ν. Se 0 < θ < 1, entao teremos que para

todo f ∈ Wp,ν existe o limite

limt→0

f(t) = b, em S

Demonstracao.- Se f e uma funcao de Wp,ν , ela satisfaz

f ∈ L1loc(0,∞;B1), f ′ ∈ L1

loc(0,∞;B2)

Portanto ela sera uma funcao contınua a valores em S para todo valor de t > 0.Mais ainda podemos escrever

f(t) = b+

∫ t

1

f ′(τ ) dτ, ∀t ∈]0,∞[ (7.1)

Para mostrar o Lema, devemos verificar que f e limitado numa vizinhanca det = 0. Note que isto nao e imediato porque o peso tν definido na norma deWp,ν , pode criar singularidades em f no ponto t = 0. Mostraremos que istonao pode acontecer. E simples verificar que

f(t) − f(s) =

∫ t

s

f ′(τ ) dτ (7.2)

Note que

‖∫ t

s

f ′(τ ) dτ‖B2 ≤∫ t

s

‖f ′(τ )‖B2 dτ

=

∫ t

s

τν‖f ′(τ )‖B2τ−ν dτ

≤∫ t

s

‖τνf ′(τ )‖pB2dτ

1p∫ t

s

τ−νp

p−1 dτ

p−1p

≤ c‖τνf ′‖pLp(0,∞;B2)

Onde temos usado a hipotese

1

p+ ν < 1 ⇒ νp

p− 1< 1

que implica que a integral

∫ t

s

τ−νp

p−1 dτ <∞.

Portanto a integral e limitada numa vizinhanca de t = 0, logo o segundo mem-bro da identidade (7.2) e limitada quando s < t → 0. Portanto tomando limitequando t→ 0 em (7.1) segue a nossa conclusao.

7.5. Espacos intermediarios 191

O Lema anterior nos permite introduzir um novo espaco. Um espaco detracos, que o denotaremos por T ν,p e o definiremos como

T ν,p = f(0); f ∈ Wν,p .E simples verificar que este espaco munido da norma

‖u‖T ν,p = inf ‖f‖Wν,p ; u = f(0), f ∈ Wν,p

e um espaco completo.De forma analoga a feita no capıtulo anterior podemos mostrar que as

funcoes infinitamente diferenciaveis sao densas em Wν,p. Isto esta resumido noseguinte Lema.

Lema 7.5.2 O conjunto

C∞([0,∞[;B1) =ϕ : [0,∞[→ B1; ϕ(m) ∈ C([0,∞[;B1), ∀m ∈ N

e denso em Wν,p.

Os espacos T ν,p definidos acima sao espacos intermediarios entre B2 e B1.Isto pode ser apreciado no seguinte Lema.

Lema 7.5.3 Seja θ = 1p +ν satisfazendo 0 < θ < 1. Nestas condicoes teremos

que

(i) ‖u‖T ν,p = inf‖tνf‖1−θ

Lp(0,∞;B1)‖tνf ′‖θ

Lp(0,∞;B2); u = f(0), f ∈ Wν,p

(ii)Se u ∈ B1 ∩B2 entao existe K > 0 tal que

‖u‖T ν,p ≤ K‖u‖1−θB1

‖u‖θB2.

Demonstracao.- Seja u ∈ T ν,p, entao dado ε > 0 existe f ∈ Wp,ν tal que

‖f‖Wν,p ≤ ‖u‖T ν,p + ε.

Denotemos por fλ(t) = f(λt). E simples verificar que

fλ ∈ Wν,p, fλ(0) = u.

Da desigualdade anterior teremos que

‖f‖Wν,p ≤ ‖u‖T ν,p + ε ≤ inf ‖fλ‖Wν,p ; λ > 0 + ε. (7.3)


A seguir estimaremos o valor de inf ‖fλ‖Wν,p ; λ > 0. Note que

‖tνfλ‖Lp(0,∞;B1)p =

∫ ∞

0

τνp‖fλ(τ )‖B1 dτ

=

∫ ∞

0

τνp‖f( λτ︸︷︷︸=σ

)‖B1 dτ

= λ−1−νp

∫ ∞

0

σνp‖f(σ)‖B1 dσ

= λ−1−νp‖σνf‖Lp(0,∞;B1)p

De onde segue que

‖tνfλ‖Lp(0,∞;B1) = λ−θ‖σνf‖Lp(0,∞;B1).


‖tνf ′λ‖Lp(0,∞;B2) = λ1−θ‖σνf‖Lp(0,∞;B2)

Assim da relacao (7.3) teremos que

‖f‖Wν,p ≤ ‖u‖T ν,p + ε ≤ inf ‖fλ‖Wν,p ; λ > 0 + ε

≤ infλ>0

max

λ−θ‖τνf‖Lp(0,∞;B1), λ

1−θ‖τνf ′‖Lp(0,∞;B2)

+ ε.

Tomando

λ =‖τνf‖Lp(0,∞;B1)

‖τνf ′‖Lp(0,∞;B2)

obtemos que

maxλ−θ‖τνf‖Lp(0,∞;B1), λ

1−θ‖τνf ′‖Lp(0,∞;B2)

= ‖τνf‖1−θLp(0,∞;B1)‖τνf ′‖θ

Lp(0,∞;B2)

Note que

‖τνf‖1−θLp(0,∞;B1)

‖τνf ′‖θLp(0,∞;B2) ≤ ‖f‖Wν,p

De onde segue que

‖f‖Wν,p ≤ ‖u‖T ν,p + ε ≤ inf ‖fλ‖Wν,p ; λ > 0 + ε

≤ ‖τνf‖1−θLp(0,∞;B1)

‖τνf ′‖θLp(0,∞;B2) + ε.

≤ ‖f‖Wν,p + ε.


Pela arbitrariedade de ε segue a primeira parte deste Lema. Para mostrar asegunda parte tomemos u ∈ B1 ∩B2 e seja ϕ ∈ C1([0,∞[) uma funcao tal queϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0 para t ≥ 1. Aplicando a parte (i) a funcao f(t) = ϕ(t)usegue o resultado. O que completa a demonstracao.

Uma outra propriedade importante e que os espacos T ν,p sao espacos re-flexivos para 1 < p <∞ e ainda verifica que

[T ν,p(B1, B2)]∗ = T−ν,p′

(B∗2 , B

∗1)

Para a demonstracao veja [22].No seguinte teorema mostramos atraves de um exemplo, como os espacos

T ν,p se realizam como espacos de interpolacao. Este resultado tambem seraimportante para obter resultados de imersoes dos espacos W s,p(Ω) sobre osespacos Lr(Ω).

Teorema 7.5.1 Denotemos por θ = 1p+ν, e suponhamos que p, q, θ satisfazem

1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, 0 < θ < 1

Entao teremos queT ν,p(Lq(Ω), Lp(Ω)) ⊂ Lr(Ω)

onde1

r=

1 − θ

q+θ

p

Demonstracao.- Tomemos um elemento f ∈ Wν,p. Utilizando argumentosde densidade podemos supor que f ∈ C∞([0,∞[;Lq(Ω)), assim teremos

f(x, 0) = f(x, t) −∫ t

0

f ′(x, τ) dτ

de onde segue que:

|f(x, 0)| ≤∫ 1

0

|f(x, t)| dt+∫ 1

0

|f ′(x, t)| dt

≤[∫ 1

0

τνp|f(x, t)|p dt 1

p

+

∫ 1

0

|f ′(x, t)|p dt 1

p

]∫ 1

0

t−pν

p−1 dt

1− 1p

≤ C

[∫ 1

0

τνp|f(x, t)|p dt 1

p

+

∫ 1

0

|f ′(x, t)|p dt 1

p

].

A ultima desigualdade e verdadera pelas hipoteses sobre θ. Denotemos porfλ(t) = f(λt). Substituindo fλ por f na desigualdade acima obtemos


|f(x, 0)| ≤ C

[∫ 1

0

τνp|fλ(x, τ)|p dτ 1

p

+

∫ 1

0

τνp|f ′λ(x, τ)|p dτ 1

p

]

ou equivalentemente

|f(x, 0)| ≤ C

[∫ 1

0

τνp|f(x, λτ )|p dτ 1

p

+

∫ 1

0

τνp|f ′(x, λτ )|p dτ 1

p

]

Aplicando a mudaca de Variaveis σ = λt teremos que

|f(x, 0)| ≤ C

[λ−θ

∫ 1

0

σνp|f(x, σ)|p dσ 1

p

+ λ1−θ

∫ 1

0

σνp|f ′(x, σ)|p dt 1

p

]

Tomando

λ =

∫ 1

0 σνp|f(x, σ)|p dσ

1p

∫ 1

0σνp|f ′(x, σ)|p dt

1p

Obtemos que

|f(x, 0)| ≤ 2C

∫ 1

0

σνp|f(x, σ)|p dσ θ

p∫ 1

0

σνp|f ′(x, σ)|p dt (1−θ)

p

.

De onde segue que

|f(x, 0)|r ≤ 2C

∫ 1

0

σνp|f(x, σ)|p dσ rθ

p∫ 1

0

σνp|f ′(x, σ)|p dt r(1−θ)

p

Integrando sobre Ω teremos que∫

Ω

|f(x, 0)|r dx

≤ 2C

∫

Ω

∫ 1

0

σνp|f(x, σ)|p dσ rθ

p∫ 1

0

σνp|f ′(x, σ)|p dt r(1−θ)

p

dx

Aplicando a desigualdade de Holder teremos que

∫

Ω

|f(x, 0)|r dx ≤


K

∫

Ω

∫ ∞

0

tνp|f ′(t)|p dt s′θr

p

dx

1s′∫

Ω

∫ ∞

0

tνp|f(t)|p dt s(1−θ)r

p

dx

1s

Tomando s tal que(1 − θ)sr = q

teremos da definicao de r que

1

s=

(1 − θ)r

q⇒ 1 − 1

s′=

(1

r− θ

p

)r = 1 − θr

p⇒ θrs′ = p.

De onde segue que

∫

Ω

|f(x, 0)|r dx

≤ K

(∫

Ω

∫ ∞

0

tνp|f ′(t)|p dtdx) 1

s′(∫

Ω

∫ ∞

0

tνp|f(t)|p dt q

p

) 1s

Como1

s′=θr

p.

Portanto teremos que

‖f(·, 0)‖Lr(Ω) ≤ K‖τνf ′‖θLp(0,∞;Lp(Ω))‖τνpf‖1−θ

Lp(0,∞;Lq(Ω))

De onde segue o resultadoO seguinte Lema sera util para caraterizar os espacos de traco T ν,p

Lema 7.5.4 Seja f uma funcao integravel definida quase sempre sobre [0,∞[.Denotemos por g a funcao

g(t) =1

t

∫ t

0

f(ξ) dξ.

Entao para 1 ≤ p <∞ e θ = 1p + ν < 1 e valido

∫ ∞

0

tνp|g(t)|p dt ≤ 1

(1 − θ)p

∫ ∞

0

tνp|f(t)|p dt

Demonstracao.- Fazendo a mudanca de variavel

t = eτ ; f(eτ ) = f(τ ) ξ = eσ , g(eτ ) = g(τ )


e equivalente mostrar∫ ∞

−∞eνpτ |g(τ )peτ dτ ≤ 1

(1 − θ)p

∫ ∞

−∞tνp|f(τ )|p dτ

onde

g(τ ) = e−τ

∫ eτ

0

f(ξ) dξ

= e−τ

∫ τ

0

f(σ)eσ dσ.

Denotemos por

E(τ ) = eθτ , F (τ ) =

e(θ−1)τ t > 00 t < 0.

Note que

E.g(τ ) = eθτe−τ

∫ τ

−∞f(σ)eσ dσ

=

∫ τ

−∞f(σ)e(θ−1)τ+σ dσ

=

∫ τ

−∞e(θ−1)(τ−σ)f(σ)eθσ dσ

= F ∗ Ef(τ )

Da desigualdade de Young teremos

‖E · g‖Lp ≤(∫ ∞

−∞F (t) dt

)(∫ ∞

−∞|Ef |p dt

)

=1

1 − θ

∫ ∞

−∞|Ef |p dt

De onde segue a demonstracaoA seguir vamos caraterizar os espacos T ν,p. Por simplicidade tomaremos

B1 = W 1,p(R) e B2 = Lp(R). Um procedimento analogo e feito para o caso doRN . Denotemos por T o espaco

T =

v ∈ Lp(R);

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttv − v‖pLp(R) dt <∞

onde por Ttv estamos denotando o operador traslacao dado por

Ttv(x) = v(x + t)


O espaco T munido da norma

‖w‖pT = ‖v‖p

Lp(R) +

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttv − v‖pLp(R) dt


Observacao 7.5.1 O espaco T e um espaco intermediario entre W 1,p(R) eLp(R). Isto e

W 1,p(R) ⊂ T ⊂ Lp(R).

De fato, Pela definicao a segunda inclusao acima e imediata. Mostraremos aprimeira. Para isto tomemos w ∈W 1,p(R), pela Proposicao 5.1.2 teremos que

‖Ttv − v‖pLp(R) ≤ ‖∂v

∂x‖p

Lp(R)tp

De onde segue que

‖v‖pT = ‖v‖p

Lp(R) +

∫ 1

0

t(ν−1)p‖Ttv − v‖pLp(R)dt+

∫ ∞

1

t(ν−1)p‖Ttv − v‖pLp(R)dt

≤ ‖v‖pLp(R) + ‖∂v

∂x‖p

Lp(R)

∫ 1

0

t(ν)p dt+ 2

∫ ∞

1

t(ν−1)p dt‖v‖pLp(R)

≤ C‖v‖pW1,p(R)

De onde segue que v ∈ T .

Fixemos agora os espacos B1 = W 1,p(R) e B2 = Lp(R). Portanto de aqui emdiante por T ν,p estaremos denotando ao espaco

T ν,p = T ν,p(W 1,p(R), Lp(R))

Nosso seguinte objetivo sera mostrar que no caso acima T = T ν,p. Este fatomunido da observacao anterior nos diz que o espaco T ν,p e um espaco inter-mediario entre W 1,p(R) e Lp(R). Esta propriedade nos abre as portas para adefinicao dos espacos fracionarios. Resumimos isto no seguinte teorema

Teorema 7.5.2 Seja 0 < ν + 1p< 1. Entao e valida a identidade:

T = T ν,p

e ainda as correspondentes normas sao equivalentes.

Demonstracao.- Seja u ∈ T ν,p. Mostraremos que u ∈ T . De fato, denotemospor f ∈ Wν,p uma funcao tal que

f(0) = u


e simples verificar que

f(x, t) = f(x+ t, 0) +

∫ t

0

∂

∂τf(x + t− τ, τ ) dτ

= f(x+ t, 0)−∫ t

0

∂

∂xf(x + t − τ, τ ) dτ +

∫ t

0

∂

∂τf(x + t − τ, τ ) dτ

= f(x+ t, 0)−∫ t

0

h(x+ t− τ, τ ) dτ

onde

h(x, t) = − ∂

∂xf(x, t) +

∂

∂tf(x, t)

De onde segue que

f(x + t, 0)− f(x, t) = −∫ t

0

h(x+ t− τ, τ ) dτ

f(x+ t, 0)− f(x, 0) =

∫ t

0

∂f

∂τdτ −

∫ t

0

h(x+ t− τ, τ ) dτ.

Dividindo por t e tomando norma em Lp(R) teremos

‖Ttu− u

t‖Lp(R) ≤ 1

t

∫ t

0

‖f ′(·, τ )‖Lp(R) dτ +1

t

∫ t

0

‖Tt−hh(·, τ )‖Lp(R) dτ

≤ 1

t

∫ t

0

‖f ′(·, τ )‖Lp(R) dτ +1

t

∫ t

0

‖h(·, τ )‖Lp(R) dτ.

Elevando a potencia p a desigualdade acima, multiplicando por tνp e integrandosobre [0,∞[, teremos

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttu− u‖pLp(R) ≤ 2p

∫ ∞

0

tνp

(1

t

∫ t

0

‖f ′(·, τ )‖Lp(R)

)p

dτ

+2p

∫ ∞

0

tνp

(1

t

∫ t

0

‖h(·, τ )‖Lp(R)

)p

dτ

Aplicando o Lema 7.5.4 teremos que

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttu− u‖pLp(R) ≤ 2p

(1 − θ)p

∫ ∞

0

tνp‖f ′(·, τ )‖pLp(R) dτ

+2p

(1 − θ)p

∫ ∞

0

tνp‖h(·, τ )‖pLp(R) dτ


Lembrando que h(x, t) = −∂f∂x (x, t) + ∂f

∂x (x, t) obtemos

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttu− u‖pLp(R) ≤ 2p+1

(1 − θ)p

∫ ∞

0

tνp‖f ′(·, τ )‖pLp(R) dτ

+2p

(1 − θ)p

∫ ∞

0

tνp‖∂f∂x

(·, τ )‖pLp(R)

dτ

≤ 2p+1

(1 − θ)p‖f‖p

Wν,p

Tomando o infimo obtemos∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttu− u‖pLp(R) ≤

2p+1

(1 − θ)p‖u‖p

T ν,p

De onde segue que ‖u‖T <∞ e portanto u ∈ T . Recıprocamente, suponhamosque u ∈ T , tomemos ϕ ∈ C∞([0,∞[) satisfazendo ϕ(0) = 1, ϕ(t) = 0 parat > 1, e denotemos por

f(t) = ϕ(t)g(t)

onde

g(x, t) =1

t

∫ t

0

u(x+ τ ) dτ

Note que

∂

∂xg(x, t) =

1

t

∂

∂x

∫ t

0

u(x+ τ ) dτ

=1

t

∫ t

0

∂

∂xu(x+ τ ) dτ

=1

t

∫ t

0

∂

∂τu(x+ τ ) dτ

=1

tu(x+ t) − u(x)

De onde segue que

∫ 1

0

tνp‖g(·, t)‖pW1,p(R) dt =

∫ 1

0

tνp

(‖g(·, t)‖Lp(R) + ‖ ∂

∂xg(·, t)‖Lp(R)

)p

dt

lembrando a definicao de g obtemos

∫ 1

0

tνp‖g(·, t)‖pW1,p(R) dt ≤ 2p

∫ 1

0

tνp dt‖u‖pLp(R)+2p

∫ 1

0

t(ν−1)p‖Ttu−u‖pLp(R) dt


De onde obtemos que

∫ 1

0

tνp‖g(·, t)‖pW1,p(R) dt ≤ C‖u‖p

T

Finalmente, estimemos a norma de g′ em Lp. Note primeiro que

g′(x, t) = − 1

t2

∫ t

0

u(x+ τ ) dτ +1

tu(x+ t)

= − 1

t2

∫ t

0

u(x+ τ ) − u(x) dτ

︸︷︷︸:=I1

+1

tu(x+ t) − u(x)

︸︷︷︸:=I2

Pela definicao da norma em T temos que o termo I1 pode ser estimado daseguinte forma

∫ 1

0

tνp‖Ttu− u

t‖p

Lp(R) dt ≤∫ 1

0

t(ν−1)p‖Ttu− u‖pLp(R) dt

= ‖u‖pT

Para estimar I2 utilizamos o Lema 7.5.4, assim teremos que

∫ 1

0

tνp‖ 1

tp

∫ t

0

Tτu− u dτ‖pLp(R) dt ≤ 1

(2 − θ)p

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖Ttu− u‖Lp(R) dt

= ‖u‖pT .

De onde segue que ∫ 1

0

tνp‖g′(·, τ )‖pLp(R) dτ ≤ ‖u‖p

T

Tomando infimo teremos que

‖u‖pT ν,p ≤ C‖u‖p

T


Observacao 7.5.2 O resultado anterior pode ser estendido de forma simplepara o caso n-dimensional. Neste caso o espaco T estara definido da seguinteforma

T =

u ∈ Lp(RN);

n∑

i=1

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖T itu− u‖p

Lp(RN )dt <∞

7.6. Os espacos W s,p 201

ondeT i

t u(x) = u(x1, · · · , xi−1, xi + t, xi+1, · · · , xn)

Assim como no caso unidimensional, o espaco T munido da norma

‖u‖pT = ‖u‖p

Lp(RN) +

n∑

i=1

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖T itu− u‖p

Lp(RN ) dt

e um espaco de Banach. Usando os mesmos argumentos que no Teorema an-terior podemos mostrar que

T = T ν,p(W 1,p(RN), Lp(RN ))

O que implica que os espacos T ν,p sao espacos intermediarios entre W 1,p(RN )e Lp(RN) esto e

W 1,p(RN) ⊂ T ν,p ⊂ Lp(RN).

Agora estamos em condicoes de definir os espacos W s,p(RN ) para s um numeroreal. Isto sera realizado na seguinte secao.

7.6 Os espacos W s,p

Nesta secao utilizaremos os conceitos de espacos intermediarios discutidos nasecao anterior para introduzir os espacos fracionarios de Sobolev, isto eW s,p(RN)quando s ∈ R.

Definicao 7.6.1 Seja s um numero real. Denotaremos por W s,p(RN) aoespaco

W s,p(RN) = Wm,p(RN ), se m = s ∈ N

Se s = m+ σ onde 0 < σ < 1, entao teremos

W s,p(RN ) =u ∈Wm,p(RN); Dαu ∈ T 1−σ− 1

p ,p, |α| = m

O espaco W s,p(RN ) munido da norma

‖u‖pWs,p = ‖u‖p

Wm,p +∑

|α|=m

‖Dαu‖T

1−σ− 1p

,p


Pode-se mostrar que o espaco T 1−σ− 1p ,p e um espaco reflexivo para 1 < p <

∞. Portanto utilizando o isomorfismo

Pu = (u, (Dαu)|α|=m)


entre os espacos

W s,p(RN ) → Wm,p(RN ) ×∏

|α|=m

T 1−σ− 1p ,p

Segue que os espacos fracionarios W s,p(RN) sao tambem reflexivos para todos ∈ R+. Para s < 0, definimos W s,p(RN ) como sendo o dual topologigo doespaco W−s,p(RN ). Finalmente, podemos afirmar que para todo s ∈ R osespacos W s,p(RN ) sao reflexivos.

7.7 Teorema do traco

Nesta secao mostraremos o Teorema do Traco para funcoes em Wm,p(RN ).Para isto introduziremos os espacos intermediarios de ordem superior. De-notaremos por

(0)

T = T 1−σ− 1p ,p

Note que

(0)

T =

w ∈ Lp(RN );

n∑

i=1

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖T itw − w‖Lp(RN ) dt <∞

(k)

T =

w ∈W k,p(RN);

∑

|α|=k

n∑

i=1

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖T itD

αw −Dαw‖Lp(RN ) dt <∞

Finalmente, denotaremos por

(k)

W=f : [0,∞[→ Lp(RN ); tνf(i) ∈ Lp(0,∞;Wm−i,p(RN )), i = 1, ·, k

Este espaco munido da norma

‖f‖(k)

W= max

0≤k≤m‖tνf(k)‖Lp(0,∞;Wm−k,p(RN ))

e um espaco de Banach. Nesta condicoes teremos

Teorema 7.7.1 Sobre as condicoes anteriores existe uma constante C > 0 talque

m−1∑

k=0

‖f(k)(·, 0)‖(m−k−1)

T≤ C‖f‖(m)

W

7.7. Teorema do traco 203

Demonstracao.- Tomemos f ∈(m)

W e |α| < m− k − 1, entao teremos que

tνDαf(k) ∈ Lp(0,∞;W 1,p(RN ); tνDαf(k+1) ∈ Lp(0,∞;Lp(RN);

de onde segue que

Dαf(k)(·, 0) ∈ T ν,p.

Portanto aplicando a definicao de norma teremos que

‖Dαf(k)(·, 0)‖T ν,p ≤ C‖f‖(m)

W


f(k)(·, 0) ∈(m−k−1)

T

e ainda verificamos que

‖f(k)(·, 0)|(m−k−1)

T≤ C‖f‖(m)

W

De onde segue que

m−1∑

k=0

‖f(k)(·, 0)|(m−k−1)

T≤ mC‖f‖(m)

W

De onde segue o resultadoNosso seguinte objetivo e aplicar o Teorema anterior para funcoes Wm,p(Ω)

Isto sera feito como no caso dos espacos de Hilbert Hm(Ω). Isto e, primeirono caso Ω = Rn+1

+ e depois extenderemos o resultado para o caso de dominiosregulares de classe Cm utilizando para isto as cartas locais. Observe primeiroque no caso em que ν = 0, e simples verificar que

Wm,p(Rn+1+ ) =

(m)

W =f : [0,∞[→ Lp(RN ); f(k) ∈ Lp(0,∞;Wm−k,p(RN)) k = 0, · · · , m

.

Por outro lado, note que da definicao dos espacos fracionarios teremos que

T 0,p =

w ∈ Lp(RN);

n∑

i=1

∫ ∞

0

t−p‖Ttw − w‖pLp(RN)

dt <∞

= W σ,p(RN)

Onde 1 − σ = ν︸︷︷︸=0

+1p

de onde segue que σ = 1 − 1p. Portanto e valida a

identidade


T 0,p = W 1− 1p ,p(RN)

De forma analoga e lembrando a definicao de W s,p(RN) teremos

(k)

T =

w ∈W k,p(RN);

n∑

i=1,|α|≤k

∫ ∞

0

t−p‖TtDαw −Dαw‖Lp(RN ) dt <∞

= W k+σ,p(RN ).

Lembrando que 1 − σ = 1p , teremos que σ = 1 − 1

p . Assim obtemos que

(k)

T = W k+1− 1p ,p(RN )

Utilizando o Teorema 7.7.1 obtemos que

m−1∑

k=0

‖w(k)(·, 0)‖W

m−k− 1p

,p(RN )

≤ C‖w‖Wm,p(Rn+1+ ) (7.4)

Portanto temos mostrado o teorema:

Teorema 7.7.2 Seja γ a aplicacao

γ : D(Rn+1+ ) →

m−1∏

k=0

D(RN )

definida comoγ(ϕ) = (ϕ(·, 0), ϕ′(·, 0), · · · , ϕ(m−1)(·, 0))

Pode ser estendida continuinamente aos espacos

γ : Wm,p(Rn+1+ ) →

m−1∏

k=0

Wm−k− 1p ,p(RN )

Isto e, existe uma constante C > 0 que verifica a desigualdade (7.4) para todafuncao em Wm,p(RN

+ )

7.8 Espacos W s,p(Γ)

Denotando por Γ a fronteira de Ω, utilizando as cartas locais podemos definiros espacos W s,p(Γ) para s < m da seguinte forma: Sejam (hi,Vi), i = 1, · · · , νa famılia de cartas locais de Γ, e denotemos por αi a particao da unidade

7.8. Espacos W s,p(Γ) 205

associada a Vi ∩Γ (Ver Definicao 5.5.2). Toda funcao sobre Γ pode ser escritacomo

u =

ν∑

i=1

(αiu)

Note que a funcao h∗v(x) = v(h(x)) esta definida sobre o quadrado Q e paravalores em Γ, h∗jv = v(h(x)) toma valores sobre Q0. Assim teremos que a

funcao h∗j (αju) esta definida sobre Rn−1 se a tomamos como sendo 0 fora deQ0, isto e

h∗jv(x) =

v(hj(x)) se x ∈ Q0

0 se x 6∈ Q0

Agora definimos o espaco W s,p(Γ)

W s,p(Γ) =u ; h∗j (αju) ∈W s,p(Rn−1), ∀j = 1 · · · , ν

Munindo ao espaco acima a norma do grafo, isto e

‖u‖Ws,p(Γ)) =

ν∑

j=1

‖h∗j (αju)‖Ws,p(Rn−1)

O espaco W s,p(Γ) e um espaco de Banach.

Com estas definicoes a versao do teorema do Traco para conjuntos abertosde fronteira limitada e consequencia imediata do Teorema de traco para funcoesem Wm,p(RN

+ ) que estudamos na secao anterior.

Seja Ω um aberto de classe Cm. Definimos como W s,p(Ω) o espaco:

W s,p(Ω) =w|Ω; w ∈W s,p(RN )

Este espaco munido da norma

‖w‖Ws,p(Ω) = inf‖w‖Ws,p(RN); v ∈W s,p(RN ), v = w em Ω

E um espaco de Banach.

A seguir deixamos aos cuidados do leitor a demonstracao dos seguintesteoremas:

Teorema 7.8.1 C∞0 (RN ) e denso em W s,p(RN )

Teorema 7.8.2 Seja s = m+ σ com m inteiro e 0 < σ < 1. Seja Ω de classeCm+1, entao D(Ω) e denso em W s,p(Ω).


7.9 Teorema do traco em Wm,p(Ω)

Nesta secao utilizaremos as mesmas notacoes que na secao anterior. Isto e,suporemos que Ω e de classe Cm, assim teremos

Teorema 7.9.1 Seja γ a aplicacao

γ : D(Ω) →m−1∏

k=0

D(Ω)

definida como

γ(ϕ) = (γ0(ϕ), γ1(ϕ), · · · , γm−1ϕ) = (ϕ|Ω,∂ϕ

∂ν |Ω, · · · , ∂

(m−1)ϕ

∂ν(m−1) |Ω).

Entao γ pode ser estendida continuamente aos espacos

γ : Wm,p(Ω) →m−1∏

k=0

Wm−k− 1p ,p(Γ)

Isto e, existe uma constante C > 0 que verifica a desigualdade

m−1∑

k=0

‖γk(w)‖W

m−k− 1p

,p(Γ)

≤ C‖w‖Wm,p(Ω)

para toda funcao em Wm,p(Ω)

Demonstracao.- Seja α a particao da unidade de Ω associada a Vj entaoteremos que

h∗j (αu) ∈ W s,p(RN+ )

Aplicando a Teorema 7.7.2 teremos que

‖ ∂

∂xnh∗j (αu)(x

′, 0)‖W

m−k− 1p

,p(Γ)

≤ c‖h∗j(αu)‖Wm(Q+)

≤ c‖u‖Wm(Ω)


Como uma aplicacao do Teorema do Traco temos o seguinte resultado


f ∈ Lp(0,∞;W 1,p(RN )), f ′ ∈ Lp(0,∞;Lp(RN))

Entao teremos que

f ∈ C(0,∞;W 1−1p ,p(RN )) ∩L∞(0,∞;W 1−1

p ,p(RN ))

7.9. Teorema do traco em Wm,p(Ω) 207

Demonstracao.- Do Teorema de Fubini e a definicao dos espacos W s,p(RN )segue que

W 1,p(Rn+1+ ) =

f ; f ∈ Lp(0,∞;W 1,p(RN)), f ′ ∈ Lp(0,∞;Lp(RN ))

Do Teorema do Traco segue que

‖f(0)‖p

W1− 1

p,p

(RN)≤ c

‖f‖p

Lp(0,∞;W1,p(RN ))+ ‖f ′‖2

Lp(0,∞;Lp(RN ))

Usando traslacoes podemos obter que

‖f(s)‖p

W1− 1

p,p

(RN)≤ c

‖f‖p

Lp(0,∞;W1,p(RN ))+ ‖f ′‖2

Lp(0,∞;Lp(RN))

, ∀s > 0.

Da densidade das funcoes D(Rn+1+ ) podemos aproximar f por uma sequencia

de funcoes contınuas convergindo forte na norma de L∞(0,∞;W 1−1p ,p(RN )),

de onde segue nossa conclusao.Utilizando a desigualdade de Holder obtemos o seguinte resultado de inter-

polacao.


f ∈ Lr(a, b;W 1,p(RN)) ∩ Ls(a, b;Lp(RN ))

Entao teremos quef ∈ Ll(a, b;W θ,p(RN ))

onde1

l=θ

r+

1 − θ

s, ∀θ ∈]0, 1[

e ainda que

∫ b

a

‖f‖lWθ,r(RN ) dτ

1/l

≤ C

∫ b

a

‖f‖rW1,p(RN) dτ

θr∫ b

a

‖f‖sLp(RN) dτ

1−θs

Notemos que pela definicao dos espacos fracionarios teremos que

W θ,p(RN ) =u ∈ Lp(RN); u ∈ T 1−θ−1

p ,p(W 1,p(RN), Lp(RN ))

onde ν = 1 − θ− 1p . Do Lema 7.5.3 temos que

‖f‖T 1−θ− 1

p,p ≤ c‖f‖1− 1

p−ν

W1,p(RN)‖f‖

1p +ν

Lp(RN )

= c‖f‖θW1,p(RN)‖f‖1−θ

Lp(RN )


De onde obtemos

‖f‖T 1−θ− 1

p,p ≤ c‖f‖θ

W1,p(RN )‖f‖1−θLp(RN )

.

Finalmente, aplicando a desigualdade de Holder teremos

∫ b

a

‖f‖lWθ,p dτ ≤

∫ b

a

‖f‖lθW1,p(RN )‖f‖

l(1−θ)

Lp(RN )dτ

≤∫ b

a

‖f‖rW1,p(RN) dτ

θlr∫ b

a

‖f‖sLp(RN ) dτ

(1−θ)ls


7.10 Exercıcios

1. Mostre que a norma ‖u‖Hs(Ω) satisfaz a lei do paralelogramo, portantofaz de Hs(Ω) um espaco de Hilbert.

2. Qual e o mınimo valor de s ∈ R para que uma funcao em W s,p(Ω), tenhabem definido seu traco. Justifique sua resposta

3. Considere o problema de Dirichlet

−∆u = 0 em Ω

u = g em Γ = ∂Ω

Qual e o maior espaco que deve ser tomado g para que o problema tenhauma solucao em Hm(Ω). Justifique sua resposta.

4. Mostre que se Ω e um aberto limitado de classe C3 entao a aplicacaotraco esta bem definida nos seguintes espacos:

γ : W 2,p(Ω) → W 2− 1p ,p(∂Ω) ×W 1− 1

p ,p(∂Ω)

f 7→ (f|∂Ω,∂f

∂ν |∂Ω)

5. Seja Ω de classe Cm+1, mostre que a aplicacao

γ : Hm(Ω) →m−1∏

k=0

Hm−k− 12 (∂Ω)

f 7→ f|∂Ω

e linear e contınua.


6. Seja Ω um hipercubo do RN , mostre que

‖u‖Lp(Ω) ≤ C‖u‖1−αLq(Ω)‖u‖α

W1,r(Ω)

onde 1 ≤ q ≤ p, r ≥ n e α e dado por

α =

1q − 1

p1q

+ 1n− 1

r

7. Mostre que se f ∈ Lp(a, b;Lq(Ω)) e f ′ ∈ Lp(a, b;Lq(Ω)) entao f e umafuncao contınua a valores em Lq(Ω).

8. Mostre que se f ∈ L2(a, b;H1(Ω)) e f ′ ∈ L2(a, b;L2(Ω)) entao f satisfaz:

f ∈ C([a, b];H1/2(Ω))

(Sugestao, utilize a mesmas ideias que a demonstracao do teorema detraco para t = s onde s ∈ [a, b], assim mostre que

‖f(s)‖2H1/2(Ω) ≤

∫ b

a

‖f(τ )‖2H1(Ω) + ‖f ′(τ )‖2

L2(Ω) dτ

Usando a densidade de C∞(a, b;H1(RN)) conclua o resultado)

9. Mostre que se f ∈ Lp(a, b;W 1,p(RN)) e f ′ ∈ Lp(a, b;Lp(RN )) entao fsatisfaz:

f ∈ C([a, b];W 1−1p (RN ))

10. Mostre que existe uma solucao fraca da equacao

utt − uxx + u3 = 0 em ]0, L[×]0,∞[

u(x, 0) = u0, u(x, 0) = u0, em ]0, L[

u(0, t) = u(L, t) = 0 para t > 0

11. Mostre que se u ∈ Lp(a, b;Ls(RN ))∩Lq(a, b;Lr(RN )) entao teremos que

u ∈ Lp′(a, b;Ls′

(RN))

onde1

p′=θ

p+

1 − θ

q,

1

s′=θ

s+

1 − θ

r

12. Mostre que se u ∈ Lp(a, b;Hs(RN)) ∩ Lq(a, b;Hr(RN)) entao se verificaque

u ∈ Lp′(a, b;Hθs+(1−θ)r(RN))

onde1

p′=θ

p+

1 − θ

q.


13. Mostre queT ν,p(W 1,p(RN );Lp(RN ))

=

f ∈ Lp(RN );

n∑

i=1

∫ ∞

0

t(ν−1)p‖T itw − w‖p

Lp(RN ) dt <∞

ondeT i

tw = w(x1, · · · , x1+t, · · ·xn)

Capıtulo 8

Extensao de Funcionais

Convexos

O Proposito deste capıtulo e introduzir o conceito de funcionais quase convexose A-quase convexos e encontrar condicoes sobre as quais estes funcionais saosequencialmente contınuos, respecto a convergencia fraca, onde a sequenciapossui restricoes nas derivadas.

8.1 Funcoes A-quase convexas

extenderemos o conceito de convexidad, a partir da seguinte propriedade quecarateriza as funcoes convexas. Isto e, usando Teorema 1.2.1 e a observacao1.2.3 concluimos que f e uma funcao convexa se e somente se verifica a seguintepropriedade

∫

Ω

f(µ + ξ(x)) dx ≥ f(µ)meas(Ω) ∀ξ ∈ L∞(D);

onde∫Dξ(x) dx = 0. Ao longo destas notas suporemos que ξ satisfaz

Aξ :=

m∑

j,k=1

ai,j,k∂uj

∂xk= 0.

Nestas condicoes teremos

Definicao 8.1.1 Diremos que um funcional J e A-quase convexo, quando severifica ∫

Ω

f(µ + ξ(x)) dx ≥ f(µ)meas(Ω),

211

212 Capıtulo 8. Extensao de Funcionais Convexos

para todo ξ ∈ L∞(D) tal que∫

D ξ(x) dx = 0 e Aξ = 0.

Denotaremos por

L(D) =

ξ ∈ L∞(D);

∫

D

ξ(x) dx = 0, e Aξ = 0

.

Consideremos alguns exemplos.

Exemplo 8.1.1 Seja A o operador diferencial definido como

A(ξ1, ξ2) = ∇(ξ1 − ξ2),

e denotemos por L(D) o espaco

L(D) :=

ξ = (ξ1, ξ2) ∈ L∞(D) × L∞(D);

∫

D

ξ dx = 0;Aξ = 0

.

Como D e um cubo, a condicao Aξ = 0 implica que

ξ1 − ξ2 = c,

para alguma constante c. Como∫

Dξ dx = 0 teremos

∫

D

ξ1(x) dx =

∫

D

ξ2(x) dx = 0.

De onde segue que c = 0. Portanto, todo ξ ∈ L(D) pode ser escrito como

L(D) := ξ ∈ L∞(D) × L∞(D); ξ1 = ξ2 . (8.1)

Por outro lado, e simples mostrar que a funcao f(x, y) = xy nao e uma funcaoconvexa, pois sua matriz Hessiana nao e definida positiva nem negativa. Masf e A−quase convexa. De fato, tomemos ξ ∈ L(D) entao e simples verificarque

∫

D

f(µ + ξ) dx =

∫

D

f(µ1 + ξ1, µ2 + ξ2) dx

= f(µ)meas(D) +

∫

D

ξ1ξ2 dx;

de (8.1) obtemos que∫

D

f(µ + ξ) dx ≥∫

D

f(µ1 + ξ1, µ2 + ξ2) dx = f(µ)meas(D).

Portanto, temos construido uma funcao contınua que nao e convexa mas eA−quase convexa

8.1. Funcoes A-quase convexas 213

Exemplo 8.1.2 Consideremos o mesmo operador do exemplo (8.1.1), e de-notemos por f a funcao

f(x, y) = x2 − y2.

Claramente f nao e uma funcao convexa, muito menos uma funcao linear. Masela e uma funcao A−quase linear. De fato,

f(µ1 + ξ1, µ2 + ξ2) = f(µ1 , µ2) + 2µ1ξ1 − 2µ2ξ2 + f(ξ1 , ξ2)

Como ξ ∈ L(D) teremos

f(µ1 + ξ1, µ2 + ξ2) = f(µ1 , µ2) + 2µ1ξ1 − 2µ2ξ2

Integrando sobre D e aplicando o fato que ξ ∈ L(D) concluimos que∫

D

f(µ + ξ) dx = f(µ)meas(D).

Finalmente, como −f e f sao A-quase convexos, concluimos que f e A-quaselinear. Portanto, temos um exemplo de uma funcao nao linear que e umafuncao A-quase linear.

Exemplo 8.1.3 Consideraremos o mesmo operador A que no exemplo 8.1.1e denotemos por f uma funcao quadratica de duas variaveis. Sem perda degeneralidade podemos supor que f e da forma

f(x, y) := ax2 + bxy+ cy2;

Queremos determinar quais sao as relacoes que deven satisfazer os coeficientesa, b, e c para que f seja un funcional A-quase convexo e A-quase linear. Paraisto consideremos

f(µ + ξ) = a(µ1 + ξ1)2 + b(µ1 + ξ1)(µ2 + ξ2) + c(µ2 + ξ2)

2

= f(µ1 , µ2) + 2aµ1ξ1 + bξ1µ2 + bµ1ξ2 + 2cµ2ξ2 + f(ξ1 , ξ2)

Integrando sobre D e aplicando as condicoes sobre ξ teremos

∫

D

f(µ + ξ(x)) dx = f(µ1 , µ2)meas(D) +

∫

D

f(ξ1(x), ξ2(x)) dx. (8.2)

Portanto, f e uma funcao A-quase convexa se

f(ξ1, ξ1) ≥ 0 isto e (a+ b+ c)ξ21 ≥ 0.

Assim todo funcional quadratico f e A-quase convexa se a soma dos coeficientesdos termos quadraticos e nao negativa. Usando 8.2 concluimos que f e A-quaselinear se

f(ξ1, ξ1) = 0 isto e (a+ b+ c)ξ21 = 0.

Portanto todo funcional quadratico e A-quase linear se a soma dos coeficientesquadraticos e zero.


Exemplo 8.1.4 Denotemos por

A(ξ1, ξ2︸︷︷︸=u

, ξ3, ξ4︸︷︷︸=v

) = (∇(ξ1 − αξ3),∇(ξ2 − αξ4)) .

Onde α e um numero real. A seguir caraterizemos o espaco L(D). Primeronotemos que

A(ξ1, ξ2, ξ3, ξ4) = 0,

implica que existe um vetor constante C := (c1, c2) ∈ R2 tal que

u− αv = C.

Como∫

D u dx =∫

D v dx = 0, entao teremos que

u+ αv = 0.

Portanto, podemos reescrever L(D) como

L(D) =

(u, v) ∈ [L∞(D)]2 × [L∞(D)]2;

∫

D

u dx =

∫

D

v dx = 0, u = −αv.

Consideremos a funcao determinante

det (uτ , vτ )

E simples verificar que a funcao (u, v) 7→ det (uτ , vτ ) e nao linear, mas e umafuncao A-quase linear.

8.2 Funcionais A-quase convexos

O proposito desta secao e mostrar um resultado similar ao Teorema 3.11.1para funcionais A-quase convexos. Infelizmente nao e possivel obter umacondicao necessaria e suficiente com este grau de generalidade. Em com-pensacao mostraremos uma condicao necessaria e logo outra suficiente. Comecaremosmostrando uma condicao necessaria para que uma funcao f seja semicontınuainferiormente.

Teorema 8.2.1 Suponhamos que para toda sequencia uν satisfazendo

uν? u fraco estrela em L∞(D)

Auν limitado em [L2(D)]m

teremos que

lim infν→∞

∫

D

f(uν) dx ≥∫

D

f(u) dx.

Entao f e uma funcao A-quase convexa.

8.2. Funcionais A-quase convexos 215

Demonstracao.- Tomemos ξ ∈ L(D), denotemos da mesma forma sua ex-tensao perıodica ao RN . Ponhamos

ξν(x) := ξ(νx) ∀x ∈ RN ,

entao teremos que

ξν? 0 fraco estrela em L∞(D).

Por outro lado∫

D

f(µ + ξν(x)) dx =

∫

D

f(µ + ξ(νx)) dx =1

νn

∫

νD

f(µ + ξ(x)) dx

=

∫

D

f(µ + ξ(x)) dx;

aplicando as hipoteses concluimos que

f(µ)meas(D) ≤ lim inf

∫

D

f(µ + ξν(x)) dx =

∫

D

f(µ + ξ(x)) dx;

De onde segue nosso resultado

Mostraremos agora uma condicao suficiente. Para isto suporemos que a sequenciasatisfaz

A(u− uν) = 0 (8.3)

Teorema 8.2.2 Sob as hipoteses do Teorema 8.2.1 junto com a relacao (8.3)teremos que

lim inf

∫

D

f(uν) dx ≥∫

D

f(u) dx;

para toda funcao A-quase convexa.

Demonstracao.- Denotemos por fl a sequencia de funcoes dado por

fl(x) =

f(x) if −l ≤ x ≤ l

f(l) if x ≤ l

f(−l) if −l ≤ x.

E simples verificar que para todo l ∈ N a funcao fl e limitada. Denotemos umavk a sequencia de funcoes simples satisfazendo

vk → u forte em L2(Ω)

vk(x) → u(x) q.s. em Ω.


Nestas condicoes teremos

fl(uν) − fl(u) = fl(u+ (uν − u)) − fl(vk + (uν − u))

+fl(vk + (uν − u)) − fl(vk) + fl(vk) − fl(u)

Da continuidade de f , da convergencia forte de vk e do Teorema de Lebesgueseque que para ε > 0 existe N tal que

∫

Ω

|fl(u+ (uν − u)) − fl(vk + (uν − u))| dx < ε

∫

Ω

|fl(vk) − fl(u)| dx < ε.

De onde seque que∫

Ω

fl(uν) − fl(u) dx+ ε ≥∫

Ω

fl(vk + (uν − u)︸︷︷︸ξν

) − fl(vk) dx.

Denotando por

ην = ξν − 1

meas(Ω)

∫

Ω

ξν dx,

teremosην

? 0 em L∞(Ω),

Aην = 0,

|ην − ξν | → 0.

Usando a convergencia anterior e tomando ν ≥ N para N suficientementegrande obtemos

∫

Ω

fl(vk + ξν) − fl(vk) dx =

∫

Ω

fl(vk + ξν) − fl(vk + ην) dx

+

∫

Ω

fl(vk + ην) − fl(vk) dx

≥∫

Ω

fl(vk + ην) − fl(vk) dx− ε

Como vk e uma funcao simple, podemos obter uma decomposicao em sub-retangulos tais que

∫

Ω

fl(vk + ην) − fl(vk) dx =

L∑

i=1

∫

Di

fl(vk + ην) − fl(vk) dx, (8.4)

8.3. Exercicios 217

onde vk e constante em cada Di. Como f e A-quase convexa, o lado direito daidentidade anterior e positiva. Das relacoes (8.3)–(8.4) teremos

∫

Ω

fl(uν) dx−∫

Ω

fl(u) dx+ 2ε ≥ 0.

Portanto teremos que,

lim infν→∞

∫

Ω

fl(uν) dx ≥∫

Ω

fl(u) dx− 2ε.

Por outro lado, para todo ε > 0 segue que

lim inf

∫

Ω

fl(uν) dx ≥∫

Ω

fl(u) dx.

Finalmente, como uν e limitado em L∞, da definicao da sequencia fl existe umnumero positivo M tal que

fM (uν) = f(uν)

Se onde segue a nossa conclusao

8.3 Exercicios

1. Seja g uma funcao convexa g : R → R. Mostre que g e uma funcaocontınua.

2. Se (xν)ν∈Ne uma sequencia de numeros reais convirgindo para x. Mostre

que a sequencia

vN :=1

N

N∑

ν=1

xν → x

3. Seja f : R → R uma funcao perıodica de periodo T . Encontre o limitefraco da sequencia fν(x) := f(νx).

4. Seja φi uma funcao A-quase linear para i = 1 · · · s. Mostre que para todafuncao g : Rs → R a funcao f definida como

f(x) = g(φ1, · · · , φs),

e A-quase convexa.

5. Encontre a maior clase de funcoes cubicas que sejam A-quase convexa eA-quase lineares para o operador A dado por

Aξ = ∇ (ξ1 − ξ2)


6. Suponhamos que ξ : R3 → R3. Encontre a maior classe de funcoesquadraticas que sejam A-quase convexas e A-quase lineares para o oper-ador A dado por

Aξ = curl ξ;

8.4 Condicao pontual

Nesta secao encontraremos uma condicao necessaria e suficiente para que umfuncional quadratico f seja semicontınuo inferiormente (ou continuou) com re-specto a topologıa fraca. E claro que para evitar os casos de funcionais convexos(ou lineares) considerarmos aqui hipoteses adicionais sobre a convergencia dasequencia. Faremos referencia a estas hipoteses com a letra H.

(H)

uν? u em [L∞(Ω)]m

Auν =∑m

j=1

∑nk=1 aijk

∂ujν

∂xkBounded in L2(Ω)

f(uν)? l em L∞(Ω).

Queremos encontrar a maior classe de funcoes quadraticas que sejam sequencialmentecontınuas respecto convergencia fraca munida a condicao da hipotese H.

Como vimos na secao 3.11 uma funcao f e semicontınuo inferiormente re-specto a topologıa fraca estrela se f e uma funcao convexa, e e contınua respectoa mesma topologıa se e somente se f e linear. Nesta secao extenderemos a classede funcoes convexas para obter resultados similares aos obtidos naquela secao.Vejamos os seguintes exemplos.

Exemplo 8.4.1 Denotemos por f : R2 → R. Suponhamos que a sequenciauν , vν sao limitados em L∞ e que

∂uν

∂x

∂vν

∂ysao limitados em L2.


uν? u in [L∞(Ω)]m

vν? v in [L∞(Ω)]m

f(uν , vν)? l in L∞(Ω).

As condicoes que impomos sobre as derivadas de uν e vν nao sao suficientespara obter l = f(u, v), para toda funcao contınua. Nosso proposito e encontrara maior classe the funcoes contınuas f para as quais seja valido f(u, v) = l?.Para isto tomemos transformada de Fourier, assim obtemos

ξ1uν e ξ2vν sao limitados em L2.

8.5. Propriedades 219

Portanto, existe uma subsequencia da que converge fortemente em H−1, queimplica que a subsequencia

ξ211 + |ξ|2 |uν|2 +

ξ221 + |ξ|2 |vν |2

converge forte em L2. A questao aqui e como usar esta convergencia. Para quetipos de funcoes teremos que f(u, v) = l?. Como as tecnicas que utilizaremossao baseadas na transformada de Fourier teremos que restringirnos a funcionaisquadraticos.

Nosso primeiro ponto e estabelecer uma condicao necessaria pontual queuma funcao f deve satisfazer para ter f(u, v) = l. Para isto introduziremos umnovo conceito de convexidade

Definicao 8.4.1 Diremos que uma funcao f e convexa na direcao de Λ separa todo x, y ∈ Rm tais que x− y ∈ Λ temos

f(θx + (1 − θ)y) ≤ θf(x) + (1 − θ)f(y)

Assim como a A-quase convexidade, a convexidade na direcao de Λ tambemextende a nocao usual de convexidade. Isto e toda funcao convexa e convexaem qualquer direcao. Analizemos as seguintes propriedades.

8.5 Propriedades

• Para funcoes f : R → R, temos apenas uma direcao, portanto funcoesna direcao de Λ ⊂ R e convexidade em R sao equivalentes. Para evitarcasos triviais consideraremos funcoes de pelo menos duas variaveis.

• Uma funcao f e convexa na direcao de Λ se e somente se a funcao φ(t) :=f(x + tλ) e convexa em R, para toda x ∈ RN e para toda λ ∈ Λ. De

fato, denotemos por α e β dois numeros reais tais que α − β = λ ∈ Λ.Portanto lembrando a definicao de convexidade na direcao de Λ teremos

f(θα + (1 − θ)β) ≤ θf(α) + (1 − θ)f(β). (8.5)

Tomemos y ∈ Rm tal que

α = y + λ

β = y − θ

1 − θλ.


para λ ∈ Λ. Substituindo α e β em (8.5) obtemos

f(y) ≤ θf( y + λ︸︷︷︸:=x+tλ

) + (1 − θ)f(y − θ

1 − θλ

︸︷︷︸:=x+sλ

). (8.6)

Para x ∈ R escolhido apropriadamente. Nestas condicoes teremos

y = x+ tλ − λ

y = x+ sλ +θ

1 − θλ

Multiplicando a primeira identidade acima por θ e a segunda por 1 − θsomando os produtos resultantes teremos

y = x+ θtλ + (1 − θ)sλ

Sustituindo y em (8.6) obtemos a desigualdade desejada.

• Se f e uma funcao de classe C2 convexa na direcao de Λ uma carater-izacao util e a seguinte

∂2f

∂xi∂xjλiλj ≥ 0 para todo λ ∈ Λ.

Esto segue do fato que a funcao g(t) := t 7→ f(x + tλ) e uma funcaoconvexa de classe C2, portanto teremos que g′′(t) ≥ 0. Usando a regrada cadeia, segue nossa conclusao

• Notemos que quanto menor seja o conjunto Λ, menores serao as restricoessobre a convexidade na direcao de Λ. Por exemplo, se Λ = 0 entaotoda funcao contınua sera convexa na direcao de Λ. Enquanto que seΛ = RN , entao convexidade na direcao de Λ e convexidade usual seraoequivalentes.

As propriedades anteriores mostran a facilidade em conferir se uma funcaoe a nao convexa na direcao de Λ. No caso se funcoes A-quase convexas averificacao era mais complicada. Para explourar a convexidade na direcoa de Λintroduziremos o seguinte funcional associado ao operador A. Denotemos porB o operador

B(λ, ξ) :=

m∑

j=1

n∑

k=1

a1jkλiξk, · · · ,m∑

j=1

n∑

k=1

aqjkλiξk


Denotemos por V o espaco vetorial cujas primeiras componentes sao ortogonaiscom respecto a aplicacao bilinear B, isto e

V := (λ, ξ) ∈ Rm × Rn;B(λ, ξ) = 0) ⊂ Rm × Rn

Notemos que a projecao de V sobre Rm e ortogonal com respecto as derivadas.Portanto para encontrar funcoes sequencialmente contınuas respecto a topologıaH devemos de ter que f seja nula sobre esta projecao. Introduzimos entao oseguinte conjunto

Λ := λ ∈ Rm; ∃ξ ∈ Rn − 0 tal que (λ, ξ) ∈ V

Isto e Λ tem a direcao que e ortogonal respecto as direcao onde as derivadassao limitadas. Nosso proximo objetivo e mostrar que toda forma quadraticanula sobre Λ e uma funcao sequencialemente contınua respecto a convergenciadefinida em H. Para atingir este objetivo o seguinte Lema sera muito impor-tante

Lema 8.5.1 Suponhamos que g seja um funcional quadratico da forma xMxt

tal que g(λ) ≥ 0∀λ ∈ Λ, entao para todo α > 0 existe uma constante positivacα tal que

Re g(λ) ≥ −α|λ|2 − cα

q∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

∑

j,k

aijkλjηk

∣∣∣∣∣∣

2

para todo λ ∈ Cm e η ∈ Rm tal que |η| = 1

Demonstracao.- Raciocinemos por reducao ao absurdo. Suponhamos queexiste α0 tal que para todo ν ∈ N tenhamos

Re g(λν) ≤ −α0|λν|2 − ν

q∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

∑

j,k

aijkλνj η

νk

∣∣∣∣∣∣

2

(8.7)

para todo λ ∈ Cm, η ∈ Rm tal que |λν | = 1 e |ην | = 1. Portanto existe umasubsequencia de (λν) e (ην), que a continuaremos denotando da mesma forma,tal que

λν → λ∞; ην → η∞.

Da desigualdade (8.7) concluimos

q∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

∑

j,k

aijkλνj η

νk

∣∣∣∣∣∣

2

→q∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

∑

j,k

aijkλ∞j η

∞k

∣∣∣∣∣∣

2

= 0,


que implica que λ∞ ∈ Λ + iΛ. Das hipoteses sobre g concluimos que

Re g(λ∞) ≥ 0.

Por outro lado da desigualdade (8.7) e lembrando que |λ∞| = 1 segue que

g(λ∞) ≤ −α0 < 0,

que e uma contradicao, portanto segue nossa afirmacao.

Teorema 8.5.1 Suponhamos que seja uma funcao quadratica da forma f(x) =xMxt, onde M e uma matriz simetrica. Suponhamos ainda que

(H ′)

uν∗→ u in [L∞(Ω)]m

Auν =∑m

j=1

∑nk=1 aijk

∂ujν

∂xkcompact in H−1

loc (Ω)

f(uν)∗→ l in D′(Ω).

Entao teremos que

f(λ) ≥ 0 ∀λ ∈ Λ ⇒ l ≥ f(u).

f(λ) = 0 ∀λ ∈ Λ ⇒ l = f(u).

Demonstracao.- Sem perda de generalidade podemos supor que u = 0. Aideia e aplicar Transformada de Fourier. Para isto introduzimos a sequenciawν = φuν, onde φ ∈ C∞

0 (Ω), que consideraremos definida em todo o espacoRN sendo zero fora de Ω. e simples verificar que

wν∗→ 0 in [L∞(Ω)]m

Awν =∑m

j=1

∑nk=1 aijk

∂wjν

∂xk→0 strong in H−1

loc (Ω)

wν possui suporte compacto e fixo .

Nestas condicoes mostraremos que

lim infν→∞

∫

RN

f(wν) dx ≥ 0.

Denotemos por wν a transformada de Fourier de wν . Como wν possuisuporte compacto sobre K, entao facilmente concluimos que

wν → 0 q.s. em RN

|wν(ξ)| ≤ C


Usando o Teorema de Lebesgue concluimos que

wν → 0 Forte em L2loc(R

N)

Mais ainda, das hipoteses sobre as derivadas de wν teremos

1

1 + |ξ|∑

j,k

aijkwjν(ξ)ξk → 0 in [L2(RN )]q (8.8)

Como estamos tratando com numeros complexos podemos extender a funcaof do Rm para Cm da seguinte forma

f(w) = wMwt

Das hipoteses comcluimos que

Re f(λ) ≥ 0 ∀λ ∈ Λ + iΛ

Usando a identidade de Plancherel teremos∫

RN

f(wν) dx =

∫

RN

f(wν) dξ =

∫

RN

Re f(wν) dξ

Para mostrar o Teorema falta apenas verificar que

lim infν→∞

∫

RN

Re f(wν) dξ ≥ 0

Como ∫

RN

f(wν) dξ =

∫

|ξ|≤1

f(wν) dξ +

∫

|ξ|≥1

f(wν) dξ,

e ∫

|ξ|≤1

f(wν) dξ → 0

Resta apenas verificar o caso quando |ξ| ≥ 1. Do Lema 8.7 concluimos quepara todo α > 0 existe cα para os quais teremos

Re f(wν(ξ)) ≥ −α|wν(ξ)|2 − cα

q∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

∑

j,k

aijkwνj

ξk|ξ|

∣∣∣∣∣∣

2

Apois integrar sobre RN teremos

∫

RN

f(wν(ξ)) dξ ≥ −α∫

RN

|wν(ξ)|2 dξ − cα

∫

RN

q∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

∑

j,k

aijkwνj

ξk|ξ|

∣∣∣∣∣∣

2

dξ.


Usando (8.8) segue que

lim inf

∫

RN

f(wν(ξ)) dξ ≥ −α lim sup

∫

RN

|wν(ξ)|2 dξ.

Como α e arbitrario e wν e limitado em L2 teremos

lim infν→∞

∫

RN

f(wν(ξ)) dξ ≥ 0.

Que e a desigualdade desejada

8.6 Teorema do divergente - rotacional

Examinemos de perto algumas aplicacoes do Teorema anterior

Exemplo 8.6.1 Encontrar a maior classe de funcoes quadraticas contınuasrespecto seguinte convergencia

• Sejam uν , vν : Ω ⊂ R2 → R tais que

(uν , vν) (u, v) fraco em L2(Ω) × L2(Ω)

∂uν

∂x, ∂vν

∂ylimitado em L2(Ω)

•

Primero caraterizaremos o espaco Λ, depois encontraremos todas as funcoesquadraticas que se anulam em Λ. We first construct the Para isto denotemospor B ao operador

B(λ, ξ) := (λ1ξ1, λ2ξ2).

Lembrando a definicao de Λ teremos

Λ :=λ ∈ R2; ∃ξ ∈ R2, tal que B(λ, ξ) := 0

.

Tomemos λ ∈ Λ, entao existe ξ 6= 0 tal que

λ1ξ1 = λ2ξ2 = 0. (8.9)

Como ξ1 6= 0 ou ξ2 6= 0, entao λ1 6= 0 ou λ2 6= 0. Portanto uma das compo-nentes de λ deve ser nula. Reciprocamente, se uma das componentes de λ ezero, por exemplo λ1, entao existe ξ = (1, 0) satisfazendo (8.9), entao λ ∈ Λ.Portanto, podemos escrever Λ como

Λ =λ = (λ1, λ2) ∈ R2; tal que λ1 = 0, or λ2 = 0

.

8.6. Teorema do divergente - rotacional 225

Portanto a maoir classe de funcoes que se anulam em Λ e todo multiplo escalarda funcao

f(x, y) = xy.

Com isto, temos provado o seguinte Corolario

Corolario 8.6.1 Denotemos por uν, vν sequencias satisfazendo

uν, vν : Ω ⊂ R2 → R

(uν, vν) (u, v) fraco em L2(Ω) × L2(Ω)

∂uν

∂x,

∂vν

∂ylimitado em L2(Ω)

entao teremos que

uνvν uv em D′(Ω)

Exemplo 8.6.2 Encontrar a maoir classe de funcoes quadraticas que sejamcontınuas respecto a seguinte convergencia

• uν, vν : Ω ⊂ Rn → Rn tais que

(uν , vν) (u, v) fraco em [L2(Ω)]n × [L2(Ω)]n

•( div uν, curl vν) limitado em L2(Ω) × [L2(Ω)]n

Como no exemplo 8.6.1 para encontrar o conjunto Λ, denotamos por B aseguinte forma bilinear

B(λ, µ, ξ) :=

n∑

k=1

ξkλk , ξiµj − ξjµi︸︷︷︸n componentes

Tomemos λ ∈ Λ, entao existe ξ 6= 0 tal que

n∑

k=1

ξkλk = 0, ξiλj − ξjµi = 0,

isto e equivalente a

λ ⊥ ξ eξiµi

=ξjµj

⇔ µ ‖ ξ


Portanto (λ, µ) ∈ Λ se e somente se λ ⊥ µ isto e

Λ = (λ, µ) ∈ Rn × Rn; tal que λ ⊥ µFinalmente, a maior classe de funcoes que se anulam sobre Λ sao multiplosescalares da funcao

f(x1 · · ·xn, y1 · · ·yn) =

n∑

i=1

xiyi

Portanto temos mostrado o Lema do Divergente Rotacional

Corolario 8.6.2 Div-curl Lema.- Denotemos por uν , vν : Ω ⊂ Rn → Rn talque

(uν , vν) (u, v) fraco em [L2(Ω)]n × [L2(Ω)]n

(div uν, curl vν) limitado em L2(Ω) × [L2(Ω)]n

entao teremos que

uν · vν u · v em D′(Ω)

8.7 Exercicios

1. Construa um funcional A-quase convexo que nao seja convexo na direcaode Λ

2. Sejam v, w : R2 → R e denotemos por A ao operador dado por

A(v, w) =

(a∂v

∂x+ b

∂w

∂y, a∂v

∂x− b

∂w

∂y

)

Encontre Λ

3. Com as mesmas hipoteses que no exercicio 2, construa uma funcao quadraticaque seja linear na direcao de Λ pero que nao seja uma funcao linear.

4. Suponhamos que a sequencia de funcoes uν satisfaz

uνt e uν

x limitadas L2(Ω),

uνtt − uν

xx = fν ;

onde fν e limitada em L2(Ω). Entao mostre que

limν→∞

∫

Ω

|uνt |2 − |uν

x|2 dxdt =

∫

Ω

|ut|2 − |ux|2 dxdt

8.7. Exercicios 227

5. Suponhamos que para toda funcao f tal que |f(x)| ≤ c + |x|p, e todasequencia uν satisfazendo

uν → u fraco em Lp(Ω)

Auν limitado em L2(Ω)m

tenhamos que

lim inf

∫

D

f(uν ) dx ≥∫

D

f(u) dx

Entao f e uma funcao A-quase convexa.

6. Faca uma generalizacao do Corolario 8.6.1 para o caso n-dimensional.

7. Mostre que o funcional

||v||2∗ :=

∫

Ω

‖curl v‖2 dx+

∫

Ω

|div v|2 dx

e uma norma em [H10(Ω)]3 equivalente a sua norma natural


Capıtulo 9

Aplicacoes

9.1 Desigualdades variacionais

Compacidade compensada aplicada as desigualdades variacionaisNeste capıtulofaremos uso do metodo de compacidade compensada para mostrar existenciade solucoes para diferentes desigualdades variacionais de evolucao

9.2 Problema de Signorini em elasticidade

Estudaremos nesta secao o problema de obstaculo em elasticidade unidimen-sional. A equacao que modela este problema e dado por

utt − uxx = f, em (0, 1)× (0, T ). (9.1)

Com as seguintes condicoes de contorno

u(0, t) = 0, (9.2)

u(1, t) ≤ g, ux(1, t) ≤ 0, (u(1, t) − g)ux(1, t) = 0, (9.3)

e a condicao de valor inicial

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (9.4)

9.3 Existencia de solucoes fracas

Para mostrar a existencia de solucoes fracas introduzimos os seguintes conjuntos

229

230 Capıtulo 9. Aplicacoes

V = η ∈ H1(0, 1); η(0) = 0 (9.5)

eK = η ∈ V ; η(1) ≤ g. (9.6)

Assumiremos que os dados iniciais satisfazem

(u0, u1) ∈ K × L2(0, 1); f ∈ H1(0, T ;L2(0, 1)) (9.7)

A formulacao variacional do sistema anterior e equivalente a encontrar umafuncao u satisfazendo

u ∈ W 1,∞(0, T ;L2(0, 1))∩ L∞(0, T ;K)

∫ 1

0

utt(v − u) dx+

∫ 1

0

ux(vx − ux) dx ≥∫ 1

0

f(v − u) dx,

para toda v ∈ H1((0, T ) × (0, 1)) tal que v(., t) ∈ K.

Para mostrar a existencia de solucoes usaremos o metodo chamado de Pe-nalizacao, isto e para todo ε > 0, encontraremos uma solucao u satisfazendo

u ∈ W 2,∞(0, T ;L2(0, 1))∩ L∞(0, T ;K)

uxt, uxx ∈ L∞(0, T ;L2(0, L)) (9.8)

e tambem

∫ 1

0

uttv + uxvx dx =

∫ 1

0

fv dx− 1

ε(u(1, t) − g)+v(1, t)

−εut(1, t)v(1, t); (9.9)

para todo v ∈ H1((0, T ) × (0, 1)), com v(0, t) = 0. Para mostrar a existenciade solucoes utilizaremos os seguintes Lemas.

Lema 9.3.1 Suponhamos que uk∞k=1 e uma sequencia de funcoes tais que

uk∗ u em L∞(0, T ;Hβ(0, 1)

∂tuk ∂tu em L2(0, T ;Hα(0, 1))

onde −1 ≤ α < β ≤ 1. Entao teremos que

uk → u em C([0, T ];Hr(0, 1))

para r < β.

9.3. Existencia de solucoes fracas 231

Lema 9.3.2 Suponhamos que

(u0, u1) ∈ [H2(0, 1)∩K] ×H10 (0, 1). (9.10)

and f satisfazendo (9.7). Entao existe uma solucao de (9.9), satisfazendo (9.8).

Demonstracao.- Denotemos por U

U = u− u0(x) − tu1(x), (9.11)

eF = f + u0,xx + tu1,xx (9.12)

Portanto a equacao (9.9) e equivalente a

∫ 1

0

Uttv + Uxvx dx =

∫ 1

0

Fv dx− 1

ε(U(1, t) − g)+v(1, t)

−εUt(1, t)v(1, t), (9.13)

para toda v ∈ H1((0, T ) × (0, 1)), com v(0, t) = 0. Para mostrar a existenciade solucoes para a equacao (9.9) utilizaremos o metodo de Galerkin.

Seja zj∞j=1 ⊂ C∞([0, 1]) uma base ortonormal de V e denotemos porV m = [z1, . . . , zm] o espaco generado pelos primeiros m vectores da base.Tomemos Um tal que para todo t ≥ 0,

Um =

m∑

j=1

cj(t)zj(x) ∈ Vm (9.14)

O problema aproximado e dado por

∫ 1

0

Umtt zj dx+

∫ 1

0

Umx zj,x dx = (9.15)

=

∫ 1

0

Fzj dx− 1

ε(Um(1, t)− g)+zj(1) − εUm

t (1, t)zj(1)

Com as seguintes condicoes iniciais

Um(x, 0) = 0, Umt (x, 0) = 0, 0 < x < 1, (9.16)

E bem conhecido que existe somente uma solucao Um de (9.15) dado por (9.14)definido sobre (0, Tm) para algum Tm > 0. Multiplicando a equacao (9.15) porc′j(t) e somando de j = 1, . . . , m teremos


1

2

d

dt∫ L

0

|Umt |2 + |Um

x |2 dx+1

ε|(Um(1, t)− g)+|2 + ε|Um

t (1, t)|2

=

∫ L

0

F Umt dx. (9.17)

Usando a desigualdade de Gronwall segue que

∫ L

0

|Umt (., t)|2 + |Um

x (., t)|2 dx ≤ C, ∀ t ≥ 0, (9.18)

|(Um(1, t)− g)+|2 ≤ Cε, ∀ t ≥ 0, (9.19)

onde C e uma constante independente de m e ε. Podemos portanto extraeruma subsequencia de Um, a qual denotaremos da mesma forma, tal que

Um ∗ U em W 1,∞(0, T ;L2(0, 1))

Derivando a equacao (9.15) com respecto a t, e repetindo o mesmo razonamentoanterior teremos

1

2

d

dt∫ L

0

|Umtt |2 + |Um

xt |2 dx+ ε|Umtt (1, t)|2 (9.20)

+1

ε[(Um(1, t) − g)+]tU

mtt (1, t) = (Ft, U

mtt ).

Tomando t = 0 em (9.15), multiplicando por c′′j (0) e somando sobre j, teremos

∫ 1

0

|Umtt (x, 0)|2 dx =

∫ 1

0

F (x, 0)Umtt (x, 0) dx

esta ultima identidade implica que, Umtt (x, 0) e limitado em L2(0, 1). Por outro

lado, de (9.19) segue que

∣∣∣Um(1, t) − g+t

∣∣∣ ≤ c|Umt (1, t)|.

Usando a desigualdade de Gronwall segue que

∫ 1

0

|Umtt |2 + |Um

xt |2 dx+

∫ T

0

ε|Umtt (1, t)|2 dt ≤ Cε. (9.21)

onde Cε e uma constante positiva dependendo apenas de ε. Por tanto existeuma subsequencia de Um, Θm, as quais a seguiremos denotando da mesmaforma, que convirgem fraco estrela.


Estamos agora em condicoes de estabelecer o resultado de existencia eregularidade do problema penalizado (9.9). De (9.15) temos que

∫ T

0

∫ 1

0

Umtt v dx dt+

∫ T

0

∫ 1

0

Umx vx dx dt (9.22)

=

∫ T

0

∫ 1

0

Fv dx dt− 1

ε

∫ T

0

(Um(1, t) − g)+v(1, t) dt− ε

∫ T

0

Umt (1, t)v(1, t) dt.

Fazendo m→ +∞ para ε fixo, temos

∫ T

0

∫ 1

0

Uttv dx dt+

∫ T

0

∫ 1

0

Uxvx dx dt (9.23)

=

∫ T

0

∫ 1

0

Fv dx dt− 1

ε

∫ T

0

(U(1, t) − g)+v(1, t) dt− ε

∫ T

0

Ut(1, t)v(1, t) dt.

para todo v ∈ V m0 , w ∈ Wm0 , m0 < +∞, w(x, T ) = 0. Como zj∞j=1 e uma

base de V , a relacao (9.23) e valida para todo v ∈ H1((0, T ) × (0, 1)) tal quev(0, t) = 0. De (9.21) e do Lema 9.3.1 teremos

Um → U em C([0, T ];Hr(0, 1)), ∀r < 1.

Como r > 12 implica que Hr(0, 1) ⊂ C([0, 1]) teremos

Um(1, t) → U(1, t) in C([0, T ]),

que implica

(Um(1, t) − g)+ → (U(1, t) − g)+ in C([0, T ]).

De onde segue a nossa conclusaoEstamos agora em condicoes de mostrar a existencia de solucoes do prob-

lema de obstaculo. Suponhamos que u0 ∈ V , u1 ∈ L2(0, 1) e θ0 ∈ L2(0, 1).Primero definiremos o que entenderemos por solucao do problema (9.1)–(9.4).

Definicao 9.3.1 Diremos que u e uma solucao fraca de (9.1) se

u ∈W 1,∞(0, T ;L2(0, 1)) ∩ L∞(0, T ;K), (9.24)

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (9.25)

−∫ T

0

∫ 1

0

ut(vt − ut) dx dt+

∫ T

0

∫ 1

0

ux(vx − ux) dx dt (9.26)


− < ut(·, T ), v(·, T )− u(·, T ) > + < u1, v(·, 0)− u0 >≥∫ T

0

∫ 1

0

f(v − u) dx dt

para todo v ∈ H1((0, T ) × (0, 1)) tal que v(·, t) ∈ K, para todo t > 0.

Denotemos por uε0 , uε

1 os dados iniciais satisfazendo (9.10) tais que

(uε0, u

ε1) → (u0, u1) in V × L2(0, 1).

entao teremos que uε satisfaz

−∫ T

0

∫ 1

0

uεt(vt − uε

t) dx dt+

∫ T

0

∫ 1

0

uεx(vx − uε

x) dx dt (9.27)

< uεt(·, T ), v(·, T )− uε(·, T ) > − < uε

1, v(·, 0)− uε0 >

=

∫ T

0

∫ 1

0

f(v − uε) dx dt−∫ T

0

[1

ε(uε(1, t)−g)+ +εuε

t (1, t)](v(1, t)−uε(1, t)) dt,

para todo v ∈ L2(0, T ;K) ∩ H1((0, T ) × (0, 1)). Antes de mostrar o teoremade existencia enunciaremos o seguinte Lema

Lema 9.3.3 Seja uε uma sequencia de funcoes em H1((0, T ) × (0, 1)) satis-fazendo as seguintes propriedades

uε u em H1 fracamente ε→ 0, (9.28)

∫ T

0

∫ 1

0

|uεtt − uε

xx|2 dxdt ≤ C, ∀ε ≥ 0, (9.29)

∫ 1

0

|uεt(·, t)|2 + |uε

x(·, t)|2 dx ≤ C, ∀t ∈ [0, T ], ∀ε ≥ 0, (9.30)

entao teremos

limε→0

∫ T

0

∫ L

0

|uεt |2 − |uε

x|2 dx dt =

∫ T

0

∫ L

0

|ut|2 − |ux|2 dx dt (9.31)

Demonstracao.- Tomemos 0 < δ0 < 12 fixo, e denotemos por p(x) a uma

funcao suave nao decrescente igual a −1 para x ∈ [0, δ) e 1 para x ∈ (1 − δ, 1].Como uε

tt ∈ L2(0, T ;L2(0, 1)) de (9.29) segue que uεxx ∈ L2. Portanto para

todo δ < δ0 , teremos


−∫ T

0

∫ 1−σ

σ

uεxxpu

εx dx dt = −1

2

∫ T

0

(uεx(1 − σ, t))2 + (uε

x(σ, t))2 dt (9.32)

+

∫ T

0

∫ 1−σ

σ

1

2p′|uε

x|2 dx dt

e

∫ T

0

∫ 1−σ

σ

uεttpu

εx dx dt =

∫ 1−σ

σ

uεt(x, T )p(x)uε

x(x, T ) − uεt (x, 0)p(x)uε

x(x, 0) dx

−1

2

∫ T

0

(uεt (1 − σ, t))2 + (uε

t (σ, t))2dt+

∫ T

0

∫ 1−σ

σ

1

2p′|uε

t |2dxdt(9.33)

somando as identidades (9.32) e (9.33) temos

1

2

∫ T

0

[(uεt(1 − σ, t))2 + (uε

t (σ, t))2 + (uε

x(1 − σ, t))2 + (uεx(σ, t))2] dt

=

∫ T

0

∫ 1−σ

σ

(uεtt − uε

xx)puεx dx dt

+

∫ T

0

∫ 1−σ

σ

1

2p′(uε

t)2 + (uε

x)2 dx dt

+

∫ 1−σ

σ

uεt(x, T )p(x)uε

x(x, T )− uεt(x, 0)p(x)uε

x(x, 0) dx,

De (9.29)–(9.30) segue que

1

2

∫ T

0

[(uεt(1 − σ, t))2 + (uε

t (σ, t))2 + (uε

x(1 − σ, t))2 + (uεx(σ, t))2] dt ≤ C,

onde C e uma constante independente de δ. Integrando com respecto a σ sobre[0, δ) com δ < 1

2temos

∫ T

0

∫

(0,δ)∪(1−δ,1)

|uεx|2 + |uε

t |2 dx dt ≤ Cδ. (9.34)


denotemos por

Uε = (uεt ,−uε

x), W ε = (uεt , u

εx)

Como

div Uε = uεtt − uε

xx e limitado em L2((0, 1) × (0, T ))

curl W ε = 0

Do Lema de Divergente Rotacional segue que

|uεt |2 − |uε

x|2 → |ut|2 − |ux|2 in D′((0, 1) × (0, T )) (9.35)

agora escolhemos η ∈ C∞0 ((0, 1) × (0, T )), 0 ≤ η ≤ 1, η ≡ 1 em (δ, 1 − δ) ×

(δ, T − δ) entao teremos

∣∣∣∣∣

∫ T

0

∫ 1

0

|uεt |2 − |uε

x|2 dx dt−∫ T

0

∫ 1

0

|ut|2 − |ux|2 dx dt∣∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣

∫ T

0

∫ 1

0

|uεt |2 − |uε

x|2(1 − η) dx dt

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣

∫ T

0

∫ 1

0

|ut|2 − |ux|2(1 − η) dx dt

∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣

∫ T

0

∫ 1

0

|uεt |2 − |uε

x|2η dx dt−∫ T

0

∫ 1

0

|ut|2 − |ux|2η dx dt∣∣∣∣∣

de (9.30) e (9.34) segue que

∣∣∫ T

0

∫ 1

0

|uεt|2 + |uε

x|2(1 − η) dxdt∣∣ ≤ Cδ

portanto obtemos

limε→0

∣∣∣∣∣

∫ T

0

∫ 1

0

|uεt |2 − |uε

x|2 dx dt−∫ T

0

∫ 1

0

|ut|2 − |ux|2 dx dt∣∣∣∣∣ ≤ Cδ


Agora estamos em condicoes de mostrar o terorema de existencia de solucoespara o problema de obstaculo.

Teorema 9.3.1 Seja u0 ∈ V , u1 ∈ L2(0, 1) e f,∈ H1(0, T, L2(0, 1)) entaoexiste uma solucao fraca de (9.1).


Demonstracao.- Mostraremos que as desigualdades (9.18) permanecen validasquando colocamos ε no lugar de m, para dados iniciais uε

0, uε1, limitados em

V e L2(0, 1) respectivamente. Note que uε, satisfaz a equacao (9.1) com asseguintes condicoes de contorno

uεx(1, t) = −1

ε(uε(1, t)− g)+ − εuε

t (1, t), (9.36)

uε(0, t) = 0. (9.37)

De (9.9) temos

∫ 1

0

uεttv + uε

xvx dx =

∫ 1

0

fv dx− 1

ε(uε(1, t) − g)+v(1, t) − εuε

t (1, t)v(1, t);

(9.38)para todo v ∈ H1((0, T ) × (0, 1)). Tomando v = uε

t em (9.38) temos

1

2

d

dt

∫ 1

0

|uεt |2 + |uε

x|2 dx+1

ε|(uε(1, t)− g)+|2

+ ε|uε

t(1, t)|2 = (f, uεt ),

(9.39)

Usando a desigualdade de Gronwall, podemos ver que existe uma subsequenciade uε satisfazendo

uε ∗ u em L∞(0, T ;H1(0, 1)),

uεt

∗ ut em L∞(0, T ;L2(0, 1)).

De (9.38) concluimos queuε

tt − uεxx = f. (9.40)

Usando (9.40) e como f ∈ L2(0, T ;L2(0, 1)) das convergencias anteriores con-cluimos que

uεtt utt in L2(0, T ;H−1(0, 1))). (9.41)

Do Lema 9.3.1 temos

uεt → ut em C([0, T ];H−r(0, 1))) (9.42)

onde r > 0. Tambem temos

uε → u in C([0, T ];Hα(0, 1))

onde α < 12 . Tomando α = r < 1

2 segue que

uεt(·, T ) → ut(·, T ) em H−r(0, 1),


uε(·, T ) → u(·, T ) em Hr(0, 1),

portanto temos que

< uεt(·, T ), v(·, T )− uε(·, T ) >H−r×Hr → < ut(·, T ), v(·, T )− u(·, T ) >H−r×Hr

(9.43)e ainda

< uε1(·), v(·, 0)− uε

0(·) >→< u1(·), v(·, 0) − u0(·) > . (9.44)

Para mostrar a solucao do problema de obstaculo, deacordo com a equacao(9.27) temos que pasar ao limite na seguinte expressao

I1 :=

∫ T

0

∫ 1

0

| uεt |2 − |uε

x|2 dx dt

I2 := β(uε(1, t))

I3 :=1

ε(uε(1, t) − g)+(v(1, t) − uε(1, t))

Os outros termos sao simples. Do Lema 9.3.3 temos que

limε→0

I1 =

∫ T

0

∫ 1

0

| ut|2 − |ux|2 dx dt

Respeito ao termo I2, temos que uε converge fraco em H1((0, T )× (0, 1)) queuimplica uε → u forte em C([0, T ];Hα(0, 1)), α < 1. Para α > 1

2 temos queHα(0, 1) ⊂ C([0, 1]) com imersao compacta, portanto teremos

uε(1, .) → u(1, .) forte em C([0, T ])

Para o termo I3 temos

I3 =1

ε

∫ T

0

(uε(1, t) − g)+uε(1, t) dt− 1

ε

∫ T

0

(uε(1, t) − g)+v(1, t) dt

=1

ε

∫ T

0

[(uε(1, t) − g)+]2 dt− 1

ε

∫ T

0

(uε(1, t) − g)+(v(1, t) − g) dt

≥ 0

como v(1, t) ≤ g, v(·, t) ∈ K e −1ε (uε(1, t) − g)+(v(1, t) − g) ≥ 0. De onde

obtemos o resultado

Apendice A

Decomposicao de campos

vetoriais

Provaremos aqui que o vetor deslocamento pode ser decomposto em duaspartes: selenoidal e irrotacional, cujas correspondentes energias decaem parazero com taxas que dependem da regularidade dos dados inicias. A seguir esta-beleceremos as condicoes para as quais esta decomposicao e valida. Denotemospor α = (α1, ..., αn) ∈ Nn, x = (x1, ..., xn) ∈ Rn e por

|α| =

n∑

i=1

αi; xα = xα11 xα2

2 · · ·xαnn ; ∂α = (

∂

∂x1)α1 · · · ( ∂

∂xn)αn

Definamos por U(x) a funcao

U(x) =

12π ln |x| se n = 2

1(n−2)σn|x|n−2 se n > 2

onde σn representa a area da bola unitaria do Rn. E bem conhecido que asolucao da equacao

∆u = f em Rn (A.1)

e dado por

u(x) =

∫

RN

U(x− ξ)f(ξ)dξ

Sempre que f seja uma funcao contınua.

239

240 Apendice A. Decomposicao de campos vetoriais

Observacao A.0.1 Se F ∈ L1(Rn) ∩ Ls(Rn) e φ, ψ pertence a Ls(Rn) eL1(Rn) respectivamente entao temos que

φ ∗ F ∈ Ls(Rn) e ψ ∗ F ∈ Ls(Rn)

mais ainda, a desigualdade Young estabelece

∫

RN

|φ ∗ F |sdξ1/s

≤∫

RN

|φ|sdξ1/s∫

RN

|F |dξ

∫

RN

|ψ ∗ F |sdξ1/s

≤∫

RN

|ψ|dξ∫

RN

|F |sdξ1/s

em particular,

φ+ ψ ∗ F ∈ Ls(Rn)

e ainda, ∫

RN

|φ+ ψ ∗ F |sdξ1/s

≤∫

RN

|φ|sdξ1/s ∫

RN

|F |dξ

+

∫

RN

|ψ|dξ∫

RN

|F |sdξ1/s

Lema A.0.4 Suponhamos que v seja uma funcao contınua satisfazendo ∂αv ∈Lp(R2) para |α| = 1, entao as seguintes desigualdades sao validas

|v(x)| ≤ |v(0)| + 8p

p− 2|x|1−2/p

(

∫

R2

|∇v|pdξ)1/p

Demonstracao.- Consideremos a identidade

v(ξ) − v(x) =

∫ 1

0

∇v(tξ + (1 − t)x).[ξ − x]dt

integrando sobre a bola B de centro x de raio 12 |x− y| e fazendo a mudanca

de variavel y = t(ξ − x) + x obtemos

∣∣∣∣∫

B

v(ξ)dξ − π

4|x− y|2v(x)

∣∣∣∣ ≤∫

B

∫ 1

0

|∇v(tξ + (1 − t)x).[ξ − x]|dt dξ

≤ |x− y|∫

B

∫ 1

0

|∇v(t(ξ − x) + x)|dt dξ.

≤ |x− y|∫ 1

0

t−2

∫

tD

|∇v(ξ)|dξdt (A.2)

241

Onde D e o disco de centro no origem e raio t|x− y|. Como t ≤ 1 e tD ⊆ D,segue que

∫

tD

|∇v(ξ)|dξ ≤ π1/p′ |x− y|2/p′t2/p′

(

∫

D

|∇v(ξ)|pdξ)1/p

que junto com (A.2) nos levam a

∣∣∣∣∫

B

v(ξ)dξ − π

4|x− y|2v(x)

∣∣∣∣ ≤ π1/p′ p

p− 2|x− y|1+2/p′

(

∫

D

|∇v(ξ)|pdξ)1/p

intercambiando os papeis de x e y e aplicando a desigualdade do trianguloobtemos

π

4|x− y|2|v(x) − v(y)| ≤

∣∣∣∣∫

B

v(ξ)dξ − π

4|x− y|2v(x)

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∫

B

v(ξ)dξ − π

4|x− y|2v(y)

∣∣∣∣

de onde segue

|v(x) − v(y)| ≤ 8p

p− 2|x− y|1−2/p(

∫

D

|∇v(ξ)|pdξ)1/p (A.3)

Tomando y = 0 e usando novamente a desigualdade do triangulo segue nossoresultado.

Nos seguintes lemas estabeleceremos resultados de regularidade para a solucaoda equacao (A.1).

Lema A.0.5 Seja f uma funcao satisfazendo

f ∈ C(R2), o(f) = o(|x|−θ) quando |x| → +∞; θ > 2, para n = 2

entao existe uma funcao contınua u com ∂αu ∈ H1(R2) para |α| = 1, satis-fazendo (A.1). Finalmente, se

f ∈ L1(Rn) ∩ Lp(Rn) para n ≥ 3

onde p ∈ maxq, q′, q > n/n− 2 e 1q + 1

q ′ = 1. Entao existe uma solucao u de

(A.1) satisfazendo u ∈ Lq(Rn); ∂αu ∈ H1(Rn), para|α| = 1.

Demonstracao.- Denotemos por fν a convolucao em Rn, fν = ρν ∗ f , onde ρν

e a funcao regularizante satisfazendo


ρν(−x) = ρν (x),

∫

RN

ρν(ξ)dξ = 1 e ρν(x) = 0 se |x| ≥ 1

ν.

E bem conhecido que fν converge para f em Lr para todo r ≥ 1, para f ∈ Lr.Note que a sequencia (uν)ν∈N definida como

uν(x) =

∫

RN

U(x− ξ)fν(ξ)dξ,

satisfaz a equacao

∆uν = fν . (A.4)

De onde facilmente segue

∫

RN

|∇uν(x)|2dx ≤∫

RN

|uν||fν(x)|dx (A.5)

∫

RN

|∆uν(x) − ∆uµ(x)|2dx ≤∫

RN

|fν(x) − fµ(x)|2dx (A.6)

Das hipoteses sobre f temos que (fν )ν∈N e uma sequencia de Cauchy emL2(Rn) e portanto tambem (∆uν)ν∈N. Em consequencia para provar que∂αu ∈ H1(Rn) para |α| = 1, temos apenas que mostrar que ∂αu ∈ L2(Rn).Para isto e suficiente mostrar que o lado direito de (A.5) e limitado. Primeroconsideraremos o caso n = 2, para o qual a derivada da funcao uν satisfaz

| ∂∂x i

uν(x) − ∂

∂x iuµ(x)| ≤ 1

2π

∫

RN

|x− ξ|−1|fν(ξ) − fµ(ξ)|dξ

As hipoteses sobre f implicam que f ∈ Lr(R2), ∀r ≥ 1. Como θ > 2, existep > 2 tal que θ−(1− 2

p ) > 2. Aplicando a observacao A.0.1 para ψ = χ|ξ|−1, φ =

χc|ξ|−1, F = fν − fµ e s = p, onde χ e χc denotam as funcoes caracteristicassobre a bola B(0, 1) e seu complemento respectivamente, temos que

x 7→∫

RN

|x− ξ|−1|fν(ξ) − fµ(ξ)|dξ ∈ Lp(R2)

portanto

∂

∂x iuν(x) ∈ L

p(R2) ∀ν ∈ N

e

∫

R2

| ∂∂x i

uν(x) − ∂

∂x iuµ(x)|pdx

1/p

≤

243

1

2π

∫

R2

χ|ξ|−1dx

∫

R2

|fν − fµ|pdx1/p

+

1

2π

∫

R2

χc|ξ|−pdx

1/p

∫

R2

|fν−fµ|dx

consequentemente (∂uν/∂xi)ν∈N e uma sequencia de Cauchy em Lp(Rn), por-tanto limitada. Aplicando o lema A.0.4 a uν(x) − uµ(x) obtemos

|uν(x) − uµ(x)| ≤ |uν(0) − uµ(0)| + C|x|a∫

R2

|∇uν(ξ) −∇uµ(ξ)|pdξ1/p

onde a = 1 − 2p . Para provar que (uν)ν∈N e uma sequencia de Cauchy em

C(RN ) somente necesitamos provar que a sequencia numerica (uν(0))ν∈Ne

convergente, pero isto segue imediato da definicao de uν e das hipoteses sobref , portanto existe uma funcao contınua u tal que

uν → u uniforme em conjuntos limitado de R2,

∂αuν → ∂αu forte em Lp(R2) para p > 2, |α| = 1.

O Lema A.0.4 implica que

|uν(x)| ≤ |uν(0)| + 8p|x|1−2/p

p− 2(

∫

R2

|∇uν(ξ)|pdξ)1/p.

Como o(f) = o(|x|−θ) entao o(fν ) = o(|x|−θ). De fato, considere a identidade

fν(x) =

∫

|ξ|≤ 1ν

ρν(ξ)f(x − ξ)dξ

e aplique as hipoteses sobre f . Portanto temos

o(fνuν) = o(|x|−θ+a) quando x→ ∞,

logo fνuν e limitado em L1(R2) para todo ν ∈ N. Portanto o lado direitode (A.5) e limitado. De onde segue nosso resultado. Consideremos o cason > 2. Provaremos que (∂αuν)ν∈N e limitado em H1(Rn) para |α| = 1. De fato,como χU e χcU pertencem a L1(Rn) e Lq(Rn) onde q > n/n− 2, aplicando aobservacao A.0.1 para ψ = χU, φ = χcU, s = q e F = fν nos levam a

[

∫

RN

|uν(x) − uµ(x)|qdx]1/q ≤

C

∫

RN

|χcU |dx[∫

RN

|fν − fµ|qdx]1/q +C[

∫

RN

|χcU |qdx]∫

R

∫

Rn

|fν − fµ|dx.

Portanto (uν)ν∈N e uma sequencia de Cauchy em Lq(Rn) entao temos queexiste u em Lq tal que


uν → u forte em Lq(Rn)

Como fν converge para f em Lq′(Rn) concluımos que o produto fνuν converge

para fu em L1(Rn), entao de (A.5) segue

∂αuν → ∂αu forte em L2(Rn), |α| = 1.

A demonstracao esta completa

Lema A.0.6 Seja F um campo vetorial em [Hk(Rn)]n tal que o divergente deF , (div F = f) satisfaz as condicoes do Lema A.0.4. Entao podemos decomporF em duas partes, ambas em [Hk(Rn)]n, uma delas um gradiente e a outrauma funcao selenoidal (isto e, com divergente nulo).

Demonstracao.- Do lema A.0.5 existe uma funcao p tal que ∂αp ∈ H1(Rn)para |α| = 1, satisfazendo

∆p = div F em Rn

Como ∆p = div F ∈ Hk−1(Rn) entao temos que ∂αp ∈ Hk(Rn) para todo|α| = 1, e da identidade

F = ∇p+ (F −∇p)obtemos a decomposicao desejada

Indice

Aberto de classe Cm, 117Absorvente, 73

Base, 73Local, 73

Canonica, Projecao, 37Capacidade termica, 91centro de masa, 71Coercivo, 161Compacidade, 152Comportamento Asintotico, 94Condicao

de Dirichlet, 92de Neumann, 92

Condicao de Dirichlet, 159Condicao de Signorini, 169Condicao Pontual, 211Condicao pontual, 208Condutividade termica, 91Conjunto

limitado, 74Absorvente, 73Balanceado, 74compacto, 73Convexo, 6Fechado, 73

Conjuntos(m,p’) polar, 113compactos em Lp, 58

Continuidade Absoluta, 55Convergencia Fraca em L1, 55Convergencia Fraca em Lp , 53Convexa, Estritamente, 16Convexidade e Topologia Fraca, 46

DecaimentoExponencial, 17Polinomial, 17

Decomposicao de campos vetoriais , 227Decomposicao: rotacional e selenoidal, 227Definida negativa, 202

Definida positiva, 202Delta de Dirac, 71Densidade das funcoes C0, 40Derivadas intermediarias, 135Desigualdade

Lp–Clarkson, 42de Clarkson, 12de Holder, 11, 40de Interpolacao, 41de Minkowski, 42de Poincare, 121de Young, 43inversa de Holder, 40de Gagliardo-Nirenberg, 145de Gronwall, 13de Interpolacao, 145de Jensen, 9de Sobolev, 124de Sobolev, Gagliardo, Niremberg,

124Gagliardo-Nirenbergunidimensional,

142Inversa de Minkowski, 42

Desigualdades variacionais elıticas, 168Dirac

Delta, 71Distribuicao, 78

de ordem infinita, 79Temperada, 82Vetorial, 152

Efeito Regularizante, 94Equacao de ondas, 217Equacao do Calor, 91Equacoes Elıticas, 162Espaco

Hs(Γ), 174W s,p(Γ), 196Hausdorff, 73metrico e completo, 20Reflexivo, 37Vetorial Topologico, 73

245

246 Indice

Espaco das funcoes testes, 78Espaco Dual, 28Espaco reflexivo, 37Espaco Topologico, 73Espacos Lp com 0 < p < 1, 66Espacos de Sobolev, 97Espacos localmente convexos, 79Espacos reflexivos, 36Espacos Vetoriais Topologicos, 73

FatouLema, 150

Fecho, 73Frechet, 74Funcao

Convexa, 5Convexa, Estrictamente, 5Estrictamente Convexa, 5Integravel, 149mensuravel, 149simple, 149

Funcao estritamente convexa, 16Funcoes A-quase convexas, 201Funcoes infinitamente diferenciaveis, 75Funcional de Minkowski, 46

Gagliardo-NirenbergDesigualdade, 142, 145

Gauss, 98Gronwall, 13

Hausdorff, 73Heine-Borel, 74

Identidade de Plancherel, 88Interior, 73Interpolacao real, 174Irrotacional, 227

J.U. Kim, 155Jensen

Desigualdade de, 9

Lei de Fourier, 91Lei de Newton, 91Leibniz, 81Lema

Mazur, 51de Fatou, 127de Gronwall, 15

Lema de Fatou, 150Lema de Rieman Lebesgue, 62Limitada

Variacao, 151Localmente compacto, 74Localmente Convexo, 74Localmente Limitado, 74

Metrica, 19Matriz

Hessiana, 7Metrizavel, 74Meyers, 98Minkowski, 66

Normas, 74

Ordem de Uma distribuicao, 79Ordem infinita de uma Distribuicao, 79

Pequenhos deslocamentos, 159Plancherel, 88Principio de Bernoulli, 159Principio de trabalho virtual, 159Principio do Maximo, 94Problema de contato, 169Problema de Signorini, 169, 217Problemas de Obstaculos, 217Projecao Canonica, 37Propriedade de Heine-Borel, 74Propriedade do Cone, 139Propriedade do Segmento, 110Propriedade do segmento, 111Propriedade Uniforme do Cone , 140Propriedade Uniforme do Cone, 139Propriedade Uniforme do cone, 139

Quadratic Function, 203

Radon-Nikodim, 55Reflexivo, 37Reflexivos

Espacos, 36Regularidade

rotacional e selenoidal, 227

Selenoidal, 227Semicontinuidade Inferior, 33, 161Seminormas, 74Semipositiva Definida, 7Serrin, 98

TeoremaConvergencia Dominada, 150da Representacao de Riesz, 52

Indice 247

da representacao de Riesz para Lp,51

de Egorov, 56de Lions Stampachia, 161de Morrey, 129de Rellich-Kondrachov, 133do Traco em Hm(Rn−1), 174do Traco em Lp(Rn−1), 180Bochner, 150de Hanh Banach, 31de Sobolev, Gagliardo, Niremberg,

124Lions, 152Meyers-Serrin, 98Radon-Nikodim, 55

Teorema da Convergencia Dominada, 40Teorema de Lusin, 39Topologia

Forte, 47Fraca, 47

Topologia Fraca, 47Topologia fraca estrela, 79Traco de funcoes em W 1,p , 180Transformada de Fourier, 83Transformada de um distribuicao, 89Transformada Inversa de Fourier, 87

VariacaoLimitada, 151Total, 151

Vizinhanca, 73

248 Indice

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