-Sumrio Prefcio ix

1 Introduo 1 1.1 1.2

Histrico Aplicaes de Elementos Finitos Referncias

1 6 8

2 Aproximao Direta para Sistemas Discretos 9 9 2.1

2.2

2.3 2.4 2.5 2.6

Descrio do Comportamento de um Elemento de Barra Simples Equaes para um Sistema 2.2.1 Equaes para Montagem 2.2.2 Condies de Contorno e Soluo do Sistema Aplicaes a Outros Sistemas Lineares Sistemas de Trelias Bidimensionais Lei da Transformao Sistemas de Trelias Tridimensionais Referncias Problemas

12 14 16 19 22 24 28 29 29

3 Formulaes Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 32 3.1 Formulao Forte em Problemas Unidimensionais 33

3.1.1 Formulao Forte para uma Barra Elstica Carregada Axialmente 33 3.1.2 Formulao Forte para Conduo de Calor Unidimensional 35 3.1.3 Difuso Unidimensional 36

3.2 Formulao Fraca Unidimensional 37 3.3 Continuidade 39 3.4 Equivalncia entre as Formulaes Fraca e Forte 40 3.5 Anlise de Tenses Unidimensional com Condies de Contorno Arbitrrias 45

3.5.1 Formulao Forte para Anlise de Tenses Unidimensional 46 3.5.2 Formulao Fraca para Anlise de Tenses Unidimensional 47

3.6 Conduo de Calor Unidimensional com Condies de Contorno Arbitrrias 47 3.6.1 Formulao Forte para Conduo de Calor Unidimensional com Condies de

Contorno Arbitrrias 47 3.6.2 Formulao Fraca para Conduo de Calor Unidimensional com Condies de

Contorno Arbitrrias 47 3.7 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condies de Contorno Generalizadas 48

3.7.1 Formulao Forte para Problemas de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condies de Contorno Generalizadas 48

3.7.2 Formulao Fraca para Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condies de Contorno Generalizadas 50

3.8 Adveco-Difuso 50 3.8.1 Formulao Forte da Equao de Adveco-Difuso 50 3.8.2 Formulao Fraca da Equao de Adveco-Difuso 5 I

3.9 Energia Potencial Mnima 52 3.10 Integrabilidade 55

Referncias 56 Problemas 56

4 Aproximao de Solues Tentativas, Funes Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 4.1 4.2

Elemento Linear com Dois Ns Elemento Quadrtico Unidimensional

60 61 63

vi SUMRIO

L.

4.3 4.4 4.5 4.6

Construo Direta das Funes de Forma em uma Dimenso Aproximao das Funes Peso Aproximao Global e Continuidade Quadratura de Gauss Referncia Problemas

64 65 65 67 70 70

5 Formulao de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais 72

5.1 Desenvolvimento da Equao Discreta: Caso Simples 72 5.2 Matrizes Elemento para Elemento com Dois Ns 76 5.3 Aplicao a Problemas de Conduo e Difuso de Calor 77 5.4 Desenvolvimento de Equaes Discretas para Condies de Contorno Arbitrrias 82 5.5 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condies de Contorno Generalizadas 87 5.6 Convergncia do MEF 88

5.6.1 Convergncia por Experimentos Numricos 90 5.6.2 Convergncia por Anlises 92

5.7 MEF para a Equao de Adveco-Difuso 94 Referncias 96 Problemas 96

6 Formulaes Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais 102

6.1 Teorema da Divergncia e Frmula d~ Green 104 6.2 Formulao Forte 108 6.3 Formulao Fraca 111 6.4 A Equivalncia entre as Formulaes Forte e Fraca 112 6.5 Generalizao para Problemas Tridimensionais 113 6.6 Formulaes Forte e Fraca para Adveco-Difuso Escalar em Regime Permanente

Bidirnensional 114 Referncias 115 Problemas 116

7 Aproximaes de Solues Tentativas, Funes Peso .e Quadratura de Gauss para Problemas Multidimensionais 7.1 Completude e Continuidade 7.2 Elemento Triangular com Trs Ns

7.2.1 Aproximao Global e Continuidade 7 .2.2 Elementos Triangul~Jres de Ordem Superior 7 .2.3 Derivadas de Funes de Forma para o Elemento Triangular com Trs Ns

7.3 Elementos Retangulares com Quatro Ns 7.4 Elemento Quadrilateral com Quatro Ns

7 .4.1 Continuidade de Elementos Isoparamtricos 7 .4.2 Derivadas de Funes de Forma lsoparamtricas

7.5 Elementos Quadrilaterais de Ordem Superior 7.6 Coordenadas Triangulares

7.6.1 Elemento Triangular Linear 7.6.2 Elementos Triangulares Isoparamtricos 7 .6.3 Elemento Cbico 7.6.4 Elementos Triangulares pelo Colapso dos Elementos Quadrilaterais

7.7 Completude de Elementos lsoparamtricos 7.8 Quadratura de Gauss em Duas Dimenses

7.8.1 Integrao sobre Elementos Quadrilaterais 7 .8.2 Integrao sobre Elementos Triangulares

- 7 .9 Eementos Tndimensionais --- 7.9 .1 Elementos Hexad.ricos 7.9.2 Elementos Tetradricos Referncias Problemas

6 Formulao de Elementos Finitos para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais 8.1 8.2 8.3

Formulao de Elementos Fmitos para Problemas de Conduo de Calor Bidimensionais Verificao e Validao Equao de Adveco-Difuso Referncias Problemas

118 119 120 123 124 125 125 127 129 130 131 134 134 136 137 137 138 139 139 140 i4I 141 143 145 145

147 147 157 160 163 163

SUMRIO vi i

9 Fonnulao de Elementos Finitos para Problemas de Campo Vetorial -Elasticidade Linear 167 9.1 Elasticidade Linear 167

9.1.1 Cinemtica 168 9.1.2 Tenso e Trao 170 9.1.3 Equilibrio 171 9.1.4 Equao Constitutiva 172

9.2 Formulaes Forte e Fraca 173 9.3 Discretizao de Elementos Finitos 175 9.4 Elemento Triangular com Trs Ns 177

9.4.1 Matriz de Fora de Campo do Elemento 178 9.4.2 Matriz de Fora de Contorno 178

9.5 Generalizao das Condies de Contorno 179 9.6 Discusso 185 9.7 Equaes da Elasticidade Linear em Trs Dimenses 186

Problemas 187

10 Formulao de Elementos Finitos para Vigas 192 10.1 Equaes de Governo da Viga 192

10.1.1 Cinemtica da Viga 192 10.1.2 Lei da Tenso-Deformao 194 10.1.3 Equilbrio 195 10.1.4 Condies de Contorno 196

10.2 Formulao Forte para Formulao Fraca 197 10.2.1 Formulao Fraca para Formulao Forte 198

10.3 Discretizao de Elementos Finitos 199 10.3.1 Aproximaes da Soluo Tentativa e da Funo Peso 199 10.3.2 Equaes Discretas 201

10.4 Teorema da Energia Potencial Mnima 201 10.5 Observaes sobre Elementos de Casca 205

Referncia 208 Problemas 208

11 Thtoriais para o Programa Comercial de Elementos Finitos ABAQUS pela ABAQUS, Inc. 212 11.1 Introduo 212

11.1.1 Exemplo de Conduo de Calor em Regime Permanente 212 11.2 Preliminares 213 11.3 Criando um Objeto 213 11.4 Criando uma Definio do Material 215 11.5 Definindo e Designando Propriedades de Seo 215 11.6 Montando o Modelo 216 11.7 Configurando a Anlise 216 11.8 Aplicando uma Condio de Contorno e uma Carga ao Modelo 216 11.9 Gerando Malhas no Modelo 218 11.10 Criando e Submetendo um Trabalho para Anlise 219 11.11 Examinando os Resultados da Anlise 219 11.12 Resolvendo o Problema Usando Quadrilaterais 220 11.13 Refinando a Malha 220

11.13.1 Curvatura de uma Viga Curta em Balano 221 11.14 Copiando o Modelo 221 11.15 Modificando a Definio do Material 221 11.16 Configurando a Anlise 222 11.17 Aplicando uma Condio de Contorno e uma Carga ao Modelo 222 11.18 Gerando Malhas no Modelo 223 11.19 Criando e Submetendo um Trabalho para Anlise 223 11.20 Examinando os Resultados da Anlise 224

11.20.1 Placa com um Furo sob Tenso 224 11.21 Criando um Novo Modelo 225 11.22 Criando um Objeto 225 11.23 Criando uma Definio do Material 225 11.24 Definindo e Designando Propriedades de Seo 226 11.25 Montando o Modelo 227

-

vii SUMARIO

. '

11 .26 Configurando a Anlise 11.27 Aplicando uma Condio de-Contorno e uma Carga ao Modelo 11.28 Gerando Malhas no Modelo 11.29 Criando e Submetendo um Trabalho para Anlise 11 .30 Examinando os Resultados da Anlise 11.31 Refinando a Malha

12 Programao de Elementos Finitos com MATLAB (no ste www.ltceditora.com.br)

Apndice

A. l Rotao do Sistema de Coordenadas em Trs Dimenses A.2 Teorema do Produto Escalar A.3 Frmula de Taylor com Resto e o Teorema do Valor Mdio A.4 Teorema de Green A.5 Fora em um Ponto (Fonte) A.6 Condensao Esttica A. 7 Mtodos de Soluo

Solues Diretas Solues Iterativas Condicionamento

Referncias Problemas

ndice

227 227 229 230 231 231

232 232 233 233 233 235 236 236 237 238 238 239 239

---

UM BREVE GLOSSRIO DA NOTAO

Escalares, Vetores, Matrizes a, B Escalares a, B Matrizes ,B Vetores a,. B u Componentes matriciais ou vetoriais

Inteiros

e

Conjuntos

Nmero de pontos nod~is Nmero de elementos Nmero de pontos de Gauss Nmero de ns do elemento ndice do elemento Delta de Kronecker

V Para todo U Unio n Interseo E Pertence C Est contido

Espaos, Continuidade U Espao de solues tentativas U0 Espao de funes peso C" Funes cujas /'1""" derivadas em O :S j :S n so

contnuas H' Um espao de funes com s derivadas do quadrado

integrvel

Formulaes Fortes- Geral n Domnio do problema f Contorno do domnio n = (n,, n) Normal unitrio a r(n = :t 1 em lD) (x, y) Coordenadas fsicas (x em I D) A, As Matrizes gradiente e gradiente simtrico ~ Vetor gradiente

Formulao Forte- Conduo de Calor T q = (q.,. qy rr . r, s q,'t D k.tr, k . .,. k.rr

Temperatura Fluxo (q em lD) Contorno essencial Contorno natural Fonte de calor Fluxo de contorno e temperatura Matriz de condutividade Condutividades (k em lD)

Formulao Forte - Elasticidade u = (u,, ul Deslocamentos (u em lD) x, )' Vetores tenso agindo sobre os planos normais s

direes x e y e, u Matrizes deformao e tenso (e eu em ID) -r Tensor tenso e .. , e,., y.rr Componentes de deformao fi .... fi,.. fi .rr Componentes de tenso b = (b,, bY Foras de campo (bem lD) t = (t,, tl Traes E, v Mdulo de Young e coeficiente de Poisson D Matriz mdulos do material i= (ix, iyf Trao prescrita (f em lD) = (x, ,.l Deslocamentos prescritos ( em lD) r .. r, Contornos essencial (deslocamento) e natural (trao)

Formulao Forte -Vigas u'f (x) Deslocamento em x na linha central m(x) Momento interno s(x) Fora de cisalbamento interna p(x) Carregamento distribudo I Momento de inrcia K Curvatura u

Deslocamentos verticais Rotaes

PREFCIO xl

m,s y, r ... r, r .. r,

Momentos prescritos e foras de cisalhamento Deslocamentos verticais prescritos e rotaes Contorno natural: momentos e cisalbamento Contorno essencial: deslocamentos verticais e rotaes

Elementos Finitos - Geral O Domnio do elemento e (/'em ID) A' rea do elemento e (rea da seo transversal em lD) xf,yf Coordenadas do n/ no elemento e N', N Matrizes funo de forma do elemento e global B', B Matrizes derivada da funo de forma do elemento e

v v r J' 9',fl' w',wl

~ g, 11 gl x(g, 1/) y(g, 'l'J) K E' K,. Ku w

R'

global Matriz reunio Matriz com coeficientes dispersos Matriz jacobiano Solues tentativas do elemento e global Funes peso do elemento e global Pesos da quadratura de Gauss Coordenada de referncia/natural Mapeamento da coordenada x Mapeamento da coordenada y Partio em E e F ns Matriz global de funes peso Matriz rotao do elemento para o sistema de coordenada global

Elementos Finitos - Conduo de Calor 7.' Temperatura do elemento finito d, d' Matrizes de temperatura global e do elemento K, K Matrizes de condutncia global e do elemento f r, rf Matrizes de fluxo de contorno global e do elemento f n, f Matrizes fonte global e do elemento r Matriz residual global f Matriz de fluxo global

Elementos Finitos -Elasticidade

d,d' K,K fr,rf fn,f f, f' r

Deslocamentos do elemento finito Deslocamentos no n/ do elemento nas direes x e y, respectivamente Matrizes deslocamento global e do elemento Matrizes de rigidez global e do elemento Matrizes fora de contorno global e do elemento Matrizes fora de campo global e do elemento Matrizes fora global e do elemento Matriz fora de reao global

Elementos Finitos - Vigas u;. Deslocamentos verticais do elemento finito d' Matriz deslocamento do elemento K, K' Matrizes de rigidez global e do elemento f r, fj. Matrizes fora de contorno global e do elemento fn, f Matrizes fora de campo global e do elemento f, f' Matrizes fora global e do elemento r Matriz fora de reao global

1. 1 HISTRICO

1 Introduo

M uitos fenmenos em engenharia e cincias podem ser desctitos em tennos de equaes diferenciais parciais. Em geral, solucionar essas equaes por meio de mtodos analticos clssicos para geometrias arbitrrias quase impossvel. O mtodo de elementos finitos (MEF) uma aproximao numrica com a qual essas equaes dife-renciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. Do ponto de vista da engenharia, o MEF um mtodo para resolver problemas de engenharia, tais como anlise de tenses, transferncia de calor, escoamento de fluidos e eletromagnetismo, por simulaes de computador.

Milhes de engenheiros e cientistas em todo o mundo usam o MEF para prever o comportamento estrutural, mecnico, tnnico, eltrico e qumico de sistemas, tanto na etapa de projeto quanto na de anlise de desempenho. Sua popularidade pode ser atribuda ao fato de que mais de US$ 1 bilho gasto por ano nos Estados Unidos em programas de computador sobre MEF e em tempo computacional. Em 1991, uma lista de referncias bibliogrficas (N oor, 1991) foi publicada com cerca de 400 livros sobre elementos finitos escritos em ingls e outros idiomas. Uma pesquisa feita na internet em 2006 para a frase "elementos finitos", usando o programa Google, encontrou mais de 14 nlhes de pginas de resultados. Mackerle (http://ohio.ikp.liu.se/fe)relaciona 578 livros de elementos finitos publicados entre 1967 e 2005.

Para explicar a base da aproximao do MEF, considere uma placa com um furo, como mostrado na Figura 1.1, sobre a qual desejamos encontrar a distribuio de temperatura. conveniente.escrever uma equao de balano de calor para cada ponto da placa. Contudo, a soluo da equao diferencial parcial resultante para uma geometria complicada. como a de um bloco de motor, impossvel pelos mtodos clssicos, como o da separao de variveis. Mtodos numricos, como os mtodos de diferenas finitas, so igualmente muito complicados de aplicar a fonnas arbitrrias; os desenvolvedores de programas computacionais no tm comercializado programas com base em diferenas finitas capazes de lidar com geometrias complicadas, comumente encontradas na engenharia. De modo

- ---------semelhante, a anlise-1Je-tenses-requer a soluo-de-equaes diferenciais pareiais,-que-so-muito difceis-de-serem resolvidas por mtodos clssicos, exceto para formas muito simples, como as retangulares, e problemas de engenharia raramente tm tais formas simples.

A idia bsica do MEF dividir o corpo em elementos finitos, muitas vezes chamados apenas de elementos, conec-tados por n6s, e obter uma soluo aproximada como mostra a Figura 1.1. Esta chamada de malha de elementos finitos e o processo para a sua construo conhecido como gerao da malha.

O MEF prov uma metodologia sistemtica com a qual a soluo (no caso do nosso exemplo, o campo de tempe-ratura) pode ser determinada por meio de um programa de computador. Para problemas lin~s. a soluo deter-nnada pela resoluo de um sistema de equaes lineares; o nmero de incgnitas (que so as temperaturas nodais) igual ao nmero nodal. Para obter uma soluo razoavelmente exata, milhares de ns so geralmente necessrios, assim os computadores so essenciais para resolver essas equaes. Geralmente, a exatido da soluo melhora com o aumento do nmero de elementos (e ns), mas o tempo computacional e, em conseqncia o custo, tambm aumentam. O programa em elementos finitos determina a temperatura em cada n e o fluxo ~e calor por meio de

2 CAPITuLO UM

I

Placa com um Furo

Modelo de Elemento Finito

Elemento Finito Triangular

Modelo Refinado de Elemento Finito

Figura 1.1 Geometria. cargas e malhas de elementos finitos.

cada elemento. Os resultados so geralmente apresentados como visualizaes computacionais, tais como grficos de contorno, embora os resultados selecionados sejam freqUentemente produzidos em monitores. Essa informao ento usada nas etapas do projeto de engenharia.

A mesma abordagem bsica usada em outros tipos de problemas. Na anlise de tenses, as variveis de campo so os deslocamentos; em sistemas qumicos, as variveis de campo so as concentraes das substncias; e em eletromagnetismo, procura-se o campo de potencial. O mesmo tipo de malha usado para representar a geometria da estrutura ou do componente e para desenvolver as equaes dos elementos finitos. E para um sistema linear, os valores nodais so obtidos por meio da soluo de grandes sistemas (de 103 a 106 equaes so comuns atualmente, e em aplicaes especiais, 109) de equaes algbricas lineares.

Este texto limitado anlise de elementos finitos lineares (AEF). A maioria das anlises por elementos finitos em projetos de engenharia , ainda hoje, feita com um MEF linear. Na conduo de calor, a linearidade requer que a condutncia seja independente da temperatura. Na anlise de tenses, um MEF linear aplicvel apenas se o compor-tamento elstico do material for linear e os deslocamentos, pequenos. Essas suposies so .discutidas com mais profundidade em outras partes do livro. Em anlise de tenses, para muitos estudos de cargas operacionais, a anlise linear adequada, pois, em geral. indesejvel trabalhar com cargas que possam conduzir o material ao comporta-mento no-linear ou a grandes deformaes. Para simulaes de cargas extremas, tais como cargas de choque e testes de perda de componentes eletrnicos, a anlise no-linear necessria.

9 MEF foi desenvolvido nos anos 1950 pela indstria aeroespacial. Os principais envolvidos foram a Boeing_:_ a Bell Aeroespacial (h muito tempo extinta), nos Estados Unidos e a Rolls Royce no Reino Unido. Em 1956, M.J. Tumer, R.W. Clough, H.C. Martin e L.J. Topp publicaram um dos primeiros artigos no qual expuseram as principais idias crumer er ai., 1956). Eles estabeleceram os procedimentos de montagem da matriz de elementos e folJl)Ula: es para os elementos que voc aprender neste livro, mas no usaram o termo elementos finitos. O segundo autor desse artigo, Ray Clough, era professor em Berkeley, quando foi Boeing para um trabalho de vero. Em seguida, ele escreveu um artigo no qual foi usado pela primeira vez o termo elementos finitos, e ganhou muitos crditos como um dos criadores do mtodo. Ele trabalhou com elementos finitos por poucos anos, e ento retomou aos mtodos experimentais, mas o seu trabalho acendeu uma grande chama em Berkeley, conduzida por jovens professores, prin-cipalmente E. Wilson e R .L. Taylor e por estudantes de ps-graduao como T.J.R. Hughes, C. Felippa e K.J. Bathe, e Berkeley tomou-se o centro de pesquisas em elementos finitos por muitos anos. Essa pesquisa coincidiu com o rpido crescimento da potncia de computadores, e o mtodo foi rapidamente usado de modo amplo nas indstrias de energia nuclear, de defesa, automotiva e aeronutica.

Inicialmente, a maior parte da comunidade cientfica viu o MEF de forma muito cptica, e alguns dos peridicos de maior prestgio se recusaram a publicar artigos sobre o mtodo: a tpica resistncia da humanidade (e, em parti-

~-:---...--------------------------

lrrtroduo 3

cular, das comunidades acadmicas) para o novo. Sem criticar, vrios pesquisadores competentes reconheceram logo as vantagens do mtodo, mais notadamente, O.C. Zienlewicz e R.H. Gall~(em..Comell)_O~C-Zienkie.\!licz fundou um renomado grupo em Swansea no Pas de Gales, que incluiu B. Irons, R. Owen e muitos outros que criaram conceitos novos, como os elementOS isoparamtricos e os mtodos de anlis~ no-linear. Outros colaboradores novos e importantes foram J.H. Argyris e J.T. Oden.

Posteriormente, matemticos descobriram um artigo de f._ourant, de 1943...no qual ele usou elementos triangulares com princpios variacionais para .resolver problemas de vibrao. Em conseqncia, muitos matemticos reclamam que esta foi a descoberta original do mtodo (isso lembra um pouco a reclamao de que foram os Vlki.ngs que desco-briram a Amrica, e no Colombo). interessante que por muitos anos o MEF necessitou de uma base terica, isso , no havia uma prova matemtica de que as solues por elementos finitos davam a resposta correta. No incio dos anos 1960, essa rea despertou o interesse de muitos matemticos, que mostraram que, para problemas lineares, tais como aqueles que abordaremos neste livro, as solues por elementos finitos convergem para a soluo correta da equao diferencial parcial (desde que certos aspectos do problema sejin suficientemente contnuos). Em outras palavras, mostrou-se que se o nmero de volumes de controle aumentar, as solues melhoram e tendem, no limite, a ser a soluo exata das equaes diferenciais parciais.

E. Wilson desenvolveu um dos primeiros programas em eiementos finitos que foi amplamente usado. A rpida popularidade se deve ao fato de ele ser livre (gratuito), o que era muito comum no incio dos anos 1960, pois o valor comercial dos programas no era reconhecido naquela poca. O programa era limitado anlise de tenses bidi-mensional. Ele foi" usado e modificado por muitos grupos acadmicos de pesquisa e laboratrios industriais e foi um instrumento que comprovou a fora e a versatilidade de elementos finitos a muitos usurios.

Ento, em 1965. a NASA iniciou um projeto para desenvolver um programa com objetivo. geral em elementos finitos com um grupo da Califrnia liderado por Dick MacNeal. Esse programa, que ficou conhecido como NASTRAN. i_ncluiu um amplo conjunto de possibilidades, tais como a arliSede tenses em duas e trS dime.ns..es,..em..vig~ elementos de casca, para anlise de estruturas complexas, como armaduras de avio, e anlise de vibra~es e resp.QS.tas. transientes de car~as dinmicas. A NASA despendeu US$ 3 milhes nesse projet9 (o .equivalente a US$30 milhes hoje); O programa inicial foi de domnio pblico, mas ele tinha muitos problemas. Logo aps a finalizao do progtama, Dick MacNeal e Bruce McCormick fundaram uma empresa que cuidou mais dos problemas do programa, comercializando-o para a indstria. Por volta de 1990, o programa foi o cavalo de batalha de grandes empresas, e a companhia MacNeal-Schwendler contava com um patrimnio financeiro de US$100 milhes.

Mais ou menos na mesma poca, John Swanson desenvolveu um programa em ele~ntos.finitos.para.a...W.estinghous.e Electric Corp. para anlise de reatores nucleares. Em-1-969, Swanson deixou a Westinghouse para lanar no mercado um programa chamado ANSYS. O programa tinha capacidade para resolver problemaS lineares e no-!ineare:;, e foi logo amplamente adotado por muitas companhias. Em 1996, q~~ti[tomo-se pblico, e em 2006 teve uma capi-talizao de US$1,8 bilho. -' .

Um outro pacote computacional no-linear de safra mais recente oLJ-~W~'. Esse pro~ foi PF!!l~k~mente desenvolvido no Livermore National Laboratocy pQr John.Hallquist. Em 1989, John Hallquist deixou esse ibftrioifulidSpipri""cmpnhia:a. LTvermoreS-;;~are and T~hnology, que comercializao programa. Inicialmente, o programa tinha apenas capacidade para resolver problemas dinmicos e no-lineares . .E era usado principalmente para ensaios de impactos, laminao de metais e simulaes padtes, como teste de perdas. Mas, Hallquist rapidamente acrescentou vrias capacidades, assim como anlises estticas. Por volta de 2006, a compa-nhia tinha uase 60 empregados.

p Q~ foi desenvolvido por uma companhia chamada HKS, uefoi fundada em 1978. O ~a co~o objetivo inicial as aplicaes no-lineares, mas gradualmente tambm foram adicionadas capacidades para apli-caes lineares. O programa foi amplamente usado por pesquisadores, porque HKS introduziu portas no progrma e com isso pennitiu que os usurios adicionassem novos modelos e elementos. Em 2005, a companhia foi vendida para a Dassault Systemes por US$ 413 milhes. Como se pode notar, 5% das aes dessas companhias geraram um belo p-de-meia. por isso que osjovens deveriam sempre pensar em abrirse~ prprios negcios; geralm~nte, isso muito mais lucrativo e excitante do que trabalhar para uma grande corporao.

Em muitos projetos industriais, o banco de dados de elementos finitos toma-se um componente-chave do produto desenvolvido, pois usado para uma grande quantidade de diferentes anlises, embora em muitos casos a malha precise ser moldada para aplicaes especficas. Um banco de dados de elementos finitos tem interface com o banco de dados CAD*., e freqUentemente gerado a partir do banco de dados .~. Infelizmente, em ambientes atuais, os

---- ------ ----- --dois-so substancialmente-diferentes.-Portanto;-sistemas-de-elemento&finitos-contm-tradutores; que gerammaihas . de ele.mentos finitos a partir do banco de dados CAD; eles podem tambm.gerar mJ.has de elementos finitos a p~r

da digitao de dados da superfcie analisada. A necessidade de duas bases de dados causa grandes dores de cabea e um dos maiores obstculos em anlises computacionais atualmente, pois as duas bases no so compatveis.

A disponibilidade de uma grande variedade de capacidades de anlises em um programa toma possveis as anlises de muitos problemas complexos da vida real. Por exemplo, o escoamento emtomo de um carro e pelo compartimento do motor pode ser obtido por um solucionador de equaes diferenciais de fluidos, chamado em ingls de compu-tational fiuid dynamics (CFD). Iss!) permite aos projetistas prever o fator de arrasto e a forma do escoamento no compartimento do motor. O escoamento pelo ompartimento do motor ento usado como uma base para os clculos

A sigl_a AJ) significa eril ingl!s Comp

4 CAPITULO UM

da transferncia de calor no bloco do motor e no radiador. Esses clculos levam distribuio de temperaturas, que so combinadas com as cargas, para se obter uma anlise de tenses do motor.

De modo similar, no projeto de um computador ou microdispositivo, as temperaturas nos componentes podem ser determinadas pela combinao da anlise de fluidos (para o ar escoando em torno dos componentes) e da anlise de conduo de calor. As temperaturas resultantes podem ento ser usadas para determinar as tenses nos comp

106

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-= Q. - o gc:;

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10-2

l

6 CAPTULO UM

que podem ser projetados com a ajuda do CAD e do MEF bastante surpreendente, e pode ser feita muito mais rapidamente do que antes. A prxima dcada assistir provavelmente algumas importantes mudanas, e, em vista do risco de. previses, no faremos nenhuma, mas indubitavelmente o MEF exercer um papel em sua vida em tUdo o que voc fizer.

1.2 APLICAES DE ELEMENTOS FINITOS Na seqncia, daremos alguns exemplos de aplicaes de elementos finitos . A faixa de aplicaes de elementos finitos muito ampla para listar, mas para dar uma idia da sua versatilidade listamos as seguintes:

a. anlise de tenses e trmica de peas industriais tais como chips eletrnicos, dispositivos eltricos, vlvulas, tubos, vasos de presso, motores automotivos e aeronuticos;

b. anlises ssmicas de represas, plantas de potncia, cidades e arranha-cus; c. anlise de impacto de carros, trens e aeronaves; d. anlise do escoamento de lquidos refrigerantes, poluentes e contaminantes1 alm de ar em sistemas de venti-

lao; e. anlise eletromagntica de antenas, transistores e componentes de aeronaves; f. anlise de procedimentos cirrgicos, tais como cirurgias plsticas, reconstruo maxilar, correo de escoliose e

muitas outras.

Esta uma lista muito pequena que d a voc apenas uma idia da amplitude das reas de aplicao do mtodo. Novas reas de aplicao esto constantemente surgindo. Assim, h poucos anos, a comunidade mdica ficou muito excitada com as possibilidades de uma medicina preventiva para pacientes especficos.

Uma aproximao em medicina preventiva tem por objetivo usar a visualizao mdica e o monitoramento de dados para construir um modelo de.u.ma parte da.anatomia e da fisiologia de um indivduo. Por exemplo, a Figura 1.3(a) mostra uma mo ferida e uin modelo de elementos finitos. Esse modelo pode ser usado para planejar o proce-dimento cirrgico e aperfeioar a sutura do local.

Modelos de corao, como aquele mostrado na Figura 1.3(b), so ainda tpicos preliminares de pesquisa, mas espera-se que eles sejam usados para projetar substituies de vlvulas e muitos outros procedimentos cirrgicos. Uma outra rea em que elementos finitos foram usados por um longo perodo de tempo o projeto. de prteses,. tais como mostrado na Figura 1.3(c). A maioria dos. projetos de prteses ainda genrica, isto , uma simples prtese projetada para todos os pacientes com algumas variaes no tamanho. Contudo, com a medicina preventiva, ainda possvel analisar as caractersticas de um paciente em particular tais como andadura, estrutura ssea e muscular, e chegar a um projeto timo de uma prtese.

A AEF de componentes estruturais reduziu significativamente o tempo do ciclo de um projeto e realou a quali-dade geral do produto. Por exemplo, na indstria automobilstica, a AEF linear usada em anlise de acstica para reduzir barulhos no interior do carro, para anlise de vibraes, para melhorar o conforto, para otimizar a rigidez do chassi e para aumentar o tempo de vida por fadiga dos componentes da suspenso no projeto do motor, de modo que as temperaturas e tenses sejam aceitveis, e em muitas outras tarefas. J mencionamos anteriormente anlises em CFD do bloco e dos compartimentos do motor. Os MEF usados nessas anlises so exatamente como os descritos neste livro. A AEF.no-linear usada para anlise de impactos com modelo tanto para o carro quanto para os o.cupantes; um modelo em elementos finitos para anlise de impacto mostrado na Figura 1.4(a) e um modelo em elementos finitos para anlise da previso de rigidez mostrado na Figura 1.4(c). Observe o extraordinrio detalhamento do ltimo; esses modelos ainda necessitam de centenas de horas de trabalho para serem desenvolvidos. A importncia de tal modelagem que o nmero de prottipos necessrios no processo de projeto pode ser reduzido significativamente.

(a) (b)

Figura 1.3 Aplicaes em medicina preventiva. (a) Malha de cobertura de um modelo de mo perto da ferida.' (b) Seo transversal de modelo de. corao.2 (c) Poro do quadril. para: substituio: objeto fsico e modelo em elementos finitos.3

'Com permisso de Mimic Technologies. 'Conesia de Chandrajit Bajaj, Universidade do Texas em Austin. 3Conesia de Engineering Ditectorate, Lav.,.ence Livennore National Laboratory.

Introduo 7

(3)

Figura 1.4 Aplicaes em projeto de avio e segurana contra impactos de veculo: (a) modelo em elementos finitos para impacto do Ford Taurus;) (b) modelo em elementos finitos da fuselagem do C-130, empenagem e centro de massa e (c) escoamento em tomo de um carro.'

A Figura l.4(b) mostra um modelo em elementos finitos para um avio. No projeto de urna aeronave, impe-rativo que as tenses incursas de milhares de cargas, algumas muito raras, algumas repetitivas, no conduzam a

uma falha catastrfica ou por fadiga. Antes da disponibilidade da AEF, tal projeto seguia um processo evolutivo pesado (em que os novos projetos baseavam-se nos antigos), como a realizao de testes para todas as cargas. Isso no prtico. Com a AEF, possvel fazer muitas mudanas no projeto estrutural, assim como em direo a materias compsitos.

Em uma veia completamente diferente, elementos finitos tambm desempenluim um amplo papel na criao de

leis ambientais e na reduo de danos ao meio ambiente. Por exemplo, a Figura 1.5 uma visualizao da disperso

de um aerossol qumico no meio de Atlanta, obtida por AEF; a concentrao de aerossol representada por cores, coin a maior concentrao em vermelho. Observe que a topografia complexa desta rea em virtude dos arranha-

cus, a qual crucial para a determinao da disperso, pode ser tratada detalhadamente por essa anlise. Outras

reas de reduo de danos, na qual a AEF oferece grandes possibilidades, dizem respeito modelagem de terre-

motos e s respostas ssmicas de construes, as quas esto sendo usadas para melhorar a resistncia ssmica das construes, a modelagem dos efeitos do vento sobre as estruturas e a disperso de calor proveniente das chamins

de usinas de eletricidade. Essa dltima, como a disperso de aerossis, envolve a equao de adveco-difuso, que

um dos tpicos deste livro. A equao de adveco-difuso tambm pode ser usada para modelar a disperso de drogas no corpo humario. Naturaimente, a aplicao dessas equaes para esses diferentes tpicos envolve extensa

modelagem, que o valor adicionado por engenheiros com experincia e conhecimento, e constitui o tpico de

validao, que tratado nos Captulos 8 e 9.

Figura 1.5 Disperso de agentes qumicos e biolgicos em Atlanta. As cores vermelha e azul representam os nveis maiores e menores da concentrao de contaminantes.'

'Cortesia de Engineering Directorate. Lawrencc Livennore National Laboratory. 'Cortesia de Mercer Engineering Research Center. 'Cortesia de Marlc Shephanl, Rensselaer. 'Cortesia de Shahtouz Ali:lbadi.

8 CAPITULO UM

lgebra Matricial e Programas de Computador

REFERNCIAS

Recomenda-se que os estudantes se familiarizem com lgebra matricial e programao antes de se dedicarem a este livro. Uma introduo em lgebra matricial e aplicaes em MATLAB dada em um captulo em verso eletrnica (Captulo 12) que' est disponvel no endereo www. wileyeurope/college!Fisb.

Essa pgina eletr9nica tambm inclui o programa MATLAB, que mencionado neste livro, e outros programas MA1LAB para anlise em elementos finitos. Escolhemos usar uma verso eletrnica de captulo para este mate-rial para fornecer uma opo de atualizao desse material em MATI.AB e para fazer a mudana de programas. Convidamos os leitores que desenvolveram outros programas em elementos finitos no MATLAB a entrar em contato com o primeiro autor (Jacob Fish) sobre a incluso de seus programas. Tambm criamos um blog, onde estudantes e professores podem trocar idias e programas alternativos em elementos finitos. Esse frum de debates apresentado em http://lcoursefem.blogspot.com/

Courant, R. (1943) Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Am. Mcuh. Soe., 42, 2165-86.

Mackerle, J. Linkoping lnstirute of Technology, S-581 83 Linkoping, Sweden, http://ohio.U..']l.liu.se/fe Noor, A.K. (1991) Bibliography of books and monographs on tini te element technology. Appl. Meeh. Rev., 44 (8),

307-17. Tumer. MJ., Clough, R.W., Martin, H.C. and Topp, LJ. (1956) Stiffness and deftection analysis of complex

structures. J. Aeronaut. Sei., 23, 80.5-23.

2 Aproximao Direta para

Sistemas Discretos o mtodo de elementos finitos (MEF) consiste nos seguintes cinco passos:

1. Pr-processamento: subdiviso do donnio do problema.em elementos finitos. 2. Formulao dos elementos: desenvolvimento de equaes para os elementos. 3. Montagem: obteno do sistema global de equaes a partir das equaes individuais dos elementos.

4. Resolu~o das equaes. 5. Ps-processamento: determinao de valores de interesse, tais como tenses e deformaes, e a obteno da visu-

alizao das respostas.

O passo 1, a subdiviso do domnio do problema em elementos finitos em ambiente de engenharia auxiliada por

computadores (CAE) atuais, executado automaticamente por geradores de malhas. Para problemas de trelias, tais como o mostrado na Figura 2.1, cada membro da trelia representado por um elemento finito. O passo 2, a descrio

do comportamento de cada elemento, gerabnente exige o desenvolvimento das equaes diferenciais parciais para

o problema e a sua formulao fraca. Isso ser o principal objetivo dos prximos captulos. Todavia, em situaes simples, tais como sistemas de molas ou trelias, possvel descrever o comportamento de um elemento diretamente,

sem a considerao de uina equao diferencial parcial de governo ou a sua formulao fraca. Neste captulo, colocaremos em evidncia o passo 3, como combinar as equaes que governam os elementos

individuais para obter as equaes do sistema. Os elementos das equaes so expressos na forma matricial. Antes

disso, desenvolvemos algumas matrizes de elementos finitos simples para conjunto de molas e trelias, o passo 2. Tambm introduzimos os procedimentos para o ps-processamento de resultados.

2.1 DESCRIO DO COMPORTAMENTO DE UM ELEMENTO DE BARRA SIMPLES Uma estrutura de trelia, como a mostrada na Figura 2.1, consiste em uma coleo de elementos delgados, freqUen-

temente chamados de barras. Esses elementos de barra so considerados suficient~mente finos, de modo que apre-sentam resistncia toro, dobragem e cisalhamento desprezveis. Conseqentemente, as foras de dobragem, de

cisalhamento e de toro so consideradas inexistentes. As nicas foras internas importantes em barras so as foras

axiais internas, de modo que o comportamento desses elementos similar a0 das molas. Alguns dqs elementos de

barra na Figura 2.1 esto alinhados h~rizontalmente, enquanto outros esto posicionados em um ngulo arbitrrio tf>, como mostrado na Figura 2.2(b). Nesta seo, mostramos como relacionar foras internas nodais, agindo em ns, para os deslocamentos Mdais correspondentes, denotados por (F-1, F;) e(~. u;>. respectivamente, para a barra unidi-mensional mostrada na Figura 2.2(a). Em duas dimenses, as foras nodais de um elemento so (F~ F~ ... F;,, F;) e os deslocamentos nodais so (~ u~ ... u'lz, u;,).

10 CAPITULO DOIS

Figura 2.1 Uma ponte e trelias.

Notao . Em todas as partes deste livro-texto, a seguinte notao usada. Os ndices referentes ao elemento aparecem como sobrescritos. Os ndices os ns aparecem como subscritos; quando a varivel um vetor com componentes. a indicao da componente vem depois do ndice do n. Quando a varivel tem apenas um elemento sobrescrito, ento o ndice do n uma indicao local; caso contrrio, ela um ndice do n global. A distino entre ndice do n local e global ser descrita depois desta seo. Por exemplo, u~: a componente y do deslocamento do n 2 do elemento 5. Iniciaremos considerando elementos alinhados horizontalmente na Seo 2.1. Problemas bidi-menslonais sero considerados na Seo 2.4.

Considere um elemento de barra posicionado ao longo do eixo x, como mostrado na Figura 2.2(a). A forma da seo transversal bastante arbitrria, como mostrado na Figura 2.3. Neste captulo, consideraremos que a barra inflexvel, seu material obedece a lei de Hooke e que pode suportar apenas carregamento axial, isto , ela no trans-mite esforos de dobramento, cisalhamento e toro. O mdulo de Young do elemento e ser denotado por E', a sua seo transversal por A' e o seu comprimento por/'.

Por causa das suposies sobre as foras no elemento, a nica fora interna uma fora interna axial, que coli-near com o comprimento do eixo da barra. A fora interna atravs de alguma seo transversal da barra denotada por p'. Supe-se que a tenso axial constante na seo transversal e dada pela fora interna dividida pela rea de seo transversal.

p u' =-A'

A fora e a tenso axial so positivas na trao e negativas na compresso. As seguintes equaes governam o comportamento da barra:

1. Equihrio do elemento, isto , a soma das foras internas nodais atuando no elemento igual a zero:

F1 +Fi= o.

{2.1)

(2.2)

2. A lei da tenso-deformao elstica, conhecida como lei de Hooke, que estabelece que a tenso O' uma funo linear da deformao e':

a =E' e'. (2.3)

3. A deformao da estrutura deve ser compavel, isto , fendas ou sobreposies no se podem desenvolver na estrutura depois da deformao.

importante reconhecer a diferena entre a conveno de sinal para a fora interna axial (e para a tenso) e aquela para as foras internas nodais. A fora interna p' positiva na trao e negativa na compresso, isto , p' positiva quando aponta para fora da superfcie sobre a qual est agindo; as foras internas nodais so positivas quando elas apontam na direo positiva x e no so associadas com superfcies (veja Figura 2.4 ).

~~ ~. ~ -..=------=>+ . I 2

(:I) (h)

Figura 2.2 Diferentes configuraes de elementos de barra: (a) barra alinhada horizontalmente e (b) elemento de barra posicionado sob um ngulo arbitrrio em duas dimenses (veja Seo 2.4).

' ,.

' '

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 11

T Figura 2.3 Ex~ pios de sees transversais de 'um elemento de barra

. . .

Tambm necessitaremos de uma definio de defonnao para aplicar-se a lei de Hooke. Apenas a deformao axial e diferente de zero, sendo definida como a razo entre a elongao f/ pelo comprimento original do elemento:

e =F (2.4)

.Agora, desenvolveremos a matriz de rigidez do elemento, que relaciona foras internas nodais dos elementos aos deslocamentos nodais do elemento. A matriz de fora interna do elemento denotada por F" e a matriz de desloca-mento do elemento por d. Para esse elemento de dois ns, essas matrizes so dadas por:

~= [~]. d.- [~1 - "2J'

A matriz K de rigidez do elemento que relaciona essas matrizes ser agora desenvolvida. A matriz obtida pela aplicao da lei de Hooke, das equaes de tenso-deformao e das condies de equih'brio:

Fi = p' =A' cr definio de tenSo (Equao [2. i)) = A'f:t' = A~e 6'

e

lei de Hooke

12 CAPITULO DOIS Usando as definies assinaladas, podemos escrever a relao entre as foras nodais e os deslocamentos nodais como

F'= Kd, , [ ~ -~] A'E' [ I onde K = -~ ~ = T - l -1] 1 . (2.11) Aqui, K a chamada matriz de rigidez do elemento. Podemos usar essa rigidez do elemento para alguma rea constante do elemento de barra em uma dimenso. Essa universalizao das matrizes de rigidez do elemento de barra um dos atributos do MEF que leva sua versatilidade: para qualquer elemento de barra com rea constante A' em uma dimenso, a Equao (2.11) fornece a matriz de rigidez. Depois, desenvolveremos matrizes que se aplicaro a qualquer elemento triangular ou quadrilateral com base na soluo fraca de equaes diferenciais em vez de usar argumentos fsicos.

A Equao (2.10) descreve a relao entre as foras nodais e os deslocamentos para um elemento simples, isto , descreve o comportamento de um elemento. Observe que isto uma relao linear: as foras ndais so linear-mente relacionadas com os deslocamentos nodais. Essa linearidade surge da linearidade de todos os ingredientes que descrevem esse comportamento do elemento: a lei de Hooke, a linearidade entre as foras e tenses axiais e a linearidade da expresso para a deformao.

Uma caracterstica importante da matriz de rigidez do elemento que ela simtrica, isto , K' = KtT.

2.2 EQUAES PARA UM SISTEMA O objetivo desta seo descrever o desenvolvimento das equaes para o sistema completo de matrizes de rigidez dos elementos. Introduziremos as operaes de disperso dos coeficientes e de montagem das matrizes que so usadas para esse propsito. Essas so usadas em todas as partes do MEF, inclusive nos problemas mais complexos, assim, o domnio desse procedimento essencial ao aprendizado do MEF.

Descreveremos o processo de desenvolvimento dessas equaes por meio de um e:~Cemplo. Para isso, considere o sistema de duas barras mostrad9 na Figura 2.5, que tambm d as propriedades dos materiais, das cargas e as condi-es de apoio. Em um dos apoios, o deslocamento um valor dado; ns o especificaremos depois. Os deslocamentos nodais e as foras nodais so positivas na direo positiva x.

O primeiro passo na aplicao do MEF dividir a estrutura em elementos. A seleo e gerao de uma malha para modelos em elementos finitos um tpic9 e:~Ctenso que ser discudo em captulos subseqentes. No caso de uma estrutura discretizada como esta, necessrio apenas colocar ns onde as cargas esto aplicadas e em pontos onde as propriedades da seo ou do material mudam; assim, a malha do elemento finito constituda dos dois elementos mostrados na Figura 2.5(b) adequada.

Os elementos so numerados por 1 e 2, e os ns so numerados de 1 a 3; nem os ns nem os elementos necessitam ser numerados em urna ordem especfica no MEF. Comentaremos sobre a numerao de ns na Seo 2.2.2. Em cada n, ou as foras externas ou os deslocamentos nodais so conhecidos, mas no os dois; por exemplo, no n 1 o deslo-camento u1 = u1 prescrito, por isso a fora a ser subseqentemente referida como reao r1 desconhecida. Nos ns 2 e 3 as foras externas.!; e.t; so conhecidas, e por isso os deslocamentos u2 e u3 so desconhecidos.

Para cada elemento mostrado na Figura 2.6, as foras internas so relacionadas com os deslocamentos por meio da matriz de rigidez dada na Equao (2.11 ).

As equaes de rigidez dos elementos, obtidas na Seo 2.1.1, so repetidas aqui por convenincia (e:::: 1, 2):

F' = K''d'" ou [ F1] = [ k'.r F . -/.; (2.12) As equaes do sistema global sero construdas forando-se a compatibilidade entre as condies de equillrio dos elementos e dos ns.

Para desenvolver o sistema de equaes, escreveremos as equaes de equilbrio para os trs ns. Com essa fina-lidade, construmos diagramas de corpo livre dos ns mostrados na Figura 2.7(c). Observe que as foras sobre os elementos so iguais e opostas s foras correspondentes sobre os ns pela terceira lei de Newton.

(a)

(b) cC:JG';.u.l~rz t;. . u~.tr' , 3 (1 l 2 (2) I

Figura 2.5 (a) Estrurura constituda de duas barras e (b) modelo de elemento finito (os nmeros dos elementos esto entre parnteses).

--- ------------------------

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 13

r.", ... ~ ,,, ~'': Figura 2.6 Separao da estrutura da Figura 2.5 em dois elementos.

(2.13)

Cada linha da equao matricial anterior uma equao de equilbrio de um n. No lado direito esto as foras externas aplicadas e as reaes, que so dispostas na matriz f e r, respectivamente. A matriz f consiste nas foras externas prescritas (conhecidas) nos ns,f2 ef3, a matriz r consiste na fora desconhecida no n 1, denotada por r1 .

A equao anterior pode ser resumida assim: a soma das foras internas dos elementos igual soma das foras externas e das reaes. Isso difere um tanto da bem conhecida condio de equillbrio na qual a soma das foras em um ponto precisa anular-se. A razo para essa diferena que as foras nodais dos elementos, que so foras que aparecem na matriz de rigidez do elemento, atuam sobre os elementos. As foras exercidas pelos elementos sobre os ns so iguais e opostas.

Note que as foras dos elementos so indexadas com os subscritos 1 e 2; esses so fndices nodais locais. Os ns da malha so os fndices nodais globais. Os ndices nodais locais de um elemento de barra so sempre os ntlmeros 1 e 2, na direo positiva x. Os ndices globais nodais so arbitrrios. Os ndices nodais globais e locais para este exemplo so mostrados na Figura 2.7(a) e (b), respectivamente.

Usaremos agora as equaes de rigidez do elemento para expressar as foras nodais internas do elemento (lado esquerdo da Equao [2.13]), em termos dos deslocamentos nodais globais do elemento.

Para o elemento), os ndices nodais globais so os ntlmeros 2 e 3, e a equao de rigidez (2.12) fornece

(2.14)

Note que substitumos os deslocamentos nodais por deslocamentos nodais globais. Tal substituio fora a compa-tibilidade, pois assegu.-a que os deslocamentos de elementos com ns comuns fiquem idnticos.

Para o elemento 2, os ndices nodais globais so 1 e 2, e a equao de rigidez (2.12) fornece

[ ~1::] = [ ~~~~) 1;~> ][ :~]. (2.15) As expresses anteriores para foras nodais internas no podem ser substitudas diretamente no lado esquerdo da

Equao (2.13), porque as matrizes no so do mesmo tamanho. Por isso, ampliamos as matrizes de fora interna em (2.14) e (2.15) acrescentando zeros; similarmente, ampliamos as matrizes de deslocamento. Os termos ~s matrizes de rigidez dos elementos em (2.14) e (2.15) so rearranjados e a matriz ampliada ainda mais do que as outras e zeros so adicionados onde esses termos no t!m efeitos. Os resultados so

-~ ~ (a) a. .. .-~~ ...... ~-4 (b)

t ?." ~ (c)~

2

Figura 2.7 Diagramas de corpo livre dos ns e dos elementos (as foras externas so mostradas acima dos ns, mas atuando na mesma linha): (a) sistema completo com os ndices globais. ds ns; (b) diagramas de corpo livre dos elementos com os ndices locais dos ns, e (c) diagramas de corpo livre dos ns.

14 CAPITULO DOIS [), l = [~ o -~(') l [ :: l :F10 = :K11> d . k(l) ou (2.16) F -k{l) k{l) U3 ~ ...____.... F(tl :K!tl d

Observe que adicionamos uma linha de zeros na linha 1 correspondente fora do n 1, de modo que o elemento 1 no exerce fora sobre o n 1, e uma coluna de zeros na coluna 1, de modo que o deslocamento do n 1 no afeta o elemento 1 iretamente. De modo similar, uma equao ampiiada para o elemento 2

ou (2.17)

As matrizes nas equaes anteriores so agora do mesmo tamanho que na Equao (2.13) e podemos substituir as Equaes (2.16) e (2.17) pela Equao (2.13) para obter

ou na forma matricial

(2.18) Essa expresso representa o conjunto das equaes de rigidez e a varivel entre parnteses o conjunto das matrizes de rigidez, que nesse caso dado por

(2.19)

A matriz de rigidez K singular, como pude facilmente ser visto pelo clculo do determinante. Para obter um sistema solucionvel, as condies de contorno devem ser prescritas. Resumiremos agora o que fizemos para obter a matriz de rigidez global. Primeiramente, expandimos as matrizes de rigidez, dispersando os seus coeficientes acrescentando zeros aos espaos vagos. As novas matrizes assim obtidas

so de tamanhos iguais, de acordo com o fndice global de n6s. Ento, adicionamos essas matrizes para obter a matriz global de rigidez. Ento, o processo de obteno da matriz global de rigidez consiste em disperso e adio de matrizes. Isto resumido na Tabela 2.1.

Podemos pular a adio de zeros e montar a matriz global diretamente apenas adicionando os termos nos elementos de rigidez de acordo com o seu ndice de n global como mostrado na Tabela 2.1. Esse processo chamado montagem direta. O resultado equivalent~ ao da matriz com coeficientes dispersos e de adio. A montagem da matriz de rigidez em programas de computadores feita por meio da montagem direta, mas o conceito de matriz com coefi-cientes dispersos e matrizes adicionadas til, pois explica como a compatibilidade e o equilbrio so forados no mbito global.

2.2. 1 Equaes para Montagem A seguir, desenvolveremos os procedimentos de montagem em termos de equaes. Nessa aproximao, a compati-bilidade entre elementos forada relacionando-se os deslocamentos nodais do elemento matriz global de deslo-camento d = [u1 u2 u)]T pelas equaes. Essas equaes so escritas a seguir:

[ (2) J r o 1 o 1 [

1 l d (2) = UI = U2 J2l 1 o o -l ..._____,__.... U3

(2.20)

L (2l

ou em geral

d' = Ld. (2.21)

b

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 15

Tabela 2.1 Matriz com coeficientes dispersos, matrizes adicionadas e montagem direta

Matriz com os coeficiebte:s dispersos e adicionados

Disperso dos coeficientes do elemento 1, ns 3 e 2

K

16 CAPITULO DOIS

Embora tenhamos mostrado a relao entre as foras interna e externa e as reaes para um exemplo especfico, a Equao (2.23) sempre ocorre. A relao geral obtida na Seo 2.5.

Para eliminar as foras internas do elemento (incgnitas) da Equao (2.22), pr-multiplicamos a Equao (2.22) por vr e ento as adicionamos em conjunto. Assim, a pr-multiplicao das equaes do elemento (2.22) por vr fornece

e= 1,2.

Agora vamos definir o sistema de equaes para o sistema inteiro. Pela adio das equaes do elemento (e= 1, 2), obtemos

Kd =f+r, (2.24)

onde K chamado de matriz global de rigidez e dado por

K = fuTKtL' (2.25) e~ I

onde n,1 o nlrnero dos elementos; nesse caso, n,, = 2. A equao anterior d o procedimento de montagem em termos de uma equao. Ela equivalente montagem direta e montagem pela matriz com coeficientes dispersos e das matrizes adicionadas. Sempre que essa equao aparece, indica montagem das matrizes do elemento na matriz global (para malhas gerais, o intervalo de e ser de 1 a n). Pela comparao com a Equao (2.19), podemos ver que

(2.26)

Logo, a matriz de rigidez com coeficientes dispersos corresponde pr- e ps-multiplicao de K por vr e L', respectivamente.

A substituio das expresses das matrizes de rigidez dos elementos (2.12) em (2.24) e usando (2.25) fornece a equao global

(2.27)

Esse sistema de trs equaes pode ser resolvido para as trs incgnitas u2, uJ e r1,como descrito na prxima seo.

2.2.2 Condies de Contorno e Soluo do Sistema Agora prosseguimos com o processo de soluo do sistema de equaes globais. Para isso, vamos considerar os deslocamentos prescritos 1 = 4/Jl) no n I e nas foras externas f; = -4 e f, = 10 atuando nos ns 2 e 3, como mostrado na Figura 2.8.

O sistema de equaes globais (2.27) ento:

(2.28)

Existem vrias formas de modificar essas equaes para impor as condies de contorno de deslocamento. No primeiro mtodo, o sistema global partido, dependendo se o deslocamento do n prescrito ou no. Partimos o sistema de equaes em E ns e F ns. Os E ns so aqueles nos quais os deslocamentos nodais so conhecidos (E refere-se a essencial, cujo significado ficar claro em captulos posteriores), enquanto F ns so aqueles nos quais os deslocamentos no so conhecidos (ou so livres). Os subscritos E e F na matriz global de deslocamento, d = [ ::]. na matriz global de fora, f = [ ~:]. e na matriz de reao, r = [ ~:]. denotam os blocos correspondentes; r F = O porque no h reaes nos ns livres; presume-se que as foras externas neste captulo correspondentes aos E ns desaparecerO, fE = 0.

..t; =lO (I) h= -4 c:!) ~- 4 ~I,=Fzi ~ 3 kfll 2 kfll I lj

Figura 2.8 Dois elementos de estruturas de trelia com foras externas aplicadas e condies de contorno .

. ~ --------------------------------------------------...................... .

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 17

Por convenincia, quando resolvemos as equaes, seja manualmente ou por utilizao do programa MA'Il...AB (Captulo 12), os E ns so numerados inicialmente. Em _Beral, a numerao tima baseada em consideraes de eficincia computacional.

O sistema da Equao (2.28) ento partido como a seguir:

[ !~~;i--kc~f~~fii---::Zm-j-[-~!l;;-~-_:4] 0 ! ~-kl 1) k(l) u3J 10 f

ou (2.29)

onde

KEF = [-k so conhecidas. Se escrevermos a segunda linha da Equao (2.29), teremos

Se subtrairmos o primeiro termo de ambos os lados da equao antericr e pr-mi.Jltiplicannos por K;1, obteremos dp = Kf"1(fp - KL:dE) (2.30)

Essa equao nos pennite obter os deslocamentos nodais desconhecidos. A partio tambm nos pennite obter a fora de reao, r E. Escrevendo a primeira linha de (2.29), obtemos

(2.31)

Como ~ conhecido da Equao (2.30), podemos avaliar o segundo membro da equao anterior para obter a reao r e-Para o problema das duas barras, a soluo dos deslocamentos desconhecidos pela Equao (2.30) usando (2.29)

gera

[u2 ] _ [k+k -k] -1{[-4) _ [-k]r 1 (2)1}

UJ - _ ,t(l) k{l ) 10 0 14 k '

que fornece

A fora de reao encontrada da Equao (2.31) e dada por r1 = - 6.

Pode ser mostrado que ~ definido positivo (veja Problema 12.3 no Captulo 12). O segundo mtodo para imposio das condies de contorno do deslocamento consiste em substituir as equaes

correspondentes aos deslocamentos prescritos por equaes triviais que ajustam os deslocamentos nodais aos seus valores corretos, ou e.m clculos manuais, para modific-los todos juntos. Pomos o produto da primeira coluna de K e u1 no segundo membro e substitumos a. primeira equao por u1 = '1 Isso leva a

0 k(l) + k(l) -k(l) U2 = -4 - ( -k(l))J . _j 1 o o JJ;J [ t l

. --- - _ 0 -k(l) k{l) U3 -~_!E - (0)~~ . (2.32)

Novam~nte, pode-se ver que as equaes anteriores podem ser resolvidas manualmente considerando apenas as duas ltimas equaes.

As reaes podem ser ento calculadas pela avaliao das linhas das equaes totais de rigidez: que do as reaes. Da linha 1 da Equao (2.29), obtemos

,, ~ [(" -

18 . CAPTULO DOIS [1986]). Nesse mtodo, os deslocamentos prescritos so impostos pondo um nmero muito grande na entrada corres-pondente ao deslocamento prescrito. Assim, para o exemplo considerado, mudamos as equaes para

(2.33)

onde {3 um nmero muito grande. Por exemplo, em um computador com oito dgitos de preciso, tomamos {3 -107 em mdia (K;). Os outros termos na linha 1 e na coluna 1 ento ficam irrelevantes porque eles so muito menores que o termo da primeira diagonal, e as equaes so quase idnticas quelas de (2.32).

O mtodo pode ser fisicamente compreendido em anlises de tenses como na unio de uma mola muito rgida entre o n 1 e o suporte, o qual deslocado por '1 A mola rgida ento fora o n 1 a mover-se com o suporte. O mtodo da penalidade mais facilmente compreendido quando i = O; nesse caso, ele corresponde a uma mola presa a um suporte estacionrio e o deslocamento do n I muito pequeno. As reaes podem ser avaliadas como foi feito para os mtodos anteriores. Entraremos em detalhes sobre o mtodo da penalidade nos Captulos 3 e 5.

Exemplo2.1 Trs barras esto unidas como mostrado na Figura 2.9. As extremidades esquerda e direita so fixas, isto , o deslocamento prescrito vale zero para ambas as extremidades. H uma fora de 5 N atuando sobre o n interme-dirio. Os ns so numerados a partir daqueles onde os deslocamentos so prescritos. As matrizes de rigidez dos elementos so

[lj K (l} - [ k(l}

- - k(l)

[i] [1] K(2) = [ k [3] ' -k

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 19

ou

onde

fp= [5]

O sistema reluzido de equaes dado por

(k(t) + k(2) + k(31)u3 = 5 ,

que leva a 5

U) = k(l) + k(2) + k(3)

2.3 APLICAES A OUTROS SISTEMAS LINEARES1 Os mtodos descritos para barras unidimensionais podem tambm ser usados diretamente para outros sistemas. Para os mtodos serem aplicveis, os sistemas devem ser caracterizadas por

1. uma lei de balano ou conservao para o fluxo; 2. uma lei linear relacionando o fluxo ao potencial; 3. um potencial contnuo (isto , um potencial compatvel) Dois exemplos so descritos a seguir: escoamento de cargas eltricaS. em regime permanente em um circuito e esco-amento de fluido em um sistema de tubulao hidrulica

Em um sistema eltrico, o potencial a voltagem e o fluxo a corrente. Um elemento de um circuito mostrado na Figura 2.1 O. Pela lei de Ohm, a corrente do n .1 para o n 2 dada por

(2.34)

onde e; e~ so as voltagens (potenciais) nos ns e R' a resistncia do fio. Essa a lei linear entre o fluxo e o poten-cial. Pela lei de conservao da carga, se a corrente est em regime permanente,

i'j+i =0, . (2.35) que a primeira das condies anteriores sobre o elemento em questo. Escrevendo (2.34) e (2.35) na forma matri-cial, temos

A continuidade da voltagem nos ns forada por

d' = L'd.

Figura 2.10 Um elemento de resistncia para um circuito e um elemento pani: unia rede de bombeamento; o fluxo nodal~ positivo quando ele sai do domnio do elemento.

'Recome.ndado para ttajetrias de Ci!ocia e Engenharia.

(2.36)

(2.37)

20 CAPiTuLO DOIS

O balano de corrente nos ns d

(2.38)

Detalhes podem ser vistos no Exemplo 2.2. O sistema de equaes pode ento ser obtido forando a condio de que a soma das correntes em qualquer n

igual para quaisquer fontes externas de correntes. O processo idntico ao que fizemos para os elementos de barra.

n.,

r+ r = I:>TF' pela Equao (2.38) ~ ""

= l::VTKd pela Equao (2.36) ~1

"' = L:>TKVd pela Equao (2.37).

tcJ ..______.,

K

Como indicado pelo destaque, a montagem da matriz do sistema dada por n_,

K = LL'TK~. (2.39) t:l

Esse sistema obtido pela seqncia das operaes de disperso dos coeficientes e de adio das matrizes, que corresponde montagem direta.

Para um sistema de tubos, um procedimento similar pode ser desenvolvido se a vazo de escoamento for linear-mente relacionada com a queda de presso entre dois pontos. Um modelo de circuito construdo como mostrado na Figura 2.11. Ns so necessrios apenas onde dois tubos se conectam ou onde o fluido retirado ou acrescentado. Em cada elemento, a vazo nodal~ que sai do n proporcional queda de presso nodal (P;- P~) (veja Figura 2.10), assim

(2.40)

onde K' depende da rea da seo transversal do tubo, da viscosidade do fluido e do comprimento do elemento. U:is lineares deste tipo aplicam-se sobre uma grande faixa de escoamentos.

A conservao de fluido em um elemento expressa por

Qj +~ =0. (2.41)

As equaes do sistema so ento obtidas ao escrever a equao para a conservao de fluido nos ns e ao usar a continuidade do campo de presso. O processo idntico quele usado na obteno da Equao (2.39). Isso deixado como um exerccio, embora fique evidente no exemplo.

A similaridade desses diferentes sistemas surpreendente e pode fornecer uma compreenso mais profunda dos sistemas lineares. Todos esses sistemas possuem um potencial e uma lei de conservao. Na mecnica da barra, o potencial no to bvio: ele o deslocamento. O deslocamento tem todas as propriedades de um potencial: ele precisa ser contnuo (compatvel) e sua mudana determina o fluxo , que nesse caso a tenso.

~ Exemplo 2.2 ( ~ 1o \ t ..;> ) Prepare as equaes discretas para os sistemas mostrados na Figura 2.11 e resolva-as. Todos os trs sistemas mostrados na Figura 2.11 tm a mesma topologia bsica, isto , a mesma relao entre ns e elementos. Primeiro, montamos a matriz do sistema pela disperso dos coeficientes e da adio das matrizes. Ento, as equaes espe-cficas so preparadas, forando constantes no fluxo ou no potencial. Usamos k' = -J; = tt1 para denotar os coefi-cientes dos elementos para os trs diferentes sistemas.

As operaes de disperso dos coeficientes das matrizes geram ento o seguinte (/e J do os ndices globais nodais do elemento):

Elemento 1,/ = 1, J = 4:

Elemento 2, I = 4, J = 2:

K ltl = k(t) [ 1 -1

-1] -(I) - [ k~) ~ ~ 1 => K - O O O

- k {l) o o

.

I j, i

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 21

2

Figura 2.11 Exemplo 2.2: sistemas mecnico, elc!lrico e hidrulico com uma esttutura de re9e id!ntica.

K

22 CAPTULO DOIS onde a matriz soluo para o sistema mecnico, de tubos e eltrico

A partio. da matriz anterior aps duas linhas e duas colunas fornece

l"k(3)+k(4) +k(S) - k(4) ] [0] 10 r-k(S)] -k{4) k(l) + k{2) + k{4) dF = 0 - jJi) -k(2) Fazendo k' = 1 para e = 1 a 5 e resolvendo a equao anterior, obtemos

2.4 SISTEMAS DE TRELIAS BIDIMENSIONAIS2 Estruturas de trelias, como a mostrada na Figura 2.1, consistem em elementos de barras posicionados sob ngulos arbitrrios no espao e ligados por unies parecidas a pinos que no podem transmitir momentos. Par-a analisar tais estruturas de trelias em geral, necessrio desenvolver uma matriz de rigidez de elemento para um elemento de barra alinhado arbitrariamente em duas ou trs dimenses espaciais. Primeiramente, vamos considerar o caso bidi-mensional, no qual os elementos de barra esto no plano xy mostrado na Figura 2.2(b). As trelias diferenciam-se dos circuitos, tais como nos sistemas eltricos em que os deslocamentos nodais em problemas muldimensionais so vetores. As incgnitas do ~istema so ento as componentes do vetor, de forma que o nmero de incgnitas por n 2 e 3 em duas e trs dimenses, respectivamente.

Comear.emos pelo desenvolvimento da matriz de rigidez do elemento para um elemento de barra em duas dimen-ses. Um elemento de barra genrico mostrado na Figura 2.12, juntamente com deslocamentos nodais e foras nodais. Em cada n, a fora nodal tem duas componentes; de modo similar, como pode ser visto na Figura 2.12, cada deslocamento nodal tem duas componentes, de modo que as matrizes de fora e de deslocamento dos elementos so, respectivamente,

Para obter uma relao geral entre as foras internas F' e os deslocamentos d', vamos iniciar com as equaes de rigidez no sistema de coordenadas locais x', y''; como mostrado na Figura 2.12, x'' alinhado junto direo axial do elemento de barra e. positivo do n 1 para. o n 2. O ngulo t/J' definido como positivo no sentido anti-horrio ..

No sistema de coordenadas (x', y''), a rigidez do elemento dada pela Equao (2.10) aplica-se, portanto

[ k' -~] [ li, ] [ F', ] -k' k' Jt = F~ .

A equao anterior pode ser exp;mdida pela adio das equaes F;~= F;;= O. Essas componentes de fora nodal perpendicul~ ao eixo do elemento podem ser consideradas nulas porque consideramos que o elemento to delgado que os esforos de cisalhamento so desprezveis.

I /f / . I''' !!~ ,", ,,, .J'''

.r

Figura 2.12 Elemento de trelia em duas dimenses em um sistema de coordenadas locais x':, y':.

' Recomendado para a trajetOria de Mecnica Estrutural..

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 23

Segundo a teoria para pequenos deslocamentos, as foras nodais no elemento so independentes dos deslocamentos normais. Isso se justifica porque aelongao uma funo quadrtica do deslocamento nodal normal barra. Como os deslocantentos nodais so considerados pequenos, o efeito dos deslocamentos normais sobre a elongao , por isso, de segunda ordem, e da os efeitos dessas componentes de deslocamentos sobre a tenso e a deformao podem ser desprezados. Assim, a matriz de rigidez no sistema de coordenadas do elemento dada por

ou em termos da nomenclatura de sobrescritos

F"= K'.d". (2.42)

fcil ver que para essa matriz de rigidez, as componentes y' das foras nos dois ns sempre desaparecem e que as componentes y' dos deslocamentos no tm efeito nas foras nodais; a matriz de rigidez em (2.42) simplesmente a matriz (2.11) embutida em uma matriz de zeros. Em outras palavras, vamos simplesmente dispersar os coeficientes de tigidez axial da barra em uma matriz maior; isso vlido quando o sistema de coordenadas alinhado com o eixo do elemento.

Para os ns (1 = 1, 2), a relao entre as compOnentes dos deslocamentos nos slstemas de duas coordenadas, mostrado na ~gura 2.12, obtida por meio da relao para transformaes vetoriais:

u~ = ui. cos 4> + uJ1 sen 4> u~ = -u.i.. sen 4> + u~ cos 4>

Essas equaes podem ser escritas na forma matricial, como a seguir: d' = Rd, (2.43)

onde

n [ = ..... o J .. ] d = u~>' R = - sen 4>' cos 4>' o u ' o o oos.i> 2x

14, - o o -sen4> cos 4>' R a matriz rotacional. As duas equaes anteriores combinam a transformao vetorial em dois ns. Como essas transformaes so independentes uma da outra, os blocos da matriz relacionando diferentes ns so nulos; por exemplo, bloco superior direto 2 X 2 nulo, pois os componentes dos elementos dos deslocamentos nodais no n 1 so independentes dos deslocamentos no n 2.

Observe que R uma matriz ortogonal: a sua inversa igual a sua transposta, isto , (R)TR = R (R)T = I ou

(2.44)

Pr-multiplicando a Equao (2.43) por (R)T, obtemos R'Td'' = R'TR'd' = d,

onde a segunda igualdade decorre da relao de ortogonalidade (2.44). Os componentes das matrizes de fora dos elementos esto relac~onadas pela mesma regra de transformao de componentes:

Estamos agora em condies de de~ar a relao entre F' e d'. Iniciand~ com (2.4Sb), F'= R'TF'

= R'TK"d'' = !{'T~'R: d'

K

pela Equao (2.45b) pela Equao (2.42) pela Equao (2.43)

O termo destacado, indicado anteriormente, a rigidez do elemento no sistema de coordenadas globais:

K' = R'TK'R.

(2.45)

(2.46)

24 CAPiTULO DOIS

Uma expresso explicita para K' obtida pela substituio das expresses matriciais para K' e R na Equao (2.46), que fornece

[

cos2 tjl K' = k' cos 4>' sen4>'

- cos2 4> - cos 4> seo 4>

cos tjl sen4>' sen2 4>'

- cos 4>' 4>' -sen2 4>'

Pode ser visto que K uma matriz simtrica.

- cos2 4>' - cos 4>' sen 4>'

cos2 4>' c os 4>' sen 4>'

- c os 4>' sen 4>' l -seo2 4>'

cos 4>' sen 4> sen2 4>'

(2.47)

2.5 LEI DA TRANSFORMA03 Na seqncia, vamos desenvolver um mtodo mais geral para transformao de matrizes de rigidez por meio de conceitos de energia. Aqui, transformao significa uma rotao de um sistema de coordenadas para outro ou uma operao de disperso de coeficientes de um elemento para o sistema global de coordenadas. Denotaremos tal trans-formao matricial por T'. A matriz T' transforma a matriz de deslocamento do elemento de um sistema de coorde-nadas em que a relao de rigidez K. conhecida para outro sistema de coordenadas no qual a matriz. de rigidez K. no conhecida. Comeamos com

(2.48)

No caso de rotao de um sistema de coordenadas para outro (Seo 2.4), d'' = R'd', de modo que T' = R', d'' = d' e d' = d'; no caso da operao de disperso de coeficientes (Seo 2.2), d' = V d, de modo que 1" = V , d' = d' e d = d'. Na seqncia, descreveremos como relacionar F- a F e como estabelecer a relao de rigidez F' = K.d, o resultado (2.51) vem do teorema do produto escalar de vetores (veja Apndice A2).

A seguir, provamos a relao (2.50) como se segue:

'Opcional para rodas as trajetrias.

de (2.51 ) = T'T{'(J' pela (2.48b) = T'TK'T' d' pela {2.48a). ~

:K

-

Aproximao Direta para SistemaS Discretos 25

Como a ltima linha dessa expresso define a matriz transformada de rigidez do elemento, (2.50) est provada. A prova apresentada baseada no fato de que quaisquer duas representaes vlidas para um elemento precisam

ser consistentes do ponto de vista da energia, isto , o elemento precisa absorver a mesma quantidade de energia independente do sistema de coordenadas no qual ele descrito. Uma forma de explicar isso demonstrando que a energia um escalar, de modo que independente do alinhamento do sistema de coordenadas. Variveis fsicas escalares, como presso, temperarura e energia, no dependem do sistema de coordenadas que escolhido. Alm disso, a energia tem que ser independente dos modos generalizados de deformao que so usados para descrever a deformao do sistema. A energia tem um papel nico e muito importante na fsica e na mecnica: a sua inva-rincia com respeito ao referencial de anlise do problema leva a resultados importantes, tais como o princpio do trabalho virtual e o teorema da energia potencial mnima, e isso aparece em todas as partes nas anlises por elementos finitos.

~ Exemplo 2.3 A Figura 2.13 mostra propriedades de materiais, geometria, cargas e condies de contorno da estrutura de duas barras. Neste exemplo, enfatizamos os quatro principais passos no mtodo de elementos finitos (MEF), a saber: (1) pr-processamento, (2) construo do comportamento local (elemento), (3) montagem das matrizes locais para obter o comportamento global e (4) ps-processamento.

O passo 1, mostrado na Figura 2.13. consiste em subdividir a estrutura em elementos, assinalando os nmeros dos elementos para cada barra, e os nmeros dos ns para cada juno, comeando com os ns nos quais os desloca-mentos so prescritos. O modelo dos elementos finitos consiste em dois elementos numerados 1 e 2 e trs ns.

O passo 2 trata da formulao de cada elemento comeando com o elemento 1.

Elemento 1:

O elemento 1 est numerado com os ns globais 1 e 3. Ele posicionado segundo o ngulo 4f1> = 90 com respeito direo positiva do eixo x como mostrado na Figura 2.14. As outras relaeS so as seguintes:

1 =I, A

26 CAPITULO DOIS

2

F igura 2.14 Sistema de coordenadas locai (elemento) e global.

1 2 2 2 2 1 1 1 I [21

K(2l = AE 2 2 2 2 -./21

-2 2 2 2 [3) 2 2 2 2 [2) [3)

Passo 3: trata da construo do comportamento global.

(3a) Montagem direta:

[I) o o o o o o o 1 o o o -I

o o I 1 I I

2-./2 2-./2 -2-./2 -2-./2 [2] K=AE o o I 1 I I

I 2-./2 2-./2 -2-./2 -2-./2

[31 o o

I 1 1 1 -2-./2 -2-./2 2-./2 2-./2

o -I 1 I I I

- 2v'2 -2-./2 2v'2 1+-2v'2 [1 I [2) [3)

e o r~ r~x o r,1

d= o r~ l: r2x o r= rz.,. u:u ~ o UJy o

Mais uma vez observamos que se a componente da fora externa em um n prescrita, ento a componente corres-pondente do deslocamento nesse n desconhecida. Por outro lado, se uma componente do deslocamento em um n prescrita, ento a componente que corresponde fora nesse n desconhecida.

(3b) Sistema global de equaes: o o o o o

AE O O

o o I

2-./2 I

o o 1

2v'2 I

o o

I -2-./2

1 -2-./2

o -1

I -2-./2

I -2-./2

o o o o

o o

2-./2 I

-2-./2 1

-2v2

2v'2 I

-2-./2 1

2-./2 I

2-./2

1 2-./2

UJ.r

o -1 1 -2-./2

1 I+ 2-./2

t

Aproximao Direta para Sistemas Discretos TI

(3c) Sistema global reduzido de equaes: O sistema global partido depois de quatro linhas e quatro colunas:

- - [:~]- [~] de- _ - , U2,x 0 zy O

f = [10) F 0 ' K = [2~ 2~ l F I l '

- 1+-2~ 2~

re = [~] , KEF = rzy

o o

1 -2v'2

1 - 2/'i

o -1

1 -2v'2

1 -2-./2

A matriz desconhecida dos deslocamentos encontrada da soluo do sistema reduzido de equaes

2~ l [U3x] = [10] 1 +-1- U3y 0 2..fi

e dada por

[U3x] =_I [10+20~]. UJy AE -10 A matriz desconhecida r das reaes

o o

['" o -1 [IO+Wv2] = [ : ] Tty = Kede + KJ;FiF = 1 1 re= -2..fi -2..fi r2.x -10 -10 rzy 1 1 -10 .

-2..fi -2..fi Pode ser facilmente verificado que as equaes de equilbrio so satisfeitas:

Finalmente, no passo.do ps-processamento as tenses nos dois elementos so calculadas como a seguir.

~~

~ = E" r4 - ~~ = E" !-I O 1 O] ~~ = E"J [ -1 O I O jR'd' I ze u'{x

~ E" - .

= -[- cos c/>' - sen tP' cos tP sen tP' J de. I Para- o e1emeriioT iems: __ ____ _ _____ . - ---------- -

tP(l) =90 (costP{I) =0, sentP(l) = 1),

[Ut.xl . [ O l d(l) _ U!y _ 0 _l_

- U)x - 10+20~ AE' U3y -10

[ o j o 1 -10

a

,.

2B CAPITuLO DOIS

Para o elemento 2, temos:

1 q(2) = -(-1/V

..fi [ o l O 1 10J2 -1/V 1/V 1/V] 10 + 20v'2 A= -A-. - 10

2.6 SISTEMAS DE TRELIAS TRIDIMENSIONAIS4 Considere um elemento de barra em trs dimenses como mostrado na Figura 2.15. Corno o elemento tem resistncia

apenas para deformao em direo a sua extenso, podemos escrever a relao entre as foras nodais e os desloca-

mentos nodais no sistema de coordenadas locais como

[ F;~] = k' [ 1 -1 ] [ li1~] F'{. -1 I "i. (2.55) Os graus de liberdade inclusos nessas matrizes de deslocamento e de fora so apenas aqueles envolvidos na rigidez

do sistema. O elemento nas trs direes ter trs graus de liberdade por n: as componentes de translao nas direes x, y

e z, portanto (2.56)

Como a matriz de fora precisa ser consistente do ponto de vista da energia,

(2.57)

Para obter a equao de rigidez em termos das foras nodais e dos deslocamentos (2.57) e (2.56), respectivamente, vamos agora construir a matriz rotacional R para trelias tridimensionais. Observe que o vetor unitrio ao longo do

elemento dado por

(2.58)

onde _x-;1 = x; - X' e assim por diante. Se tratarmos os deslocamentos nodais como vetores, ento (2.59)

para I= 1 e 2. Tornando um produto escalar dos termos com i' dessa expresso, encontramos (devido ortogonalidade dos

vetores unitrios) que (2.60)

x'

~ i

Figura 2.15 Um elemento de trelia tridimensional na coordenada local.

'Opcional para todlU lU ~r.~jetrias.

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 29

Da Figura 2.15 pOdemos ver que substituindo (2.58) em (2.60) encontramos que

Usando essa expresso para escrever as relaes entre d ' e d, temos

R'

que define a matriz R. A rigidez global ento dada por (2.50) K' = R'T K" R',

6x2 2x2 2x6

(2.61)

(2.62)

onde K' a mai:riz dada em (2.55) e R' a dada em (2.62). O resultado uma matriz 6 X 6. No vale a pena multi-plicar as matrizes; isso pode ser feito facilmente com um programa de computador. Esse procedimento pode tambm ser usado para obter a rigidez do elemento em duas dimenses: a matriz R' ento seria a matriz 2 X 4 com as colunas com z;, termos interrompidos e o resultado idntico a (2.47).

REFERNCIAS

Problemas

George, A. and Liu J.W. (1986) Computer Solution of Largt Sparst Poritivt Definire Systems, Prentice Hall, Englew.ood Cliffs, NJ.

Saad, Y. (1996) lteralive Metlwds for Spam Linear Systems, PWS Publ.ishing Company, Boston, MA.

/ Problema 2.1 I \-('I r r Para o sistema de molas dado na Figura 2.16,

a. Numere os elementos e os ns. b. Monte a matriz global de rigidez e de fora. c. Parta o sistema e resolva para os deslocamentos nodais. d. Calcule as foras de reaes.

Figura 2.16 Dados do Problema 2.1.

.i!illf Problema 2.2 Mostre que a rigidez equivalente de uma mola alinhada na direo x para a barra de ~sura t com um furo retan-gular centrado mostrado na Figura 2.17 -

5Etab k= (a+b)l'

------------ . --- . -----~~---- .. --

onde E o mdulo de Young e t a largura da barra (Sugesto: subdivida a barra 1com um furo retangulr fm f --elementos).

{

Figura 2.17 Dados do Problema 2.2.

30 C~TULO DOIS

Problema 2.3 Considere a estrutura de trelia dada na Figura 2.18. Os ns A e B so fixos. Uma fora igual a 10 N atua no n C,

na direo positiva x. As coordenadas das junes so dadas em metros. O mdulo de Young E = 1011 Pa e as reas

das sees transversais de todas as barras so A = 2 1 o-1 m1.

a. Numere os elementos e os ns. b. Monte a matriz global de rigidez e de fora. c. Parta o sistema e resolva para os deslocamentos nodais. d. Calcule as tenses e as reaes.

Figura 2.18 Dados do Problema 2.3.

~ Problema 2.4 Considere a estrutura de trs barras sujeita a carga prescrita no ponto B igual a 103 N, como mostrado na Figura 2.19. O mdulo de Young E= 1011 Pa, a rea da seo transversal da barra BC 2XI0-

2 m2 e as reas das barras

BD e BF so 10-2 m2 Observe que o ponto D livre para se mover na direo x. As coordenadas das junes so dadas em metros.

a. Construa a matriz global de rigidez e a matriz de carga. b. Parta as matrizes e resolva para os deslocamentos desconhecidos no ponto B e o deslocamento em direo x do

ponto D. c. Encontre as tenses nas trs barras. d. Encontre as reaes nos ns C, D e F.

.,.

Figura 2.19 Dados do Problema 2.4.

Problema 2.5 Em cada uma das duas estruturas planas mostradas na Figura 2.20, blocos rgidos so conectados por molas lineares.

Imagine que apenas deslocamentos horizontais sejam pennitidos. Em cada caso, escreva as equaes reduzidas globais de equilbrio em termos da rigidez k< da mola, dos deslocamentos nodais desconhecidos u1 e das cargas aplicadas fr Voc deve refazer o problema numerando os ns, de modo que aqueles nos quais os deslocamentos so prescritos

sejam numerados primeiramente.

(h)

Figura 2.20 Dados do Problema 2.5.

Aproximao Direta para Sistemas Discretos 31

Problema 2.6 A estrutura plana mostrada na Figura 2.2 t consiste em uma-barra rgida e leve e em molas lineares de rigidezes k!-11 e J.'ZI. Apenas pequenos deslocamentos verticais so permitidos. A matriz reduzida de rigidez Kdessa ~trutura 2 X 2, mas pode ter vrias formas, dependendo da escolha da matriz global de deslocamento. Determine Kpara cada uma das seguintes escolhas de translaes laterais:

a. u1., em x = O e u2,. em x =L (veja Fig!JI3. 2.21, a direita). b. u11 emx = Oeui\Yemx = L/2. c. u2r em x = L e u81 em x = 2L.

r" L ~ .. L ., I 2 X

A B 1;ku'

~k(Zl

~ Gmus de liberdade para a Parte (a)

Figura 2.21 Dados do Problema 2.6.

~ Problema 2.7 Modifique o cdigo de elementos finitos d~MA.TI..AB para forar condies de contorno de deslocamentos usando o mtodo da penalidade (veja Equao [2.33]). a. Resolva para os deslocamentos nodais e tenses da estrutura mostrada na Figura 2.22. b. Trace a estrutura deformada com o MATLAB. Para isso, acresceo~ o mag X deslocamento s coordenadas nodais.

O fator mag para aumentar os desloc!'IDentos, de modo que eles sejam visveis.

Figura 2.22 Dados do Problema 2.7.

Problema 2.8

E = J.S 1011Pa A= 10-:m: para todas as barras

Jlf Usando o cdigo de elementos finitos do MATLAB:' encontre os d~locamentos e as foras nas duas estru~ dadas na Figura 2.23. Para a estrutura (b ), explore a simetria. Para as duas trelias, verifique o equilibrio no n I. Considere o mdulo de Young E= 1011 Pa, as reas de todas as sees transversais de barra IQ-1 m1, as foras F= 101 N e L=2m.

2 F

s

L L

{a) (b)

Figura 2.23 Dados do Problema 2.8.

3 Formulaes Forte e F~aca .para

Problemas Unidimensionais

Neste captulo, so desenvolvidas as formulaes forte e fraca para diversos problemas fsicos unidimensionais. A formulao forte consiste nas equaes de governo e das condies de contorno para um sistema fsico. As equaes de governo so normalmente equaes diferenciais parciais, mas no caso unidimensional elas tornam-se equaes diferenciais ordinrias. A formulao fraca uma forma integral dessas equaes, que necessria para formular o mtodo de elementos finitos.

Em alguns mtodos numricos para resolver ~uaes diferenciais parciais, estas podem ser discretizadas direta-mente (isto , escritas como equaes algbricas lineares adequadas para solues computacionais). Por exemplo, no mtodo de diferenas finitas, podemos escrever diretamente as equaes algbricas lineares discretas das equaes diferenciais parciais. Entretanto, isso no possvel no mtodo de elementos finitos.

Um esquema para o desenvolvimento do mtodo de elementos finitos mostrado na Figura 3.1. Como pode ser visto no esquema, existem trs ingredientes distintos que so combinados para chegar at as equaes discretas (tambm chamadas de sistemas de equaes; para anlises de tenses elas so chamadas de equaes rgidas), as quais em seguida so resolvidas por um computador. Esses ingredientes so

1. a formulao forte, que consiste nas equaes de governo para o modelo e nas condies de contorno (essas tambm so necessrias para qualquer outro mtodo);

2. a formulao fraca; 3. as funes de aproximao.

As funes de aproximao so combinadas com a formulao fraca de modo a se obter as equaes de elementos finitos discretas.

Aproxima\-o de fun~~ (Captulo 4)

Equaes discretas (Captulo 5)

Figura 3.1 Esquema para o desenvolvimento do mtodo de elementos finitos.

Formulaes Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 33

Portanto, o caminho para as equaes diferenciais de governo substancialmente mais complicado do que. aquele para os mtodos de diferenas finitas. No mtodo de difen:nas finitas, no existe necessidade de uma formulao fraca; a formulao forte .di.re~nte convertida para um conjunto de equaes discretas. A necessidade de uma formulao fraca toma o mtodo de elementos finitos intelectualmente mais desafiador. Um nmero de pontos sutis, tais como a diferena entre vrias condies de contorno, deve ser estudado para o uso inteligente do mtodo. Entretanto, para compensar essa complexidade dicional, os mtodos de elementos finitos podem lidar mais facilmente com as formas complicadas, que necessitam ser analisadas em projeto de engenharia. . '

Para demonstrar os passos oSicos na5 formules forte e fraca, considera.rmos os prbl~mas .tanto de b~as elsticas carregadas axialmente como o de conduo de calor unidimensional. As formulaes fortes para esses problemas sero desenvolvidas juntamente com as condies de contorno. Em seguida, desenvolveremos as formu-laes fracas para esses problemas e mostraremos que elas so equivalentes s formulaes fortes. Tambm exami-naremos vrios graus de continuidade, ou suavidade, os quais tero um papel importante no desenvolvimento dos mtodos de elementos finitos.

A formulao fraca a parte mais intelectualme.nte desafiadora no desenvolvimento dos elementos finitos, de forma que um estudante pode encontrar algumas dificuldades na compreenso desse conceito; ele provavelmente diferente de qualquer outra coisa que o estudante tenha visto antes em anlise de engenharia. Entretanto, uma compre-enso desses procedimentos e as implicaes em resolver uma formulao fraca so cruciais para a compreenso do carter das solues de elementos finitos. Alm disso, os procedimentos so de fato bastante simples e repetitivos, de forma que uma vez. seja compreendido para uma formulao forte, os procedimentos podem ser facilmente apli-cados a outras formulaes fortes .

3.1 FORMULAO FORTE EM PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 3. 1.1 Formulao Forte para uma Barra Elstica Carregada Ax_ialmente

Considere a resposta esttica de uma barra elstica de seo transversal varivel, tal como a mostrada na Figura 3.2. Esse um exemplo de um problema em anlise de tenso linear ou elasticidade linear, em que procuramos determinar a distribuio de tenso o{x) na barra. A tenso resultar da deformao do corpo, que caracterizada por desloca-mentos de pontos do corpo, u(x). O deslocamento resulta em uma tenso denotada por e(x); a deformao uma vari-vel adimensional. Como mostrado na Figura 3.2, a barra submetida a uma fora de campo ou a um carregamento distribudo b(x). A fora de campo poderia ser em razo de gravidade (se a barra fosse colocada verticalmente em vez de horizontalmente, conforme mostrado) a uma fora magntica ou a uma tenso trmica; no caso unidimensional, consideraremos a fora de campo por unidade de comprimento, ento as unidades de b(x) so fora/comprimento. Alm disso, as cargas podem ser aplicadas nas extremidades da barra, onde o deslocamento no prescrito; essas cargas so chamadas de traes e indicadas por r.Essas cargas esto em unidades de fora por rea e, quando multi-plicadas pela rea, fornecem a fora aplicada.

A barra precisa satisfazer as seguintes condies: 1. Estar em equilbrio. 2. Estar de acordo com a lei da tenso-deformao elstica, conhecida como lei de Hooke: o{x) == E(x) e(x). 3. O campo de deslocamento precisa ser compatvel. 4. Estar de acordo com a equao deslocamento-deformao.

A equao dere~cial ~~~.!!b!l.~JQt,..asjl!_tell:@S.P(~-e..daotas..extemas..h(x) ~~~~~"-""-~'iG'~~~~.l14l~!J.Q..i.QJlg~).. Considere o equilbrio de um segmento de barra ao longo do eixo x, conforme mostrado na Figura 3.2. A somatria das foras na direo x fornece

~p(x) + b(x+ ~)Lll+ p(x+ ...t) =O.

x=O -X .r= I

Figura 3.2 Um problema de anlise de tenses (elasticidade) unidimensional.

34 CAPITuLO TRS

... .

Rearranjando os termos nessa equao e dividindo por t:.x, obtemos p(x + ..x)- p(x) ' b( !:u) O tu T x+ 2 = .

Se tomarmos o limite dessa equao quando 6.x..,.. O, o primeiro termo a derivada dp/dx e o segundo termo torna-se b(x). Portanto, essa equao pode ser escrita como

dp(x) b( ) -O dt+:c- . (3.1)

Essa a equao de equilbrio expressa em termos da fora interna p. A tenso definida como a fora dividida pela rea da seo transversal:

u(x) = ~t:~ , ento p(x) = A(x)a(x) . (3.2) A equao deslocamento-deformao (ou cinemtica) obtida pela aplicao da definio de engenharia que utili-zamos no Captulo 2 para um segmento infinitesimal da barra. O alongamento do segmento dado por u(x + .x) -u(x) e o comprimento original 6.x; portanto, a deformao dada por

alongamento u(x + ll.:c) - u(x) s(x) = comprimento original = ~x

Tomando o limite dessa expresso quando 6.x ..... O, reconhecemos que o lado direito da equao a derivada de u(x). Portanto, a equao deslocamento-deformao

du r.(x) = dx.

A lei de tenso-deformao para um material elstico linear a lei de Hooke, que j vimos no Captulo 2: a(x) = E(x)li(x),

em que E o mdulo de Young. Substituindo (3.3) por (3.4) e o resultado por (3.1) temos

d ( du) dt AE dr + b = O, o< X< I.

(3.3)

(3.4)

Essa uma equao diferencial ordinria de segunda ordem. Nela, u(x) a varivel dependente, que a funo desco-nhecida, e x a varivel independente. Na equao (3.5) e em outras equaes, a dependncia das funes sobre x ser freqentemente omitida. A equao diferencial (3.5) uma forma especfica da equao de equilbrio (3.1). A equao (3.1) aplica-se a materiais lineares e no-lineares, ao passo que (3.5) considera a linearidade na definio da deformao (3.3) e da lei de tenso--defonnao (3.4). A compatibilidade satisfeita pela exigncia do deslocamento ser continuo. Posteriormente, discutiremos mais sobre o grau de suavidade, ou continuidade, que exigido.

Para resolver a equao diferencial (3