Teoria de Planckpara a Radiação de Cavidade

Radiação de Corpo Negro

Teoria Clássica para a Radiação de CavidadeCálculo de Rayleigh-Jeans

Cavidade Radiante (V=a3) com ondas estacionárias: E(x,t)= E0sen(2 x/)sen(2 t)

onde c/

contando ondas no intervalo e d:

N()d (8 a3/c3)2d (1)

De acordo com a lei de equipartição de energia,

por onda <Etotal>= kT (2) onde k é a cte. de Boltzmann

Densidade de Energia T()d= (<Etotal> N()d)/V energia por unidade de volume,

contida em uma cavidade, no intervalo e d.

Ou em termos da radiância RT():

Resultado que ficou conhecido como a Catástrofe do ultravioleta!

kTdc

dT 3

28

kTdc

dc

dR TT 2

22

4)(

Teoria Clássica para a Radiação de CavidadeResultado Clássico X Experiência

Espectro em frequências Espectro em comp. onda

Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeOrigem da Lei de Equipartição de Energia

Distribuição de Boltzmann

tal que P(E)dE seja probabilidade de se encontrar um elemento do sistema, em equilíbrio à temperatura T, com energia entre E e EdE

Calculando a Energia média:

kT

eP

kT/

)(

kTdP

dP

0

0

)(

)(

Teoria de Planck para Radiação de CavidadeA proposta de Planck

Para baixas frequências A teoria clássica prevê resultados

coerentes, e podemos esperar que:

<E> kT ( 0)

Para altas frequências A discrepância poderia ser removida

se, por hipótese:

<E> 0 ( )Planck imaginou que, para as circunstâncias que

prevalecem no caso da radiação de corpo negro, a energia média das ondas estacionárias fosse função da frequência: <E>= f () .

Isto viola a lei de equipartição de energia?

Teoria de Planck para Radiação de CavidadeEnergia: variável contínua X discreta

Sendo E uma variável discreta Assume apenas valores discretos

igualmente distribuídos, ou seja:

E= 0, E, 2E, 3E, 4E ...Como consequência, o cálculo da energia

média passa ser feito por somas ao contrário de integrais, como apresentado anteriormente!

Comparação qualitativa com E << kT E kT com E kT E < kT com E >> kT E << kT

Observa-se que o resultado satisfaz as condições esperadas para os mesmos limites de frequência! E a Lei não é

violada.

Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeHipótese e resultados

Definindo a relação entre E e Função proporcionalidade simples: E h. (sendo h uma cte.)

Satisfaz as exigências da proposta nos limites:

(0) E 0 E kT (clássico)

() E E 0

Recalculando a energia média: para E n h. (n= 0, 1, 2, 3 ...)

Ver a dedução completa no exemplo 1.4

0

0

)(

)(.

n

n

P

P

Resultado de Planck para <E>

E tomando o resultado já conhecido para a contagem N()d , temos:

Resultado de Planck para a radiação do corpo negro, em função das frequências.

Ou, para: RT(ν)dν = (c/4).ρT(ν)dν

1

.

kTh

e

h

de

h

cd

kThT

1

8)(

3

2

de

h

cdR

kThT

1

2)(

2

2

Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeO resultado da teoria comparado à experiência

Calculando em função de : T() é definida de forma que:

T()d = - T() d

Ver demonstração no exemplo 1.5.

Resultados experimentais em completa concordância com a previsão da teoria

para o espectro de corpo negro em qualquer T.

Planck não alterou a distribuição de Boltzmann. Apenas tratou a energia

das ondas eletromagnéticas estacionárias na cavidade radiante

como uma variável discreta.

1

85

kThcT

e

dhcd

Teoria de Planck para Radiação de CavidadeCálculo da constante de Planck

Demonstração das leis empíricas Lei de Stefan-Boltzman RT= T4, = 5,6710-8 W/m2.K4

Lei de Wien maxT= CW , CW= 2,89810-3 m.K

Resultados de Planck (1901)1

h= 6,5510-27 erg.s k= 1,34610-16 erg/grau

Valores atualmente aceitos: h= 6,62610-34 J.s k= 1,38110-23 J/K

1M. Planck, Ann. d. Phys. 4 (1901), p. 553

Teoria de Planck para Radiação de CavidadeO Postulado de Planck

Toda entidade física com apenas um grau de liberdade, cuja

“coordenada” seja uma função senoidal do tempo (tipo OHS),

tem a energia total quantizada. Ou seja, a energia total (E) deve

satisfazer a relação: E= n.h n= 0, 1, 2, 3 ...

sendo a frequência de oscilação, e h a constante de Planck.