UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Curso de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e

Matemática

Dissertação de Mestrado

Thais Helena Inglêz Silva

CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA SOBRE EQUAÇÕES:

analisando o processo avaliativo sob o olhar de um modelo de perfil conceitual

Santo André

2015

Curso de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática

Dissertação de Mestrado

Thais Helena Inglêz Silva

CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA SOBRE EQUAÇÕES:

analisando o processo avaliativo sob o olhar de um modelo de perfil conceitual

Trabalho apresentado como requisito parcial

para obtenção do título de Mestre em

Ensino, História e Filosofia das Ciências e

Matemática, sob orientação do Professor

Doutor Alessandro Jaques Ribeiro e

coorientação do Professor Doutor Alejandro

González-Martín.

Santo André

2015

Silva, Thais Helena Inglêz

CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA SOBRE EQUAÇÕES: analisando o processo avaliativo sob o olhar de um modelo de perfil conceitual / Thais Helena Inglêz Silva. — 2016.

167 fls. : il.

Orientador: Alessandro Jacques Ribeiro

Coorientador: Alejandro González-Martín

Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática, São Paulo, 2016.

1. Equações. 2. Perfil Conceitual de Equação. 3. Conhecimentos Profissionais Docentes. 4. Processos Avaliativos. I. Ribeiro, Alessandro Jacques. II. González-Martín, Alejandro. III. Programa de Pós-Graduação em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática, 2016. IV. Título.

A minha família e aos amigos, por todo suporte e compreensão.

Ao professor de Leme, in memorian.

AGRADECIMENTOS

Em uma das primeiras disciplinas do mestrado lemos a obra Como se Faz

uma Tese de Umberto Eco (2007). Apesar do tom crítico e das contribuições

inegavelmente valiosas, às quais tenho muito a agradecer, um trecho me chamou a

atenção negativamente. Diz o autor, em suas próprias palavras, que “é de mau

gosto agradecer ao orientador. Se vos ajudou, não fez mais que o seu dever” (ECO,

2007, p. 197). Em outras edições, tenho visto o acréscimo do advérbio

demasiadamente, que certamente suaviza a afirmação, mas ainda assim continua a

me afligir. Pergunto-me: como não agradecer a meu orientador, Prof. Dr. Alessandro

Jacques Ribeiro, que tão pacientemente suportou minhas perdas de prazo, corrigiu

meu texto, auxiliou-me nas crises e me proporcionou ainda mais perguntas quando

minhas indagações pareciam não ter fim? A ele agradeço demasiadamente pela

paciência, pelo empenho e pela confiança constante em meu trabalho.

Também agradeço a meu coorientador, Prof. Dr. Alejandro González-Martín,

que com valiosíssimas correções contribuiu para a melhoria de meu texto, de

minhas referências e de minhas análises, fazendo-me atentar para a literatura

internacional e para os resultados das pesquisas, indo além das teorias. Assumo

que, se em algo não pôde contribuir, foi de minha inteira responsabilidade, o que se

deve a minha dificuldade em manter os prazos de envio do texto. Muito obrigada por

sua disponibilidade e por seu tempo.

Agradeço também à banca pela postura contributiva adotada em minha

qualificação e em minha defesa. Seus comentários buscaram sempre aprimorar meu

trabalho e torná-lo coerente e relevante. Aos Professores Doutores Ruy César

Pietropaolo e Vivilí Maria Silva Gomes, que estiveram presentes nos exames de

qualificação e defesa, e também aos Professores Doutores Márcia Cristina de Costa

Trindade Cyrino e Evonir Albrecth, que me enviaram seus comentários para me

orientar no encaminhamento e na finalização do trabalho, deixo meu mais enfático

“muito obrigada”.

Como não poderia deixar de ser, agradeço ao grupo de pesquisa no qual

estou inserida, aos que ainda estão pesquisando conosco e aos que já terminaram

seus trabalhos. Para representá-los aqui, sou grata à toda proatividade da Karina e

aos comentários sempre inteligentes do William, à Monica e à Leticia por suas

experiências compartilhadas e à parceria das outras mestrandas de nosso grupo,

Débora, Bárbara e Marieli. Sem vocês meu aprendizado não seria nem metade.

Quanto aos outros colegas de programa, agradeço pelas contribuições ao

longo das disciplinas. Particularmente agradeço à Eliane Couto, minha inspiração e

meu exemplo de organização e diligência: esteja certa de que aprendemos mais

quando temos um modelo vivo para nos inspirar; eu tive você.

Fora do meio acadêmico, agradeço a minha família. Vocês são minha base,

meu exemplo e minha segurança; se não fosse todo amor e paciência de vocês,

este trabalho jamais seria concluído. Ele é de vocês e para vocês: mãe, pai, tia, tio,

madrinha, padrinho, primos e primas, e, indubitavelmente, meus avós ─ os que aqui

estão e os que já se foram. Agradeço também a meus amigos por perdoarem meus

sumiços, as tantas vezes que os deixei sem resposta ou que perdi datas

importantes. Vocês ─ Lu, Ká, Gabi, Giu, Pah, Bru, Dê, Bru e Gi ─ me conhecem e

sabem muito bem que independentemente de qualquer coisa, amo-os de todo meu

coração. Particularmente, agradeço a minha grande amiga Jéssica Cristina por

tantas vezes se dispor a me ajudar e por tantas outras a ouvir que eu ia morrer se

não terminasse logo alguma parte de meu texto.

A meu namorado, Leandro Diniz, tenho a dizer que, enquanto muitos casais

entram em crise no período de uma pós-graduação, só tenho que te agradecer por

sua paciência e por seu amor. Seu cuidado comigo me manteve em pé durante

minhas crises de choro e de estresse e durante as noites acordadas para finalizar

alguma ideia ou parte do trabalho.

Agradeço a minha revisora, Camila Campos, que com muita competência e

gentileza não se limitou a revisar o meu texto, mas teve paciência de justificar cada

alteração e de transformar meu trabalho em algo melhor. São de minha inteira

responsabilidade e teimosia quaisquer falhas que ainda estiverem presentes.

Finalmente, agradeço a meus alunos. Sei que vocês não fazem ideia, mas

são de longe a melhor parte de meu ano. Espero ser a cada dia uma professora

melhor, se não para vocês que hoje estão comigo, para os que ainda constituirão

minhas salas e acompanharão meu aprendizado e minha evolução. Que nós

cresçamos juntos.

Sobretudo, louvo a Deus pela conclusão deste trabalho. A Ele sejam dadas

todas as honras e as glórias, para sempre e sempre.

Mestre não é quem sempre ensina, mas quem de repente aprende.

(ROSA, 1988, p. 271)

RESUMO

Este trabalho debruça-se sobre a temática do conhecimento profissional docente

necessário para o ensino de álgebra, adotando o conceito de equação como cerne

de nossa investigação. Intenta-se compreender quais conhecimentos sobre o ensino

de equação professores dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

manifestam, particularmente ao refletirem sobre seus próprios processos avaliativos.

Para identificar esses conhecimentos, cada etapa de nossa pesquisa orientou-se

pelas lentes teóricas de Conhecimento Matemático para o Ensino e Perfil Conceitual

de Equação. A escolha metodológica de investigar os processos avaliativos deve-se

ao entendimento de que a avaliação é um momento de síntese e um reflexo do que

prevalece nos processos de ensino e aprendizagem, ainda que possa estar

influenciada por diversos fatores políticos ou contextuais que também buscamos

investigar. Para tanto, primeiramente foi elaborado um questionário, respondido por

21 professores. Desses docentes, 6 foram entrevistados em uma segunda etapa da

pesquisa. Na sequência, 3 destes participaram de três encontros segundo um

modelo de grupo focal, nos quais discutiu-se o conceito de equação per se,

associado às macroavaliações e ao contexto das próprias avaliações desses

professores. Como resultados, percebeu-se que são múltiplos os conhecimentos

profissionais docentes mobilizados ao refletir sobre as avaliações e que a interação

com o grupo e as reflexões propostas permitiram aos professores expandir suas

compreensões sobre o conceito de equação e sobre suas próprias práticas no

momento de ensinar aspectos relacionados a esse conceito.

Palavras-chave: Conhecimentos Profissionais Docentes. Conhecimento Matemático

para o Ensino. Perfil Conceitual de Equação. Avaliação.

ABSTRACT

This essay focuses on the theme of teacher’s professional knowledge needed for

algebra teaching, adopting the concept of equation as the core of our research. We

try to understand which knowledge about equation teaching middle and high school

teachers manifest, particularly when they reflect on their own evaluation processes.

To identify this kinds of knowledge, every step of our research was guided by the

theoretical lenses of Mathematical Knowledge for Teaching and Conceptual Profile of

Equation. The methodological choice of investigating the evaluation processes due to

our understanding that the assessment is a moment of synthesis and a reflection of

the prevailing in teaching and learning processes, although it can be influenced by

various political and contextual factors those also seek investigate. For such, firstly a

questionnaire was developed, which 21 teachers answered, among which six were

interviewed in a second step of our research. Following, three of these teachers

participated in three meetings according to a focus group model, in which discussed

the concept of equation per se, associated with the large scale evaluations and in the

context of their own evaluation of these teachers. As results, we realize that there are

multiple teacher’s professional knowledge mobilized to reflect on the assessments

and that the interaction with the group, as well as the given reflections, allowed

teachers to expand their understanding of the concept of equation and on their own

practices at the time of teach aspects related to this concept.

Keywords: Teacher’s Professional Knowledge; Mathematical Knowledge for

Teaching; Conceptual Profile of Equation; Evaluation

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Proposta de composição do conhecimento base para o ensino, feita

comparativamente às ideias de (SHULMAN, 1987). ................................................ 53

Figura 2 - Exemplo do uso de sinal de igualdade como conectivo (link) entre as

manipulações algébricas realizadas, desconsiderando seu papel como identificador

de uma equivalência. ............................................................................................... 57

Figura 3 - Registro das palavras relacionadas à equação ditas pelos três

professores. ........................................................................................................... 121

Figura 4 - Frente do cartaz elaborado em conjunto pelos professores na Atividade

3.1. ......................................................................................................................... 131

Figura 5 - Verso do cartaz elaborado pelos professores na Atividade 3. ................ 131

Figura 6 - Fichas da Atividade 1.2. preenchidas pelos três professores. ................ 136

Figura 7 - Elaboração de proposta avaliativa para o 6º e para o 7º ano. ................ 147

Figura 8 - Sugestão de conceitos a serem avaliados no 8º e no 9º ano. ................ 147

Figura 9 - Atividade elaborada pelo professor Percy para o Ensino Médio. ............ 149

Figura 10 - Atividade elaborada pela professora Clarisse para o 8º ano. ............... 150

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Respostas às afirmações apresentadas no Questionário de Identificação.

................................................................................................................................. 93

Tabela 2 - Respostas da Atividade 1.1. .................................................................. 122

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Resultados da análise de obras matemáticas acerca da abordagem do

conceito de equação por Ribeiro (2007)................................................................... 33

Quadro 2 - Caracterização do conceito de equação ................................................ 37

Quadro 3 - Categorias do conhecimento de base docente apontadas por Shulman

(1987) ...................................................................................................................... 50

Quadro 4 - Categorias distintas da definição de equação e seus exemplos. ............ 58

Quadro 5 - Zonas identificadas e sua breve descrição ............................................. 64

Quadro 6 - O Referencial Teórico adotado (Quadro de Referência).........................70

Quadro 7 - Desenho metodológico da pesquisa........................................................77

Quadro 8 - Afirmações presentes no Questionário de Identificação. ........................ 80

Quadro 9 - Roteiro para condução das entrevistas semiestruturadas, com os

objetivos e os referenciais para análise.................................................................... 82

Quadro 10 - Atividades desenvolvidas no primeiro encontro. ................................... 85

Quadro 11 - Atividades planejadas/desenvolvidas no segundo encontro. ................ 87

Quadro 12 - Atividades planejadas/desenvolvidas no terceiro encontro. .................. 88

Quadro 13- Comentários inseridos após as afirmações 4 e 5. ................................. 94

Quadro 14 - Comentários inseridos após a afirmação 1. .......................................... 95

Quadro 15 - Comentários inseridos após a afirmação 2, sobre os conceitos

matemáticos serem definidos em si mesmos. .......................................................... 96

Quadro 16 - Comentários inseridos após a afirmação 3, relativos ài nfluência da

organização escolar nas abordagens de ensino. ..................................................... 97

Quadro 17 - Comentários inseridos após a afirmação 6, referentes à influência da

escolha dos instrumentos avaliativos. .................................................................... 100

Quadro 18 - Demais instrumentos avaliativos usados por cada um dos professores

participantes........................................................................................................... 100

Quadro 19 - Síntese das zonas identificadas nas Análises Horizontais ................. 109

Quadro 20 - Síntese dos resultados das Análises Verticais. .................................. 119

Quadro 21 - Categorização das palavras listadas na Atividade 0.1. ....................... 121

Quadro 22 - Questões apresentadas na Atividade 2.1 e suas justificativas............ 126

Quadro 23 - Valores atribuídos às questões da Atividade 2.1. ............................... 129

Quadro 24 - Ficha da Atividade 1.2, na qual os professores devem assinalar (S) para

as sentenças que são equações e (N) para as que não são. ................................. 135

Quadro 25 - Definições de equação usadas na Atividade 2.2. ............................... 137

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 27

1.1 Apresentação e justificativas pessoais: contextualização do projeto

de pesquisa.............................................................................................. 28

1.2 O objeto matemático em questão: caracterização do conceito de

equação .................................................................................................... 30

1.3 Uma justificativa metodológica: avaliação como recurso .................. 38

1.4 Desenvolvimento da pesquisa .............................................................. 40

2 REVISÃO DE LITERATURA E CONSTRUÇÃO DO REFERENCIAL

TEÓRICO .................................................................................................. 43

2.1 Conhecimentos profissionais docentes .............................................. 43

2.2 O ensino de álgebra e equações .......................................................... 55

2.3 Teoria de Perfis Conceituais e Perfil Conceitual de Equação ............ 61

2.4 Conhecimento matemático para o ensino de equações: enunciando

nossa temática ....................................................................................... 67

2.5 Construção de nosso referencial teórico ........................................... 69

3 METODOLOGIA .................................................................................... 71

3.1 Desenho de nossa pesquisa e de seus aspectos metodológicos ... 73

3.2 Participantes da pesquisa ................................................................. 78

3.3 Instrumentos ...................................................................................... 79

3.3.1 Questionário de Identificação ............................................................... 79

3.3.2 Entrevistas ............................................................................................ 82

3.3.3 Encontros ............................................................................................. 85

3.3.3.1 1º Encontro: descobrindo o território: ................................................... 85

3.3.3.2 2º Encontro: definições e finalidades.................................................. 86

3.3.3.3 3º Encontro: refletindo sobre a avaliação............................................. 88

3.4 Considerações para a análise .......................................................... 89

4 DADOS E ANÁLISES ........................................................................ 91

4.1 Questionário........................................................................................91

4.2 Entrevistas ....................................................................................... 101

4.2.1 Análises Horizontais .......................................................................... 103

4.2.2 Análises Verticais............................................................................... 110

4.2.2.1 Professora Clarisse ............................................................................ 111

4.2.2.2 Professor Percy .................................................................................. 113

4.2.2.3 Professora Annabeth .......................................................................... 116

4.3 Encontros ......................................................................................... 119

4.3.1 1º Encontro - 25/04 ............................................................................. 120

4.3.2 2º Encontro - 09/05 ............................................................................. 135

4.3.3 3º Encontro ......................................................................................... 143

4.4 As atividades avaliativas ................................................................. 148

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................... 153

REFERÊNCIAS .................................................................................. 159

APÊNDICE A − Dados do Questionário de Identificação dos 21

professores participantes da primeira etapa da

pesquisa.......................................................................................................165

APÊNDICE B - Trechos da transcrição de P17 .............................. 166

27

1 INTRODUÇÃO

Ao nos debruçarmos sobre o modo como os professores da educação básica,

mais especificamente dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio,

compreendem o ensino do conceito de equação e sobre o uso que fazem deste em

suas atividades avaliativas, encontramos um vasto campo de investigação. Superadas

as muitas dúvidas e questionamentos, tal campo apresentou-se profícuo para refletir

sobre como esse conceito tem sido ensinado nas salas de aula da Educação Básica

e nos cursos de formação de professores.

Este trabalho não é pioneiro na discussão de como professores compreendem

o conceito de equação; pelo contrário, como apresentamos a seguir, em nossa revisão

de literatura, alguns autores ─ dentre eles Attorps (2003, 2006) ─ vem se dedicando

a esta temática há mais de uma década. Intentamos, com esta pesquisa, contribuir

com estes estudos, enfocando a compreensão dos professores sobre o ensino desse

conceito e trazendo um novo olhar para ele. Apoiamo-nos principalmente nas

discussões de Ball, Thames e Phelps (2008) sobre o que se entende como

Conhecimento Matemático para o Ensino e nas colocações de Ribeiro (2013) sobre o

Perfil Conceitual de Equação.

Antes de discorrermos sobre nossos referenciais julgamos pertinente, neste

primeiro capítulo, apresentar brevemente a trajetória acadêmica da pesquisadora,

com a intenção de estabelecer uma justificativa pessoal para o desenvolvimento deste

trabalho, na seção 1.1.

Já na seção 1.2 fazemos uma caracterização do conceito de equação, que será

importante no desenvolvimento de nossas argumentações, no capítulo de análises.

Na seção 1.3, apresentamos uma justificativa para a escolha metodológica de

investigar o conhecimento dos professores sobre o ensino de equações ao refletirem

sobre suas atividades avaliativas. Por fim, na seção 1.4 apresentamos os demais

capítulos desta dissertação bem como a contextualização geral de seu

desenvolvimento.

Destacamos que nossa questão de pesquisa está propriamente enunciada na

seção 2.4, após a apresentação da revisão de literatura e de nossos referenciais

teóricos. Tal pergunta está intrinsecamente relacionada a estes aspectos, carecendo

do esclarecimento de alguns termos específicos para ser posta.

28

Neste momento, deixamos claro que nos norteamos pela temática de como os

professores compreendem o conceito de equação, especificamente de como

entendem seu ensino. Frisamos que discorremos sobre o conhecimento relacionado

ao ensino, pois entendemos que os professores participantes desta investigação

poderiam manifestar outros conhecimentos ou compreensões sobre o conceito de

equação se as atividades a eles propostas não enfatizassem a reflexão sobre seu

ensino e o compartilhamento de suas práticas como docentes.

1.1 Apresentação e justificativas pessoais: contextualização do projeto de

pesquisa

Optei1 por cursar licenciatura em matemática na Universidade Federal do ABC,

porque esta é uma universidade que tem como um de seus pilares a

interdisciplinaridade. Acreditava que a formação de um professor exigia

conhecimentos além daqueles relacionados ao conteúdo que iria lecionar e que,

portanto, a constituição de um bom professor não estava restrita ao domínio de

conteúdos específicos de uma disciplina, mas dependia de aspectos pedagógicos e

habilidades como comunicação, clareza e empatia. Esperava que uma formação

ampla, que envolvesse assuntos de diversas áreas do conhecimento, fosse capaz de

me tornar uma professora com uma perspectiva mais abrangente.

À medida que avancei em meus estudos durante a graduação ─ cursando as

disciplinas obrigatórias para a formação no bacharelado interdisciplinar2 e,

principalmente, as disciplinas da licenciatura em matemática ─ percebi que apenas a

diversidade de assuntos estudados não era suficiente, tampouco eficiente, para

minha formação como professora. Por meio da fala de meus professores e da

variedade de disciplinas que tive que cursar, percebi a educação como uma área

interdisciplinar por excelência, que requer conhecimentos em múltiplas áreas e que,

1 Utilizo aqui a primeira pessoa do singular, pois trato de um percurso pessoal. Mais adiante retomo o

uso da primeira pessoa do plural, tendo em vista as outras vozes que auxiliaram a compor este trabalho.

2 Na Universidade Federal do ABC bem como, recentemente, em outras universidades no país, os alunos ingressam em um Bacharelado Interdisciplinar ─ no meu caso, em Ciência e Tecnologia ─ com duração de três anos, constituído por disciplinas das áreas das ciências naturais e humanas, como biologia, química, física, sociologia, filosofia e matemática. Posteriormente a esse curso, os alunos podem, se assim desejarem, escolher um segundo curso de formação específica, a ser concluído em um ou dois anos adicionais, em média.

29

contudo, não pode perder o fio condutor, o conteúdo a ser ensinado por cada

professor, que deve ser a razão de ele estar ali.

Tendo sempre a educação, de forma ampla, e o ensino de matemática, de

forma particular, em mente, tive a oportunidade de desenvolver durante a graduação

dois projetos de pesquisa: um tinha os processos avaliativos como objeto de estudo,

em uma interface com a lógica Fuzzy, e o outro atentava para as rupturas inerentes à

matemática na transição do Ensino Fundamental I para o Ensino Fundamental II3.

Esses dois projetos não só contribuíram para minha formação com relação aos temas

pesquisados, mas também levantaram uma questão importante que a todo momento

aparecia nas discussões em sala de aula: quais são, afinal, os conhecimentos que um

estudante precisa para se tornar professor? É necessário conhecer os processos

avaliativos, como investigado em minha primeira pesquisa, ou as particularidades de

seu conteúdo de trabalho, relacionadas ao momento em que os alunos estão vivendo,

psicológica e culturalmente? Em outras palavras, seria preciso dominar todos esses

diferentes conhecimentos ─ os processos de avaliação, aprendizagem, instituição e

tantos outros; as ferramentas; os conteúdos; os contextos; os estudantes; e

situações? Em caso afirmativo, como aprender tudo isso em apenas quatro anos de

formação inicial?

E ainda havia a questão do conteúdo específico da disciplina. Que conteúdo

matemático os futuros professores precisam aprender ─ a matemática acadêmica,

vista nas aulas de cálculo, análise e álgebra, ou a matemática com a qual vão trabalhar

nas salas de aula? Qual é o papel dos estudos teóricos e das pesquisas em educação

matemática para a formação dos futuros professores?

Com todas essas questões em mente e com o convite do professor, que na

ocasião era meu orientador de iniciação científica e atualmente é orientador deste

trabalho, passei a integrar um grupo de pesquisa intitulado “Formação de Professores

de Matemática: conhecimento profissional e desenvolvimento curricular”. Nele tive os

primeiros contatos com o trabalho de Deborah Ball, com a teoria de perfis conceituais

e com a teoria de multissignificados do conceito de equação.

Posteriormente ao início de minha participação nesse grupo, em março de

2013, foi aprovado o projeto de pesquisa do Programa Observatório da Educação

(OBEDUC) intitulado Conhecimento Matemático para o ensino de Álgebra: uma

3 Atualmente a nomenclatura correta é “Anos Iniciais do Ensino Fundamental” e “Anos Finais do Ensino

Fundamental”, respectivamente.

30

abordagem baseada em Perfis Conceituais, ao qual esta pesquisa está vinculada.

Fortemente relacionado às temáticas discutidas no grupo de pesquisa, esse projeto ─

que conta com a participação de professores da rede pública de educação básica,

alunos de graduação e de pós-graduação, entre os quais me incluo, além de diversos

professores colaboradores ─ preocupa-se em investigar aspectos relevantes para o

ensino de álgebra, sob o olhar das macroavaliações, da experiência de professores,

do currículo e dos documentos oficiais e, particularmente, da formação de

professores.

As questões sobre formação de professores sempre chamaram minha atenção.

Ademais, motivada pelas discussões sobre multissignificados de equação geradas no

OBEDUC, o conhecimento docente necessário para o ensino de álgebra tornou-se

uma questão de particular interesse. Começaram a aflorar os questionamentos sobre

o ensino de equações, decorrentes principalmente do trabalho de Iniciação Científica

em curso, que tinha como objeto matemático de estudo o sinal de igualdade.

No desenvolvimento de nossas pesquisas, os participantes do OBEDUC

estiveram organizados em três subgrupos durante os dois primeiros anos, a saber:

álgebra e números, álgebra per se e álgebra e geometria. Estando alocada no

segundo subgrupo, esta pesquisa contribui com os trabalhos desenvolvidos no grupo

como um todo por auxiliar na compreensão tanto dos conhecimentos mobilizados por

professores ao refletirem sobre suas atividades avaliativas quanto por apresentar, à

luz do referencial de Perfil Conceitual de Equação, as diferentes compreensões

acerca do conceito de equação, um importante conceito algébrico a ser tratado

quando se investiga o ensino de álgebra na Educação Básica.

1.2 O objeto matemático em questão: caracterização do conceito de equação

Tendo por objeto matemático o conceito de equação, propomo-nos a

apresentar uma caracterização deste. Optamos por chamar de caracterização por não

termos a intenção de apresentar uma definição para o conceito de equação, uma vez

que, conforme argumentamos em seguida e mais profundamente no próximo capítulo,

assumimos, pautados em nosso referencial, a ideia de que equação é um conceito

polissêmico e admite múltiplos significados4.

4 Apesar da escolha do termo caracterização, seguiremos usando a palavra definição quando a obra a

qual nos referimos empregá-la.

31

Para o desenvolvimento dessa caracterização, tomamos por base o trabalho

de Ribeiro (2007), que, em sua tese de doutorado, apresenta e discute como o

conceito de equação é abordado em livros didáticos no Brasil e no mundo, em

manuais e em livros de Fundamentos da Matemática, em dicionários e dicionários

matemáticos bem como em artigos científicos da área de Educação Matemática.

Ressaltamos que esse trabalho figura um dos capítulos de sua tese, sendo que em

sua pesquisa Ribeiro também investigou a epistemologia do conceito de equação a

partir de um estudo histórico em livros especializados.

Para a discussão das abordagens do conceito de equação foram analisados

três livros de Fundamentos de Matemática, quatro dicionários matemáticos, dois

dicionários da língua portuguesa, três artigos científicos e dez livros didáticos, sendo

seis do Ensino Fundamental, um do Ensino Médio e três do Ensino Superior5. Uma

importante constatação oriunda das análises dessas obras é que, enquanto alguns

dos autores não definem o conceito de equação, outros optam por propor definições

do conceito adjetivado, ou seja, das equações algébricas, das equações logarítmicas,

das equações diferenciais, entre outras. Ainda há outros pesquisadores que

consideram que equação não é um objeto matemático por si só, não sendo, portanto,

necessário defini-la.

A este respeito, em sua tese de doutorado, Ribeiro, apoiado em Chevallard

(1991), discorre acerca de as equações serem noções paramatemáticas. Mesmo não

sendo do escopo deste trabalho aprofundar essa discussão, destacamos o argumento

em que Ribeiro (2007, p. 46) explica que

em algumas situações, é necessário que se eleve, a um certo nível superior de explicitação, a noção de equação ou de demonstração, os quais podem ser objetos de definição precisa em lógica matemática. Assim, uma certa noção paramatemática pode se tornar, num discurso didático explícito, uma noção matemática.

Em nosso trabalho, independentemente de o conceito de equação ser tomado

ou não como um objeto matemático per se, tratá-lo-emos como um objeto matemático

para o ensino. Isso porque pensamos que considerar o que é uma equação, para que

ela serve, quando podemos ou devemos usá-la e como precisamos abordar o conceito

ao ensiná-lo e, particularmente, ao avaliá-lo, faz parte do trabalho do professor. Há de

5 Não apresentamos em detalhes as definições das obras, tal qual Ribeiro faz em sua tese, pois nosso

interesse é relatar e retratar a variedade de fontes consultadas que subsidiam a constatação do autor de que não há uma definição única para o conceito de equação.

32

se observar aqui que, em particular, tais aspectos estão contemplados no que se

entende por Conhecimento Matemático para o Ensino, como argumentaremos no

próximo capítulo.

Ribeiro (2007) ainda destaca pontos de convergência e divergência entre as

definições apresentadas pelos autores ou entre o tratamento do conceito por aqueles

que não o definem. No Quadro 1, a seguir, sintetizamos essas ideias em três itens,

acerca das ocorrências do conceito nas obras, quer sejam, definição, ideias

associadas e pontos em aberto. Os números indicados entre parênteses nas

categorias de cada item indicam a quantidade de ocorrências, entre as 22 obras

analisadas, de cada classificação ou ideia. Em virtude de duas das obras

apresentarem duas abordagens diferentes para o conceito de equação, por se

tratarem de artigos científicos que visam tecer comparações entre essas, alguns itens

possuem totais de ocorrências maiores do que 22.

No que se refere aos itens ideias associadas e pontos em aberto, entendemos

ser importante explicar melhor nossa organização. O primeiro abarca as principais

características nas definições encontradas, enquanto o segundo apresenta alguns

pontos de divergência, os quais iremos discutir de forma mais aprofundada, pois,

adiantamos, as mesmas dúvidas foram levantadas por nós e pelos professores

participantes da pesquisa, endossando a conclusão de Ribeiro (2007, p. 114) de que

“não há consenso na literatura consultada sobre a ‘definição’ de equação”.

Nesse sentido, Attorps (2006), também em sua tese de doutorado, já havia

assinalado que o conceito de equação apresenta diferentes interpretações, de acordo

com o nível escolar. Segundo ela,

[...] o conceito de equação tem diferentes interpretações, que se manifestam dependendo do nível escolar. Isso é bastante compreensível, porque esse conceito é introduzido na Educação Básica em conexão com a pré-álgebra, a fim de criar uma progressão natural para o ensino de álgebra e uma transição natural do pensamento aritmético para o algébrico. (ATTORPS, 2006, p. 50-52, tradução nossa).6

6 No original, o parágrafo completo é: “As it is evident from the different definitions above, the concept

of equation has different interpretations, which seems to be depending on school level. This is quite understandable, because the concept is introduced at compulsory school in connection to pre-algebra in order to create both a natural progression in algebra teaching and a natural transition from arithmetical to algebraic thinking”.

33

Attorps fez algo semelhante a Ribeiro, apresentando definições de equações

presentes em livros didáticos na Finlândia. É interessante perceber que mesmo tendo

realidades tão diferentes, as definições de equação apresentadas nos livros didáticos

do Brasil e da Finlândia apresentam basicamente as mesmas ideias e deixam em

aberto os mesmos pontos identificados na tese de Ribeiro7.

Quadro 1 − Resultados da análise de obras matemáticas acerca da abordagem do conceito de equação por Ribeiro (2007)

Fonte: Elaborado pelos autores.

Retomando as ideias apresentadas no quadro, a investigação das 22 obras,

aliada a uma revisão histórica do conceito de equação, permitiu a Ribeiro elaborar um

conjunto de multissignificados desse conceito. Com isso, as diferentes ideias

associadas, mesmo que pareçam até contraditórias em alguns aspectos, compõem

um conjunto de compreensões e visões sobre o que é uma equação. Dizemos

contraditórias porque compreender equação como um conjunto de procedimentos

para sua resolução, em um primeiro momento, parece não se relacionar com um

7 Reconhecemos que, dadas as influências culturais e o próprio processo de elaboração dos livros

didáticos no Brasil, não é uma surpresa que semelhanças entre as obras sejam encontradas. O que destacamos aqui é que, mesmo enfocando realidades educacionais tão diversas, as inquietações sobre a caracterização do conceito de equação são muito parecidas.

Definição

Ideias associadas

Pontos em aberto

Ocorrências do Conceito de Equação

Obras que definem (20)

O próprio conceito (17)

Igualdade de

quantidades

(4) e/ou

valores (19)

Resolução

de

problemas

(4)

O conceito adjetivado (3)

Busca

pela

solução

(?)

Não definem

(2)

Ferramenta

Matemática

(2)

Valor desconhecido Solução para alguns valores

34

entendimento de que equações são ferramentas matemáticas para outras ciências ou

ainda de que são estratégias para a resolução de problemas reais. Retomaremos

nossa discussão sobre esse aspecto no Capítulo 2.

Levando em conta a discussão dos pontos em aberto, percebemos que

algumas dessas definições, tal como se intitulam, não são suficientemente claras no

que se refere ao que pode ser considerado uma equação. Por exemplo, com relação

ao primeiro ponto ─ valor desconhecido ─, enquanto algumas das definições

evidenciam que deve haver um valor desconhecido para caracterizar uma equação,

outras indicam apenas a necessidade de existência de uma igualdade entre dois

valores ou expressões matemáticas. Essas duas variações são observadas tanto nas

obras levantadas por Ribeiro quanto nas consideradas por Attorps. A esse respeito,

Ribeiro (2007, p. 113) lança o seguinte questionamento:

Num outro caminho, observamos [...] que os autores, ao fazerem a apresentação da definição para a noção de equação, remetem-se à ideia de igualdade entre quantidades, normalmente relacionando-as com problemas. Neste ponto, gostaria de retomar as questões levantadas anteriormente considerando o fato de se relacionar equação com igualdade: se 2 +3 = 5 é uma igualdade, ela é também uma equação? Porém, ela não tem número desconhecido, então ela não é uma equação? Afinal, essa expressão é ou não uma equação?

Responder a esse questionamento pode, em um primeiro momento, parecer

simples, uma vez que na matemática escolar a palavra equação aparece pela primeira

vez em conjunto com o estudo de álgebra, sendo que esse campo, apesar de não ter

uma única definição do que a álgebra seja, aborda seguramente situações e

problemas que envolvem valores desconhecidos. Por outro lado, poder-se-ia

considerar o estudo de equações independente do estudo de álgebra? Nesse caso,

as equações poderiam contemplar igualdades que não apresentam a ideia de número

desconhecido? O que se pretende evidenciar com esses questionamentos é que

muitas vezes as “definições” deixam margem para incluir ideias mais abrangentes

sobre equações, comprometendo o próprio status de definição, que, sabemos, deve

ser inequívoco.

Outra forma de compreender equações é a habilidade de resolver problemas,

associada ao equacionamento de situações, sejam ou não reais. Quanto a ela, Ribeiro

(2007) pergunta se o conceito de equacionamento é uma noção protomatemática.

Noções protomatemáticas, de acordo com Chervallard (1991), não se tratam de

35

objetos de ensino propriamente ditos, mas sim de habilidades ou requisitos inerentes

à prática matemática que fazem parte dos processos que visam atingir os objetivos

do ensino de matemática. A exemplo dessas noções, Ribeiro (2007) cita a habilidade

de reconhecer padrões.

Sobre o segundo ponto em aberto, percebe-se certa divergência entre as

definições quanto a contemplar ou não as identidades matemáticas dentre as

equações. Tais igualdades ocorrem entre expressões em que quaisquer valores da

variável tornam a relação verdadeira. Attorps (2006, p. 49, tradução nossa) apresenta

a definição de um dicionário de matemática que claramente abarca as identidades

dentro do conceito de equação, como podemos perceber no trecho a seguir: “A

definição afirma que uma equação é uma fórmula ─ uma relação entre duas

expressões que têm o mesmo valor. Salienta que há dois tipos de equações:

equações idênticas e equações condicionais”8.

Outros autores, porém, principalmente de livros didáticos, expõem uma

definição semelhante a de um livro suíço da escola secundária que Attorps (2006, p.

49, tradução nossa) apresenta do seguinte modo: “uma equação em x pode ser

apresentada como uma sentença, que é verdadeira para alguns valores de x e falsa

para outros”9. Além de não incluir as identidades entre as equações, esse tipo de

definição assegura que a igualdade é verdadeira para alguns valores de x. Isso implica

que igualdades que não têm soluções para nenhum valor de x não podem ser

consideradas equações. É o caso, por exemplo, de equações modulares como

|2𝑥 − 5| = 𝑥 − 3, que não tem valores de x que satisfaçam a igualdade.

Este tipo de definição não é raro. Em pelo menos 8 das 22 obras analisadas

por Ribeiro há explicitamente a noção de que equação é uma igualdade entre

sentenças abertas que é verdadeira para algum (ou alguns) valores da incógnita. Ao

definir equação dessa forma, estamos dizendo que precisam existir valores para a

incógnita que satisfaçam a igualdade e, por outro lado, valores que não satisfaçam.

Em contrapartida, definições mais abrangentes também aparecem em algumas

das obras, por exemplo: “Equação é uma sentença matemática aberta, expressa por

uma igualdade” (Di PIERO, NETTO & SOARES, 2002, p.86-87 apud RIBEIRO, 2007,

8 No original: “The definition asserts that an equation is a formula ─ a relation between two expressions

that have the same value. It stresses that there are two types of equations: identical equations and conditional equations”.

9 No original: “An equation in x can be regarded as a statement, which is true for some values of x and false for others”.

36

p.107). Essa colocação não deixa em aberto a questão do valor desconhecido, pois

estipula que deve ser uma sentença matemática aberta, mas não argumenta sobre a

existência ou não de soluções, ou seja, de valores que tornam a igualdade verdadeira.

No entanto, pode ser que a definição não traga essa informação por considerar que,

se a sentença é expressa por uma igualdade, deve haver valores que tornam a

igualdade verdadeira.

Essa associação do conceito de equação com a existência de soluções, para

nós, parece estar intimamente ligada ao fato, apontado por Attorps (2003, 2006) e por

Ribeiro (2007), de que os professores, no caso da primeira autora, e as definições

encontradas tanto no decorrer da história quanto nas obras consultadas, no caso do

segundo, enfaticamente associam o ensino de equações a suas resoluções. Por que

isso é importante para nós? A princípio, há a possibilidade de esse dado nos dar

indícios de que a compreensão de equações, por parte dos professores participantes

desta pesquisa, poderia estar prioritariamente relacionada com os processos de

resolução, ou seja, com a busca de suas soluções. Também consideramos que na

Educação Básica diversas vezes trabalhamos com igualdades matemáticas que não

têm valores para incógnita que as tornem verdadeiras. No caso das equações

polinomiais de segundo grau, essa questão pode facilmente ser resolvida quando, no

Ensino Médio, expandimos a noção de número para o conjunto dos complexos. No

entanto, existem outras igualdades, como as modulares, já citadas, que chamamos

de equação enquanto ensinamos, mas que também não apresentam solução para

nenhum valor da incógnita. Afinal, para ser equação, é necessário que exista solução?

Temos, por exemplo, no manual de Tsipkin (1985, p. 148-149 apud RIBEIRO,

2007, p.106), a definição: “Equação é uma igualdade que se completa somente para

certos valores das letras que se encontram nela”. Porém, na sequência, ela argumenta

que “resolver uma equação significa encontrar o conjunto de suas soluções ou

demonstrar que as mesmas não existem” (TSIPKIN, 1985, p. 148-149 apud RIBEIRO,

2007, p. 106, grifo nosso). Ou seja, apesar de definir a equação como uma igualdade

satisfeita para certos valores, a autora não descarta que uma equação pode não

apresentar soluções.

Nesse sentido, expomos também a obra Developing Essential Understanding

of Expressions, Equations & Functions, publicada pelo National Council of Teachers

of Mathematics (NCTM) em 2011. Já na primeira frase da sinopse do livro, a

indagação feita é: “Por que algumas equações têm uma solução, outras têm duas ou

37

mais soluções e algumas não têm soluções?”10. Essa questão nos leva a crer que o

fato de uma igualdade entre expressões não ser verdadeira para nenhum valor ─ ou,

em outras palavras, não ter solução ─ não a descaracteriza como uma equação.

Os autores argumentam com a discussão dos significados de variável,

destacando dois deles. Em um é indicado que esta pode significar um valor

desconhecido, no sentido que foi discutido anteriormente (costumamos chamar a

variável de incógnita neste caso). Na outra acepção variável é um valor que pode

variar. Este segundo caso pode ser mais abrangente para a compreensão de

equação, uma vez que não se trata de um valor a ser descoberto ou buscado que

necessariamente vá tornar a equação verdadeira, mas sim de um universo de valores

possíveis que podem ou não satisfazer a condição de igualdade.

Assim sendo, fundamentados em toda essa discussão que elaboramos,

entendemos que estamos agora aptos para caracterizar o que tomaremos por

equação neste trabalho.

Quadro 2 − Caracterização do conceito de equação

Uma relação na qual duas sentenças, em que uma delas ou ambas apresentam ao

menos uma variável, são postas em condição de igualdade, podendo ou não haver

valores que, substituindo a(s) variável(is), tornem a igualdade verdadeira.

Fonte: Elaborado pelos autores.

Optamos por elaborar essa caracterização para clarear nossa compreensão

sobre o conceito de equação, uma vez que a grande variedade de definições

existentes, como argumentamos, deixa diversos pontos que julgamos essenciais em

aberto. Podemos agora melhor delimitar o que chamamos de equação e, na

sequência, discutir porque esse conceito admite múltiplos significados e possibilita a

construção de um perfil conceitual.

Por meio dessa nossa compreensão enunciada, consideramos também como

equações tanto as identidades quanto a representação analítica de funções, conforme

argumenta Caraça (1954, p. 58 apud RIBEIRO, 2007, p. 104): “a equação 2x + 3y −

1 = 0, onde x é a mesma variável, faz corresponder a cada xi um único yi =1−2xi

3 e,

10 No original: “Why do some equations have one solution, others two or even more solutions, and some no solutions?”

38

portanto, esta equação define também uma função y(x)”.A esse respeito, o referido

livro do NCTM destaca que “a distinção entre funções e equações é um pouco sutil”,

pois, “enquanto uma equação estabelece que duas expressões são equivalentes para

determinados valores das variáveis, uma função descreve uma relação entre

quantidades que variam”11 (LLOYD; HERBEL-EISENMANN; STAR, 2011, p. 32, grifo

nosso). Destacamos que, mesmo admitindo que equações podem não apresentar

solução, a caracterização que se faz do conceito de equação neste trecho, que

intentamos esclarecer, ainda carrega a ideia de que a equivalência deve ser satisfeita

para determinados valores.

1.3 Uma justificativa metodológica: avaliação como recurso

Posto nosso entendimento sobre equações, passamos agora a discorrer sobre

as avaliações. Com isso, buscamos justificar nossa escolha de investigar como o

conceito de equação é trabalhado por professores em suas avaliações e, mais do que

isso, como a compreensão de equação e seu ensino são identificados a partir dos

momentos de reflexão sobre as atividades avaliativas.

Primeiramente esclarecemos que entendemos por avaliação12 todo o conjunto

de práticas pedagógicas que servem para o professor diagnosticar, acompanhar,

classificar ou compreender o desenvolvimento dos conceitos estudados por parte dos

alunos individual ou coletivamente. Embora muitas pesquisas apontem que as

avaliações costumam ser prioritariamente classificatórias (HOFFMAN, 1993;

LUCKESI, 2002), não desconsideramos que, entre os professores participantes desta

investigação, pudesse também haver práticas avaliativas de caráter formativo ou

diagnóstico (BLOOM, 1993). Ao questioná-los sobre suas atividades avaliativas, não

adotamos nenhuma preconcepção de estratégias ou ferramentas que possam ser

usadas para avaliar, permitindo que emergissem de suas falas suas próprias crenças.

11 No original: “The distinction between functions and equations is somewhat subtle” e “whereas a

equation states that two expressions are equivalents for certain values of the variables, a function describes a relationship between varying quantities. Some functional relationships, but not all, can be described by an algebraic expression”.

12 Ao longo deste texto, muitas vezes optamos pelo uso da expressão “processos avaliativos” ao invés de simplesmente falar em “avaliação”. Essa escolha se deve a nosso entendimento de que a avaliação está associada a uma escolha metodológica, a um momento e a um contexto, enquanto os processos avaliativos, além de incluírem a avaliação em si, também se referem ao conjunto de reflexões anteriores e posteriores ao momento avaliativo, no qual estamos também interessados. A escolha por “processos avaliativos” não se refere à “avaliação processual”, que poderia ou não ser utilizada pelos professores participantes de nossa pesquisa.

39

Acreditamos que por meio da reflexão sobre as atividades avaliativas podemos

acessar o que os professores pensam sobre o ensino de equações, porque

compreendemos, conforme Zabalza (1995, p. 239), que a avaliação

[...] não é (não deveria ser) algo separado do processo de ensino-aprendizagem, não é um apêndice independente do referido processo (está nesse processo) e joga um papel específico em relação ao conjunto de componentes que integram o ensino como um todo (está num sistema)

Além disso, reconhecemos que os professores fazem uso de suas avaliações

como indicadores para os estudantes do que é importante em seu processo de

aprendizagem, enquanto os estudantes, por sua vez, têm particular interesse nos

conteúdos que são enfocados nas avaliações para nortear seus estudos. Por outro

lado, buscamos também investigar, diretamente com os professores, o quanto eles

acreditam que a avaliação e as escolhas de instrumentos avaliativos influenciam na

aprendizagem dos estudantes.

Compreendemos que a avaliação é um reflexo particularmente rico do que

prevalece nos processos de ensino e de aprendizagem, quer sejam, os interesses

políticos envolvidos na escola, as condições de trabalho dos professores, os

conhecimentos matemáticos destes, o desenvolvimento da turma em questão, entre

outros aspectos envolvidos nesse sistema. Também reconhecemos que, devido a

isso, há diversas razões, para além do próprio conteúdo, que influenciam nas escolhas

avaliativas, as quais buscamos compreender e delimitar, a fim de que as reflexões

sobre os processos avaliativos que buscamos promover pudessem, de fato, refletir os

conhecimentos sobre equação dos professores.

Sendo assim, concordamos com Nascimento (2013, p.1-2) quando, no texto de

apresentação de seu minicurso realizado no IX Encontro Nacional de Educação

Matemática (ENEM), destaca que “a avaliação deve levar em conta a especificidade

do conhecimento tratado” e que “a avaliação da aprendizagem não é independente

do conteúdo”. Ele pontua que as pesquisas sobre avaliação em matemática

debruçam-se ou sobre os fundamentos teóricos sobre a avaliação ou sobre as

avaliações em larga escala, conhecidas como macroavaliações, carecendo de

investigações sobre as avaliações praticadas em sala de aula e sobre suas relações

com o conteúdo matemático em questão. O autor afirma:

Mesmo reconhecendo a importância dessas pesquisas para a melhoria do ensino e da aprendizagem em matemática, elas não contemplam uma

40

abordagem do processo de avaliação da aprendizagem de matemática em si. Isto é, de que modo o conhecimento matemático entra no “jogo didático” influenciando nas decisões do professor, considerando que este se relaciona de uma determinada forma com o conhecimento matemático. Relação que se constitui também a partir de suas concepções sobre ensino e aprendizagem de matemática, conforme já dissemos anteriormente. (NASCIMENTO, 2013, p. 3, grifo nosso).

Intentamos, com esta pesquisa, promover conhecimentos que contribuam com

a diminuição dessa lacuna identificada por Nascimento, ou seja, que articulem o

conhecimento matemático sobre equações dos professores e as atividades avaliativas

por eles planejadas e desenvolvidas. Também escolhemos olhar para as atividades

avaliativas, pois, de acordo com Ball (1988, p. 7, tradução nossa), “professores

comunicam ideias sobre matemática nas tarefas que dão a seus alunos”13.

1.4 Desenvolvimento da pesquisa

Como dissemos, esta investigação está inserida no âmbito de um programa de

pesquisa mais amplo, um projeto do OBEDUC, que tem por objetivo principal

“investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar

Álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem baseada em perfis

conceituais”. Sendo assim, nosso estudo se desenvolve, dentro do projeto, com a

intenção de contribuir com a investigação dos conhecimentos algébricos dos

docentes, particularmente do conhecimento sobre equação. Para tanto, nossa

perspectiva é levantar indícios sobre: a) o modo como o conceito de equação é

compreendido e trabalhado pelos professores da Educação Básica, b) o tipo de

dificuldades ou problemas que emergem quando esses professores estão em

situações reflexivas sobre sua prática, c) o funcionamento da abordagem de perfil

conceitual em situações formativas e d) o uso de um modelo de Perfil Conceitual

desenvolvido por Ribeiro como lente teórica.

Esses aspectos orientam o desenvolvimento deste trabalho. Eles direcionam

nossa construção de referencial teórico e de cada etapa metodológica para a coleta

dos dados. Além dos interesses do grupo, com os quais nossos interesses particulares

se alinham, a questão da avaliação como aspecto proponente da reflexão sobre

equações e do acesso ao conhecimento dos professores sobre esse conceito é

13 No original: “Teachers communicate ideas about mathematics in the tasks they give students […]”.

41

particular a esta pesquisa e complementar às investigações realizadas no OBEDUC

acerca das macroavaliações, que figuraram ponto de partida para a problematização

inicial das investigações no campo da álgebra14.

O OBEDUC, por sua vez, apresenta também uma agenda de pesquisa mais

ampla. Exemplos dos fatores pesquisados, referentes a essa temática, são: a

construção de uma compreensão particular de álgebra para o grupo, o

desenvolvimento de um projeto de extensão para a formação de professores e a

investigação das inter-relações da álgebra com conceitos como simetria, números,

além da equação e da álgebra escolar com a álgebra da Academia ou do Ensino

Superior.

Nossa pesquisa se desenvolveu ao longo de dois anos e meio, contando com

a participação de professores da rede pública de ensino de Santo André e se apoia

também nos resultados gerais produzidos por toda a equipe do OBEDUC ao longo do

período de desenvolvimento. Na sequência, passamos a apresentar nosso referencial

teórico, que dá suporte para nossa investigação.

14 A esse respeito, alguns trabalhos desenvolvidos no âmbito do OBEDUC e apresentados em eventos,

como o de SILVA et al.(2014), podem ser consultados.

42

43

2 REVISÃO DE LITERATURA E CONSTRUÇÃO DO REFERENCIAL TEÓRICO

Uma vez que nos propomos a investigar como as equações são trabalhadas

pelos professores, tomamos por objeto de estudo o conhecimento destes professores

de matemática sobre o conceito equação. Mais especificamente, estamos

interessados não pelo que os professores sabem sobre equações de forma genérica,

mas pelo que acreditam ou manifestam entender como conhecimentos relevantes

para o ensino desse conceito. Para tanto, temos nosso olhar teórico pautado na teoria

de Perfis Conceituais de Mortimer e propriamente apoiado em um modelo de Perfil

Conceitual de Equação proposto por Ribeiro (2013).

Tendo isso em mente, esta revisão de literatura pretende discutir três temáticas

que se unem para formar nossa questão de pesquisa: os conhecimentos profissionais

docentes, considerando as diferentes vertentes teóricas e, em particular, o trabalho

de Shulman (1987, 1988) e o de Deborah Ball15, o que será exposto na seção 2.1; o

ensino de álgebra e, em particular, o de equações (seção 2.2); e a Teoria de Perfis

Conceituais e, em particular, o modelo de Perfil Conceitual de Equação (seção 2.3).

Essas temáticas são unificadas na secção 0, na qual apresentamos alguns trabalhos

que já discutem o conhecimento matemático para o ensino de equação, e nos

permitem situar nossa pesquisa e enunciar seus objetivos gerais e específicos a partir

dos termos propostos em nossos referenciais para, finalmente, na secção 2.5,

construirmos uma proposição de nosso referencial teórico, o qual dá suporte a nossas

análises posteriores.

2.1 Conhecimentos profissionais docentes

O campo de investigação de formação de professores tem como um de seus

eixos de interesse o conjunto de experiências e conhecimentos ou saberes que a

profissão docente requer. Destacamos a importância desse eixo de pesquisas para

as investigações em formação de professores com o mesmo argumento apresentado

por Shulman (1987, p. 4), que, no contexto de reformulação das políticas educacionais

da década de 1980, afirma: “os defensores da reforma profissional baseiam seus

argumentos na crença de que existe uma ‘base de conhecimentos para o ensino’”.

15 Os trabalhos que usamos como referência de Ball e seus colaboradores serão indicados com suas referências conforme formos apresentando as ideias neles desenvolvidas.

44

Por base de conhecimentos para o ensino ─ knowledge base for teaching, no original

─ entende-se a existência de um conjunto de conhecimentos essenciais para o

exercício da docência. Portanto, identificar que conhecimentos são esses deve

colaborar com o desenvolvimento profissional da carreira, uma vez que tais

conhecimentos a colocam como um campo que exige e gera estudo, preparo e

conhecimentos próprios.

O que compõe essa base de conhecimentos, entretanto, não é consenso entre

os pesquisadores. Nas pesquisas dos últimos 30 a 40 anos há uma grande variedade

de vertentes teóricas que se empenham em delimitar e identificar os conhecimentos

essenciais para o ensino e a natureza destes. Essa variedade tem chamado a atenção

de pesquisadores interessados na formação de professores e/ou na temática da

profissionalização docente, os quais têm empenhado esforços para estudar e

diferenciar as teorias produzidas. É o caso, por exemplo, de Nunes (2001), que

apresenta as contribuições de Gauthier, Pimenta, Tardif, Fiorentini, Guarnieri e

Caldeira para a profissionalização da docência a partir da discussão de

conhecimentos e saberes requeridos ao professor.

É com o trabalho do referido Shulman que internacionalmente a temática de

uma base de conhecimentos para o ensino começou a ser discutida na década de

1980, sobretudo com estudos que o pesquisador realizou com pedagogos ou

psicólogos da educação. No Brasil a discussão faz-se presente, principalmente por

meio das obras dos canadenses Maurice Tardif e Clermont Gauthier, a partir da

década de 1990, quando, de acordo com Nunes (2001, p. 28),

[...] inicia-se o desenvolvimento de pesquisas que, considerando a complexidade da prática pedagógica e dos saberes docentes, buscam resgatar o papel do professor, destacando a importância de se pensar a formação numa abordagem que vá além da academia, envolvendo o desenvolvimento pessoal, profissional e organizacional da profissão docente.

A compreensão dos saberes envolvidos na profissão passa por uma

reformulação na medida em que o próprio sistema educacional e as teorias

pedagógicas, bem como a finalidade da escola e seu papel na sociedade, se alteram

e passam a ser questionados. Em particular no Brasil, com a literatura internacional e

as próprias reflexões políticas que passam a emergir, aflora a necessidade de

entender quais conhecimentos e saberes são essenciais para a docência e considerar

45

aqueles oriundos da prática docente como elementares para a boa formação de

professores.

O interesse pela prática como componente da base de conhecimentos para o

ensino aparece em maior ou menor escala, com diferentes nomenclaturas, nas teorias

dos diversos autores apresentados no trabalho de Nunes. Considera-se que “é preciso

investir positivamente os saberes de que o professor é portador, trabalhando-os de

um ponto de vista teórico e conceptual” (NÓVOA, 1992, p. 27 apud NUNES, 2001, p.

29). Assim, mesmo os conhecimentos advindos da prática podem ser incorporados

em um quadro teórico e servir de base para a formação de professores. Com isso,

percebe-se a importância desses estudos para a aproximação da academia com a

atividade cotidiana do professor.

Outro trabalho que explora as diferentes vertentes, em uma tentativa de

sintetizar e comparar as tipologias e nomenclaturas usadas por diversos autores, é o

desenvolvido por Puentes, Aquino e Neto (2009). Nesse estudo os autores

apresentam 11 diferentes teorias estudadas no Brasil e no mundo de autores como

Shulman, García, Freire, Gauthier, Braslavsky, Pimenta, Masetto, Perrenoud, Tardif,

Cunha e Zabalza16. A partir dos trabalhos estudados, Puentes, Aquino e Neto (2009)

organizam as tipologias e as classificações concernentes a cada uma dessas

pesquisas, separando-as em três grandes famílias a partir das nomenclaturas usadas

por seus autores. Tais famílias são: 1) conhecimentos, representados pelas ideias de

Shulman; 2) saberes, representados no trabalho de Tardif; e 3) competências,

sintetizadas nas ideias de Perrenoud.

As diferentes nomenclaturas fundamentam-se em diferentes perspectivas,

apoiadas em concepções epistemológicas distintas. No trabalho de Shulman (1986,

1987) há uma centralização no conhecimento do conteúdo e nas relações deste com

outros conhecimentos, como os pedagógicos e os advindos da prática e do contexto

escolar. No texto de Tardif (2002) há um destaque para os aspectos subjetivos que

estão ligados à experiência do docente, como suas trajetórias pré-profissionais e

16 Não discorremos, nesta dissertação, sobre as teorias de cada um dos autores aqui mencionados,

mas sugerimos, para um olhar aprofundado dessas discussões, o trabalho de Puentes, Aquino e Neto (2009), no qual é apresentada uma organização das ideias dos mais referenciados autores na área de formação de professores e uma proposta de classificação de seus trabalhos. Há, anteriormente a esse estudo, o dossiê da edição n. 74, de 2001, da revista Educação & Sociedade, do qual destacamos os trabalhos de Borges, que expõe uma reflexão sobre as tipologias de três autores e a relevância dessas teorias em âmbito nacional, e Nunes (2001), sobre o qual já discorremos. Além desses, destacamos o texto de Almeida e Biajone (2007), que proporciona relevantes implicações desses estudos para a reformulação de cursos de formação de professores.

46

profissionais, que podem incluir a própria história de vida do professor, pois, para o

autor, o saber é socialmente construído. Já para Perrenoud (2000, p. 15), as

competências não estão relacionadas com conhecimentos ou saberes, mas se

referem a “uma capacidade de mobilizar diversos recursos cognitivos para enfrentar

um tipo de situações” e estão relacionadas, assim, a atitudes ou ações.

Nosso intuito com esta breve e pontual diferenciação dos trabalhos é deixar

claro que a base de conhecimentos para o ensino foi e continua a ser um tema

amplamente discutido e que, portanto, promoveu e ainda promove fundamentações

que buscam investigar e pontuar os elementos que a compõe. Outro aspecto que

gostaríamos de destacar é o caráter objetivista do trabalho de Shulman, voltado para

aqueles conhecimentos que podem ser sistematicamente desenvolvidos em cursos

de formação inicial ou continuada e, assim, em políticas de formação de professores.

Dessa forma, também justificamos que, neste trabalho, não buscamos compreender

aspectos pessoais da vida dos professores ou decorrentes das interações sociais nas

quais estão envoltos, porque adotamos o referencial de Shulman como base para o

desenvolvimento de nossos trabalhos, ainda que esses aspectos tangenciem nossa

investigação.

Foi com a publicação de seu artigo na revista Educational Researcher, em

1986, intitulado “Those who understand: konowledge growth in teaching”, que

Shulman começou a propor uma base de conhecimentos docentes. Com isso, foi feita

pela primeira vez uma organização categórica dos tipos de conhecimentos

necessários ao professor para o exercício da docência a partir de uma série de

pesquisas que trataram de investigar os conhecimentos essenciais para a prática de

professores nos mais diversos níveis e áreas de ensino.

No artigo de 1986, Shulman apresentou considerações sobre a prática docente,

em especial sobre o papel do conhecimento do conteúdo ─ a saber, os conceitos e os

conhecimentos próprios de uma área ou disciplina escolar ─ no conjunto de

conhecimentos que os docentes devem possuir para exercer sua profissão. Nesse

trabalho, sua ideia mais revolucionária é a de que há um conhecimento pedagógico

atrelado ao conhecimento do conteúdo de uma disciplina, o qual ele chamou

Pedagogical Content Knowledge (PCK), ou Conhecimento Pedagógico do Conteúdo.

Na apresentação do artigo, a começar pela inquietação causada pela frase de

George Bernard Shaw (“Quem sabe, faz. Quem não sabe, ensina”), Shulman (1986)

faz uma série de questionamentos sobre quais são os conhecimentos necessários aos

47

estudantes que se tornam professores e, em particular, aos professores em sua

atuação profissional. Em busca de algumas respostas, o autor apresenta uma análise

histórica das avaliações aplicadas aos docentes desde 1875 até a época em que seu

trabalho foi produzido, avaliações estas de diversas áreas do conhecimento. Em suas

análises Shulman constatou que o conhecimento do conteúdo a ser ensinado (subject-

matter knowledge) era antigamente considerado o mais importante conhecimento

relacionado à profissão docente, fato que perdurou até a década de 1980. A partir

desse momento, o foco passou a estar na atividade pedagógica e nas práticas do

docente, deixando o conhecimento do conteúdo em segundo plano.

Contrastando os dois momentos identificados nas políticas avaliativas (antes e

após 1980), o autor argumenta que há um paradigma perdido, apontando que muitos

dos questionamentos sobre a formação de professores ficavam sem resposta, ainda

que se observassem os resultados dos testes em questão. Esse paradigma refere-se

ao papel do conhecimento do conteúdo na atividade docente, conhecimento este que

deve se relacionar com outros conhecimentos de ordem pedagógica. Shulman (1986)

elenca, inicialmente, três categorias nas quais o conhecimento do conteúdo se

estrutura: Conhecimento Específico do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo e Conhecimento Curricular17.

Ao Conhecimento Específico do Conteúdo estão associados não apenas o

conhecimento técnico e/ou prático de determinado assunto ─ por exemplo, o

conhecimento de teoremas, princípios e fatos ─, mas também a capacidade de julgar

afirmações, situações ou condições como verdadeiras ou falsas, saber porque elas

funcionam de um jeito ou de outro em determinadas situações, entre outros fatores.

Shulman (1986) aponta que já existiam algumas maneiras de se representar esse tipo

de conhecimento, como a Taxonomia de Bloom, por exemplo, a qual consiste na

estruturação das etapas de aquisição de novos conceitos, passando pelas etapas de

conhecimento, compreensão, aplicação, análise, síntese e avaliação.

A segunda e mais relevante categoria refere-se à capacidade de identificar e

conhecer “as formas de representação mais usuais das ideias, as analogias mais

poderosas ─ ilustrações, exemplos, explanações e demonstrações”18 (SHULMAN,

17 No original: Subject Matter Content Knowledge, Pedagogical Content Knowledge e Curricular

Knowledge. 18 No original: “[…] the most useful forms of representation of those ideas, the most powerful analogies,

illustrations, examples, explanations, and demonstrations […]”.

48

1986, p. 9, tradução nossa). Trata-se de conhecer, para um determinado assunto, os

possíveis aspectos que podem provocar dificuldades ou concepções alternativas nos

alunos. O Conhecimento Pedagógico do Conteúdo figura uma grande inovação

àquela época, é amplamente difundido, além de ser considerado uma grande

contribuição do trabalho de Shulman às pesquisas em ensino.

Por fim, ao Conhecimento Curricular estão associados não só os

conhecimentos relacionados aos conteúdos e a seu sequenciamento e a sua

distribuição ao longo dos anos escolares, mas os conhecimentos de materiais

didáticos e a capacidade de selecionar textos complementares, vídeos ou outros tipos

de materiais para dar continuidade a determinada abordagem de um conteúdo ou

tópico de ensino. Quanto ao sequenciamento dos conteúdos, Shulman (1986) destaca

que faz parte do Conhecimento Curricular promover inter-relações entre os tópicos

trabalhados em outras disciplinas, o que chama de conhecimento lateral do

currículo19, e entre os assuntos vistos na mesma disciplina em anos anteriores ou

abordados posteriormente, o que denomina conhecimento vertical do currículo20.

Em artigo publicado no ano seguinte (SHULMAN, 1987), as referidas categorias

foram ampliadas e apresentadas como uma composição mínima dos conhecimentos

docentes, os quais passaram a constituir uma base de conhecimentos docentes. São

sete categoriais, apresentadas no Quadro 3.

Vale destacar que as ideias de Shulman foram amplamente estudadas e

desenvolvidas por outros pesquisadores, que em pesquisas colaborativas com o autor

ou em textos feitos sem ele, trabalharam para desenvolver um aporte teórico sólido

para pensar e investigar a formação de professores. Dentro desse grupo de autores

há interesse tanto em desenvolver estudos para a área da Educação em geral quanto

para as áreas específicas, como a Educação em Ciências ou, conforme passamos a

discutir logo abaixo, a Educação Matemática. Segundo a pesquisa de Ball, Thames e

Phelps (2008), desde a década de 1990 os dois famosos artigos de Shulman (1986,

1987) têm sido citados ao menos 50 vezes a cada ano, em mais de 1200 periódicos

diferentes, destacando, assim, o impacto do trabalho desse pesquisador sobre os

conhecimentos docentes nas investigações em educação.

19 No original: lateral curriculum knowledge 20 No original: vertical curriculum knowledge

49

Quadro 3 − Categorias do conhecimento de base docente apontadas por Shulman (1987)

Conhecimento do conteúdo: Conhecimento específico do conteúdo a ser

ensinado;

Conhecimento pedagógico geral: estratégias e princípios de organização e

gerenciamento da sala de aula;

Conhecimento Curricular: conhecimento da disposição do conteúdo na

estrutura escolar e da existência e do uso de materiais e programas que

servem como ferramentas para o trabalho dos professores;

Conhecimento Pedagógico do Conteúdo: conhecimentos particulares dos

professores, um amálgama de Conhecimento Específico do Conteúdo e

conhecimento pedagógico geral;

Conhecimento dos estudantes e de suas características: conhecimento, de

forma geral, dos conteúdos em que há maiores dificuldades por parte dos

estudantes, de suas concepções alternativas, etc.;

Conhecimento dos contextos educacionais: conhecimento da cultura e das

características da comunidade em que a escola se insere, do governo e da

economia dos entornos, do perfil de trabalho do grupo, entre outros;

Conhecimento das finalidades educacionais: conhecimento de seus

propósitos, de seus valores e de suas bases filosóficas e históricas.

Fonte: Adaptado de Shulman (1987, p. 8).

Podemos mencionar o trabalho de Pamela Grossman, voltado para o

desenvolvimento da categoria de Conhecimento do Conteúdo, como um exemplo de

continuidade do trabalho de Shulman na área de Educação em Ciências. Mas foi

principalmente o desenvolvimento do conceito de Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo que inspirou pesquisadores a aprofundarem ou desenvolverem novos

quadros teóricos, direcionando-o para diversas áreas específicas do conhecimento. É

o caso do trabalho de Mishra e Koehler (2006), que apresenta um quadro teórico do

que eles chamaram de Technological Pedagogical Content Knwoledge (TPCK), hoje

conhecido por Technology, Pedagogy and Content Knowledge (TPACK). Nesse

estudo os autores desenvolveram a relação entre o Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo e o conhecimento da tecnologia, necessário para a atividade da docência.

Em outras áreas podemos citar como exemplos o trabalho de Van Driel, Verloop e de

Vos (1998) sobre o desenvolvimento do PCK para as ciências naturais e os estudos

50

de Deborah Ball e seus colaboradores (2008a), os quais construíram um aporte

teórico voltado para a educação matemática, no qual estamos particularmente

interessados.

Ball e seus colaboradores têm trabalhado com o conhecimento requerido aos

professores de matemática há mais de 20 anos. Uma de suas grandes contribuições

é a inserção e a valorização da dimensão prática do trabalho dos professores nas

pesquisas que desenvolvem. Apesar de terem elaborado um amplo aporte teórico

sobre os conhecimentos matemáticos necessários ao ensino de matemática, esses

estudos apoiaram-se nos resultados de diversos questionários, entrevistas, analises

de aulas, entre outras investigações de caráter prático.

Em um artigo de 1990, antes mesmo de estudar a teoria de Shulman e expandi-

la para a educação matemática, Ball fez considerações sobre a importância do

conhecimento sólido do conteúdo para o ensino. O estudo baseia-se nas respostas

de 252 futuros professores, ingressantes em cursos de formação em cinco instituições

diferentes, sobre a temática divisão de frações. A partir das respostas dos

professores, Ball (1990) percebeu que, apesar de conhecerem os métodos

matemáticos e serem capazes de resolver questões envolvendo a divisão de frações,

boa parte desses estudantes não se sentia preparada para ensinar, o que nos revela

uma dificuldade de desempacotar (no original: unpacking) os significados dos

procedimentos que eles estão usando. Isso não significa, contudo, que esses

estudantes de licenciatura não conheçam esses significados, mas sim que seu

domínio do conteúdo é frágil e pode facilmente ser distorcido.

Esse trabalho ─ assim como outros que Ball desenvolveu no começo da década

de 1990, como o de 1993, referenciado na lista final, para citar um exemplo ─ possui

dois aspectos essenciais que, por um lado, aproximam seu trabalho ao de Shulman

e, por outro, acrescentam a ele uma nova dimensão: a importância do conhecimento

profundo do conteúdo21 para o ensino. Essa nova face aponta para questões inerentes

exclusivamente às situações de ensino, além de indicar a dimensão prática que as

investigações de Ball proporcionam para a estruturação de uma base de

conhecimentos para os professores de matemática. Isso acabou possibilitando a ela

21 Conhecimento profundo do conteúdo é um termo frequentemente usado por Ball e seus

colaboradores para se referir a um conhecimento que supera as fragilidades dos processos de desempacotamento, ou seja, que transita com facilidade entre os métodos, suas aplicações, seus significados e suas justificativas.

51

e aos pesquisadores de sua equipe, na Universidade de Michigan, a construção de

uma agenda de pesquisas e a possibilidade de simultaneamente construir e testar um

quadro teórico de conhecimentos docentes para o ensino de matemática.

Desde sua aproximação com o trabalho de Shulman, no final da década de

1990, os pesquisadores da equipe de Ball, do National Center for Research on

Teacher Education, ao qual é vinculado o grupo de pesquisas Teacher Education and

Learning to Teach Study, investigam o conhecimento de futuros docentes ou de

professores em exercício sobre números inteiros, divisão por zero, números racionais,

subtrações, entre outros. Tais estudos têm levantado evidências que apontam para

diversos conhecimentos essenciais para a formação de professores, no que se refere

a cada uma dessas temáticas.

A maior parte dos trabalhos de Ball está voltada para aspectos aritméticos,

especialmente com professores dos anos iniciais da educação básica. Contudo, o

aporte teórico que sua equipe desenvolveu contribui para o entendimento do

conhecimento matemático para o ensino em qualquer área da matemática e em

qualquer nível de ensino, como no caso de M. Ribeiro (2009) e Steel (2013) na

geometria e Contreras et al (2011) na probabilidade, para citar apenas alguns

exemplos.

Esses trabalhos culminaram, em 2005 e mais fortemente em 2008, no conceito

de Conhecimento Matemático para o Ensino (Mathematical Knowledge for Teaching -

MKT), presentes em Ball, Hill e Bass (2005) e Ball, Thames e Phelps (2008a). Para

chegar nesse conceito, Ball e seus colaboradores desenvolveram diversas pesquisas

com professores, investigando sua prática a partir de observações, entrevistas,

questionários e acompanhamento de grupos colaborativos. Para Ball e seus colegas,

as pesquisas devem contar com uma dimensão prática de investigação, a fim de

minimizar as distâncias entre o discurso do professor e sua efetiva prática em sala de

aula.

Em Ball, Thames e Phelps (2008a), os autores apresentam a base de

conhecimentos docentes dividida em duas grandes áreas, a saber: Conhecimento

Específico do Conteúdo e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, semelhante

àquela proposta de Shulman. As diferenças começam pela divisão de cada área em

outras três categorias do conhecimento, como esquematizado na Figura 1.

52

Figura 1 − Proposta de composição do conhecimento base para o ensino feita comparativamente às ideias de Shulman (1987).

Fonte: Apresentada em Ball, Thames e Phelps (2008a, p. 403, tradução nossa).

Nessa composição, o Conhecimento Específico do Conteúdo está dividido em

conhecimento comum do conteúdo, conhecimento especializado do conteúdo e

conhecimento do horizonte do conteúdo. Os autores afirmam que o conhecimento

comum do conteúdo se refere ao conhecimento matemático que se pode “esperar que

qualquer adulto bem-educado saiba” (BALL; THAMES; PHELPS, 2008b, p. 6,

tradução nossa). Ressaltamos que o conhecimento comum do conteúdo não está

restrito às ideias básicas da matemática, as quais se espera que os cidadãos, de

forma geral, dominem; do contrário, ele pode se referir até mesmo às ideias mais

sofisticadas da matemática acadêmica, no âmbito específico da compreensão e da

utilização dessas ideias. Em outras palavras, o conhecimento comum associa-se à

capacidade de resolver, por exemplo, tanto uma operação de multiplicação com

números inteiros quanto uma integral dupla ou um exercício de geometria diferencial,

mas a manifestação do conhecimento comum do conteúdo não prevê maneiras

diferentes de resolução, compreensão dos significados, aplicações múltiplas em

diferentes áreas, explicação do conceito, entre outros aspectos.

Por outro lado, sobre o conhecimento especializado do conteúdo, os autores

apontam:

53

Como o conhecimento pedagógico do conteúdo, este [o conhecimento especializado do conteúdo] é bem próximo da prática, mas ao contrário daquele, este não requer conhecimento adicional dos estudantes ou do ensino. É um conhecimento matemático distinto, mas não necessariamente familiar aos matemáticos”.22 (BALL; THAMES; PHELPS, 2008b, p. 6).

Por fim, sobre o conhecimento do horizonte do conteúdo, os autores ainda

questionam a existência/necessidade desse subdomínio, o qual se referiria ao

conhecimento do conteúdo no decorrer dos anos escolares. Por exemplo, um

professor de 1º ano precisa saber o que os alunos estudarão ao chegar ao 3º ano

para construir os fundamentos necessários para a introdução dos novos conteúdos

e/ou para o aprofundamento dos conteúdos já ensinados.

Dentre os subdomínios do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, estão as

interações com os estudantes e com o ensino, tais como o próprio Shulman apresenta

em suas categorias de estudantes e contexto escolar, respectivamente, além do

próprio conhecimento do currículo, que figurava já entre as primeiras categorias de

Shulman (1986, 1987). Na concepção de Ball, Thames e Phelps (2008a), tais

categorias são chamadas de Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes,

Conhecimento do Conteúdo e do Ensino, e Conhecimento do Conteúdo e do

Currículo. Essa composição de domínios e subdomínios do conhecimento passa a

estruturar o que os autores chamam de Conhecimento Matemático para o Ensino, o

qual perpassa todas essas categorias propostas.

Ressaltamos que o aporte teórico desenvolvido por Ball e seus colaboradores

não é o único que objetiva explorar o conhecimento matemático requerido para o

ensino. Temos, por exemplo, o trabalho de Fennema e Franke (2002), que, além de

propor uma configuração diferente dos conhecimentos e suas relações, inclui as

crenças dos professores como um domínio componente da sua forma de

compreender a matemática. Como um desenvolvimento desse trabalho ainda surge

uma nova proposta, chamada de Conhecimento Matemático no Ensino ─ Matematical

Knowledge in Teaching, no original ─, o qual reorganiza as categorias de Shulman e

suas interpelações (ROWLAND, 2007; PETROU; GOULDING, 2011). Para nosso

trabalho, no entanto, o trabalho de Ball e seus colaboradores foi elencado porque

contempla, de maneira separada, os domínios de conhecimento especializado e

22 No original: “Like pedagogical content knowledge it is closely related to practice, but unlike

pedagogical content knowledge it does not require additional knowledge of students or teaching. It is distinctly mathematical knowledge, but is not necessarily mathematical knowledge familiar to mathematicians”.

54

comum do conteúdo, importantes em nossa compreensão do conceito de equação a

partir do modelo de Perfil Conceitual adotado.

Sendo assim, em nossa pesquisa, a partir da interpretação proposta por Ball e

seus colaboradores, buscaremos identificar que tipos de conhecimentos são

mobilizados durante as reflexões sobre o conceito de equação e sobre as avaliações

que o contemplam. Portanto, o referencial de Conhecimento Matemático para o

Ensino (MKT, no original) nos ajudará a compreender os aspectos dos conhecimentos

dos professores que influenciam na escolha das avaliações, sejam estas provas

escritas, atividades em sala de aula ou trabalhos de pesquisa. Por outro lado, esse

referencial também aponta a necessidade de atentarmos para o Conhecimento

Específico do Conteúdo, que, em nosso caso, trata-se do conceito de equação.

Assim sendo, a próxima seção contém uma revisão sobre o ensino de álgebra

e equações. Serão apresentados alguns trabalhos que discutem essa temática e

serão abertos caminhos para propor uma lente teórica que nos possibilitará investigar

o conhecimento de um grupo de professores no que se refere ao conceito de equação.

2.2 O ensino de álgebra e equações

Artigue et al. (2001, p. 21) afirmam que para muitas pessoas “a álgebra é o

domínio no qual abruptamente a matemática torna-se incompreensível”23. Apesar de

os resultados deste trabalho decorrerem de pesquisas realizadas na França, esse tipo

de percepção é muito comum também no Brasil, sendo que as dificuldades em álgebra

podem ser percebidas aqui, por exemplo, nos resultados das macroavaliações, como

no caso da Prova Brasil, gerenciada pelo SAEB. Nos estudos desenvolvidos pela

equipe de nosso projeto OBEDUC, identificamos que as questões de álgebra, na

edição de 2011, tiveram, em média, 43% de acertos, sendo que a pior porcentagem,

de 18,73%, foi obtida em uma questão que requeria a resolução de uma equação

polinomial de segundo grau (ALVES et al., 2014).

Esse quadro, contudo, não é recente. Trabalhos de Kieran, desde década de

1980, já apontavam dificuldades na compreensão de conceitos algébricos e,

particularmente, do conceito de equação e indicavam estudos anteriores que também

elencavam dificuldades no aprendizado e no desenvolvimento de relações algébricas,

23 No original: “[…] algebra is the domain where, abruptly, mathematics became a non understandable

world”.

55

como os de Skemp (1971) e de Wagner (1977). Entre os temas de destaque nos

trabalhos que estudam o ensino e a aprendizagem de álgebra naquela época estão

os procedimentos de resolução de equações, os significados em álgebra e o

pensamento algébrico (KIERAN, 2007). Mais recentemente diversos estudos sobre

funções, erros de alunos e conhecimento matemático de professores têm sido

evidenciados. Independentemente da época, contudo, os trabalhos sobre álgebra

sempre foram numerosos e perpassaram por temas como procedimentos, símbolos,

igualdade, equações e, evidentemente, os significados que cada um desses temas

adquire para os estudantes.

Kieran investigou, em 1981, os significados do sinal de igualdade, percebendo

que a maior parte dos estudantes carrega o significado operacional ─ significado este

que associa ao sinal de igualdade a necessidade de realizar uma operação ou obter

um valor numérico ─ como único, não construindo o significado de equivalência, por

exemplo. Segundo a autora, quando os alunos observam equações triviais, ou seja,

equações nas quais a incógnita está em apenas um dos lados do sinal de igualdade,

o significado operacional ainda é suficiente para se chegar a um resultado para o valor

da incógnita. Por exemplo, na equação 4x + 3 = 7, basta pensar em um número que,

multiplicado por 4 e adicionado 3, resulte em 7. Contudo, esse significado não é

suficiente em equações não-triviais, como 5x - 2 = 3x + 4. Nesse caso, o significado

operacional não basta para dar sentido à igualdade apresentada, motivo pelo qual

muitos estudantes têm dificuldade em resolver esse tipo de situação.

A pesquisadora também aponta que a não construção do significado relacional

faz com que os estudantes usem o sinal de igualdade apenas como um conectivo

entre passos, quando, por exemplo, estão trabalhando com funções ou equações

triviais, como nos mostra a Figura 2.

Fonte: Kieran (1981, p. 223-224).

Figura 2 − Exemplo do uso de sinal de igualdade como conectivo (link) entre as manipulações

algébricas realizadas, desconsiderando seu papel como identificador de uma equivalência.

56

No trabalho de Stephens e Ribeiro (2012), os autores apresentam a diferença

entre pensamento computacional, relacionado à aplicação de métodos e algoritmos,

e relacional, que envolve identificar relações de equivalência. Esse estudo mostra, a

partir de testes aplicados com 34 estudantes brasileiros, que a maior parte dos alunos

não pensa “relacionalmente” ao lidar com sentenças matemáticas. Acreditamos que o

não desenvolvimento do pensamento relacional tenha um vínculo direto com a não

construção do significado de equivalência para o sinal de igualdade, o que, por sua

vez, prejudica o desenvolvimento do pensamento algébrico.

No trabalho de Herscovics e Kieran (1980), os autores apresentam, além de

evidências do entendimento, pelos estudantes, do sinal de igualdade exclusivamente

como operador, outros aspectos que mostram as dificuldades dos alunos em

compreender o conceito de equação ─ como o não entendimento dos símbolos da

álgebra, a substituição de números por letras ou as estratégias de resolução de

equações ─ bem como em desenvolver o pensamento algébrico. Outros trabalhos de

Kieran apontam dificuldades ou concepções errôneas de alunos sobre conceitos ou

procedimentos na resolução de equações.

Em sua tese de doutorado, na qual estuda o conhecimento matemático para o

ensino de equações e de suas soluções, Li (2007, p. 7, tradução nossa) justifica a

importância de sua investigação identificando

a existência de uma literatura relativamente rica sobre como estudantes entendem as equações e a resolução de equações em contraposição à escassa quantidade de estudos sobre o entendimento de professores de matemática sobre o mesmo tópico.24

De fato, a maior parte dos trabalhos de Kieran e dos pesquisadores envolvidos

nos estudos sobre equações das décadas de 1980 e 1990 estão voltados para o

conhecimento e as dificuldades dos estudantes. Uma das poucas, contudo mais

relevantes, pesquisas acerca dos conhecimentos dos professores de matemática

sobre equações no começo da década de 2000 é o trabalho de Iris Attorps.

24 No original: “[…] the existence of a relatively rich literature on how students understand equations and

equation solving versus the scarce amount of studies on mathematics teachers’ understanding of the same topic”.

57

Attorps (2006), em sua tese intitulada Concepções de professores de

matemática sobre equações25, investigou diferentes concepções dos professores

acerca das equações, considerando seu ensino, seu conceito, o reconhecimento de

exemplos e contraexemplo, o objetivo de ensino, entre outros aspectos.

Anteriormente, em artigo publicado em 2003, Attorps apresentou os resultados de

uma pesquisa realizada com 10 professores ─ sendo 5 deles recém-formados, com

menos de um ano de experiência, e 5 já experientes, com tempo de atuação de 10a

32 anos ─ sobre concepções do conceito de equação.

Ela identificou seis categorias entre o que os professores reconheciam ou não

como equações diferentes da “definição do conceito” de equação, como ela o chama.

As cinco categorias listadas pela autora que não foram identificadas pelos professores

participantes como equações são: 1) identidades, 2) equações não algébricas, 3)

equações que incluem mais de um valor desconhecido, 4) equações triviais e 5)

funções. A sexta categoria refere-se às inequações e às expressões que por vezes

foram identificadas como equações pelos participantes. Elaboramos o Quadro 4 para

ilustrar cada uma dessas categorias, com os exemplos e explicações que estão

apresentados no artigo.

Quadro 4 − Categorias distintas da definição de equação e seus exemplos

Categoria Exemplo Explicação

1) Identidade 𝑐𝑜𝑠2 ∝ +𝑠𝑒𝑛2 ∝= 1

Regra, fórmula, resultado,

identidade, Teorema de Pitágoras,

etc.

2) Equações não-

algébricas ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶

Integrais, derivadas, área sob uma

curva, etc.

3) Mais de uma variável 2𝑥 + 5 𝑦 = √𝑎 Fórmula, algo que não seja

possível de resolver.

4) Triviais 𝑥 = 2 Solução, expressão para o valor

de x.

5) Funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 Função.

6) Inequações e

expressões 𝑥 + |𝑥 + 3| ≥ |𝑥 + 1| + 2 Inequações.

Fonte: Elaborado por nós a partir dos dados de Attorps (2003, p. 5-6).

25 No original: Mathematics teachers’ conceptions about equations

58

Uma importante conclusão que a autora apresenta a partir desses dados é que

a capacidade de resolver ou a existência de um processo ou um mecanismo de

solução é um importante fator para os professores que julgam que equações são

aquelas que podem ser resolvidas. Ressaltamos que, nesse trabalho, Attorps adota

como definição do conceito de equação a seguinte assertiva:

uma fórmula que afirma que duas expressões têm o mesmo valor; o que inclui tanto as equações idênticas (usualmente chamadas identidades), verdadeiras para quaisquer valores das variáveis, quanto as equações condicionais, verdadeiras para certos valores das variáveis (as raízes das

equações). Por exemplo, 𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) é uma identidade, e 𝑥2 −1 = 3 é uma equação condicional com raízes 𝑥 = ± 2.26 (BOROWSKI; BORWEIN, 1989, p. 194 apud ATTORPS, 2003, p. 3, tradução nossa).

Tal definição em muito se assemelha com as bases de nossa caracterização

desenvolvida na seção 1.2.Também por isso os resultados de Attorps (2003) são

bastante significativos para nossa pesquisa e compõem nosso referencial teórico.

Baseado, entre outros trabalhos, nesses resultados, Ribeiro (2007) investigou

em sua tese de doutorado o que chamou de multissignificados de equação.

Fundamentado em perspectivas históricas e epistemológicas do que se considera

equação em diferentes culturas e períodos, esse trabalho teórico identificou seis

diferentes significados de equação, a saber: Intuitivo-Pragmático, Dedutivo-

Geométrico, Estrutural-Generalista, Estrutural-Conjuntista, Processual-Tecnicista e

Axiomático-Postulacional.

O significado Intuitivo-Pragmático está relacionado à noção de equação como

uma igualdade entre duas quantidades e à resolução de problemas de ordem prática.

Dedutivo-Geométrico é um significado oriundo das operações com segmentos,

medidas de lados e outras situações diretamente relacionadas a questões

geométricas. O significado Estrutural-Generalista entende equação como uma

estrutura que possui propriedades e características próprias, sendo que essa estrutura

tem significado em si mesma. Semelhantemente, o significado estrutural-conjuntista

também se relaciona a uma visão estrutural; contudo, está diretamente ligado ao

conceito de conjunto. Dessa forma, equações vistas por este último significado servem

26 No original, diz: “a formula that asserts that two expression have the same value; it is either an identical equation (usually called an identity), which is true for any values of the variables, or conditional equation, which is only true for certain values of the variables (the roots of the equations). For example, x2 − y2 = (x − y)(x + y) is an identity, and 2 1 3 x − = is a conditional equation with roots x = ±2”

59

para resolver problemas que envolvem relações entre conjuntos. O significado

Processual-Tecnicista, por sua vez, entende equação como o conjunto de

procedimentos e métodos usados para solucioná-la. Por fim, o significado axiomático-

postulacional aceita a noção de equação como primitiva e, ou seja, como um conceito

que não carece de definição.

Ao desenvolver esse trabalho, era também interesse do autor a forma como o

conceito de equação aparecia na Educação Matemática e as implicações que seu

estudo poderia ter para o ensino de álgebra. Assim, para identificar cada um desses

seis significados, Ribeiro (2007) também buscou investigar livros didáticos e trabalhos

de matemáticos ao longo dos anos, além de resultados de pesquisas em Educação

Matemática.

Dos resultados obtidos, Ribeiro (2007) conclui que a discussão dos

multissignificados de equação pode ser particularmente proveitosa para o ensino de

equação. Concordamos com isso por entender que esse estudo colabora para superar

as dificuldades tanto dos estudantes, identificadas em Herscovics e Kieran (1980),

quanto dos professores, percebidas em Attorps (2003). Ribeiro (2007, p. 132) também

aponta como perspectiva

o desenvolvimento de pesquisas, no âmbito da formação de professores, que levantem e discutam essas diferentes formas de conceber a noção de equação no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

E ainda, na mesma página a

investigação de quais significados apresentados neste trabalho fazem parte do repertório dos professores que ensinam Matemática, e como eles trabalham esses significados com seus alunos em suas salas de aula.

Parece-nos evidente, a partir desta revisão, que a vasta literatura sobre o

ensino de equações nos indica uma lacuna que precisa ser superada: o conhecimento

dos professores sobre equação ainda é um campo que carece de investigações. Para

atingir esses objetivos, um caminho, sugerido por Ribeiro (2007), é a formação de

professores e o repensar sobre os conhecimentos docentes necessários ao professor

para ensinar equações. O desenvolvimento do trabalho de Ribeiro, aproximando-se

da Teoria dos Perfis Conceituais, aponta possibilidades para seguir esses caminhos,

e é sobre isso que discorremos a seguir.

60

2.3 Teoria de Perfis Conceituais e Perfil Conceitual de Equação

A aproximação dos resultados da tese de Ribeiro (2007), com seus seis

significados de equação encontrados por meio de investigações históricas e análises

de materiais didáticos, intitulados multissignificados de equação ─ com a prática

escolar e com a formação de professores deve-se principalmente à contribuição de

alguns trabalhos desenvolvidos em um grupo de pesquisa que investigou os diversos

níveis de ensino (Fundamental, Médio e Superior). É tendo como base o contexto

escolar e os apontamentos de Kilpatrick, Hoyles e Skovsmose (2005) que Ribeiro se

aproxima dos estudos de Mortimer e de sua Teoria de Perfis Conceituais. Surge,

assim, um esforço para construir um Perfil Conceitual de Equação.

A Teoria de Perfis Conceituais (MORTIMER, 1994, 1995) baseia-se nas ideias

de Perfil Epistemológico de Bachelard, as quais têm origem nos ramos da Educação

Química. No artigo “Estudos preliminares sobre o perfil conceitual de espécie”, os

autores afirmam que

a noção de perfil conceitual estabelece que um único conceito pode estar disperso entre vários tipos de concepções epistemológicas e apresentar características ontológicas também diversas. Assim, qualquer pessoa possui mais de uma forma de compreender a realidade, que é acessada em contextos apropriados. (SOARES et al., 2007, p. 2).

Isso indica que um perfil conceitual é uma conjunção de formas de ver e

relacionar um mesmo conceito atreladas a diferentes contextos, o que nos leva a

inferir que a noção de Perfil Conceitual está associada a conceitos com múltiplos – ou

pelo menos, com mais de um – significados, ditos conceitos polissêmicos. Como

exemplo podemos tomar o conceito de calor, para o qual foi desenvolvido um modelo

de Perfil Conceitual (AMARAL; MORTIMER, 2001); embora calor tenha uma definição

no contexto científico, também pode ser considerado uma propriedade das matérias,

quando, por exemplo, dizemos que “está calor”.

Além de tomarmos como objeto os conceitos polissêmicos, vale destacar que

é justamente por levar em conta, além de características epistemológicas, aspectos

ontológicos, que a Teoria de Perfis Conceituais se diferencia das ideias de Bachelard.

Isso porque se entende que uma maior variedade de aspectos investigados implicará

em uma maior diferenciação de significados, que podem ser identificados para

construir um perfil conceitual mais amplo. Podemos perceber essa diversidade de

61

contextos e métodos em um trabalho publicado na revista Investigações em Ensino

de Ciências, no qual os autores destacam:

[...] buscamos construir um perfil conceitual de “vida” por meio de um jogo dialógico entre estudos teóricos e empíricos, no qual utilizamos uma variedade de fontes de dados e buscamos cobrir pelo menos três domínios genéticos: o domínio sociocultural, por meio de uma revisão bibliográfica sobre o conceito de vida e sua história; o ontogenético, por meio da compilação de estudos sobre concepções alternativas de estudantes sobre o conceito de vida; e o microgenético, através da coleta de dados empíricos por meio de questionários, aplicados a alunos de graduação em Ciências Biológicas, e entrevistas semi-estruturadas, baseadas em situações-problema, com alunos de pós-graduações em Ecologia e Genética. (COUTINHO; MORTIMER; EL-HANI, 2007, p. 117-118)

Com esse trecho queremos ilustrar que a construção de um perfil conceitual se

faz pela investigação do conceito em questão, contemplando óticas variadas ─ os

diferentes domínios genéticos ─, contextos múltiplos ─ Graduação e Pós-Graduação,

neste exemplo ─ e metodologias de pesquisa e instrumentos de coleta de dados

diversos ─ revisão bibliográfica, compilação de estudos, entrevistas, questionários,

entre outros. Ao construir, em outro trabalho, um perfil conceitual de molécula,

Mortimer (1997, p. 200) ainda ressalta que “[...] temos que recorrer a contribuições de

outras disciplinas, principalmente a psicologia cognitiva, a filosofia e a história das

ciências”. Isso nos indica que a construção de um perfil conceitual deve buscar

representar um conceito pela maior gama de significados que ele pode assumir em

diferentes contextos.

Dessa forma, o perfil conceitual se constitui pelas chamadas zonas de

significado, que diferem epistemológica e ontologicamente e que coexistem em cada

indivíduo, pois “cada zona corresponde a meios mediacionais diferentes, a teorias e

linguagens diferentes, cada qual revelando o mundo à sua maneira” (MORTIMER,

1997, p. 202). Isso evidencia uma das principais contribuições do trabalho de Mortimer

para o Ensino: os diferentes significados, ou concepções, que os alunos previamente

possuem ao estudar conceitos novos não precisam ser substituídos por conceitos

cientificamente precisos, mas podem ser expandidos, de forma a compor um perfil

conceitual com múltiplas zonas de significados.

Dentro das salas de aula, então, a abordagem de perfis conceituais é

“concebida como uma maneira de modelar a heterogeneidade do pensamento e da

linguagem” (MORTIMER; SCOTT; EL-HANI, 2009, p. 1). Sabemos que a sala de aula

figura um ambiente de grande diversidade, pois os estudantes carregam concepções

62

sobre os conteúdos estudados, tanto oriundas dos anos escolares anteriores quanto

de sua experiência pessoal e de sua vivência fora da escola. Fazendo uso das

palavras dos autores, destacamos que

aprender um conceito é aprender seu significado, generalizar, passar de sentidos pessoais para significados socialmente aceitos. A produção de sentido, por sua vez, é um processo inteiramente pessoal: cada indivíduo produz sentidos diferentes para uma mesma palavra e o mesmo indivíduo pode também variar nos sentidos produzidos de contexto a contexto discursivo. (MORTIMER; SCOTT; EL-HANI, 2009, p. 4)

A Teoria de Perfis Conceituais é enfaticamente usada no ensino de ciências

naturais, como podemos perceber no trabalho de Cruz e Simões Neto, que fizeram

um levantamento nas edições do Encontro Nacional de Educação, Ciência e

Tecnologia até o ano de 2011, identificando mais de 20 trabalhos em consonância

com a Teoria de Perfis Conceituais. Essa relevância da teoria tem relação com a

ressignificação de conceitos e concepções que são temas recorrentes na área.

Entretanto, apenas recentemente essa teoria tem sido aplicada à educação

matemática, por meio do trabalho de Ribeiro. Unindo a ideia de diferentes zonas de

significados à de multissignificados de equação, Ribeiro propôs, em 2013, um modelo

de perfil conceitual de equação, que, segundo o próprio autor, ainda está em

construção e precisa ser estudado no campo educacional. A proposta desse modelo

justifica-se, pois ─ de acordo com Ribeiro (2013, p. 59), com base no trabalho de

Coutinho, Mortimer e El-Hani (2007) ─ é essencial para a ideia de perfil conceitual “a

tomada de consciência da diversidade de significados que um conceito pode admitir

e as implicações deles para os processos de ensino e de aprendizagem dos conceitos

que estão em jogo”. Assim sendo, o conceito de equação passa a ser, com base nos

multissignificados de equação e em seus desdobramentos com relação ao ensino, um

bom candidato à construção de perfil conceitual.

Essa construção, conforme Ribeiro (2013) apresenta, faz-se apoiada nos

estudos de Barbosa (2009) e Dorigo (2010), os quais, como já mencionamos, fizeram

um levantamento diagnóstico sobre as concepções de professores e alunos sobre

equações, respectivamente. É do cruzamento dos levantamentos dessas pesquisas

com os resultados de Ribeiro (2007) que se propõe cinco possíveis zonas de perfil

conceitual de equação, conforme mostra o Quadro 5.

63

Quadro 5 − Zonas identificadas e sua breve descrição

Categoria Breve descrição

Pragmática Equação interpretada a partir de problemas de ordem prática. Equação admitida

como uma noção primitiva. Busca pela solução predominantemente aritmética.

Geométrica Equação interpretada a partir de problemas geométricos. Busca pela solução

predominantemente geométrica.

Estrutural Equação interpretada a partir de sua estrutura interna. Busca pela solução

predominantemente algébrica.

Processual Equação interpretada a partir de processos de resolução. Busca pela solução

aritmética ou algébrica.

Aplicacional Equação interpretada a partir de suas aplicações. Busca pela solução aritmética

ou algébrica.

Fonte: Ribeiro (2013, p. 67)

Ao concluir o artigo de 2013, Ribeiro afirma que, ao propor um modelo de perfil

conceitual de equação, uma agenda de pesquisas se abre, em suas palavras:

Assim, agenda-se aqui o compromisso de dar continuidade às investigações iniciadas até o momento [...] as quais devem envolver: (1) uma quantidade maior e mais diversificada de pessoas (por exemplo: alunos de cursos de graduação e pós-graduação em matemática e em educação matemática, professores de diferentes níveis de ensino e com diferentes formações, etc); (2) instrumentos e procedimentos de coleta de dados diversos, os quais contemplem as zonas apresentadas neste artigo [...]. (RIBEIRO, 2013, p. 68).

É como parte dessa agenda de pesquisas que este trabalho se constitui,

buscando ─ com um grupo de professores com diferentes experiências profissionais,

com um instrumento de investigação ainda não utilizado (as avaliações que esses

professores elaboram) e com as ideias de Ball, Thame e Phelps (2008a) ─ reconhecer

o modelo de perfil conceitual de Ribeiro como uma forma de conhecimento

matemático para o ensino. Temos, com isso, a intenção de colaborar com a

compreensão de “se e como uma abordagem de ensino fundamentada no modelo dos

perfis conceituais contribui para uma melhor aprendizagem de Matemática em salas

de aula da Educação Básica e da formação de professores” (RIBEIRO, 2013, p. 69).

64

2.4 Conhecimento matemático para o ensino de equações: enunciando nossa

temática

Estudar os conhecimentos profissionais docentes nos dá indícios para repensar

a formação de professores. Ademais, há um quadro de dificuldades não superadas

no ensino e na aprendizagem de álgebra, como vimos anteriormente. Com isso,

acreditamos que investigar o conhecimento docente necessário para ensinar

equações possa ser um bom caminho para tentar reverter esse quadro.

O conhecimento matemático para o ensino de álgebra é também tema de

investigação de outro grupo de pesquisas, da Universidade de Michigan, que

recentemente publicou alguns resultados de seus estudos (MCCORY et al., 2012). O

artigo apresenta um quadro teórico de referência dos tipos de conhecimentos e dos

usos desses conhecimentos necessários para o ensino de álgebra, obtidos a partir de

análises de livros didáticos, videoaulas e questionários. Consideramos que esse

trabalho proporciona grandes contribuições para o desenvolvimento do conhecimento

matemático para o ensino de álgebra e que segue um viés complementar ao de outras

pesquisas, as quais expomos a seguir por se aproximarem do que buscamos

desenvolver nesta investigação. Tratam-se de trabalhos que procuram identificar, da

perspectiva do professor, como o conceito de equação, particularmente, é trabalhado,

do ponto de vista dos multissignificados de equação.

Dentro dessa perspectiva, por exemplo, temos o trabalho de Barbosa (2009),

que investigou, a partir do referencial de multissignificados de equação (RIBEIRO,

2007), as concepções de professores de matemática ao tratar de situações-problema

envolvendo equações. Em seus resultados, Barbosa identificou prioritariamente o

significado Processual-Tecnicista dentre as concepções apresentadas pelos

professores investigados.

Outros trabalhos desenvolvidos no mesmo grupo de pesquisa de Barbosa

investigaram as concepções de equação de alunos do Ensino Médio (DORIGO, 2010)

e licenciandos em matemática (STEMPNIAK, 2010). Esses trabalhos colaboraram

com o desenvolvimento das pesquisas de Ribeiro na aproximação de seus resultados

aos das teorias de Ball, culminando no artigo publicado por Ribeiro (2012) em

importante periódico da área da Educação Matemática brasileira. Nesse trabalho o

autor identifica contribuições da abordagem dos diferentes significados do conceito de

equação para desenvolver o conhecimento matemático para o ensino nas categorias

65

Conhecimento Comum do Conteúdo, Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes,

Conhecimento do Conteúdo e do Ensino e Conhecimento Especializado do Conteúdo.

Destacamos que o trabalho de Stempniak (2010) foi a principal base para o citado

artigo. Além de se aproximar das teorias sobre conhecimentos docentes, as pesquisas

desenvolvidas por Ribeiro e seus colaboradores vão ao encontro da Teoria de Perfil

Conceitual de Mortimer (1994), avançando para a já mencionada formulação de um

modelo de Perfil Conceitual de Equação.

Um último trabalho desenvolvido nessa linha ─ a saber, o estudo Oliveira (2014)

─ investigou os conhecimentos mobilizados por professores sobre equações no

momento de preparo de suas aulas. O autor identificou em seus resultados que os

professores colaboradores, sujeitos de sua pesquisa, não se remetiam, ao preparar

suas aulas, à avaliação. Esse ponto nos chamou bastante a atenção, pois

entendemos que a avaliação tem muito a dizer sobre as crenças, as concepções e as

práticas dos professores.

Tendo isso em vista, interessados no conhecimento matemático para o ensino

de equações, levantamos a seguinte questão:

A fim de responder a essa questão, determinamos como objetivo geral de

nossa investigação verificar se os conhecimentos matemáticos docentes

manifestados em processos de reflexão sobre as avaliações elaboradas por

professores dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio abrangem as

diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação. Além desse objetivo geral, são

objetivos específicos desta investigação:

a) Identificar se há manifestação de um maior número de zonas do Perfil

Conceitual de Equação quando há maior diversidade de propostas avaliativas,

de forma geral;

b) compreender como as diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação são

contempladas nas avaliações dos professores participantes desta pesquisa;

c) reconhecer os tipos de Conhecimentos Profissionais Docentes que emergem

quando os professores estão envolvidos em processos de avaliação sobre

equações.

Quais conhecimentos sobre equações os professores dos anos finais do Ensino

Fundamental e Médio manifestam quando refletem sobre avaliações?

66

Assim sendo, para responder a nossa questão e atender a nossos objetivos

geral e específicos, com base no que foi apresentado nesta revisão de literatura,

propomos, na seção que segue, a construção de nosso referencial teórico, o qual está

fortemente apoiado nas ideias de Shulman (1986) e Ball, Thames e Phelps (2008),

bem como no modelo de Perfil Conceitual de Equação. Procuramos considerar ainda

o que a literatura aponta como tendências e necessidades das pesquisas sobre

álgebra e equações.

2.5 Construção de nosso referencial teórico

Tendo em vista os três eixos aqui apresentados e as recentes pesquisas que

têm investigado as intersecções das temáticas abordadas, apresentamos, no Quadro

6, a seguir, as ideias que compõem nosso referencial teórico e que serão usadas como

lentes para analisar as atividades desenvolvidas pelos e com os professores.

Passaremos, de agora em diante, a nos referir a este quadro como Quadro de

Referência.

67

Quadro 6 − O referencial teórico adotado (Quadro de Referência)

Referencial

teórico Principais ideias Utilização neste trabalho

Conhecimento

Matemático para

o Ensino (BALL;

THAMES;

PHELPS, 2008)

Os conhecimentos necessários para o ensino de matemática dividem-se em três domínios

(SHULMAN, 1986): Conhecimento Específico do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do

Conteúdo e Conhecimento Curricular. No trabalho de Ball e seus colaboradores, o

Conhecimento Curricular encontra-se temporariamente alocado no domínio de

Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, que se divide em três subdomínios, a saber:

Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes (KCS), Conhecimento do Conteúdo e do

Ensino (KCT) e Conhecimento do Conteúdo e do Currículo (KCC). Por outro lado, o

Conhecimento Específico do Conteúdo é dividido em: Conhecimento Comum do Conteúdo

(CCK), Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) e Conhecimento do Horizonte do

Conteúdo (HCK).

Os subdomínios do referencial serão

usados para identificar, na fala dos

professores e nas atividades por eles

desenvolvidas, quais conhecimentos

profissionais docentes estão envolvidos nos

processos avaliativos por eles planejados.

Concepções de

Professores de

Matemática

sobre Equações

(ATTORPS,

2003)

Attorps (2003) apresenta algumas concepções alternativas de equação que os professores

por ela investigados demonstraram ter em suas pesquisas. São elas: 1) Identidades, 2)

Equações não Algébricas, 3) Equações com mais de um valor desconhecido, 4) Equações

triviais, 5) Funções e 6) Inequações e expressões.

As ideias de Attorps servem como

parâmetro para identificarmos a forma

como os professores participantes desta

investigação compreendem o conceito de

equação e as ideias alternativas que eles

manifestam.

Perfil Conceitual

de Equação

(RIBEIRO,

2013)

Ribeiro (2013), fundamentado em Mortimer (1994), apresenta cinco zonas para o Perfil

Conceitual de Equação, a saber: pragmática, geométrica, estrutural, processual e

aplicacional. As zonas diferenciam-se pelas maneiras de interpretar as equações e buscar

suas soluções.

As cinco zonas do Perfil Conceitual de

Equação serão usadas para identificar, nas

falas e nas atividades desenvolvidas pelos

professores, os Conhecimentos

Especializados do Conteúdo que eles

manifestam quando estão envolvidos nos

processos avaliativos por eles planejados.

Fonte: Elaborado pelos autores

68

3 METODOLOGIA

Neste capítulo apresentamos as escolhas metodológicas para a investigação

de nossa questão. Porém, antes de explicitar os procedimentos, aproveitamos o

espaço para tecer algumas reflexões sobre a proposta e a contextualização da

pesquisa, que possui cunho qualitativo e interpretativo. Na seção 3.1 tratamos do

desenho metodológico, das etapas da pesquisa bem como das finalidades específicas

de cada uma delas. Na seção 3.2 discorremos sobre os participantes desta pesquisa,

identificados entre as primeiras etapas de construção dos dados, enquanto na seção

3.3 indicamos cada um dos instrumentos utilizados para a construção dos dados. Por

fim, na seção 3.4, expomos nossa proposta de análise dos dados, tendo em vista cada

finalidade particular dos instrumentos e das etapas de nossa coleta de dados, visando

atender aos objetivos geral e específicos enunciados na secção 0.

Frisamos, primeiramente, ainda como uma justificativa para o desenvolvimento

deste trabalho, um resultado de Stylianides e Ball (2004), que se refere a um quadro

teórico para o estudo do conhecimento matemático necessário para o ensino. Os

autores apresentam seis abordagens eficientes para investigar tal conhecimento,

enfatizando, entretanto, que essas abordagens não são únicas ou definitivas. Nas

palavras que emprestam de Simon (2004, p. 78 apud STYLIANIDES; BALL, 2004, p.

32, tradução nossa), “[...] é uma tentativa de criar um modelo útil e gerador de reflexão

sobre os fenômenos em estudo”27. As seis abordagens propostas são apresentadas

com exemplos de materiais e métodos de análise bem como de estudos direcionados

aos conceitos de prova por contraexemplo. Elas eram de interesse particular daquele

trabalho e são brevemente apresentadas abaixo:

(1) Análise de documentos oficiais: consiste na análise de documentos oficiais

ou norteadores das práticas educacionais, a partir de métodos de análises

textuais, a fim de investigar quais as recomendações os formadores de políticas

estão propondo aos professores.

(2) Análise do currículo matemático dos professores: prioritariamente centrada

nas análises dos currículos ─ o que inclui ementas de disciplinas, livros-texto,

entre outros ─, das licenciaturas e dos demais cursos de formação de

professores, esta abordagem permite conhecer quais são as oportunidades dos

27 No original: “[…] it is an attempt to create a model which is useful and generative in thinking about the

phenomena under study.”

69

professores de entrar em contato, durante suas formações, com determinados

tópicos ou assuntos matemáticos.

(3) Análise do conhecimento matemático dos professores: a partir da revisão

de literatura, da observação de situações experimentais ou preparação dos

professores, das sessões de entrevistas e das respostas a questionários, o

objetivo desta abordagem é identificar o que os pesquisadores consideram

importante que os professores de matemática saibam e reconhecer como isso

se manifesta ou não nas falas e nas atividades desses professores, bem como

suas dificuldades, seus entendimentos e seus juízos sobre o conteúdo a ser

ensinado.

(4) Análise do currículo matemático dos alunos (o que deve ser ensinado nas

escolas): centrada no currículo, o que incluí os livros didáticos dos alunos e os

guias de orientação dos professores, esta abordagem investiga as

oportunidades de os alunos estarem em contato ou desenvolverem alguns

conceitos matemáticos, permitindo levantar hipóteses sobre o que o professor

deveria saber sobre determinados conceitos.

(5) Análise do conhecimento matemático dos alunos: a partir de análises de

situações experimentais, entrevistas ou questionários, esta abordagem

investiga o entendimento dos alunos sobre algum conceito matemático,

podendo identificar dificuldades recorrentes dos alunos, a fim de

instrumentalizar o professor para lidar com elas.

(6) Análise da prática escolar matemática: a gravação das aulas, a análise dos

discursos em sala de aula, os trabalhos dos estudantes, entre outros materiais,

revelam o que do currículo e dos conhecimentos dos professores é de fato

mobilizado na sala de aula.

Entendemos que nossa pesquisa se desenvolve prioritariamente conforme a

terceira abordagem, por investigar o conhecimento dos professores sobre o conceito

de equação. Ao mesmo tempo ela figura parcialmente a primeira abordagem, porque,

a fim de olharmos as avaliações desenvolvidas por esses professores, também

atentamos para as macroavaliações, principalmente para propor as atividades dos

encontros, como deixaremos mais claro a seguir. Sendo assim, nossas escolhas

metodológicas pautam-se nas orientações sugeridas pelos autores quanto aos

métodos de pesquisa sugeridos para estas duas abordagens, a saber: situações

70

experimentais de preparação em grupo e sessões de entrevistas, bem como a leitura

e análise dos documentos em questão.

Tendo em vista nosso objeto de pesquisa ─ o conhecimento docente sobre

ensino de equações ─ e nosso principal instrumento de investigação ─ momentos de

reflexão, construção e/ou socialização das avaliações elaboradas por estes

professores ─, escolhemos uma perspectiva qualitativa, a fim de compreendermos

quais conhecimentos sobre equações os professores dos anos finais do Ensino

Fundamental e do Ensino Médio da rede pública demonstram ao planejarem suas

avaliações, sob a ótica de um modelo de Perfil Conceitual de Equação. Quando

falamos em abordagem qualitativa não defendemos a ideia dicotômica da existência

de duas metodologias de pesquisa totalmente distintas (qualitativa e quantitativa),

dentre as quais optamos por uma, pois compreendemos, conforme Esteban (2010),

que essa dicotomia não representa a realidade das pesquisas em educação, que

muitas vezes se desenvolvem por meio da complementaridade ou da combinação dos

métodos.

Contudo, nossa investigação assume o olhar subjetivo e indutivo, orientado

para o processo e para os significados que os participantes da pesquisa dão às

situações. Ele é constituído por dados predominantemente descritivos e, de certa

forma, coletados tal como são desenvolvidos na prática ─ a avaliação que os

professores elaboram, tal como eles a aplicam em suas salas de aula. Com isso,

entendemos que nosso estudo tem características apontadas por muitos autores,

sendo dois deles Ludke e André (2013) e outros dois Cook e Reichardt (1986 apud

ESTEBAN, 2010), representantes dos métodos qualitativos.

3.1 Desenho de nossa pesquisa e de seus aspectos metodológicos

A construção dos dados desta pesquisa foi desenvolvida em três etapas, cada

qual com número de participantes diferente e objetivos próprios. Primeiramente,

elaboramos um questionário de identificação do perfil do professor, disponibilizado na

Internet e divulgado em grupos de professores de matemática em redes sociais. O

intuito dessa divulgação era alcançar o maior número de respostas para, com isso,

fazer um levantamento geral do perfil de formação e atuação profissional e das

atividades avaliativas usualmente realizadas pelos professores participantes. Além de

disponibilizar o questionário na Internet, algumas cópias foram levadas a um evento

71

de formação de professores promovido pela Diretoria de Ensino de Santo André, para

o qual foram convidados um professor de matemática e um coordenador de cada

escola estadual do município.

Ao final do questionário, que será mais bem apresentado na subseção 3.3.1,

perguntamos se o professor teria interesse em participar do desenvolvimento de

outras etapas de nossa pesquisa. Posteriormente ao período de respostas desse

questionário, que se deu entre novembro e dezembro de 2014, entramos em contato,

via e-mail, com os 14 professores que demonstraram interesse em continuar para

agendar uma entrevista individual.

As entrevistas consistiram em um segundo momento de construção de dados,

do qual seis professores participaram. Optamos pela realização de entrevistas

semiestruturadas, as quais se caracterizam pela possibilidade de o entrevistado

discorrer, de maneira mais aberta e ampla, sobre o que lhe fosse perguntado. O uso

de entrevistas é uma estratégia comum nas pesquisas em educação, pois elas

permitem explorar “os pontos de vista de maneiras que não podem ser alcançadas

por outras formas de investigação deste tipo”28 (RIBBINS, 2007, p. 207, tradução

nossa). Isso porque “durante uma entrevista, particularmente do tipo semiestruturada,

você começa a falar com as pessoas a fim de descobrir suas experiências e seus

pensamentos ou seus sentimentos sobre algo em que você está interessado”29

(FYLAN, 2005, p. 65, tradução nossa).

De acordo com Oliveira (2008, p. 12-13), a entrevista semiestruturada

permite não somente a realização de perguntas que são necessárias à pesquisa e não podem ser deixadas de lado, mas também a relativização dessas perguntas, dando liberdade ao entrevistado e a possibilidade de surgir novos questionamentos não previstos pelo pesquisador, o que poderá ocasionar uma melhor compreensão do objeto em questão.

Desenvolvemos um roteiro geral que visava esclarecer aspectos da prática do

professor, especificamente no que se refere à avaliação do conceito de equação bem

como às formas como o professor compreende esse conceito. O momento das

entrevistas foi também usado para esclarecer aspectos do questionário que poderiam

28 No original, “to explore their views in ways that cannot be achieved by other forms of research of this”. 29 No original, “During interviewing, particularly semi-structured interviewing, you get to talk to people in

order to find out about what they have experienced and what they think and feel about something that you are interested in”.

72

ser mais bem explorados; por exemplo, perguntamos de forma bastante ampla no

questionário o que o professor pensa sobre o conhecimento matemático acadêmico e

o escolar, mas durante a entrevista pudemos direcionar a questão para o objetivo

deste trabalho, quer seja, compreender o conhecimento sobre equações dos

professores. As datas foram agendadas, conforme preferência dos entrevistados,

entre março e abril de 2015, e todos os professores que responderam positivamente

ao convite foram entrevistados. As entrevistas foram audiogravadas.

Em virtude de nosso interesse direcionar-se aos processos avaliativos

planejados por esses professores, também acreditamos ser necessário compreender

os significados de avaliação para cada um deles e o modo como esse entendimento

influencia (se influencia) no ensino de equações. Assim sendo, procuramos em todas

as etapas de construção dos dados inserir questionamentos sobre as práticas

avaliativas e sobre as percepções sobre avaliação. Dessa forma, não estamos

interessados apenas em categorizar os tipos de questões, atividades ou práticas

avaliativas dos professores, mas também em debater e propiciar momentos de

reflexão sobre o ensino de equações por meio de encontros, entrevistas e atividades

em conjunto.

Esses encontros e atividades figuram a terceira etapa de construção dos dados,

que se realizou em três momentos distintos e teve participação de três dos seis

professores entrevistados, seguindo um modelo de grupo focal. Como pesquisadores,

estamos interessados em compreender a prática e o conhecimento dos professores,

aprender com eles sobre as possibilidades da realidade escolar e contribuir com novos

olhares e reflexões sobre o conceito de equação, sendo o ambiente do grupo focal

propício para isso.

Entre as características do grupo focal, Gondim (2002, p. 151) destaca:

o moderador de um grupo focal assume uma posição de facilitador do processo de discussão, e sua ênfase está nos processos psicossociais que emergem, ou seja, no jogo de interinfluências da formação de opiniões sobre um determinado tema. Os entrevistadores de grupo pretendem ouvir a opinião de cada um e comparar suas respostas; sendo assim, o seu nível de análise é o indivíduo no grupo. A unidade de análise do grupo focal, no entanto, é o próprio grupo. Se uma opinião é esboçada, mesmo não sendo compartilhada por todos, para efeito de análise e interpretação dos resultados, ela é referida como do grupo.

Gondim (2002) ainda realça que há três modalidades de grupos focais, ditas

exploratória, clínica e vivencial. Nosso trabalho desenvolve a modalidade exploratória;

73

nela os grupos “estão centrados na produção de conteúdos; a sua orientação teórica

está voltada para [...] o desenvolvimento de modelos e teorias, enquanto a prática tem

como alvo a produção de novas ideias” (GONDIM, 2002, p. 152). Isso porque, com

uma perspectiva teórica, pretendemos contribuir para a consolidação do modelo de

Perfil Conceitual de Equação (RIBEIRO, 2013) e, com uma perspectiva prática,

queríamos promover reflexões sobre o conceito de equação e as práticas avaliativas

entre os professores participantes.

Com isso em mente, os encontros foram organizados em três sessões, com

durações que variaram entre uma e duas horas e meia, conforme o andamento das

atividades propostas, eles foram integralmente gravados em áudio. Em um desses

encontros também foi solicitado aos professores que separassem uma de suas

avaliações usadas com suas turmas sobre o conceito de equação para que fossem

trabalhadas no último encontro. Foram elaborados roteiros para o desenvolvimento

das interações; no entanto, como apresentamos a seguir, cada um dos encontros

aconteceu de maneira ligeiramente diferente do esperado.

Ressaltamos, como dissemos no início do capítulo, que as três etapas de

construção dos dados apresentam, além de objetivos próprios, instrumentos e

momentos particulares. Essas características estão sintetizadas no Quadro 7, a

seguir, e relacionadas com os objetivos específicos de nossa pesquisa. Na sequência

passamos a discorrer sobre a construção dos instrumentos de pesquisa.

74

Quadro 7 − Desenho metodológico da pesquisa

Objetivos da pesquisa

Métodos/ Instrumentos

Finalidades do Instrumento Momentos

1. Identificação

a) Identificar se há manifestação de um maior número de zonas do Perfil Conceitual de Equação quando há maior diversidade de propostas avaliativas, de forma geral.

Questionário /

Formulário online e impresso

• Identificar os participantes da pesquisa; • Conferir as práticas avaliativas comuns; • Inferir os elementos que influenciam as práticas avaliativas.

Individual e descritivo

2. Aprofunda-

mento

b) Compreender como as diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação são contempladas nas avaliações dos professores participantes desta pesquisa; c) Reconhecer os tipos de Conhecimentos Profissionais Docentes que emergem quando os professores estão envolvidos em processos de avaliação sobre equações.

Entrevistas semiestruturadas

/ Roteiro

personalizado

• Mapear as zonas do Perfil Conceitual de Equação manifestadas na fala dos professores; • Esclarecer aspectos que influenciam as práticas avaliativas levantados no questionário.

Interativo (contato com

a pesquisadora)

e narrativo

3. Formação

a) Identificar se há manifestação de um maior número de zonas do Perfil Conceitual de Equação quando há maior diversidade de propostas avaliativas, de forma geral. b) Compreender como as diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação são contempladas nas avaliações dos professores participantes desta pesquisa; c) Reconhecer os tipos de Conhecimentos Profissionais Docentes que emergem quando os professores estão envolvidos em processos de avaliação sobre equações.

Grupos focais /

Roteiros para os quatro encontros

• Promover reflexões sobre o conceito de equação por meio de atividades exploratórias; • Discutir avaliação de equações; • Debater atividades avaliativas; • Identificar se há relações entre as atividades avaliativas e a zonas de perfil conceitual de equação.

Interativo (contato com

o grupo) e reflexivo

75

3.2 Participantes da pesquisa

O primeiro contato com os professores seu deu por meio do questionário na

primeira etapa de identificação. Obtivemos 21 respostas entre o preenchimento online

e o evento na Secretaria de Ensino. Nesse primeiro momento, optamos por nos referir

aos professores como P1, P2, P3 ... P21. Nesta subseção, apresentamos brevemente

uma caracterização desses professores, expondo os aspectos que mais nos

chamaram atenção no conjunto dos dados ─ para uma ilustração completa dos dados

de perfil dessa primeira etapa, ver o Apêndice A.

A média de idades dos participantes é de 37 anos, tendo 20 anos o professor

mais novo (P16) e 56 anos o mais velho (P2). Apenas uma professora não tem

Licenciatura em Matemática, trata-se de P14, engenheira química; dentre os demais,

sete professores possuem mais do que uma formação. Quanto à atuação profissional,

um professor (P20) que respondeu ao questionário não atua mais em sala de aula.

Todos os demais são regentes, mas 5 deles também atuam como professores

auxiliares, sendo um destes também professor eventual. Seis professores lecionam

há até três anos, 4 têm entre 4 e 10 anos de vivência como docentes, 10 possuem

entre 11 e 20 anos, e um 21 anos ou mais. Dois dos professores não têm experiência

em instituições públicas de ensino, enquanto, dentre os demais, 17 trabalham ou já

trabalharam na rede estadual.

Nove dos professores lecionavam, na ocasião, tanto no Ensino Fundamental

quanto no Médio. Outros 8 lecionavam apenas no Ensino Fundamental e 4 somente

no Ensino Médio. Quanto à participação em modalidades de formação continuada, 1

professor relata não ter participado de nenhum “tipo” de formação continuada, 17

afirmam ter participado de palestras, 15 de cursos de especialização, 11 de oficinas

ou minicursos, 10 de congressos, eventos ou encontros, 8 de projetos de extensão, 4

de grupos de pesquisa e 1 de curso de mestrado. Com relação ao perfil avaliativo dos

professores, todos contam usar provas escritas e considerar a participação em sala

de aula; um não utiliza trabalhos em sala de aula; cinco não usam trabalhos em casa

para avaliar. Seis professores dizem usar prova oral para avaliação, quatro

mencionam fazer uso de seminários e um professor afirma usar simulados e redações

para avaliar o conteúdo matemático também.

Desses 22 professores, 14 manifestaram interesse em continuar nas próximas

etapas da pesquisa, sendo 9 do gênero feminino e 5 do gênero masculino. Dentre

76

eles, a professora graduada em engenharia química e outros 5 que possuem mais do

que uma graduação. A média de idade sobe para 39 anos, tendo os mais novos 26

anos (P7 e P20) e o mais velho 56. Todos os professores têm experiência na rede

pública e apenas um não lecionou na rede estadual. Seis professores lecionam tanto

no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, 5 lecionam exclusivamente no

Ensino Médio e 3 apenas no Ensino Fundamental.

3.3 Instrumentos

Passamos a discorrer sobre os instrumentos usados em cada etapa de nossa

pesquisa, a saber, o questionário de identificação, os roteiros para as entrevistas e os

roteiros para os encontros.

3.3.1 Questionário de Identificação

O questionário é constituído por três páginas de um formulário online,

elaborado por uma ferramenta do Google. A primeira página faz uma apresentação

da pesquisa e dos objetivos do questionário, iniciando com questões sobre o perfil de

formação e atuação do professor. As primeiras perguntas ─ quer sejam, nome, sexo

e idade ─ têm por finalidade identificar o professor no caso de ele participar das

etapas posteriores da pesquisa. Além disso, acreditávamos, no momento de

elaboração desse questionário, que a informação idade poderia dar indícios sobre a

época de formação na educação básica desses professores, o que, sabemos, pode

influenciar em sua prática como professor.

A seguir, perguntamos sobre o ano e o curso de formação, bem como sobre a

modalidade da instituição de graduação e a participação em modalidades de formação

continuada. Com essas perguntas pretendíamos delinear um perfil de formação dos

professores participantes, que poderia vir a ser relevante no momento das análises

das interações entre o grupo. Na sequência, questionamos sobre o cargo e o tempo

de atuação em sala de aula, a jornada de trabalho, os anos para os quais leciona e as

redes de ensino nas quais trabalha, a fim de identificar um perfil de atuação

profissional dos participantes. Além disso, há também uma última pergunta nessa

etapa, referente aos intrumentos que costumam ser usados pelo professor para

avaliar seus alunos, tendo entre as opções prova escrita, prova oral, trabalhos em

sala, trabalhos em casa, seminários, participação em sala de aula, lição de casa ou

77

outros. Essa pergunta alinha-se a nosso instrumento de investigação e ajuda-nos a

pensar em um de nossos objetivos específicos, que é reconhecer se diferentes

abordagens avaliativas promovem diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação.

Algumas questões desse primeiro bloco ─ caracterizado por informações de

vida pessoal, formação e atuação profissional ─ inicialmente tinham a função de

critérios de seleção, caso o número de professores que respondesse ao questionário

e tivessem interesse em continuar a participar da pesquisa fosse muito grande.

Buscávamos formar um grupo com professores licenciados tanto em matemática

quanto em outras áreas. Ademais, como interessamo-nos pelas avaliações

elaboradas pelos professores, priorizamos os professores regentes. Por fim,

consideramos os anos para os quais lecionam, pois estávamos a procura de

professores que atuassem nos anos finais do Ensino Fundamental e/ou no Ensino

Médio. A pergunta sobre os intrumentos usados para avaliar os alunos figuraria

também como critério, pois nossa intenção era buscar um grupo heterogêneo, que

pudesse trocar experiências e práticas avaliativas.

A etapa final do questionário, antes de prosseguir para a segunda página,

solicita que o professor marque seu grau de concordância com as seis afirmações,

que apresentamos no Quadro . O professor deveria escolher de 1 a 5, considerando

1 como “discordo totalmente” e 5 como “concordo totalmente”. Caso desejasse, o

docente tinha disponível um campo para comentários e observações após cada uma

das afirmações.

Quadro 8 − Afirmações presentes no Questionário de Identificação.

1. Eu acredito que a matemática que ensino na escola básica deve ter os mesmos

objetivos da matemática acadêmica.

2. Eu acredito que os conceitos matemáticos são bem definidos em si mesmos.

3. Em minha escola eu tenho total liberdade para trabalhar os conteúdos matemáticos

conforme minhas preferências.

4. Em minha escola eu tenho total liberdade para elaborar minhas avaliaçãos

conforme minhas preferências.

5. Eu costumo avaliar meus alunos sempre usando os mesmos instrumentos.

6. Eu acredito que a escolha de instrumentos usados para a avaliação não interfere

na maneira como o esudante compreende os conceitos avaliados.

Fonte: Elaborado pelos autores.

78

As duas primeiras afirmações buscam informações sobre as crenças e as

concepções do professor acerca do que é a matemática e das particularidades da

matemática escolar. Conforme Ball (1988, p. 18, tradução nossa), “as concepções dos

licenciandos sobre a natureza do conhecimento matemático e o significado de

conhecer algo em matemática determinam os limites do que eles consideravam como

resposta em todas as perguntas da entrevista”30.

Com relação especificamente ao conhecimento matemático sobre equações,

tendo em vista o modelo de Perfil Conceitual de Equação, sabemos que algumas das

zonas de perfil podem adquirir significados mais amplos ou particulares no ambiente

escolar, promovendo até mesmo zonas diferentes das do ambiente acadêmico. É para

verificar se há um reconhecimento de mudança de contexto e, portanto, de alteração

de manifestação das zonas que escolhemos a afirmação 1, a qual também foi

retomada durante as entrevistas na segunda etapa. A afirmação 2, complementando,

abre espaço para a discussão de conceitos matemáticos como polissêmicos, que

seria mais bem explorada nos encontros presenciais, na terceira etapa de construção

dos dados.

As afirmações 3 e 4 pretendiam identificar se em seu local de trabalho o

professor recebe algum direcionamento ou se tem alguma obrigatoriedade tanto na

escolha dos conteúdos abordados quanto em suas escolhas por atividades

avaliativas. Julgamos importante ter essa informação, pois a ocorrência ou não de

alguma zona de Perfil Conceitual de Equação pode estar condicionada à organização

da própria escola, indo além das escolhas dos professores. A afirmação 4 também foi

considerada no roteiro das entrevistas.

Por fim, as afirmações 5 e 6 versam especificamente sobre as práticas e as

crenças em torno da avaliação. Com elas podemos inferir sobre a variedade de

instrumentos avaliativos ─ afirmação 5 ─ e sobre a importância de alternar ou usar

instrumentos diversificados ─ afirmação 6. Quanto a esta última, é siginificativo

ressaltar que só foi possível compreender se e como os professores entendem o valor

de diversificar os intrumentos avaliativos, de fato, ao inserirmos esta pergunta no

roteiro das entrevistas também.

30 No original: “The prospective teachers’ assumptions about the nature of mathematical knowledge and

what it means to know something in mathematics formed the boundaries of what they consider to be a response on all of the interview questions”.

79

Para finalizar o questionário, ao submeter as respostas da primeira página, o

professor é direcionado para a próxima, que consiste na apresentação mais detalhada

dos objetivos desta pequisa ─ no caso da versão impressa, essa parte encontra-se

na página seguinte à folha com as afirmações ─ e na consulta do interesse do

professor em participar das etapas futuras da investigação. Em caso afirmativo, ele é

direcionado à ultima página do questionário, na qual é solicitado seu e-mail.

3.3.2 Entrevistas

O roteiro para a condução das entrevistas estrutura-se em sete perguntas,

sendo quatro delas iguais para todos os entrevistados. Estas tratam do conceito de

equação, que não fora explorado no questionário. As últimas três são referentes ao

grau de concordância com as afirmações 1, 4 e 6 do questionário e são personalizadas

de acordo com o que cada professor manifestou naquele momento. Na elaboração

desse roteiro, pensamos previamente em cada questão já lhe atribuindo um objetivo

principal dentro de nossa pesquisa, bem como um viés teórico para a análise das

respostas, conforme nosso referencial anteriormente discutido. As questões, os

objetivos e as categorias de análise estão apresentados no Quadro .

Quadro 9 − Roteiro para condução das entrevistas semiestruturadas, com os objetivos e os referenciais para análise

Q1. Você acha que equação é um tema importante a ser trabalhado nas escolas? (Por

quê?)

Objetivo. Ampliar as informações sobre como o professor compreende equação,

comparando com as afirmativas 1 e 2 do questionário.

Análise. Perfil Conceitual de Equação e Cruzamento de dados (entrevista +

questionário)

Q2. Como você trabalha o conceito de equação com seus alunos? (Como explica o que

é equação?)

Objetivo. Verificar o entendimento do professor sobre equação e o modo como

trabalha esse conteúdo na escola.

Análise. Perfil Conceitual de Equação.

80

Q3. Como o conceito de equação se relaciona com os demais conceitos matemáticos?

Objetivo. Ampliar as informações sobre como o professor compreende equação,

comparando com a afirmativa 2 do questionário.

Análise. Perfil Conceitual de Equação e Conhecimento do Conteúdo e do Ensino.

Q4. Você acredita que a forma como o currículo é organizado permite que essas

relações sejam construídas pelos alunos?

Objetivo. Verificar o conhecimento do professor sobre o currículo e a análise que ele

faz deste, com relação ao conteúdo de equações.

Análise. Conhecimento do Conteúdo e do Currículo.

Q5. No questionário, você disse (concordar totalmente/concordar

parcialmente/discordar/etc.) com a afirmação: “Em minha escola tenho total liberdade

para elaborar minhas avaliações conforme minhas preferências” e selecionou

(prova/trabalhos/etc.) como instrumentos avaliativos. Como você costuma avaliar sua

turma quanto ao conteúdo de equações?

Objetivo. Identificar as atividades avaliativas usadas pelo professor ao trabalhar o

conceito de equação.

Análise. Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes.

Q6. No questionário você disse (concordar totalmente/concordar

parcialmente/discordar/etc.) que a escolha de instrumentos avaliativos não interfere na

maneira como o estudante compreende os conceitos avaliados. Que aspectos você

julga que mais influenciam na maneira como o estudante compreende os conceitos,

em particular, de equação?

Objetivo. Identificar os elementos que o professor julga influenciar o ensino de

equações.

Análise. Conhecimento do Conteúdo e do Ensino.

81

Q7. No questionário você disse (concordar totalmente/concordar

parcialmente/discordar/etc.) que a matemática que ensina na escola básica deve ter os

mesmos objetivos da matemática acadêmica. Quais são as diferenças entre esses dois

objetivos? Como eles influenciam sua prática?

Objetivo. Identificar os elementos que o professor julga influenciar o ensino de

equações.

Análise. Conhecimento Especializado do Conteúdo.

Fonte: Elaborado pelos autores.

O conceito de equação é explorado principalmente nas quatro primeiras

questões; entretanto, o modelo de Perfil Conceitual de Equação é tido como principal

referencial de análise apenas das três primeiras, uma vez que a questão 4 trata do

conhecimento do professor sobre o currículo e toma, portanto, como referencial de

análise o aporte teórico do Conhecimento Matemático para o Ensino, como as demais.

Com a questão 3 pretendíamos, além de constituir o Perfil Conceitual de Equação,

mobilizar a categoria Conhecimento do Conteúdo e do Ensino. Com a questão 4,

enfocamos o Conhecimento do Conteúdo e do Currículo; com a 5, o Conhecimento

do Conteúdo e dos Estudantes; com a questão 6, o Conhecimento do Conteúdo e do

Ensino novamente; e, por fim, com a questão 7, o Conhecimento Especializado do

Conteúdo.

Como afirmado anteriormente, as entrevistas foram agendadas com os

participantes conforme sua preferência e tiveram duração média de 30 minutos. A

todos os participantes foi entregue um termo de Livre Consentimento, no qual estava

assegurado seu anonimato e explicitados seus direitos, como o de retirar o

consentimento do uso de seus dados a qualquer momento durante o desenvolvimento

da pesquisa ou solicitar quaisquer informações adicionais a qualquer momento. Os

participantes tiveram a liberdade de assinar o termo apenas após a realização da

entrevista, no caso de estarem de acordo com sua condução. Foi-lhes explicado, em

termos gerais, como seria conduzida a entrevista e a temática de nossa pesquisa,

agradecendo por sua disponibilidade em colaborar com ela.

82

3.3.3 Encontros

Para o desenvolvimento dos encontros, elaboramos roteiros com propostas de

atividades. Para cada uma das atividades elencamos um objetivo e, para as atividades

que previam a produção de algum material ─ como frases, quadros, preenchimento

de formulários, entre outros ─ também identificamos um referencial de análise. Os

encontros aconteceram na Universidade Federal do ABC, na sala 006-0, no térreo do

bloco A, em três sábados, entre os meses de maio, junho e julho. Cada encontro foi

pensado em torno de uma temática central e planejado sempre após a execução do

encontro anterior. Apenas no Encontro 3 um dos três professores não pôde estar

presente, tendo, portanto, esse encontro se desenvolvido com apenas dois deles.

3.3.3.1 1º Encontro: descobrindo o território

O primeiro encontro foi o primeiro momento em que os três professores

interagiram uns com os outros. Com isso em mente, as atividades propostas previam

um momento de apresentação com uma dinâmica inicial, seguido de momentos de

reflexão individual e, ao final, coletiva sobre o conceito de equação. Foram

inicialmente previstas cinco atividades para serem desenvolvidas neste encontro,

dentre as quais quatro foram de fato aplicadas. As discussões sobre avaliações

giraram principalmente em torno da Atividade 2.1, em que foram apresentadas

questões de macroavaliações para os professores relacionarem com o conceito de

equação. Posteriormente, os professores foram convidados a refletir se usariam

aquelas questões em suas avaliações com suas turmas. O Quadro apresenta a

descrição das atividades e os objetivos a elas relacionados.

Quadro 10 − Atividades desenvolvidas no primeiro encontro

Atividade 0.1 - Dinâmica de apresentação (15−20 min)

Cada professor se apresenta, dizendo seu nome, tempo de atuação, séries para as

quais leciona e uma palavra relacionada ao conceito de equação, que será colocada

na lousa. São feitas cinco rodadas de escolhas de palavras e, ao final da dinâmica,

teremos um quadro de palavras relacionadas ao conceito de equação que será

fotografado.

Objetivo: Levantar ideias iniciais sobre equação.

83

Atividade 1.1 – O que é equação? (20 min)

Com pelo menos cinco palavras da lousa, cada professor deve formular frases ou

pequenos parágrafos iniciados por “Equação é...”, “Equação serve para...”, “Eu uso

equação quando...”. As sentenças serão lidas e buscaremos semelhanças e diferenças

entre os pontos levantados.

Objetivo: Verificar concepções de equação presentes nos integrantes do grupo e

possibilitar o contato com outras concepções.

Análise. Perfil Conceitual de Equação.

Atividade 2.1 – Equação aparece em... (40 min)

Serão apresentadas oito questões de macroavaliações para os professores, que

devem classificar de 0 a 5 o quanto tais questões estão relacionadas com o conceito

de equação, sendo 0 menos relacionado e 5 mais relacionado. As questões foram

selecionadas buscando relações com as zonas do Perfil Conceitual de Equação.

Objetivo: Identificar se os professores associam mais claramente algumas zonas do

perfil conceitual de equação do que outras.

Análise. Perfil Conceitual de Equação.

Atividade 3.1 - Construindo uma concepção do grupo (30 min)

O grupo todo deve classificar as questões apresentadas anteriormente quanto a: a.

objetivos, b. conceitos matemáticos envolvidos e c. aproximação com o conceito de

equação, a partir das respostas dadas na atividade anterior.

Objetivo: Verificar como os professores respondem aos argumentos uns dos outros no

momento de encontrar uma concepção única para o grupo.

Fonte: Elaborado pelos autores.

3.3.3.2 2º Encontro: definições e finalidades

O segundo encontro aconteceu duas semanas após o primeiro, contou com a

participação dos três professores e foi, dentre os três, aquele no qual o planejamento

inicial ficou mais distante das atividades efetivamente desenvolvidas. Isso porque

havíamos planejado uma sequência de seis atividades para serem desenvolvidas,

mas durante a realização da Atividade 2.2, que pedia para que os professores

julgassem algumas definições de equação, houve muita discussão e produção de

diversos dados acerca da manifestação de diferentes zonas do Perfil Conceitual de

Equação e, principalmente, das concepções de Equações, convergindo para os

84

resultados encontrados por Attorps (2003). Devido ao prolongamento das discussões

na Atividade 2.2, pouco se discutiu sobre as práticas avaliativas dos professores,

levando-nos a repensar as atividades do terceiro e último momento em conjunto, no

qual a avaliação tomaria papel central.

Neste segundo encontro também solicitamos aos professores que separassem

uma atividade avaliativa sobre equações que tivessem aplicado com alguma de suas

turmas e que a levassem para o encontro seguinte. No Quadro apresentamos as

atividades planejadas, bem como aquelas que foram efetivamente desenvolvidas na

ocasião.

Quadro 11 − Atividades planejadas/desenvolvidas no segundo encontro

Atividade 1.2 – Isso é uma equação? (15 min)

Apresentar algumas expressões e igualdades matemáticas e pedir para cada professor

dizer se é ou não uma equação.

Atividade 2.2 – Definindo equação. (20 min)

Apresentar algumas definições de equações e pedir para cada um dizer se concorda ou

discorda delas. Caso discorde, deve-se corrigi-las (atividade em trio). As correções devem

ser compartilhadas, a fim de construir uma definição única do grupo.

Atividade 3.2 – Isso é uma equação? (II) (10 min) - Parcialmente realizada

Verificar as classificações feitas na Atividade 0 e ver se estão de acordo com a definição

formulada na Atividade 3. Apresentar novas expressões ou igualdades para serem

classificadas.

Atividade 4.2 - Equação é igual em qualquer lugar? E é sempre a mesma coisa? (5−8 min)

- Não realizada

Discutir se a definição de equação construída na Atividade 2 é escolar ou se abarca outras

áreas da matemática.

Atividade 5.2 – Avaliar o conceito de equação. - Não realizada

Discutir quais são os elementos chaves no momento de avaliar como os estudantes

compreenderam equação. O que é importante avaliar?

Atividade 6.2 – Retomando os objetivos da atividade do encontro anterior. Como eles

conversam com a ideia de avaliar o conceito de equação? - Repassada para o terceiro

encontro

85

De acordo com os objetivos e os conceitos listados na Atividade 3 do primeiro encontro,

retomar os instrumentos avaliativos que cada professor disse usar e pedir para que cada

um relate como esses objetivos e conceitos são compreendidos ali.

Fonte: Elaborado pelos autores.

3.3.3.3 3º Encontro: refletindo sobre a avaliação

O terceiro encontro realizou-se três semanas após o segundo e contou com a

participação de dois dos três professores. O planejamento desse encontro priorizou

as discussões sobre os processos avaliativos dos professores e foi estruturado em

cinco atividades. No entanto, durante a realização da Atividade 2.3 ─ a qual solicitava

que fosse elaborada uma avaliação ─ os professores se posicionaram contrários a

proposta da atividade, como discutiremos em nossas análises. Devido a isso, apesar

de a Atividade 2.3 ter sido parcialmente realizada, esta deu lugar a uma produtiva

discussão sobre aspectos relevantes a respeito da avaliação. As atividades

elaboradas pelos professores, solicitadas no encontro anterior, foram entregues e

serão usadas na composição final das análises. As atividades do terceiro encontro

estão abaixo descritas, no Quadro .

Quadro 12 − Atividades planejadas/desenvolvidas no terceiro encontro

Atividade 0.3 - Verificando a definição (10 min)

Discutir no grupo as definições apresentadas na Atividade 2.2. Elencar os tipos de

equações que já foram vistos (logarítmica, polinomial, matricial, diferencial, etc.), escolher

um deles para a atividade seguinte.

Atividade 1.3 – Elementos da avaliação. (20 min)

Discutir quais são os elementos chaves no momento de avaliar como os estudantes

compreenderam equação. O que é importante avaliar?

Atividade 2.3 – Elaborar atividades avaliativas (25−30 min) - Parcialmente realizada

Cada professor deve elaborar individualmente duas atividades para avaliar o tipo de

equação escolhido na atividade anterior.

Atividade 3.3 – Retomar o quadro de objetivos e conceitos (30 min)

Levar aos participantes uma primeira análise dos objetivos listados por eles no quadro

elaborado na atividade 3 do primeiro encontro e apresentar nossas categorizações

86

daquelas questões, suscitando uma discussão sobre os objetivos da avaliação e a relação

do conceito avaliado com o objetivo da questão proposta.

Fonte: Elaborado pelos autores

3.4 Considerações para a análise

Tendo em vista as múltiplas naturezas dos dados construídos ao longo das três

etapas, bem como os objetivos específicos de cada uma destas, passamos a

apresentar nossa proposta para a análise, desenvolvida no Capítulo 4. A princípio,

fazemos uma análise mais descritiva dos dados encontrados na Etapa 1,

Identificação, no que tange às respostas dadas pelos professores sobre as afirmações

apresentadas no Quadro . Nesse primeiro momento, continuaremos referindo-nos aos

professores pela numeração P1 ... P21, conforme apresentado na subseção 3.2 e no

Apêndice A. Ao final dessas análises, temos a intenção de fazer uma primeira

caracterização das atividades avaliativas mais usadas pelos professores, bem como

de suas justificativas e visões sobre este processo, como apresentamos na Erro!

onte de referência não encontrada.. Temos ainda a intenção de levantar alguns

elementos que nos ajudem a atender aos objetivos específicos a, relacionar os

diversos instrumentos avaliativos com as zonas do Perfil Conceitual de Equação, e c,

verificar os tipos de conhecimentos profissionais docentes que emergem na reflexão

sobre os processos avaliativos.

Acerca dos dados da Etapa 2, Aprofundamento, propomos a análise das seis

entrevistas realizadas em duas estruturas, as quais chamaremos Horizontal e Vertical.

Entendemos que a análise Vertical nos possibilitaria identificar as particularidades de

cada professor participante das três etapas, enquanto a Horizontal permitiria traçar

um panorama de convergências e divergências quanto às zonas do Perfil dos seis

professores entrevistados. Procuramos, com cada modalidade de análise, atender às

finalidades do instrumento, bem como aos objetivos b, compreender se e como as

diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação são contemplados nas avaliações,

e c de nossa pesquisa.

Por fim, quanto a Etapa 3, Formação, nossas análises estruturam-se tanto nos

discursos promovidos durante as discussões e as realizações das atividades quanto

nas próprias atividades desenvolvidas e nas avaliações entregues. Com essa etapa,

87

temos a intenção de coletar mais informações para atender a nossos três objetivos

específicos e, finalmente, conseguir responder nossa questão de pesquisa.

88

89

4 DADOS E ANÁLISES

Neste capítulo expomos concomitantemente os dados construídos nas três

etapas da pesquisa e nossas análises, desenvolvidas à luz de nosso Quadro de

Referência, conforme explicitado na seção anterior. Sendo assim, as seções 4.1, 4.2

e 4.3 apresentam, respectivamente, os dados e as análises obtidos com os

instrumentos Questionário, Entrevistas e Encontros. Na seção 4.4, por fim, indicamos

duas propostas de avaliação elaboradas pelos professores participantes. Ao final de

cada secção buscamos apresentar sínteses de nossas análises, com a intenção de

fazer um fechamento destas e direcionar a resposta a nossa questão inicial.

4.1 Questionário

Com relação às afirmações apresentadas no Quadro ─ inserido no capítulo

anterior, quando apresentamos o Questionário ─ a

90

Tabela , a seguir, mostra quantos professores assinalaram cada uma das

alternativas, que variavam de 1 a 5, indicando seu grau de concordância com o que

estava dito. Lembramos que, após assinalar o grau de concordância, era facultado ao

professor tecer comentários sobre a afirmação. Apresentaremos todos os comentários

nos Quadros 13 a 17, mais adiante.

91

Tabela 1 − Respostas às afirmações apresentadas no Questionário de Identificação

Afirmação / Alternativa

1

Discordo

totalmente

2 3 4

5

Concordo

totalmente

Média

1. Eu acredito que a matemática que ensino

na escola básica deve ter os mesmos

objetivos da matemática acadêmica.

5 2 10 4 0 2,62

2. Eu acredito que os conceitos matemáticos

são bem definidos em si mesmos. 1 7 9 3 1 2,81

3. Em minha escola eu tenho total liberdade

para trabalhar os conteúdos matemáticos

conforme minhas preferências.

1 0 9 7 4 3,62

4. Em minha escola eu tenho total liberdade

para elaborar minhas avaliações conforme

minhas preferências.

1 1 2 4 13 4,28

5. Eu costumo avaliar meus alunos sempre

usando os mesmos instrumentos. 8 5 5 2 1 2,19

6. Eu acredito que a escolha de

instrumentos usados para a avaliação não

interfere na maneira como o estudante

compreende os conceitos avaliados.

7 5 6 1 2 2,33

Fonte: Elaborado pelos autores.

Com base na última coluna, podemos perceber que as afirmações com menor

e maior concordância, respectivamente, foram a 5 e a 4. Esse resultado nos indica

que a maioria dos professores, incluindo aqueles que participaram das outras fases

desta pesquisa, tem liberdade para elaborar seus instrumentos avaliativos em suas

escolas, o que responde a uma indagação inicial nossa sobre a influência da

organização escolar na escolha desses instrumentos. Com isso, passamos a

considerar que a eleição dos instrumentos está muito mais relacionada às escolhas

do próprio professor do que às da instituição em que ele se encontra.

O fato de a afirmação 5 apresentar maior discordância também nos indica que

os professores, de forma geral, buscam diversificar seus instrumentos avaliativos, o

que também pode ser inferido pelos comentários deixados por seis dos professores

na sequência dessa afirmação. Esses comentários, bem como os dois deixados após

a afirmação 4, estão apresentados no

92

Quadro , a seguir, estando identificada, entre parênteses, a alternativa do grau

de concordância escolhida pelo professor para a afirmativa ─ entre 1 e 5. Destacamos

que, uma vez que o Questionário foi respondido virtualmente pela maioria dos

participantes, extraímos os comentários exatamente como foram recebidos em nosso

banco de dados, ou seja, não fizemos nenhuma correção com relação a eventuais

erros de digitação ou pontuações faltantes.

Quadro 6 − Comentários inseridos após as afirmações 4 e 5

Afirmação 4: Em minha escola eu tenho total liberdade para elaborar minhas avaliações

conforme minhas preferências.

P14: Com acompanhamento do professor

coordenador, que nos dá liberdade de

sugerirmos formas de avaliação. (5)

P20: Mesmo comentário anterior e, ainda,

produzo avaliações do Sistema de Ensino.

Logo, o que cada escola toma como avaliação

é responsabilidade dela. (1)

Afirmação 5: Eu costumo avaliar meus alunos sempre usando os mesmos instrumentos.

P2: Cada bimestre exige metodos

diferenciados de avaliaçao (1)

P4: Mudo os instrumentos de avaliações

constantemente. (2)

P8: Tento variar os instrumentos de avaliação,

procuro sempre dar uma prova escrita pois os

alunos serão cobrados dessa forma, mas

também avalio trabalho em grupo, seminário,

participação, compromisso na entrega de

trabalhos. (1)

P14: Procuro inovar com praticas que

aprendo. (4)

P19: O único instrumento que sempre uso é a

avaliação escrita. (2)

P20: Falso, visto minha resposta quando

estava em sala de aula e marquei diversos

tipos de avaliações. (1)

Fonte: Elaborado pelos autores a partir dos dados coletados no Questionário de Identificação.

Percebemos que mesmo P14, que disse concordar com a afirmação ─

atribuindo 4, em uma escala de 5 ─, também assinala que procura inovar com as

práticas que aprende. A justificativa da maior parte dos professores apesentada nessa

questão retoma o que foi respondido anteriormente, quando indicaram os

instrumentos avaliativos que costumam utilizar.

Quanto às afirmações 1 e 2, tínhamos interesse em identificar se os

professores reconheciam diferentes contextos ─ matemática acadêmica e escolar ─

e se identificavam os conceitos matemáticos como possivelmente polissêmicos. A

esse respeito, as opiniões pareceram se dividir. A maioria dos professores ─ 10 na

afirmação 1 e 9 na afirmação 2 ─ escolheu a opção 3, que indica neutralidade, ou

seja, que assinala que os professores não concordam com as colocações nem

discordam delas.

93

Os comentários deixados após a afirmação 1 são postos no Quadro 14 e

parecem indicar uma percepção de que há uma diferença entre a matemática

ensinada nas universidades e nas escolas, a qual deveria ser minimizada. Foi frisado

que a matemática acadêmica é “a verdade” e a matemática escolar uma aproximação

desta, como será visto na exposição de P20. Em outras justificativas, como em P3 e

P14, a formalização é tida uma característica da matemática acadêmica que deve ser

comunicada à matemática escolar, pois faz parte do processo do desenvolvimento do

conhecimento matemático, sendo este, em nossa opinião, mais um exemplo de que,

na concepção desses professores, é a matemática acadêmica que norteia o que deve

ser ensinado nas escolas. Já nas exposições de P6 e P8, há uma clara referência ao

sistema de ensino para justificar as diferenças e a distância entre as duas

matemáticas.

Nós acreditamos, conforme Moreira e David (2003), que a matemática escolar

é formada por uma tensão entre os interesses da escola e o conhecimento matemático

desenvolvido pela academia, produzindo, portanto, um novo saber próprio para o

ensino. Nas justificativas apresentadas no Quadro , porém, os professores parecem

atribuir, como indicado, ao conhecimento matemático acadêmico a verdadeira

essência da matemática, assim, a matemática escolar é apenas uma transposição

desse conhecimento e deve se aproximar o máximo possível dele.

Quadro 7 − Comentários inseridos após a afirmação 1

Afirmação 1: Eu acredito que a matemática que ensino na escola básica deve ter os

mesmos objetivos da matemática acadêmica.

O rigor matematico nao pode ser ignorado, pois trabalho com topicos que nescessitam muitos

pre requisitos, por exemplo, alguns calculos de seno e cosseno envolvem fraçoes, radiciaçao,

regras de sinais, ordem de operaçoes a serem solucionadas, etc. Nao se pode abolir a

formalizaçao matematica em nome dos calculos mentais, ou sob a alegaçao de que todos tem

acesso a calculadoras e computadores. (4)

Acredito que deva seguir mas ser tratada de

forma diferenciada da qual está sendo

utilizada atualmente. (3)

Para isso acontecer teria que mudar muita

coisa, não podemos forçar uma aluno que não

tem aptidão para área de exatas a estudar

conteúdos que só aparecem na graduação de

matemática. (1)

Não concordo, mas também não discordo.

Temos que passar por formalizações, pois faz

parte do cognitivo. Porém devemos nos

preparar para desafios onde a criatividade do

professor no ensino deve superar as

exigências acadêmicas pura e simplesmente

colocadas em curriculum anual. (3)

Não posso ensinar mentiras, mas não há

necessidade de se omitir toda a verdade. (3)

94

Fonte: Elaborado por nós a partir dos dados coletados no Questionário de Identificação.

Os professores parecem concordar que, para que os conceitos matemáticos

sejam bem definidos, o professor precisa desenvolver suas definições com os

estudantes. Em outras palavras, eles indicam que os conceitos só serão bem definidos

em si mesmos se os professores forem capazes de, mais do que enunciar a definição,

fazer-se entender perante a diversidade da sala de aula. Uma das sugestões é

trabalhar com as demonstrações ─ P2 e P6 mencionam essa abordagem ─ outra é

diversificar as metodologias ─como indicado por P14 ─, por exemplo, relacionando os

conteúdos com as realidades dos estudantes, conforme assinala P8.

Apesar de defenderem que as distâncias entre a matemática escolar e

acadêmica devem ser minimizadas, os professores reconhecem que a matemática

escolar não se limita à exposição de definições e demonstrações de teoremas ou

corolários. Eles reconhecem que as metodologias e os diferentes contextos podem

favorecer a aprendizagem e melhor promover o ensino de diferentes conceitos

matemáticos. Para nós, parecem perceber que, para ensinar matemática, não basta

conhecer as definições, é preciso que os alunos os apreendam o conteúdo trabalhado,

conforme assinalado acima, e, para isso, abordar os conceitos de diferentes

perspectivas pode ser uma boa estratégia. Essa compreensão, em nosso

entendimento, é bastante significativa, pois vem ao encontro da ideia de que os

conceitos matemáticos podem ser reconhecidos como polissêmicos e mais bem

compreendidos se, em diferentes contextos, sinalizarmos diferentes maneiras de

concebê-los, convergindo para a proposta do Perfil Conceitual de Equação.

Quadro 15 − Comentários inseridos após a afirmação 2.

Afirmação 2: Eu acredito que os conceitos matemáticos são bem definidos em si

mesmos.

P14: Não para todos os alunos. Alguns alunos precisam de formas diferentes de aprendizado

para compreensão dos diversos conceitos e conteúdos. (3)

P2: Sao bem definidos se forem bem

demonstrados. (3)

P6: São necessários demonstrações, como se

chegou a tal fórmula, quem a pensou, a que se

aplica. (2)

P8: Em termos, fica mais fácil para os alunos

quando relacionamos com sua realidade. (3)

P20: Sabe-se que isso não é a mais pura

verdade. (4)

Fonte: Elaborado por nós a partir dos dados coletados no Questionário de Identificação.

95

Quanto à afirmação 3 ─ que tinha o mesmo propósito da afirmação 4, ou seja,

o de identificar os aspectos que influenciam na proposição da avaliação e, neste caso,

da abordagem adotada para o ensino do conceito de equação ─ buscamos apreender

qual o papel da organização de ensino na escolha das abordagens para o ensino dos

conceitos matemáticos. Identificamos que a grande influência da escola está na

adequação do que é ensinado ao currículo posto para cada ano.

Para além disso, os professores relatam ter liberdade para “adequar o ritmo”

(P2) e “trabalhar conforme as dificuldades e necessidades dos educandos” (P13).

Também compreendemos, a partir dessas justificativas, que a organização escolar

pouco influencia na abordagem do conteúdo, esta depende prioritariamente das

escolhas do professor.

Quadro 8 − Comentários inseridos após a afirmação 3, relativos à influência da organização escolar nas abordagens de ensino.

Afirmação 3: Em minha escola eu tenho total liberdade para trabalhar os conteúdos

matemáticos conforme minhas preferências.

P2: Seguimos a grade curricular. Dentro dessa perspectiva, temos liberdade para trabalhar,

adequando o ritmo. (3)

P8: Os professores de matemática falam entre

si para afinarem os conteúdos e se ajudam

quando é possível. (5)

P12: Dentro dos conteúdos próprios de cada

série. (3)

P13: Hoje os conteúdos a serem trabalhados

são dados pela Secretaria da Educação, no

entanto, o mesmo pode ser alterado conforme

as dificuldades e necessidades dos

educandos. (3)

P14: Na editora em que trabalho, quando o

material é autoral, dependo dos autores.

Quando há direitos da editora, tenho total

liberdade, sim. (5)

Fonte: Elaborado por nós a partir dos dados coletados no Questionário de Identificação.

Por fim, quanto à afirmação 6, os professores são unânimes em seus

comentários ao dizer que a escolha dos instrumentos avaliativos interfere na forma

como os estudantes compreendem os conceitos avaliados. As justificativas, no

entanto, diferem: para P8, a inadequação do instrumento pode comprometer a

verificação do aprendizado; já para P15, a principal influência é a forma como os

estudantes percebem os diferentes instrumentos avaliativos, ficando mais

nervosos/ansiosos com as provas escritas do que com os trabalhos em sala, por

exemplo. O

96

Quadro apresenta os comentários deixados após a afirmação 6.

97

Quadro 9 − Comentários inseridos após a afirmação 6, referentes à influência da escolha dos instrumentos avaliativos

Afirmação 6: Eu acredito que a escolha de instrumentos usados para a avaliação não

interfere na maneira como o estudante compreende os conceitos avaliados.

P14: Interfere, mas não de forma drástica. Provas são sempre mais temidas, mas trabalhos em

sala (estimulando a interação em grupo) e trabalhos de pesquisa favorecem a credibilidade do

aluno quanto a forma de avaliação do professor. Avaliar seu empenho em sala, assiduidade,

entre outros, também estimula os alunos a se dedicarem mais ao aprendizado. (3)

P8: A escolha do instrumento de avaliação é muito

importante para identificarmos se o aluno aprendeu ou não,

mas se o instrumento não for adequado pode ser que o

professor não consiga identificar o aprendizado do aluno. (3)

P12: Metodos de avaliaçao

podem definir a aplicaçao de

alguns conceitos, validando-os.

(3)

P4: Interferem sim. (2) P20: Claro que interfere. (1)

Fonte: Elaborado por nós a partir dos dados coletados no Questionário de Identificação.

Além das afirmativas discutidas nos Quadros de 13 a 17, os 21 professores

também relataram quais os instrumentos que mais costumam usar em seus processos

avaliativos. Como assinalamos na caracterização dos participantes, todos os

professores relatam usar provas escritas e trabalhos em sala de aula. Apresentamos

os instrumentos avaliativos por eles apontados no Quadro 18.

Quadro 10 − Demais instrumentos avaliativos usados por cada um dos professores participantes.

P1 participação em sala de aula

P2 trabalhos em casa, seminários, participação em sala de aula, lição de casa, atividades

interdisciplinares

P3 participação em sala de aula

P4 participação em sala de aula, lição de casa

P5 trabalhos em casa, participação em sala de aula

P6 prova oral, participação em sala de aula

P7 lição de casa

P8 trabalhos em casa, seminários, participação em sala de aula, lição de casa

P9 trabalhos em casa, participação em sala de aula, lição de casa

P10 trabalhos em casa, seminários, participação em sala de aula, lição de casa

P11 trabalhos em casa, participação em sala de aula

P12 prova oral, trabalhos em casa, participação em sala de aula, lição de casa

P13 lição de casa, qualidade do registro em materiais trabalhados em sala

P14 trabalhos em casa, participação em sala de aula, lição de casa, pesquisas especificas

P15 prova oral, trabalhos em casa, seminários, participação em sala de aula, lição de casa

P16 prova oral, trabalhos em casa, participação em sala de aula, lição de casa

P17 trabalhos em casa, participação em sala de aula

P18 prova oral, trabalhos em casa, seminários, participação em sala de aula, lição de casa, projetos

P19 participação em sala de aula, lição de casa

P20 trabalhos em casa, participação em sala de aula, lição de casa, simulados, redação.

P21 trabalhos em casa, participação em sala de aula, lição de casa

Fonte: Elaborado pelos autores.

98

Os instrumentos mais utilizados por esses professores e o número de docentes

que os utiliza, em ordem, são: participação em sala de aula (19), lição de casa (15),

trabalhos em casa (14), seminários (5), prova oral (4) e atividades interdisciplinares,

projetos, simulados e redação (1). Com esse levantamento, atendemos à segunda

finalidade do instrumento, a qual tratava de identificar as práticas avaliativas comuns

entre os professores. Também contemplamos a primeira finalidade, reconhecer os

participantes de nossa pesquisa por meio do questionário, bem como a terceira

finalidade, inferir os elementos que influenciam nas práticas avaliativas. Como

discutimos nas afirmações 3 e 4 do questionário, pudemos perceber que a maior parte

dos professores tem liberdade para escolher seus instrumentos avaliativos em suas

escolas e que essa escolha pode ser feita individualmente.

Tratemos dos objetivos específicos de nossa pesquisa a serem alcançados

com esta primeira etapa, apesar de ainda não ser possível identificar relações entre a

diversidade de instrumentos avaliativos e as zonas do Perfil Conceitual de Equação.

Os professores demonstram indícios de que julgam que a variedade dos instrumentos

avaliativos influencia na forma como os estudantes irão compreender os conceitos,

além de argumentarem que os conceitos matemáticos tornar-se-ão bem definidos

conforme as escolhas metodológicas dos professores no momento do ensino.

Portanto, parece haver uma relação entre a escolha de instrumentos e o ensino do

conceito de equações, ligação que intentamos identificar nas próximas etapas da

pesquisa.

4.2 Entrevistas

Como dissemos no capítulo anterior, as análises da etapa de entrevistas serão

desenvolvidas em dois sentidos, que chamamos de Análises Horizontais e Análises

Verticais. As Análises Horizontais consistem em buscar convergências e divergências

nas respostas dos seis professores participantes para as três primeiras questões

propostas, selecionadas por abordarem o conceito de equação e terem como

referencial de análise o Perfil Conceitual de Equação. Com esse modelo de análise

também somos capazes de julgar nosso próprio instrumento de coleta, verificando

quais questões foram suficientes para atender aos objetivos esperados e quais

99

ficaram em aberto, necessitando ser melhor explorados na etapa seguinte, a de

encontros.

Já as Análises Verticais consistem na análise geral das entrevistas dos três

professores que também participaram dos grupos focais, a qual não será apresentada

questão por questão, mas sim no conjunto de todas as respostas. Defendemos a

estruturação da análise conforme este segundo modelo, pois este nos permite

levantar elementos sobre as manifestações de zonas do Perfis Conceitual de Equação

e sobre os Conhecimentos Profissionais Docentes de cada professor antes das

intervenções nos grupos focais.

Destacamos ainda que não é do escopo deste trabalho tecer comparações

entre os elementos identificados antes e depois do desenvolvimento dos encontros.

Primeiramente, isso se deve à metodologia de grupos focais não nos possibilitar a

análise individual de seus participantes, e sim a concepção do grupo. Em segundo

lugar, isso decorre de acreditarmos que quatro encontros não são suficientes para

consolidar novas práticas avaliativas, sobretudo porque nossa pesquisa não investiga

o ambiente direto de atuação desses professores. No entanto, entendemos que, de

posse da análise vertical que nos permite entender o perfil dos três professores

participantes das três etapas da pesquisa, podemos ter indícios de como uma

abordagem do conceito de equação baseada em perfis conceituais pode contribuir

com a formação de professores, atendendo parcialmente à agenda de pesquisas

apresentada por Ribeiro (2013).

Ainda no que tange à divisão em dois modelos de análise, ressaltamos que

alguns dos objetivos e das propostas de análises apresentados no Quadro serão

atendidos pelo modelo horizontal, enquanto outros serão contemplados nas análises

verticais. Além disso, optamos por destacar no corpo do texto apenas as falas mais

significativas dos professores. No Apêndice B − Trechos da transcriç apresentamos

as falas auxiliares de P17, e o número da linha da entrevista do professor está indicado

no texto, no momento em que fazemos as análises, entre parênteses. Participaram

das entrevistas os professores P2, P4, P5, P7, P8 e P17, sendo que, destes, os

professores P2, P5 e P17 também participaram da terceira etapa de nossa pesquisa.

100

4.2.1 Análises Horizontais

Para analisar devidamente as questões de nosso roteiro de entrevistas,

retomaremos os objetivos e os referenciais de análise apresentados no Quadro da

seção 3.3.2. Iniciemos com a questão 1.

4.2.1.1 Questão 1 - Você acha que equação é um tema importante a ser trabalhado

nas escolas? (Por quê?)

Nessa primeira questão, apenas P17 relata uma mudança de concepção sobre

a importância das equações, dizendo:

Então, ’cê acredita que até pouco tempo eu achava que não? Eu vim mudar a minha concepção, acredito que no ano passado. Depois de 13 a 14 anos dentro da sala de aula é que eu vim mudar minha concepção. Hoje eu acredito que equação é um tema importantíssimo pra estar na sala de aula. Mas, ‘cê vê, foram 13 anos pra acreditar nisso, né?

P17 relata que não acreditava que equação fosse importante porque não via

sentido nesse conteúdo (25) e demonstra que entendia equação como um conjunto

de procedimentos para sua resolução: “x mais 7 é igual a 12, é, passa para o lado de

lá, encontra o valor de x, somente a equação pela equação, sabe, eu não via...” (25-

27). Identificamos aqui uma manifestação da zona processual. Ao ser indagada sobre

o que a fez mudar esta concepção, P17 relata que a leitura de uma dissertação de

mestrado sobre o porquê ensinar álgebra a fez perceber que “faz sentido” (44) ensinar

álgebra na Educação Básica. Ressaltamos que P17 fez parte de nosso projeto do

Observatório da Educação por pouco tempo e que estudou alguns textos sobre

concepções de álgebra e teve contato com o referencial de Multissignificados de

Equação durante esse período. P17 atribui a esse projeto, a suas leituras e a seus

estudos essa mudança de concepção sobre o conceito de equação (58-59).

Entre os outros cinco professores, todos relatam ser importante ensinar

equação nas escolas, mas por motivos diversos. P2, P7 e P8 afirmam que equação é

um tema que introduz ou desenvolve outros temas matemáticos que serão discutidos

futuramente na vida escolar dos estudantes. P7 fala em “linguagem matemática” e P8

assinala que equação é um tema que introduz a própria álgebra e o pensamento

algébrico. P2, por sua vez, também defende que equação é um tema que se relaciona

101

com outros da matemática, dizendo: “quando você vai formular qualquer questão, é...

que envolva matemática, você acaba chegando numa equação. Então, é... é a forma,

né, é o modo formal da matemática, né?”.

Percebemos, principalmente nas falas de P2 e de P7 uma valorização da

formalização e da linguagem, aproximando equação de uma compreensão estrutural.

Mas P2 ainda diz: “a gente pode trabalhar equação, mas não necessariamente, é, se

preocupar com o que o aluno tá compreendendo, [apenas] ensinar a mecânica de

como resolver uma equação”. P2 demonstra que compreende que faz parte do

conhecimento de equação uma abordagem processual, mas que ela não é suficiente

para o ensino. Ainda conclui dizendo: “Então, equacionar um problema eu acho que é

a questão, né?”. Como P2 deixa claro ao longo da entrevista, para ela, equacionar

está relacionado a uma compreensão estrutural de equação.

P5, por sua vez, demonstra relacionar equação a problemas diversos, ou seja,

que abarquem outras situações que não matemáticas. Com isso, sua compreensão

se aproxima da zona aplicacional, uma vez que trata das relações da equação com

outros contextos. Já P4 relaciona a equação ao equilíbrio, usando a ilustração da

balança, essa associação geralmente está relacionada à zona pragmática.

Percebemos que três dos seis professores enfatizam a importância da equação

como um conceito fundamental para dar continuidade aos estudos matemáticos.

Também destacamos que, ao pensar na importância do conceito de equação, os

professores pouco relacionam o conceito à resolução de problemas de ordem prática,

quem mais se aproxima disso é P5. Nesse sentido, P17 ainda destaca: “achava

equação um conceito pouco utilizado na, no cotidiano das pessoas, né?”.

A zona geométrica, por sua vez, não foi contemplada nessa questão.

Verificamos que esta atinge seus objetivos, pois ao permitir que os professores

justifiquem a importância de ensinar equações, podemos identificar quais são os

elementos que eles julgam essenciais nesse conceito.

4.2.1.2 Questão 2: Como você trabalha o conceito de equação com seus alunos?

(Como explica o que é equação?)

Ao ser perguntado como cada professor trabalha o conceito de equação,

diferentes abordagens foram manifestadas, as quais expressam zonas distintas do

Perfil Conceitual de Equação. Por exemplo, P8 afirma que sempre procura usar

102

exemplos e partir de situações práticas, dando indícios de uma compreensão

pragmática do conceito de equação. Apresentamos sua fala a seguir:

Eu tento fazer com exemplos, sempre, né? Eu num... eu não levo muito a teoria para a sala de aula, talvez seja um erro, mas assim, eu sempre procuro basear num exemplo contextualizado, no dia-a-dia, prá... prá que eles tenham a ideia do que... do que significa aquilo, porque se a gente colocar, é, uma notação muito pesada matemática, vai, se a gente usar uma matemática formal, o aluno, ele num se interessa muito, né, por aquilo, e acha difícil... entre outas coisas, né? Então... eu procuro partir sempre do, do, do prático. Aí depois, se der pra... pra aprofundar, se for uma turma que pede esse aprofundamento, eu aprofundo. Se não eu acabo ficando no básico mesmo. É o que eu faço.

Outro professor que, seguindo uma abordagem bastante diferenciada,

manifesta, mais uma vez, a zona pragmática, é P4. Ele diz trabalhar com balanças,

cordas e compact disc (CD) para o desenvolvimento do conceito de equação,

buscando sempre partir de problemas de ordem prática para caracterizar o conceito e

trabalhar com ele. Ele exemplifica:

Mas a corda, ajuda você a fazer o que? Quando é uma equação de primeiro grau a corda vai te dar uma reta, então você mostra a reta pra ele. Então levo eles num espaço, ou na quadra, ou no pátio, e quando te dá uma curva, que ‘cê encontra dois valores de segundo grau, aí você mostra a curva que faz, ou para cima ou para baixo, d, dependendo do positivo ou negativo. Então a corda te ajuda nisso, já a balança não. A balança é só pra equilibrar os dois lados. Eu acho isso. Eles gostam, pelo menos até hoje ninguém reclamou (risos).

P4 também aparenta uma compreensão estrutural, por começar a identificar,

nos coeficientes das equações, características que ilustram suas representações

gráficas.

Por outro lado, P7 propõe que a equação é, para os estudantes, “uma

ferramenta que eles vão utilizar, é, pra resolver determinados tipos de problemas”.

Para trabalhar com situações de aplicação desse conceito, o professor relata fazer

uso de situações problema e diz mais uma vez considerar as equações uma

linguagem. Como P7 não exemplifica o tipo de problemas que costuma utilizar, não é

claro se essa abordagem se aproxima da zona pragmática ou aplicacional. Na questão

3, porém, o professor retoma essa ideia, deixando clara uma compreensão que se

acerca mais fortemente da processual.

P5, nessa mesma linha, também enfatiza o uso de problemas, mas destaca a

importância de trabalhar com o reconhecimento da estrutura das equações. Ele busca

103

chamar a atenção para a definição de equação e para o objetivo de se trabalhar com

ela, como pontua no excerto a seguir:

então vira e mexe você tá dentro de uma equação, mas, enfim, quando eu começo a explicar assim, cai numa equação, o que eu, eu, eu chamo a atenção? A importância deles verem ali naquela equação, né, aquela igualdade de expressões que a gente tem lá, é, estabelece, né? Ela estabelece uma relação entre as duas, né? Você tem duas expressões lá e quer que ela encontre um valor, o fato de você achar um valor praquilo lá tem, tem um sentido...tem um sentido, por exemplo, eu dou muito a dica pros alunos, substitui esse valor aqui agora e faz essa comparação.

Nessa fala, P5 dá a entender que busca fazer uma caracterização do conceito

de equação quando trabalha com ele, procurando que seus alunos saibam identificá-

las e resolvê-las. Não manifesta diretamente nenhuma das zonas, mas parece

compreender a importância da zona estrutural para o desenvolvimento do

conhecimento dos estudantes.

P2 é outra professora que diz usar problemas para introduzir o conceito de

equação, mas enfatizando o papel da incógnita e o valor desconhecido. Ela busca

fazer o movimento da tradução do problema na linguagem natural para a formalização

matemática, como relata no trecho a seguir:

Então eu procuro assim, tra., trabalhar uma coisa que, que é pra eles, que é mais concreto pra eles. O que você não tem? Ah, o que que eu vou escrever aqui, eu vou escrever quantos sapatos? Não, é muito difícil... então vamo por uma letrinha aqui, é, eu coloco um x, mas primeiro formalizando um problema pra eles.

Com isso, no momento de equacionar o problema, P2 parece ilustrar uma

compreensão estrutural de equação, embora também possamos identificar uma

compreensão que se aproxima da zona pragmática, tendo em vista o uso de

problemas de ordem prática para introduzir/trabalhar com esse conceito. Essa

abordagem manifesta-se mais claramente quando a professora passa a falar sobre a

resolução das equações:

E, depois, na resolução, aí é diferente, né? A resolução eu procuro trabalhar com a operação inversa, eu procuro, é, trabalhar com eles... por., porque eu acho que eles têm que entender primeiro a questão do que está fazendo a incógnita naquele meio. É, primeiro, primeiro de tudo formalizar, utilizando uma incógnita, e, porque quando a gente fala em equação, é... trabalha-se com uma incógnita, né?

104

Observamos uma compreensão estrutural, uma vez que P2 enfatiza a

compreensão de equação com a presença de uma incógnita, a estruturação da

igualdade e a operacionalização a partir do conceito de operação inversa. Veremos

que P4 faz um contraponto a essa ideia na próxima questão.

Por fim, P17 relata trabalhar “de forma bem tradicional. De forma como foi

trabalhado comigo, de forma como o livro didático traz... “ (62). E também coloca: “eu

trabalho de forma beeem... bem repetitiva, assim, como foi trabalhado comigo quando

eu fiz, eu reproduzi” (67). Como P17 deixa claro na questão anterior, para ela a forma

tradicional está fortemente relacionada a uma compreensão processual, em que se

enfatiza que o aluno repita os exercícios para, assim, aprender a resolver as

equações.

Acreditamos que, embora a questão tenha atendido a seus objetivos, a forma

abrangente como foi posta torna difícil tecer comparações entre as respostas. Isso

porque alguns professores falam sobre os materiais utilizados, outros relatam o tipo

de exercícios e exemplos dados em sala de aula, outros ainda discorrem sobre os

conteúdos a serem ensinados e sobre sua compreensão, há ainda quem trate das

dificuldades dos estudantes.

4.2.1.3 Questão 3: Como o conceito de equação se relaciona com os demais conceitos

matemáticos?

Ao responder essa pergunta, os seis professores foram unanimes em dizer que

o conceito de equação está relacionado com outros conceitos matemáticos. P4 vai ao

encontro da resposta anterior de P2, dizendo que ao trabalhar com equações

você trabalha as quatro operações, então, assim, a equação, ela tá interligada com as quatro operações básicas, né, que é somar, subtrair, multiplicar e dividir. Então eu acho que ela trabalha esses quatro conceitos juntos. Principalmente na hora de você colocar pros alunos, é, as operações inversas... que quando você tá de um lado da equação e quer colocar, ou quer transpor esse número pro outro lado, você tem que fazer a sua operação inversa.

Apesar de reconhecer a importância da operação inversa, P4 diz que, ao

ensinar, costuma “falar um termo bem mais simples: ‘ah, ‘cê passa pra um lado, passa

pro outro’ ao invés de você colocar de você equilibrar”. Entendemos que P4 faz um

contraponto ao que foi levantado por P2 anteriormente, porque, apesar de reconhecer

105

a importância da operação inversa e, assim, de uma compreensão mais estrutural de

equação, no momento de propor aos estudantes que operem com as equações, fá-lo

sob uma perspectiva mecânica que muito mais se aproxima da zona processual.

Por outro lado, enquanto P4 vê o trabalho com equação como um momento de

consolidação dos conceitos anteriores, P2 a entende como um conceito que transita

entre as demais áreas da matemática, porque “você traz alguma coisa numa situação

que você vai precisar dessa, de uma equação, de uma fórmula, pra resolver uma

situação e depois você tem que ensinar resolver a situação”. Ela exemplifica essa

ideia dando ênfase ao papel da incógnita ou valor desconhecido em outros contextos

matemáticos:

é, dentro dos tópicos da matemática você trabalhar, é, a necessidade... depois que eles entenderam a necessidade de uma incógnita, que é aquela medida que você não conhece, como você vai formalizar isso, eu acho que não muda muita coisa. Eu acho que qualquer que seja o tópico que você esteja trabalhando, é, pra calcular a área, por exemplo, ou o volume... Você vai calcular o volume, você tem que, é... é o genérico, você tem que encontrar uma forma de calcular.

Vemos, aqui, uma ideia mais relacionada à zona aplicacional, ao uso das

equações como uma ferramenta para as outras áreas. Essa mesma ideia é explicitada

por P5 quando diz:

Então a gente trabalha muito a equação na reta, equação na parábola, elipse, essas coisas todas, né? Então a gente vem falando disso.... mas assim, você pega no começo, tem função logarítmica, por exemplo, equação logarítmica, né, acho que... tem bastante. Primeiro ano, né?

Assim como para P2, P8 também enxerga a relação de equações pela

necessidade da incógnita em outras áreas, como a geometria, com o cálculo de

ângulos ou o Teorema de Pitágoras. Contudo, esse pensamento está mais associado

à uma visão das equações como uma linguagem do que como uma ferramenta de

aplicação.

P6 demonstra um entendimento semelhante sobre o papel fundamental da

equação em outras áreas da própria matemática, que não está vinculado a seu caráter

aplicacional, mas a sua característica de linguagem. Isso é evidenciado nesta fala,

quando diz que as distâncias entre a equação e os demais conceitos matemáticos

estão diminuindo:

106

mas hoje em dia eu acho que, é, a equação é vista de outra maneira. Na minha opinião, esse abismo eu acredito que tá diminuindo bastante, pra formar mesmo a parte da, de equação como uma linguagem, porque eu acho que é isso que é a ideia, né, transformar a matemática como uma linguagem, né?

Para P7, o caráter aplicacional se manifesta na relação da equação com outras

áreas que não a matemática, mas ele acredita que isso ainda precisa ser mais bem

desenvolvido. Percebemos isso quando diz:

Porque eu, eu acho que com essa parte da, de tentar aplicar, né, como uma ferramenta, eu acho que às vezes acaba... quando vê uma outra situação, tem muitos alunos que às vezes acaba, quando vê uma outra situação, tem muitos alunos que às vezes não consegue aplicar isso.

Por fim, P17 relata que consegue pensar na equação se relacionando com

outras áreas, mas indica: “fazer, realmente, ainda não fiz” (76). Ela conclui

sinalizando:

[...] mas pelo menos eu já tenho essa... esse olhar, de que existe a possibilidade. Então se eu sentar, preparar a aula... começa nessa expectativa de que eu vou proporcionar no ensino, fazer uma conexão com outras áreas, eu acho que vai sair alguma coisa legal. Vai começar um movimento de mudança, né, coisas que não, não tinha até então.

As Análises Horizontais permitiram-nos fazer um levantamento inicial das

zonas manifestadas entre os seis professores em cada questão e deram-nos também

um panorama da efetividade de nosso roteiro para acessar as diferentes

compreensões de equação. O Quadro 19 sintetiza as zonas do Perfil Conceitual de

Equação identificadas nas três questões para cada um dos seis professores

participantes.

.

Quadro 11 − Síntese das zonas identificadas nas Análises Horizontais

QUESTÃO 1. Você acha que equação é um tema importante a ser trabalhado

nas escolas? (Por quê?)

P2

Clarisse P4

P5

Percy P7 P8

P17

Annabeth

Estrutural,

Processual. Pragmática Aplicacional Estrutural - Processual.

107

QUESTÃO 2. Como você trabalha o conceito de equação com seus alunos?

(Como explica o que é equação?)

P2

Clarisse P4

P5

Percy P7 P8

P17

Annabeth

Estrutural,

Pragmática

Estrutural,

Pragmática Estrutural

Pragmática

ou

Aplicacional

Pragmática Processual

QUESTÃO 3. Como o conceito de equação se relaciona com os demais

conceitos matemáticos?

P2

Clarisse P4

P5

Percy P7 P8

P17

Annabeth

Aplicacional Processual Aplicacional Aplicacional - -

Fonte: Elaborado pelos autores.

A Análise Vertical converge com nosso interesse pela entrevista como um todo.

Com ela podemos ver não só quais as zonas manifestadas, mas também como as

diferentes zonas emergem paralelamente aos Conhecimentos Profissionais

Docentes.

4.2.2 Análises Verticais

Como dissemos anteriormente, foram três os professores participantes das três

etapas da investigação, e nossas análises verticais se desenvolvem a partir dos dados

das entrevistas destes. São os professores P2, P5 e P17. Passaremos a tratá-los por

nomes fictícios a partir deste momento para facilitar o desenvolvimento das análises

dos encontros posteriormente. Assim sendo, P2 será Clarisse, P5 Percy e P17

Annabeth.

Vale destacar que a análise vertical pretende atender aos objetivos específicos

b, compreender como as zonas do Perfil Conceitual de Equação se manifestam nas

avaliações desses professores, e c, identificar que tipos de conhecimentos

profissionais docentes emergem quando estão envolvidos em processos de avaliação

sobre equações. Após as análises fazemos sínteses dos dados que colaboram para

atender a esses objetivos.

108

4.2.2.1 Professora Clarisse

No início de sua entrevista, a professora Clarisse deixa claro que equação é

um tema importante para ser trabalhado nas escolas, argumentando que “quando

você vai formular qualquer questão, é..., que envolva matemática, você acaba

chegando numa equação”. Por ter esse entendimento sobre o conceito de equação,

a professora se aproxima de uma compreensão pragmática, pois compreende a

equação a partir de uma visão primitiva, associada à resolução dos problemas de

ordem prática para a matemática. A professora destaca:

a compreensão de uma equação é mais importante ainda. É... porque a gente pode trabalhar equação, mas não necessariamente, é, se preocupar com o que o aluno tá compreendendo, ensinar a mecânica de como resolver uma equação. Então, equacionar um problema eu acho que é a questão, né?

Como realçado no trecho acima e enfatizado durante os encontros, a

professora Clarisse vê a equação de forma muito atrelada à noção de equacionar um

problema. Essa compreensão mais ampla a leva a incluir como equação todo o tipo

de igualdade matemática que apresente ou não uma variável, como o caso das

expressões do tipo 2 + 3 = 5, sobre as quais discorremos em nossa caracterização

do conceito de equação na seção 1.2. ─ iremos nos ater a esses aspectos

principalmente ao tratar do segundo encontro.

No entanto, no momento da entrevista, a professora demonstra outra

compreensão de equação, pois enfatiza o papel da incógnita na introdução do

conceito, como vemos nos trechos a seguir:

Então aí eu já começo a, a introduzir incógnita, na equação e equacionar o problema deles. Então, colocar no modo formal mesmo, o que eu tenho e o que eu quero. Então, eu procuro falar pra eles que a incógnita é aquilo que eu tô procurando, aquilo que eu não tenho num problema. É, primeiro, primeiro de tudo formalizar, utilizando uma incógnita, e, porque quando a gente fala em equação, é... trabalha-se com uma incógnita, né?

Para trabalhar a incógnita, a professora relata associar o valor desconhecido

de um problema com os “quadradinhos” que os alunos estão acostumados a usar nos

anos iniciais do Ensino Fundamental. Ela parte de um tratamento aritmético para

chegar a um raciocínio algébrico com os estudantes do sétimo ano, momento escolar

que ela identifica como o da introdução do conceito de equação. Ela diz: “Eu procuro

109

trabalhar, geralmente, as regras da, de uma expressão aritmética..., é, da, as

operações, as quatro operações, os sinais que vem na frente... e, e depois trabalhar

com, com operação inversa”.

A professora ressalta que o tratamento do conceito com o estudante do Ensino

Médio é diferente, porque muitas vezes esse aluno não aprendeu corretamente o

conceito e “não é só ensinar como se ele estivesse aprendendo pela primeira vez,

porque ele já tem vícios errados”. Quanto a isso, ela conta a experiência com uma

turma de Ensino Médio: quando os estudantes chegavam ao final de um problema,

em uma equação, eles “olhavam com desespero para aquilo”.

Nesse momento a professora passa a descrever algumas das dificuldades dos

estudantes do Ensino Médio com o conceito de equação, centrando-se no domínio

Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes quando fala:

porque eles chegam no Ensino Médio sem conseguir resolver uma equação de primeiro grau. Bháskara, eles resolvem. Porque eles decoraram aquela

fórmula, e se você pegar na mão deles e explicar quem é o 𝑎, quem é o 𝑏, quem é o 𝑐. Mas também é difícil você trabalhar com eles e explicar de novo quem é o coeficien... o que é o coeficiente, o que é uma incógnita. É... eles só sabem pegar, muitas vezes eles põe.. jogam na fórmula de Bháskara, eles

pegam o 𝑥. [...] eles não conseguem separar o que é um coeficiente, porque eles não entendem a... a função daquela incógnita naquele meio.

Ela também se volta para o domínio Conhecimento do Conteúdo e dos

Estudantes e valoriza o subdomínio Conhecimento do Conteúdo e do Ensino quando

diz:

[...] que nem, as quatro operações, quando a criança tá na... na idade de aprender, então tem o lúdico, tem os brinquedinhos, tem os desenhinhos que vai somando, vai multiplicando... No Ensino Médio, o aluno que não sabe multiplicar, por exemplo, você não pode pegar aquele joguinho porque ele não vai aceitar aquilo. Então é encontrar um material que seja no nível daquele aluno e que ele aceite aquilo.

Sintetizando, fundamentados, principalmente, nas evidências acima discutidas,

concluímos que a professora manifesta a zona pragmática de equação e os

subdomínios Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes e Conhecimento do

Conteúdo e do Ensino nesta etapa das entrevistas.

110

4.2.2.2 Professor Percy

Ao falar sobre equações, Percy deixa claro que julga ser o estudo desse

conceito de grande importância, pois está associado à resolução de problemas.

Temos indícios aqui da manifestação das zonas pragmática e aplicacional, que se

confirmam quando, mais adiante, o professor enfatiza a importância de trabalhar com

situações do dia-a-dia dos estudantes, como vemos, por exemplo, neste trecho de

sua entrevista: “Alguma situação do dia-a-dia, um problema, pra que... pra que eles

venham passar essa linguagem natural em forma de equação e tentar resolver, então

eu coloco aí pelo menos uma ou duas questões, geralmente duas questões”.

Ao mesmo tempo em que manifesta a zona pragmática, Percy também ressalta

a importância de “passar pra essa linguagem matemática, ou seja, montar a equação

lá...”. Com isso, ele parece indicar que não é suficiente que o aluno faça uso das

equações para resolver os problemas do dia a dia ─ zona pragmática ─; o docente

assinala que ele deve também, ser capaz de “montar a equação”, um pensamento

mais associado à zona estrutural. Além disso, como pontuamos, há manifestação da

zona aplicacional; um exemplo desta ocorre quando o professor coloca:

aí a gente pede pra pesquisar alguma coisa sobre terremotos, alguma coisa, que que tem a ver a escala Richter com logaritmo, como que se usa e ta. Então, por exemplo, esses trabalhos eu já peço, porque tem mais tempo de fazer, pesquisar, né... e ver que relação tem com o conteúdo, porque geralmente eles trabalham só...

Nesse caso, o professor usa a pesquisa como instrumento avaliativo, como

uma forma de os estudantes perceberem a utilidade do conceito de equação, no caso,

de equações logarítmicas. Esse é um dos momentos em que os professores

entrevistados associam a manifestação de uma zona à utilização de um instrumento

avaliativo em particular e vão ao encontro de um de nossos interesses de

investigação, que é identificar se diferentes instrumentos avaliativos promovem a

manifestação de diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação.

Na sequência, Percy apresenta algumas relações entre o conceito de equação

e outros temas dentro da matemática, como o estudo de áreas, os polinômios:

‘cé pega ai, o oitavo, nono ano, a gente trabalha muito a parte de áreas também, né? O binômio é, trabalha o trinômio do quadrado perfeito... [...] pro Ensino Médio. Então a gente trabalha muito a equação na reta, equação na parábola, elipse, essas coisas todas, né? Então a gente vem falando disso.... mas assim, você pega no começo, tem função logarítmica, por exemplo, equação logarítmica, né, acho que... tem bastante. Primeiro ano, né?

111

Percebemos, com este trecho, que Percy tem uma boa visualização de como

os temas matemáticos estão distribuídos nos anos escolares e, principalmente, de

como se relacionam com o conceito de equação. Nesse caso, identificamos, para

além do Conhecimento do Conteúdo e Currículo, certa manifestação do

Conhecimento do Horizonte do Conteúdo.

Mesmo fazendo essa relação, Percy não acredita que os alunos tenham a

mesma compreensão de que existe conexão entre esses diversos temas e as

equações, em suas palavras:

vira e mexe a gente sempre cai, por mais que seja uma equação linear, que é a mais simples, mais comum de primeiro grau, que tá caindo sempre, a gente tem que chamar a atenção: “oh, ‘cê tem uma equaçãozinha ai, vamo lá fazer o processo que a gente já conhece”. Mas eles não identificam, em momento algum, essa equação... Eles têm essa dificuldade em identificar que é uma equação.

Mas, ao ser perguntado acerca da maneira como o currículo está organizado e

da promoção da construção dessas relações, o professor diz: “nessa parte aí eu

acredito que ele é bem, né... bem montado. [...] o currículo em si, eu acho que ele não

tem nenhum problema não, não apresenta nenhuma dificuldade, né?”. Para

exemplificar essa visão, Percy trata da relação entre equações e proporções:

Até que ‘cê pega, vai, sétimo ano, começa a falar de equação, dá uma introdução, aí daqui a pouco ‘cê começa a entrar em proporção, que daí você começa a trabalhar já equação. Eu tô dando como um exemplo, aí... Você já não foge, né... por exemplo, você viu toda a definição de equação, explicou direitinho o que que é, e na sequência você começa a trabalhar com proporção, por exemplo, juros simples, você já cai em resolver equações da mesma maneira, né?

Na sequência dessa exemplificação, Percy explicita uma compreensão

processual de equação, deixando claro que acredita que esse tipo de entendimento

do conceito não é suficiente para que o aluno construa essas relações propostas no

currículo. Nesse sentido, Percy, assim como Annabeth, também atribui ao professor

a responsabilidade de promover as conexões entre a consolidação do conceito de

equação e sua manifestação em outros temas da matemática. Identificamos tanto a

manifestação da zona processual quanto a responsabilidade atribuída ao professor

no trecho a seguir:

112

Por exemplo, você cai na equação de primeiro grau, você começa a resolver lá e resolve. Então o que que se aprende lá? Ah, vamo deixar a letra de um lado e número do outro e isolar essa letra... então, a gen., né, pelo que eu vejo de maneira geral, a gente costuma falar só isso aí... e a gente não especifica que a gente tá falando de uma equação. Né, que a gente tem um probleminha e que tá resolvendo essa equação. Né, que esse valor final, se a gente substituir nesse valor que a gente achou, a gente vai ter que achar a igualdade entre as duas expressões. Então, eu acho que falta mais a gente dar, dar uma explanada geral, né, que a gente, no momento... e não simplesmente pegar e só resolver, e acabou, né?

Nesse sentido, parece que Percy argumentar que contemplar apenas uma

compreensão processual limita o entendimento do conceito de equação e a

construção de relações entre os temas matemáticos. Sendo assim, temos mais uma

vez a ideia de que as diferentes zonas do conceito de equação ─ ou seja, a proposta

do Perfil Conceitual de Equação ─ podem, de maneira mais abrangente, promover

ideias ou relações para o ensino desse tópico. Parece-nos que o professor também

mobiliza conhecimentos que podemos relacionar ao subdomínio Conhecimento

Especializado do Conteúdo, porque entendemos que transitar entre as diferentes

compreensões de Equação é uma forma de conhecimento especializado.

Nas questões finais, o professor fala sobre suas práticas avaliativas

relacionadas ao conceito de equação. Ele é bem pontual ao descrever o tipo de

atividade com a qual costuma trabalhar e volta a enfatizar o uso de problemas e

situações do dia-a-dia.

Quanto a acreditar que os instrumentos avaliativos influenciam na

compreensão dos conceitos, ele diz que é o trabalho em sala de aula que mais influi

na compreensão dos estudantes, na maneira como eles vão interpretar um problema.

Segundo o docente, “se ele [o aluno] vai colocar de maneira correta, né, e também vai

ter problema na hora que vai ter que resolver aquilo lá, mas se ele não dispôs as

expressões de maneira correta na hora lá de montar a equação, é claro que não vai

funcionar...”. Nesse ponto, o professor aborda uma situação comum na sala de aula,

que á a dificuldade dos estudantes em interpretar um problema proposto e escrever

as expressões ou equações correspondentes. Reconhecer as dificuldades dos

estudantes com o conteúdo manifesta evidências de um tipo de conhecimento que

está relacionado ao subdomínio Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes.

Sintetizando, nesta entrevista, o professor Percy manifestou as zonas

pragmática, aplicacional e processual, e apresentou indícios da zona estrutural. Além

113

disso, entendemos que possivelmente há traços também da zona geométrica quando

o professor fala em equação da reta, em parábolas, entre outros fatores. Quanto aos

Conhecimentos Profissionais Docentes e, em particular, quanto ao Conhecimento

Matemático para o Ensino, há clara manifestação do subdomínio Conhecimento do

Conteúdo e dos Estudantes e uma possível manifestação dos subdomínios

Conhecimento do Horizonte do Conteúdo e Conhecimento Especializado do

Conteúdo.

4.2.2.3 Professora Annabeth

Nas três primeiras perguntas, que abordavam mais especificamente o conceito

de equação, Annabeth relata que trabalha o tema com seus alunos “de forma bem

tradicional” e explica: “eu trabalho de forma beeem... bem repetitiva, assim, como foi

trabalhado comigo quando eu fiz, eu reproduzi.”. Ela ainda diz: “...faz tempo que eu

não trabalho com equação, com o conceito de equação porque eu tava no Ensino

Médio...”. Explana que no Ensino Médio a equação surge “em meio a resolução de

alguma outra coisa”, e não se trabalha o conceito inicial. Essa fala nos dá indícios,

como podemos observar posteriormente durante as atividades dos encontros,

principalmente no primeiro e no segundo, que a professora, a princípio, limita o

conceito de equação às equações trabalhadas no Ensino Fundamental, entendendo

que no Ensino Médio elas estão associadas a uma compreensão aplicacional.

Annabeth ainda relata estar passando por um momento de transição em sua

compreensão sobre o conceito de equação, como explicitamos na análise horizontal

da primeira questão. Diz que compreendia equação anteriormente como um conceito

por si mesmo, em que se privilegiavam os procedimentos de resolução, manifestando

assim a zona processual. Acerca da relação do conceito de equação com outros

conceitos matemáticos, destaca que consegue pensar nessas relações, mas de forma

abstrata, pois diz que não teve oportunidade “ainda pra preparar uma aula fazendo

essa conexão da equação com a geometria, da equação com outros contextos”.

Assim, mesmo acreditando que existam conexões, Annabeth afirma que ainda não é

capaz de identificá-las diretamente.

Ao ser perguntada sobre o currículo, a professora diz não conhecer muito bem

a forma como o currículo do Ensino Fundamental é estruturado (83 - 84), indicando,

assim, entender que o conceito de equação é trabalhado prioritariamente no Ensino

114

Fundamental. No entanto, acredita que a estrutura do currículo não é o problema, mas

sim a maneira como ele é trabalhado nas salas de aula. Isso é evidenciado quando

afirma:

Só que na sala de aula, quando o professor pega essa material, o professor dá a s... faz a sua interpretação... se o professor não consegue, é... compreender esse material, discutir esse material, não adianta, né? [...] Só que esse material simplesmente ele foi jogado na mão do professor. Pega o material e trabalha esse material.

Percebemos que Annabeth atribui ao professor a responsabilidade na

condução do material (97 -- 99), sendo, portanto, em sua visão, papel do professor

promover as conexões do conceito de equação com os demais conceitos

matemáticos. Entendemos, porém, que o professor só está apto para promover essas

conexões se, primeiramente, estas estiverem claras para ele mesmo e, em segundo

lugar, se dispuser de recursos, estratégias e ferramentas que possibilitem torná-las

claras para os estudantes. Sendo assim, temos evidências de que o Perfil Conceitual

de Equação pode ser uma forma de Conhecimento Especializado do Conteúdo e de

que uma abordagem de ensino baseada em perfis conceituais pode contribuir com o

Conhecimento do Conteúdo e o Currículo, bem como pode colaborar ainda com uma

ampliação do Conhecimento do Conteúdo e Ensino. Com essa fala, embora a

professora não explicite o subdomínio Conhecimento do Conteúdo e do Currículo,

demonstra uma valorização deste no exercício da docência.

Quanto às perguntas voltadas para as práticas avaliativas, ela destaca que os

estudantes não têm o hábito de estudar e que isso deve ser considerado no momento

da avaliação. Sobre a avaliação de equações, em particular, Annabeth declara ter

dúvidas sobre a validade dos trabalhos extraclasse:

Os trabalhos extraclasse, pra você avaliar equação, eu não sei assim... é, é... puxa, você vai passar uma sequência de exercícios com equação pra eles responderem e chegar na resposta correta, acertaram... né? Eu acho que fica muito vago, né, pra você trabalhar o conceito de equação porque eles podem pegar, copiar um do outro, eu não acho que no trabalho vai... vou conseguir identificar que realmente [o aluno] compreendeu o conceito ou não, eu acho que vai ficar... vai ficar muito vago.

Ela diz que, em sua prática, as avaliações acerca do conceito de equação são

realizadas principalmente nas provas escritas. Sobre os aspectos que influenciam na

compreensão desse conceito pelos estudantes, a professora concorda que os

115

instrumentos escolhidos podem sim influenciar na forma como o aluno compreende

os conceitos estudados, mas que, em sua opinião, o que mais influencia é a “dinâmica

da sala de aula”. Annabeth defende que, para verificar se um aluno entendeu um

conceito, não é suficiente que ele reproduza os mecanismos de resolução de

equações, por exemplo. Diz:

Porque tem aluno também, que, que ele vem... tá, só o conceito pelo conceito, só aquela equaçãozinha básica, ou quando tira aquela equação e coloca numa situação problema ele não consegue mais fazer... então ele não entendeu o conceito. Ele tá reproduzindo o mecanismo que você ensinou... tira o x dum lado, tira a letra dum lado, tira a letra do outro, passa pra lá, passa pra cá.

Como as perguntas finais tinham por referencial de análise o Conhecimento

Matemático para o Ensino, esperávamos uma manifestação mais explícita dos

subdomínios nas perguntas últimas três perguntas de nossa entrevista. Contudo, em

suas respostas, a professora destaca elementos relacionados a sua experiência e a

sua prática, que não estão diretamente associados a conhecimentos específicos

sobre os estudantes ou sobre o ensino. Tais subdomínios de conhecimento são mais

bem identificados durante as interações de Annabeth nos encontros da etapa de

formação.

Sinteticamente, nesta entrevista, Annabeth demonstrou principalmente

compreensões sobre equação que manifestam as zonas processual e aplicacional.

Quanto aos conhecimentos docentes, demonstrou reconhecer a importância do

Conhecimento do Conteúdo e do Currículo e ter domínio de aspectos pedagógicos

como conhecimento dos processos de estudo dos estudantes, mas não, em particular,

em relação ao conceito de equação.

Com as Análises Verticais, pudemos identificar, para cada professor, as zonas

do Perfil Conceitual de Equação que mais claramente se manifestam quando eles

falam sobre o ensino de equações e sobre suas práticas avaliativas. Também

reconhecemos os subdomínios do Conhecimento Matemático para o Ensino que se

manifestam nessas circunstâncias. Sintetizamos esses resultados no Quadro 20.

Quadro 20 − Síntese dos resultados das Análises Verticais

Professor Zonas (PCE) Conhecimentos Profissionais

Docentes

116

Clarisse Pragmática

Conhecimento do Conteúdo e dos

Estudantes (KCS)

Conhecimento do Conteúdo e do

Ensino (KCT)

Percy

Pragmática, Aplicacional e

Processual.

Estrutural.

Geométrica (?)

Conhecimento do Conteúdo e dos

Estudantes (KCS)

Conhecimento do Horizonte do

Conteúdo (HCK)

Conhecimento Especializado do

Conteúdo (SCK)

Annabeth Aplicacional e Processual

Conhecimento do Conteúdo e dos

Estudantes (KCS)

Conhecimento do Conteúdo e do

Currículo (KCC)

Fonte: Elaborado pelos autores.

Com os Encontros, identificamos que outras concepções e subdomínios são

manifestados quando os professores se encontram em um processo de reflexão e

formação coletiva.

4.3 Encontros

Para o desenvolvimento das análises dos três encontros, focamos,

prioritariamente, nas produções dos professores e nas atividades por eles

desenvolvidas. Os encontros também foram audiogravados, e, sempre que

necessário, apresentamos os diálogos desenvolvidos no momento de realização de

alguma atividade.

4.3.1 1º Encontro − 25/04

Duração: 2h30

No primeiro encontro, os professores foram convidados a se apresentar e a

escolher palavras que estivessem relacionadas ao conceito de equação, em quatro

rodadas. Chamamos, em nosso roteiro, este momento de Atividade 0, por se tratar de

117

uma dinâmica inicial para que os professores se conhecessem e começassem a se

envolver na temática de discussão.

Clarisse, com 14 anos de experiência, foi a primeira a se apresentar, na ocasião

lecionava para o 8º ano do Ensino Fundamental e para o 2º ano do Ensino Médio.

Tem experiência com todos os anos finais do Ensino Fundamental e com todos do

Ensino Médio. Leciona exclusivamente matemática e sua palavra relacionada ao

conceito de equação foi Equilíbrio.

A segunda a se introduzir foi a professora Annabeth, com 17 anos de

experiência. Na ocasião lecionava para os 6º e 9º anos do Ensino Fundamental, após

12 anos trabalhando exclusivamente com o Ensino Médio. Sua palavra escolhida foi

Incógnita.

Por fim, apresentou-se o professor Percy. O docente formou-se em 2010. Na

ocasião lecionava para os 2º e 3º anos do Ensino Médio, não tendo experiência com

os 6º e 7º anos do Ensino Fundamental. A palavra por ele escolhida foi Resolução.

Feita a primeira rodada, os professores seguiram, na mesma ordem, listando

palavras vinculadas à equação, quais sejam, Igualdade, Desconhecido, Problemas.

Na sequência, de volta para Clarisse, ela diz que, da perspectiva do aluno, poderia

dizer Mistério. Seguindo a mesma ideia ─ a perspectiva do estudante ─,Annabeth diz

Sem sentido. Percy fecha a rodada com a palavra Linguagem. Na última rodada, são

ditas as palavras Desvendar, Compreender e Construir ─ tendo o professor Percy

ficado em dúvida entre esta última e Aplicar.

Certamente, apenas com algumas palavras, não seria possível afirmar que os

professores manifestam entender equação a partir de uma ou de outra zona do Perfil

Conceitual. No entanto, podemos classificar as palavras em três grupos, que estão

associados: a) à própria caracterização de equação, de maneira geral; b) às visões

que se tem, fora da matemática, sobre o conceito; e c) às ideias relacionadas às

diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação. A Figura 3 retrata o quadro em que

as palavras foram anotadas, e o Quadro 21, na sequência, divide essas palavras nos

três grupos indicados.

118

Figura 3 − Registro das palavras relacionadas à equação ditas pelos três professores

Fonte: Fotografado no primeiro encontro, realizado em 25 de abril de 2015.

Quadro 21 − Categorização das palavras listadas na Atividade 0.1.

a) Caracterização b) Percepções gerais ou externas c) Zonas

Equilíbrio

Incógnita

Igualdade

Desconhecido

Mistério

Sem sentido

Desvendar

Linguagem

Problemas

Resolução

Linguagem

Compreender

Construir/Aplicar

Fonte: Elaborado pelos autores

As palavras atribuídas à primeira categoria ─ caracterização ─ são aquelas que

vão ao encontro do que apresentamos na seção 1.2. Na segunda categoria entram os

termos gerais ─ como linguagem ─, geralmente associados às equações ─ ou à

matemática, de forma mais ampla ─ por estudantes ou pessoas não relacionadas à

área. Na categoria de zonas estão as palavras mais fortemente ligadas a alguma das

zonas do Perfil Conceitual de Equação. Por exemplo, a palavra Aplicar está mais

relacionada à zona aplicacional, enquanto a palavra Resolução pode ser associada à

zona processual.

Linguagem, listada nas categorias b e c, apareceu mais relacionada, nas

entrevistas anteriormente analisadas, à zona estrutural; e Construir poderia se vincular

com a zona Geométrica. Por fim, Problemas pode ser relacionada com a zona

119

pragmática, mas também com a aplicacional, por exemplo. Evidentemente, como

convém a uma atividade introdutória, essas associações servem apenas para nos dar

ideias sobre o que poderia aparecer nas demais atividades e sobre a multiplicidade

de visões que os professores podem manifestar quanto ao conceito de equação.

Passando para a Atividade 1.1, que intitulamos “O que é, para que serve e

quando eu uso?”, foi solicitado aos professores que completassem as frases “Equação

é...”, “Equação serve para...” e “Eu uso equação quando...” utilizando-se de, ao

menos, cinco das palavras listadas na Atividade 0.1. Na

Tabela 2, a seguir, apresentamos as respostas dos três professores. Eles ressaltam,

durante a realização da atividade, que as palavras da lousa são “uma coisa um pouco

romântica”, sendo que Clarisse diz: “não sei se seria uma definição de um dicionário”.

Ao finalizarem os registros, após cerca de dez minutos, os professores socializaram

suas respostas.

Tabela 2 − Respostas da Atividade 1.1.

Equação é... Equação serve para... Eu uso equação quando...

Clarisse

... a resolução de um

equilíbrio, é desvendar o

mistério da incógnita.

...desvendar uma

incógnita, mantendo-se a

igualdade aparentemente

sem sentido.

...preciso de uma linguagem

própria para construir a

resolução de um termo

desconhecido mantendo o

equilíbrio.

Annabeth

...uma forma de

linguagem que pode ser

utilizada para traduzir de

uma maneira universal,

diferentes tipos de

problemas.

...desvendar os mistérios

de várias áreas do

conhecimento e construir

um “senso comum” do

mesmo.

...tenho algo desconhecido,

uma incógnita e busco sua

resolução, compreender e

construir um sentido, um

significado para coisas que

muitas vezes está “sem

sentido”.

Percy

...igualdade entre duas

expressões

matemáticas onde

envolve uma ou mais

incógnitas.

...para traduzir uma

linguagem formal para

uma linguagem

matemática, auxiliando na

resolução de problemas.

...tenho que solucionar um

problema do dia-a-dia que a

necessidade de construir uma

equação para desvendar.

Fonte: Elaborado pelos autores.

120

Ao completar a sentença “Equação é...”, percebemos que Annabeth não se

limita a conceituar equação, mas também apresenta sua utilização ao dizer “que pode

ser utilizada para traduzir, de uma maneira universal, diferentes tipos de problemas”.

Annabeth está associando as equações à resolução de problemas tanto para

caracterizar o conceito quanto para falar de sua utilidade. Clarisse faz algo semelhante

ao dizer que equação é, e também serve para, desvendar as incógnitas. Percebemos,

assim, que o conceito de equação se confunde com sua própria utilidade. Em outro

exemplo, Clarisse associa a equação à linguagem quando fala da necessidade de sua

utilização, enquanto Percy faz essa associação justamente para conceituar o que é

equação.

Essa identificação entre a definição de equação e a utilidade dela vai ao

encontro dos resultados de Attoprs (2006) e de Ribeiro (2007), quando, em suas

pesquisas, constatam que muitas vezes os professores entendem as equações como

próprios processos de resolução. Acreditamos nessa relação, pois, dada a

proximidade entre as maneiras com que os professores completaram as três

sentenças, percebemos que o conceito de equação está atrelado a seu uso e, este,

por sua vez, à capacidade de resolver a equação posta.

Durante a socialização, que durou cerca de 25 minutos, não houve nenhum tipo

de discordância entre os professores quanto às sentenças apresentadas. Entre os

pontos debatidos por eles, destacamos: a. equação como uma linguagem universal,

foram trabalhadas a experiência de Annabeth com um aluno vindo do Japão e a de

Clarisse com uma apostila de análise em alemão, que corroboram que a matemática

é uma linguagem universal; b. introdução da álgebra como um momento crítico, pois,

também nas palavras de Clarisse, esse instante determina “quem vai gostar de

matemática, quem vai ter alguma afinidade com ela, ou não”.

Quanto à manifestação das zonas do perfil, identificamos a manifestação de,

principalmente, duas nesta atividade: a pragmática, quando Percy associa equação à

resolução de problemas do dia a dia, e a aplicacional, quando Annabeth identifica

equação como uma ferramenta “para desvendar os mistérios de várias áreas do

conhecimento”. Essa posição de Annabeth fica ainda mais evidente quando ela

afirma:

...a gente só tá pensando em equação no âmbito da, da matemática, mas na verdade na matemática é onde ela é menos utilizada, né? Se você pensar na química você tem, na física você tem, na tecnologia você tem a linguagem algébrica, então eu acho que também nos falta essa capacidade de transitar...

121

de mostrar que é um conhecimento, aí sim, básico, necessário pras outras áreas do conhecimento, né? [...] se nós conseguíssemos mostrar que a equação é necessária para que a gente consiga transitar na química [...], na física [...], entre outras áreas do conhecimento [...]

Na sequência da socialização, a pesquisadora perguntou aos professores se

eles acreditavam que as respostas que elaboraram satisfariam seus alunos. Annabeth

diz que não, pois eles buscam respostas de ordem mais pragmática. Nesse momento,

os professores passam a discutir sobre suas próprias relações com os estudantes e

com a matemática, afirmando que há certo desinteresse dos alunos pelo

conhecimento matemático. Esse tipo de discussão é também comum durante a

realização de outras atividades, sendo que os professores expõem suas visões e suas

experiências em sala de aula e trocam vivências em todos os encontros. Não vamos,

neste trabalho, ater-nos a tais momentos de socialização quando estes não estiverem

diretamente relacionados a nossos referenciais de análises.

Para o desenvolvimento da Atividade 2.1, foram entregues oito questões,

extraídas de macroavaliações como o ENEM e da matriz de referência da Prova Brasil,

para que os professores, individualmente, atribuíssem valores de 1 a 5 para o quanto

cada questão se relaciona com o conceito de equação. As questões foram

selecionadas pensando nas diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação e

podem ser consultadas no Quadro , nas páginas 121 a 123.

Vale justificar, particularmente, algumas escolhas. A questão Q1 foi escolhida

por não estar relacionada ao conceito de equação, mas sim a polinômios ou

expressões numéricas. Consideramos que Q2 também não está relacionada ao

conceito de equação, pois o enunciado já afirma que se trata de uma expressão. No

entanto, devido a presença da letra N antes do sinal de igualdade, em algum grau

essa sentença passa a estar dentro de nossa caracterização de equação. Q4

representa uma função, porém, como dissemos em nossa caracterização do conceito

de equação, as equações podem ser representações analíticas de funções (CARAÇA,

1954). Esse fator não se aplica nas representações gráficas, como no caso de Q5.

Q8, por fim, representa a zona geométrica, por se tratar do ponto de encontro, no

gráfico, de duas funções.

Durante a resolução da atividade, Clarisse, em determinado momento, diz:

ãhn, uma coisa... eu vou sempre parar numa equação, em todos eles... então eu coloquei aqui, é 2 ou 3 para aquelas onde no enunciado é mais importante uma função, mas para ter uma função eu preciso de uma equação... [...] não

122

sei se eu tô errada no meu conceito, eu nunca fui questionada com relação a isso.

Para nós, embora a relação que Clarisse faz entre os conceitos de função e

equação seja pertinente, não entendemos que, em todas as situações propostas,

sempre vamos “parar em uma equação”, conforme argumentamos quanto às

questões Q1 e Q2, por exemplo. No entanto, identificamos aqui um mesmo tipo de

concepção que Attorps (2003) lista em sua pesquisa, a identificação de expressões e

inequações como equações. Quanto a isso, a Atividade 1 do segundo encontro,

possibilitará discutir mais profundamente sobre essas concepções alternativas, que

não figuram dentro da caracterização de equação por nós apresentada. No Quadro 3

indicamos os resultados da Atividade 2.

123

Quadro 122 − Questões apresentadas na Atividade 2.1 e suas justificativas.

Q1 Q2

Matriz de Referência da Prova Brasil (2013)

Matriz de Referência da Prova Brasil (2013)

Não relacionada ao conceito de equação. Não relacionada ao conceito de equação. Q3 Q4

Matriz de Referência da Prova Brasil (2013)

ENEM (2011)

Zona pragmática/ Zona processual. Zona estrutural/ Função

124

Q5 Q6

ENEM 2011

ENEM 2011

Pouco relacionada ao conceito de equação (função) Zona estrutural.

125

Q7 Q8

ENEM 2011

ENEM 2011

Zona aplicacional. Zona geométrica.

Fonte: Matriz de Referência da Prova Brasil (2013) e do ENEM (2011).

126

Quadro 13 - Valores atribuídos às questões da Atividade 2.1

Clarisse Percy Annabeth Clarisse Percy Annabeth

Q1 4 5 0 Q5 3 5 4

Q2 4 3 2 Q6 3 5 5

Q3 5 4 5 Q7 4 5 5

Q4 2 5 5 Q8 3 1 4

Fonte: Elaborado pelos autores

Analisando o Quadro percebemos que há muitas divergências entre as

questões consideradas mais ou menos relacionadas ao conceito de equação.

Primeiro, destacamos que, com relação à Q3, parece haver certa concordância dos

três professores quanto à questão estar fortemente relacionada à equação.

Percebemos, posteriormente, no momento de discussão, que isso se deve

principalmente ao fato de a questão expressar uma equação de segundo grau. Outra

questão nas mesmas condições é Q7, que envolve uma equação logarítmica. É

importante notar que os exercícios que mais foram relacionadas ao conceito de

equação são aqueles que representam as zonas aplicacional, pragmática ou

processual, que, conforme vimos, foram as zonas mais manifestadas nas entrevistas.

Para Clarisse, a questão menos relacionada à equação é Q4, posteriormente

ela justifica essa escolha dizendo que Q4 trata de uma função, não de uma equação.

Na sequência, Q5, Q6 e Q8, para ela, também estão mais vinculadas com funções do

que com equações. Percebemos que tanto Annabeth quanto Percy seguem um

critério bastante diferente quanto a esta última questão. Podemos dizer que para

Annabeth Q8 está parcialmente ligada à equação, enquanto para Percy ela não está

relacionada de nenhuma maneira a esse conceito.

Antes de propormos que os professores buscassem, se fosse o caso, um

consenso, solicitamos a eles que desenvolvessem a Atividade 3.1, que consistia em

elaborar um quadro elencando os objetivos de cada questão e os conhecimentos

matemáticos necessários para sua resolução. Desenvolvido isso é que eles passaram

a discutir os valores atribuídos a cada questão e entrar em consenso quanto ao valor

especificado pelo grupo. O quadro completo está apresentado nas Figuras 4 e 5, em

rosa estão os valores finais apontados pelo grupo às questões.

Na execução da Atividade 3.1, a primeira divergência do grupo foi quanto ao

conceito matemático abordado em Q1. Para Annabeth, ele se limita às operações

básicas, mas, para Clarisse, temos o conceito de função: “é para 𝑥 = −2, qual o valor,

para 𝑥 = −3, qual seria o valor, para 𝑥 = −5 [...] em função do valor de 𝑥, você vai ter

127

um valor para essa expressão”. Annabeth discorda, pois diz que da maneira como

está posta a questão não há ideia de variação dos valores de 𝑥. Annabeth defende

seu ponto de vista: “por exemplo, um aluno que não está... que não sabe o conceito

de função, se ele tiver clareza, substituir certinho, se ele conhece potência e

multiplicação, resolve”. A isso Clarisse responde: “então, mas ele ainda assim aplicou

um conceito de função, mesmo sem saber... Ele não precisa necessariamente saber

o que é função”. Percy passa a concordar com Clarisse, pois afirma que se pode

pensar “que esse 24 tá em função de -2”. Com isso, eles optam pelo conceito de

função.

Para nós, Q1 aborda o conceito de polinômio. Vale fazer um esclarecimento,

feito também para os professores: quando pensamos em avaliar, propomos questões

que tenham algum objetivo específico e estejam relacionadas a algum conceito

matemático. O conceito a que nos referimos, nesta atividade, é o conceito matemático

que pode ser avaliado com a questão proposta. Embora Clarisse faça uma associação

relevante ao dizer que a expressão está em função de 𝑥, concordamos com Annabeth

quando ela diz que, do jeito que está posta, a questão não serve para avaliar o

conceito de função. Os professores tiveram a oportunidade de refletir sobre isso

posteriormente, quando retomamos esse quadro no Encontro 3.

Figura 4 − Frente do cartaz elaborado em conjunto pelos professores na Atividade 3.1

Fonte: Fotografia registrada pelos pesquisadores.

128

Figura 5 − Verso do cartaz elaborado pelos professores na Atividade 3

Fonte: Fotografia registrada pelos pesquisadores.

Quanto a Q2, Annabeth diz: “para mim o objetivo do 2 é o mesmo que do 1”.

Percy, por sua vez, entende que, no caso, “o objetivo é encontrar o valor que equilibre

as duas partes”. Annabeth afirma: “ah, o valor que torne a igualdade verdadeira”.

Como todos concordam com isto, definem o objetivo.

Quanto ao conceito matemático, Annabeth sugere ser equação, porque “um

dos, das questões da equação não é o equilíbrio, equacionar... apesar que eu não

achei muito equação isso aí não”. Clarisse diz que, nesse caso, os conceitos

realmente aplicados são as operações, pois “na verdade aqui não tem um, não existe

um problema, uma coisa a ser solucionada... é só continha, que tá ali”. Aqui

percebemos uma concepção de equação como algo que está relacionado a

problemas, que se aproxima, mais uma vez, das zonas pragmática e aplicacional,

dependendo da natureza dos problemas propostos, o que não foi discutido nem

evidenciado nesse momento. O que queremos dizer com isso é que, para descartar

Q2 como uma questão relacionada ao conceito de equação, os professores

argumentam que as equações estão conectadas a “problemas” ou a uma “coisa a ser

solucionada” e que a não verificação desses itens descaracteriza a questão de ser

considerada equação.

129

Em Q3, Annabeth aponta que o aluno “até poderia ir por tentativa e erro, tendo

as alternativas, né? [...]. Ou poderia construir a equação...”. É importante, para nós,

que Annabeth tenha levantado esse ponto, pois a escolha dessa questão, associada

à zona pragmática, ocorre justamente por conta da possibilidade de resolvê-la por

procedimentos aritméticos. Apesar deste comentário, os professores entram em

consenso de que o objetivo da questão é equacionar uma situação-problema, pois

julgam que essa ação é indispensável para obter a resolução.

Perguntamos, nesse ponto, aos professores se eles poderiam usar essa

questão para avaliar o conceito de equação de segundo grau. Eles dizem que sim,

mas que o aluno poderia resolver por tentativa e erro e que, neste caso, também não

poderia dar errado, pois ele estaria obtendo a resposta correta de toda forma. Percy

expõe que costuma pedir, em questões desse tipo, que o aluno “monte a equação”,

pois assim pode avaliar o conceito. Vemos aqui uma manifestação do subdomínio

Conhecimento do Conteúdo e do Ensino, que inclui saber escolher os melhores

exemplos e exercícios para trabalhar determinados conceitos com os estudantes.

Ainda quanto à Q3, Annabeth conclui: “se eu só quero observar se ele tem

habilidade para resolver uma equação de segundo grau, eu não poderia colocar esse

exercício na avaliação... porque ele abre margem pra outras resoluções”. Essa fala de

Annabeth nos indica que o fator Conhecimento do Conteúdo e o Ensino, manifestado

por Percy, é essencial no momento de preparo de avaliações, pois a escolha dos

exercícios e das atividades tem relação direta com o que conseguimos verificar do

conhecimento dos alunos durante a avaliação. Por outro lado, também podemos

relacionar esse tipo de conhecimento ao Conhecimento do Conteúdo e dos

Estudantes, uma vez que compreender como os alunos vão entender e reagir à

escolha de questões ou atividades figura nesse subdomínio.

Em Q4, os professores concordam que os objetivos da questão são traduzir e

equacionar o problema. Apesar disso, Percy diz acreditar que se enganou com a

questão, pois havia atribuído 5 para o quanto ela está relacionada com o conceito de

equação, mas agora percebe que ela é uma função, indo no mesmo sentido que

Clarisse. Percy alega: “é uma função... apesar que, tem a ver com a equação da reta...

[...] se você pegar, tá dentro também da equação da reta. Nesse contexto aqui a gente

falaria de função numa boa, mas se a gente tivesse falando de equação da reta...”.

Os professores, nesse ponto, passam a discutir que, para existir uma função deveria

haver uma equação e, pela primeira vez neste encontro, começam a superar a noção

130

de que uma função não pode ser compreendida como uma equação. Essa é mais

uma das concepções alternativas apresentadas por Attorps (2003), identificadas em

nosso quadro teórico como item 5.

Em Q5, Q6, Q7 e Q8, os professores em geral não têm nenhuma divergência

significativa para indicar os objetivos das questões e os conceitos matemáticos nelas

envolvidos. Em Q6, particularmente, Annabeth pergunta inicialmente se a questão não

seria a mesma situação de Q4. Em um primeiro momento, os professores tendem a

concordar, mas Annabeth constata uma diferença: “então, é e não é. Porque quando

ele fala tornaria indiferente pra escolher um ou outro seria, o valor da incógnita seria...

aqui você teria o mesmo valor, a questão da igualdade.... aí você teria a questão do

equilíbrio. [...] aí é um valor único, não é?”. Clarisse percebe: “então aqui ele busca

um ponto determinado. Não é mais toda a curva que interessa, ele quer um ponto

determinado”. Assim, eles concluem que nessa situação apenas o conceito de

equação bastaria, embora Clarisse ainda destaque que esse tipo de situação é usada

quando temos duas funções e buscamos um ponto em comum. Ela diz: “apesar de

ser um problema de função, não seria necessário o conceito de função aqui”. Para

nós, há uma importante distinção entre Q4 e Q6, pois, enquanto Q4 está diretamente

relacionada ao conceito de função e, por extensão, ao conceito de equação, Q6 está

diretamente ligada ao conceito de equação e apenas implicitamente associada ao

conceito de funções.

Por fim, em Q8 os professores apontam algo bastante relevante ao afirmar que

a questão apenas exige que se compreenda a situação-problema e se elabore a

representação gráfica. Embora tenhamos selecionado essa questão para representar

a zona geométrica, pois o ponto de encontro entre as duas curvas é justamente a

resolução de uma equação tal qual a interpretação por eles dada à Q6, esse exercício,

em particular, não se interessa por esse aspecto. Apesar de ilustrar uma equação,

não é esse o conceito que está sendo explorado na resolução de Q8.

Finalizada a primeira etapa da Atividade 3.1, fizemos um intervalo e

posteriormente pedimos aos professores que buscassem entrar em consenso quanto

às numerações atribuídas a cada questão. Pouco antes de voltarmos do intervalo, os

docentes retomam a discussão da relação entre função e equação. Em dado

momento, Annabeth pergunta se é necessário fazer a divisão entre os dois conceitos,

porque, como manifestam durante muitos momentos no segundo encontro, os

professores começaram a tomar consciência de que o conceito de equação não era

131

totalmente claro para eles. Acordamos, então, que esse assunto seria abordado no

próximo encontro com maior profundidade.

Após a discussão desenvolvida na Atividade 3.1, os professores tiveram mais

facilidade para buscar um consenso entre as numerações atribuídas a cada questão,

chegando às numerações tais quais apresentadas nas Figuras 4 e 5. As maiores

divergências entre nossa proposta e as conclusões obtidas pelos professores referem-

se às questões Q2 e Q5. Para nós, estas são duas questões não relacionadas ─ ou

pouco relacionadas, no caso de Q5 ─ ao conceito de equação, em virtude de se

tratarem, respectivamente, de uma expressão aritmética e de uma representação

gráfica, e não analítica, de uma função. Q5, por outro lado, poderia ser compreendida

apenas como uma relação de proporcionalidade entre grandezas, que certamente

poderia ser expressa por uma equação, mas que, por outro lado, também poderia ser

entendida independentemente desta.

Sintetizando o primeiro encontro, as principais zonas do Perfil Conceitual de

Equação manifestadas foram as zonas pragmática e aplicacional, apesar de na

Atividade 0.1 terem sido listadas palavras que podem também indicar todas as demais

zonas. Quanto aos conhecimentos profissionais docentes, percebemos que os

professores manifestam principalmente Conhecimento do Conteúdo e Ensino quando

começam a se dar conta que determinados exercícios, comumente usados para

introduzir ou avaliar certos conceitos, não são suficientes ou não abordam diretamente

aquilo a que se propõem.

4.3.2 2º Encontro − 09/05

Duração: 2h

O segundo encontro se propunha a discutir as avaliações, elaboradas

propriamente pelos professores, do conceito de equação. Antes, porém, de entrar nas

questões avaliativas, intentamos dar um fechamento às discussões sobre equação

que surgiram no primeiro encontro, revisitamos os objetivos e os conceitos

matemáticos elencados por eles na execução da Atividade 3.1, após as três novas

atividades reflexivas, originalmente planejadas para ocupar cerca de um terço do

encontro. A inserção dessas três atividades iniciais se deveu-se principalmente aos

resultados do primeiro encontro e à necessidade de buscarmos caracterizar equação

para o grupo.

132

Assim, na Atividade 1.2 foi entregue para cada professor uma lista com

expressões matemáticas para que eles identificassem quais delas são equações,

colocando um S (sim), e quais não são, colocando um N (não). As expressões foram

escolhidas para verificar: a. as concepções alternativas identificadas por Attorps

(2003) e b. as identificações com as questões analisadas no encontro anterior. Para

facilar a análise da atividade, numeramos as sentenças para apresentá-las no Quadro

. Na coluna à direita, relacionamos as sentenças a suas justificativas de escolhas.

Quadro 14 − Ficha da Atividade 1.2, na qual os professores devem assinalar (S) para as sentenças que são equações e (N) para as que não são.

1. ( ) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

2. ( ) 3𝑥2 − 5𝑥 + 2

3. ( ) −𝑦 + 3𝑥 − 2 = 0

4. ( ) 𝑥 = 2 + 3

5. ( ) 𝑥2 + 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)

6. ( ) 𝑥 − 3 = 𝑥 − 5

7. ( ) log 𝑥 = 2

8. ( ) 𝑥5 − 3𝑥2 + 5 = 9

9. ( ) 𝑒𝑥 = 3

10. ( ) 2𝑥 ≥ 3 − 𝑥

11. ( ) 𝑥 = 2

12. ( ) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5

1 - Identidades (ATTORPS, 2003)

6 - Expressões (ATTORPS, 2003) e Q1 e Q2 (Atividade 2.1)

3 - Mais de uma incógnita (ATTORPS, 2003)

4 - Equações triviais (ATTORPS, 2003) e Q2

Equações sem solução

Equação sem procedimento de resolução definido

6 - Inequações (ATTORPS, 2003)

4 - Equações triviais (ATTORPS, 2003)

5 - Funções (ATTORPS, 2003) e Q4 (Atividade 2.1)

Fonte: Elaborado pelos autores.

Após cada professor preencher sua ficha, Clarisse diz: “Bom, eu parti do

princípio que se eu tenho os dois membros e uma igualdade, eu tenho uma equação”.

Annabeth responde: “Então, mas se igualdade, que tem a questão do equilíbrio, daqui

vai ser (𝑥 + 𝑦). (𝑥 − 𝑦). Não tem como ser igual a 𝑥 − 𝑦, então vai ser falso”, referindo-

se à quinta sentença, 𝑥2 + 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦).

As fichas preenchidas estão apresentadas na Figura 6. Os três professores

concordam que as sentenças 1, 4 e 9 são equações e que a sentença 2 não é. Parece-

nos interessante que os docentes tenham identificado a sentença 1, que figura uma

identidade, como equação, uma vez que o não reconhecimento desse tipo de equação

é uma das concepções alternativas apontadas por Attorps (2003) em seu trabalho. As

discussões desenvolvidas na Atividade 2.2, porém, mostrar-nos-ão que essa ideia não

133

é muito clara para todos os participantes. Pontuamos que, segundo nossa

caracterização, são equações as sentenças 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 e 12.

Figura 6 − Fichas da Atividade 1.2 preenchidas pelos três professores

Fonte: Fichas preenchidas pelos sujeitos da pesquisa e fotografada pelos pesquisadores.

Apesar de os professores já terem, espontaneamente, começado a

compartilhar suas respostas e a expor seus critérios e seus pontos de vista,

propusemos que realizassem a Atividade 2.2 antes de desenvolverem esse momento

de socialização, a qual havia sido planejada para durar cerca de 20 minutos. Contudo,

as discussões renderam boa parte do encontro e impossibilitaram que as atividades

planejadas fossem desenvolvidas, principalmente aquelas que diziam respeito, mais

diretamente, às questões avaliativas. Ainda assim, como dois de nossos objetivos

eram verificar quais zonas do Perfil Conceitual de Equação seriam manifestadas

durante a discussão e ter um momento de formação e reflexão com os professores,

optamos por deixar com que a discussão sobre o conceito de equação se

desenvolvesse naturalmente, visto que percebemos que ela estava sendo

interessante para os participantes.

A Atividade 2.2 consistia na apresentação de cinco definições, elaboradas a

partir das “definições” que apresentamos na discussão sobre nossa caracterização de

equação (seção 1.2) e apresentadas no Quadro , abaixo. A intenção era que os

professores julgassem cada definição e encontrassem elementos centrais

necessários à caracterização de equação. Chamaremos, durante a análise das

discussões promovidas por essa atividade, de pontos de observação os itens

destacados pelos professores como determinantes para julgar as definições como

válidas ou não.

134

Quadro 15 − Definições de equação usadas na Atividade 2.2

1. É uma igualdade em que aparece uma letra (incógnita) a representar um valor desconhecido.

2. Uma equação é uma sentença matemática formada por uma igualdade composta por expressões matemáticas contendo ao menos uma incógnita.

3. Uma relação entre duas expressões matemáticas na qual pelo menos um dos números é desconhecido.

4. Igualdades nas quais existe uma ou mais incógnitas que podem ser calculadas, chamadas solução da equação.

5. Uma igualdade com uma quantidade finita de valores que correspondem às incógnitas.

Fonte: Elaborado pelos pesquisadores a partir das definições apresentadas na seção 1.2.

A princípio, Percy diz: “Eu não sei a sensação de vocês, mas... senti que tá

tudo verdadeiro aí”. Os professores então passam a analisar uma a uma as afirmações

apresentadas. O primeiro questionamento vem de Annabeth, sobre a Definição 2. Ela

diz:

esse ao menos uma incógnita, ela te pega, né? [...] Porque quando ele dá ao menos uma incógnita, ele dá margem para mais de uma incógnita, e se você tiver uma igualdade matemática com várias incógnitas, x, y, z, é igual a... é, ainda é uma equação? ‘Cê entendeu? Porque cai num sistema indeterminado.

Clarisse responde: “Mas e se eu tiver uma expressão numérica, que não tem

uma incógnita?”. A investigação chega a seu primeiro ponto de observação, pois os

professores passam a debater a necessidade da existência de incógnita na

caracterização de uma equação. Os docentes dizem que em todas as definições

aparece a ideia de valor desconhecido. Então a pesquisadora pergunta: “valor

desconhecido é premissa pra ser uma equação?”, e Clarisse responde: “Eu acho que

não. Pelo que eu ensino, em sala de aula, não é necessário”. Clarisse defende que

uma equação é uma igualdade e que equacionar é equilibrar valores, afirmando que,

para ela, não há necessidade de uma incógnita. A partir da fala de Clarisse, o segundo

ponto de observação é destacado por Annabeth ao indicar que “o fato de ter o sinal

de igual... um dos termos, tanto do direito quanto do esquerdo, tem que ter o mesmo

valor, né?”. Annabeth está argumentando que, se não há nenhum valor que satisfaz

a igualdade, ela não pode ser chamada de equação. Como dissemos, esses

questionamentos foram levantados no decorrer da pesquisa e, como podemos notar,

também foram pontuados nas discussões do grupo.

135

Quanto aos elementos comuns em todas as definições, Percy afirma que

“Igualdade de expressões aparece aí”, e Annabeth concorda, pois, embora não tenha

ficado claro se o conceito de incógnita era necessário, ela diz que “já igualdade é,

né?”. Durante a discussão, ela também assinala: “Pode ver no livro, a definição de

equação? Pode colar?”. Essa importância dada ao livro, como palavra final para

resolver o problema da “definição” de equação, é retomada pela pesquisadora como

um último ponto de observação no fechamento das discussões.

Antes disso retomamos o segundo ponto de observação, notado quando é

perguntado aos professores se vamos precisar resolver uma sentença, encontrar um

valor para x e verificar se ele satisfaz a igualdade, para verificar se a sentença é uma

equação. Nesse momento, os professores estão convencidos de que, para ser

considerada equação, uma sentença tem que apresentar alguma solução em algum

conjunto, ou seja, algum ou alguns valores que de fato tornem a igualdade verdadeira.

Um quarto ponto de observação vem da discussão sobre a relação entre função

e equação. Em determinado momento, os professores tendem à ideia de que, para

existir uma função, é necessária uma lei de formação, sendo que, dessa maneira,

cada função estaria sempre associada a uma equação. Com isso, estão prontos para

superar a ideia de que equação e função são conceitos desassociados, ainda que

fundamentados em uma afirmação que viria a ser refutada na continuidade das

discussões.

Outro aspecto observado refere-se à quantidade de incógnitas ou variáveis de

uma equação, quando os professores tomam, por exemplo, os sistemas lineares de

duas ou três equações e as variáveis para verificar se uma equação pode ter mais de

uma variável. Annabeth coloca: “Acredito que nos livros didáticos a, o enunciado é

assim: atribua ou encontre diferentes valores para a seguinte equação linear. Pra

aquela, pra aquele exemplo, x + y + z = 3”. Clarisse segue: “Nesse caso aqui, você

teria, é... várias, a possibilidade de várias retas, né, que o ponto de convergência

seria o três. Então, por isso, vários valores que você pode ter ali”. Vemos uma

manifestação da zona geométrica, pois, para compreender o comportamento dessa

equação, Clarisse a associa a um conjunto de retas que se interceptam no mesmo

ponto. A pesquisadora, então, direciona a pergunta para o ponto de observação em

questão: “Para ter uma única solução eu precisaria ali de três equações, que aí eu

encontraria um valor pra x, pra y e pra z, exato. Mas a questão é, se eu tiver uma só,

136

isso deixa de ser uma equação?”. Percy responde: “Deixaria de ser uma equação?

Não”.

O sexto ponto de observação nessa discussão decorre dessa afirmação de

Percy, pois Annabeth diz: “Então, ao invés de ter um único valor para a incógnita eu

tenho várias... vários valores, né?”. Questiona-se: “Então, aqui eu não teria um

número finito de soluções, né? Eu teria um número infinito de soluções. Então, é

condição necessária pra ser uma equação eu ter um número finito de soluções?”.

Annabeth responde: “Eu, até então, acreditava que sim”. Essa resposta de Annabeth

é importante, visto que, em sua ficha apresentada na Figura 6, ela assinalou 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) +

𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 como uma equação, sendo que essa igualdade é uma identidade e,

portanto, tem infinitos valores de x. Isso vai ao encontro de sua fala apresentada na

sequência como próximo ponto de observação da atividade. Por outro lado, Percy e

Clarisse discordam, esta exemplifica que as funções, que agora eles passaram a

considerar como equações, podem ter mais de uma solução.

Esse último ponto foi levantado para retomar a ideia do grupo de que precisa

existir algum valor que torne a sentença verdadeira para ela ser uma equação. Após

Annabeth relatar como os livros didáticos trabalham com equações com mais de uma

variável, o que já apresentamos na discussão do quinto ponto de observação, a

pesquisadora pontua:

Já que a gente vai falar do que o livro fala, o livro fala que é uma equação... [...] o que eu quero dizer é, no livro, ele anuncia que a coisa é equação antes de a gente saber se ela tem solução. Né, por exemplo, aquele tópico é o tópico de equações irracionais. Nem toda equação irracional tem solução, nem toda equação irracional tem um “x” que torna ela verdadeira... mas ele tá dizendo que aquilo é uma equação irracional. [...] A questão é, o que a gente constrói como conceito de equação?

Annabeth responde: “Na verdade nós não construímos esse conceito, nós

aceitamos esse conceito pronto. [...] eu posso falar por mim, eu não paro pra pensar

se aquilo era ou não uma equação, tá posto que é uma equação, eu não me

questionava”. É importante o levantamento desse ponto, pois muitas vezes as ideias

implícitas que temos sobre equação não são diretamente correspondentes aos

objetos matemáticos que chamamos de equação ou mesmo às maneiras como nos

referimos à equação no dia a dia, quer dentro da sala de aula, quer fora.

Um último ponto de observação é apresentado por Annabeth em diversos

momentos na discussão. Ela trata da diferenciação entre variável e incógnita, pois

137

aponta que se tratam de coisas diferentes. Esse ponto, porém, não é discutido pelo

grupo.

Em uma sistematização das discussões apresentadas, propõe-se que os

professores atentem para e reflitam sobre:

a. A necessidade de igualdade, sobre a qual há um consenso de que, sim, é

preciso uma igualdade para ter uma equação;

b. a presença de valor desconhecido, incógnita, variável: o que é esse valor?;

c. a existência de uma solução ou não, a necessidade de a igualdade ser

verdadeira para haver uma equação;

d. a presença de uma letra, mesmo que isso não seja necessário, que seja

uma incógnita ou variável e a possibilidade de ter mais do que uma, ou seja,

a quantidade de valores desconhecidos;

e. a existência de solução/soluções e a quantidade destas que pode haver.

Os professores buscam na Internet definições ou ideias que lhes permitam

refletir sobre os questionamentos supracitados. Eles também procuram encontrar nas

definições dadas na Atividade 2.2 os elementos identificados por eles.

Embora originalmente esse momento não estivesse previsto em nosso

encontro, entendemos que faz parte de uma proposta que tem a intenção de ser

formativa, além de investigativa, possibilitar que as discussões que se tornam caras

ao grupo sejam promovidas e tenham espaço para florescer. Foi também muito

interessante perceber como os professores de fato se sentiram incomodados com os

questionamentos levantados e com as manifestações de seus múltiplos pontos de

vista, que nos mostram mais uma vez a dificuldade em compreender de uma única

maneira o conceito de equação. No levantamento feito por eles, chegaram à

conclusão de que são necessários o valor desconhecido e as soluções. Clarisse, no

entanto, apresenta um contraponto ao dizer que sempre é possível introduzir um valor

desconhecido na forma 𝑥0.

Alguns outros aspectos levantados pelos professores no fechamento desta

atividade são:

a. A necessidade de haver solução para que uma expressão seja considerada

equação não é um consenso. Percy argumenta que podem existir equações

sem solução, enquanto Annabeth e Clarisse justificam que não existe a ideia

138

de uma igualdade falsa, logo, para ser equação, a igualdade deve ser

satisfeita para algum valor.

b. A sentença precisa ser analisada à luz de um conjunto para ser considerada

equação. Em outras palavras, 𝑥2 + 1 = 0 não tem solução no conjunto dos

números reais e, portanto, não seria uma equação para esse conjunto,

dentro da visão de Clarisse, mas tem solução no conjunto dos números

complexos. Para Annabeth, a sentença continua a ser uma equação,

mesmo em um conjunto que não tenha solução, pelo fato de existir outro

conjunto no qual ela pode ser solucionada.

A pesquisadora pergunta para Annabeth se, para os alunos dela do 9º ano, a

sentença 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 seria considerada uma equação. Annabeth afirma:

Seu eu colocar, é, “das expressões abaixo, é, selecione as que você considera equação”. Eu coloco dez itens, a, b,c, d.... “assinale a que você

considera equação”. Quando ele ver 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 ele vai colocar que é equação. [...] ele não vai colocar, por exemplo, se eu puser 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ou igual a 3. Porque ele tá acostumado a trabalhar com apenas uma variável. [...] Já um aluno de terceiro ano, ele indica.

Annabeth manifesta em sua fala tanto Conhecimento do Horizonte do

Conteúdo, por perceber como o conceito de equação vai sendo ampliado e construído

por seus alunos com o passar dos anos escolares, quanto Conhecimento do Conteúdo

e Estudantes, ao afirmar que eles iriam ou não reconhecer determinadas sentenças

como equações.

Percy defende seu argumento de que, para ser equação, não é necessário

verificar a existência de soluções dizendo: “Até porque, se a gente prestar atenção a

nossa prática, o que que a gente acaba dizendo? Que é uma equação sem solução.

Então a gente afirma que é uma equação. Depois que a gente vem afirmar que é sem

solução”. Esse é, para nós, um argumento muito importante, pois, se considerarmos

equação apenas como as expressões matemáticas que, postas em condição de

igualdade, apresentam um ou mais valores que tornem a igualdade verdadeira,

precisamos reformular tanto a maneira como os livros didáticos trabalham o conceito

de equação ─ uma vez que, em diversos exercícios, encontramos conjunto solução

vazio ─quanto, principalmente, a forma como nós, professores, expressamos e

expomos o conceito em sala de aula.

139

Clarisse, então, passa a concordar com Percy: “Uma equação é a apresentação

de duas sentenças matemáticas ou de valores. Se ela tem solução ou não, é uma

coisa que vem depois. Então, basicamente, uma equação é uma apresentação. Se

ela tem solução ou não, é uma outra história”. Então, pergunta-se se uma sentença

pode ser considerada uma equação mesmo que ela não tenha solução em nenhum

conjunto, tomando por exemplo a sentença 6 do Quadro , 𝑥 + 3 = 𝑥 + 5. Annabeth

argumenta que, se fosse resolver, iria cancelar a variável, encontrando um absurdo

de que 3 = 5 e, portanto, isso não seria uma equação. Clarisse e Percy argumentam

que, para Annabeth, isso é absurdo porque a equação é evidente, e Clarisse questiona

“e se você tem uma equação enorme, que você não consegue achar o valor de cara,

ela deixa de ser uma equação?”. Esse é outro ponto importante para nós, pois, no

caso de sentenças matemáticas para as quais não possuímos estratégias de

resolução que nos possibilitem encontrar valores que tornem a sentença verdadeira,

não seria possível avaliar se a sentença seria ou não uma equação, caso

necessitemos ter solução para ser considerada uma equação.

Sendo assim, o segundo encontro se encerra com o desenvolvimento parcial

das atividades 2.2 e 3.2, ficando para o próximo encontro a finalização destas. Antes

de encerrar o encontro, a pesquisadora pergunta: “Isso que a gente tá discutindo, faz

diferença na prática de vocês? Isso que a gente tá discutindo, faz diferença pros

alunos de vocês? É importante que os alunos de vocês tenham claro o que é uma

equação?”. Clarisse responde: “Pra mim, tem. Porque eu espero que meu aluno

entenda o que ele tá fazendo”. Percy completa: “E até pra quando você expõe as

ideias na própria aula, o que que você fala, que é muito importante, né?”. Essa fala de

Percy vai ao encontro de nosso argumento, apresentado acima, sobre a necessidade

de existir uma coerência entre o que entendemos como conceito e a forma como o

trabalhamos em sala de aula.

4.3.3 3º Encontro − 05/06

Duração: 1h30

Observação: No terceiro encontro o professor Percy não pôde estar presente.

No início do terceiro encontro, uma fala de Clarisse se destaca:

Gente, eu nunca pensei que equação fosse uma coisa tão complicada [...] eu tenho conversado com as pessoas e todo mundo... é igual palavras que a

140

gente usa no vocabulário, que todo mundo sabe pra que que serve, mas não consegue dar o significado.

A primeira proposta do encontro foi retomar as definições apresentadas na

Atividade 2.2 para fazer um fechamento à luz de nossa compreensão ─ Atividade 0.3.

Procuramos deixar claro para as professoras o seguinte:

uma definição, dentro do nosso entendimento, ela é uma definição dentro de um contexto, né? Então a gente não precisa se preocupar em construir [...] uma definição [que] seja A definição perfeita. Porque ela pode ser útil pra um contexto e não ser útil para outro.

Ao retomar as definições apresentadas na Atividade 2.2, a pesquisadora diz:

todas elas são possíveis, né? Todas elas têm falhas, dependendo do contexto onde a gente tá trabalhando. [...] Então, se você fala só uma relação, não tá descrevendo exclusivamente as equações. Mas num contexto em que tá implícito que a relação é uma relação de igualdade, essa poderia ser uma definição de equação também.

Na sequência, damos início a Atividade 1.3, na qual é reapresentado às

professoras o quadro elaborado no primeiro encontro, no qual fora solicitado que eles

colocassem os objetivos e os conceitos matemáticos abordados em cada questão. A

pesquisadora questiona: “O que isso tem a ver com a avaliação? O que tem a ver com

avaliação pensar em objetivos e conceitos?”.

Annabeth responde: “Quando você vê o conceito, do que você tá avaliando, às

vezes você não tem muita clareza, assim... você simplesmente coloca a questão,

pensando que você tá avaliando determinado conceito, e ela não tá”. Ela exemplifica

que, no caso da primeira questão, eles haviam listado que o conceito era o de função,

mas que a questão não avaliava de fato este conceito. Clarisse afirma: “nesse caso,

o aluno não tem que trabalhar com a expressão algébrica em si, mas com uma

expressão numérica...”. Annabeth conclui: “então, assim, quando você tem clareza de

qual é o seu objetivo, de qual é o conceito que você quer trabalhar, você elabora uma

avaliação... porque nós colocaríamos isso”.

Na sequência, a pesquisadora passa a apresentar às professoras um pouco de

nossas intenções com as seleções das questões da Atividade 3.1 e pergunta se elas

já compreendiam que, ao trabalhar com equações, podemos ter essas múltiplas

representações do conceito de equação. Clarisse responde:

Eu não sei, quando eu trabalho algum assunto, eu procuro abordar tudo que... todas as formas, que nem você falou, saber se o aluno consegue equacionar,

141

se o aluno consegue reconhecer, se o aluno consegue compreender que aquilo é... você descreve uma situação problema....

A professora completa: “Aliás, a minha atividade que tá aqui não é assim, tá?

Porque é uma atividade e ela é feita, eu faço atividades com os alunos assim,

esporadicamente, então eu pego só aquilo que tá sendo abordado aquela hora, pra

ver se eles conseguiram entender...”. Ela se refere a uma atividade elaborada por ela

e aplicada com seus estudantes, apresentada ao grupo de acordo com a solicitação

feita em um dos encontros anteriores.

É pedido, então, dando início à atividade 1.3, que cada professora elabore uma

atividade, uma questão ou um instrumento de avaliação do conceito de equação e,

pela primeira vez nos encontros, as professoras não se sentiram à vontade com a

proposta. Clarisse pede esclarecimentos: “Você quer uma questão ou uma série de

atividades?”. É proposto que elas elaborem livremente, desde que seja uma atividade

para uma manifestação do conceito de equação. Annabeth pontua: “É que assim, você

elabora atividades de acordo com o que a sala tá produzindo, né? [...] Porque cada

turma tem a sua especificidade ”. Elas passam a defender que não é possível elaborar

uma atividade avaliativa fora de contexto, ou seja, sem pensar em um ano específico,

um momento de aprendizado. Annabeth diz que, em seu caso, não está trabalhando

o conceito de equação atualmente, pois tal conceito não está presente no currículo do

Estado de São Paulo para os sextos anos. Clarisse discorda, pois afirma que as

situações de aprendizagem do tipo “pensei em um número [...]”, normalmente

aplicadas nessa fase do ensino, já começam a trabalhar com equação. Annabeth

concorda: “Esse tipo de atividade você já está introduzindo, implicitamente, o conceito

de equação”.

Elas então propõem elaborar juntas situações matemáticas que, relacionadas

ao conceito de equação, sejam trabalhadas nos diferentes anos do Ensino

Fundamental. Annabeth coloca:

É difícil para eu falar do Ensino Fundamental, porque eu fiquei 12 anos longe dele. Eu voltei pro Ensino Fundamental agora, então eu tô no Ensino Fundamental há 4 meses. Né, então são 12 anos que eu não tenho ideia... [...] Eu já pegava aluno no 3º ano do Ensino Médio.

A pesquisadora lhe pergunta como, então, ela trabalha equação no Ensino

Médio. Ela responde: “Aparece um pouco no 1º bimestre do 2º ano as equações

trigonométricas... depois aparece muito pouco, porque depois vem matrizes, análise

combinatória e geometria espacial”. Clarisse, com outra perspectiva, complementa:

142

“Que sempre acaba chegando, é, em equações, porque, que nem geometria espacial

tem sempre aqueles problemas... [...], você tem sempre uma equaçãozinha”. Temos

aqui a visão do conceito de equação como uma ferramenta no Ensino Médio,

enquanto no Ensino Fundamental a equação é mais trabalhada por ela mesma.

Podemos associar essa interpretação, a do Ensino Médio, à zona aplicacional, pois

temos o conceito de equação a serviço de outros conceitos matemáticos.

Com o relato de Clarisse sobre uma experiência com alunos do 1º ano em sua

escola, porém, podemos pensar com mais cuidado nessa separação. Quando estava

ensinando algum conteúdo do 1º ano, ao chegar a uma equação de primeiro grau, ela

“parava a correção ali”. Ela justifica: “no meu conceito, o aluno chegou nisso aqui, tá

no primeiro ano do Ensino Médio, então acabou...”. Ela entendia que, chegando à

equação, eles já saberiam o que tem que fazer; contudo, ela percebeu que os alunos

“ficavam com uma cara de desespero” ao se depararem com o processo de resolução

de equações. Percebemos que, para Clarisse, a compreensão da equação e de seus

procedimentos ─ ou seja, uma compreensão processual do conceito ─ deveria ter sido

construída no Ensino Fundamental. Ela atribui aos alunos essa defasagem, dizendo

que “eles não quiseram aprender, porque aula eles tiveram”, mas ressalta que

precisou retomar os procedimentos de resolução e que isso deveria ser feito com outra

abordagem, porque os alunos não tinham mais idade para aprender da forma como é

feito no Ensino Fundamental.

Clarisse menciona o exemplo de uma situação matemática comum, que ela

chama de problema do taxi. É um problema que, de acordo com as professoras, é

trabalhado no Ensino Fundamental como equação e no Ensino Médio como função.

Ele consiste em atribuir um valor para a bandeirada e um preço cobrado por quilômetro

rodado para o pagamento de um trajeto de taxi. Clarisse diz:

Aí tem uma equação, se você pergunta dessa forma. A forma como a pergunta é feita. Se a pessoa pagar, pagou 20 reais a corrida, quantos quilômetros ela rodou? Então, aí você tem a equação realmente. Você tem 4 mais 1,50 vezes x igual a 20. Aí se você perguntar, é, se a pessoa rodar 18 quilômetros, quanto ela vai pagar? Aí tem um aspecto de função. [...] Porque aí você não vai ter um “x” mais. [...], porque aí o aluno de sexto, sétimo ano consegue resolver, porque foi dado o valor pra ele. Então não é um... Depende de como você faz a pergunta.

Annabeth conclui: “Aí você vê o quanto o conceito é polissêmico. Porque,

exatamente, é difícil falar assim: ‘elabore uma...’; depende exatamente de que ponto

143

você tá trabalhando na aula, de que turma você tá falando...”. Para as professoras,

essas características influenciam na maneira como os conceitos devem ser avaliados.

Na sequência, as duas professoras relatam não elaborarem suas avaliações

completamente sozinhas. Clarisse sinaliza que procura trabalhar com questões como

as que ela aplicou em sala com os estudantes, e Annabeth assinala que não

conseguiria elaborar uma avaliação sem consultar algum material ou livro didático.

Por isso, foram disponibilizados para as professoras os cadernos do aluno do Estado

de São Paulo para que elas pudessem consultar e elaborar a proposta. Nas Figura 7

e 8 apresentam-se os resultados do trabalho colaborativo, desenvolvido pelas duas

professoras a partir da disponibilização de material auxiliar por parte da pesquisadora.

Figura 7 − Elaboração de proposta avaliativa para o 6º e o 7º ano.

Fonte: Elaborado pelas professoras no 3º

Encontro e fotografado pelos pesquisadores.

Figura 8 − Sugestão de conceitos a serem avaliados no 8º e no 9º ano.

Fonte: Elaborado pelas professoras no 3º

Encontro e fotografado pelos pesquisadores.

144

Percebemos que as questões propostas para o 6º ano têm uma abordagem mais

aritmética, preveem o uso de operação inversa para a resolução. Identificamos aqui

uma compreensão mais pragmática, associada principalmente ao tipo de resolução.

A primeira questão proposta para o 7º ano requer a solução de equações já indicadas.

Essa solução pode ser buscada com o uso de estratégia aritmética ou com o de

algoritmos ou processos de resolução; portanto, possibilita tanto uma abordagem

pragmática quanto processual.

Na segunda questão, quando as professoras especificam que o aluno deve

traduzir para a linguagem matemática e escrever a equação, estão direcionando-o

para uma abordagem mais processual do que pragmática. Ainda assim, não é

possível definir qual zona se manifestará na resolução da questão. Para os dois outros

anos, as professoras não elaboraram propriamente questões, mas listaram os

conceitos que julgam mais relevantes para serem avaliados. Percebemos que não há

mais intenção de avaliar a equação por ela mesma, mas sim de associá-la a outros

conceitos trabalhados nos anos indicados.

4.4 As atividades avaliativas

No último encontro, foi solicitado aos professores que fornecessem alguma

atividade avaliativa sobre o conceito de equação que tivessem de fato usado com suas

turmas. A professora Clarisse e o professor Percy a enviaram por e-mail. A atividade

do professor Percy (Figura 9) refere-se a uma questão de cada ano do Ensino Médio,

aplicada no segundo bimestre. Já a atividade de Clarisse (Figura 10) trata-se da prova

que elaborou para sua turma de 8º ano.

Analisando as questões propostas pelo professor Percy, percebemos que são

questões mais objetivas, que servem para verificar diretamente como os alunos

resolvem uma equação exponencial (questão 1) ou aplicam conceitos de trigonometria

(questão 2) ou de geometria analítica (questão 3) para atender ao que foi pedido.

Como sempre pontuado por Percy, tanto na entrevista quanto nos encontros, para ele,

o conceito de equação está presente e pode ser estudado em outros conceitos

matemáticos, o docente mostra uma compreensão mais aplicacional e até mesmo

geométrica. Em todas questões, contudo, identificamos prioritariamente uma

compreensão processual, ainda que entendimento aplicacional se manifeste também

nas questões 2 e 3. Quanto à questão 2, a equação não é tomada com papel central,

145

mas é um artifício para calcular outras razões trigonométricas; ou seja, embora a

questão faça uso de uma equação, não é de fato o conceito de equação que se

pretende avaliar.

Figura 9 − Atividade elaborada pelo professor Percy para o Ensino Médio

Fonte: Elaborado pelo professor Percy.

Na avaliação da professora Clarisse, percebemos uma grande diversidade de

propostas na elaboração das questões. Como evidenciou durante os encontros, para

ela, é muito importante que o aluno compreenda como equacionar um problema, o

que é solicitado na avaliação em, pelo menos, três questões. Na questão da balança,

por exemplo, apesar de ilustrar a ideia de equilíbrio, não observamos uma perspectiva

pragmática, frequentemente associada a essa ilustração em concepções como a que

o professor P4 evidenciava em sua entrevista. Pelo contrário, a questão aproxima-se

mais de um ponto de vista processual, por esperar que, a partir do equacionamento

da situação, o aluno possa resolver a equação e, assim, encontrar os valores que

tornem o equilíbrio verdadeiro.

146

Figura 10 − Atividade elaborada pela professora Clarisse para o 8º ano

Fonte: Elaborado pela professora Clarisse.

Clarisse relatou que elaborou a avaliação após nosso último encontro e pudemos

perceber diversos elementos por nós discutidos presentes nas questões. É o caso,

147

por exemplo, de equações que possuem mais do que uma variável (questão 2, item

a, e questão 3). Ainda assim, nos enunciados a professora trata dessas sentenças por

meio de expressões algébricas e não por equações. Percebemos também que, ainda

que haja a expressão das equações em problemas de geometria, estas têm um

caráter muito mais aplicacional do conceito do que geométrico, porque a busca da

solução da equação não privilegia estratégias geométricas, pelo contrário, realça

estratégias processuais ou pragmáticas que auxiliam na obtenção de um resultado

geométrico.

148

149

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Tendo em vista as discussões promovidas no capítulo anterior, retomamos agora

nossa questão de pesquisa, a saber: “quais conhecimentos sobre equações os

professores dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio manifestam

quando refletem sobre avaliações?”. Destacamos que a investigação desse

questionamento contou com atividades que não estavam diretamente relacionadas ao

processo de reflexão sobre as atividades avaliativas, pois tivemos a intenção de fazer

um levantamento inicial de como os professores compreendiam o conceito de

equação, pensado em ambientes de ensino, para posteriormente verificar como essa

compreensão se relaciona com as atividades avaliativas que esses professores

praticam.

Pontuamos também que encontramos limitações em nossos instrumentos de

construção dos dados, como no caso da Afirmação 4 no Questionário, a qual foi

compreendida, por exemplo, por P7 de maneira diferente daquela que intencionamos

de fato. Algumas das questões de nosso Roteiro para as Entrevistas, na Etapa 2,

também não foram suficientes para contemplar totalmente nossos objetivos: é o caso

de Q5 e Q6, que tinham por referencial de análise, respectivamente, o Conhecimento

do Conteúdo e Ensino e o Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes, sendo que

esses subdomínios do conhecimento pouco se manifestaram na fala desses

professores ao responderem às questões. Em virtude de modelarmos nossos Roteiros

para condução dos encontros na Etapa 3, de acordo com as discussões promovidas,

também nos desviamos de algumas atividades originalmente propostas, que,

acreditamos, teriam nos ajudado a investigar com mais profundidade nossos objetivos

específicos para, assim, conseguirmos atender nosso objetivo geral.

Para além dos instrumentos, também reconhecemos as limitações de nossa

pesquisa, oriundas de nosso próprio aporte teórico, uma vez que adotamos os

trabalhos de Shulman e Ball como referenciais sobre os Conhecimentos Profissionais

Docentes. Esses referenciais não preveem a reflexão sobre as crenças, a trajetória

profissional e a história de vida dos professores como componentes de sua formação

profissional. Assim, ainda que se depreendam de nossos dados diversas menções às

convicções dos professores ou a suas visões de mundo, elas não puderam ser

abordadas em nossa análise, mesmo quando tangenciavam aspectos relevantes

sobre a compreensão do conceito de equação desses professores.

150

Apesar das limitações apontadas, nossa construção e análise dos dados nos

permitiu observar, em maior ou menor grau, a manifestação das cinco zonas do Perfil

Conceitual de Equação propostas por Ribeiro (2013). Dos três professores

participantes de todas as etapas de nossa pesquisa, um aparentou transitar, em maior

ou menor grau, entre as cinco zonas, enquanto os outros dois concentraram-se nas

zonas pragmática e processual. Esse resultado vai ao encontro do que Barbosa

(2009) identificou em sua pesquisa, na ocasião estruturada nos multissignifcados de

equação, em que os três professores participantes apresentaram o significado

processual-tecnicista. A ênfase nos processos também era esperada, dados os

resultados de Ribeiro (2013) e Attorps (2006) que discutimos em nossos Capítulos 1

e 2, nos quais os professores costumam associar o conceito de equação a seus

processos de resolução.

A terceira zona mais identificada foi a aplicacional, associada principalmente pelos

professores ao uso da matemática como uma ferramenta para outras disciplinas. Essa

zona foi bastante manifestada por Percy e também por P7 durante sua entrevista. As

zonas estrutural e geométrica foram as menos manifestadas: na etapa das entrevistas

encontramos apenas indícios das duas zonas, conquanto na etapa dos encontros a

zona geométrica foi mais bem percebida, identificada, sobretudo, nas contribuições

de Percy e nas discussões sobre as questões das macroavaliações, retomadas no

encontro e terceira etapa.

Quanto aos conhecimentos profissionais docentes, notamos que, nos momentos

de reflexão sobre os processos avaliativos, os subdomínios mais mobilizados pelos

professores são Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes, Conhecimento do

Conteúdo e do Ensino e Conhecimento do Conteúdo e do Currículo. Identificamos o

primeiro por meio do reconhecimento de problemas e exercícios que os estudantes

encaram com maior dificuldade bem como dos conceitos associados ao ensino de

equação que poderão apresentar obstáculos para os alunos, na ocasião de

resolverem atividades a eles propostas.

O subdomínio Conhecimento do Conteúdo e do Currículo pode ser percebido

particularmente no terceiro encontro, quando as professoras participantes disseram

apoiar suas propostas avaliativas nas questões e nas situações propostas no

Currículo do Estado de São Paulo, bem como em livros didáticos e outros materiais

que lhes servem de apoio. Além disso, demonstraram reconhecer o momento escolar

em que os conceitos matemáticos são trabalhados e a evolução destes, associada a

151

diferentes propostas de exercícios para avaliação, conforme as Figuras Figura 7 e

Figura 8, apresentadas no capítulo anterior. Esse conhecimento pode estar associado

também ao Conhecimento do Horizonte do Conteúdo, que já havia sido identificado

na fala de Percy em sua entrevista, e é percebido nas falas das outras professoras no

último encontro, no qual o professor não esteve presente.

Quanto a nosso primeiro objetivo específico ─ a saber, identificar se há

manifestação de um maior número de zonas do Perfil Conceitual de Equação quando

há maior diversidade de propostas avaliativas ─, de forma geral não identificamos

relação significativa entre a escolha de instrumentos avaliativos e a manifestação das

diferentes zonas de perfil. Pelo contrário, os resultados da pesquisa mostram que as

avaliações praticadas pelos professores entrevistados são prioritariamente escritas,

envolvendo principalmente situações-problema e exercícios de aplicação, como

percebemos, por exemplo, nas avaliações de Clarisse e Percy, respectivamente, bem

como na proposta de Annabeth e Clarisse desenvolvida no terceiro encontro.

Vale destacar que, apesar de os professores relatarem uma diversidade de

instrumentos avaliativos na Etapa 1, durante as entrevistas, e nos encontros com o

grupo, esses instrumentos foram se delimitando e se dirigindo cada vez mais ao

modelo de avaliação escrita. Apesar disso, esse predomínio de um tipo de instrumento

avaliativo não impediu a manifestação de diferentes zonas de significado, o que nos

parece indicar que a manifestação das zonas está mais associada aos objetivos do

professor com dada questão/situação do que com o instrumento selecionado para

avaliar os alunos. Poder-se-ia discutir mais a fundo, em um trabalho futuro, se a

escolha de objetivos para a avaliação influencia na seleção dos instrumentos

avaliativos, mas nossos resultados, neste trabalho, não parecem apontar nesse

sentido.

Sobre o segundo objetivo específico ─ quer seja, compreender como as

diferentes zonas do Perfil Conceitual de Equação são contempladas nas avaliações

dos professores participantes desta pesquisa ─, temos elementos suficientes para

indicar que as zonas do perfil de fato se manifestam nas reflexões sobre suas práticas

e nas próprias atividades avaliavas, tendo, em algum momento, se manifestado cada

uma das cinco distintas zonas. Destacamos novamente que o grau de manifestação

destas é diferente, sendo que predominam as zonas pragmática e processual.

Por fim, quanto ao terceiro objetivo específico, que tratava de identificar os tipos

de Conhecimentos Profissionais Docentes que emergem quando os professores estão

152

envolvidos em processos de avaliação sobre equações, também já salientamos que

foram manifestados, com maior intensidade, os subdomínios Conhecimento do

Conteúdo e do Ensino e Conhecimento do Conteúdo e do Currículo, mas também

percebemos, em alguns momentos, Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes,

Conhecimento do Horizonte do Conteúdo e Conhecimento Especializado do

Conteúdo. A manifestação de tantos subdomínios parece corroborar o que

defendemos sobre as avaliações no Capítulo 1, quando assinalamos que elas são

uma síntese particularmente rica do processo de ensino e aprendizagem.

Assim sendo, em nossa opinião, o momento de preparação e a reflexão sobre os

instrumentos avaliativos perpassa por múltiplos subdomínios. Para nós, por outro

lado, os conhecimentos relacionados ao subdomínio Conhecimento Especializado do

Conteúdo também dizem respeito à manifestação das zonas do Perfil Conceitual de

Equação. Nesse sentido, esse subdomínio esteve em voga durante toda nossa

investigação, manifestando-se em cada etapa. Apesar disso, é importante salientar

que o Conhecimento Especializado do Conteúdo é um domínio que carece de

ampliação, pois algumas das zonas foram apenas superficialmente mobilizadas.

Com nossos objetivos específicos atendidos, retomamos o objetivo geral de nossa

pesquisa: verificar se os conhecimentos matemáticos docentes manifestados em

processos de reflexão sobre as avaliações elaboradas por professores dos anos finais

do Ensino Fundamental e do Ensino Médio abrangem as diferentes zonas do Perfil

Conceitual de Equação. Temos agora dados para responder que, sim, as zonas estão

contempladas nas avaliações e, principalmente, nos processos reflexivos sobre estas,

ainda que não de maneira igualmente distribuída.

Quanto ao aspecto dos processos reflexivos, percebemos que os encontros foram

particularmente profícuos para a solidificação do conceito de equação por parte dos

professores e que, apesar de terem se realizado em poucos momentos, puderam

cumprir o papel formativo que intencionávamos. Como pudemos perceber nas

próprias falas dos professores, os momentos de reflexão, amplamente discutidos em

nosso capítulo de análises, que ocorreram nos encontros foram úteis para pensar

sobre o conceito de equação em si, refletir sobre a escolha de questões no momento

da elaboração de uma avaliação ─ no sentido de perceber se a questão proposta

serve para verificar o que o professor deseja ─ e trocar informações e experiências

de atividades e vivências, muitas das quais nem relatamos aqui por fugirem de nossos

153

interesses de pesquisa, mas que certamente enriqueceram a atividade para a

pesquisadora e para os professores envolvidos.

Para além das questões avaliativas, percebemos o quanto a interação entre os

professores e suas diferentes experiências em sala de aula fizeram com que cada

docente tivesse um papel diferente e importante no desenvolvimento de nossa

pesquisa. Mesmo aqueles que não puderam participar dos encontros, proporcionaram

visões que agregaram na compreensão de suas definições de avaliação, do modo

como fazem suas avaliações e, particularmente, da forma como compreendem o

conceito de equação. Percebemos que os momentos de socialização e formação

coletiva são fundamentais para o desenvolvimento profissional docente.

Isso fica ainda mais perceptível nas propostas e nos momentos em que os

professores deveriam chegar a um consenso no grupo sobre determinados aspectos

e precisavam ponderar sobre suas crenças e suas concepções pessoais em contraste

com as dos demais. Percebemos que o processo de negociação e de construção

conjunta de significados e compreensões mostrou-se muito potente para a

reconstrução desses entendimentos. Também por isso, em nosso planejamento,

deixamos para apresentar nossas perspectivas teóricas aos professores apenas no

último encontro, quando esse processo de negociação já havia se tornado natural

entre o grupo.

Para finalizar, destacamos que alguns elementos sobre equações que

identificamos nas falas dos professores não puderam ser diretamente relacionados à

nenhuma zona, como a ideia de equação como uma linguagem ou como um processo

de equacionamento. Além dessas, também destacamos da fala de Annabeth o

momento em que ela diz:

... a gente só tá pensando em equação no âmbito da, da matemática, mas na verdade na matemática é onde ela é menos utilizada, né? Se você pensar na química você tem, na física você tem, na tecnologia você tem a linguagem algébrica, então eu acho que também nos falta essa capacidade de transitar... de mostrar que é um conhecimento, aí sim, básico, necessário pras outras áreas do conhecimento, né?

Essas ideias não contempladas nas zonas já existentes evidentemente

carecem de uma investigação mais profunda que tenha por objetivo reconhecer as

zonas já existentes e, se necessário, elaborar novas. Não temos embasamento, neste

momento, para fazer essa discussão, mas deixamos estas reflexões como alguns

154

pontos a serem considerados futuramente. Frisamos que não nos parece que

linguagem necessite figurar uma zona distinta do Perfil Conceitual de Equação, uma

vez que a compreensão de equação como uma linguagem, além de ser concomitante

a todas as zonas, não é, por si só, uma forma de compreender o conceito. Na verdade,

a linguagem parece, para nós, mais fazer parte de uma caracterização geral do

conceito do que se relacionar com as especificidades de uma compreensão particular

associada a um contexto.

Sobre o equacionamento, também nos parece uma ideia fortemente associada

às zonas aplicacional e estrutural, mas, apesar disso, não figura apenas como uma

característica deles. Deixamos aqui uma indicação que, em trabalhos posteriores,

pode ser interessante investigar como a ideia de equacionamento se relaciona ao

Perfil Conceitual de Equação. Quanto ao que Annabeth falou, embora a ideia de usar

o conceito de equação em outras áreas esteja associada à zona aplicacional, ela nos

chama atenção para o fato de que o termo equação é, muitas vezes, aplicado em

outras áreas ou cotidianamente em contextos não-matemáticos, o que pode promover

a construção de novos significados ─ uma nova zona ─ para o Perfil Conceitual de

Equação que não necessariamente estão de acordo com a caracterização matemática

que fizemos do conceito. Esse é outro ponto que pode ser investigado em trabalhos

posteriores.

155

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161

Apêndice A − Dados do Questionário de Identificação dos 21 professores participantes da primeira etapa da pesquisa.

Professor Sexo Idade Formação Ano de

conclusão Atuação

Tempo de atuação (anos)

Redes Anos em que atua

P1 F 47 LM 2012 R, A entre 4 e 10 E 9º ano E.F., 2º ano E.M.

P2 F 56

LM, Novas Tecnologias na

Educação Matemática

2003 R entre 11 e 20 E 7º ano E.F., 1º e 2º ano E.M.

P3 M 47 LM 2005 R até 3 E 6º e 7º ano E.F.

P4 M 34 LM 2003 R entre 11 e 20 E 6º ano E.F., 2º ano E.M.

P5 M 33 LM 2011 R, A até 3 E 1º, 2º e 3º ano E.M.

P6 F 38 LM, Bacharelado

em Economia 2010 R até 3 E 6º e 9º ano E.F., 1º ano E.M.

P7 M 26 LM 2010 R entre 4 e 10 P, M 6º ano E.F., 2º ano E.M.

P8 F 32 LM, BM 2005 R entre 4 e 10 M, E 6º, 8º ano e 9º ano E.F.

P9 F 49 LM, P 2006 R 21 ou mais M, E 6º ano, 7º e 9º ano E.F.

P10 F 30 LM 2006 R entre 11 e 20 P, M 2º ano E.M.

P11 F 48 LM, P 2013 R entre 11 e 20 M, E 1º e 3º ano E.M.

P12 M 35 Licenciatura em

Física, LM, P 2014 R entre 11 e 20 M, E 7º E.F., 2º e 3º ano E.M.

P13 F 23 LM 2014 R até 3 P 6º ano E.F., 2º ano E.M.

P14 F 51 Engenharia Química 1985 R, A, E até 3 E 1º, 2º e 3º ano E.M.

P15 M 38 LM 2006 R, POIE entre 11 e 20 M, E 6º, 7º, 8º e 9º ano E.F.

P16 F 20 LM Em

andamento R, A até 3 E 6º, 7º e 9º ano E.F.

P17 F 36 LM 2000 R entre 11 e 20 E 2º e 3º ano E.M.

P18 F 45 LM, BM 2001 R entre 11 e 20 E 7º, 8º e 9º ano E.F., 1º 2º e 3º ano

E.M.

P19 F 34 LM 2004 R, A entre 11 e 20 P, E 9º ano E.F., 1º e 2º ano E.M.

P20 F 26 LM 2013 Não atua há

3 meses entre 4 e 10 P

6º, 7º, 8º ano e 9º ano E.F., 1º, 2º e 3º ano E.M.

P21 F 33 LM 2002 R entre 11 e 20 P, M, E 8º e 9º ano E.F.

Legendas: Sexo: F - feminino, M - masculino; Formação: LM - Licenciatura em Matemática, BM - Bacharelado em Matemática, P - Pedagogia; Atuação: R -

regente, A - auxiliar, E - eventual, POIE - professor ; Redes: P - particular, E - estadual, M - municipal.

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Apêndice B − Trechos da transcrição de P17

18 [01:23 – 01:30] Thais: Ok. Então, começando... você acha que... equação é um tema importante

19 para ser trabalhado nas escolas?

20 [01:31 – 01:59] P17: Então, cê acredita que até pouco tempo eu achava que não? Eu vim mudar a

21 minha concepção, acredito que no ano passado. Depois de 13 a 14 anos dentro da sala

22 de aula é que eu vim mudar minha concepção. Hoje eu acredito que equação é um tema

23 importantíssimo pra estar na sala de aula. Mas, cê vê, foram 13 anos pra acreditar nisso, né?

24 [01:59 – 02:00] Thais: E... e por que que você achava que não?

25 [02:01 – 03:03] P17: Porque eu não via muito sentido, somente equação pela equação. Então, x

26 mais 7 é igual a 12, é, passa para o lado de lá, encontra o valor de x, somente a equação

27 pela equação, sabe, eu não via... eu achava que... por exemplo, se você pega situações-problema

28 com o conceito de fração. Eu acho que tá muito mais próximo do cotidiano, muito mais próximo

29 da matemática que é utilizada na vida, né... então eu achava equação um conceito pouco utilizado

30 na, no cotidiano das pessoas, né? E como você trabalha na Educação Pública, você vê que os alunos

31 são totalmente despreparados. Então o que eles precisam é ter pelo menos uma leitura de mundo,

32 né, ter um conhecimento matemático que permita ele ter uma leitura de mundo um pouco melhor.

33 Né? Compreender um pouco mais o que todos estes números que estão, né, nos telejornais, nas

34 revistas, em todos os lugares querem diz... quer dizer pra eles, né? E eu não conseguia fazer esse

35 link com a educação. Entendeu?

36 [03:03 – 03:04] Thais: E o que que mudou?

37 [03:04 – 04:16] P17: O que que mudou eu até comentei com você, foi a leitura de uma, de uma

38 tese de mestrado, né, que fala porque ensinar matemática. E ele vem defendendo a... a educação

39 algébrica de uma forma tão bonita, tão simples e tão bonita. Pra mim teve tanto significado aquilo,

40 que depois daquilo eu já comecei a me simpatizar a educação algébrica. Né? Tanto é que até

41 quando eu fui pro OBEDUC, né, não sei se é pertinente falar... eu fui pra conhecer, mas eu não

42 entendida porque tanta gente tava querendo, é... ver os multissignificados do conceito de

43 equação, sabe? Da representação de equação. Eu achava aquilo muito distante do que realmente

44 é a educação básica. E hoje não, hoje eu já acho que faz todo sentido. Entendeu? Mas eu acho que

45 não é feito essa ponte ainda, entre o que é estudado lá, o que... o que faz sentido... pra mostrar

46 para os professores, que é tudo Educação Básica, que faz sentido, né? Acho que... tem uma grande

47 maioria dos professores que ainda se encontram no estado que eu estava há 13 anos, né? Então

48 ainda precisa desse...

49 [04:16 - 04:19] Thais: É que na verdade essa ponte não foi feita, né?

50 [04:18 - 04:19] P17: Não foi feita, é...

51 [04:19 - 04:20] Thais: Quem veio buscar foi você...

52 [04:20] P17: Então.

53 [04:20 - 04:22] Thais: Você que se inseriu lá,

54 [04:22] P17: Isso!

55 [04:22 - 04:24] Thais: ...que entendeu e estudou aquelas ideias, e

56 [04:24] P17: Isso!

57 [04:24] Thais: e...

58 [04:25 – 04:39] P17: um pouquinho, né? Eu só tive um contato... pouquíssimo, porque eu fiquei

59 pouquíssimo tempo no grupo. Maaas... começou a fazer sentido. Entendeu? Algo que não tinha

163

60 nenhum sentido.

61 [04:41 – 04:44] Thais: Tá bom. E como é que você trabalha esse conceito com os seus alunos?

62 [04:44 – 05:40] P17: De forma bem tradicional. De forma como foi trabalhado comigo, de forma

63 como o livro didático traz... é, foram pouquíssimos os momentos em que eu mudei, em que eu

64 diversifiquei, que eu trouxe algo novo. Entendeu? Então, assim... faz tempo que eu não trabalho

65 com equação, com o conceito de equação porque eu tava no Ensino Médio... tem equação, mas

66 não com tanta... não o conceito inicial, né? E... ela acaba surgindo em meio a resolução de alguma

67 outra coisa, né? Mas eu trabalho de forma beeem... bem repetitiva, assim, como foi trabalhado

68 comigo quando eu fiz, eu reproduzi. Eu reproduzi o que eu aprendi tanto na Educação Básica

69 quanto na, na graduação. Eu não fiz nada diferente. Triste isso, né? Mas é verdade. (risos)

70 [05:41 - 05:47] Thais: Você, é... como é que você vê que a aprendizagem de equações se relaciona

71 com os demais conceitos matemáticos?

72 [05:47 - 06:41] P17: Então... vendo equação agora por essa outra perspectiva, eu consigo pensar

73 nela re, se relacionando com as outras coisas, né? Eu consigo pensar assim, mas ainda tá muito

74 abstrato. Não sentei ainda pra preparar uma aula fazendo essa conexão da equação com a

75 geometria, da equação com outros contextos, né? Então, assim... pra mim existe a possibilidade

76 de. Agora, fazer, realmente, ainda não fiz. Né, eu acho que... mas pelo menos eu já tenho essa...

77 esse olhar, de que existe a possibilidade. Então se eu sentar, preparar a aula... começa nessa

78 expectativa de que eu vou proporcionar no ensino, fazer uma conexão com outras áreas, eu acho

79 que vai sair alguma coisa legal. Vai começar um movimento de mudança, né? Coisas que não, não

80 tinha até então.

81 [06:42 - 06:49] Thais: E isso você vê que... vai partir da sua prática , de você elaborar, né, da sua

82 vontade. O currículo não promove esse tipo de relação?

83 [06:50 - 07:34] P17: Então, eu não conheço o currículo do... do oitavo ano, que é a antiga sétima

84 série, oitavo ano. Não conheço esse... realmente, o caderno do aluno, não tive contato com esse

85 material pra saber se lá já não existe essa.... já não existe sugestões de atividades fazendo isso.

86 Sinceramente eu acredito que exista, porque... as pessoas podem dizer o que for do currículo,

87 sabe.... mas ele tá bem estruturado, bem elaborado. É que os nossos aluninhos eles não con, não

88 estão conseguindo muito bem acompanhá-lo. Mas o currículo ele é bem interessante, tem algumas

89 falhas, como tudo, mas ele é bem interessante. Eu acredito que já deve ter algumas situações de

90 aprendizagem que eles façam conexão da equação com outras áreas da... com outros campos da

91 matemática sim.

92 [07:35 - 07:38] Thais: E você acha que, você falou que os alunos não conseguem acompanhar...

93 [07:38] P17: Aham...