UFF – Graduacao em MatematicaLista 3 de Geometria Analıtica II – Prof. Andrea Guimaraes

1. Determine o lugar geometrico:

(a) do ponto que se desloca de modo que a soma de sua distancia a (2, 3, 4) e (2,�3, 4) permaneceigual a 8.

(b) dos pontos cuja diferenca entre sua distancia a (�4, 3, 1) e (4, 3, 1) seja igual a 6.

(c) dos pontos cuja distancia a (2,�1, 3) vale o dobro de sua distancia ao eixo OX.

(d) dos pontos, cujo quadrado da distancia ao eixo OX e sempre o triplo de sua distancia aoplano ⇡

yz

.

(e) dos pontos cuja distancia ao plano ⇡yz

E sempre igual ao dobro da distancia ao ponto(1,�2, 2).

(f) dos pontos cuja distancia ao eixo OX E igual ao triplo de sua distancia a (2, 3,�3).

(g) dos pontos cuja diferenca entre a distancia a (0, 0, 3) e (0, 0,�3) E igual a 4.

(h) dos pontos cujo quadrado de sua distancia ao eixo dos OZ e sempre igual ao dobro de suadistancia ao plano ⇡

xy

.

2. Achar a equacao do paraboloide de vertice, na origem com eixo OZ, e que passa pelos pontos(3, 0, 1) e (3, 2, 2).

3. Determinar a equacao do hiperboloide de duas folhas de centro na origem e eixos sobre os eixoscoordenados, que passa pelos pontos (3, 1, 2), (2,

p11, 3) e (6, 2,

p15).

4. Determine a reta contida em o cone elıptico S : (x + 1)2 + 2(y � 1)2 = z2 que passa pelo pontoP = (1, 1,

p3).

5. Determine, identificando, uma quadrica na forma canonica que contem o ponto P = (1, 1,�1) epossui a secao plana

� =

⇢4y2 + 2z2 = 3x = 2

6. Determine a equacao do hiperboloide de uma folha H de centro na origem e tal que:

• as secoes planas paralelas ao plano XZ sao cırculos e

• os pontos P = (�3, 1, 3) e Q = (p6, 13 ,

p4) pertencam a H

7. Faca um esboco da regiao dada pelo sistema de inequacoes:

R :

8<

:

x

2

16 +y

2

16 � z

2

4 1x2 + y2 160 z 6

8. Determine a equacao do hiperboloide de duas folhas tal que todas as secoes planas x = k, comk 2 R, sao hiperboles equilateras com reta focal paralela ao eixo OY e que possui o cırculo

� :

⇢x2 + z2 = 1y =

p2

como secao plana.

9. Considere as superfıcies de revolucao S1 e S2, obtidas pela rotacao das respectivas retas

l1 :

⇢x = 1y = 0

e l2 :

⇢z = 1x = 0

Faca um esboco detalhado no primeiro octante das superfıcies S1 e S2, ressaltando a curva C deintersecao das mesmas e os pontos de intersecao de C com os eixos e planos coordenados.

10. Considere o ponto P = (1, 2, 1) e a curva

C :

⇢y = x2

z = 0

(a) Encontre uma parametrizacao para a superfıcie regrada cilındrica de diretriz C, cujas gera-trizes sao paralelas ao vetor

�!OP , onde O e a origem. Faca um esboco da mesma!

(b) Encontre uma parametrizacao para a superfıcie regrada conica de diretriz C, cujas geratrizespassam pelo ponto P . Faca um esboco da mesma!

11. Encontre as equacoes parametricas do elipsoide de revolucao S, de eixo OX, cuja geratriz e aelipse 8

<

:

x2

4+

y2

16= 1

z = 0

12. A intersecao de um elipsoide de revolucao E , cujo eixo de rotacao e o eixo OX, com o hiperboloidede uma folha H : x

2

9 + y2 � z2 = 1, esta contida na uniao dos planos z = 5 e z = �5. Determinea equacao de E .

13. Considere o cone de equacao C : x

2

9 + y

2

4 = z2.

(a) Parametrize e identifique a curva obtida pela intersecao do cone C com o plano {z = k}.(b) Determine as equacoes parametricas do plano⇧

P

que passa pelo ponto P = (3k cos(t0), 2k sen(t0), k)

e e paralelo aos vetores �!u =�!OP e �!v = (�3k sen(t0), 2k cos(t0), 0).

(c) Calcule as equacoes de ⇧P

para P = (6, 0, 2).

(d) Calcule a intersecao ⇧(6,0,2) \ C. Faca o esboco desta intersecao e de C no mesmo grafico.

14. Faca o esboco da seguinte regiao no R3:

R :

8>><

>>:

x2 + y2 < 4x2 + y2 � 2x+ |y| 20 z 2

15. Considere a regiao dada pelo sistema de inequacoes:

R :

8<

:

x2 + y2 1x2 + y2 z2

0 z 2

Faca um esboco de cada superfıcie que delimita a regiao R.

GABARITO DE ALGUMAS QUESTOES

1. (a) (x�2)2

7 + y

2

16 + (z�4)2

7 = 1, que representa um elipsoide com centro em (2, 0, 4) e semi-eixosp7u.c., 4u.c.,

p7u.c.

(b) x

2

9 � (y�3)2

7 � (z�1)2

7 = 1, que representa um hiperboloide de duas folhas com centro em(0, 3, 1) e eixo transverso paralelo ao eixo dos x. Como as secoes paralelas ao plano yz saocircunferencias, a superfıcie e um hiperboloide de revolucao de duas folhas.

(c)(y� 1

3 )2

409

+ (z+1)2409

� (x�2)2403

= 1 que representa um hiperboloide de revolucao de uma folha, em

torno do eixo dos x, com centro em (2, 13 ,�1).

(d) y2 + z2 = 3x.

(e) 3x2 + 4y2 + 4z2 � 8x+ 16y � 16z + 36 = 0.

(f) 9x2 + 8y2 + 8z2 � 36x� 54y + 54z + 198 = 0.

(g) 5z2 � 4x2 � 4y2 = 20. Hiperboloide de duas folhas. Centro na origem.

(h) x2 + y2 � 2z = 0. Paraboloide de revolucao em torno do eixo do OZ.

2. 4x2 + 9y2 = 36z.

3. 3z2 � x2 � 2y2 = 1. Hiperboloide de duas folhas, eixos transverso ao longo do eixo dos z.

4. r : (�1 + 2t, 1,p3t).

5. SejaQ : Ax2 +By2 + Cz2 = R (⇤)

uma quadrica na forma canonica tal que P 2 Q e � ⇢ Q. Substituindo x = 2 em (⇤), obtemos

� =

⇢By2 + Cz2 = R� 4Ax = 2

Assim, podemos escolher B = 4, C = 2 e R� 4A = 3.

Substituindo P em Q, temos A + B + C = R e, como B = 4 e C = 2, temos A + 6 = R. Logo,resolvendo o sistema

� =

⇢R� 4A = 3A+ 6 = R

temos A = 1 e R = 7. Entao temos que a quadrica

Q : x2 + 4y2 + 2z2 = 7

satisfaz as condicoes exigidas e e um elipsoide.

6. A equacao geral de um hiperboloide de uma folha centrado na origem e

Ax2 +By2 + Cz2 = D

onde D > 0, A,B,C sao nao nulos e apenas um deles e negativo.

Os planos paralelos ao plano XZ sao os da forma y = k. Substituindo na equacao temos⇢

Ax2 + Cz2 = D � Bk2

y = k

A fim de que esta equacao represente um cırculo no plano y = k devemos ter do lado esquerdo daigualdade A = C, o que nos leva a concluir que ambos tem que ser positivos (ja que apenas umdos tres e negativo); e portanto, B e negativo, deixando o termo D�Bk2 > 0 (raio do cırculo aoquadrado).

Resumindo, temosAx2 +Bz2 + Az2 = D

onde D > 0, A > 0 e B < 0. Dividindo tudo por D e reorganizando teremos:

x2

↵� y2

�+

z2

↵= 1

com ↵ = D

A

e � = �D

B

.

Vamos agora substituir os pontos P = (�3, 1, 3) e Q = (p6, 13 ,

p4). Chegamos ao seguinte sistema

de equacoes:

8<

:

18↵

� 1�

= 1

10↵

� 19� = 1

Que nos leva a solucao ↵ = 9 e � = 1.

Portanto a equacao de H e

H :x2

9� y2 +

z2

9= 1.

7.

8. Temos o hiperboloide de duas folhas de eixo OY :

H :y2

b2� x2

a2� z2

c2= 1.

Como as secoes planas ⇢y

2

b

2 � z

2

c

2 = k

2

a

2 + 1x = k

sao hiperboles equilateras, entao devemos ter b2 = c2.

Assim,

� :

⇢x

2

a

2 +z

2

b

2 = 2b

2 � 1y =

p2

=) � :

⇢b

2x

2

a

2 + z2 = 2� b2

y =p2

.

Logob2

a2= 1 e 2� b2 = 1

=)|{z}b

2=c

2

a2 = b2 = c2 e b = 1

=)a = b = c = 1.

Ou seja:H : y2 � x2 � z2 = 1.

9. O esboco dos cilindros no primeiro octante:

Logo o esboco da curva de intersecao dos cilindros e (em vermelho na figura):

10. (a) Para este caso basta escolhermos �(t) =�!OP = (1, 2, 1)

' : R⇥ R ! R3

'(t, s) = ↵(t) + s · (1, 2, 1)'(t, s) = (t, t2, 0) + (s, 2s, s)

'(t, s) = (t+ s, t2 + 2s, s)

(b) Para este caso basta escolhermos �(t) = P � ↵(t) = (1� t, 2� t2, 1)

' : R⇥ R ! R3

'(t, s) = ↵(t) + s · (1� t, 2� t2, 1)

'(t, s) = (t, t2, 0) + (s(1� t), s(2� t2), s)

'(t, s) = (t+ s(1� t), t2 + s(2� t2), s)

11. A curva dada por ⇢f(x, y) = x

2

4 + y

2

16 � 1 = 0z = 0

esta contida no plano XY . Como a rotacao e realizada em torno do OX, subtituımos y em f(x, y)pela expressao ±p

y2 + z2. Logo a equacao cartesiana de S e:

S : f(x,±p

y2 + z2) = 0,

ou seja,

S :x2

4+

(±py2 + z2)

16� 1 = 0

=)S :

x2

4+

(y2 + z2)

16� 1 = 0

=)S :

x2

4+

y2

16+

z2

16= 1.

Consequentemente, as equacoes parametricas sao:

S :

8<

:

x(s, t) = 2 cos s cos ty(s, t) = 4 cos s sen tz(s, t) = 4 sen s

, t, s 2 R

12. A equacao geral de E e da forma:

E :x2

a2+

y2

b2+

z2

b2= 1

As intersecoes sao

E \ {z = ±5} :

⇢x

2

a

2 +y

2

b

2 = 1� 25b

2

z = ±5e H \ {z = ±5} :

⇢x

2

9 + y2 = 26z = ±5

Multiplicando a primeira por b2 e subtraindo a segunda temos✓b2

a2� 1

9

◆x2 = b2 � 51

Como esta igualdade tem que valer para todo x 2 [�3, 3] 1, devemos ter

b2

a2� 1

9= 0 e b2 � 51 = 0

b2 = 51 e a2 = 9b2 = 459

Logo, a equacao do elipsoide procurado e:

x2

459+

y2

51+

z2

51= 1

13. (a) ↵(t) = (3k cos(t), 2k sen(t), k)

(b)

⇧P

: P + t�!u + s�!v= (3k cos(t0), 2k sen(t0), k) + t(3k cos(t0), 2k sen(t0), k)

+s(�3k sen(t0), 2k cos(t0), 0)

= (3k cos(t0) + t.(3k cos(t0)) + s(�3k sen(t0)),

2k sen(t0) + t(2k sen(t0)) + s(2k cos(t0)), k + tk)

Portanto, as equacoes parametricas sao

⇧P

:

8<

:

x = 3k(t cos(t0)� s sen(t0) + cos(t0))y = 2k(t sen(t0) + s cos(t0) + sen(t0))z = k(t+ 1)

(c) P = (6, 0, 2) =) t0 = 0, k = 2. Logo,

⇧(6,0,2) :

8<

:

x = 6t+ 6y = 4sz = 2t+ 2

(d) Precisamos encontrar valores de t e de s tal que (6t+ 6, 4s, 2t+ 2) satisfacaa a euacao de C:(6t+ 6)2

9+

(4s)2

4= (2t+ 2)2

36(t+ 1)2

9+

16s2

4= 4(t+ 1)2

4s2 = 0

s = 0

Assim, a intersecao procurada consiste de todos os pontos da forma (6t+ 6, 0, 2t+ 2).

⇧(6,0,2) \ C = {(6t+ 6, 0, 2t+ 2); t 2 R} = P + t�!OP.

E este conjunto e exatamente a reta que passa por P e tem a direcao do vetor�!OP .

O plano ⇧P

e o plano tangente ao cone C no ponto P (e portanto ao longo de toda a retaque contem P e esta contida em C).

14. Observe que a primeira figura, feita no R2, e a parte de R quando z = 0. Esse desenho foi feitopara uma melhor compreensao da regiao inteira!

1esse x veio dos pontos (x, y,±5) que pertencem as elipses H \ {z = ±5} cujos eixos na direcao OX medem ambos 6,

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