Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planckfge.if.usp.br/~ttome/cursos/seminarios/andre_catalao.pdf · Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck Apreçamento de Opções com

Uma Aplicação da Equação de Fokker-PlanckApreçamento de Opções com Barreira Dupla

André Borges Catalão Profa. Tânia Tomé[email protected]

November 3, 2007

Abstract

Neste artigo estudamos uma forma de apreçar uma opção com barreiradupla do tipo knock-out definida pelos níveis U (upper) e L (lower) quepaga rebate na forma deferred caso a barreira seja acionada. O preço deuma barreira in pode ser obtido pelo emprego da paridade in-out.

1. Introdução

Neste artigo estudamos uma forma de apreçar uma opção combarreira dupla do tipo knock-out definida pelos níveis U (upper) eL (lower) que paga rebate na forma deferred caso a barreira sejaacionada. O preço de uma barreira in pode ser obtido pelo empregoda paridade in-out.A chave para o apreçamento de opção com barreiras é montar a

equação de Fokker-Planck para a probabilide de o ativo-base encontrar-se a um nível certo nível e estabelecer condições de contorno apropri-adas. Os passos seguidos serão1:

• Montagem do payoff para uma opção com barreira dupla do tipoknock-out com rebate deferred;

• Determinação de equações de Fokker-Planck, com condições decontorno apropriadas, para cada de tipo de probabilidade en-volvida;

• Aplicação dos métodos da transformada de Laplace e série deFourier para densidades de probabilidades;

1O leitor poderá encontrar mais detalhes em (Pelsser, 1997).

Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck 2

• Obtenção do preço de uma call vanilla sob condições de barreira;

2. Opções com barreira dupla: Payoff

Neste artigo determinamos uma forma de apreçar um contrato deopção de compra (call) de moeda (dólar) ao preço K, com barreira du-pla do tipo knock-out sob o intervalo L < Ss < U , definida no períodos∈[t,T], com rebate R, do tipo deferred. Ou seja, se no intervalo detempo [t,T] o ativo S ficar no intervalo [L,U], ao final do perído, oinvestidor poderá exercer uma opção ao strike K. Se o ativo extrap-olar estes níveis, a opção de compra é desativada (knocked-out), maso investidor ainda recebe um valor fixo (rebate) ao final do período(deferred). No caso de o ativo romper o nível da barreira L, o valorde rebate pago é RL; no caso de o ativo romper o nível da barreira U,o valor de rebate é RU .O payoff final é o seguinte:

max(ST −K, 0), se L < Ss < U, s ∈ [t, T ] (1)

RL, se Ss < L , s ∈ [t, T ]RU , se Ss > U , s ∈ [t, T ]

Este pagamento está localizado em T, no vencimento da opção.Assim, é intuitivo escrever, em T:

V (T ) = {RU · 1Ss>U ; s∈[t,T ] +RL · 1Ss<L; s∈[t,T ] (2)

+max(ST −K, 0)·L<Ss<U ; s∈[t,T ]}

Seu valor hoje, t, é obtido tomando valores médios em T e descon-tando à taxa de juros doméstica:


V (t) = E[V (T )]e−rd(T−t) (3)

= e−rd(T−t){ RU · P+(T ) +RL · P−(T )

+

UZL

max(ST −K, 0)p(t, St;T, ST )dST| {z }A=CallKnock−out

}

, onde P+ e P− referem-se às probabilidades de toque da barreira Ue L até o vencimento T , respectivamente, e p(t,St|T,ST ) refere-se àdensidade de probabilidade de, em T , o ativo assumir o valor ST , dadoque em t seu valor era St e dado que ele não tenha tocado nenhumadas barreiras no intervalo [t, T ].Denotemos por g+(t, x; s) a densidade de probabilidade de o primeiro

toque da barreira U ocorrer no instante s, antes de que a barreira Lseja tocada, dado que o processo começou em (t, x). Analogamente,denotemos por g−(t, x; s) a densidade de probabilidade de o primeirotoque da barreira L ocorrer no instante s, antes de que a barreira Useja tocada. Adotemos, a partir de agora, também, variáveis do tipolog, com relação à barreira L2:

St → x = lnStL

(4)

ST → y = lnSTL

U → l = lnU

L

L → lnL

L= 0

2Para que possamos fazer integrações utilizando como extremo inferior o valorzero.


Dado que um processo z pode ou tocar a barreira de cima, ou tocara barreira de baixo, ou sobreviver até T , as probabilidades de toque,P+ e P−, estão ligadas à densidade p através da relação

TZt

g+(t, x; s)ds

| {z }P+

+

TZt

g−(t, x; s)ds

| {z }P−

+

lZ0

p(t, x;T, y)dy

| {z }P surv

≡ 1 (5)

A integral relativa à p é interpretada como uma probabilidade desobrevivência, P surv.Cada densidade de probabilidade presente na equação acima pode

ser obtida através de sua respectiva equação de Fokker-Planck sobcondições de contorno apropriadas. Há vários métodos de soluçãodisponíveis para obter a solução de tal equação3.O objetivo deste artigo é mostrar como chegar ao valor do preço

da opção (3). Faremos os seguintes caminhos:

• apresentaremos as equações de Fokker-Plank para g+, g− e p;• obteremos g+, g− via equação de Fokker-Plank através da Trans-formada de Laplace;

• calcularemos P+ via integração da densidade g+;

• mostraremos como, semelhantemente, P− pode ser obtida viaintegração da densidade g−;

• calcularemos p via série de Fourier• mostraremos como o termo A na equação (3) pode ser obtidoatravés da probabilidade p.

3Para o método de separação de variáveis, que também mostraremos nesteartigo, veja (Cox e Miller, 1965).


3. A equação de Fokker-Planck

O processo seguido pelo ativo-base (cotação do dólar à vista, ouspot) pode ser escrito da seguinte maneira:

dz = µdt+ σdW (6)

, onde µ é o drift, σ a volatilidade (σ2 a variância) do processo de dWuma variável aleatória com distribuição N(0, dt). O drift, na medidarisco-neutra, é expresso como4:

µ = (r − rf)− σ2

2

Consideremos a densidade de probabilidade p(t, x; s, y). Em nossanotação, ela descreve a probabilidade de o processo da partícula z(aqui, o ativo-base) começar no instante t em z(t) = x e sobreviveraté o instante s, terminando em z(s) = y. Temos t ≤ s e, para o casode opções com barreira knock-out, 0 ≤ x, y ≤ l.De forma geral, densidades de probabilidade satisfazem às equações

de Fokker-Planck backward e forward. A equação forward descreve atransição (t, x) → (s, y), ao passo que a backward descreve a tran-sição contrária: (s, y) → (t, x)5. A equação forward (subscritos sãoderivadas) e condições de contorno são:

4Para uma explicação de onde advém esta expressão, o leitor pode olhar em(Hull, 2005, caps. 11 e 12). O drift para o caso de um ativo-base de moedadepende do diferencial entre a taxa de juros interna, r, (por exemplo, Reais) e aexterna, rf (depósito em dólar), chamada cupom cambial.

5A dedução da equação forward pode ser achada em (Oliveira e Tomé, 2001),bem como em (Gardiner, 2003). A dedução da equação backward, cuja introduçãopode ser achada em (Gardiner, 2003), foi incluída no apêndice.


−ps − µpy +1

2σ2pyy = 0 (7)

p(., .; s, 0) = p(., .; s, l) = 0 (8)

p(t, x; t, y) = δ(x− y) (9)

Já para a equação backward e condições de contorno temos:

pt + µpx +1

2σ2pxx = 0 (10)

p(t, 0; ., .) = p(t, l; ., .) = 0 (11)

p(s, x; s, y) = δ(x− y) (12)

As condições (8) e (11) são espaciais, denotando que o encontrocom as barreiras 0 e l anulam a probabilidade e as (9) e (12) são tem-porais, significando que se instantes de tempo coincidem, as posiçõestambém coincidem.Podemos trabalhar com qualquer uma das equações, backward ou

forward. Adotaremos a equação backward para as densidades g+(t, x; s)e g−(t, x; s). Para g+(t, x; s):

g+t + µg+x +1

2σ2g+xx = 0 (13)

g+(t, l; s, .) = δ(s− t) (14)

g+(s, x; s, .) = δ(l − x) (15)

g+(t, 0; s, .) = 0 (16)

A equação (14) significa que quando houver o toque da barreira l, no instante s, a probabilidade torna-se 1. A equação (15) diz que seo instante t é onde houve o toque da barreira (t = s), então x = l.


A equação (16) implica que, se em qualquer instante t a barreira debaixo (0) for tocada (∴ x = 0), antes de que a de cima (l) o seja, entãonão haverá mais a chance de a de cima ser alcançada, pois o contratoé desativado (knocked-out).Para g−(t, x; s):

g−t + µg−x +1

2σ2g−xx = 0 (17)

g−(t, 0; s, .) = δ(s− t) (18)

g−(s, x; s, .) = δ(0− x) (19)

g−(t, l; s, .) = 0 (20)

A análise das condições de contorno é semelhante àquela foi feitapara g+(t, x; s).Adotando a variável τ = s−t, e escrevendo g+−(t, x; s) = g+−(τ , x)

podemos reecrever estas equações (∂./∂τ = −∂./∂t):

−g+τ + µg+x +1

2σ2g+xx = 0 (21)

g+(τ , l) = δ(τ) (22)

g+(0, x) = δ(l − x) (23)

g+(τ , 0) = 0 (24)

−g−τ + µg−x +1

2σ2g−xx = 0 (25)

g−(τ , 0) = δ(τ) (26)

g−(0, x) = δ(0− x) (27)

g−(τ , l) = 0 (28)


4. Obtenção de g+ e g−: transformada de Laplace.

Obteremos g+(τ , x) e g−(τ , x) por transformada de Laplace.

4.1. Obtenção g+.

A transformada de Laplace para g+(τ , x) é dada por:

γ+(x; v) =

∞Z0

e−vτg+(τ , x)dτ (29)

∀ v ≥ 0

Substituindo γ+ em (21), aplicando, na parte temporal, integraçãopor partes, e reescrevendo condições de contorno:

−vγ+ + µγ+x +1

2σ2γ+xx = 0 (30)

γ+(l) = 1 (31)

γ+(0) = 0 (32)

A equação (32) é a transformada da equação (24); a equação (31)é a transformada da equação (22). De fato, para a (31),

γ+(l) =

∞Z0

e−vτg+(τ , l)dτ =

∞Z0

e−vτδ(τ)dτ = 1 (33)

γ+(0) =

∞Z0

e−vτg+(τ , 0)dτ =

∞Z0

e−vτ .0dτ = 0 (34)


A equação (30) é uma equação de 2a ordem em x, e pode ser re-solvida facilmente determinando-se a equação característica. A soluçãoé escrita como:

γ+(x) = e−µ

σ2x(A sinh(θx) +B cosh(θx))

, com θ = 1σ2

√(µ2 + 2σ2v). As condições de contorno determinam as

constantes A e B:

32 ⇒ B = 0

31 ⇒ A =e

µ

σ2l

sinh(θl)

Assim, a solução de (30) é dada por:

θ =1

σ2

p(µ2 + 2σ2v) (35)

γ+(x, v) = eµ

σ2(l−x)(

sinh(θ(v)x)

sinh(θ(v)l))

Para obter a densidade g+(τ , x), devemos inverter a tranformadade Laplace. Para tanto, aplicamos a integral de Bromwich:

g+(τ , x) =1

2πi

c+i∞Zc−i∞

eτzγ+(x; z)dz (36)

, onde z está à direita de qualquer singularidade da função γ+. Aquiz é entendida como uma variável no campo complexo.O cálculo desta integral é feito da seguinte forma. Transformamos

a integral de linha num contorno que consiste num arco de círculo quecompreende o segundo e terceiro quadrantes, direcionado no sentidoanti-horário, do eixo imaginário positivo para o negativo. Quando o


raio vai a infinito, a contribuição do arco vai a zero. Este fato é fácilde ser visto:

Im

Re

c

arco

Contorno de arco utilizado para avaliar a integral de caminho (37).

• Integral sobre o contorno fechado:

Ieτzγ+(x; z)dz =

c+i∞Zc−i∞

eτzγ+(x; z)dz

| {z }A

+

Zarco

eτzγ+(x; z)dz

| {z }B

(37)

Temos que analisar quando o raio vai a infinito:

• Na integral, z = w + iy, eτz = eτ(w+iy). Em γ+, há os termos desinh:


sinh z =ez − e−z

2

Ao substituirmos z = w + iy, haverá termos periódicos iy e ter-mos exponenciais reais emw. O numerador em sinh cancelam-se:

γ+(x; z) ∝ sinh(θ(z)x)sinh(θ(z)l)

=eθ(z)x−e−θ(z)x

2

eθ(z)l−e−θ(z)l2

∼z→∞

ef(w)

ef(w)

Resta a contribuição eτz = eτ(w+iy), que também tem termo per-iódico e exponencial real em w. Como o arco está no quadrantede valores reais negativos e τ > 0, o termo B vai a zero naequação(37).

A conclusão é que a integral (36) pode ser avaliada pela integralde linha do lado esquerdo de (37). Agora aplicamos o Teorema dosResíduos:

Theorem 1 (Teorema dos Resíduos) . Se f(z) é analítica dentrode um caminho fechado C (no sentido positivo), exceto em pontos zkonde f tem singularidades, entãoI

C

f(z)dz = 2πiXk

Res(f(z)) em zk (38)

Da teoria de funções complexas, o resíduo de primeira ordem deuma singularidade zk iguala-se ao coeficiente a−1de uma expansão deLaurent:

f(z) =∞X

n=−∞an(z − zk)

n

A parte de n’s negativos dá o comportamento da série nos pontosdas singularidades. A potência mais negativa dá a ordem da singular-idade.


Achemos os pontos de singularidade para o caso do integrando de(37). Estes pontos ocorrem onde o denominador de γ+(x; z) se anula.

• Escrevendo

sinh(x) = −i sin(ix)• O denominador de γ+(x; z), sinh(θ(z)l) = −i sin(iθ(z)l) anula-seonde (zk denota pólo)

iθ(zk)l = kπ

i1

σ2

p(µ2 + 2σ2zk)l = kπ

∴ zk = −12

Ãµ2

σ2+

µkπσ

l

¶2!(39)

k = 0, 1, 2, ...

Os pontos vk são pontos de singularidade de ordem um. Pela teoriade funções complexas

Res(zk) = limz→zk

(z − zk)f(z)

Aplicando esta equação ao nosso caso,

Res(zk) = limz→zk

(z − zk)eτze

µ

σ2(l−x)(

sinh(θ(z)x)

sinh(θ(z)l))


Os limites podem ser separados em multiplicação de limites:

Res(zk) = limz→zk

eτzeµ

σ2(l−x) lim

z→zksinh(θ(z)x) lim

z→zk

(z − zk)

sinh(θ(z)l)

Aplicando a regra de L’Hospital no último,

Res(zk) = limz→zk

eτzeµ

σ2(l−x) lim

z→zksinh(θ(z)x) lim

z→zk

1

cosh(θ(z)l)∂θ(z)∂z

l

Desenvolvendo

θ(zk) =1

σ2

rµ2 − µ2 − σ4π2k2

l2

=πk

li

∂θ

∂z=

1

θσ2;

∂θ(zk)

∂z=

1πkliσ2

Portanto,

Res(zk) = eτzkeµ

σ2(l−x) sinh(

πk

lix)

1

cosh(πk

lil)| {z }

(−1)k

1πkliσ2

l

= eτzkeµ

σ2(l−x)πk

l2iσ2(−1)k sinh(πk

lix)| {z }

sinh(x)=−i sin(ix)


Como

sin(kπ − kπx

l) = sin(kπ)| {z }

0

cos(kπx

l)− sin(kπx

l)cos(kπ)| {z }

(−1)k

Res(zk) = eτzkeµ

σ2(l−x)πk

l2σ2 sin(kπ

l − x

l) (40)

Voltando à (36), utilizando (38) depois de substituir (40), temos6:

g+(τ , x) = eµ

σ2(l−x)σ

2

l2

∞Xk=1

πk ezk(s−t) sin(kπl − x

l) (41)

4.2. Obtenção g−.

A transformada de Laplace para g− , γ− também satisfaz à equaçãodiferencial (30). Contudo, as condições de contorno são obtidas dascondições (26) e (28), respectivamente, tal como em (33) e (34):

γ−(0) = 1 (42)

γ−(l) = 0 (43)

Resolvendo a equação diferencial com estas condições de contorno,obtemos:

γ−(x, v) = eµ

σ2(−x)(

sinh(θ(v)(l − x))

sinh(θ(v)l)) (44)

Vemos que γ−(x, v) = e−2µ

σ2xγ+(l − x, v). Substituindo em (41),

obtemos7:6A soma parte de 1 porque sin(0) = 07Note que a anti-transformada é na variável z e a exponencial e−2

µ

σ2x em γ−

está em x, o que permite retirá-la da integral.


g−(τ , x) = e−µ

σ2xσ

2

l2

∞Xk=1

πk ezk(s−t) sin(kπx

l) (45)

5. Cálculo das Probabilidades P+ e P−

Segundo descrito em (5),

P±(T ) =

TZt

g±(t, x; s)ds =

∞Zt

g±(t, x; s)ds

| {z }I

−∞ZT

g±(t, x; s)ds

=

∞Zt

e−vτg±(t, x; s)ds |s=tv=0 −∞ZT

g±(t, x; s)ds

=

∞Z0

e−vτg±(τ , x)dτ −∞ZT

g±(t, x; s)ds

= γ±(x, 0)−∞ZT

g±(t, x; s)ds (46)

Repare que na passagem da primeira para a segunda linha, mu-damos as variáveis s e t para τ . No extremo de integração, quandos = t, resulta em utilizar τ = 0. Além disso, procuramos escrever aintegral I em termos de γ, o que fazemos incluindo a exponencial e−vτ ,com v = 0. Portanto,


P+(T ) = γ+(x, 0)−∞ZT

g+(t, x; s)ds

= γ+(x, 0)−∞ZT

eµ

σ2(l−x)σ

2

l2

∞Xk=1

πk ezk(s−t) sin(kπl − x

l)ds

= γ+(x, 0)− eµ

σ2(l−x)σ

2

l2

∞Xk=1

πk sin(kπl − x

l)

∞ZT

ezk(s−t)ds

Resolvendo a integral:

∞ZT

ezk(s−t)ds =e−λk(T−t)

λk;

λk = −zk = 1

2

Ãµ2

σ2+

µkπσ

l

¶2!(zk dado por (39)) e substituindo v = 0 em (35), temos:

P+(T ) = eµ

σ2(l−x)

"(sinh( µ

σ2x)

sinh( µσ2l))− σ2

l2

∞Xk=1

e−λk(T−t)

λkπk sin(kπ

l − x

l)

#(47)

Analogamente,

P−(T ) = γ−(x, 0)−∞ZT

g−(t, x; s)ds

P−(T ) = e−xµ

σ2

"(sinh( µ

σ2(l − x))

sinh( µσ2l)

)− σ2

l2

∞Xk=1

e−λk(T−t)

λkπk sin(kπ

x

l)

#(48)


6. Apreçamento do Termo de Payoff

Com os resultados da seção anterior temos condições de apreçar oprimeiro e segundo temos da equação (3), correspondentes aos rebates.Resta determinar o termo A.Ao invés de aplicar o método da Transformada de Laplace, tal como

o fizemos para g+ e g− , agora aplicaremos uma outra abordagem afimde obter p(t, x; s, y).

6.1. A Equação para p(t, x; s, y): Expansão em Série de Fourier

A equação forward de Kolmogorov para p(t, x; s, y) é dada por (7).Resolvê-la-emos através de séries de Fourier. Para tanto, escrevamosa solução utilizando separação de variáveis:

p(t, x; s, y) = S(s)Y (y) (49)

Substituindo em (7), e dividindo por (49), temos:

∂S

∂s(s)

1

S(s)= −µ 1

Y

∂Y

∂y(y) +

1

2

σ2

Y

∂2Y

∂y2(y) = −λ

Esta equação permite escrever

dS

S= −λds⇒ S(s) = Ce−λ(s−t)(50)

C = cte (51)

λY − µ∂Y

∂y(y) +

1

2σ2

∂2Y

∂y2(y) = 0 (52)

Resolvemos a equação de segunda ordem em Y determinando aequação característica: ξ2σ2/2 − µξ + λ = 0, cujas soluções são ξ =µσ2±√−(µ2−2λσ2)

σ2i = α± βi. A solução de (52) é escrita como

Y (y) = [A sin(βy) +B cos(βy)]eαy (53)


, A e B constantes. Sob a condição de contorno (8) p(., .; s, 0) = 0⇒Y (0) = 0 ∴ B = 0. Teremos, portanto, uma série de senos.

Y (y) = A sin(βy)eαy

Para determinar A, aplicamos p(., .; s; l) = 0 ⇒ Y (l) = 0 ∴sin(βl) = 0⇒ β = kπ/l; k = 0, 1, ...; assim

β =

p−(µ2 − 2λσ2)σ2

=kπ

l

∴ λk =1

2

µµ2

σ2+

k2π2

l2σ2¶

(54)

Voltando à p(t, x; s, y), somando em k:

p(t, x; s, y) =∞Xk=1

Cke−λk(s−t) sin

µkπ

ly

¶e

µ

σ2y (55)

Com a relação de ortogonalidade

2

l

Zf(y) sin(ky) sin(k0y)dy = δkk0

e a condição de contorno (9) p(t, x; t, y) = δ(x− y) em (55), podemosobter os coeficientes Ck.

Zp(t, x; t, y)| {z }

δ(x−y)

sin

µk0πly

¶dy = e−λk(t−t)| {z }

1

∞Xk=1

ZCksin

µk0πly

¶sin

µkπ

ly

¶| {z }

δkk0

eµ

σ2ydy

Ck = e−µ

σ2x sin

µkπ

lx

¶p(t, x; s, y) = e

µ

σ2(y−x)

∞Xk=1

e−λk(s−t) sinµkπ

ly

¶sin

µkπ

lx

¶(56)

com λk =12

³µ2

σ2+ k2π2

l2σ2´.


6.2. Cálculo do Termo de Payoff de Call Knock-Out

Para calcular a integral

e−rd(T−t)UZ

L

max(ST −K, 0)p(t, St;T, ST )dST (57)

usaremos (56). A equação (57), em termos de log-variáveis é:

e−rd(T−t)lZ

0

max(Ley −K, 0)p(t, x;T, y)dy (58)

O procedimento usual é dividir esta integral em dois intervalos paraeliminar o operador max : uma integral, que vale zero, para valores dey tais que Ley < K; e outra, que não se anula, para o intervalo ondeLey > K. Como Ley > K ⇔ y > ln(K/L) = d, podemos escrever:

e−rd(T−t)

L

lZd

eyp(t, x;T, y)dy −K

lZd

p(t, x;T, y)dy

(59)

Para avaliar estas integrais, precisaremos da primitiva:Zeay sin(by)dy = eay

a sin(by)− b cos(by)

a2 + b2(60)

Criamos agora o operador Q(α, y) =Reαyp(t, x;T, y)dy, obtendo,

para a equação (56):

Q(α, y) =2

le

µ

σ2(y−x)eαy

∞Xk=1

e−λk(T−t) sin³kπ

x

l

´×Ã¡

µσ2+ α

¢sin¡kπ y

l

¢− kπlcos¡kπ y

l

¢¡µσ2+ α

¢2+¡k2π2

l2

¢ !

(61)


Desta forma, para calcular (59), passa a ser só uma questão dedefinir Q através dos extremos apropriados das integrais. Temos, parao termo A da equação (3):

CallKnock−out = e−rd(T−t) {L [Q(1, l)−Q(1, d)]−K [Q(0, l)−Q(0, d)]}

(62)

7. Comportamento das probabilidades P+, P− e P surv.

Para a discussão que se segue, acerca do comportamento das prob-abilidades P+, P− e P surv, montamos um exemplo com os seguintesdados:

• T : tempo ao vencimento da opção, medido em anos (diasúteis/252);

• S : cotação do dólar à vista (spot), em Reais/Dólar;

• r : taxa de juros brasileira (em base contínua), em reais8;

8A taxa brasileira, txBR é obtida do mercado de DI (depósito interbancário)da bolsa de mercadorias e futuros (BM&F). Ela está em taxa "exponencial 252",com contagem em dias úteis (ano de 252 dias). Para converter para a "contínua",com base 252 de contagem, utilizamos a seguinte fórmula:

(1 + txBR)T(dıas uteis)

252 = eT(dıas uteis)

252 r


• rf : taxa de juros americana (em base contínua), em dólar9;

• σ :volatilidade do processo relacionado ao dólar, anualizada;

• U : barreira de alta;

• L : barreira de baixa;

Os dados que ficarão fixos são r = 10, 436% e rf = 5, 8269% eσ = 10%a.a. Utilizamos T = 1, variando-o somente no último gráfico.Em cada gráfico, apontamos os valores das cotações que permaneceramfixos.No gráfico 1, variamos a barreira U , mantendo fixos a bareira

L = 1, 5 e o ativo-base S = 1, 75. A estes níveis de cotação, quandoU é alto (∼ 3), a probabilidade de tocar L (P−) é maior, pois suacotação está mais próxima de S. Como o drift é positivo, a tendênciaé de o ativo S crescer, desprezando a volatilidade. Isto faz com que,ao aproximarmos U de S, a probabilidade P+ cresça rapidamente (eP− decresça rapidamente). Quanto à P surv, enquanto há baixa prob-abilide de toque, ela se mantém a níveis altos (∼ 100%), decaindo àmedida que a chance de haver toque da barreira U aumenta.

9A taxa estrangeira, txf é obtida do mercado de cupom de dólar, DDI (siglapara swap dólar-DI), da bolsa de mercadorias e futuros (BM&F). Ela está em taxa"linear 360", com contagem em dias corridos. Para converter para a "contínua",com contagem em dias úteis (ano de 252 dias), utilizamos a seguinte fórmula:

(1 + txfT (dias corridos)

360) = e

T(dıas uteis)252 rf


Probabilidades

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

32,9

22,8

42,7

62,6

8 2,6 2,52

2,44

2,36

2,28 2,2 2,1

22,0

41,9

61,8

8 1,8

Barre ira U variando (barre ira L fixa)

P+ e

Pso

brev

ivên

cia

0,0000%

1,0000%

2,0000%

3,0000%

4,0000%

5,0000%

6,0000%

7,0000%

P-

P+prob survP-

1,75S=1,5L=

Gráfico1. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando S e L e variandoU .

No gráfico 2, variamos a barreira L, mantendo fixos a bareira U =2, 5 e o ativo-base S = 1, 75. A estes níveis de cotação, aprobabilidadede S tocar L é maior, pois sua distância ao nível do ativo é menor(veja que S − U = 0, 75 e S − L = 0, 25). À medida que L aumenta,também aumenta P−, mas tal aumento se dá a taxas menores queno caso anterior, pois a tendência (drift) é positiva. Quanto à P surv,enquanto há baixa probabilide de toque, ela se mantém a níveis altos(∼ 90%), decaindo (mais lentamente, também, que no caso anterior)à medida que a chance de haver toque da barreira L aumenta.


Probabilidade s

0,00%

0,02%

0,04%

0,06%

0,08%

0,10%

0,12%

0,14%

0,16%

1,51,5

21,5

41,56

1,58

1,61,62

1,64

1,66

1,681,7 1,7

21,7

4

Barre ira L v ariando (barre ira U fixa)

P+

0,00%

10,00%

20,00%30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%80,00%

90,00%

100,00%

P- e

Pso

brev

ivên

cia

P+P-prob surv

1,75S= 2,5U=

Gráfico 2. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando S e U e variandoL.

No gráfico 3, variamos o valor do ativo-base S, mantendo fixos abareira U = 2, 5 e L = 1, 5. Ao redor de S = 1, 5, a probabilidade de Stocar L é maior, e a probabilidade de sobrevivência é nula. À medidaque S transita pela região entre L e U , P surv aumenta, mas volta adecrescer quando S se aproxima de U . P− vai a zero no momentoem que P+ passa a ganhar valor. Novamente, devido ao fato de atendência (drift) ser positiva, o aumento de P+ de forma assimétricacom relação a P− : esta cai mais rapidamente, indo praticamente azero quando S−L = 1, 9−1, 5 = 0, 4 e U−S = 2.5−1, 9 = 0, 6. Comdrift zero, temos igualdade no comportamento: o ponto de zeragemde P− (e começo de crescimento de P+) tende a ser em S = 2, 0, ouseja, quando há eqüidistância: S − L = S − U = 0, 5. Este fato éretratado no gráfico 4.


Probabilidades

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

1,51 1,57

1,63

1,69

1,75

1,81 1,87 1,93 1,99

2,05

2,11

2,17

2,23 2,29 2,35 2,41

2,47

Ativo-Base S variando (barre iras fixas)

P+, P

- e P

sobr

eviv

ênci

a

P+P-prob surv

L=2,5U=

1,5

Gráfico 3. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L e U e variandoS. O drift é positivo.


Probabilidades

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

1,51

1,57

1,63

1,69

1,75

1,81

1,87

1,93

1,99

2,05

2,11

2,17

2,23

2,29

2,35

2,41

2,47

Ativo-Base S variando (barreiras fixas)

P+, P

- e P

sobr

eviv

ênci

a

P+P-prob surv

L=2,5U=

1,5

Gráfico 4. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L e U e variandoS. O drift é nulo.

No gráfico 5, variamos T (em anos), mantendo fixos o valor doativo-base S = 1, 75 e os valores das bareiras U = 2, 5 e L = 1, 5.Verifica-se que se estivermos próximos ao vencimento (T ∼ 0) comestes valores de S, L e U , então há alta probabilidade de sobrevivên-cia, pois a chance de S mover-se a ponto de alcançar uma das barreirasem poucos dias é mínima, sob a volatilidade (σ) considerada. Ade-mais, a proximidade de S com relação à barreira L faz-se sentir porcerto tempo, até que a barreira U ganha importância, devido ao driftpositivo. O gráfico 6 mostra que, se não houvesse drift, não haveriacruzamento entre as probabilidades e o fato de S partir mais próximode L far-se-ia sentir mais fortemente através de uma probabilidade detoque em L sempre superior a U .


Probabilidades

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0,004

0,333

0,667

1,000

1,333

1,667

2,000

2,333

2,667

3,000

3,333

3,667

4,000

4,333

4,667

5,000

5,333

Tempo ao vencimento variando (barreiras e ativo-base fixos)

P+, P

- e P

sobr

eviv

ênci

a

P+P-prob surv

L=2,5U=1,5

1,75S=

Gráfico 5. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L, U e S,variando T . O drift não é nulo.


Probabilidades

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0,004

0,333

0,667

1,000

1,333

1,667

2,000

2,333

2,667

3,000

3,333

3,667

4,000

4,333

4,667

5,000

5,333

T empo ao vencimento variando (barre iras e ativo-base fixos)

P+, P

- e P

sobr

eviv

ênci

a

P+P-prob surv

L=2,5U=1,5

1,75S=

Gráfico 6. Probabilidades P+, P− e P surv, fixando L, U e S,variando T . O drift é nulo.

8. Conclusão

Concluindo, completamos o cálculo do preço da opção Call knock-out, dada por (62), com rebates deferred, que envolvem (47) e (48),segundo (3). Tal cálculo envolveu as equações de Kolmogorov paraas densidades de probabilidade de toque e de sobrevivência, que re-solvemos ora aplicando transformada de Laplace (casos g+ e g−), orasérie de Fourier (p). Adicionalmente, analisamos o comportamentodas probabilidades de sobrevivência e do ativo-base tocar barreiras.


9. Apêndice

9.1. Equação Backward de Fokker-Planck

Neste apêndice mostramos como a equação backward de Fokker-Planck pode ser deduzida a partir da equação de Kolmogorov-Chapman10.Para a dedução, adotaremos uma notação para p(t0, x0; t, x) diferenteda que foi usada neste artigo. Aqui, p(t0, x0; t, x) indica a probabilidadede a variável estar em (t, x) e evoluir para (t0, x0).A equação de Kolmogorov-Chapman advém da seguinte equação,

válida para qualquer processo estocástico:

p(x1, t1) =

Zdx2p(x1, t1;x2, t2) =

Zdx2p(x1, t1|x2, t2)p(x2, t2)(63)

, t1 > t2 > t3...Também podemos continuar escrevendo

p(x1, t1|x3, t3) =

Zdx2p(x1, t1;x2, t2|x3, t3) (64)

=

Zdx2p(x1, t1|x2, t2;x3, t3)p(x2, t2|x3, t3) (65)

Sob a hipótese markoviana, a última equação pode ser reescrita:

p(x1, t1|x3, t3) =Z

dx2p(x1, t1|x2, t2)p(x2, t2|x3, t3) (66)

Esta é a equação de Kolmogorov-Chapman.Dado um processo para uma variável x:

dx = b(t, x)dt+ a(t, x)dW (67)

10Veja Gardiner (2003) para a dedução da equação de Kolmogorov-Chapman.


, onde dW corresponde a um processo com distribuição N(0, 1), tra-balharemos sob a hipótese de as seguintes relações serem válidas:

limt0→t

1

t0 − t

Z|x0−x|<v

(x− x0)(x− x0)2

(x− x0)3

p(t0, x0; t, x)dx =

b(t, x)a(t, x)0

(68)Voltando à equação de Kolmogorov-Chapman,

p(x00, t00;x, t) =Z

dx0p(x00, t00;x0, t0)p(x0, t0|x, t) (69)

Considere uma função Ψ(x). Temos, por (69):Zp(t00, x00; t, x)Ψ(x)dx−

Zp(t00, x00; t0, x0)p(t0, x0; t, x)Ψ(x)dxdx0 = 0(70)

Expandindo em torno de x0:

Ψ(x) = Ψ(x0) +Ψx0(x0) · (x− x0) +

1

2Ψx0x0(x

0) · (x− x0)2+ ...(71)

Em (70):

Zp(t00, x00; t, x)Ψ(x)dx−

Zp(t00, x00; t0, x0)Ψ(x0)dx0 (72)

−Z µZ

(x− x0) · p(t0, x0; t, x)dx¶·Ψx0(x

0) · p(t00, x00; t0, x0)dx0

−12

Z µZ(x− x0)2 · p(t0, x0; t, x)dx

¶·Ψx0x0(x

0) · p(t00, x00; t0, x0)dx0

= 0

As variáveis x e x0 no primeiro e segundos termos, respectivamente,são dummy e podem ser trocadas para permitir agrupamento dos mes-mos. Na segunda e terceira linhas utilizamos a equação (68)


Zp(t00, x00; t, y)Ψ(y)dy − p(t00, x00; t0, y)Ψ(y)dy (73)

−Z ·

b(t, x)Ψx0(x0) +

1

2a(t, x)Ψx0x0(x

0)¸· p(t00, x00; t0, x0)dx0

= 0

Na primeira linha, identificamos a variação de p quando há evoluçãode t para t0, que corresponde à derivada temporal de p, ou seja,∂p(t00, x00; t, y)/∂t. Na segunda linha, como a e b dependem de x et, que não são variáveis de integração, podem sair da integral. Nova-mente, como as variáveis são dummy, podemos trocá-las:

ZΨ(x)

∂

∂tp(t0, x0; t, x)dx (74)

−b(t, x)Z

Ψx(x) · p(t0, x0; t, x)dx

−12a(t, x)

ZΨxx(x) · p(t0, x0; t, x)dx (75)

= 0

Aplicando integração por partes no segundo e terceiro termos,

ZΨ(x)

∂

∂tp(t0, x0; t, x)dx (76)

+b(t, x)

ZΨ(x) · ∂

∂xp(t0, x0; t, x)dx

+1

2a(t, x)

ZΨ(x) · ∂2

∂x2p(t0, x0; t, x)dx

= 0

Assim,


∂

∂tp(t0, x0; t, x) + b(t, x)

∂

∂xp(t0, x0; t, x) +

1

2a(t, x)

∂2

∂x2p(t0, x0; t, x) = 0

(77)

Equação backward de Fokker-Planck referente ao processo (67).

References

[1] Black, F., e M. Scholes (1973). ”The Pricing of Options and Cor-porate Liabilities”. Journal of Political Economy, 3, 637-654.

[2] Cox, D., e H. Miller (1965). Theory of Stochastic Processes, Chap-man and Hall, London.

[3] Hull, J. (2005). Options, Futures and Other Derivatives, PrenticeHall, New Jersey. 5th edition.

[4] Gardiner, C. (2003). Handbook of Stochastic Methods, Springer,New York, USA. 3rd edition.

[5] Oliveira, M. J., e T. Tomé (2001). Dinâmica Estocástica e Irre-versibilidade, Edusp, São Paulo. 1a edição.

[6] Pelsser, A. (1997). ”Pricing Double Barrier Options: An AnalyticalApproach”. Working Paper. ABN-Amro Bank.

Documents

Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planckfge.if.usp.br/~ttome/cursos/seminarios/andre_catalao.pdf · Uma Aplicação da Equação de Fokker-Planck Apreçamento de Opções com