UM MODELO PARA ANÁLISE DO FLUXO ATRAVÉS ... - cmec.com.br · Publicada na REM – Revista Escola de Minas – Ouro Preto – v. 56 – p. 33-39 – jan. mar. 2003 3 1. Introdução

Publicada na REM – Revista Escola de Minas – Ouro Preto – v. 56 – p. 33-39 – jan. mar. 2003

1

UM MODELO PARA ANÁLISE DO FLUXO ATRAVÉS

DAS FUNDAÇÕES DE BARRAGENS DE CONCRETO

J.F. Da Silva Filhoa, E.M. Da Gamab

a Consultor em Engenharia Geotécnica, Rua Paraíba 476 - sala 1203, 30130-140 Belo Horizonte -

MG, Brasil.

b Professor do Departamento de Minas, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Belo Hori-

zonte, Brasil.

Resumo

A determinação das subpressões, na base de barragens de con-

creto apoiadas em rochas contínuas permeáveis, exige a realiza-

ção de uma análise de percolação. Este tipo de análise é bas-

tante complexo, principalmente pela presença dos drenos, perfu-

rados em suas fundações, que lhe confere um caráter tridimensi-

onal. Um enfoque numérico para este problema é apresentado.

Uma comparação com os resultados obtidos através de solução

analítica, disponível na literatura, é realizada e os resultados ob-

tidos mostram que a solução numérica proposta é adequada para

utilização prática. Sugere-se que a solução proposta possa ser

usada no projeto de barragens de concreto, assentes sobre ma-

teriais rochosos contínuos e permeáveis, incluindo aquelas cuja

geometria e/ou condições geológicas não permitem a aplicação

da solução analítica.


2

Abstract

The determination of the uplift pressures in concrete dams, res-

ting on continuous rocks, constitutes a complex three-dimensional

seepage analysis problem due mainly to the presence of drains

perforated in the foundations. Because of the difficulties involved

this type of analysis is seldom performed in dam design practice.

A numerical approach to solve this problem is presented. A com-

parison with a closed form solution available in the literature is

performed and the results obtained shows that the proposed nu-

merical model is adequate for practical purposes. It is suggested

that the proposed solution could be used in most cases of con-

crete dam design, including those where geological or geometri-

cal conditions would not allow the use of the closed form solution.


3

1. Introdução

Uma das tarefas mais importantes, do projeto geotécnico de bar-

ragens de concreto, é a determinação de sua estabilidade ao

deslizamento.

A Figura 1 mostra o sistema de forças que atuam em uma barra-

gem de concreto típica. A correlação entre estas foças, de forma

a manter o equilíbrio, é dada pela expressão:

( )HH

cAtgUPFs

jm −+Θ−= .

(1)

onde Fs é o coeficiente de segurança ao deslizamento, P é o

peso da estrutura (kN), Hm é a força devida ao reservatório de

montante (kN), Hj é a força devida ao reservatório de jusante

(kN), U é a força resultante das subpressões atuantes na base

(kN), Θ é o ângulo de atrito na base (0), c é a coesão na base

(kN/m2) e A é a área da base da estrutura (m2).


4

A coesão e o ângulo de atrito são propriedades dos materiais de

fundação. Os outros componentes são função da geometria da

barragem, com exceção das subpressões que são tanto função

das permeabilidades dos materiais de fundação quanto da geo-

metria do sistema de drenagem subsuperficial da barragem.

Assim, os únicos componentes da expressão (1), que podem ser

manipulados pelo projetista, são o peso da estrutura (P) e a força

resultante das subpressões (U).

A expressão (1) mostra que o coeficiente de segurança aumenta

com o peso da estrutura e diminui com a força resultante das

subpressões. Como o peso da estrutura pode ser alterado, atra-

vés de modificações na sua geometria, uma diminuição da força

resultante das subpressões permitiria reduzir o volume de con-

creto da estrutura.

Assim, como as subpressões tem uma forte influência tanto na

estabilidade quanto no custo da estrutura, sua determinação é

provavelmente a tarefa mais importante do engenheiro responsá-

vel pelos aspectos geotécnicos do projeto de uma barragem de

concreto.


5

2. Solução Analítica

A solução analítica desenvolvida por Muskat [1] para análise do

fluxo convergente a uma linha de poços, perfurada em material

homogêneo e isotrópico e localizada entre dois canais de água,

foi usada por Casagrande [2] para determinar as subpressões

atuantes na base de uma barragem de concreto contendo uma

galeria de drenagem, com drenos lisos, conforme indicado na Fi-

gura 2.

A expressão utilizada por Casagrande [2] para a determinação

das supressões, na base da barragem, foi a seguinte:

( )

ax

ady

ax

ady

dahyxs c

ππ

ππ

π 2cos2cosh

2cos2coshln

4,

−

−

−

+

= (2)

onde s(x,y) é a pressão (mca) em um ponto de coordenadas

(x,y), localizado no plano xy que contém a base da barragem (m),

hc é a carga total (m), "a" é o espaçamento entre os drenos (m)

and "d" é a distância entre a face de montante e a linha de drenos

(m).


6

As simplificações necessárias para a obtenção da expressão (2)

foram as seguintes:

- fluxo permanente e laminar e água incompressível;

- material de fundação homogêneo, saturado, incompres-

sível e isotrópico;

- drenos lisos com comprimento igual à espessura das

fundações;

- fluxo apenas de montante, não ocorrendo fluxo a jusante

da linha de drenos;

- uma única linha de drenos;

- base da barragem horizontal.

Estas simplificações impõem limitações para a aplicação da solu-

ção analítica, representada pela expressão (2), a casos reais.

Como exemplo, a Figura 3 mostra uma seção de uma barragem

de concreto típica que viola as simplificações acima, nos seguin-

tes itens:

- mais de uma linha de drenos;

- drenos menores que a espessura das fundações;

- a base da barragem não é horizontal;

- fluxo ocorre tanto por montante quanto por jusante.


7

3. Solução Numérica

Para contornar as limitações da expressão (2), uma solução nu-

mérica foi desenvolvida, através do método dos elementos finitos,

obedecendo a seguinte seqüência:

- desenvolvimento de um modelo para análises tridimensi-

onais de meios contínuos permeáveis;

- desenvolvimento de um modelo para simular o fluxo em

drenos de seção circular;

3.1. Análises 3D em materiais contínuos e permeáveis

Em meios rochosos contínuos o fluxo de água ocorre através dos

poros do maciço e, para representá-lo, dois tipos de elementos

finitos foram utilizados: hexaedros regulares, com oito nós, e

prismas triangulares regulares com seis nós. Seguindo o pro-

posto por Simunek et al [3], cada hexaedro é subdividido em cin-

co tetraedros e cada prisma triangular é dividido em três tetrae-

dros, na forma indicada na Figura 4.


8

Assim, basta determinar a matriz de rigidez para um tetraedro já

que os outros elementos podem ser obtidos através de uma

montagem adequada de tetraedros.

A Figura 5 mostra uma tetraedro limitado pelos pontos nodais I, J,

K e L e também um sistema global de coordenadas XYZ. Para

um tensor de permeabilidades, simétrico, é possível definir um

sistema de coordenadas X'Y'Z', chamado de sistema principal,

onde o tensor é diagonal e as permeabilidades cruzadas são to-

das iguais a zero. Assumindo a validade da lei de Darcy, tem-se

para o caso tridimensional:

Vx' = kx' ix'

Vy' = ky' iy' (3)

Vz' = kz' iz'

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), K x' é o coefi-

ciente de permeabilidade na direção X' (m/s), ix' é o gradiente hi-

dráulico na direção X', etc.


9

As equações (3) podem ser representadas pela expressão de

Hubbert [4]:

+∂∂−= gP

KV xx

xx ''

'' ρ

+

∂∂−= gP

KV yy

yy ''

'' ρ (4)

+∂∂−= gP

KV zz

zz ''

'' ρ

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), K x' é o coefi-

ciente de permeabilidade na direção X' (m/s), P é a pressão num

ponto no interior do elemento (kN/m2), ρ é a densidade da água

(kN/m3), gx' é a aceleração da gravidade na direção X' (m/s2), ix' é

o gradiente hidráulico na direção X', etc.

Assumindo uma variação linear de P, no interior do tetraedro,

tem-se que:


10

P = α1 + α2x' + α3y' + α4z' (5)

Em forma matricial:

{ }

=

αααα

4

3

2

1

'''1 zyxP (6)

As pressões nos pontos nodais são então:

=

αααα

4

3

2

1

'''1'''1

'''1'''1

zyx

zyx

zyx

zyx

P

P

P

P

lll

kkk

jjj

iii

l

k

j

i

∴ { } [ ]{ }αφ iPi

i = (7)

Invertendo (7) tem-se:

{ } [ ] { }Pii

T

i φα = (8)

Substituindo (6) em (8):

{ } '''1 zyxP = [ ] { }P ii

T

φ ∴ { } [ ]NP = { }Pi (9)


11

A expressão (9) pode ser escrita da seguinte forma:

{ }

=

P

P

P

P

NNNNP

l

k

j

i

lkji (10)

onde, segundo Zienkiewicz [5]:

( )'''61

zdycxbaV

N iiii

i +++=

( )'''61

zdycxbaV

N jjjjj +++=

(11)

( )'''61

zdycxbaV

N kkkkk +++=

( )'''61

zdycxbaV

N lllll +++=

e:

'''1'''1

'''1'''1

det6

zyx

zyx

zyx

zyx

V

lll

kkk

jjj

iii

= (12)


12

sendo "V" o volume do tetraedro e:

'''''''''

detzyx

zyx

zyx

a

lll

kkk

jjj

i =''1''1''1

detzy

zy

zy

b

ll

kk

jj

i −=

(13)

'1''1''1'

detzx

zx

zx

c

ll

kk

jj

i −=1''1''1''

detyx

yx

yx

d

ll

kk

jj

i −=

As outras constantes são obtidas através de uma rotação cíclica

dos índices, na ordem i, j, k, l.

Das expressões acima tem-se que:

=

∂∂∂∂∂∂

'

'

'

z

y

x

P

P

P

dddd

cccc

bbbb

Vlkji

lkji

lkji

61

P

P

P

P

l

k

j

i

(14)

Das expressões (4) e (14) tem-se que:


13

−=

K

K

K

V

V

V

z

y

x

z

y

x

'

'

'

'

'

'

000000

+

g

g

g

P

P

P

P

dddd

cccc

bbbb

Vz

y

x

l

k

j

i

lkji

lkji

lkji

'

'

'

61

ρρρ

(15)

onde:

[ ]

−=

K

K

Kk

z

y

x

'

'

'

000000

(16)

and:

[ ] =B

dddd

cccc

bbbb

lkji

lkji

lkji

(17)

De acordo com Desai e Cristian [6], em termos de coordenadas

globais:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

V

V

V

z

y

x

,'cos,'cos,'cos,'cos,'cos,'cos,'cos,'cos,'cos

V

V

V

z

y

x

'

'

'

(18)

De acordo com Kealy and Busch [7], tem-se:


14

[ ]

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+∂∂

+∂∂

+∂∂

gP

gP

gP

C

gP

gP

gP

zz

yy

xx

T

zz

yy

xx

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

''

''

''

(19)

Assim, a expressão (15) pode ser escrita como:

[ ] [ ] [ ]CkC

V

V

VT

z

y

x

−=

[ ]

+

g

g

g

P

P

P

P

BV

z

y

x

l

k

j

i

ρρρ

61

(20)

onde Vx, Vy e Vz são as velocidades do fluxo, em termos de coor-

denadas globais.

De acordo com Desai [8], o fluxo nos nós é igual a :

[ ]

−=

V

V

V

B

Q

Q

Q

Q

z

y

xT

l

k

j

i

61

(21)

Substituindo (20) em (21):


15

[ ]B

Q

Q

Q

Q

T

l

k

j

i

61=

[ ] [ ][ ]CkC T [ ]

+

g

g

g

P

P

P

P

BV

z

y

x

l

k

j

i

ρρρ

61

(22)

A matriz

[ ] [ ]BV

K T

361= [ ] [ ][ ] [ ]BCkC T (23)

é a matriz de rigidez do tetraedro.

3.2. Fluxo em drenos lisos

A Figura 6 indica um elemento finito unidimensional, limitado pe-

los nós I e J, que representa um dreno circular com fluxo na dire-

ção X'. Indica-se ainda, um sistema de coordenadas globais XYZ.

Assumindo que a lei de Darcy, para tubos circulares lisos, possa

representar o fluxo de água nos drenos, tem-se que:

Vdreno ν32

2Dg= i (24)


16

Onde Vdreno é a velocidade do fluxo no dreno (m/s), g é a acelera-

ção da gravidade (m/s2), D é o diâmetro do dreno (m) and ν é a

viscosidade cinemática da água.

A equação (24) pode ser escrita como:

Vx' = K x' i x' (25)

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), Kx' é o coefi-

ciente de permeabilidade do dreno liso, "equivalente" ao coefici-

ente de permeabilidade K de um meio poroso, na direção X'

(m/s) e ix' é o gradiente hidráulico na direção X'.

Comparando-se as equações (24) e (25), tem-se:

Kx' ν32

2Dg= (26)

A equação (25), de acordo com Hubbert's [4], pode ser expressa

da seguinte forma:

+∂∂−= gP

KV xx

xx ''

'' ρ (27)


17

onde Vx' é a velocidade do fluxo na direção X' (m/s), Kx' é o coefi-

ciente de permeabilidade na direção X' (m/s), P é a pressão em

um ponto no interior do elemento (kN/m2), ρ é a densidade da

água (kN/m3) e gx' é o componente da aceleração da gravidade,

na direção X' (m/s2).

Assumindo uma variação linear para P, no interior do dreno:

P = α1 + α2x' (28)

E, em forma matricial:

{ }

=αα

2

1'1 xP (29)

Da equação (28) tem-se:

α2'=

∂∂xP

(30)

Aplicando a equação (28) aos nós I e J:

=

αα

2

1

'1'1

x

xP

P

j

i

j

i (31)


18

A inversão de (31) permite determinar α1 e α2:

−

−−

=

P

Pxx

xx j

iij

ij11

''''

12

1

αα

(32)

A substituição de (30) e (32) em (27) permite determinar a veloci-

dade no dreno:

{ } [ ] [ ] [ ]{ }gKP

P

xxKV xx

j

i

ij

xx '''' 11''

1 ρ−

−−

−= (33)

O fluxo nos nós I e J pode ser expresso por:

Θ−Θ

+

−

−=

sensen

'

'

''

''

gkA

gkA

P

P

LkA

LkA

LkA

LkA

Q

Q

x

x

j

i

xx

xx

j

i

ρρ

(34)

onde Qi é o fluxo no nó I (m3/s), Qj é o fluxo no nó J (m3/s), A é a

área da seção transversal do dreno (m2), Kx' é o coeficiente de

permeabilidade "equivalente" do dreno (m/s), Pi é a pressão no

nó I (kN/m2), Pj é a pressão no nó J (kN/m2), Θ é o ângulo entre

as direções X e X' (0), ρ é a densidade da água (kN/m3) e g é a

aceleração da gravidade (m/s2).


19

Na expressão (34), a matriz:

{ }

−

−=

LkA

LkA

LkA

LkA

Kxx

xx

''

''

(35)

é a matriz de rigidez do elemento dreno.

3.3. Solução do sistema de equações

Seguindo o exposto em Kealy and Busch [7], considerando-se

todos os elementos conectados a um nó "M" qualquer, a conti-

nuidade do fluxo neste nó será assegurada por:

∑=

=m

i

i

MQ

1

0 (36)

onde "m" é o número total de elementos conectados ao nó "M" e

"i" é o elemento a partir do qual Qi

Mé computado.


20

4. Verificação da precisão do modelo

A Figura 7 mostra uma barragem de concreto, apoiada em mate-

rial homogêneo e isotrópico, juntamente com os dados necessá-

rios para utilização da solução analítica (2).

A Figura 8 indica a malha de elementos finitos tridimensionais,

utilizada para a análise da percolação nas fundações da barra-

gem indicada na Figura 7.

Os resultados obtidos pelas duas soluções estão indicados na

Figura 9 e na Figura 10 que mostram os diagramas de subpres-

são na base da barragem de concreto, tanto no sentido montan-

te-jusante quanto no sentido ombreira-ombreira.. As duas seções

foram traçadas passando pelos drenos.

5. Conclusões

Os resultados das análises, indicadas na Figura 9 e na Figura 10,

mostram uma aderência muito boa entre os resultados obtidos

através da solução analítica e através do modelo numérico pro-

posto, para as subpressões na base da barragem.


21

Embora a solução numérica tenha eliminado a maioria das limita-

ções da solução analítica, ela ainda possui algumas limitações

como as que exigem que o material de fundação seja contínuo e

que os drenos sejam lisos. Apesar destas limitações, os resulta-

dos das análises indicaram que a solução numérica proposta

pode ser utilizada, de forma adequada, em análises de percola-

ção de casos reais de barragens de concreto.


22

Referências bibliográficas

[1] Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous

media. Ann Arbor: J.M. Edwards: 1946.

[2] Casagrande A. Control of seepage through foundations and

abutments of dams. Primeira "Rankine lecture". Milestones in

soil mechanics. London: Institution of Civil Engineers: 1975:1-

21.

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variably-saturated media. Riverside. California. Research re-

port no. 139: U.S. Salinity Laboratory: 1995.

[4] Hubbert MK. The Theory of Ground-Water Motion. J. Geol.

Vol. 48. No. 8. Parte 1: 1940: 785-944.

[5] Zienkiewicz OC. The finite element method. London:

McGraw-Hill: Terceira edição: 1977.


23

[6] Desai CS e Christian JT. Numerical methods in geotechnical

engineering. Nova Iorque: McGraw-Hill: 1977.

[7] Kealy CD e Busch RA. Determining Seepage Characteristics

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gton: US Bureau of Mines Report of Investigation: RI-7477:

1971.

[8] Desai CS e Abel JF. Introduction to the finite element

method. Nova Iorque: Van Nostrand Reinhold: 1972.

[9] Da Silva Filho JF. Modelo numérico para a análise do fluxo tri-

dimensional de água através das fundações de barragens de

concreto assentes sobre rochas contínuas permeáveis. Tese

de doutorado apresentada ao Curso de Pós-Graduação em

Engenharia Metalúrgica e de Minas, da Universidade Federal

de Minas Gerais: 2002.


24

Figura 1 - Forças que atuam numa típica barragem de concreto


25

Figura 2 - Barragem de concreto com uma galeria

de drenagem e uma linha de drenos


26

Figura 3 - Seção transversal - Estruturas da

tomada d'água e casa de força


27

Figura 4 - Subdivisão de prismas em tetraedros [3]


28

Figura 5 - Tetraedro submetido a um fluxo tridimensional


29

Figura 6. Elemento finito unidimensional (dreno)


30

Figura 7 - Dados para determinação das subpressões


31

Figura 8 - Malha de elementos finitos


32

Figura 9 - Diagrama de subpressões na base de barra-

gem de concreto - Seção montante-jusante


33

Figura 10 - Diagrama de subpressões na base de barra-

gem de concreto - Seção ombreira-ombreira

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