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calculos de intergrais, toda e explicação.
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1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB / CAMPUS II – ALAGOINHAS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – DCET COLEGIAO DE MATEMÁTICA
CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
TEXTO
CÁLCULO II
Elaboração
Grace Baqueiro
[ ALAGOINHAS – 2011]
2
APRESENTAÇÃO
Caros Estudantes!
Sejam bem vindos ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
O Cálculo Diferencial e Integral, foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727)
e Gottfried Leibniz (1646-1716), e utilizado como uma ferramenta auxiliar em várias
áreas das ciências exatas, inclusive na área das Ciências da Computação, a
exemplo da parceria TecnologiaXMedicina.
O estudo do Cálculo está alicerçado nos conceitos de Limite, Derivada e
Integral. Veremos ao longo deste módulo, as definições, propriedades e exemplos,
relacionados ao cálculo da integral de funções. Tudo isto de forma leve, sem muito
rigor formal.
A idéia é transmitir o conteúdo, utilizando uma linguagem simples e muitas
ilustrações gráficas. Tais gráficos foram feitos com o uso do software Winplot, que é
de domínio público. No corpo do texto vocês verão dicas de como utilizá-lo.
A princípio, o estudo do cálculo pode parecer difícil, mas não é. Porém, é
importante dar uma revisada em alguns assuntos já vistos no ensino médio, tais
como: funções, geometria e trigonometria, pois eles são a base deste estudo.
Com estes assuntos em dia, muito estudo e bastante dedicação, vocês vão
conseguir aprofundar e ter sucesso no estudo deste Componente Curricular.
Bons Estudos!
3
Sumário
1 BREVE HISTÓRICO .................................................................................... 4
2 INTEGRAL ................................................................................................... 6
2.1 Idéia Intuitiva de Integral ............................................................................................ 7
2.2 Integrais definida ....................................................................................................... 12
2.3 Integral indefinida ..................................................................................................... 14
2.4 Técnicas de integração .............................................................................................. 18
2.4.1 Método da Substituição ..................................................................................... 18
2.4.2 Método da integração por partes ...................................................................... 21
2.4.3 Método da integração de funções racionais por frações parciais ..................... 24
2.5 Teorema Fundamental do Cálculo ............................................................................ 26
2.6 Aplicações da Integral Definida ................................................................................. 28
2.6.1 Cálculo de áreas ................................................................................................. 28
2.7 Cálculo de volume de sólido de revolução ................................................................ 35
2.8 Integrais Impróprias .................................................................................................. 39
3 Referências ................................................................................................ 50
4
1 BREVE HISTÓRICO
Baseado em uma pesquisa feita no Wikipédia (disponível no site:
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo), apresento abaixo uma pequena
retrospectiva, da história do Cálculo Diferencial e Integral que foi se desenvolvendo
ao longo do tempo e, seus principais precursores.
Antiguidade:
Alguns matemáticos já desenvolviam idéia do cálculo integral, porém sem nenhum
rigor ou sistematização.
A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser
remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 a.C.), no qual um egípcio
trabalhou o volume de um frustum (é o espaço "piramidal" que pode ser
visto pela câmera ( observador ) em um espaço em 3D.) piramidal.
Eudoxus (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para calcular áreas e
volumes.
Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa idéia além, inventando a
heurística, que se aproxima do cálculo integral.
O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no século III,
que o usou para encontrar a área do círculo. O método também foi usado
por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.
Idade Média:
O matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C.
No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada
de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial.
No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros
matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática,
descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas
como Yuktibhasa.
5
Idade Moderna
Descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII
no Japão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de
exaustão.
Na Europa, na segunda metade do século XVII, os matemáticos John Wallis,
Isaac Barrow e James Gregory, contribuíram com grandes descobertas, no
sentido de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido
solucionados, entre eles, um caso especial do segundo teorema fundamental
do cálculo em 1668.
Coube a Gottfried Wilhelm von Leibniz e a Isaac Newton recolher essas idéias
e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é
atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. O argumento
histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram
de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Idade contemporânea
No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por
matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass.
Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas
ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou
a noção de integral.
Caro estudante:
Através desta retrospectiva do desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral,
vimos que ela remonta de dois séculos antes de Cristo. Vários matemáticos foram
aproveitando as idéias oriundas dos seus antecessores e, com muito estudo e
dedicação, ampliando tais conhecimentos, para que tivéssemos nos dias de hoje, o
estudo do Cálculo todo sistematizado. Nosso único trabalho é: estudar e
compreender os conceitos básicos. Aproveitem!
6
2 INTEGRAL
O Cálculo integral é usado em todos os ramos das ciências: Física, Estatística,
Engenharia, Computação, Medicina, Química e em outras áreas sempre que um
problema possa ser modelado matematicamente.
As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, quando foram encontradas áreas
usando o chamado “método da exaustão”. Naquela época os gregos já sabiam
encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos, como na figura
abaixo, e em seguida, somando as áreas obtidas.
Figura 1: polígono dividido em triângulos
Fonte: adaptado pelo autor
Área total = A1+ A2+ A3+ A4+ A5
Este método, porém, fica mais difícil quando queremos achar a área de uma
figura curva.
Figura 2: Figuras que não são polígonos
Fonte: adaptado pelo autor
Os gregos calculavam a área de figuras curvas, inscrevendo e
circunscrevendo polígonos e, então, aumentando o número de lados deles.
Veja como eles fizeram para encontrar a área do círculo:
Figura 3: figuras de polígonos inscritos em uma circunferência
Fonte: adaptado pelo autor
7
Seja An a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos
n, fica evidente que An ficará mais próximo da área do círculo. Eudoxos (século V
a.C. ) usou a exaustão para provar a conhecida fórmula da área A = π r2.
2.1 Idéia Intuitiva de Integral
Usaremos agora, uma idéia similar a do “método da exaustão”, para calcular a
área de regiões curvas, sendo que com uma diferença: a área desejada será o limite
do somatório das áreas dos polígonos, ou seja,
nS
nLimA , onde Sn = A1+ A2+ A3+…+ An
Ex: Seja f(x) = x2, uma função real. Vamos calcular a área (A) da região formada
pelas retas x=0, x=1 e pela curva do gráfico.
Figura 4: Gráfico da função f(x) = x2 no intervalo [0,1]
Fonte: adaptado pelo autor
1º CASO: Vamos dividir a área A em quatro retângulos, A1, A2, A3 e A4, cuja base
terá a mesma medida: 4
1x e as alturas desses retângulos são os valores da
função f(x) = x2 nos extremos direitos de cada subintervalo:
1´
4
3,
4
3,
2
1,
2
1,
4
1,
4
1,0 .
8
x
y
A
A
A2
3
4
A1
Figura 5: Gráfico da função f(x) = x2 no intervalo [0,1]
Fonte: adaptado pelo autor
Lembrando que a área de um retângulo é dada pelo produto da base pela
altura, a área de cada retângulo será dada por:
A1 = 64
1
4
1
16
1
4
12
4
1
A2 = 16
1
4
1
4
1
4
12
2
1
A3 = 64
9
4
1
16
9
4
12
4
3
A4 = 4
1
4
11
4
121
S4 = A1+ A2+ A3+ A4 = 46875,032
15
64
30
4
1
64
9
16
1
64
1
Como a área encontrada é maior que a área desejada, temos que
A < S4 A < 0,46875
2º CASO: Vamos dividir a área A em quatro retângulos, A1, A2, A3 e A4, cuja base
terá a mesma medida: 4
1x e as alturas desses retângulos são os valores da
função f(x) = x2 nos extremos esquerdos de cada subintervalo:
1´
4
3,
4
3,
2
1,
2
1,
4
1,
4
1,0 .
9
x
y
A
A
A 2
3
4
Figura 6: Gráfico da função f(x) = x2 no intervalo [0,1]
Fonte: adaptado pelo autor
Lembrando que a área de um retângulo é dada pelo produto da base pela
altura, a área de cada retângulo será dada por:
A1 = 04
10
4
120
A2 = 64
1
4
1
16
1
4
12
4
1
A3 = 16
1
4
1
4
1
4
12
2
1
A4 = 64
9
4
1
16
9
4
12
4
3
S’4 = A1+ A2+ A3+ A4 = 21875,032
7
64
14
64
9
16
1
64
10
Como a área encontrada é menor que a área desejada, temos que
A > S’4 A > 0,21875
Portanto, S’4 < A < S4 , ou seja, 0,21875 < A < 0,46875.
Assim, conseguimos achar uma estimativa para o valor da área A, porém,
podemos obter melhores estimativas, aumentando o número de retângulos. Veja
abaixo, como ficou o gráfico de f(x)=x2, quando subdividimos a área A em 30
retângulos:
10
x
y
0,0625
0,25
0,5625
1
x
y
0,0625
0,25
0,5625
1
Figura 7: Gráfico da função f(x) = x2 no intervalo [0,1]
Fonte: adaptado pelo autor
Veja também como ficam as estimativas para a área A, à medida que aumentamos o
valor de n ( número de retângulos):
Figura 8
Fonte: adaptado pelo autor
Vamos agora usar o limite, para calcular o valor exato da área A:
Vamos dividir a área A em n retângulos, A1, A2, A3,... , An, cuja base terá a mesma
medida: n
x1
e as alturas desses retângulos são os valores da função f(x) = x2
nos extremos direitos de cada subintervalo:
n
n
n
n
nnnnn,
1,,
3,
2,
2,
1,
1,0 .
11
Assim sendo, teremos:
3
12
6
10201
6
1
1
2
1
1
6
112
11
6
1
12
1
6
1
2n
1)1)(2n(n
6
1
6
)12)(1(
3
1
)2232221(
2
11
21231221211
nS
nnLim
nLim
nnLim
nLim
nnLim
nnLim
n
n
nLim
n
n
nLim
nLim
nnn
nnLimn
nnnLim
n
n
nnnnnnnnLim
nLimA
Conclusão: A área da região formada pela função f(x) = x2 e pelas retas x=0 e x=1, é
dada por A = 3
1 0,3333333...
Com este exemplo, vimos que para calcular o valor exato da área, fizemos o
número de retângulos tender ao infinito e, em seguida passamos o limite no
somatório. De um modo mais geral temos:
5.1.1. Definição:
Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área sob a curva
de y = f(x), de a até b, é definida por A =
0
1i
)if(c 0
ix
ixmáxLim ,
Lembrando:
1- A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é dada
por
12 +22 + 32 + ...+ n2 = 6
)12)(1( nnn
2- 01
nn
Lim
12
onde Δxi e f(ci) são as medidas da base e da altura do retângulo, respectivamente.
OBS: Fazer o número de retângulos tender ao infinito( n→∞), equivale a
diminuir cada vez mais o tamanho da base, ou seja, máxΔxi → 0.
Veremos mais adiante que para calcular o volume de um sólido e o
comprimento de um arco, também usaremos a mesma idéia de subdivisões. No
caso do volume, vamos subdividir o sólido em cilindros e para calcular o
comprimento do arco, vamos subdividir em segmentos de retas.
Você deve estar se perguntando: mais o que o cálculo da área, volume
comprimento de arco tem a ver com o estudo da integral? Isto é o que vamos ver no
próximo item.
2.2 Integrais definida
Como vimos anteriormente, a integral está associada ao limite, que já
estudamos no capítulo 1. Vejamos a definição de integral definida:
5.2.1. Definição:
Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma partição qualquer de
[a,b]. A integral definida de f de a até b, denotada por:
b
a
dxxf )( , é dada por
n
1i)if(c
0)( ix
ixmáxLim
b
a
dxxf , desde que o limite do 2º membro exista.
SAIBA MAIS:
OBS: A soma
n
1i)if(c ix é chamada de soma de Riemann, em
homenagem ao matemático Bernhard Riemann(1826-1866)
13
Comparando a definição 3.2.1 com a 3.1.1, percebemos que quando a função
é contínua e não negativa em [a, b], a integral definida b
a
dxxf )( nos dá exatamente,
a área da região sob o gráfico de f de a até b.
Se b
a
dxxf )( existe, dizemos que f é integrável em [a, b].
5.2.2. Definição:
(a) Se a > b, então
a
b
dxxfb
a
dxxf )()( .
(b) Se a=b e f(a) existe, então 0)(
b
a
dxxf
5.2.3. Teorema :
Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b].
5.2.4. Propriedades da Integral Definida:
Sejam f e g funções contínuas, então:
1. )( abcb
a
dxc , onde c é qualquer constante.
OBS: Se c > 0, temos o caso em que A = )( abcb
a
dxc . Neste caso, é a área
de um retângulo. Veja o gráfico:
14
Figura 9: Área de um retângulo
x
y
a b
c
c(b - a)
Fonte: adaptado pelo autor
2. a
b
dxxga
b
dxxfb
a
dxxgxf )()( )]()([
3. a
b
dxxfcb
a
dxxfc )( )( , onde c é qualquer constante.
4.
b
c
b
a
dxxfdxxfc
a
dxxf )()( )(
Vimos que a definição de integral definida está associada ao cálculo do limite.
Contudo, veremos nos próximos capítulos que para integrar uma função, não vamos
fazer uso do cálculo do limite, e sim, da derivada.
Para isto, vamos conhecer a definição de integral indefinida, que consiste no
processo inverso da derivação. Veremos também algumas técnicas de integração e,
em seguida, voltaremos a falar da integral definida, apresentando o teorema
fundamental do cálculo, que estabelece a ligação entre as operações de derivação e
integração.
2.3 Integral indefinida
5.3.1. Definição:
15
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I, se para
todo x I, temos F’ (x) = f(x).
Ex:
a) F(x) = cosx é a primitiva de f(x) = -senx, pois F’(x)=(cosx)’ = -senx.
b) F(x) = tgx é a primitiva de f(x) = sec2x, pois F’(x)= (tgx)’ = sec2x
c) F(x) = 3
3xé a primitiva de f(x) = x2 pois, F’(x)= 22
3
13
'
3
3xx
x
5.3.2. Proposição:
Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a
função G(x) = F(x) + c também é uma primitiva de f(x).
Ex: F(x) = senx é a primitiva de f(x) = cosx, pois (senx)’ = cosx.
Assim sendo, G(x)= senx + 3 também é uma primitiva de f(x) = cosx, pois
G’(x)=(senx)’ + ( 3)’ = cosx + 0 = cosx.
De um modo geral, se G(x)= senx + c ( onde c é uma constante qualquer) também é
uma primitiva de f(x) = cosx, pois G’(x)=(senx)’ + ( c)’ = cosx + 0 = cosx.
5.2.3. Definição:
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida
da função f(x) e é denotada por
cxFdxxf )()(
onde,
: é o sinal de integral
f(x) é chamado de integrando
16
a e b são os limites de integração
dx: não tem um significado oficial, serve para identificar a variável de integração
A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que
é um processo que inverte a derivada de funções
Ex: calcular as integrais indefinidas abaixo:
a) cdxx senx cos , pois (senx + c)’ = cosx
b) cx
dxx3
3 2 , pois , 22
3
13
'
3
3xxc
x
c) ctgxdxx 2sec
d) cxx
dxdx
xln
1
Viu como é simples? Basta saber derivada.
5.2.4. Proposição:
Sejam f e g, funções definidas em um intervalo aberto I e c uma constante. Então:
( i ) dxxfcdxxfc )( )( ( podemos tirar a constante do integrando )
(ii ) d(x) )()( ) g(x) )(( xgdxxfdxxf (Integral da soma é a soma das integrais)
Com a definição e as propriedades de integral indefinida, podemos calcular a
integral de várias funções.
17
SUGESTÃO DE LEITURA: Você pode pesquisar mais integrais imediatas em
livros de Cálculo que estão disponíveis na biblioteca de sua Universidade.
Como sugestão indico o livro:
FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
Exemplos:
a) cxx
senxdxxdxx cos3
3dx 2 senx) 2(
b) cxx 3
3
3x3dx 23dx 23x
c) cxxxedxxtgxxe 32secxedx 23x-dx tgx dx )23(
Algumas integrais são imediatas, pois já conhecemos as derivadas das
funções. Veja algumas no quadro abaixo:
TABELA 1
Ex: Calcular as seguintes integrais indefinidas:
a) cx
cx
cx
22
1
2
2
13-
13-xdx 3
3x
dx
ca x dx) cd xe dx xe)
cb
arctgx 2x1
dx) ce xln
x
dx)
cc
1
1x dx x)
f) cxf secdx tgx secx)
18
b) ctarctgt
dt
t
dt
t
dt
3
5
123
5
1235
323
5
cxxcx
xcx
x
dxxsenxsenxdxc
2cos5
21
21
cos5
12
1
12
1
)cos(5
21
dx 5x
dxdx 5
x
15senx)
c 2sec2cos
1
2sen
dx ) tgxdxxdx
xxd
2.4 Técnicas de integração
Dada a função 4xe
xe )(
xf , você consegue imaginar qual é a sua primitiva? Veja
que a integral indefinida dxxe
4
xe não é imediata. Na maioria dos casos vamos
encontrar integrais não imediatas, mas que podem ser calculadas, bastando para
isto, usar certas técnicas de integração. Vejamos duas delas:
2.4.1 Método da Substituição
Este método consiste em fazer uma mudança de variável, de modo que a nova
função recaia em uma integral imediata.
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F’(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja
uma função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F.
Podemos então, considerar a função composta Fo g.
Pela regra da cadeia, temos
19
[ F(g(x)) ] ’(x) = F’(g(x)). g’(x) = f (g(x)) . g’(x)
Se [ F(g(x)) ] ’(x) = f ’(g(x)) . g’(x), podemos afirmar que F(g(x)) é a primitiva de
f’(g(x)) . g’(x) e, desta forma, pela definição de integral indefinida, temos que:
( I )
Se fizermos a mudança de variável, u = g(x) dxxgdu )('dx
du(x)g' e,
substituindo em ( I ), teremos:
cuFduuf ))( )(
Vamos ver como isto funciona na prática:
Ex: Calcular as integrais seguintes, usando o método da substituição:
a) dxxe
4
xe
Fazendo u = ex + 4 dxxeduxedx
duxedx
du
' 4
Substituindo,
cuu
du
xe
dxxedx
xe
ln
44
xe. Como u = ex + 4, concluímos que:
cxedxxe
4ln4
xe
OBS: Veja que mesmo fazendo a mudança de variável, a resposta final é dada na
variável de integração, que neste exemplo foi x.
A princípio pode parecer difícil, mas com a prática você vai ver que é simples.
Vamos fazer mais exemplos:
b)
853
dx
x
cxgFdxxgxgf ))(( )('))((
20
Fazendo u = 3x – 5 3
33 ' 53 du
dxdxdudx
dux
dx
du . Logo,
c
uc
uc
uduu
u
du
u
du
x 7 21
1
)7(3
7
18
18
3
18
3
1
83
1
83
853
dx
Portanto,
cxx
7)53(21
1
853
dx
c) 42
dy
y
Antes de fazer a mudança de variável, vamos preparar o integrando:
12
2
4
1
14
24
1
14
24
42
dy
y
dy
y
dy
y
dy
y
Fazendo dudydy
duy
dy
duyu 2
2
1'
22
. Logo,
ccuarctgu
du
u
du
y
dy
y
2
yarctg
2
1
2
1
124
12
12
2
4
1
12
2
4
1
42
dy
De um modo geral, ca
x
aax
arctg
1
22
dx .
d) Para calcular a integral indefinida 32
dy
ybasta aplicar a fórmula acima:
2
3232
dy
y
dy
y. Veja que neste caso, a = 3 , logo:
c 3
3arctg
3
3
3
yarctg
3
1
32
dy
yc
y
21
e) dxx2cos
senx
Fazendo u = cosx -dudx senxdxsenxdusenxdx
du, portanto:
cucu
cu
duuu
du
u
dudx
x
1
1
1
12
122
222cos
senx
Conclusão: cx
cxdxx
cos
11)(cos2cos
senx
2.4.2 Método da integração por partes
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Vamos calcular a derivada do
produto de f por g:
[ f(x) . g(x) ] ’ = f ’(x). g(x) + f(x) . g’(x)
Assim sendo, podemos afirmar que f(x).g(x) é a primitiva da função
f’(x).g(x)+f(x).g’(x) e, pela definição de integral indefinida, temos:
c g(x)f(x) ] )(')()()('[ dxxgxfxgxf
c g(x)f(x) )(')()()(' dxxgxfdxxgxf
( I )
Fazendo u = f(x) du = f ’(x) dx e v = g(x) dv = g’(x) dx
Substituindo em ( I ), ficamos com:
dx g(x)(x)f' - g(x)f(x) dx )(')( xgxf
du -v . vudvu
22
Esta é a fórmula de integração por partes, nada formal, mas que é fácil de gravar.
Parece difícil, mas não é. Preste atenção nos exemplos abaixo:
a) dxlnx x
Fazendo
u = lnx du = dxx
1
dv = 3
23
2
23
23
12
1
12
1
21
xxx
vdxxvdxxvdxx
Portanto, aplicando a fórmula, teremos
cxxxdx
cx
xx
dx
dxxxx
dx
dxx
xx
xdx
23
9
4ln2
3
3
2lnx x
3
23
2
3
2ln
3
23
2lnx x
21
3
2ln
3
23
2lnx x
1
3
23
2ln
3
23
2lnx x
b) dxx 3cos
Vamos, inicialmente, preparar o integrando:
dx cos2cos 3cos xxdxx
Fazendo
u = cos2x du = 2cosx(-senx) dx ( lembrar da regra da cadeia)
dv = cosx dx senx dx cosx v
Portanto, aplicando a fórmula, teremos
23
dxxsenxsenxsenxxdxx cos22cos 3cos
xdxxsensenxxdxx cos222cos 3cos ( * )
Mas, temos ainda que calcular dx cos2 xxsen . Neste caso, vamos usar o
método da substituição, ou seja,
Fazendo w = senx dwdxxx coscosdx
dw . Logo,
3
3
3
32dx cos2 xsenwdwwxxsen
Fazendo a substituição em ( * ), ficamos com:
cxsen
senxxdxx
cxsen
senxxdxx
xxsensenxxdxx
3
322cos 3cos
3
322cos 3cos
dx cos222cos 3cos
c) dx lnx
Fazendo
u = lnx du = x
1dx
dv = dx xdx v
Portanto, aplicando a fórmula, teremos
cxxxx
xxxx
dxx
xxxx
lndx ln
dx lndx ln
1
lndx ln
24
2.4.3 Método da integração de funções racionais por frações parciais
As funções racionais são aquelas definidas como o quociente de duas funções
polinomiais
)(
)()(
xq
xpxf , onde p(x) e q(x) são funções polinomiais.
Ex: 5
1
x,
33
2
x
x,
5
1
x,
5
322
x
xx
5.4.3.1. Proposição:
Se f(x) é um polinômio com coeficientes reais, f(x) pode ser expresso como um
produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais.
Ex:
a) f(x)= 2x2-2x-12 = 2 ( x+2)(x-3)
b) g(x) = x3-3x2-x+3 = (x-1)(x+1)(x-3)
c) h(x) = x3+x = x(x2 + 1)
O método da integração de funções racionais por frações parciais é dividido em 4
casos, porém, vamos ver apenas o mais simples deles: quando dado a função
racional )(
)()(
xq
xpxf , o denominador q(x), puder ser escrito como um produto de
fatores lineares e distintos, ou seja,
q(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-an), onde os ai , i = 1,2, ...,n, são todos distintos.
25
A idéia é decompor a função racional )(
)()(
xq
xpxf em frações mais simples, a qual
podemos calcular a integral, usando um dos métodos já conhecidos.
Ex:
a) 2x-4
dx
1º passo] fatorar o denominador: 4-x2 = 22-x2 = (2-x)(2+x)
2º passo] reescrever a função 24
1
x como uma soma de frações, onde o
numerador colocaremos constantes a serem determinadas e no denominador os
fatores de 4-x2:
x
B
x
A
x
2224
1
3º passo] Calcular A e B:
)2)(2(22
)2)(2(24
1xx
x
B
x
Axx
x
4
14
1
141 2B 2A
0 B-A 2B)(2AB)x - (A 1
Bx - 2BAx 2A 1
)2()2(1
A
B
A
BA
xBxA
4º passo] Calcular a integral 24 x
dx
x
dx
x
dxdx
xdx
xdx
x
B
x
A
x
dx
24
1
24
1
2
4
1
2
4
1
2224
Veja que ficaram duas integrais que pode ser calculada pelo método da substituição:
26
Fazendo u = 2 – x dudxdx
du 1 e v = 2 + x dvdx
dx
dv 1 . Logo,
xuu
du
u
du
x
dx
2lnln
2
xvv
dv
x
dx
2ln ln
2
Conclusão:
cxxx
dx
cxxx
dx
x
dx
x
dx
2ln2ln4
1
24
2ln4
12ln
4
1
24
1
24
1
24
Usando a propriedade de logaritmo, podemos ainda escrever:
x
x
x
dx
2
2ln
4
1
24
2.5 Teorema Fundamental do Cálculo
A integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece
limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem
definidos, daí o nome integral definida.
Vamos aprender agora, como calcular a integral definida, usando o teorema
fundamental do cálculo. Este teorema relaciona as operações de derivação e
integração.
5.5.1. Teorema Fundamental do Cálculo:
Se f é contínua sobre o intervalo [a, b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo,
então
27
)()()( aFbFb
a
dxxf
OBS: Também podemos escrever: )()( )()( aFbF
b
a
b
a
xFdxxf
Ex:
a) 10102
2
0
2
0
senx cos
sensendxx
b) 3
1
3
30
3
311
0
1
0
3
3 2
xdxx
c)
1
0
13y
dy
Neste caso, temos primeiro que encontrar a integral indefinida:
Fazendo u = 3y +13
3du
dydy
du . Logo,
133
22
3
1
21
21
3
12
1
3
1
3
13
13
yu
uduu
u
du
u
du
y
dy
Portanto,
3
2
3
22
3
2103
3
2113
3
21
0
1
0
13y3
2
13
y
dy
28
2.6 Aplicações da Integral Definida
Já sabemos que a integral é usado em todos os ramos das ciências: Física,
Estatística, Engenharia, Computação, Medicina, Química e em outras áreas sempre
que um problema possa ser modelado matematicamente.
A seguir, veremos exemplos de algumas aplicações da integral definida, tais
como: o cálculo de áreas e também de volume de sólido de revolução.
2.6.1 Cálculo de áreas
O cálculo de área de de figuras planas, limitada pelo gráfico de f, pelas retas, x=a,
x=b e pelo eixo dos x, ],[ bax está dividida em dois casos:
1º) f(x) 0
2º) f(x) 0
1º Caso] Aprendemos no item 3.2 que se a função f é contínua e f(x) 0 em
[a, b], a integral definida b
a
dxxf )( nos dá exatamente, a área da região sob o gráfico
de f de a até b, ou seja, A = b
a
dxxf )( .
Ex: a) f(x) = 1 + 2x, a = 1 e b = 3
A =
2
1
21 dxx,
Mas, 2
2
222121 xx
xxxdxdxdxx
Logo,
29
u.a 426
2112222
1
2
1
2 21
xxdxx
Figura 10: Área da função f(x) = 1 + 2x no intervalo [1, 2]
Fonte: adaptado pelo autor
Observem que a área formada é de um trapézio, deste modo, poderíamos ter
calculado a área usando a fórmula: 2
)( hbBA
. Onde B é a base maior, b é a
base menor e h é a altura.
Neste caso teríamos:
42
8
2
1)35(
2
)(
hbBA u.a (onde u.a. significa unidade de área.)
Ex: b) f(x) = ex, a =1, b =2.
Figura 11: Área da função f(x) = ex no intervalo [0, 1]
Fonte: adaptado pelo autor
x
y
A
A =
2
1
xe dx, Mas, xedxxe
Logo,
u.a 2122
1
2
1
xe eeeexedx
30
x
y
A
2º CASO: O cálculo de área de figuras planas, limitada pelo gráfico de f, pelas retas,
x=a, x=b e pelo eixo dos x, ],[ bax , onde f é contínua e f(x) 0.
Neste caso, a figura vai estar completamente abaixo do eixo dos x, assim
sendo, as imagens são todas negativas. Ao calcular a integral, o resultado seria
negativo e, não existe área negativa.
Deste modo, para calcular a área usando a integral teremos que usar o
módulo, ou seja,
b
a
dxxfA )(
Ex:
a)Encontre a área limitada pela curva de f(x)=-1+x2 e o eixo dos x.
Figura 12
Fonte: adaptado pelo autor
Mas,
3
32121
xxdxxdxdxx
Logo,
3
8
3
4-
3
4
3
311
3
311
1
1
1
13
3 21
xxdxx
Conclusão: A = audxx .
3
8
3
81
1
21
1
1
21 dxxA
31
x
y
A1
2A
b) Encontre a área da região A limitada pela curva y = cosx e pelo eixo dos x, de 0
até .
Figura 13
Fonte: adaptado pelo autor
Note pela figura, que este exemplo, mistura o 1º e 2º caso, ou seja do intervalo de 0
até 2
vamos usar o caso 1 e do intervalo de
2
até , utilizaremos o 2º caso. Assim
sendo, teremos:
A = A1 + A2 =
2
cos2
0
cos xdxxdx
Já sabemos que senxxdxcos , portanto:
A = A1 + A2 =
2
2
0
2
cos 2
0
cos
senxsenxdxxdxx =
21110012
02
sensensensen u.a
Até aqui, calculamos a área da figura plana limitada pelo gráfico de uma
apenas uma função.
Vejamos como calcular a área de figuras planas, limitada pelo gráfico de f e g,
pelas retas, x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas em [a,b] e f(x) g(x),
],[ bax .
32
x
y
A
y=f(x)
a b
x
y
A
y=f(x)
a b
2
y=g(x)
x
y
A
y=f(x)
y=g(x)
a b
Figura 14
Fonte: adaptado pelo autor
A área será calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o
gráfico de g, ou seja: A =
b
a
dxxgxfb
a
dxxgb
a
dxxf )]()([ )( )( .
Figura 15
Fonte: adaptado pelo autor
Ex: a) Encontrar a área limitada por y1 = x2 e y2 = x + 2.
1º Passo] Encontrar os limites de integração, que são os pontos de intersecção das
funções, ou seja, y1 = y2.
y1 = y2
33
x2 = x + 2
x2 - x – 2 = 0 x’ = -1 e x’’ = 2 . Portanto, -1 e 2 são os limites de integração.
2º Passo] Calcular a integral, porém, temos que verificar qual é a função maior no
intervalo de [-1, 2]. Podemos fazer isto analisando o gráfico. A maior é a aquela cuja
curva está em cima. Neste caso, é y2 = x + 2. Confira no gráfico abaixo:
Figura 16
Fonte: adaptado pelo autor
x
y
A
A outra maneira, seria dando valores para as duas funções, no intervalo [-1, 2] e
verificando qual delas tem imagem maior. Este método funciona pois as funções
envolvidas são contínuas neste intervalo.
y1( -1/2)= (-1/2)2 = ¼=0,25 y2(1/2)= (1/2) + 2 = 5/2 = 2,5
y1( 0)= (0)2 = 0 y2( 0)= ( 0) + 2 = 2
y1( 1)= (1)2 = 1 y2(1)= (1) + 2 = 3
3º Passo] Calcular a integral:
A =
2
1
]2x-2 x[ dx .
34
Mas, 3
32
2
22 2 ]2x-2x[
xx
xdxxdxdxxdx . Portanto:
u.a2
9
6
7--
3
10
3
12
2
1-
3
8-42
3
3)1()1(2
2
2(-1)-
3
3222
2
222
13
32
2
22
1
]22[
x
xx
dxxx
b) Calcular a área da região limitada por y1 = lnx, x =1 e y2 = 4.
Figura 17
x
y
y=2
y=lnx
x = 1
Fonte: adaptado pelo autor
1º Passo] y1 = y2 22log2ln exxex . Portanto, os limites de integração
são x = 1 e x = e2.
2º Passo] A função maior é y2 = 4.
3º Passo] Calcular a integral
A =
2
1
lnx]- 2[e
dx .
Mas, xxxxxxxdxxdxdx ln3ln2 ln 2 lnx]- 2[ . Portanto:
35
u.a 3)-2e(3-22e- 23e3-lne22e-2e 3
1ln1132ln223
2
1
ln3
2
1
lnx]- 2[
eee
e
xxxe
dx
2.7 Cálculo de volume de sólido de revolução
5.7.1. O que é um sólido de revolução:
Fazendo uma região plana girar (rotação de 360º ) em torno de uma reta r no
plano, obtemos um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta ao redor da
qual a região gira é chamada eixo de revolução.
Ex: a) Fazendo uma região plana, que é um triângulo retângulo, girar em torno de
uma reta r no plano, o sólido de revolução obtido é o cone.
Figura 18
Fonte: internet1
1 http://www.google.com.br/images?hl=pt-
BR&q=s%C3%B3lido+de+revolu%C3%A7%C3%A3o&rlz=1W1GGLL_pt-BR&um=1&ie=UTF-
8&source=univ&ei=GBB5TOOCMoKdlgf22v3rCw&sa=X&oi=image_result_group&ct=title&resnum=4&
ved=0CDcQsAQwAw&biw=1419&bih=646
36
b) Veja na figura abaixo, o sólido de revolução obtido, fazendo a região limitada
pelas curvas y = 0, y = x , x = 0 e x =1, girar em torno do eixo dos x:
Figura 19
Fonte: Livro de Cálculo, Volume I de James Stewart
5.7.2. Idéia intuitiva do cálculo do volume de sólido de revolução
Você lembra da idéia intuitiva da noção de integral usando cálculo de área?
Subdividir a região em n retângulos, calcular a soma das áreas destes retângulos,
fazer o nº de retângulos tender ao infinito e passar o limite no somatório das áreas,
ou seja,
A =
0
1i
)if(c 0
ix
ixmáxLim ,
onde Δxi e f(ci) são as medidas da base e da altura do retângulo, respectivamente.
No cálculo do volume do sólido de revolução, a idéia é análoga: cortamos um sólido
S em n pedaços e aproximamos cada pedaço por um cilindro. Calculamos o
somatório dos volumes dos cilindros e, estimamos o volume do sólido S. Para
chegarmos ao volume exato, temos que fazer o nº n tender ao infinito e passar o
limite no somatório. Veja na ilustração abaixo, um exemplo onde o sólido é uma
esfera com raio r = 1.
37
Figura 20
Fonte: Livro de Cálculo, Volume I de James Stewart
À medida que aumentamos o número dos discos ( ou cilindros circulares), mais
próximo ficamos do volume exato da esfera.
5.7.3. Definição do volume do sólido de revolução
Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o
gráfico de f de a até b. O volume do sólido, gerado pela revolução de R em torno do
eixo dos x, é definido por
ixn
iixf
ixmáxV
0
2]([ 0
lim
SAIBA MAIS:
No caso do sólido de revolução, quando o cortamos,
obtemos um cilindro circular, cujo volume é dado por:
V= hr2
h
r
38
Onde ixn
iixf
0
2]([ é a soma de Riemann da função [f(x)]2 e, significa, o somatório
dos volumes do cilindro circular, que obtemos ao “fatiar” o sólido de revolução, onde
f(xi) nos dá o raio e ix a altura do cilindro.
Como f é contínua, o limite ixn
iixf
ixmáx
0
2]([ 0
lim existe, e então, pela
definição de integral definida, temos
dxb
a
xfV
2
)(
5.7.4 Exemplos de cálculo do volume do sólido de revolução
a) Encontre o volume do sólido de revolução obtido, fazendo a região limitada pelas
curvas y = 0, y = x , x = 0 e x =1, girar em torno do eixo dos x. Ver figura tal.
vu
xdxdxxdxxfV
.2
20
2
11
1
02
21
0
x
21
0
)
21
0
)(
b)Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=x3, y=8 e
x = 0 ao redor do eixo y.
Figura 21
Fonte: Livro de Cálculo, Volume I de James Stewart
39
Como a rotação é em torno do eixo y, nossa variável de integração será y e a
fórmula será dyyfV
28
0
)( , onde f(y) = 3 y , pois se y = x3, então x = 3 y .
Portanto,
dyydyydyydyyfV
8
0
32
28
0
)31
(
28
0
3
28
0
)(
Mas,
3 5
5
3
35
35
32
yy
dyy
Logo,
u.v 5
96525
33 1525
3
3 505
33 585
38
0
3 5
5
38
0
32
ydyyV
Onde u.v é a unidade de volume.
2.8 Integrais Impróprias
Até aqui estudamos as integrais de funções contínuas em um intervalo fechado [a,b].
Vamos aprender agora, como calcular integrais de funções que posuam pontos de
descontinuidade e também que estejam definidas em um intervalo infinito.
Vejamos um exemplo:
Considere a região A que está sob a curva de f(x) = x
e
1, acima do eixo x e à
direita da reta x = 0. Veja pelo gráfico abaixo, que se trata de uma região que não é
limitada.
40
x
y
A
x
y
a t
Figura 22
Fonte: adaptado pelo autor
Será que é possível, então, calcular a integral desta região que tem uma extensão
infinita? Será que esta integral pode ser interpretada como área? A resposta está no
estudo das integrais impróprias.
5.8.1. Integrais com Intervalos Infinitos
Vejamos as definições das seguintes integrais impróprias:
a
xf dx )( ,
bxf dx )( e
de
dx )(xf , onde a e b são número reais.
5.8.1.1. Definições:
(i) Se t
a
xf dx )( existe para cada número t a, então
t
a
dxxfta
xf )(limdx )( ,
desde que o limite exista e seja e seja finito, ou seja, o limite tem que ser
um número real.
Figura 23
Fonte: adaptado pelo autor
41
x
y
bt
x
y
a
(ii) Se
b
t
xf dx )( existe para cada número t a, então
b
t
dxxft
bxf )(limdx )( , desde que o limite exista e seja e seja finito.
Figura 24
Fonte: adaptado pelo autor
(iii) As integrais impróprias
a
xf dx )( e
bxf dx )( são chamadas convergentes
se os limites correspondentes existem.
(iv) As integrais impróprias
a
xf dx )( e
bxf dx )( são chamadas divergentes se
os limites correspondentes não existem.
Figura 25
Fonte: adaptado pelo autor
(v) Se
a
xf dx )( e
axf dx )( são convergentes, então definimos
a
xfa
xfxf dx )(dx )(dx )( onde a pode ser qualquer número real.
42
OBS: Qualquer uma das integrais impróprias das definições (i), (ii) e (v), podem ser
interpretadas como uma área, desde que f(x) 0.
Ex:
a) Verificar se a área da região que está sob a curva de f(x) = x
e
1, acima do eixo x
e à direita da reta x = 0, existe e, em caso afirmativo, qual o seu valor.
1º Passo] Verificar se a integral
0
dx x-e é convergente:
t
t 0
dx x-e lim0
dx x-e
Para calcular dx x-e vamos ter que usar o método da substituição, ou seja,
fazendo w = -x dwdxdx
dw 1 . Logo, xeyedyye
dx x-e
11011
lim1limlim1lim
1lim0
lim
0
lim0
dx x-e
0
t
ett
tet
tet
tet
etet
t
xet
tdxxe
2º Passo] Como 1
0
lim
t
xet
existe e é finito, então
0
dx x-e é
convergente. Além disso, f(x)= 01
x
e, portanto: A = 1
0
dx x-e
u.a
43
b) Verificar se a área da região que está sob a curva de f(x) = x2
1, acima do eixo
x e à esquerda da reta x = -1, existe e, em caso afirmativo, qual o seu valor.
1º Passo] Verificar se a integral
1dx
x-2
1 é convergente:
1dx
x-2
1 lim
1dx
x-2
1
tt
Para calcular dx x-2
1 vamos ter que usar o método da substituição, ou seja,
fazendo w = 2 -x dwdxdx
dw 1 .
Logo, xww
dwwdww
222
21
21
211
dx x-2
1 .
Portanto,
3232_(23223222
32)(2232lim2lim2
3222lim12222lim
1
22lim1
dx x-2
1 lim
2
2
tt
t
tt
tt
t
xttt
tdx
x
2º Passo] Como
1dx
x-2
1 lim
tt existe, mas não é finito, então
1dx
x-2
1 é divergente. Deste modo, não podemos interpretar a integral
1dx
x-2
1 como área.
44
c) Verificar se a integral dxx3
, é convergente.
0
dx 3 x0
dx 3 xdx 3 x
Mas, 4
4dx 3 x
x
Portanto,
)(4
14lim
4
1
4
4
lim
4
4
4
40lim
0
4
4
lim0
dx 3 xlim0
3
tt
t
t
t
tt
x
tttdxx
Por outro lado,
)(4
14lim
4
1
4
4
lim
4
40
4
4
lim
04
4
lim0
dx 3 xlim0
3
tt
t
t
t
t
tx
t
t
tdxx
Como as integrais
0dx 3 x e
0
dx 3 x são divergentes, então a integral dxx3
é
divergente.
5.8.2. Integrandos Descontínuos
Para encerrar, vejamos o caso em que a função f(x), definida em um intervalo [a,b],
tenha um ponto de descontinuidade c, tal que c [a, b].
45
Neste caso, este ponto de descontinuidade pode ser a ou b, que são os extremos do
intervalo, ou um ponto qualquer entre a e b.
Veremos que também neste caso, podemos interpretar a integral como área, desde
que a integral envolvida seja de uma função f(x) 0 e convergente.
5.8.2.1. Definição:
a) Se f é contínua em [a, b) e descontínua em b,
Figura 26
Fonte: adaptado pelo autor
x
y
a b
então
t
a
xf
bt
dxb
a
xf dx )( lim )( , se limite existir e for finito.
b) Se f é contínua em (a, b] e descontínua em a,
Figura 27
Fonte: adaptado pelo autor
x
y
a b
46
então
b
t
xf
at
dxb
a
xf dx )(lim )( , se limite existir e for finito.
c) Seja f uma função contínua em [a, b] e descontínua em c (a, b). Se
c
a
xf dx )( e b
c
xf dx )( forem ambos convergentes,
Figura 28
Fonte: adaptado pelo autor
x
y
ca b
então, definimos
b
c
xfc
a
xfdxb
a
xf dx )(dx )( )( .
Ex:
a) Verificar se a área da região que está sob a curva de f(x) = 2
1
x, acima do eixo x,
à esquerda da reta x = 0 e, à direita de x= 0, existe e, em caso afirmativo, qual o seu
valor.
1º Passo] Verificar se a integral
0
1
dx 2
1
x é convergente. Observe que o ponto de
descontinuidade é o zero, portanto:
t
t 1
dx 2x
1 lim
0
0
1
dx 2x
1
47
Mas,x
xdx
1
1
12-xdx
2x
1
.Logo,
11)(1lim
0
1lim
0
1
11lim
01
1lim
0
0
12
1
tt
t
tt
t
xt
dxx
Portanto,
2º Passo] Como
t
t 1
dx 2x
1 lim
0
existe, mas não é finito, então
0
1
dx 2
1
x é
divergente. Deste modo, não podemos interpretar a integral
0
1
dx 2
1
xcomo área.
b) Verificar se a área da região que está sob a curva de f(x) = x
1, acima do eixo x,
à esquerda da reta x = 0 e, à direita de x=3, existe e, em caso afirmativo, qual o seu
valor.
1º Passo] Verificar se a integral 3
0
dx x
1 é convergente. Observe que o ponto de
descontinuidade é o zero, portanto:
3dx
x
1 lim
0
3
0
dx x
1
tt
48
Mas, xx
dx 2
21
21
21-
xdx x
1 .Logo,
320322lim
0
32lim
0
232lim
0
3
2lim
0
3
0
1
t
tt
t
tt
x
t
dxx
2º Passo] Como 32
3
2lim
0
t
x
t
existe e é finito, então
3
0
dx x
1 é
convergente. Além disso, f(x)= 01
x
, portanto: A = 323
0
dx x
1 u.a
c) Verificar se a integral dxx
11
1
, é convergente.
Neste caso, o ponto de descontinuidade é o zero. Logo,
dxx
dxx
dxx
1
0
1
0
1
1
11
1
Já sabemos que xdxx
ln1
, portanto:
t
t
t
t
t
tt
x
tt
dxx
t
dxx
lnlim
0
ln0lim
0
ln1lnlim
0
1
(lnlim
0
1 1 lim
0
1
0
1
Como 1
0
1 dx
xé divergente, podemos concluir que dx
x
11
1
é divergente.
49
Chegamos ao fim de mais um componente curricular do curso. Espero que
vocês tenham estudado e aproveitado bastante mais esta oportunidade de aprender.
Na verdade, estamos sempre em processo de aprendizagem, e certa disto, desejo a
vocês um longo caminho no mundo do conhecimento. Espero ter contribuído de
alguma forma para o crescimento profissional e pessoal de vocês. Bons estudos e
sigam em frente.
50
3 Referências
1. ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. Vol. 1. 7ª edição. Rio de
Janeiro: Editora LTC, 2003.
2. BOYER, C.B. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula.
São Paulo, Atual,1992.
3. FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
4. GARBI. G.G. A rainha das ciências. São Paulo: Editora Livraria da Física,
2006.
5. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 8. São Paulo: Atual ,
1998.
6. STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. . 5ª edição. São Paulo: Thomson, 2006.
7. Disponível: http://www.hottopos.com/regeq7/cardos2.htm
8. Disponível: www.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QG/.../Cinetica-Thais.ppt
9. Disponível: math.exeter.edu/rparris/winplot.html
10. Disponível: http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html
11. Disponível: http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm
12. Disponível: http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html
13. Disponível:
http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.ppt
14. Disponível: http://www.estig.ipbeja.pt/~cmmmp/matIGE/teoricas/Licao8.pdf
15. Disponível: http://www.google.com.br/images?hl=pt-
BR&q=s%C3%B3lido+de+revolu%C3%A7%C3%A3o&rlz=1W1GGLL_pt-
BR&um=1&ie=UTF-
8&source=univ&ei=GBB5TOOCMoKdlgf22v3rCw&sa=X&oi=image_result_gro
up&ct=title&resnum=4&ved=0CDcQsAQwAw&biw=1419&bih=646 (acesso
28/08/2010)
16. Disponível: Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatora%C3%A7%C3%A3o. Acessado em 19 de
julho de 2010.
