Uma Dcada em Busca daSimetria da Natureza

S. F. NovaesIFT/UNESP

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O que simetria Houaiss:

[Do grego summetra, 'justa proporo] Conformidade, em medida, forma e posio relativa, entre as partes

dispostas em cada lado de uma linha divisria, um plano mdio, um centro ou eixo

Aurlio:[Do grego symmetra, justa proporo]Correspondncia, em grandeza, forma e posio relativa, de partes

situadas em lados opostos de uma linha ou plano mdio, ou, ainda, que se acham distribudas em volta de um centro ou eixo

Fsicos:Um sistema fsico possui uma simetria se pudermos fazer uma mudana

no sistema de tal forma que, aps a mudana, o sistema permanea inalterado.

Mudana no sistema = operao ou transformao de simetriaSistema Inalterado = invariante sob esta transformao

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Simetria na Natureza

Favo de AbelhasBorboleta

Corpo Humano

Flocos de NeveNanotubo Buckyball Cabono

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Simetria e Civilizao

Escher

QuiltOvos Ucranianos

Arte Islmica Pintura

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Partenon

Michelangelo

Bach

Chartres

Taj Mahal

http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/goldslide/gold22.jpg

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Simetria em Biologia

Jodie Foster

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A simetria s vezes aparente

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Leonardo da Vinci j havia notado isto...

Detalhe de como desenhar uma face humana

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A diferena ntida

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Simetrias Geomtricas Translao

Reflexo

Rotao

Reflexo + Translao

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Um pouco de histria 1596: Johannes Kepler

Em Mysterium Cosmographicum sugere que as rbitas dos planetasfossem definidas pelos slidos platnicos.

1600-1800: Vrios Trabalhos sobre a simetria dos cristais.

1687: Isaac Newton Em Principia a primeira lei estabelece a consevao do momento

devido a invarincia translacional (homogeneidade do espao).

1860: Louis Pasteur Descobre a conexo entre a actividade ptica e a estrutura das

molculas.

1878: Arthur Cayley Conceito abstrato de grupo.

1893: Sophus Lie e Friedrich Engel Publicam Theorie der Transformationsgruppen.

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1886-1904: FitzGerald, Lorentz, Larmor e Poincar Introduzem as transformao de Lorentz que deixam as equaes de

Maxwell invariante. O grupo de Lorentz com as translaes espao-tempo chamado de grupo de Poincar.

1905: Einstein Fornece as hipteses fsicas que esto por trs das transformaes de

Lorentz, criando a teoria da Relatividade Especial.

1918: Emmy Noether Demonstra que simetrias esto relacionadas a leis de conservao.

1918: Hermann Weyl Introduz a teoria de unificao clssica entre a gravitao e o

eletromagnetismo que inclui a invarincia de gauge (calibre) que leva conservao da carga eltrica.

1927-28 Fritz London e Weyl Introduzem as transformaes de gauge na teoria quntica.

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1929: Hans Bethe Deriva o separao dos nveis atmicos que advm da simetria dos

campo nos cristais.

1930: Eugene Wigner Estuda os efeitos da simetria das configuraes moleculares no

espectro de vibrao.

1931: Eugene Wigner Introduz a simetria de reverso temporal (T) na teoria quntica.

1931: Linus Pauling Estuda a teoria das ligaes qumicas utilizando a simetria dos orbitais.

1935: V. Fock Deriva o espectro do tomo de Hidrognio a partir da simetria SO(4).

1936: Werner Heisenberg Introduz a conjugao de carga (C) como operao de simetria

conectando partculas e anti-partculas.

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1939: Eugene Wigner Estuda as representaes unitrias do grupo de Poincar e establece a

classificao de todas as equaes de onda relativsticas e as propriedades de transformao dos campos qunticos.

1954: C. N. Yang e Mills: Introduzem as transformaes locais de isospin como simetrias

internas, ou seja, transformaes dos operadores de campo quedependes do ponto do espao-tempo.

1956-7: C. N. Yang e T. D. Lee Prope que as interaes fracas quebram a paridade

1959-61: Heisenberg, Goldstone e Nambu Sugerem que o estado de mais baixa energia (vcuo) de teorias de

campos relativsticas possa quebrar a simetria da Hamiltoniana. A existncia do bosons de Goldstone seria uma conseqencia. No entanto, em 1964, Higgs mostrou que atravs da quebra espontneade simetria esses bosons desaparecem e as partculas vetoriais tornam-se massivas.

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1961-62: Murray Gell-Mann e Yuval Neeman Prope o grupo SU(3) como a simetria das partculas (Eightfold Way).

Em 1964 Gell-Mann and Zweig prope um novo conjunto de partculas, os quarks, que so organizados segundo o SU(3).

1964: J. W. Cronin e W. L. Fitch Demonstram experimentalmente que as interaes fracas podem

quebrar a simetria de CP (Conjugao de carga e Paridade).

1967-68: S. L. Glashow, S. Weinberg e A. Salam Mostram que as interaes electofracas podem ser descritas por um

teoria baseada no grupo SU(2) X U(1).

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Simetrias em Fsica

A B

A B

Invarincia sob algum tipo de transformao (T)

Um objeto simtrico se pudermos fazer uma certa

transfomao e ele permanecer exatamente o mesmo depois da

operao (Weyl)

T

T

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Estrutura de Grupo

A B C D

Fechamento

Identidade

Inversa

Associativa

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Alguns Grupos Comuns

ElementosElementos OperaOperaoo IdentidadeIdentidade InversaInversa

Inteiros Z Adio 0 -x

Reais R*, exceto 0 Multiplicao 1 1/x

Matrizes det=1 SL(n) Multipl. Matriz Matriz 1 X-1

Matrizes Unitrias U(n) Multipl. Matriz Matriz 1 X

Matrizes Ortogonais O(n) Multipl. Matriz Matriz 1 XT

NB: Inteiros dotados de Multiplicao no um grupo: 1/x no inteiro

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Rotaes: grupo O(2)cos sin

( )sin cos

R

=

1TR R=

Fechamento: se X, Y G ento X.Y G.

Associativa: se X, Y, Z G ento X.(Y.Z) = (X.Y).Z

Identidade: existe um elemento I G / I.X = X.I = X

Inversa: para todo X G existe U G / X.U = U.X = I.

( ). ( ) ( )R R R =

[ ] [ ]( ). ( ). ( ) ( ). ( ) . ( )R R R R R R =

( ). (0) (0). ( ) ( )R R R R R = =

( ). ( ) ( ). ( ) (0)R R R R R = =

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Emmy (Amalia) Noether

Alem, estudou em Gttingen (Hilbert, Klein, Minkowski)vindo a se tornar a mais importante matemtica de todos os tempos. Judia, foge em 1934 do nazismo para os EUA vindo falecer no ano seguinte aos 57 anos.

Teorema de Noether: A toda simetria contnua deve corresponder uma lei de convervao. A toda lei de conservao deve corresponder uma simetria contnua

SimetriaSimetriaSimetria Lei de ConservaoLei de ConservaLei de Conservaoo

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Simetria contnua: Transformao cujo parmetro pode variar continuamente,

e.g. o ngulo de uma rotao.

Lei de conservao: Existe uma grandeza fsica mensurvel que no se altera em qualquer

processo fsico.

SimetriaSimetria ContContnuanua Lei de Lei de ConservaConservaoo

TranslaTranslaoo Temporal Temporal ConservaConservaoo da Energiada EnergiaTranslaTranslaoo EspacialEspacial ConservaConservaoo do do MomentoMomento

RotaRotaoo ConservaConservaoo do do MomentoMomento AngularAngular

O teorema vlido tambm para simetrias que no envolvam transformaes do espao-tempo:carga eltrica, nmero barinico, nmero leptnico, etc.

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Energia

VidaVida

QuQumicamicaElEltricatrica

PotencialPotencial

CinCinticatica

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Tempo e Energia

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g

h

mgh < mGh A invarincia com A invarincia com

respeito respeito translatranslao o temporal dtemporal d origem origem lei de Conservalei de Conservao da o da

EnergiaEnergia

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Espao e Momento

A invarincia das leis da A invarincia das leis da FFsicasica com respeito com respeito translatranslao o espacialespacial dd

origem origem lei de lei de ConservaConservao do o do

MomentoMomento

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Rotao e Momento Angular

A invarincia das leis da A invarincia das leis da FFsicasica com respeito com respeito rotarotaoo espacialespacial dd

origem origem lei de lei de ConservaConservao do o do

MomentoMomento AngularAngular

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Alm do Espao-Tempo O Teorema de Noether vlido tambm para transformaes internas,

i.e. que no dependem do espao-tempo. Conservao da carga eltrica: relacionada a uma transformao de

fase da funo de onda Na Mecnica Quntica, se a amplitude de algum processo,

||2 representa a probabilidade que este processo ocorra Quando algum faz uma transformao de fase em ,

Isto no altera o mdulo ao quadrado que a probabilidade do evento ocorrer:

A invarincia por transformao de fase leva conservao da carga eltrica.

' ie =

2 2 ' ' ' ( . )i ie e + = = =

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Reflexo: Uma simetria discretaO Taj Mahal simtrico pela

transformao de reflexo, ou seja possui uma invarincia sob reflexo

Como se comportariam as leis da Fsica em um mundo refletido no espelho?

Esquerda-Direita uma simetria da Natureza?

Ou, como diria Alice:Peharps Looking-glass milk

isnt good to drink.Through the Looking GlassLewis Carroll

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Quiralidade: Nem Tudo Simtrico

As mos direita e esquerda (humanas)so imagens especulares

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Mais Exemplos

Pasteur descobriu a quiralidade dos cristais de cido tartrico

Glucose existe nas formas D (dextro, direito) L (levo, esquerda).

Apenas a D-glucose encontrada em seres vivos.

Todos aminocidos naturais (exceto a glicina) so quirais (imagens especulares)

A vida na terra constituda apenas de aminocidos esquerdos (E). A razo distoainda permanece um mistrio!

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De Volta Fsica... Tres outras simetria so importantes:

Paridade (P): reverso de todas as coordenadas espaciais Inverso do espao NB: Reflexo a inverso apenas da direo perpendicular ao espelho

Reverso Temporal (T): fazer o tempo andar para trs Inverso do tempo

Conjugao de Carga (C): trocar matria por anti-matria Inverso da Carga

At 1957 acreditava-se que as leis da Fsica fossem invariantes por P e que nenhum experimento pudesse distinguir ou privilegiar direita ou esquerda.

Surpresa: o decaimento radiativo beta quebra P! Nosso mundo pode ser distinguido do mundo do outro lado do espelho.

Alice talvez no estivesse completamente maluca!

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Decaimento Beta

C. S. Wu colocou Co60 em um forte campo magntico e observou no decaimento beta deste ncleo que:

Eletrons so emitidos na direo opostaoposta ao campo magntico

Portanto a situao 1 aquela que ocorre na natureza. A configurao especular 2 nono observada na natureza.

NB:NB: A direo de emisso do eltron revertida no espelho enquanto o campo magntico permanece inalterado (pseudo-vetor).

en p e + + 1

2

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Comunicao Extra-terrestre

Suponha que tivssemos uma comunicao apenas por telefone (i.e. no visual) com nosso Marciano de mo simtrica.

Como poderamos explicar a ele que ns humanos estendemos a mo direitamo direitapara nos cumprimentarmos?

O Marciano diria: Mo direitadireita?!?!

E= =D

e

Seria impossvel explicar isto ao Marciano antes de 1957! Todas as leis da Fsica conhecidas at ento (gravitao, eletricidade, magnetismo, nuclear) so simtricas por reflexo (invariantes por P).

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Encontro Extra-terrestre

Suponha que venhamos a nos encontrar com nosso amigo Marciano e que ele nos estenda a mo esquerda para nos cumprimentar.

CUIDADO!CUIDADO! No estenda a mo! Certamente ele feito de antianti--matmatriaria!

A interao fraca conserva a simetria combinada CP (com poucas excees)

Portanto, o Marciano s poderia ter se enganado caso as partculas emitidas fossem psitrons, em um mundo composto de antianti--matmatriaria.

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Um pouco mais de C, P e T 1956: C.N Yang and T.D. Lee mostraram que no havia evidncia

de que Paridade fosse conservada nas interaes fracas.

1957: Experimentos mostraram que a ParidadeParidade e a ConjugaConjugao de o de CargaCarga era na realidade violada pelas interaes fracas.

Mas a operao combinada CPCP permanecia uma simetria dessas interaes, apesar de no serem conservadas separadamente.

Teorema CPT: um dos princpios bsico da Teoria Quntica de Campos diz que a combinao CPT uma simetria exata da Natureza:

Uma antiUma anti--partpartcula cula inditinguinditinguvel da imagem refletida vel da imagem refletida de uma partde uma partcula viajando para o passado. cula viajando para o passado.

Portanto, a invarincia temporal T deveria ser tambm conservada

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Violao de

1964: J. W. Cronin e V. L. Fitch no Brookhaven National Laboratory observaram que o decaimento do kaons neutros (K0) violavam a simetria de CP.

Portanto, com a revero da direo do tempo no seria possvel reverter algumas reaes envolvendo certas partculas.

0 0 0 0 0

0

0

0

0

00

(21%); (13%); (0.2%); (0.1%)

(69%); (31%); (0.00003%)

L

S

K

K

+

+

+

+

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Matria X Antimatria Universo inicialmente continha uma igual quantidade de matria e

anti-matria. Porque hoje em dia temos muito mais matria do que anti-matria? Algum mecanismo durante sua evoluo deve ter favorecido a

assimetria matria anti-matria.

1967: Andrei Sakharov colocou 3 condies que permitiriam que isto ocorresse:

Proton deveria ser instvel, isto deveria decair Deveria haver interaes violando C e CP Universo deveria sofrer uma expanso muito rpida

10.000.000.001 10.000.000.000

NNss

quar

ksqu

arks

antianti -- quarks

quarks

fftonstons

Agosto/2005 Simetrias S. F. Novaes 38

Interldio: Um alerta contra o pr-conceito 400 A.C.: Plato

Segundo Plato a forma do mundo devia ser a de uma perfeita esfera, e todo movimento devia realizar-se em crculos perfeitos e com velocidade uniforme (Timaeu 33B-34B)

310 A.C.: Aristarco de SamosEle supunha serem imveis as estrelas fixas e o Sol, e a Terra girar

em crculo em torno do Sol ... (Arquimedes. O Contador de Areia)

Essa hiptese foi repelida em favor do dogma circular de Plato, at Kepler mostrar que as rbitas eram elpticas e no circulares.

A iluso e pr-conceito do crculo atrasou a evoluo da Astronomia por dois milnios!

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Fsica de Partculas: Anos 50

0

0

n

-

p

e+

+-

++

+ -

0

K0

K-

KL

KS

K+

p

e-

n

e

e

1669: Brand - Fsforo (P)

+ 200 anos: Medeleev (63 elementos)

Escndio, Glio, Germmio, etc: preditos

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Modelo a Quarks 1962: Murray Gell-Mann e George Zweig

Introduziram o modelo a quarks: Brions (proton, neutron, etc) e msons (pion, kaon, etc)

seriam compostos de partculas mais fundamentais, os quarksquarks. Haveria 3 sabores de quarks: uup, ddown e sstrange. Os quarks teriam spin e carga 2/3, 1/3 e 1/3.

Barions seriam compostos de 3 quarks:

proton = uu + + uu + + ddneutron = uu + + dd + + dd

Mesons seriam compostos de um par quark-antiquark

pion = + + dd

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SU(3) e o ctuplo Caminho Quarks e Antiquarks pertencem a representao

3 e 3 do grupo SU(3)

d u

sQ=2/3

Q= 1/3

S=0

S= 1

s

u d

Tripleto Anti-Tripleto

Agosto/2005 Simetrias S. F. Novaes 42

Octeto Mesnico

3 3 = 8 1

d

K0 K+

=

u

s

s

u d

0 - +

K- K0

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Decupleto Barinico

3 3 3 = 10 8 8 1

=

- = (sss)

*

* ...

d u

s

d u

s

d u

s

19621962GellGell--MannMann

19641964AGS, BNLAGS, BNL

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1974: Quark CCharm = SU(4)

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Da Tabela Peridica s Partculas

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Princpio de Gauge Teorema de Noether:

Se uma ao invariante sob um grupo de transformaes (simetria), entoexiste uma ou mais quantidades conservadas (constantes de movimento) associadas a estas transformaes:

Simetria Leis de Conservao

Translao Temporal EnergiaTranslao Espacial Momento

Rotao Momento Angular

Impondo que um dado sistema de partculas seja invariante sob umadada transformao (simetria), seria possivel determinar a forma da interao entre estas partculas?

Simetria Dinmica ?

Isto verdade no caso da Eletrodinmica Quntica (QED): A existncia e algumas propriedades do fton so conseqencia do

princpio de invarincia sob transformaes locais do grupo U(1)

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Podemos generalizar este princpio? 19641964: Salam and Ward inventaram o princpio de gauge como a base

para se construir Teoria Quntica de Campos para partculasinteragentes:

Nosso postulado bsico que deva ser possivel gerar os termos de interao forte, fraca e eletromagntica (com todas as suas propriedades de simetria corretas e com algumas indicaes de suas intensidades relativas) fazendo transformaes de gauge locais nos termos de energia cintica em uma Lagrangeana livre para todas as partculas

Esta idia pode ser colocada em prtica para as interaes fracas e fortes depois que novos ingredientes foram inventados/descobertos:

Interaes Fracas: o fato de ser uma interao de curto alcance requerque os campos de gauge sejam massivos. Isto exige a introduo de um novo conceito: a quebra espontnea de simetria e o mecanismo de Higgs.

Interaes Forte: o fato das interaes possuirem grande constante de acoplamento requer outro novo ingrediente. Com a descoberta da liberdadeassinttica foi possvel descreve-la perturbativamente a pequenas distncias.

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Simetria Quebrada Simetrias exatas levam a leis de conservao

exatas.

H situaes nas quais o sistema invariantepor uma transformao mas o estado de energia mais baixa (vcuo) no .

Exemplo clssico: Ferromagnetismo.

Altas temperaturas (T > Tc , fase paramagntica): Sistema completamente desordenado.Vcuo invariante por rotaes em 3 D [SO(3)]

Baixas temperaturas (T < Tc, fase ferromagntica): Magnetizao espontnea spins se alinhamVcuo no invariante apenas por SO(2)

A simetria A simetria quebrada!quebrada!

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Um Exemplo Mecnico2/3 =

1 =

2 =

2 sinm R

mg

2 sin cosm R

sinmg

( )

2

1sin cos 0

R

g

=

=

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Qual a simetria da Natureza? A Natureza a grande avalista de nossas teorias

G = O(3) Schwinger (1957) Tripleto de Campos: (V+, V-, V0)

V : bosons fracos; V0: fton

G = SU(2) Bludman (1958) V , V0 : bosons fracos (V A)

Predice a existncia de Correntes Neutras

G = SU(2) G = SU(2) U(1)U(1)Bosons de Gauge: W1, W2, W3, and B

Glashow (19611961) W = (W1, W2) : bosons fracos carregados Salam, Ward (19641964) Z0 and Fton = (W3, B )

Prediz Neutral CurrentMassa de W e Z0 colocada mo

Weinberg (19671967) Mesma estrutura de gauge Salam (19681968) QES + Mecanismo de Higgs

Massa preserva a invarincia de gauge invariance

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As Cores: SU(3) Dinmico 1964-66 Greenberg, Han, e Nambu:

Introduziram o conceito de carga de ccoorr para os quarks

Teoria de Grupos agora descreve a dinmica, ou seja,a interao entre os quarks: SU(3) CCOORR

Barions: um quark de cada cor Mesons: uma cor e uma anti-cor

RR GG

BB

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Confinamento e Liberdade Assintptica

As cores so confinadas Partculas coloridas (quarks)

no so observadas livres Todas as partculas livres so brancas:

3 cores ou cor-anticor

Criao ParQuark-antiquark

p

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A Aventura Continua...Mecnica Terrestre Gravitao Universal

Inrcia e Massa Gravitacional(Newton, 1687)

Eletricidade

Magnetismo

EletromagnetismoOndas Eletromagnticas (fton)(Maxwell, 1860)

Eletromagnetismo

Fora Fraca

EletrofracaBosons Intermedirios W, Z(Weinberg-Salam, 1967)

Mecnica Celeste

n

p

e

Explorar distncias cada vez menores

revela simetrias cada vez mais profundas

-

e

+

N S

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http://http://www.ift.unesp.br/users/novaeswww.ift.unesp.br/users/novaes//

SergioHighlight

http://hep.ift.unesp.br/SPRACE/

FIM

Uma Dcada em Busca da Simetria da NaturezaO que simetriaSimetria na NaturezaSimetria e CivilizaoSimetria em BiologiaA simetria s vezes aparenteLeonardo da Vinci j havia notado isto...A diferena ntidas vezes no faz muita diferenaSimetrias GeomtricasUm pouco de histriaSimetrias em FsicaEstrutura de GrupoAlguns Grupos ComunsRotaes: grupo O(2)Emmy (Amalia) NoetherEnergiaTempo e EnergiaEspao e MomentoRotao e Momento AngularAlm do Espao-TempoReflexo: Uma simetria discretaQuiralidade: Nem Tudo SimtricoMais ExemplosDe Volta Fsica...Decaimento BetaComunicao Extra-terrestreEncontro Extra-terrestreUm pouco mais de C, P e TViolao deMatria X AntimatriaInterldio: Um alerta contra o pr-conceitoFsica de Partculas: Anos 50Modelo a QuarksSU(3) e o ctuplo CaminhoOcteto MesnicoDecupleto Barinico1974: Quark Charm = SU(4)Da Tabela Peridica s PartculasPrincpio de GaugePodemos generalizar este princpio?Simetria QuebradaUm Exemplo MecnicoQual a simetria da Natureza?As Cores: SU(3) DinmicoConfinamento e Liberdade AssintpticaA Aventura Continua...http://hep.ift.unesp.br/SPRACE/FIM