TRABALHO DE MATEMÁTICA

Maria Cristinne p. seixas. nº 16;Fernanda Emanuelle. nº 6;Junnielly da silva costa rios. nº 10

Trabalho de pesquisa exigido como pré-requisito para a obtenção de nota do 4º bimestre do colégio de saint germain, sob a orientação do professor Diogo Meurer.

Maceió,18 de outubro

Há mais de dois mil anos, Euclides, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis.

Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples (cubos, esferas, prismas).

Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão. No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

Em 1935, Mandelbrot descreveu matematicamente a ideia original de Euclides, acrescentando a essa idéia a questão da dimensão e, foi deste modo que surgiu a GEOMETRIA DOS FRACTAIS.

GEOMETRIA DOS FRACTALGEOMETRIA DOS FRACTAL

Mandelbrot iniciou uma análise matemática do ruído electrônico começando a perceber a estrutura presente nele: as hierarquias de flutuações de todos os tipos que não podiam ser descritas pelos métodos estatísticos existentes. Assim, à medida que os anos foram decorrendo, diversos problemas que não pareciam relacionados, foram se unindo cada vez mais, dando origem ao nome: Geometria Fractal, que surgiu do latino fractus, que significa irregular ou quebrado.

Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e relâmpagos, até à distribuição das galáxias e à economia de stocks e mercados.

Assim, o impacto dos fractais e da geometria fractal é bem evidente, quer na engenharia, nas comunicações telefônicas, na química, na metalúrgica, na arte, na matemática e, até no estudo de doenças crónicas e noutros campos da medicina.

Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:

•SISTEMA DE FUNÇÕES ITERADAS — Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Conjunto de cantor, tapete de Sierpinski, Curva de peano, Floco de neve de Koch, curva do dragao de Harter-Heighwav, esponja de Menger.

•Fractais definidos por uma relação de RECORRÊNCIA em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.

•FRACTAIS ALEATÓRIOS, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.

A curva de Koch foi apresentada pelo matemático sueco Helge Von Koch, em 1904, construindo-a a partir de um segmento de reta.

Construção da Curva de Von Koch:1- Divide-se esse segmento em três partes iguais.2- Substitui-se o segmento médio por dois segmentos iguais, de

modo a que, o segmento e médio e os dois novos segmentos formem um triângulo eqüilátero.

3- Obteve-se uma linha poligonal com quatro segmentos de comprimento igual.

4- Posteriormente, repetem-se os passos 1 - 3 para cada um dos segmentos obtidos.

Obtém-se assim, no limite de iterações, uma curva que pode ser considerada como um modelo simplificado de uma costa.

Tal como uma costa, a curva de Von Koch tem um comprimento infinito.

CURVA DE KOCH

Esta curva deu origem a um outro fractal, conhecido como floco de neve ou ilha de Von Koch (modelo rudimentar da costa de uma ilha e muito semelhante a um floco de neve).

Este último modelo é construído partindo de um triângulo eqüilátero.

Construção da Ilha de Von Koch:1- Constrói-se a curva de Von Koch em cada aresta das três do

triângulo.2- Quanto à auto-semelhança, o modo de construção da curva de

Von Koch sugere que ela seja auto-semelhante.3- Em cada passo, uma quarta parte da curva é semelhante à

curva obtida no passo anterior, logo, não existe auto-semelhança nas curvas que se vão obtendo em cada passo.

3. EM RELAÇÃO ÀS CURVAS DE KOCH, QUANTOS LADOS FORAM FORMADOS COM A QUARTA ETAPA? E COM A SEXTA? AGORA, CRIE UMA FUNÇÃO ENTRE O NÚMERO DE LADOS FORMADOS COM O NÚMERO DE ETAPAS NECESSÁRIAS.

TAREFA

TAREFA4. ESBOCE O GRÁFICO PARA ESSA FUNÇÃO.