Testes em Modelos Weibull na Forma Estendida de Marshall-Olkin · universidade federal do rio grande do norte centro de ciencias exatas e da terra^ programa de pos-graduac˘ ao em

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA APLICADA E ESTATISTICA

Testes em Modelos Weibull na Forma Estendida de Marshall-Olkin

FELIPE HENRIQUE ALVES MAGALHAES

Orientador: Profa. Dra. Dione Maria Valenca

NATAL, FEVEREIRO DE 2012

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA APLICADA E ESTATISTICA

Testes em Modelos Weibull na Forma Estendida de Marshall-Olkin

FELIPE HENRIQUE ALVES MAGALHAES

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica Aplicada e Estatıstica da Uni-

versidade Federal do Rio Grande do Norte (PPGMAE-

UFRN) como parte dos requisitos necessarios para obtencao

do tıtulo de Mestre em Matematica Aplicada e Estatıstica.

Natal, Fevereiro de 2012

“Para Aurino Alves (In Memorian),

Paulo Vitor (In Memorian)

e Rodrigo Sena(In Memorian).”

Agradecimentos

A Deus, acima de tudo.

A minha famılia que me apoiou em toda a minha trajetoria. Em especial ao meu pai Le-

andro, minha mae Fatima, minha irma Aline, por serem exemplos de vida e determinacao,

e a Nega Peta. As minhas avos: De Assis, Lourdes. Aos meus tios e tias: Bel, Cristina,

Francisco, Graca, Jair, Joao, Netinha, Rosario, Socorro, Veronica. A Ada, Ceica,

Junior, Marcia, Marcos, Meire, Normandia. Aos meus primos e primas: Adolfo, Alioxa,

Anaxagoras, Daniel, Daniel (miseravel), Daniele, Decio, Diego, Diego (telebahia), Jen-

derson, Kionara, Lucas, Luiz, Micaela, Moises, Parizot, Pedro, Pepeu, Pitagoras,

Romulo, Sandra, Sinara, Uliana, Wendell e Weskley.

Ao programa de pos graduacao PPGMAE. Em especial a professora e orientadora Dione

que me acolheu como uma mae e que me inspira por ser tao dedicada. Aos professores Andre,

Antonio Roberto, Claudemir, Gurgel, Julia, Marcelo Gomes, Nir, Ronaldo, Rubens

do departamento de matematica. Aos professores Andre Pinho, Bernardo, Carla, Damiao,

Formiga, Jeanete do departamento de estatıstica. Ao Fredy (UFMG) e Juvencio (UFC).

Aos colegas de curso. Em especial a Alysson, Francinario (Nerim), Kaline, Julianne e

os demais nao mencionados. Aos colegas e ex-colegas de trabalho que me apoiaram: Aldeci,

Alcineia, Berginaldo, Celismar, Conceicao, Elias, Freud, Francesco, George, Jose

Roberto, Liziane, Lucia, Marcio, Marlene, Miriam, Pedro, Renereide, Simone, Solange,

Vaneıse, Walker e aos demais nao mencionados.

Aos amigos: Anderson, Andre (Dezito), Anızio, Arthur, Carol, Carol Loureiro,

Carol Barreto, Cesar, Clara, Cacau, Daniel, Danilo, Dona Net, Elvis, Evanimek,

Fabiano, Filipe, Flavio, George, Giovani, Helio, Herica, Jessica, Joao Paulo, Junior

Xavier, Ju Jales, Julio, Karol, Kruell, Leila, Leo, Leo, Levi, Lucas, Manel, Marcosa,

Marquinhos, Myrna, Moises, Natalia, Parcelli, Rafa e Pablo, Raphael Teta, Renato

Portnoy, Ricardo, Rosaly, Tiago Viana, Ulisses, Winston, a galera das peladas do satelite

e da UFRN.

Peco perdao aos que nao foram mencionados!

Amadurecer nada mais e do que

perceber que o mundo nao e cor de rosa.

Resumo

Em analise de sobrevivencia, a variavel resposta e, geralmente, o tempo ate a ocorrencia de um

evento de interesse, denominado tempo de falha, e a principal caracterıstica de dados de sobre-

vivencia e a presenca de censura, que e a observacao parcial da resposta. Associados a essas

informacoes, alguns modelos ocupam uma posicao de destaque por sua comprovada adequacao a

varias situacoes praticas, entre os quais e possıvel citar o modelo Weibull. Distribuicoes na forma

estendida de Marshall-Olkin oferecem uma generalizacao de distribuicoes basicas que permitem

uma flexibilidade maior no ajuste de dados de tempo de vida. Este trabalho apresenta um

estudo de simulacao que compara duas estatısticas de teste, a da Razao de Verossimilhancas e a

Gradiente, utilizando a distribuicao Weibull em sua forma estendida de Marshall-Olkin. Como

resultado, verifica-se apenas uma pequena vantagem para estatıstica da Razao de Verossimil-

hancas.

PALAVRAS-CHAVE: Analise de sobrevivencia. Distribuicao Weibull. Distribuicao de Marshall-

Olkin. Teste da Razao de Verossimilhanca. Teste Gradiente.

Abstract

In survival analysis, the response is usually the time until the occurrence of an event of interest,

called failure time. The main characteristic of survival data is the presence of censoring which

is a partial observation of response. Associated with this information, some models occupy an

important position by properly fit several practical situations, among which we can mention

the Weibull model. Marshall-Olkin extended form distributions offer a basic generalization that

enables greater flexibility in adjusting lifetime data. This paper presents a simulation study that

compares the gradient test and the likelihood ratio test using the Marshall-Olkin extended form

Weibull distribution. As a result, there is only a small advantage for the likelihood ratio test.

KEYWORDS: Suvirval Analisys. Weibull distribution. Marshall-Olkin distribution. Likeli-

hood ratio test. Gradient test.

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Conceitos Basicos de Analise de Sobrevivencia 4

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Distribuicao do tempo de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Funcao densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Funcao de sobrevivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.3 Funcao de risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.4 Funcao de risco cumulativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Relacoes entre as funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Censura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Censura tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.2 Censura tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.3 Censura tipo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Distribuicao de Marshall-Olkin 8

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Principais funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Funcao de Verossimilhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Distribuicao Weibull na Forma Estendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.6 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Testes de Hipoteses 19

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Hipoteses simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1 Teste da Razao de Verossimilhancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.2 Teste Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Hipoteses compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3.1 Estatısticas para o modelo Marshall-Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Simulacao 25

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 A Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Resultados da Simulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.1 Distribuicao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.2 Distribuicao Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Consideracoes Finais e Recomendacoes 37

Referencias bibliograficas 39

A 42

Capıtulo 1

Introducao

A analise de sobrevivencia, de acordo com varios autores (Colosimo e Giolo, 2006; dentre

outros), e uma das areas da Estatıstica que mais cresceu nas ultimas duas decadas do seculo

passado. Os dados coletados ao se aplicar esse tipo de estudo, contem, no mınimo, o tempo

ate a ocorrencia de um evento e a observacao se, de fato, o evento de interesse ocorreu. Assim,

algumas distribuicoes sao classicas na analise de dados de sobrevivencia. Dentre elas podemos

destacar a exponencial, Gamma, log-normal e a Weibull.

Os objetivos de uma analise estatıstica envolvendo dados de sobrevivencia estao geralmente

relacionados, em medicina, a identificacao de fatores de prognostico para uma certa doenca ou

a comparacao de tratamentos em um estudo clınico, enquanto controlado por muitos fatores.

Varios exemplos podem ser encontrados na literatura medica (Botelho, Silva, Cruz, 2009).

De maneira geral e utilizando-se de metodos parametricos, nem sempre e possıvel ajustar

os dados de maneira precisa. Dessa forma, inserir parametros proporciona um ajuste mais

adequado aos dados.

Marshall e Olkin (1997) propoem uma nova forma de introduzir um parametro para expandir

e ampliar uma famılia de distribuicoes, fornecendo novas extensoes das distribuicoes exponencial

e Weibull fazendo com que, por exemplo, a distribuicao exponencial torne-se concorrente das

famılias comumente usadas de dois parametros, famılias como a Weibull, Gamma e log-normal.

O metodo e aplicado para criar uma nova distribuicao Weibull com tres parametros, com mais

flexibilidade nas funcoes de densidade, sobrevivencia e risco. O modelo de Marshall-Olkin es-

tendido consiste em uma nova funcao de sobrevivencia, que denotamos aqui por SMO, baseada

1.1 Objetivos 2

numa funcao de sobrevivencia determinada, S, que sera apresentada a seguir:

H(S(x), α) = SMO(x;α)

sendo α > 0, x > 0 e H e uma transformacao que associa cada funcao de sobrevivencia de uma

distribuicao conhecida a uma nova funcao de sobrevivencia com um parametro adicional α.

Considerando o fato de que o novo parametro foi inserido, e natural que se queira testar se

os dados se ajustam bem numa distribuicao conhecida ou numa forma estendida da mesma.

No seculo passado, tres estatısticas classicas surgiram e possuem destaque: a estatıstica de

teste da razao de verossimilhancas (Neyman e Pearson, 1928), a de Wald (Wald, 1943) e a Score

de Rao (Rao, 1947). O teste da razao de verossimilhanca e, geralmente, o mais usado para se

testar hipoteses relativas a um unico parametro, considerando-se a hipotese nula simples. O

teste Score foi construıdo utilizando a funcao escore que corresponde ao logaritmo da funcao

de verossimilhanca referida na literatura como log-verossimilhanca e avaliada sob a restricao da

hipotese nula, (Rao, 1947). Estas tres estatısticas, sob a hipotese nula e condicoes de regularidade

tem aproximadamente uma distribuicao de qui-quadrado.

Terrell (2002) trouxe uma proposta de uma nova estatıstica, derivada das estatısticas Score

de Rao e Wald modificada (Hayakawa e Puri, 1985). Essa estatıstica, chamada de estatıstica

gradiente, apresenta a vantagem de nao envolver calculo matricial com produto de inversa de

matrizes. Esta estatıstica tambem tem, aproximadamente, uma distribuicao qui-quadrado sob

a hipotese nula.

Em um trabalho recente, Caroni (2010) apresenta uma comparacao por meio de um estudo

de simulacao entre as estatısticas da Razao de Verossimilhanca, Wald e Score de Rao para o

parametro que distingue a distribuicao estendida de uma basica. Como resultado verificou-se

que o teste da razao de verossimilhanca mostrou-se superior aos outros.

1.1 Objetivos

O principal objetivo deste trabalho e comparar por meio de simulacao as estatısticas de teste

da razao de verossimilhanca e gradiente para testar o parametro que distingue a distribuicao

estendida da basica. Alem disso descrevem-se caracterısticas e propriedades do modelo Weibull

na forma estendida de Marshall-Olkin.

1.1 Objetivos 3

O trabalho contempla seis capıtulos, incluindo este. Sao apresentados no Capıtulo 2 alguns

conceitos basicos de analise de sobrevivencia, no Capıtulo 3 a distribuicao de Marshall-Olkin

e as expressoes da distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin, no Capıtulo

4 as estatısticas do teste da razao de verossimilhancas e gradiente e no Capıtulo 5 algumas

simulacoes. Por fim, no Capıtulo 6 encontram-se as conclusoes e algumas sugestoes para

trabalhos futuros.

Capıtulo 2

Conceitos Basicos de Analise de

Sobrevivencia

2.1 Introducao

Analise de Sobrevivencia e a expressao utilizada para designar a analise estatıstica de dados

quando a variavel em estudo representa o tempo desde um instante inicial bem definido ate a

ocorrencia de determinado acontecimento de interesse (Lawless, 2003). Assim sendo, a variavel

em estudo e nao negativa.

O evento de interesse normalmente e chamado de falha. Dessa forma, uma variavel aleatoria

representa tempo ate a falha, que pode ser por exemplo: duracao de uma greve, de uma fiacao

de uma rede eletrica, da vida de um indivıduo, da vida util de equipamento ou ate do tempo de

estudo ate a aprovacao em concurso publico. As observacoes resultantes sao chamadas tempos

de vida.

Uma caracterıstica fundamental em Analise de Sobrevivencia e a existencia de censura, ou

seja, e quando nao e possıvel observar o evento de interesse para determinados indivıduos no

perıodo em que estao em observacao. Outro aspecto importante e que nao podemos assumir nor-

malidade pelo fato de geralmente os dados apresentarem uma distribuicao assimetrica positiva.

Dessa forma nao usamos metodos estatısticos usuais.

2.2 Distribuicao do tempo de vida 5

Neste capıtulo especifica-se alguns aspectos de Analise de Sobrevivencia como: a distribuicao

do tempo de vida, a funcao densidade de probabilidade, a funcao de distribuicao, a funcao de

sobrevivencia, a funcao risco, a funcao risco cumulativo, as relacoes entre suas funcoes e a

censura.

2.2 Distribuicao do tempo de vida

Seja T uma variavel aleatoria (v.a.) nao negativa, absolutamente contınua, com funcao de

distribuicao F , que representa o tempo de vida de um indivıduo e que possui as seguintes funcoes

associadas:

2.2.1 Funcao densidade de probabilidade

Chama-se a funcao densidade de probabilidade, f , a funcao definida por:

f(t) = lim∆t→0

P (t ≤ T < t+ ∆t)∆t

, 0 ≤ t <∞.

Esta pode ser interpretada como a probabilidade da falha ocorrer em um indivıduo no intervalo

(t, t+ ∆t), em que ∆t→ 0.

2.2.2 Funcao de sobrevivencia

A funcao sobrevivencia e definida da seguinte forma:

S(t) = P (T > t), 0 ≤ t <∞.

Essa funcao representa a probabilidade da ocorrencia da falha apos o instante t. Na pratica e a

probabilidade de um indivıduo sobreviver alem do instante t. Note que S(t) = 1− F (t).

2.2.3 Funcao de risco

A funcao de risco e tambem chamada de funcao de taxa de falha e e definida da seguinte

forma:

r(t) = lim∆t→0

P (t ≤ T < t+ ∆t|T ≥ t)∆t

, 0 ≤ t <∞,

2.3 Relacoes entre as funcoes 6

e representa a taxa instantanea de morte de um indivıduo no instante t, sabendo que sobreviveu

ate esse instante.

2.2.4 Funcao de risco cumulativo

Essa funcao tambem e chamada de funcao de taxa de falha acumulada e e definida da seguinte

forma:

R(t) =∫ t

0r(u)du

R mede o risco de ocorrencia do acontecimento de interesse ate o instante t.

2.3 Relacoes entre as funcoes

Seja T uma (v.a.), contınua e nao-negativa, tem-se:

r(t) =f(t)S(t)

= −d(lnS(t))dt

(2.1)

R(t) =∫ t

0r(u)du = − lnS(t) (2.2)

S(t) = exp {−R(t)} = exp{−∫ t

0r(u)du

}(2.3)

2.4 Censura

A censura, ja mencionada acima, e justamente quando nao se sabe se ocorre o evento de

interesse em algum elemento em observacao. Isso se deve a alguns fatores como, por exemplo: se

a morte do indivıduo ocorrer fora do perıodo de estudo, ou ainda ocorrendo dentro do perıodo,

mas por outra causa diferente do que e definido como falha. Dependendo de como esta e definida,

podemos ter censura a direita, a esquerda ou intervalar. A censura a direita ocorre quando o

tempo de vida e maior que o tempo observado.

Existem diversos mecanismos de censura que correspondem a situacoes de censura a direita.

2.4 Censura 7

2.4.1 Censura tipo I

A censura tipo I se caracteriza pelo fato da data do fim do estudo ser pre-determinada. Neste

caso, so podemos saber o tempo de vida de um indivıduo se a morte ocorrer antes do instante

pre-definido. Sendo assim, o numero de falhas observadas e aleatorio.

2.4.2 Censura tipo II

Sao colocados em estudo n indivıduos, mas o estudo termina quando se der a r-esima

ocorrencia do evento de interesse, sendo r um numero pre-definido (1 ≤ r ≤ n) . A amostra

obtida consiste nas r primeiras falhas, isto e, t1 ≤, ...,≤ tr, e os restantes n - r indivıduos sao

censurados no instante tr . Neste caso, o tempo de duracao do estudo e uma variavel aleatoria.

2.4.3 Censura tipo aleatorio

O mecanismo de censura aleatoria e aquele em que os tempos de censura sao variaveis

aleatorias mutuamente independentes e ainda independentes dos tempos de vida. Observa-se

este tipo de censura quando um indivıduo e retirado do estudo por uma causa alheia ao proprio

estudo.

Capıtulo 3

Distribuicao de Marshall-Olkin

3.1 Introducao

A distribuicao exponencial tem um papel central em analise de tempo de vida ou em dados de

sobrevivencia, pela coveniente teoria estatıstica, sua importante propriedade “falta de memoria”

e sua taxa de risco constante. Em certas circunstancias onde a famılia de distribuicao exponencial

uniparametrica nao e suficientemente ampla, um numero maior de famılias de distribuicao como

Gamma, Weibull e Gompertz sao usadas. Essas famılias e sua utilidade sao descritas em Cox

e Oakes (1984), Kalbfleisch e Prentice (2002), Lawless (2003) dentre outros. Um tratamento

completo de cada distribuicao e dado em Johnson, Kotz e Balakrishnan (1994).

Por varios metodos, novos parametros podem ser introduzidos para expandir as famılias de

distribuicoes pela flexibilidade adicionada sendo o metodo de Marshall-Olkin um destes. Varias

famılias sao classicas na area de analise de sobrevivencia, dentre elas a familia Weibull (Weibull,

1951). A distribuicao exponencial e um caso particular da Weibull dependendo dos valores dos

parametros.

Sao exibidos neste capıtulo alem da definicao proposta por Marshall-Olkin (1997), as ex-

pressoes das suas principais funcoes na forma estendida, as principais propriedades das funcoes

de distribuicao e sobrevivencia no novo modelo, assim como a funcao de verossimilhanca e alguns

graficos.

3.2 Definicao 9

3.2 Definicao

Seja T uma variavel aleatoria (v.a.) contınua, f sua funcao densidade, F sua funcao de

distribuicao, r sua funcao risco e S sua funcao de sobrevivencia. A forma estendida de Marshall-

Olkin correspondente tem funcao de sobrevivencia, SMO = H(S(t), α), dada por:

SMO(t;α) =αS(t)

1− αS(t)=

αS(t)F (t) + αS(t)

, (3.1)

em que t > 0, α > 0, α = 1 − α. Marshall e Olkin (1997) apresentam toda a construcao da

forma estendida para t ∈ <. Este trabalho se restringe ao caso em que t positivo.

Nao ha dificudades em obter a igualdade (3.1), de fato:

SMO(t;α) =αS(t)

1− αS(t)=

αS(t)1− (1− α)S(t)

=αS(t)

1− S(t) + αS(t).

Como F (t) = 1− S(t), segue que

SMO(t;α) =αS(t)

F (t) + αS(t).

3.3 Principais funcoes

Define-se as funcoes de densidade e de risco, respectivamente, como:

g(t;α) =αf(t)

(1− αS(t))2, (3.2)

e

h(t;α) =r(t)

(1− αS(t)), (3.3)

com t > 0, α > 0, α = 1− α.

A fim de demonstrar a expressao (3.2), temos

G(t;α) = 1− SMO(t;α),

3.3 Principais funcoes 10

sendo G a funcao de probabilidade na forma estendida de Marshall-Olkin. Derivando ambas as

parcelas em relacao a t, segue

∂G(t;α)∂t

= −∂SMO(t;α)∂t

=αf(t)

(1− αS(t))2,

Portanto,

g(t;α) =αf(t)

(1− αS(t))2.

Ja para a demostracao da expressao (3.3), partimos da relacao dada em (2.1)

h(t;α) =g(t;α)

SMO(t;α)=αf(t)/(1− αS(t))2

αS(t)/(1− αS(t))=

f(t)S(t)(1− αS(t))

,

portanto,

h(t;α) =r(t)

(1− αS(t)).

Se α = 1 a forma estendida de uma distribuicao conhecida e a propria distribuicao conhecida,

ou seja, g(t; 1) = f(t), SMO(t; 1) = S(t) e h(t; 1) = r(t).

3.3.1 Propriedades

Serao mencionadas quatro propriedades. As tres primeiras sao comuns a qualquer funcao

de distribuicao para uma v.a. e e encontrada em livros de probabilidade, por exemplo, James

(2010). O intuito deste topico e mostrar que uma funcao de distribuicao na forma estendida de

Marshall-Olkin tambem possui as respectivas propriedades. Alem dessas, a outra em sequencia

(G4) e uma propriedade exclusiva da forma estendida, Marshall e Olkin (1997).

Seja T uma v.a. contınua na forma estendida de Marshall-Olkin de acordo com (3.1). Suas

funcoes de distribuicao G e de sobrevivencia SMO gozam das seguintes propriedades:

G1. Se x ≤ y, entao G(x;α) ≤ G(y;α)

G2. Se xn ↓ x, entao G(xn;α) ↓ G(x;α)

G3. Se xn ↓ −∞, entao G(xn;α) ↓ 0. Se xn ↑ +∞, entao G(xn;α) ↑ 1

3.4 Funcao de Verossimilhanca 11

G4.(Propriedade da Estabilidade): Seja H a transformacao de Marshall-Olkin de uma funcao

de sobrevivencia S, ou seja

H(SMO(t;αk−1);α) = SMO(t;αk) =αkS(t)

1− αkS(t), (3.4)

em que SMO(t;α) = H(S(t);α), αk = 1− αk, α > 0, t > 0.

Pode-se entao mostrar que:

H(H(S(t);αk);α) = H(S(t);αk+1)

Demonstracao:

As demonstracoes das propriedades G1, G2 e G3 encontra-se no apendice A.

A demonstracao da propreidade G4 e a seguinte:

Aplicando (3.4) em (3.1) tem-se

H(H(S(t);αk);α) =αH(S(t);αk)

1− αH(S(t);αk)=

=α(

αkS(t)

1−αkS(t)

)1− α

(αkS(t)

1−αkS(t)

) =

(αk+1S(t)

1− αkS(t)

)(1− αkS(t)

1− (αk)S(t)− (ααk)S(t)

)=

=αk+1S(t)

1−[(αk) + (α)αk

]S(t)

=αk+1S(t)

1− αk+1S(t)= H(S(t);αk+1).

c.q.d.

Note que a expressao (3.4) e uma generalizacao da (3.1). Quando k = 1, em (3.4), tem-se

a expressao (3.1) e alem disso, para uma sobrevivencia S dada, se for aplicada a transformacao

(3.1) k vezes obtemos como resultado uma expressao semelhante a aplicacao da transformacao

uma unica vez, no caso, a expressao (3.4), mas com um valor diferente para α. O valor de k

informa quantas vezes a transformacao foi aplicada.

3.4 Funcao de Verossimilhanca

Sabe-se que existem alguns mecanismos de censura ja mencionados no capıtulo anterior.

Considera-se o mecanismo de censura a direita do tipo aleatoria. Assume-se para cada indivıduo

3.4 Funcao de Verossimilhanca 12

i um tempo de vida Ti e um tempo de censura Ci, em que Ti e Ci sao v.a.’s contınuas e

independentes e suas respectivas funcoes de sobrevivencia sao ST (t, θ) e SC(t). Neste caso, todos

os tempos de vida e de censura sao mutualmente independentes. Alem disso, considera-se que

a distribuicao da censura nao depende de parametros desconhecidos (censura nao informativa).

Para i = 1, ..., n, os tempos observaveis sao dados por:

ti = min(Ti, Ci).

Definimos tambem as indicadoras

δi = I{Ti≤Ci}, para i = 1, ..., n.

Os dados referentes a n indivıduos consistem em pares (ti, δi), i = 1, ..., n. Assim, a funcao

de verossimilhanca e dada por:

L(θ;D) =n∏i=1

[fT (ti; θ)]δi [ST (ti; θ)]

1−δi ,

em que D = (n, t, δ), sendo t = (t1, ..., tn)T e δ = (δ1, ..., δn)T.

Seja SMO a funcao de sobrevivencia e g a densidade resultantes da transformacao (3.1).

Assim a funcao de verossimilhanca associada ao novo modelo e dada por:

L(α, θ;D) =n∏i=1

(g(ti;α, θ))δi(SMO(ti;α, θ))1−δi (3.5)

ou ainda

L(α, θ;D) =n∏i=1

(h(ti;α, θ))δi(SMO(ti;α, θ)). (3.6)

Relacionando (3.6) com as funcoes de densidade f e sobrevivencia S que originaram a extensao

de Marshall-Olkin temos:

L(α, θ;D) =n∏i=1

α(r(ti; θ))δiS(ti; θ)(1− αS(ti; θ))δi+1

. (3.7)

Assim, o logarıtmo da funcao de verossimilhanca e dada por:

l(α, θ;D) = n lnα+n∑i=1

δi ln r(ti; θ) +n∑i=1

lnS(ti; θ)−n∑i=1

(δi + 1) ln(1− αS(ti; θ)). (3.8)

3.5 Distribuicao Weibull na Forma Estendida 13

3.5 Distribuicao Weibull na Forma Estendida

Sejam T1, ..., Tn uma amostra aleatoria de tamanho n da variavel aleatoria T com distribuicao

Weibull(γ, λ). Segue que a funcao densidade de probabilidade e dada por:

fT (t; γ, λ) =γ

λγtγ−1 exp

{−(t

λ

)γ}, t > 0, (3.9)

sendo γ > 0 e λ > 0 .

Para essa distribuicao, as funcoes de sobrevivencia e de risco sao, respectivamente,

ST (t; γ, λ) = exp{−(t

λ

)γ}(3.10)

e

rT (t; γ, λ) =γ

λγtγ−1. (3.11)

Dessa forma, aplicando (3.10) em (3.1), tem-se

SMO(t;α, γ, λ) =α exp {− (t/λ)γ}

1− α exp {− (t/λ)γ}, (3.12)

que e a funcao de sobrevivencia da Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin. Assim, as

funcoes de densidade e risco da Weibull na forma estendida sao dadas, respectivamente, por:

g(t;α, γ, λ) =αγtγ−1 exp [− (t/λ)γ ]

λγ {1− α exp [− (t/λ)γ ]}2(3.13)

e

h(t;α, γ, λ) =γtγ−1

λγ {1− α exp [− (t/λ)γ ]}. (3.14)

As funcoes de verossimilhanca e a de log-verossimilhanca sao dadas, pois, pelas seguintes

expressoes, respectivamente

L(α, γ, λ;D) =n∏i=1

α(γtγ−1i

)δiexp [− (ti/λ)γ ]

λγδi (1− α exp [− (ti/λ)γ ])δi+1(3.15)

e

3.6 Graficos 14

l(α, γ, λ;D) = nlnα+n∑i=1

δi ln γ −n∑i=1

δiγ lnλ+n∑i=1

δi(γ − 1) ln ti −n∑i=1

(ti/λ)γ +

−n∑i=1

(δi + 1) ln {1− α exp [− (ti/λ)γ ]} (3.16)

3.6 Graficos

Nesta secao alguns graficos sao apresentados para que fique claro o comportamento de acordo

com seus respectivos parametros. Os graficos das funcoes de densidade, de sobrevivencia, e risco

da distribuicao Weibull na forma mais simples (λ = 1) sao apresentados respectivamente nas

figuras 3.1, 3.2(a) e 3.2(b).

Figura 3.1: Graficos da funcao de densidade da Weibull(γ,1) com os valores {0, 5; 1; 5} atribuıdos a γ

.

As Figuras 3.1 e 3.2 (a) e (b) mostram os graficos da funcao de densidade Weibull(γ,1), da

funcao de sobrevivencia com γ = {0, 5; 1; 5}, λ = 1. Podemos notar que quando γ = 1 temos

a curva da densidade da exponencial(1), o caso mais simples. Quando γ > 1 temos curvas

simetricas centrada em t = 1, semelhante a curva caracteristica da distribuicao normal, isso se

deve ao fato de λ = 1. Quanto maior for o valor γ neste caso, maior sera o valor da densidade

no ponto de maximo e mais estreita a figura se torna, reforcando o porque de os parametros λ

3.6 Graficos 15

Figura 3.2: (a) Graficos da funcao de sobrevivencia da Weibull(γ,1); (b) Graficos da funcao de risco da

Weibull(γ,1)

.

e γ serem conhecidos como de escala e forma, respectivamente. Ja no caso em que 0 < γ < 1 as

curvas tem caracteristicas da exponencial. A variacao dos valores de γ neste ultimo caso implica

na variacao de inclinacoes, quanto mais proximo de 1 mais suave a curva se apresenta.

As Figuras 3.3 e 3.4 mostram graficos das funcoes de densidade e de sobrevivencia da Weibull

na forma estendida de Marshall-Olkin com os parametros mais simples. Observa-se as leves al-

teracoes em seus graficos de acordo com os parametros definidos, curvas semelhantes, monotonas,

mais suaves para valores de α > 1.

Sao exibidas abaixo os graficos das funcoes de densidade, sobrevivencia e risco da distribuicao

Weibull na forma estendida com enfase aos graficos da funcao risco, utilizando para isso os

parametros λ = 1 e γ = {0, 5; 1; 2}. As Figuras 3.5, 3.6 e 3.7 mostram as funcoes risco da

distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin. A Figura 3.7 mostra casos em

que podemos ter funcoes crescentes convexas, crescentes concavas e um caso enfatizado por

Marshall e Olkin (1997) que e uma curva que possui intervalos crescentes e intervalos decrescentes

tornando-a nao monotona(efeito proporcionado pelo novo parametro α).

A Figura 3.7 mostra o maior interesse de inserir o novo parametro. Quando α e pequeno a

funcao risco possui uma curva interessante pelo fato de possuir intervalos crescentes e decres-

centes na mesma curva, ou seja, tendo sua monoticidade inexistente.

3.6 Graficos 16

Figura 3.3: Graficos da funcao Densidade da Weibull(1,1) na forma estendida de Marhall-Olkin com

α = {0, 5; 0, 2; 1; 5; 10}

Figura 3.4: Graficos da funcao Sobrevivencia da Weibull(1,1) na forma estendida de Marhall-Olkin

com α = {0, 5; 0, 2; 1; 2; 5}

3.6 Graficos 17

Figura 3.5: Graficos da funcao Risco da Weibull(1,1) na forma estendida de Marhall-Olkin com α =

{0, 5; 0, 2; 1; 2; 5}

Figura 3.6: Graficos da funcao Risco da Weibull(0,5;1) na forma estendida de Marhall-Olkin com

α = {0, 5; 0, 2; 1; 2; 5}

3.6 Graficos 18

Figura 3.7: Graficos da funcao Risco da Weibull(2,1) na forma estendida de Marhall-Olkin com α =

{0, 5; 0, 2; 1; 2; 5}

Capıtulo 4

Testes de Hipoteses

4.1 Introducao

Neste capıtulo sao apresentadas as definicoes das estatısticas de teste da razao de verossim-

ilhancas (Neyman e Pearson, 1928) e do teste gradiente (Terrel, 2002) para testar hipoteses

simples e hipoteses compostas. Alem disso, exibe-se a construcao da estatıstica gradiente no

caso mais simples. Construcoes e consideracoes mais gerais e completas sao dados, por exemplo,

em Lemonte e Ferrari (2010). Mostra-se tambem as expressoes das estatısticas supondo que os

dados tenham distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin.

4.2 Hipoteses simples

4.2.1 Teste da Razao de Verossimilhancas

Considere θ um vetor parametrico de dimensao p em que θ = (θ1, ..., θp)T. Suponha que se

quer testar as seguintes hipoteses:

H0 : θ = θ0 versus H1 : θ 6= θ0.

Suponha T1, ..., Tn uma amostra aleatoria, de tamanho n, da variavel aleatoria T com funcao

densidade de probabilidade g(t; θ), funcao de sobrevivencia SMO(t; θ) e funcao risco h(t; θ) as-

sociadas. Considere tambem θ como sendo o estimador de maxima verossimilhanca de θ.

4.2 Hipoteses simples 20

O teste da razao de verossimilhacas e baseado na funcao de verossimilhanca e envolve a

comparacao entre os valores do logaritmo da funcao de verossimilhanca maximizada e sob H0,

ou seja, a comparacao de logL(θ) e logL(θ0). A estatıstica de teste e dada por:

ξRV = −2 log

[L(θ0)

L(θ)

]= 2[logL(θ)− logL(θ0)]. (4.1)

Sob H0, esta estatıstica segue aproximadamente uma distribuicao qui-quadrado com p graus de

liberdade. Para amostras grandes, H0 e rejeitada, a um nıvel de significancia υ, se ξRV > χ2p,1−υ.

O valor χ2p,1−υ denota o quantil 1 − υ de uma variavel aleatoria qui-quadrado com p graus de

liberdade, isto e P (W > χ2p,1−υ) = υ, sendo W D→χ2

p.

4.2.2 Teste Gradiente

Este teste e obtido com base na estatıstica proposta por Terrell (2002) e denominada es-

tatıtica gradiente. Ela foi derivada a partir das estatısticas escore de Rao e Wald modificada

(Hayakawa e Puri, 1985). A combinacao destas duas estatısticas resulta em uma estatıstica

muito simples, nao envolvendo, por exemplo, nenhum calculo matricial como produto e inversa

de matrizes.

Consideremos as mesmas suposicoes feitas para o teste da razao de verossimilhanca que no

caso sao: T1, ..., Tn uma amostra aleatoria, de tamanho n, da variavel aleatoria T com as funcoes

g(t; θ), SMO(t; θ) e h(t; θ) associadas, θ como sendo o estimador de maxima verossimilhanca em

Θ.

Considere l(θ) a funcao de log-verossimilhanca e θ = (θ1, ..., θp)T. A funcao escore e definida

como U(θ) = ∂l(θ)∂θ .

A matriz informacao de Fisher e definida da seguinte forma:

IF (θ) = E[U(θ)U(θ)T].

Queremos testar

H0 : θ = θ0 versus H1 : θ 6= θ0.

As estatısticas de Wald (ξW ), Score de Rao (ξS) podem ser escritas da seguinte forma:

ξW = (θ − θ0)TIF−1(θ)(θ − θ0),

4.2 Hipoteses simples 21

ξS = U(θ0)TIF (θ0)U(θ0).

Uma proposta foi dada por Hayakawa e Puri (1985), denominada estatıstica de Wald modi-

ficada (ξW ). Ela e definida da seguinte forma:

ξW = (θ − θ0)TIF−1(θ0)(θ − θ0).

Estatıstica Gradiente

Definicao (Terrell, 2002): A estatıstica gradiente, ξG, para testar H0 : θ = θ0 versus H1 : θ 6= θ0

e da forma

ξG = U(θ0)T(θ − θ0). (4.2)

A fim de exibir a construcao da estatıstica gradiente proposta por Terrell (2002), considere que

sob H0 as estatısticas ξS e ξW podem ser escritas como

ξS = U(θ0)TIF (θ0)−1U(θ0) e ξW = (θ − θ0)TIF (θ0)(θ − θ0).

A proposta de Terrel e como segue: Considere B, uma matriz quadrada p× p invertıvel, de

tal maneira que BTB = IF (θ), onde IF (θ) e a informacao de Fisher. Dessa forma as estatısticas

ξS e ξW podem ser reescritas como segue

ξS =[(B−1)TU(θ0)

]T (B−1)TU(θ0) e ξW =[B(θ − θ0)

]TB(θ − θ0).

Pelo fato de ξS e ξW convergirem em distribuicao para uma qui-quadrado com p graus de

liberdade, entao e de se notar que

(B−1)TU(θ0) e B(θ − θ0)

possuem aproximadamente uma distribuicao Np(0, Ip), onde Ip denota uma matriz identidade

de ordem p.

Logo

ξG =[(B−1)TU(θ0)

]TB(θ − θ0) = U(θ0)TB−1B(θ − θ0),

tambem possui aproximadamente distribuicao qui-quadrado com p graus de liberdade. Portanto

ξG = U(θ0)T(θ − θ0).

4.3 Hipoteses compostas 22

4.3 Hipoteses compostas

Considere θ um vetor parametrico pertencente a Θ ⊂ <p particionado da seguinte forma

θ = (α, φ)T de tal maneira que a dim(α) = 1 e dim(φ) = p − 1. Suponha que se quer testar as

seguintes hipoteses:

H0 : α = α0 versus H1 : α 6= α0.

Considere tambem θ e θ0, respectivamente, os estimadores de maxima verossimilhanca de θ

e sob H0, onde θ = (α, φ), θ0 = (α0, φ0).

Note que se α = 1 em (3.1) nao ha forma extendida da distribuicao basica, pois H(S(t), 1) =

S(t). Cosiderando que neste caso α > 0, significa que α = 1 e um ponto interior do espaco

parametrico. Assim, o teste baseado na verossimilhanca para (3.1) deve ter comportamento

regular.

Pode-se testar H0 contra H1 usando o teste da razao de verossimilhancas que e dada por:

ξRV = 2{l(α, φ)− l(α0, φ0)

}(4.3)

em que φ0 e o estimador de maxima verossimilhanca de φ sobre a hipotese nula e α, φ sao

estimadores de maxima verossimilhanca em relacao a todo o espaco parametrico Θ.

A funcao escore neste caso e da forma

U(α, φ)T = [Uα(α, φ), Uφ(α, φ)] ,

sendo Uα(α, φ) = ∂l(α,φ)∂α e Uφ = ∂l(α,φ)

∂φ .

A estatıstica gradiente sob as mesmas condicoes definidas acima e dado por

ξG = U(α0, φ0)T[(α, φ)− (α0, φ0)

].

Assim como a estatıstica da razao de verossimilhancas, a estatıstica gradiente possui uma dis-

tribuicao aproximadamente qui-quadrado com 1 grau de liberdade.


4.3.1 Estatısticas para o modelo Marshall-Olkin

As expressoes das estatısticas de teste da razao de verossimilhancas e da gradeinte utilizadas

sao dadas, respectivamente, pela expressao (4.3) e por:

ξG = Uα(α0, φ0) [α− α0] + Uφ(α0, φ0)[φ− φ0

]=

1α0

n∑i=1

{1− SMO(α0, φ0) [1 + δi]

}[α− α0] , (4.4)

em que Uφ(α0, φ0) = 0.

A construcao da expressao (4.4) e como segue:

Inicialmente faz-se uma simplificacao de notacao, para diminuir a densidade de variaveis, da

seguinte maneira: h = h(D;α, φ) e SMO = SMO(D;α, φ), em que h e SMO sao as funcoes risco

e de sobrevivencia na forma estendida de Marshall-Olkin e D = {n, t, δ}. Alem disso a derivada

dessas funcoes e difıcil de ser obtida. No caso, ∂h∂α = −hSMO

α e ∂SMO∂α = SMO

α (1− SMO). Assim a

expressao

ξG = Uα(α0, φ0) [α− α0] + Uφ(α0, φ0)[φ− φ0

]nada mais e do que

ξG = Uα(α, φ) [α− α]

com (α, φ) = (α0, φ0). Dessa forma

ξG = Uα(α, φ) [α− α] =∂l(α, φ)∂α

[α− α]

=

∂

{n∑i=1

(δilnh+ lnSMO)

}∂α

[α− α]

=n∑i=1

{δi

1h

∂h

∂α+

1SMO

∂SMO

∂α

}[α− α]

=n∑i=1

{δi

1h

(−hSMO)α

+1

SMO

SMO

α(1− SMO)

}[α− α]

=1α

n∑i=1

{1− SMO [1 + δi]} [α− α] .


Para (α, φ) = (α0, φ0) chega-se na expressao (4.4).

Capıtulo 5

Simulacao

5.1 Introducao

Neste capıtulo sao exibidos resultados de simulacoes feitas em amostras de dados simulados

de sobrevivencia geradas pelo software R, versao 2.12.2, e impondo uma porcentagem de cen-

sura para cada nıvel de significancia. Utiliza-se tambem as distribuicoes exponencial e Weibull

na forma estendida de Marshall-Olkin, respectivamente, e as estatısticas de teste da razao de

verossimilhanca e gradiente.

5.2 A Simulacao

As simulacoes foram realizadas no software livre R 2.12.2 e o pacote reliaR foi utilizado

para obtencao das expressoes das funcoes de densidade, sobrevivencia e risco das distribuicoes

exponencial e Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin (ver apendice A). Varios tamanhos

de amostra sao considerados. Assim, para cada, considerando alguns parametros pre-definidos

e esquema de censura de 10% ou 15%, 10.000 simulacoes de amostras sao geradas. O esquema

de censura atribuıdo foi o de censura a direita do tipo aleatorio. Como existe a presenca de

censura, tres variaveis aleatorias sao consideradas, T que representa tempo de falha, C que

representa a censura com distribuicao exponencial com parametro 1/ζ e t que toma o mınimo

entre T e C. Em todos os casos o parametro de escala da distribuicao foi escolhido como λ = 1.

O metodo quase-Newton (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno, 1970), tambem chamado de

5.3 Resultados da Simulacao 26

BFGS, e utilizado por meio do comando optim, do pacote basico, do software R para encontrar

por um processo numerico o valor de maxima verossimilhanca. Testa-se a seguinte hipotese

H0 : α = 1, dessa forma os parametros da distribuicao conhecida foram fixados ou um deles

foi atribuıdo como de pertubacao na sua estimacao. Tendo as 10.000 estimativas, calcula-se os

10.000 valores de cada estatıstica e defini-se uma funcao indicadora que associa 1 a rejeicao de

H0 e 0 no caso contrario. Calculando a proporcao de vezes em que H0 e rejeitada, a melhor

estatıstica e aquela que mais se aproximar ao nıvel nominal.

5.3 Resultados da Simulacao

5.3.1 Distribuicao Exponencial

As Figuras 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 mostram simulacoes feitas com dois testes considerando a

hipotese nula α = 1 utilizando a distribuicao exponencial na forma estendida, aos nıveis de

significancia de 5 e 1 % da χ21 de amostras com presenca de censura e variando de 5 ate 150

observacoes de 5 em 5. Ao nıvel de 5 % os testes ξRV e ξG tem bastante precisao para n ≥ 20

a 10% de censura, mas o teste ξG apresenta uma precisao menor ate n = 35 quando consider-

amos 15% de censura. Entao, ambos parecem satisfatorios mas o teste ξRV apresenta uma leve

vantagem.

A Figura 5.5 mostra o caso em que se testa a hipotese α = 1 e o parametro λ e tido como um

parametro de pertubacao na estimacao. As amostras simuladas foram geradas com distribuicao

exponencial com parametro de escala λ = 1. Nos outros casos, utilizando o modelo exponencial

mostram a tendencia deste. Neste usa-se 15% de censura a um nıvel de significancia de 5%.

Tem-se que para todo n a estatıstica gradiente se mostra liberal e a estatıstica da razao de

verossimilhancas se mostra mais conservadora. Para n < 60 a estatıstica gradiente se mostra

bem liberal, rejeitando em ate 17% onde espera-se valores proximos de 5%. A partir de n = 60

a estatıstica gradiente estabiliza-se mas continua levemente liberal. A maior porcentagem de

rejeicao da estatıstica da razao de verossimilhancas e proxima da menor porcentagem de rejeicao

da gradiente. Dessa forma, observa-se que a estatıstica gradiente utilizando a distribuicao ex-

ponencial na forma estendida de Marshall-Olkin se mostra inferior necessitando um pouco de

cautela em relacao as conclusoes que pode-se gerar ao usa-la em algum conjunto de dados nas

mesmas condicoes que foi imposta nesta simulacao.


Figura 5.1: Tamanhos de amostra n simulados ao nıvel de 5% para ξRV , ξG e a hipotese nula α = 1

considerada, utilizando a distribuicao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin com 10% de

censura. O valor do parametro da exponencial e λ = 1.

5.3.2 Distribuicao Weibull

O estudo de simulacao da distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin foi

realizado de maneira analoga como para a distribuicao exponencial tambem na forma estendida.

Os parametros de escala e forma foram escolhidos como sendo 1 e {0, 5; 1; 2} respectivamente.

Da mesma forma na estimacao existe um caso em que o parametro de forma da distribuicao

conhecida e considerado como de pertubacao.

As Figuras 5.6 e 5.7 mostram amostras de tamanhos 5 ate 150 de 5 em 5 simulados, com

parametro de forma γ = 1, de dois testes baseado na verossimilhanca da distribuicao Weibull

na forma estendida, utilizando 10% de censura. Os parametros foram fixados, sendo estimado

somente o novo parametro da forma estendida. Os nıveis nominais utilizados sao de 5% e 1%,

respectivamente. O teste gradiente e bem conservativo ate o tamanho n = 50 e n > 100. O teste

da razao de verossimilhanca oscila de maneira satisfatoria para todos os tamanhos de amostra

n, ja na Figura 5.7 o teste gradiente se mostra praticamente conservativo para quase todos os

tamanhos de amostra. O teste da razao de verossimilhanca praticamente nao sofre oscilacao





para os tamanhos de amostra n. A performace do teste gradiente e inferior nestes dois casos.

As Figuras 5.8 e 5.9 sao simulacoes, de tamanhos de 10 ate 150 de 10 em 10, feitas a um

nıvel de 5% com 15% de censura e possui variacoes em relacao ao parametro de forma, no caso

0, 5 e 2 respectivamente. A Figura 5.8 mostra que o teste gradiente compete melhor que no caso

do modelo exponencial. As diferencas entre as porcentagens de rejeicao nao sao muito grandes

ate n = 60 e quando n > 60 as diferencas sao mınimas de forma que um teste ajustado com o

modelo desta simulacao pode fornecer resultados confiaveis para qualquer uma das estatısticas.

E de se notar que a medida que o modelo se torna menos simples, pela escolha dos parametros,

o teste gradiente se comporta de maneira evolutiva em seus resultados no sentido de ser concor-

rente da estatıstica da razao de verossimilhanca. E notavel tambem que o teste gradiente teve

o pior comportamento quando o parametro de escala foi tido como de perturbacao no modelo

exponencial apresentado pela Figura 5.5. Agora, a Figura 5.10 e a de maior interesse nesse

trabalho pelo fato de estar considerando as mesmas condicoes apresentadas pela simulacao da

Figura 5.5, porem, utilizando o modelo Weibull com o parametro de forma tido como de per-





tubacao na estimacao e o parametro de escala esta sendo fixado como λ = 1. Nota-se que para

n < 40 existem pequenas diferencas entre as duas estatısticas, por volta de 0, 0053. Os valores

mınimos entre as duas estatısticas, assim como os valores maximos possuem diferenca inferior

a 0, 0016. O teste da razao de verossimilhancas ainda possui uma leve vantagem, mas o teste

gradiente parecer ser satisfatorio para este ultimo caso.








censura. O parametro da exponencial e de perturbacao.



considerada, utilizando a distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin com 10% de censura.

O parametro de forma da Weibull γ = 1.








O parametro de forma da Weibull γ = 0, 5.








O parametro de forma da Weibull e de perturbacao.

Capıtulo 6

Consideracoes Finais e

Recomendacoes

Este trabalho teve como objetivo, alem de explorar e descrever caracterıstaras e propriedades

do modelo Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin, comparar por meio de um estudo de

simulacao o desempenho das estatısticas de teste da razao de verossimilhanca e gradiente para

testar o parametro α, que distingue a distribuicao estendida da basica.

Com base no estudo apresentado no Capıtulo 3, verificou-se que, alem da flexibilidade, a

forma estendida de Marshall-Olkin tambem possui a importante propriedade da estabilidade,

ou seja, se a transformacao for aplicada varias vezes obtemos como resultado uma expressao

semelhante a aplicacao da transformacao uma unica vez, mas com um valor diferente para

o parametro extra. Alem disso, dependendo do valor do parametro, a distribuicao estendida

pode ter uma funcao risco nao monotona, que representa uma caracterıstica que a distribuicao

Weibull, por exemplo, nao possui.

Formas estendidas podem representar opcoes adequadas em situacoes reais de analise de

dados de sobrevivencia nas quais modelos usuais nao se ajustam muito bem. Assim, tomando

como ponto de partida o ajuste de um modelo na forma estendida de Marshall-Olkin, um

interesse natural que surge e testar a necessidade da extensao. Uma motivacao para estudar a

estatıstica gradiente ao inves das estatısticas classicas de Wald e Score se referem ao fato de que a

este, que possui tambem uma distribuicao assintotica qui-quadrado, nao apresentava matrizes em

sua expressao. Este aspecto e particularmente vantajoso em Analise de Sobrevivencia, na qual

38

a ocorrencia de censura impossibilita em muitas situacoes a obtencao da matriz de informacao

esperada.

Os resultados das simulacoes apresentados no capıtulo 5, que representam a contribuicao

original deste trabalho, mostram claramente que os testes da razao da verossimilhanca e gradi-

ente sao suficientemente precisos para testar o parametro extra α nas distribuicoes exponencial

e Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin em amostras finitas. A estatısitica gradiente

apresentou em geral, uma leve desvantagem, principalmente em amostras muito pequenas e cen-

suradas. Esta desvantagem ocorre pelo fato deste teste apresentar o tamanho empirico do teste

maior que o nıvel nominal considerado (1% ou 5%). O pior resultado para a estatıstica gradiente

ocorreu no caso apresentado na Figura 5.5, em que o parametro da distribuicao exponencial foi

considerado como de perturbacao. Por outro lado quando o parametro de forma da Weibull foi

considerado de perturbacao (Figura 5.10) observou-se o melhor resultado para esta estatıstica,

que mostrou resultados equivalentes aos obtidos pela estatıstica da razao de verossimilhanca.

Nao foram verificadas diferencas nos resultados das simulacoes para diferentes percentuais de

censura, provavelmente pelo fato da simulacao considerar apenas pequenos percentuais de cen-

sura (10% e 15%). Notou-se que o comando optim interrompeu diversas vezes o processo de

simulacao ao se encontrar alguma irregularidade (falta de convergencia para alguma amostra).

Para trabalhos futuros deseja-se inicialmente aperfeicoar e ampliar o estudo de simulacao.

Este estudo apresentou limitacoes pelo fato de usar o pacote ReliaR (Apendice A), que permite

apenas o uso da distribuicao Weibull com o parametro de escala fixado como sendo λ = 1.

Implementar a equacao (3.16) tornaria a simulacao mais abrangente pois teria parametros pre-

fixados. Dessa forma a simulacao poderia ser ampliada para avaliar o desempenho do teste

gradiente na presenca de parametros de perturbacao, assim como em amostras com maiores

percentuais de censura. Alem disso, poderia ser realizado um estudo comparativo do poder dos

testes para este modelo e pelo menos uma aplicacao a dados reais de sobrevivencia.

Referencias Bibliograficas

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Apendice A

Neste apendice sao colocadas algumas demonstracoes para diminuir a densidade teorica do

texto e tornar a leitura mais agradavel. De fato, as demonstracoes das tres propriedades G1,

G2, G3 a seguir exigem alguns passos de tal maneira que a sua omissao pode tornar algumas

implicacoes invalidas, mas vamos usar de um certo abuso de notacao que e o uso dos simbolos

(⇒,⇔) para que as mesmas nao fiquem muito extensas.

Considera-se inicialmente alguns lemas que sao suporte para algumas demonstracoes a saguir:

L1. F (xn) ↓ F (x) para xn ↓ x e ∀xi1 , xi2 , tal que xi1 ≥ xi2 ; ∀i1, i2; i1 ≤ i2 tem-se F (xi1) ≥

F (xi2) e limn→∞F (xn) = F (x).

De fato essas sao as condicoes para que uma sequencia monotona decrescente seja conver-

gente, isso torna o lema L1 com carater axiomatico.

L2. Por L1, F (xi1) ≥ F (xi2) para ∀i1, i2 em que i1 ≤ i2 e a ∈ <, entao a+F (xi1) ≥ a+F (xi2)

Pela seguinte propriedade: Dados a, b ∈ < de forma que a ≤ b, assim c+ a ≤ c+ b, ∀c ∈ <.

L3. Por L1 mais uma vez F (xi1) ≥ F (xi2) para ∀i1, i2 em que i1 ≤ i2, logo bF (xi1) ≥ bF (xi2),

se b > 0 e bF (xi1) ≤ bF (xi2), se b < 0.

A propriedade que justifica esse item e a seguinte: suponha a, b, c ∈ <, em que a ≤ b, dessa

forma ac ≤ bc, se c > 0 e ac ≥ bc, se c < 0.

L4. F (xn) ↓ F (x) quando xn ↓ x, dessa forma 1F (xn) ↑

1F (x) .

Pela propriedade seguinte justifica-se L4: seja a, b ∈ <, a < b, entao 1a >

1b

Demonstracao: G1.

Suponha que x, y ∈ T e x ≤ y. Entao

43

F (x) ≤ F (y) L3⇐⇒ −F (y) ≤ −F (x) L2⇔ 1− F (y) ≤ 1− F (x)⇔ S(y) ≤ S(x)

Considerando α > 0 e αS(y)αS(x) = αS(x)αS(y) e facil ver que

αS(y) ≤ αS(x)

e alem disso

αS(y)− αS(y)αS(x) ≤ αS(x)− αS(x)αS(y).

Logo

αS(y)(1− αS(x)) = αS(x)(1− αS(y)).

Dividindo ambas as parcelas por (1− αS(x))(1− αS(y)) > 0 chega-se que

αS(y)1− αS(y)

≤ αS(x)1− αS(x)

⇔ SMO(y;α) ≤ SMO(x;α).

Portanto

G(x;α) ≤ G(y;α).

c.q.d.

Demonstracao: G2.

Suponha que xn ↓ x, segue que

F (xn) ↓ F (x) L3⇐⇒ −F (xn) ↑ −F (x) L2⇐⇒ 1− F (xn) ↓ 1− F (x)⇔ S(xn) ↑ S(x) L4⇐⇒L4⇐⇒ 1

S(xn)↓ 1S(x)

L2⇐⇒ 1S(xn)

− α ↓ 1S(x)

− α⇔ 1S(xn)

− αS(xn)S(xn)

↓ 1S(x)

− αS(x)S(x)

.

Logo

1− αS(xn)S(xn)

↓ 1− αS(x)S(x)

L4⇐⇒ S(xn)1− αS(xn)

↑ S(x)1− αS(x)

L3⇐⇒ αS(xn)1− αS(xn)

↑ αS(x)1− αS(x)

que equivale a

SMO(xn;α) ↑ SMO(x;α).

Portanto

44

G(xn;α) ↓ G(x;α)

aplicando L2 e L3 com a = 1 e b = −1.

c.q.d.

Demonstracao: G3

Prova-se inicialmente que se xn ↓ −∞ entao G(xn, α) ↓ 0. Se xn ↓ −∞ e garantido que

F (xn) ↓ 0 ⇔ 1− S(xn) ↓ 0⇔ 1− S(xn) ↓ 1− 1 L2⇐⇒ −S(xn) ↓ −1 L3⇐⇒ S(xn) ↑ 1 L3⇐⇒L3⇐⇒ αS(xn) ↑ α L4⇐⇒ 1

αS(xn)↓ 1α⇔ 1

αS(xn)↓ α+ α

α⇔ 1

αS(xn)− α

α↓ 1

e ainda pode-se escrever

1αS(xn)

− αS(xn)αS(xn)

↓ 1⇔ 1− αS(xn)αS(xn)

↓ 1 L4⇐⇒ αS(xn)1− αS(xn)

↑ 1⇔ SMO(xn;α) ↑ 1

Portanto

G(xn;α) ↓ 0.

c.q.d.

Para fazer as simulacoes foram utilizadas expressoes do pacote reliaR do software livre R,

as expressoes sao da distribuicao de Marshall-Olkin na forma estendida. Respectivamente as

funcoes de densidade das distribuicoes exponencial e Weibull na forma extendida de Marshall-

Olkin do pacote reliaR sao exibidas a seguir

f(x;α, λ) = αλexp(−λx)/{

(1− (1− α)exp {−λx})2}

;x > 0, λ > 0, α > 0

e

f(x) = λαxα−1exp(−xα)/{{1− (1− λ)exp(−xα)}2

};x > 0, λ > 0, α > 0.

Note que o parametro inserido na forma estendida nao e o mesmo nas duas expressoes. Para

a densidade da exponecial na forma estendida e o α tradicional, mas na densidade da Weibull na

forma estendida e o λ e λ, α sao os parametros de forma respectivamente. Ambas as expressoes

podem ser encontradas nos seguintes enderecos eletronicos respectivamente:

45

127.0.0.1:18158/library/reliaR/html/MOEE.html

e

127.0.0.1:18158/library/reliaR/html/MOEW.html.

A programacao utilizada na simulacao e a seguinte:

1) Para a distribuicao exponencial na forma estendida de Marshall-Olkin

################################################################################

#Pacote das func~oes do MarshallOlkin

library(reliaR)

#Func~ao de Verossimilhanca para alpha_hat e lambda_hat

lmoee=function(par,t,c){

alpha=par[1]

lambda=par[2]

if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoee(t,alpha,lambda))+

log(smoee(t, alpha, lambda))) else NA

}

#Func~ao de Verossimilhanca para lambda0_hat

lmoee2=function(lambda,t,c,alpha){

if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoee(t,alpha,lambda))+

log(smoee(t, alpha, lambda))) else NA

}

#Valores iniciais

alpha0=lambda0=1

names(alpha0)=’alpha0_hat’

names(lambda0)=’lambda0_hat’

inicial=c(1,1)

names(inicial)=c(’alpha_hat’,’lambda_hat’)

46

#Simulac~ao

#Permutac~oes

N=Y=y=Z=z=NULL

for (n in seq(5,150,5)){

for (i in 1:10000) {

#Gerando valores

T=rmoee(n, 1, 1) #MarshallOlkin

C=rexp(n,1/5.5) #Censura

t=pmin(T,C) #Tempo observado

c=rep(0,n);for (k in 1:n){if (T[k]<C[k]) c[k]=1} #vetor de censura

#Estimando numericamente lambda0_hat

resposta_l=optim(lambda0,fn=lmoee2,t=t,c=c,alpha=1,method="BFGS",

control=list(fnscale=-1))

#Estimando numericamente alpha_hat e lambda_hat

resposta=optim(inicial,fn=lmoee,t=t,c=c,method="BFGS",


#TRV

TRV=2*(lmoee(resposta$par,t,c)-lmoee2(alpha0,t,c,resposta_l$par))

#TG

TG=(1/alpha0)*sum(1-smoee(t, alpha0,resposta_l$par)*(1+c))*

(resposta$par[1]-alpha0)

#Proporc~ao

if (1-pchisq(TRV,1)<0.05) y=c(y,1)

if (1-pchisq(TG,1)<0.05) z=c(z,1)

47

}

Y=c(Y,(sum(y)/10000))

Z=c(Z,(sum(z)/10000))

N=c(N,n)

z=y=NULL

#Gerando os graficos

plot(N,Y,type=’l’,ylim=c(0,.6),col=’blue’,lty=1,xlab=’Tamanho de amostra n’,

ylab=’%’)

lines(N,Z,type=’l’,col=’red’,lty=5)

abline(h=.05,lty=3)

legend(’topright’, c(’TRV’,’TG’), col=c(’blue’,’red’),

text.col = c(’blue’,’red’),lty = c(1,5), merge = F, bg = ’gray90’)

}

2) Para distribuicao Weibull na forma estendida de Marshall-Olkin

################################################################################

#Pacote das func~oes do MarshallOlkin

library(reliaR)

require(survival)

#Func~ao de Verossimilhanca para alpha_hat e lambda_hat

lmoew=function(par,t,c){

alpha=par[1]

lambda=par[2]

if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoew(t,alpha,lambda))+

log(smoew(t, alpha, lambda))) else NA

}

#Func~ao de Verossimilhanca para lambda0_hat

lmoew2=function(lambda,t,c,alpha){

if (alpha>0 & lambda>0) sum(c*log(hmoew(t,alpha,lambda))+

48

log(smoew(t, alpha, lambda))) else NA

}

#Valores iniciais

alpha0=lambda0=1

names(alpha0)=’alpha0_hat’

names(lambda0)=’lambda0_hat’

inicial=c(1,1)

names(inicial)=c(’alpha_hat’,’lambda_hat’)

#Simulac~ao

#Permutac~oes

N=Y=y=Z=z=NULL

for (n in seq(5,150,5)){

for (i in 1:10000) {

#Gerando valores

T=rmoew(n, 1, 1) #MarshallOlkin

C=rexp(n,1/5.5) #Censura

t=pmin(T,C) #Tempo observado

c=rep(0,n);for (k in 1:n){if (T[k]<C[k]) c[k]=1} #vetor de censura

#Estimando numericamente alpha0_hat

resposta_a=optim(alpha0,fn=lmoew2,t=t,c=c,lambda=1,method="BFGS",


ajuste=survreg(Surv(t,c)~1,dist="weibull")

l.restrito=ajuste$log[2]

#Estimando numericamente alpha_hat e lambda_hat

resposta=optim(inicial,fn=lmoew,t=t,c=c,method="BFGS",

49


#TRV

#TRV=2*(lmoew(resposta$par,t,c)-lmoew2(lambda0,t,c,resposta_a$par))

TRV=2*(lmoee(resposta$par,t,c)-l.restrito)

#TG

TG=(1/lambda0)*sum(1-smoew(t, resposta_a$par,lambda0)*(1+c))*

(resposta$par[2]-lambda0)

#Proporc~ao

if (1-pchisq(TRV,1)<0.05) y=c(y,1)

if (1-pchisq(TG,1)<0.05) z=c(z,1)

}

Y=c(Y,(sum(y)/10000))

Z=c(Z,(sum(z)/10000))

N=c(N,n)

z=y=NULL

#Gerando os graficos

plot(N,Y,type=’l’,ylim=c(0,.3),col=’blue’,lty=1,xlab=’Tamanho de amostra n’,

ylab=’%’)

lines(N,Z,type=’l’,col=’red’,lty=5)

abline(h=.05,lty=3)

legend(’topright’, c(’TRV’,’TG’), col=c(’blue’,’red’),

text.col = c(’blue’,’red’),lty = c(1,5), merge = F, bg = ’gray90’)

}

Documents

Testes em Modelos Weibull na Forma Estendida de Marshall-Olkin · universidade federal do rio grande do norte centro de ciencias exatas e da terra^ programa de pos-graduac˘ ao em