traçados geometricos

ESCOLA SECUNDÁRIA PADRE BENJAMIM SALGADO Disciplina de Geometria Descritiva A

Tipos de traços e sua utilização

A normalização dos traçados é fundamental, adquire um significado especial permitindo uma leitura

rápida e completa dum desenho geométrico e das características da forma do objecto ou espaço

representado. No desenho geométrico são utilizadas diferentes tipos de traçados ou linhas, conforme a

sua espessura ou aspecto Visual.

Os diferentes tipos de linha são os seguintes:


Convenções gráficas

O Desenho Técnico, tal como a Geometria Descritiva, é uma linguagem universal, pelo que temos que utilizar

um conjunto de sinais e normalizações que sejam reconhecidas internacionalmente.


Geometria no Plano

Geometria no plano refere-se a todas as construções

geométricas feitas no espaço bidimensional - o plano.

O Ponto é a unidade mais pequena que se conhece, a

partir da qual tudo se constrói. Um ponto define-se

rigoro- samente pela intersecção ou cruzamento de

duas tinhas, sejam elas rectas ou curvas, e representa-

se por uma tetra maiúscula.

Linha são vários pontos ligados num plano e numa

dimensão. Uma linha pode ser recta, curva, contínua,

quebrada, aberta ou fechada. Uma linha define-se rigo-

rosamente por dois pontos unidos por um traço.

Recta é uma linha sem princípio nem fim que se define

por um traço direito e que se representa por uma letra

minúscula.

Segmento de recta é uma tinha direita com princípio e

fim, que se representa por duas letras maiúsculas.

A posição das rectas no espaço define a sua

orientação ou direcção: horizontal, vertical e oblíqua.

A posição relativa de duas rectas define a relação que

existe entre elas.

Rectas paralelas são rectas que mantêm sempre a

mesma distância entre si e nunca se cruzam. Rectas

concorrentes são rectas que se cruzam num ponto.

Rectas perpendiculares são rectas concorrentes que

formam entre si ângulos de 90° ou ângulos rectos.

Divisão de um segmento de recta em 2 partes iguais

(noção de mediatriz)

Faz centro no ponto a e no ponto b e com abertura do

compasso superior a metade de AB descreve dois

arcos que, ao se intersectarem, determinam os pontos

por onde passa a recta m. Chama-se mediatriz a esta

recta porque divide o segmento AB em duas partes

iguais (AM é igual a MB).

Divisão de um segmento de recta em 4 partes iguais

Determina a mediatriz deAB. Em seguida, fazendo

centro nos pontos A e C, e com abertura do

compasso superior a metade de AC, descreve dois

arcos que ao se intersectarem determinam os pontos

por onde passa a mediatriz do segmento de recta AC.

Repetindo o pro- cesso para o segmento CB, o

segmento de recta AB ficará dividido em quatro partes

iguais.


Divisão de um segmento de recta em qualquer número de

partes iguais (método geral)

Pelo ponto A faz passar uma recta oblíqua qualquer.

Sobre esta recta e a partir do ponto A marca tantos

segmentos iguais de uma medida qualquer (desde que

seja sempre igual) quantas as partes em que

pretendes dividir o segmento dado. Une o extremo do

último segmento marcado sobre a recta oblíqua com o

ponto B. Com o auxílio da régua e do esquadro traça

paralelas a esta recta que, ao passarem pelos outros

pontos, vão dividindo o segmento de recta AB em

partes iguais.

Ângulos

Ângulo é a porção de plano compreendida entre duas

semi-rectas (os lados) com a mesma origem V(vér-

tice). Há várias unidades de medida dos ângulos, mas

neste manual utilizamos o grau (°), que é a mesma uni-

dade do teu transferidor. Um ângulo recto tem 90°

(noventa graus).

Para medir um ângulo faz coincidir o centro do teu

transferidor com o vértice do ângulo e a linha 0-180°

com um dos lados do ângulo. Depois basta veres a

divisão do transferidor que coincide com o outro lado

do ângulo, fazendo a leitura correspondente, em graus.

Classificação dos vários tipos de ângulos

Divisão de um ângulo em duas partes iguais - bissectriz

Para dividires um ângulo em duas partes iguais, fazes

centro com o compasso no vértice V do ângulo e, com

uma medida qualquer, traças um arco que intersecte o

ângulo em dois pontos, A e B. Com centro em A e

depois em B, traças dois arcos que se intersectam no

ponto X. Faz passar por X e por V uma recta. E esta

recta, bissectriz do ângulo, que o divide em dois

ângulos iguais.


Construção de polígonos regulares a partir da medida

dos lados, dos ângulos ou das diagonais

Construção do triângulo equilátero

dado o segmento de recta AB (base)

Fazendo centro nos pontos A e B, descreve dois arcos

de circunferência de raio igual à base, os quais,

intersectando-se no ponto C, determinam o vértice do

triângulo. Une os pontos A, B e C e obténs um

triângulo equilátero.

Construção do triângulo isósceles dadas a base AB e a

altura CD

Determina a mediatriz da base. A partir do ponto médio

da base, o ponto D, marca um segmento de recta per-

pendicular, com comprimento igual a CD (altura). Une

os pontos A, B e C e obténs um triângulo isósceles.

Construção do triângulo obtusângulo

dados três lados

Traça o lado AB e, fazendo centro no ponto A e no

ponto B, traça dois arcos com a abertura dos lados AC

e BC. 0 cruzamento dos dois arcos determina o ponto

C, que unindo a A e B completa um triângulo

obtusângulo.


Construção do quadrado dado o lado

Desenha o segmento AB e traça a perpendicular pelo ponto A (usa, como construção auxiliar, o traçado

da mediatriz de um segmento de recta, que defines traçando um arco com uma abertura qualquer e

centro no ponto A e que intersecta o lado AB dado e o seu prolongamento). Faz centro em A e traça um

arco de circunferência com abertura AB, que te vai dar o ponto C sobre a perpendicular que traçaste.

Com a mesma abertura, faz centro em C e depois em B e traça arcos de circunferência que se

intersectam no ponto D. Une os pontos A, B, C e D e obténs o quadrado.

Construção do rectângulo dados dois lados

Desenha o segmento de recta AB (lado maior do rectângulo) e traça a perpendicular pelo ponto A (como

procedeste para o quadrado). Abre o compasso com a medida do lado menor do rectângulo e, com centro

em A, traça um arco que intersecte a perpendicular que traçaste e obténs o ponto D. Com a mesma

abertura, traça um arco com centro em B. Abre agora o compasso com a medida AB, faz centro no ponto

D e intersecta o arco que traçaste anteriormente, obténs o ponto C. Une os quatro pontos e tens o

rectângulo pedido.


Divisão da circunferência em partes iguais

Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígonos regulares em estrela (ou polígonos regulares

estrelados) inscritos na circunferência

Divisão da circunferência em 3 partes iguais e construção do polígono inscrito

Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB. Com o centro do compasso em B e

abertura igual ao raio da circunferência dada, traça o arco CD. Os pontos A, C e D dividem a

circunferência em 3 arcos ou partes iguais. Se unires esses mesmos pontos obténs um triângulo

equilátero.


Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB e traça também a sua mediatriz. Os

pontos A, B. C e D são os pontos da divisão da circunferência em 4 arcos ou partes iguais. Se unires

esses mesmos pontos obténs um quadrado.



Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB e traça também a sua mediatriz. Divide

o raio AO ao meio e, fazendo centro em E, com abertura do compasso até C, descreve o arco CF. Com

centro em C e abertura do compasso correspondente à distância CF determina os pontos G e H.

Continuando com a medida CF marca os pontos I e J, fazendo centro, respectivamente, em H e G. C, G,

H, I e J são os pontos da divisão da circunferência em 5 partes iguais. Se unires esses pontos obténs um

pentágono.

Construção do pentágono

dado o segmento de recta AB (lado)

Prolonga AB para a direita. Faz centro no ponto B e com abertura do compasso até A descreve a

semicircunferência AP e divide-a em cinco partes iguais traçando cinco ângulos de 36°. Une o ponto B ao

ponto C, que é a segunda divisão da semicircunferência 172°I e traça as mediatrizes dos lados AB e BC

que se intersectam no ponto 0. Fazendo centro neste ponto 0, descreve uma circunferência que passe

nos pontos A, B e C. Toma com o compasso a medida do lado AB e marca na circunferência os pontos D

e E. Une estes pontos e obténs um pentágono.



Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB. Com centro em A e em B, e com

abertura igual ao raio da circunferência dada, traça os arcos CD e EF. Os pontos A, B, C. D, E e F são os

pontos da divisão da circunferência em 6 arcos ou partes iguais. Ao unires os 6 pontos obténs um

hexágono.

Construção do hexágono

dado o segmento de recta AB (lado)

Fazendo centro nos pontos A e B, com abertura igual ao lado AB, descreve arcos que, intersectando-se,

determinam o ponto 0. Faz centro no ponto 0 e com a mesma abertura do compasso descreve uma

circunferência que, passando pelos pontos A e B, vai intersectar os dois arcos traçados nos pontos C e F.

Fazendo centro nestes pontos C e F, e sempre com a mesma abertura, descreve arcos que vão

intersectar a circunferência nos pontos D e E. Ao unir todos os pontos obténs um hexágono-



Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB. Com centro em B e abertura igual ao

raio da circunferência dada, traça um arco que vai intersectar a circunferência nos pontos C e D. 0

segmento CD intersecta o diâmetro AB no ponto M. Fazendo centro em C e com abertura do compasso

até ao ponto M, intersecta a circunferência para obteres o ponto E. Com a mesma medida, fazendo centro

em E, obterás o ponto F e assim sucessivamente, até que a circunferência esteja dividida em 7 arcos ou

partes iguais. Se unires esses 7 pontos obténs um heptágono.


Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB e traça também a sua mediatriz. Em

seguida traça as bissectrizes dos quatro ângulos rectos formados pelos dois diâmetros perpendiculares

AB e CD, fazendo-as intersectar a circunferência dada. Estes 8 pontos são os pontos da divisão da

circunferência em 8 arcos ou partes iguais. Se unires esses mesmos pontos obténs um octógono.


Construção do octógono dado o segmento de recta AB (lado)

Prolonga AB para ambos os lados. A partir dos pontos A e B, levanta duas perpendiculares. Com centro em A e em B e abertura igual à medida do lado AB, traça duas semicircunferências que intersectam a recta prolongada nos pontos P e Q e as duas rectas perpendiculares em R e S. Traça as bissectrizes

dos ângulos PÂR e SBQ. A intersecção das bissectrizes com as semicircunferências determina os pontos C e D. Por estes pontos traçam-se paralelas às duas rectas perpendiculares levantadas, marcando-se com a medida do lado AB os pontos E e G. Com centro nestes pontos, e com a mesma abertura do compasso, traça arcos que vão intersectar as primeiras duas rectas levantadas nos pontos F e H. Ao unir todos os pontos obténs um octógono.


Dada a circunferência de centro 0, traça o diâmetro horizontal AB, dividindo-o em nove partes iguais (pelo

método geral explicado na página 15). Com centro no ponto A e no ponto B e abertura do compasso igual

ao diâmetro da circunferência, descreve arcos que, intersectando-se, determinem o ponto P. Partindo

deste ponto, traça uma recta que passe no ponto extremo da segunda divisão do diâmetro (2),

prolongando-a até circunferência para determinar o ponto C. Aplicando sucessivamente a medida AC na

circunferência, vais obter 9 pontos, que são os pontos da divisão da circunferência em 9 arcos ou partes

iguais. Se unires esse mesmos pontos obténs um eneágono.



Dada a circunferência de centro 0, divide-a primeiro em cinco partes iguais para obteres um pentágono.

Determina a mediatriz de cada lado do pentágono e prolonga-a até intersectar a circunferência. Esses

novos 5 pontos acrescentados aos outros 5 já determinados dividem a circunferência em 10 arcos ou

partes iguais. Se unires esses 10 pontos obténs um decágono.

Polígono regular estrelado é um polígono regular cujos lados tomam a forma de estrela. Todos os

polígonos regulares estrelados são côncavos, porque o prolongamento dos seus lados intersecta a

superfície poligonal (o espaço interior do polígono).

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