Transformada de Fourier - l2f.inesc-id.ptlco/ss-lerci-0405/pdf/tl_cop.pdf · No caso geral a inversão da transformada de Laplace exige o recurso a um integral de circulação. No

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Sinais e SistemasTransformada de Laplace

Luís Caldas de Oliveira

[email protected]

Instituto Superior Técnico

Sinais e Sistemas – p.1/50

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Resumo

Definição da transformada de Laplace.

Região de convergência.

Propriedades da transformada de Laplace.

Sistemas caracterizados por equações diferenciais.

Estabilidade e causalidade.

Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa depólos e zeros.

Diagramas de Bode.


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Resposta ao Sinal Exponencial

Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear einvariante no tempo ao sinal exponencial complexo:

∀t ∈ �, x(t) = e jωt → y(t) = H( jω)e jωt

Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial:

∀t ∈ �, x(t) = est → y(t) = H(s)est

Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva:

∀s ∈ �, H(s) =∫ +∞

−∞

h(t)e−stdt


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Transformada de Laplace

A transformada de Laplace bi-lateral define-se como:

∀s ∈ �, X(s) =∫ +∞

−∞

x(t)e−stdt

ou seja:x(t) −→

LX(s)


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Transformada de Fourier

A transformada de Fourier:

∀ω ∈ �, X( jω) =∫ +∞

−∞

x(t)e− jωtdt

É um caso particular da transformada de Fourier paras = jω:

X(s)|s= jω = X( jω)


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Exemplo

Calcular a transformada de Laplace do sinal:

∀t ∈ �, x(t) = e−atu(t)

em que a ∈ �, a > 0 e u(t) é a função escalão unitário.

Solução:

∀s ∈ {s ∈ �|Re(s) > −a}, X(s) =1

s + a


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Exemplo


∀t ∈ �, x(t) = −e−atu(−t)

em que a ∈ �, a > 0 e u(t) é a função escalão unitário.

Solução:

∀s ∈ {s ∈ �|Re(s) < −a}, X(s) =1

s + a


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Região de Convergência

A região de convergência (ROC) da transformada deLaplace consiste nos valores de s = σ + jω para os quais ointegral da definição converge.

Im

Re

Plano s

−a


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Exemplo


∀t ∈ �, x(t) = e−2tu(t) + e−t cos(3t)u(t)

Solução:

∀s ∈ {s ∈ �|Re(s) > −1}, X(s) =2s2 + 5s + 12

(s2 + 2s + 10)(s + 2)


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Pólos e Zeros

Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace éracional, ou seja é um quociente de polinómios em s ∈ �:

X(s) =N(s)D(s)

Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio donumerador.

Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio dodenominador.

À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s,chama-se mapa de pólos e zeros de X(s).


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Pólos e Zeros no Infinito

Se a ordem do polinómio do denominador exceder ado numerador:

Ordem(D(s)) = Ordem(N(s)) + k

a transformada X(s) tem k zeros no infinito.

Se a ordem do polinómio do numerador exceder a dodenominador:

Ordem(N(s)) = Ordem(D(s)) + k

a transformada X(s) tem k pólos no infinito.


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Transformada de Fourier

Se a região de convergência (ROC) da transformada deFourier não incluir o eixo imaginário (Re(s) = 0 ou s = jω), atransformada de Fourier não converge.

x(t) = e−tu(t) −→L

X(s) =1

s + 1, Re(s) > −1

x(t) tem transformada de Fourier

x(t) = −e−tu(−t) −→L

X(s) =1

s + 1, Re(s) < −1

x(t) não tem transformada de Fourier


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Propriedades da ROC

Propriedade 1: a ROC é composta por faixasparalelas ao eixo imaginário.

Propriedade 2: para transformadas de Laplaceracionais, a ROC não contém pólos.

Propriedade 3: se x(t) for de duração finita eabsolutamente integrável, a ROC da suatransformada é todo o plano s.


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Exemplo


∀t ∈ �, x(t) =

{

e−at, 0 < t < T0, caso contrário

Solução:

∀s ∈ �, X(s) =

{

1−e−(s+a)T

s+a , s , −aT, s = −a


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Propriedades da ROC

Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e sea linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então todos osvalores de s tal que Re(s) > σ0 também pertencem àROC.

Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo ese a linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então todos osvalores de s tal que Re(s) < σ0 também pertencem àROC.

Propriedade 6: se x(t) for um sinal bi-lateral e se alinha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então a ROCconsistirá numa faixa que inclui a linha Re(s) = σ0.


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Propriedades da ROC

Propriedade 7: se a transformada de Laplace forracional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ouse estende até ao infinito.

Propriedade 8: se a transformada de Laplace forracional, então se x(t) for lateral direito a ROC será aregião à direita do pólo mais à direita, se x(t) forlateral esquerdo a ROC será a região à esquerda dopólo mais à esquerda.


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Exemplo

Determinar o número de sinais que podem ser associadasà transformada de Laplace:

∀s ∈ �, X(s) =1

(s + 1)(s + 2)

Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateralesquerdo e um lateral direito.


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Transformada de Laplace Inversa

No caso geral a inversão da transformada de Laplaceexige o recurso a um integral de circulação.

No entanto, se a transformada for uma funçãoracional, pode ser expandida na forma:

X(s) =m∑

i=1

A1

s + ai

Em função da região de convergência, o sinal x(t)será uma soma de exponenciais na forma Aie−aitu(t)ou −Aie−aitu(−t).


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Exemplo

Considere a equação de uma transformada de Laplace:

∀s ∈ � X(s) =1

(s + 1)(s + 2)

Determine os sinais correspondentes à sua transformadainversa considerando as seguintes regiões deconvergência:

1. Re(s) > −1

2. Re(s) < −2

3. −2 < Re(s) < −1


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Solução

x1(t) = e−tu(t) − e−2tu(t)

x2(t) = −e−tu(−t) + e−2tu(−t)

x3(t) = −e−tu(−t) − e−2tu(t)


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Linearidade

ax1(t) + bx2(t) −→L

aX1(s) + baX2(s), ROC ⊃ R1 ∩ R2

A transformada de Laplace é uma operação linear.


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Deslocamento Temporal

x(t − t0) −→L

e−st0 X(s), ROC = R


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Deslocamento no Domínio S

es0tx(t) −→L

X(s − s0), ROC = R + Re(s0)

A ROC também é deslocada


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Escalamento Temporal

x(at) −→L

1|a|

X(sa

), ROC =Ra


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Conjugado

x(t)∗ −→L

X∗(s∗), ROC = R

Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas.


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Convolução

x1(t) ∗ x2(t) −→L

X1(s)X2(s), ROC ⊃ R1 ∩ R2

A ROC pode ser maior se no produto houver cancelamentode pólos com zeros.


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Diferenciação no Tempo

dx(t)dt−→L

sX(s), ROC ⊃ R


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Diferenciação no Domínio S

−tx(t) −→L

dX(s)ds, ROC = R


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Exemplo

Determinar a transformada de Laplace de:

∀t ∈ �, x(t) = te−atu(t)

Solução:

X(s) =1

(s + a)2, ROC = Re(s) > −a


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Exemplo

Determinar a transformada de Laplace inversa de:

∀s ∈ � ∧ Re(s) > −1, X(s) =2s2 + 5s + 5

(s + 1)2(s + 2)

Solução:

∀t ∈ �, x(t) = [2te−t − e−t + 3e−2t]u(t)


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Integração no Tempo

∫ t

−∞

x(τ)dτ −→L

1s

X(s), ROC ⊃ R ∩ {Re(s) > 0}


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Valor Inicial e Final

Se x(t) = 0 para t < 0 e se x(t) não tiver impulsos ousingularidades de ordem superior na origem:

teorema do valor inicial:

x(0+) = lims→∞

sX(s)

teorema do valor final:

limt→∞

x(t) = lims→0

sX(s)


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Exemplo

Utilize o teorema do valor inicial para verificar se asseguintes funções constituem um par de Laplace:

∀t ∈ �, x(t) = e−2tu(t) + e−t cos(3t)u(t)

∀s ∈ � ∧ Re(s) > −1, X(s) =2s2 + 5s + 12

(s2 + 2s + 10)(s + 2)

Solução:x(0+) = 2

lims→∞

s2s2 + 5s + 12

(s2 + 2s + 10)(s + 2)= 2


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Função de Transferência

As transformadas de Laplace da entrada e da saída de umsistema linear e invariante no tempo relacionam-se por:

∀s ∈ �, Y(s) = H(s)X(s)

A H(s) chama-se função de transferência e é a transfor-mada de Laplace da resposta impulsiva do sistema.


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Pares de Transformadas de Laplace

δ(t) −→L

1, ∀s ∈ �

δ(t − t0) −→L

est0 , ∀s ∈ �

u(t) −→L

1s, Re(s) > 0

−u(−t) −→L

1s, Re(s) < 0

tu(t) −→L

1s2, Re(s) > 0

−tu(−t) −→L

1s2, Re(s) < 0


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e−atu(t) −→L

1s + a

, Re(s) > −a

−e−atu(−t) −→L

1s + a

, Re(s) < −a

te−atu(t) −→L

1(s + a)2

, Re(s) > −a

−te−atu(−t) −→L

1(s + a)2

, Re(s) < −a


.


cos(ω0t)u(t) −→L

s

s2 + ω20

, Re(s) > 0

sin(ω0t)u(t) −→L

ω0

s2 + ω20

, Re(s) > 0

e−at cos(ω0t)u(t) −→L

s + a

(s + a)2 + ω20

, Re(s) > −a

e−at sin(ω0t)u(t) −→L

ω0

(s + a)2 + ω20

, Re(s) > −a


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Causalidade

A reposta impulsiva de um SLIT causal é um função lateraldireita, entãoNum SLIT com função de transferência racional, a causali-dade do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-planoà direita do pólo mais à direita.


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Estabilidade

Um sistema é estável se a sua resposta ao impulsofor absolutamente integrável.

Nesse caso sua a transformada de Fourier converge.

Para a transformada de Fourier convergir, a ROC datransformada de Laplace tem de incluir o eixoimaginário (s = jω).

Um SLIT é estável se e só se a ROC da função de transfe-rência H(s) incluir o eixo imaginário.


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Causalidade e Estabilidade

Um sistema causal com função de transferência H(s) raci-onal é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiveremno semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real ne-gativa).


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Equações Diferenciais

Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equaçãodiferencial de coeficientes constantes:

N∑

k=0

akdky(t)

dtk=

M∑

k=0

bkdkx(t)

dtk

Aplicando a propriedade da diferenciação:

H(s) =Y(s)X(s)

=

∑Mk=0 bk sk

∑Nk=0 ak sk


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Exemplo

Considere que se conhecem os seguintes factos acercade um SLIT:

1. o sistema é causal;

2. a função de transferência é racional e tem dois pólosem s = −2 e s = 4;

3. se x(t) = 1 então y(t) = 0;

4. a resposta impulsiva em t = 0+ vale 4.

Solução:

H(s) =4s

(s + 2)(s − 4), Re(s) > 4


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Representação da Amplitude da TF

A propriedade da transformada de Fourier da convoluçãoaplicada a um sistema linear e invariante no tempo:

Y( jω) = H( jω)X( jω)

Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez demultiplicações, a amplitude da transformada de Fourierrepresenta-se muitas vezes na forma logarítmica:

20 log10(|Y( jω)|) = 20 log10(|H( jω)|) + 20 log10(|X( jω)|)

Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel(dB).


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Décibel (dB)

|H( jω)|dB = 20 log10(|H( jω)|)

0 dB correspondem à resposta em frequência comamplitude 1.

+20 dB corresponde a um ganho de 10 vezes.

−20 dB corresponde a uma atenuação de 0,1.

−6 dB corresponde a uma atenuação aproximada 0,5.

+6 dB corresponde a um ganho aproximada de 2.


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Escala de Frequências Logarítmica

A representação da escala de frequências numaescala logarítmica na forma log10(ω) ou log10( f ) écomum em sistema contínuos.

Esta representação permite uma visualização maiscompacta de uma gama de frequências do que arepresentação linear.

A escala logarítmica de frequências permite umaaproximação assimptótica de sistemas contínuos,lineares e invariantes definidos por uma equaçãodiferencial.

Aos gráficos de |H( jω)|dB e ∠H( jω) numa escala defrequências logarítmica dá-se o nome de diagramasde Bode.


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Determinação Geométrica da CTFT

As transformada de Laplace racionais podem serrepresentadas na forma:

X(s) = MΠR

i=1(s − βi)

ΠPi=1(s − αi)

Fazendo s = jω:

|X( jω)| = |M|ΠR

i=1| jω − βi|

ΠPi=1| jω − αi|

∠X( jω) =R∑

i=1

∠( jω − βi) −P∑

i=1

∠( jω − αi)


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Avaliação vectorial

| jω − βi| é o módulo do vector desde o zero βi aoponto s = jω;

| jω − αi| é o módulo do vector desde o pólo αi aoponto s = jω;

∠( jω − βi) é ângulo que o vector desde o zero βi aoponto s = jω faz com o eixo real;

∠( jω − αi) é o ângulo que o vector desde o pólo αi aoponto s = jω faz com o eixo real.


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Exemplo

Esboçar a transformada de Fourier correspondente aosinal com transformafa de Laplace:

X(s) =1

s + 1, Re(s) > −1

|X( jω)|2 = 1ω2+(1)2

∠X( jω) = − tan−1(ω)


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Sistema de 1a Ordem

h(t) =1τ

e−t/τu(t)

A transformada de Laplace:

H(s) =1

sτ + 1, Re(s) > −

1τ

Pólo:

s = −1τ


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Conclusões

A transformada de Laplace pode ser vista como umageneralização da transformada de Fourier.

Os sistemas e os sinais com transformada de Laplaceracional, podem ser caracterizados pelo seu mapa depólos e zeros.

A localização dos pólos e da região de convergênciapermitem determinar características como acausalidade e a estabilidade.

A partir do mapa de pólos e zeros permite obtergeometricamente a transformada de Fourier à parteum factor de escala.


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