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Trigonometria esférica
03 06 2013
Adaptado de Prof. Boczko
IAG-USP
Grandes e pequenos círculos
O Círculo máximo
O’ Pequeno
Círculo
r < R
R
Círculo máximo
Círculo máximo
Pequeno círculo
Pequeno círculo
O centro da seção circular não coincide
com o centro da esfera
O centro da seção circular coincide com o centro da esfera
Polo e plano fundamentais Polo
fundamental P
Eixo
fu
ndam
enta
l
Indica que a figura deve ser vista como
tri-dimensional
B C
O Plano fundamental
π Esfera
Ângulo diedro
β
b
i
Q
Ângulo diedro entre α e β é o ângulo C entre a e b
a ⊥ i b ⊥ i
α
a a ∈ α b ∈ β
C
Ângulo diedro A na esfera A
B C
O A
β γ
A ≡ ∠( β,γ )
Ângulo entre
Ângulo diedro A dado por tangentes
B C
O A
A
A
A ≡ ∠( β,γ )
Tangente, por A, ao arco AC.
Será paralela ao raio OC.
r // AC Tangente, por A,
ao arco AB. Será paralela ao
raio OB.
s // AB
Ângulo central A
O b
C
b
r ≡ 1
b ≡ ∠AÔC
Triângulo Esférico
A, B, C = vértices a,b,c = lados
Triângulo esférico é a região da
esfera delimitada pela
intersecção, dois a dois, de
3 planos passantes pelo
centro da esfera
c b
A
B C a
O
Lados do triângulo esférico
A
B
C
O
c
b
a r
r
r a
b c
a , b , c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais
Ângulos do Triângulo Esférico A
O A
A
A,B,C = ângulos diedros = ângulos entre cada um dos pares de círculos
B
C
B’ C’
Elementos de um Triângulo Esférico
A A
B B
C C a
b
c
A,B,C = vértices A,B,C = ângulos diedros a,b,c = lados do triângulo
Fórmula do co-seno num triângulo plano
Relacionar 3 lados e 1 ângulo de um triângulo plano
a b
c α
a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos α
A B
C
Fórmula do co-seno num triângulo qualquer
Fórmula do co-seno num triângulo esférico
Demonstração bem primitiva!
Fórmula do
CO-SENO O
A
B
C
K
L
a
c
b A
No ΔAKL: KL2 = KA2 + LA2 - 2.KA . LA . cos A
No ΔOKL: KL2 = KO2 + LO2 - 2.KO . LO . cos a
A
K
L
A
O K
L
a
∆Plano ⇒ a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos α
Fórmula do CO-SENO
KO2 + LO2 - 2.KO . LO . cos a = KA2 + LA2 - 2.KA . LA . cos A
- 2.KO . LO . cos a = KA2 - KO2 + LA2 - LO2 - 2.KA . LA . cos A
2.KO . LO . cos a = - KA2 + KO2 - LA2 + LO2 + 2.KA . LA . cos A
No ΔAKL: KL2 = KA2 + LA2 - 2.KA . LA . cos A 1 No ΔOKL: KL2 = KO2 + LO2 - 2.KO . LO . cos a 2
1 2 =
Fórmula do CO-SENO
2.KO . LO . cos a = - KA2 + KO2 - LA2 + LO2 + 2.KA . LA . cos A
2.KO . LO . cos a = OA2 + OA2 + 2.KA . LA . cos A 2.KO . LO . cos a = 2.OA2 + 2.KA . LA . cos A
O
A
L
b
A
K
c O
KO . LO . cos a = OA2 + KA . LA . cos A KO . LO . cos a = AO . AO + KA . LA . cos A
cos a = AO . AO + KA . LA . cos A LO . KO LO . KO
O
A
B
C
K
L
a
c b
A
cos a = AO . AO + LA . KA . cos A LO . KO LO . KO
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
O
A
B
C
K
L
a
c
b A
O
A
L
b
A
K
c O
Fórmula do
Co-seno
sen c
sen b
cos c
cos b
Fórmulas do Co-seno
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
A
B
C a
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos b . cos a + sen b . sen a . cos C
c
b
C
Fórmula do seno num triângulo esférico
A
B
C
Fórmula do SENO cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
- sen b . sen c . cos A = cos b . cos c - cos a
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
- sen a . sen c . cos B = cos a . cos c - cos b
Substituir: cos 2 x = 1- sen 2 x
sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C
a
c
b
(- sen b . sen c . cos A)2 = (cos b . cos c - cos a)2 1
(- sen a . sen c . cos B )2 = (cos a . cos c - cos b)2 2
2 1 -
S
Fórmula do seno & co-seno num triângulo
esférico
Fórmula do SENO & CO-SENO
A
B
C
cos a = ( cos b . cos c + sen b . sen c . cos A )
cos b = ( cos a ) . cos c + sen a . sen c . cos B
Substituir: cos 2 c = 1- sen 2 c
sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A
a
c
b
1
2
1 2
S&C
Resumo das Fórmulas de Trigonometria
Esférica
sen a . cos B = cos b . sen c - sen b . cos c . cos A
sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A Co-seno
Seno
Seno & Co-seno
A
B
C a
c
b
S
C
S&C
Exercício 4 – Lista 5
PN E
Z
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C
cos (90-δ) = cos (90-h) . cos (90-φ) + sen (90-h) . sen (90-φ) . cos (180-A)
sen δ = sen h . sen φ - cos h . cos φ . cos A h = 26º 12´, A = 78º 51´, φ = 46º 18´
δ = ΞΞΞ
cos (90-h) = cos (90-δ) . cos (90-φ) + sen (90-δ) . sen (90-φ) . cos (H)
sen h = sen δ. sen φ + cos δ . cos φ . cos H
H = XX ou H = YY
sen (90-h) / sen H = sen (90-δ) / sen (180-A)
H = XX ou YY
TS = H + α α = ΞΞΞΞΞ
PN E
Z
Exercício 4 – Lista 5
Exercício 1 – Lista 5
PN E
Z
PN E
Z
H do nascer e ocaso
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C
h = 0°
cos (90-h) = cos (90-δ) . cos (90-φ) + sen (90-δ) . sen (90-φ) . cos (H) sen h = sen δ. sen φ + cos δ . cos
φ . cos H cos H = - tg δ . tg φ
Exercício 1 – Lista 5 São Paulo è φ < 0°, Inverno è δsol > 0°
cos H > 0
0h < Hocaso < 6h
0h < duração do dia < 12h
Exercício 2 – Lista 5
PN E
Z
PN E
Z
H do nascer e ocaso
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C
h = 0°
cos (90-h) = cos (90-δ) . cos (90-φ) + sen (90-δ) . sen (90-φ) . cos (H) sen h = sen δ. sen φ + cos δ . cos
φ . cos H cos H = - tg δ . tg φ Exercício 2 – Lista 5
Círculo polar ártico è φ = 66° 33’, Solstício è δsol = ± 23° 27’ Hocaso = 12h
duração do dia = 24h
cos H = - 1 cos H = +1
Hocaso = 0h
duração do dia = 0h