Um teorema tipo Bernstein

para

superfıcies mınimas em M2 × R

Luciano Nunes Prudente

26 de setembro de 2010

Sumario

1 Introducao 2

2 Conceitos Preliminares 42.1 Variedades Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Espaco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Metrica Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Conexoes Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.2 Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar . . . . . . . . . . 23

2.6 Imersoes Isometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.1 A Segunda Forma Fundamental de uma Imersao . . . . . 242.6.2 Equacoes Fundamentais de uma Imersao Isometrica . . . 28

2.7 Subvariedades Mınimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Resultados Preliminares para variedades do tipo M2 x R 33

4 Uma Versao do Teorema de Bernstein para variedades do tipoM2 x R 39

1

Capıtulo 1

Introducao

O principal resultado deste trabalho e uma generalizacao do classico Teo-rema de Bernstein, aplicado a superfıcies mınimas em M2×R , onde M2 e umavariedade Riemanianna de curvatura de Gauss nao-negativa.

Teorema de Bernstein : Seja f : R2 → R uma funcao cujo graficoGf ⊂ R3 e uma superfıcie mınima, entao f e uma aplicacao afim.

Uma pergunta surge naturalmente para o Teorema de Bernstein: para quevalores de n podemos garantir o resultado acima, ou seja,

Considere f : R2 → Rn−2 uma funcao cujo grafico Gf ⊂ Rn e uma superfıciemınima, entao f e uma aplicacao afim ?

E conhecido que o grafico de uma funcao f , Gf ⊂ Rn, e uma superfıciemınima, se satisfaz a equacao de superfıcies mınimas, isto e,

div∇f√

1 + ‖∇f‖2= 0,

ou equivalentemente(1 + |fy|2

)fxx − 2 〈fx, fy〉 fxy +

(1 + |fx|2

)fyy = 0.

A resposta para esta pergunta e afirmativa ate n = 7. Para valores superioresa 7, existem solucoes alem das funcoes afins, ja que essas sao solucoes triviaisdo problema.

Uma generalizacao do classico Teorema de Bernstein, na realidade para var-iedades diferenciaveis , foi dado por Harold Rosenberg em [12]. Ele provou que

2

o resultado de Bernstein vale para graficos inteiros em M2 ×R, onde M2 e umavariedade de Riemann de dimensao 2 e curvatura de Gauss KM2 ≥ 0, ou seja,

Todo grafico inteiro mınimo sobre M2 em uma variedade produto riemanni-ana M2 × R e totalmente geodesica.

Este resultado surge como consequencia de um trabalho de Schoen que em[15] afirma que toda superfıcie mınima completa e estavel em uma variedadede dimensao 3 e de curvatura de Ricci nao negativa e totalmente geodesica, jaque todo grafico e estavel a afirmacao de Harold Rosenberg segue.

Aqui o resultado de Harold Rosenberg foi generalizado com base em umaideia utilizada por Chern em [5] na demonstracao do classico Teorema de Bern-stein no espaco euclidiano, sera provado que o resultado vale sem as hipotesesde que M2 e completo ou que a superfıcie mınima M2 × R e um grafico.

3

Capıtulo 2

Conceitos Preliminares

2.1 Variedades Diferenciais

O conceito variedade diferencial surge como uma generalizacao do coneceitode superfıcie. Quando tratamos com variedades, o objeto de estudo nao precisaser um subconjunto do espaco euclidiano, basta ser localmente homeomorfo aabertos do espaco euclidiano.

Definicao 2.1 Uma variedade diferenciavel M de dimensao n, que denotaremospor Mn, e um espaco topologico para o qual existe uma cobertura aberta U=Uii∈Λ, tal que para cada i ∈ Λ, existe um homeomorfismo

ϕi : Ui ⊂M → Vi ⊂ Rn.

O par (ϕi, Ui) sera chamado carta de domınio Ui.O conjunto de todas as cartas φ = (ϕi, Ui)i∈Λ , as quais U= Uii∈Λ

forma uma cobertura aberta de M , sera chamado um atlas de M e duas cartas(ϕi, Ui) e (ϕj , Uj) de um atlas de M sao ditas compatıveis e de classe Ck se amudanca de coordenada

ϕj ϕ−1i : ϕi (Ui ∩ Uj) → ϕj (Ui ∩ Uj)

e de classe Ck.Diremos que um atlas φ e maximal e de classe Ck quando possuir todos

os sistemas de coordenadas compatıveis e de classe Ck e o par (Mn, φ) serachamado de variedade diferencial n-dimensional de classe Ck.

Em particular trabalharemos com variedades Diferenciais que satisfazem doisaxiomas,

Axioma 2.1 (Hausdorff) Um espaco topologico M e de Hausdorff quando da-dos dois pontos quaisquer de M existirem vizinhancas disjuntas destes dois pon-tos.

4

Axioma 2.2 (Axioma da Base Enumeravel) Uma variedade Diferenciaveltem base enumeravel quando, Λ ⊆ N.

A importancia destes axiomas vem do fato de que com estes se pode garan-tir a existencia de particoes da unidade, ferramenta importante no estudo devariedades diferenciaveis, que nos permite estender propriedades diferenciaveislocais a globais.

Definicao 2.2 Uma famılia U = Uαα∈Λ de subconjuntos de uma variedadeM diz-se localmente finita quando todo ponto p ∈ M possui uma vizinhanca Vem M que intercepta apenas um numero finito de subconjuntos da famılia U.

Definicao 2.3 Sejam U = Uαα∈Λ e V = Vνν∈∆ coberturas abertas de M, espaco topologico . Dizemos que V refina U ou que V e mais fina que U se∀α ∈ Λ,∃ν : Λ → ∆ tal que ν (α) ∈ ∆ e Vα ⊂ Uν(α).

Definicao 2.4 Seja (Uj , ϕj)j∈J um atlas maximal de uma variedade diferen-cial M. Uma particao diferenciavel da unidade subordinada a (Uj)j∈J e umafamılia

ζj

j∈J

de funcoes diferenciaveis

ζj : M → R, j ∈ J,

tais que

1. Para todo j ∈ J , ζj ≥ 0 e supp(ζj

)⊂ Uj onde Uj e o domınio de uma

vizinhanca coordenada (ϕα, Uα) de M,

2. A famıliasupp

(ζj

)j∈J

e localmente finita,

3.∑

j∈J ζj (p) = 1 para todo p ∈M .

Teorema 2.1 Seja M uma variedade de Hausdorf, de base enumeravel, n-dimensional e de classe Cr, 0 ≤ r ≤ ∞. Toda cobertura aberta de M possuiuma particao da unidade Cr, 0 ≤ r ≤ ∞, estritamente subordinada.

Para a demonstracao do teorema precisaremos de alguns resultados auxil-iares,

Lema 2.1 Seja M e uma variedade diferencial m-dimensional de classe Cr, 0 ≤r ≤ ∞, existe um atlas A = (Vi, ϕi)i∈I de M tal que.

ϕi : Vi → Bm2 (0) ⊂ Rm,∀i ∈ I.

Lema 2.2 Seja M uma variedade de Hausdorf e de base enumeravel, m-dimensionale localmente compacta, entao M se escreve como uma reuniao enumeravel decompactos,

5

M =⋃

i∈N Ki,

onde Ki ⊂ intKi+1,∀i ∈ N.

Lema 2.3 Sejam M variedade diferencial m-dimensional e U = Ujj∈J umacobertura aberta de M .Entao existe um refinamento V = Vii∈N de U tal queV e enumeravel, localmente finita e cada Vi e o domınio de um sistema de co-ordenadas,

ϕi : Vi → Bm2 (0) ⊂ Rm,

de modo que W =Wi = ϕ−1

i (Bm1 (0))

i∈N ainda seja uma cobertura aberta de

M.

Lema 2.4 Existe uma funcao de classe C∞,

λi : Mm → [0, 1] ,

tal que ,

1. λi(x) = 1, x ∈ ϕ−1i (B1 (0)) = Wi,

2. λi(x) = 0, x /∈ ϕ−1i (B2 (0)).

Lema 2.5 Sejam U = Ujj∈J e V = Vii∈I coberturas abertas de M, suponhaque V refina U de acordo com a definicao 2. Se V admite uma particao daunidade Cr entao U tambem admite uma particao da unidade Cr.

DemonstracaoSeja

λi : Mm → [0, 1] , i ∈ I,

particao da unidade Cr subordinada a V. Defino

ν : I → J ,

tal que Vi ⊂ Uν(i),∀i ∈ I e tambem,

µj : M → [0, 1] ,

µj(x) =∑

j=ν(i) λi(x).

Entao,

6

1. supp(µj)j∈J e localmente finita,

2. supp(µj) ⊂ Uj ,

3.∑

j µj(x) =∑

i λi(x) = 1.

Lema 2.6 Seja M variedade diferencial m-dimensional, dada uma coberturaaberta V = Vii∈N de M, de classe Cr, entao existe uma particao da unidadede classe Cr, subordinada a V.

DemostracaoSeja V = Vii∈N a cobertura enumeravel de M obtida pelo Lema 2.3, de

acordo com o Lema 2.4 podemos construir funcoes auxiliares de classe Cr,

λi : Mm → [0, 1],

tais que,

1. λi(x) = 1, x ∈ ϕ−1i (B1 (0)) = Wi,

2. λi(x) = 0, x /∈ ϕ−1i (B2 (0)).

Tendo isto, defino

λ : M → [0,+∞],

λ(x) =∑

i∈N λi(x), x ∈M .

Claramente λ ∈ Cr esta bem definida, pois V e localmente finita.

Defino agora,

ξi : M → [0, 1],

ξi = λi/λ.

Da forma definida ξi : M → [0, 1], i ∈ N e uma particao da unidade subor-dinada a U , consequencia direta do Lema 2.5.

Finalmente,Demonstracao Teorema 2.1

Seja U = Ujj∈J uma cobertura aberta qualquer de M, de acordo comos Lemas 2.3, 2.5 e 2.6 existe uma particao da unidade Cr subordinada a U,digamos

λi : Mm → [0, 1] , i ∈ N.

7

Pelo Axioma da Escolha podemos tomar uma funcao,

ν : N → J ,

tal que Vi ⊂ Uν(i),∀i ∈ N, onde V e como no Lema 2.3.

Defino agora as seguintes funcoes,

ζj : M → R, j ∈ J,

ζj(x) =∑

ν(i)=j λi(x), j ∈ J,

como V = Vii∈N e localmente finita, vale que,

¯⋃ν(i)=j Vi =

⋃ν(i)=j Vi,

e consequentemente,

supp(ζj) =⋃

ν(i)=j Vi.

A famılia supp(ζj)j∈J e localmente finita, pois dado x ∈M , como V e lo-calmente finita, dada uma vizinhanca Vx de x, existem ındicesA = i1, i2, ..., il ⊂N tais que,

Vi

⋂Vx 6= ⇒ i ∈ A.

Fazendo B = ν(A) = ν(i1), ν(i2), ..., ν(il) ∈ J , entao,

supp(ζj)⋂Vx 6= ⇒ Vi

⋂Vx 6= ⇒

⇒ Vi

⋂Vx 6= , ν(i) = j ⇒ i ∈ A⇒ j = ν(i) ∈ B.

Logo a famılia supp(ζj)j∈J e localmente finita.

Defino agora,

E : M → R,

E(x) =∑

j∈J ζj(x),

e tambem

ζj : M → [0, 1] , j ∈ J,

ζj(x) = ζj(x)/E(x)j ∈ J .

Temos que∑

j∈J ζj(x) = 1, logo,

ζj : M → [0, 1] , j ∈ J,

e particao da unidade estritamente subordinada a U.

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2.2 Espaco Tangente

Em uma superfıcie o espaco tangente num ponto p e o conjunto de vetoresque sao vetores velocidade de curvas diferenciaveis que passam por p contidas nasuperfıcie. Como o conceito de variedade diferencial e abstrato e nao estaremosnecessariamente trabalhando com o espaco euclidiano nos inspiraremos nessemodelo geometrico e definiremos o espaco tangente de uma variedade diferencial.

Definicao 2.5 Uma aplicacao diferenciavel

α : (−ε, ε) →M,

e chamada uma curva diferenciavel em M.

Definicao 2.6 Cp =αε : (−ε, ε) →Mn : αε (0) = p , αε ∈ C1

.

Considere a seguinte relacao de equivalencia no conjunto Cp: digo que doiscaminhos αε1 e αε2 sao equivalentes quando existir um sistema de coordenadas

ϕi : Ui ⊂M → Vi ⊂ Rn,

com p ∈ Ui e tal que,

ϕi αε1 : (−ε1, ε1) → Vi ⊂ Rn,

e

ϕi αε2 : (−ε2, ε2) → Vi ⊂ Rn,

tenham o mesmo vetor velocidade na origem, isto e

(ϕi αε1)′(0) = (ϕi αε2)

′(0) .

Repare que ε sempre pode ser escolhido de forma que a imagem de αε

pertenca a Ui alem disso a igualdade acima independe do sistema de coor-denadas.

Definicao 2.7 O vetor velocidade de um caminho de Cp e sua classe de equivalencia.

Repare que com esta definicao o vetor velocidade independe do sistema decoordenadas, ou seja esta bem definido.

Definicao 2.8 O conjunto quociente Cp/ e definido como o espaco tangente avariedade diferenciavel em p e sera representado por TpM.

Podemos concluir entao que o espaco tangente e um espaco vetorial de di-mensao n cuja base sera representada por

∂

∂xi

i=1,2,...,n

. Sendo eii=1,2,...,n

a base canonica do Rn temos que ∂∂xi

e associado a ei pelo isomorfismo definidoem cada sistema de coordenadas, ou seja,

9

dϕαp : TpM → Rn,

∂∂xi

→ dϕαp

(∂

∂xi

)= ei

Definicao 2.9 Sejam Mn e Nn variedades diferenciaveis, e

f : Mn → Nn,

uma aplicacao diferenciavel no ponto p ∈ M . A derivada de f no ponto p e atransformacao linear

dfp : TpM → Tf(p)N,

que associa a cada vetor v ∈ TpM o vetor dfp (v) ∈ Tf(p)N.

2.3 Metrica Riemanniana

Definicao 2.10 Um produto interno em um espaco vetorial e uma forma bi-linear, simetrica e positiva definida.

Definicao 2.11 Uma metrica Riemanniana em uma variedade diferenciavelMn e uma correspondencia que associa a cada ponto p de Mn a um produtointerno 〈 , 〉p no espaco tangente TpM , que varia diferencialmente.

Definicao 2.12 Uma variedade diferencial Riemanniana e uma variedade difer-encial dotada de uma metrica Riemanniana.

Teorema 2.2 Toda variedade diferencial Mn, de Hausdorff e base enumeravel,possui uma metrica Riemanniana.

DemonstracaoConsidere Uαα∈Λ cobertura aberta de M e ϕαα∈Λ particao da unidade

subordinada a esta cobertura, ou seja,

1. ϕα ≥ 0 e supp(ϕα) ⊂ Uα,

2. Uαα∈Λ e localmente finita,

3.∑

α∈Λ ϕα (p) = 1.

Podemos definir uma metrica em cada aberto da cobertura de M induzidapelo sistema de coordenadas obtendo assim metricas locais, a metrica globalsera obtida a partir destas com o auxılio da particao da unidade subordinada acobertura em questao. Para isso considere 〈, 〉αα∈Λ as metricas induzidas emcada aberto da cobertura ou seja

〈, 〉pα : TpM × TpM → R,∀α ∈ Λ, p ∈ Uα.

Defino

10

〈, 〉p : TpM × TpM → R, p ∈M,

〈, 〉p :=∑

α∈Λ ϕα (p) 〈, 〉pα , p ∈M.

Como cada 〈, 〉pα e uma metrica , 〈, 〉p tambem e uma metrica so que global,conforme e desejado.

Definicao 2.13 Sejam Mn e Nn variedades diferenciaveis, um difeomorfismo

f : Mn → Nn

e uma bijecao diferenciavel com inversa diferenciavel.

Definicao 2.14 Sejam Mn e Nn variedades diferenciaveis , um difeomorfismo

f : Mn → Nn

e chamado isometria se

〈dfp (u) , dfp (v)〉f(p) = 〈u, v〉p

para todo p ∈M e u, v ∈ TpM .

Definicao 2.15 Sejam Mn e Nn variedades diferenciaveis, um difeomorfismo

f : Mn → Nn

e chamado aplicacao conforme se

〈dfp (u) , dfp (v)〉f(p) = λ2 (p) 〈u, v〉p

para todo p ∈M e u, v ∈ TpM e λ 6= 0.

Definicao 2.16 Sejam Mn e Nn variedades diferenciaveis, com n ≥ m, umaimersao

f : Mn → Nn

e uma aplicacao diferenciavel tal que

dfp : TpM → Tf(p)N

e injetiva para todo p ∈M.

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2.4 Conexoes Afins

Definicao 2.17 Um campo de vetores X em uma variedade diferenciavel Mn

e uma correspondencia que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X (p) ∈ TpM .

Representaremos por χ (M) o conjunto de campo de vetores de C∞ em Mn

e por C∞ (M) o anel das funcoes reais de C∞ em Mn.

Definicao 2.18 Uma conexao afim ∇ em uma variedade diferenciavel Mn euma aplicacao

∇ : χ (M)× χ (M) → χ (M)

tal que

(X,Y ) → ∇ (X,Y ) = ∇XY

que satisfaz as seguintes propriedades:

∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,

∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

∇X (fY ) = f∇XY +X (f)Y,

onde X , Y e Z ∈ χ (M) e f e g ∈ C∞ (M) .

Teorema 2.3 Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇.Entao existe uma unica correspondencia que associa a um campo vetorial Vao longo da curva diferenciavel c : I → M , onde I e um intervalo contendoa origem, um outro campo vetorial DV

dt ao longo de c , denominado derivadacovariante de V ao longo de c, tal que

1. Ddt (V +W ) = DV

dt + DWdt ,

2. Ddt (fV ) = df

dtV + f DVdt onde f e uma funcao diferenciavel en I ,

3. Se V e induzido por um campode vetores Y ∈ χ (M) , ou seja V (t) =Y (c (t)) entao DV

dt = ∇dc/dtY.

DemonstracaoPrimeiramente vamos provar a unicidade local considerando a existencia de

tal correspondencia.

Seja

Ddt : χ (M) → χ (M)

V → DVdt

12

a correspondencia em questao, onde V e DVdt sao dois campos de vetores ao

longo de uma curva diferencial c, considere entao

ϕ−1α : Vα ⊂ R → Uα ⊂M,

um sistemas de coordenadas no qual c (I) ∩ ϕ−1α (Vα) 6= .

Localmente representamos a curva,

c : I →M

por

t→ c (t) = (x1 (t) , x2 (t) , ..., xn (t)) .

Seja

∂∂xi

i=1,2,...,n

a base do TpM .

Representamos o campo V localmente por

V (t) =n∑

i=1

vi (t)∂

∂xi(c (t)) ,

usando as propriedades da derivada covariante temos

DV

dt=

n∑i=1

dvi

dtXi +

n∑i=1

viDXi

dt,

onde por simplicidade usamos ∂∂xi

= Xi para i = 1, 2, ..., n, temos ainda que

DXi

dt= ∇dc/dtXi = ∇∑n

j=1dxjdt Xj

Xi =n∑

i,j=1

dxj

dt∇Xj

Xi,

o que nos da

DV

dt=

n∑i=1

dvi

dtXi +

n∑i,j=1

dxj

dtvi∇Xj

Xi,

que claramente nos da a unicidade local da correspondencia.

Quanto a existencia considere a expressao acima definida em cada sistemade coordenadas, uma simples verificacao nos da que esta satisfaz os requisitos dederivada covariante em cada sistema de coordenadas, no entanto considere doissistemas de coordenadas nao disjuntos e em cada um definimos uma derivadacovariante como acima, na intersecao estas devem coincidir devido a unicidadelocal provada anteriormente, com isso podemos estender o campo globalmentecoforme desejamos.

13

Definicao 2.19 Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇.Um campo vetorial V ao longo de uma curva diferenciavel c : I →M , onde I eum intervalo contendo a origem, e chamado paralelo quando DV

dt = 0, para todot ∈ I.

Teorema 2.4 Seja M uma variedade diferenciavel n dimensional, com umaconexao afim ∇ e uma curva diferenciavel c : I → M , onde I e um intervalocontendo a origem . Seja V0 um vetor tangente a M em c (t0) , t0 ∈ I, entaoexiste um unico campo de vetores paralelo V ao longo de c, tal que V (t0) = V0.V (t) e chamado transporte paralelo de V (t0) ao longo de c.

DemonstracaoVamos supor inicialmente que c (I) esta contido no domınio de uma vizin-

hanca coordenada, digamos ϕi, Ui, seja entao

ϕi (c (t)) = (x1 (t) , x2 (t) , ..., xn (t))

representacao local da curva e

V0 =n∑

i=1

vi0Xi,

onde Xi = ∂∂xi

(c (t)) , i = 1, 2, ..., n, e a base do espaco tangente.Suponha que exista V em Ui paralelo ao longo da curva c e satisfazendo a

condicao inicial V (t0) = V0.

Entao

V =n∑

i=1

viXi

satisfaz,

DV

dt=

n∑i=1

dvi

dtXi +

n∑i,j=1

dxj

dtvi∇Xj

Xi = 0,

lembrando que

∇XjXi =n∑

k=1

Γkij ,

14

e permutando j com k na primeira soma temos,

DV

dt=

n∑k=1

dvk

dt+

n∑i,j=1

dxi

dtvjΓk

ij

= 0.

O sistema acima de n equacoes diferenciais em vk possui uma unica solucaosatisfazendo a condicao inicial. Alem disso como o sistema e linear a solucaoesta definida para todo I, o que garante a existencia e a unicidade em um sistemade coordenadas. Considere agora uma curva qualquer como I e compacto e ce contınua sua imagem e um compacto, logo admite uma subcobertura finitae em particular formada por um numero finito de domınios de sistemas decoordenadas.

Conforme feito inicialmente em cada domınio a solucao existe e e unica ,entaona intersecao de dois domınios as solucoes coincidem, o que nos da a unicidadeglobal .

Definicao 2.20 Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇e uma metrica Riemanniana 〈 , 〉. A conexao e dita compatıvel com a metrica〈 , 〉 quando para toda curva diferenciavel c e quaisquer pares de campos devetores paralelos P e P’ ao longo de c, tivermos 〈P, P ′〉 = cte.

Teorema 2.5 Seja M uma variedade diferenciavel Riemanniana. Uma conexaoafim ∇ em M e compatıvel com a metrica se e so se para todo par V e W decampos de vetores ao longo da curva diferenciavel c : I →M tem-se

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩para todo t ∈ I.

DemonstracaoSe V e W sao paralelos entao

DV

dt= 0

e

DW

dt= 0,

o que implica

15

d

dt〈V,W 〉 = 0.

Entao 〈V,W 〉 = cte.Para demonstrarmos o recıproco, considere uma base ortonormal

P1 (t0) , P2 (t0) , ..., Pn (t0)

de Tc(t0)M em t0 ∈ I.Utilizando o ultimo resultado , estendemos paralelmente cada um dos vetores

da base ortonormal ao longo de toda a curva c e como ∇ e compatıvel com ametrica, obtemos P1 (t) , P2 (t) , ..., Pn (t) base ortonormal de Tc(t0)M , paratodo t ∈ I.

Seja entao V =∑viPi e W =

∑wiPi , i = 1, 2, ..., n onde vi e wi sao

funcoes diferenciaveis em I.Segue daı que

DV

dt=

n∑i=1

dvi

dtPi

e

DW

dt=

n∑i=1

dwi

dtPi,

logo

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨DW

dt, V

⟩=

n∑i=1

dvi

dtwi +

dwi

dtvi

,

ou seja,

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨DW

dt, V

⟩=

d

dt

n∑

n=1

viwi

=

d

dt〈V,W 〉 .

Teorema 2.6 Uma conexao ∇ em uma variedade Riemanniana M e compatıvelcom a metrica se e so se

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 ,

para todo X , Y e Z ∈ χ (M) .

16

DemonstracaoSuponha ∇ compatıvel com a metrica, seja p ∈ M e c : I → M uma curva

diferenciavel com c (t0) = p0, t0 ∈ I e com c′ (t0) = X (p), entao

X (〈Y, Z〉) (p) =d

dt〈Y, Z〉 (t0) = 〈∇XY, Z〉 (p) + 〈Y,∇XZ〉 (p) .

O recıproco decorre diretamente da definicao.

Definicao 2.21 Uma conexao afim ∇ em uma variedade diferenciavel M e ditasimetrica quando

∇XY −∇Y X = [X,Y ]

para todo X e Y ∈ χ (M) .

Teorema 2.7 (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe umaunica conexao afim ∇ em M satisfazendo as condicoes:

1. ∇ e simetrica,

2. ∇ e compatıvel com a metrica riemanniana.

DemonstracaoSuponha inicialmente que exista uma conexao ∇, entao

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 ,

Y 〈Z,X〉 = 〈∇Y Z,X〉+ 〈Z,∇Y X〉 ,

Z 〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZX〉 ,

somando as duas primeiras equacoes acima e subtraindo a terceira e usando asimetria de ∇, obtemos

X 〈Y,Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z 〈X,Y 〉 =

= 〈[X,Z] , Y 〉+ 〈[Y,Z] , X〉+ 〈[X,Y ] , Z〉+ 2 〈Z,∇Y X〉 ,

ou seja,

〈Z,∇Y X〉 =12X 〈Y,Z〉+ Y 〈Z,X〉 − Z 〈X,Y 〉

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+12− 〈[X,Z] , Y 〉 − 〈[Y, Z] , X〉 − 〈[X,Y ] , Z〉 ,

o que nos diz que a conexao caso exista esta univocamente determinada atravesda metrica.

Para a existencia defina a conexao atraves da expressao acima e repare quedefinida desta forma ela ira satisfazer as propriedades requeridas, o que garantea existencia.

Definicao 2.22 Seja M uma variedade Riemanniana. Sejam X ∈ χ (M) ef ∈ D (M), entao a divergencia de X e a funcao,

DivX : M → R

p→ DivX (p) = tr (∇Y X (p)) .

Definicao 2.23 Sejam M uma variedade Riemanniana, X ∈ χ (M) e f ∈C∞ (M). Entao o gradiente de f e definido como o campo vetorial ∇f emM dado por:

〈∇f (p) , v〉 = dfp (v) ,

com p ∈M e v ∈ TpM.

Teorema 2.8 Sejam M uma variedade diferenciavel e ds2 = µds2 a metricaconforme , onde µ e uma funcao positiva. Alem disso sejam ∇ e ∇ as respectivasconexoes, temos que

∇YX = ∇Y

X + S (X,Y ) ,

onde

S (X,Y ) = 12µ [s (∇µ,X)Y + s (∇µ, Y )X − s (X,Y )∇µ] .

DemonstracaoAnalisando a expressao de ∇ podemos concluir que esta e simetrica entao

basta mostrar que ela e compatıvel com a metrica, ou seja,

Xs (Y, Z) = s(∇Y

X , Z)

+ s(Y, ∇Z

X

),

onde

Xs (Y, Z) = X (µs (Y,Z)) .

Para familiarizar a notacao representarei

s (X,Y ) = 〈X,Y 〉 .

Entao temos

18

Xs (Y, Z) = 〈X,∇µ〉 〈Y, Z〉+ µ⟨∇Y

Z , Z⟩

+ µ⟨Y,∇Z

X

⟩,

bem como

s(∇Y

X , Z)

+ s(Y, ∇Z

X

)=

µ⟨∇Y

X , Z⟩

+ µ⟨Y,∇Z

X

⟩+ µ [〈S (X,Y ) , Z〉+ 〈Y, S (X,Y )〉] .

Entao para concluirmos o resultado basta mostrar que

〈X,∇µ〉 〈Y,Z〉 = µ [〈S (X,Y ) , Z〉+ 〈Y, S (X,Y )〉] ,

que e obtido por um calculo simples, pois,

〈S (X,Y ) , Z〉 = 12µ [〈∇X,µ〉 〈Y, Z〉+ 〈∇Y, µ〉 〈X,Z〉 − 〈X,Y 〉 〈∇µ,Z〉] ,

〈Y, S (X,Z)〉 = 12µ [〈∇X,µ〉 〈Y, Z〉+ 〈∇Y, µ〉 〈X,Y 〉 − 〈X,Z〉 〈∇µ, Y 〉] .

2.5 Curvaturas

2.5.1 Curvatura

Definicao 2.24 A curvatura R de uma variedade Riemanniana M e uma cor-respondencia que associa a cada par X,Y ∈ χ (M) uma aplicacao

R (X,Y ) : χ (M) → χ (M)

tal que

R (X,Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z +∇[X,Y ]Z,

para todo Z ∈ χ (M), onde ∇ e a conexao riemanniana de M.

Observe que se M = Rn teremos R (X,Y ) ≡ 0, para todo X,Y ∈ χ (M).Diante deste resultado podemos olhar para a curvatura como um ındice que

nos diz o quanto M deixa de ser euclidiana.

Teorema 2.9 A curvatura R de uma variedade riemanniana goza das seguintespropriedades:

1. R e bilinear em χ (M)× χ (M), isto e,

R (fX + gY, Z) = fR (X,Z) + gR (Y,Z) ,

R (Z, fX + gY ) = fR (Z,X) + gR (Z, Y ) ,

para todo X,Y, Z ∈ χ (M) .

2. Para todo X,Y ∈ χ (M), o operador curvatura e linear, isto e

R (X,Y ) (Z +W ) = R (X,Y )Z +R (X,Y )W,

19

R (X,Y ) (fZ) = fR (X,Y )Z,

para toda f ∈ C∞ (M) e X,Y, Z,W ∈ χ (M) .

DemonstracaoOs dois itens seguem das propriedades da conexao.

1. Temos que

∇Y∇fX1+gX2Z = ∇Y (f∇X1Z + g∇X2Z) = ∇Y f∇X1Z +∇Y g∇X2Z,

logo

∇Y∇fX1+gX2Z = Y (f)∇X1Z + f∇Y∇X1Z + Y (g)∇X2Z + g∇Y∇X2Z.

Alem disso

∇fX1+gX2∇Y Z = f∇X1∇Y Z + g∇X2∇Y Z.

Entao

∇[fX1+gX2,Y ]Z = ∇[fX1,Y ]Z +∇[gX2,Y ]Z,

onde

∇[fX1,Y ]Z = ∇f [X1,Y ]−Y (f)X1Z = f∇[X1,Y ]Z − Y (f)∇X1Z.

Analogamente

∇[gX2,Y ]Z = g∇[X2,Y ]Z − Y (g)∇X2Z.

Utilizando os ultimos resultados obtemos

R (fX + gY, Z) = fR (X,Z) + gR (Y,Z) ,

alem disso como R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z, concluımos a primeira parte.

2. Como ∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ, a primeira propriedade de linearidadesai imediatamente, quanto a segunda propriedade temos que

∇Y∇XfZ = f∇Y∇XZ + (Y f)∇XZ +Xf (∇Y Z) + (Y (Xf))Z,

logo,

∇Y∇XfZ −∇X∇Y fZ = f (∇Y∇X −∇X∇Y f) (Z) + ((Y X −XY ) f)Z

ainda temos que,

20

∇[X,Y ] (fZ) = f∇[X,Y ] (Z) + ([X,Y ] f)Z.

Somando as duas ultimas igualdades chegamos ao resultado desejado,

R (X,Y ) (fZ) = fR (X,Y )Z.

Teorema 2.10 (Primeira Identidade de Bianchi) R (X,Y )Z+R (Y,Z)X+R (Z,X)Y = 0.

DemonstracaoUsando o fato que a conexao e simetrica, temos

R (X,Y )Z+R (Y,Z)X+R (Z,X)Y = [Y, [X,Z]]+ [Z, [Y,X]]+ [X, [Z, Y ]] = 0.

Teorema 2.11 Valem as seguintes propriedades,

1. (X,Y, Z,W ) + (Y, Z,X,W ) + (Z,X, Y,W ) = 0,

2. (X,Y, Z,W ) = − (Y,X,Z,W ),

3. (X,Y, Z,W ) = − (X,Y,W,Z),

4. (X,Y, Z,W ) = (Z,W,X, Y ).

DemonstracaoPela simplicidade usarei a seguinte notacao 〈R (X,Y )Z,W 〉 = (X,Y, Z,W ).

1. E apenas a identidade de Bianchi reescrita utilizando a nova notacao,

2. Consequencia da definicao ,

3. Repare que este item equivale a (X,Y, Z, Z) = 0.

Como

(X,Y, Z, Z) =⟨∇Y∇XZ −∇X∇Y Z −∇[X,Y ]Z,Z

⟩,

podemos obter o resultado calculando cada parcela, com este objetivotemos

〈∇Y∇XZ,Z〉 = Y 〈∇XZ,Z〉 − 〈∇XZ,∇Y Z〉

e ⟨∇[X,Y ]Z,Z

⟩= 1

2 [X,Y ] 〈Z,Z〉 .

Entao

(X,Y, Z, Z) = Y 〈∇XZ,Z〉 −X 〈∇Y Z,Z〉+ 12 [X,Y ] 〈Z,Z〉

21

= 12Y (X (〈Z,Z〉))− 1

2X (Y (〈Z,Z〉)) + 12 [X,Y ] 〈Z,Z〉 = 0,

4. Do primeiro item temos as quatro igualdades abaixo

(X,Y, Z,W ) + (Y, Z,X,W ) + (Z,X, Y,W ) = 0,

(Y,Z,W,X) + (Z,W, Y,X) + (W,Y,Z,X) = 0,

(Z,W,X, Y ) + (W,X,Z, Y ) + (X,Z,W, Y ) = 0,

(W,X, Y, Z) + (X,Y,W,Z) + (Y,W,X,Z) = 0,

somando-se os resultados acima obtemos

2 (Z,X, Y,W ) + 2 (W,Y,Z,X) = 0,

ou seja,

(Z,X, Y,W ) = (Y,W,Z,X) .

2.5.2 Curvatura Seccional

Definicao 2.25 Seja V um espaco vetorial e x, y ∈ V defino

|x ∧ y| =√|x|2 |y|2 − 〈x, y〉2.

Teorema 2.12 Sejam σ ⊂ TpM um subespaco bi-dimensional do espaco tan-gente TpM e x, y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Entao

K (x, y) =(x, y, x, y)|x ∧ y|

nao depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.

DemonstracaoRepare que qualquer base de TpM pode ser obtida atraves da base x, y

mediante iteracao das seguintes aplicacoes

1. x, y → y, x ,

2. x, y → λx, y ,

3. x, y → x+ λy, y ,

e alem disso K e invariante por tais aplicacoes , o que conclui o teorema.

Definicao 2.26 Dado um ponto p ∈ M e um subespaco bidimensional σ ⊂TpM , o numero real K (x, y) = K (σ), onde x, y e uma base qualquer de σ ,e chamado curvatura seccional de σ em p.

22

2.5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar

Como consequencia da definicao de curvatura seccional surge

Definicao 2.27 Seja x = zn um vetor unitario em TpM , considere uma baseortonormal z1, z2, ..., zn−1 do hiperplano de TpM ortogonal a x, defino

Ricp : TpM → R,

Ricp (x) = 1n−1

∑i 〈R (x, zi)x, zi〉

onde i = 1, 2, ..., n-1 ,como Curvatura de Ricci em p e

K : M → R

K (p) = 1n

∑j Ricp (zj)

onde j = 1, 2, ..., n , como curvatura escalar ou curvatura media em p.

As definicoes acima independem da escolha da base ortonormal para umademonstracao veja [16].

Considere agora uma forma bilinear em TpM ,

Q : TpM × TpM → R,

Q (x, y) =∑

i 〈R (x, zi) y, zi〉,

onde z1, z2, ..., zn−1, x = zn e uma base ortonormal de TpM e x unitario .

Observe que Q (x, x) = (n− 1)Ricp (x).

Definicao 2.28 A forma bilinear 1/ (n− 1)Q e chamada Tensor de Ricci.

2.6 Imersoes Isometricas

Seja f : Mn → Mn+m uma imersao de uma variedade diferenciavel M emuma variedade Riemanniana M . A metrica de M define de forma natural ametrica de M, para isto basta definir para todo p ∈M e u, v ∈ TpM

〈u, v〉p = 〈dfp (u) , dfp (v)〉f(p) .

Assim se f : Mn → Mn+m e uma imersao isometrica temos uma serie derelacoes entre as geometrias de M e M .

23

2.6.1 A Segunda Forma Fundamental de uma Imersao

Seja f : Mn → Mn+m uma imersao entao para cada p ∈ M , existe umavizinhanca U ⊂M tal que f (U) ⊂ M e uma subvariedade de M . O que equivalea dizer que existem uma vizinhanca U ⊂ M de f (p) e um difeomorfismo ϕ : U →V ⊂ Rk em um aberto V de Rk, tais que ϕ aplica difeomorficamente f (U) ∩ Uem um aberto do subespaco Rn ⊂ Rk. Com o objetivo de simplificar a notacaofaremos uma identificacao de U com f (U) e cada v ∈ TqM , identificaremoscom dfq (v) ∈ Tf(q)M , alem disso tais identificacoes serao usadas para estenderuma campo local de vetores de M a um campo local de vetores em M , via odifeomorfosmo ϕ bastando apenas restringir U o quanto seja necessario.

Para cada p ∈M , o produto interno em TpM decompoe TpM na soma direta

TpM = TpM ⊕ (TpM)⊥ ,

onde (TpM)⊥ e o complemento ortogonal de TpM em TpM , e para todo v ∈ TpMpodemos escrever

v = vT + vN

onde vT ∈ TpM e vN ∈ (TpM)⊥ sao denominados componente tangencial enormal de v respectivamente, tal decomposicao e claramente diferenciavel porser tratar da aplicacao projecao

πT : TM → TM

(p, v) →(p, vT

)e

πN : TM → TM

(p, v) →(p, vN

)que sao diferenciaveis.

Sejam

∇ : χ(M

)× χ

(M

)→ χ

(M

),

a conexao riemanniana em M , X e Y campos locais de vetores em M e X e Ysuas respectivas extensoes locais a M , temos ∇XY =

(∇X Y

)T como a conexaoriemanniana relativa a metrica induzida em M pela isometria.

Definicao 2.29 Sejam X e Y campos locais em M e X e Y suas respectivasextensoes locais a M , entao

B (X,Y ) = ∇X Y −∇XY,

e um campo local de M e normal a M.

24

Teorema 2.13 Sejam X e Y ∈ χ (U), U aberto de M, a aplicacao

B : χ (U)× χ (U) → (χ (U))⊥ ,

B (X,Y ) = ∇X Y −∇XY,

esta bem definida, alem disso e bilinear e simetrica.

DemonstracaoInicialmente considere X ′ uma outra extensao de X, entao

B (X ′, Y )−B (X,Y ) = ∇X′−X Y

se anula em M pois X ′− X = 0 ja que sao extensoes do mesmo campo X de M,considere agora Y ′ uma outra extensao de Y, entao

B (X,Y ′)−B (X,Y ) = ∇X

(Y ′ − Y

),

tambem se anula pois Y ′ − Y = 0 ao longo de uma trajetoria de X.Quanto a bilinearidade temos em relacao ao denominador, ou seja X, que a

conexao e linear o que implica a linearidade quanto a primeira entrada, quantoa segunda entrada temos que a conexao e aditiva em relacao ao numerador oque implica a aditividade quanto a segunda entrada de B , restando verificarque dado f ∈ D (U) temos B (X, fY ) = fB (X,Y ), para isso considere f umaextensao de f a U entao

B (X, fY ) = ∇X

(f Y

)−∇X (fY ) = f∇X Y − f∇XY + X

(f)Y −X (f)Y,

o que implica

B (X, fY ) = f∇X Y − f∇XY = fB (X,Y )

pois em M temos, X(f)Y −X (f)Y = 0.

Resta mostrar que B e simetrica para isso basta ver que

B (X,Y ) = ∇X Y −∇XY = ∇Y X +[X, Y

]−∇Y X − [X,Y ]

como em M temos[X, Y

]= [X,Y ] , concluımos que B (X,Y ) = B (Y,X).

Teorema 2.14 Sejam p ∈M e η ∈ (TpM)⊥, a aplicacao

Hη : TpM × TpM → R,

Hη (X,Y ) = 〈B (X,Y ) , η〉 ,

e bilinear e simetrica.

DemonstracaoSegue diretamente do ultimo resultado.

Definicao 2.30 Sejam

25

f : M → M

uma imersao , p ∈M e η ∈ (TpM)⊥ , a aplicacao

IIη : TpM → R,

IIη (X) = Hη (X,X) = 〈B (X,X) , η〉 ,

e definida como a segunda forma fundamental de f em p segundo o vetor normalη.

Vale comentar que a aplicacaoB definida acima tambem costuma ser chamadasegunda forma fundamental.

A aplicacao bilinear Hη define uma aplicacao linear auto-adjunta,

Aη : TpM → TpM ,

〈Aη (X) , Y 〉 = Hη (X,Y ) = 〈B (X,Y ) , η〉 .

Teorema 2.15 Sejam p ∈ M , X ∈ TpM e η ∈ (TpM)⊥ e alem disso X e Nextensoes locais de X e de η , este ultimo normal a M , respectivamente , entao

Aη (X) = −(∇XN

)T.

DemonstracaoConsidere X,Y ∈ TpM e X e Y extensoes locais de X e Y respectivamente

e tangentes a M . Entao

〈Aη (X) , Y 〉 = 〈B (X,Y ) , N〉 =⟨∇X Y −∇XY,N

⟩=

⟨∇X Y , N

⟩,

como 〈N,Y 〉 = 0 temos,

〈Aη (X) , Y 〉 = −⟨Y , ∇XN

⟩= −

⟨Y, ∇XN

⟩,

pela arbitrariedade de Y , podemos concluir o resultado.

A aplicacao linear auto-adjunta,

Aη : TpM → TpM ,

tambem costuma ser chamada de segunda forma fundamental , ao longo destetrabalho quando me referir a segunda forma fundamental estarei fazendo alusaoa esta ultima.

Teorema 2.16 (Teorema de Gauss) Sejam p ∈ M , x e y ∈ TpM vetoresortonormais, entao

K (x, y)− K (x, y) = 〈B (x, x)B (y, y)〉 − |B (x, y)|2 .

26

DemonstracaoSejam X e Y extensoes locais e ortonormais de x e y respectivamente e

tangentes a M, X e Y as extensoes locais de X e Y a M , entao

K (x, y)− K (x, y) = 〈∇Y∇XX −∇X∇Y X,Y 〉

−⟨∇Y ∇XX − ∇X∇Y X, Y

⟩+

⟨∇[X,Y ]X − ∇[X,Y ]X, Y

⟩,

repare que ⟨∇[X,Y ]X − ∇[X,Y ]X, Y

⟩= −

⟨(∇[X,Y ]X

)N

, Y

⟩= 0.

Sejam Eii=1,2,...,m , onde m = dimM − dimM , campos locais ortonormaise normais a M , temos que B (X,Y ) =

∑iHi (X,Y )Ei , onde Hi = HEi

,i = 1, 2, , ...,m portanto

∇Y ∇XX = ∇Y (∑

iHi (X,Y )Ei +∇XX)

=∑

i

Hi (X,Y ) ∇Y Ei + Y Hi (X,Y )Ei

+ ∇Y∇XX,

logo ⟨∇Y ∇XX, Y

⟩= −

∑iHi (X,X)Hi (Y, Y ) + 〈∇Y∇XX,Y 〉 ,

e analogamente⟨∇X∇Y X, Y

⟩= −

∑iHi (X,Y )Hi (X,Y ) + 〈∇X∇Y X,Y 〉 .

Somando os dois resultados acima concluımos a demonstracao.

Definicao 2.31 Uma imersao

f : Mn → Mn+m

e mınima se para todo p ∈M e todo η ∈ (TpM)⊥ tem-se que o traco de Aη = 0.Sejam Eii=1,2,..m. uma base ortonormal de χ (U)⊥, U aberto de M, tal que

p ∈ U e f um mergulho quando restrito a U, entao

B (X,Y ) =m∑

i=1

HEi(X,Y )Ei,

onde X e Y ∈ TpM , o vetor normal dado por

~H =1n

m∑i=1

(trAEi)Ei

e chamado vetor curvatura media de f.Claramente f e mınima se e somente se ~H ≡ ~0.

27

2.6.2 Equacoes Fundamentais de uma Imersao Isometrica

Seja

f : Mn → Mn+m

uma imersao isometrica. A metrica de Mn+m e a identificacao feita anteri-ormente nos fornece uma decomposicao do espaco tangente de M que variadiferencialmente com p dada por

TpM = TpM ⊕ (TpM)⊥ .

A partir dessa decomposicao do espaco tangente defino a conexao normalque nada mais e que a componente normal da conexao.

Definicao 2.32 A aplicacao

∇⊥ : χ(M

)× χ

(M

)→ χ

(M

)⊥,

∇⊥ (X, η) =(∇Xη

)N,

sera chamada de conexao normal.

Repare que (∇Xη

)N = ∇Xη −(∇Xη

)T = ∇Xη +Aη (X) .

Teorema 2.17 A conexao normal

∇⊥ : χ(M

)× χ

(M

)→ χ

(M

)⊥,

∇⊥ (X, η) =(∇Xη

)N,

satisfaz as seguintes propriedades:

∇⊥fX+gY η = f∇⊥Xη + g∇⊥Y η,

∇⊥X (η1 + η2) = ∇⊥Xη1 +∇⊥Xη2,

∇⊥X (fη) = f∇⊥Xη +X (f) η,

onde X , Y e η ∈ χ (M) e f e g ∈ C∞ (M).

DemonstracaoComo

(∇Xη

)N = ∇Xη + Aη (X) o teorema segue como uma consequenciadireta das propriedades da conexao e da segunda forma fundamental.

Analogamente ao que foi desenvolvido no caso do fibrado tangente, definin-mos agora a curvatura normal.

Definicao 2.33 A curvatura normal R⊥ de uma variedade Riemanniana M euma correspondencia que associa a cada par X,Y ∈ χ (M) uma aplicacao

28

R⊥ (X,Y ) : χ (M)⊥ → χ (M)⊥ ,

tal que

R⊥ (X,Y ) η = ∇⊥Y∇⊥Xη −∇⊥X∇⊥Y η +∇⊥[X,Y ]η,

para todo η ∈ χ (M)⊥ , onde ∇⊥ e a conexao normal de M.

Teorema 2.18 (Equacao de Gauss)⟨R (X,Y )Z, T

⟩= 〈R (X,Y )Z, T 〉−〈B (Y, T ) , B (X,Z)〉+〈B (X,T ) , B (Y, Z)〉 .

DemonstracaoTemos que

∇XY = ∇XY +B (x, Y ) ,

e como

R (X,Y )Z = ∇Y ∇XZ − ∇X∇Y Z + ∇[X,Y ]Z,

chegamos a

R (X,Y )Z = R (X,Y )Z +B (Y,∇XZ) +∇⊥Y B (X,Z)−AB(X,Z)Y −B (X,∇Y Z)−∇⊥XB (Y,Z) +AB(Y,Z)X +B ([X,Y ] , Z) ,

logo ⟨R (X,Y )Z, T

⟩= 〈R (X,Y )Z, T 〉 −

⟨AB(X,Z)Y, T

⟩+

⟨AB(Y,Z)X,T

⟩= 〈R (X,Y )Z, T 〉 − 〈B (Y, T ) , B (X,Z)〉+ 〈B (X,T ) , B (Y, Z)〉 ,

o que nos da a equacao de Gauss.

Teorema 2.19 (Equacao de Ricci)⟨R (X,Y )Z, T

⟩−

⟨R⊥ (X,Y )Z, T

⟩= 〈[Aη, Aξ]X,Y 〉 ,

onde [Aη, Aξ] = Aη Aξ −Aξ Aη.Demonstracao

Lembrando que

R (X,Y ) η = ∇Y ∇Xη − ∇X∇Y η + ∇[X,Y ]η,

e usando(∇Xη

)N = ∇Xη +Aη (X), obtemos

R (X,Y ) η = R⊥ (X,Y ) η −A∇⊥XηY −∇Y (AηX)−B (AηX,Y ) +A∇⊥Y ηX +∇X (AηY ) +B (AηY,X)−Aη [X,Y ] .

Lembrando que 〈B (x, Y ) , η〉 = 〈AηX,Y 〉 e fazendo o produto interno abaixo⟨R (X,Y ) η, ξ

⟩=

⟨R⊥ (X,Y ) η, ξ

⟩+ 〈[Aη, Aξ]X,Y 〉

29

concluımos a demonstracao.Podemos considerar a segunda forma fundamental da imersao como um ten-

sor, ou seja,

Definicao 2.34

B : χ (M)× χ (M)× χ (M)⊥ → D (M) ,

B (X,Y, η) = 〈B (x, Y ) , η〉 .

De maneira natural estendemos a definicao de derivada covariante a este tipode tensor e obtemos (

∇XB)(Y, Z, η) =

X (B (Y, Z, η))−B (∇XY,Z, η)−B (Y,∇XZ, η)−B(Y, Z,∇⊥Xη

).

Teorema 2.20 (Equacao de Codazzi )⟨R (X,Y )Z, η

⟩=

(∇Y B

)(X,Z, η)−

(∇XB

)(Y,Z, η) .

DemonstracaoRepare que (

∇XB)(Y,Z, η) =

X 〈B (Y,Z) , η〉 − 〈B (∇XY, Z) , η〉 − 〈B (Y,∇XZ) , η〉 −⟨B (Y,Z) ,∇⊥Xη

⟩=

⟨∇⊥X (B (Y, Z)) , η

⟩− 〈B (∇XY, Z) , η〉 − 〈B (Y,∇XZ) , η〉 ,

e ⟨R (X,Y )Z, η

⟩= 〈B (Y,∇XZ) , η〉+

⟨∇⊥Y B (X,Z) , η

⟩− 〈B (X,∇Y Z) , η〉 −⟨

∇⊥XB (Y,Z) , η⟩

+ 〈B ([X,Y ] , Z) , η〉 ,

entao juntando as duas ultimas expressoes chegamos a⟨R (X,Y )Z, η

⟩=

(∇Y B

)(X,Z, η)−

(∇XB

)(Y, Z, η)

que e o resultado esperado.

2.7 Subvariedades Mınimas

Seja M uma variedade Riemanniana e f : M → M uma imersao onde M euma variedade conexa e orientavel com bordo ∂M .

Definicao 2.35 Uma variacao suave de f significa uma aplicacao C∞,

F : I ×M → M

onde I = (−1, 1), tal que

30

1. ft = F (t, ) : M → M e uma imersao ∀t ∈ I,

2. f0 = f,

3. ft |∂M = f |∂M,∀t ∈ I.

Entao ∂/∂t representa o campo vetorial ao longo do fator I de I × M eE = F∗∂/∂t |t = 0 e considerada uma uma secao de TpM ⊕ (TpM)⊥.

Alem disso seja V (t) o volume de M no instante t, ou seja

V (t) =∫

M

dVt

onde dVt e o elemento de volume da metrica induzida por ft.

Teorema 2.21 (Primeira forma variacional)

dV

dt

∣∣∣∣t=0 = −∫

M

〈K,E〉 dV,

onde K e o vetor curvatura media.

Vale a pena ressaltar que K representa o gradiente para a funcao volume,ou seja, uma imersao f : M → M representa um ponto crıtico para a funcaovolume no espaco de funcoes de M em M se K = 0.

Qualquer imersao satisfazendo a condicao K = 0 e chamada imersao mınimaou uma subvariedade mınima.

Uma pergunta natural e se f realmente representa um mınimo local para afuncao volume, ou seja se para qualquer variacao ft de f , temos V (f) ≤ V (ft)para todo t em um vizinhanca de 0. Para respondermos a esta pergunta bastacalcular a segunda derivada da funcao volume.

Teorema 2.22 (Segunda forma variacional)

d2V

dt2

∣∣∣∣t=0 =∫

M

⟨∆ (E) + ‖A‖2 (E) + Ric(N,N) (E) , E

⟩dV.

Definicao 2.36 O operador diferencial simetrico

J = ∆ + ‖A‖2 + Ric(N,N),

e chamado operador de Jacobi.

O operador de Jacobi e diagonalizavel, com autovalores

λ1 < λ2 < λ3 < ... < λj < ...

cujos respectivos auto-espacos Vλjtem dimensao finita.

Se considerarmos a imersao mınima como o ponto crıtico da funcao area noespaco de imersoes de M em M de bordo fixo, entao a forma quadratica

31

I (E) =∫

M

〈J (E) , E〉 dV,

e a forma Hessiana da derivada segunda da funcao area neste ponto.

Definicao 2.37 Sejam λjj∈N autovalores do operador de Jacobi, defino oındice de uma variedade como,

Ind (M) = dim(⊕λj<0Vλj

).

Fica claro que se Ind (M) = 0, entao a variedade possui volume mınimo.

Definicao 2.38 Uma variedde e estavel se

d2V

dt2|t=0 ≤ 0.

Logo podemos concluir que uma variedade e estavel se λ1 < 0 ou de formaequivalente se Ind (M) = 0.

32

Capıtulo 3

Resultados Preliminarespara variedades do tipoM2 x R

Neste capıtulo serao apresentadas definicoes e alguns resultados necessariospara que possamos concluir o teorema principal deste trabalho. Ao longo dele

f : Σ → M2 × R

sera uma imersao isometrica.

Definicao 3.1 Um campo normal unitario sera chamado de trivial se for glob-almente definido.

Definicao 3.2 f : Σ → M2 × R e chamada bilateral se o seu campo normal etrivial.

Definicao 3.3 A funcao θ : Σ → [−1, 1] definida como

θ(q) = 〈N(q), e〉

e chamada funcao angulo, onde e e um vetor unitario tangente ao fator R.

Representarei por πR a projecao na componente R e por πM a projecao nacomponente M2.

Definicao 3.4 A funcao

h = πR f,

e chamada de funcao altura.

Lema 3.1 Seja f : Σ → M2×R uma imersao isometrica e seja h a sua funcaoaltura . Entao

33

1. ∇h = e− 〈N, e〉N ,

2. ∆h = 2H 〈N, e〉 .

DemonstracaoComo ∇πR = e , temos

∇h = (∇πR)T = (e)T = e− eN = e− 〈N, e〉N,

onde ( )T e ( )N denotam respectivamente as componentes tangencial e normalde um campo de vetores.

Ja que e e um campo de vetores paralelos em M2 × R, ou seja, ∇Xe = 0,temos

∇X∇h = ∇X(e− 〈N, e〉N) =[∇X (e− 〈N, e〉N)

]T

=[∇Xe− ∇X 〈N, e〉N

]T

=[∇Xe−X (〈N, e〉)N + 〈N, e〉 ∇XN

]T

= 〈N, e〉A (X)

logo

∇X∇h = 〈N, e〉A (X) ∈ TΣ,

onde X e um campo de vetores de TΣ, ∇ e a conexao de Levi-Civita em Σ, ∇e a conexao de Levi-Civita em M2 × R e A e a segunda forma fundamental.

Calculando o laplaciano de h, temos

∆h = tr(∇X∇h),

e usando os resultados anteriores obtemos

∆h = tr(〈N, e〉A(X))

e sendo e1 e e2 uma base ortonormal de TΣ,

∆h =∑2

j=1 [〈N, e〉 〈A(ej), ej〉] ,

logo

∆h =⟨e,

∑2j=1 〈A(ej), ej〉N

⟩=

⟨e, 2 ~H

⟩= 2H 〈e,N〉 ,

entao

∆h = 2H 〈N, e〉 ,

34

onde H e ~H sao respectivamente a curvatura media e o vetor curvatura mediade f .

Lema 3.2 O tensor de Ricci escrito em funcao da curvatura Gaussiana de M2

e dado por

Ric(V,W ) = 〈V ∗,W ∗〉KM(πM),

onde V ∗ e W ∗ sao as projecoes de V e W em TM.

DemonstracaoSejam

V =∑3

j=1 vjej e W =∑3

j=1 wjej ,

onde V e W sao dois vetores quaisquer tangentes a M2 x R e ej e uma baseortonormal de TM2 x R e e1 e um vetor paralelo tangente ao fator R.

O Tensor de Ricci e dado por

Ric (V,W ) =∑3

j=1 〈R (V, ej)W, ej〉 ,

e usando as componentes de V e W na base ej , chegamos a

Ric (V,W ) =∑3

j=1

∑3i,k=1 viwk 〈R (ei, ej) ek, ej〉 ,

observe que as parcelas em que i = j ou k = j sao nulas , alem disso como e1 eparalelo para i , j , k = 1 a parcela tambem sera nula, feita essas consideracoesresta,

Ric (V,W ) =(∑3

j=2 vjwj

)〈R (e2, e3) e2, e3〉 =

(∑3j=2 vjwj

)KM(πM),

ou seja

Ric (V,W ) = 〈V ∗,W ∗〉KM(πM).

Lema 3.3 Seja f :∑

→M2×R uma imersao isometrica bilateral, entao

1. ∇θ = −A(∇h),

2. ∆θ = −2 〈∇h,∇H〉 − θ(‖A‖2 + (1− θ2)KM(πM)),

onde KM(πM)) e a curvatura Gaussiana de M2.

DemonstracaoTemos que

〈∇θ,X〉 = X(θ) = X(〈N, e〉) = 〈∇XN, e〉+ 〈N,∇Xe〉 .

Como e e um campo paralelo,

〈∇θ,X〉 = 〈∇XN, e〉 .

Usando que a segunda forma quadratica e bilinear e auto-adjunta, temos

35

〈∇θ,X〉 = 〈∇XN, e〉 = 〈−A(X), e〉 =⟨X,−A(eT )

⟩=

⟨−A(eT ), X

⟩.

Lembrando que X e um campo de vetores arbitrario de TΣ, resulta

∇θ = −A(e)T = −A(∇h).

Para calcular o laplaciano de θ, observe que

∇X(∇θ) = −(∇XA)(∇h)−A((∇X∇h)T

).

Lembrando a equacao de Codazzi,

(R(X,Y )N)T = (∇Y A)X − (∇XA)Y,

onde R e o Tensor curvatura de M2 × R, temos

∇X(∇θ) = −(∇∇hA)X − (R(∇h,X)N)T −A(θA(X)),

que resulta

∇X(∇θ) = −(∇∇hA)X − (R(∇h,X)N)T − θA2(X).

Como

∆θ = tr(∇X(∇θ)),

obtemos

∆θ = −tr((∇∇hA))− tr((R(∇h, )N)T )− tr(θA2). (3.1)

Considerando uma base ortonormal e1 e e2 de TΣ, vamos calcular as tresparcelas acima separadamente.

Das propriedades da conexao de Levi - Civita

tr((∇∇hA)) =∑2

j=1 [∇h 〈A(ej), ej〉 − 〈A(ej),∇∇hej〉] .

Logo, em relacao a base considerada, temos para i , j, k = 1, 2

ei (〈ej , ek〉) = 〈∇eiej , ek〉+ 〈ej ,∇eiek〉

ou seja

〈∇eiej , ek〉+ 〈ej ,∇eiek〉 = 0.

Entao para i, j, k = 1,

〈∇e1e1, e1〉 = 0,

e para i, j, k = 2,

〈∇e2e2, e2〉 = 0.

Agora se j, k = 1 e i = 2,

36

〈∇e2e1, e1〉 = 0.

Se j, k = 2 e i = 1,

〈∇e1e2, e2〉 = 0.

Como [e1, e2] = 0

∇e1e2 = ∇e2e1,

ou seja,

〈∇e1e2, e1〉 = 0,

e

〈∇e2e1, e2〉 = 0.

Se i, j = 1 e k = 2,

〈∇e1e1, e2〉+ 〈e1,∇e1e2〉 = 0,

ou seja,

〈∇e1e1, e2〉 = 0.

Se i, j = 2 e k = 1,

〈∇e2e2, e1〉 = 0.

Usando estes resultados e da linearidade de∇h em∇∇hej , a expressao inicialse reduz a

tr((∇∇hA)) =∑2

j=1∇h 〈A(ej), ej〉 = ∇h∑2

j=1 [〈A(ej), ej〉] = ∇h(2H),

logo

−tr((∇∇hA)) = −2 〈∇h,∇H〉 . (3.2)

Agora , temos que

tr((R(∇h, )N)T ) =∑2

j=1

⟨(R(∇h, ej)N)T , ej

⟩= Ric(∇h,N),

onde Ric e o tensor de Ricci de M2 × R.Lembrando que

Ric(∇h,N) = −Ric(N,∇h),

temos

−tr((R(∇h, )N)T ) = Ric(N,∇h). (3.3)

37

Finalmente

tr(θA2) =∑2

j=1 θ⟨A2(ej), ej

⟩= θ

∑2j=1 〈A(ej), A(ej)〉 ,

ou seja ,

tr(θA2) = θ∑2

j=1 ‖A(ej)‖2.

Como∑2

j=1 ‖A(ej)‖2 = ‖A‖2 temos

−tr(θA2) = −θ ‖A‖2. (3.4)

Usando 3.2, 3.3 e 3.4 em 3.1, obtemos que

∆θ = −2 〈∇h,∇H〉+ Ric(N,∇h)− θ ‖A‖2. (3.5)

Usando o Lema 3.2 anterior em 3.3 temos

Ric(N,∇h) = 〈N∗, (∇h)∗〉KM(πM),

onde

N∗ = N − θe e (∇h)∗ = −θN∗.

Logo

Ric(N,∇h) = 〈N∗,−θN∗〉KM(πM) = −θ ‖N∗‖2KM(πM),

como

‖N∗‖2 = 〈N − θe,N − θe〉

= ‖N‖2 − 2θ 〈N, e〉+ θ2 ‖e‖2 = 1− 2θ2 + θ2 = 1− θ2,

temos

Ric(N,∇h) = −θ(1− θ2)KM(πM),

que utilizado em 3.5, implica

∆θ = −2 〈∇h,∇H〉 − θ(‖A‖2 + (1− θ2)KM(πM)), (3.6)

que e o resultado desejado.

38

Capıtulo 4

Uma Versao do Teorema deBernstein para variedadesdo tipo M2 x R

Conforme comentado na introducao o principal teorema deste trabalho euma generalizacao do Teorema de Bernstein para variedades do tipo M2 x R queenunciamos a seguir:

Teorema 4.3 Seja f :∑

→ M2×R uma superfıcie mınima bilateral e com-pleta cuja funcao angular θ nao troca de sinal,

1. Se KM ≥ 0 em πM (f (∑

)) entao∑

e totalmente geodesica,

2. Suponha que KM (q) > 0 em algum ponto q ∈ πM (f (∑

)), entao ou∑

eum cilindro sobre uma geodesica completa de M2 ou um slice M2×R.

Antes de demonstrar este teorema vou apresentar dois casos particulares osteoremas 4.1 e 4.2, que na realidade irao realcar a dificuldade do teorema prin-cipal.

Teorema 4.1 Seja Σ compacta, orientavel e conexa e f : Σ → M2 × R umasuperfıcie compacta mınima, entao Σ e um slice.

DemonstracaoPara obter este resultado vou precisar do teorema de E. Hopf.

Teorema de E. Hopf : Seja M uma variedade Riemaniana orientavel,compacta e conexa. Seja f uma funcao diferenciavel em M com ∆f ≥ 0, entaof = cte.

Demonstracao

39

Lembrando que ∂M = 0, obtemos, utilizando o Teorema de Stokes para∇f = X,

∫M

∆fν = 0.

Como ∆f ≥ 0 temos ∆f = 0, trocando f por f2, temos

0 =∫

M∆(f2)ν =

∫M

(2f∆f + 2 |∇f |2)ν,

pois

∆(f · g) = f∆g + g∆f + 2 〈∇f,∇g〉 ,

como ∆f = 0 chegamos a

0 =∫

M2 |∇f |2 ν,

e como |∇f |2 ≥ 0 obtemos |∇f | = 0 e da conexidade de M concluımos que f =cte.

Retomando a demonstracao do Teorema 4.1, temos que como a superfıcie emınima o Lema 3.1 implica que h e harmonica, ou seja ∆h = 0, e como M2 ecompacta, do Teorema de E. Hopf, h e constante, logo Σ e um slice.

O proximo teorema e um resultado bem proximo do teorema principal, entaouma ideia e tentar demonstrar o teorema 4.3 usando a demonstracao do teorema4.2, feita abaixo

Teorema 4.2 Seja f :∑

→ M2×R uma superfıcie mınima bilateral e completacuja funcao angular θ > 0, se KM ≥ 0 em πM (f (

∑)) entao

∑e totalmente

geodesica.

DemonstracaoEste teorema e um caso particular do teorema principal, sob a restricao que

θ > 0.Podemos demonstrar o Teorema 4.2 de forma analoga a feita por Rosenberg

[12]. Com este intuito, lembro que

Ric (V,W ) = 〈V ∗,W ∗〉KM(πM).

Que em particular nos da

40

Ric(N,N) = ‖N∗‖2KM(π) = (1− θ2)KM(π),

usando isto, o operador de Jacobi

J = ∆ + ‖A‖2 + Ric(N,N),

e dado por

J = ∆ + ‖A‖2 + (1− θ2)KM(π),

como a superfıcie e mınima , temos H = 0 , e do caculo de ∆θ feito no Lema3.3, obtemos

Jθ = 0,

entao de acordo com o corolario 1 de Fischer - Colbrie e Schoen [7].

Teorema de Fischer - Colbrie e Schoen : Se D ⊂ M e um domıniolimitado qualquer, e se existe uma funcao positiva g definida em D satisfazendo

∆g − qg = 0

entao λ1 (D) ≥ 0

Entao para q = −‖A‖2 − (1− θ2)KM(π) e lembrando que θ e um campo deJacobi positivo, temos λ1 (D) ≥ 0 o que equivale a λ1 (D) > 0 de acordo comteorema 1 de Fischer - Colbrie e Schoen [7], entao a superfıcie e estavel.

No nosso caso isto pode ser demonstrado da seguinte forma considere umafuncao φ de suporte compacto em

∑, esta pode ser escrita como φ = ϕθ onde

ϕ e de suporte compacto. Ja que Jθ = 0, temos

Jφ = θ∆ϕ+ 2 〈∇ϕ,∇θ〉 ,

e

φJφ = θ2ϕ∆ϕ+12

⟨∇ϕ2,∇θ2

⟩= div(θ2ϕ∇ϕ)− θ2 ‖∇ϕ‖2

,

pois, para uma base ortonormal de vetores e1, e2, ..., en, temos

div(θ2ϕ∇ϕ) =n∑

j=1

⟨∇ej

θ2ϕ∇ϕ, ej

⟩

=n∑

j=1

⟨ej

(θ2ϕ

)∇ϕ+ θ2ϕ∇ej

∇ϕ, ej

⟩,

simplificando

41

div(θ2ϕ∇ϕ) =n∑

j=1

⟨⟨∇

(θ2ϕ

), ej

⟩∇ϕ, ej

⟩+ θ2ϕ

n∑j=1

⟨∇∇ϕ

ej, ej

⟩

=n∑

j=1

⟨⟨∇

(θ2ϕ

), ej

⟩∇ϕ, ej

⟩+ θ2ϕ∆ϕ

=n∑

j=1

⟨∇

(θ2ϕ

), ej

⟩〈∇ϕ, ej〉+ θ2ϕ∆ϕ

= 2θϕn∑

j=1

〈∇θ, ej〉 〈∇ϕ, ej〉+ θ2n∑

j=1

(〈∇ϕ, ej〉)2 + θ2ϕ∆ϕ

=12

n∑j=1

⟨∇θ2, ej

⟩ ⟨∇ϕ2, ej

⟩+ θ2

n∑j=1

(〈∇ϕ, ej〉)2 + θ2ϕ∆ϕ

=12

⟨∇ϕ2,∇θ2

⟩+ θ2 ‖∇ϕ‖2 + θ2ϕ∆ϕ,

o que prova o resultado acima , usando isto

−∫

Σ

φJφdAΣ = −∫

Σ

div(θ2ϕ∇ϕ)dAΣ +∫

Σ

θ2 ‖∇ϕ‖2dAΣ,

e como as funcoes sao de suporte compacto , temos do teorema da Divergenciaque

∫Σ

div(θ2ϕ∇ϕ)dAΣ = 0,

daı

−∫

Σ

φJφdAΣ =∫

Σ

θ2 ‖∇ϕ‖2dAΣ ≥ 0,

42

ou seja a superfıcie e estavel, sendo estavel,podemos usar o resultado de Schoen[14].

Teorema de R.Schoen : Seja f : M2 → N3 uma superfıcie estavel, com-pleta e mınima de curvatura de Ricci nao negativa, entao M2 e totalmentegeodesica.

Obtendo assim o resultado desejado.

Repare que no teorema 4.3 temos a condicao θ ≥ 0, ou seja, aparentementeo teorema 4.2 nao nos ajuda, mas sera demonstrado em seguida que θ = 0 ouθ > 0 em Σ de forma exclusiva, ou seja para obtermos o teorema 4.3 basta nospreocuparmos com o caso θ = 0, ja que θ > 0 ja foi resolvido pelo teorema 4.2.

Lema 4.1 θ = 0 ou θ > 0 em Σ de forma exclusiva.

DemonstracaoSuponha que exixta p0 ∈ Σ tal que θ(p0) = 0, seja entao V0 uma vizinhanca

de p0 em Σ tal que o primeiro auto - valor do problema de Dirichlet paraJ satisfaz λ1(J, V0) > 0 em V0, entao existe uma solucao positiva ρ para oproblema Jρ = 0 em V0 , fazendo θ = ρψ, entao como ψ ≥ 0 e Jθ = 0, temos

div(ρ2∇ψ) = ρJθ = 0 em V0,

o princıpio do maximo aplicado a equacao acima, ja que o divergente e um op-erador, nos da que ψ atinge seu mınimo, ψ = 0 , no interior de V0 , logo ψe consequentemente θ sao identicamente nulos em V0, da arbitrariedade de p0

temos que θ e identicamente nulo em Σ logo θ = 0 ou θ > 0 em Σ.

Entao resta analisar θ = 0, uma alternativa e estudar a estabilidade da su-perfıcie o que resolveria o problema, pois bastaria aplicar novamente o resultadode Schoen, mas repare que desta vez nao podemos aplicar novamente o teoremade Fischer - Colbrie e Schoen, pois θ nao e positivo, entao devemos provar aestabilidade de uma forma alternativa, mas atraves de um contra - exemploveremos que neste caso a superfıcie pode nao ser estavel.

Considere em particular a superfıcie S2 × R e um cilindro S1 × R sobre umequador da esfera S2, repare que esta curva, escolhida propositalmente, e umageodesica completa de S2.

Considere o operador de Jacobi

J = ∆ + ‖A‖2 + Ric(N,N),

para o nosso caso , ou seja o cilindro S1 × R no qual os autovalores principaisou curvaturas principais sao 1 e 0, temos

Ric(N,N) = K = 0,

e

43

‖A‖2 =∑2

i=1 〈A (ei) , A (ei)〉 =∑2

i=1 〈kiei, kiei〉 =∑2

i=1 k2i = 1,

usando estes resultados o operador de Jacobi do cilindro S1 × R se reduz a

J = ∆ + 1,

repare que os conjuntos Ωr = S1 × (−r, r) , com r > 0 , formam uma coberturade domınios limitados de fechos compactos para S1 ×R, logo podemos calcular

Ind(S1 × R

)= limr→∞ Ind (Ωr) ,

para k = 1, 2, ..., as funcoes

φr,k (x, t) =cosπkt

2r , se k ≥ 1 e ımparsenπkt

2r , se k ≥ 2 e par,

satisfazem

∆φr,k +π2k2

4r2φr,k = 0 emΩr,

e

φr,k = 0 em∂Ωr

ou seja φr,k sao autofuncoes linearmente independentes para o problema deautovalores de Dirichlet para o Laplaciano em Ωr, logo

Jφr,k +(π2k2

4r2− 1

)φr,k = 0,

pois Jφr,k = ∆φr,k + φr,k e consequentemente,

λr,k =π2k2

4r2− 1,

e um autovalor para o problema de Dirichlet para J em Ωr, para k ≥ 1.Entao para r > π/2 temos λr,k < 0 se 1 ≤ k < 2r/π, que implica

Ind(Ωr) ≥ b2r/πc ,

e em particular Ind(S1 × R) = ∞, ou seja a superfıcie nao e estavel, o quefrustra nossas pretensoes.

Entao devemos procurar uma solucao que nao envolva a estabilidade davariedade, que e o que farei a seguir:

44

Teorema 4.3 Seja f :∑

→ M2×R uma superfıcie mınima bilateral e completacuja funcao angular θ nao troca de sinal,

1. Se KM ≥ 0 em πM (f (∑

)) entao∑

e totalmente geodesica,

2. Suponha que KM (q) > 0 em algum ponto q ∈ πM (f (∑

)), entao ou∑

eum cilindro sobre uma geodesica completa de M2 ou um slice M2×R.

DemonstracaoPodemos escolher N tal que θ ≥ 0, alem disso como f e mınima a segunda

forma fundamental

A : TpM2 → TpM2

e representada pela matriz

A =(a11 a12

a21 a22

),

temos

a11 + a22 = 0. (4.1)

Logo

A2 =(

a211 + a12 · a21 a12 · (a11 + a22)

a21 · (a11 + a22) a222 + a12 · a21

).

Lembrando 4.1 temos

A2 =(a211 + a12 · a21 0

0 a211 + a12 · a21

)ou seja

A2 = (a211 + a12 · a21)

(1 00 1

).

Como

Det (A) =a11 · a22 − a21 · a12 = −a211 − a21 · a22,

temos

45

A2 = −Det(A) ·(

1 00 1

)= −Det(A) · I2.

A aplicacao A

A : TpM2 → TpM2,

e uma aplicacao linear auto-adjunta e portanto admite uma base ortonormal devetores proprios e1 e e2 de TpM2 com auto valores proprios reais k1 e k2, ou seja

A(ej) = kjej para j = 1,2.

Portanto

‖A‖2 =∑2

j=1 〈A(ej), A(ej)〉 =∑2

j=1 〈kjej , kjej〉 =∑2

j=1 k2j .

Como f e mınima temos k1 + k2 = 0, entao∑2j=1 k

2j = −2k1 · k2 = −2Det(A),

daı

‖A‖2 = −2Det(A), (4.2)

que nos leva a

A2 = 12 ‖A‖

2 · I2.

Do Lema 3.3 temos que ∇θ = −A(∇h), entao

‖∇θ‖2 = 〈∇θ,∇θ〉 = 〈−A(∇h),−A(∇h)〉 .

Usando que a segunda forma fundamental e uma transformacao linear ad-junta temos

‖∇θ‖2 =⟨∇h,A2(∇h)

⟩,

utilizando o resultado obtido acima,

‖∇θ‖2 =⟨∇h, 1

2 ‖A‖2 · I2(∇h)

⟩= 1

2 ‖A‖2 〈∇h,∇h〉 ,

que nos da

‖∇θ‖2 = 12 ‖A‖

2 ‖∇h‖2.

Do Lema 3.1, temos que ∇h = e− 〈N, e〉N , entao

‖∇h‖2 = 〈e− 〈N, e〉N, e− 〈N, e〉N〉

= 〈e, e〉 − 2 〈N, e〉 〈N, e〉+ 〈N, e〉2 〈N,N〉

46

= 1− 2θ2 + θ2 = 1− θ2,

ou seja,

‖∇h‖2 = 1− θ2.

Logo

‖∇θ‖2 =12‖A‖2 (1− θ2).

De um calculo simples chegamos a

∆log(1 + θ) =∆θ

1 + θ− ‖∇θ‖2

(1 + θ)2.

Utilizando novamente o Lema 3.3, temos os seguintes resultados:

∆θ = −θ(‖A‖2 + (1− θ2)KM(πM)),

e

‖∇θ‖2 =12‖A‖2 (1− θ2).

Logo

∆log(1 + θ) = −12‖A‖2 − θ(1− θ)KM(π). (4.3)

Utilizando a equacao de Gauss

K∑ = K∑ +Det(A),

onde K∑ e a curvatura de Gauss de (∑, ds2) e K∑ e a curvatura seccional em

M2 × R do plano tangente a Σ.Afirmo que esta ultima e dada por

K∑ = KM(π)(1− ‖(e)t‖2) = θ2KM(π).

Para demonstar esta afirmacao sejam

V =∑3

j=1 vjej e W =∑3

j=1 wjej ,

onde V e W sao dois vetores unitarios e ortogonais de um subespaco bidimen-sional do espaco tangente TM2 ×R, ej e uma base ortonormal deste espaco ee1 e um vetor paralelo tangente ao fator R.

Como a curvatura seccional de TM2 ×R e dada por

47

K∑ = 〈R (V,W )V,W 〉 ,

da decomposicao canonica de V e W, temos

K∑ =∑3

i,j,k,l=1 viwjvkwl 〈R (ei, ej) ek, el〉 .

Observe que se pelo menos um dos ındices for igula a 1 ou se i = j ou k = la parcela referente se anula , daı resta

K∑ =∑3

i 6=j,k 6=l=2 viwjvkwl 〈R (ei, ej) ek, el〉 ,

que desenvolvendo fica

K∑ =(v22w

23 − 2v2w3v3w2 + v2

3w22

)〈R (e2, e3) e2, e3〉 .

Ou seja,

K∑ =(v22w

23 − 2v2w3v3w2 + v2

3w22

)KM(π).

Repare que sob as hipoteses consideradas

N = (v2w3 − v3w2) e1 + (v3w1 − v1w3) e2 + (v1w2 − v2w1) e3,

e um vetor de (TM2)⊥, logo

θ = 〈N, e1〉 = v2w3 − v3w2,

ou seja , chegamos ao resultado esperado

K∑ = θ2KM(π).

Aplicando 4.2 mais o resultado demonstrado acima temos

K∑ = θ2KM(π)− 12 ‖A‖

2,

e 4.3 se reduz a

∆log(1 + θ) = K∑ − θKM(π). (4.4)

Um resultado que nos sera util e que

Lema 4.2 Seja M uma variedade riemaniana e considere a metrica completads2 = (1+ θ)2ds2 em Σ, entao a curvatura gausssiana K de (Σ, ds2) e dada por

(1 + θ)2K = KΣ −∆log(1 + θ)

onde KΣ e a curvatura gaussiana de (Σ, ds2).

DemonstracaoSejam σ ⊂ TpΣ um subespaco bidimensional do espaco tangente TpΣ e

e1, e2 uma base ortonormal de σ , logo a curvatura gaussiana K de (Σ, ds2) edada por

48

K = K (e1, e2) =s(R (e1, e2) e1, e2

)s (e1, e1) s (e2, e2)− (s (e1, e2))

2 ,

usando que ds2 = (1 + θ)2ds2 e que e1 e e2 e uma base ortonormal de vetoresparalelos de σ temos

K =(1 + θ)2

⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩(1 + θ)4

[〈e1, e1〉 〈e2, e2〉 − (〈e1, e2〉)2

]

=1

(1 + θ)2⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩,

logo

(1 + θ)2 K =⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩, (4.5)

como

[e1, e2] = 0 ⇔ ∇e2e1 = ∇e1e2,

temos ⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩=

⟨∇e2∇e1e1 − ∇e1∇e2e1, e2

⟩.

Lembro ainda que

∇XY = ∇XY + S (X,Y ) ,

onde

S (X,Y ) = 12µ [s (∇µ,X)Y + s (∇µ, Y )X − s (X,Y )∇µ] ,

e µ e o quociente de conformidade entre as metricas.Entao , lembrando que µ = (1 + θ)2, temos

∇e2∇e1e1 = ∇e2(∇e1e1 + S (e1, e1)) = ∇e2∇e1e1 + ∇e2S (e1, e1),

usando a mesma relacao mais uma vez, chegamos a

∇e2∇e1e1 = ∇e2∇e1e1 + S(e2,∇e1

e1

)+∇e2S (e1, e1) + S (e2, S (e1, e1)) ,

analogamente

∇e1∇e2e1 = ∇e1∇e2e1 + S (e1,∇e2e1) +∇e1S (e2, e1) + S (e1, S (e2, e1)) ,

logo como

49

⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩=

⟨∇e2∇e1e1 − ∇e1∇e2e1, e2

⟩,

usando os resultados acima chegamos a⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩= 〈∇e2∇e1e1 −∇e1∇e2e1, e2〉

+ 〈S (e2,∇e1e1) , e2〉+ 〈∇e2S (e1, e1), e2〉+ 〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉

− 〈S (e1,∇e2e1) , e2〉 − 〈∇e1S (e2, e1), e2〉 − 〈S (e1, S (e2, e2)) , e2〉 ,

que nos da ⟨R (e1, e2) e1, e2

⟩= 〈 R (e1, e2) e1, e2〉

+ 〈S (e2,∇e1e1) , e2〉+ 〈∇e2S (e1, e1), e2〉+ 〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉

− 〈S (e1,∇e2e1) , e2〉 − 〈∇e1S (e2, e1), e2〉 − 〈S (e1, S (e2, e2)) , e2〉 ,

como

〈 R (e1, e2) e1, e2〉 = KΣ,

temos de 4.5 que

(1 + θ)2K = KΣ + P

onde

P = 〈S (e2,∇e1e1) , e2〉+ 〈∇e2S (e1, e1), e2〉+ 〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉

− 〈S (e1,∇e2e1) , e2〉 − 〈∇e1S (e2, e1), e2〉 − 〈S (e1, S (e2, e2)) , e2〉 ,

ou seja basta calcular cada uma das parcelas de P , entao

〈S (e2,∇e1e1) , e2〉 =1

2 (1 + θ)2[⟨e2,∇ (1 + θ)2

⟩〈∇e1e1, e2〉+

⟨∇e1e1,∇ (1 + θ)2

⟩〈e2, e2〉

]

+1

2 (1 + θ)2[−

⟨e2,∇e1

e1

⟩ ⟨∇ (1 + θ)2 , e2

⟩],

logo

〈S (e2,∇e1e1) , e2〉 =1

1 + θ

⟨∇e1

e1,∇θ

⟩. (4.6)

〈∇e2S (e1, e2), e2〉 =

⟨∇e2

12 (1 + θ)2

[2

⟨e1,∇ (1 + θ)2

⟩e1 −∇ (1 + θ)2

], e2

⟩

50

=⟨∇e2

11 + θ

[2 〈e1,∇θ〉 e1 −∇θ], e2⟩,

temos que

〈∇e2S (e1, e2), e2〉 =⟨e2

(1

1 + θ2 〈e1,∇θ〉

)e1, e2

⟩+

21 + θ

〈e1,∇θ〉 〈∇e2e1, e2〉

+1

(1 + θ)2(〈e2,∇θ〉)2 −

11 + θ

〈∇e2∇θ, e2〉 . (4.7)

〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉 =1

2 (1 + θ)2[⟨e2,∇ (1 + θ)2

⟩〈S (e1, e1) , e2〉

]

+1

2 (1 + θ)2[⟨S (e1, e1) ,∇ (1 + θ)2

⟩〈e2, e2〉 − 〈e2, S (e1, e1)〉

⟨∇ (1 + θ)2 , e2

⟩],

〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉 =1

2 (1 + θ)2[⟨S (e1, e1) ,∇ (1 + θ)2

⟩〈e2, e2〉

],

que nos da

〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉 =1

1 + θ〈S (e1, e1) ,∇θ〉 ,

desenvolvendo mais uma vez temos

11 + θ

〈S (e1, e1) ,∇θ〉 =1

1 + θ

⟨1

2 (1 + θ)2[2

⟨e1,∇ (1 + θ)2

⟩e1 − 〈e1, e1〉∇ (1 + θ)2

],∇θ

⟩,

que de forma mais resumida fica

11 + θ

〈S (e1, e1) ,∇θ〉 =1

(1 + θ)22 (〈e1,∇θ〉)2 −

‖∇θ‖2

(1 + θ)2,

ou seja

51

〈S (e2, S (e1, e1)) , e2〉 =1

(1 + θ)22 (〈e1,∇θ〉)2 −

‖∇θ‖2

(1 + θ)2. (4.8)

〈S (e1,∇e2e1) , e2〉 =1

2 (1 + θ)2[⟨e1,∇ (1 + θ)2

⟩〈∇e2e1, e2〉+

⟨∇e2e1,∇ (1 + θ)2

⟩〈e1, e2〉

]

+1

2 (1 + θ)2[−〈e1,∇e2e1〉

⟨∇ (1 + θ)2 , e2

⟩],

que simplificado fica

〈S (e1,∇e2e1) , e2〉 =1

1 + θ[〈e1,∇θ〉 〈∇e2e1, e2〉 − 〈e2,∇θ〉 〈∇e2e1, e1〉] . (4.9)

〈∇e2S (e1, e2), e2〉 =

⟨∇e1

12 (1 + θ)2

[⟨e2,∇ (1 + θ)2

⟩e1 +

⟨e1,∇ (1 + θ)2

⟩e2

], e2

⟩

=⟨∇e1

11 + θ

[〈e2,∇θ〉 e1 + 〈e1,∇θ〉 e2], e2⟩,

〈∇e2S (e1, e2), e2〉 =⟨e1

(1

1 + θ〈e2,∇θ〉

)e1, e2

⟩

+1

1 + θ〈e2,∇θ〉

⟨∇e1

e1, e2

⟩+

⟨e1

(1

1 + θ〈e1,∇θ〉

)e2, e2

⟩+

11 + θ

〈e1,∇θ〉⟨∇e2

e1, e2

⟩,

〈∇e2S (e1, e2), e2〉 =1

1 + θ〈e2,∇θ〉

⟨∇e1

e1, e2

⟩− 1

(1 + θ)2(〈e1,∇θ〉)2+

11 + θ

⟨∇e1

e1,∇θ

⟩

+1

1 + θ

⟨e1,∇∇θ

e1

⟩+

11 + θ

〈e1,∇θ〉⟨∇e2

e1, e2

⟩. (4.10)

〈S (e1, S (e2, e1)) , e2〉 =1

2 (1 + θ)2[⟨e1,∇ (1 + θ)2

⟩〈S (e2, e1) , e2〉

]

52

+1

2 (1 + θ)2[⟨S (e2, e1) ,∇ (1 + θ)2

⟩〈e1, e2〉 − 〈e1, S (e2, e1)〉

⟨∇ (1 + θ)2 , e2

⟩],

simplificando

〈S (e1, S (e2, e1)) , e2〉 =1

(1 + θ)2(〈e1,∇θ〉)2 −

1(1 + θ)2

(〈e2,∇θ〉)2 . (4.11)

Lembrando que

∇e2e1 = ∇e1e2

e para i, j, k = 1, 2, temos ⟨∇ej

ei, ek

⟩= 0,

logo somando 4.6, 4.7, 4.8 e subtraindo 4.9, 4.10 e 4.11 obtemos

P =

[1

(1 + θ)22 (〈e2,∇θ〉)2 +

1(1 + θ)2

2 (〈e1,∇θ〉)2 −‖∇θ‖2

(1 + θ)2

]

+[− 1

1 + θ

⟨∇∇θ

e2, e2

⟩− 1

1 + θ

⟨e1,∇∇θ

e1

⟩],

onde

[1

(1 + θ)22 (〈e2,∇θ〉)2 +

1(1 + θ)2

2 (〈e1,∇θ〉)2 −‖∇θ‖2

(1 + θ)2

]=

‖∇θ‖2

(1 + θ)2

e

[− 1

1 + θ〈∇e2∇θ, e2〉 −

11 + θ

〈e1,∇e1∇θ〉]

= − 11 + θ

2∑j=1

⟨∇ej

∇θ, ej

⟩= − ∆θ

1 + θ,

que resulta

P =‖∇θ‖2

(1 + θ)2− ∆θ

1 + θ,

53

ou seja,

(1 + θ)2K = KΣ +‖∇θ‖2

(1 + θ)2− ∆θ

1 + θ,

como

∆log(1 + θ) =∆θ

1 + θ− ‖∇θ‖2

(1 + θ)2,

chegamos ao resultado esperado

(1 + θ)2K = KΣ −∆log(1 + θ). (4.12)

Entao temos que

∆log(1 + θ) = KΣ − θKM (π)

e

(1 + θ)2K = KΣ −∆log(1 + θ)

que juntos nos dao

K =θ

(1 + θ)2KM(π). (4.13)

Entao se KM ≥ 0 em π(Σ) temos K ≥ 0 em Σ, e podemos usar o teoremade Ahlfors [1] e Blanc-Fiala-Huber [8].

Teorema de Ahlfors e Blanc-Fiala-Huber : Uma superfıcie completa decurvatura Gaussiana nao negativa e parabolica no sentido que, qualquer funcaosuperharmonica nao negativa na superfıcie e constante.

Ja que esta propriedade e preservada por mundanca de metricas conformes,temos (

∑, ds2) e (

∑, ds2) ambas prabolicas.

Considere a funcao f(θ) = log(1 + θ), temos que f(θ) ≥ 0 , pois 0 ≤ θ ≤ 1,alem disso conforme ja calculado em (4.3)

54

∆f = − 12 ‖A‖

2 − θ(1− θ)KM(π),

e como 0 ≤ θ ≤ 1 e KM(π) ≥ 0 ,

∆f = − 12 ‖A‖

2 − θ(1− θ)KM(π) ≤ 0.

entao do teorema de Ahlfors e Blanc-Fiala-Huber, temos

f(θ) = log(1 + θ) = cte,

ou seja

θ = cte.

Consequentemente ∆log(1 + θ) = 0 e como

− 12 ‖A‖

2 ≤ 0,

e

−θ(1− θ)KM(π) ≤ 0,

temos

‖A‖ = 0,

ou seja A = 0, entao a superfıcie e totalmente geodesica, o que prova a primeiraparte do Teorema 1.

Para provar a segunda parte do Teorema 1, observe que θ = cte e queθ(1 − θ)KM(π) = 0, se existir q ∈ πM (f (

∑)) tal que KM(q) > 0 , entao θ = 0

ou θ = 1.Quando θ = 0 a superfıcie e um cilindro, pois e sera tangente a superfıcie,

ja quando θ = 1 a superfıcie sera um slice, pois, ∇h = 0, ou seja h = cte, o queconclui a demonstracao da segunda parte do teorema 4.3.

Os proximos resultados surgem como consequencia do ultimo teorema.

Proposicao 4.1 Seja M2 uma superfıcie completa com curvatura GaussianaKM ≥ 0.

1. Qualquer grafico inteiro em M2 xR com curvatura media H constante etotalmente geodesica.

2. Alem do mais se KM > 0 em algum ponto q ∈ M2 entao o grafico e umslice.

DemonstracaoSeja u ∈ C∞

(M2

)u : M2 → R,

e seja Gu =(q, u (q)) , q ∈ M2

o grafico de u determinado pela aplicacao

55

fu : M2 →M2×R,

q → fu (q) = (q, u (q)) ,

em relacao a esta aplicacao temos

N =e−Du√1 + ‖Du‖2

,

onde Du e o gradiente de u ∈ C∞ (M). Alem disso o vetor curvatura media e afuncao curvatura media sao dados respctivamente por

~H =12tr

(− (∇xN)t

)N,

e

H =12tr

(− (∇xN)t

),

logo da definicao de divergente e do fato de e ser um campo paralelo temos

DivDu√

1 + ‖Du‖2= 2H,

onde Div e o divergente em M2 , entao e suficiente mostrarmos que H = 0 daı asuperfıcie sera mınima e poderemos aplicar o teorema 4.3 para concluırmos quea superfıcie e totalmente geodesica.

Em particular se M2 e compacto temos do Teorema da Divergencia que

H = 0,

e concluımos a primeira parte da proposicao, caso contrario, para obtermos amesma conclusao, podemos usar uma particularizacao do Teorema 1 de Salavessa[13] pagina 450.

Teorema de Salavessa : Se Γf : (M, g + f∗h) → (M ×N, g × h) e umaimersaocom curvatura media paralela , entao para cada domınio compacto ori-entado D ⊂M temos a desigualdade isoperimetrica

c ≤ 1m

A (∂D)V (D)

56

onde c =∥∥HΓf

∥∥g×h

e uma constante e V (D) e A (∂D) sao respectivamenteo volume de D e a area de ∂D , em relacao metrica g. Em outras palavras,se (M, g) e uma variedade riemanniana orientada, entao

∥∥HΓf

∥∥g×h

≤ 1m~ (M),

onde ~ (M) e a constante de Cheeger. Em particular, se (M, g) tem constantede Cheeger zero, entao Γf e de fato uma subvariedade mınima de M ×N .

Entao basta provar que ~(M2

)= 0, onde ~

(M2

)e a constante de Cheeger

de M2, logo como

DivDu√

1 + ‖Du‖2= 2H,

integrando sobre um domınio compacto D ⊂ M2

2∫

D

HdAM =∫

D

DivDu√

1 + ‖Du‖2dAM,

do teorema da Divergencia

2∫

D

HdAM =∮

∂D

〈Du, ν〉√1 + ‖Du‖2

ds,

que pode ser estimado das seguintes formas

2minDHArea (D) ≤ 2∫

D

HdAM =∮

∂D

〈Du, ν〉√1 + ‖Du‖2

ds ≤ Comp. (∂D) ,

e

−Comp. (∂D) ≤∮

∂D

〈Du, ν〉√1 + ‖Du‖2

ds = 2∫

D

HdAM ≤ 2maxDHArea (D) ,

que nos da duas desigualdades importantes

2minHDArea (D) ≤ Comp. (∂D) ,

e

−Comp. (∂D) ≤ 2maxHDArea (D) ,

57

logo temos que para todo domınio compacto D ⊂ M2

infHM ≤ minDH ≤ 12Comp. (∂D)Area (D)

,

e

−12Comp. (∂D)Area (D)

≤ maxDH ≤ supHM,

como

~ (M) = infDComp. (∂D)AreaD

,

temos

infMH ≤ 12

~ (M) ,

e

supMH ≥ −12

~ (M) .

Por hipotese vamos assumir que quando M2 nao e compacto temos

~ (M) = 0,

que nos da

infMH ≤ 0 ≤ supMH,

como H e constante temos H = 0, do teorema 4.3 , M2 e totalmente geodesica,o que resolve parcialmente a primeira parte da proposicao 4.1, restando apenasdemonstrar que se M2 nao e compacto entao sua constante de Cheeger ~

(M2

)se anula, lembrando que para D ⊂ M2 domınio compacto de fronteira suavetemos

~ (M) = infDComp. (∂D)AreaD

.

58

Usando o Teorema 1.1 de S.Y.Cheng [4] pagina 290.

Teorema de S.Y. Cheng : Sejam Mn uma variedade Riemanniana com-pleta de curvatura de Ricci ≥ (n− 1) k e Bp (r) ⊂ M2 a bola geodesica aberta decentro p e raio r, Vn (k, r) a bola geodesica de um espaco simplesmente conexodimensao n de curvatura seccional k. Entao ∀p ∈ Mn

λ1 (Bp (r)) ≤ λ1 (Vn (k, r)) ,

e a igualdade ocorre se e somente se Bp (r) for isometrico a Vn (k, r).

Aplicando ao nosso caso, ja que KM ≥ 0, temos que o primeiro autovalordo problema de Dirichlet em Bp (r), onde Bp (r) ⊂ M2 e o disco geodesico decentro p e raio r, para 0 < r <∞, satisfaz

λ1 (Bp (r)) ≤ c

r2,

onde c e uma constante positiva. Alem disso do Teorema 3 de Cheeger[3],pagina 95.

Teorema de Cheeger : Para todo domınio normal Ω de M , temos

λ1 (Ω) ≥ ~2 (Ω)4

.

Aplicando ao nosso caso, obtemos

λ1 (Bp (r)) ≥ ~2 (Bp (r))4

,

entao

0 ≤ ~2 (M) ≤ ~2 (Bp (r)) ≤ 4λ1 (Bp (r)) ≤ 4cr2,

fazendo r → ∞ temos ~ (M) = 0, o que finalmente conclui a primeira parte daproposicao 1.

Para a segunda parte da proposicao 4.1, considere que existe um ponto q ∈M2 tal que KM (q) > 0 entao da segunda parte do teorema 4.3, M2 e um cilindrosobre uma geodesica completa ou um slice, como estamos trabalhando com umgrafico, so resta a hipotese de ser um slice.

59

Proposicao 4.2 Seja M2 uma superfıcie completa com∫MK−

MdAM < +∞

onde K−M (q) = max−KM (q) , 0. Entao qualquer grafico mınimo em M2 ×

[0,+∞) e um slice.

DemonstracaoDe 4.13 temos que

K =θ

(1 + θ)2KM,

pois , neste caso

πM f = idM,

daı

KM(π) = KM,

onde θ > 0 e K e a curvatura de Gauss para a metrica ds2 = (1 + θ)2ds2.Alem disso temos

dA = (1 + θ)2dA

para a relacao dos elementos de area, pois

Det(gij) = Det((1 + θ)2gij)

= ((1 + θ)2)2Det(gij),

daı

dA =∫ √

Det(gij)dxdy

= (1 + θ)2∫ √

Det(gij)dxdy

= (1 + θ)2dA,

como θ > 0 temos destas ultimas relacoes que

K−dA = θK−MdA,

onde θ pode ser obtido da seguinte forma

60

θ = 〈N, e〉 =

⟨e−Du√1 + ‖Du‖2

, e

⟩=

1√1 + ‖Du‖2

,

entao afirmo que

dA =√

1 + ‖Du‖2dAM,

pois

dA =√Det (gij)dAM,

e lembrando que

fu : M2 →M2×R,

fu (q) = (q, u (q)) ,

temos

g11 =⟨∂f

∂x1,∂f

∂x1

⟩= 1 +

(∂u

∂x1

)2

,

g12 =⟨∂f

∂x1,∂f

∂x2

⟩=

∂u

∂x1

∂u

∂x2,

g21 =⟨∂f

∂x2,∂f

∂x1

⟩=

∂u

∂x1

∂u

∂x2,

g22 =⟨∂f

∂x2,∂f

∂x2

⟩= 1 +

(∂u

∂x2

)2

,

logo

Det (gij) = 1 +(∂u

∂x1

)2

+(∂u

∂x2

)2

= 1 + ‖Du‖2,

61

que conclui a afirmacao.Usando isto temos

K−dA = K−MdAM,

ou seja

∫MK−dA <∞,

do Teorema 15 de Huber [8] pagina 71.

Teorema de Huber : Seja M uma variedade Riemanniana aberta que ad-mite uma metrica conforme completa eu(z) |dz| com C− < ∞, entao a metricae parabolica.

Como no nosso caso ds2 = (1 + θ)2 ds2 e

C− =∫

MK−dA <∞,

podemos concluir que as metricas (M2, ds2) , (M2, ds2) sao parabolicas, no sen-tido que qualquer funcao nao negativa superharmonica e constante.

Lembrando que

∆h = 2⟨~H, e

⟩= 2H 〈N, e, 〉 ,

e usando que o grafico e mınimo , obtemos

∆h = 0,

repare tambem que h(M2

)= πR f(M2) ⊆ [0,+∞), ou seja h e constante,

consequentemente o grafico e um slice.

Proposicao 4.3 Seja M2 uma superfıcie completa que satisfaz∫MK−

MdAM < +∞

onde K−M (q) = max−KM (q) , 0. Entao qualquer grafico inteiro contido na

faixa M2x[a, b] , −∞ < a ≤ b < +∞, com curvatura media H constante ecurvatura de Gauss limitada inferiormente e um slice.

DemonstracaoVamos demonstrar que se um grafico inteiro satisfaz as condicoes desta

proposicao entao a sua curvatura media na realidade e identicamente nula, para

62

isto vamos utilizar o Teorema A’ de Omori [11], pagina 211.

Teorema de Omori : Seja f uma funcao C2 limitada superiormente,definida em uma variedade Riemanniana conexa e completa. Assuma que acurvatura seccional e limitada inferiormente. Entao, para um ponto fixo ar-bitrario p e para todo ε > 0, existe um ponto q dependendo de p tal que,

1. f (q) ≥ f (p) ,

2. ‖∇f (q)‖ < ε,

3. ∆f (q) < ε.

No nosso caso como M2 uma superfıcie Riemanniana completa e conexa decurvatura de Gaussiana limitada inferiormente e u e um grafico inteiro limitadosuperiormente, temos do Teorema de Omori que ∀p ∈ M e ∀ε > 0, ∃q comq = q (p) tal que,

1. u (q) ≥ u (p) ,

2. ‖∇u (q)‖ < ε,

3. ∆u (q) < ε.

entao para ε = 1/j, j inteiro, surge uma sequencia de pontos pj ∈ Gu taisque

1. limj→+∞

u (pj) = supGuu,

2. ‖∇u (pj)‖ < 1/j,

3. ∆u (pj) < 1/j,

e como ∇u (pj) = e− 〈N, e〉N , onde e e um vetor unitario tangente ao fator Re N e um vetor normal unitario, temos, conforme ja calculado que

‖∇u (pj)‖2 = 1− θ2.

Fazendo o limite quando j → +∞ temos

0 ≤ limj→+∞

‖∇u (pj)‖2 = limj→+∞

(1− θ2 (pj)

)< lim

j→+∞1/j2 = 0,

entao

limj→+∞

‖∇u (pj)‖2 = limj→+∞

(1− θ2 (pj)

)= 0,

ou seja ,

limj→+∞

(θ2 (pj)

)= 1,

como estamos trabalhando com graficos inteiros, podemos considerar θ > 0, daı

63

limj→+∞

(θ (pj)) = 1.

Entao como

∆u (pj) = 2H (pj) θ (pj) ,

temos

∆u (pj) = 2H (pj) θ (pj) < 1/j,

logo

limj→+∞

∆u (pj) = limj→−∞

(2H (pj) θ (pj)) < 0+,

ou seja

limj→+∞

H (pj) ≤ 0.

Analogamente como u tambem e limitada inferiormente temos novamente doTeorema de Omori so que aplicado a −u, que existe uma sequencia de pontosqj ∈ Gu tais que

1. limj→+∞

(−u) (qj) = supG(−u) (−u),

2. ‖∇ (−u (qj))‖ < 1/j,

3. ∆ (−u (qj)) < 1/j,

entao como ∇u (qj) = e − 〈N, e〉N , onde e e um vetor unitario tangente aofator R e N e um vetor normal unitario, temos

‖∇u (qj)‖2 = 〈e− θN, e− θN〉

= 〈e, e〉 − 2 〈e, θN〉+ 〈θN, θN〉 ,

= 1− 2θ2 + θ2

= 1− θ2,

ou seja

‖∇u (qj)‖2< 1/j2,

fazendo o limite quando j → +∞ temos

0 ≤ limj→+∞

‖∇u (qj)‖2 = limj→+∞

(1− θ2 (qj)

)< lim

j→+∞1/j2 = 0,

ou seja

limj→+∞

‖∇u (qj)‖2 = limj→+∞

(1− θ2 (qj)

)= 0,

64

que nos da

limj→+∞

(θ2 (qj)

)= 1,

como estamos trabalhando com graficos inteiros, podemos considerar θ > 0, daı

limj→+∞

(θ (qj)) = 1.

Novamente como

∆u (qj) = 2H (qj) θ (qj) ,

temos

∆u (qj) = 2H (qj) θ (qj) > −1/j,

logo

limj→+∞

∆u (qj) = limj→+∞

(2H (qj) θ (qj)) > 0−,

ou seja

limj→+∞

H (qj) ≥ 0,

destes dois resultados podemos concluir que

infGuH ≤ lim

j→+∞H (pj) ≤ 0 ≤ lim

j→+∞H (qj) ≤ supGu

H.

Usando o fato da curvatura media ser constante, temos H = 0, ou seja, es-tamos trabalhando com um grafico inteiro mınimo, entao reunimos os requisitosda proposicao 4.2, desta temos que o grafico inteiro contido na faixa M2x[a, b],+∞ < a ≤ b < +∞ e um slice.

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