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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOFACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E
CONTABILIDADEINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE "MODELAGEM MATEMÁTICAEM FINANÇAS"
RISCO OPERACIONAL: Uma abordagem quantitativa para alocação deCapital
Paulo Yoshihiro Ouki
Orientador: Prof. Dr. Renato Vicente
São Paulo2007
1
RISCO OPERACIONAL: Uma abordagem quantitativa paraalocação de Capital
Paulo Yoshihiro Ouki
Dissertação apresentada à Facul-dade de Economia, Administraçãoe Contabilidade e ao Instituto deMatemática e Estatística da Universi-dade de São Paulo para obtenção doTítulo de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. Renato Vicente
São Paulo2007
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Agradecimento 1 Ao Professor Renato Vicente, o qual proveu apoio eincentivo desde o início dessa jornada, alertando, construindo e resgatandoo sentido da palavra professor, acreditando no aluno de sua tutela.
Agradecimento 2 Ao Professor Henrique Dreifus, o qual proveu ajudapara frequentar o curso e acreditou na capacidade do aluno em finalizaro curso.
Agradecimento 3 Ao meu Deus, Pai, e Amigo (possuimos o livre arbítriopara escolher nosso próprio Deus) que, nos bons e maus momentos, de umaforma ou de outra, esteve ao meu lado dando força e incentivo até a con-clusão desse trabalho.
Agradecimento 4 Aos meus Pais, os quais tiveram paciência e compreen-são nos dias e finais de semana que passei debruçado alienado ao mundoem torno.
Agradecimento 5 Aos meus amigos, Han, Roberta, Vânia, Márcio, Alexan-dre, Sandro e todos os demais que durante o curso me ajudaram a compreen-der e discutir as disciplinas e evolução do aprendizado.
Agradecimento 6 Aos meus grandes amigos Carlos Cammas e José T. OUbago e sua equipe, pela providencial contribuição na disponibilização dosvaliosos dados sem os quais, a aplicação prática estaria comprometida.
Agradecimento 7 A todos que, de um modo ou de outro, direta ou indi-retamente, tiveram paciência comigo durante esse tempo.
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"A vida é a arte de extrair conclusões suficientes de premissas insuficientes"Samuel Butler
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RESUMO
Com o amadurecimento da indústria financeira no tratamento ao RiscoOperacional novas considerações são identificadas, entre elas a relevância eimportância dispendida aos eventos considerados raros ou extremos ou
àqueles localizados nas caudas das distribuições características que podemser ajustáveis pela teoria de valores extremos - TVE.
Contudo os eventos pertencentes ao bojo da distribuição merecem atençãouma vez que estes eventos, juntamente com os eventos das caudas podemser tratados como uma mistura de distribuições. Assim, esse trabalho
aborda a adoção, de forma sistemática de como tratar ambos os eventos naobtenção de uma distribuição de severidade consolidada composta, a qualserá base para o ajuste da distribuição a ser utilizada na obtenção de um
montante de Capital Regulatório.
Assim, esse trabalho pretender identificar o montante de CapitalRegulatório com a utilização de dois métodos: 1 - utilização da abordagematuarial (distribuição agregada de perdas); 2 - utilização da abordagem
pela teoria da ruína.
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ABSTRACT
On the development of the financial industry on Operational RiskManagement, new considerations are raised up, among them the concernabout the operational risk events said extremes or that locate on the
specifics distributions’ tails usually known by the analysts as extreme valuetheory. However, also the events belongs to the bulk of the distributionsshould have attention on the modeling even though these events does not
need follow the same distribution of the tail events.Thus this work tries by a systematic way to approach both events type,the bulk and the tail, to obtain a aggregated loss distribution which will beused to fit the data and identify an enough amount for the regulatory
capital for the operational risk.Two models are used: The actuarial model and the Ruin Process Theorytowards to confirm the model used and the level of capital charge for
operational risk.
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Sumário
1 Introdução 101.1 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Risco Operacional e Basiléia II 132.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 O Primeiro Acordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 O Novo Acordo da Basiléia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Os Pilares do Novo Acordo e o Risco Operacional . . . . . . . 162.5 Abordagens para o Risco Operacional . . . . . . . . . . . . . 172.6 Impactos do BIS-II no Brasil — Risco Operacional . . . . . . . 222.7 Motivação Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Abordagem probabilística para modelos deperdas operacionais 243.1 Modelos para a severidade dos eventos de perda operacional. 283.2 Modelos para a freqüência dos eventos de perda operacional . 393.3 Estimativa dos parâmetros das distribuições para perdas op-
eracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Avaliação das estimativas paramétricas . . . . . . . . . . . . . 42
4 Modelo para o cálculo do Capital Regulatório 44
5 Aplicação Prática e Construção do Modelo 475.1 Descrição dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Cálculo do capital pela abordagem atuarial . . . . . . . . . . 585.3 Simulação das variáveis aleatórias para as distribuições de
freqüência e severidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Backtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Cálculo do capital pelo modelo da Teoria de Ruína . . . . . . 60
6 Conclusão 64
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Lista de Figuras
1 Abordagem atuarial para Freqüência e Severidade de perdasoperacionais na obtenção da Distribuição de Perdas. . . . . . 25
2 Distribuição típica de Evento de Perda Operacional, contendoos grupos 1 e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetroλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetroμ e σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetroa e b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 Formas para a distribuição exponencial em função dos parâmet-ros β (β1, β2, β3, β4) .GBD1(15,300,1.5,3.5); GBD2(15,300,3.5,1.5);GBD3(15,300,0.5,0.5) e GBD4(20,280,2.5,1.0). . . . . . . . . . 35
7 Aplicação da função SMEF para identificação de limiar, comescolha de u = 1u.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8 Esquema para cálculo do Capital Regulatório. . . . . . . . . . 459 Demonstração do comportamento de perdas operacionais. . . 4910 Perdas operacionais segregadas em Bojo e Cauda. Abaixo a
visualização consolidada das observações. . . . . . . . . . . . 5011 Distribuição exponencial com parâmetro λ = 273.90 e K-S
= 0.1134. No sentido anti-horário, do canto superior direitotemos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabili-dade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e GráficoQQ-plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12 Distribuição log-normal com parâmetros μ = 9.53, σ = 1.37 eK-S = 0.1101. No sentido anti-horário, do canto superior di-reito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Proba-bilidade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e GráficoQQ-plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13 Distribuição gama com parâmetros a = 0.86, b = 318.90 e K-S = 0.0797. No sentido anti-horário, do canto superior direitotemos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabili-dade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e GráficoQQ-plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14 Distribuição GBD com parâmetros β = (0.06, 100, 0.52, 1.31)e K-S = 0.0594. No sentido anti-horário, do canto superior di-reito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Proba-bilidade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e GráficoQQ-plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8
15 Distribuição GEV, com parâmetros ξ = 0.31, σ = 30.19, μ =136.89. e K-S = 0.0614. No sentido anti-horário, do cantosuperior direito temos: Distribuição Acumulada, Distribuiçãode Probabilidade, Comparativo entre Empírio versus Teóricoe Gráfico QQ-plot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
16 Distribuição EV (Considera uma GEV com ξ = 0), comparâmetros μ = 1956.18, σ = 660.05 e K-S= 0.0353. Nosentido anti-horário, do canto superior direito temos: Dis-tribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Com-parativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 57
17 Trajetórias de Ruínas para o período de 5 anos. . . . . . . . . 62
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1 Introdução
Com a divulgação do Novo Acordo da Basiléia[1] também conhecido comoBIS-II o mercado financeiro mundial depara-se com uma questão a qual podeser resumida como o desafio de garantir que as instituições financeiras in-ternacionalmente ativas possuam nível de capital suficiente (capital mínimoregulatório) para fazer face aos riscos que decidiram assumir na conduçãode suas atividades.e um sistema de controles internos capaz de identificar eavaliar os riscos aos quais estão expostas.
Neste sentido no Novo Acordo foi dada grande ênfase aos três principaisriscos que as instituições financeiras estão expostas: risco de mercado, riscode crédito e risco operacional.
Na prática não houve grandes mudanças para o tratamento do riscode mercado em relação à orientação já existente, a qual está baseada nomodelo de “Value at Risk”[2]. Já para os riscos de crédito e operacional estespossuem as maiores mudança decorrentes das alternativas de tratamentopermitidas para o cômputo do capital regulatório.
A grande mudança no tratamento do risco de crédito está na possibili-dade da instituição poder adotar modelos internos: “Foundatin IRB”[1] ou“Advanced IRB”[1].
O tratamento do risco operacional é um dos maiores desafios uma vezque, como um novo conceito, muito se possui a ser consolidado para suaadequada gestão e controle, representando uma das disciplinas com grandenúmero de pesquisas em atualmente em desenvolvimento.
Dentre as diversas definições existentes para o risco operacional essetrabalho adotará a mesma definição sugerida pelo documento da Basiléia,que assim define:
“Risco Operacional é o risco de perdas decorrentes de falhas ou inad-equação de processos internos, pessoas, sistemas ou eventos externos. Nãoinclui o risco estratégico e reputacional”.
Pelo fato do BIS-II servir como um guia de melhores práticas para ogerenciamento dos riscos nas instituições financeiras, o Comitê da Basiléia éum marco seguido e utilizado como parâmetro de avaliação da saúde finan-ceira de uma instituição financeira. Ganha "status” de regulamentador decomo as instituições financeiras deveriam posicionar-se em relação às mel-hores práticas.
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Com o BIS-II visa-se permitir que as instituições financeiras adotemabordagens distintas para o cálculo do capital regulatório para o risco op-eracional, em função de sua estrutura de controles internos, tipo de negócioe qualidade das informações sobre eventos de risco e perda operacionaiscapturados.
Nessa direção é grande o número de pesquisas para identificar qual amelhor abordagem dever ser adotada por uma instituição na alocação docapital regulatório para risco operacional.
Dentre as abordagens permitidas[1] a Abordagem de Medição Avançada(AMA) é a que atualmente tem atraído a maior atenção dos pesquisadores,pois espera-se que sua adoção permita a cada instituição financeira o de-senvolvimento de um modelo quantitativo interno em função de suas carac-terísticas operacionais, ambiente de controles internos, operações, produtos,serviços, qualidade de captura das informações das perdas operacionais etratamento das mesmas.
Também é grande o número de questionamentos que existem sobre aadoção única de um modelo quantitativo sem a devida consideração do sis-tema de controles internos existente na instituição. Portanto, sempre quepossível, esse trabalho contribuirá para:
a) destacar aspectos importantes de um adequado sistema de controlesinternos;
b) destacar aspectos no processo de captura e coleta da informação uti-lizada na modelagem interna;
c) utilizar, de forma integrada, os aspectos qualitativos e quantitativosna gestão e controle dos riscos operacionais.
Nesse trabalho apresentamos uma modelagem quantitativa para o cálculodo capital regulatório com a utilização de ferramental matemático onde en-contraremos as estimativas dos parâmetros desconhecidos das distribuiçõesde freqüência e severidade para chegar à distribuição agregada de perdasoperacionais.
Apresenta-se também a abordagem pela teoria da ruína como uma al-ternativa para validação e identificação do capital regulatório.
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1.1 Organização da Dissertação
O trabalho está estruturado da seguinte maneira:
No capítulo 2 abordamos os aspectos do Comitê da Basiléia suas funçõese importância no mundo financeiro e principais considerações que a insdús-tria financeira precisa levar em conta na sua adoção.
No capítulo 3 descrevemos a adoção da abordagem pretendida, suas car-acterísticas e o desenvolvimento do trabalho.
No capítulo 4 abordamos as técnicas utilizadas para o ajuste dos dadosna determinação do risco operacional.
No capítulo 5 tratamos da simulação do modelo para a identificação docapital regulatório alocado ao risco operacional e também avaliamos suaadequação por meio de Backtest do modelo.
No capítulo 6 apresentamos as conclusões obtidas e próximos passos parao desenvolvimento e aprimoramento deste tema no mercado financeiro.
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2 Risco Operacional e Basiléia II
2.1 Histórico
O Comitê da Basiléia foi estabelecido para atuar como um comitê respon-sável pela divulgação e estabelecimento das melhores práticas em regula-mentação e supervisão bancária pelos presidentes dos bancos centrais doGrupo dos 10 - G10 - no final de 1974.
Isso ocorreu em conseqüência dos sérios distúrbios vividos nos mercadosbancários e de moedas internacionais notadamente marcado pela falha doBankhaus Herstatt[3] na Alemanha Ocidental.
A primeira reunião ocorreu em 1975 e desde então reúnem-se regular-mente entre 3 a 4 vezes ao ano visando prover um fórum regular de co-operação entre seus países membros no tocante às questões de supervisãobancária.
As conclusões obtidas neste comitê não possuem força legal como tam-bém não são impostas sobre as regulamentações dos Bancos Centrais dospaíses membros. No entanto, o Comitê formula as linhas de conduta e rela-ciona recomendações para que o setor atue dentro das melhores práticas domercado.
Pretende-se que os Bancos Centrais possuam referências na implemen-tação de um padrão mínimo de atuação no setor, adequando-se às suaspróprias expectativas.
Desta maneira há o encorajamento para uma abordagem com padrõescomuns que permitam a criação de uma plataforma harmoniosa de índicesde exposição ao risco comparáveis para o setor.
Um dos objetivos mais importante no qual o Comitê tem trabalhadocorresponde à diminuição e cobertura das diferenças existentes na supervisãobancária internacional por meio de duas premissas básicas:
• garantir que todos os estabelecimentos bancários internacionalmenteativos sejam supervisionados; e
• estabelecer um padrão de supervisão adequado para prover equiparaçãoentre os participantes.
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2.2 O Primeiro Acordo
Em Maio de 1983 o comitê finalizou o documento “Principles of the Super-vision of Banks’ Foreign Establishments”[4] o qual definiu os princípios parao compartilhamento da responsabilidade na supervisão entre filial e matrizpara agências bancárias estrangeiras, subsidiárias e "joint ventures". Estedocumento foi uma revisão do documento inicial de 1975, conhecido como“Concordat”[4].
Em Junho de 1992, alguns dos princípios foram reformulados e comunica-dos às outras autoridades de supervisão bancária, as quais foram convidadasa apoiá-los e comentá-los. Em Julho do mesmo ano ele foi publicado[5].
O tópico o qual o Comitê tem devotado mais tempo refere-se à adequaçãode capital mínimo necessário para os riscos assumidos pela instituição. Nocomeço da década de 80, o Comitê percebeu a necessiadade de adequar onível de capital pois notava que uma parcela considerável do patrimôniode importantes bancos internacionais deteriorava-se, principalmente os queatuavam em países altamente endividados. Também percebeu que estesbancos cresciam sem uma adequada estrutura de controles.
Isto resultou em um conjunto de medidas para alocação de Capital con-hecido como “Basel Capital Accord”[5], que foi submetido e aprovado pelospresidentes dos bancos centrais do G10 e divulgado aos demais Bancos emJulho de 1988.
O conjunto propõe a implementação de uma estrutura onde o capitalmínimo exigido para alocação deverá ser de 8% (oito por cento) sobre osativos ponderados pelo risco respectivamente à cada linha do balanço. Estaestrutura tem sido introduzida progressivamente não somente nos paísesmembros do comitê como também, em alguns casos de forma gerencial, nosdemais países com Bancos internacionalmente ativos.
Como não era a intenção do Comitê manter o Acordo de 1988 em suaforma definitiva, em Novembro de 1991 novas melhorias foram feitas parapropiciar maior precisão nas definições de provisões gerais ou reservas paraperdas em empréstimos e deveriam ser incluídas no cálculo do capital.
Em Abril de 1995 houve nova melhoria no sentido de reconhecer os efeitossobre as exposições ao risco de crédito dos bancos em produtos derivativose expandir a matriz dos fatores de risco. A nova melhoria passou a surtirefeito no final de 1995.
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O Comitê assumiu a responsabilidade em refinar a estrutura inicial paradirecionar outros riscos além do risco de crédito. Após processos de análisepara encontrar soluções a problemas identificados na revisão para melhoriafoi emitido novo adendo[6] ao Acordo de Capital que incorporava os riscosde mercado para os bancos com posições em moedas estrangeiras, dívidasnegociadas, ações, commodities e opções.
Um importante aspecto neste adendo foi uma alternativa ao métodoinicialmente proposto. No adendo foi permitido aos bancos utilizar modelosinternos para medir sua necessidade de Capital para os riscos de mercado,sujeitos a um conjunto de padrões qualitativos e quantitativos propostoscomo controle.
2.3 O Novo Acordo da Basiléia
O documento final do BIS-II foi divulgado à comunidade financeira interna-cional em Junho de 2004[7] e leva em consideração todo o processo de estudo,pesquisa, comentários e demais trabalhos efetuados pelo Comitê para suaampla aceitação.
Em Novembro de 2005 passou por uma atualização, a qual é a versãoatualmente vigente[1]. A nova versão do Acordo estabelece o cronogramapara a implementação das abordagens permitidas para o cálculo do capitalregulatório onde a partir de 2006, teve-se o início da implementação para osmétodos intermediários de cálculo de capital.
O Novo Acordo é constituído por três pilares que em conjunto formamo alicerce de sustentação das boas práticas do setor bancário e tem comoobjetivo garantir a integridade dos sistema bancário internacional.
Os pilares são:
I - Requerimento Mínimo de Capital;
II - Processo de Revisão por Supervisão Bancária; e
III - Disciplina de Mercado.
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2.4 Os Pilares do Novo Acordo e o Risco Operacional
A atuação conjunta dos três pilares visa contribuir para a segurança e ade-quação do sistema financeiro mundial. Neste sentido há grande esforço emexigir, de forma rigorosa, o cumprimento aos requerimentos dos três pilares.
O Primeiro Pilar[1]
O primeiro pilar define o requerimento mínimo de Capital, contudo man-tém como balisador a atual exigência de Capital mínima como referênciapara os primeiros resultados obtidos na aplicação das abordagens pelos méto-dos intermediários, ou seja, o percentual de 8% sobre os Ativos Ponderadospelo Risco (APR).
Desta forma o Capital a ser calculado deve respeitar:
Capital =Capital Total
12, 5% (Credito+Mercado) +Operacional≥ 8%APR (1)
Para assegurar que todos os riscos compreendidos no setor bancário se-jam considerados, o BIS-II abrange também todas as “Holding Companies”dos conglomerados financeiros excetuando-se as atividades de Seguros.
Além de incorporar melhorias na abordagem para medir o Risco deCrédito pela primeira vez surge a figura do Risco Operacional, objeto deestudo desse trabalho.
Para o Risco de Crédito são permitidas três abordagens[1] e o Riscode Mercado, dado o seu avançado grau de desenvolvimento nos mercadosinternacionais, praticamente permanece inalterado.
Para o Risco Operacional são permitidas três abordagens: 1 - IndicadorBásico; 2 - Abordagem Padronizada; 3 - Abordagem de Medição Avançada(AMA). Dentre as três, a abordagem AMA será a adotada para a consecuçãodesse trabalho.
O Segundo Pilar[1]
O segundo pilar requer que os supervisores assegurem-se de que cadabanco tenha bons e adequados processos internos para avaliar seu Capitalface a exposição total aos riscos.
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ONovo Acordo enfatiza a importância do desenvolvimento de uma gestãoem processos internos para avaliação de riscos e controles que possam influ-enciar o capital mínimo, a mitigação dos riscos e a definição de objetivospara o capital, de tal maneira que estes estejam adequados ao perfil de riscoda instituição financeira.
Os supervisores serão responsáveis por avaliar quão bem os bancos iden-tificam as necessidades para adequação de capital relativa aos seus riscos.Logo os processos internos serão objeto de revisão e intervenção pelos su-pervisores, caso seja necessário.
O Terceiro Pilar[1]
O terceiro pilar tem como objetivo suportar a disciplina de mercado pormeio da transparência das informações. A efetiva transparência é essencialpara garantir que os participantes do mercado possam melhor compreenderos perfis de risco dos bancos e suas posições quanto a adequação de capital.
O Novo Acordo estabelece os requisitos mínimos de transparência e re-comendações em diversas áreas, incluindo também a forma como o bancocalcula sua adequação de capital e seus métodos de avaliação dos riscos.
O conjunto de divulgação das recomendações aplica-se a todos os bancoscom maiores detalhes pelo reconhecimento das metodologias internas parao tratamento do risco de crédito, técnicas de mitigação e securitização deativos.
2.5 Abordagens para o Risco Operacional
Com a intenção de cobrir também o amplo leque de fatores de riscos (pessoas,processos, sistemas e eventos externos) embutidos no risco operacional oComitê trabalhou de forma a obter um montante confortável de capitalpara o risco operacional.
Esse montante supriria, por exemplo, o risco de perda decorrente defalhas em computadores, perda por documentação fraudulenta, ataques de"hackers" aos clientes do banco, entre outros.
Em estudo realizado e divulgado no mercado local, muitos bancos teriamde fazer aporte para cobertura de capital para adequação ao índice deBasiléia, da ordem de até 16,3%[8] ou mais de seu capital para cobertura dorisco operacional.
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Analisando este percentual é fácil entender o motivo pelo qual as insti-tuições financeiras buscam a melhoria contínua em sua estrutura de gestãode riscos, abrangendo tanto os aspectos qualitativos quanto os quantitativospara determinar um valor para a cobertura do risco operacional.
As instituições também estão preocupadas em como escolher um mod-elo matemático para acompanhar e entender o comportamento das perdasdecorrentes do risco operacional e ajudá-las na adequada quantificação dovalor de alocação.
Dado o grau de dificuldade na modelagem e a relativa novidade do riscooperacional, o Comitê estabeleceu três abordagens para a alocação de capitalpara o risco operacional que são:
a) Indicador Básico;
b) Abordagem Padronizada; e
c) Abordagem de Mensuração Avançada (AMA).
O Indicador Básico
Esta abordagem resulta na adoção de um percentual fixo denominadoα aplicado sobre o indicador de exposição da instituição estabelecido como“Gross Income”[9] ou Receita Bruta. O valor a ser alocado é dado por:
KBIA = EI × α (2)
Onde:
KBIA : capital alocado pela abordagem do Indicador Básico
EI :indicador de exposição para toda a instituição,no caso Receita Bruta
α : percentual fixo, atualmente α = 15, 0%
A Abordagem Padronizada
Na abordagem padronizada1, as atividades bancárias são divididas em 8linhas de negócios e para cada linha de negócio há um indicador de exposição
1Há também a possibilidade de as instituições que possuam concentração de operaçõesem crédito adotarem a abordagem alternativa, a qual consiste em, para as linhas de Bancode Varejo e Banco Comercial, trocar o indicador de exposição pelo saldo em carteira decrédito, adotando a seguinte expressão para o cálculo do capital regulatório:KTSA = mCβ;onde m corresponde ao fator de 0, 035%, C corresponde ao saldo em carteira de crédito
e β corresponde ao fator da abordagem padronizada pura.
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específico, denominado β definido pelo Comitê, visando refletir o tamanhoe volume das atividades dos bancos atuantes nestas áreas.
O indicador serve como um representante do risco envolvido nas oper-ações do negócio e portanto uma referência escalonada para a exposição aorisco operacional em cada uma das linhas de negócios.
O Comitê propõe a padronização contendo oito linhas de negócios paraas instituições financeiras, como segue:
Linhas de Negócios Indicador2 β (%)Corporate Finance Gross Income 18Negociação e Vendas Gross Income 18Banco de Varejo Gross Income 12Banco Comercial Gross Income 15Pagamento e Liquidação Gross Income 18Serviços de Agência Gross Income 15Administração de Ativos Gross Income 12Corretagem de Varejo Gross Income 12
Para cada linha de negócio o capital a ser alocado é calculado pela mul-tiplicação do indicador da unidade pelo fator β respectivo. O peso decada fator β foi obtido após estudos desenvolvidos pelo Comitê da Basiléiachegando aos valores apontados no quadro anterior.
O Capital total a ser alocado é obtido pelo somatório de cada parcela deCapital calculado para cada linha de negócios, expresso da seguinte maneira:
KTSA =8X
i=1
(EIi × βi) (3)
Onde:
KTSA : capital alocado pela abordagem padronizadaEIi : indicador para a linha de negócio (i)βi : percentual fixado pelo Comitê variando de: βi = 12% a 18%
A Abordagem de Medição Avançada (AMA)
Esta abordagem é a que deve permitir sensibilidade superior aos riscosdiante das abordagens anteriores. Assim, como o mercado também avança
2Para o Brasil, existem considerações apontadas pela indústria financeira queencontram-se em análise, implicando que, provavelmente, ajustes serão efetuados visandoobter o resultado que melhor se adeqüe ao Indicador para cada linha de negócio.
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neste tema, o Comitê acredita nos potenciais desenvolvimentos a serem obti-dos na área de quantificação do risco operacional pelas instituições finan-ceiras.
Os avanços, experiências e resultados práticos visam contemplar de formaconsistente os aspectos qualitativos e quantitativos, permitindo uma evoluçãona integração da gestão e controle do risco operacional.
A adoção da abordagem AMA inicialmente terá como base um limite de75.0% do Capital alocado pela abordagem padronizada e deverá atender aosrequisitos estabelecidos pelo Comitê, nos seguintes aspectos:
1 - Critérios Gerais;
2 - Padrões Qualitativos; e
3 - Padrões Quantitativos.
Aspectos qualitativos
A maioria das abordagens atualmente existentes para risco operacionalestá fundamentada em aspectos qualitativos onde uma abordagem comumutilizada consiste na revisão de um determinado processo ou linha de negó-cio e na avaliação julgamental do gestor do negócio ou processo quanto àprobabilidade da ocorrência de um evento de perda.
Contribuindo para o aprimoramento e melhoria dos aspectos qualita-tivos, em setembro de 1992, a entidade americana COSO — Committee ofSponsoring Organizations of the Treadway Comission — produziu o material“Internal Control — Integrated Framework” que tem como objetivo abrangertodas as firmas, não somente as instituições financeiras.
O COSO indica que controle interno é um processo que visa garantir aintegridade de cinco componentes apresentados dentro de sua estrutura:
1 - Ambiente de Controle;
2 - Avaliação do Risco;
3 - Atividades de Controle;
4 - Informação e Comunicação; e
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5 - Monitoramento.
A integridade conjunta desses componentes deve ser suficiente para su-portar os seguintes objetivos da instituição:
1 - Estrutura de relatórios financeiros;
2 - Compliance; e
3 - Objetivo das operações.
Outro método amplamente empregado pelas empresas consiste na uti-lização do questionário de auto-avaliação. Nesse enfoque, após a coleta dasinformações são realizados “workshops” com os participantes onde se identi-fica a estrutura de controles chaves relacionados com os cinco componentese planos da ação para possíveis necessidades de melhoria ou correção devulnerabilidades.
Identificada a estrutura de controles chaves e planos de ação, são en-tão organizados por prioridade e relevância de acordo com a experiência dogestor e crítica de um profissional experiente e independente ao processo.O resultado é uma estimativa de probabilidade freqüência e severidade paraperda caso o controle falhe, atribuída considerando o conhecimento do negó-cio do gestor envolvido.
Aspectos quantitativos
Um dos primeiros trabalhos[10] para alocação de capital para risco op-eracional propunha modelá-lo utilizando as mesmas técnicas do “VaR" derisco de mercado. Esta idéia também apontava para a criação de um bancode dados para perdas provenientes de risco operacional, tanto para eventosinternos quanto externos.
Uma vez construído esse banco de dados, seria então possível ajustaruma distribuição de probabilidade para os dados e calcular, adotando deter-minado nível de confiança, o "VaR" para risco operacional.
O trabalho contribuiu para alavancar os aspectos quantitativos e a abor-dagem paramétrica para quantificar o risco. Destacou a importância dafreqüência e severidade das perdas para uma determinada área estudada,constatando que a freqüência possuía um comportamento inversamente pro-porcional à severidade da perda.
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2.6 Impactos do BIS-II no Brasil — Risco Operacional
No Brasil além da indústria bancária o Banco Central (BACEN) destaca aimportância da boa gestão dos riscos operacionais e, neste sentido incentivaa indústria bancária ao aprimoramento e desenvolvimento do tratamento dorisco operacional.
O BACEN divulgou normativos definindo orientações genéricas mas quesinalizam a todos os participantes que haverão exigências legais e regu-latórias para todas as instituições autorizadas a funcionar pelo BACENquanto à necessidade de capital mínimo regulatório para fazer face aos riscosoperacionais.
Como principais resoluções e comunicados, destacam-se:
Resolução CMN 2.554/1998[11]Dispõe sobre a implantação e implementaçãode sistema de controles internos.
Comunicado12.746/2004[12]:Comunica os procedimentos para a implementaçãoda nova estrutura de capital-BasiléiaII.
Resolução CMN 3.380/2006[13]:Dispõe sobre a implementação de estruturade gerenciamento do risco operacional.
Antes da implementação da exigência de capital regulatório, o BACENtambém desenvolve estudos de impacto visando quais as principais dificul-dades e considerações que deverão ser avaliadas na sua exigência.
2.7 Motivação Prática
Um grande número de quebras e falências financeiras observadas no mercadomundial no decorrer dos últimos anos podem ser atribuídas à ocorrências deeventos considerados raros ou extremos de risco operacional.
Esses eventos, devido à severidade do impacto, acabam por comprom-eter de forma substancial o resultado esperado das instituições financeiras,chegando em alguns casos a interromper a continuidade dos negócios e atémesmo na extinção da instituição, seja pela quebra ou pelo total comprome-timento de seu patrimônio face à ocorrência de um evento dessa magnitude.
Isso fez com que as instituições repensassem a abordagem adotada atéentão para o gerenciamento do risco operacional, passando a dedicar maiorimportância para os eventos de baixa freqüência e alta severidade. Tam-bém não menos importância recebem os eventos de alta freqüência e baixaseveridade.
22
Em especial esse trabalho focará os eventos de perdas operacionais con-siderados raros ou extremos e, como proceder no tratamento matemáticopara, em conjunto com os eventos de alta freqüência e baixa severidade,encontrar o valor de capital regulatório necessário para fazer face às perdasoperacionais.
Grandes eventos de risco operacional podem levar grandes conglomera-dos financeiros, entre bancos e empresas, a sucumbirem.
Ilustrativamente, relembramos:
Evento Ano PerdaQuebra do Banco inglês Barings 1995 US$ 1,4 bilhão
Ataque terrorista ao WTC - EUA 2001US$19,0 bilhões+ perdas humanas
Fraude interna Parmalat - informações financeiras 2003 C= 1,1 bilhão
Portanto, é complexo encontrar um valor de capital regulatório capaz deabsorver as perdas verificadas nos eventos citados no quadro anterior e aomesmo tempo não comprometer as atividades operacionais das instituições.
Do ponto de vista de uma companhia de seguros pode-se pensar queo capital regulatório tem a função da "reserva técnica" para os possíveissinistros, ou seja, é o valor a ser mantido para cobrir os pagamentos dosseguros reclamados pelos clientes.
Para as instituições financeiras, manter uma reserva para a cobertura doseventos de risco operacional não está dentro de suas atividades fim, pois asmesmas são por natureza, gerenciadoras de risco. Dessa maneira, encontrarum montante viável economicamente para as instituições financeiras passaa ser um desafio para o equlíbrio entre as atividades versus o perfil de riscoassumido.
Pretende prover ao final do trabalho: 1 - um valor de capital regulatórioou mínimo para fazer face ao risco operacional considerando os eventos rarosou extremos, sem que este seja um valor demasiado restritivo às atividadesoperacionais das instituições financeiras; 2 - as técnicas necessárias para aimplementação prática dos modelos matemáticos que permitam justificar ovalor encontrado.
Para tanto a abordagem AMA será adotada, visto que essa tem o ob-jetivo de expressar o valor do capital em conformidade com as condições ecaracterísticas de cada banco, ou seja, aquelas que melhor refletem o perfilde risco e tipos de perdas operacionais existentes.
23
3 Abordagem probabilística para modelos deperdas operacionais
O propósito deste capítulo consiste em identificar distribuições de perdaque melhor se ajustam às observações realizadas, possibilitando obter ummodelo capaz de prover um valor financeiro para fazer face aos eventos derisco operacional quando estes ocorrerem.
Para facilitar e homogeneizar a classificação dos eventos de perda opera-cional o Comitê elaborou uma classificação contendo sete principais tipos deeventos de perda operacional quanto à esssência. Essa tipificação3 é descritaconforme quadro a seguir:
1 - Fraude Interna2 - Fraude Externa3 - Inadeqüação de Práticas com Clientes, Produtos e Serviços4 - Inadeqüação de Práticas Trabalhistas e Segurança no Trabalho5 - Danos a Ativos Físicos6 - Falhas na execução, entrega e gerenciamento de processos7 - Interrupção dos negócios e falhas nos sistemas
A adoção da tipificação para os eventos permite melhor consistênciano tratamento das perdas operacionais, permite direcionar esforços paramelhorias e identificar e avaliar as vulnerabilidades na instituição, além depropiciar uma modelagem dos dados conforme esquema demonstrado nafigura 1:
3A resolução CMN 3.380/2006 estabelece oito tipos de eventos para o tratamento noBrasil. Este trabalho utilizará a definição da Basiléia.
24
Freqüência dePerdas
Severidade dasPerdas
Simulação
Distribuição dePerdas
Freqüência dePerdas
Severidade dasPerdas
Simulação
Distribuição dePerdas
Figura 1: Abordagem atuarial para Freqüência e Severidade de perdas op-eracionais na obtenção da Distribuição de Perdas.
Assim, para um determinado tipo de risco, pode-se ter uma distribuiçãocomposta (freqüência e severidade) para perdas financeiras.
Um modelo matemático pode fornecer uma representação abstrata esimplificada do mundo real de um determinado tipo de fenômeno. Nessetrabalho o fenômeno corresponde à materialização dos eventos de risco op-eracional. Associado ao modelo matemático deve-se incorporar o aspectoestocástico que permitirá descrever a probabilidade do evento ocorrer.
Tem-se assim o problema de encontrarmos uma solução consistente paraidentificar e quantificar o montante necessário de capital regulatório pararisco operacional dentro de uma instituição financeira.
Uma das soluções possíveis para este problema envolve a construção deum modelo matemático para quantificar ou predizer alocações de capitalregulatório para um determinado horizonte de tempo
Esta opção também conjuga o conhecimento e experiência do analistaenvolvido, o tipo de perda operacional capturada, o conjunto de dados ob-servados e a qualidade na forma de captura desses dados. Tal combinaçãovisa permitir uma maior simplicidade na implementação do ajuste por meiode um modelo matemático.
25
Deve-se levar em consideração no momento da escolha do modelo o trade-off em escolher um modelo de vários parâmetros versus um modelo maissimples pois a seguinte consideração deve ser atendida: Robustez do modeloescolhido para capturar as futuras perdas operacionais observadas face oresultado esperado informado pelo modelo.
Para facilitar o tratamento das perdas operacionais comumente estas sãoagrupadas quanto à freqüência e severidade:
Grupo Freqüência Severidade1 Alta Baixa2 Baixa Alta
Dessa forma, dentro do conjunto de observações coletadas para o tra-balho, compreendem-se perdas operacionais dos grupos 1 e 2, com probabil-idade p da perda pertencer ao grupo 1 e probabilidade (1− p).de pertencerao grupo 4.
Podemos obter uma distribuição F (x) de perdas operacionais do con-junto de observações dada por:
F (x) = G (x) p+H (x) (1− p) (4)
É possível então proceder para um determinado tipo de evento ao trata-mento distinto para as perdas do grupo 1 e 2 de F (x) . Assumios que G (x)represente a concentração do volume de dados observados do grupo 1, tam-bém conhecido na literatura como bojo da distribuição.
AnalogamenteH (x) corresponde à distribuição dos eventos consideradosraros ou extremos de F (x), também conhecidos na literatura como caudada distribuição e pertencentes ao grupo 2.
Pode-se então pensar em modelos que tenham características de cen-tralidade e modelos que tenham características de não centralidade para ocomputo de F (x) conforme demonstrado na figura 2.
26
0 u.m. 0.5 u.m. 1 u.m. 1.5 u.m. 2 u.m. 2.5 u.m. 3 u.m. 3.5 u.m.0 u.c.
1 u.c.
2 u.c.
3 u.c.
4 u.c.
5 u.c.
6 u.c.
7 u.c.
8 u.c.
9 u.c.
Severidade
Freq
üênc
iaDistribuição Típica de Perdas Operacionais
Eventos do Bojo
Eventos de Cauda
Figura 2: Distribuição típica de Evento de Perda Operacional, contendo osgrupos 1 e 2.
Esses dois grupos serão tratados de forma distinta na obtenção do modelopara calcular o capital regulatório. Logo F (x) será construída pela misturade duas distribuições, uma que corresponderá à distribuição do bojo e outraà cauda.
27
Evento de Perda Operacional
Definimos por P o valor monetário da perda operacional, tal que P ∈[0,∞). As perdas representam o valor do prejuízo alocado ou identificadopara um específico evento o qual pode não possuir um valor máximo derealização.
São os casos pertencentes ao grupo 2 que está voltada a atenção da indús-tria financeira, pois como os exemplos anteriormente citados, a conseqüênciapela materialização desse tipo de evento pode comprometer a continuidadeda instituição.
A materialização do risco operacional é refletida no evento de risco op-eracional, um fenômeno com conseqüências econômicas ou não que acabampor prejudicar a percepção das pessoas perante uma instituição financeira.
Nesse trabalho serão abordados exclusivamente os eventos que possuemperda financeira efetiva, levando-se em consideração que o risco operacionalpode ser modelado estocasticamente.
Cada evento de risco operacional possui também as componentes: fre-qüência, severidade e tempo entre ocorrências sendo que cada uma dessasvariáveis ocorre de forma particular para cada um dos tipos de eventos.
Um fator chave na abordagem adotada consiste no fato de que os eventoscom perda financeira possam ser medidos em valores monetários. Em par-ticular podemos então utilizar variáveis aleatórias para construir os modelosde freqüência e severidade desses eventos.
Deve ser tratado com cuidado a seleção do modelo probabilístico e paraisso faz-se necessário a seleção de modelos que consigam ajustar, com deter-minado grau de confiança, a freqüência e severidade dos eventos para assimobter as melhores candidatas às distribuições que irão compor F (x).
3.1 Modelos para a severidade dos eventos de perda opera-cional.
Para a identificar a melhor candidata à distribuição de severidade das per-das que melhor se ajusta às observações utilizaremos duas abordagens queservirão para aceitar ou rejeitar as distribuições e assim selecionar a quemelhor resultado na estimação conseguiu prover.
28
Assim, utiliza-se a abordagem não paramétrica[14], ou seja, aquela a qualpode ser obtida diretamente dos dados capturados na amostra. Embora aabordagem não paramétrica seja menos complexa, existem inúmeros fatoresque podem prejudicar sua utilização. Assim, nesse trabalho será adotada aabordagem paramétrica para estimar a distribuição de perdas.
A abordagem paramétrica visa obter um processo reverso à não paramétrica,ou seja, utilizamos o conhecimento prévio de uma família de distribuiçõesa qual é representada por uma coleção de funções de distribuições e onde aidentificação de uma em particular possa ser indexada por um determinadonúmero de variáveis denominadas parâmetros. Formalmente, temos:
{F (X, θ) : θ ∈ Θ} (5)
onde θ é um escalar ou vetor e corresponde ao conjunto de todos ospossíveis valores dos parâmetros. A variável aleatória X também poderáser um vetor, caso seja multivariável.
Caso seja verdadeiro que a distribuição da população pertença à umafamília de distribuições envolvida, isso permitirá obter o valor de θ paradeterminar a qual distribuição o conjunto de dados mais se aproxima. Dessaforma, qualquer quantidade para estudo poderá ser determinada. Para aadoção da abordagem paramétrica temos quatro passos:
1. Determinação de qual família paramétrica melhor descreve a amostra;2. Determinação dos valores dos parâmetros;3. Determinação das quantidades de interesse; e4. Avaliar a acurácia dos valores obtidos no passo 3.
Modelos para o bojo da distribuição
Nesta parte do estudo, abordaremos distribuições que possam ser candi-datas à seleção para representar a distribuição de G (x) da equação 4 e quetambém sejam flexíveis no sentido de ajustar as observações.
Ainda na abordagem paramétrica, atentamos aos modelos de distribuiçãoque permitem flexibilidade para o ajuste em função do número de parâmetrosenvolvidos em sua construção. Em particular avaliaremos as distribuições[15],[16], [17], [18]: Exponencial, Log-normal, Gamma e Beta-generalizada, iden-tificadas no quadro a seguir:
29
Distribuição # parâmetros parâmetrosExponencial 1 λLog-normal 2 μ, σGama 2 a, bBeta-generalizada - GBD 4 β1, β2, β3, β4
Apresentamos também uma familiarização com as distribuições aquimencionadas e em particular daremos maior dedicação à distribuição Beta-generalizada em função dessa distribuição ser a que permite uma maiorflexibilidade ao ajuste em função do número de parâmetros envolvidos.
A distribuição Exponencial
Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição exponencialse essa possui uma função de densidade de probabilidade - pdf dada por:
f (x) =
⎧⎨⎩λ exp {−λx} , para x ≥ 0, λ > 0
0, caso contrário(6)
e sua função de densidade acumulada - cdf dada por:
F (x) =
⎧⎨⎩1− exp {−λx} , para x ≥ 0
0, caso contrário(7)
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Dados
Distribuição Exponencial
lambda = 0.5
lambda = 1.5
lambda = 1.5
Figura 3: Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetroλ.
A distribuição Log-normal
Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição Log-normal seessa possui uma função de densidade de probabilidade - pdf dada por:
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩1
xσ√2πexp
n− (ln(x)−μ)
2
2σ2
o, para x ≥ 0, σ > 0, μ ∈ R
0, caso contrário
(8)
e sua função de densidade acumulada - cdf pode ser expressa por meio de
uma função conhecida como função erro ou erf (x), onde erf (x) = 2√π
∞R0
e−t2
2
dt.
F (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩12
h1 + erf
³ln(x)−μσ√2
´i, para x > 0
0, caso contrário
(9)
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
31
10-2 10-1 100 101 102 1030
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Dados - escala log
Distribuição Lognormal
mu=3, sig=1
mu=5, sig=2.5
mu=9, sig=5
Figura 4: Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetroμ e σ.
A distribuição Gama
Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição gama se essapossui uma função de densidade de probabilidade - pdf dada por:
f (x) =
⎧⎨⎩1
baΓ(a)xa−1e−
xb , para x ≥ 0
0, caso contrário(10)
onde Γ (·) corresponde à função gama, dada por Γ (a) =∞R0
ta−1e−tdt.
Sua função de densidade acumulada - cdf é dada por:
F (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩Γx(a)Γ(a) , para a ≥ 0
0, caso contrário(11)
32
onde Γx (a) corresponde à função gama incompleta, dada por: Γx (a) =xR0
ta−1e−tdt
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
0 10 20 30 40 50 60 70 800
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Dados
Distribuição Gama
a=0.5, b=0.5
a=1.5, b=2.5
a=1.5, b=2.5
a=1.5, b=2.5
Figura 5: Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetroa e b.
A distribuição Beta-generalizada - GBD
Dedicamos à essa distribuição maior atenção por tratar-se de uma classeque conta com quatro parâmetros. Diferentemente das anteriores, as quaiscontam com pacotes e implementações na maioria dos programas que li-dam com matemática e/ou estatística, a distribuição Beta-generalizada -GBD não possui tais pacotes, necessitando de desenvolvimento para suaaplicação[16].
O interesse na utilização da GBD reside no fato de esta distribuição serbem flexível, podendo se ajustar a um maior conjunto de dados, das maisvariadas características. Recordamos inicialmente que a função beta é dadapor:
33
β (a, b) =Γ (a)Γ (b)
Γ (a+ b)(12)
Definição: Seja X é uma variável aleatória com distribuição beta4 comparâmetros β3 e β4, tal que X ∼ β (β3, β4) . Para β2 > 0 e qualquer β1,a variável aleatória Y = β1 + β2X é dita possuir uma distribuição Beta-generalizada GBD (β1, β2, β3, β4) .
A função densidade probabilidade - pdf da GBD (β1, β2, β3, β4) pode serobtida por[16]:
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩(x−β1)β3 (β1+β2−x)β4β(β3+1,β4+1)β
(β3+β4+1)2
, para β1 ≤ x ≤ β1 + β2
0, caso contrário
(13)
Para calcularmos sua função de densidade acumulada - cdf, utilizamosda construção da cdf pela distribuição beta como segue:
Sendo Y uma variável aleatória GBD (β1, β2, β3, β4), da equação 13temos que Y = β1+ β2X onde X ∼ β (β3, β4). A função da distribuição deY é:
FY (y) = P (Y ≤ y)
= P (β1 + β2X ≤ y)
= P
µX ≤ y − β1
β2
¶= FX
µy − β1β2
¶(14)
Então, desde que X ∼ β (β3, β4) e com o auxílio de sua função de dis-tribuição, obtemos:
4A função beta discutida em muitos textos estatísticos [16], com parâmetros β3 > −1e β4 > −1, tem pdf definida por:
f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩xβ3 (1−x)β4β(β3+1,β4+1)
, para 0 ≤ x ≤ 1
0, caso contrárioonde β (a, b) é a função beta.
34
0 50 100 150 200 250 3000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Dados
Distribuição GBD
GBD1 GBD2
GBD3
GBD4
Figura 6: Formas para a distribuição exponencial em função dos parâmet-ros β (β1, β2, β3, β4) .GBD1(15,300,1.5,3.5); GBD2(15,300,3.5,1.5);GBD3(15,300,0.5,0.5) e GBD4(20,280,2.5,1.0).
FY (y) =
Z (y−β1)/β2
0
xβ3 (1− x)β4
β (β3 + 1, β4 + 1)dx (15)
Fazendo agora u = β1 + β2x e substituindo em 15 obtemos:
FY (y) =
Z y
β1
(u− β1)β3 (β1 + β2 − u)β4
β (β1 + 1, β4 + 1)β(β3+β4+1)2
du (16)
e que, ao derivarmos, chegamos à pdf f (y). Logo temos a cdf dadistribuição[16].
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
Temos assim as ferramentas necessárias para ajustar as distribuições aosdados do bojo.
Modelos para a cauda da distribuição
35
No mercado financeiro é grande a importância dada à análise dos eventosraros ou considerados extremos. Os valores extremos estão primordialmenteassociados às áreas[19] de hidrologia (ultrapassar um determinado nível deágua), atuária (resseguro e determinação de limite para os excessos de paga-mentos de seguros), finanças (Value-at-Risk e Risco Operacional).
Em riscos operacionais o estudo desse tipo de evento possui grande im-portância, pois para essas ocorrências os gestores tendem a acreditar queesses eventos extremos sejam raríssimos os quais não mereceriam tratamento.
Novamente voltamos ao trade-off em alocar todo o recurso julgado necessáriopara fazer face aos eventos de risco operacional (o que poderia ser imprat-icável para a instituição financeira) ou encontrar um nível confortável decapital alinhado ao perfil de risco e complexidade das operações da institu-ição.
Uma alternativa seria a contratação de um seguro, porém essa saída nãoestimula as instituições a aprimorarem seus sistema de controles internos eeficiência operacional, pois o seguro contratado pode ser questionado quantasua função.
O que observamos é que deve haver a constante preocupação em tentaridentificar tais eventos e até mesmo propor uma mensuração para os mes-mos. Assim a adoção de uma distribuição para valores extremos de perdasoperacionais pretende ajustar esses valores e sua conseqüente mensuração.
Para identificar a distribuição da cauda, esse trabalho apresenta doismodelos a seguir descritos:
Modelo para Máximos em blocos[19], [20]
Seja (Xt)t uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identi-camente distribuídas, (Xt)t = va iid. Sejam Mn os máximos em blocos detamanho n. Se existem constantes cn > 0, dn ∈ < e uma distibuição H (x)tal que Mn−dn
cn
d−→ H (x), então teremos:
Hξ (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩exp
h− (1 + ξx)−
1ξ
ise ξ 6= 0
exp [−e−x] se ξ = 0
(17)
Temos, a partir de Hξ (x), 3 possíveis distribuições:
36
Parâmetro Distribuiçãoξ > 0 Fréchetξ = 0 Gumbelξ < 0 Weibull
Modelo para excedentes ou violações de limiar[19], [20]
Seja um conjunto de dados x1, ..., xn, definimos de yj as violações deum determinado limiar u. Esse métdo é conhecido como "POT - peaksover threshold", ou seja, aqueles valores xi > u. São os excedentes sobre uos valores yj − u. Então o número k de observações que violam um certolimiar u pode ser dado pela seguinte função: k =
Pi≤n I (Xi > u), onde
I (Xi > u) representa a função indicadora com I (Xi > u) = 1 se Xi > u e0 caso contrário.
Nestas condições, também teremos uma distribuição HG, dada dor:
HGξ,σ,μ (x) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1−
h1 + ξ
σ (x− u)i− 1
ξse ξ 6= 0
1− e−xσ se ξ = 0
(18)
Esta distribuição é conhecida como distribuição generalizada de Pareto- GPD.
Identificação dos extremos
Identificar os valores extremos é parte importante no tratamento dos da-dos e está relacionado com a coleta das informações. Da equação 4, devemosidentificar quais são os extremos excedentes à um determinado limiar u.
Escolha do limiar u
Um aspecto chave ao trabalharmos com o modelo proposto consiste emidentificarmos o limiar u[21], [22] ou o ponto onde serão separados os dadospertencentes ao bojo dos pertencentes à cauda. É comum a utilização doconhecimento do analista[23] para identificar o ponto de corte das obser-vações uma vez que é este quem lida diariamente com os eventos de perdaoperacional.
37
Esse trabalho associará a técnica de diagnóstico de limiar[21] existenteassociado ao conhecimento do analista para a escolha do valor apropriadode segregação dos grupos de dados.
A técnica visa identificar, via análise gráfica, possíveis valores de limiarpara o conjunto de dados. Essa técnica consiste em dispor em gráfico dafunção de excessos sobre a média da amostra, definida como segue:
SMEF (u) =
Pi≤n
xi − u{xi>u}Pi≤n1{xi>u}
(19)
A função corresponde à soma dos excessos sobre o limiar u divididopelo número de observações excedentes ao limiar que corresponde a umaestimativa da função dos excessos sobre a média, definida como:
MEF (u) = E (X − u | X > u) (20)
Apresentamos o resultado da aplicação da técnica de diagnóstico nafigura 3
38
0 u.m. 0.5 u.m. 1 u.m. 1.5 u.m. 2 u.m. 2.5 u.m.4 u.m.
4.5 u.m.
5 u.m.
5.5 u.m.
6 u.m.
6.5 u.m.
7 u.m.
7.5 u.m.
8 u.m.
8.5 u.m.
9 u.m.
Limiares
Exc
eden
tes
Identificação gráfica de limiares
Região deanálise do limiar
Figura 7: Aplicação da função SMEF para identificação de limiar, comescolha de u = 1u.m.
3.2 Modelos para a freqüência dos eventos de perda opera-cional
Para a freqüência dos eventos assumimos que estes seguem uma distribuiçãode Poisson[25], dentro de um período de tempo t, t ∈ [0, T ]. Logo a dis-tribuição de freqüência será dada por:
P (N = k) =e−λλk
k!, k = 0, 1, 2, ... (21)
39
Onde N corresponde ao número total de observações e k corresponde àquantidade de eventos de perda observados no período de tempo determi-nado.
3.3 Estimativa dos parâmetros das distribuições para perdasoperacionais
Dentre os métodos para estimativa de parâmetros esse trabalho selecionadois: o método dos momentos e o método de máxima verossimilhança.
O método dos momentos[14], [16]
Define-se o k-ésimo momento de uma v.a. contínua X, com r parâmetroscomo:
μk = E³Xk´=
Z ∞
−∞xf (x; θ1, ..., θr) dx k = 1, 2, ... (22)
onde θ representa os estimadores dos parâmetros da distribuição. Podemos
então dizer que∧θ1, ...,
∧θr são estimadores obtidos pelo método dos momen-
tos se esses forem solução das equações mk = μk, k = 1, 2, , , , r, onde mk
corresponde ao k—ésimo momento amostral definido por:
mk =1
n
nXi=1
Xki , k = 1, 2, ... (23)
O procedimento consiste em solucionar essas equações e substituir osmomentos teóricos pelos momentos amostrais e visa assegurar que o modeloparamétrico tenha os mesmos momentos que o modelo empírico.
O método de máxima verossimilhança[24], [25]
Na etimologia, verossímil corresponde àquilo que é semelhante à verdade,provável e verossimilhança corresponde à qualidade de ser verossímil. Apartir disso, o princípio da verossimilhança afirma que devemos escolher ovalor do parâmetro desconhecido que maximiza a probabilidade de se obteraquela amostra em particular estudada, ou seja, aquele valor para o qual oparâmetro torna a amostra "mais provável".
40
Ométodo utiliza uma função de verossimilhança dependente dos parâmet-ros desconhecidos e das observações iniciais. A partir daí, maximiza-se afunção ou, comumente, o logarítmo da função (dependerá da conveniência).
Define-se então a função de verossimilhaça para uma variável contínuaX:
L (θ;x1, ..., xn) = f (x1; θ) ...f (xn; θ) (24)
Assim, dado uma amontra de tamanho n da v.a. contínua X, a funçãode verossimilhança possui a seguint forma:
L (θ) =nY
j=1
fX (xj ; θ) (25)
onde fX(xj ; θ) é a contribuição da j-ésima observação para a verossim-ilhança. Se a j-ésima observação é um evento com probabilidade positiva,então a soma das contribuições é a respectiva probabilidade. Se a j-ésimaobservação é um valor de uma distribuição contínua, a contribuição é a pdfnaquele valor.
Uma maneira de se obter a maximização da função de máxima verossim-ilhança consiste em tomar o logarítmo da função de verossimilhança (log-verossimilhança), dado por l (θ;x1, ..., xn) = lnL (θ;x1, ..., xn).
Lembrando que θ pode ser um vetor de parâmetros θ = (θ1, θ2, ..., θr),podemos encontrar o máximo da função fazendo as derivadas parciais emrelação a cada parâmetro e igualando-as a zero.
Podemos deparar com um sistema de equações que deverá ser resolvidosimultaneamente na obtenção da solução, o qual poderá apresentar soluçãoconvergente ou não[26]. Em caso negativo, deve-se passar à busca por outraalternativa, como o método dos momentos. O procedimento consiste emfazer:
∂ lnL
∂∧θj
= 0, j = 1, 2, ..., r
41
Dentre as propriedades dos estimadores de máxima verossimilhança desta-camos as seguintes:
1 — São assintóticamente não viesados2 — Entre os estimadores que possuem distribuições normais assintóticas,
são os que possuem a menor variância assintótica3 — São invariantes sob transformações nos parâmetros4 — Pode ser obtida uma fórmula explícita para a variância assintótica
do estimador.
3.4 Avaliação das estimativas paramétricas
É importante reconhecer que as estimativas efetuadas são realizadas soba hipótese de que a população está em conformidade com algum modeloselecionado da família paramétrica e que o valor dos parâmetros seja incerto.Na realidade é plausível aceitar que o modelo admita erro e portanto há, umafonte de erro adicional.
Para avaliar as estimativas obtidas será utilizado o teste dos probabilistasrussos Komolgorov e Smirnov, os quais desenvolveram um teste de aderênciaconhecido como teste K-S[25].
Pretendemos identificar a maior distância observada entre as distribuiçõesde densidade acumulada empírica e teórica O teste Kolmogorov-Smirnov(K-S) é baseado na função de distribuição empírica. Assim, dado N dadosordenados X(1),X(2), ...,X(N), a função de distribuição empírica é definidacomo:
EN =n (i)
N, i = 1, 2, ..., N (26)
Onde:
n (i) número de pontos menores que X(i)
A estatística do teste é definida como:
D = max1≤i≤N
µF (Xi)−
i
N,i
N− F (Xi)
¶(27)
42
onde F (Xi) corresponde ao valor da c.d.f. para o valor Xi e iN corre-
ponde ao valor da função "escada" dos dados observados. Devemos encon-trar o menor valor absoluto das distâncias observada entre as distribuiçõesanalisadas, pois este corresponde à distribuição mais aderente aos dadosobservados.
43
4 Modelo para o cálculo do Capital Regulatório
Neste capítulo apresentamos a modelagem pela abordagem adotada na con-strução de um modelo que permita prover uma valor financeiro de capitalregulatório.
Deverá ser avaliado se o valor encontrado é factível ou seja, face ao perfilde riscos e perdas existentes na instituição o valor encontrado para alocaçãode capital seria suficiente e não conflitante com as atividades operacionaisda instituição.
Na avaliação, poderá ser constatado que o valor seja imcompatível. Nessecaso, recomenda-se uma revisão dos processos envolvidos na instituição aoponto de mudar a estrutura e controles internos visando a melhora e mu-dança do perfil de risco pela mitigação dos mesmos.
44
Esquema utilizado para o cálculo do capital regulatório
Para a construção do modelo endereçado à quantificação do capital reg-ulatório utilizamos uma base de dados estruturada de perdas operacionaiscontendo eventos do grupo 1 e 2.
Esta base de dados contempla o conjunto mínimo de informação necessáriapara proceder ao ajuste das distribuições candidatas ao bojo e cauda. Omodelo proposto nesse estudo, seguirá o esquema apresentado na figura 4.
Figura 8: Esquema para cálculo do Capital Regulatório.
O modelo básico para a abordagem quantitativa na alocação de capitalcompreende a união de duas distribuições, uma para a freqüência dos eventose outra para a severidade das perdas. Nesse trabalho, a distribuição deseveridade corresponderá à uma mistura de distribuições, uma para o bojoe outra para a cauda.
Os ajustes das distribuições serão efetuados utilizando-se a estimativade parâmetros pelo método de máxima verossimilhança.
Seja X uma v.a. correspondente ao valor das perdas operacionais. Sejax1, x2, ... xn as perdas observadas. Fazemos x(1), x(2), ... x(n) e da equação4, escrevemos a função de verossimilhança:
45
L
µθ˜
¶=
nYi=1
£G¡x(i)¢1(xi≤u)p+H
¡x(i)¢1(xi>u) (1− p)
¤=
kYi=1
G¡x(i)¢p
nYj=k+1
H¡x(j)
¢(1− p) (28)
Tomando o logaritmo natural da equação 28 temos:
l
µθ˜
¶=
kXi=1
log£G¡x(i)¢p¤+
nXj=k+1
log£H¡x(j)
¢(1− p)
¤= k log (p) + (n− k) log (1− p)| {z }
constante
+kXi=1
logG¡x(i)¢+
nXj=k+1
logH¡x(j)
¢= cte+
kXi=1
logG¡x(i)¢+
nXj=k+1
logH¡x(j)
¢∝
kXi=1
logG¡x(i)¢+
nXj=k+1
logH¡x(j)
¢(29)
Assim, a maximização de lµθ˜
¶corresponderá à:
maxθ˜
l
µθ˜
¶= max
θ˜
kXi=1
logG¡x(i)¢+max
θ˜
nXj=k+1
logH¡x(j)
¢(30)
Encontradas e ajustadas as distribuições, estamos aptos a estruturaro modelo de distribuição agregada das perdas o qual permitirá identificaro montante necessário de capital regulatório para riscos operacionais emrelação ao histórico das observações capturadas.
46
5 Aplicação Prática e Construção do Modelo
Na aplicação da abordagem proposta neste estudo há a utilização das téc-nicas de ajuste das distribuições onde busca-se encontrar os parâmetros deuma distribuição específica de maneira a ajustar as observações de perdasoperacionais capturadas.
5.1 Descrição dos dados
A adoção da abordagem AMA está associada à utilização de uma dis-tribuição de perdas internas da instituição. Para isto, há a necessidadede que cada instituição possua uma estrutura interna capaz de identificar,avaliar, criticar e quantificar os eventos de perdas operacionais materializa-dos e ainda, armazená-las em um repositório de acesso controlado para suautilização no desenvolvimento da modelagem.
Por tratar-se de recente exigência, as instituições ainda estão em fase decoleta, captura, desenvolvimento e validação das perdas operacionais e daestrutura do banco de dados interno sobre perdas operacionais.
Justamente pela novidade muitas unidades de negócios e bancos nãopossuem dados suficientes sobre eventos de perdas operacionais que permi-tam uma modelagem estatística passando assim a procederem com a coletadestas informações.
Vislumbrando esta carência de informação as empresas de consultoriapassaram a desenvolver uma estrutura de banco de dados e também coletareventos de perdas financeiras públicas. Estes trabalhos são de grande im-portância, pois permitem que unidades de negócios ou os próprios bancosagreguem eventos de perdas relacionados às suas atividades e categoria declassificação do risco na modelagem e cálculo do capital.
Os eventos aqui utilizados são assumidos como variáveis aleatórias inde-pendentes e identicamente distribuídas e correspondem a eventos do grupo1 e 4 de um mesmpo tipo de evento. Esses dados foram cedidos para aelaboração do estudo, porém são de caráter confidencial.
Dessa forma preservaremos o nome da instituição fornecedora dos dadosbem como sua natureza e escala do valor, o que não impede o desenvolvi-mento da análise e do trabalho.
47
É passível supor que tipos distintos de eventos de perdas operacionais se-jam independentes, pois pela granularidade da captura da informação (iden-tificando o cliente/processo afetado) pode-se observar que no momento desua ocorrência este não impede ou incentiva que outros tipos ocorram.
Na ótica da distribuição interna de perdas operacionais também é pos-sível entender que para uma distinta linha de negócio exista específica dis-tribuição de perdas, a qual compreenda sua complexidade e característicaoperacionais, sejam em volume, clientes, operações, entre outros, e que in-centive em adotar a abordagem AMA, sempre considerando a necessidadeda investigação da causa e ajuste das distribuição que melhor se adapta àsobservações e respectivas linhas de negócios.
Os dados utilizados neste trabalho foram obtidos de uma base de dadosde eventos de perdas operacionais de uma insitituição financeira autorizadaa funcionar pelo BACEN, a qual consentiu na utilização destes dados masobservando-se os termos de confidencialidade para a utilização.
Esta base de dados incorpora os eventos de perdas operacionais decor-rentes de eventos externos, impactando diretamente o resultado da institu-ição. Considera-se para fins de relevância que a instituição possui amostrasuficiente para os cálculos. Estes dados contemplam um tipo de perda opera-cional dentre os sete definidos pelo BIS-II. Na figura 4 estão demonstradosas perdas coletadas do período de Janeiro de 2004 à Agosto de 2006.
48
0 5 10 15 20 25 30 350
2
4
6
8
10
12
14
16Freqüência de Eventos
Mês
Freq
üênc
ia
Figura 9: Demonstração do comportamento de perdas operacionais.
Os dados contidos foram coletados pela equipe de riscos operacionais dainstitiuição e para cada evento identificado uma análise e descritivo mínimoforam exigidos para a melhor compreensão e análise das causas.
Foram considerados os valores livres de recuperação, isto é somente aperda efetivamente apurada no evento na data de disponibilização das infor-mações. Também há para o caso da necessidade de investigação do evento,material para análise dos "outliers".
Destacamos algumas limitações que foram assumidas por premissas nodesenvolvimento deste trabalho:
• considerou-se a primeiro dia útil do mês de detecção do evento e peri-odicidade mensal;
• isenção do histórico de recuperação das perdas, pois os eventos po-dem contar com seguros ou processos de recuperação, os quais foramdesconsiderados; e
• capturados os eventos com valor de perda X ≥ 0, 6 unidades mon-etárias (representa um descarte de 0,04% da severidade e 7,61% dafreqüência).
49
Utilizamos para os ajustes das distribuições as rotinas já implementadasdo software MATLAB5 quando possível, onde os resultados visuais são ap-resentados a seguir:
0
20
40
60
80
100
Severidade
Freq
uenc
ia
G(x) - Bojo
0
1
2
3
4
5
6
Severidade
Freq
uenc
ia
H(x) - Cauda
0
20
40
60
80
100
120
140
Severidade
Freq
uenc
ia
F(x) - Perdas Consolidadas
Figura 10: Perdas operacionais segregadas em Bojo e Cauda. Abaixo avisualização consolidada das observações.
Como pode ser observado na figura 6, é importante o tratamento e análisedas observações de maneira distinta pois ao analisarmos conjuntamente,nota-se grande concentração das observações em um único intervalo o quepoderia condicionar à uma análise voltada ao centro da distribuição.
Ao tratarmos separadamente temos melhor ciência da diferença da dis-tribuição entre da cauda vis a vis os eventos do bojo da distribuição deperdas.
5Neste trabalho, foi utilizada versão 7.1 R(14).
50
A seguir apresentamos os ajustes em relação às distribuições propostas:
Distribuição exponencial:
0
1
2
3
4x 10
-5
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F(x)
CDF
102
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
x
1-G
(x)
CDF: Teorico x Empirica
Teorico(x)Empirico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Empirico
Teor
ico
QQ-plot
Teorico(x)Empirico
Figura 11: Distribuição exponencial com parâmetro λ = 273.90 e K-S= 0.1134. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos: Dis-tribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Comparativo entreEmpírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot.
51
Distribuição log-normal:
0
1
2
3
4
5
6x 10
-5
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xF(
x)
CDF
102
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
x
1-G
(x)
CDF: Teorico x Empirica
Teorico(x)Empirico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Empirico
Teor
ico
QQ-plot
Teorico(x)Empirico
Figura 12: Distribuição log-normal com parâmetros μ = 9.53, σ = 1.37e K-S = 0.1101. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos:Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Comparativo entreEmpírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot.
52
Distribuição gama:
0
1
2
3
4
5x 10
-5
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xF(
x)
CDF
102
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
x
1-G
(x)
CDF: Teorico x Empirica
Teorico(x)Empirico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Empirico
Teor
ico
QQ-plot
Teorico(x)Empirico
Figura 13: Distribuição gama com parâmetros a = 0.86, b = 318.90 eK-S = 0.0797. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos:Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Comparativo entreEmpírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot.
53
Distribuição Beta Generalizada - GBD:
Para esta distribuição, utilizamos o fato observado na equação 13 ondeconseguimos re-escrever a probabilidade no ponto P (Y ≤ y), utilizando a
transformação vista e assim obtermos uma a probabilidade de P³X ≤ y−β1
β2
´.
Esse subterfúgio permitiu não utilizarmos algoritmos de solução numéricapara o sistema de equações obtidos com a aplicação dos métodos de MáximaVerossimilhança e de Momentos na busca pelos parâmetros β = (β1, β2, β3, β4)e utilizarmos a uma rotina já existente e consolidada no MATLAB.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
x
f(x)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F(x)
CDF
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
10-8
10-6
10-4
10-2
100
x
1-G
(x)
CDF: Teorico x Empirica
Teorico(x)Empirico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Empirico
Teor
ico
QQ-plot
Teorico(x)Empirico
Figura 14: Distribuição GBD com parâmetros β = (0.06, 100, 0.52, 1.31)e K-S = 0.0594. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos:Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Comparativo entreEmpírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot.
54
Nesse ponto, necessitamos realizar uma avaliação da estimativas dosparâmetros obtidos no desenvolver do trabalho. O teste K-S permitirá es-colher a melhor candidata ao ajuste dos dados e assim permitir o prossegui-mento no cálculo para alocação de capital regulatório. Da equação 27 temos:
Distribuição #θ θ∧θ Dc,0.05 K − S
Exponencial 1 λ 273.90 0.0862 0.1134
Log-normal 2 μ, σ 9.53, 1.37 0.0862 0.1101
Gama 2 a, b 0.86, 318.90 0.0862 0.0797
GBD 4β1 β2β3 β4
0.06 100.000.52 1.31
0.0862 0.0594
Pelos resultados obtidos no teste K-S, verificamos que a melhor can-didata ao ajuste do bojo da distribuição é a GBD, coincidindo com suacaracterística de flexibilidade de ajuste.
55
Distribuiçoões para a cauda da distribuição
Ao trabalharmos com a utilização de um limiar u conhecido para pro-ceder à segregação entre G (x) e H (x), vamos adotar a distribuição general-izada de valors extremos e uma distribuição de valores extremos, obtendo-seos seguintes ajustes para a "Cauda"da distribuição:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4x 10
-5
x
f(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F(x)
CDF
105.1
105.2
105.3
105.4
10-2
10-1
100
x
1-G
(x)
CDF: Teorico x Empirica
Teorico(x)Empirico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Empirico
Teor
ico
QQ-plot
Teorico(x)Empirico
Figura 15: Distribuição GEV, com parâmetros ξ = 0.31, σ = 30.19, μ =136.89. e K-S = 0.0614. No sentido anti-horário, do canto superior direitotemos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Compara-tivo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot.
56
0
1
2
3
4
5
6x 10
-6
x
f(x)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F(x)
CDF
105.1
105.2
105.3
105.4
10-3
10-2
10-1
100
x
1-G
(x)
CDF: Teorico x Empirica
Teorico(x)Empirico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Empirico
Teor
ico
QQ-plot
Teorico(x)Empirico
Figura 16: Distribuição EV (Considera uma GEV com ξ = 0), com parâmet-ros μ = 1956.18, σ = 660.05 e K-S= 0.0353. No sentido anti-horário, docanto superior direito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Prob-abilidade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot.
Distribuição #θ θ∧θ Dc,0.05 K − S
GEV 3 ξ, σ, μ 0.31, 30.19, 136.89 0.2567 0.0614
EV 2 μ, σ 1956.18, 660.05 0.2567 0.0353
Ao analisarmos os ajustes gráficos obtidos e a aplicação do teste K-S,percebemos que ambas são candidatas ao ajuste da estrutura da forma dadistribuição. A selecinada como candidata é a GEV, pois não foi consideradoque esta distribuição possui natureza para ajuste de máximos mas sim àforma da cauda, o que mostrou-se atender com bons resultados.
Distribuição de Poisson - Freqüência das perdas operacionais
57
Outra tarefa importante é o ajuste da freqüência dos eventos e para essetópico, foi utilizada a distribuição de Poisson, conforme visto na equação 21.Assim, para encontrar o valor do parâmetro de ajuste da Poisson, utilizamos:
λ =
nPi=1
xi
n, i = 1, 2, ..., n
= 8.63
onde xi representa cada observação de perda operacional.
Podemos observar que o número de meses disponíveis (32 meses) parao trabalho permite, ainda assim, ajustar a distribuição de Poisson o que, àmedida em que novos períodos sejam adicionados ao modelo, permitirá umamelhor visualização dos ajustes obtidos.
5.2 Cálculo do capital pela abordagem atuarial
Seja Xti , variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas,
onde i = 1, 2, ..., Nt, que representam as perdas operacionais observadas norespectivo período de tempo t. O montante dessas perdas nos Nt períodosé definido como:
Pt =NtXi=1
Xti , i = 1, 2, ..., Nt (31)
Onde:
Pt : perda acumulada observada no período tXti : perda operacional observada no período t
Passos para o cálculo do capital regulatório para alocação à Risco Op-eracional:
1. Identificar e selecionar as melhores candidatas para as distribuiçõesde perdas, para perdas operacionais pertencentes ao bojo - G (x) e cauda -H (x);
2. Obter os valores dos parâmetros de ajustes das distribuições sele-cionadas para G (x) e H (x), respectivamente;
58
3. Obter a freqüência das distribuições para o período observado, viaobservações históricas e auxílio da distribuição de Poisson;
4. Gerar, via utilização da distribuição de Bernoulli Ber (p), os even-tos de perda pertencente à cauda ou ao bojo, tal que essa distribuição terá
f (x) =
½1, evento de bojo0, evento de cauda
, onde
p = # observações de bojo# observações Total , corresponde à freqüência relativa histórica observada
para os eventos de bojo e (1− p) corresponde à freqüência relativa históricaobservada para os eventos de cauda;
5. Separar os eventos, constituindo as distribuições de G (x) e H (x),e assim proceder à geração das amostras pseudo-aleatórias por meio dosMétodos de Monte Carlo - MMC para a obtenção da distribuição agregadasimuladas de perdas;
6. Identificar o montante monetário para cada período simulado, rel-ativo ao número de perdas simuladas; e
7. Utilizar a identificação dos quantis empíricos de para as seguintesprobabilidades α = (0.050, 0.025 e 0.010).
5.3 Simulação das variáveis aleatórias para as distribuiçõesde freqüência e severidade
A distribuição de perdas agregadas obtida via Simulação de Monte Carloconsistiu em gerar um número suficiente de realizações com a utilizaçãodos distribuições previamente selecionadas para severidade e freqüência. Asrealizações foram obtidas via geração de números aleatórios pelos métodosexistentes no MATLAB[27], [28], [29].
A Simulação de Monte Carlo deve levar em consideração:
• utilização distribuição histórica;
• utilização de variação temporal;
• consideração de valores extremos;
Também apresenta alguns cuidados a serem tomados, pois:
• o resultado dependerá das distribuições utilizadas;
• não evita as armadilhas causadas pelo risco de modelo.
59
(1− α) 100 Real SMC Aderente95.0% 161.04 205.09 sim97.5% 161.04 248.46 sim99.9% 161.04 548.84 sim
Tabela 1: Comparativo com periodo
(1− α) 100 Violações Erro95.0% 5 41.7%97.5% 3 25.0%99.9% 0 nao violodo
Tabela 2: Backtesting
Tendo a distribuição simulada de perdas calcula-se a alocação de capitalem relação a um quantil específico (95.0%, 97, 5%, 99, 9%).
Assim para o cálculo do capital encontramos o (1− α) 100 percentil dadistribuição agregada de perdas, o qual será obtido encontrando a soluçãopara P (Pt+∆t − Pt > V aR∆t,α) = α.
5.4 Backtest
Para avaliar o resultado da simulação obtida, contemplando 10.000 iterações(meses), este foi comparado com o valor realizado do período seguinte e pos-teriormente foi comparado contra os períodos passados (meses de anterioresdo ano de 2006) onde busca-se observar o número de violações do limite de99.9%, ou seja, quando a perda observada foi maior que o calculado.
Assim, foi realizado um teste de aderência ao modelo estruturado com aajuda da instituição, que forneceu os três meses posteriores para avaliar se ovalor encontrado seria ou não suficiente para fazer face às perdas realizadas.Os resultados estão consolidados na tabela 2.
5.5 Cálculo do capital pelo modelo da Teoria de Ruína
Outra abordagem adotada nesse trabalho consiste em utilizar a Teoria daRuína[15], [30]. Para tanto, uma adaptação da teoria da ruína pode ser
60
efetuada para risco operacional, onde pretende-se encontrar um valor de re-cursos próprios suficientes para cobrir perdas operacionais futuras em umespecífico horizonte de tempo. O processo é adaptado da abordagem uti-lizada na indústria de seguros. Assim, em uma forma estilizada, temos daequação 31:
Pt =NtXi=1
Xi, i = 1, 2, ...,Nt (32)
Do ponto de vista da indústria de seguros, há a consideração natural daexistência de um capital inicial u e uma taxa de prêmio de risco recebido c,c > 0. Tendo essas considerações, o processo de ruína adaptado para riscooperacional pode ser definido como:
Ct = u+ ct− Pt, t > 0 (33)
onde Ct representa o valor de capital remanescente no momento t obser-vado. A ruína ocorrerá no instante em que Ct < 0.
Na utilização do processo de ruína, fazemos consideração à taxa deprêmio c, a qual, poderá ser representada por um processo estocástico doíndice de recuperações obtidas das perdas operacionais ou também um fatorde remuneração sobre o valor u não consumido.
Outra consideração refere-se à escolha do valor inicial de u. Este valorpode ser escolhido por avaliações qualitativas e quantitativas pois deveráser definido um valor o qual não se possui mais informação no momento dedecisão e dele dependerá o desempenho do processo.
Um valor muito elevado pode implicar em nunca atingir a ruína, contudohá o custo do dinheiro mantido na integração do capital regulatório e poroutro lado, um valor muito baixo pode implicar em insuficiência de capitalno curto prazo, o que torna vulnerável a escolha dessa abordagem.
No trabalho, foi decidido a adoção de u como 25.0% da perda anual acu-mulada da simulação obtida na abordagem atuarial, no percentil de 99, 9%.
61
Para o valor de c, foi considerado constante ao longo das simulação e iter-ações, e corresponde a um valor mensal de entrada de recursos para cober-tura de perdas no valor de c = 0.02u.
0 10 20 30 40 50 60-4 u.m.
-3 u.m.
-2 u.m.
-1 u.m.
0 u.m.
1 u.m.
2 u.m.
3 u.m.
4 u.m.U_0
Períodos (meses)
Res
erva
de
Cap
ital
Trajetórias de Ruínas
Figura 17: Trajetórias de Ruínas para o período de 5 anos.
O resultado pode ser observado na figura 13, a qual demonstra a im-portância da escolha do valor inicial de u e como este terá seu valor inicialrecomposto, isto é, como será o processo de formação de c.
O que percebemos com a utilização dessa abordagem está relacionadacom a necessidade da manutenção preventiva do nível de capital, visto queo período de avaliação e revisão do mesmo será anual. Assim, essa abor-dagem demonstra ser uma valiosa ferramenta para identificar também oquão aderente está o modelo atuarial à realidade materializada de perdasoperacionais.
62
Uma outra maneira para também obtermos um valor ótimo de u consisteem fixarmos um período de tempo t e gerarmos n trajetórias, mas comalterações do valor inicial de u de tal forma que se possa garantir que,para as n trajetórias observamos um número de violações Vu tal que essenão ultrapasse 0, 01% das n trajetórias geradas. Novamente ainda nãoeliminamos a premissa da taxa de remuneração ou reconstituição do capitalc. Formalizando, temos para aceitar como adequado o capital:
Vu=u0 =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩# violações
n ≤ 0, 01% possível valor ótimo de capitalpara u0 inicial
# violaçõesn > 0, 01% redefinir valor inicial de u0
(34)
Assim, temos ferramental suficiente para inferir e decidir sobre a alocaçãode capital regulatório para riscos operacionais.
63
6 Conclusão
Verificamos que a utilização da abordagem descrita nesse trabalho mostrou-se capaz de prover bons resultados para quantificar a alocação de Capi-tal, sustentada pela abordagem AMA. Foram verificadas algumas técnicasmatemáticas e estatísticas para obtermos as melhores candidatas às dis-tribuições de "bojo" e "cauda" as quais são válidas para a maioria dasfamílias das distribuições e podem ser extendidas à outros ajustes.
Assim o objetivo do trabalho foi alcançado com a identificação de umvalor suficiente de capital regulatório capaz de fazer face às perdas opera-cionais da tipo de evento estudado. Também contribuiu com a experiên-cia prática em implementar a abordagem de medição avançada - AMA,atentando para pontos importantes contudo o trabalho não limita-se à essaimplementação pois a tarefa de investigação e análise das causas deve serconstante e inserida no ciclo de revisão do modelo e até mesmo à tomada dedecisão e estabelecimento de prioridades de melhorias.
Considerando os resultados obtidos e com um número de iterações iguala 10.000 meses, verificamos que o custo computacional não foi demasiado ex-austivo, contudo observamos que a adoção das técnicas de máxima verossim-ilhança podem ser complexas para solução e sua simulação acarretar emsobrecarga na resolução numérica uma vez que em algumas situações, nãopodemos contar com uma solução fechada para o cálculo dos estimadores.
Algumas questões foram levantadas na utlização do processo de ruína eestas, deverão ser alvo de maiores investigações para uma consistente uti-lização uma vez que as premissas de a taxa de prêmio o valor inicial de u serconstantes para a utilização no modelo pode ser uma flexibilização muitoforte para um modelo tão dinâmico como o caso dos modelos que envolvemperdas operacionais. Deixo ao leitor os questionamentos e investigações paraa melhor solução ao tema.
Assim, a abordagem aqui proposta mostrou-se factível de implementaçãoe utilização para, visando auxiliar as instituições financeiras, não somentecom a estrutura de controles internos como também disponibilizar mais umferramental aplicado à prática para mensurar um valor para o capital regu-latório.
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