1

Teoria de Campos

em Cosmologia

Sergio E. Jorás

IF­UFRJ

2

SUMÁRIO✔ Inflação (cold e warm)

● Quadro geral

● Re­aquecimento

● Pré­aquecimento

● Warm Inflation

3

 INFLAÇÃO

4

5

6

7

 Admitindo que       seja homogêneo, podemos 

escrever           como o de um fluido perfeito:

PROJETOR

8

Em um sistema de coordenadas adaptado ao 

observador, isto é:

pode­se escrever

9

10

Parâmetros de slow roll:

11

Interpretação termodinâmica:

12

Um exemplo:

inflação caótica

●  potencial plano:

● slow roll:

● amplitude das perturbações: 

13

Problemas:

1. Campo escalar ?!

BOSON DE HIGGS?!

14

15

2. Como começar?!

● Campo homogêneo a alta TCampo homogêneo a alta T

● Fraco auto­acoplamentoFraco auto­acoplamento

16

3. Como 

terminar?!

17

SLOW ROLL

(RE)AQUECIMENTO

18

(Re)aquecimento

exercício:

19

transferência para radiação:

20

t

Temp

21

(Pre)aquecimento

SLOW ROLL

(PRE)AQUECIMENTO

22

23

24

25

BANDAS DE RESSONÂNCIA

26

27

Warm Inflation

SLOW ROLL

28

29

30

Espectro de perturbação

31

32

warm inflation:

33

Física Transplanckiana*

t

* Brandenberger and Martin, 2003

34

35

36

A. Campo escalar de teste

Tempo conforme:

37

38

B. Perturbações cosmológicas

● Métrica uniforme e homogênea

● Métrica perturbada

39

+ matéria (campo escalar)

Perturbações escalares:

40

Variáveis INdependentes de gauge

41

de Sitter:

42

Perturbações tensoriais:

43

44

C. Mapeando o problema:

45

Dentro do Horizonte:

46

Fora do Horizonte:

+ solução decrescente

47

em de Sitter:

48

WKB

49

?

50

Duas abordagens:

● Modificar condições iniciais

● Modificar relações de dispersão

51

D. Modificar Condições iniciais

• Abordagem usual: vácuo adiabático• Vantagem: sem suposições sobre Física 

trans­Planckiana• Basta definir uma condição “razoável” 

para cada modo ao sair da escala de Planck.

52

53

O que são

condições iniciais

“razoáveis” ?!

54

Vácuo adiabático

• depende de

• em dS, é uma solução exata

55

• vácuo adiabático de ordem zero

• mínima energia

• mínima incerteza

• ...

Cada escolha corresponde a uma determinada

Física trans-Planckiana

56

A amplitude dos efeitos depende de:

57

E. Relações de Dispersão Não­Lineares

58J.M. and R.B., Phys. Rev. D63, 123501 (2001)

59

Expansão em série*

*Martin and Brandenberger, Phys. Rev. D68, 063513 (2003) and D71, 023504 (2005)

60

WKB

61

Rel. Disp. LINEARRel. Disp. LINEAR

62

63

Em progresso, com G. Marozzi (U. Bologna)*:

• estimar a amplitude das perturbações para

esta relação de dispersão em particular;

• vincular os parâmetros usando dados

da RCF

* Proccedings of Les Houches Summer School, 2006

64

CONDIÇÕES INICIAIS:

65

66

67

68

69

70

Λ : lado esquerdoou direito?

71

Lorentz Galileo

De Sitter   Poincaré

5A. Contração de Wigner-Inonu*

* J.Math.Phys. 8 (1967), 1211

72

Geradores de dS*:

* T. Garidi, 2003

73

Representações unitárias irredutíveis

74

Problema: CdS < 0 ?!

Poincaré: massa e spin

dS: Q(1) e Q(2)

75

5B. Deformação da Álgebra

4-MOMENTUM

BOOSTS

ROTAÇÕES

76

77

Kowalski-Glikman, Physics Letters B 499 (2001) 1–8

78

Em progresso, com M.V. Cougo Pinto,

C. Farina e M.J. de Oliveira Neves (UFRJ):

• determinação dos efeitos de tais deformações

na RCF

79

DEFEITOS TOPOLÓGICOS

Alguns Elementos de

Teoria de Campos

1

LAGRANGEANA

L =1

2∂µφ∂µφ − V [φ(x)] (1)

Quando V [φ] = 1

2µ2φ2, obtem-se a equacao de Klein-Gordon:

(∂µ∂µ + µ2)φ = 0 . (2)

Podemos passar ao espaco dos momenta:

−E2 + p2 + µ2 = 0 . (3)

2

Uma regra facil de ser aplicada para a determinacao da massade um campo — sem correcoes quanticas — e calcular aderivada segunda do seu potencial no seu estado de menorenergia. Assim, de modo geral, pode-se dizer que

µ2 =∂2V

∂φ2

∣

∣

∣

∣

∣

φ0

. (4)

3

CAMPO ELETROMAGNETICO

Aµ ≡ (φ, ~A)

Como o potencial vetor define o campo magnetico a menos deum gradiente, a Lagrangeana do campo EM deve ainda serinvariante sob transformacoes do tipo

Aµ −→ Aµ + ∂µΛ . (5)

4

Duas transformacoes consecutivas deste tipo estao relacionadasa uma terceira do mesmo tipo:

∂µΛ1 + ∂µΛ2 = ∂µΛ3 ⇐⇒ Λ1 + Λ2 = Λ3 . (6)

Estas transformacoes de gauge – ou de calibre – formam umgrupo, cuja regra de composicao e a mesma do grupo U(1).

O EM e, portanto, invariante sob U(1).

5

A Lagrangeana que fornece as equacoes de Maxwell do EM e

L ≡ C FµνFµν − jµAµ , (7)

onde C e uma constante (exercıcio!) e

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ (8)

jµ ≡ (ρ,~j) (9)

cujos componontes designam os campos eletrico e magnetico ea densidade e corrente eletricas.

6

Note que um termo de massa, do tipo

1

2m2

γ Aµ Aµ ,

nao e invariante pela transformacao de calibre do EM.

Aµ −→ Aµ + ∂µΛ . (10)

7

MECANISMO DE HIGGS

L =1

2(∂µφ)∗∂µφ − 1

2m2

φ φ∗φ , (11)

onde (·)∗ indica o complexo conjugado.

Note que ela e invariante sob a transformacao

φ → φ exp(ieα),

pertencente ao grupo U(1).

8

φ → φ exp(ieα)

∂µΛ1 + ∂µΛ2 = ∂µΛ3 ⇐⇒ Λ1 + Λ2 = Λ3 .

exp(ieα1) · exp(ieα2) = exp(ieα3) ⇐⇒ α1 + α2 = α3

Quando α e uma constante, a simetria sob U(1) e dita global.

9

Suponhamos agora uma Lagrangeana que acople este campo eo EM, dada por

L = −1

4FµνF

µν + (Dµφ)∗(Dµφ) − V (φ) (12)

onde

V (φ) =λ

4!

(

φ∗φ − a2)

2

(13)

Dµ ≡ ∂µ + ieAµ

10

Figura 1: Potencial com quebra espontanea de simetria para um campo esca-

lar complexo, com a 6= 0. O plano horizontal e definido pelas componentes

real e imaginaria do campo φ. O cırculo, pertencente a este plano, e o vacuo

deste campo.

11

φ(x) → φ(x) exp[ieα(x)] (14)

Aµ(x) → Aµ(x) − ∂µα(x) (15)

Note que esta definicao identifica a constante e com a cargaeletrica, que acopla o campo EM com o campo φ –representando, portanto, uma partıcula carregada eletricamente.

12

PERTURBACOES

φ(x) = a − 1√2

(φR(x) + i φI(x)) (16)

13

Ao redor deste ponto, o potencial dado pela Eq. (13) fica

V (φ) =1

2

λa2

6φ2

R + O(φ3) . (17)

O campo φR possui massa quadrada

m2

R = λa2/6

enquanto que o campo φI nao tem massa.

Este e o chamado boson de Goldstone, e aparece sempre que asimetria do campo e quebrada espontaneamente.

14

O campo de gauge Aµ tambem adquire um termo de massa:Expandindo o termo da derivada covariante e lembrando que omodulo do campo φ no seu estado de vacuo vale a 6= 0,obtemos o termo

e2 a2 AµAµ (18)

o que indica uma massa mA =√

2ea para o campo de gaugeAµ.

15

UNIFICACAO DAS FORCAS FUNDAMENTAIS

E TRANSICOES DE FASE

Vamos utilizar o mecanismo de Higgs para descrever oprocesso de unificacao das forcas fraca (com simetria SU(2)L)e eletromagnetica (U(1)).

Diferenca fundamental: grupos nao-abelianos!

16

∂µ −→ Dµ ≡ ∂µ +i

2gAc

µσc − i

2g′Bµ , (19)

onde ha 4 campos de gauge: tres Acµ (c = 1, 2, 3), associados

ao grupo SU(2), e Bµ, ao U(1).

17

PERTUBACOES

φP =1√2

0

a

(20)

18

O campo φ, como antes, adquire massa mφ = a√

λ/6.

Os valores das massas adquiridas pelos campos de gaugepodem ser obtidos calculando |Dµφ|2 diretamente da expressao(19), o que leva aos termos extras

1

2

a2

4

[

g2(A1

µ)2 + g2(A2

µ)2 + (−gA3

µ + g′Bµ)2]

(21)

na Lagrangeana.

19

Os campos A1

µ e A2

µ sao associados aos bosons vetoriaiscarregados W±

µ , com massa ag/2.

O terceiro termo acima representa o Z0

µ, com massa a/2.

Estes sao os tres mediadores da forca fraca.

Ha um quarto grau de liberdade, pois comecamos com 4campos de gauge. Exigindo-se ortogonalidade ao Z0

µ, obtemosa expressao

Aµ =1

√

g2 + g′2

(

g′A3

µ + gBµ

)

, (22)

que e associado ao foton.

20

Assim, o campo eletromagnetico nao e associado a simetriaU(1) presente no inıcio, mas a que permaneceu apos a quebra.

Indica-se este processo por

SU(2)L ⊗ U(1)Y −→ U(1)EM , (23)

associando a simetria incial a hipercarga.

21

Analogia com Materia Condensada:o Efeito Meissner

22

A principal caracterıstica dos potenciais efetivos que nosinteress e a mudanca no sinal do termo de massa, que dependeda temperatura do sistema:

VT (φ) =1

2m2

T φ2 +σ

3!φ3 +

λ

4!φ4 (24)

23

Figura 2: Comportamento do potencial efetivo V [φ] com a mudanc a pro-

gressiva no sinal do termo de massa para uma transicao de fase de primeira

(a esquerda) e segunda (a direita) ordens.

24

Unificacao:porque, como, quando?

25

• PORQUE:

Figura 3: Esquematizacao do processo de blindagem de uma carga eletrica

positiva em um meio dieletrico.

26

GUT E

g

g

gEM

Fraca

Forte

Figura 4: Variacao das constantes de interacao com a energia. O eixo hori-

zontal se estende por varias ordens de grandeza.

27

• COMO:

Unificacao dos grupos de simetria

SU(2)L U(1)Y SU(3)C

28

• QUANDO:

o universo como um acelerador

29

• GUT

Pelas justificativas apresentadas anteriormente, acredita-seque um grupo de simetria que englobaria as forcas forte eeletrofraca deve ter se dividido nos conhecidosSU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y quando T ∼ 1015 GeV et ∼ 10−36 s.

30

• Eletro-fraca

A transicao eletro-fraca, que separou a forca fraca daeletromagnetica quebrando os gruposSU(2)L ⊗ U(1)Y → U(1)EM , ocorreu em t ∼ 10−10 s, auma temperatura T ∼ 300 GeV . Nesta quebra as partıculasadquirem massa atraves do mecanismo de Higgs.

Nao se sabe, ao certo, qual a ordem desta transicao, masparece ser fracamente de primeira ordem.

Acredita-se que esta transicao seja fundamental para aexistencia de materia atualmente em nosso universo,atraves do mecanismo explicado mais adiante.

31

• Quiral

Dois fenomenos caracterizam o final da epoca dastransicoes, quando t ∼ 10−6 s, e T ∼ 1 GeV : oconfinamento dos quarks e a consequente formacao doshadrons.

Os bosons de Goldstone desta simetria sao os pıons, cujaspequenas massas indicam a validade do raciocınio. Estasimetria nao descreve uma relacao fundamental, e econsequencia apenas dos pequenos valores das massas dostres quarks mais leves (u, d, s).

32

Antes desta transicao, o universo era composto por um plasmade quarks e gluons. Experiencias estao atualmente em curso noRelativistic Heavy Ion Collider (RHIC), em Brookhaven (NY,EUA), para tentar reproduzir este estado da materia.

33

CONDICOES DE SAKHAROV

1. Interacoes que violem a conservacao do numero debarions:De outra forma, um barion seria criado sempre com umanti-barion, e deveria-se imaginar um mecanismo bastanteeficiente para separa-los espacialmente e evitar, assim, suafutura aniquilacao mutua.

2. O sistema deve estar fora do equilıbrio termico:Em equilıbrio, as reacoes que geram a procurada assimetriapodem ser invertidas com a mesma taxa, anulando seuefeito. Isto e alcancado quando as taxas de reacoes saomenores que a taxa de expansao do universo (dada pela

34

constante de Hubble) ou em transicoes de fase de primeiraordem, como as que acontecem em algumas quebras desimetria, dependendo do potencial efetivo.

3. Interacoes que discriminem materia de anti-materia:Ou seja, violacao das simetrias discretas de carga (C) eparidade (P) simultaneamente. Ja observadas emlaboratorio no decaimento do kaon, controlado pelainteracao fraca.

35

Defeitos Topologicos

• transicao de fase

G → H → · · · → SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y

→ SU(3)C × U(1)EM . (25)

36

• Materia Condensada: congelamento de um lago

• Cosmologia:

– quebra espontanea de simetria

– regiao causalmente conectada

– natureza do defeito

37

Paredes Cosmicas

• vacuo tem simetria discreta

L =1

2∂µφ∂µφ − V (φ)

V (φ) =λ

4

(

φ2 − η2)2

ESTADO DE VACUO:

φ = ±η

38

∂µ∂µφ = −V ′(φ)

d2φ

dz2= V ′(φ)

1

2

(

dφ

dz

)2

− V (φ) = cte = 0

z − z0 = ±∫ dφ√

2V (φ)= ±

√

√

√

√

2

λ

∫ dφ

φ2 − η2

39

φ = ∓η tanh

η√

2√2

(z − z0)

40

41

Problemas:

• energia muito grande

• colapso do universo!

42

Tensor Momento-energia para um fuido de paredes

Tµν =1

2φ,µφ,ν −

1

2gµνφ,ρφ

,ρ + gµνV (φ)

43

ρ =λ

4cos−4

η

√

√

√

√

λ

2(z − z0)

px = py = −λ

4η4 cos−4

η

√

√

√

√

λ

2(z − z0)

pz = 0

Tµν = ρdiag(1,−1,−1, 0)

44

Fazendo a media sobre todas as direcoes espaciais:

Tµν = ρdiag(1,−2/3,−2/3,−2/3)

p = −2

3ρ

45

Cordas Cosmicas

L =√−g

[

1

2∂µφ

∗∂µφ − V (φ∗φ)

]

V (φ∗φ) =λ

4

(

φ∗φ − η2)2

ESTADO DE VACUO:

φ = ηeiθ

46

47

Tµν = ρdiag(1,−1/3,−1/3,−1/3)

Vantagens:

• contribuicao energetica sob controle

• cenario para formacao de estruturas

48

49

50

51

52

53

54

Monopolos Magneticos

~φ = (φ1, φ2, φ3)

L =√−g

[

∂µ~φ∂µ~φ − V (~φ · ~φ)

]

V (~φ · ~φ) =λ

4

(

~φ · ~φ − η2)2

55

ESTADO DE VACUO:

~φ · ~φ = η2

56

57

Problemas:

• energia alta: ∼ 1014GeV !!!

G → H → · · · → SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y

→ SU(3)C × U(1)EM . (26)

• ⇒ inflacao

58

GUT

T ∼ 1016GeV ∼ m

ρ ∼ 1045g/cm3

ρ0 ∼ 1013g/cm3 ∼ 1042 · ρc!!

59

Outros defeitos:

• texturas

• hıbridos

60

e os Raios Cosmicos

Ultra High Energy Cosmic Rays (UHECRs)

www.auger.org

• E ∼ 1022eV

• GZK: 1020eV

61

62