Transferncia de

Calor CONDUO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE

Mtodo da Capacitncia

Global

Temperatura inicial do metal Ti.

Temperatura do fluido - T.

Mtodo da Capacitncia

Global

A essncia do mtodo da capacitncia global a hiptese de

que a temperatura em um slido uniforme no espao, em

qualquer instante durante o processo transiente.

Essa hiptese implica que gradientes de temperatura no interior

do slido sejam desprezveis.

Trata-se que um condio impossvel.

Mtodo da Capacitncia

Global

Entretanto, se a resistncia conduo no interior do slido for

pequena em relao a transferncia de calor entre o slido e a

vizinhana, podemos assumir que tal condio ocorra.

Mtodo da Capacitncia

Global

Definindo a diferena de temperaturas:

e reconhecendo que (d/dt) = (dT/dt), se T for uma constante, segue-se que

Mtodo da Capacitncia

Global

Separando as variveis e integrando a partir da condio inicial, na

qual t= 0 e T(0) = Ti, obtemos, ento,

Na qual:

Efetuando-se as integraes, segue-se que

A equao 5.5 pode ser usada para determinar o tempo necessrio

para o slido alcanar uma determinada temperatura T.

Mtodo da Capacitncia

Global

A integrao de

Pode ser expressa ainda na forma de:

Neste caso a equao 5.6 pode ser utilizada no clculo da temperatura

alcanada no slido em algum tempo t.

Mtodo da Capacitncia

Global

A grandeza pode ser interpretada como uma constante de

tempo trmica representada por:

onde Rt a resistncia trmica transferncia de calor por conveco

e Ct chamada de capacitncia trmica global do slido.

Mtodo da Capacitncia

Global Os resultados anteriores indicam que a diferena entre as temperaturas

do solido e do fluido deve diminuir exponencialmente para zero

medida que o tempo, t, se aproxima de infinito.

Comportamento que mostrado na figura abaixo:

Figura 5.2: Resposta transiente da temperatura de slidos com capacitncias globais para

diferentes constantes de tempo trmicas t

Mtodo da Capacitncia

Global Para determinar o total da energia transferida Q at algum instante de

tempo t, simplesmente escrevemos

Substituindo a expresso para , Equao 5.6, e integrando, obtemos

A grandeza Q est, relacionada mudana na energia interna do

slido.

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

O mtodo da capacitncia global certamente o mais simples e

conveniente que pode ser utilizado na soluo de problemas transientes

de aquecimento e de resfriamento.

Porem deve-se determinar sob quais condies ele pode ser

empregado com preciso satisfatria.

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

Efeito do nmero de Biot na distribuio de temperaturas, em regime

estacionrio, em uma parede plana com conveco na superfcie.

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

Para condies de regime estacionrio o balano de energia :

O rearranjo dessa equao resulta em:

A grandeza (hL/k) que aparece na equao 5.9 um parmetro

adimensional. Ele chamado de numero de Biot.

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

O nmero de Biot fornece a medida da queda de temperatura no

slido em relao a queda de temperaturas entre a superfcie e o

fluido.

Particularmente, se Bi

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

Figura 5.4; Distribuies de temperaturas transientes para nmeros de Biot diferentes em uma parede resfriada por conveco

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

Devido a sua simplicidade o mtodo da capacitncia global pode ser

utilizado na soluo de problemas que envolvam o aquecimento ou

resfriamento.

Nestes casos, porm a primeira providncia a ser tomada calcular o

nmero de Biot. Se a seguinte condio for satisfeita

o erro associado utilizao do mtodo da capacitncia global

pequeno.

Sendo Lc= V/As, o expoente da equao 5.6 pode ser representado por:

Ou

Na qual,

conhecido como nmero de Fourier. Ele representa um tempo

adimensional que, com o nmero de Biot, caracteriza problemas de

conduo transiente.

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

Substituindo a equao 5.11 na equao 5., obtemos

Validade do Mtodo da

Capacitncia Global

Exemplo

Uma junta de termopar, que pode ser aproximada de uma esfera,

usada para medir a temperatura de uma corrente gasosa. O

coeficiente convectivo entre a superfcie da junta e o gs igual a h=

400 W/(m2.k) e as propriedades termofsicas da junta so k= 20 W/(m.k),

c= 400 J/(kg.k) e = 8500 kg/m3. Determine o dimetro que a junta deve ter para que o termopar tenha uma constante de tempo de 1 s. Se a

junta est a 25 C e encontra-se posicionada em uma corrente de gs a

200C, quanto tempo ser necessrio para a junta alcanar 199 c?

Exemplo

Consideraes:

Temperatura da junta uniforme a todo instante.

Troca de calor por radiao com a vizinhana desprezvel.

Perdas por conduo atravs dos terminais so desprezveis.

Propriedades constantes.

Anlise Geral do Mtodo da

Capacitncia Global

A figura 5.5 mostra a situao geral na qual as condies trmicas no

interior de um slido podem se influenciadas simultaneamente pela

conveco, pela radiao pela aplicao de um fluxo em sua

superfcie e pela gerao interna de energia.

Anlise Geral do Mtodo da

Capacitncia Global O fluxo trmico imposto q e as transferncias de calor por

conveco/radiao ocorrem em regies da superfcie exclusivas, As(a)

e As(c,r), respectivamente, e as transferncias de calor por conveco e

por radiao so presumidas saindo da superfcie.

Anlise Geral do Mtodo da

Capacitncia Global

Somente radiao

Se no houver imposio de fluxo trmico ou de gerao de, e a

conveco tambm no estiver presente (vcuo) ou seja desprezvel

em relao radiao, a equao 5.15 se reduz a

Separando variveis e integrando da condio inicial at algum tempo

t, tem-se que:

Somente radiao

Efetuando-se as integrais e rearranjando o resultado, o tempo

necessrio para alcanar a temperatura T se torna:

Essa equao no pode ser usada para determinar T de forma explicita

em funo de t, Ti e Tviz , nem tampouco simplificada para o resultado

limite quanto Tviz= 0.

Analise Geral do Mtodo da

Capacitncia Global

Somente radiao

Contudo, retornando equao 5.17, sua soluo para Tviz= 0, fornece

Analise Geral do Mtodo da

Capacitncia Global

Efeitos espaciais

Com frequncia surgem situaes nas quais o numero de Biot

no pequeno o suficiente.

O uso do mtodo da capacitncia global forneceria resultados

incorretos, assim abordagens alternativas devem ser utilizadas.

De forma geral, os problemas de conduo transiente so

descritos pela equao do calor (2.19; 2.26; 2.29).

A soluo dessas equaes fornecem a variao da

temperatura em funo do tempo e coordenadas espaciais.

Efeitos espaciais

Em muitos casos a descrio da distribuio interna de

temperaturas pode ser feita com apenas uma coordenada espacial.

Sem gerao interna de energia e com a hiptese de

condutividade trmica constante, a equao 2.19 (parede plana) se reduz a

Efeitos espaciais

Para resolver a equao 5.26, necessrio especificar uma

condio inicial e duas de contorno.

Tipicamente, para um problema de conduo transiente a

condio inicial

Enquanto isso, as condies de contorno so:

e

Efeitos espaciais

Dessa forma, a distribuio de temperaturas em funo do

tempo e posio funo de diversos parmetros fsicos, em particular:

Podemos separar as variveis relevantes em grupos. Isso nos

permite adimensionalisaras equaes.

Por exemplo:

Se a diferenas de temperaturas = T T for dividida pela mxima diferena de temperaturas possvel i = Ti T, uma forma adimensional da varivel dependente pode ser definida por.

Efeitos espaciais

Dessa forma, a distribuio de temperaturas em funo do tempo e posio

funo de diversos parmetros fsicos, em particular:

Podemos separar as variveis relevantes em grupos. Isso nos permite

adimensionalisaras equaes.

Por exemplo: Se a diferenas de temperaturas = T T for dividida pela

mxima diferena de temperaturas possvel i = Ti T, uma forma

adimensional da varivel dependente pode ser definida como

Efeitos espaciais

Consequentemente, * deve estar no intervalo 0 * 1.

Tambm podemos definir uma coordenada espacial adimensional

conforme a expresso:

Na qual L a metade da espessura da parede plana. Um tempo

adimensional pode ser definido pela expresso:

Um tempo adimensional (t* ) nada mais que o nmero de Fourier.

Parede Plana com Conveco

Solues exatas para problemas de conduo podem ser

obtidas para transiente a soluo para distribuio de temperaturas adimensional, equao

Parede Plana com Conveco

Soluo exata

Seja a parede plana com espessura 2L, mostrada abaixo.

Se a espessura for muito pequena quando comparada largura e

altura, razovel supor que a conduo ocorra exclusivamente na

direo x.

Figura 5.6: Sistema unidimensional com temperatura uniforme submetido (abruptamente) a condies convectivas.

Parede Plana com Conveco

Soluo exata

Como as condies convectivas nas superfcies em x*= 1 so as

mesmas, a distribuio de temperaturas em qualquer instante tem

que ser simtrica em relao ao plano central (x*= 0).

Uma soluo exata para esse problema foi elaborada por

SCHNEIDER, 1957:

Na qual Fo= t/L2, o coeficiente Cn

Parede Plana com Conveco

Soluo exata

Os valores de n (l-se: zeta) e Cn so funo do nmero de Biot

(hL/k, parede plana, e hr0/k, cilindro e espera).

Alguns valores so apresentados na tabela abaixo:

Coeficientes usados na aproximao pelo primeiro termo para solues em srie na conduo transiente unidimensional

Parede Plana com Conveco

Soluo aproximada

Situaes onde o nmero de Fourier, Fo > 0,2, a soluo da

equao 5.39a pode ser aproximada pelo primeiro termo da

srie, n= 1. Utilizando essa aproximao, a forma adimensional

da distribuio de temperaturas se transforma em

ou

Onde *= (T0 T)/(Ti T) representa a temperatura

adimensional no plano central (x*= 0).

Parede Plana com Conveco

Transferncia total de energia

Em muitas situaes til saber a energia total que deixou (ou

entrou) a parede at um dado tempo t em um processo transiente.

A exigncia da conservao de energia, pode ser aplicada no

intervalo de tempo delimitado pela condio inicial (t = 0) e por

qualquer tempo t > 0

Parede Plana com Conveco

Transferncia total de energia

Igualando a quantidade de energia transferida a partir da parede Q

a Esai e estabelecendo que Eent= 0 e Eacu= E(t) E(0), segue-se que

ou

Temos tambm que a quantidade mxima de transferncia de

energia que poderia ocorrer se o processo de estendesse at t=

Parede Plana com Conveco

Transferncia total de energia

Supondo propriedades constantes, a razo entre a quantidade de

total de energia transferida a partir da parede ao longo do intervalo

de tempo t e a transferncia mxima possvel

Utilizando a soluo aproximada da distribuio de temperaturas

para a parede plana (equao 5. 40b), a equao 5.45, resulta em

Exemplo

Considere um oleoduto de ao (AISI 1010) que tem 1 m de dimetro e

uma espessura de parede de 40 mm. O oleoduto muito bem isolado

pelo seu lado externo, e, antes do inicio do escoamento do fluido, suas

paredes se encontram a uma temperatura uniforme de -20 C. Com o

inicio do escoamento, o leo quente a 60 C bombeado atravs do

oleoduto, gerando na superfcie interna do duto condies convectivas

correspondentes a um h= 500 W/(m2.K)

Exemplo

Pergunta-se:

1. Quais so os nmeros de Biot e Fourier aps 8 min.?

2. Em t= 8 min., qual a temperatura na superfcie externa do duto

coberta pelo isolamento?

3. Qual o fluxo trmico q (W/m2) do leo para o duto em t= 8 min.?

4. Qual a quantidade total de energia, por metro linear do oleoduto,

que foi transferida do leo para o tudo em t= 8 min.?