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1. Mesopotâmia

1.1. Introdução Histórico Temporal

1.1.1. Contextualização Geográfica

A Mesopotâmia, como a própria tradução do nome indica, era uma região situada

entre dois rios, nomeadamente o rio Eufrates e o rio Tigre. A capital da Mesopotâmia

era a Babilónia, tendo de seguida como cidades principais, Ur e Susa.

Por se encontrar no meio de dois rios, o seu solo era fértil proporcionando condições

ideais para o desenvolvimento da agricultura. A sua localização também proporcionava

as actividades de pesca e da pecuária. Desta forma o povo vivia essencialmente do

cultivo, criação de gado, pesca e comercialização de bens.

Situada no actual Irão, a Babilónia encontrava-se sensivelmente 96,56 km a sul da

actual cidade de Bagdad. Podemos visualizar nos seguintes mapas as localizações

geográficas das cidades acima mencionadas.

Figura 1.1 – Mapa Antiga Mesopotâmia (Extraído de Estrada, 2000)

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Figura 1.2 – Mapa Actual zona da Mesopotâmia

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/iraq.htm)

1.1.2. Os Vários Povos

A Mesopotâmia era governada através de várias aldeias, que à medida do seu

crescimento se tornaram cidades-estado. Sendo uma terra de solo produtivo, encontrava-

se bastante desenvolvida ao nível da agricultura e comércio, o que se traduzia em toda a

sua actividade financeira. Consequentemente, esta região produtiva foi alvo de cobiçada

ao longo dos milénios por diversos povos.

Tal cobiça deu origem a numerosas conquistas, tendo sido ocupada por muitos

povos ao longo dos tempos. Ao contrário do que poderíamos esperar (com base no que

aconteceu na História mais recente da Humanidade), à medida que as várias ocupações

se iam realizando, a cultura do povo, em vez de dizimada e oprimida, era salvaguardada

e acolhida como uma riqueza, pelos novos habitantes.

Uma das realidades que mais sustenta esta percepção é o facto de todos esses povos,

apesar de cada um ter o seu dialecto próprio, terem partilhado da mesma escrita. Esta

escrita denominou-se cuneiforme devido a ser realizada em placas de barro, sendo por

isso necessária a utilização de estiletes, que tinham o formato de cunha.

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A conservação de uma única escrita ao longo de tantas conquistas evidencia a

unidade cultural que aí vigorava, o que nos permite hoje falar da civilização

mesopotâmica ou, de forma equivalente, da civilização babilónica. Desta forma não é

necessário referir constantemente qual dos povos ocupava a região num determinado

momento.

Podemos contudo listar, por ordem cronológica para facilitar a compreensão do

desenvolvimento da história desta Civilização, alguns dos povos que a ocuparam. Assim

sendo, podemos destacar:

• Por volta de 4000 a.C. a Mesopotâmia era habitada pelos Sumérios;

• Em 2400 a.C. aproximadamente, foi conquistada pelos Acádios, sendo

posteriormente conquistada por uma série de povos, de entre os quais podemos

enumerar os Elamitas, Amorritas, Hititas, Cassitas, Assírios e Medos.

• Em 539 a.C. foi conquistada pelo rei da Pérsia, deixando de estar em seu poder

a partir de 330 a.C.

• Em 330 a.C. foi conquistada por Alexandre o Grande, o qual naquele tempo

tentava expandir e unificar todos os países vizinhos, por forma a obter um só

estado, dividido e governado através de várias cidades-estado, que seguiriam todas

um mesmo esquema político de acordo com o que o rei proferisse.

• Ficou nesse momento a fazer parte do território Grego, integrando-se no que

hoje denominamos a Grécia Helenista.

• Contudo esta dependência perdeu-se sete anos mais tarde, aquando da morte

do seu conquistador. Alexandre, não conseguia deixar de tentar conquistar novos

territórios, o que ia contra o facto do seu exército estar exausto e saturado de se

encontrar longe das suas famílias e em digressão há já sete anos consecutivos.

Alexandre faleceu após uma batalha sangrenta travada na Índia, a seguir à qual

tomara a resolução de voltar com os seus homens às respectivas casas.

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• Quando Alexandre faleceu, o seu império foi dividido em quatro grandes áreas

e entregues cada uma a um dos seus melhores generais. A área relativa à

Mesopotâmia foi entregue ao general Selêuco, daí o período de 300 a.C. até à era

cristã ser denominado por Período Selêucida.

De qualquer modo, e como veremos de seguida, esta “divisão” por povos, não é

significativa na avaliação das fontes históricas daqui provenientes, pelo que será

posteriormente introduzida uma separação por períodos cronológicos não interligados

de forma intrínseca com esta ordem.

1.2. A Matemática na Mesopotâmia

1.2.1. Exemplares de Artefactos Arqueológicos

A grande maioria dos artefactos arqueológicos que chegaram até à actualidade e nos

colocam a par do que eventualmente se conhecia, e aplicava naqueles tempos, são

placas de barro gravadas com escrita cuneiforme.

Ao longo dos tempos foram encontradas milhares destas placas, embora no início o

seu conteúdo fosse totalmente desconhecido, uma vez que ainda não fora feita a

decifração da escrita utilizada. Contudo, e apesar de não conhecerem o seu conteúdo,

estas foram sendo guardadas em várias colecções, muitas das quais particulares. Apesar

desta observação não parecer relevante, na realidade é nela que reside a explicação do

nome de cada placa. Por exemplo, a placa Plimpton 322 possui esse nome porque faz

parte da colecção Plimpton, na qual tem a numeração 322 – voltaremos posteriormente

a falar nesta placa.

A interpretação da escrita cuneiforme só teve lugar no séc. XIX, pelo que o estudo

da civilização Mesopotâmica é bastante recente. A decifração desta escrita deve-se a

Henry Rawlinson, cônsul britânico em Bagdad no seu tempo. Foi ele que descobriu a

rocha de Behistun, situada a Sudoeste do actual Irão. Nesta rocha estavam gravados em

três línguas diferentes o mesmo texto (persa antigo, elamítico e acádio). Henry

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Rawlinson escalou até ao local onde se encontrava a dita rocha, ou seja a 90m acima do

solo, copiando o seu conteúdo. Mais tarde, com base nos seus conhecimentos e na

comparação das traduções das várias escritas, conseguiu entre 1835 e 1851 decifrar a

escrita cuneiforme. Só a partir desta altura se começaram a entender os conteúdos de

algumas das diversas placas até então encontradas.

Existem ainda milhares de placas por decifrar, o que se deve não somente à recente

decifração da escrita, mas principalmente à diversidade dos conteúdos das placas (como

veremos no sub-capítulo que se segue), e da necessidade de se fazer uma interligação

com a sociologia da época. Na realidade, a informação nelas contidas têm um valor

muito relativo se não se tiver em conta a integração cultural e respectiva reinterpretação

dos conteúdos.

1.2.2. Conteúdos Relevantes de Algumas Placas – A Placa de Larsa

À medida que foram decifrando e interpretando os conteúdos das placas, começaram

a ter noção da sua riqueza e diversidade temática. Na realidade existem placas que

contêm apenas simples contagens do número de tijolos colocados por um trabalhador

num dia de serviço, até placas sobre dados da astronomia, tabelas de somas,

multiplicações, tabelas de potências de um número, quadrados perfeitos, resolução de

equações de primeiro e segundo grau, problemas compostos aplicando método da falsa

posição e por fim, tendo neste trabalho uma importância muito relevante, problemas

envolvendo o conhecimento do Teorema de Pitágoras e tabelas dos primeiros ternos

pitagóricos.

A placa de Larsa (Figura 1.4) é um exemplo da sabedoria já adquirida na época.

Para podermos ter alguma ideia do que se trata o conteúdo desta placa, faremos uma

breve introdução ao sistema de contagem utilizado naquele período.

Por volta do séc. XXI a.C. o sistema usado era um sistema posicional sexagésimal, o

qual pode ser de certa forma considerado até mais rico do que o que utilizamos na

actualidade (decimal).

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Segundo este sistema posicional sexagésimal, para representar um número,

utilizava-se um sistema repetitivo de um mesmo símbolo. Para representar o número um

utilizava-se o símbolo , os números do 2 até ao 9 obtinham-se da repetição deste do

seguinte modo:

.

O número dez era representado pelo símbolo , e os múltiplos de 10 até 50

obtinham-se utilizando múltiplos deste símbolo, como no processo de construção dos

números 2 até 9:

.

Os números até ao 59 eram obtidos através da combinação dos anteriores, do

mesmo modo que fazemos no sistema decimal, ou seja, escrevendo-os da esquerda para

a direita. Assim sendo, por exemplo, o número 11 era escrito como , enquanto que

70 representava-se por .

Podemos assim construir todos os 59 símbolos utilizando apenas conjugações dos

símbolos e (Figura 1.3).

Figura 1.3 – Numerais na Antiga Babilónia

(Extraído de www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_numerals.html)

Se houvesse no número alguma posição que não possuísse valor, poderia ser

deixado um espaço em branco para o representar (até 300 a.C.). Mais tarde, por volta de

300 d.C. passou-se a utilizar o símbolo para representar os espaços em vazio, ou

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seja, para representar o zero; de qualquer modo, tal só sucedia para preencher espaços

em vazio entre símbolos e nunca utilizado no fim do número, pelo que o valor absoluto

do número continuava a ser de ponto flutuante. A introdução deste símbolo causou

algumas confusões a nível da interpretação da placa Plimpton 322, como veremos

posteriormente.

O modo convencional dos historiadores representarem números no sistema

sexagésimal de vírgula flutuante é utilizando virgulas como separadores, ou seja 1,33 é

60 33 93+ = na notação decimal e 1,2,3 é 21 60 2 60 3 3600 120 3 3723× + × + = + + = .

Havia ainda um pequeno problema com a interpretação dos números escritos neste

sistema. Uma vez que o número 2 é representado por 2 caracteres, onde cada um

representa a unidade e o número 61 também é representado por dois caracteres: um

primeiro para representar a unidade e um segundo, idêntico ao anterior, para representar

a potência de expoente um de 60; ou seja o 2 e o 1,1 tinham praticamente a mesma

representação na escrita cuneiforme. Contudo tal dificuldade era facilmente

ultrapassada, uma vez que o espaço deixado entre os caracteres deixava perceber que

número se estava a mencionar. Na realidade, no símbolo para o 2 os caracteres,

representando a unidade, tocam-se formando um único símbolo, enquanto que em 61 tal

não sucede.

O sistema utilizado pelos babilónicos, sendo posicional mas de ponto flutuante,

permite ainda uma grande flexibilidade nos cálculos. Como não existem as vírgulas para

nos indicar qual o expoente da potência, cada placa contém muita mais informação do

que à partida possa aparentar, pois cada numeral aí representado, não representa apenas

um número, mas todas as suas potências base 60, uma vez que trabalhando com

potências, fracções, números de dimensões muito grandes ou muito pequenas, o

numeral que os representa continua a ser o mesmo.

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Visualizemos, então, a Placa de Larsa:

Figura 1.4 – Fotografia da Placa de Larsa

(Extraído de http:// ancientneareast.tripod.com)

Analisando as inscrições nesta tábua, consegue-se identificar e reconstruir o que

nela se encontra escrito.

Figura 1.5 - Placa de Larsa (Extraído de Fauvel, 1987)

A placa parece consistir em quatro colunas, das quais a segunda e a quarta não

sofrem qualquer alteração ao longo das respectivas linhas, aparecendo um grupo de

caracteres que podemos pensar não se tratar de representações numéricas mas literais. A

terceira coluna altera-se de uma forma tão regular, que se torna fácil inferir que se trata

de uma coluna de números sucessivos. Pelo que analisamos da numeração e simbologia

utilizada na época, entende-se que o primeiro número representado é o 49, seguindo-se

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o 50, 51, ...59 terminando com o 1, que como não podemos esquecer estarmos no

sistema sexagésimal de ponto flutuante, pode representar o número 60! Quanto à

primeira coluna, não se altera de uma forma tão regular, contudo se analisarmos de

forma mais pormenorizada podemos observar que:

representa o número 2500 que por sua vez é o quadrado de 50, o

número representado na terceira coluna da mesma linha . Se repetirmos o

processo para as restantes sequências observamos que na primeira coluna se encontra

sempre o quadrado do número representado na terceira coluna.

Podemos, portanto, inferir que se trata de uma placa de quadrados perfeitos e de

raízes quadradas, uma vez que a podemos utilizar nos dois sentidos (da direita para a

esquerda e vice-versa).

As placas foram diferenciadas em três grandes períodos em termos cronológicos, e

não propriamente respeitando as diversas invasões ocorridas na Babilónia, como já

tínhamos referido no primeiro sub-capítulo. Neugebauer, um historiador de Matemática,

definiu os seguintes períodos:

• Período antigo (1990-1600 a.C.), também denominado período da Antiga

Babilónia;

• Neo-assírio (700 a.C.);

• Neo-babilónico e selêucida (600 a.C. até à era cristã).

As placas astronómicas pertencem todas a este último período e revelam

conhecimentos semelhantes aos contidos no livro Almagesto de Cláudio Ptolomeu

(século II a.C.). A partir do conteúdo das placas, podemos supor que em 2500 a.C., já

existiam escolas de escribas. Na realidade existem placas que indicam claramente ter

sido escritas por discípulos, não só pela falta de precisão na escrita (os caracteres

aparecem marcados com imperfeições), como também pela existência de problemas

cuja resolução contém erros. Para além deste facto, placas como a Plimpton 322, de que

falaremos de seguida, ilustram a preocupação de se fazerem tabelas que permitissem aos

professores colocarem problemas aos alunos, de forma a terem a certeza que a resolução

era possível e que os cálculos davam “valores simpáticos”, isto é, resultados cuja escrita

na base sexagésimal seria finita.

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Existem ainda várias placas que apresentam tabelas de números inversos ou de

conversão de números fraccionários nos seus equivalentes sexagésimais (dependendo da

interpretação dada por cada historiador). Números regulares, designados assim por

Neugebauer, números cuja decomposição em factores primos se compõem apenas da

combinação de expoentes de bases 2, 3 e 5, ou seja números que admitem inversos com

representação finita quando escritos na base sexagésimal.

É de salientar que muitas vezes na análise das placas, se toda uma conjectura só

falha pela falta de um símbolo, muitas vezes esse símbolo é introduzido pelos

historiadores, pelo que, as fontes não são consideradas mais verosímeis pela sua

antiguidade. É claro que este tipo de alterações nos conteúdos das placas iniciais só

podem ser executadas tendo-se em conta a estrutura matemática da época. Se uma placa

se encontrar demasiado danificada, só pode ser reconstruída com base nas percepções

que se têm desse período, podendo vir a alterar-se a sua interpretação aquando de novas

descobertas. Daí a extrema importância, do pensamento do conhecimento geral e em

particular do conhecimento matemático da época em que as placas foram datadas.

Surgem também, por vezes, opiniões divergentes em relação a uma mesma placa, como

estudaremos no caso da Plimpton 322.

1.2.3. A Plimpton 322 – Descrição

Na descrição da placa de Larsa pretendeu-se destacar o nível, espírito e flexibilidade

de cálculo na Matemática da Babilónia no tempo a que nos estamos a referir.

Vamos agora estudar o conteúdo de uma placa cujo processo de construção parece

ser de grande interesse e sustenta, inclusive, opiniões divergentes. A Plimpton 322, foi

descrita por Neugebauer como “ um dos documentos históricos mais notáveis da antiga

Matemática Babilónica”. A placa tem o nome da pessoa que a comprou, por volta de

1923, a um outro senhor de nome Banks que vivia na Florida. Desconhece-se a forma

como o Sr. Banks a adquiriu, pensa-se apenas que deverá ter sido descoberta em alguma

escavação feita em Larsa na Mesopotâmia.

O lado esquerdo da tábua encontra-se partido e desaparecido pelo menos até ao

momento! Contudo, podem-se visualizar vestígios de cola actual, sugerindo que a

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quebra da placa se deu aquando, ou imediatamente após, a sua descoberta nas

escavações.

Vejamos uma fotografia desta placa:

Figura 1.6 – Fotografia da Plimpton

(Extraído de www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_Pythagoras.html)

Observando a placa (Figura 1.6) podemos distinguir quatro colunas de números com

cabeçalhos de palavras no topo de cada uma das colunas.

Quanto aos números, depois de termos estudado o tipo de sistema numérico usado

na época e os símbolos utilizados para representar cada um, não é difícil de apresentar o

conteúdo no sistema sexagésimal e passá-lo para o sistema decimal com o qual estamos

habituados a trabalhar na actualidade.

Relativamente aos cabeçalhos das colunas, o que consta na primeira não foi ainda

traduzido devido ao seu grau de danificação, na segunda coluna aparece a palavra

“comprimento” que segundo Neugebauer seria o comprimento do lado de um quadrado,

na terceira coluna inclui a palavra “diagonal” que estaria relacionada com a diagonal do

quadrado e na quarta coluna encontra-se escrito “onde se lê” que novamente segundo a

interpretação deste matemático seria uma enumeração das respectivas linhas.

No seguimento, passamos a apresentar um conjunto de tabelas reproduzindo a

reconstrução realizada por Neugebauer. Os números obtidos por interpolações serão

representados a verde e as correcções executadas aparecem a vermelho. Ou seja, o

conteúdo da próxima tabela não é uma leitura do que se encontra na placa, mas sim uma

restauração dos seus conteúdos, quer a nível das imprecisões originadas pelos danos que

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a placa apresenta dada a sua antiguidade, quer como da correcção de alguns números

que não faziam sentido de ai se encontrarem. De qualquer modo, ainda voltaremos a

falar do porquê e do sentido destas correcções e interpolações.

1.3. Teorema de Pitágoras

1.3.1. O Teorema de Pitágoras e a Plimpton 322 – Várias Interpretações

No sub capítulo anterior fizemos uma observação rápida do conteúdo da Plimpton,

sem no entanto tentarmos entender o seu significado e com que interligação a podemos

visualizar.

Antes de mais, devemos lembrar que esta placa, aquando da sua descoberta, e até ser

estudada por Neugebauer, parecia tratar-se de uma placa, como tantas outras, com

conteúdos comerciais, em que os números não têm interligação aparente, para além de

simples registos numéricos.

O que é certo é que várias foram as interpretações feitas do seu conteúdo, consoante

cada historiador. O facto de algumas das entradas da tabela se encontrarem danificadas

o suficiente para se tornarem ilegíveis, permitiu obter um maior leque de hipóteses a

serem seguidas pelos matemáticos que sobre ela se debruçaram. Sendo assim, e

acrescendo o facto de no tempo em que a placa foi escrita o cálculo numérico não estar

desenvolvido como actualmente, proporcionou erros de arredondamento e erros de

realização, que puderam ser interpretados de formas divergentes pelos respectivos

historiadores.

1.3.1.1. Interpretação de Neugebauer

Um dos primeiros historiadores a tentar perceber uma eventual interligação do

conteúdo das várias colunas da Plimpton foi Neugebauer. Até então, esta placa estava

catalogada como uma tabela de conteúdos comerciais.

Comecemos por traduzir a Plimpton ao jeito de Neugebauer.

A Plimpton encontra-se partida no extremo superior direito, pelo que o título da

quinta coluna está ilegível. Contudo, conjectura-se que aí estivesse o que se poderia

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traduzir pela palavra número. As entradas escritas a verde foram interpolações

realizadas para completar alguns símbolos da tábua que se deterioraram ao ponto de se

tornarem ilegíveis.

Temos então, na quinta coluna a sequência dos números naturais até ao 15 inclusive.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Figura 1.7 - 5ª Coluna da Plimpton

15

Note-se que, depois do que foi visto no estudo do sistema numérico babilónico,

basta-nos agora escrever o conteúdo das placas no sistema sexagésimal, passando

posteriormente para o sistema decimal.

Neste momento apresentamos a parte da fotografia da placa (Figura 1.7)

correspondente à coluna a que nos estivemos a referir, seguindo-se a sua escrita em base

sexagésimal (utilizando a notação actual) e a sua equivalência na base decimal nas

respectivas colunas do lado direito.

É óbvio que na primeira coluna não diferenciamos as bases sexagésimal e decimal,

uma vez que estas coincidem até ao número 59!

Os “Erros”, assim denominados por Neugebauer, serão escritos a vermelho com a

correcção por ele introduzida. Todos os zeros serão também interpolações realizadas,

uma vez que, como já vimos, no tempo a que se remete a Plimpton, os babilónicos não

possuíam um símbolo para o designar.

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O título da segunda coluna inclui a palavra comprimento,

1,59 119

56,7 3367

1,16,41 4601

3,31,49 12709

1,5 65

5,19 319

38,11 2291

13,19 799

9,1 [8,1] 541 [481]

1,22,41 4961

45 45

27,59 1679

7,12,1[2,41] 25921[161]

29,31 1771

Figura 1.8 - 2ª Coluna

56 56

Na da terceira coluna a palavra diagonal,

2,49 169

3,12,1 [1,20,25] 11521 [4825]

1,50,49 6649

5,9,1 18541

1,37 97

8,1 481

59,1 3541

20,49 1249

12,49 769

2,16,1 8161

1,15 75

48,49 2929

4,49 289

53,49 3229

Figura 1.9 - 3ª Coluna

53 [1,46] 53 [106]

Como já mencionamos o lado esquerdo da placa encontra-se partido com vestígios

de cola, o que sugere que a placa já estava partida ou se partiu aquando das escavações,

e que alguém tentou remediar o facto sem sucesso. A placa encontra-se, assim, sem a

sua parte esquerda, o que nos sugere a eventualidade de inicialmente possuir outras

colunas com informação, que foram perdidas juntamente com a parte que se tentou colar

e da qual mais ninguém soube o paradeiro.

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15

Na primeira coluna o título não se consegue discernir,

1,59,0,15 1,9834…

1,56,56,58,14,50,6,15 1,94916…

1,55,7,41,15,33,45 1,9188…

1,53,10,29,32,52,16 1,88625…

1,48,54,1,40 1,81501…

1,47,6,41,40 1,78519…

1,43,11,56,28,26,40 1,71998…

1,41,33,59,3,45 1,6928…

1,38,33,36,36 1,64267…

1,35,10,2,28,27,24,26 1,58612…

1,33,45 1,5625…

1,29,21,54,2,15 1,48942…

1,27,0,3,45 1,45002…

1,25,48,51,35,6,40 1,43024…

Figura 1.10 - 1ª Coluna

1,23,13,46,40 1,38716

Portanto, reescrevendo os dados da tabela, já com as traduções implementadas,

obtemos:

??? Comprimento Diagonal Número?

1,59,0,15 2,49 1,59 1

1,56,56,58,14,50,6,15 3,12,1 [1,20,25] 56,7 2

1,55,7,41,15,33,45 1,50,49 1,16,41 3

1,53,10,29,32,52,16 5,9,1 3,31,49 4

1,48,54,1,40 1,37 1,5 5

1,47,6,41,40 8,1 5,19 6

1,43,11,56,28,26,40 59,1 38,11 7

1,41,33,59,3,45 20,49 13,19 8

1,38,33,36,36 12,49 9,1 [8,1] 9

1,35,10,2,28,27,24,26 2,16,1 1,22,41 10

1,33,45 1,15 45 11

1,29,21,54,2,15 48,49 27,59 12

1,27,0,3,45 4,49 7,12,1 [2,41] 13

1,25,48,51,35,6,40 53,49 29,31 14

1,23,13,46,40 53 [1,46] 56 15

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16

Ou analogamente, na base decimal, com a qual passaremos agora a trabalhar:

??? Comprimento Diagonal Número?

1,9834… 169 119 1

1,94916… 11521 [4825] 3367 2

1,9188… 6649 4601 3

1,88625… 18541 12709 4

1,81501… 97 65 5

1,78519… 481 319 6

1,71998… 3541 2291 7

1,6928… 1249 799 8

1,64267… 769 541 [481] 9

1,58612… 8161 4961 10

1,5625… 75 45 11

1,48942… 2929 1679 12

1,45002… 289 25921 [161] 13

1,43024… 3229 1771 14

1,38716 53 [106] 56 15

A partir deste momento consideremos as interpolações e correcções realizadas por

Neugebauer como lícitas, para conseguirmos entender como, segundo ele, terá sido

construída a tabela.

Observando agora a tabela:

y

2d

y

x d #

120 1,9834… 119 169 1

3456 1,94916… 3367 4825 2

4800 1,9188… 4601 6649 3

13500 1,88625… 12709 18541 4

72 1,81501… 65 97 5

360 1,78519… 319 481 6

2700 1,71998… 2291 3541 7

960 1,6928… 799 1249 8

600 1,64267… 481 769 9

6480 1,58612… 4961 8161 10

60 1,5625… 45 75 11

2400 1,48942… 1679 2929 12

240 1,45002… 161 289 13

2700 1,43024… 1771 3229 14

90 1,38716 56 106 15

_____________________________________________________________Mesopotâmia

17

Em cada caso aparece uma raiz quadrada perfeita, indicada na coluna y , sendo que

a outra coluna representa o quociente 2

d

y

. Este quociente, por outro lado, deu uma

pista de como teria sido construída a tabela.

Por definição um terno pitagórico é ( ), ,x y d , onde , ,x y d ∈� , que verifica a

igualdade: 2 2 2x y d+ = , e para resolvermos esta equação

podemos começar por dividir todos os ternos por 2y , obtendo-se:

2 2 2

2 2 2

x y d

y y y+ =

2 2

2 21

x d

y y⇔ + =

Façamos agora umas pequenas mudanças de variável para

facilitar os cálculos. x

d

y

Figura 1.11 - Triângulo

Rectângulo

Seja x

uy

= e d

vy

= , então a nossa equação passa a ter o seguinte aspecto:

2 21u v+ = , esta equação é por sua vez equivalente a

2 2 1u v⇔ − =

( )( ) 1u v u v⇔ + − =

Então, dado o valor de u v+ , podíamos encontrar o valor de u v− numa tabela de

inversos, uma vez que os números que constam da tabela são todos números regulares,

ou seja, números que o inverso tem uma expressão finita na base sexagésimal (segundo

Neugebauer).

Por exemplo, se

1

2 :15 24

u v

+ = =

o seu inverso é

4

0 : 26,409

u v

− = =

.

_____________________________________________________________Mesopotâmia

18

Resolvendo em ordem a u e v obtínhamos os valores

65

0 : 54,1072

u

= =

e 25

1: 20,50 172

v

= =

, os quais

multiplicados por ( )1: 72 72y = = , resultam nos números que constam na tabela na

linha 5.

Assumiu-se, assim, que os babilónicos estavam interessados em encontrar triângulos

rectângulos de formatos diferentes, cujos lados tivessem um comprimento com

representação finita na base em que utilizavam, ou seja a sexagésimal.

Na verdade esta tabela contem todos os triângulos rectângulos onde 31º 45ºα≤ ≤

aproximadamente. Começa na primeira linha com um ângulo de amplitude 45º,

diminuindo gradualmente 1º por linha, correspondendo os valores da última linha da

tabela, a um triângulo rectângulo, com um ângulo de 31º. Sendo assim estão listados

nesta tabela todos os casos de triângulos rectângulos onde os comprimentos dos lados

são números regulares na base sexagésimal e um dos ângulos internos tem amplitude

31º 45ºα≤ ≤ .

1ª Linha 15ª Linha

Figura 1.12 - Triângulos rectângulos correspondentes aos dados da tabela

Esta interpretação feita por Neugebauer levou a algumas falsas suposições

realizadas por outros historiadores, que passaram a interpretar o conteúdo da Plimpton

como se tratasse de uma tábua de trigonometria. O que, como relataremos

posteriormente, não tem qualquer sentido, uma vez que segundo Eleonor Robson, o

conceito de ângulo não existia na época a que se remete a tábua.

_____________________________________________________________Mesopotâmia

19

Isto sucede porque

2

2secd

yα

=

e 2

d

y

está na segunda coluna da tabela, nas

condições acima referidas de números regulares.

x

d

y

Figura 1.13 - Triângulo

Rectângulo

Na realidade a única palavra que consta na tábua que introduz uma possível relação

geométrica é a palavra “diagonal”, que figura numa das entradas do cabeçalho.

Após verificação tanto da leitura do conteúdo da tábua, como da metodologia

aparentemente usada na sua construção, aceitou-se como razoável a explicação dada por

Neugebauer para os quatro erros, que foram aqui substituídos desde o início pelos

valores respectivos a essa mesma conjectura.

Assim sendo:

� Na linha nove, onde aparece [9:1], deveria estar então [8:1], e neste caso

Neugebauer justifica o erro como um equívoco de transcrição.

� Na linha treze, o valor [7:12,1] é o quadrado de [2:41] que seria o valor correcto,

e como tal, uma incongruência simples de justificar, uma vez que nesta tábua também

aparecem os quadrados dos respectivos números (segundo esta conjectura).

� Na linha quinze [53], deveria ser [1:46] que é precisamente o seu dobro.

� Finalmente na linha dois, onde figura [3:12,1] deveria encontrar-se [1:20,25]!

No que diz respeito a este último erro surgiram várias sugestões de como teria sido

cometido, mas nenhuma suficientemente convincente para aqui ser referida.

Ao longo de toda a sua pesquisa, Neugebauer começou a admitir que os babilónicos,

não só já teriam o conhecimento de como construir ternos pitagóricos da forma:

( )2 2 2 2, , 2p q p q pq+ − como também escolheriam os

valores de p e q de forma a obterem números regulares, o que como já vimos é

preponderante nesta “construção” da tabela, especialmente na coluna número dois, onde

são apresentados os valores de 2

2

d

y.

α

_____________________________________________________________Mesopotâmia

20

De facto temos que:

( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2 2 2 2 2 2

p qd d

y d x p q p q

+= = =

− + − −

( ) ( )

2 22 2 2 2

4 2 2 4 4 2 2 4 2 22 2 4

p q p q

p p q q p p q q p q

+ += = =

+ + − + −

( )

( )

2 2 2 22 2 2 2

2

1 1 1 1 1

2 2 22

p q p q p qp q

pq q p q ppq

+ += = = + = × + ×

,

o que se obtém com facilidade através das tabelas de inversos.

A hipótese dos babilónicos já conhecerem este método de construção de ternos

pitagóricos fica ainda justificada pelo facto de, em algumas das linhas onde foram

cometidos “erros” nos valores de x e d , não existir “erro” onde figura o valor

correspondente a 2

2 2

d

d x−, sugerindo portanto que, este último valor teria sido calculado

com base noutras tabelas, e obtidos directamente a partir dos valores de p e q .

1.3.1.2. Interpretação de Jöran Friberg

Outra interpretação bastante sugestiva foi a apresentada pelo historiador Jöran

Friberg, que defende que a tábua seria uma tabela de “ajuda ao professor”, ou seja, uma

relação que permitia ao professor saber antecipadamente os resultados de um certo

enunciado, propondo deste modo, aos seus discentes, apenas problemas que

envolvessem triângulos que possuíssem um ângulo recto.

Assim, se um professor pretendesse colocar um

problema do tipo: “Uma escada de comprimento

c , encontra-se encostada a uma parede, com uma

distância ao nível da base b da mesma, determine

até que altura da parede se consegue subir pela

escada?”, escolhendo os números b e c na tábua

de Plimpton, o professor estaria seguro que a

resposta à questão seria possível e “simpática”, isto

Figura 1.14 - Triângulo Rectângulo

_____________________________________________________________Mesopotâmia

21

é, um número com representação sexagésimal finita, que segundo a definição de

Neugebauer se designa, como já mencionamos, por um número regular.

Temos de ter em conta que esta interpretação se suporta na concepção de que as

tábuas teriam sido produzidas em função de dois tipos de contexto:

� Placas de texto;

� Placas de problemas.

Existiriam, portanto, tábuas de números quadrados, cubos, inversos e composição

das anteriores. Ou seja, as placas funcionariam para os Babilónicos como a actual

máquina de calcular.

Sendo assim, estas tábuas seriam utilizadas essencialmente nas Escolas de Escribas,

onde se ensinava o essencial para uma sociedade, onde era indispensável saber escrever,

contar, fazer alguns cálculos, entre outras competências. Na realidade, existem

inclusivamente tábuas de problemas resolúveis através de equações de segundo grau; é

claro que não podemos pensar que um escriba desta época tivesse um conhecimento de

Teoria Elementar de Números, equivalente aos dias de hoje (ou do mesmo nível do

utilizado por Neugebauer para explicar a sua teoria de como, eventualmente, foi

construída a placa de Plimpton), mas tinham de facto uma capacidade razoável de

resolução de problemas.

Outro factor preponderante para a boa percepção de como eram inseridos e

interpretados certos conteúdos, é a cultura em que estiveram embutidos e a função para

que eram preconizados no seu tempo. Ao examinarmos as instruções dadas nas placas

escritas pelos babilónicos, torna-se notável que o essencial era a sistematização da

resolução de cada “tipo” de problema e não propriamente o resultado final obtido.

Temos como exemplo deste facto, algumas placas nas quais por vezes um número é

multiplicado pela unidade, o que nos poderia parecer insólito e desnecessário, visto que

esse é o elemento neutro da multiplicação; contudo, essa multiplicação pela unidade

serve para relembrar ao estudante que estivesse a utilizar a tábua, que na resolução

daquele “tipo” de problema, o processo passava por uma multiplicação, eventualmente

por um número diferente da unidade consoante os dados do respectivo enunciado.

O facto de algumas das tábuas referentes a esta época serem descrições

pormenorizadas dos passos a seguir para resolver certos e determinados problemas

(usuais na sociedade decorrente deste período) sustenta de algum modo a teoria

proposta por Jöran Friberg.

_____________________________________________________________Mesopotâmia

22

1.3.1.3. Interpretação de Leonor Robson

À medida que os anos foram passando, e não aparecendo nenhuma proposta mais

convincente do que a dada por Neugebauer, a Plimpton passou a ser interpretada

segundo a teoria deste historiador como sendo a original. De tal forma que, na maioria

dos livros de História de Matemática, a Plimpton não é apresentada como se encontra na

origem, mas sim com as correcções e interpolações sugeridas por Neugebauer como

sendo as originais, não sendo tão pouco chamada à atenção para o facto de não serem

aqueles os números que figuram na tabela original. As justificações deste matemático

foram aceites como verdades indubitáveis, e a sua teoria, por algum tempo, passou a ser

considerada como realidade, como um dado adquirido, onde não havia lugar para

dúvidas ou outras conjecturas.

Assim, permaneceu durante alguns anos até que Eleonor Robson em 1997 contrapôs

(Old Babylonian Mathematics, Seminário do SNHM, Coimbra), afirmando que a teoria

baseada na interpretação geométrica tinha de ser colocada de lado uma vez que, do

estudo que fizera de alguns textos desse tempo se inferia que os matemáticos desta

época não tinham noção de ângulo.

Vejamos como Eleonor Robson chegou a esta conclusão.

Em “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322”,

Eleanor Robson começa por chamar à atenção para a importância da interligação entre

os artefactos encontrados e o contexto histórico que os envolve. Segundo a historiadora,

tal como num estudo policial, também na matemática os mistérios podem e devem ser

resolvidos por análise de nada mais se não o seu conteúdo.

Muitas vezes o mundo real, histórico e linguístico, não é tido em conta e acabam por

surgir várias interpretações de um mesmo trabalho. A fiabilidade da interpretação da

Plimpton, bem como de qualquer outro artefacto, deve depender inteiramente do

contexto em que este se encontra inserido. Ao contrário do que muitas vezes sucede,

tem de se ter o cuidado especial de não interpretar os factos encontrados com base na

actualidade, para não se correr o risco de procurar tesouros de sabedoria fora da

realidade vigente. Foi exactamente isto que sucedeu, na concepção de Eleonor Robson,

com todo o desenvolvimento feito em torno da Plimpton. Os historiadores viram o que

pretendiam e não, na realidade, o que se lá encontrava exposto. A aceitação tornou-se

tão óbvia que, como já dissemos anteriormente, a modernização e domesticação da

placa, fez com que esta passasse a ser apresentada, não com o seu conteúdo original,

_____________________________________________________________Mesopotâmia

23

mas apenas com todas as correcções realizadas por um historiador que as achou válidas.

Assim sendo, qualquer leitor passa pela dificuldade de interpretar como lícito o que o

autor pressupôs ser verdade, passando assim a tomar como realidade o que aí está

exposto, sem qualquer acesso à informação original, nem tão pouco ao facto de que o

que aí se lê ser uma interpretação de uma outra pessoa e não o objecto original.

Actualmente pode construir-se uma ideia da cultura milenar da época em estudo,

pois tanto quanto mais soubermos sobre uma sociedade, maior a credibilidade da análise

dos seus “produtos”, pelo que, não se justifica a incongruência de vermos o que

queremos, e não o que na realidade foi executado.

Uma das primeiras críticas que Eleonor Robson realizou, foi o facto da placa ter

sido simplesmente traduzida através da comparação com outras tábuas, muitas delas,

que apesar de terem sido encontradas na mesma época, não possuíam qualquer conteúdo

matemático.

Evidencia ainda o facto de na altura da descoberta das tábuas, haver o pressuposto

que se estas se encontrassem danificadas (partidas, ou com falta de alguns conteúdos

legíveis) a sua venda seria mais proveitosa uma vez que os preços atingidos eram

deveras mais elevados. Como a Plimpton é um destes casos, torna-se impossível

determinar o que lá se encontrava senão por pura especulação.

Segundo a mesma, os títulos das colunas, estando escritos num misto de quatro

línguas de diferentes povos, nomeadamente Sumério, Acádios, Assírios e Persas,

privilegiando a língua Suméria a e Acádia, fazem com que a tabela possa ser lida nos

dois sentidos. Contudo, é mais simples utilizar a leitura da direita para a esquerda.

Tal como Neugebauer, Eleonor refere também conteúdo dos lados e das diagonais

dos triângulos, no entanto questiona o porquê das colunas possuírem como cabeçalhos

as palavras quadrado, diagonal e comprimento, quando na realidade as restantes

entradas da tabela só contêm comprimentos de linhas. Segundo ela, a resposta reside no

facto de em Acádio a palavra “mithartun” derivar do verbo “mohärun”, que define “ser

igual e em simultâneo ser oposto”, o que significa literalmente “ coisa que é igual e

oposta a si própria em simultâneo”.

Em Acádio e em outras línguas, a palavra “quadrado”, também se pode referir ao

seu lado, ou seja, à sua raiz quadrada.

Por tudo isto “mithartun” não deve ser traduzido por “quadrado”, mas sim por

“lado do quadrado” ou analogamente “raiz quadrada”. Segundo a Matemática, esta

dualidade de significado da palavra não seria tão obscura quanto à partida poderia

_____________________________________________________________Mesopotâmia

24

parecer. Na realidade, na época existia uma lógia métrica, ou seja, medidas distintas

para dimensões distintas, como era o caso de comprimentos e de áreas, o que tornava

impossível para um escriba, qualquer tipo de ambiguidade quanto ao conteúdo do que

estivesse a trabalhar.

Quanto aos erros, Eleonor menciona que provavelmente três deles não são erros,

argumentando que apenas foram assim considerados devido à interpretação dada pelo

matemático que apresentou a respectiva teoria (Neugebauer). Acrescenta ainda que,

uma vez que a tábua se encontra escrita no sistema sexagésimal de vírgula flutuante, os

números serão por ela tomados como sendo números inteiros.

Eleonor Robson para refutar a teoria proposta pelos historiadores, onde se supõe que

a tábua teria sido realizada com base no conhecimento prévio dos p e q , indica que tal

não é propriamente viável, uma vez que, na tábua existem 44 números diferentes, o que

dá uma possibilidade de escolhas de 43

44 9462

× = pares por onde escolher. Se

supusermos que os babilónicos tinham familiaridade com a concepção de números pares

e números ímpares, poder-se-iam eliminar 11

12 662

× = possibilidades de pares por onde

escolher, deixando assim 880 pontos de partida! Mesmo que levássemos mais longe e

considerássemos que os escribas tinham conhecimento sobre números primos entre si,

ficariam ainda 159 pares admissíveis. Como teria descoberto o escriba, quais destes 159

deveria escolher? Aleatoriamente?! Não faz muito sentido.

Para além desta falha, existe ainda uma outra que torna mais evidente que a tábua

não foi construída através desse processo. Admitindo a ordem das colunas, e

considerando que na coluna I se encontra ( )2

2 2 / 2p q pq + , torna-se estranho o

método de cálculo proposto. Uma vez que, aparecendo à esquerda da coluna II e coluna

III, 2 2p q− e 2 2p q+ respectivamente, seria de esperar, segundo o modo de escrita da

Babilónia antiga que contivesse os cálculos intermédios para os resultados da coluna II

e III, ou mesmo de ambas. Por exemplo, seria de esperar que aparecesse 2p e 2q , mas

em vez disto, temos os resultados derivados da coluna III; nem tão pouco podemos

interligar o cabeçalho da coluna I de forma a encaixar-se na interpretação dos p e q .

Em terceiro lugar temos ainda a análise dos “erros” da tábua. Não contando com os

erros provavelmente ocorridos na transferência de dados da tábua de cálculo para a

cópia da Plimpton, ou seja, erros de cálculo, está ainda por fundamentar os restantes três

_____________________________________________________________Mesopotâmia

25

erros, cuja explicação tem sido realizada através da coluna III, que não possui relação

simples com o valor correcto de 2 2p q+ na teoria dos p e q !

A adicionar a tudo isto, Eleonor refuta ainda a ideia de que de algum modo a tábua

pudesse ser de conteúdo trigonométrico, dizendo que esta interpretação só surgiu por

alguns historiadores terem interpretado mal o comentário realizado por Neugebauer.

Para enfatizar um pouco mais a falta de sentido desta interpretação, Eleonor mostra,

como já referimos, que na realidade a noção de ângulo não existia ainda na antiga

Babilónia.

A Geometria /Área na antiga Babilónia era baseada na definição de componentes. A

área de uma figura era definida e calculada através da curva externa que a circunscrevia,

podendo ser segmentos de recta ou curvas. Em muitos casos, o nome que define a

componente e a figura propriamente dita (que se considera a área da figura) são

idênticos. Por exemplo, “círculo” e “circunferência” na antiga Babilónia eram ambos

designados por “kippatum” do verbo “kapâpum” – curvar. Tanto “quadrado” como o

seu lado eram designados por “mithartum” (como vimos previamente). “Rectângulo” e

a sua diagonal também tinham a mesma designação, apesar de neste caso a diagonal de

um rectângulo não ser suficiente para definir unicamente o seu rectângulo circundante,

somente a configuração mais simples, ou seja a do quadrado.

O conceito de “círculo” e “circunferência” é revelada não só na sua terminologia

mas também no modo como os círculos eram tratados em geometria.

Dois exemplos dados por Eleonor Robson são os dois círculos que se encontram

numas tábuas, provavelmente encontradas em Larsa, pertencentes agora à Universidade

de Yale. As tábuas têm, elas próprias, formato circular, com cerca de 8 cm de diâmetro,

(“quase como pequenos biscoitos”, Robson 2001), o que sugere que tenham sido

realizadas por estudantes nos seus trabalhos.

Na notação moderna elas aparecem com a seguinte figura.

Figura 1.15 - Placas YBC 7302 e YBC 11120

(Extraído de Robson, 2001)

_____________________________________________________________Mesopotâmia

26

Os números do primeiro círculo são fáceis de ler e como são inferiores a 60,

podemos tratá-los como números representados na base decimal, assim, rapidamente se

observa que 23 9= e que 45 5 9= × . Como 45 se encontra no meio do círculo, podemos

“deduzir” que designa a sua área, a qual podemos designar por A . Também podemos

sugerir que o 3 e o 9, na parte interior do círculo estão relacionados com a

circunferência, que designaremos por C .

Sabemos que 2A rπ= , mas não temos nenhum raio marcado no círculo.

Também sabemos que 2C rπ= , e como tal, através de alguma manipulação

algébrica moderna podemos ver que 2 2

2

2 4

C CA rπ π

π π

= = =

.

Assim, parece que 3 é o comprimento da circunferência, 9 é o seu quadrado, ou seja

2C . Substituindo valores temos então:

2 9 9

9 0;05 0;454 4 4 3

CA

π π= = = × =

�

esta fórmula com a do segundo círculo, tomando 1;30C = , obtemos:

21;30 2;15

2;15 0;05 0;11154 4 3

Aπ

= = × =×

�

ou seja 11 15 3

60 3600 16+ = em fracções actuais.

Em outras palavras, a circunferência que é metade do comprimento da primeira

circunferência, é uma quarta parte da área da primeira.

Aparte da diferença aritmética de trabalhar em base decimal ou sexagésimal, estes

dois exemplos ilustram elegantemente a distinção fundamental entre o conceito

geométrico de círculo actual e o círculo na época a que nos referimos.

Enquanto que actualmente conceptualizamos o círculo como sendo a figura gerada

pela rotação do raio em torno do centro da circunferência, no período da Antiga

Babilónia, ele era visto como a figura circunscrita à circunferência. Mesmo quando era

conhecido o diâmetro do círculo, a sua área era calculada por este processo descrito.

Isto não significa que o raio numa circunferência não fosse considerado, pois ele

aparece em problemas sobre semicírculos.

Este tipo de raciocínio “apenas” nos dá a clara noção de que, naquele tempo, apesar

de o círculo poder ser desenhado com compasso, a definição não era realizada em

função do raio.

_____________________________________________________________Mesopotâmia

27

Sem uma definição de centro e de raio da circunferência, não podia existir uma

concepção ou mecanismos para medir ângulos.

Portanto, qualquer hipótese sobre a criação da Plimpton 322, tem de recair

inicialmente na primeira coluna e respectivos valores, não como objectivo, mas sim

como ponto de partida.

A comunidade matemática teve de se render às evidências e abrir as suas mentes a

uma nova interpretação para a Plimpton.

Na concepção de Eleonor Robson são utilizadas apenas noções de geometria de

áreas. Sendo assim, Eleonor sugeriu a seguinte conjectura para a criação da Plimpton.

Através das tábuas de inversos era fácil encontrar um rectângulo cuja área fosse um,

bastava que para tal se considerasse um lado cuja medida fosse n e o outro lado tivesse

de comprimento 1

n.

Obter-se-ia algo como:

Figura 1.16 – Rectângulo de lados com comprimento n e 1

n

Seguidamente e utilizando geometria das áreas, podemos dividir o rectângulo em

três partes como se analisa na figura que se segue.

Figura 1.17 – Utilização de geometria das áreas no rectângulo considerado

Teríamos assim um quadrado de lado 1

n, e dois rectângulos de altura

1

n e

comprimento 1

: 2nn

−

, cada um.

Reagrupando estes rectângulos num gnómon, podemos redesenhar a figura com o

seguinte formato:

1

n

n

1

n

1: 2n

n

−

1

n

1: 2n

n

−

_____________________________________________________________Mesopotâmia

28

Figura 1.18 – Gnomo correspondente ao rectângulo considerado

Podemos ainda considerar um quadrado com os lados com comprimento igual ao da

figura anterior, ou seja,

Figura 1.19 – Quadrado de lado 1 1

2n

n

+

Onde

1 1 1 1 1

2 2 2

1

2 21 1

2

nn

n n n n

n

n

nn

+ − = + − =

= + =

= +

1: 2n

n

−

1: 2n

n

−

1

n

1

n

1 1

2n

n

+

1 1

2n

n

+

_____________________________________________________________Mesopotâmia

29

Sendo assim o nosso rectângulo inicial teria a mesma área que a obtida pela

diferença de dois quadrados, nomeadamente

2 2

1 1 1 1

2 2n n

n n

+ − −

, o que facilmente se verifica por

manipulação algébrica:

2 2

2 22 2

2 22 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1 12 2

4 4

1 1 1 1 1 1

4 2 4 4 2 41

1

n nn n

n nn n

n nn n

nn

+ − − =

= + + − − + =

= + + − + − =

= = ×

Que é a área do rectângulo inicial.

A igualdade que acabamos de obter é definida

por Friberg como sendo um rectângulo

normalizado, ou seja

um rectângulo em que “o flanco” é um, a

hipotenusa é 1 1

2n

n

+

e o cateto menor é

1 1

2n

n

−

.

Figura 1.20 – Triângulo rectângulo considerado

Através de uma tabela de recíprocos obtém-se uma listagem dos triângulos

rectângulos de lados racionais, que mais uma vez vem coincidir com a proposta de

Friberg de a Plimpton poder ser uma tábua de ajuda aos professores, para colocarem

apenas problemas resolúveis aos seus alunos!

1

x

d

1 1

2n

n

−

1 1

2n

n

+

__________________________________________________________________Egipto

30

2. Egipto

2.1. Introdução Histórico Temporal

2.1.1. Localização Geográfica

Quando falamos do Egipto, temos de ser um pouco específicos quanto à altura a que

nos referimos. Na realidade a Civilização Antiga Egípcia é frequentemente dividida em

três períodos distintos de modo a facilitar a localização/identificação da época a que nos

referimos:

� Antigo Reinado – entre sensivelmente 2700 a.C. e 2200 a.C.;

� Egipto Médio – entre sensivelmente 2100 a.C. e 1700 a.C.;

� Novo Egipto – de 1600 a.C. a 1000 a.C.

O Egipto atingiu muito cedo um nível de civilização bastante alto. Podemos

questionar por que terá sucedido tal facto! A explicação não é difícil de encontrar por

qualquer um que se debruce sobre o assunto. A terra era generosa para com o seu

povo; o solo era muito fértil devido à presença do Nilo, o qual todos os anos, sofria

cheias transbordando as suas margens e alagando os

campos que o circunscreviam. Para além deste

pormenor, o clima era aprazível facilitando o

desenvolvimento da agricultura com boas colheitas.

Sendo um país rico, o único problema residia na

possibilidade de ocorrência de guerras com outros

países que poderiam atentar contra tanta sus tansa.

Contudo o Egipto possuía fronteiras de ordem

natural, uma vez que se encontrava rodeado de

desertos, providenciando assim uma barreira às

forças invasoras tal como podemos confirmar num

mapa da época (Figura2.1).

Figura2.1 - Mapa Antigo Egipto (Extraído de http://www.ancient-

egupt.org/topography/giza/index.html)

__________________________________________________________________Egipto

31

Figura 2.2 - Mapa Actual Egipto

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

2.1.2. O Povo

Por volta de 3000 a.C. as duas nações mais antigas desta região tinham-se unificado

e formado uma nação única, o Egipto, no qual as regras eram iguais em todo o seu

território.

A agricultura tinha sido desenvolvida de forma a tirar proveito dos períodos

regulares, secos e húmidos, ao longo do ano.

Como o Nilo se comportava de forma disciplinada, transbordando durante as

estações de chuva e providenciando uma terra fértil, tornou-se possível fomentar o

crescimento de óptimas colheitas implementando-se um complexo sistema de irrigação

que permitia que as terras se tornassem mais ricas, mesmo nos períodos de seca.

É de notar que para este desenvolvimento era fundamental saber em que época se

iniciariam as chuvas que fariam transbordar o Nilo, o que acabou por fundamentar o

desenvolvimento da Astronomia, no intuito de desenvolver um calendário informativo

fidedigno (sobre qual nos debruçaremos mais tarde).

A larga área que a nação Egípcia cobria, requeria uma administração complexa,

incluindo inclusive sistemas de impostos de forma a poderem ser mantidos os exércitos

que orientavam, entre outras, a boa cidadania. É de notar que uma das bases de

tributação era a área de terra de cultivo.

__________________________________________________________________Egipto

32

À medida que a sociedade se tornava mais complexa, tornava-se necessário a

existência de escrita e de numerais, de forma a ser possível registarem-se os ganhos e as

transacções que se efectuavam diariamente.

Em 3000 a.C., os Egípcios já tinham desenvolvido a sua escrita hieroglífica, e foi

este facto que demarcou o início do período do Antigo Reinado, que ficou imortalizado

pela construção das Pirâmides, por exemplo a Pirâmide de Giza, que foi construída por

volta de 2650 a.C., denotando um vasto, conhecimento Arquitectónico e de Engenharia.

Este artefacto demonstra já claramente o elevado nível de conhecimentos que esta

sociedade possuía no tempo a que nos referimos.

2.1.3. O Calendário Egípcio

Como observamos anteriormente, era vital para o povo Egípcio ter noção de quando

as enchentes do Nilo começariam a ocorrer, uma vez que disso dependia o sucesso da

agricultura, bem como a subsistência dos habitantes. A existência de um calendário, o

mais fidedigno possível, era portanto fundamental.

Na realidade este povo, era também a nível da astronomia muito avançado, e se aqui

fazemos uma incursão sobre algo que aparentemente nada tem a ver com o conteúdo do

nosso trabalho, é de facto pela magnificência do mesmo.

O início do ano era marcado pela subida heliacal da estrela Sirius (a primeira vez

que esta aparecia no céu após um período da sua ausência). Sirius trata-se da estrela

mais brilhante do céu, também conhecida por estrela do Norte. No calendário actual,

isto ocorre em Julho, o Nilo transbordava pouco depois desta data, pelo que fazia

sentido o início do ano coincidir com o início de toda uma época de trabalho. A subida

heliacal de Sirius chamaria, assim, a atenção da população para o início das cheias.

O ano era constituído por 365 dias e isto era certamente sabido por volta de 2776

a.C. pois este valor foi utilizado num calendário civil de registo de datas importantes.

Mais tarde surgiu um valor mais aproximado, 365 dias e 1

4 de dia, que era a duração

exacta de um ano. No entanto, este valor nunca foi utilizado para actualizar o calendário

Egípcio, pelo que não existiram anos bissextos como na actualidade.

Para além deste calendário, era tido em conta um outro calendário em paralelo, o

calendário lunar, o qual sabemos ser um dos modos de prever as alterações a nível

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33

meteorológico. O calendário civil era dividido em 12 meses, todos eles compostos por

30 dias, tendo no final do ano um período de 5 dias para festejos, formando assim os

365 dias.

Para além da magnitude de um conhecimento desta envergadura ser um dado

adquirido naquele tempo (e como tal, merecer este lugar de destaque), é ainda de notar

que, apesar do calendário Egípcio ter sofrido várias alterações ao longo dos tempos,

acabou por constituir a base para os Calendários Gregoriano e Romano. Introduzido por

Júlio César, em Roma, por volta do ano 46 a.C. é também deste calendário que provém

o calendário actual!!!

Tudo isto demonstra o nível de conhecimento já atingido pela civilização Egípcia há

mais de quase 5000 anos!

2.2. A Matemática no Egipto

2.2.1. Os vários tipos de escrita e numeração

Há que considerar três tipos diferentes de escrita da Antiguidade Egípcia.

O primeiro tipo de escrita foi através dos hieróglifos, ou seja, a escrita hieroglífica

realizada à base de figuras, às quais correspondiam significados. É fácil de perceber

como seria denotado por exemplo a palavra “pássaro”, contudo este tipo de escrita não

consegue representar muitas palavras. Os Egípcios ultrapassaram esta dificuldade

utilizando não apenas o que cada figura demonstrava, mas associando sons a cada uma

delas, podendo estas ser conjugadas de forma a obter outros significados. Isto tinha a

desvantagem da escrita depender essencialmente do contexto em que se encontrava

inserida, suscitando assim algumas dúvidas ou falsas interpretações.

Este tipo de escrita esteve presente desde 3000 a.C., resistindo até aos primeiros

séculos da era cristã, apesar de a partir de uma certa altura ser utilizada apenas em

inscrições formais ou registos em pedra.

Após a descoberta do papiro, tendeu-se a simplificar a escrita hieroglífica, a qual era

morosa, uma vez que por vezes para representar um certo conceito era necessário

“desenhar” várias figuras. Tentando então tornar mais rápida a escrituração, que deixava

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34

agora de ser realizada apenas em pedra, irrompeu assim a escrita hierática, a qual

começou a ser utilizada por volta de 2000 a.C. É geralmente neste tipo de escrita que se

encontram registados a maioria dos papiros que possuem conteúdos históricos,

nomeadamente os de índole matemática.

Mais tarde surgiu ainda a escrita demótica, que como a própria palavra denota, se

destinava à população em geral. Tratava-se de uma simplificação da escrita hierática,

destinada a ser utilizada pelo povo nos seus apontamentos diários como registos ligados

ao trabalho, transacções comerciais, entre outros.

O sistema numérico Egípcio também sofreu as suas alterações. Possuíam um

sistema numeral hieroglífico decimal, mas com esta afirmação, pretendemos apenas

dizer que possuíam dez símbolos separados, um para representar a unidade, um para as

dezenas, e assim sucessivamente até a 610 . Na tabela seguinte podemos observar este

primeiro sistema:

Figura 2.3 - Primeiro sistema numérico

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

A escrita dos números tornava-se simples uma vez que bastava repeti-los as vezes

necessárias consoante o número que se pretendesse representar.

Para uma melhor percepção apresentamos dois exemplos desta escrita, gravados

num artefacto arqueológico de nome Pedra de Karnac, a qual data de 1500 a.C.,

(encontra-se actualmente no museu do Louvre em Paris) apresentando a representação

dos números 276 e 4622, respectivamente.

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35

Figura 2.4 - Representação do nº276

Figura 2.5 - Representação do nº 4622

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

Note-se que a escrita hieroglífica era realizada da direita para a esquerda,

começando-se pelos símbolos que representavam um valor mais elevado e diminuindo

sucessivamente até aos de menor importância.

Por incrível que possa parecer, os Egípcios já trabalhavam com fracções, quase

exclusivamente unitárias (há excepção da fracção 2

3utilizada frequentemente e da

fracção 3

4utilizada menos vezes) tendo, inclusive, representação hieroglífica para as

mesmas. A necessidade de decompor uma fracção como soma de fracções unitárias

encontra-se vinculada aos algoritmos, por eles desenvolvidos, para realizarem as quatro

operações básicas, como observaremos posteriormente.

Assim sendo, para diferenciarem as fracções dos números inteiros, quando

pretendiam representá-las, colocavam um símbolo por cima do número que constaria do

actual denominador, representativo de uma “boca” que designava “parte”.

Ter-se-ia por exemplo:

Figura 2.6 - Representação de 1/3

Figura 2.7 - Representação de 1/5

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

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36

para representar as respectivas fracções. Quando o número continha muitos símbolos, o

símbolo que designava “parte” (a “boca”), era colocado por cima do primeiro hieróglifo

representativo do número.

Não esquecendo que a escrita era realizada da direita para a esquerda, por exemplo:

Figura 2.8 - Representação do nº 1/249

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

À semelhança do que sucedeu com a escrita hieroglífica, também o sistema de

numeração foi sendo alterado. Aquando da introdução da escrita hierática (devido à

invenção do papiro), introduziu-se também uma escrita numérica hierática.

Porém, com este sistema era possível escrever os mesmos números utilizando-se

muito menos símbolos, economizando-se tempo e espaço. Por exemplo, o número 9999

passava agora a ser representado apenas por quatro símbolos, enquanto que com a

escrita anterior seriam necessários trinta e seis.

Esta representação numérica permitia aos

escribas escreverem os números de forma

muito mais compacta, não necessitando de

desenhar tantos símbolos para representar um

mesmo número.

Contudo passou a existir um outro senão,

é que passaram a ter de conhecer e

memorizar mais símbolos. O próximo quadro

apresenta esse tipo de escrita.

Passou-se assim de 10 símbolos que

representavam todos os números, por a

necessidade de se utilizarem 36 símbolos,

para se poderem representar os mesmos que

anteriormente.

Figura 2.9 - Outro sistema numérico

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

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37

Uma das grandes diferenças entre a escrita hierática e o nosso sistema numérico é

que a escrita hierática não era posicional, pelo que os numerais podiam ser escritos

segundo qualquer ordem; por exemplo, o número 2765 pode ser representado como:

Figura 2.10 - Uma Representação de 2765

ou

Figura 2.11 - Outra Representação de 2765

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/egypt.htm)

Ou ainda, qualquer outro tipo de combinação entre estes quatro símbolos.

Da mesma forma que a escrita hierática sofreu alterações ao longo dos tempos, o

mesmo sucedeu com a numeração hierática, só que nesta sucedeu com maior

frequência; podemos dividir estas alterações em seis períodos distintos, enquanto que a

escrita só sofreu três mudanças. Sendo assim, é natural que se encontre noutros livros

outros sistemas de numeração da época hierática Egípcia; o que aqui tem vindo a ser

apresentado data de cerca de 1800 a.C.

É de notar ainda que, tal como com a escrita hieroglífica, também com a numeração

sucedeu algo de semelhante, os dois sistemas (hieroglífico e hierático) foram utilizados

em simultâneo ao longo de 2000 anos, sendo que, mais uma vez, os hieroglíficos eram

utilizados para gravar na rocha, enquanto que a escrita hierática era usada para a escrita

em papiro.

2.2.2. Exemplares de Artefactos Arqueológicos

Os numerais hieroglíficos podem ser encontrados em diversos lugares desde

templos, monumentos em pedra e até em vasos. Nestes exemplares encontra-se pouco

conhecimento sobre como os cálculos matemáticos eram desenvolvidos com o seu

sistema numérico.

Enquanto os hieroglíficos foram cravados em pedra, não foi necessário desenvolver

símbolos que pudessem ser escritos de forma mais rápida. Contudo, e como já foi

referido no sub capítulo sobre a escrita e a numeração hieroglífica e hierática, a partir do

momento em que os Egípcios começaram a utilizar folhas de papiro seco e a escrita

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38

passou a ser realizada com um tipo de “caneta”, predispôs o desenvolvimento da escrita

hierática de letras e numerais.

Devem ter existido um grande número de papiros, muitos deles ilustrando de

diversos modos a Matemática aí utilizada, mas infelizmente, dada a fragilidade do

material, quase todos pereceram, devido às circunstâncias climáticas do Egipto,

nomeadamente o seu alto nível de humidade, sendo até notável a sobrevivência de

alguns.

Destes escassos documentos, destacam-se dois com maior conteúdo Matemático, o

Papiro de Rhind e o Papiro de Moscovo. É através destes dois documentos que a

maioria do conhecimento da matemática Egípcia chegou até aos nossos dias.

2.2.3. Papiro de Rhind e Papiro de Moscovo

O papiro de Rhind ficou assim denominado, depois do egiptólogo A. Henry Rhind o

ter comprado em 1858, em Luxor. Este papiro é um “rolo” de aproximadamente 5,5m

de comprimento por 33cm de largura. Escrito por volta de 1650 a.C. por um escriba de

nome Ahmes, trata-se de uma cópia de um documento com 200 anos, de acordo com o

que Ahmes afirma no mesmo. O manuscrito original em que se baseia o papiro de

Rhind data portanto de 1850 a.C. Este é também denominado por papiro de Ahmes,

uma vez que esse é o nome de quem o copiou. O artefacto encontra-se actualmente no

British Museum em Londres.

Um outro papiro mesma época, conhecido pelos seus conteúdos matemáticos é o

papiro de Moscovo. O seu nome provém do facto de se encontrar actualmente no

Museum of Fine Arts em Moscovo. Não se conhece o nome do escriba que o executou,

pelo que só tem mais uma designação, ou seja, papiro de Golenischev, o nome de quem

o adquiriu.

O papiro de Moscovo contém apenas 25 problemas, enquanto que o papiro de Rhind

possui mais de 80 questões. Os problemas propostos nestes documentos são sobretudo

de índole prática, existindo no entanto alguns que demonstram a manipulação do

sistema numérico propriamente dito. Por exemplo, os primeiros seis problemas do

papiro de Rhind é pedido para dividir n pães entre 10 homens, onde no Problema1

1n = , no Problema2 2n = , no Problema3 6n = , no Problema4 7n = no Problema5

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39

8n = , no Problema6 9n = ; claramente são aqui envolvidas fracções. É de notar que

entre os 87 problemas propostos neste papiro, 81 deles envolvem operações com

fracções.

É ainda de salientar que o papiro de Rhind se inicia por uma tabela que fornece a

duplicação de todas as fracções unitárias de denominador n ímpar, onde n varia entre 5

e 101. Ahmes não necessitou de fornecer na tabela as duplicações de 1

n com n par,

uma vez que ter-se-ia apenas 1

m onde 2m n= .

Veremos de seguida o porquê da importância desta tabela ser merecedora do lugar

de destaque por iniciar o papiro de Rhind.

A tábua começa por:

Fracção Unitária Duplicação da Fracção Unitária

1

5

1 1

3 15+

1

7

1 1

4 28+

1

9

1 1

6 18+

1

11

1

13

1

15

1 1

10 30+

1

17

1 1 1

12 51 68+ +

A tabela original não contém erros. De facto, o papiro de Rhind apresenta poucos

erros, mas os que aparecem como erros, parecem ser erros de cálculo e não de cópia,

uma vez que os erros são levados ao longo de todo o exercício, em vez de surgirem

posteriormente corrigidos (o que aconteceria caso fossem erros de duplicata).

O sistema numérico Egípcio não era muito ajustado a cálculos aritméticos. O

mesmo sucede com a numeração Romana; existindo actualmente uma certa

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40

familiarização com esta, torna-se perceptível que a adição de numerais romanos é

satisfatória, embora a multiplicação e a divisão sejam praticamente impossíveis.

O sistema Egípcio possuía desvantagens semelhantes às do sistema Romano.

Contudo, isso foi contornado através da introdução de algoritmos. A descoberta destes

algoritmos deveu-se provavelmente à componente prática dos Egípcios no trato e

aplicação da Matemática. Nestes algoritmos são apenas envolvidas adições, como

ilustraremos seguidamente.

A realização de tais algoritmos exigia o manuseamento de fracções, problema que

também foi ultrapassado com sucesso.

Para ultrapassarem as deficiências do seu sistema numérico, os Egípcios

desenvolveram métodos perspicazes e inteligentes de forma a poderem resolver

multiplicações sendo aqui que enfatizando-se a importância da tabela anteriormente

referida.

Vejamos, então, como eram executadas as operações básicas, e como estão

exemplificadas nos papiros que chegaram até nós.

Ahmes, no papiro de Rhind, ilustra o método egípcio para a multiplicação do

seguinte modo: assuma-se que se pretendemos multiplicar 41 por 59.

Consideremos o número 59 e adicionemo-lo a si próprio, posteriormente,

adicionemos o resultado a si próprio e continuemos o processo:

41 59

1 59 ����

2 118

4 236

8 472 ����

16 944

32 1888 ����

Uma vez que 64> 41, não necessitamos de prolongar o processo, pelo que paramos

na entrada do número 32.

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41

Seguimos agora para uma sequência de subtracções:

41 32 9

9 8 1

1 1 0

− =

− =

− =

Assim, conseguimos escrever

41 32 8 1= + +

De seguida, identificamos os números da coluna direita da tabela que correspondem

a 32, 8 e 1, marcamo-los, por exemplo com um visto ou uma seta, e de seguida

procedemos à sua adição, ou seja,

59 472 1888 2419+ + =

Note-se que a multiplicação é obtida utilizando apenas a adição.

Invertendo a ordem de entrada na tabela e repetindo o processo temos:

59 41

1 41 ����

2 82 ����

4 164

8 328 ����

16 656 ����

32 1312 ����

2419

Obtínhamos assim que a multiplicação de 41 por 59 tem como resultado 2419!

Note-se que este método pressupõe o conhecimento de que cada número pode ser

escrito como potências de base 2. Os antigos Egípcios não tinham prova disto, nem tão

pouco teriam sentido necessidade da sua existência; sabiam por experiência prática que

tal era sempre possível, pelo que utilizavam esse conhecimento.

Notemos que este método pode ser comparado com o recente uso da aritmética

binária. Basicamente podemos pensar neste método como escrever um número em

potências de base 2, pelo que, nos exemplos anteriores teríamos:

0 1 2 3 4 541 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 2= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

0 1 2 3 4 552 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ .

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42

A divisão também era obtida através do sistema de duplicação.

Por exemplo, para dividirmos 1495 por 65, procederíamos do seguinte modo:

1 65 ����

2 130 ����

4 260 ����

8 520

16 1040 ����

Mais uma vez parávamos neste momento as iterações, pois de outra forma, na

seguinte já obteríamos um número superior a 1495.

Agora, e de modo análogo ao que foi realizado para a multiplicação, procuramos e

assinalamos os números da segunda coluna, que uma vez adicionados permitissem obter

umdão o resultado pretendido, ou seja:

1495 65 130 260 1040= + + +

Adicionando agora os números que se encontram na coluna da esquerda obtemos:

23 16 4 2 1= + + +

pelo que 1495 dividido por 65 teria como resultado 23!

O que sucederia se a divisão não fosse exacta? Para os Egípcios tal problema não se

colocava! Os Egípcios continuariam o método utilizando fracções como demonstra o

exemplo que se segue.

Para se dividir 1500 por 65 procederíamos do mesmo modo.

1 65 ����

2 130 ����

4 260 ����

8 520

16 1040 ����

E novamente pararíamos aqui, uma vez que a próxima iteração levar-nos-ia a um

número superior a 1500.

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43

Agora procurávamos os números da coluna da direita, que uma vez adicionados

permitissem obter um número n , tal que 1500 65 1500n− < ≤ , (mais uma vez os

Egípcios tinham o conhecimento de que isto era sempre exequível),

1495 65 130 260 1040= + + +

E faltam apenas 5 unidades para obtermos a soma pretendida (1500). Novamente,

marcar-se-iam as entradas das linhas usadas e somávamos os respectivos números da

coluna esquerda.

23 16 4 2 1= + + +

e assim, dividir 1500 por 65 teria por resultado 23 e 5

65, ou utilizando fracções

unitárias, como era realizado na época, 23 e 1

13. Se eventualmente a solução não

envolvesse uma fracção unitária, os Egípcios tratariam de o fazer, dando a resposta

como uma soma de fracções unitárias.

Falta-nos apenas visualizar como eram realizadas as operações que envolviam

fracções, logo no enunciado. Constatemos novamente a perícia destes antepassados.

Vejamos agora como multiplicar, usando os métodos Egípcios: 1 1

13 5

+ + por

130

3+ .

Comecemos então por considerar:

1 1 1

13 5

+ +

2 2 1 1 12 3

3 3 15 1+ + + = + ����

4 1 1

610 30

+ + ����

8 1 1

125 15

+ + ����

16 1 1 1 1

243 15 10 30

+ + + + ����

2

3

2 1 1 1 1

3 6 18 10 30+ + + +

1

3

1 1 1 1 1

3 12 36 20 60+ + + + ����

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44

Paramos aqui para procurar os números da coluna da esquerda que somam 1

303

+ ,

marcando essas linhas. Se adicionarmos os números correspondentes na coluna da

direita obtemos:

1 1 1 1 1 146

5 10 12 15 30 36+ + + + + + .

Obtemos assim resposta ao problema inicial de quanto seria o produto de 1 1

13 5

+ +

por 1

303

+ .

Terminamos a “viagem” pelo Papiro de Rhind, visualizando a resolução dada para o

Problema50.

Problema50: Um campo circular tem de diâmetro 9Khet. Determine a sua área.

Ahmes a esta pergunta, responde com a seguinte solução:

Tire-se 1

9 do diâmetro (que consideramos como unidade) sobrando assim 8

pequenas partes. Multipliquemos 8 por 8, obtendo 64. Sendo assim contém 64 partes de

terra.

Ou seja,

1 9

1

9

1

isto retirado ficamos com 8

1 8

2 16

4 32

8 64

Logo a área é 64.

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45

Este exemplo foi mencionado, na medida que a ele corresponde à utilização de

28

4 3,16059

π

= =

o que é uma notável aproximação se tivermos em conta o ano a

que se remota. De facto, e resolvendo em notação actual, obteríamos:

2 22 9 2

64 64 642 9

rπ π π

= ⇔ = ⇔ = ⇔

22 2 226 2 42 2 2 2 8

2 2 2 4 49 9 9 9

π ×

= × = × × = =

.

Contudo, a matemática egípcia era ainda mais rica do que até agora foi descrito.

Vejamos alguns exemplos de problemas que eram resolvidos na época. A diversidade e

amplitude de áreas contempladas eram grandes, e aparecem problemas onde se pede a

solução de uma equação, como é o caso do que se segue:

Problema26: Uma quantidade adicionada a um quarto dessa quantidade é igual a 15.

Qual é essa quantidade?

Outros que envolvem séries geométricas, como por exemplo:

Problema64: Divida dez pães por dez homens, para que, cada homem tenha 1

8 de pão a

mais do que o homem precedente.

Outros são geométricos:

Problema50: Um terreno circular tem de diâmetro 9 khet (unidade de comprimento

utilizada na época). Qual a sua área?

O papiro de Moscovo contém teores semelhantes.

Contudo, contém uma resolução que faz todo o sentido referir neste trabalho, não só

por ser considerada por muitos historiadores como o mais impressionante conhecimento

da matemática Egípcia, mas também por estar intimamente ligada às pirâmides, das

quais vamos falar de seguida.

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46

Figura 2.12 – Papiro de Moscovo

(Extraído de http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_papyri.html)

Problema16: Calcular o volume da pirâmide cuja base é um quadrado de lado 4 cubits,

o topo da pirâmide é um quadrado de lado 2 cubits e a altura é de 6 cubits.

Note-se que o autor escreve “calcular o volume da pirâmide” embora se refira ao

cálculo do volume da pirâmide truncada! Notemos ainda o quão apropriado é este

cálculo nesta civilização, que é ainda hoje universalmente conhecida pela notável

construção das pirâmides.

O cálculo segue os seguintes passos:

- Inicia-se pela determinação da área da base: 4 4 16× = .

- Segue-se o cálculo da área do topo, ou seja: 2 2 4× = .

- De seguida o produto do lado da base pelo lado do topo: 4 2 8× = .

- Estes três resultados são de seguida adicionados: 16 4 8 28+ + = .

- Agora 1

3 da altura é 2.

- Finalmente, o produto de 1

3 da altura pela soma anterior dá o resultado 56,

considerado como resposta final.

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47

Este exemplo significa que os Egípcios conheciam a fórmula do volume (embora

não de um modo algébrico como aqui exporemos). Sendo o lado da base quadrada a , o

lado do topo b e a altura h , então:

( )2 2 / 3V h a ab b= + + .

Analisando o conteúdo destes papiros chega-se à conclusão que os Egípcios tinham

uma visão muito prática da matemática, ao contrário do que veremos posteriormente na

sociedade Grega, onde a matemática passa a ter uma forte componente abstracta.

A maioria dos historiadores acredita que os Egípcios não pensavam nos números

como quantidades abstractas, mas sempre através de colecções de objectos, ou seja,

quando consideravam o número 3, eles concretizavam um conjunto com 3 objectos. Do

facto de não existirem registos de justificações dos seus métodos, resultavam apenas

exemplos de como os resolver. O importante era solucionar os problemas e não perceber

o porquê de tal solução ser fidedigna.

2.3. Teorema de Pitágoras

2.3.1. A Pirâmide de Guiza

O Egipto ficou conhecido durante muitos anos, como sendo um país detentor de

uma das sete maravilhas do Mundo – as Pirâmides do Egipto. Muitos assim as

consideram pela sua magnitude visual, pelo sua excelência em termos arquitectónicos,

principalmente quando se considera o tempo a que se remota a sua construção.

Contudo, e se observamos todas as coincidências, ou não, inerentes à sua

arquitectura, perceberemos porque é que as Pirâmides de Guiza ocupam o primeiro

lugar da lista das maravilhas do mundo antigo.

As Pirâmides de Guiza são um conjunto de três pirâmides (Figura 2.13), sendo que

cada uma corresponde a um membro da dinastia dos Reis Kufu ou Quéops. A primeira e

mais majestosa foi mandada construir por Quéops, o segundo Rei da 4ª Dinastia, que

posteriormente mandou construir a pirâmide Quéfren para ser o túmulo de seu filho e

ainda a pirâmide de Miquerinos para futuro túmulo de seu neto.

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48

Figura 2.13 - Da esquerda para a direita: Pirâmides de Quéops, Quéfren e Miquerinos.

(Extraído de http://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%A2mides_de_Giz%C3%A9)

A maior delas, também designada como a

Grande Pirâmide, tinha 146,6m de altura,

(actualmente 137,16 m devido à erosão e desgaste

ao longo dos tempos). Após 4500 anos da sua

construção, ainda se consegue ver do seu topo

desde a cidade Saladin a Este de Cairo, e para Sul

até tão longe quanto Dashur. É simplesmente a

maior das 80 pirâmides existentes no Egipto. Foi

mandada construir cerca de 2550 a.C. no auge do

antigo reinado, por e para, pertencer a Quéops.

Figura 2.14 - Mapa Pirâmides de Guiza

(Extraído de http://www.ancient-egypt.org/guiza/index.html)

Esta pirâmide orienta os quatro pontos cardeais. A sua orientação permite que os

raios luminosos da estrela Sirius, ao passarem por esse meridiano, atravessem a câmara

do núcleo da pirâmide através de um canal. Era assim que naquela época, aquando a

subida heliacal da estrela Sirius, se demarcava o início do ano e o começo das cheias do

Nilo, como que se anunciar ao seu Rei, mesmo depois deste morto.

A Grande Pirâmide manteve-se como sendo a mais alta estrutura construída pelo

homem até 1889 momento em que foi ultrapassada, em altura, pela Torre Eiffel, cerca

de 4500 anos após a sua construção!

A título de curiosidade podemos mencionar o facto de que se os seus blocos de

pedra da Grande Pirâmide fossem alinhados sobre o equador, conseguirem perfazer 2/3

do mesmo. Os seus blocos foram justapostos, como se de legos se tratasse, não sendo

utilizado qualquer tipo de cola ou cimento. Os lados da pirâmide, ao contrário do que

parece à vista desarmada, são ligeiramente côncavos, apenas o suficiente para aumentar

o reflexo da luz solar. Talvez por coincidência, o raio dessa inclinação é igual ao raio da

Terra!

__________________________________________________________________Egipto

49

Para essa reflexão solar ser possível foi necessário colocar uma cobertura de pedra

calcária compacta de cor branca semelhante ao mármore, mas preterida a este, de forma

a surtir esse efeito.

Terminamos esta análise acrescentando que as pirâmides mandadas construir para o

filho e o neto, Reis descendentes de Quéops, foram construídas em locais “especiais”.

Assim, e de acordo com o que

podemos visualizar na planta, o

alinhamento das três pirâmides e os seus

templos mortuários têm algumas

particularidades; os lados Oeste das

pirâmides de Quéops e de Quéfren

encontram-se quase perfeitamente

alinhados com as faces Estes de Quéfren e

de Miquerinos respectivamente. O lado sul

da pirâmide de Quéfren forma uma linha

recta com o lado sul do Templo do Vale de

Khafre.

Figura 2.15 - Planta Pirâmides de Guiza (Extraído

de http://www.mariomarcia.com)

Legenda da Figura 2.15:

1 - Grande Pirâmide de Cheops (Khufu); 10 - Templo da Esfinge;

2 - Pirâmide da Filha de Cheops; 11 - Templo do Vale de Khafre

3 - Túmulo de Hetepheres; 12 - Pirâmide de Miquerinos (Menkaure);

4 - Buracos de Barcos (boat pits); 13 - Templo Mortuário de Miquerinos;

5 - Boat Museum; 14 - Passagem de Miquerinos;

6 - Pirâmide de Khafre; 15 - Templo do Vale de Miquerinos;

7 - Templo Mortuário de Khafre 16 - Pirâmides das Rainhas;

8 - Passagem do Templo do Vale; 17 - Túmulo de Khentkaus.

9 - Grande Esfinge;

Mas o mais interessante de todos estes factos é que os vértices a Sudoeste de cada

uma das pirâmides reais, formam uma linha recta, uma diagonal de Noroeste para

Sudeste. Como a pirâmide de Miquerinos é menor, isto explica o facto do seu centro

não se encontrar alinhado com os centros das outras duas pirâmides. Só se pode

especular sobre este alinhamento, porque também se verifica noutras pirâmides. Alguns

__________________________________________________________________Egipto

50

historiadores pensam que a diagonal Noroeste tinha eventualmente subjacente a

intenção de apontar para o santuário em Heliópolis, casa do culto ao sol.

Muitos historiadores defendem que o primeiro contacto que Pitágoras de Samos teve

com o que seria posteriormente o Teorema de Pitágoras, se deu aquando da sua visita ao

Egipto. Nesta visita, Pitágoras terá estado em contacto com a matemática Egípcia, bem

como com a aplicação diária da mesma. Como é sabido, o Nilo transbordava todos os

anos, e como já foi referido, até o calendário egípcio tinha este factor por base. Assim,

todos os anos eram necessário remarcar as áreas de cultivo, utilizando a corda dos 12

nós, ou seja, o terno pitagórico (3,4,5).

2.3.2. O Teorema de Pitágoras e as Pirâmides

A pirâmide que observaremos também de modo mais detalhado no que respeita aos

conteúdos matemáticos, é a Grande Pirâmide, devido às suas consideráveis medidas

terem dado lugar a várias especulações por parte dos historiadores matemáticos, que

terão realizado diversas conexões de teores matemáticos diversos, entre eles alguns

relacionados com a Matemática Pitagórica.

Joseph e muitos outros autores analisaram as medidas da pirâmide de Guiza,

levando-os a acreditar que esta foi construída, tendo como base certas constantes

matemáticas não propriamente “inocentes”.

Assim sendo, vejamos algumas supostas, ou não, coincidências! O ângulo entre a

base da pirâmide e uma das faces é 51º50’35’’, a secante deste ângulo é 1.61806… que

é notavelmente aproximado de 1 5

2

+, o famoso número de ouro utilizado na divina

proporção na pintura, na escultura e na arquitectura ao longo dos tempos (por se tornar

agradável à vista humana). Não queremos com isto dizer que os Egípcios tivessem a

noção e o conhecimento de secante de um ângulo, mas não deixa de ser curioso verificar

que esta coincide com o quociente entre a unidade e o seno do ângulo formado pelos

lados da pirâmide.

Por outro lado, a medida da co-tangente do ângulo entre a base e a face lateral da

pirâmide é muito próximo de 4

π. Mais uma vez não querendo dizer que os Egípcios

__________________________________________________________________Egipto

51

tivessem conhecimento desta razão trigonométrica, mas sim apenas que a razão dos

lados da pirâmide parece ter sido realizada de forma a se obter este número.

Desta forma, podemos unicamente admitir que terá existido algum tipo de relação

entre a razão do número de ouro e π . De facto existe uma coincidência numérica, entre

o facto da raiz quadrada da razão de ouro multiplicada por π ser aproximadamente 4, e

de na realidade esse produto ser igual a 1 5

3,9961682

π+

× � ….

Robins, um outro historiador, contesta tanto a teoria da razão de ouro como de π ,

estarem deliberadamente envolvidos na construção da pirâmide. Ele afirma que a razão

entre a altura vertical e a distância horizontal foi escolhida para ser 1

52

de 7, e o facto é

que 11

4 3,142814

× = , o que não é uma má aproximação de π . Ainda assim, isto não

passaria de uma simples coincidência. Do mesmo modo, sustenta que a razão de ouro se

obtém também de uma simples coincidência. Robins afirma que certas construções eram

realizadas para que o triângulo que se formava com a base e a altura fosse de

comprimentos correspondentes ao terno pitagórico (3,4,5). Certamente seria mais

verosímil que os engenheiros utilizassem o conhecimento matemático para construírem

ângulos rectos, em vez de utilizarem razões entre a razão de ouro e o valor de π .

Mais uma vez nos deparamos com a grande dificuldade dos historiadores da

Historia da Matemática, que é a de saber até que ponto estão lá os resultados à vista, ou

se somos nós que os queremos descortinar?!

Quanto ao Teorema de Pitágoras no Antigo Egipto, chegamos no epílogo à conclusão de

que não existe um artefacto que comprove directamente o seu conhecimento. Apenas

podemos ter a certeza que utilizavam no seu quotidiano o terno (3,4,5) para obterem

ângulos rectos (como é exemplo a construção e as proporções da Grande Pirâmide).

A verdade é que possuíam conhecimentos a nível

da Matemática, Arquitectura, Engenharia e

Astronomia, entre outros, bastantes mais complexos

do que o Teorema de Pitágoras (como temos vindo a

exemplificar com os Papiros de Rhind e de Moscovo,

ao longo de todo este capítulo).

Figura 2.16 - Terno Pitagórico (Desenhado pela autora utilizando

Sketchpad)

__________________________________________________________________Grécia

52

3. Grécia

3.1. Introdução Histórico Temporal

3.1.1. Contextualização Geográfica

A história da civilização grega pode parecer um pouco complexa, uma vez que é

subdividida em seis períodos. Passamos a enumerá-los, ressalvando que as épocas que

estão subjacentes ao nosso estudo são principalmente relativas aos dois últimos, como

se verificará com facilidade pelas datas. Os períodos são os seguintes:

• Pré-Homérico (1900-1100 a.C.) – período anterior à chegada dos Fenícios e dos

Cretenses;

• Homérico (1100-700 a.C.) – Aquando a chegada de Homero, que seria

imortalizado pelas suas obras, Odisseia e Ilíada.

• Arcaico (800-500 a.C.) – Início do progresso económico e da organização da

Grécia através de cidades estado;

• Clássico (500-338 a.C.) – Discutível, mas considerado por muitos como o

período do esplendor da civilização grega. Esparta e Atenas eram as cidades

consideradas mais importantes nesta época e rivalizavam entre si.

• Helenístico (338-146 a.C.) – Após a morte de Alexandre o Grande, altura em

que a pólis (cidade) grega entra em crise, e à qual se seguem as invasões

macedónicas.

Contudo, e como foi escrito, o início do progresso económico teria ocorrido por

volta de 800 a.C. Nesta altura os Gregos mudaram o seu sistema de escrita, de

hieroglífica para o alfabeto fenício, o que lhes permitiu registar com mais facilidade os

seus conhecimentos. Na ausência de papel, nessa época os gregos escreviam os seus

textos em papiro. Infelizmente, a maioria dos textos matemáticos não sobreviveu até aos

nossos dias na sua versão original. Alguns não resistiram de todo, outros chegaram até

nós por intermédio de comentários e menções escritas em livros posteriores, ou de

traduções para o árabe e do árabe para o latim. O papiro era um material que se

deteriorava com alguma facilidade, principalmente quando sujeito a ambientes húmidos,

e como naquele tempo o único modo de ter outros exemplares de um livro pressupunha

__________________________________________________________________Grécia

53

a sua reprodução e cópia manual de um outro original, tornava-se dispendioso e moroso

fazê-lo. Assim sendo que, só os trabalhos mais relevantes eram copiados.

Na Figura 3.1 podemos observar um mapa da Grécia Antiga, no auge da sua

expansão, altura em que Alexandre o Grande concretizava o objectivo do seu falecido

pai Filipe II, assassinado por um nobre macedónio em Julho de 336 a.C., após vencer as

batalhas de Granico, Isso e Gaugamela, marchando ainda até à Índia.

O império que assim construiu, foi o maior de todos os tempos, incluindo os

impérios romanos posteriores. Ia desde a Ásia Menor ao Afeganistão, passando pelo

Egipto.

Figura 3.1 – Mapa Antiga Grécia (Extraído de Encyclopaedia Britannica, 1994)

Alexandre faleceu de forma prematura (possivelmente de malária) em 323 a.C.

quando retomava das suas vitórias sem ter, contudo, conquistado a Índia.

__________________________________________________________________Grécia

54

Após a sua morte, os seus generais lutaram pela posse do império, que viria a ser

dividido em três reinos distribuídos pelos políticos gregos da época, nomeadamente:

• Antígono, que fundou um Reino a que pertenciam a Ásia Menor, a Macedónia e

a Grécia;

• Seleuco, cujo reino compreendia o Afeganistão e a Macedónia;

• Ptolomeu, que foi coroado Rei do Egipto.

A civilização da Grécia Antiga viria a ser considerada como base da cultura da

civilização ocidental, uma vez que influenciou a filosofia, o sistema educacional, o

sistema político (a Grécia foi a primeira democracia existente, de lá advém também o

conceito de cidadania), influiu ainda a nível educativo, tecnológico e científico, bem

como na arte e arquitectura moderna. A sua influência está bem patente no período

renascentista na Europa Ocidental, e os períodos neoclássicos dos séculos XVIII e XIX,

na Europa e na América.

O mapa da Grécia na actualidade encontra-se na Figura 3.2.

Figura 3.2 – Mapa Actual Grécia

(Extraído de http://go.hrw.com/atlas/span_htm/greece.htm)

__________________________________________________________________Grécia

55

3.1.2. O Povo

O Povo Grego surgiu da união de vários povos que migraram para a Península

Balcânica em diversas ondas, desde o início do terceiro milénio a.C. Apesar de tal

sugerir que seria uma grande desordem de línguas e de modos de vida, isso não

correspondia à realidade; apesar dos conflitos e das diferenças sociais existentes, os

gregos possuíam muitos elementos culturais em comum: falavam a mesma língua,

mesmo quando possuíam dialectos e sotaques diferentes, tinham a mesma religião e

adoravam os mesmos Deuses.

Prova da sua actividade cultural comum são os tão conhecidos Jogos Olímpicos que

se começaram a realizar a partir de 776 a.C., de quatro em quatro anos. Para assistirem a

estes jogos, os gregos viajavam das suas casa até à cidade de Olímpia, local onde se

realizava o festival de competições. Os jogos eram tão importantes para este povo, que

chegaram a interromper guerras entre cidades, para não prejudicar o bom desenrolar dos

mesmos!

Como o território Grego era muito extenso, houve necessidade de alterar/renovar o

regime político inicial, de forma a ser possível organizar e governar, ordenadamente,

um império tão vasto, tanto em termos de território como das civilizações que o

constituíam. Formaram-se assim na Grécia Antiga diversas cidades independentes, em

que cada uma tinha o seu próprio sistema de governo, respectivas leis, calendário e

moeda de troca. A cada uma destas cidades deu-se o nome de pólis ou cidades-estado.

Esta forma de organização social visava uma completa autonomia política relativamente

às outras poleis gregas, embora existisse muito comércio e divisão de trabalho ente as

cidades.

Atenas era a cidade maior e mais rica da Grécia Antiga nos séculos V e IV a.C. Para

além de ser a cidade-estado, era também a cidade “Mãe”, uma vez que dela saíam os

tramites gerais que as restantes cidades estado deveriam seguir, de forma a existir uma

unificação e coesão indispensável para a boa gerência de tão vasto império.

Como referimos anteriormente, o grande desenvolvimento da cultura grega surgiu

por volta do séc. VI a.C., numa colónia situada na Ásia Menor, mais exactamente na

cidade de Mileto. Os filósofos de Mileto tentavam explicar os fenómenos naturais sem

recorrer ao misticismo.

__________________________________________________________________Grécia

56

Naquele tempo os contactos comerciais com o Egipto e a Mesopotâmia, entre outros

países, favoreciam a troca e aquisição de novos conhecimentos. Nesses países já eram

utilizados vários resultados de índole matemática, embora apenas como aplicações

práticas na resolução de problemas concretos do quotidiano.

Quando estes resultados foram “importados” para a cultura grega, os filósofos de

então não se contentaram em apenas saber utilizá-los. Na escola jónica, Tales introduziu

a Geometria, tentando enunciar e fundamentar os resultados já utilizados pelas outras

civilizações. Acima de tudo pretendia-se entender o porquê de tais procedimentos

funcionarem correctamente e justificá-los, abstraindo do caso particular para uma visão

mais abrangente e geral.

No final do séc. VI a.C., o centro de conhecimento mudou-se de Mileto (e outras

cidades da Ásia Menor) para a Magna Grécia onde viveu Pitágoras (569 a.C. 475 a.C.).

Pensa-se que terá sido nesta escola que se descobriu a incomensurabilidade. Esta

descoberta foi mantida em segredo por se considerar um contra-exemplo na abordagem

de que o mundo podia ser explicado através dos números. Para os matemáticos da época

só existiam números inteiros e números fraccionários. Os irracionais que hoje sabemos

serem, de algum modo, o motivo da existência dos incomensuráveis, não eram vistos

como números. A descoberta da incomensurabilidade invalidava também a teoria das

proporções criada e usada por essa escola, tendo a sua descoberta originado a

abordagem dos problemas através da geometria das áreas. A crise provocada nas

proporções só viria a ser resolvida por Eudoxo, num estudo minucioso relatado

posteriormente nos Elementos de Euclides. Na Escola Pitagórica estudavam-se também

os sólidos regulares.

Por volta do séc. V a.C., o centro voltou a mudar-se, desta vez para Atenas, onde a

Matemática e a Filosofia se desenvolveram principalmente na Academia de Platão (429-

348 a.C.). Na Academia seguiam-se as mesmas crenças relativamente aos números que

na escola Pitagórica. A Aritmética e a Geometria eram a chave de todo o Universo.

Houve no entanto importantes progressos no desenvolvimento da lógica e dos métodos

geométricos e começavam-se a tentar definir noções como ponto, linha, plano. A

Academia ficou conhecida como criadora de matemáticos uma vez que dessa escola

saíram personalidades de destaque tais como Eudoxo de Cnidus, o autor de quase todas

as proposições do livro V dos Elementos e das primeiras cinco proposições do livro XII.

__________________________________________________________________Grécia

57

O período helénico (300-200 a.C.) foi, no entanto, a época mais fértil do

desenvolvimento da matemática grega. Cerca de 300 a.C. o centro da matemática

mudou-se de Atenas para Alexandria, cidade construída por Alexandre o Grande (358-

323 a.C.), que fundara a Biblioteca e o Museu, local onde trabalhavam matemáticos

como Euclides.

Após a mudança para a Alexandria, o centro do conhecimento permaneceu aí cerca

de 1 milénio. A matemática aqui desenvolvida é considerada de origem grega

principalmente por ser feita por matemáticos gregos que a relatavam utilizando essa

mesma língua.

3.2. A Matemática na Grécia Pré-Helénica

3.2.1. Tales de Mileto - A Escola Jónica

Tales de Mileto nasceu a 624/625 a.C. em Mileto

(actual Turquia), vindo a falecer na mesma cidade em

556/558 a.C. (Figura 3.3). Tales é apontado como um dos

sete sábios da Grécia Antiga, considerado também o

primeiro filósofo da “physis” (natureza), intitulado por

Aristóteles, como o fundador da filosofia. Foi um dos

percursores da ciência, pois foi dos primeiros a tentar

substituir as explicações míticas sobre o Universo por

explicações físicas e de ordem natural.

Figura 3.3 - Tales de Mileto (Extraído http://www.google.pt)

Tales buscava um início para todas as realidades, uma explicação para a Vida, a

Terra e o Universo, procurava o “arché”, isto é, o princípio de todas as coisas, presente

em todos os momentos de existência de tudo, desde o início até à morte de qualquer

ente.

__________________________________________________________________Grécia

58

Segundo a sua teoria, o arché era a água. Ele acreditava que todas as coisas têm um

princípio físico original, que para ele seria a água. Defendia três princípios

fundamentais:

“…a água é o princípio de todas as coisas…”

“…todas as coisas estão cheias de deuses…”

“…a pedra magnética possui um poder porque move o ferro…”

É de ressalvar que, quando Tales afirmava que todas as coisas estavam cheias de

deuses, ele não se referia à presença dos Deuses da Mitologia, mas sim a uma força

intrínseca a cada objecto, força essa que, por exemplo, era bem observável nas pedras

magnéticas, uma vez que atraiam o ferro.

Tales fundou uma escola, a Escola Jónica, construída na colónia grega da costa

ocidental da Ásia Menor. Esta foi a primeira escola filosófica do período naturalista.

Tales e os demais filósofos que aí estudavam e debatiam as suas teorias dedicavam-se à

procura de uma substância única que fosse a causa e o princípio do mundo natural.

Tales também se destacou na área da Astronomia. Defendia que os astros tinham

natureza terrestre, sendo contudo incandescentes como o Sol. Considerava que a Lua era

iluminada pela luz solar, tendo sido Tales o primeiro a fazer esta afirmação. Esta

percepção permitiu-lhe uma explicação para os eclipses lunares, e conseguiu prever com

exactidão o eclipse solar de 28 de Maio de 585 a.C. Esta previsão parece ter sido

utilizada para atemorizar os exércitos que se encontravam em guerra, fazendo-os

suspender uma batalha que travavam nesse momento, culminando esta com um firmar

de acordo de paz.

Contudo, e como a grande maioria dos seus contemporâneos, Tales para além de

filósofo, astrónomo e como veremos matemático, era também comerciante de sal, azeite

e azeitonas. Conta a lenda que Tales enriqueceu devido à previsão de uma óptima safra

__________________________________________________________________Grécia

59

de azeitonas, conhecimento este que o levou a comprar todas as prensas de azeitonas

daquela região, tendo posteriormente todos os agricultores de lhe pagar uma certa

quantia pela sua utilização.

A sua profissão de comerciante colocava-o em contacto com pessoas de outros

países e proporcionava-lhe viajar e visitar esses mesmos países.

Um desses países foi o Egipto, onde teve a oportunidade de estudar Astronomia e

Geometria, a qual, ao que parece, começou rapidamente a pôr em prática, uma vez que

determinou a altura da pirâmide de Quéops, utilizando o conhecimento da proporção

entre a sua sombra e a sombra da pirâmide, na altura do dia em que a sombra de Tales

coincidia com a sua altura (podendo-se traduzir o problema por um triângulo rectângulo

e isósceles).

Alguns historiadores contestam, contudo, que Tales já possuísse estes

conhecimentos, uma vez que estes só viriam a ser demonstrados nos Elementos de

Euclides que datam de 300 a.C., ou seja, com uma diferença de quase 300 anos de

estudos e conhecimentos.

O historiador matemático Sir Thomas L. Heath argumenta que no que concerne à

altura da pirâmide, e sabendo-se que Tales tinha a noção de triângulo isósceles,

provavelmente se tenha tratado de “uma indução, após medições efectivas num número

considerável de casos” (Heath, 1981, 1, pp.129, 130). Ou seja, não teria sido realizada

qualquer proporção, apenas a observação constante, de que existe um momento no dia

em que o sol provoca uma sombra igual ao real comprimento do objecto.

É-lhe também atribuída a utilização da mesma semelhança de triângulos para

determinar a que distâncias se encontravam os barcos inimigos da costa grega tendo

contribuído para a defesa da própria pátria. Assim, o resultado que estabelece as

relações existentes entre triângulos semelhantes viria a ser atribuído a Tales por Proclo

__________________________________________________________________Grécia

60

de Lícia que diz: “…Eudemo, nas suas Histórias Geométricas, atribui o presente

teorema a Tales; pois, declara ele, é necessário usar este teorema para saber a distância

dos barcos no mar da maneira que foi mostrada por Tales.”

Mas também para esta façanha Sir Thomas Heath possui uma conjectura alternativa

que tenta explicar o sucedido, sem a utilização das proporções entre triângulos

semelhantes. Segundo ele, desde que existisse uma torre, poder-se-ia utilizar um

instrumento consistindo numa vara à qual estaria articulado um ponteiro que marcasse

qualquer ângulo desejado. Apontada na direcção do navio e marcado, assim, um

determinado ângulo, bastaria rodar o diapositivo até que este apontasse para um local

acessível na costa, local que estava à mesma distância da torre que o navio e ao qual era

possível de medir a distância. (Heath, 1908, 1, p.305)

Segundo Proclo, Tales passara os conhecimentos de Geometria adquiridos na sua

viajem ao Egipto aos seus contemporâneos e discípulos, o que leva a crer que, ou Tales

criou uma outra escola jónica onde se estudava matemática, ou na escola jónica de que

falamos à pouco se debatiam para além dos temas filosóficos, temas geométricos e de

carácter matemático.

Ainda na Matemática, são atribuídas a Tales várias Proposições, entre as quais

destacamos algumas. Em cada uma delas está indicado o local onde podemos encontrar

a demonstração desse resultado, realizadas ou transcritas por um outro Matemático ( de

que falaremos mais tarde), Euclides, já pertencente ao período Helénico.

Proposição: Os ângulos internos de um triângulo somam dois rectos. – Note-se que

nesta época ainda não existia o método de medição de ângulos actual. (Euclides I, 32)

__________________________________________________________________Grécia

61

Proposição: Um ângulo é recto se e só se pode ser inscrito numa semicircunferência.

(Euclides III.31)

Note-se que o conhecimento desta proposição, permite deduzir com alguma

facilidade que é possível inscrever um rectângulo numa circunferência, verificando-se

posteriormente que as diagonais do rectângulo são diâmetros da circunferência e que o

rectângulo inscrito pode tomar qualquer posição dentro da mesma.

Proposição: Se duas linhas rectas se cortam, elas fazem os ângulos verticalmente

opostos iguais entre si. (Euclides I, 15)

Proposição: Em triângulos isósceles os ângulos da base são iguais entre si. (Euclides I,

5)

Proposição: Se dois triângulos têm dois ângulos de um, iguais a dois ângulos

respectivamente do outro, e um lado igual a outro lado do outro (lado este adjacente ou

oposto a ângulos iguais), terão também iguais os outros lados que se correspondem num

e no outro triângulo, bem como o terceiro ângulo. (Euclides I, 26) – Actualmente

conhecido entre os estudantes, como o critério (ala) de congruência (igualdade) de

triângulos.

Proposição: Os triângulos semelhantes têm os seus lados proporcionais. – Viria mais

tarde a designar-se Teorema de Tales. (Euclides VI, 4)

Proposição: Se dois triângulos têm os lados correspondentes directamente

proporcionais então são triângulos semelhantes. (Euclides VI, 5)

__________________________________________________________________Grécia

62

Actualmente, a junção das duas proposições anteriores, é conhecida entre os

estudantes, como o critério (aaa) de semelhança de triângulos, ou uma generalização

do Teorema de Tales.

“Não se sabe se os três casos de congruência de triângulos seriam ou reconhecidos

pelos geómetras jónicos. O caso ângulo-lado-ângulo não é menos complicado do que os

outros dois. Portanto, se Tales (ou algum seu contemporâneo) tiver observado que um

lado e os dois ângulos adjacentes bastam para determinar um triângulo então poderá não

lhe ter escapado que um triângulo também fica determinado por dois lados e o ângulo

por eles formado, quer pelos três lados.” (Carlos Sá, 2000, 5, p. 229)

Por tudo o que foi referido anteriormente, todos estes resultados podem ou não, ter

sido vislumbrados por Tales, argumentados de forma quase demonstrativa, mas mais

uma vez a falta de fontes deixa-nos apenas com a possibilidade de acreditar ou

conjecturar. É no entanto usual atribuir a Tales a transição da resolução de questões

matemáticas particulares para a formulação de resultados gerais.

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63

3.2.2. Pitágoras de Samos – A Escola Pitagórica

Pitágoras de Samos (Figura 3.4) nasceu a cerca de 569

a.C. em Samos perto de Mileto, vindo a falecer por volta

de 475 a.C. em Metaponto, Luciana.

Mais uma vez, tudo o que se afirma sobre relatos desta

época pode ter sido objecto de lendas, as narrações são

tardias e tudo o mais, para o que já alertámos nos

capítulos anteriores.

Enquanto que Tales é muitas vezes considerado como

o primeiro Filósofo, Pitágoras é usualmente considerado o

primeiro Matemático.

Figura 3.4 – Pitágoras de Samos (Extraído http://www.google.pt)

Pitágoras pertencia a uma família modesta, o seu pai era um mercador, e enquanto

criança, Pitágoras acompanhava o pai em várias das suas viagens de negócios. Existe

evidência de que Pitágoras teria estado em Tire com o seu pai, lugar onde foi ensinado

por Caldeus (babilónicos) e os Mestres da Síria. Parece que, ainda em criança, e na

companhia de seu pai, visitou a Itália.

Pitágoras teve uma boa educação enquanto jovem, educação que tentou desenvolver

após atingir a maior idade. Entre os 18 e os 20 anos, Pitágoras procurou Tales, de quem

foi discípulo. Existiram três filósofos que o influenciaram bastante: Pericles, descrito

muitas vezes como sendo o professor de Pitágoras ao longo da sua infância, Tales que o

influenciou no que respeita à Matemática e Astronomia, e Anaximandro, discípulo de

Tales, que dada a idade avançada do seu mestre, terá sido quem orientou Pitágoras nos

seus estudos posteriores.

__________________________________________________________________Grécia

64

A conselho de Tales, Pitágoras viajou para o Egipto por volta de 535 a.C. Supõe-se

que Pitágoras era amigo de Policrates (político que nessa época tinha o controle da

cidade de Samos) e que ao que parece, escreveu uma carta de recomendação para que

Pitágoras a apresentasse aquando da sua chegada ao Egipto, sendo portanto tratado com

uma primazia diferenciada do público em geral.

Pitágoras foi admitido num templo, que funcionava também, como era usual na

época, funcionava como uma academia/escola, em Dospolis, onde se acostumou a

cumprir certas regras que mais tarde viria a implementar na escola que viria a fundar.

Como é exemplo pode referir-se a proibição de comer carne - Pitágoras era o que hoje

designamos por lacto-vegetariano, tendo algumas características de Vega, pois por

exemplo não vestia roupa que contivesse pele de animais.

Em 525 a.C. o Rei da Pérsia invadiu o Egipto e Pitágoras foi feito prisioneiro, sendo

remetido para a Babilónia, lugar onde aprendeu e aperfeiçoou os seus conhecimentos de

Aritmética, Música e outras ciências conhecidas pelos Babilónicos.

Em 520 a.C. Pitágoras voltou a Samos e criou uma primeira escola de nome

Semicírculo, a qual teve de posteriormente abandonar devido à situação política da

cidade, que estava sob o domínio do Rei Persa que o mandara prender. Pitágoras

retomou a Itália, fixando-se na cidade de Crotona onde fundou a famosa Escola

Pitagórica.

A Escola Pitagórica baseava os seus ensinamentos em Filosofia, Matemática,

Música e Astronomia. Os seus alunos estudavam os alunos as disciplinas de Aritmética,

Astronomia Geometria e Música. A Escola tinha exigências muito fortes em termos de

sigilo e possuía uma série de regras obrigatórias para os seus membros, assemelhando-

se a uma seita mística e misteriosa, quase como uma religião.

__________________________________________________________________Grécia

65

A Escola era constituída por matemáticos, alunos internos aos quais não era

permitido possuir bens próprios, partilhando os seguintes princípios:

• A natureza é matemática, até ao seu mais profundo nível;

• A filosofia pode ser usada para purificação espiritual;

• A alma pode partilhar uma união com o divino;

• Alguns símbolos têm significado místico;

• Todos os seguidores da ordem devem manter lealdade e segredo.

Este último impedia que qualquer aluno falasse ou comentasse o que se passava na

escola, bem como os resultados e as descobertas realizadas. Tudo o que lá se fazia era

sempre, por uma questão de respeito, atribuído ao mestre Pitágoras, daí as dificuldades

em saber até que ponto, na realidade os resultados a ele associados, foram de facto por

ele descobertos, ou por alunos que pertenciam à escola.

Um facto curioso, é que para além dos alunos internos - os matemáticos; existiam

também alunos externos - os acromáticos, que podiam possuir bens próprios, dormir nas

suas próprias casas e frequentar também a Escola, ouvindo as lições através de uma

cortina, através da qual apenas lhes era permitido passar ao fim de cinco anos. Para

além disso, e esta era uma grande novidade, eram admitidas mulheres como membros

desta Sociedade. Muitas delas viriam a tornar-se filósofas importantes.

Em relação aos símbolos com significado místico, o

melhor exemplo talvez seja o símbolo escolhido para a

Escola Pitagórica – o Pentagrama. O Pentagrama, ou

estrela de cinco pontas, era um modo de representar o

número 5, que simbolizava a união, o casamento!

Figura 3.5 – Pentagrama (Desenhado pela autora utilizando

Sketchpad)

__________________________________________________________________Grécia

66

O número 1 era considerado o gerador de todos os outros números, o número 2 era o

primeiro número par (considerados femininos) e o 3 o primeiro número ímpar

(considerados masculinos), logo 5 era a junção do primeiro feminino, com o primeiro

masculino, pelo que simbolizava toda a criação.

Falaremos de seguida de alguns resultados atribuídos a esta Escola.

3.2.3. A Aritmética Pitagórica – Os números figurados

Como dissemos no sub capítulo anterior, para os Pitagóricos todo o Universo e

respectiva Harmonia se podia reduzir em números; é portanto natural que os estudassem

ao pormenor.

Utilizavam muitas vezes representação figurada dos números, dispondo pequenas

pedras de formas diferentes, geralmente em figuras geométricas. Isto permitiu-lhes

várias descobertas sobre certas propriedades dos números, conseguindo outros, a partir

dos anteriores, aplicando a regra que tinha a sequência com que estavam a trabalhar.

Surgiram assim:

• Números Triangulares – porque se conseguiam dispor sob a forma de um

triângulo;

1 3 6 10 15 …

Figura 3.6 – Sequência dos primeiros números triangulares. (Desenhado pela autora)

__________________________________________________________________Grécia

67

• Números Quadrados – porque se conseguiam dispor sob a forma de um

quadrado;

1 4 9 16 25 …

Figura 3.7 – Sequência dos primeiros números quadrados. (Desenhado pela autora)

• Números Pentagonais – porque se conseguiam dispor sob a forma de um

pentágono;

1 5 12 22 …

Figura 3.8 – Sequência dos primeiros números pentagonais. (Desenhado pela autora)

• Números Rectangulares – porque se conseguiam dispor sob a forma de um

rectângulo e davam oportunidade de desenvolver a noção de divisores de um número.

2 6 12 20 30 …

Figura 3.9 – Sequência de uns primeiros números rectangulares. (Desenhado pela autora)

__________________________________________________________________Grécia

68

Podemos traduzir estes resultados sob a actual notação, ou mesmo verbalizá-los.

• Número Triangulares – que podemos traduzir por recorrência:

1

1

: 1

( 1)n n

n t

t t n+

∀ ∈ =

= + +

�,

Ou seja, um número triangular pode ser sempre obtido do número triangular

anterior, acrescentando-lhe o número actual! Podemos simplificar a relação de

recorrência anterior:

( )1:

2n

n nn t

+∀ ∈ =� .

• Números Quadrados - que podemos escrever simplesmente:

2: nn q n∀ ∈ =�

Ou em função dos números triangulares, como podemos observar na figura:

Figura 3.10 – Sequência dos números quadrados divididos em números triangulares consecutivos. (Desenhado pela autora)

De forma aritmética:

{ } 1/ 1 : n n nn q t t−

∀ ∈ = +� .

• Número Pentagonal de ordem n é dado por:

( )( ) ( )1 3 2 3 1:

2 2n

n n n nn P

+ + −∀ ∈ = =�

Analogamente se obtinham os números hexagonais, heptagonais, octogonais, etc.

Mostra-se que o número m-gonal de ordem n, quer dizer, o número correspondente a

um polígono de m Ângulos, de ordem n, é

__________________________________________________________________Grécia

69

( ) ( )( )1

, : 2 2 1 22

m

nn m P n n m∀ ∈ = + − − � .

Por exemplo, o 6º número pentagonal, i.e., o 6º número 5-gonal

( ) [ ]56

16, 5, 6 2 5,3 51

2n m P= = = + =

número que coincide com o obtido, fazendo n=6 em ( )3 1

2n

n nP

−= .

Foi através de observações como esta que deduziram que para se passar de um

número quadrado, para o número quadrado seguinte, é sempre necessário adicionar-lhe

um número ímpar.

Figura 3.11 – Sequência de dois números quadrados consecutivos por junção de um número ímpar. (Desenhado pela autora)

Este número ímpar, com estas características, que consiste exactamente em

adicionar a nq o valor de 2 1n + , designa-se por um gnomon, quando visto desta forma

geométrica.

Logo,

( )1: 2 1n nn q q n+

∀ ∈ = + +�

Na realidade este foi o caminho segundo o qual viriam a descortinar um método

para obter ternos pitagóricos. Que podemos reescrever como:

( ) ( )2 21 2 1 ,n n n n+ = + + ∈�

Para que a expressão anterior seja um terno pitagórico, basta que 2 1,n n+ ∈� , seja

um número quadrado!

__________________________________________________________________Grécia

70

Ou seja,

22 1

2 12

pn p n

−+ = ⇔ = , pelo que,

( )

2 22 2 2

2 22 22

2 22 22

1 1 11 2 1

2 2 2

1 2 11 1

2 2

1 1

2 2

p p p

p pp

p pp

− − −+ = + +

− + −⇔ = + − +

+ −⇔ = +

que é um terno pitagórico.

Muitas outras propriedades foram descobertas pelos Pitagóricos, mas ficamo-nos

por aqui uma vez que já conseguimos descobrir como tão facilmente obtinham ternos

pitagóricos.

3.2.4. Descoberta dos Incomensuráveis – Geometria das Áreas

A descoberta da incomensurabilidade na Escola Pitagórica pode estar associada ao

Teorema de Pitágoras, pois é provável que tenha surgido ao comparar os lados e a

diagonal de um quadrado.

Aquando da descoberta dos incomensuráveis, a Escola sofreu uma crise de índole

filosófica. Como se podia admitir no Universo (que era tão perfeito e se podia explicar

através dos “sagrados” números) a existência de um número como o 2 , e outros

semelhantes (números irracionais) que começavam a aparecer?!

Esta descoberta foi mantida em segredo, para que os valores, regras e ensinamentos

da Escola não caíssem em descrédito. Os resultados que os pitagóricos tinham

demonstrado, utilizando a Teoria das Proporções baseada na comensurabilidade,

__________________________________________________________________Grécia

71

deixavam assim de estar provada, pelo que tiveram de se tentar outras estratégias para

os manter. Ao tentarem provar o pretendido, sem recorrer à comensurabilidade, surgiu

um novo método de prova, designado por Geometria das Áreas.

3.2.5. Teorema de Pitágoras – Demonstração

Existe mais que uma demonstração do Teorema de Pitágoras utilizando o seu novo

método de prova, mas dada a época a que se refere, não nos é possível determinar qual

destas provas foi a realizada por Pitágoras, ou mesmo, se ele próprio teria descoberto

mais de que uma demonstração. Assim sendo, dentro da variedade existente, vamos

apresentar a prova considerada pelos historiadores de matemática, como sendo a

original.

Consideremos um triângulo ABC, rectângulo em A. Digamos que a hipotenusa mede

c e que os restantes catetos medem respectivamente a e b.

Figura 3.12 - Triângulo ABC, rectângulo no vértice A.

__________________________________________________________________Grécia

72

Observe-se que, ambas as figuras são quadrados de lados a+b.

Figura 3.13 - Demonstração do Teorema de Pitágoras (Extraído de Euclid, 1952)

A primeira figura foi subdividida em quatro triângulos geometricamente iguais ao

da Figura 3.12, e num quadrado de lado c.

A segunda figura também possui quatro triângulos iguais ao da Figura 3.12.

Podemos concluir que se dois quadrados são iguais e ambos contêm quatro

triângulos iguais, então o que resta num quadrado tem de ser igual ao que resta no outro.

Ou seja, acabamos de demonstrar que 2 2 2c a b= + , ou seja, o que se pretendia

provar.�

3.3. A Matemática na Grécia Helénica

3.3.1. Elementos de Euclides

Como a maioria dos textos escritos nesse período, a versão original dos Elementos

de Euclides não sobreviveu até aos nossos dias, mas foi preservada através de cópias e

comentários de matemáticos posteriores.

Por ser tão abrangente e conter todos os resultados logicamente encadeados e

justificados, os Elementos mantiveram-se ao longo dos tempos, devido à sua

escrupulosa organização, clareza e rigor, chegaram ainda a ser utilizados nas escolas

europeias inclusivamente no séc. XX.

__________________________________________________________________Grécia

73

Os Elementos de Euclides são constituídos por 13 livros, cada um direccionado para

tema específico de Matemáticos, abrangendo os resultados desde o Período Jónico até à

época, das quais referimos as descobertas de Teetêneo e Eudoxo de Cnido. São livros

extremamente bem arquitectados, utilizando o método axiomático, isto é, um método

hipotético-dedutivo, onde a inferência de novas verdades são deduzidas a partir de

axiomas, postulados ou proposições previamente demonstradas.

Eudoxo de Cnido proporcionou um salto no desenvolvimento da Matemática, na

medida em que, foi ele quem apresentou uma nova teoria das proporções, capaz de

resolver os problemas causados pela descoberta dos incomensuráveis. O seu sistema de

proporções era válido em ambas as situações, quer as grandezas a comparar fossem

comensuráveis ou incomensuráveis, pelo que “libertava” a Geometria, que desta forma

ficara bastante espartilhada aquando da descobertas dos incomensuráveis, mesmo apesar

do esforço dos Pitagóricos para contornar o problema através da utilização da

Geometria das Áreas. Foi graças à nova teoria das proporções, que se pôde avançar com

o estudo de figuras semelhantes, como é o caso das semelhanças de triângulos, no livro

VI continuando-se o desenvolvimento da Matemática, agora já com um método onde

não havia restrições, nem particularidades.

Analisemos a seguinte tabela, onde se esquematiza, resume e sintetiza os diversos

conteúdos que constam nesta compilação de livros:

__________________________________________________________________Grécia

74

Elementos de Euclides

Livro Conteúdo Origem provável

I Triângulos, rectas paralelas, congruência de triângulos e Teorema de Pitágoras.

II “Álgebra” Geométrica. Geometria das Áreas.

III Círculo e circunferência – propriedades.

IV Polígonos regulares inscritos e circunscritos.

Período Jónico

(especialmente a Escola

Pitagórica)

V Proporções (de grandezas). Eudoxo

VI

Geometria

Plana

Figuras Semelhantes. ?

VII Divisibilidade. Números primos. Números primos entre si. Proporções (de números).

VIII Números em proporção contínua. Números quadrados e cúbicos; números (planos e sólidos) semelhantes.

IX

Teoria dos

Números

Infinidade dos primos. Soma de uma progressão geométrica. Números perfeitos.

Escola Pitagórica

X Comensurabilidade e incomensurabilidade. Subtracção recíproca. Teoria (unificada) das proporções.

Teetêto

XI Construções no espaço. Paralelepípedos. Período Jónico

XII “Método da exaustão”. Prismas, cones e esferas.

Eudoxo

XIII

Geometria

Tridimensional

Poliedros Regulares – Sólidos Platónicos. Teetêto

(Extraído de Sá, 1996)

No primeiro livro dos Elementos, Euclides começa por apresentar 23 definições,

pois não pretendia usar termos desconhecidos. Dando apenas alguns exemplos:

Definição 1: Um ponto é o que não tem partes.

__________________________________________________________________Grécia

75

Definição 2: Uma linha é comprimento sem largura.

�

Definição 20: Das figuras triláteras, um triângulo equilátero é o que tem os três lados

iguais, um triângulo isósceles o que tem apenas dois dos seus lados iguais, e um

triângulo escaleno o que tem os seus três lados desiguais.

Definição 23: Duas rectas paralelas são linhas rectas que, estando no mesmo plano e

sendo prolongadas indefinidamente em ambos os sentidos, não se encontram em

nenhum dos sentidos.

Procede com uma lista de 5 Postulados (em lógica matemática moderna designam-

se Axiomas):

Postulado 1: Traçar uma linha recta de qualquer ponto a qualquer ponto.

Postulado 2: Prolongar continuamente uma linha recta numa linha recta.

Postulado 3: Traçar um círculo com quaisquer, centro e distância.

Postulado 4: Todos os ângulos rectos são iguais entre si.

Postulado 5: Se uma linha recta incidir em duas linhas rectas e fizer os ângulos

internos do mesmo lado menores do que dois ângulos rectos, então as duas linhas rectas,

se prolongadas indefinidamente, encontram-se do lado em que estão os ângulos

menores do que dois ângulos rectos.

E culmina o início do livro com as seguintes 5 noções comuns (também designadas

actualmente por regras de inferência):

Noção comum 1: Coisas que são iguais à mesma coisa são iguais entre si.

Noção comum 2: Se iguais forem adicionados a iguais então os todos são iguais

entre si.

Noção comum 3: Se iguais forem subtraídos a iguais então os restantes são iguais

entre si.

Noção comum 4: Coisas que coincidem com outra são iguais entre si.

Noção comum 5: O todo é maior que a parte.

Só após esta introdução, é que Euclides começa a expor as suas proposições e as

demonstrações das mesmas, com a precisão, rigor e encadeamento que já mencionamos,

__________________________________________________________________Grécia

76

culminando com a apresentação da Proposição 47, correspondente ao Teorema de

Pitágoras, e a Proposição 48, relativa ao recíproco do mesmo.

3.3.2. Elementos de Euclides, livro I – Proposição 47

O resultado sobre o qual nos temos debruçado, sobretudo, ao longo deste trabalho,

atribuído por muitos à Escola Pitagórica, conhecido como Teorema de Pitágoras e,

como vimos anteriormente, provavelmente já demonstrado através da Geometria das

Áreas na Escola Pitagórica, é apresentado no Livro I dos Elementos com o seguinte

enunciado:

Elementos I, 47: Em triângulos rectângulos, o quadrado sobre o lado subtendendo o

ângulo recto é igual aos quadrados sobre os lados contendo o ângulo recto.

Uma conjectura é que as primeiras provas assentavam na Teoria das Proporções

Pitagórica, anterior à descoberta da incomensurabilidade e por ela inviabilizada. Apesar

da nova Teoria das Proporções, descoberta por Eudoxo de Cnido, permitir a utilização

desta abordagem na demonstração do resultado, não é essa a opção dos Elementos e de

igual modo, não utilizada a Geometria das Áreas.

Euclides poderia também ter efectuado uma demonstração mais simples para esta

proposição se tivesse aplicado o Axioma5 (o Axioma das paralelas), mas é perceptível

ao longo dos Elementos de Euclides que ele tenta, sempre que possível, não utilizar o

axioma, procedendo por vezes a demonstrações muito mais elaboradas. Uma explicação

possível é que, como os conceitos envolvidos neste axioma não eram bem aceites pela

comunidade matemática da época, o que era agravado pela complexidade da formulação

__________________________________________________________________Grécia

77

do axioma, Euclides optasse por não o aplicar de modo a que as provas dos resultados

não fossem postas em causa.

A prova apresentada em Elementos I é a seguinte:

Demonstração:

Seja ABC um triângulo rectângulo em A e seja H o pé da altura relativa a A.

Construam-se os quadrados sobres os lados do triângulo dado e prolongue-se a altura

AH como na Figura 3.5.

Figura 3.14 - O Teorema de Pitágoras (Extraído de Euclid, 1952)

Os triângulos FBC e ABD são congruentes, uma vez que FB = AB, e BC =BD e

tanto o ângulo FBC como o ângulo ABD são iguais à soma de um ângulo recto com

ABC. Logo, as suas áreas são iguais, bem como são iguais os respectivos dobros ou seja,

as áreas do quadrado ABFG e do rectângulo BDLH.

Analogamente, os triângulos KCB e ACE são congruentes e, portanto, a área do

quadrado ACKH é igual à do rectângulo CELH.

Logo, a soma das áreas dos dois quadrados é igual à soma das áreas dos dois

rectângulos, ou seja, a área do quadrado BDEC.�

__________________________________________________________________Grécia

78

Esta demonstração encontra-se no culminar do primeiro dos treze livros que

constituem os Elementos de Euclides, tendo sido necessário considerar várias das

quarenta e seis proposições, anteriores a esta, para que o Teorema de Pitágoras pudesse

ser demonstrado na sua plenitude, sem qualquer tipo de lacuna, ou restrição. O Livro I

dos elementos de Euclides termina com o recíproco desta proposição:

Elementos I, 48: Se num triângulo, o quadrado sobre um dos lados for igual aos

quadrados sobre os restantes dois lados do triângulo, o ângulo contido pelos restantes

dois lados do triângulo é recto.

A prova apresentada em Elementos I é a seguinte:

Demonstração:

Considere-se que o triângulo ABC tem o quadrado sobre o lado BC igual aos

quadrados sobre os lados BA e AC; eu digo que o ângulo BAC é recto.

Figura 3.15 - O Recíproco do Teorema de Pitágoras (Extraído de Euclid, 1952)

Trace-se pelo ponto A uma linha recta AD perpendicular à linha recta AC, tal que

AD é igual a BA, e deixe-se DC ser unida.

Como DA é igual a AB, o quadrado em DA é também igual ao quadrado em AB.

__________________________________________________________________Grécia

79

Adicionemos o quadrado de lado AC a ambos; sendo assim, os quadrados em DA,

AC são iguais aos quadrados em BA, AC.

Mas o quadrado em DC é igual ao quadrado em DA, AC, porque o ângulo DAC é

recto [ ], 47I ; e o quadrado em BC é igual aos quadrados em BA, AC, pois esta é a

hipótese; sendo assim, o quadrado em DC é igual ao quadrado em BC, logo DC=BC.

Uma vez que DA=AB, e AC é comum a ambos os lados DA, AC que são iguais aos

dois lados BA, AC; e a base DC é igual à base BC; então o ângulo DAC é igual ao

ângulo BAC [ ],8I .

Mas o ângulo DAC é recto; logo o ângulo BAC também é recto.

Logo o triângulo é recto.�

Com alguma frequência, encontra-se a assunção de que o Teorema de Pitágoras

consiste numa equivalência, ou seja, como se o Teorema de Pitágoras e o seu recíproco

se tratasse de um só.

Ou seja:

“Teorema de Pitágoras”: Um triângulo é rectângulo se e só se, se verifica que

2 2 2c a b= + , onde a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo, sendo c o maior.

Uma possível explicação para esta imprecisão, é alguns autores, principalmente de

livros didácticos, pressuporem erroneamente que tal junção facilitará a apreensão e

compreensão deste conteúdo por parte dos discentes.

Actualmente existe uma vasta gama de demonstrações do Teorema de Pitágoras,

utilizando diversas ferramentas matemáticas, desde as geométricas às algébricas entre

outros domínios. Foi escrito inclusivamente um livro composto somente por

demonstrações distintas do Teorema de Pitágoras, abrangendo diversas áreas; o qual

pode ser consultado com vista à percepção da variedade existente.

__________________________________________________________________Grécia

80

Uma das curiosidades inerentes a este teorema prende-se ao facto, de não só no

passado ter surgido em diversas culturas, como também na actualidade continua a

aparecer em civilizações desconectadas da nossa realidade. Um exemplo disso, são as

tribos Africanas, que apesar de “virgens” no contacto com outras culturas, exibem a

demonstração do teorema, de modo geométrico, na ornamentação dos seus cestos

artesanais. Esta ocorrência leva-nos a pensar até que ponto é que o Homem descobriu

uma vez o Teorema de Pitágoras, ou que todas as Civilizações ao longo do seu percurso

de desenvolvimento o vai descobrindo.

Do mesmo modo que a Humanidade sentiu a necessidade de comunicar com os seus

iguais, numerar os objectos que o rodeia, criar uma linguagem, uma escrita e um

sistema de numeração, não passará também pela descoberta do Teorema!

Claramente esta ideia não passa de uma conjectura, cuja explicação ou aprovação

exacerba os domínios desta tese. Contentamo-nos em deixar a pergunta em aberto e a

curiosidade desperta.

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