UM ALGORITMO PARA MINIMIZAR ERROS EM MODELOS … · quais a equaçao característica Ax = Xx tem uma solu çao x^O, o vetor x e chamado autovetor associado ao autovalor X

UNIVERSIDADE FE D E R A L DE SANTA CATARINA

UM ALGORITMO PARA M INIM IZAR ERROS EM MODELOS LIN EARES INSTÁVEIS

CLEIDE REGINA LENTZ PALADINI

NOVEMBRO - 1985

UM A L G O R I T M O PAR A M I N I M I Z A R ERROS EM MODELOS LINEARES INSTÃVEIS

POR

CLEIDE R E G I N A LENTZ PALADINI

ES T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J U L G A D A A D E Q U A D A P ARA A OBTENÇÃO DO

T l T U L O DE

"MESTRE EM CIÊNCIAS"

E S P E C I A L I D A D E EM M A T E M Á T I C A E A P R O V A D A EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O EM M A T E M Á T I C A DA UNI V E R S I D A D E F E D E R A L DE S ANTA CATARINA.

P r o f . W i l l i a m Glenn W h i t l e y , P h . D Coordenador

BANCA EXAMINADORA:

- iii-

A G R A D E C I M E N T O S

Ao P r o f e s s o r Plinio S t a n g e , por sua comp e t e n t e e ob j e t i v a o rientaçao;

Ao P r o f e s s o r M i l t o n Luiz Valente, por sua presen ça sempre con s t a n t e e positiva;

Ao P r o f e s s o r Nilo Kuelkamp, pela orien t a ç ã o academica;

Ao Edson, pela p a c i ê n c i a e c o m p r e e n s ã o que sempre me d e d i c o u ao longo do d e s e n v o l v i m e n t o deste trabalho, pelo apoio e inc e n t i v o constantes;

Ã E m a n u e l e R e g i n a que, em muitos momentos, devido ao empenho que este trabalho exigia, não teve a atençãoque merec i a .

Eds on

- V -

RESUMO

Este trabalho a p resenta ura alg o r i t m o a l t e r nativo para r e s olver mode l o s básicos de p r o g r a m a ç ã o linear, que a p r e s e n t a m i n s t a b i l i d a d e n u m érica quando são efetuadas operaçoes cora as m a t rizes que os compoem, o b j e t ivando mi nimizar os erros gerados por tais operaçoes.

Para tanto, u t i l i z a - s e a d e c o m p o s i ç ã o de m a t r i ’- zes em valores singulares e sua ap l i c a ç à o no calculo da inversa de uma matriz.

M o s t r a m - s e r e sultados de vãrias aplicações, onde po d e m ser vistas as v a n tagens do al g o r i t m o quando compara do com o simplex usual.

ÍNDICE

C A P l T U L O I - I N T R O D U Ç Ã O .............................................. 1

C A P l T U L O II - D E C O M P O S I Ç Ã O DE UMA M A T R I Z EM VALORES SING U L A R E S .................... o ............................ 4

C A P Í T U L O III - I N V E R S Ã O DE M A T R I Z E S ..... .......................... 12

C A P Í T U L O IV - O M É T O D O S I M P L E X R E V I S A D O ........................... 21

C A P Í T U L O V - A L G O R I T M O D V S - P L E X ................................... 29

C A P Í T U L O VI - C O N C L U S Ã O .............................................. 40

A N E X O 1 - E X E M P L O S DE D E C O M P O S I Ç Ã O DE UMA M A T R I Z EM VALORES S I N G U L A R E S ..................................... 43

A N E X O 2 - C Ã L C U L O DA INVERSA DE UMA MA T R I Z USANDO O MÊT ODO DVS ................................................. 48

A N E X O 3 - L I S T A G E M DO E X E M P L O DO CAPÍ T U L O I I I „ ........... 57

A N E X O 4 - L I S T A G E M DO E X E M P L O DE A P L I C A Ç Ã O DO A L G O R I T M OD V S - P L E X ................... ............................. 66

ANEXO 5 - L I S T A G E M DOS EXEM P L O S DE INVERSÃO DE MATR I Z E S 69

A N E X O 6 - L I S T A G E M DOS E X E M P L O S DO A L G O R I T M O DVS-PLEX.. 85

B I B L I O G R A F I A - . . . ......................<,... .........o ................. 106

C A P l T U L O I - I NTRODUÇÃO-1-

1.1 - E S T A B I L I D A D E EM ANÃL I S E N U M É R I C A

C o n s i d e r e m - s e p r oblemas do tipo:

(1) F (x ,y ) =0

onde x e uma v a r i a v e l d e s c o n h e c i d a e y é uma variãvel dada da qual x depende.

Diz - s e que o p r o b l e m a Cl) e estável se a solução x d ependede m odo c o n tinuo da v a r i a v e l y; isto e, se {y } e uma sequência denv a l o r e s tendendo para y os v a l o r e s associados da solução { x^} tendem para x. Ou, e q u i v a l e n t e m e n t e ; pequenas d i s t â n c i a s * a y i m p l i c a m em pe q u e n a s d i s t a n c i a s a x. Pro b l e m a s estáveis sao também chamados pro blemas b e m - c o n d i c i o n a d o s e u s a m - s e os dois termos indistintamente. Se o p r o b l e m a nao e estável, é chamado instável ou m a l - c o n d i c i o n a d o .

1.2 - E X E M P L O S

1. C o n s i d e r e o sistema de equações

x 2- 2

xi * 1 , 01x2=2,01

Aqui 1 1

1 1,01e o sis t ema

possui a solução exata x^ = x 2 = 1

Por outro lado, o sistema

Xj + x 2 = 2

l,001xj x 2 = 2,01

possui a solução xj = 10 e x 2 = -8.

P ortanto, a v a l o r e s p r ó ximos de y estao associados va

* Uma mttfilca em um conjunto M e uma função R, que aòòocía a cada pax. ofidunado dz nlo.m<intoi> x,y e M um numzno Kcal d[x,y\, chama do a dL&tancía dz x a y.

-2 -

lores distantes da solução x. Logo a solução x nao dependec o n t i n u a m e n t e de y; conclui-se que este problema é instávelou m a 1 - c o n d i c i o n a d o .

E x i s t e m muitos p r o blemas que sao estáveis no sentido dado a n t e r i o r m e n t e , mas cuja resolução é muito trabalhosa, exi gindo que se a p l i q u e m cálculos numéricos, os quais c o m p r o m e t e m sua e s t a b i 1i d a d e ,como se vê no exemplo abaixo. Ver ref £l1j .

2. Cons idere a matriz n ã o - s i n g u l a r

Y =

1 1/2 1/3. . 1/n+l 1/2 1/3 1/4. . l/n+2

1/n+l l/n+2 Vn+3 l/2n+l

chamada matriz de Hilbert. 0 p r o b l e m a de encontrar ainversa de Y é um p r o b l e m a estável. A matriz inversa Y podeser obtida por um número finito de passos usando apenas opera-çoes a r i t m é t i c a s simples; mas, ã m e d i d a que n crescej o probl e m ase torna muito trabalhoso, exigindo assim o auxílio de um computador; e aí que o p r o b l e m a se torna ma 1 - c o n d i c i o n a d o . Ao dar-seentr a d a da ma t r i z Y em um c o m p u t a d o r o mesmo a r r e d o n d a r á os elementos de Y t r a n s f o r m a n d o - a na matriz Y, a qual a p r e s e n t a r á er-

__ £ros r e lativos em torno de 10 em cada um de seus elementos (sup o n d o - s e que se use um c o m p u t a d o r IBM 360 que a r m azene a m a triz de e n t r a d a usando um Format ponto flutuante de precisão simples).

Usando maiores precisoes numéricas, pode-se calcularA - 1 1 _um valor mais exato de Y . A inversa Y~ e c o n hecida ana l i t i c a

mente, e pode-se c o m p a r á - l a com Y 1 . Pór exemplo, para n=6 a l guns dos e l e mentos de Y 1 j á no p r i m e i r o dígito nao nulo dife r e m do seu c o r r e s p o n d e n t e de Y 1 . Os elementos na linha 6, coluna 2, sao:

(y~ 1 ) 6,2 = 83 160, 00 e (y “ 1 ) 6,2 = 7 3 8 6 6 ,3 4

-3-

Istzo torna o cálculo de Y um problema mal condicio nado, sendo que esse m a l - c o n d i c i o n a mento aumenta à medida que n cresce.

0 p r e s e n t e trabalho visa estudar problemas mal-condi c i o n a d o s do tipo do exemplo 2 , mais e s p e c i f i c a m e n t e em problemas de p r o g r a m a ç a o linear.

-4-

C A P Í T U L O II - D E C O M P O S I Ç Ã O DE UMA MATRIZ EM VALORES SINGULARES

2.1 - I N T R O D U Ç Ã O

L i s t a m - s e abaixo, alguns conceitos e resultados de ãlge b r a linear que sao utili z a d o s neste trabalho. N e n h u m esfor ço ê feito para a p r e s e n t a r uma sequência lógica destes dados, pois a intenção i i n t r o d u z i r breve m e n t e alguns conceitos e resultados que estao d i r e t a m e n t e r e l a c ionados com o trabalho. Pa ra um estudo mais d e t a l h a d o ver referências [2] , [3] e [7 ]

2.1.1 - Sistema de equações e d e t e r m i n a n t e s de uma ma triz A de ordem n :

det A=A ^ 0 det A = 0

Existe uma única matriz inversa A 1 tal que:

- 1 -1 AA = A A =1,

Toda equaçaoAx = b , b f 0

tem uma s o l u ç ã o .

A única solução de Ax = 0 e x = 0.

A solu ç ã o para toda equaçao Ax = b 1 uni c a .

Posto A=n.

Nao existe uma matriz -ii nve r s a A

Q u a l q u e r equaçao A x = b , b 4 0

nao tem solução..

E x i s t e m soluções de Ax=0, com x f 0.

solução de Ax=b nunca 1 única. Se existir q u a l quer solução x, e x i stirá outra solução x i x .

Posto A < n .

-5-

2.1.2 - A u t o v a l o r e s e Autovetores

Definição: Se A i uma matriz quadrada de ordem n, defi- nem-se como autovalor de A os números A para os quais a equaçao c a r a c t e r í s t i c a Ax = Xx tem uma solu çao xÔ, o vetor x e chamado autovetor associado ao aut o v a l o r X .

T e o r e m a 2.1.1: 0 nú m e r o X ê um autovalor de uma matriz q u a d r a d a A se e somente se det (A-XI)=0.

T e o r e m a 2.1.2: Seja A uma matriz de ordem n com n a u t o v a lores dis t i n t o s X j,...,Xn . Entao A tem c o r r e s p o n d e n t e m e n t e n autovetores x , . . . , x n linearmente in dependentes. A l é m disso, o autovetor Xj a s s ociado ao aut o v a l o r A. é único ou apenas um m ú l t i p l o es calar deste.

Definição: Duas m a t rizes A e B de ordem n sao chamadas e-q u i v a l e n t e s se existe uma matriz T com detTÔ talq u e : -\

T AT = B

T e o r e m a 2.1.3: M a t rizes e q u i v alentes têm os mesmos autova lores com a mesma m u l tiplicidade.

Teorema 2.1.4: Uma ma t r i z A de ordem n ê e q u i v a l e n t e a uma matriz d i a gonal se e somente se A tem n a u t o v e t o res li n e a r m e n t e independentes. Isto é, A ê equiva lente a uma matriz diagonal se A tem n autovalores d i s t i n t o s .

ü e f i n i ç a o : D a d a uma matriz A qualquer a adjunta de A é de f inida como sendo (g a matriz t r a n s p o s t a dac o n j u g a d a de A ) .

Definição: A matriz A de ordem n é dita ortogonal se A CA= A A t = In (matriz identidade de ordem n ) .

Definição: Uma matriz de ordem n é dita s i métrica se a ij=

aj^ para todo i e j.

Definição: Uma matriz A de ordem n é dita hermi- tiana se A = A ' .

T e o r e m a 2.1.5: Os a utovalores de uma matriz lier- mi t i a n a sao reais, e os autovetores corres pondentes a a utovalores distintos sao or- togonai s .

Este teorema mo s t r a que, se A = A * tem a u t o v a l o

res distintos, entao A pode ser d i a g o n a 1 izada pela matriz or t o g o n a l U de seus autovetores, associados aos n a utovalores dis tintos, i , e

u " 1 AU = U *AU = A = d i a g ( ^ . ,Xn )

T e o r e m a 2.1.6: Seja A uma matriz h e r m i t i a n a de o r dem n, com autovalores X j . . . , X n .

Entao A tem n autovetores unitários mutua - mente ortogonais Uj , . . . , un , com

A u j =X j uj ( j = 1 , . . . ,n) e U*AU = A,

onde U e a mat r i z ortogonal com colunas u j , . . . , u n e A= d i a g ( X X n )

Um estudo da d e m o n s t r a ç a o deste teorema, mostra que, se A e real, nunca a p a r e c e r a o números complexos, uma vez que os a u t o v a l o r e s sao reais. A matriz U ,que d i a g o n a l i z a A, terá todas as c o m p o n e n t e s reais. Assim, temos:

T eor e m a 2.1.7: Se A é uma matriz simétrica real, existe uma matriz ortogonal U , para a qual U CAU é a matriz diagonal A formada pelos a utova l o r e s de A.

Definição: D e f i n e - s e a norma de uma matriz A como s e n d o :

n||A||= mãx I |a-- | (norma da má x i m a

i j=l 1Jsoma por l i n h a ) .

- 7-

Definiçao: Seja A uma matriz n a o - s i n g u l a r . D e f i ne-se o número de condição de A, anotado cond(A), como sendo o número dado por

IIaII M a I I .Para a norma eucli d i a n a observa- se que: | |A| | — yi e | |a | | onde ^1 I o maior valor singular de A e yn e o menor. D e s ta f o r m a :

cond(A) = | |A | | -| |A-‘ | | = X ^ j_

Definição: Uma matriz A q u a drada é dita n a o - s i n g u lar se A ^0 (determinante de A for nao-nu- 1 o ) .

Definição: Uma matriz s i métrica real A é dita de finida p o s i t i v a se sua forma q u a d r á t i c a a s sociada

n nE E a..x. x. i=l j=l 1 J

for positiva definida.

Definição: Uma forma q u a d r á t i c a é dita nao n e g a t i va d e f i n i d a se tomar somente valores nao n e gativos quando se a t r i b u e m valores reais ar bit r ã r i o s a x j ,x 2 , ....xn • Uma forma quadrãti ca d e f i n i d a nao n e g a t i v a que toma o valor ze ro somente quando Xj = x 2 = .... ~xn = 0 é chamada d e f i n i d a positiva.

2.2 - D E C O M P O S I Ç Ã O DE UMA MATRIZ E M VALORES SINGULARES

T e o r e m a 2.2.1: Seja A uma matriz n a o - s i n g u l a r de ordem n. Entao exis t e m duas m a t rizes o r t o g o nais U e V de ordem n e uma matriz diagonal S de o r d e m n, tais que:

(1) S = U1" AV ou A = U S V t e os e l ementos da diagonal

-8-

estao em sucessão nao crescente, i.e

s i,i > si+x, i+ 1 (ou V S i+ 1 }

D e m o n s t r a ç a o : A matriz simétrica definida positi va A tA tem a seguinte d e c o m p o s i ç ã o a u t o v a lor autovetor

(2) A UA = V D V 11,

onde V ê uma matriz ortogonal (matriz dos autove tores de A tA) e D é uma matriz diagonal (matriz dos a u t o v a l o r e s de A tA) cujos elementos da d i a gonal sao positivos nao crescentes.

Seja S uma matriz diagonal de ordem n cujos e l e mentos da diagonal sao as raizes q u a dradas dos e lementos r e s p e ctivos de D.

Assim:

(3) D= S t S = s 2

e(4) s"1 D S~1= In

Seja uma m à t r i z U de ordem n dada por:

(5) U= A VS_l

De (2) , (4) e (5) e do fato que V i ortogonal,

(6) U CU = S_1V t A t AVS~1= S^DS"^ In

P o r t a n t o U I ortogonal

De (5) e do fato que V e ortogonal

(7) U S V t= AVS-1S V t = A V V C= A,

como queríamos .

Embora nao sendo um resultado a ser uti l i z a d o no presen

-9-

te trabalho, o b s e r v e - s e que o teorema (2.2.1) apresenta uma g e n o r a l i z a ç a o cujo e n unciado é o seguinte:

Teor e m a 2.2.2: Seja A uma matriz de ordem m x n e posto k. Entao exis t e m duas matrizes or togonais U de o rdem m e V de ordem n e uma matriz diagonal S de ordem m x n, tal que:

(8) U tAV = S ou A = U S V 1" ,

onde os e l ementos da diagonal de S p o d e m ser arran jados em o r d e m nao crescente e exata m e n t e k d e les sao e s t r i t a m e n t e positivos.

Demons traçao : (ver ref. [8] , plg.20)

Sabe-se, através da álgebra linear, que uma dada m a triz A de o rdem m x n i e q u i v a l e n t e a uma matriz B do tipo:

1 0 . . . . ............ 0 . . . 0

0 1 . . . . ............ 0 . . . 0

0kxk

Ò

0 ô . . . . ............ 0 0J m x n, onde k= posto A,

Se existirem m a t rizes n a o - s i n g u l a r e s P de o r d e m m e Q de o r d e m n tais que

B = PAQ

C o m p a r a n d o - s e este resultado com o que esta b e l e c e o teorema (2.2.1), nota-se que no teorema P e Q foram substituídas pelas m a t rizes o rtogonais U e V te B foi s u b s t i t u í d a pela matriz d i a g o n a l S. Para fins c o m p u t a cionais, a d e c o m p o s i ç ã o em valores s i n g u l a r e s e bem mais útil, pois a mu 1 1 i p 1icaçao de um v etor por

ma t r i z e s orto g o n a i s preserva c o m p r imentos (||Ux||= ||x|| , onde U

e uma matriz o r t o g o n a l ) , ao passo que a multiplicaçao de um vetor

por matrizes n a o - s i n g u l a r e s gerais pode alterá-los bastante.

Seja A de ordem n, a r e p r e s e n t a ç a o matricial de uma t r a n s f o r m a ç a o linear T de um espaço n - d i m e n s i o n a l X sobre um segundo espaço semel h a n t e Y, isto i, y= Ax está em Y para to do x em X .

O b s e r v e - s e que, na r e p r e s e n t a ç a o matricial da trans forma ç a o linear T, pela matriz A, supoe-se que ambos os espa ços X e Y sejam dados em c o o r d enadas ortogonais. Faz-se e n tão uma troca de coorde n a d a s ortogonais em X, onde o vetor x o b t é m a nova r e p r e s e n t a ç a o x ' , tal que x = Vx' e uma troca de c o o r d e n a d a s orto g o n a i s em Y o b t e n d o - s e y' como a nova r e p r e s e n taçao de y tal que y= U y ' (aqui U e V sao as matri z e s do t eo r ema 2.2.2).

R e s u l t a desta troca de bases em X e Y uma nova r e p r e s e n t a ç a o m a t r i c i a l para T , dada por:

y '= u t:y = UC Ax = U C A ( V x ' ) = ( U t A V) x ' = Dx ' ,

ou seja: y'= Dx'

E m termos de c o m p o n e n t e s , ,esta nova r e p r e s e n t a çao e :

y i = v i x J V2= U 2X 2

^ k = ^ k x k

Desta forma, a t r a n s f o r m a ç a o T apenas rel a c i o n a o p r i m e i r o eixo c o o r d e n a d o de X com o p r i meiro eixo coord e n a d o de Y por meio de um fator de s i g n i f i c â n c i a y^ > 0 . A c o n t e c eo m esmo com o 29, 39, •••»k-esimo eixos c o o r d enados com os r e s p e c t i v o s fatores de s i g n i f i c â n c i a y 2 , ••• , P • Os (k + 1),..... . n- e simos eixos co o r d e n a d o s de X estao rel a c i o n a d o s como vetor zero de Y .

Ve-se, entao, que a d e c o m p o s i ç ã o de uma rnatriz A em valo r s i n g u 1 ar v. s i rn pies e eficiente para fins* computa c i o n a i s F. st,a af i rmaçao e comp r o v a d a no cálculo de inversão de m a t r i zes e , c o n s e q U e n t e m e n t e , na busca da solução de um PPL, ainda neste trabalho.

Sendo A 1- a tran s p o s t a de A, tem-se:

D tD = ( U tA V ) t (U t: A V ) = V tA tU U tAV = V tA tAV

• t t t •A s s i m V (A A)V = D D e uma matriz diagonal cujos ele2 2 2 ~mentos da diagonal sao y j , y 2 , . * * > 0 ,...., 0 ; como V ê

ortogonal, V t= V e entao a t r a n s f o r m a ç a o V t (AtA)V preserva osau t o v a l o r e s de A tA,os quais sao y , y 2 , . . . , M ^ ,0,....,0.C o n c l u i - s e entao que os valores singulares de uma matriz Asao as raizes q u adradas dos a utovalores de A tA.

Ainda tem-se que:

Se A = U S V t e a decom posição em valores singulares da m a t r i z A , onde U U " = II U = In > VV = V " V = 1 n e S "s = D en-

ta° AA t= (USV*1) (VS tuf = U S S tU t= U D U t .

Logo U ê a matriz dos auto vetores de A A *".

Portanto, se A= USV*"? a d e c o m p o s i ç ã o em valores s i n gulares da matriz A, entao U ê uma matriz ortogonal formada pelos autovetores de A A t, V ê uma matriz ortogonal formada pelos autove t o r e s de A CA e S ê uma matriz diagonal cujos ele mentos da diagonal sao as raízes q u a dradas dos autova l o r e s de A LA .

O b s e r v e - s e que sendo A uma matriz n a o - s i n g u l a r t a m bém S o será.

2.3 - EXEMPLOS

Para ilustrar os resultados do teorema (2.2.1), apre sen t a m - s e tres exemplos no anexo 1.

C A P l T U L O III - INVERSÃO DE MATRIZES

Definição: Uma matriz A de ordem n é dita uma. -i matriz m v e r s i v e l se existe uma matriz A

de ordem n tal que:

AA = A A= I

onde I e a matriz identidade de ordem n.

3.1 - DETERMINAÇÃO DA INVERSA DE UMA MATRIZ USANDO A DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES.(Método D V S )

T eor e m a 3.1 - Se A é uma matriz i nversivel de o rdem n e A= USV1- I a d e c o m p o s i ç ã o em va lores singulares de A (conforme teorema 2.2.1), entao a inversa de A é a matriz

-i -i t A = VS U-i . -i -i -i. onde, S = d i ag (P ; , y 2> • • > )•

D emon s t r a ç ã o :De fato:

A A = ( VS_1Ut) (USVÜ ) = VS_1(Ut U) S V C = =v(s-1S) V C= V V C= I,

AA 1 = (USVÜ ) ( VSÛ C) =US ( VC V) S !U == u ( s s 1) u t= U U t= I.

Portanto: A A 1= A *A = I

Mos train-se alguns exemplos.no anexo 2:

-13-

3.2 - MÉ T O D O DA E L I M I N A Ç Ã O

T e o r e m a 3.2: Se A ê uma matriz de ordem n inver s í v e 1 e se uma sequência de operaçoes ele m e n t a r e s sobre linhas reduz A â matriz i- d e n t i d a d e I, entao aquela mesma sequência de operaçoes e lementares sobre linhasquando aplicadas a I produz A?

D e m o n s t r a ç a o : Ver ref [4] e [7]

0 m é t o d o da e l m i n a ç a o p r o posto no teorema 3.2, pode ser e s q u e m a t i z a d o como segue:

a) P a r t e - s e da matriz aumentada, que tem a forma [a ,i ] onde, se A tem ordem n, I será a matriz identidade de ordem n.

b) I n i c ialmente, n o r m a l i z a - s e a p r i meira coluna da m a triz aumentada, d i v i d i n d o - s e seus elementos por a (pivô). Assim, tem-se para j = l,2,...,2n

i a ■J

1 J1 1

Aqui, o índice superior 1 indica a nova linha.1

Obse r v e - s e que a 1 1 1 e o p r i m e i r o elemento da matrizi d entidade

c) A seguir, redu z e m - s e os demais elementos da coluna 1 a zero por meio de uma seq u ê n c i a de operaçoes r e p r e s e n t a d a s por

a . . = a . . ij 1 J a . a . ,li lj

Ao final desta etapa ter-se-á:

1

01 2

a .2 2

m‘ 2n

l/a

1/í

1 1‘2 1 / 3 1 1

0

1

0

0

ann1

ani/an 0

-14-

d) P a s s a - s e ã n o r m a l i z a ç a o da 2^ coluna, como segue:i

a 2 = — Á — , j = 2,3,. . . , 2 n2 1 *J a

2 2

a • a , • , i = 1,3,4, ...,n(i ^ 2 ) j = 2 , 3, . . . , 2n

12 “ 2j

A g o r a as duas pr i m e i r a s colunas da matriz a forma das pri m e i r a s colunas da identidade.

A , I as s umem

e) P a s s a n d o - s e às demais linhas, chega-se ao final de n e t ap a s a :

1

0

0

1

0 0

A n n° a il 3 1 20 a11 an

2 1 2 2

1 a n o n n i n 2

n11 n n12 n

nn

Neste ultimo quadro:

1. As n pri m e i r a s linhas e colunas contém a identidade;

2. A partir da coluna (n + 1) (metade direita da m a triz) tem-se a matriz inversa, ou seja,

A n a . .. iJj

, i 1,2,. ..,nj = n + 1, n + 2,...2n

Desta forma, utilizam-se, ao longo de n etapas, os s e guintes cálculos:

para k = 1 , 2 , . . . n ,

Calcula-se:

-15-

kjqk-l ak-l

kk j= k,k + 1,

k a . ♦ ij a1 :11J A " 1ik a i= 1 akj

3.2.1 - Exem p l o

C o n s i d e r e - s e o exemplo: D e t e r m i n a r a inversa de

1 1/2 1/3

A= 1/2 1/3 1/41/3 1/4 1/5 _

" 1 1/2 1/3 1 0 0 "

1/2 1/3 1/4 0 1 0

1 / 3 1/4 1/5 0 0 1 _

I 1/2 1/3 1 0 0 “0 1/12 1./12 -1/2 1 0

_ 0 1/12 1/45 -1/3 0 1 _

- 1 1/2- 1/3 1 0 10 1/12 1/12 -1/2 1 00 0 1/180 1/6 -1 1

" 1 1/2 1/3 1 0 0 ”0 1 1 -6 12 00 0 1 30 -180 180

- 1 1/2 0 -9 60 60 "0 1 0 . -36 192 -1800 0 1 30 -180 180

~ 1 0 0 9 -36 30 ~

0 1 0 -36 192 -180

0 0 1 30 -180 180-J

., 2n

,n ( i ? k)

P o r t a n t o :

9 -36 30-36 192 -18030 -180 180

3.3 - E S T U D O C O M P A R A T I V O ENTRE OS MÉTODOS DE INVERSÃO DVS E E L I M I N A Ç Ã O

Com a f inalidade de proceder â análise do p r o cesso de inver s ã o de m a t rizes u t i l i z a n d o - s e a d e c o m p o s i ç ã o em valores singulares, p r o c e d e u - s e a um estudo c o m p a r a t i v o deste método com o da eli.minaçao, a n t e r i o r m e n t e exposto.

Para tanto, foi u t ilizado o a l g oritmo DVS para a i n versão de matrizes, cujo esquema geral é o seguinte:

1 .

2 .

3 .

4 .5 .

6 .

Da mesma forma, u t i l i z a n d o - s e um algoritmo que aplica-1o mé t o d o da elim i n a ç a o em A, e n c o n t r a - s e A 2 e c alcula-se A'2 A

-ie A A y .

Sendo I a matriz de mesma ordem dos produtos, pro c e d e r - se - á como segue:

1. Para cada algoritmo, calcule I = A*A (identidade à

L eia a ma t r i z A ;D e c o m p o n h a A em valores singulares, e n c o n t r a n d o - s e U, S e V t ;

-ID e t e r m i n e S tal que

s ij = sij se i * i

sij = 11 sij1 / . . se i = j ;

tDe termine U e V—1 t —J.Faça o prod u t o V.S . U = A^

-1 -1 Calcule A j A e A A j

-17-

esquerda) e I d = A A (identidade ã direita); P a r a c a d fcrença :

2. Para cada algor itmo calcule (DIF) , matriz di-

< D I F ) . . = [ ( I e ).. - ( I , )..] ;

3. Aplique a norma da máxima soma de linhas sobre( D I F ) ... Compare com zero; ij

4. Determine, par a cada algoritmo, (DIF)„ e (DIF) ,c dtal que

(DIF ) . . e 1 J (I ) - - - (I) • • e ij ij. (diferença ã esquerda)

(DIF ).. d 1 j (.1 , ) . . - ( I ) . . d ij ij. (diferença ã direita)

5. Apli q u e a n orma da má x i m a soma de linhas sobre (DIFe)e ( DIF^ )... Compare com zero.3-J

C o n s i d e r a - s e o seguinte:

0 melhor alg o r i t m o será o que a p resentar menores valores das quatro normas citadas.

Na prática, ■se que I = I , e dDai, u t i l i z a r - s e - a o como padrao de comp a r a ç a o as normas

aplicadas as matrizes (DIFj) calculadas em cada algoritmo.

A p r e s e n t a - s e , a seguir, um exemplo preliminar.

Seja a seguinte matriz

M=

10 9 7 3 150 45 4 0 22 145

123 33 35 54 40-6 0 -53 76 20 3046 56 20 45 11

-18-

Ao a p l i c a r - s e o m é t o d o da elim i n a ç a o para deter m i n a r M }

ob s e r v a - s e , na listagem, que no passo 2 do a l goritmo foram gera dos números muito grandes em modulo. Para se ter idéia destes v a l o r e s , eles sao a p r e s e n t a d o s de forma especial na próp r i a lis t agem que e n c o n t r a - s e no aneô 3.

Tais números geram forte i n s t a b i l i d a d e no a l g oritmo de e l i m i n a ç a o de forma a afetar s i g n i f i c a t i v a m e n t e o r e sultado fi nal, gerando uma inve r s a que produz, quando m u l t i p l i c a d a pela m a t r i z original, uma m a t r i z m u i t o di f e r e n t e da identidade, fato a t e s t a d o pelo calculo da norma da m á x i m a soma da m a t r i z diferen ça, cujo v alor foi de 11,692.

Isto m o s t r a que este a l g o r i t m o é i n e f i c i e n t e para deter m i n a r a inversa d esta iuatriz M que parece ser b a s t a n t e simples.

Ja u t i l i z a n d o - s e o m é t o d o DVS tal p r o b l e m a não acontece. Como a m a t r i z é simples, as m a t r i z e s U, S e V são de fãcil cãl culo, r e p r o d u z i n d o com e x a tidao a ma t r i z dada quando se efetua o prod u t o U.S.V*'. A s s i m a inve r s a obtida reproduz, quando multi^ p l i c a d a pela m a t r i z original, a i d entidade exata, como se pode ver pela norma result a n t e , cujo valor e zero.

Este exemplo m o s t r o u a e f i c i ê n c i a do m é t o d o DVS para ocalculo de inve r s a de matrizes.

Tal e f i c i ê n c i a foi testada em m u i t o s outros exemplos. A tabela a seguir resume 59 casos dentre os estudados. Aqui, nota- -se que o m é t o d o DVS é m e l h o r em 54 deles; em 4 o método da eli m i n açao e m e l h o r (porém, e m u i t o pouco melhor, pois a normaDVS também é pequena) e há 1 empate.

N e s t a amostra, o mét o d o DVS foi m e l h o r - para fins dei n v ersão de m a t r i z e s - em 91,5% dos casos. No anexo 5 deste trabalho, e n c o n t r a - s e a l i s t a g e m dos exemplos 2, 3, 19, 23, 24, 36, 43, 51, 55 e 56, nesta ordem.

-21-

C A P l T U L O IV - O MÉ T O D O SIMP L E X REVIS A D O

4.1 - INTR O D U Ç Ã O

O m é t o d o simplex r e v isado e um a p e r f e i ç o a m e n t o do meto do S i m p l e x (.convencional) do ponto de v ista computa c i o n a l , ja que trabalha com os valo r e s int e r m e d i á r i o s de forma mais compac ta, r e d u z i n d o as n e c e s s i d a d e s de m e m ó r i a do computador para o a r m a z e n a m e n t o desses valores.

0 simp l e x r e v i s a d o apr e s e n t a duas c a r a c t e r í s t i c a s bãsicas :

1. U t i l i z a uma a b o r d a g e m m a t r i c i a l ao p r o b l e m a de prói gr a m a ç a o linear;

2. C a l c u l a e a r m a z e n a apenas, as i nformações necessã rias a cada iteraçao.

A n o t a ç ã o m a t r i c i a l pode ser e s q u e m a t i z a d a como segue:

Max z ■= cx

Sujeito a: Ax 0

onde c(.l x n), x (.nx 1), A(jn x n), b(.m x 1), 0(n x 1)

Na forma padrao, tal notaçao se trans f o r m a em:

Max z = cx

S • cl

[A, i] X

X

[ > ] > 0

> 0X

-22-

onde I e a identidade real de ordem m e x são as msv ar i á v e i s d e folga .

Assim: [ A , I] x ( n + m )

( n + m ) x I

( n + m ) x 1

O b s e r v e - s e ainda que, a cada iteraçao,as Gnicas i n forma ço e s relev a n t e s s a o :

a) C o e f i c i e n t e s das var i á v e i s nao básicas que vao en trar na base;

b) C o e f i c i e n t e s das v a riáveis nao básicas na equaçao ( 0 ) (funçao objetivo);

c) As constantes da coluna b.

4.2 - N OÇAO GERAL DO MÉTODO

C o n s i d e r e - s e a matriz ; o b serve-se que existemvar i á v e i s nao básicas cujo valor inicial e zero.

E l i m i n a n d o - s e estas n variáveis nao básicas, ter-se-á como solução bás i c a inicial:

X B =

“BI

‘B 2

‘Bm

C o n s t r 5 í- s e , a seguir, a matriz base B , de ordem m , formada pelas colunas c o r r e s p o n d e n t e s às variáveis básicas da matriz [A,l] que i a matriz original do problema.

Logo: B . x -1B x B = B

-23-

C o n s i d e r e - s e a m a t r i z [c , O] . E l i m i n a n d o - s e os c o e f i c i e n t e s d a s v a r i á v e i s na o - b ã s i c a s e n c o n t r a r - s e - ã a m a t r i z de o r d e m (l x m ) , A s s i m , p a r a a s o l u ç ã o b á s i c a e n c o n t r a d a , o v a l o r de Z s e r á :

ou Z

Mat r i c i a l mente tem-se

1 - c 0 X ' 0õ A I X s__ b

onde 0 r e p r e s e n t a a matriz nula.

como .b -iZ = c „ . B .b , tem-se: Jd- r -11 ■ -1Z 1 : c b b 0 c g B b

= -1. X B_ õ : b b B b

Esta matriz, de ordem ( (m+l)xl) é o lado direito a t u a lizado do problema.

como

1 -*1c b ’b 1 - c 0 1

-ic B A-c B c b b_1Õ

-1B Õ A I Õ-1B A

“1B .

0 conjunto de equações, após qualquer iteraçao será

1 CgB A-c CB ^

0 B A .,-1z c . B 1 . bX _

-X s- B“1. b

E m resumo, portanto, o simplex revisado tem os mesmos cr itérios de i n i c i a l i z a ç a o , d e entrada e saída de var i á v e i s da base bem como de parada do a l g oritmo simplex. Mudará, apenas, o cálculo de B- 1 e de xg= B_1b. A l é m disso, o simplex revisado,para efeito de s i mplificações, apresenta um modo de se determi-

-1 ~ . -i n a r a m a t r i z B d a i t e r a ç a o i a p a r t i r da m a t r i z B d a i t e r a ç a o ( i — 1) .

-24-

li s quema de Alg o r i t m o

Dado o problema: max z = cxs . a : Ax b

x > 0

0 simplex r e v i s a d o segue os seguintes passos:

1. F o r n e ç a A (,m x n), b (m x 1), c(l x m), x(n x 1).

2. D e t e r m i n e a matriz básica inicial B.( e v i dentemente , como Ax b, então B = I)

-i -i3. Calcule B. (no início B =B)

4. Entrada na base:

4.1 - Calcule P'= Cg*B } P '(1 x m)

4.2 - Seja Aj( m x 1) o vetor coluna que repr e s e n t aos coef i c i e n t e s das v a r iáveis nao básicas xj no p r o b l e m a original.

4.3 - Calcule os valores zj - Cj = P 1 A j - Cj

4.4 - Se para todas as v a riáveis nao básicas,zj - cj ^ 0, pare. A t i n g i u - s e a solução ótima.

4 . 5 - Se existe z j - c • < 0, entra na base a v a r i á vel que tiver o valor mais n e g ativo (índice k)„

5 - Seja xk a v a r i á v e l que entra na base;calcule yk = b \ Ak

6 - Saída da base:Co n s i d e r e os valores do vetor coluna yk (m x 1) para cada y k i > 0 ( i = l , 2 , . . . , m ) e f a ç a

— bl - , i = 1,2, . . . , myki

onde b'. sao os valores atuais das constantes do 1 a - xdo direito das restrições.

Sairá da base a variável da equaçao r onde o valor

-25-

__i— , y !<.]•> 0 seja o menor.yki

4.3 -

7. C a l c u l o da nova inversa:r -Yl - y :7.1 - Calcule y= yr yr yr

7.2 - Det e r m i n e a matriz E como sendo a exceto a coluna r s u b s t i t u í d a por

7.3 - Calcule: E B anterior

8. A t u a l i z a ç a o do lado direito-ib ~ Bnova . b

-i9. A t u a l i z a r Cg s B e b.

Retorne para 4 .

E X E M P L O

C o n s i d e r e o problema:

Max z

s . a

= Xj + X 2 + x 3 +: x 4

x , + 2 x „

x + 1

2 x , + x.

+ x< 10

x; ^ 0 ( i;

Então: C= [l 1 1 l]

’l 2 0 O" ■ 4' "X T0 2 1 0 5 X ,A = ; b = e x = A

0 0 1 1 8 X 31 1 1 1 10 _X -.

ym \yr J

identidadey

1,2, 3, 4)

I n i c i a l m e n t e . c o l o c a d o o p r o b l e m a na forma padrao, ter- se-á :

cB =[0 0 0 0]

-26-

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

P ' = cB . b"1 = [O 0 0 0]

zi - cj = P ’Aj - Da i 2lZ2Z3Zl,

ClC2C3

= -1 = -1 = -1 = -1

Entra na base, por exemplo, xj pois houve empate E ntao k=l e

A k = Aj

1 10

Logo y k = y,= 00 01 1

e como 101

saíra x c

1, y =

1 0 0 0 “0 1 0 00 0 1 0

-1 0 0 1

A nova inversa serã E . B1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0

- 1 0 0 1

B -1'nova"

ou seja,

at u a l i z a n d o o lado direito

45b 1 = B'1 . b

= -1 x 3 entra na base,

k = 3 , e ?k 111

0 calculando os valores

i » tem-yki

- s e 5, 8, 6

da 1 inha 1 (r = 2) •

Aqu i , u = [o, 1,

1 0 0 0E = 0 1 0 0

0 -1 1 00 -1 0 1

A nova inversa será:

1 0 0 00 1 0 00 -1 1 01 -1 0 1

v ariável

A t u a l i z a n d o o lado direito tem-se:

-28-

D e o n d e : z s - c s = 3

7‘ 6 - c’6 =-1z2 ~ c2 = 121, — C — 1

0y 4 = o

i i

bi tem-se 3_ Yki 14 ( r = 4)

Calculando os valores

1 s aindo x — í 1

que e a variável da linha

Aqui., U =[ 0 0 -1 1 ]

1 0 01o 1!

0 1 0 0 1]T& 5

0 0 1 -1 2

f — O 0 0 1 1

de onde: z2 - c 2 = z 5 - c 5= z6 - c6= 0 e z8 ~ c 8= 1

como para todas as variáveis nao básicas z j - c j 0, asolução ótima foi alc a n ç a d a e ê:

xi = 4X 2 = 0X 3 = 5x 4 = 1 com Z= 10

-29-

CA P Í T U L O V - A L G O R I T M O DVS-PLEX

5.1 - I N T R O D U Ç Ã O

Ainda que o simplex r e v i s a d o tenha, em termos compu tacionais, c o n s i d e r á v e i s van t a g e n s sobre o simplex u s u al,per m a n e c e m em aberto pro b l e m a s devidos is i n s t a b i 1idades numéri cas que o c o r r e m durante a re s o l u ç ã o dos modelos lineares.

Tais problemas existem, muitas vezes, devido a arre d o n d a mentos, operaçoes com números grandes e pequenos (princ i p a l m e n t e m u l t i p l i c a ç õ e s e divisões) alim de condiçoes espe ciais rel a t i v a s às restrições, como situações de quase para1 e 1 i s in o .

N este último caso, o simplex revisado que trabalha com a ma t r i z B dos coef i c i e n t e s das v a r iáveis básicas na for ma exata em que ela foi e s t r u t u r a d a a cada iteraçao, nada po de fazer para con t o r n a r o problema. Da m esma forma, o método simplex r e v i s a d o nao evita a geraçao de erros de arr e d o n d a m ento dura n t e as operaçoes nem consegue impedir sua p r o paga- çao, s o b r e t u d o c.onsiderando-se que a matriz B 1 gerada em uma dada i t e raçao é d e t e r m i n a d a pela matriz B 1 da iteraçao ante rior e que esta ma t r i z de t e r m i n a o valor b 1 , que reúne os va lores atuais do lado direito, valores estes que determinapi o re s u l t a d o final do problema.

D esta forma, embora seja inegável a e f i c i ê n c i a o b servada n e s t e método, o simplex revisado apr e s e n t a a d e s v a n t a g e m de nao evitar i n s t a b i l i d a d e n u m é r i c a durante o seu d e s e n v o l v i m e n t o .

5.2 - IDEIA GERAI, DO A L G O R I T M O DVS-PLEX

A p r o p o s t a bá s i c a do algoritmo D V S - P L E X } que é o tema pri n c i p a l deste t r abalho,e a de p r o mover um e f i c i e n t e con trole de erros durante a r e solução de problemas de p r o g r a m a -

-30-

ç a o linear.

Para tanto: 1) 0 algoritmo estrutura o mod e l o da me s ma forma que o simplex revisado,

2) apr o v e i t a suas vantagens,3) permite que, a cada i t e r a çao, se desen

v olva um controle de erros,4) reduz o a p a r e c i m e n t o de erros,5) impede a p r o p a g a ç a o de erros,

ou seja, m i n i m i z a as d e s v a n t a g e n s dosimp l e x revisado.

0 a l g o r i t m o D V S - P L E X utiliza a nota ç à o mat r i c i a l do m o d e l o e sua e s t r u t u r a bãs i c a e d i v i d i d a em áreas interdependen tes, como m o s t r a - s e a seguir:

1. Ãrea de definição: Dado o modelo, são identificadas as m a t r i z e s A, b , c e o número de restr i ç õ e s e de variáveis, b em como a n a t u r e z a das restrições.

2. Ãrea de formaçao da base: I d e n t i f i c a m - s e aqui as v a r i á v e i s básicas e n a o - b ásicas. No início, as va r i á v e i s bãsi cas sao as de folga. Depois, esta ãrea t r a n s f o r m a - s e no local de a t u a l i z a ç a o da base, s u b s t i t u i n d o - s e a v a r iável que sai p e la que entra, ou seja, a v a r i á v e l da linha r pela variável de índice k .

D e f i n i d a a base, m o n t a m - s e as matrizes MB e cB forma das, r e s p e c t i v a m e n t e , pelos c o e f i cientes das v a r iáveis básicas nas m a t r i z e s iniciais A e c .

No início, MB=I e cB=0. Depois, de acordo com a variá ve], que sai e a que entra, a t u a l i z a m - s e MB e cB.

3. Ãrea de o p e raçao da base;Aqui u t i l i z a m - s e dois s u b - p r o g r a m a s , a 11 e r n a n d o - se

sua u tilizaçao, com a ãrea de operação das var i á v e i s n a o - b ã s i - c a s .

Inicia l m e n t e , u t i l i z a - s e o s u b p r o g r a m a 1 que tem como entrada as m a t r i z e s MB e b.

S u b p r o g r a m a 1:

a) Decorapoe a matriz MB em valores singulares, encon t r and o as matri z e s U , S e V ;

b) Determina, usando U, S , e V a inversa de MB que é a matriz MBI;

c) D e t e r m i n a MBI, usando o método da eliminaçao;

d) Promove o controle de erros gerados nesta etapa, m i n i m i z a n d o - o s (ver ãrea 6);

e) A t u a l i z a o lado direito do problema, c alculando a matriz BD dada pelo produto MBI.b.

As saídas do s u b p r o g r a m a sao as matrizes MBI e B D .A seguir, aciona-se a ãrea 4 que.após ser e x e c u t a

da, promove o retorno a esta ãrea, para fins de e x e c u ç ã o , do s u b p r o g r a m a 3.

0 s u b p r o g r a m a 3 tem como entradas as matrizes MBI e o índice k d e f i n i d o na ãrea 4.

S u b p r o g r a m a 3:

a) L o c a l i z a na matriz A, a coluna k;

b) Calcula a matriz BA, dada por:

B A = (M B I ) . Ak

c) Calcula os valores F , dados por:

F- = BP.i , BAi > 0 > onde BA£ é o elemento 1 BAi 1 da i-ésima linha da ma

triz B A .As saídas deste s u b p r o g r a m a sao os valores F j .

A seguir, fixa-se r como sendo o índice da variável que saiu da base, d e t e r m i n a d o pelo índice i do menor F i .

0 controle do p r o g r a m a retorna, neste ponto ’'a ãrea de formaçao da base (ãrea 2).

4. Ãrea de operaçao das va r i á v e i s nao bãsicas:

Aqui u t i l i z a - s e o s u b p r o g r a m a 2, que tem como entra das as m a t r i z e s cB, c, MBI e os valores de j (índices das va

-32-

r iáveis nao básicas).

S u b p r o g r a m a 2 :

a) Calcula o prod u t o cB. MBI = PB1;

b) Para cada valor de j, dete r m i n a - s e PB2= PB1. Aj e T j = PB2 - Cj

As s a idas do s u b p r o g r a m a 2 sao os valores Tj.

Caso todos os valores de Tj sejam nao negativos, pa£ sa-se para área 5 (cálculos finais).

Se houver a l g u m valor de Tj negativo, fixa-se k como sendo o valor de j para o qual se tem Tj mais negativo. A se guir, r e t o r n a - s e à área de operaçao de base.

5. Ãrea de cálculos finais

Aqui c a l c u l a m - s e os valores finais das var i áve i s , u t i_liza n d o - s e a base atual e o vetor atual b 1 . C alcu l a - s e o v a lor de Z, u t i l i z a n d o - s e a funçao objetivo.

6. Ãrea de controle de erros

Esta área é usada no cálculo da inversa da matriz bã sica B. Dois métodos sao util i z a d o s para calcular B - o meto do da d e c o m p o s i ç ã o em valores singulares e o método da e l i m i na ç a o .

Uma vez d e t e r m i n a d a a inversa de B em cada um dos mé todos, calc u l a - s e o p r o d u t o desta inversa por B, c o m p a r a n d o - se este p r o d u t o com a identidade, e s c olhendo-se, entao, a q u e la que gerar menor erro.

Tal c o m p a r a ç a o será p r o c e s s a d a pela escolha da menor norma de má x i m a soma por linhas, aplicada sobre as m a t rizes di_ f e r e n ç a s :

D = |b B - l| . (conforme capítulo 3, deste t r a b a lho) . Idealmente, a norma deve ser zero.

5.3 - ROTEIRO C O M P U T A C I O N A L

Con s i d e r e o seguinte problema:

-33-

nmax z = £ c-x;j=l J J (P)

sujeito a: ^ ajj xj < bj para i-1,2,3,...,m

0 alg o r i t m o D V S - P L E X para r e s olver este p r o b l e m a u t i liza o seguinte rote i r o computacional.

1) Coloque o p r o b l e m a na n o t a ç à o matricial:

a) v a riáveis: x (n x 1)b) c o e f i c i e n t e s da função objetivo: c (.1 x n)c) c o nstantes do lado direito; b (m x 1)d) c o e f i c i e n t e s das restrições: A (m x n) de modo que o

p r o b l e m a (P) a s s u m i r a a forma max z = cx

s .a : Ax < b x v 0

2) C o m plete o quadro inicial:

a) a d i c i o n a n d o v a r i ã v e i s de folga: x Cm x 1) -*x

b) a d i c i o n a n d o os re s p e c t i v o s coeficientes: I (m x m) tal que: max z = cx

, s . a [ A , i] xX,

X

X,

= b.

> 0

3) De t e r m i n e :

a) cB inicial (1 x m)b) MB inicial (m x m)c) MBI inicial (m x m)d) BD inicial (m x 1)

(vetor c) (matriz B ) (matriz B^1) (vetor BD)

-34-

4) Calcule PB1 (.1 x m) como sendo: PB1 = ( cB) . (MBI)

5) D e f i n a as v a r i á v e i s nao básicas j £ {1,2,..., n + m}

6) C a l c u l a r Tj Cl x 1) como sendo:

Tj = [CPB1 . Aj) - Cj] , Vj e {1,2,. . . ,m + n}

7) Se Tj ^ 0, vã para (.31), caso contrário vã para (8).

8) Seja k = j tal que Tj e o mais n e g ativo k e {l,2,...,m + n}

9) Calcule B.A (m x 1)tal que; BA = CMBI). . (A|t)

10) V i , i= 1 , 2 ..... ui e todo (BA)i > 0,

1 1)S e j a r o índice do menor v a l o r ' d o conjunto de Fi , r E {]. , 2 , . . . m} *

1 2 ) C o m p o n h a a n ova base, subs t i t u i n d o a v a r iável bá s i c a da equa ç a o r por x ^ .

1 3 ) D e £ i n a a nova matriz M B ( m x m) como sendo a matriz MB atual na qual s u b s t i t u i - s e sua coluna i pela coluna da v a r i á v e l xi que se e n c o n t r a na matriz A.

1 4 ) D e t e r m i n e Bl, B 2 , B3 tais que:

MB= (Bl) (B2) (,B3) oníde as matrizes são de ordem m x m.

15) D e t e r m i n e BIT (tn x m) tal que:

1 6 ) D e t e r m i n e B3T (m x m) tal que:

(B3T) se i £ j

-35-

17) D e t e r m i n e B2I (m x m) tal que:

se i í j se i = jX/(B2D

18) D e t e r m i n e PP1 (m x m) como sendoPP1 = (B3T) . (B 2 1 )

19) D e t e r m i n e PP2 (m x m) como sendoPP2= (PPl) . (BIT)

20) Faça MBIS = PP 2

21) Gere I (m x m) tal que

22) D e t e r m i n e SI = (MB) . (MBIS)

23) Calcule DIF = (.1 - SI) e aplique a norma da maxima soma s£ bre DIF. Seja SN tal norma.

24) Calcule a inversa da matriz B, usando agora o mltodo da eli minaçao. Seja MBIG esta inversa.

25) D e t e r m i n e GI = (MB) . (MBIG)

26) Calcule DIF = (I - GI) e aplique a norma da maxima soma s o bre DIF. Seja GN esta norma.

27) Se GN > SN , faça MBI = MBIS Se G N < SN , faça MBI = MBIG

28) Calcule BD (m x 1) tal que BD = (MBI) . b

29) De f i n a os novos valores para cB a partir das novas variaveis bási c a s .

30) Reto r n e para (4).

31) D e t e r m i n e a solução do problema, d e f i n i n d o XB (.1 x m)_, tal

1 se i = j 0 se i ^ j

que:

-3 6-

XB = BD

e calcu l a n d o

n+ 1

Z = E (CT). . (BD).i = l 1 1

se i nse n < i< m + n

5.4 - E X E M P L O

D e s e n v o l v e - s e , a seguir, um exemplo preliminar.

Con s i d e r e o problema:

max: z = 1818001 x^+ 9 3 6 0 1 , 0 6 2 5 x 2 + 13822401 xas.a: 4545xj + 2 3 4 x 2 + 3 4 5 6 X3 4 8235

6 7 6 xj + 8 7 9 8 7 x 2+ .0, 384475x3 C 88663 , 3750 , 8 7 2 3 4 xJ + , 5 ,93746x2 + 9 8 4 X3 < 990809326

x . 0 para i=l ,2 ,3

co n forme l i s tagem a p r e s e n t a d a no anexo 4, foram obtidos os r e s u 1 1 ad o s :19) pelo mét o d o simplex:

solução ótima: = 1

x2 =0, 999999464 x 3 =0 ,999999702

com Z = 3294003

29) pelo D V S - P L E X

solução ótima: x x = 1 ,7 60736068x 2 =0,994146142

x 3 = 0.01

com Z = 3294073, 06804963

O b s e r v a - s e que o a l goritmo D V S - p l e x nesse exemplo - que a pr e s e n t a apenas 3 variáveis e 3 r e strições sendo, portanto, um modelo de p e q u e n o porte - m e l h o r a o valor de Z em 70,068 aproxi-

m adaraente.

Essa m e l h o r a deve-se ao fato de que, no desenvolviinen to do mé t o d o simplex usual o c o r r e m alguns erros de arredondamen tos e/ou t r u n c a m e n t o dos números do modelo, causando perdas nos v a l o r e s que levam ao r e s u l t a d o final. Tais perdas são bem m e nores no DVS-plex.

0 efeito mais s i g n i f i c a t i v o dessas perdas, e o erro por elas gerado, esta no fato de que, no segundo p i v o t e a m e n t o , a solu ç ã o ótima nao foi a l c a n ç a d a jã que o c o e f i c i e n t e da x 3na funçao o b j e t i v o é n e g a t i v o (-1,006). Isso faz com que X 3 entre na base dando uma solução final um pouco melhor que a solução que h avia ali, solução essa que também é bem pouco mel h o r que aquela do p r i m e i r o p i v o t e a m e n t o . Esses r esultados são i n f e r i o res aos obtidos pelo DVS-plex, que coloca na base - tal como no simp l e x usual - i n i c i a l m e n t e xi depois X 25 porem, pára nesse ponto pois os c o e f i c i e n t e s da funçao objetivo, neste momento, sao todos positivos.

O bserv a - s e , portanto, que os métodos g e r a r a m bases di ferentes; isso é p e r f e i t a m e n t e normal na res o l u ç ã o de proble mas lineares. N esse caso, entretanto, a base e n c o n t r a d a pelo DVS-plex, em cujo d e s e n v o l v i m e n t o o c o r r e r a m menores erros de o pe r a ç o e s efeti v a d a s com os números, m o s t r o u um resultado final m e lh o r .

Nesse m o d e l o o b s e r v o u - s e ainda, que o D V S - p l e x e n c o n trou a solução em apenas dúas iterações, enquanto que o simplex e n c o n t r o u eni tres iterações. Nesse caso espec í f i c o foram e x e cutadas, em ambos os casos, o número mí n i m o de iterações ne c e ssarias para atingir o r e s ultado final. E n t r e t a n t o , como se verá, isso nao ocorre no geral.

0 a l g o r i t m o D V S - p l e x foi aplicado em vários testes.Os r e s u l t a d o s de alguns exemplos desses testes e n c o n t r a m - s e na ta bela a seguir. No anexo 2 deste trabalho, e n c o n t r a m - s e l i s t a dos os e x e m p l o s 2, 7, 13, 20, 22, 25, 27, 30, 33 e 34, nes ta ordem.

\

-39-

P ar a p r o c e d e r a análise dos modelos resolvidos pelos dois méto d o s D V S - p l e x e s i m p l e x , c o n s iderou-se o seguinte cri t.erio fundamental: como se tratam de problemas de m a x i m i z a ç a o é e v i d e n t e que o melhor r e sultado é aquele que, a p r e s e n t a n d o v a l o r e s viáveis, fornece um m aior valor para Z.

A l i m disso, observou-se:

19) número de iterações de cada método29) base ótima39) porte do modelo49) no caso do a l goritmo D V S - p l e x o b s e r v o u - s e a uti-

lizaçao do m é t o d o DVS ou e l i m i n a ç a o para a inversão da matriz b á s i c a formada a cada iteraçao.

Cabe res s a l t a r ainda que o método simplex usual foii n c o n c l u s i v o em alguns exemplos, nao i d e n t i f i c a n d o a soluçãofinal nem d e t e r m i n a n d o a n a t u r e z a da solução. Como se vê, isso nao ocor r e u com o DVS-plex.

U t i l i z a n d o e x c l u s i v a m e n t e o critério fundamental (maior valor de Z) dos 39 exemplos listados observou-se:

19) 0 D V S - p l e x m e l h o r o u a funçao objetivo em 27 exem pios, isto é, 6 9 s 2 % .

29) 0 simplex usual e me l h o r em 3 exemplos, isto é,7 , 7 % .

39) 0 D V S - p l e x e n c o n t r a soluçào em 4 exemplos nos quais o simplex e i n c o n c l u s i v o (.10.,3 %)..

49) Ambos os métodos apres.entam o mesmo r e s u l t a d o em3 e x e mplos (.7,7 %)..

59) 0 D V S - p l e x e n c o n t r a solução finita, e n q u a n t o o simp l e x e n c o n t r a soluçào ilimitada em 2 exemplos, isto é, 5 , 1 % .

-40-

C A P Í T U L O VI - CONCLUSÃO

6.1 - ES B O Ç O DO T R A B A L H O (.AVALIAÇÃO DE OBJETIVOS)

O p r e s e n t e trabalho p r o curou a p resentar um mé t o d o alter n a t i v o para r e s o l u ç ã o de problemas genéricos de p r o g r a m a ç ã o li near. Sua u t i l i z a ç a o foi feita em diversos exemplos, eomparan do-se os r e s u l t a d o s obtidos de sua ^ p l icaçao com o m é t o d o sim ple x clássico.

Cabe observar, inicialmente, que o m é t o d o s i m p l e x êum a l g o r i t m o de e.xtr a o r d i n ã r i a eficiência» Sua u t i l i z a ç ã o tem sido e s t u d a d a e a p e r f e i ç o a d a ao longo dos anos e, até esta data, nao se conhece a l g o r i t m o mais e f i ciente que o simplex para re sultados nao-ot i m o s , devido, sobretudo, ao m a l - c o n d i c i o n a m e n t o das m a t r i z e s de c o e f i c i e n t e s dos modelos. 0 p r e s e n t e trabalho, portanto, nao p r e t e n d e a p r e s e n t a r um a l g oritmo que s u b s t i t u a o s i m p l e x mas sim deseja corrigir falhas que a p a r e c e m na suaaplicaçao. Para tanto u t i l i z o u - s e o m é t o d o da d e c o m p o s i ç ã o em valo r e s sing u l a r e s de m a trizes, que, como foi d e m o n s t r a d o no c a p i t u l o III, ê um m é t o d o adequado para inversão de m a t rizes m a l - c o n d i c i o n a d a s 0

N e s t e sentido, o objetivo do p r e s e n t e trabalho podeser a v a liado pelos resu l t a d o s obser v a d o s nos exemplos estuda dos - alguns dos quais f o r a m aqui apresentados.

Cabe observar que o D V S - p l e x destina-se, e s s e n c i a l m e n te, a m o d e l o s m a 1 - c o n d i c i o n a d o s . Em m o d e l o s lineares pequenos e simples sua u t i l i z a ç a o não d e t e r m i n a r e s u l t a d o s piores que os dados pelo m é t o d o simp l e x - ainda que de p e q u e n a monta, obsejr vam-se nestes casos m e l h o r a s no res u l t a d o final. Pa r e c e eviden te que, para estes modelos, o simp l e x ê o m é t o d o mais indicado devido a c o m p l e x i d a d e do DVS-plex.

-41-

6.2 - C O N C L U S Õ E S GERAIS

Os r e s u l t a d o s aqui apresentados m o s t r a m que o método da d e c o m p o s i ç ã o em valores singulares é e x t r e mamente e f i c i e n te para inversão de matrizes - mesmo aquelas simples e de o r dem pequena, como a m o s trada no item 3.3. Ê bastante visível sua a d e q u a ç a o a m a t r i z e s m a 1-c o n d i c i o n a d a s e as v a ntagens que a p r e s e n t a sobre o m é t o d o clássico de eliminação.

Outro fato importante é que o método DVS perm i t e rí gi.do controle de erros no seu d e s e n v o lvimento. Quer na gera çao das m a t r i z e T U e V, quer na geraçao da própria inversa, c. a da passo do a l g o r i t m o permite ver i f i c a r se algum erro foi gerado , p o d e n d o - s e i d e n t i f i c a - l o para uma possível correção.Já nos p r o c e s s o s normais de inversão, uma vez gerado o erro, este se propaga, r a p i d amente, sem que haja meios de evitar tal s itu a çao.

A o b t e n ç ã o das matrizes U , S e V e a inversa a p a r tir delas torna este m é t o d o mais complexo do que os convenci onais de inversão. A p r o g r a m a ç a o c o m p u t a c i o n a l aqui e de gran de valia e pode - s e o b s ervar que obter U, S e V através de um a l g o r i t m o p r o g r a m á v e l é assunto j a d e s e n v o l v i d o na l iteratura técnica e s p e c i a l i z a d a (ver, por exemplo, r e f .; [~ 8 ] ). Parece obvio que a ap l i c a ç a o do DVS a mode l o s m a l - c o n d i c i o n a d o s traz resul t a d o s que c o m p e n s a m largamente sua complexidade.

A partir dos bons resultados- obtidos na inversão de m a t r i z e s pode ser d e s e n v o l v i d o o al g o r i t m o DVS-plex. Sua apli caçao p r á t i c a p e r m i t e concluir que o alg o r i t m o m e l h o r a os r e sultados obtidos pelo simplex usual na grande m a i o r i a dos ca sos. A l e m disso, o D V S - p l e x e n c ontra a solução do modelo em casos onde o simplex usual é inconclusivo. Este ultimo fato, por si mesmo, já b a s taria para atestar a e f i c i ê n c i a do DVS- ple x e sua grande utilidade.

Outra o b s e r v a ç a o i mportante sobre o D V S - p l e x é que este mét o d o tende a e n c o n t r a r a solução ótima em um número de iterações m uito menor que o simplex usual. Isto se deve ao fa to que, quando uma v a r i á v e l entra na base, pelo DVS-plex, ela

tende a ficar aí ate ser a l c ançada a solução ó t i m a . No sim p 1 ex usual, existe um grande numero de entradas e saídas da base de uma mesma v a r i á v e l .

6.3 - SUGESTÕES DE ESTUDOS

0 p r e s e n t e trabalho, ainda que tenha levado a con clusoes efetivas sobre a u t i l i z a ç a o do método DVS-plex, m o s trando suas v a n t a g e n s sobre o simplex usual, nao esgotou - e nem o p r e t e n d i a - o assunto.

Desta forma, para futuras pesquisas, ficam em a b e r to as seguintes questões:

a) Estudo da i n f l u e n c i a do número de condição sobre o p r o c e s s o de inversão de matrizes.

A u t i l i z a ç a o do número de condição aqui p r o p o s t o ou a determinaç.ao de um outro poderá permitir a c l a s s i f i c a ç a o pr é v i a das m a t r i z e s para fins de d e t e r m i n a ç á o de sua inversa

0 p r e s e n t e trabalho nao chegou a d e t e r m i n a r de m a neira clara como esta influ ê n c i a se processa.

b) Os exemplos aqui c o n s i derados nao u t i l i z a r a m va riãveis a r t i f i c i a i s nem m i n i m i z a ç a o de Z.

S u gere-se a g e n e r a l i z açao do a l goritmo para estes casos.

c) D e s e n v o l v e r a análise de modelos de grande porte - a ten d e n c i a do D V S - p l e x ê ser bem melhor que o simplex à

m e d i d a que o porte do modelo aumenta. Entretanto, os progra mas c o m p u t a c i o n a i s util i z a d o s nestes casos, u t i l i z a m muita m e m ó r i a e tempo ex c e s s i v o de computaçao. Desta forma, poder- Se-iara d e s e n v o l v e r p r o gramas mais eficientes para o estudo de tais casos. Isto nao foi feito aqui por nao ser a otimi z a ç a o do mé t o d o c o m p u t a c i o n a l o b j etivo do presente trabalho.

d) Estudar, com mais rigor, os casos em que o DVS- plex teve d e s e m p e n h o inferior ao simplex.

-43-

A N E X O 1 EX E M P L O S DE D E C O M P O S I Ç Ã O DE UMA MA T R I Z EM VALORES S I N G U L A R

_44~

•h N S'’J J' 04o -y -i oMi O O<r "vj r\i .sro o 0 o'?> ,0 " I *N. O í> Nfj '\i os

*0 v> V* 'OO' •> y»rX) oj a a)■r o û sTu-\ ':j ; j m”j n o -g(f) fv. «j-r 'jj u; 'ro u u o

-tt I

a - i -< i\j

/) h il il h

U) Il IIt'J -«.1 — t>4 IjJ< — w wt 10

-4*O<1 Il II II I!

t h w - ï r j

H •* H INI f j

OOa 'ooo <No •’J*o •yo •oo Oo h.o o• ‘f

or-O)O'

NJ> o•» 04t/J •

U)'J

u; h-Í.) *d »

>< •»O i/î

*il) _>O

i-J>"■ «1' tH<1y.

y» 'V •* 'UJ •t T o

n UJ'"•J r j j- <0 0 •3 ~ Xn >•>o o

«y U*• » « J II

o o O •4 O!1 £ (.3 <

»-* aIN

—■ n. >-«:‘C 2 uU u 1-

t/) «(N £~t cU. A. -4j— —« wJ< XS <f

ï «<•t j

« • i: i l O '"i* £H -f '5

u II H -* V U»•> »•> «•H u j X<M N ') .u

CJ -t a4

• • • vj n u-« <M 

Il II «D O fl

% fUJ I

- J I•JJ lU ja »a t

I

N «4-* Íï 'í It- ►*'t T t‘t X UJ! « ... 1

U O 'Ni V) «H .UJ D U°<1 U t-

V LG ft c S i» I

C vJw AKc

j"* CIAGCNJL CA

Si*7/ h í T *J O '•1 -t >rj ,o T3 .„n .si 0 0 J ’> N. -g

•’> r- o >•»-T <r r ■j'co 'O -o N o 7* rg >rt o Ü h » O ' N ■-) O

- « ' J *'■) 0 <t f) Joj tn îo i3 <\i ó -si ")

■ï il ‘ï h n n n it n

*4 ->4 r j ^ -yj ~) .« -■)

-• N «M OJ I») n

< « * » • » »««•». J -J J 3 'J J l) 3

— '?\ .“M N v fo -<j r» us ^ o n

ù a î'i ’O o* O 0 !>' O '•U 4J o

o o o o o o

a n ti h » h >i

♦ -« t>i ro -• r\J •*>

** -h t\j .\j i\» f*f o) r»)

* >.>>>>>>>>

h»>ftUJ •1» <r

i Oin

iX H/ u •*» -•

a » •j> tr>

. nO n* ajIU Ju N

t •*JO

«-• < r>(X O

<t •-4£o •u co O <>» "> rj o

<JV J* :o u> U) <r <a> < Ul‘•J ■V ri •n ••> l<> '0 N DN o Q N *0 ■3 r- r-i •ij UJ

<t ■0 n J fO <* O' •T ♦ '<f j '!■> *1 f'i lA •0 •r n »ï ojO T N ■3 o T' 0 .0 fs 0 < 2O l’J O IV '? w -0 t j«/ <vj ■JJ <r u » cv a; <i) n <T ~J• » • • • • • * • « _J II

O O O o o o o O O *t a:1 1 1 1 1 ! ! ; : o <

- ao !N— n. —*

a s Xl_> UJl/> <

^í X«T •H 'tJ. ^ ■<- *s/. H* u'1 < X.4 '< • J

. X ï «<»- .r <*) o ■* .-*

'J a t) O•\ *í rn I V- t îII 7 » II il u tl n U ti tl ^ *??A lu cr

0 ■U D - CM •0 *•4 f>1 n <-« n <0 a •lih* o z U<

> N • • • * • * * * • V/ < VJ•N ►-» « «■* —♦ rv -'1 ■'i . ^ •J.

N OC It iU*- «4. et i .ex A « w W a o J> H X -> 3 3 D D D D o D X J 4.« u <3 u >

*>

>. l'Iu ex

-46-

•> Oo o o

u o •/U ï

I

H M II

•T -T

c-J t ô •t

« •< 't

H II II

*•» .*)

:>J <•) -J*

'< <t «*

Il II

CU cg

H Tl TJ fj -O .f B 1} S -4 H 1 «a ! f l f l r ) N W ' O f t i o < t N o . o - - t M no h ' j N - ■> o n h o fo o N N .N . 'nfs. (j '> nj T *• ?J ^ O rg ^ C3 '/» "Jï j) w V if ci — n y> <*«• -.y o «o ’•) o•o -* i'j .o N <r <r <t rj j ■* .) .<•> o *n -oo ü '» >n "> «.* o 'n <n ‘1 N -o d - <r io0 N ;n f*. 9» '0 O M o o n « j- o fJ* L0 'N û Î N "■ 1 « 3 ï I'-J S N -.5 -O

O O O O O O Q O o o o o o o o o« 1 1 1 I ( I t i l l

in -i# n "7 'li *>•<r </) *t -o -• o•0 '0 <* -« o it. A O O ’.I ) - • -<oj •> ^ n o m-o o s (') •;>M 7» S r ) N hsO Ii <7 UI li ?

<’) «» <r o

0 o o o O ' J1 I ' I

r'i n •(,> r- o r» 'n o <r o v' «’> ^ n C' <t fo 'M n ' ' j '0•o

s> ô o .n o ni> r> <*

O n -,S in y*•o ** '.o o '.oo o / ♦4’ T)o o t ' O N

o<>4 fx <J l'i vO W <» vT \0 I’-i

O O O O O O O O o o I l I I I I

vt . SÍ vAg'j N egO 0 TJo O' 'fl í N

^ 0) N -«-< o 0 -.0 n *•«

0

u>

o o o <5 o

.M vr

< < <

■> H II II II

< - 1 *J o J -

Il II II H II II t|( II It » II

V •> T ■* -4 1 T • H ">J 'J . f

Il II H

rg I*» «J

H ;'g IN IV (V n *1 n r) >T <1 <f <1

rJ

-ï• jT. Il M il M II II II <| It It M II II II <1 II

_« 4 ~1 i\( v\| {<4 (V |>f P) i.f (*} Kt *T *f -c

* > > > > > > > > > > > > * > > >

•I II I! It !|

D « <'J .0 * r*

' rj *

it

KLR

Lli'f’A

-47-

•J O -S r- ) •) is. r,r 'j >/• •■)

) ^ t ■ 4 0 T0 «ri O r- 'g**• X- O V '• » IV

j ~ O O J 3t I «

•I '1 '•) » *T 1 <7

O

nooo U)o *>o•J «/»o'.?o•

o _4

r-

ll\

'0

> •.y•* J*

•* 17»'D w

IX H ■ «J *a »

>< +

. O <-0 ••< * Ui J (J

1.w

< OC ~ u 't ï

iJfj ‘t IJJ') O.n UJa .*lO — Xa -trv■O -J* .J II

O^ Ú <-* a

M>-« <ir X 11CVJ u f?

</l -*rs» «►■« «t .& •*.r« *-* UJ< ï t <J

Y •f« sj

-*u a O*M < ’)

II T ■«• Vl'J ne

<* 13 a.■J Z O'VV M U

<7 < o aa uj•t a Xa u .1X -Ju 

-48-

A N E X O 2: C Á L C U L O DA I N V E R S A DE UMA MA T R I Z US A N D O O M É T O D O D V S .

F I L E O o A i J A Cl V.v/SP KÉLUoi: 2 * 1 s i t ; òt-4p-

fí;c o L!£n'a n . i

CnCc M CA MAT.il 4. o PCfc 3CALüw CE c.-1T)\Aú mVA Tíi I 2 - A - íJACAJ

A ( 1 , 1 ) = O0-.CÜ0CC0CC0A í 1 , 2 ) — - 1 0 . CC OCCÜ C G OA < 1 , 3 )- . C C C C C 0 ccoA ( 2 , 1 ) = 4 0 . C ü C C C O C C OA k ■d * 2 ) = £. 2 . C á* cccoccoA ( 2 , 3) = - c . t o c o COccoA< 3, 1 ) = o O . C «j 0 G C 0 C C 0A ( 3 * 2 ) = --ic . 0(J occo ccoA C 3, 3 ) -- 4 . C C C Q C Q C C 0

VAi-Or-iES S X W Güi_ A K L L I A G C N A L DA M A T R I Z S

S l 1 ) = 9 4 * 1 2 0 £ 5 £ ) õ 9 0

3 ( 2 ) -j £ . 4 3 0 1 3 9 0 9 2

S l 3 ) - . 1 £ . 9 4 1 6 3 1 0 14

M AT K 1 Z U Tcí Ai-' ! l~ UL> T A — P GR L I N HA

U* *T ( .1 . 1 ) = ' - 0 , 6 7 3 1 1 6 3 5 6

L * * T ( 1 t í: ) = - 0 . 3 5 4 1 £ 6 1 0 5

U-i1 v 1 ( 1 3 ) = — 0 » 6 4 3 9 6 0 130 .

l ->T ( 2 , 1 ) = - 0 . 0 1 9 5 3 7 7 9 6

U * * T ( 2 . 2 ) = 0 . 8 8 4 5 9 5 3 0 1

U * ’>T í 2 . 3 j ~ - 0 . 4 0 5 9 4 9 9 1 4

U * -f T < 3 * 1 ) - 0 . 7 3 4 0 9 4 a 2 0

L * * T ( 3 , 2 J - -0 « . 3 0 3 3 8 6 3 0 6

u * * r k J .* J ) = - 0 . 0 0 6 7 7 8 0 0 0

f /ATK I 2 V- P C k l i n h a

V ( 1 , 1 ) - — Q » 9 6 5 S J ó 6 5 6 5

V ( 1 , 2 ) - 0 . 2 2 9 13 6í3 7 7

V ( 1 , 3 ) — - C . 1 2 0 0 2 0 3 5 9

V ( 2 , 1 ) - 0 . 194 5 2 1 5 0 9

V< 2 , 2 ) - 0 . 9 4 9 3 3 2 2 4 0

V ( 2 , 3 ) - 0 . 2 4 6 8 3 9 3 6 0

V< 3 , .1 )- - 0 . 1 7 0 4 9 9 2 0 1

V ( 3 , 2 ) = - 0 . 2 1 5 0 9 2 0 4 7

V ( 3 , 3 ) - 0-. 9 6 1 5 9 5 2 5 5

T R I Z V T A N óP u b T A

V * * T ( 1. 1 i = - 0 . 9 6 5 9 6 6 5 6 5V * * T ( 1 , 2 ) = 0 . 1 9 4 5 2 1 3 0 9V* * T ( 1 , 3 ) = • - 0 . 1 7 0 4 9 9 2 0 1V-**T ( 2 * 1 ) = 0 • 2 2 9 1 3 6 0 7 7V * * T ( 2 . 2 ) = 0 . 9 4 9 3 3 2 2 4 0

V * *T ( 2 , 3 )- - 0 . 2 1 5 0 9 2 0 4 7

V * * T 1 3 , n - - 0 . 1 2 0 0 2 0 3 5 9

V * « T ( 3 , 2 } - 0 * 2 4 0 8 3 9 3 8 0

J-l.L[':0 C V S - O J ó A I J A C l V.iV/’ i-P R r l_ L A b (; 3 . 1 6 L 0 3 0 £

-50-

V * « T ( 3 , 3 j - Ü « 56 i ü rà 3

MA TK 1 Z Ü - P ü K L i h h A

U ( .1 . 1 J- — 0 . 6 7 b 11 Ó3í 5c

U ( .1 p £ ) = - 0 . 0 1 9 5 3 7 7 9 ó

<J( 1 . J ) = 0 * 7 3 4 6 ÿ & 2 0

U l tS- » 1 > = - 0 . 3 5 4 1 3 6 1 0 5

U( 2 * 2 ) = 0 , £ 3 4 59 53 e 1

U( 3 ) “ -■0 . 3 0 3 3 Ü 6 3 0 6

U( j « 1 ) = - 0 . 6 4 3 9 6 0 1 2 0

U( 3 , 2 ) = - 0 . 4 £ 3 9 4 9 9 1 4

U ( 2 , 3 ) = — ü • 6 0 6 7 7 6 6 0 0

MA TW 1 L A Ü J T i l> A P R C C U I C l ; * S * VT

A { i , 1 ) - 6 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A ( 1 > - 1 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A ( 1 , ó ) - 2 :í . o o o o o o o o o

A ( 4L « 1 ) - ‘ 4 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A ( 2 » 2 ) = .2 2 . COOOO 0 0 0 0

A ( 2 , 3 ) := - 6 . 00 0 0 0 0 0 0 0

A ( 3 , 1 ) - £ 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A { "2 2 ) — — 3 c . o o o o o o o o o

A { w « 3 ) - 4 . OOOOOOOOO

C C MP f- h AC A ü c N í k E A t< (■ ï H I 2 CS I G I N Al_ ( A ) £ A M A 1 R 12 Ü B I D A P C « U * S * V T •

T l : STF. C C 3 i J O à V I J õ

0 « 0 Cw Jí; Cj L C Lí ü

CCf ' H* K A C A O iz r tY u L A N A T K 1 2 CP I G I N AL ( A ) £ A M A T H I Z Où I D A POf í * U * S * V T

TESTF; CCS í.)í;j v Íüíj0 « 0 0 0 J o t GOUÜ

I N V i i M i A ü E a j t . r u JA P c L A D E C C M P . EM V A L Û Î Î S I N G U L A R

( A - l ) ( 1 . i ) = 0 . 0 0 1 6 2 8 4 3 4

( A - l ) í 1 . ^ > = 0 . 0 1 1 5 0 ^ 2 3 . 9

( A - l ) ( 1 9 3 ) = 0 . 0 0 7 8 9 4 3 6 4

( A - l ) { 2 . 1 ) - 0 . 0 0 6 7 7 9 3 8 3

( A - l ) ( ci » 3. ) - . 0 . 0 1 ü S h 9 9 8 6

( A - l ) ( 2 « j ) - - 0 » 0 2 2 6 £ ò 4 7 1

< A- 1 ) ( 3 , 1- ) - 0 . 0 4 3 0 4 7 2 9 5

( A - l ) ( 3 * .i ) - — 0 » 0 2 1 9 4 3 4 5 7

( A — 1 ) ( 3 i ,i J - ■ - 0 . 0 3 0 4 4 4 6 3 3

-51-

<*o.d

a o-i ■;j o_j o O

a Oo -3

D o1 ■) • J

•.o o Q■> .)

‘ •i -> ' Î• •

j : :> Or~•t

■.T‘•XC J

«.II >

*»— < -1_1 -» 1

-> Hh

■~iX

< J ■JS \ XJ.») •t X

zt ■-« -■*>; *•* Y-.

■K O n<T

UJ U;o r. j<x «t' ) LJ

< >— (-3! Za. 'U UJO o aZ

O'«Ny»

ir)üJ

O' O 0 C7V f0 O 7< N -« 0 O ir> •0 ■o, 7* r-» •o N <0 'O CN t'*« |r} fs. 0> LI '0 N ca ■o

7í ''Vi ro O a» r"4 0 ■A '.rj 0 0 o /)«n O fT l'v r4 V •V <T r- l‘J fs* »o

to <’ ) o c\) u; ■J) o :» n !'Í <\l f>* u> U) '.V fNí* 03 O' a? <f vt 1 a f ro o n N rvj

n PÎ N •M y cü •J' n •4’ o tjj ■ry tol~4 N ro ÍVI <í K N o O o fs. "0 .0 7» 10 0aí CO CM O o n o o o O' .•o cg 0 o •J oH* •0 rO m r-* • • * 0 » » • • • « • « ff • • •< lü •-* ui UJ O o o O o o o O o o O o o a o>; ru O Q n

H «3 •H O i'*<r < iM n

< a C\J U' u) u <O o O O O o o o o O o O o o .*0 IV p* <• X

i'4 o o o Iwl O u CJ w KJ >_> WJ O o * * • •—i a. u o w u o \J o o UJ «•H V•”X O o o o o O o o o O O a O a o <T »-< - i

a VJ o w w V u o (J >—> VJ VJ u o u -4*x o o o o o o o L3 Q O U a O LCisl o o o o o o o o O O O u o o «1 O

•* -J o ■i V.J •;í 1> o C7 C3 o 3 h4 a.M, vj o vj o >.J o o o O •J U o Sj <-U

<1 • ■ • * • • • • # • a • • • • • 1o <r - Î o ;;> n n w O M »•« o irt •T ! M,

< V» •J >r -« -r ’.0 H< .•3 UJ />J < X í

u <K a.O -4 < J .1 tl II II lt u M u tt M H u 11 tí u w7' ' í 'T •-» -> •*** »-•3 H- f-» '•> <£ *-1 "4 " j >r ~4 .T ~4 fV •0 •T «*■1 f>4 <tij • »T -r <r 7. ry

7.: ï UJ w H-uJ II it II It II II II M tt II (1 II *1 II h II to » » • • tf • • * • • » •> » » » *O «X « \Ü «■** <*> -H *•> •**» r> D w4 V-* r< N AJ CM OJ «0 n '0 n <*•

X LJ o **H •.M í’ l <7 fT <T 'M r i sf •-* r i V) II II II II 1n IU N «u .*■* <-* N 1• t -/ X V) ►h U y~t W <r •—4 Ví w w w «M» •u* w V« w w M* w. j i0 UJ o CC » • • • * • » • « W * • • • • • Q ÍX w V- H ►— H K H >-■» V- ►*» K H H>: u u L3 >- r-t -4 *-« OJ cg D r> 1*) •* <r nT <í -J H » ■«■ •» 4* V> •w ■W- ■» » »_5 C£ u; « « < w w w < V tt 1* ♦ « * •IV ♦ » * A

a u U J. > V) V) V) X .J D D 3 D U D o Dw o« w> w w

« < «t «t < < < < < "< < < < < <

“ILCO D\.£-0:3 „ m U A Cl ÜELÍ-ASF. 3.1 Si.L

M A T K I i V - P C K U N H A

V ( 1 . 1 ) - - 0 . 5 5 6 0 9 6 1 0 0

V ( 1 . <2 > = . 0 . 2 0 1 2 6 5 4 7 3

V í 1 . 3 ) = 0 . 0 2 U 8 2 U 4 7 6

v< 1 . 4 ) = 0 . 2 0 2 7 3 6 7 6 S

V ( 2 , 1 > - — 0 . 0 7 5 1 4 6 3 3 3

V ( 2 . 2 ) = 0 . 0 5 3 5 1 1 5ô-£|

V ( 2 • 3 ) = 0 . £ ó 1 6 J 5 3 5 3

V I 2 • /* ) = ; — 0 « 4 5 d 7 6 3 3 2 5

V( J * 1 ) = - 0 . 2 1 3 3 7 9 2 3 5

V I 2 » ) - - 0 . 5 7 J O I Ü 2 C Ü

71 -J t 3 ) - 0 . C O b G l 1 o 4 1

V ( 2 . 4 ) = - 0 . 0 0 5 9 3 7 2 0 4 '

V < 4 , 1 > = 0 . 1 6 9 4 5 6 1 8 0V ( 4 » 2 ) — - 0 . 0 9 2 0 0 3 7 3 1

V ( 4 . 3 ) = 0 * S 0 u 9 8 5 3 S 4

v< 4 . 4 )~ 0 . 8 4 0 1 0 7 2 8 1

■< a T i \ I V T í < A N 3 l J U ^ 1 A

V * * T ( 1 . 1 ) - -o.ysôooeiooV» *T ( 1 . 2 ) = - 0 . 0 7 5 1 4 6 3 3 3

V**T < 1 . 2 ) = -0 .2 1 3 3 7 5 2 3 9V * T ( 1 . 4 ) = 0 . 1 6 9 4 5 6 1 8 6

V* *T ( 2. 1 )- 0 . 2 0 1 2 c‘3 4 7 3

V« * T ( 2 , 2 ) - 0 . 0 5 3 5 1 1 5 Ü4

V*»T ( 2 . J ) - - 0 . 9 7 3 6 1 8 2 0 3

V * * T ( 1!íT - 0 . 0 9 2 0 3 3 7 3 1v**n 3 , 1 ) = 0 .0 2 0 8 2 d4 7 6 -V * * T ( 3 * 2 i — 0 . tiù 1 68 5 3 3 3V*»T 1 3 , 3 ) - 0 . 0 0 5 5 1 1 Ö4 1V * -ï T ( 3 . 4 ) = 0 . 5 0 6 9 6 5 3 5 4

V**T ( 4 , 1 ) - 0 . 2 0 2 7 3 6 7 6 3

V** V ( 4 , 2 ) = - 0 . 4 9 8 7 0 8 3 2 9

V* «T ( 4 . 3 ) = -0 . 0 0 5 9 3 7 2 0 4

V * * T ( 4 t 4 ) — 0 . 6 4 0 1 0 7 2 3 1

KA TU U U - L JM-.AU ( 1 . 1 ) - - 0 . 9 2 1 9 0 2 9 5 9U ( 1 , 2 ) = -0 . 0 0 6 8 8 3 3 8 5

U ( 1 . 3 ) = - 0 . 3 3 3 2 3 6 3 3 7

U( 1 , = - 0 . 0 5 5 0 9 2 8 6 0

U( 1 )- - 0 . 0 4 J9 3 1 9 1 0 •Ul 2 , 2>- 0«00b 4 d 5 6 6 8U( 2 . 3 ) = 0 .2 - 4 4 7 2 8 5 7 1U ( 2 . 4 )- - 0 .5 6 1 * 5 5 6 6 7 5

U< 3 , 1 > = -C . 2 7 7 8 0 5 2 6 6U ( J ■* 2 ) = 0 . 2 0 * 4 0 7 9 5 5U< 3 , 3 ) — 0 . £ 6 9 7 2 4 5 5 9

U( 3 . 4 ) = 0 . 2 3 8 7 2 7 0 2 6

U 1 *4 f 1 ) = - 0 .C7 2 9 2 0 4 7 SU( 4 , 2) = - 0 . 5 7 7 7 5 1 1 7 9

U( 4 , 3 ) = 0 . 1 9 1 3 7 7 4 5 6

U( 4 . 4 ) = 0 . 0 4 3 2 2 3 5 6 6

-53-

r 1 >-l. J j A 1 u.t Cl W / S i * b Ü L L A J L ' 3.1 SLC jQti

M A 1 i•' 1 / A O J T I J A iJ L 1. C >J UC CU I C \ J * 2 * V T

A ( 1 . 1 ) = S9 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A ( 1 . 2 ) - 4 . O O O O O O O O OA ( 1 . 3 )■= 23 . C Ü O O O O O O OA ( 1 . 4 )- - 2 0 . C O ü O O 000 0A< 2 . 1 J - 4 • O O ü ü O O J O OA( 2 . 2 )- 5 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A ( i » •J ) - 1 . O C Ü O O O O O OA ( 2 • 4 ) - -3 .000'ü00000AC 3 > 1 )- 4 3 . O O U U O O O O OA ( 3 . 2 ) - 12 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A< 3 . J) = 0 . G O O O O O O O OA ( — * *» ) - -2 . O O U O O O O C OA( 4 . 1) = -1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A ( 4 • ?.)~ O . C O O O O O O O OA ( ■ 4 * 3 )- 45 . C O O O O O O O OA < '4 * 4 )- 4 . G O O O O O O O O

CCIVAH/.C/.Ú l N T u l A f c / M M 2 CS IGIN AL (A) É A MAlfilZ GB IDA P O R U $ S # V 7

r t a T í ÍC S O E i V l ü i0 . 0 0 O O v O O 0 O O

CCV=/t;ACAO w.mV ím . A t ^ T H I ' 2 Cf. ÍG INAU ( A ) Ci A MATR IZ ÜÜIUA PC« -U4£*V1

ruíit' ccs uiijvijj ' ■ i u CO O^^ o

i r. v < A A JLlli u A í-l L A O c C C M P . E M V a L U R S 1 N 6 U L A Hi A — 1 ) ( 1 . i ) = 0 . 0 0 4 6 1 X 12 1( A-l ) ( 1 . ^ )■= - 0 . 0 4 3 7 0 3 4 3 4( A - 1 ) ( 1 . ~ J - 0 . 0 l ó £ 7 2 724(A-l ) ( 1 , *i ) - — kj .001 3 £ ;> 60 S{A-l ) ( ■ic. • i ; - - 0 . 0 2 1 2 5 7 3 4 4£ A - 1 ) ( * 2 > = 0 . 1 27 L;âl 3 2 5í A- 1 ) í ^ * 3 ) = 0 .03725'J97Sí A-l ) ( 2 1 4 < -• 0 . 0 0 6 0 2 9 71 1( A - 1 ) ( 3 . i ) - 10 . 0 0 2 f c 2 7 3 0 51 A-l ) { õ > <£ ) - 0 . 0 145 0 7 2 3 8{A-l i ( 3 t 3 > = -0 . 0 0 0 9 2 0 4 6 8(A-l ) ( o • U ) = 0 . 0 2 0 b 5 6 9 6 9(A-l ) .( ‘t • 1 ) = - 0 . OÜÍ34 0 4 9 6 1(A-l > ( -1 * <ii- ■ ~ 0 . 1 7 4 1 3 Ü 2 9 1(A-l ) ( 4 , o ) = 0 . 0 6 2 0 2 3 4 4 - 2(A-l ) ( << t 4 J = 0 . 0 1 U 3 Ê 7 6 9 8

UiO j A ÍLj r\ Cl VN/SP I- t-L LA SL J.l SLUjOc

f,MA CA M A X IM a L.Li4m í t L U H Í CAb M A T k i ZE $—[) I f- ES E NCA

C N T I C í J l ÜJTi-J/5 A* ( A - l ) O . OOOOUOOCCO

c N T l U í C e U 3Í i - í . ►•_r. U - U * / » • ü . OOOCOOOOGO

NU’-l i-- J i i C „ í w 1(.,w t / M A 1 •< J i A - 2 £ . 4 £ 4 6 « i j 6 4 é 7 e i ü < i 7

1. /-A W.

c m F r. A M U . m <. - í * w l '

J A j w ! s L. J l M

/v A T . 1 1 'c ~ A - l u i i w *- )

1 , 1 ) - o i ; ^ V. l C C J C C J

« c J - 1 - w C 0 C 0 c c c

1 . ) - c C i - O J C C O

.2 , ) ) - — M C - c a c o c : o

£- • !: ) - c s » C C C 0 C C 0

« ; > - - 1 £ I* C 0 C 0 C C 0

.3 9 1 ) v. t ‘ i >..■ c c ' c : c c c

• - » i )■ - o • 4 V. <L ^ C o C C 0

* 2 ) -- - w i_ j V. C C C -J C C 0

v a l u I. r j J I >_i f-.r ” L i A í ^ C i - J A L C A M A ï i< 4 / í j

i ( 1 ) = • l á : . c i 7 4 2 / S i i *

S ( 2 ) = 7 i • L 7 ’» ‘i t 5 J J 1

; ( _■ ) •- l o i

K A T k I >J T * A 4 j f “ i___r i A" * 1- C K u 1 h 1- A

L * * T ( 1 . i ) - — 0 . • 11 j 1 c> 1 j 7 1

J * * T ( : , j ) - C . U 1 7 7 ü i- J 7 . 5

u * •:■ r ( 1 . j j - - Ü i ó j j ü í J J > 0 ?

L -f *■ T 1 . í ! - 3 « 7 7

U * V T 1 j: . c ; - — o • u : j y 1 t i 5 o 1 j

U * í l ( • ? . ú > = “ “ 0 « 'V j c c 7 4 1 o &

O •> =) T ( .. ♦ ). ; -

J * í T { í i . í > - — \J A j <JÜ <2 £ J d )

U<> >: 7 í .3 • . i i - 0 • J i ^ 0 u 1 1- / J

t” A T,-. 1 V - r , X i . 1, , n /-

V ( 1 , 1 ) - - 0 . 7 1 •■> 3 1 ó * 1 2

V ( 1 , il ) = O ^ ü J i d í 7 J 0 3

V ( 1 . i ) = ü . O S v i ^ i á â d ? h

V { u , i ) - — 0 • sX C. *4 3 0 7 y C

V ( i ' ) - - Ü » 2 1 ‘+ 3 c 0 1 9 2

V ( z . J ) = - 0 . c 7 o ò í OS» 1 6

V t . 1 ) 0 «

V ( j . ) - 0 • 6 *'t -d ~-j A 6 ä 1 2.

v i ; , J ) - ~ U . 4 7 ô ' j 2 ó :j o â

T i v A

-55-

W u - yj f í ~i r\ C 1 Vt«/cW K l_LI_A_,L J.l SLUõOí.

. - , 1, 1 ) - -0 . 71 93 1 t * 1 a■ <•' V Î 1 1 . <!>- ~~ 0 • lit* ^ 7 rj 0;^-T í 1. J J- 0 . 3 => I G 0 2 o6<tr $ ■*• î [ 1 . i J = o « u y £ 6 4 7 o o j* * * 7 i ^ J-J i> \ 1 ( J! t o ) — 0 • o-*.■ 4 -.* T \ J . 1 ; = 0 . 0 b 0 4 òü tí 7 )*' V v J ( J * J. > — — 0#£J7o o £íU ^ 1 õ. * í ( j . J ; - - C . 4 7 c 0 2 ü ;j 63

« A T 1 «. O *“ u 1 M"_ î 1 » 1 ) - -0.4634'J 1 571 ( ; , c. ) •■ 0*£'3 1.i6ul 77. (. 1 î J ) - — 0 . Cõw 01 3 V 7 li_ î _ î 1 ) - 0 . C 1 7 7 U 4 . 3 / J- ( .: > - - ü . 0 2 v l b S Ó 7 5_ í - )- -0 .'iSJi-JdijSZ'S- £ .: . î ) = -O^tüJtiddícC?- í _ t ;: ) - — 0 «4ooij/)tl te- í ^ ) = ly.üUt)3l<;7^

•- A 1 ,- J j í l J « r'^L L r3 I.LCU1C C * S * V T

1 ) - Cw • L L u J U O ü O O- i , , : ) - lajCOOsjtJtjCO '

A 4 5 ) - ~ C- • 7Co(jJÚ'jCü4 t î ) - — J 0 ú C*> C ü- ; ) -A i - • .. ) •= — 1 . «iijüOJOüCO • -■* : 1 ) -i V -: ) =

) - ""(-c « l G O U ó ü O ü ü

c - - A , u: « 't i- m • r* i- T 1.1 í Cr JO INAL (A) L A M A 7 « 1 2 G ú

i ‘ Ù - ->- J .1 W 1 _• ’.J 'j J J w. u *J

v ' •>' c 11 i ' i- n r* f- í . V A -jù • Vy 3 ■ Ol *J \. L/ Ó 0

î *. V- : ' ■ T. A •_ i 1 C A - L A c ÎCLf'P. í:,.| V A L o K 3 I N G L L A K(--î , , 1 • 1 ) - U « ü 0 b 4 0 ü 4 y 6< - - 1 ! i i > — / - -u.UvC7«i5Í.'<iJ(.--í i í i • w J “ U . Ü U 1 7 6 0 6 ' J 9C --1 _ . 1) = ü.O voü 7 o J7Éi.i-i ) t _ . w ; -

C-#S*VT

-56

S-EO JVS-OJ C l W / S P ÍJCLEA3E 3 . 1 SLC30C

Í A- 1 ! ( I 3 , 3 J - - Ü . 0 lV4e3til6

f H Í c A M A X I M A iiLHA Cl L 1 Ml A C Aíi M A TK 1 Zil S~0 1K liR £ NC A fcNTl^üí: U J T l - A H U h /i*(A-l) Ü . O Ü U Ü U O O O C Oc N T K A C c 0 3 T U A f-ÜK l A - 1 } # * O . O O O O O O Ü O Û O

M J V u ;->0 O ù CC.-4J 1 C A U £/ K A IK 12 A = 2 2 6 ..2 2 34 4 46 2 227 £40 S

-57-

A N E X O 3 - L I S T A G E M DO E X E M P L O DO C A P Í T U L O III

-58

Pi- ÜiJL! : NA N . 1

CP CE M CA M A T . i l i 3 F Q P 3

CA OOS Du C' .JTUAL A

MATR I L. A - CüACA )

A ( 1 . 1 )~ 1 0 . CO CO CO CC 0

A l 1 . 2 ) — r a . CO C CC OC CO

A ( 1 . c ) = 7 . CC CG COCOO

A i 1 t 4 ) = i * CC 0 C CO CC 0

A l 1 . 5 ) = 1 . CO 00 CO CC 0

A ( 2 . 1 ) = C . C £ C C CO C 0 0A ( 2 , 2 ) = 4 £ . 0 C C C C 0 C 0 0

A { 2 *■3 • ^ c . C o O C C O C C O

A ( 2 t 4 ) = i. 2 « C C C 0 C 0 C C 0

A ( 2 t £ ) = 14 £ . CO COCO CCO

A ( J t . 1 ) = 1 2 3 . C C O C C O C C 0

A ( 3 . 2 0 = j 3 » C C OOCOCCOA ( 3 , 3 > = 3 ‘3 . CU OC CO C C 0

A i 3 , 4 ) - L> 4 . C J C C C 0 C C 0A ( 3« £ ) = 4 C . CO CO CO CC 0.

A ( 4 t 1 ) = ~ u O . C C CO CO c c oA ( 4 , 2 )- .CC c c c o c c o '

A ( 4 , 3 ) = 7 c . CC CC CO C C O

A ( 4 » 4 ) = _ C .CO 0 0 CO CCG

A ( 4 t £ ) = J O . C C O O C O C C O

a ( 5 ; 1 ) - :r u • c 0 0 CO CCO

A ( b • 2 ) = b o . CC CC CO CC 0

A ( 5 , '3 ) = i . 0 . C J CCCOCÜO

A ( 5 * 4 ) = 4 i i . C C OCCOCCO

A l 5* S ) = 1 1 . OC 0 0 CO CC 0

V A L O H E S S I N o ü L A K u o - U l A G C N ^ L DA MATH I Z S

S( 1 ) = 2 1 4 . 702£ 793 13SC 2 ) = 13 1 . 3 8 3 9 3 £ 7 2 6

S ( 3 ) = 7 7 . 5 Ü 9 1 2 6 3 2 7

SC 4 ) = 4 1 . 2 4 1 1 3 0 2 2 6G ( ' S ) = £ . 6 9 4 5 2 19 4 9

NA TR 12 U T . i A N J P U o T ^ - P C R L I N H A .

L * * T ( 1 t n = • 1 — 0 . 0 5 807 0 47 5u ^ t ( 1 . 2 ) = - 0 . £>93705063.U * * T l 1 . 3.) = - 0 . 6 3 0 6 6 8 1 2 9U4 * T ( 1. 4 ) - 0 . 0 6 0 6 3 9 3 3 4U* C 3 ) = - 0 . 3 3 7 6 1 1 7 4 1u * u c 2 . 1 ) = 0 . 0 3 £4 2 1 b^'3U * * T ( 2 t • 2J = — 0 . 4 i 5 5 3 2 £ 6 3 3U i i T ( o4. f 3 J = 0 . 30 2 9£ ti2 04U* -■»T C 2 , •i ) = - 0 . ÜO 7 3 8 9 4 cöU * * T C 2 t = 0 . 2 1 Ü S 4 4 0 5 8cj # t1 ir { •j 1 ) = - 0 . 0 d S 2 4 5 G 7 6U v -> T ( ■3 2 i - C * 3 o 7 7 ö £ & i j 3

c *■ *- H 3 t 3 J = - 0 . 3 2 1 1 0 4 1 0 9

L * -•T {

L * *7 (

L, * ■n- (

L + -i= r (

L * 4=T Í

C * r (

U * * T (

U V' « T (

u « I (

C * * T (

U í T (

U « T {

NA T R I /.

V< 1 .

V ( 1 »

V I 1 *

V ( 1 .

V ( I ,

V ( C. f

V { £. *

V Í 2 9

V ( 2 9

V ( £ ♦

V ( J t

V ( w 9

V ( ■J. 9

V ( •w »

V l J •

V ( 4 »

V ( 4 »

V ( i t 9

v< *'4 »

V ( 4 »

V ( u

V ( £ «

V (

v< C I

V ( w *

M A 1 j\ I Z V

V X #T ( V* *T ( V**T (V * ■> r ( V * -*T (

V * * T (

T {

V * * T (

V#*T (V * -V T {

V » i T (

V* *<T (V £ * T (

3 » ■i ; - “ 0 o ^ À 1 0 *-> 7 .,>

J » i ) - - 0 « 2 o < i2 l c: <+ 6 3

•V * i ) - — 0 « 0 ó 3 3 4 2 c. 3 3

4 * - — 0 . 9 9 2 4 4 7 • j 0 3

5 , tX J •- “ 0 . 0 0 5 1 o 2 J 2 0

3 » 3> - 0 . 0 3 4 3 4 £ 3 4 7

3 » 4.) = 0 . 0 0 4 1 4 4 3 5 1

5 » 3 ) = 0 . 1 1 7 - 5 1 6 0 6 7

V - P w k L 1N U A

1 ) - • - C . 6 1 4 8 3 4 0 3 6

2 ) = C . 5 5 3 2 0 9 7 4 1

3)-— 0 . 1 ü v ) 3 9 6 2 5 2

4 ) = 0 . 5 0 9 1 2 2 2 6 1

5 ) = ■ - 0 . 1 3 U 2 S - 6 0 0 6

1 ) - - 0 . 2 4 7 7 9 0 1 7 6

2)= 0 . 2 4 1 4 1 <C4fc03 ) = 0 . 2 0 1 6 5 9 5 3 7

4 ) - - 0 . 7 6 5 6 4 2 4 2 6 - ' '

5 5- - 0 . 2 9 2 0 1 0 2 5 7

1 ) - - 0 . 2 4 ^ 9 2 6 5 1 S

2 ) - — 0 . 4 0 V 0 0 4 7 6 4

3 ) ~ - 0 . 5 34 9 9 80-5 0 '

4 )•= - 0 . 1 2 2 4 2 0 5 6 6

3 J = - 0 . 5 7 ‘3 8 3 1 2 4 6

1 ) - - 0 . 2 9 5 6 2 5 0 2 2

2 ) - 0 . 0 0 1 0 2 9 9 0 1

3 ) = - 0 . 5 1 3 2 4 1 5 1 0

4 ) = --0 . 2 4 5 1 4 3 5 S 5

5 ) - 0 . 7 2 Õ 0 5 4 8 3 6

1 ) = - 0 » 5 9 5 Í O U 5 5 4 0

2 ) - ~ 0 . « 7 0 0 7 2 0 5 1

3 ) - G » £ 0 8 9 3 9 2 31

4)- o o 1 4 3 0 9 îaeo5 ) = C . 1 £ 5 792^- 7 2

T.i-< A 'iâ i- 'ù o TA

1 . 1 ) - — 0 . 6 1 4 6 3 4 0 3 6

1 , 2 ) = - 0 . 3 4 7 7 9 0 1 7 3

1 • 3 ) — - 0 . 2 4 3 9 2 6 5 1 3

1 t 4 ) = - 0 . 2 9 5 6 2 5 0 2 2

1 . 5 J = - 0 . 5 9 50 £ 5 5 4 0

2 . ’ 1 ) = 0 . 5 o 6 2 6 S 7 41

<- » i ) = 0 • j 4 14 1 c 4 6 0

2 . 3 ) = — 0 . 4 8 9 8 0 4 7 6 4

2 ♦ 4 j = 0 . 0 0 1 0 2 9 9 0 1

2 . 5 ) =‘ - 0 . 5 7 6 0 7 2 3 5 1

3 . 1 J = - 0 . 1 3 0 3 9 6 2 5 2

3 »

II 0 . 3 0 1 6 5 9 5 3 7

3 » 3 ) ~ - G . 5 9 4 9 9 6 0 9 0

11- r- c c\sd o /X i j A C l p E l EA 2 L 3 . 1 3 L L 3 06

V * T ( J * ■» ) - - 0 « 3 I 3 2 4 1 3 1 0

v-af- * T ( 3 , 3 ) 0 . 5 0 6 9 3 9 2 3 1

\l * í; T ( 4 > 1 ) - 0 . 5 0 9 1 2 2 2 8 1

\V $ T ( 4 » £ ) = — 0 . 7 6 Û Ü 4 2 4 2 3

V * * I { 4 , 3 ) - - 0 . 1 2 . 2 4 2 0 3 6 6

V'-f r ( 4 » -i ) ~ - 0 . 3 4 5 1 4 3 5 0 5

V * * T ( 4 i 3 .) = 0 . 1 4 3 0 9 1 Ó 0 3

V ■» * T ( 5 , n = - 0 . 1 3 6 2 5 6 0 0 6

V * * T C 5 . <: > = i - 0 . 2 9 2 0 1 0 2 5 7

{ 5 . 3 ) = : - 0 . 3 7 . 5 3 3 1 2 4 6V * V 1' ( 5 » 4 ) - 0 • 7 2 Ö 0 £5 4 li 3 ò

V * *' T ( 5 * !5 ) — 0 * 1 8 5 7 ‘i 2 4 7 2

*/ £ T « I 2 U - Í ^ i L 1 M - A

U ( 1 « 1 ) - - 0 • G 5 ü O 7 0 4 7 5

u< 1 . 2 ) - . 0 . 0 3 3 4 2 1 5 S e

u ( 1 . 3 ) = - 0 , 0 5 3 2 4 5 5 7 ( 3

u ( 1 t 4 ) = ~ 0 „ 0 6 5 8 4 2 8 8 5

U ( 1 , 5 ) - - 0 . 9 9 2 4 4 7 5 0 6

U ( 2 . 1 )== - 0 . £ 9 3 7 0 5 0 6 3

u c ci * 2 ) — - Ü » 4 E 5 3 2 Ü 6 3 3 - ' .

u t c * 3 ) - 0 . 5 5 7 7 6 5 6 6 8

u ( 2 9 4 ) — - O . C 1 7 Ü Ö 6 6 2 S

U ( 2 « 5 ) — - 0 . 0 0 5 1 6 2 3 2 0

U ( j t .1 ) - - 0 . 6 3 0 6 6 8 1 2 9

u ( 3 f 2 ) = 0 » 3 0 2 9 i 3 5 2 6 4

U { w * 3 ) - - 0 . S 2 1 1 0 4 1 o <;

U l j , 4 ) - 0 . 4 8 7 5 7 0 4 0 7

U ( 2 . 5 ) = 0 . 0 3 4 5 4 8 3 4 7

1 1 4 1 1 > - 0 . 0 6 0 6 3 9 -3 3 4

U ( 4 » 2 ) - - 0 . 2 0 7 3 3 9 4 6 5

U ( 4 1 3 > = - 0 . 5 3 5 1 1 0 8 7 5U ( 4 . 4 ) •- — 0 . 0 4 5 5 3 2 ' 3 3 3

u c 4 » b ) - 0 . 0 0 4 1 4 4 3 5 I

u ( 1C * 1 ) - - 0 . 3 3 7 6 1 1 7 4 1

U ( b » Ü ) = 0 . 2 1 0 5 4 4 0 5 8

U ( lr * 3 ) — - 0 . 2 6 U 2 1 8 4 8 8U ( ÍT. 4 ) - - Ü . £ 6 7 4 7 0 5 4 9

U ( 5 » 5 > = 0 . 1 1 7 5 1 8 0 6 7

i ' a 7f< I Z A 0 3 T I J A P t L 6 P K C C U 1 Ç U * S * V T

A ( 1 « 1 ) = 1 0 . C O C O O O O O O

A ( 1 . 2 ) = 9 . C O O O O O O O OA ( . 1 . 3 ) = 7 . CO 0 0 0 0 0 0 0

A ( 1 . 4 ) = 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A ( 1 . 5 ) •= 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0AC 2 , I ) = £ 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A I cl t L * > - 4 S . O O O O D O O O O

A ( 2. » 3 J = 4 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A ( 2 ♦ 4 ) — 2 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0A ( 2 t 5 ) = 1 4 5 . CO 0 0 0 0 0 0 0

A { 3 , 1 ) = 1 2 3 - . C O O O O O O O O

AC 3 t 2 ) = 3 3 . C O O O O O O O O

AC 3 . 3 ) = 3 5 . O O O O O O O O O

Î L L I J L 'VSU V N / b P hi u c: A LS c. 3 * 1 S L L - j O t

-61-

A ( •- * 4 ) - 3 4 t C U J Ü J O Ü O Û

A ( 3 * 5 ) = 4 0 . CO0 0 0 0 0 0 0

A ( H » 1 ) - — O 0 . C C ü U 0 0 0 0 0

A ( 4 , P ) = . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A ( 4 ♦ 3 ) = 7o .CCOOOOOOO

A { 4 * 4 ) — 2 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A ( 4 , 5 ) — 30. 000000000A ( S . 1 ) = 4 6 . C O O O O O O O O

A ( > t 2 ) - 5 Ò . C O U U O O O O O

A ( ■1 • :s )~ 2 0 . CCOOOOOOO

A ( i'. « 4 ) = 4 5 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A< c . 5 ) := 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

CCMP/W' .ACAO d N T / t c A K A Y M l 2 C K I G I N A L ( A ) £ A M A T R I Z G 3 I D A P C « U * S * V T

E ï T E CCS D E j V I ^ s ’ ;

C . O O O O O O u C u O «

C C M . J AH A CA O c N T n i ; A .V A T ft 1 2 C f i J G I N A L ( A j E A M A I h 12 OB I D A POSÏ U * S * V T

I E S71-: C C S OfEJV Í Ü S .

G « O O O j U u o u O O * •

i n v e t ; SA DE A J i - T I D A f - L L A D E C C M P . EM V AL UH S I N G U L A R

( A — 1 ) ( 1 » 1 ) = 0 . 0 2 3 1 3 * 9 7 9

( A - i ) Í I f 2 ) - - 0 . 0 0 1 3 4 2 3 0 2

( A - l ) ( 1 » J ) - 0 . 0 0 9 4 0 3 2 9 3 ' •

( A - l ) ( 1 . 4 ) - - - J . 0 0 2 9 0 3 3 5 1

( A - l ) ( 1 * 3 ) -- — 0 . U 1 0 9 7 5 ó ó 9

I A— 1 ) í 2 » 1 ) - 0 . 0 5 2 4 52 9 2 7

{ A- 1 ) ( i l 9 a J - 0 . 0 0 2 7 0 5 8 4 9

( A - l ) ( c- * 3.) = - 0 . 0 1 1 0 19*369

( A - l ) ( 2 , ~i ) = - 0 * 0 0 3 0 4 1 3 1 3

( A - l ) t 4 >K . * ■J ) — C . 0 1 0 1 1 . 1 0 1 2

( A - l ) < ;j t 1 ) = 0 . 1 0 0 9 6 3 4 3 9

( A - l ) ( 3 « 2 ; = - 0 . 0 0 1 2 1 tf 3 3 1

( A - l ) ( 3 1 3 J = - 0 . 0 0 1 3 32 6 6 6

*-41<

( 3 , 4 ) = 0 . 0 0 7 1 4 3 5 4 6

( A - l ) ( 3 , 5 ) = - 0 . 0 0 7 6 6 8 1 9 9

( A - l ) ( . 4 , I ) = - 0 . 1 2 5 7 2 3 7 0 0

( a -1 ; ( 4 , d . )- -0 . 0 0 3 2 £0 0 5 £

(A - i ) ( 4 , o ) = 0 . 0 0 4 6 6 5 6 0 9

( A - l ) ( 4 , 4 ) = 0 . 0 0 4 6 9 2 1 0 1

( A - l ( 4 t ■i y~ 0 . 0 2 4 5 0 3 6 1 0

( A - l ) ( 5 . w = ' - 0 . 0 3 3 0 3 4 1 1 6

( A - l ) ( 5 « 2 ) - 0 . 0 0 7 3 4 8 8 7 2

( A - l ) ( 5 * j ) = - 0 . 0 0 0 1 8 4 9 7 1

( A - l ) ( 5 t 4 J — - 0 . 0 0 0 4 6 9 3 0 3

( A - l ) ( 5 « 3 } - - 0 . 0 0 0 9 5 0 8 5 2

- t o C V £ O -j A i UA C l V N V S P K u i . u A SC 3 . 1 S i. 1/3 06

-62_

-MA £ fi M A X I M A t , U4 A L£ L . l hH/1 CAS W A T R i Z c S-Ü I F E F< E NC A

f N T I L A C E Ü J T 1 J A P Ü R /> * ( A - l ) O . O O O O O O O O CC

i£NT I C ACE 0 3 7 i J A P O K 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : .

N UMcKC ût : C à A ü 1-CAL. L / M A / 7 K I 2 A •= 3 7 . 7 0 2 4 0 ? 1 0 E b b ' i Ci

-63-

o O O O u u - J o o O( ) o o u . o o o ü o oa v> V ] u o ■•> —« u <v o o

• • • • t • • « • a o•’ » ' S r U l u r - f s >u —t u j o o

•V i n O J »•4 H n o w cg '• r O o o r - ors o .*• ■o O O ' O o o o o o o *0 o

• • • • •o M -'4 $ o O o 9 o ,4 M o

U ) f? V Í ir> y * u 'S r » lr\—• «o u * cv U ) •-0 0J o

N N . 'Ni N 0 » n ■t A n'J> •:r '0 '/ I r - >n - •

o o o o o o o o 3 o ' 0 . 4 o ',0 ■t r> r>o o o o o C3 O o O o n '/) ■.r> 17* O ZT* •o Oo o o ' 3 o N o f * O N •-> •n ü f». •U :*> '■) 0 i'»

• • p ) f ) o <r a j r » c pr-H o MX u O >r» r-« D O J r s <\i r » N p » < f <r >y <r «•r

V r> (N. (Sl u> t o O ' <r n CU fs . 04 V * f* - r -' n -* l >o c\i U J H J »•) n <'1 •n N f.

' y n U> •AJ r j r » o » y r * r-ao < o VI s j r « KJ u . IO

» V s • 7 W V W" *r ■ir w«-< «*< « * « •■« \r **•

■JC n noa o o o o Ö O o o o o

v J o Ó u o o o o u' » J s j i.»* '3 N . a

«> * • •. 1 ’ ï •4 N <»

> ) n> u) N •**

Xw

o o o C\X o o o o o Q

o •5 •> o o « O o o o o «■g il II M <1 II II II 1! n (1< * *u i o Q ('/ o D » « o o o o « C\J s f «41 N y j o w «’ J ■T U l ■u N

W • •o 7 1S . £ 7.U lu u o «VÍ r g <vu : </> <.f)u </>

< wa a < < < < < < < < < < < < < «< < < <

IC)

-64-

v i *•»O -*O o* ■ •o o

o (0 o J0 U7f\J a> o *+D ■• ~4 «N <f

• •O O O n u)

1 N

,0 (0 o o ■ <v <0 </)N 'O ‘0 ** -* CMO o o N O O

O o o o N o o

■’í m O u) O N o >/> y? í») No N O ■N o r t N o N. o Oo <o O -4 o m 4 :0 •y •-* O

• • • • •o o "1 o O o o IÜ o o

1 r>I 1 ! <1

o O •-> o UJ w* <r m o oo o o o V w* •s to o o

u - o V u o CO 7 H N. 'U • o oü ■« •

o rg <0 f». f'J <v n CU •n o ofV <v <t f- »■» 1 'V o 1í KV o 1 -*

•y :u •-* o

I ) J' r-j rj s T ■vT r c>

•r tvo o O "D <* *-

O o o o N N 4- 3 .n or\ -•/ ij '0 vi)

— .J) J r j jJ ”}

n r- tn -•■A * -j- n K 1 0

o o o o o o o o ' > r > o o o o o

•’> ) g f'-í: &

*«> fw o t> 'U

n .'O o o ro Is-■ y ciö o <■>—

■J* O 'UN > ON ;g -X> s N•o t> m

oj <a r i i\ i 'y

r» O »T rv ^- í «J r ) <f y

N rjI »!

1 II H It II II n H o h h tt D u h ti II It 11 II 11 il M II ~) r» o o Q o t o o o o o -,n o (T5•

.• ) Sj W> (V. w k J V'rf i*i ' í ui r * O) o ■4 u> n) r - CU O o o u o o V? o u«

O

I») ••! f«> r> f) !•( (•!'*><» 'f ^ t *T <f <T <f *T <» ’H lA lM l/l UI W *T» Ifi U) U

-65-

N • l O O O O J J L>

o n oI

~4 ./ kjO ■> oO J o

0 •> o1 I

J 3 N.O O O"3 0 0O J o t

t u)TÎ■> O o

O •i o

<4.tu -*u i'íUJ o Ou. .4 ••«►1 n tf)

o1 V/110 H >4.1) >N O o

» •(t -«k-»<

(0•í.

»*r *

1 •*>•1 »*

j w 1•* •t

lU

a .4«t ..) j

a vLJ•\ •t

-< '-4X' W

•n nX O O<T£ iij Oi

LI nn «r

u 1.4' u«4 *14 *-•X £ za UJu a Û2 M »■4

A N E X O 4 - L I S T A G E M DO E X E M P L O DE A P L I C A Ç Ã O DO A L G O R I T M O DVS-PLEX.

-67-

n in <>O Noo n om w o o•") o

X o <>33 f/y 05

O O 'J> o

•o o o -• oX

II It (I

•I >’I í-í

-• n

« «* <c j o o o

<r» o - « o o

II M il

0j -"vj c\i

o o o *•«0 0 0

O lO o O .D o o o '••) o o

UJ fu C4 o

r; >o «V)

X <t

y o u » I

O N0 sT 0 r*. <J T

»’) u fl '•)-« X) >< ^ w' \

U-. -j 1« u II<í ». J •j «t — Uit. X*-J ') o N <1 'S tl

:• • • •• *•»'J Ul •X X« <s» <n X «4 a r*.J ». H h- ►-t: rj *> « w < W < wa z / < «< < 3 to X u

•lij

aI

<n

CD(1OK

.aiX

'3 J r3V» t~*J J «

3C X ft1 ! J »0

.< h-• -« H«

»-• Nu. UiO «*3 Ui olJ U

VJ VJ < oA •* O *•< 'Ü rr (X« rx .3 o UiUJ ui -í X >< X - j %

H D < 3*■« t/) > Z

O o f» tv r- ••1V o 'T >u LT M.1o o .■* * ; *-• V

« • *w V N u> *-* •» w> . •0 1 X ■T> -. V*

7 h- ’♦?A V *j ! 3 4

X ■'i •"1 «•> o *1 •í nj O o N O < r» "n. O o ■•Ü O UI o '•> J*(3. * • >- •—* UI O O *■* O VJtf» «r f» o >

X UI '0 o XU <* «3 a

p I \

»cTC

A*w.

«r o

»-68-

o O o O O f) 'O o

■O O f-J O o

o o o oO \J J Oo o > o

•i <j o i'l « f ) O O •-» o

o •? t* o

O O O o

•■* fsj n) u. uX X X J

•( >

-69-

A N E X O 5 - L I S T A G E M DOS E X E M P L O S D E INVER S Ã O DE M A T R I Z E S

-70-

o ■n "ï •N 1 I I N*0 r\ ■o •* •3» • • * ♦0 iT\ 0 U)'J O' n •> •0.'l «r ■> O 0o N. 'O rO . *'4l‘» 1 O W1 <T\ r* N

.3* •■»■A •> •10•r </>

il H ri (»>v- ■4 w • • • • ••Í 4 < « * »N n s» 111 <

V.aC :c ne ï .X

C4 N O 0<\> J» 0 *0 • 05

• •N. (M o •■o o »4 r* U) o o <?• «*> o 3 •0w <* r- K* O o 0 «-1 ◦ <t 10 u r4 N<t CD in a 4 o n "4 o o **) O o O

!'î y* r o 04 N '5 o Ai O O o -* IM•0 >J «-< >n 04 'J o Kj w ■*> O o <J o t-* A>

O o u* o O o ■t o o o o-r o » o O o o o o o a

«Í o «-» o o o o O o o o V«m • • • • ♦ * • • • • >n

o o o o o o o o o o aj

LTil II W II W U

h*• '} n it » >'t '■O r)

« '» » * » i • »

H CM r> *r «» •i• «nvy <w> •S4 V*

< »* •t < < C3

o O «i UT .N O•r •X UJ O ix «1

• • • •t n II II II II I» II II U *u> *-* \r >1 -t ~ *“* **» »“» **» *** r>

<r o *T _> -n il! ■n tM y> rj J) 'M u) a i i.»* vî •'i<•> r» y» • o Æ ^ « r»O o N z * • • • * • • • • * Ui ~4 -* r>.4 r- n .« »4 r< -4 M N n n <# m n U. N N »

N O l/) *-• ü» *J* tO K w —» w w -s w Q í ? 1

rJ n: 'r •X X a s |V rX X ■X a: 1 r« n t3J o \n o o i

il U II il Il z o o i Jf2 -i o 0 ■0 M o M fs •> h» ! -%

rg (VI IV «NJ CvJ U <-vl o o o _« o 1,7* »■* <• cg'T w •J o -J o o o o «.j Z. 1* • •> » « * O o o o o o o tr» o o 11 ! *

—* <N r) •t U) a O o o o o o o o o 1/) i lAX o o o o o o t } ;*> o a < t

V- m s* w u o o o o o 13 o o o CJ I w•t «A •* M. H J u o o u <_> \J VU u N 1 <t

O O .3 ' 3 0 0 0 0 0 0 0

:j s ‘‘'J a 'J -> r i» M t <r a ■» 1 c\ t y-< -> O i\ .4 r 0 0 - j a UJ «t •-o «t fVJ

< • • « • • • • • • • .û •t • •J N .3 A »• 0 j» 0 t X X 0 —*

a A -> j •î t ■5 j . i > .5 < J J 3 •t - i 3■5 r-. •■) ■■t •* g j t • ï •< "i •v. 3

< O j 0 K —• 0 n N H J 0 0 —«4 ■> j r A î •J- -> -4 n *) •t t N -i *« c N» 0 T 1 î O >■4 •f.< t T 5 t •-4 -4 : ï "ï í

V« M r N 0 *t >: w “3 w• • t ■/ < K *4 « ■n -n 'J • «f t : <

/ T iù Ul » X 0 O 1 X UJÛ < IU 1

•l < tjj >: u a « 1 < tui. O u II n il II n . «// • -» •* (ItU Ill • n U UJ M -4 UJ (U J a* (.i X. i o Cl » • » • • • • > • • • • • • • < M X u I <-i 0 »- • •U oc i t .4 iM cy f j n <r •r U) Ul IL «4 4 ry 0J n n <t <r <n if) X 7. z n u: ! rç < < •h r*u. <•) u % »-• u; UJ LU s. u i 0 u »

-w» _• w W w w w w w w %« w w V« O 0 O » w w< < < < n < < < < < a vT a X ï * ar QC a: or Z •-< w < «

71-

■> o o ot f 1 o

•<3 <? 0 •»-« o o0 f ) •u1 0* ■J

 <r a>

w< 4 < «t

N 10 oJ •+ o •M» • *

u) r> N0 ' *aj Nn O 0 tf»j •**j n •O tir* ■O 1

>no '•j

1 »

D h it 1\•»»<•> . » >'t

. . . •• g <•) *» •Jí

_-r < <x <

« o •.o o Oo o o o0n4 ■

•i> 1

<r

77 o

N

II ti h • II tin r-1 r> n ni. . • » •- CM * tnw w w -W wrt a X rt •ï

• « r*» >n •o o o N •o o <fi

o o vT) •-* o <f n •-« oo O CNJ 3 o •n n o o o ' •o rg O o (••J o o o o ,4o ■w O o o ' O o r j o u oo O o o •it o o o o -r•3 «» o -.1 o o o *3 o o o<.3 J o o o o O o o

* • HO o o o o o O o o f-*

O o . 10 o Oo o . ro o oo ■o U) tf» ‘O

r*

•*1 N

•o

li H II

i’ í '*» r j* • •

^ r\j h

• « • « < II 11 II lt II II h il II IIl*> r» OJ N, l-l :> o t>4 •r> •Ji w •j» "J U>>/ » > V Vr] *-• ■/> rg • • » • » » « • * *-) 1 •f .4 r4 N 'J •o •f • A n1 '*» ■M

s» s«O r» •c •X u •X ■X i •j: •X X a

— r\o o o -J■NJ;>.'J t•■ 1 r 1 w .> -.5 o o "J. 4 •»*1 r) ...u «3 o •> t.> u <'Jo• * “ • • o u O o o o u a o<t UI c.u o O o o o o o oo o O o o o o o o*-• o VJO o <3 o o o o a•i H O l_>o w •o o oM • • • • • • * ♦ • •o o o O o o o O o o o

■I lt H (I II li II i|

UJ - • U \ - * Ui

tV f\| r) r*j <r U> tf)

VÎ *< < •< < < < <

•t

3•*)t

UJ3<K II II <1 >1 II II H li II II

N N io m o <» « ) u)

a.cixafieactacta

/.iJJ *.* KTu -.r <tIÜ /NJ <MÜ. -T <f

<rnI -

</) -♦ -«UJ o oN o o

«». H *-«X « fX1 r*»« «t <J <— 1« <UJ •<* <f. i Uï•( .)V 1 a <3'i < -< H

r*t zy U w •3•n 'V« O o•f UJï UJ •jj Oo a*4 < n O(JUi Ui lLUJ< a.i. z éí DIJJLU A13 o O■Jí ►■*

11 II

<VJ, »

in rvi

w« 1 « *

u.Oa

n <•> '3i0 O U '.M

«< • • • *'ü J u J 3< 0 •) r 1•*} » rs

< N í4 • J 0*-« < M Mr X » »

w »-• - f • f

Z 11 £ lü

< 1! T ' UJ ’

* 1 u o II I) II IIIU 11-J 11 X V i Ui in'U I1 IU u (CU 1 <J n • • • •U 11 ( ï « t < r-4 M t\J CVi

u !, a u A.s x W< < < <

"O -> 0 <•* o? J J -0 0

II lt .11 M II

**« ui

» <r»V S4< <

v> l/> •/) < <

~>

uT

iO*

Fc

LA

0 £

C CM

P •

Sm

VA

LÛ

H

Slf

tGw

LA

S

-72-

0 o1 I

.n ~ viíj *5 Q 1• i T O -V<.> <J «>

•-> r> o oo o o oO O 'O -J■> «J <í o o o o-> o o o o o oj g j j u o u

o u o o o o o I I I

If .1 <1 <1 II 11 II il II II

~ l i ) -M .M <'J -r» W >0 OY >n

j -, -) o j- s» r> <r\

■X c C I J. Y. -X. X C <x

0 ? — 'J •> '4 O ^, * o1 •-* "> U O Mj u - ü

I ••* j c_> j o ^ o oO o o o o oj :: o o -> — o o

' O ü » J O - . - J O U O1 >.j • ; ^ w - o v j w

D O - 3 0 0 0

Il H II 11 i| Il (I II 11 II

(íttttaifxnsocít.oe

tu r* r»'X, Ul «ifn> ‘U ■OU.•-« OO CJ <v( '.31.0 O oLU O oN o o

a o o

•t

IIU)< <CJ

•N*•1X * ■XéL. 1 «

< r-4 . <1-J 1 £

o «tUJ < o» *O Q

j : vC.j vJ .1T a -\ <?

J vj•) t t -4

T Tt -« H rX k— 5W« •n ■n uX o o< •uS 'U m D

a a< « uu u ti.

M tu<t h t- *X 2. /. Da IU IU Cu O 3z ►i ■-»

II

fO •0

. * .<•«4 <0

W W _X a -c

O o oo o o<r o o o o1 n *4 o o

•n 0 M of*> o o ow o u o•j* o o o

o o oo o o

o o u

u ti It

r? r j* . #

-• Ci r»

w w< < <

■

o o Ou O - a. %• * • < II u

o O J 4L1 u> OJ •N N UJ CJ O

V o UJ UJ•n z ■ • • MJ •o O•0 *VJ n •*- '.0 ■n

'/) M o oO ■o

a « a 1 ■üa U» •T ■Tj liJ O O< N o O> M • •

il II II a o o*-% « s Í o -r ►**OJ 04 M •u N <NJ j » «

U> ~-l %• » » • U l N

— M n a o y* v/'i coX •i) O ' <>4 <

W -w u •t t3 i\4 . UJ«t n -i <M

ai • • n s,O o o O X »

1 /. »*•< m •a *-*-J -J — !

^ o -> •u « HO ' o a. Ui <• « • O 0 0 < .ï

i r* a < . J Jj y T.

vO ►- J0 •t •<

a •(1 O C_) il II II «c II «i IIUJ i1 N «% «■* 'A <•*.j i1 X V) M *•* r-« Ut r« r4 M0) 11 ^ u a. UlU 1! n u r- • • • > • • •!* 1i a < < IV rî Z M 04 nü. It o UJ

ii W w< < < a IX ce

j 3 -i ‘

■t - r.

u u u •■i •■*

<». H H-ï < û ui iüO o '.i4 »4 M

VSi>47

ác.S5

Ai

2• 3)=

*»cS47

67.aû

- 73-

•/> o J J ' J O 'M O 1

0 O1 I O O O O o O O O 3 O O O 3 O O O0000-* i N O - O O O O h o fj I I I

II II II II II li h 11 II ll II II II II II II

« T 1 II M

n •o (V ■o n ■» l A iT) 'Q 0 N r * 'ü 3)

. . w w __ w w w

* * N ff) < < < < < < «< < < •< < «< < << < <

•X í t fX

o o O o o OO o o o o o o o O O O o O o O o

t « «o O O o -4 o CVI a ••4 o O O O ♦ - o CM o -*

( J u Oo o <• > o o o

0 o o1 I

II I| H II II <1 (I II II II II II II li II II

I' } f- r* »*I r» i*i r» o is r| f* im fs. I«» r-• » • » • » • • • • » • « * • •h h is w r> M <r í K) ui o <0 i> N <u< <. * < <1 < < <1 <t S -4

II It II

I\í «NI >\i

: > r - j■X • • •) J Ji J •u y » r *V J a o oz * • • tu .•« »-•

10 u . 1'.0 r - 1

•o 1fX a : : t ■r. 1 «T 1o i0 ►-t *4 1

í ■u n 1< - « 1> _ l • • 1

iC r>i C4 13T o •Ji -H h» 1U i • 7 t>J * f <t 1

C í r ) % 1«J- X ) <9 Il 1

a - 4 •y r-i 1/) 1 <T)> : (Ni a j • r < < 1

) r » vü O U Ir-< - i INI <

LU t • • « *. M 1 ar.5 O o O X u « ■! O

1 / . u .< —• - 4 < 1

- J 1 i 1* 11 » t ’ Ol i . l ü • t * X I y

ï • J t• t X X 1

J J >3 1•JC a X * )h» ) J i

□ < w * \ • J"3 1

< •4 ■•4 ■sr 1 K' f t t-» h . O 1 k—

n « j 1 •U I • X Q o 1 Z ïca < l ü 1

s LU U J O 1 « t <« t II II {.) O 1 Ä aV) - » n *1 <t O I l UIX i-t - u o O 1

nc T * a 2 ►4 » « 1

O O O U v J O O O O Q Q O C J O O O

«-• O O O U U O •+ o - • o oI I I I

Il II II 11 il II II II II II ti II II II II II

.\í VÍ> <M o W «O iJ -0 <N m3 oj OÕ S N ,:J *)

■*>* O «J O O

CPt

o ~4 í I

O O

D <•>O O

.3 O

a<* I i -7 <Ü J

IUQ

N y » * j

< -4 < <

r> r> <. <

\n m « <

'O 'V

< <

r- Ul I

r- r.< <

(0 «0

< <

IhVEPS

A DE A

olï

ùA FL

A OEC

CMP.

EM VAi.CS SINGULAR

CCCCÍ.CC

M it-

-G . CO

CCC0C2

íii

Z. j>=

U.OCuJOOl

- 7 4-

o o o••3 O

■> •■>o o o o O Oo o

o o o o

o'Jo o• Io o

oJ - «

o oN o

Q O

Il II II II II II m

<r tu <r <r aj '»II II il II II II II II II II 4 II II0 n 0 0 n o fp ■û « n •0 N C4 •o <». v , • • . • • • # „ . • H* _ w

OJ «n p'i «r -t o 0 N> K CO T3 < < «< < < < <

s* w w w w **X a: 't fi ï a *ï x X a X 'C *<

*.n ** n o _ sn - C'J m4 PJ

f « •o h» o <n o o O r-. o O o o o N <r o o o o o o o O o o o3 't o o ‘-J <> o o o o o o o o o o oO N. o K o r> .3 o o o o o o ") a o o o •tfO .-4 n o o o O •ï o o o o o o o o o o j 1)

»_> VJ u o o J o ui o o o o t_i o o o d y y*O U 'V o o o O o o CJ o <J o o <> o o o «-*'5 C i O o ■’> o o n a o o o o o o o r> o o w*O O O o o <_) o o o o o o o o s ) *-3 o o MJ

• • ■ • • ï » • • • • • • • • • • • • • r*u> :? o o o o O CM o 0 u o >0 o o \rv . /*î

.1 » II II II n H II II !| II II II <1 u II H u II u

w w vü 'y U) ■.V <\J ut UJ ■Y ut «U »V U) •u, . . . « • « » • • • . • • » • . • •

'1 aj •n ■0 -> * 'T 'J ■f> n n 0 0 o N h. K -TJ <0 0

_ V, _ , , w w w w w w w w:z l X vt a -.6 rx X 'X \.z X '.C a .£ X u: vt X « t

■> 0 o •o o o o o oo o O o o o o «vl o o u o> -.j \) O o l_> •> o o fî o o oJi j , ■J o a o o o o o oO u O o o u o o o o o oo o \ t o «J o o o o u CJ o o

V W o o o u o o u ( i o o«J w V/ *-» o u o o u W o <J o ■J *J o w_» o O• • • • • • • • • • • •

•1 ) > o <a o o •r o O o D N N o r » O

I il II » H It M H (I <1 il II II II H II II II II II II I) II

vT'

: re :t X -r X 'txctxxQCCC't'XKCCcircccixaH

C'J II II II il il il IIu»w* f) r* •'l N »•> r* *•1

»i't >< -* ry n> *•» «f

^ »•w

< «t n < «% «

o N o *0 •t l* in n ai O■<c ut r~4 ■M f) f* O — o wu • • ■ • • • • • * •A O U W u O o u u u otu o ol i o w *U J o ou . o ow o oa o ol o o’/) O O ü J O O-N O O

X o o

N r«} 1*) - f< < r- nU • t * f* * - • O " J •-t l i —• —4 0 r * o t<ju • a « t • « • • t • • « « «

. « • J 3 :■> t » 3 D "3 J o* ) J <ï X ï*». < 1. 5 3 *

ï ■t <**> 3 Ml <

* z - * - ï3 o W t«ri n o • • f *i* «X o o z u• t -ü* \y a < • * u> t * •+ U ) s/* U l V ’ •Mr+ U J <u- W » 5 U

«< V" ►» 3 t u U ►— • » * ► • 0

T / < 3 U u ; •xt • * fNJ <\) n N <ta VU I U * o U %o • î o w M w w w V «z M M • t < << < < «< < « ( 4 <

1C)

- 7 5 -

-> -0 •3 '5 -J O O O O O O O .7 0

o o

o o o

o o

o o

■ * vü

•< «

o o

-I II

<t tQ

0 ü<t <

h n

•/ v

K K< •(

r* N •t <*

li H'T <0n õ<. «t

h h sTtf 7*< <

O N t f N - * O O O

II >1

V tuo o

*< -t

C 0o oO O O O O O O Q

Il II II II

<•* r* ■■* n\n t f O O

♦í •* < <x

I..."Î 3 >

II II II II n n it it n lt lt II II II II n II u II II n■1 0 ■> n 0 j* .0 • o t f ' T 0 3* 1*) •0 O ' <n ■0 ■> ro •O t f

f'4 n n ■n • * v t 1 n i l n o Û Û N N N «J3 0 0w — w * w W w wf t X ■X X X X í as X 'C X X X 1 r e X X X X rc X

N in o o o o N UI tf o o o N. tf 0 o o o o o N'T * tf o o o tf 0 o o o <•> o o o o o o o »•4h. ~4 * o o o •> n *) ■ 1*5-) o o o o o o O • o • o o

o o o A o 'N o o a o *•> o o o o o o oO O <-> o o o u o o VJ ‘J o CJ o o o o o u oO o u u o o o o o a o CJ o o o o o ü o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o ü o o a o o VJ o o o o o o o o o o o• • fa o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 00

U O O V J t J O U U t J U O k J O O O *c II II w II II II II II lt II II li II II II li II I) II II II II II- J

M u> V « IM 1.» >w CM II) sw • n <JU tM u i •JJ w l/) •JJ U ) U i i'4 l i\

z • • • «. • • • • . • • . . • » • . . • . * .

0 1'• J •o *0 4- <> f l •n o 0 0 K . N N •t> •o

ocn

r t ■X :£ ■X X X X 'X X X 'X l t a ‘i X a : ■c X X X • t X rc

ti >1 V il I il II II li h H II H If li H II i l II

o - -u .) '.> ■«• o o j ,■) <m - j o r j / > o r.) - ij o

s •-) .« w ; j h* n» r- aj T) ‘0 tf tf tf o o o

II ■( H ( H H il II II H il II II II il lt H II II

— t/l ■J' ••* ?> t f — w> — UJ t f •*' t f ♦•* U) t f

% -0 -0 i) O <M oUJ U *J S ‘

'O n h a ji h_ . '/> K «f '•) — U nj -J- ^. . ^ i-i i / " i h >r h t t f ui ii» r* u>

* O r - m j O ■w W O j i .••> i’J ua, o ^ ií> - o ji n -« *-• '*»ï Ü l J l U» >Ü ' ‘ “ .................

rg ir) <-• 'O ■')J) ï (V «W >• 'i> U1 N (U >t u- « r-» n n ' i j o \ j o^ O O 1/ (M O

. * ) - « :0 t ) - 'J A i *t f O N O O - «

« T ' V <r i \itf 0j >í ;.') >- o i/l H - I « O J i l l i/‘ ^ h IV o O (\J O ^ ^ 'O « -r< <j <y -•^ ,ll \j> -o J •-« *) •-« o :/) I\l Mt vü o* — O Is" U O '-‘«J V" T ivj f** V' <'»;i « O j| ui V h <í ui .<> *\| (u ^ h í ,\i o h u i ü u •-/ u w fs ''J w; Ol/ IfJ ^ « J ^ 'U !*j r** IJ» <J» O I.M UJ t'| *J t'| N lü CD V *•< -5T -y f** !**• n7 P» I./I -4

o M -j *o « o o iti n -o oI - >X X» «J» ^>•) N l ' l U í t f /

^ .J'N ^ |J1 O J» •■« -ü N n <N r ') h . -- - --. I '/ r » r*» *•/ u< •-* H j u j i j mi y » •t <J tf <j u M r» Sf O O l\j :m vj </ r* OI

■y V a i n • ') u j In

» » o - UJ ^ i-i « í • ') ••) •>» - * W» Vü N

II

I

IK»■31

<t uO« * n II ti li o ti n o il n li tj

U n f f N U ' « í N Q H í N O

J 41 %»i r * 4 O -*I :i N

»

<1 11 II M H II li tt li II I) II lt II n n H lt II II

* r N o *•< ^ n u

r u\ ui vi *'j o *o n n n> aí eü tf ^ tf o o oaxaa««tsaaacarta*?a:ncSocan:«q;ce«3tf3íí«««

“t i

”i 6

£ 17

« A

24

01'£

<.o

rv

( tí*

c

) -

O-C

üü

CG

OC

i ti

41

t*

7l

•e

tS7

7t7

0-

- 7 6 -!»•

o n ^ y 0 o n •>•J 'J O J J (> «> c.> O O O O O O ' > O O

o o o o o o >111 J oI

« ï X

■* ù 7? •' >

: £ Xo o oï * X

•I 11 it

o -u r-- rj j- r - , j

' O r*.

't

» i >» «r o

► .■» O O O K>

c ï v. í X r . t

-• N i0Il II II il II II H >1 il

n o n o ') a fo o -o

s<# • • • • • • « • •4 •Í < < < < -* <■4 .0 <r in

W w W wrt X X 'Í "£ C X X *

<0 J r» o li aN o ■0 o o• I

O r* o U) -H 0* N «4 m fo f) * NUJ r* •-< O n CJ « ■H UJ o «/<\i fn O' o o <» o î» o M o ►.<a 'i ■f o o u) o n o1 h; u; o iVi o p- o <v o C3

<r o '•) o aj o N o Oo r> <t o rs o Oo j* u r* o i*i o u

Ul t • *UJ r> o o -o o r- u O0» u» f*î y*'JU rg r-« 'rn il o il il II ro «-4m , '■ <> WIU ••î ï*» 1*1 ri >•#*• " • *•* IM u t <oN'O <x. < < < <UJ(0fs.

- N(7

« *-* O' 'D •0 N •? o o4 •t —• r i i 'f •■I w CJ « «j* w UJ (XO • • • • • • » • • • • • » •r o «*• U* IVJ D 'U If) vM CVJ Ül w a) WU, r V UJ J/ UJ y/ OU) N r» o «3 CNi (H U) (M <y £ • • • • » • • •II -1 ■n 1 0 0J •/> o M 4 «•4 V f\J n n t » >rt~4 N h. 1 !O N "4 » w w w w w w

UJ TJ » ex •X a •I f.C a IX il LC•n l’f '*» » uuj O C3 1 .JN n n 1 <

• l >« o o l Il II II II u It u It il n II►- 1 »»• -> v« ,•> *>> s Ai > ■T» N N» D f< 1 «V •0 rg •o «M o "J 'O H O <Ní o UJ o •j' rvi CJ O N T)S. 1 ü o w O •') ’4 O W

II 1 * » • • « * • * • • * » • lA V O o o rj o O*/) 1 vü — H -N n (O <r <» J) u1) <o 0 O a •o o Q o O< < j i: O H o o o O o fi1 *** w — w w w w w u o U <_> o 'J •T O o o

I < «l H <t < «a. 4 u w u •o u o « J «•h» 1 u*■« < «-J t X

•<* < ( *■> 'T "J -* •> •O ■O o n O O n •üUJ s '■* 't ï y >T •< "i •'1 t J a *> <*» O u.•i

*< j ? % o <

o•<X ^— ri v u

•> a i ) s *h o -j a > o

• <r. t t.

ïï «

o

<1:1

X i1 u u II II II II II n II II II II II II <\ II u u II ■i II il u n II n«i 1i '*4 "% «•» »■» M »n «% *•» «•s-J 11 X ‘ u* *« Ul •*< U) Ul r-» u> U% •>« </) u: « 0 •X V »4 <r *4ü) 11 üi il UJU 11 ►" * • » • * • » » • » • » • *a: ii -l < < •-4 ** w INI »n n U) tr» O <w> Z N N n ri •1» <r U) <n <oa i1 u U X M

11 w M w ** w w w w w W w w w «-rf< < «t < < 4 < 4 < « < a (i <x a X OC O! r vt u (X

" J . f f t - . . . - . t ' V - , A ' , ' , ‘ . K V - ^. ;• • ''.W ; ^ 'V M ÍV i í .K * ""’ ■* , í , 'aí * * ' .V i .- ,r »-• <. " ’>? ï f ' i \ ' S I ’ C ‘ ' V * -■ '* » :, • • • •<• ; ’ ’

CC

Ail

-A'-

j Ht

i> *

5Î

— C

»C

0C

Cö

0ö

o

Kl

» 6}

-

- S

• O

Cù

ucC

j7

.C

CÛ

C0

13

7

h(

o*

*)-

C.O

OC

Cv

OC

O

H{

6.

3)=

•

O.O

CO

üO

ol^

-77-

*> i% -3 K0 ■f J «/* o O0 N o •n 3 o, o •i J ->3 1..) oJ J O o o oJ o u 'O J o

o o o O -> n«

o o C.3 .} o1 ■0 '0 r> If) 1 1 1

■t f*. 'J r j• •0 •o o L>

o M N •> •0Q *7) '0 0 U)-J* /o o N fX<r •* in I-»u \ .n

. ^ o —•o 4 <t

N1 1

II II II II il

<r vT <r•1 II li II II it

0 <W •*1 •Í- a l m rO n r i

. w w • « . • »

0 - t < <C < « - • CM ro ■4* U1

w w

I . a a rc ec ‘ a

<0 o <0 O 0> o «>4 o •0t f t

/) r- 'Ü ■f\ JÎ b- r* ■AJ N <7> <f\ *•) !’ )<v . u r - ■•> n u o •-* n —« Q3<r .n V) o •*) o o '0 TD o M oA> n o O rvj o tM «■> o P> o

'T !"*• '•( 1 o a) o IS o r» o>o 1 o v/> <r o in </ O) a r» o•o *0 o Í? o o 0 O - f o oUÍ w o »•* r - u o N o «•< o* . \n • • « « • • • • « •

1 o O r - o »H o (0 o f» o1 •a ■a

N <M <o ■9«J II it II tl It » n •-<

«■*» *** iO s r Ol'iJ n r> r> 1 fr*

• pIV . *■» v* <7 U)r» ■■

>**< «t « < <L

/

O n O s '' I'» o v'J Ul 11

1 o t • ■ • • < »1 n II II u il II IIU) n Ul »■r AJ J r+ <"■» *■* —*

. 1 OJ O O j j O - i VM Hi «VI U 1 >1) »y in »VI loH iJ o >w o

• t ij O o n «f a j z * * » * • • • • * •a . '.3 •> «-4 eg •0 O y* •4 r j 'M fO <* <* /> />

'.3 CO tn inC5 .0 N W

1 O 'J Vi >n « TC X ' t \Z X !Z i J . •.<Ul o O « oUJ o■ J o <. .. • • >12 D C) II II II*- *■» --I. % N O o Ü f s N O N <T< r j i>j 04 l '4 lii (7» o o Q <r> -4 o '.7»

3 31 iO (J o O O u i ) OII • ► » • • ■ r j o o O ■il o O !•> o

» 1.0 in t-4 C4 m i:i a . O <J o o O o o -4 O o>* 5, o o o o o ‘ 13 o O o

UJ —» w W O o o Q o o O (J O o o>N •* «J. s o \J O CJ c> u u '•U Ul w

H •X •-* i t UJ • • * • • « • * *J I. a- £ o o o o O o o o o o o o

u T T— •Í -4 -X «t

» 2. .J% • » T> ■o 0 •> A 0 -J •u •i • n tl "1'i. - - • t >s* J- 'I ) J r» 0 -4 V) a a

• ) • » • • • « • • • ■ï 4 -A 'T <J F'- * ;) n 4j IS <

•t > 1 J ■-Í K. "1 1 ■A » . fS y tV \ < 1 ♦ ■ f T N. h •4

1 J ■t vj ft is -4 0 r •41 Î < < ■« .1 t 0 -) 0 U ■j *4 A 3

ï -f * "'J r 1 11 t -4 *« i £ •3 r1 H. V-. ) 'J •i h <1 n 0 • ♦f ~7 O 1'} ■%1 < 3 Q 7. IÜ H UJ1 -t •:I O1 X Ul UJ a < < UJ

« a U X U» t_J II (1 II II 11 il /> ««* »% »■% /'S

r • u « j u a -J X VI »•4 f-t g i •-« a t M J) •-4 l A •-• m ■X <r «H .4 <r »I «r •-1 <M -« iu UJ o JC (U

• 1 ** ►— .X VJ U <J h» * • * * » • • > • • • » * • *o \ 7 Z D a Cl < r~t *-« »*1 »0 «r - r U» •a A 1-4 N C\J n « sT U) in

1 4 OJ J J I . a u u 31 M1 U o w W w w N« w V* «H* •w< W« w «_• w w1 £ < «t < < < < < < 4 r t « «X a ■ï a : a OC ’X * N

OF

KA

it

M

AX

IMA

jL

«iA

C£

i.

1 Nh

I

CA

S

MA

TS

I

Zc

S-*

>

IF

ES

c

NC

A

I0

6N

7I

CA

CB

O

JT

i-J

A

O.û

OO

ÏT

tz

ZS

i

IO

EM

Il

aGE

O

JÎ

IJ

a

û

K

ÍA

-1

)*

/

0.

00

QÇ

7i

t3

3î

3

-78-

.7 r i O O - i o '3 o n o •> O ^ n ^ n ^ o O '!> > o r> fl ’7 o *5 '0 A -) 0 ”3 ' ï "> Û ”3 O *3 <7 O 0:j ■» il •> O '} O 3 0 — ■•* O K O o •>' 1 -7 o •-* 0 0 '» .5 o 3 •’) J O *3 ‘0 g o ’’ 1 3 ;> J 3 > g o -» '•» O

•■< i\j J 1 , ; i n g * j o g N ü j* J" J o a ) ^ *7 — ^ ivj o «T o 0 w ^ r«. o o o •> i ' ^ ü - j O a»m o - as <o o *■> <f — 3 o 3 # o '.ï « > n sf o »* □ -Q o 5 'O n *\j -«\ T 0J >n ’ ) N ;> IS' *1 S - f O i n ' f l - < N 3 3 N O N ^ ~4 |S C\i J- U» *i o m ^/> .* o -« a il in o •> n f*> > g > rs -.7 n o n n «/ o a io aj t3 o u oj o or » p» O >J <j «u .M |s *T ï’ » (h f* IV U ,>j 'J «J u» i/* u i ' j .g - « V) tu UJ y » j ! g fs i * p>O — U J* * LJ - « T J l 0 fs -J1 ■;) -h n g ^ y i n ^ t\l — r** •.) i\i r - <i; r » P- r »->• -) o a io . ^ g > o j\j *g - o iv * j j> ï n o ■« r*> -g m o .j* -« o r- o x> .»)N N ") ~7 M > > N 0 rg 7 o > o * ’.o V) u ‘O . n o N .> i Ai > 3 0 7> 0 0■? t -< •» ?0 ifj o in n I « -r ••« n s. r*» o tv í\í —* in -4 i) 9 n -• o tj s

1 1 **• "* -4 1 1 1 ** 1 *•* 1 * 1

11 U il u il, n i! II II u u It li II II „ II II H !l il il II II II H il II n »1 jl_ II II II II II II II II II tl II « II

■9 <i) *g <9 w w *T UJ N •o ' í W •Û *r UJ W •0 <u 'O s» aj w <1 •T <u vg •4) •T UJ «.y -ü <r Oi i-g b o o O O ~4 r-< ~4*4 -•* —* •H

w w '» *-« >«» w w w w ■W, s«. «- w w wwo w w -* w w w

*< < < < -< •< •X < f •t < < < < •Í ■i •Í •t < < •t < < * < « < < < < < < < < < < < < < < < < •(

N U J >0 « O .g .g *> •O 0 u Jl rs U oj •*4 0 o r) *r\ 0 o ~r ;g o O •X) •> UN N O j)•O t* K 0 T 0 •o *0 rO it > n *i 10 »ï » 0 '0 « ■n 0 0 N '0 N «* o -i N 0 ■ü fs n N S

• • * • « • • » «*4 o if» -* -î > •Ü T) O n O' s <'•< > 01 K N o rt) T3 03 N •n N ' * I.A ■9 o »0 •o l{\ ‘0 0 Ul > y» - « vU i ' i

•H N I') rg <3 O vT V* •n U) u) (V «•) VÜ n w rs .n <* r'î •V ijt O <T o O •r ‘V 'U •o o fg <r ') «Ü 10 •o r » O r»N •+ T) '’ ■> •-• *.9 s '7* *1 •r» <7\ m '0 o n K •n 0 0 -> s. O O •o n o ■o 0 t) û 7> •> •/) 0 ■g 0 •D 0 fs •9'•J O •0 <r «J) u •3 o j î r3 N .3 n •y o ;*> fs »•1 N. o •n o r- o o ■*•) o J3 o o N -1 n •o u> IV <o -J •n -• • g u) ■i» -* >o ■’ )

■y I I I » I . I l t I I I I I I I ! t I-rO '

a n II iltt II n iln IIIIilIIu H II IfltIIn IIn ilu■ IlH IIilIfilttII u II.11 il IIH iln II•1 IIII IIr<" lf>r- n >l'js —•ui '*>r«.—• in-ir»—• u>r|r*i-«U1"is.M 'Jlr) fs<-«u>n r- u>r»fs-< t’Ir' tf)l'Jr»»4U1n r-<-+ i~tr-* r* ~4 r* « «-4 H• • • » • • • • «■ • » • » * • • • « • ••*> -* -«•Hrj<-g IMIM’)f0 vf•J<TlAu)•i)u> ■*>■O•ür»r»f>.r«CD'uuaj«J«J»y» O O u -i•-*H•r .H -*♦r*4 »-•-4w w w -*• W W0 < •t'i < •t't 'l< *t< «t< '1 < < <1< *t■a«<< < < •-<**< •<«t< •< <t«t< < •l‘t < *c<

T\ nj tA o n O >T O «O »11 LO fü lA n n n n -i3 fß <r> ^0 o o tnn '0 o ‘t ) <r> •A O o O O n i7 n <3 » m lA m•g ‘V'Wo r* «J -iO •-• r- r*t') • •<ü) u •tj i*f t’»UJ O)u o t**«ur/o UJ r » f u t o u O .-4 l»NJ r*» O 3> fs r»r»* • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 41 • • • t • p • •»giu <y sr aj o u) J I’)r»ijsU Uï igsa UJ rs ut <0 ut•tf UJ '*) UJ >*j O Si i 1 vrkj* ‘•f '■Ü ‘,4 1-4 <t in ‘Af •jt wi

•0 •A " j •j » N. ’J ) r» 0 ">-4 f > O •o '•)r> •kJ •T »S r-t 9 '3 U rg-4 UJ •T r- o <Mr» Jt "■) fs o N. 40•—UJ r» <T i>» >T r» UJ w IVj <3 f*)•j r i «us » r ( »7 r- O V -•*N r- IVJ O wi l‘ l CJ <r <go g ■J/ V«'V«•jK vO'ÜO y* ••« v/>N i*g O v» ••J* '0 fs y vT O f ) •» r)UJ O tg O M O «4 C3 j ) '•>f>o \g O w-%»’j•O •t -i>4 fs i.1' 0 fs •n"J 0 " i O N O 4 7> 0 O •0 "1'J'•0 n o ‘.7 ,-t n •'4 "7 Si N. nN ■0 0 JÜ LT n 4 '.3 •>N. 0 r g !.')fs T •0 O sQ n fs •Í u ; •A S '••i r» r* s. r4 4 O fvg <:>r«*j% h- > i .0 •'J <t 4 r-» s •s fs .0 O 'S •T 0 rg > -n <* fs O 0 CJ -3 r-« n .) rvj û X) t) fs. •r ■fi*-> -4 •y' s •rj •O i') O o -.3 •.u u r\i fs ÍS —4 V /) O —4 -o •u 'if -4 •t t:l 0 U n O U) fs nr- •J o ■yO -* •r ^4 JJ f*) ' f Jl '.T'■yA <9 —% -.1 MJ u‘T </ •AJ u> .'i j J ' o 0 *7 fs w

•** *"• .4 ■r*

i> tl II u II il h II II ti II II U ü ii H II il II->

"J Í)f3 f•>io O r ■M •a O vT O o » t'sj ••J C3 -T ’ •J Sü O Ci O O •g o O T ■O o t Cf 0 C) «g ■a o T—• ••< r4 —«

» • • » » » » * • a. « w • • * •> • » • •—i 4 N w ( j ' i ’7 •o•oi')• 9 •X<T r«A-3 ■i) •i »■y •JO .J r-N- N •s Ml '0 u >. i.* o o (.1O -4 ~4

r-4 »■4 M •~4 ,-H •••4 •-4 r-*— >-• '•» V- *4» •»* w —■ w w V* —* V- w S4> •— w w w —» w w w •»-> •—> W W «-#» ï «4 «t «ï. H «4 •< •4 H «*. < <1 <* H «t •a.«*. H M. <4. <J. «% « ï ■H «t <1 H «X •** <

n •) 1 •r S ■> rM j " i •1 ■’l 3 3 g -t T *S *3 7 A ■g > .7 .3 0 ■*t ) 3 J r r r\ •3—< t '*J•.3 • V • < ■ ! -4 •M r* SJ ii H IS sT 3 •j O •MJ» fS ' J l) ■vT 7 [S, J* * j •7 *)• •g-4 M rO 1• * • • • « • • • 4 • « * • » • » ( « • • « • » « «j' ) i-1 T -« T\ ) 4 > fs •4 a 0 3 <4 n g -g'J r 3 *) ,7 Jl O » )> s n • A •O• « g T J ■) h )■* •1 S.,N.r I - f^ 9 T ••4 jj* s/ 4 * •) J -4 3 j ■■* ) * 7 J

) -t •) J fs •1 4 •1”3 *s .) 3 1 3 J fs g > A ) •J T 0 3 > •j \ 1\t 9 n oT> fs J ■J > .■3 -< 3 t 0 13 0 J t )t J .n Aj» r ; j T 0 -> N J •3 0 SJ ;) r ■J* ï JJ -* .f 1 4 ï » 1 .3 3 » > '■t t g t-*t t g •f "1 -* > 0 7 • H~i 3 g 7 H 7 -«

•t T *t t t t. Lj i

«t uJy i i î j tl lt il H ü tl 11 II II II II II li li II il II II il II lt II II ii IIt n

a . J i ■o - * •-« u» l 't *■« u ; f » •* Ul t" r i U> U* i ' l « •Í) <.r • J -« Ul f l l!> f ) V4 Ul »’ J M u t •*l H) i'I 4 Ul U' •‘ I.t UJ u a « 4 •-4 •41 -4 4 ,4 r t >4 ^4

> ■ J L) u h~ • * • » » • « » • • • • • • • ♦ » • • • • • • • • » • • «1 • * • » ■ • » » • • • • •i r • r '1 -• «4 »4 '•g -g ry •■g f ) ■’ > -> r> O -r 9 <t tl) U7 a ) in «Ü <0 o f - N N fs •o a j •0 o W O C3 O o O

<• u . u V* •M -4 4 •-4 •MS» »■* w •w w w *•* w w — w> w -w w s# w w w w W w m w w M M V, w W w M

•f « ' f < < < -t • f < •< ■X < < «f < < •< < «Í « t < < •< < < < « « < ■< < < < •« •Í « t < < « ( < < < •<

-79-

>4 s . n *> 0 <5 o N '0 o o o L0 n f0 o0 o r l o o o o n r+ o Q o o ’0 0 a a

«*4 o - • o o ’ > o ? .g A o • ) o O n 3,•« o o :3 o o — o o o o o •.•j ■ > ' 3o o o o ■5 o -3 Cl ) o J o o --j o oo o 5 o •3 o o o ■ > v3 •3 .) o o o o .5o u O • J » o o C3 u I J O (> o o o o <3 ( Jo o C3 o o O o o o o o o o o o o C7 o o o o o r> O o O o

o o o o D o o o o a o o o o o o o o o o o O o o o a■> r j r% ■5 ' •> (A o T ) n 0 • t n o O O Í 1 1 I I 1 . 1- j 3 »'• J *1 T -\j K • •4 •> « j • > o o 3 O O

, » • • • •o A ) n J ' 3 3- ••J 0 . . 1 C» 0 i ) o D n <1;> .4 >•. ‘ J 3 » g p*» •ft r . > N r ^

•>. J A *-* n o 0 LT* •> 0 >0 10o r I*) _ • n n ■a J) • n n »r»

jU • j " 4 fs. i 1 1 i'3 o h- J> •-4 *0 H I-4 .) o NN . o S . .>j 001

n r - 01

N1

II •j ll II „ II II :i ll ll m tl II II II n II n n

a> C t u •T •V ' j «T 'W f V >0 <t a> <-\i •4 >/ <JJ i>4 -0—> •■* -* . ♦ — - « - • — II II II ' II II II » II ■I II n II 11 H II tl II II It It II I I ' II II tl II n

•'4 N •Vi •*» n N) </ - t ■n n if) v/) o Q o 0 i l iJ 0*» rvj i/> T o vn r v i n ,0 v> o I f> rg < n o rg 'S) n •0

- « —* "• - « - * - • -* »-t •** - 4 »-« ••* •+ . »-4 •H —4 r-* ^4 ^4w s *. - .* . y w — •w ^ . • • • • * • fc « « • • • « « • • « « „ « w . « « »

•t ' t < « < *< < • t • t < < < < • Í < t • « - c\J i n :M m fO <* * r <t •J" •r> in 'f> '0 Irt v3 OW w w W w w w w w w _

C£ 'X a X X a : it CC « a a : X (t a a X CL CK a f t f ï cc c r ! t a f t

. J 0 *• *1 -1 .•g X> 0 o o o o o O ◦ o3 o 0 > n “ i «Í a i 0 o o o o o o Q a•

o o s f .? 0 0 n m <t i n V ) ti) ' A tr> !i> • o n — wt (M o o o •» y o o o O r * <r ro • o o- * o 0 —■ .•j o U ) <r JJ f*» U J fs- N N i*» (s. r - o n >J> ■* H o o o U ) n p-4 y o o o CJ o o

3 J 1 - J ;*> •* 0 o N . r - n o n 0 ÍH o r*1 • o o n 7 » a o o o o 0 o o vO o o n O o o*• S3 •V o ’ ï •■> 1) 0 t\i a > « U l 1 u> u> o 1. ) o O o o o o O ' n o o Q o o ' ' i o o 'O o Q

. j '4 I V J » •> <r l ‘ * <r w •■I •4J r»» o o u o u u o o • u 13 V3 o '.3 o o 'U ^ J , ( J o o v>1 » 1 1 1 t I w * o o o o o o o o H o o o o CJ o o <-p o o o o O

J * o o a o o o o o o o o o o o o o o o O o o1 t j o < ) Ü O o Ü o o u V o o o o o o o o o u o u .3 < J O

• « » ♦ •a 0

1o o 0

1o o o 0

1o o o o 0

101

o 01

o o o o 01

o o 01

o O»

a , , II :l H „ n II it u u 11 II tl II II It II 11 ll >—» *■» «-* »*• />> - » **»

•w _4 C ’ •’ J t-4 H i ~4 I 'l r » >4 <n r~ —• -/>m*4 •“ 4 -4 r «

• • « » * • • * » » m

*S1 w \j ■’ J -1 ■ ’ ) <9 *y </ a-\ / J m u ) ~i} <o«4 .- « - » -4 ^4 — —* •-* >4 •-4 - * «-4 ”4

w • .* w w w V « •*« •V« w •w w i•t 4 « Í ‘ t • t • t - t < • I ' t 'X <1 *1 'X • t ■4 •< " t

/O O n r> •T f3 t) >1 <0 ") o O (> O o O o o>< %r» ••i i. * U 4 •u «3 •-U >•3 o K3 O 14 1J o u l£

• • « % » • • • • * • • • • • * • « • *t tl II It II tl ll II (I u II II II It II It IIJ' 4 •4 / r*» •j ' •-« r *-> Ul u \ 0 > m til •Ji li \ in si) -J »"* «** i—• *-* «•h »-n r-N

— r». /> -J .-4 •'1 'S- f- .+ JÍ p* fs rs f'« r- f- r. 1 -3 CV II ■'U (T nj ut •tj >•1 <? vv U) ■ij <7 fVJ U\ ■u -4 p IV <0 tl) •• ’V III> •'í • ( 'J' V' >1 / !’ 1 1" r» '*# •'» O •H »-4 w* r4 «-4

:> ■J n J 'J U 11» Ps Ul ii> r- • • » * • • » « • • • • • • • » • • • » • • » • • •—. •» r 3 •1 O A •n ■t •o CO ,4 4 CJ 0J <N * •0 H ") •t 't st * •n ■n n ■n ■n 0 00 7 O N '.0 <Q y>

'“ï -1 •) -4 ■V* o o -1 V/ •w■*- -• •T ) o X .A (s. 1 j: JJ X a « X a '£ IX as ■X a X IX 'Í X IX j: •X IX ■X IX Xr . J) o UN O

-• -• J

>II II II II II II II II It

— •» -• »*» — —• *-N -» — »> —• —* —» V o ■o o o o '3 •o o o r>. o o o o 'JO 0 0 t -4■D r - 4 j > -1 •N o o 't u n fg •o o <r UJ «n N 'T) o o o I.J w in o rj o o o t3 •0 o n 0J o

• « —• r4 »♦ -* CJ Ul <J <r <3 o C3 o r-) n o o o o <3 C3 C» C->» • » * * » * • • • • » • • *■ * • * • M CJ CJ o o O «3 n‘( o o o o o o o <0 o .4 o• 1 •t *•> U7 0 o o a C> o o u o -■J O O O (3 13 Ü o o «3 u 13 a '3 a o— —• -• —• -* — * * --• -« —• -* s o o a C3 o o o <3 O O rj C3 o o o t3 Q o o o o— — •- —’ w •<— *** — —* a o C3 O C3 o f.3 O O O O O o o lw> <3 o o 3 o o

•X < V, >4 •X. < -4 •4 ■A '4 H w <3 U CJ <3 u ( J w o u 13 >-» O CJ o o <3 <3 13 a C3 k3 V3 u w o c> >3 13 <3 u <3Ui * * • • » • * » • * • • • • • •O ?•> O o o o o CJ o O o a o o <"3 O O o o O ■•3 r> o a o o o O O o '3 o<J

*•. •} •1 ' '»* * s. N. I •*> 3 o T '3 •> - > •u> • .» ■■} :) •.A •o 'J 3 3 3 3 <j '3 '3 a.

.) •*- / ;> .1/ -4 A .4 Wl .A .) . > A ,1 -•> <t> "Î J . ) > > -4 s 3 IS. r> N f-.' K.J 5 ï ^ •I 0 •> 5 ■) “) •) 0

3 — J } T rj t r* •A 1) 3 n n , ) n■» 1 1 î ' j f •g 1 J J 1 Q1 1 1 -1

«»tfQ

M • tl II U II It II II II II II It »1 II II II II II II < II n II n u II II tl II II m n II d n ti II i t . it II ti ti n it ■1 u n n ti u u IIf'»

- « . • »•» — U) " Í <A V* r l Ul ÍT 1'» •*< «U I'l IX <r N o »’ j «3 4 <r r* O '3 •X c r* CJ H o -4 T r » o •M SÜ r4 <r N. KJ <o a•u r~* ^4

• • • • • • * • • • • • ,■> * • • » • • • • » « • *N •\ N •n '1 <r ■T * «> Ul tA C> •Ü o »0 o r-4 -4 04 04 (M W Ol n n r » n n n « »r «» « « »n m 1ft u> u> u> 'O •oM »4 —• •■4 -* •+ “ 4 «■* •*4 **• « »•4 -+W ■— — w W '-z w w — V« w >■4 w •Ml M w «•« M w m w V« M w w w W W w M w w V4 w s- w „4 < < < «t < < * ( < *< < < < <t < < <f < < < cr IX a a QC Ct (X ex « a a « cx a a (X a X a X a « X « (X rx a a a X at

-80-

-> ■>0 oJ o} o1 >*í ->

■ J•-> o o

o o o

r> 'I •r— o

n o o

o o o

o o o o o

o o o o .31 o o

<■>

«D o o o o

O o o o o O T o O >■>

O o 3 •> ■> > o o o o - o o o o

o o o o oo o o

o o o

>( J ti II II 1 1! H »1 II II ■ I II H II II o li •1 it h H H . li II II n II n II II n II n II II II II n n n H II n n it

) J TÏ 0 > ■NJ /> '> -0 > r j •*3 0 ( * •y m 0 > •'í 0 N <n <0 u .* ( ' i •o 0 N ií^ o o ■7t (’4 •'j •J3"■* *•* “ * -• -* — *■« - «

: j 0 fs N s. rs N *> •o ■s 1 0> o o o O o •H — OJ N o ;*> fO o .n ií>•-* —• *4 •-4 •-< H '+ «4 >4 — —• - 4 •-• « —< >-» —» . « .<

— -* - * ■«— M* w w w «w» w •N* w •w» .» * w V* . o w w N > > » >•* w w m w’ i X rí 'í X ar ' í *s TC X * 2 i t : t t: □ : a t : * a tf a: a a * * a 2 a j : ï 1X a a a r ï a X a 'í : a X

-> o O' r» o "3 o o o •> c» N V* fH o o o co •0 sT c» o o o 33 <3 CM -4 o o ’JO -• '>P o •t V) o o o -* •0 o (O u o o o r-t o >r «1 • o o o o o o U) <•« CVJ o o o o o l\»■? o •3 -r — /» O o o o <*3 »4 ■* o o o o o o o o o o o o o o Ï3 o o "3 o •t o 0~ '> "1 -■* '4 •Jl o CJ o o o o o o o o o ÍM o o o o o o o to 1-4 o o o o o o •A#j •u • j •-J VJ t j u o o o t_» o o o o o o u o o o >J o o o u o o a o o (J o■3 J <* o O o o o o o o o o o VJ <3 o o o o o o o o o o o o •o o o o u o '> CÎ o— ) o •.) -> o o “■> o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 'J o o o o o o o

O - O .> O o o -J o o o o o o o o o 1.» o o o Q o o o o o <•> o o o o o o o o o o u o o o o o« « 4 *

o •; o ' í o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 0 o o G 0 o o o

II ■ 1 II 1 Il II (1 II II It II II II '1 II II II II II II II II II II II II II II l i II II II II II II II II II '1 II II II 11 II« *•» r-s / -* •*• «

>) - -r • J ■ c\ 11 -4 •11 ' U *T ‘ l O ’J j •H <r (M <l) ■JJ s f <>í ' O • y ■-r ISf m uJ •y IM i n U J — t f (M 4 ) IA/— - • r-4 »-i —« » 1 —* « r-« » «

. . . • • • * • • • • • * » • • •> * • • • • » • » • • • » • • • • » m * •• • » • • • » •j : 3 N . N . •n t i 73 T3 'ív o 'T> 0 s 7> o o o o o r « r-4 ^ . r j. -■i r-J r j ■n ’ •3 ■o "3 t f <t " f » *0 n n

—* -+ -4 <“« »■* ~4 <-4 — —< -4 —< -< iH -* >4 •-* H •-* • -* —• —• - 4W w s«* w - « — M w w s ,« ■0 ••* «M. -~r w w S*»

'C r 'Z a .T .c • t 3: a t c •X a X X <x a a : X '£ • X ;r « X 'C a X cs :£ a •X j : u % 'S. «4 c

o o o oO -J

O O tí OOo oO 13

o oC3 Ou o o

13 O OÍ\J o oS*> O oO O o

o a) O y rnO I’ ) Is«

> o <•> o o <j o o

:> M o o oo u> o o orj u o o o.-4 O o Oo o •‘■f o oo o o o oo o o o o

O <.J O O O vj o o

O O O O O O " í o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o »*> o o o o o o o o o o o o « t o o o o o o o

n • « >r ♦ H '* il II II II II II 11 II II II II II II II II It II II■» «. •■• •- «** --N « r « <■> Ac * * o - * sr f>. o l’ l o —• <1 o 1’ » 'T N . o '■» *+ 'S N o •’ » o <w •M >r IS o ■’ > .4 rs u r> •o H N o l'l **J «X r»— « —< - * —• - • - » "4 r * » * r4 •4 •4 «4 H4 l-t 4 *4 4

» « • * • • • • • • • » • • • fi • » •> • • • k •l • • • *o s,‘ o f» r . Is» k . n j tu «3 >.Ü •0 >0 V V * i. i o o o o o •-4 <•4 >4 fM i'J (M ÍM t\) f1) ro '•> n n D ft * «T <T •r u) 1A

r+ —• r* « « •-4 t-i 1-4 <4 w ►4 w-ê >4 •4 r4 »• -4 <>4 v4 «4 #4 •■4 r-* r4 r4 r4w •w w W w w *- w w ■w S « w w V« w w w w w w ,í» ** w <w> w w w W w w w w

Y ”X ■ t it c t X ar fX X • T •ï •TC ce a r t (X a IX rí \Z X ct JC flf nr r r nc a a ■ í ct (ï a a X ce rí Cl a « K ct X rt tt « n : a a: a: ir a

CÃ

MA

XIM

A

Jw

Li

Nr;

/ D

AS

M A

T*

I 2E

S

-ü

I r

Ei-

C NC

A

- 81 -

> D O O O

) •■> 1 />

It 'I II <1

J 'J 'f\3 J '0 O

C -X i t i* *C

tj o o o o

( j*V> !«rt•T5 . DN. Nf ' . N

0 O «•r > *

o o

•Na

*1 r "*

•a 4» >.

■>v «<•t M.

1 i»C í

) i O■t 1. • c

J< t

1 -J. * •H 7Tt-, » - .Jn *n 0O O

111MJ O

n On -t UUJ < t IX■-■ •X UIr* »— 2.s. /.Ui UJa O•-< »-»

-82-

D Q L £ M A N

CRCC.V C A M A T K i Z 5 P OR 5

TE R M I N ANT G * + \ 'Jf-i >)* t i ❖ * 4 #

T E R M I N A N T E 0 . d 3 6 4 9 7 1t>:

PMA CA M A X I M A o L) Vi A L d L I NH A C A S MAT R I Z li 13 -D I F E R E NC A

E N T l L A D t QjriUrt r'-k Ai(A~l ) O^'ihltSyOVti^lE n H C A C E U J T 1 J A P U R I A — I ) * A . 0 . 4 1 fc5 9 0 7 6 4 1

C t3 L E M A N- i i . . .

C RC E M CA M A T R 1 Z 6 F CR ' 5 ■ - - • '

TCPM I N A N T E W v ->f v $ * * 4 * £ 4 -1 *■$ $ * j> i< * * a!: 5}= * * 4 =!•• #

11: PM I N A N T E ’ 0 . 1 5 2 3 <»6 at , Ob 5 8 0 SO 2 13

F.MA C A M A X I M A o L M A O t L I NH A C A S > MATH I Z E S - D 1 F i i RE NC A

E N T I C /> CE OJT.1 j a P J k A * ( A - l ) O . E 2 £ 4 S 3 9 a C 9

F N T I C / > C E O J T I J A P L r i ( A - 1 ) * A , 0 . 5 2 t 4 £ 2 9 6 1 5

CfcJLEMA N . J

E R C E N CA M A T R i Z 5 F CR 5

TE P N. I N AN T E ^ 0 7u 7 6 12 9 1 24 4 9 7 . 0

T E R M I N A N T E 0 . 4 0 0 0 7 C 7 6 1 2 9 1 2 4 4 9 7 0

PMA CA M A X I M A S O M a u £ L 1 NH A C A S M A T R I Z E S - O I F E R E N C A

h N T I [ A D E O J f l U A r* (_ R A * ( A - 1 J C . O 0 0 C 0 9 9 9 C £

E N T I C A D E O i J T I u a iJL H i / ~ l ) * A C . 0 0 CCC9 9 9 E 5

C + 4 1

D +4 2

C+ 1 7

C GLEN. A N .

ït Ci:. C A M AT n 1 _ - P CU 'i- 8 3 -

ii F V 1 rs AN T G — 0 . 0 1 .’i C 2 J ò 'o

i iR V I NA.-Jf j i -í ) . U i o 2 j í 3 / J C 1 4 7 7 t 3 0 C-0 1

MA C A MAX I M A o C1A « 1. C L I M i fi C AS NA n\l Z L C —ü I F E H 5 N C A

N f L L A C t; O . J r M £ -7 ( A - l ) 1 0 2 C fc 4 4 113 7 'f 2 4 . 0 0 C 0

N T I [ A D n O j T U ^ t-' í_i k ( A - 1 H / l 1 0 2 d £ V t 1 5 7 5 4 2 4 . CiOCO

w L IZ M A N «

'

i < j c i tV c a ma r.sj r r£ c . ^ j j j A ü o - j G f ò S ó é a a O ' } D +- 0 1

MA CA M A X I M A ^ Uîrt U u L 1 M i A CAS f'ATi-j l / L j - J I F t i k . í NC A

NT I C A C l: 0 .31 l j rt k A4 1 -4-1 > 4 Í . 2 2 . 3 Ò 1 0 - C - C C OCO CC p

NT 1C ACE Ü J T í j a rJi_, í v {A - 1 ) # a 4 £ 2 2 J 6 1 0 5 c * 0 0 0 0 0 0 0 0

E L E N A N . C

R ü Ë ?•’ C A M ' XT u l * . Ö P Ci< d

e ii M I is AMT £ 1 • U 0 0 0 0 0 0 0 0

L n iV 1 N A N T i l C. i O O O J O Q ú o O C C O C O C O O C +-'0 1

VA C fi M A X I M A o Oi*» /á C u L 1 M i (■ C A j . v A ï k I Z L S - l S i F E ï K O l s C A

:m h : a c c. j j t U n J ^ K r\ -f ( A - l ) C . 0-NT IC ^ J e J T i ri J i_K L 'A - 1 ) í í

o*o

!111111

V d L L M A N »

.R CL N CA M A T i i i t 1 0 P Ck 1 0

r E K I sANT!£ - C . U O Ü Û Ü O O O O

fcfcM i N A N l c - C • o / d <* o Q 1 7 I 2 2 7 -j 7 3 J L - m

t M A C A M A X I Mh o OM m J LI L I M i A C A Í i VAT r ; ! i l c ô - u I l - E K i l N Õ

'» T 1 C a C !' 3 I" i j i\ r* l- k A > t A - 1 ) 'i 7 * u i 2 4 ;i - f 2 0 i

N T I C A C t i O J l l o i A r ' L K U - 1 )<=A _ 4 7 . 5 (; 24J3.:-S2C£

d L E X A N . O

f i DEN CA M A I S l i . o F CR .6

c n V l N A N T E a, #

E f t K l N A N T E -0.2271b2S-->a2S£2949i30

MA Cfi M A X I M A j u M A Dl i L l NH A C A S V A T R t ZE S-D I F t£ f i £ NC A

NT I CADE O JTIJA A 4 ( A - 1 )■NT I C A D E O J T i ^ r t <->uk (/»-!)•■» A

0 . 0 0 0 0 3 4 8 1 6 1

0 . 0 0 C-0 3 4 8 1 8 1

I bLEN ' A N . v .

i f iDc l- CA MA TK i ^ t F CR 5 . .

■£PI» ^ A N T E * *<=!« '

E H N I N A N T u 0 . 7 0 0 9 1 6 6 S 3 3 3 7 4 7 5 2 0 0

,\

;y A c A MAXIMA JUV1A uE L INH A CAS MATKI ZE-S.-DlFEfiENCAI N T I C A C Li J J i U A P o k A * ( A - 1 ) • , 1 . 3 2 6 2 2 0 7 4 1 3

: N T I C a 0 Li O J T i U r t P L i x (A - I ) * A ’ 1 , o 3 £ 2 2 G 7 4 I 3

j 3 L c N' A N . 10

:PDEt> C A M A T k I Z l c P CK 16

TE fi V J NA.NT E

TERM I N A N T E 0 . 7 2 3 7 0 0 5 5 7 7 3 3 2 2 6 5 1 1

= MA CA M A X I M A o O K A 0 c L I N H A CAS M A T R I Z £ S-L>1 F E £ E N C A

E N T I C ADE J . 3 T U A P b k A M A - l ) 7 . 1 3 49 9 1 6 4 S E

C U T i ^ M i 'b H ( / - I ) * / , 7 . 1 3 4 9 9 1 6 4 5 8

-84-

£■>■2 8

D + 42

C + 7 6

-85-

A N E X O 6 - L I S T A G E M DOS E X E MPLOS DO A L G O R TMO D V S - P L E X

-86-

O Oo <r• »

s r -*oot\j•u

!l 11 II

; • } r > r >

CJ f’ í

< -j: <

•ooo

I!•*»n

*In

noNn

lin

o o N o o r».• • •O iU <T.

0 ■ r- «r n •o L O <t

oo•0 •o r> o O10 • < <O ■o■J <y>h II II LO- * N < < «t (0—» —» • st 0 o »«z r- C0

0! f-JN •vAo H*««-•4 o o oo X >; <-«o o* • *> o to t-4 r*)r>o—*cj N o > J J- X N o oM !l X íío Q UJUJ UJ r-.o ww **>* w O o o -JO C*1<ro< < (V -Jrju o 1 1 t 1 a <r íu CJ 1u • • • •a» 1 • • ♦ •v>"W- . w jrO r-<ro o « O Q o '.0•J7r- r*.ro <1’J ai u u/r- u O L) o <r ri1* </) <T IX)«t M •-« o tJ)•i)l‘)n <to n > X X r •3Ü' nO > O • :3 rv•»1 -V-J J 1 í /).'J.n g -fO V*V.J I-» o uiuJ u "i U )>) • • • O <'i vU u vj •J»1 •*) Sj*s>.■j’i4 JVo J Q o lO4, </>V“) r-r »•4r- J u..J N N 'j -> .J H _i U J J T\ • JJ ; * « • ' ï • *t •*5•-* -O 7) •3 V1) Q .3 H •>r.0

< 'd * •O «4 N . \‘J 't ■t•( -j J»— •o 0 0 1 1 0 0 O 1 Al o* 0 1 'J 0 (O 0 J X f ■X t; f. sJ< "j j »■« 1 -o O X < l/J •J'-•J’U <•S ■j 1 :o •N ;!l ■ J ff J > > *» .J T.rr D rvj Í0 J « N IU a •y z < N UJJ j **) m n T'. H « >-<1 A ~Z. r-O >: UJ -Hl 07 iJo il II ii <r >~i _U. Q > UJUJlü U- U-j\) n —« » CO UJ u O Q C) IU'X L \JL u -«—<HM a li o. u cr.rj> w J li « O < f0' <\i O u u u U < ro O OLL- JT V) * • « Q .J .J o o O a u -J «JX -J:5 13 —«(M■"0 -4 O D X X X < < o o O o D X X X < <i11 •< /. u K» _J > H* H h* h*r- J > h*

< • w W *-< l:J 73 O VJ UJ:.M!|J CO Oa < < < rn u ‘ jp (/) h* >: X X 3? H

a-jaI j J U JO oO Da a:

>- uj .Jt j 3f 5 :X 3 3l i J -c z

-87-

.1 >4 ) J •o N 0 o > 7» :d '0 d .-4N ro 0 o o 0* o O 0 •a N (0 o 07 n fj : -4 O o > o o o <1 •o 0 f) O tf .0 O r> 0 & o irtN o o '.0 rn o <r •» O O t0 O o N J o■ « • • 1 « • « • • • * • • t • • • • • • • * « • « • 4 • • « • • • • • • * • • • «— 3 * o o o O o o .0 o 'J o o o rg O rs N o o o <? •oO i) o O o o l\4 .> O N o o o •r'0 o./).\J -« r*- O *0 n >3 o in -» ■-0N s •tfH <0 "*)•0 o ■0 ' N N <o3 >r J1' Cvi •o O' o O o N 0 & •s. ■3 o »-4s> a O N '0 N 0 O i0 04 -4 N -4 -* -» -* *■4 *-4

H II II I II II II M II II II II II II il II II II li II Jl II II II II II II II U II II II It n It II II II II II It II (I

S? cQ Cl »J 'X) rvj 'O <T <\J <£> CJ 0<J ■0 CO N vQ <0 ÍM o CO CNJ yO <v c\l <0 <r C0 'M •0 <* '■X) vT ■0 0J- - -• -* -• 4 •M -* H — •*„4 r\J ‘M *\J CM D n *0 n ■} st VÍ ■0 <0 S) tO VÜ -0 0 o N N N N ■0 03 (0 -o í> O' •> o o o o

r*«- - w w w w ■w w *w» W. w w —» w sy< <í • ( < < •t < < ' í < < < . *x < < < < < «f < < < < < < < < «í < < < «t< < •t < «< < •t < < ■<

O — N r) N .0 O o Jí O VJ u) O N /*) '.0o D u>0'O sU J Nrr ;5 ' M‘ r o “5 O fO 'JNo <•> N O <D ro 0 o N •4-<*>Ò o ro ,-y,O o N 0 o o 'O•*0 ■Y)o D m O o o O« • * • « « » • • • • • • • • » « • * • * • • « • « • • * » • • * » • t • • • » * • • * • • • • • • • t •D O ~ o o O o ► 4N S O o O o •t o O 0* ■o o o o UÎO rjO o N N O O o o vf .-0o o 0 o O o O O O o o s O Ors rf) '0 *0 N r* O <r OJ to •o a (J •*4 ■O N N 4 »•4n í*) 0 o lí) -« N N■r\‘M

C“- tNj•'i 0 0 J»H CO 0»H o»4N 0 C7* fv •o O 05 0 o N ■0 > N 0 0

• j It 1 • II II ’I P II 'I il tl II II II II II II If II ir «1 h II 11 li ll II II II II li II II II li II II It II tt II II II II II II II II li II•' -* *•> -•% •"N »-S "N /-~L. <—N •«s *-* •'S <-» "S <*S 'S '■'* “S •-> S 'S •■s

,*v. .•4 . T» ■7 r- -4 u”\ / *\ I') rs w* J> f> r>- —t to /v*' »•) ÍS. r-4 lí? •j* i’ J h> *■4 ui L»* f») rs ir\ n r*. r-4 ií) O' N *4 ■J) v.f' í*? N f-4 U'> r*- ,4 — *•4 -* H 4 H H 4 *“* ,-4 ►H i-t rH ••4 -*

•-4 -4 .-4 «4 - j OJ < VÎ r.í ro I’ » ■'} <T <f •<T in m in ,’J> irv '0 -0 0 •0 O N N N a) <T) f0 CO O' (.n t7> o O O o o •H r-4>-4 »4 »4 f* r-4 -H »-4

w w w w w. w ■«-w •w vV •v>w ‘ w w w w» w w *-> 'w_< w> *w/ sw *- •w' N- •»«» *-> *-* —* W wr- •í ■X < < •t •-Í •í < < < *■( < < < < < < < < «í < < < < < < < < •í < < < < < < < í < < < < < < < *í •X <

■s. O .*3» :r> N IO N u) o O o J* o C\) 0 n íO O O O o i0 o'A .r •- o ,-V v7 •) T o o o o O o I“) o p- vU o <r n f*> O fs <r w O o n 'O ij» o Í ‘J 10 fs. O O :o '0 n o O -7 it) o

# , , , » t , » • • « • • • * • • • « « • é • « • • • 1 • ■ • • • • • • • • • • • • • • • * • •<•. *..> > 1 ’ '-> -1 i.rt -J o ,-4 o o o o o o fs O o o O <T M) o ;) C5 o o U) o O o r r» o o t.D i*í O O \o o o o o w

1" o n '.O >•3 U) rs N o •í* r-4 •Al vü o CJ U) 'U r- N ■T «"1 f') tn o o m ..4fS. Z' .4 j.i 'O fs. 'L> (d UJ sU -4 UJ •y u> o I' <r «VI 0) V ► 4 10 ViJ rs U) u* p»

-4 < J -4 •"1 •~1 'H >-4 *■4 «~4

II ,1 II II il II li 11 11 il II 11 II li 11 11 11 11 11 II M 11 II II II II Ii n li II il II II 11 li II li li ii li il il ii II II II II-•« ■> r~* r~* /-« —» -*» O /-* •-> ,-N '■> •-> <<-» <-» —» •**»

j .} t* ■o M •0 o <r ÍM vÜ O >4' ro rg 0 o <í 04 ■0 o "J- C0 OJ O o 'T CM s O <T CO O o '■t 03 Í'J O O *J '•4 o O.•4 >-4 1—4 ,~é *-4 ,-4 *-* .*4 --4 r-4 r-4 *-4 »-4 v*4 >4 v-4 •-4 *-4 .-4 •~4 •-4 *4

» » » • • -« • • m » » » • » * • • « •> * « » » • •> » » • • « « r- « « « » » ». » » #> * * * “rt i •J «'•I ■1 '0 •t •*t vj-'r <♦ Ifi >/\ uO '0 lA •0 ■0 o '0 >0 N N N CO ■t> •-0 '-0 ’0 •lv 1 T* rs O O O O O —< ••<r-4 ~4 •4 •-4 r-4 —4 —<

V-. » w w w w> vJ V w S-» W w w w w y «»«• w V-. w w •-> -«• —» •-- •w-•X <1 •X *c «1 'T <1 1 <L ■a <1 < <1 <1 <1 1 < <1 •X <t <1 <c < < <L •a 'J. ■a. < <1 < -3. <c < < < «.1.

•> ' \ ■) O J 0 ■3 r» •*> :.p ■rt ' J o f^ 0 r s •o r% •.'J o fn O "■J *>3 0 ~4 N o *> •í) •»» A or - j o J ' - » J . í r - <r ••j . ‘ I . 1 v j 1'- t.3 O ^4 n . 1' iO ' -w< V ' n |S . u sJT UJ <■) '•J f s < r v*J O o 1 u u> f s -u u • ) '*)

• • • • ■ • t • • • • • ♦ • • a 0 • • • • • » « • • • • • « « • t « • • « ( 0 • * • * • • • • 9 • * « * •

: ) j . ) ■' > J •ï ■) ) r-4 J ' O s.) O -4 W) O \4 O H-) N r-.O o •J* O O O ■0 C5 O ■D o " J o o r s r^ O o O ■í ' ) *-> 0 : . í C.)

O - v . r --4 ) O 4 0 J n 4 -4 .*■) .'S N . i - * u ’ 0 0 a '■1 A .-4 0 N N -4 o 0 0* 1 *5 ) ) "5 1 •) t N '4 “1.J •h -4 0 0 0 o rs. ,0 ■t ?» r». co 0 —4 •o 0 ■y r s

■ 4 ■) .4 r-4 s) «•4 >4 ••4 •i r-4 r< •1 r-4

tl ii ii II II II ii M II ii !| M ii II ii II II ii ii h 11 II ii II 11 ti II H II II tl II li ti II ii 11 ii II ii ii II ii 11 II 11 II II*■» *** —» «-* •s.-H í“ » •'S <-» —• «■** <-* «"■* -s —« /-s *"» —» -*• »■s

-4 ■:í n rs U■) i/1 rs vO rs. »-4 IO n s *-4 tn O ' 10 N -4 U) N .-4 U) n fs. -4 in n rv .-4 in r) N »“4 m O-*4 r4 ri r-4 w H 1-4 ^4 »-« r-4 •4 f4 r 4 »•4 r*4

* » • 4> • * * * * » • * • •> • • » " * » » » ► • • •> • » *» » • » * « • * » » » » I» « • • • * «r v ^4 <AJ ro n '0 r> ‘ í - <í iD :n to in Ui O o • o •0 ■0 N rs N fs rs ro ro *0 to a j 1J*l cn O o o O O .4 -4 r4

<. -T -I < <x < <t «r <t -t -t • ( < .1 't -í < •* *t <í <t -í <í < < « < < -i < < < « , < < *t < •( <t < <í < < < < < < < « < < <t <

-88-

o 0 m O o■)•> o *5 O O o o Z). .> J J o o o o *> o• • 0 • • • ■ « • • • • • » • « • • • • «)O o O •*VJ O o o D O "3 o o O •J o o oJ V *-4 N OJ N. •0 0 o

II !l II II II h II n li II li II II II II II ■ h h ti II tlh —» *-» "S «•s «-> <-* **»

<r .0 VÍ/ CJ 0 J V'J <T (M '0 <r <0 CJ ò ■t co •o ■tf- *-* H — -♦ .4

yj "vi *0 0 »0 n <T * • í Ti o •r> -0 «0 ■o ■0 N— —< ~4 -4 ,-i —c •4 - i -4 -« •"4 -4 -4w w w w W «m. w w v-»< • í •-t < • ( «t < « <X •-< < <í <t * << < < < « <

•W .'J J :0 o/s *.* w •> o '0 '0 o o o '-0 o o o o J* o .o o o o o o o aa • • • • • » • * • • • • • • « I « • • « • » • ••o o 3 O O o o o o N o o o Q o o o o o '0 o o o o.-4rj o o •*» f s . 10•1 0 s. 0 s o <0

Il II li H II il II II II II II II II 1! il li 11 II II tl II h II II 11 II*•«< #-* —* »-<* *-» *-s —» -H

rv. r-. l* í r^ r-* :,0 V ' r») N f-» ;n r i p*. r-‘ 'D fh r ) r s \r\ •J* n.•« —< r-* f i w~4 ■—1

» • « « » » • A • » • • • • • • » • » » * • • m » »'\1 r j ■'J - J ' J 1*1 •'1 1") •'1 •) <í T •t <r U) >n -0 0 \n u o 0 VÜ

— w w »- w w W S_, w w w w

■t < < •-C •c •í ■X •X 'í <t < < < < < < < < < < < < < < 4

N r <•) 'S ■'> O -S *oÜ o T> O ■')ol*>o o o vO•y o O o o m

0'O o o <5* * * * « • « • • • • • • • » « • • • • « • • •rs ( 3 d O -f •*) O CJ o <} o o O o o o O o o of>. N»o ; ■..» '••J •v>

0 oJ fs

N.•A3

Il II • t M .! 51 !l II 11 li l| II II ti li II II !t il II II li II II it M—N » • ■* —» —> >■> *> —» —> >-T. »-*» ••"*' J 'W > r 't J • j O 'T.' ••J a •4- f.J ■O O t :ü r j O Nj- " j r-j

. 4 —» ..H •-* » « —* —* •■H r-< »•4 —4 »-H .■4• » • * * • • » « * « » •• * • • » * » « « « • P »

•' i • . 1 :• ; S+ .♦ -’í T' ’) J -) Ul D O •0. . . »-1 ~-4 r-. >■4 —* r"4 r 4 .•■4 —4 r-1 *-« -4

w : + w «— w - - W *«* W V<- ■w» w w

* i ' I • ; * i »J. •4. <; <1 • i ' j n <1. •a •% •a < <1 <1 »-t < <k

,i ,s. •1 5 J *>,) *r ' i -J O /iy O ‘J O u o O o i*» o o « J •o o o O» * • • « • • • • • • • • * * » 4 « • t • « • • •j > :> 3 > *"i j O J •> .í Î 'O .3 J J o o 'M o o O -J•» ; . r-* ; 0 O•- *) *1 rs 0 rs

II ll II >1 II i| II II II M II II II 11 II ti II II II II II II II II ll II II-— —* —» •-* •*• —* —«

r-. l.) 1’ í ~4 S.« f') r s <-4 J ) " ) N •H m •T' N l.J CJ* I’ > f . ~4—í .-4 *— f~* f4 rH r-4 **

» • * » * * » » •• ► ♦ * » » « r » » » » • » » »,-4 o ; r** " J rv "7 :*) r) .r -r -v» 'S) n ’.0 Ul uo '•O O O s-4 .-4 •-4 —4 —4 •-* •-» —< —4 —• -« —4 •-4 ^4 •-4 .-4 »* ■-4 -■4

--- w» — •w w S.4 w — W W w •w- v- w --ê V*< < < < < 'í < < < < < < < < < < < <í 4 < < < < < < <

o O O O O O > o O O• • • * • « • • * • • •

o o O Q O O > o o o

O O ’ o O rg ■0 Oo o o o :0 o .n />• • • • « 4 • •

u li II It í! tl II II II M II o -0 o •*g N >•'S•'•X »> "S «’S «-> «—» H o o r í o r>ao o •sf CO OJ CJ vO •n <r<\J & 'T (M o fs

•+ >4 <-4-4 rs .0 0 O 0 M f-_« r> —* n O •'0 />N N N CO <o ï> ro o tf» OD o N n 0 w N»*4 *-* #*4H r-4 -• -4 •■4 ï) o V>J 'O ■S) ■ 0

w w w w <w* w O r. '0 O'< <. < < < < < < < < < 'í' ‘1TO og

11 H II ii ii II 11 II»-% —» »*>

.0 0 •j .g -úO O o o O o o o O o o O O O • -í r-4f-4• • • • • • * • t * • • • • *-*w w w Wo O o o o o o o o o o o o o II) f!D D tD u •J u u

O O O o a J) o -r c0o O O o <VJ Jl r» y>• • • « • « • • •10 o OJ V* 'O O 0) •t0 o m -J fs (s o «0•—4 '7» fs MI ií> cg o 'TJ

tl 11 tl II II II II II II II II íl 1! h- O •t 0\) 'VJ -4 fs "1 ‘U—» *-* —» «-• — •O tffs o o r) *-4|S rj\ lr) fs •-4U) •3 ps t!)O' <r o iy f l 'A <r <r ■U4 »•* r4 <4 >~4-4 **4 m o w D sT U) •T>r n* » » » » • • • » * • * » ~-4 aj.•:/ O •Ofs s N N r0 ■T3 10..aj c O a> r) fr)'.'J

W w V-«t < < < < < •'t < •4:< <■ < 'Ç <II il 11 M II ii II il ii.*>n N t4 i.O 50 s '.0»4 •4»>4 f-4 -4■—r w w s« wO :q «0U) nrC3 u lw>u

O o O O »’Í O o o o o o O o o« » » • • • • • • • • • • •O o O O O o o o o Ci o o

o

o O o o O Q •t0) -"go O o o O N .-4* * • • • • • • •o <r o '0 '.n ;0 T)N o '.T' '0 -) «N .-4fs U) r 4C3 rg •0 O 10 rg '.'j

n •0 ÍD *■') o •r -•4»7V '? CJ o :A OII II ll II II II II II II II II II 11 II N Vv 4 N •7 •:0i.r1 //“» —» »■*> »-> «“S <—» •J-'o J> NvC o ví- .■ncg O o nT a) 'O O VÎ m f) rg«-4»4 r-4 «-4 —4t-4*-4r « • r. » » » • V • • •N N N fs 'O ■fi CO s> O'—1 -< r-4r4 .-4 .-4 —« r*4—* -4 *-4 »•« -4 II ii II 11 ii II II ll IIw w w •— W w w •** w W —*«•4 <1 <x. <1. <4.<1. <1 CL <k 'í.■a ».M o O sí’ CJJ •uO

—< r-. '**w s_»aj •~ VJ •J ’J '■J u

O Oo SÍ O o O o o O «*) o ü o O• » 0 • • 9 • • « • • • 1 •o O O o ') *>o O o O ■D o O o o • t '0 ■0

. ) .J o sJ -J »4 .•3 00 0 « • « • « • • » •

• g O 0 0 * .1 • *4fs ■4 n > ’0 N .1 ’ )• xl ■o ■>3 j /> •1-4 >o J- s. —4 !í> -) •>\ •0oa* •i M .*» K. o=a . J:o t ís r-4 1 —4N O' o C-i <t 1? * •*•') (;* 0 ■J 'H•t n f0 n CJ

II li ii II II II II II II 'II II II II II*** -s <-» <-* •*> «•*» 1

in N IT» U' r> N -4 uo O' r>•-4 -4 4-» »-4 »-4 II ll ii ll M II II II II* * » • * » » I» ♦ • * » * pi »-NN N S r> CO cn •0 '“Ï3 O) y*- O' :* cr» «-4 ui ro fs Ui V»’ f1-)»■4 —t •—4 r* *-4 -4 ■-"4 4 •~4 •-4 r4 —• •—4 ••4s-4w w ■w S-* *-* — W W w w w w vw

< < << < < < < < < < < < ro rQ fD « U O tj

-89-

vn ;0 o CO i/> vT l/) 1.0 CO u0 00 ü') /> 0 ui vO l/>> ;> > > > > > ,> > > > > > > > > >O - o O O o a .O O a O a a Q O O

i 1 í I1 J I « i < 1 1 \ 1 í 1 1 t

.'J J íjl a o c; J o (•■ O o a O o o O D oJL ( j :j o o u o CJ Í.J Q LJ Q o C.) u i .) CJ a íjO . »~* —< ►-« •-H —< *-< 1—< M ►-« »-1 *-* ►•« w »-4.J r. r: X X r z X J_ X X X X X X X X X X■t » j J ,1 .j j -J J •J J j .J j J •J ...* . i,» . j . J » j o .. J o o • V u ■u \j u u u V.J

.j J- >-> s> »J J j 'J.0 •) "» ,■) vO ■o ,•) ■n (0 0 0 n .0 íO -*) J) 0

.j -V J -J ji ■J J ■J ' J LLf J d ■J :u u./ •J

O j J J J .j J) :d 3 J .■) o •.5 J j >J.1 t í í í < t < c •í •< •t í í ■t < -•í t •£í ■> o ■•) ,A ■> *> 0 0 0 0 /> 0 . 0 0 n ic X • ' í r. r* Y Y V Y r: y. If V t: í •ff

Vf j * ‘ 1 •j '•1 J •f .1 •'J j •f 1 : j "I • j ‘•í fij "1• 1 • ! j N *N 'x *N > *-» *> > -■> “> N > > >_J t.; a V. rc r* z zr y n z VL z z z\ z. 1 K« i-*-« 1-1 —» >■■4 •X •i «h >H M <-A ta« i«* »•Hw.. > U* '•j '.:.J u .'aI u UJ LJ '.U LL. UJ ilj LJ :u UJ UJ UJ UJ'0 u o O rí O. O rs n 0 r.-j '0 o o o

a x') o Ü •J o a o o O O O Q 'J o O □ '.•) o o oo f 5 f ■) o a t j o Li '•) o O C2 u o o o o n ou u o O O G u u Cl □ u o. U O fj u CJ o CJ o CJ

J.J t- >- )*-• >- >- >— h~ »- h* b- ►-* í- f— H* >-UJ Cí •;J \t *.J LJ •.j tu •J L’. ' ■ J lli IJ Ui'*!U I.J hl '\J 'J LL! m•>: n. ï > A. >: r. r. y_ 3T ■jr V X V 2t X X

O *0n r-j ok n w s-« — m -3

-0 '-0 'S\03 On »T . ' í r-o r o iw

X 10 o CJ --tI L : o n u '» < ir> ,r> >r c/*i.i 5) n <r Is

o oO oo oo oo os-> O

o o o oO O 3 '5O O O OO O oo o o oO O o

o o oo o :>o o oO oO O o o

o o o oO O O 7>

o o o oo

o o o o o o o o o oo oO CJ

£\J O

ir> mw o

O c/. su fvJ OC D » 'O ' U O

.3 r j -g .r •> -* :> <ru r« ■j f a> -j; >u o.J cr V;j j* o

O O o oo o o o

• • » *O :f CVJ Ou) o u\ olu I*) f'- <\)N o v r

<1 )

o*

.-4 ■Kj -J -4

-3 -T • ) ') :0 . >

o o

o O o oO ÏJ ' J oo o o oo o o o

• • • •

iM o CO OU' '} - u ; r-cn uj m• 0 t f . 0 <\i— .-J -o *f- •-« U'n <r <r j

u*í O' if) uQU H H « .

3 K X K . Jn

to

>* n irt 'ü N ií» o -4 w n <t to o N cc o] *| rj nj nj oo r>) ro ■•) .n n r) *> X X X X X X X X X X X X X X X X VA

LO«

02 Tò

í-üCí

-StíS

J *40^97

-90-

Vf

rvio

o O

h li li

i<) I') '•»r * *»-* r\| "Î

« ' í • (

O rt O Ü » O

r) OO

Osü•wO'-o

N

II10

vO

OQ•

CO<rof\lo«oN«O

lin

roo

&Q«rL> C* o 11! <1 II f’-) 'í '0 0 ro 1-> —» z -A o 1

*'•1 N •-4 U* <s o 1'■:) —i o 1* • •> ■ 10 10 ir> U) O) o t

> > -J X N Âí CO o 1II II X 3 UJ O 4 CU LO 1w •••** ■-» U -J O M 1

<T. CM IVÍ -4 o o 1 t 1 1 11 !•) N 0' -4 1 1a « • • • V) . 1 • • 0 • </> 1

w -- ,7» O 4- < a o U <0 •0 m •.n "J —• r> o o u o u tj > <T •T UJ V' UJ 1. ) </>'O o < ■-» w —• o n tr> r- < 1.

I”- <o uo N > X X X Is- cc 0J u > \("5 » j • H •-U vf tn J J J “) ■>) <T 0 1

U' wJ ' OJ r- u vj u ai UJ '•/ h* 1,) * » * kJ <-* «U ü/ ■O•J U V KJ 'ít U> 1.1 O o r* - J O f* u vO Î.0 J) r** Ixi O ■O j. 1- J O •J :3 .J r-«.3 J j J J ”J •J .■4 •H 1) ■) • • 7C N N ' f> r-4 rv O s> .0 n a •X) 'A 1

0 ■X :c \| M ct Uj < •t < fvj a 1.4 ' » » :o :\l 1 O n f) 1 o Ir ") 1 n u X y 'ií X ■j 1t 1 J O *x <c «J •j j ilJ < 1• Y W í NI J J ■“•V "> .1 V 1

O a? .J < tu a Z z < N W 11 n 0J a v. h~ 1 —<—4 ►-« z \- 1

a O jr 1 X «~4 UJ M <Si lu ; 1U li M !| »-• a. Q > Uj u lü u. Ci 1 1-1 'j O O •—* UJ o o Q o l'J 1a Ifc O .»4 *■# u tx Q u rt O 1,_ : ! li li n *\ fO _« 'Û O o o U o < i*) •-4 O O IW > co * • n u -J .J t) o Q u c/ -J -J IX S 1) u •-* CM H D D X X X < «t o u O o D X X X < < 11 :J u *-> J > H» f- K* K h- -J > h» 1

< w >-* ■w* w UJ O O u.l Ui UJ UJ a O 1o < •f •c no u s O >* 2 2 X 2 Kf) H 1

‘to

EX

5M

PL

0

N.

<♦

NU

.vtP

O

OL

VA

ríI

AV

ilS

-91-

n r- ^ **t - N . D \ í o

j O O lO oI n - O rvj

í *«•

—4 oin o• •

II 11 II n o >-** —* N ro

' r •T •* -« NO» * • » *1

■’) •n •0 1w

« < <t

II II*** *»>

'•J r*< tfo • f0 O o• • • « *««•>o "0 o o 05 uw

il

/■oo<f

’ 1 1’ II II li II O*tn

*3 ■n i’ J I*» fM 1

. . • • «

*'■) '•T 'Si M3

w w< < < < < <

- N “J cj r\l in r\j■0 O o o •AJ N m O• t • « • » * • • • • •u > ~ *r ? O O O tv O■■■) lT> 1 O (M

I I CO 'O‘0 1.0 N Kro ro» •:0 MO íA

L T NO -«<\J 9>ry -4*{’ {< ;l il II u ;{ li li 11 1 iAO ' *O C'J•0f j O N v0

. - . . . • . » » • . l/)(/)i/></)'/>•J)f"i'í •JU) 0 V.0 > > > > > > XH H M H a O Q f)O o u— — **» —»— w —> - -*•J. ;•t «1 «4. u < «Nl•ü iM <ü 1 1 1 1 I I I IXUÏ 1W w — < o O O O O o </)IA J0.) U VJ a a LJ O Cio u >< »4 *H*-)>~4>-> o> X jIX X X XJ *) ?*•H ■■* o 0 »-I J J J J -J CJJ' 3 • r o '.j o 1- u»u 1J w \.J o C3* • • • ♦ • • • '« « • • < «.V-v o U— )• 1 .J />■L)o o o J O i.'l•r r> o ‘X, V)u> .1 .0Ul h*t■T í t :) J jv •(.j J ui J J uJ■;j SJf . I « * • • h «£N •j •:) o •-* v7 3 O D J J -■3'J 4 n * u r% <r < < '{ 'X-* -o o --* 0■ 1 0 1 0 •*> 1-o.o J•J X K 'f. V Tít X H *< LU "J•J 1:Ü••I’•J"J’. 1 •V ..J > % > > > -Jt _J O LJ a *7£ ■7 n <• a •th- 1 ►_iH4»4 « *•4 2.5 '•JM . >A »-4II II II II II II :l II li II II > IÜUJ(XIaiLüIjJ 0-— — — ■"> • a .JLU O 'JO Q O n O— ■l'i .—4 ->•U) »“* U) uO m • ü O oII 11 h - h o O O o O O o o <y~» a J o n o a o n O ’ u— <v \ rj * Uf O SÛ <r) o < o o o o G o Q Dj- K ►-H p H I-w -1«*rw w —* w *■*> —»—« W w iij CJ UI '.:Jti ;M Ml’Ü !Ü G•f < <í< • f <f < <r< < < < • cnro u u ï X 2£2 jr y X £

O »* N.r- ro VO' 'M o j

- - . N Oo oj <rO f j !.■) S<J\ iA *-4 0*1r*H N '.1) : 0r- f!) o Nn U) -u(\j r> NN i n 0 ) <jj

U"\ O liT..g. r , r-«<r u» u) i?

o oj *h n o o.

Ö CÚ y l O M - í

V w y y y V

ClVALOR

DE 2

< c 1 5 41

.922Ç2Ï6963

09

Nf'

.L 'r-

-92-

r-t D 'j -•*N. o s A Sw > .0 0 .> 0 o o N O '•o.0 rn o $ r> 0 u*».V.o o 0 o •Í -Í 0 'J•Jl 0 T' K N >r >•'O jti*■« O vj s. N. J' O O <7<T\ .'0N ♦H fs AJ 0 'M 'Ò N. O' N ■4j *VJ<0 0 o -r 0 ■J.0o .0 0 N. «A 0 0• » • 9 • • • • * • • • • • • • • • * » • 9 • • « • • • • » • • • • • • • • » « » • t « Q • •o o ■J 0 o o O o o o o o O o O o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o o o O J O O o o

!! II II II II 11 II H n (1 II II II II il (t tl II II h n tl il II II n îl II II il il n il n n H II M îl 11 n 11 II ti II II il.-% —% -> —* *“» *-* —» •—» <-* »-» **-* —» r» ••N —• *-» r-% t-* -% «-H —«

«> tM ' J O s i cy -? <U O o C0 t\J '0 fM ■O o r ;o f . j uo CM •0 O <s •M v r -.y Oj 0 O VÍ •t •0 iM o o «-y- M ro ■"ï •H i\) A l N .”0 H tM AJ <M '0 <\l " J OJ r0 -« C-J •■‘J •'J fO '.•'J r i 0J

*-* - -*h - <M N iM SI CM ÍM »4 f0 !*) <0 :o ro o .0 s-r ■3" <î <r «t ' t ’•S) ;n \i\ .0 »0 ■S\ \n o o r> 0 0 ■0 >0

< < < < < < < •< < « < <t < < < < < < < < < < < < < < < « < it ■Jy •J-\ O o UY o j* «r X; M 0 oirs N *0 N ro H o j* ■G O o fM CM CM N •> 0 A N O CM .■0 O <t N s o <Û 05 ii N iO t A «J* 'O o irt

• • • • * « • • • • • • * • • « • « * • ■ • « • « « t • • « « • ■ * • • • • • • * » * » • • • •O o o O o O o O o O O o o o O O O O O O O o O O o O o O o o o o o o O O o o O a o O o o o o o

II II II M II II II II II 11 M II II H II II n H il n n n II H il H .n II M !t il M M II II m II M n II il II il H II II II«-* «• -*> *-> <«* >-* r-> /> •'■I —» *"> ■<—» •**> —« a <—• -N .-% '■>» —, ■->

1') N — .0 O' (•> N -H C I ^- i-A O n f“. n r •o e’' r> r- H n r- rH in /„n N •"ï N \n i’iN •0 r- «H U) f*--• CM *M N n m CM o-j r> •-Í - '•'J 'O - <'i 01 ;o CM C'i

fV CM CNJ N 0J n n 10 n n Î0 n n ■'■t «r if <t < î •-r < í «A X) ;o IA 10 i0 A »/> o '0 'O O •o V O

< < < < < < < < < 4 < < < < < < < < < < < < < < < < < < < « < < < < < < < < < < < < < <

c g ( 0 • 0 0 f0 M n o ' 0 >0 t.0 <0 C'J r » N n o H r-i o CM 0 if CO N o N ■?> O N Ci) ' t • 0 •0 N r<4 •.0 C3 O •J-v r - N CMfU y' o r - •Ü r ) <7 w u\ h - •o u n U) lU co o H o i n U i ’■X) o o CM f S - « U ) • T U ) ! 0 « ) ü » ^7 1S) iA O• ■ • * • » 9 • e • • • « « • • • • • • • • • • • » • « * • • • • « • • • • • t « • » • • g •

o rj tj C.) o O o O o o c> o o O o o o o o o o C J o o C J o o Ú O <3 O o o O o O r . ; Q O C J O '.3 O CJ>

II II Il !l II II H H II Il II II II II II I l ‘' H n II II II H II II II II II II II i l n Il Il il H II II il 11 1! M II II Il II II 1!--. —» •-S —« —• —» -** »-» ^ N -H -X. —, r-N »-S /> .»■■» «-■* —s —» ä -V

e J .'i sT a 0 n '•1 o O r '0 rg -0 O r..< 0 o sf ■T> "M ü o f'4 •■o O sf ce r j » j O CM 0 O* ■r CM ■o O (M o c? a; (M ■0•-* Y-4 tvj *•) —« <-• CM r j n; . *■< .-H C-J ;o -H »-< *-* M -) r-« (M »'si r» >~4 r-4 r-4 CM• * ► * ► + * •> • » * » • » » • » » » • « * « » « • » m • » ,, « • » ■k « • • « » « • K «■ • « »

— -* ■'J CM '•J ■V C') Cv r j n •o .0 (O O i0 10 '0 iî- <t «T <f ■j vr ■'Í lA to A n T) 10 ï ,■> ■0 o O 0 ■o C) 0

w s.-

*4. '1 -t <K <1 <1 <1 <v < <1 «T <1 n »1 «t <L < • l <; <J. «a « ï «l «t •a ' t ' t ♦t <3 *4. < •A

*r rf ) •0 h. 0 N. *> — fs. 'A <o .0 .M fs. M <r o •.A T) <r 'A 0 _ ’-4 fs. f •M N- S. 'r* N. T» • c-i< ) O '•i l J O r- •T O vT •a O •M 'Ü o M •i '3 ü* o < J O eu ■ M *-« u> o •J 1 Is- U >/ t) «AJ N O t j 'I o U'• * • • • « * • • » 9 • « * « • • • • « t • « • « • • • « « • « • » • • • • » • • * « » • «O o si ■J O ■.) J3 J O ‘ J O O •o o o O 3 v3 O o o ■J O o O a O O ■J o O O O o ■o o O O 3 O o o

ao

O . ua

II II II II il II II II II II 11 II n n II II II II il u II n II 'Il II II II II II II n II II u II 11 n II <11 m ,11 II (1 II II II II•-» •*> «*■•» •-» <-* **» »-* •*> /-* —. «“N «-> » .

—< UÍ 0 ' ro N U) O - * L0 10 fs. 10 (7* L*) n N —t ü » — Ul O' fO N t : j O' «H U) ü* F’ )' n ~4 Ul </» r-4 •/) CT\ n S r-4 U)—« CM Csl »NJ r-t r-1 CM CM CM r-4 ■>4 C4 r j CM r-4 C-J CsJ N —4 CM r j ~4 ''•i <N

• * * • » «• » - « » • » * • » * • • » * ► 9- » » • ■> ► » * • » ». * * • • • » ► « *• » » • • • •*■* -4 ••H r j M f'J Csl 1M CM OJ 0J r0 n n n n ro n > r î? ' r ■f •T ir> U) 10 in if ) tn VA O ■J •0 NÛ v£> O vi)

< < < < < < < «T •X - r <r < < < < < < r< < < » r < sT «t < << < << < < < < < < vÇ ' t < < • Í <

-93-

o t -4 0 '•1 r4 -4 * o o ■o > 0 .-M T) K. CM 0 o ~4 <M .;■)O :m r4 •o o) •0 .\J 0 -4 N •* •/ o <t N _ o V> <M «y * o o o 'jyO o o •;n N -I TJ 0 Jt, ‘.0 "4 !'■> AJ ■J) o N <\] o n N -3 r-4 «-«.n * ’’4 Nf > J) ■* ■T o >\ Q '0 'J r '.s o o •o • 4 .0 ‘0• • • • • • « • • » • • • ♦ • • * • * • • t • « * • « • « * « • • ♦ • « « » * « • % • • • • • • • • » » • *o O O o o o O O O o o o o O o o o O o o o o O O O o o o o o o O D o o O o o Q O o O o O o o o o o o o

II tl 1< Jl M li H II II II ti II II II II >1 II II II II II tl II II II tl II II II II II H II II M II II M II II II II II II II II li II 11 il tl It H II<-* 'S —» ■'”* *”* *** r-fc '■*» •-* »■> «-» »-» •-S ■*% /<« z~.

y 0 o O í0 CM cy w o O <t 10 oj ■tf X» <M '0 o vO CM sf 03 o Í\J <r 0 ) CM O Q >í“ 00 CU (M •u O <r í0 •*M *r •0 (M O o-• — 'J 'M r\j n ''J i-vj f\l *0 -4 N í\l ':■) 0J (VI .'J 50 CM CM 'M '0 'M r.j •'j •o - - <M .”M

f- N N s N N N TO <X> d3 CO i0 -ü .0 'JV <> O' i> O C> O O o o o O o fM .M '.M Oi l '■‘1 ■M r\j • o ■f) y) '0# 4 •-< <-« «—* t~4 H •-* «-* —« -»4 rH -4 r< • •i *-4 ^4 r-t —• *-4 rM

w w •w w V-» <«» w •V w w ■K-« S « S/ w w w w w w w v w w w *»< w , ,,r < < < « « t < * í ' í < < <í < < « < < •< < < • í < < < < < < «í -f < < < « < < «f < « •»t < /< *< .< < •X < < 'f < <

J ■r •'♦ o • / ~4 •» .; n .;j 0 N ú n u-) ;> -•> ~4 o <í <r <M O •0 ■í* .-4 n 4) . J JV 0 .0 o ."M o 4*\ N n 3\ o N cM- *■ r; VI •J* -0 o rj -0 N. >] A 0í o 't *> —♦ n N o ■y, o ’n u» o 'Û '.0 *M •* s ■& O 0J r>4 >*■ ri Th c? C0 o O 0• • • • ♦ • • • • • • • • » • • • * • * 1 * • • » • • • '• » » • • « • • • • • • ». • » « • § « • « • • « •5 o o o *»> O o o o •:> o O O o O O O o O O o o o o o o o o O o o o o o o o O o O o o o O o O O o C> o o o O .*5 O

II ‘1 II H II tl II II II li II II If II tl II II II <1 II II II II II II II II II II t! II II II II II II II II l> II II II tl II II II II II II H II 'II II»> -s •-» <-» -* /• »*> < » — N •••% —% •■*» '-*• *"> — » «-» •~* r-«, — « *>* *s ■-S /-* -*• — »r> — rt *> l' 1 r- — • •1 r- .-4 sl r> N f*- —* m r- N IO l-J N. ** /’I U-) C' :») N .<4 r* ^4 !/> 'v' P- l'l fs ♦* 4 ’S) í’>

»« . « ■■■i ■*> .•4 -* r-4 (M OJ i0 *-* -4 OJ — « — w n «•4 CM •M ,-4 H . l V‘{ r> r-i ^4 -■1 CM» « • • * * » * » • • + • • « » * •• * • * • * ► » » m t ♦> 0 » • t «• f> ¥ » » «■ «> «• » » • •> • ►

K. N •v '0 li '0 <0 0) *0 D '0 K.n O' U 4 o O O o o o O o »M »-4 - 1 r-4 »"4 i~* —» OJ f M 04 <v '.'l rj rj n n•M *-i »-« -* *-• r-t ^4 H M r-4 t-4 ^4 ri r-4 H .-4 »-4 —4 .U -4 -4 ^4 r-4 r-4 r-1

w w -w w S*0 V-* w w w w — SJ w w w w <_y .w Vi» w w w w> w w w v . w V <s w '•V w•-C C -4 < •* < < í ■X < ■í 't •4 < <c < < 'C < < •t < <t < 't < *í -Î < < < < •c < <• •c < < •< < < < < < •< <í < < -(

' r. » -« j * -l O -- J» '*1 ■t 01 N O' .f) O' .rs r i íM *o •■0 N O tn O' C«4 N N 'S O CVI <M t-4 10 •> íM í 0\ o -* o o o <0 O' <í N ÍJV••* J 7 O vj r* o -4 r*- 1’) r :*t •-« u) r* »•> O vj **< ‘0 o m r- ÍM IA O o cn iM o o íf) VJ o \u <;> 'T y'

♦ • • r • • « • • • • « • • • * f • • • • • • • « « « 4 • • • • « • » • • • • • • • • « « • t « • « , • « »; -> o ■> o o o (J o o o O o o o o o O o o o o a o u u o o O O o CJ o O o o o o o O o o -í o o o o a CJ O ÇJ

II ii H II II II II tl tl li ;i 11 ;i tl II II II II tl M li 11 II II II II II II tl II II II II II tl II II M ti II II II II II II tf il II- h -*» —* —* —% --> *-» <-N -«•» —» r-* •—» <■•» "■> « ••ti <-> , , —, •-> r-. —» -•>

O O Cn O C0 >M o O o '.r O C4 -0 o <0 o í0 N •Û O fM •o O '0 'M 'U c.> 0) O O <r CO CJ >o O CM 'O o •T V CJ1 j '•) r-4 .•4 t\J fM ') r< .•4 *--< .•M r.J n .-4 '4 ^4 (M rj •‘7 -4 t-4 r-. C4 rvi o «-4 »-4 r\i 'VJ 1') .-4 r-4 —♦(\J• 0 • • » » * * * • * • • •• • + • » « » » * * • » 4» » • • r. •« r * • » » • » • * » 4> » » *> » »

N N :o ■o 0 ’.0 :n '0 o ■TH O' 'J* C' C> a» 'ï o O O O O O o O ^4 r-4 -< »-« r-4 **■4 1*4 ca rg M ri ■:j CM <*•4 f j :o f1) ,0■-4 »-4 rH •-1 r~» •-« r-4 r-4 rH r-4 r-4 .-4 r>4 *-4 H H »4 r*i r-4 »4 .-4 —* f>4 r-4 r i

»— s— — w S-» —» -«* w Vrf- N-» W« w W s~* V-» w w w vo w W W w w ->r> . V s_»*a '1 «1 •a <•4, '-i < <x. ■í. • i < < <1 <1 *; n <4. «i «ï 't <* «4. < <1 <1 «X «1 < < <x <t • t *=!.• < «1 ■0. <

r - ... "> N. *> ')N. -0 ■'í • o r> r 4r-4>T .t ■r ~> .rt M o o ••JN. r • K r>r4 ''jjJ o • > :t '••J*A <r •r J o NJ <r •) o _) í"- *7 ,) -Jf) a) If*- s)>r- v' o 'rul f** o •í) > U -4 jj ■r • >CJ rí iM «j •/ ; jJ r- iM >.g -j vj‘ J• • * ♦ * • • t ■ « « • • 4 • • • • • 1 « « • ♦ • • • • f • • • » « • • » f • • • • « • • « • « • ■ • « •.) -' j J ■J O -5 -> O r> (.3O O J ! > O o •o o o o O J O o o J O O o O o Ü o 3 o o O -5 O o O o o o

h il .1 tl tl II li n tl il II II II II tl II II II II II II II II II II II II II tl II II II II II II tl II II II II II n II II H II II II II II li tl ti—* -*» r-» <> —s —» r*. •~s r*«i •r . r%. t-. r>s 1—. r . »-> os. *-» r-> r-« O« .»-»

V1' ' ) r- f-4 10 r> r-4 0) ■J* 1*1 s —* U) :> r4 IO ■T\ N r-4 t:> •*4 U) O' Hl N r4 »0 r-4 u> IJ' r-4 tr> r-4 10 O' n r-4 ‘.T* r-4 UI k/» r i rs.r- i\4 kNj -4 r4 <y JM CM -4 —* iM CM (M r*4 »•4 (M CM fvl r4 04 CM CsJ • 4 cv OJ r4 1—4 cví• • * * • • * * “ • •* • * * * • • ♦* • * * • • • ► » • » « • m • » •> • • • • « « • • • » • » • «. • » »

r N s» N . f - N r- •'0 CJ T? Cü <t> a? 0 ) CO J ' O O' ij\ ■+?■ O o O O O O P O r-4 r—* »4 r-« r4 •*4 r-4 •-4 cg fM fM C J <\i AJ CM CM i0 n 10 r) n <or-4 r4 -4 r-4 r-4 r4 w* .*4 K4 r-4 *-4 •4 «4 r~» ' r-4 «-* «~4 r*4 r-4 -4 r-4 -4 —4 r4 r-4 r-4 »4 .*4 H

w s - —* *-* w ■*— w w W — m *-* w m ■W« W w 0-4 *— w «. - M >/ *..■» W w W w w.< < < < < < < «í < < <í <t < < < < < < < < «í < < < < «í < < < < «í < < <t < < < < <í < <r < < <c < < < < < < •f < <

{ 13.2

0- 94-

•) o 0 ‘D .'J íO o •0 'O 0 0 o o rvj N N 0 0 O' 0 3 * 'n 00 N 0 *0 T3 ~4 •..o 'O •0 •o o o N N N ~4 'r» K fs f0 7> 7* •n O' ■ t *M •0J' N 'O X) 4- J •0 o M a ) í\l .-4 ro o ro l/> /O 4* <* CA lf\ & N ui ■o ~4 »■M >r r0 N o o CVJ i0 o N M 13 J O fM 0 «0 •0 o .M 15 O' 'J-)

• • • • • • • ■ • • « « • • 4 • • • ♦ « « # t • • • • 0 » « » * • • • » » • • • • » • • • # ' • 9 • • • • • •o O o o o O o o r-4 O O O o o o O o o O o o o o O O o o O o o O ■J o o o o o Q O O O O O o O O O •3 O O o O O O o

li li tt II ii tl II li II II II M li II II li _n II II II II II II li II II II II II M n M II II M II II II li II il II II II 11 II If it II II II II li II**s r-* r-S —* **s —N '•*» -■> •*» •—* •** Í-* *-« "**MJ «\J O o <r «u <r UJ "4 o o *r UJ \M lO cg •J o vf vÜ CM 'T 03 <y O C5 03 h\Í <í <•0 0J sO a <t ro * J ï «0 .'■•J ■o O *r f0 Í'J ■r V 0J •0 D

'0 - -» •M rj AJ '0 ~4 CvJ M TI •N OJ (VJ *> »H CM M N n h .H 'M •* OVJ •\j •M 0 — M

.0 ■r -r -r •* •T <T 0) J) U> </) <;> •n u> •J) •o •u O 0 •0 *0 O N N N N S N N f^ D ;o CO aD CO to 05 * £\ > CA O' o O O o O—4 —» w w —* r~* —* «-* H <-* •-* —♦ —< •*•1 -» r*+ - í .H -* »-4 •-* r+ H - * «-4 'M <\J0Jw w _ s . . W w V-. o w w k.» w w w «y w w w w w w w w W V - w w \-r >-> w< •t •T •t •X < < •* <t '■4. n •< < •í •í *•< <t < <( < ‘í < 'C «t <c < < < < < < < < < < < •í < »í *í < < < < 'X < < st < 'í <

,J .vj 0 .J ,A 0 N O J) o & í\i sl- ;•> sf fs, > N o o *■4 CO co o N N "0 N ■o r4 .“1 rj N O ..0 » 0 J fO N m o •r o }) ■ss N <)■ -< N...o r- 'O m M 1.0 r-i ~t LÛ <r O O A O n <*• o o </ »-4 CO í í O' O <\l c0 .0 íD 10 o <r <± TD o 0 N. S. o CO <T o o r-4 ■Y 0 N ul ÍO• « v « • ♦ • • t • • • • • • « « • • • • • • • ■ • • • • • • • • • • • • • 0 • • • « • • 4 « 4 • 4 « * * «o o o o O o O O o o o O O o O O o o o o o o a O o a O o o O O o o O o o o O o o O O o o O o o o O O O o o

II 11 il H M II li II li II li II II 11 tl II II il 11 II II M II II II it h M II li II II i r li H II II h II II II II II II II II II II II II It II li li II*-% ■n *'» «•■* *•"• <*s •—N ^s o »** —» ■'S *-í «**> • > —•

r ) r - in ■j* ■ ’ > r - ^4 r 1 fV w4 ut O ' r - r-4 •*í n» r-4 O ■JS iv) r - 1.0 CA fs PH 10 N. •-4 \n r ) fS V) N —« fs ri r> rs *■4 ■J) Uv

■J rvj f4 *—4 r-4 '"4 CJ »-4 r~4 *—1 OJ N n »>4 H oH W n •H •h »-4 (M CO «0 ^4 •-4 «H ro w ■0 •-4 r* *■*■ » • # » • •

o •j" •r <r v f >T i/i •i) m •f) -0 •n v0 J.O •o •o •c •0 -O •0 '0 •o h» r * S- f^ rs N N no CO a » -JÜ UJ co n j lU (.p '*\ O 7» •T\ O ' o O O O O—4 _ ^4 -1 ^4 -4 •—4 —• «-4 —« -4 »-4 —4 *•4 '-t **4 f-w -4 •W r-4 -4 -4 <-< -4 a * •-4 W — > ^4 .■4 -4 r~t »-4 (—♦ —4 *■*< .1* r j CVJ 'AJ cvj

w v - w w _ w ■»-> w V* s_» V.« W w <•* «—» «~o «-»• w w w> w w w —' V-»

«í. • ( < <x <t < < < <í < <í < <í < < < < < < « í < < •í { < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <í < < <( < •<

N '•-} ■>. -4 O' íO ai ro ■f O v7» N 0J o ro f'J O ro m l/> •■o 10 o IO r* o N tt ro r- rs fs 0s VÜ O ro CO vO lA -H a> <\J CM (M ro O' 00 L0 .O' O' 1.0 *™4-ô' fs -3- ;•) ,*) V O* V h '•N Ov !A U) O •=r '7 —4 U) •u aj o rs- LD <T *«4 (M <r ■*0 r\ N tf) «í —4 n vG 4J tO H 0*> U* Is« Ul '0 I-) >() «0 U', » • • t • * • • • • • * • • • • » « • • ♦ » p • • • ■ « • • • ■ e • • • # * 9 * • « • • • t » • • • • • •

o c C C u vj o o 'J o Kj O o o O o O o O o o o o o a u o C7 O o o U o O o o o U O O o O O O O o O o o o Í3

II H II II II 11 II II II II M li H II II II II ü II 11 II li II 1! il H II II It tl II II il !! 11 II II II II II li II II II II 11 II II II II h II 11 II II-, ,-s -<> «-H —« »-* -■«. •'-> 'S «-» »■> —» r> *-» —» —\ »•>* <-> '•H

■0 O ‘ ví v> O ■0 M O r>: •:> O C i • 0 O O O] 0 O CO ro o O CM O o <# o i M vO O CVJ O <r CO r j '0 O CO o o <t CO CVJ •o O CM O O <í •o:■! f') .-4 '*0 -4 Cd C\l f ) •-4 v\j co *~*. ^4 0J (0 (0 ** oj ro •’ ) - * tH CJ Cg m '■* .-4

0 ■) - ■t C - *• - <*■ ,r ',0 ,0 •x\ j : •J"; i/í ■SI o ■0 •0 0 o N s rs N N N rs rn '0 rn "0 t0 r.-i CO o o <> 0* <7» o •A O' O o C5 O o

— - -• — -* ^4 - * r-4 -1 r-4 r-4 - • H •* 4-4 - * -*• •“ * -* ■** f“ * ^4 *"* —t ~4 10 <V4 r i Ci

<t < »1 < <1 < « ï < -4 "0 0 N. sT >» 0 T *0 rs *j 0 n ■•onj >J n ~4 o —4 ••4 •f o 0 ;> fs |S 7 rs .-4 li fs t o M 0 > M 0. i ••* > 1". NÍ o r- i'4 J u\ o ■/> fs VJ « J r» uJ -r ‘•í •') . / • M •.r —4 T fs >r o >r y CJ w/ 0 <•1 u ■’1 J» w O —« •■4 sT» • • • • « • • • • • • • • • • • • ■ « * • • • • « • • • • • 1 * • • • • « • • * • * • • » ♦ * * • • ■ • • •

O O U J O r> O O o o O o o O .J<”3 O d ■3 O o O o o o O O :í o o o o O o o O O O O o 00 o «J o o o o

II II II II II n II li II ti H h M II li II li Jl II II II 11 II II II tl II II II li II II II II li II II II if 11 II 11 II II ii II II H H II II il il li II— .—. -N •-» '-«• --s -•» •—• —«. « /-» —V i—. «>» O'. ■>—. —« o«» —« «r% <-*

1,1 U' r-4 •s> vA "} -4 ;0 U) 1 * ïs -4 i;) T-4 a\ O l’i fs r-4 LTV 0\ »-4 •J'V v;>r) N -<m VA «~4u\ 0s«’)fs lí>O' r-4 «n L/*n fs 4-4 it)‘J* irv■jv") fs'■•l »■•J CVJ CO CM --* eo ;o C4 4 (M Cg cg H *-4 CO ig CM »~4 CM tM -4 cg co co 4 •-*• * » 9 - • r » • • • • » * » • 4k » » • » * • * • • » » • * * ► • * • • • * * » * • • «. ► • • » • » • ••o st i/> to 1,0O O O VJ <3 O 'O<0 /s /s r~ N N fs fs Cü 0) CO co C0 CO ro © C7> o U*'ü4a» tf o o o O O O-4 r< -* •- — r~4 .-4 -4 r—4 ~4 — — r4 *-• *•4 ** r-4 -4 *** ■** *-• *-* co Ti cg CM

< < < < •X < < < < < <c < < < < < < < < < < < < < < < < < •t < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < «t < < < <

-95-

rj O o „-4 ••> 3 tf 0 o 0 J' .0 o --T\ t T> 0 0j '.0 n N. OJ *1 J OJ .n tf .-4■y,O N» 7» 03 **>N 04.'JSN4 -J .N. ;>N 0 '4o •> -0 o —« ? ■* r* .o ■M j» 0 o 0 *-• m -4 tf b J N t);o l0 ,0 ■g 0« # • • • « • • « « • • « • * • • • • • • » • • • • • « • » « • • • « • • • • • •o O O o o O o o o O o o o o o o o o o O o o o o o o o o o O o O O o O o O o o

o o o O O O tf:n :n <n o -O «o

!l h il h II '1 II M »1 11 d u II m 11 II II II II II II II II H II H II II II !t II II II u u u 1» n II 11 u * n ' 4" in o <t - ,—» —* o**. «-» «-> <"» «-% »•% —» »** r-> —* <*% <■*» «™» H H H H H ^ n

oj t f M o O tf f'0 fv» t f 0 0J O O • r OJ rg o o • í cO <■ u0 N v0 O <í to rg 05 c\j ■0 o ' f JO rg

' ) :0 -« M •*4 ~4 0 i AJ •O -■ - rM • vl .o - -* M N rg n

r» ■ ’) _ „ „ .-4 ~4 .-4 im -\j 'M (NJ A l ‘ ■J • \J .0 '0 ■ 0 o ’ ) <í <r íT ■i cn ■ n ■n 0 .A :o !Í>

M :g m M ■-J f-i M (M 0J •M *g M •0J •\í rxj rví 'N <\l cg CM cg 0J rg Cvi M OJ f\i C\J •V <\j rM <N 01 CMw s , v_. —y w __ _ m W w w -w w w w •w» w> S-- w >—* w •✓r ■r • í T •T t f *r <f • í <r < .< < < < • í «< < * í < « «X < <í < < < <t < <f « cí < < « <

it h ti h ti li »

t — ) ■> > ,-0 .0 <r 0 r j .\í 0 o J' <t 4) íD ■Û o 03 O <\] ;o o o .'0 .\i C7> •* o 3* l/) 3> N • 0 o ■J■? n j O I '1 -o ■0 .<4 n ‘í u*N o s •w"N o 'O cg 0 cg r í rg —• o N. n ••o in 0 o •0 10 « »•< —< cg

# , « • » » • « • • • » • • ■ • • * • t • • • • » • • • • t ■ * • • • ♦ » « • • » w* V« *«» w w w

:> > 3 o O o o o c.? o O o O o O o o o o o O o o O o o o O O o o O o o o o O o o O o o o in 03 ÜÎ ■í) C!J u

iO T> 0 ’.'■N 'Cl - *r>* r- P- r- r* N >1)

p ) \0 m < f u ) ” N

II u II íi II li II II II 11 il II II II II li , t » 11 u li II II 11 II u il II

•n.

M ti fl u II u II II u u M II :i II II«— <-N rf-s «*% **v *~s -■* •*> •>-» <"■•♦—» <-> <->.o *s *■*»

r*- . « .• > ■;i •_n N ^4 .n :;n r7 h» •-4 h* 10 Is- P ) f s r~* 10 u* l’ J rs r* U) C*' 0- ^4f j •> .-4 r-4 r j i0 ~4 — cg 04 «•4 -< •*4 0J ‘ M n .' -4 -* OJ OJ' ’tn r-4 -4 \M CM r*)» «. « » • » • » «. » 1* • • » » » » » ► » * ► • *• • <* • *• * * » • » » • » • «

u O .-4 *-4 wi t*J C,J 0J '.u <\J OJ CJ, OJ •n 10 ■0 n n n " } < í <r ■t •tf • t t f t f « r tn tr> m 10 !0 L0 10

'■J •*J r j '•J ' ‘ -I CvJ r.) ■g *4 CJ '•g CM •;,j cg OJ >M OJ 0J OJ rg rg A l og 0J cg 0J cg 'M V 0 ] rg OJ CVJ Oi rg 0J cgw v< w *-* w w w ■—* •-* ■*-» *•< *** ■>-' w *-» w s / «X*

< •t •t < < < *í < ‘ t < < < < <t < < < < < < < < < < < < < < < < < ‘ í < < < < < << « t <li 11 II !l II II II

n N -1 n ov n n■-» -4 K'4

•; .H .*> > r> s o o .'0 (0 tn •0 o ro •o N t f in o o •tf to '0 & 0 o tf- o o ’/> tf N CO ip j (0 o ;n .rj■ •■* } ..) o '•> M n N, , r ) ■JU rg r») r) ■V n ií *-4 10 ■0 y» t f O r) <T U) ■u ‘J) fM 10 0J tu n 10 -H 0J» • • « • , « • • • • tf • * • • • • • • • • • • • » • • • • • • * • • • • • • • • • •J i . J o o -* J O o o O o o o O O o o u o o o u o O o Ü O o o o o O o o o o o o u O

O O O O O O . 10O O O O O O t f

• • « • • • •t n N h - . -7» t f , n M^ , 4 « 4 •-* l .')«V

1! 1 !: li :t '1 •1 i| II d II II II II II li !l H :i II II II 11 II II II- 11 11 II M It ti II I! II II li li II M U fl, -•» »•» .-X —» • ■» «-» --N -•* . —» —> —« *-* ->

' 1 ■;, ? J ' ■ü C',( O t f .‘M •ü r> rg \0 O t f o OJ D O cg o O t f •0 CvJ ■•g \0 O t f V CM O oi . 1 .-1 ; * : 4 1' / ^4 —* —< c-g •g n »-4 —• cg 0; D r-( »-4 M •"g ”) -* r-* w4 OJ cg r’’)* « «« * ► • » • « » * » » • * •>. » » • » » » * • » • » » 9 « • • • » ■ • • « •> »

-, - : . . . . . . ... — .-4 ^4 ' : "J '■J r : " j "J M .*0 fo r 110 t’ > n n t f •tf tf tf •tf t f <t 10 •/> o ■.n J) (0 in >o4 1 I > 1 g J • j ■ i ■ g 1 J 0J ■ ‘J < i ■M ; g 0J oi cg C’4 0i CJ CJ r j fM cg CJ *.VJ ig rg ig r.j CJ u II II ií II 11 II

»-* *■** «*n /-*.» 4 « 1 .•» «•l «•1 «a. <T, o ♦a ■X • t < *a < g cg

-■*

Il J f ll 10 a a vlJ U

Ï -H > 1 .r •) •) r •) ■+ j- •g A •> •o •XJ 0 ■O •h M j "i r4 N ■ 0 1- .T» T» *g 0 •i» fT» •:) r> s ■oi , < J .j T - r .-4 KJ .-4 •j O •j >g vj c) J) 'J tf »•j f.J J) l’J • r t'» \sl u .’j sT o >r •tf •o 0J• « • • » > • « • • * « * • • ■ • • f • • • • • • • • • • • • • • • • • t • • • «

i ) .3 3 J O •O O ■J j > o :> o '.3 O O 3 sD O O O o O O O C3 o O J o o ■n .:) •n 0 •a .0'M J . j ~j 'g ' 4 J■) •0 r r- .) N.>•< "* .-4 • -4

11 li M u »1 II II 11 II II 11 II II II II *1 u 11 II II :i II li 11 II II II 11 ti II II II II II u II II 11 II II II II li<--y -— "■* «-* —» ■■> -» *■> •-» »■> «-S •"> •—* «-S •■"<• •—>

■S) L 1 ■_r> r - ■“ « UJ v,;' ^4 ' J ' n r-4 « ) U"\ U» n rv r—4 U) ü» u> LO n N tl) í> l i ) n fv. «4 i n• 4 . i -j cg CJ ■ g r-4 >g 0J • g .4 -4 «M rg CM »-4 rg cg o j ^4 (M IM OJ II II II II II 11 ií tl

» • • » * • • • *• * • » ► * • » • • • •> » • « * * » • * » » * » «* * • » » • « •» » »>O O ■j C-« r-. »-4 »-4 •H -4 ^4 r j rg Oj r j rg OJ OJ n ”0 r ) 1* J n D T l n t f t f t f t f - t t f t f L0 10 10 10 r> 10 u> 10 —* uo (Tn P ) N ^4 W) ^4t ’g r.j •\i C; 'M O.’ r j ( 'J iM CJ f\j : j CM ' 4 ■g rg •?g :-4 r j r i 04 OJ CM 04 rg rg OJ 01 OJ CM rsí 0 J CJ OJ 0J AJ CJ CJ cg og cg »*4 CJ og. , . » » / w w >-< —« w w —* w w w w w w w v > •—> w w w w Sm* W.4 w w w w w w ><• *-» w M w

< < < < • t < < « t < < < < < < * í < < í < • t < < * 4 < < < < < < < < < < «1 < < < < < < < < ÍÜ CD (D 2 ) a ) Tl u

-96-

J rO >0 _4 0 • '1 tf•o ;i\ -'J ) 0 •0

• • « « • • »"0 ■r .0 T ' —4 X) N 4o 'S ' <r r- O .f ) io .1 *•? » ') •%

H II !t H It If tl—> ' > —* •■>

0 O t 0 O J—* «-» f - j -•J ;m . 'O

*w w s-/S.J V j o o • J O

.N. r 1 'j o of* r r~ n o o• « » . • » • •

:•> N n o o CM :0m -< ’ } s i - ■-Ü■M o '0

LP O'7 ■J'■í)r- *0

•í

:i II SI II 11 k II—*—» «•-»N ’S> T» n r-—«—«.* m 0.1*0w V'J J <J ■J o

_ o CO >•) -, o-< •o •f r 0t • » • • • *-•} 5 D r><r *’íw r-! •‘J

r .) .< ') )

W >I V| v-i

N -,O -íj 0

J)

J<

UJo

n

'j r3 < *• I - mN - *

. J O'1 <x0 '0* r' t ; j

UJ UJ IU ,iJ 0 0 ^ 011 li II II II M 11 a <r N <í a) u> CM sí- r*. 4 O' iC n *■« sO s vf N n o c> L0 n CM G O o o Q ;j o o

o 4- tj> vT <r <t U) n <r <í ÜÎ n <T _J •J u u n O r.) f_JU“ * N •n 7* a X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X < < o o o a o O a

t\i -M H -J > >- w H» 1- 1- ►- ►-w *— *— •»- — • ci i. J Cj U.J • J ili i:j Isj u;u u \J u u u X uo W X >: V X X X T

••> - ^rg 0 "■>O O íT»40 N O' T * ' J - <•.a /> JN r-*

•r> -> O •N •'vi T) * n < î st .0 f CO ví ■:D 'J* ,r> •r\ *3 ■J*-4 < r N O O o - T h» r- < í I O 0) '0 sf O' <í m >•4 CJ L 0 'J

O ' 7 N r- L ) O ' y j o u) '•U <r :ï) * y . j 10 •h 'v.f> 10 •-« O cj UJ < t•0 'W i n n St u ) ^ r -H JÎ « \ o N •r> »4J i0 <í t o •Si '.0 '/ } í/ l l/> O vO O•í 0 VM • ü <7 O o j ' —< O r*. o N r -j 0 o 0 « o ( V > > > > > > X L f \ '.' )

h ! 1 lt ii í; M 1| < Oj n g - ■C ' 0 N M r - •^, f'y O •“ « •0 o o <r ’j* C ) 'y o C i o c o UJ • r r—» • - u . . 7> < r ■0 c*» « JJ o O ! 0 —* : m 7 \ .*>1 ■íj <—• -0 o N N 1 0 • J o »■)■. • ' •» í\i • : > O J •o N. VU o •O (1! CT < /' CJ -* '.'J »J» O n) N. o •í ) ' .U o 1 1 1 1 1 1 1 i L 'U

—* •V i ‘ 1 Lk * • • * « • • t • • * • • • • • • • » • • • • • » » 7) 1 • • •_ w _ w •w* -_ — - >- N O «*4 •,0 O 07 o 0J 03 • 0 *0 O rg • o D •t CJ c-l O ' C7» o O < O n o o o Q to O o•J u V..Í \J V

CO* - • C J IM «t

ÍJ) o o o - o t - jO

j . . X X r I ri j j .j .j .j

• J O i . J v J O u•J .J .J w J ^..Í ) L O - .0 v O J J .0J U .J J _J «U

*í íOV n*.3 K -JOV)

\ n vO D IO X X

-97-

■oJ )

O O X) -• <fn o -« >o ir\ .-f■•'J f s O l i -) I ' ) N -

O J *0 r j*A -í»•t >r\ ■:s r-

•J 'I'< A:j r. in O N <J) -r f'4 ro ./ <r <? 7 X x >< ;< X X X

ro:0M0)•o

''jo

'.'■j " j '■* Cvl ‘r> ^r** o s.?■ r

nr> -T >•/ o -• U)

'.J Or\j - iH U*o ro•'O NfS. -4o oò j -0<r =0■O vu

O oN î'J O o

'JO l\j' * a.) n fs- r*~

<r O•J- C\j■ •> O)

O•o

>r co «o «o a-

N ^ M H 10 -O N <'J 10 u i U) U) »! > <SS 10 •v. X X -X X X V. X

• v )

•0 « t0 r.J<~4

>-•

■V* r *1.»•-» U ,0•0

V)’ JJ

u

'•f.N VJ

UJ L.aUJ

a 0a .Jf-r <> ►-

0

n II

<■ IV ‘0• «

t- i OJ

w w ‘« *í

- ti.•sn

n O' u' O UJ« •

L U

: . 1 0 > ■ir\ <0 <«J 0 *

0 —4 >U f\ • *4 V.0 í> 0 —«

U I r-4 rM«0 UJ C * arvj CJ <1 í > N

ro ;o .0d II N . '■t . j

—N N :0CM <\J M 1.0 i-*)

n« a PO L J

CJ 1 Ot\ fi

w -^/ »“» *" • << * ;v V

Viw n>

C\J lU U U J

I z

I L> » -JI -a ! 2 I LU I * I UJ

lU a ]a o!0 uCX I iIJ UJ2: X 1

£

r~ f.; O Ojj o r* o

C3J«Jn

s

ouaCJ<a

1 * » •r—4 0 ■y* H 0 ^40 K O

^ 4 r-Í j DO v’ »

0 N - Nr O M

ir\ •0 n\

« 3C\tf

II II II n«'S • -* -■»

— U ) H 0 )

« ■ ► • •H C\l <N

w l

< < < <

<*fO<M

O u w u .« 0 JN. » ,v '0•0 N .5 .0 '.00 r w a itft '0 1 1

0 *0 y )•0 fs. X 't <n UI ’0 V -fO J f f , /V UJ

a > t l H2. »-« 1- M4

»-4 zV) — V I

r i < ail II 0 Í . J 0

-»s CJ < G -J•-* lA . u to a «<

t - ►- h»«M. w U i u í í j Ou O X < H

r X

' M r~

L, L

N •

7PO

i:t

" V

Ak

IAV

-

NU

MC. P

0 l)

í_ w

o T

h *

v.

-98-

O O . *O**>cg

o o oo IO u)•0

II ti M II

n n <’?

oo•O'o<MrO-

H II

•:o

O O O O o o o o

03N OO <to

1 • -> o ■ÿ Y. .1 H

0J N 0oj H H n O C'-inl n H 4 -or> ry J'- a jr> '■J J* ON rô O < 43 v'J r-4H f0 CO o •—1 -.3 n

II II II u <* Ci) O fM < W ;D O Ny-% —» —» >3 o :0 ■7>rg rvj cg « . 0 « ) "4 '•J* —«

o r) C' 2 ü) u> r) Vf* • » • <7 o •it O' uO V) VA ‘-0 o c.; ü) c) r-H

H Cvl ro <t K) o •0 sA > > _J > > X •l> .■4 •Í)11 u X O o o y* o O o i.J o o ü- N .<r*-» UJ O o o -J o vj' • J 'J'1

<t -t < < l-J _i o o o ►t 1 ( I 1 1 1 IL o U’ •ij 0 'u. « • * • » 1 • * * •

w w o o a* o < 'O /j o rj '10 o r J '7sO) u r-i OJ <.\J UJ u O i.J S_) U ? rj

a r ) OJ < *-4 r-H <-« •-4 r-* o rj tgU) > • X X X X X UJ

y* o .TV " i fs .J -J ..J J ,.J •j NO V’ u h* vj O o u U LJ —»• • ♦ • wJ m.4 S-* xJ o vj

•0 o N O o 1- V*. ‘J) -0 /) 7> «< O 1 . o 0 vJ UJ u :J •.J .J ‘.J tJJ

:) N. « » ï %r- 0 • .0 *-• f) o J rj -3CO N o UJ < C •t < <

0 f) ! n •o *> •o 0 1D •0 ) •< y ■X * V-J X < UJ UJ '•J ■J -!J".J '!) J X >.] > > s > 1Q -J < N UJ a «- 7Í z -y <0 a pr h» ï H» z5 2 f-4 UJ k-i U)

II II tl Il *-• U. O > IU uJ Ui tu U IX.-J •-H '/> I.U C i o O (.■) O Oo —* —• o rr. o a

II Il ■ O < CM 1.0 —» N o o f j n r3 o o < (\J 10 •0 N',0 • * *• • — Í2 •J •J .J Ci Ci LJ i 3 uQ H N n »1 O 3 X X X X < < o u o O rj 6 D X X X XU 1** J > h- h ►- h- »-* f- *- .J< »-* *-• •-< UJ O a u •u ■u " j uJ OÛ < < < fÜ u X */> Hr >: >: Ü. 2 X Ü3

U T

AL

-99-

-« D '0 *>•«•.> -tf O t f*» -0 ^ '1 fl 1 O O '/) N. f tf N '*1 .0 -0 o>0 •') M O tf -i .+ .5 <y « J — o tf) N — O "> M O -) -< ^ O ..D 0J h - ■) O .J w o 0 ,\4

II 11 II H II II II II M il II II II II II li II II 11 II li II il II II II II II II II II il II 11 M II II II 11 II II—V ««■* **"* *■* -“•» •“ » *** «»*» •-» «>■* —» « «». *s —• »■*»

tf ■D <M v0 tf cg O tf <v N 'O tf 0J IM 0 tf 01 • • • • o » • • » f* * » * * W «. « «. m • » • » « • « • » « » \ • «>r-4 *•4 ~4 r-4 cm 04 ÍM -0 r*> tf t f >r ’tf 10 10 i0 :0 & >0 ‘0 0 N N N N '0 X) '0 '.0 * > O O o o X«

—* «•■4 *■4 —*w •4 w H-» s-* ».* ■sj «w* -* —r w » V w •w» w w —» w -V w.

< « < < <C < < < *í «X < < < < < < < « < < < < < < < < < •X •í < < < < < •í -í < <

/4 *A .V o ,0 ri o o 'J\ Lh N 0> 1 o t N :0 .0 0 to o o u*\ N & r N .0 .U35 ,0 Cs’ -4 -4 >0 f/) ;>J »H o tf •N3>4 c-4 o tf r-j *-4 o .0 r\j p>4 •>4 o 'O rJ 4 o o (M *■* •*4 o o o O M• « • • • « * • • • • • t * » • • » • 0 • • • « • « « » * • • • • • » • • • « • *O O o o o o o o O o o O O O o o o O O o o o o o o o o > o Q O o O o o o O CD O O c>

It II II II II II II II II U II II II li II II II 1! 11 II h II n II » II II II li li II II II « II II H II II II II_■« »•"» «-«. -s /-i. --> -s *** *-* o /-N •-V «-» »-* —V —N o »-» '"N

r> 4 \!) Cr ) N r-< ■il i’ J f s r-4 :C\ r ) N 4 ir) o4 </) r> f» 4 « ï M .-4 vfV t* » r - f ) r» a ) iM r*- **4 L') I’ tr i -4 »*4 *-4 •—4 »•< f-4 r-4 »•4 f * r-t *-» —4 -4 »H

» » » •> » « • « » » « * » • * » » • * » •>.. * » » ► o « »• * » • *■ *■ * * » • » » •.4 r< CJ CM CM íM •TJ 10 f<) tf t f t f <r U) & ,f) . ' j r ' V >0 ‘0 O N r** N r - •0 ro •J-) eo '-ft t * (7» O o O C i *“4

—< 4 r-*w V*, S f w w w w w w *** w >_»• w< «w> w w w

< < < «t < ‘t < < < < < •X < < < < < < < < tft. < <t <t - í < • t «( < < < < < < < < ‘ t ‘ t

.-4 O t f N n «0 r-J « o l-o o O UI O ' N O' O N ro *n CM '0 o o 10 N v> t f t f

■M •T ■-M r-l -4 '.0 (VJ • •4 —1 o rT7 CM - • o <T ''J —• »-4 o 'VJ o IO rg w — o ■o w —< o o r j r-4 .4 o o« « » » » • • » • • » » • • > • « • • V « • • » « • • • • « • • • » « * • • * • •

O O CJ u o o o O o o L> O O o C) O •sJ O O o o O o . o o o (-> O o <vJ o o o o o o o u o CJ

j -» 1 II II II II II 11- 11 il II li j i II H 11 >1 u II II ÍJ Ji !l II 11 il 1! ;) ij li Il i l ;i 11 il II *11 11 il II II II li_ "> —, s-% «> —• ,*s •—» .-H »-> — "■s —* »-N —» — * '

2 1 •ü O vJ* Cg '0 o «í rg ' j o <r r j O t f CM sí; o <T N o tf CJ o o S t r j '0 o t f CJ •0 o <T <M O O t f CM

J 1 .-4 .•4 -4 -4 f-4 •“<1 4 ►-« ‘*4 .-4 f-4 .1 '+J » ; 1 ,4 r-. —4 - (\i N 0i 04 n 10 H tf tf t f t f »D :r> m 'jT '0 O •£> ■0 N *" N N r0 -o ■T) '0 O Q O o -4

< < M. »X *1 •~i. •i. •X <1 <x <1 <X -A <1 <1 > N <T\ tf _4 O tf N -0 »4 ■.n .‘J 0 •o »4 O O A > N. ' .ft tf o N. .’0 •'J vJ ■ï “3 ■) .0 N<r 'f •>4 -VI • Y •4 **4 i0 ~4 —4 V i VW r*4 SI 'M *4 O V iV .-4 r-4 o .» >vj • 4 -4 O 'O .-4 1 .i O .SI

/) • • • « f • • • • • '♦ • • • « • • ♦ « » • • • • » % • « « *■ • • • • • • » « • • *U ÍM O O O >•■4 O O O O c,? o o o O O O O -o O J o O o o O O J> o O O O O O O O o sJ

' ■* 3J

—4•) t y

- 4 h"*£ ■1 ' D«T • J J

• -> 'V ClT.

U- J óO O zc

u H II II II li II II II II II II h II II II II II II n II II II II II 11 II II II II II II II li li li II 11 II II 11.) D n ) ,-S *•>» r-* —» ,•> ■s -> r-M -o «-% 1«. r~» «*■» «■> r> —» —< »•H «—• *-s *•» —> •—'L X a u •*-4 UJ rt w tn tj' -4 If) (/» p) Ui u* n t/> ÍT* —« U) :/> p; r-4 y> Vn í'? »-4 o I.M ■’ í u*\ & ;0 4 U) ''í »-4?\ Jj r-4 4 ,-t -4 4 *-4 »-4 -4 .-4

>' 'S* U) » • * « * m * • » • » * *. * » «• » * » *■ » »» » • ► ► » * » •> • V » • • * » r <» * » *X. D ii o r-4 ~4 (M iM CM n n) ro •tf tf tf tf“ in m t/) '0 O O r- N N N OJ 00 •X) XI v'* vT' 17» u> O o O u í-4ÏU 4 Li *-• r4 r*4 »H

< w w w s . V w W< w s*> w w w K-» w *»» W w N— <**• w w «-•Q < tf < < < «t < < « 't < < < < < < < <í < < < < < < < < < < < < < *t < « 4 < < < <

-100-

t :■“>-, ■) o O ~4 — O o O o " > :r) «i* ro— O O O •-* O O O O -< O O o o -* o o o oO 'j -J — *"• •} o o — o o o o o o ■-< o o o o - < o o o o - * 0 0 0 0 ^ 0 0 0 0 0 o o o o o o o o :> o o o o o o

0 0 0 3 3 o o o o o o o o o o o o o o 3 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

•1 t* il II '1 ! 1 11 I! II il II »ï tt !( II II II II h II il II II 11 ir II II II II If II II II 1! II II i» M II M II li II II H II II II II II II !| II II 11—, — »•> •—> —» -% —« ,-s -X r-» rr% -N ■-N *•* —« •-* '-S —« /-s •-» »-• ■■'s '-S' --s -S0 o 'J ; cj J <0 N •jj sí su <••4 o v7 •VU 0 ? co 0J 'O sf «V J sj- O ■7 •■ü rvj O sT CÛ 04 ■O W '.■'J O >C O V •<3 ;v o sj- co ('J o

-4 , •< .M •—4 -4 >-4 —4 r-4 •-< »H •H r* rM r-* -4 r-< -* .-4„ • • » « » * » » » W » • » » * 1* • » ■> • • » •• • A • » » » • » » • « • » • m • * • - » • » » • • * » f

_ _ ■ i ‘-j ■•j ,0 I s* si* si sO ü'/ j7 O o Q O ,s» N 0 2? JV 0» J» o o O O <-4 r-1 .4 rj “J rj -■'7 •O •J* .r cr-4 .-4 -4 r-. —4 ,-4 -4 ~4 ,-4 -4 »•4 r-4 —* —• *-4 —♦ »-4 <-* »-4 -4 4 -* -4 .H -H »-4 ;\j C\J CM 'J 'J '4 •M •M M CM 'N/ -M .'i T'J Cvi \M OJv_. V«. w w w w w «y w %-. w %»s w w W V w w > w w w w> '■vi w ■»<■Í. Í f • { ■( < -c •Í «t c « si ‘t < *< -C ■1 < < < < < •t < -Í < < ■>£ < < < st < « 'Í < •Í si ■t «i < < sf •t •t t < •t

0 3 0 -4 0 0 0 o o o;0 .0 »*4000-40000 O O O O ~4 O o O O r* o o o o o o o o o o o o o o o

•o O '•> 5 ' 5 o o o o o o o o o o o o o o o o O O O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o O o O O O O

*1 H i l 11 -t i l u II II II II II II i l u II II II II II II U 11 n II II II t l M .11 II (1 H n " ' II II H II II II M II II II H II 11 II !t i l 1! II II II II—t. « o -- s r—. —» »-* r * /-S --s '**» -■> ■ s -~s ■ S »“» O ***' -■S ' “■* ' “s "^S

.V. . 4 :\ ' ; ••« l- » •) r - .-4 l ‘ î r - U î in h - r4 U ) I ' ) N - • i* i N - 4 J 7 '"1 fs» -■4 IT) , f ) n r - u> »•7 r - »-4 U'i r-* IÍÍ fO r - - * •1) 1’ ) N l/ l—. . . . .-4 ^•4 r-1 r-4 » 4 «H r 4 •H •■4 H <"1 r-t r-t - 4 - 4 • •4 •-h •— H

» „ ^ f* » •• • • » « » « » p » * • f *» » • » * » » » r « » » f> *• » • a » • • » • * • » • m O • • «■ 4« * «> * ». . . • •< l J J f\‘. o ' ) r*) * 0 • ' ) <f < r <r ■.n U1 1 0 J ) •O 'Ü 0 O K , r*. N ' 0 i ü r u OU i7> O Q n O - 4 r-4 V 4 OJ OJ OJ K\l n c î i ’ ) fO • t <r s f J

. « . .. . . . » 4 •* 4 —< .•4 e--< - 4 r*-4 ^4 »-4 r-4 - 4 »-4 r-4 •-< »-4 .-4 ►•4 - 4 »-4 - 4 r-4 - 4 »-4 ^4 .H CM CM <M r 1] N (M f 'J OJ CM iv j C J o i ^•j ••'i r i l ' J N r-i f’JW X— ».y w •—• s_/ W w W W W W <■*» w *> W s ^ «— w S«» W w » W w •~» s«< *-* ■— w s - •X w *•» w S-" W -S-* s-»

< < *■: < í < ♦Í • t • ( < • c < < < ' t < • 4 « - 4 < < < < ' ' Í < <£ < < < ’ < • < < v t < < < < < < < < < < < <f 'C <f « < < < <

*•» -o •.• o o o ia /7*<r N ro ■£> ro lo <f io ro~ — - j o ; — o o 'M -4 o o o — — o o o -« -« o o o — -« o o o ^ o o o o -* o o o o *-« o o o o -• o o O O o o O O O O

; O ;*><.> J O O O O O O O U O O O O U O O O O U O O O O O O O O Q O O O O O O U O O O O O O U O O O O O O O O O

\ il '1 <1 M ;i II il II II II II II II M Il n II II II II II Il il II 1! Il il II II II Il II n u tl II II II II il il il Il II 11 II II II IIs •-» . -» —s .-V —« —> —* -* —• /-s — , r-. - » r-S r-^ r-. r“ » —• «-% -s '•s "*• '■s

'i .> ■o o •r C'J J O <x “M O O •t CM o IM S? o <r C'i ^0 CJ OJ •O O • t rg 0 O s> CJ 0 O «Í* cg *0 O <t CM 0 O •r "'J 0 ''i •r»-4 »-i ••4 <—4 r-4 •-* r-4 •-4 •-4 r-4 r-4 -4 r-4 r-4 rM r-« .-4 r-4 >4 r-4 r-4 .•4 ' 4

• „ , » r • • • • • » • » • * 4> • o * » • » « • • p. » • ». » *> * » • p. » •> « » » » « • » • • » » * • *• • ►— 1 ••> *") •T <T •O .Í) vO « *\ 0 •U fs. s . N N- T 1 >Tl •> /T. [T-. ■J* o n O o .4 r-4 r t r j •N ~ ! •o ■o ->Y >-t >1-4 - - - - — --4 ,•4 —■ r-4 *-• ^4 r- r-4 —4 »-* -4 •■4 - 4 r-4 f-t >-4 «-* •-4 .-4 •-» *-4 ^4 »-• r-4 -4 C\J i\j r\] :-g '■vi C'J CJ W i y N '.M CJ CM OJ ig • SI w 1 -i ; jW w w —• w —t w w ■»> s— W w W W W «w» w W V/ w w W W w *—« w W s-« w w> S-» w> S-» *•*

A < Si. V • ! ‘A «l < <1 < ' t <1 ‘ 4 »X «a < ■v 'X 'K <

o« O J o o 1 J *. ' i u r>) j ) -r

••4 O o - 4 O O O •"« - » O O O ^ ^ O O O r H - i O o O - ^ O O O O r s O O O

.> 3 o O O -J o o o o o o o O O 3 o o o o o o o o O O O O O O O

O O O O O O o O -J « • * » » • • • • •oo;^ 0 3 0 0 0 0 0 0 0 o o o o o o

•i II ,1 Il M II u n n n II tl II ilil u H II il n Il II II 11 il li II II M II 11 II il II 11 tl II II il It II li M tl ü II il II il u II II il IIr-» *** r~»->« r>« r-H.*•»*-»■rs.S* r~. «N <-*— *“» —»<■"% »> -•%»<>r~> «—»r~. «•««~0<r>«-%r-*—V -"•V■“s.)0"* -4 > '•*J»-4 ' (.î' r-4 li)O'r) IT\( »O U) O'l’Jr-4 “n r>r-4 UA r*)r-4 U)Ü*P)r-4 ir\O'0|, r-4 V) fi r-4 ir>J'»o'_4 U) ■J* •*)r-4 Lf n"4 r-t 4-4 -4 -4 ^4 r-4 r-4 w r-4 -4 *-4 -*

• m * • ♦ • • * * * » • • • * » • » » • • • » » * » » » • m « # * * ♦ » • • • •> » • « • » ÿ » ► » • « • » *■ ••r-4 OJ % cg rg n n n n sf <rm m t/1m o o o O N n N P».■X) 'O '0 TO 2 o O'O'O O O O r-4 r-4 ^4 4—4 og cg (M OJ f) rOn -f <r— .-4 ~ r- -* -4 ** r* r* -4 ’**• * r-4 r- 4-4 *-* "4 -*•r-4 <M 04 og CJ OJ r-g og rg CM •g OJ rj OJ OJ CM iM C'J CM

< < < < < < •<< < < •i < < < < í-sl o in UO

't» » • « ro •o »0

tf) kn 0 .A rg OJrg og Al i0

w <t ro< ‘í «c < N. N

II il II II •1 li li II II h✓-«» «»» «-% ■*> »-> •*>

<J ;o g o -•r . 't X) INJ •0O o o Ti •;*J »M —*

o o O :,o •0 r.) CD u u u u

II >1 II tl

n N •-< S'!

O - Oi O O ’O . ' j O O U ) - n •* «

</ rg oj o O o.h \n a -oU. ) J > o

'0 fO CU «o

sf'O‘VJ

vTro

tjj o í) oM r\J <"Vj f\ j

It II II li h II II II II H^s. •-* ,—s -■» /■s

*0 N rH*■-*

> •0 N •-4 ■—4

IA--4

w >v ■-» w•t) tO w) Z) v i '0 o V u u

vO '0 \n r i nD oK» sA ■'g N í*J --« jO wA

• • » * • » • » • •') o • }

iA.g J3

n10

i: ii ,i

• j } f > <í0J Cu • . • 4 II 11 II II !l II

<1 •1 *1 «-l ' J O 7 .'J"•* w

v_. w s > w« J Cl tu Lll. (U ;n

-.3 vj O♦ * « a

Jl -« ’S ■ü N V' ..A. g ■> "0 -•3 T• « ’» • 1 •

•0 V 4 --< *-* •>

ro*/)

I l I I . !l II

ISj ' U O v T

u u u O

«A•r•a.t-'o

oo•otf)•uo

X p)uj

2 ° U)

rg

f’> UO

<D <f 'O'0 Ï- o -.rU J <\|

Ono o

O' if) •■} N

<N 0 N

•ü o(J> rA N O J-) ‘O

or» - .j o yvi’ j o <r - 1 <.\j " to

<)• ro;£) 05 -)•sf r-fro w r )i 0 D O ''vO Is- t-4>0 ti) -

p> l’ í

o^ 3n o \0••r o i\ i-j; io o^ -o o' j r - t-gO — t f»o -<r &

yo ' j\s t O ' O•A <í Cí) •3

«f O NO N. 04li ) u* - ü

C} '-A O

O

O O o o O O o O o o '* <r O .-H o 04 O CM o o o o o

X1:1_J

DOO

. I <

.11 l! It II Hto

u.

•4 o; o ” 1 CJH tt tt II tl il a tl u w tl u o <M •-0 O O N n sT tn

• » * * ' ' -*'* /-» o u rg •-4 r~t ''J P) CJ nj cv*.n tA •o to in n r- —4 U) 4 IO 10 ‘ o X X. X V V V V V

0J r ,J ’'J -+ •-* rg cg • l js— w •-* •-» w w w s.* IJ Ü•í •t '0 05 ffj •D tn tD •t) \) u O u y '.0

N a O L 0 CM (M P> -• X X X X

o <r cm >.oPI •'« PJ

X X X X

"J*

J•ínrN Ül h-

j j — U

U J ’X Q

^ J J X < <

>O

<■uJ

aIio

>o

onG

- 102-

w 0 —< 0<* \r> o o -T1 O* « » • • »n .n O .7o í- nCSJ "4 '0

1! )l 1! H II 11•—« »-»

<í a> cg xf cy—1 .•4

» • » • » a- * ri <\J »N

■wy

<c <c < <x ' í <

O cg 'Si s. '/)/)o in/>£* 'C« • • • • •N.••o,s4 ’.n r*,N»0 o

7»W\■o

1 11 II II II II II" i ■f-s«-*S 1 r>N —4 <;> P>NI .41 » * * * * *F-1 H <\lcg1 w w1 < < < < < <

cg•0 '0 «010xtiT)r*u; O• « • • • >1 •{-o o ‘Uo< H)fv-iN tMWJ«aiO O

M ■I.)‘J n N oJs. o 0 t •íCJ x> —4 N fM n ^5 o O o111>A >-• -4 «7»O '.5 n 10 ■1 L>r-j r- í*')N.:S)■o o o o í■Mo •:)f) < J'.Ur-4 vj-CJ•0 .n :o(\J■-HÜJO • i’N o o o 1

..4 n t o »V.N. o r- 0 N .Îr) o o o 1r- ,1 •-viTî 0 Sl "4 n rs ■oN O itr.J o o o 1r-. J .r»*0 --1'*).‘.1 .-4 o -1:0 J*O o o o 1N cí . 4 • -4 »4 N •"«Jrj\ r - )> 0 O' S) v-frj O 0 T-4 & N 1 M il n !l II II il;n■.n vj-Jr>O A —4 > •1..}o 'H10 •J* O ■0 O >4 o ■M •o »—« ■'J ■oN '••Joj t o o o u:o o i/: o •-4 CO (M o a •t<Ü tu '0"jo srI-*)U '•) •u (3 .0 o rs-CSJí’4 ■crr-v-4 srV-i <n cn r-\ .-4 . ■•*>cO -4 n ’slrJ 0 *-4 '4 CO ./> n)o o C*'N UIH o c> i •> ft • » * ► <•> > > > -4 ^4 .0.K-•■-C.'J•ri/í0 w o '0 <yr-N 0 ■hUJ ^4 J)N '0 i H .'•<-1 r-4 ^4 •}: ’i . .Jrv o O • !.r .J . J ü W) N. 'St ■» •“4 m N •c 1í_h )• •i•-4 vJo .y o y)n O .■A <T i*> o vjvg <r i w w w w w» 1 ÍL i-j•i)•j{ i IV : A •-Hw tvj^4 'O <1 ♦-*r-4 o vr 0J•— o o •n 1 i < <3.■j; 't1 * * • * • * • • ■ • • * • * • • • « * * • • • • •V) «:') .vg o ■:> <.5 o O o SÎ O o N o O O <4-O O O O o o V? <1 j 1• .» j' 2c <JLJ wí) o; ! HJ 1 j j J .J O sA i O o '4 r*- ;?>.H. . j y~i j <-<w 1 j U r~ f cr — 4 uy > Wv‘.J J ■j •J > vj fc U)CJ I J) • « • • • « •) ■) . ) ') . ) ) r** S.Íu. ! ■S) wJ o N j )• g v'.)J ; 1• 1 j 1 j J —< l"Í J g J a i' J»

4 •J o '■> N7 .) ) •j 1 > .-4t T. r ■ 1 ; 't•X J 1 < • ✓1 o ï 1 -) 1 r> 1 »•4 f«í r* 1 ’f. •o o1 J■ 1’ 1 1 ) * J «y ( •> I' 1z 'f M ui 1 Z or-4 V V— 1 L>_ J olüw 1 a u ; *• > 1 'j.1 j Lu CJ i a II M II ti ll II IIn .... UJ » j o n O -%—« —»O :rC3 i a a d LJ *-0m tT1 N 'JT\1 \ >• ) 1 ; j»'.J fr» o ÍNJ1*1<T</)Î0N ej o a :vjQ <T 0 h.J) ■> o «~4 O i 2-:u-u -4

n '1 t j:.j ’.) n (.J ^4 r-4 »WryN V fVi«gX C\JV\J n ri .>4 rjr-4 *0 n r> } u if >: V) » • - • » • +■„ji )c ' )' J :•) 3 X.X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X. X < •t 1 X D D O <>4 H «-4 w»- 1-f-1- f-*••f- > f. ( 1 o <t< < < < « <

-103-

>» fsi 0 0 0 N o ~4 o -û - 4 O 0 •1* 03 N • i o N O ’ 0 •7» • i • .n !’3 ' Í <r 0 •0 •r■“• <3 \ 0 O o N, o 0 <t rg AI "M '0 •0 —• •t J* •n .n 0 »0 o •JO "0 -0 3 .o • f N .0 •7

• • » • • * * • • • • * ♦ • • • • • • * t « • • • « • « • • » » * » • » # . « « «I u "J .0 »n o J l in •vA <1 ■$ CVl N CM .M > 0 o <T o N N o o o o o N N cm O s/ -4 0

T) >) ('J J 0 4 ■0 0 O O o O :n '0 ;o o 0 •■M > co vO 0 0 .3 0 .0 0 ■1 0 m •') N '.0 •0■0 O <t 1 .0 eg 1 •H « 1 ) —1 >0 «0 co .0 :o N i f •o•t •J 10 1 1 NÛ .H 1 1 U3 1

1 <1 M il 1! it »1 II II II !t II II h II II II >1 II II II il II II II 'I II il II II II II It II II 11 II !! n M II-* »-» '-•* ■'-• •'*'» «—• « r*** *-% "> •»» <-»J ■0 -M <? \\J GJ (Ni •if <0 CM •O vT :o >'J o '0 C'J ‘0 •4- co eg vü «/ CO ‘ M. ■u 'T •-Ü •0 sT *0 CM •0- -* r-4 -* —i - • »H -* ¥■•4 ..•* r - - • -4 —

J .0 .*» '•) 0 4 • J '.0 W) U) n o ■Q o N ,N. fs. N . 0 «0 CO 03 k.'f» k> o •J o *-* .vj 'Mr-1 •-* —« - * —« • 4 .H .-4 "1 r-t.» w •v- w w »-* w w •—• w •w w •wr •*1 w w »«* w w

t ■1 f i -r ♦ f • f < < •t ' f •t < < • t ■X < < < < < •t < < < <t • Í <T •f * f < •x_ < < ‘ Í

N r~t J\ ••*« J» j o •J) 4J o O' o • </ 0 ■r M .Vj J3 o .0 pi Z) N N H H ;ö .0 .0 N >r :-3•o ? »h r •> f\' ’J) '•J N c 13 •> O O sf O r-4 r0 (3 'J f'J Q 03 U) •3 •*) N •n o iM o• » • • • • • • • • • • • * • • * • • • • « • • • * • 0 • ■ • • • • • » « « •J* —« f:j '■> O •f 'J AJ <D ■n (0 (T\ •r v0 •33 O' O 'M TN ÍM CM sf * 3 o o O o •ï) ••J- «j N 0J f t o

r-j u 11) f0 tit *-< 1'} I’ ) N 'Ü ..O l0 o o ft) J' tM >13 (0 CO IÜ u3 N N O »-4 CM 0J u>

■«Ir) .•7\

;o•0 t ■r s. '0 o

J)r> '0 o

4*'O '.0 13 0 î0 •0 0

1sj*•:3

*CM

1 n II Il II 11 It II II II h II it h II 11 tt II II II II II il II II It U II II II It 11 11 II II II-II II II II II*> *-* S-* —• **%- -> «-S o » /N —• «-* « r-H »-» O1’ 1 ■/} » ’ I N m n N - « ui p) N —4 in f’)N —»■J) n N rt •J) Hi N r~* •’ I «-H in I N »-4 in f) N •~4 U)-4 ... <-4 »-1 »-* W-* H —« <H r-* •H »4 w~t *>4 ,-4 *-4 -■4 »H H» • * » ► » » » * * * • o •• • » «■ * •• » • • • » • » • • • • n ». » » » » » »\J • ') .0 f j ■r xi t *r d u id in o <) o N N N N a CD C3 U3 O' o o o o .-4 *■•4—« Ci (M eg CM

r-l .-4 r~* r+ —4 r-4 •-4 •4 f-4 .-1 —4-vX - * ^ w W w «—•• w w w w w S-» w w w w W w wj; vC •X ' ( ' ( < -f < < •t < < < < < << < < < < < < < < < < < < < < < < < < < <c < ■< 't <

-3 N •') •»\ 3 • t *7>N N •O ■t N. 0 (M •t <r N N r-4 <t rh •> '-0'0 Ol • r <M *> •J- CJ o >oH 1 --4 0 -4 •0 r—4 fM o-v' O •j i.* Î a) >» 1 IVl J' -o CsJ <U U Ul ♦r io 'W u; *-* <r d r- n r- i l ) N 'U UJ N UJ 0J "3 03 «X» •u rsUJ U'l o <r T-4 -♦ o <r• » • • • * • • • •« • » • • • • • « • • • ♦ « • » • • « • • • » • • * • • • « » • « t • t • » • • • *■ 1«: 1— 4 Cl'•U >’)O' «-J tT1 N O' <rÜU •N pi <TU) Ü* ■y i f ) <•*) o 4-4 •o vj' o UJ O o O O K.3 C> •o ■J0 -7 N sT o CM 11 UJ o U3

h- UM J 'J o i() >4J •1 1’) rs IÍ3 ~4 N rs i-i i ’) o CO ■-+ ••jo a) CO CO -0 t) O to 03 U) 73 ■■0 kC\ H CO O' rs. t/\ .1nJ s/ i'» vT

>7•«J" <r ■o i'i <r<o 1 v0

<M<TCM cu

1

M3 UJ cy UJ UJ UJ ■A) ‘JJ <s

» 17

n

ViJ UN^4

U7SÍ •or~4NO CM

1I

I H 1 II <\ -i ÍI II II .1 II h 11 11 II 11 II M H II II II II II 11 II II 11 11 il 11 il II II II ll II II II II II il II II tl II II II i| II

1 ’ •J J t 01 J O r fg o o <7 r3 CM o a •t CO (M ■O O i t IM ■ 3 o ro CM O <3 S f CO C\l ■.') •T1 r .i o o J' •n eg -.3 o <r 13-> • -> . * »-4 • H •—* •-< •-* »-4 -■* -4 t-4 ,+ r-4 r-4 »-4 r-4 r-4 .-4 r-4► * » * » ► ► * ► » • * * » «• * * • f • » * *• * » » f. » • • • « • • » ft « • « • » ► t. • > ft' ftJ •« '1 : -• 1 • j - t C7 • r <7 n ■1 S ) o 3 o o •J N N •s. N N •X> 1 '.0 '-u •o i.1' O' > CT» o o o o o —4 -4 r<4 ^4 -'J C-l •*J •;g :-j

r-4 ^4 »-4 *-« »•H1-4 »-4 —• r-« r-4 r~t r-« r-4_» ■—• w — w s-' —• S " s - S— W« «-* w w w » . w w — w w w V- w. w s/ w w _ » w

'1 U ^ 'J. '4. ‘ C < <L •A • t • t <t < «3. «5. <3. < •a. «J. < <1 ■I *-x <; < < < <1 • Í < < a . < <1 <1 *4.

v . \ *- 3 r*' . ) O 3 1 J 3 •■■* J 1 J 0 .3 -4 g *T *0 *■) IN -■) sf . a ■'i J . t 1 •> ■:* K. N .3 •■4 H -h -•) -T ,0 Cl ■•o N O fs.■J - - .J 4 J JJ r g - r ,s- >1 T ' . •• g -xr .-j v '' .'J a/ Q ,t \ S/ ■ t o iM U? '*4 jy -0 UJ JJ UJ aJ ,j N o iM '•J N (3 V

» • « • • • • • • « « 4r t • « • » • • % • » f • # « • • - • • » • • « ? • • • « » 4 •J ' > I J . J 10 •r <J ■1Î -H N JS ,r> J • g o N <T 0 rx. o r - N .1 UJ N ■ J ’ M 'T 1 J v3 o O 'J • M »'s:j\ -0 u » N ••M N o 'J

3 •; o J J’ 3 J 0 3 • i > -J 0 •T O / 0 -* . ) ') 0 J1 -0 . ’4 ■J- J 0 .3 0 .0 1 N / .3 sT 0■J J > J > I -T •> -J O V -7 I J S -J — . ) '} .) J l J) ,’J >r J o -3 0 -0 3 I N / .3 O 1 o nf ‘ J < m i -> o - « j ~t ) .t* 3 i *h * o .o o o .0 - i -o o j N . n i - « . >• > 1 II M CM I 1 T) sf -J I I I

11 II 11 M 11 .1 11 It n i| it M II II II II II II II II II II II II II II II II II II 11 II II II II II II II II II II II 11 II tl II II II l| II II II• *» — " ■ "■ •■** »*» -■* -s* r - . —» --S »-% —• —» «-> *-> o » *•<. «-*

'3 N — : n 0 N. m O ' n N UA f l N ^4 CP I ' ) N i n a * ' 1 N —• m cn Í 0 N — U ) & ^3 N Ü0 U ' r ) N ^4 i n N r4 ir \ * 1 N~4 *-* —* —* —• —4 —< —4 H r-4 r-4 r-4 w »-4 »4 r~* t-4 —4 r-. ,-4• • * • • * * • • * ° * • * * * • • » • » * • » •* ft ft ft • • ft •> ft ft ft • ft ft ft ft » » ft « » ft ft • » ft ft *M CM ” 3 iO 1 1 1 0 n •J - « j >y J 3 m n ■fi i n v 0 - 0 -O ' ^ 0 o N N N N N CO 0 3 CO CO CO C7» ( * t'T* o o C l 0.1 OJ f\J

»-4 »-< r~* r-4 »-4 0-4 r-4 r-4 r~« r-4 r-4*— W •“* s— S-» w S - . > / w W w w w w W W w w w w w w w w w W«

<t • ( < < <L < < • t < « j < < < < < < < < < < « < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < < «< < < < < < < < < «

-104-

n 0 O 0 0 oj :) .*» o o* •■) /s h- ï\ o •0 :vj

»V ir> O 'U CA CA

O vf 0 .o I ■']*•* N .r\ > -O

OJ

*• rI

-I i l li il II It H'■» « -'S < •»

/ w ,*■ 4 Ow‘1 jT . 1 } U

1 1H n l O . '„'S sf- 'J o

• • • • • • •

•1 o o <\J \nJ —1 'J n VA

.*» «~l -4 WN {V. \') o

0 •-0 rs. r» N n N ■ -V

-.J <n C4 Í\J■o

• t

il II 11 h ti II 11<N — —»

N • » N tn- « - « —■«

-w w^ .1 n ’s.; «J O u

r« !'.} N- 'J Oi O f0^ :•) IO O

r A -) T. .() '0 O.) j r ) J --4 •o

J O ' '.T> O O 0 r** N '/) N O •J'S

; •"> ') •4 "5 0 -O " l .-4 N •4 ra r-* ‘‘»J 0 h-) -» 'Î C-4 v0 u> •;> o N •-* .■4 »-* ■> 1,")

•si*N C>r - * U

Oojr I <í :u «M o CO v) •v')

. T ,0 h> K, r*4 CJ1 •'J o Ifi í\J rjK t0 > J> > XM o II li 11 H h S o o <r 01 >•> >:) •ct O P ) Is* O )'i C j UJ

•* —s '-s —«■ OJ »M C J c> -.VJ UJ :n (■«j J ■í -J- -J 4.1 V, ■v> o *7 j j U .•) •jj ■# <*) Í.J —< •u CO ■o r- i.> 1 1 1 1 u.

— —* —« •-* CL *> • • * • • » • • * • • * 1w. w.„ -r »-« -.1 rr> O •0 ‘n ;) vf <r CO O o n 1..

-V -j vvi KJ o . -* >7 ’V r- ■»4 o o 1 J Ui 'J' <vt i—i t. i O L.i >Ui 'X) n 0» —< •i) :\i *-< <c f-4 U

o r-t r - <} N CA IW M) w 10 O > X X X

O o '"I Vil —4 r . ><1 i r -J J _í 'ií J \-4 r- J u u L iu O uJ u u w> -J

. ; . j •U O T f O C0 c0 t—« V J .T O ■**- O -J N -J vJ uJ l-J v j• • • ♦ ■ • * « Ã Î

•-« J 0 u T ■i) J o O o-l o 0 O 0 ' •) -* ; j < <t

-*» .t 0 ‘ 1 O o í Q ./> ■ f) :f) Î-í ^ •* •'T ••J X . r •t or) •- J o •O 77 X <t IU •M ’JJ

«» 1 ,'"l I I I J ' i r J > s > JO . -J < N t j 0. z Z z <o a i~ 1 H4 f- ~r

X +~* UJ ►-« o ►Hf-4 lJL a > <XJ W OJ lum UJ . ' o O O O

O *v o OII ii II 11 n II II II o < ’7* O O r j ro tr\ vy N co N l-o a o O o a •*

r~* . 1 n> OJ f-j CV (V OJ t\t (V c< - j -J Q o o o— u i -4 if\ n N o • J X X X X X X X X X X X X < < O o u a

** •"* H > ►— H w H H wlW w U ' a o IJJ iü I J Ü J o

D 03 •o o 'vJ u u U £ CO h- Z 2 X £ U)

0 or*4 < í:0

•O N O I )

r> u> o .«r

*7 wO

0 o r» • y -< -ufO o -V<001 C5 w u> vM o

'0o

N . ^’) M( 'J 10-i cüp-t

a r ) <T

sr o O'

«r> «o N- o 'T n oj

U <r* SU f"' CA l*f ■O OJ Nr - ,\ j - t ' O

N W f l « t U) O N fl) ro o ÇM C\i t\J cg (M cv» (g -M iO X X X X X X X X X X

VA

LG

H

DE

Z 7

oC

a4

j£

gb

.

I 6

7-

i£,7

7í>

9

TO

TA

L

DS

Hí

Â

Ca

ti

L

í-

ni

VA

CA

Í-

3

CACC

S

oc

-105-

nVi

•\l-i O •.>*3'•5VÎ N *V •o» • • « • #J*N Dj>mO N» -Ô .0 4h* O v0 v0o0 0 N. J*t sV1

o Oo o• •H it il II !l M o >0*-* «■*» y't vT '-f %r wN« • • # » • o,_4*'l■')st i0 0 ‘Xi.0 sw CJ •orj •Í < < -Í

il h«-» ->.J o '■4 •«i-O 'Z>o o J-* » • « « • «.yo ’)'M -'1 —* ;0 u•;) r • \J'J'r- '■JIM o o*•-n.•0 \) >.■4 tO sf ÍN- '/)■3 j J NÍ uJ•>'0 •I O Q ' OU 1 r >N •) o U Oo N • • *•* 'C»-i C5 o txOJ o liJ

-4 sT H11 It II tl I) *1 n*) U4 •/-»/-» —s J' a) /r-' p) i’>n U1 U’XN O' o<0 >r ow4 ') <f tn ST <*•'0 • ow V«-w w s. <r< •-Í<c *( •'X■t II 11 ’ *n UJ

AJ "i -•4O rj —> oo OJo 'T cs• • • • « • a.ÜO sT ‘M 1») uo ./ •o 'J) •o < •• .•»-4 T p- 'S I’li*> o'0fs.■J'?4 •H O O O o 2'J n <t o o «1 » * • Ui- i A J •0r <.4 lA •'H '0 OO 't 0* o G r. CMO O vO G < < < Hrj t »s. IL ■o J >*> ■" JII it it II II ■o *) t < < o -13•JJ• •*) j a z t .-4 frj >V fj 4>Jrj •X >-<-4 >-< -1 >n •7•-4 z. >-■Ä. in <Tt J- * *• • « » i/l •-4>•4 n U !■TP! <* 1/}o Ü > • J -J X ."4r>Il II h 5 O L- aJ u IjI1/5 —«Ow ■—»«-■ —* -■> »4 .J ij Ín n< <•!<1 t+ •cr

LJ i • • ♦w w w o o O o to v-4 TyJS.r;j .JJ u iZ (JLJ (J o IVtvo *-»►-4►-4♦-4 o IVUS.J X X X r>r •"i 3 . J J 1 J i -I'•. jC )o ■ J O > u -J <_> <•/• • • • • » K) sJ sJ u vjP ? 'J j -J) o o o -3 J vO to to r» .')N ■)(- •> o ■J ,J .JUÍ .J .u J 0Í ■ '••1.~4 a • • * ■jr'J 0 rs N. J -5 ï •r o vT *.3CD D’3■ 0 7» • 4 •*> n 0 o < < <T t 0 ■> 0 0 .j N ’S r> J) >1 fN. -> ■ M -r* t ■ -vj X '< X X r *.-4N M r<4 D ■*> ^ X X tl.l "J•ij•h nit s 1) ••t n f N. M ■ »11 J 'S > s > ..J1 1 f0 CJ o a rt <

'■i N 0. r i K-4 *-4>»4 Zrj rj X , ■ UJ coII M II II If It Til 4 > UJLUIIIu ILo C.D n C3 o n

- « r j r'i ^ il) <0

< < < < < ' <

ll II it a <f) a o o O Q■o*. a IÜ a f.Ju au‘> !_/ u u o o o oH a H H H hw ‘V U.I X Uj UJtu R1 •u03IÛ U £ CL 2Z s 2 £ 2

I Ntu

I -n•if

jn/)

n) u) <r to c*

O■ X1G

JOSÜ

V 1CÍ4 . J

S liji

S-iiv

VÀ

L.0

3

OE

Z ü

76

‘ti

1-2

12

1 2V

.40

^.1

6

IaL

CS IT

GrdA

LudS

Lf

LliV

ACAi

-

-íotf-

[2 ] -

[3 ] -

[A ]

[5 ]

[6 ]

[7 ]

[8 ]

[9 ]

[10 ]

[ 1 ] -

B I B L I O G R A F I A

Conte, S.D. E l ementos de Análise N u m é r i c a . Porto Ale gre, E d i t o r a Globo, 1975.

Franklin, Joel N. Ma t r ix____ Theory New Jersey-, Prentice-Hall - Inc. Eng l e w o o d Cliffs, 1968.

G antmacher, F.R. Matrix T h e o r y . New York, Chelsea Pu b l i s h i n g Company, 1959. vol.l

Golub, G.-H. and Reins.ch, C. S.i.ngulay Value. D e c o m p o s i tion and Least Square S o l u t i o n s . Numer. Math. 14, 403-420, 1970.

Golub', G. and Kahan W . C a l c u l a t i n g the s i n g u lar values and p s e u d o r i n v e r s e of a m a t r i x ■ SIAM J. N umer Anal.2, 205-223, 1965.

Hillier, Frederi'ch S. I n t r o d u c t i o n to operations r e s ea r c h . Sao Francisco, Ho 1 d e n - D a y - I n c . , 1967.

Hoffman, K e n n e t h e Kunze, Ray. Ãlge b r a L i n e a r . Rio de Janeiro, Livros Técnicos e C ientíficos E d i t o r a S.A.,197 9 .

Lawson, Charles L. e Hanson, Richard. Solving Least Squares P r o b l e m s . New. Jersey,.. Prentice Ha 1 1 -Inc . , Eng lewood Cliffs, 1974.

Rice, John R. Matrix c o m p u tations and m a t h e m a t i c a l s o f t wa r e . Tokyo, Me Graw.Hil, 1983.

Stange, Plinio. A d e c o m p o s i ç ã o em valores singulares p a ra a inversão de tra n s f o r m a d a de L a p l a c e e deconvnlur.nes. Dissertaçao de mestrado. UFRJ/COPPE, 1975.

V a r a h , J . M . On the N u m e r i c a l Solutions of ill*- conditio-nal Linear Systems with applications to ill-posed p r o blems. STAM J. Numer. Anal. 10, n?2, 1973.

Documents

UM ALGORITMO PARA MINIMIZAR ERROS EM MODELOS … · quais a equaçao característica Ax = Xx tem uma solu çao x^O, o vetor x e chamado autovetor associado ao autovalor X