Unid 1.1 Revisao de Circuitos Eletricos I Parte I (DLSR JCFC)

7/31/2019 Unid 1.1 Revisao de Circuitos Eletricos I Parte I (DLSR JCFC)

1/65

Eletrotcnica Geral

(Apostila - Parte 1)

DLSR / JCFC

Universidade Estadual PaulistaFaculdade de Engenharia

Departamento de Engenharia Eltrica

Reviso 01: jan / 2010

Mauro Guimares

FEELT / UFU


2/65

ii

SUMRIO

1 Componentes de Circuitos.............................................................................. 1/7

1.1 Corrente.............................................................................................................. 1/7

1.2 Tenso................................................................................................................. 1/7

1.3 Fontes................................................................................................................. 2/7

1.4 Resistncia.......................................................................................................... 3/7

1.5 Lei de OHM........................................................................................................ 3/7

1.6 Potncia e Energia Eltrica................................................................................. 4/7

1.7 Circuitos Abertos e Curtos-Circuitos.................................................................. 6/7

2 Leis de KIRCHHOFF...................................................................................... 1/5

2.1 Introduo........................................................................................................... 1/52.2 Leis da Tenso de Kirchhoff.............................................................................. 1/5

2.3 Leis da Corrente de Kirchhoff (LCK)................................................................ 2/5

2.4 Montagem e Soluo das Equaes................................................................... 2/5

2.4.1 Aplicao............................................................................................................ 2/5

2.5 Ligaes Srie-Paralelo...................................................................................... 3/5

2.6 Ligaes - .................................................................................................... 4/5

2.7 Divisor de Corrente e Divisor de Tenso............................................................ 4/5

3 Teoremas de Circuitos..................................................................................... 1/13

3.1 Teorema da Superposio.................................................................................. 1/13

3.2 Teoremas de Thvenin e de Norton.................................................................... 3/13

3.3 Anlise por Correntes de Malha........................................................................ 5/13

3.4 Anlise pelas Tenses nos Ns (Nodal)............................................................. 8/13

3.5 Teorema de Millman.......................................................................................... 10/13

3.6 Teorema da mxima transferncia de Potncia................................................. 12/13

4 Anlise de Circuitos em Corrente Alternada (CA)....................................... 1/25

4.1 Elementos de Circuitos....................................................................................... 1/25

4.1.1 Indutores e Indutncia........................................................................................ 1/25

4.1.1.1 Associao de Indutores..................................................................................... 2/25

4.1.1.2 Anlogo Mecnico: Massa ou Inrcia................................................................ 3/25

4.1.1.3 Potncia e Energia.............................................................................................. 3/25

4.1.1.4 Aplicao............................................................................................................ 3/25

4.1.1.5 Inconvenientes.................................................................................................... 3/25


3/65

Sumrio iii

4.1.2 Capacitores e Capacitncia................................................................................ 3/25

4.1.2.1 Associao de Capacitores................................................................................. 4/25

4.1.2.2 Anlogo Mecnico: Constante de Mola............................................................. 4/25

4.1.2.3 Potncia e Energia............................................................................................. 4/25

4.1.2.4 Aplicao........................................................................................................... 4/254.2 Tenso e Corrente Senoidais.............................................................................. 5/25

4.2.1 Tenso e Corrente Senoidal................................................................................ 5/25

4.2.2 Valores Caractersticos de Tenso e Corrente de uma Onda Alternada............. 7/25

4.3 Nmeros Complexos.......................................................................................... 9/25

4.3.1 Forma Retangular............................................................................................... 9/25

4.3.2 Forma Polar........................................................................................................ 10/25

4.3.3 Converso entre as Duas Formas........................................................................ 10/25

4.3.4 Operaes com Nmeros Complexos................................................................. 10/25

4.4 Fasores................................................................................................................ 11/25

4.5 Elementos de Circuito no Domnio da Freqncia............................................ 12/25

4.5.1 Resistor............................................................................................................... 12/25

4.5.2 Indutor................................................................................................................ 13/25

4.5.3 Capacitor............................................................................................................ 13/25

4.5.4 Impedncia......................................................................................................... 14/25

4.5.4.1 Diagrama de Impedncias.................................................................................. 15/254.5.5 Admitncia......................................................................................................... 16/25

4.6 Soluo de Circuitos em CA.............................................................................. 17/25

4.6.1 Associao em Srie de Impedncias................................................................. 17/25

4.6.2 Associao em Paralelo de Impedncias............................................................ 18/25

4.6.3 Equivalncia de Fontes...................................................................................... 19/25

4.6.4 Mtodo da Superposio.................................................................................... 19/25

4.6.5 Circuito Equivalente de Thvenin...................................................................... 21/25

4.6.6 Mtodo das Correntes de Malha........................................................................ 22/25

4.6.7 Mtodo da Tenso nos Ns................................................................................ 23/25

4.6.8 Converses ............................................................................................. 24/25

5 Potncia em Circuitos de Corrente Alternada (CA)..................................... 1/11

5.1 Potncia Senoidal............................................................................................... 1/11

5.1.1 Circuito Resistivo............................................................................................... 2/11

5.1.2 Circuito Puramente Reativo............................................................................... 2/115.1.3 Circuitos Intermedirios..................................................................................... 3/11


4/65

Sumrio iv

5.1.4 Potncia Ativa e Potncia Reativa..................................................................... 4/11

5.2 Tringulo de Potncias....................................................................................... 4/11

5.2.1 Potncia Complexa............................................................................................. 5/11

5.3 Correo do Fator de Potncia........................................................................... 8/11


5/65

I COMPONENTES DE CIRCUITOS

1HVWHFDStWXORVHUmRDSUHVHQWDGRVRVFRQFHLWRVEiVLFRVXWLOL]DGRVQRHVWXGRGRVFLUFXLWRVHOpWULFRVSULQFLSDOPHQWHHPFLUFXLWRVGHFRUUHQWHFRQWtQXD

I.1 Corrente

$SURSRVLomREiVLFDGHXPFLUFXLWRHOpWULFRpDGHPRYHURXWUDQVIHULUFDUJDVDWUDYpVGH

XPSHUFXUVRHVSHFLILFDGR$HVWHPRYLPHQWRGHFDUJDVGiVHRQRPHGHCorrente Eltrica

4XDQGR[HOpWURQVDWUDYHVVDPHPXPVHJXQGRFRPYHORFLGDGHXQLIRUPHXPD

VHomR UHWD GH XP FRQGXWRU TXDOTXHU GL]VH TXH HVWH HVFRDPHQWR GH FDUJD FRUUHVSRQGH D

DPSHUHA XQLGDGHGHFRUUHQWHpRAmpere$)RUPDOPHQWHSRGHVHGHILQLU&RUUHQWH(OpWULFD

FRPRDWD[DGHYDULDomRQRWHPSRGDFDUJDRXVHMDdtdqi =

1D WHRULD GH FLUFXLWRV D FRUUHQWH p JHUDOPHQWH LPDJLQDGD FRPR PRYLPHQWR GH FDUJDV

SRVLWLYDV (VWDFRQYHQomR IRL HVWDEHOHFLGD SRU%HQMDPLQ)UDQNOLQTXH LPDJLQRXTXHDFRUUHQWH

WUDIHJDYDGRSRVLWLYRSDUDRQHJDWLYR6DEHVHDWXDOPHQWHTXHDFRUUHQWHQXPFRQGXWRUPHWiOLFR

UHSUHVHQWDRPRYLPHQWRGHHOpWURQVTXHVHGHVSUHQGHPGDVyUELWDVGRViWRPRVGRPHWDO'HVWD

IRUPDGHYHVHGLVWLQJXLU D FRUUHQWH FRQYHQFLRQDOXVDGDQD WHRULDGHUHGHVHOpWULFDVGDGDSHOR

PRYLPHQWRGHFDUJDVSRVLWLYDVGDFRUUHQWHHOHWU{QLFDGDGDSHORPRYLPHQWRGHHOpWURQV

I.2 Tenso2 HVFRDPHQWR GH FDUJDV GHVFULWR DQWHULRUPHQWH p FDXVDGR SRU XPD SUHVVmR H[WHUQD

OLJDGDjHQHUJLDTXHDVFDUJDVSRVVXHPHPYLUWXGHGHVXDVSRVLo}HV$HVWDSUHVVmRGiVHRQRPH

GH (QHUJLD 3RWHQFLDO (OpWULFD 1R LQWHULRU GH XPD EDWHULD UHDo}HV TXtPLFDV ID]HP FRP TXH

FDUJDV QHJDWLYDV HOpWURQV VH DFXPXOHP HP XP GRV WHUPLQDLV HQTXDQWR DV FDUJDV SRVLWLYDV

tRQV VH DFXPXODP QR RXWUR ILFDQGR HVWDEHOHFLGR GHVWDPDQHLUD XPDGLIHUHQoD GH SRWHQFLDO

HOpWULFRHQWUHRVWHUPLQDLV

&DUJDVSRGHPVHUOHYDGDVDXPQtYHOGHSRWHQFLDOPDLVDOWRDWUDYpVGHXPDIRQWHH[WHUQD

TXHUHDOL]HWUDEDOKRVREUHHODVRXSRGHPSHUGHUHQHUJLDSRWHQFLDOTXDQGRVHGHVORFDPHPXP

FLUFXLWR HOpWULFR(PTXDOTXHUGHVWHVGRLVFDVRVSRGHVHGL]HUSRUGHILQLomRTXHExiste uma

diferena de potencial de 1 volt (V) entre dois pontos se acontece uma troca de energia de 1joule (J) quando se desloca uma carga de 1 coulomb (C) entre estes dois pontos RX VHMD

TXDQGRIRUQHFHVViULRJDVWDUXPDTXDQWLGDGHGHHQHUJLDLJXDODMRXOHSDUDGHVORFDUXPDFDUJD

GH FRXORPE GH XPD SRVLomR [ SDUD XPD SRVLomR \ TXDOTXHU D GLIHUHQoD GH SRWHQFLDO RX

WHQVmR HQWUHHVWHVGRLVSRQWRV pGH YROW$GLIHUHQoDGHSRWHQFLDO HQWUH GRLVSRQWRVGHXP

FLUFXLWR pSRUWDQWR XPLQGLFDGRUGDTXDQWLGDGHGHHQHUJLDQHFHVViULDSDUD GHVORFDU XPDFDUJD

HQWUHGRLVSRQWRV'HXPPRGRPDLVJHUDODGLIHUHQoDGHSRWHQFLDOHQWUHGRLVSRQWRVpGHILQLGD

SRU

Q

WE=

8QLGDGHV6, 7UDEDOKR -RXOH-

&DUJD &RXORPE&

7HQVmR 9ROW9


6/65


7/65


8/65

Eletrotcnica Geral I. Componentes de Circuitos

DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE 4/7

VHPRYLPHQWHPPHVPRFRPDSUHVHQoDGHVWDIRUoDGHRSRVLomRpDGLIHUHQoDGHSRWHQFLDORXWHQVmR $ UHODomR H[LVWHQWH HQWUH HVWHV WUrV FRPSRQHQWHV WHQVmR FRUUHQWH H UHVLVWrQFLD IRLLQWURGX]LGDSRU*HRUJH6LPRQ2KPHpGDGDSRU

RKPVI

ER =

2 FLUFXLWR GD ILJXUD DEDL[R DSUHVHQWD HVWHV WUrV FRPSRQHQWHV VHQGR TXH D GLUHLWD VHDSUHVHQWD DV WUrV IRUPDVFRP UHVSHFWLYDV XQLGDGHV QDV TXDLVVHSRGH UHSUHVHQWDUDVUHODo}HVHQWUHHVVDVWUrVJUDQGH]DV

(

9

5

,

RKPVI

ER =

9YROWVRIE=

$DPSHUHVR

EI=

I.6 Potncia e Energia Eltrica

PotnciapXPDJUDQGH]DTXHPHGHTXDQWRWUDEDOKRFRQYHUVmRGHHQHUJLDGHXPDIRUPDHPRXWUDSRGHVHUUHDOL]DGRHPXPFHUWRSHUtRGRGHWHPSR&RPRH[HPSORSRGHVHFLWDUXPJUDQGH PRWRU HOpWULFR TXH SRU WHU XPD SRWrQFLD PDLRU TXH D GH XP SHTXHQR PRWRU HOpWULFRFRQVHJXH FRQYHUWHU PDLV UDSLGDPHQWH XPD PHVPD TXDQWLGDGH GH HQHUJLD HOpWULFD HP HQHUJLDPHFkQLFD

&RPRDHQHUJLDQRVLVWHPDLQWHUQDFLRQDOpPHGLGDHP-RXOHV-HRWHPSRHPVHJXQGRVVDXQLGDGHGDSRWrQFLDpMRXOHVVHJXQGR-V(VWDXQLGDGHHPVLVWHPDVHOpWULFRVHHOHWU{QLFRVUHFHEHXRQRPHGHZDWW:RXVHMD ZDWW MRXOHVHJXQGR-V$GHILQLomRGHSRWrQFLDPpGLDSRGHVHUH[SUHVVDGDVHJXLQWHPDQHLUD

-VXQGRMRXOHVVHJ:ZDWWVt

WP=

$ SRWrQFLD FRQVXPLGD SRU XP FRPSRQHQWH RX VLVWHPD HOpWULFRSRGH VHU FDOFXODGD HPWHUPRVGDWHQVmRDSOLFDGDDRFRPSRQHQWHHGDFRUUHQWHTXHRDWUDYHVVD(VWHIDWRpGHPRQVWUDGRDVHJXLU

t

QV

t

VQ

t

WP

=

=

=

FRPRt

QI

= WHPVHTXH VIP= ZDWWV8WLOL]DQGRVHD

H[SUHVVmRGH2KPSDUDDUHVLVWrQFLDSRGHVHREWHUGXDVRXWUDVIyUPXODVSDUDDSRWrQFLD

ZDWWV

R

VP

R

VVVIP =

==

( ) ZDWWVRIPIIRVIP ===

8P VLVWHPD SRGH FHGHU RX FRQVXPLU SRWrQFLD 3DUD GLVWLQJXLU HQWUH HVWDV GXDVSRVVLELOLGDGHV GHYHVH REVHUYDU D SRODULGDGH GD WHQVmR DSOLFDGD H R VHQWLGR GD FRUUHQWH TXH

DWUDYHVVD R VLVWHPD $ UD]mR QD TXDO XP FRPSRQHQWH DEVRUYH RX JHUD HQHUJLD UHSUHVHQWD DSRWrQFLD DEVRUYLGD RX GHVHQYROYLGD SHOR FRPSRQHQWH 8PD IRQWH JHUD SRWrQFLD H XPD FDUJDDEVRUYH


9/65



+

+

B-

I

A-

I

IEPIEP

IEP

volvidadeabsorvida

absorvida

%HOHPHQWR

VHQ ==

=

$EVRUomR QHJDWLYD FRUUHVSRQGH j HPLVVmR SRVLWLYD ORJR R HOHPHQWR $ GHYH VHU XPDIRQWH

6HMDP HOHPHQWRV GH FLUFXLWRV VXMHLWRV D XPD FRUUHQWH , FRQIRUPH DSUHVHQWDGR QRFLUFXLWRDEDL[R$VSRODULGDGHVGDVWHQV}HVVmRDSUHVHQWDGDVQRFLUFXLWR

+

E B

B

A I-

+

-

+ -

EC CEA

4XDQGRDFRUUHQWHHQWUDHPXPHOHPHQWRGR FLUFXLWR QR WHUPLQDO PDUFDGR FRP RHOHPHQWR DEVRUYH HQHUJLD &DVR FRQWUiULR R

HOHPHQWR IRUQHFHHQHUJLD 3RUWDQWRQDILJXUDDRODGRRVHOHPHQWRV%H&VmRHOHPHQWRVTXHHVWmRDEVRUYHQGR HQHUJLD H VmR GHQRPLQDGRV

Elementos Passivos

Exemplo 3eSRVVtYHOOLJDUXPUHVLVWRU5NFRPSRWrQFLDQRPLQDO3Q:HP9"

(9

5N

3

(

5

:>:12

7RGR SURFHVVR DR TXDO HVWHMD UHODFLRQDGD XPD WUDQVIRUPDomR QD IRUPD GD HQHUJLDHOpWULFD[PHFkQLFDHVWiDVVRFLDGRDSHUGDV3DUDDYDOLDURQtYHOQRTXDOHVWDVSHUGDVRFRUUHPQR SURFHVVR GHILQHVH R FRQFHLWR GHEficincia 'HVWD PDQHLUD D HILFLrQFLD UHODFLRQD DSRWrQFLDQDVDtGDGHXPVLVWHPDFRPDSRWrQFLDQDHQWUDGDRXVHMD

entrada

sada

P

P=

$Energia EltricapGDGDSHORSURGXWRGDSRWrQFLDHOpWULFDDEVRUYLGDRXIRUQHFLGDSHORWHPSRVREUHRTXDOHVWDDEVRUomRRXIRUQHFLPHQWRRFRUUH

:MRXOHV3ZDWWV[WVHJXQGRV

8QLGDGH:HQHUJLD :DWWVHJXQGRRX-RXOHV:V- :DWWKRUD:K .LORZDWWKRUDN:K

Exemplo 4

Quantidade Equipamento Potncia (W) Tempo (h/dia) *HODGHLUD /kPSDGD &KXYHLUR


10/65



4XDORFRQVXPRPHQVDO"

&[[

&N:K

I.7 Circuitos Abertos e Curtos-Circuitos'HQRPLQDVH&LUFXLWR$EHUWRDRFLUFXLWRTXHWHPGRLVSRQWRVQmRFRQHFWDGRVDRORQJRGR

PHVPR'HVWDPDQHLUDDUHVLVWrQFLDHTXLYDOHQWHGHVWHFLUFXLWRp5 SRLVRIOX[RGHFRUUHQWHTXHSDVVDSRUHOHp]HURSDUDTXDOTXHUWHQVmRILQLWDDSOLFDGDVREUHRPHVPR

10

-

+

ER =

-

+

I = 015 V

E = ?

'HQRPLQDVH &XUWR&LUFXLWR D XP FLUFXLWR TXH WHP VHXV WHUPLQDLV IHFKDGRV SRU XP

FRQGXWRUTXDOTXHU6HHVWHFRQGXWRUIRULGHDOVHWHP5SURYRFDQGRQRVWHUPLQDLVGHVWHXPDWHQVmRQXODTXDQGRXPIOX[RILQLWRGHFRUUHQWHSDVVDUVREUHHOH1RUPDOPHQWHRFRQGXWRUTXHIHFKDRFLUFXLWRWHPXPDUHVLVWrQFLDPXLWREDL[DHDVFRQVLGHUDo}HVDFLPDVmRYiOLGDV

-

+ R = 0 (fio ideal)

E = 0 I = ?

1HP WRGRVRVFXUWRFLUFXLWRVHFLUFXLWRVDEHUWRVVmRGHVHMDGRV)UHTHQWHPHQWHXPRXRXWUR p XP GHIHLWR QR FLUFXLWR TXH RFRUUH FRPR UHVXOWDGR GH XPD IDOKD GH XP FRPSRQHQWHGHYLGRDXPDFLGHQWHRXDRXVRLQFRUUHWRGRFLUFXLWR$VHJXLUDSUHVHQWDPVHDOJXQVFDVRVQRVTXDLVIDOKDVQmRVmRGHVHMDGDV

Exemplo 5Circuito aberto desejado: lmpada apagada

-

+

S

Exemplo 6Circuito aberto indesejado: fusvel aberto

-

+

chuveiroI

abre o circuito


11/65



Exemplo 7Curto-circuito (prtica)

Ri

-

+ R = 0

E = 0

E

A

B

AB

I

1XPDVLWXDomRGHFXUWRFLUFXLWRGHYLGRDRHOHYDGRYDORUGDFRUUHQWHGHFXUWRDIRQWHGHWHQVmRSRGHUiVRIUHUGDQRVVHQmRWLYHUXPGLVSRVLWLYRGHSURWHomR

Exemplo 8Tipo de curto-circuito acidental

-

+I

'HSHQGHQGR GR YDORU GD WHQVmR ( R FKRTXH SURYRFDGR SHOD SDVVDJHP GD FRUUHQWH ,SRGHUi VHU PDLV SHUFHSWtYHO RX QmR 2 OLPLDU GD VHQVDomR KXPDQD HVWi HQWUH P$ &$ HP$&&$FLPDGHP$SRGHRFRUUHUSHUGDGRVVHQWLGRVHPRUWH


12/65

II LEIS DE KIRCHHOFF

II.1 Introduo

Neste captulo sero apresentados mtodos para se determinar a soluo de circuitos de

corrente contnua, atravs da utilizao de leis fundamentais. A seguir so apresentadas algumas

definies bsicas que sero utilizadas ao longo deste captulo.

Ramo de um circuito: um componente isolado tal como um resistor ou uma fonte. Estetermo tambm usado para um grupo de componentes sujeito a mesma corrente.

N: um ponto de conexo entre trs ou mais ramos (entre 2: juno).

Circuito fechado: qualquer caminho fechado num circuito.

Malha: um circuito fechado que no tem um trajeto fechado em seu interior.

d f

c

-

+

e

ab

a - b - e - d - amalha

b - c - f - e - bmalhaa - b - c - f - e - d - a circuito fechado

b, e n

a, d, c, f juno

b - c - f - e ramo

d - a - b ramo

II.2 Leis da Tenso de Kirchhoff

A soma algbrica (os sinais das correntes e quedas de tenso so includas na adio) de

todas as tenses tomadas num sentido determinado (horrio ou anti-horrio), em torno de

um circuito fechado nula.

R1

-

+

R2

R3

E1

E2

E3

I

E

Conveno: todas as tenses que esto

no sentido da corrente so positivas.

E - E1 - E2 - E3 = 0

E = E1 + E2 + E3

Utilizando-se a lei de Kirchhoff tem-se:E = R1I + R2I + R3I

E = (R1 + R2 + R3) I

Re = R1 + R2 + R3Resistncia Equivalente

Para o clculo da corrente deve-se fazer o seguinte: I =E

Re

Pela observao das equaes apresentadas acima, pode-se dizer que a resistncia

equivalente de uma associao de resistores ligados em srie dada por:

=N

1=i

ie RR N: n de resistncias em srie


13/65

Eletrotcnica Geral II. Leis de Kirchhoff


II.3 Lei da Corrente de Kirchhoff (LCK)

A soma algbrica (soma das correntes com os sinais) de todas as correntes que entramnum n nula.

4I

3I

1I

2I

Conveno: As correntes que entram em um n so

consideradas como sendo positivas e as que saem

so consideradas como sendo negativas.

-I1 - I2 + I3 + I4 = 0

Aplicando esta lei ao circuito abaixo tem-se:

1I

1G

2G

3G E

2I

3I

SI

IS - I1 - I2 - I3 = 0

IS = I1 + I2 + I3 I = G E

IS = G1 E + G2 E + G3 E

IS = (G1 + G2 + G3) E

Ge = G1 + G2 + G3 Condutncia Equivalente

Logo a condutncia total de resistores ligados em paralelo igual a soma das

condutncias individuais.

Se for interessante trabalhar com resistncias tem-se:

=++==N

1=i ie321e

eR

1

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1G

Para o caso especial de apenas 2 resistores em paralelo tem-se:

R R RR R

e1 2

1 2

=+

II.4 Montagem e Soluo das Equaes

II.4.1 Aplicao

Para exemplificar a utilizao destas associaes ser utilizado o circuito abaixo

(esquerda). Para este circuito sero calculados V e I utilizando-se as leis de Kirchhoff.

+-

-

+

6 V

2

3 2 3

2 A

8 V

V

I

A primeira coisa a ser feita deve ser

arbitrar as correntes no circuito. Destamaneira tem-se:

3

I- +

I 4I 1

I

2 A

8 V-

+

6 V2

V

3

A B

C

3

I 2

2


14/65



Aplicando a LTK por ordem, na malha da qual a fonte V faz parte, na malha da qual a

fonte de 6V faz parte e na malha composta pelos resistores de 3 , 2 e 2 , tem-se:

V + 3.I2 - 8 = 0 (1)

6 3.I4 = 0 I4 = 2A (2)

8 2.I3 3I4 = 0 I3 = 1A (3)

Aplicando agora a LCK aos ns A, B e C tem-se:

N C: I4 + I1 + I2 - I = 0 (4)

N A: I3 - 2 + I - I4 = 0 (5)

N B: 2 - I1 - I2 - I3 = 0 (6)

Observando-se a resistncia de 2 , na qual uma tenso de 8V est aplicada, pode-se

determinar a corrente I1. Desta maneira tem-se: I1 = 8/2 = 4A

Pode-se observar que (6) a combinao linear de (4) e (5). Aliando esta observao a

teoria se pode afirmarn ns produziro n-1 equaes. Para finalizar a soluo deve-se fazer o

seguinte:

Usando (6) I2 = - 3A

Usando (1) V = 8 - 3I2 = 17V V = 17V

Usando (5) I = 2 - I3 + I4 = 3 A I = 3A

II.5 Ligaes Srie-Paralelo

Os exemplos apresentados a seguir mostram exemplos de reduo de circuitos utilizando-

se tcnicas de reduo srie-paralelo.

Exemplo 1: Utilizando as frmulas deduzidas para a Re, determinar a resistncia total entre os

pontos A e B.

RT

A

B

16 3 8

14 9

5 24 4

Passo 1: 8 + 4 =12 12//24 = 82412

24.12=

+

Passo 2: 8 + 3 + 9 = 20

Passo 3: 20//5 =20x5

254=

Passo 4: RT = 4 + 16 + 14 = 34

Exemplo 2: De maneira anloga pode-se utilizar as frmulas de associaes srie-paralelo para

determinar a corrente I e a potncia P fornecidas ao circuito para uma tenso E de

50 V.

E

15 10

20 5 -

+I

5

Passo 1: Determinar a resistncia equivalente

10 + 5 + 5 = 20 20//20 = 10

Passo 1.1: 10 + 15 = 25 Re = 25

Passo 2: Determinar a corrente I E = RT . I

I = 50/25 = 2A

Passo 3: Determinar a potncia P P = E . I

P = 50.2 = 100W


15/65



II.6 Ligaes - Y

Quando se est resolvendo um circuito, pode-se encontrar uma ligao em , o que

impossibilita a aplicao das frmulas de reduo srie-paralelo na determinao da resistncia

Re. Para facilitar a soluo pode-se lanar mo da converso - Y que apresentada a seguir.

BR

2

3R

R1R

A

CR

RA

B C

A

B C

RR R

R R RA

1 2

1 2 3

=

+ +

RB =R R

R R R

1 3

1 2 3+ +

RR R

R R RC

2 3

1 2 3

=

+ +

II.7 Divisor de Corrente e Divisor de Tenso

Circuitos divisores de corrente ou tenso so circuitos que atravs de arranjos particulares

de resistncias permitem que se obtenha uma tenso ou corrente em funo deste arranjo pr-

determinado. A seguir so apresentados os circuitos divisores de tenso, que se aplicam a

resistores em srie e os divisores de corrente, que se aplicam a resistores em paralelo.

a) Divisor de Tenso

n1

R

1E

RR2

E

entradasada

n

i

i

Eeeqivalentaresistnci

medidasadaaqualdaatravsaresistnciE

E

R

RE

.

.

1

11

=

=

=

Particularizando para 3 resistores tem-se:

ERRR

RE

R

ERIRE

REI

RRRR

e

e

e

.

..

321

11

111

321

++=

==

=

++=


16/65



b) Divisor de corrente:

n1

I

I

I I2

I

1R R nR2

entradasada

0

11

.

.

Ieequivalentacondutnci

medidasadaaqualnaacondutnci

I

I

G

GI nn

i

i

=

=

=

Particularizando para 2 resistores tem-se:

IR

R R.I1

2

1 2

=+

IR

R R.I2

1

1 2

=+

Exemplo 3: Determinar para o circuito da esquerda a tenso E, e para o circuito da direita a

corrente I.

-

+

10 V

15

E 10

5 A 5 10 20

25

I

VE 21050

10

==

AI

I

43,1535,0

1,0

505,01,02,0

1,0

==

++

=


17/65

III TEOREMAS DE CIRCUITOS

III.1 Teorema da Superposio

Em um circuito linear contendo vrias fontes independentes, a corrente ou tenso de umelemento do circuito igual a soma algbrica das correntes ou tenses dos componentes

produzidas por cada fonte independente operando isoladamente.

Este teorema s se aplica no clculo de correntes ou tenses e no pode ser utilizado noclculo da potncia.

Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. Oprocedimento que deve ser adotado nesta eliminao, das fontes de tenso e fontes de corrente, apresentado seguir.

A

B

B

A

-

+

B

A

E = 0

B

I = 0

A

Curto-Circuito

EAB = 0

RAB = 0

Circuito-Aberto

I = 0

RAB =

Exemplo 1: Determinar para o circuito abaixo os valores E1, I1, P2, E2, I2 e I3.

1

-

+

6 5

20

E

I1

I2

I3

18 A140 V 2E

Passo 1: Devido fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se:

-

+

1

6 5

20

E

I1

I2

I3

140 V 2E

E1 = 20 I1

E2 = 6 I2

= 5 I3

LTK 140 = E1 + E2

LCK I1 = I2

+ I3

Fazendo as substituies tem-se:E

20

E

6

E

51'

2'

2'

= +


18/65

Eletrotcnica Geral III. Teoremas de Circuitos


3E 10E 12E1'

2'

2'= +

3E E1'

2'= 22 2

1 .3

22EE =

LKT 2.1322

140 E

+=

Tem-se ento:

E2 = 16,8V

E1 = 123,2V

I1 = 6,16A

I2 = 2,8A

I3 = 3,36A

Passo 2: Devido fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tenso tem-se:

1

6 5

20

E

I1

I2 I3

18 A2

E

E1= 20 I1

E2= 6 I2

= 5 I3

LTK -E1 - E2

= 0

LCK I1 + 18 = I2

+ I3

Fazendo as substituies tem-se:E

2018

E

6

E

51"

2"

2"

+ = +

3E1 + 1080 = - 10E1

- 12E1

E1 = - 43,2V

E2 = 43,2V

I1= = 43,220 2,16A

I2 =

43,2

67,20A=

I3 = 8,64A

543,2

=

Passo 3: Devido superposio tem-se:

E1 = E1 + E1 = 112,2 - 43,2 = 80V

E2 = E2 + E2

= 60V

I1 = I1 + I1

= 4,0A

I2 = 10A

I3 = 12A

P2 = 6 (2,8)2 + 6 (7,2)2 = 358W

Levando em considerao este valor de P2, pode-se observar que o Teorema daSuperposio no vlido em relao a potncia. Para tanto se deve calcular a potnciadissipada utilizando as frmulas usuais. Tem-se ento:


19/65



WPouWP

R

VPouIRP

6006

6060010.6

.

2

22

2

2

22

22222

====

==

Pode-se observar que a potncia dissipada calculada pela frmula usual no igual aovalor encontrado aplicando-se o teorema da superposio comprovando a afirmao feitaanteriormente.

Exerccio: resolver o exemplo utilizando o teorema da superposio e os conceitos de divisor detenso e corrente que foram apresentados no captulo anterior.

III.2 Teoremas de Thvenin e Norton

Para que se aplique estes teoremas a uma rede qualquer esta deve ser dividida em duaspartes: X e Y. A rede X deve ser linear e bilateral (2 terminais) e a rede Y deve ser composta por

uma resistncia e/ou uma fonte e/ou qualquer ramo. O teorema especifica que a parte X pode sersubstituda por um circuito equivalente de Thvenin ou de Norton. Aps o clculo deste circuitoequivalente, a parte Y deve ser novamente agregada a este circuito equivalente para a soluofinal.

ThR

YX

-

+

VTh

X

A

B

B

A

Circuito Equivalente de Thvenin

Eth : Tenso de Thvenin

Rth : Resistncia de Thvenin

X

NG

YX

I

A

B

B

A

N

Circuito Equivalente de Norton

IN : corrente de Norton

GN: condutncia de Norton

A seguir apresenta-se como calcular os valores dos circuitos equivalentes de Thvenin e

Norton. Eth a tenso em circuito aberto, medida nos terminais AB. calculada resolvendo-se

o circuito correspondente considerando as fontes ativas e as resistncias do circuitoem relao a estes terminais;

RTh a resistncia vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas soanuladas (fonte de tenso = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto);

IN a corrente atravs do curto-circuito aplicado aos terminais AB no sentido AB;

GN a condutncia vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas soanuladas (fonte de tenso = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto).


20/65


21/65



-

+

6 5

20

18 A140 V I

Para este exemplo considera-se a resistncia de 6 como sendo o circuito Y. Paracalcular o circuito equivalente de Thvenin segundo a metodologia apresentada deve-se

retirar o circuito Y (a resistncia de 6).

140 V

X

-

+

5

20

18 A 6

A

B

B

A

Y

Clculo do Equivalente de Thvenin:

ThR

-

+

Th

B

A

E

Por superposio calcula-se ETh:

ETh = E + E

E5

25.140 28V' = =

I1 =

5 18

25

18

5

.= A

E = 185

.20 72V=

ETh = 100 V

Soluo alternativa por Kirchoff:

LTK 140 - 20I1 - 5I2 = 0

LCK I1 - I2 + 18 = 0

ETh = 140 - 20I1

140 - 20 I1 - 5 (I1 + 18) = 0

140 - 25 I1 - 90 = 0

I1 = 2A

ETh = 140 - 40 = 100 V

Calculando agora RTh:

RTh = 20//5 = 425

20x5

Aps ter-se calculado VTh e RTh pode-se

finalmente calcular a corrente no resistor de

6:

-

+

B

A

6 E = 100VTh

R = 4 Th

I100

10= I 10A=

III.3 Anlise por Correntes de Malha

Este tipo de anlise resulta da aplicao das leis de Kirchhoff a circuitos com vriasmalhas. As leis de Kirchhoff so aplicadas s correntes das diversas malhas respeitando sentidos

arbitrados (preferencialmente o sentido horrio).


22/65



Para exemplificar este procedimento ser utilizado o circuito apresentado na figura

abaixo.

-2R1 +

-

+

-

+

Ea

b

EcR4

R R3

R5I1 I2

I3

E

Aplicando-se as leis de Kirchhoff tem-se:

Ea - R1I1 - R4 (I1 - I2) = 0

-R2I2 + Eb - R5 (I2 - I3) - R4 (I2 - I1) = 0

-R3I3 - EC - R5 (I3 - I2) = 0

Reescrevendo a primeira equao tem-se:

Ea = (R1 + R4) I1- R4I2

Pode-se observar que R1 e R4 so as resistncias que pertencem a malha 1 (resistncia

prpria) e que -R4 (o coeficiente de I2) o negativo da resistncia existente entre a malha 1 e a

malha 2 (resistncia mtua).

Estendendo o mesmo raciocnio para as outras malhas tem-se:

Eb = (R2 + R4 + R5) I2 - R4I1 - R5I3

-Ec = (R3 + R5) I3 - R5I2

Escrevendo os resultados na forma matricial tem-se:

+

++

+

=

3

2

1

535

55424

441

c

b

a

I

I

I

RRR0

RRRRR

0RRR

E-

E

E

ou seja: IRE .=

A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-

se na teoria matemtica, pode-se montar diretamente as matrizes E , R e I :

Montagem direta de E :

Ei : dada pela soma algbrica das fontes de tenso ao se percorrer a malha no

sentido arbitrado para a corrente. A tenso ser positiva se a corrente sair peloterminal positivo da fonte.

Montagem direta de R :

Os elementos da diagonal principal Rii so obtidos pela soma das resistnciasdos ramos da malha i;

Os elementos fora da diagonal principal Rij tem o valor da resistnciaequivalente do ramo comum malha i e j com sinal (-).

Montagem direta de I :

A matriz I o Vetor de corrente de malhas a serem determinadas, arbitradas num

mesmo sentido.


23/65



Exemplo 4: Determinar as correntes de malha para o circuito abaixo:

+-

+

1

I1 2I

56 V 8 V

10

2 -

I 3

2 4

5

Utilizando-se as regras

apresentadas acima, se obtm a

seguinte equao matricial:

56

8

0

9 5 2

5 10 1

2 1 13

=

I

I

I

1

2

3

Calculando o determinante tem-se: = det

9 5 2

5 10 1

2 1 13

775

=

Para o clculo de I1, deve-se substituir a primeira coluna da matriz pelo vetor dastenses (analogamente para o clculo de I2 e I3). Desta maneira tem-se:

1= det 7760

1310

1108

2556

=

Considerando calculadas 1 e 2, pode-se calcular as correntes utilizando a Regra deCramer:

I11=

I2

2=

I3

3=

I1 = 10A I2 = 6A I3 = 2A

Casos Particulares:

Existncia de fontes de corrente em paralelo com uma condutncia (resistncia)

efetuar a converso de fontes

-

+

1

5 4 2 A

1

5

4

8 V

Corrente arbitradas em qualquer sentido aplica-se as mesmas regras s que na

montagem de R , os elementos fora da diagonal principal tero sinais positivos se as

correntes nestes elementos estiverem no mesmo sentido.


24/65


25/65


26/65


27/65


28/65


29/65



RTh

ETh

B

A

-

+

RL

I

IE

R R

Th

Th L

=+

A potncia absorvida pela carga ser:

( )P R I

R E

R R

E

4R1

R R

R RL L

2 L Th

2

Th L

2

Th

2

Th

Th L

Th L

= =+

= +

A potncia transferida PL ser mxima quando RL = RTh, ou seja, quando a carga for igual ao

valor da resistncia equivalente de Thvenin do circuito. Neste caso a potncia em RTh ser

Th

2

Th

R4

Ee assim pode-se afirmar que quando a potncia transferida a mxima, a eficincia do

circuito de 50%.


30/65

IV ANLISE DE CIRCUITOS EM CA

IV.1 Elementos de Circuitos

IV.1.1 Indutores e IndutnciaO Indutor um elemento de circuito cuja tenso diretamente proporcional taxa de

variao da corrente que o percorre. Esta tenso calculada por:

e Ldi

dt=

i

eL

A constante de proporcionalidade L a auto-indutncia ou

simplesmente, a indutncia do elemento. A unidade da

indutncia Henry (volt-segundo/ampere) e o smbolo H.

Se a tenso conhecida e deseja-se determinar a corrente, tem-se:

i =1

Le dt

Esta equao mostra que a corrente na indutncia no depende do valor instantneo da

tenso, mas do seu passado, isto , da integral ou soma dos produtos tenso-tempo para todos os

instantes anteriores ao de interesse. Para muitas aplicaes, quando se quer a corrente naindutncia aps um processo de chaveamento (usualmente ocorre em um instante arbitrrio

chamado de t = 0) a equao anterior pode ser escrita como:

i =1

Le dt i (0) +

onde i(o) =1

Le dt

o

a medida da histria da indutncia anterior ao processo de

chaveamento.

Como conseqncia:

L

i(t)

I0 = I0L

i(t)

No instante t = 0.

Um indutor magnetizado corresponde a um

indutor desmagnetizado em paralelo com uma

fonte de corrente no instante t = 0.

Voltando equao de definio de L, dtdiLeL .= pode-se verificar que se a corrente i

for constante tem-se 0=dtdi o que implica em 0=Le .


31/65

Eletrotcnica Geral IV. Anlise de Circuitos em CA


Logo um indutor um curto-circuito em relao corrente contnua. Deve-se ressaltar

entretanto que somente aps a corrente em um indutor se tornar constante que ele ir se

comportar como curto-circuito.

Uma aproximao de e Ldi

dtL = pode ser dada por

t

iLL

e . Da anlise destas duas

frmulas pode-se verificar que a corrente em um indutor no pode variar instantaneamente (dar

saltos), ou seja uma indutncia evita variaes instantneas da corrente da mesma forma que a

massa de um automvel o impede de parar ou arrancar instantaneamente.

iL

tNO

O terceiro exemplo de variao de

corrente na figura ao lado implica que

t = 0 o que conduz a e = que impossvel pois no existe fonte de

tenso infinita.

t

Le

Para a tenso no h nenhuma restrio.

IV.1.1.1 Associao de Indutores

Indutores em srie:

1e

2e

L1

L 2

i

e e e Ldi

dtL

di

dtT 1 2 1 2= + = +

e (L L )di

dtT 1 2= +

LT = L1 + L2

Logo, uma associao em srie de indutores tem o mesmo comportamento que umaassociao de resistores em srie.

Indutores em paralelo:

i

i 1

2

i

L1 L

2

e0

( )

+=

+=

+=

=

dt

di

dt

diL

dt

iidLe

iii

dt

diLe

TT

T

2121

210

0

..

.


32/65



Como cada derivada pode ser simplificada utilizando-se:2

2

1

1 eL

e

dt

di

L

e

dt

di== tem-se:

2121

111.

LLLL

e

L

eLe

T

T +=

+= .

Logo, uma associao em paralelo de indutores tem o mesmo comportamento que uma

associao de resistores em paralelo.

IV.1.1.2 Anlogo Mecnico: Massa ou Inrcia

Diferente da energia resistiva, que perdida em forma de calor, a energia indutiva

armazenada do mesmo modo que a energia cintica armazenada numa massa em movimento.

IV.1.1.3 Potncia e Energia

A seguir so apresentadas as frmulas para o clculo da potncia consumida por um

indutor e tambm a energia armazenada.

Potncia: )(. wattsdt

diLiiepL ==

Energia: === diiLdt.dtdi

LipdtwL 2

L iL2

1w = (joules)

IV.1.1.4 Aplicao

Indutores so utilizados em diversas aplicaes. Entre estas se pode citar sua utilizao na

partida de lmpadas fluorescentes, onde os indutores tm como funo provocar uma sobre-tenso devido a uma abertura no circuito. Como a corrente no pode variar rapidamente, quem

varia a tenso.

IV.1.1.5 Inconvenientes

Os indutores apresentam os seguintes inconvenientes:

pesados e volumosos;

resistncia no desprezvel;

induo de tenses indesejveis em outros elementos.

IV.1.2 Capacitores e CapacitnciaO Capacitor o elemento de circuito que apresenta uma corrente diretamente

proporcional derivada da tenso em relao ao tempo. Esta corrente calculada por:

dt

deCi .C =

i

eC

A constante de proporcionalidade C a capacitncia, que uma

medida da capacidade do capacitor em armazenar carga. A

unidade da capacitncia Farad e o smbolo C. Uma

capacitncia de 1 F muito grande e dificilmente encontrada emaplicaes prticas. Os valores usuais so da ordem de F -microfarad (10-6 F) ou F - picofarad (10-12 F).


33/65


34/65



Exemplo 1: Traar as curvas (formas de onda) da tenso, potncia instantnea e energia

armazenada em funo do tempo para cada um dos circuitos abaixo.

i(t) e L = 10 H i(t) e C = 0,1 F

t t4321 0,5 0,7

t t

i(A) i(A)

e(V) e(V)

2

2020

t t

40

p(W) p(W)

20

w(J) w(J)

t t

20 5

a-) b-)

Em a-):

2..2

1

.

.

iLw

ieP

dt

diLe

L

=

=

=

Em b-):

2..

2

1

.

..1

eCw

ieP

dtiC

eC

=

=

=

IV.2 Tenso e Corrente Senoidais

No Captulo III foram apresentados diversos mtodos para solucionar circuitos excitados

por uma fonte constante de tenso ou corrente. A seguir so introduzidas as caractersticas da

excitao senoidal bem como uma maneira para trabalhar com circuitos excitados em AC sem

necessitar operar com as funes trigonomtricas.

IV.2.1 Tenso e Corrente Senoidal

Uma tenso ou corrente alternada senoidal, varia com o tempo como mostrado na figura

abaixo.

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

X

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

T

T: perodo (s)

f: freqncia (1/s)

SI: f = HERTZ (Hz)


35/65


36/65



-2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 6 1 8

t [ms]

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

e2[V]

30: ngulo de defasagem

t = 0 e2 = 20 sen 30 = 10V

30

6rad = 0,5236 rad

1,39ms377

0,5236

t ==Logo e2 est adiantado de 30 em relao a e1(exemplo 3). A diferena de fase entre e1 e e2

de 30 e portanto e1 e e2 esto defasadas de 30.

Exemplo 4: Forma de onde e perodo para a tenso e3 = 20 sen (377t - 30)

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 6 1 8

t [ms]

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

e2[V]

-30: ngulo de defasagem

t = 0 e2 = 20 sen (- 0,5) e2 = - 10V

377t -

6= t = 9,72 ms

Logo e3 est atrasado de 30 em relao a e1(exemplo 3) ou de 60 em relao a e2 (exemplo 4).

IV.2.2 Valores Caractersticos de Tenso e Corrente de uma Onda Alternada.

Em uma onda alternada, os seguintes valores caractersticos podem ser ressaltados:

Valor Instantneo: valor em um instante qualquer do tempo;

Valor de Pico (valor mximo): mais alto valor instantneo de tenso ou corrente emcada ciclo. Pode ser definido para a parte positiva ou negativa da onda.

Valor de Pico a Pico: como o prprio nome diz o valor entre os picos mximos emnimos de uma onda. Para uma onda simtrica Vpp = 2 Vp e para uma onda no

simtrica: Vpp = E Ep p+ +

Valor Mdio: uma funo peridica v(t), com um perodo T, tem um valor mdioVmdio dado por:

Vmdio = dt(t)vT

1T

o

Valor Eficaz (Vef) ou Valor Mdio Quadrtico (VRMS-Root Mean Square): uma funoperidica v(t), com um perodo T, tem um valor eficaz Vefdado por:

dt(t)vT

1V

T

0

2

ef

No caso de uma senoide v(t) = A sen(wt) VA

2ef =


37/65



Exemplo 5: Valores instantneos e de pico.

0 2 4 6 8

t

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

e

Ep-

Ep+

E1

t1

E2

t2

E1 e E2 valores instantneos.

Ep+ : valor de pico positivoEp- : valor de pico negativo

Exemplo 6: Valor mdio.

=

=

o

2

dwt0+dwtwtsen2

1mdiaE

1

2

2

=0)cos+cos(2

1

=0+wt)cos(2

1

o

==

=

=

mdia

mdia

mdia

E

E

E

Exemplo 7: Determinar o valor de pico de uma tenso alternada que deve alimentar uma

resistncia R para que a potncia dissipada seja a mesma caso ela fosse alimentada

por uma fonte de tenso contnua de 100V.

)sen(wtEe p=

)sen(wtR

Ei

p=

iep .= )(sen 22

wtR

Ep

p=

Em corrente contnua tem-se: Pcc = 100100 10000

xR R

W=

Em corrente alternada tem-se:

dwt.wtsenR

E

2

1P 2

2

o

2

p

CA =

=

2

o

2

2

pdwt.wtsen

R

E

2

1

logo2

22wtsen-wt

=dwt2

2wtcos-1=dwtwtsen2


38/65



=

2

0

2

p

CA2

2wtsenwt

R4

EP ( )

R2

E02

R4

E2

p

2

p =

Para que a potncia dissipada seja a mesma deve-se ter:

PCC

= PCA 141,42VEE20000

2R

E

R

10000

p

2

p

2

p

===Assim, pode-se afirmar que uma tenso alternada com valor de pico de 141,42 V ao

alimentar uma resistncia R dissipa a mesma potncia que uma tenso contnua de 100 V

aplicada a esta resistncia.

Observaes sobre o exemplo:

Ao se calcular o valor eficaz correspondente a este valor de pico tem-se:

V1002

42,141==efE (pois a onda uma senoide).

Este resultado permite dizer que um volt eficaz de tenso alternada dissipa a mesma

potncia que um volt de tenso contnua.

Exemplo 8: Determinar o valor eficaz da forma de onda abaixo.

( )=

=

0

2

2

22

ef dwt0+dwtwtsen2

50E

( )( )[ ] ( )

50

4

50

4

0

2 2

wt- 2sen2wt

o=

E Vef = =50

225

IV.3 Nmeros Complexos

Os nmeros complexos so introduzidos nesta seo a fim de fornecer uma ferramenta

que permita calcular rapidamente somas algbricas de valores de tenso e corrente alternadas que

so expressos por valores senoidais.

Um nmero complexo pode ser representado por um ponto em um plano referido a um

sistema de eixos cartesianos, sendo que o ponto determina um vetor a partir da origem do plano.O eixo horizontal chamado de eixo real e o eixo vertical de eixo imaginrio. Os nmeros

complexos podem ser apresentados de duas maneiras, retangular e polar.

IV.3.1 Forma Retangular

A representao retangular de um nmero

complexo Z, : Z = X + jY, onde X e Y so nmeros reais.

O smbolo j indica o componente imaginrio. A figura ao

lado mostra a representao retangular deste nmero Z.

Desta maneira pode-se dizer que i1j == ,Re (Z) = X e Im (Z) = jY.

Im

Z = X + jYY

X


39/65



IV.3.2 Forma Polar

A forma polar utiliza um mdulo e um ngulo na

representao de um nmero complexo. O ngulo

sempre medido a partir do eixo real positivo no sentido

anti-horrio (um sentido horrio indica um ngulo

negativo). A figura ao lado mostra a representao em

forma polar de Z = r.

r

Z

Im

IV.3.3 Converso entre as Duas Formas

As seguintes equaes so utilizadas para se passar de uma forma a outra:

Retangular Polar: 22 YXr += eX

Ytg 1

= .

Polar Retangular: cos.rX= e sen.rY= .

Duas outras formas podem ainda ser utilizadas na representao de nmeros complexos:

Forma exponencial: Z = r.ej

Forma trigonomtrica: Z = r (cos + j sen )

Exemplo 9: Representar o nmero complexo Z = 4 +j3 nas formas polar, exponencial e

trigonomtrica.

Polar: Z = 536,87

Exponencial: 87,36.5 jeZ=

Trigonomtrica: 5.(cos 36,87 + j sen 36,87)

IV.3.4 Operaes com Nmeros Complexos

Considerando dois nmeros complexos, Z1 = X1 + jY1 cuja representao polar 11 r eZ2 = X2 + jY2 com representao polar 22 r apresenta-se abaixo as frmulas utilizadas para a

realizao das diversas operaes (considerando que 1=j ):

Complexo Conjugado de Z1: X1 jY1 ou 11 r ;

Inverso ou Recproco de Z1:jYX+

1ou

1

1

r;

Adio Z1 + Z2: ( ) ( )2121 YYjXX +++ ;

Subtrao Z1 - Z2: [ ] [ ]2121 YYjXX + ;

Multiplicao ( ) ( )2121212121 YXXYjYYXXZZ += ou( )+= 212121 rrZZ

Diviso Z1 / Z2:2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

BA

BABAj

BA

BBAA

+

+++

ou )( 212

1

r

r


40/65


41/65


42/65


43/65


44/65



Exemplo 14: Determine a impedncia equivalente do circuito abaixo sabendo que w = 10 rad/s.

.

0,001 F

1,0 H

10

30 Z10

Para transformar o circuito deve-seprimeiramente calcular XC e XL.Tem-se ento:

XL = 10 . 1 = 10

XC =1

10 0 001100

. ,=

O circuito transformado apresentado

a seguir.

.

10

10 30

j10

-j100

1Z

Z

2Z

Pode-se agora calcular a impedncia 1Z :

( )

Zjj

j300

40 + j10i=

++ +

=+30 10 10

30 10 10

300

A seguir a impedncia 2Z :

Zj

40 + j10

j400

j102= +

+=

++

10300 300 700

40

Pode-se ento calcular a impednciaequivalente Z :

.(

(Z =

700 + j400

40 + j10j100)

700 + j400

40 + j10j100)

+

Z =

-j70000 + 40000

40 + j101700- j3600

j1040 +

=

= 72,425,2072,6421,398126,6058,80622

Z

IV.5.4.1 Diagrama de Impedncias

Conforme apresentado nos itens anteriores, osresistores, indutores e capacitores quando representadosno domnio da freqncia tm associado um ngulo defase. Desta maneira, um resistor tem um ngulo de fase = 0, um indutor um ngulo de fase = 90 e umcapacitor um ngulo de fase = -90. Isto eqivale a dizerque em um diagrama de fasores, o resistor est sempre noeixo dos reais, a reatncia indutiva no eixo imaginrio

positivo e a reatncia capacitiva no eixo imaginrionegativo.

0R

90CX

90LX

Im

A associao destes elementos, seja em srie, seja em paralelo ir produzir portanto umaimpedncia eqivalente onde o angulo de fase estar entre +90 e -90. Se o ngulo de fase for

positivo ser dito que o circuito indutivo e se este ngulo for negativo que o circuito capacitivo. Se o ngulo de fase for igual a zero o circuito puramente resistivo.

importante salientar que a impedncia, da mesma maneira que a resistncia oureatncia no uma grandeza fasorial visto que um fasor est associado a uma funo do tempocom um deslocamento de fase particular. Sua representao atravs de um mdulo e um ngulode fase entretanto extremamente til como ferramenta na anlise de circuitos CA.


45/65



Em um circuito CA aps a determinao do mdulo da impedncia este valor pode serutilizado na determinao da corrente do circuito, da mesma maneira que seu ngulo de fase serutilizado na determinao da fase da corrente.

IV.5.5 Admitncia

A condutncia j foi definida para circuitos CC como sendo equivalente a 1/R. Para

circuitos AC define-se a Admitncia Y da seguinte maneira: ZY 1= . A admitncia tem comounidade o Siemens (S). Analogamente impedncia, a admitncia uma medida de quanto umcircuito admite a passagem de uma corrente.

Ao se tomar a impedncia Z = R + jX (onde R uma resistncia e X uma reatncia), a

admitncia equivalente ser dada por Y = G + jB, onde G denominado Condutncia e BSuscetncia.

Exemplo 15: Calcular a admitncia equivalente seguinte impedncia: Z = 3 + j 4 .

A impedncia Z na forma polar dada por = 13,535Z . Tem-se ento:

SZ

Y 13,5320,013,535

11=

==

ou na forma retangular: Y = 0,12 j0,16, o que indica uma condutncia de 0,12 S e umasuscetncia de 0,16 S. Logo, a suscetncia corresponde a uma reatncia indutiva negativa.

+

+

22

22

XR

X-=B-0,16s=B

XR

R=G0,12s=G

0,16sj-0,12=Y

Exemplo 16: Calcular a admitncia equivalente do circuito abaixo com w = 200 rad/s.

.

Y 0,15 H 100 F20

50

Para transformar o circuito deve-se

primeiramente calcular XC e XL. Tem-se ento:XL = 200x0,15 = 30

XC = = 50100200

106

x

O circuito transformado apresentado a seguir.

.

20

50

Y j30 -j50

Passando para condutncias tem-se:

.

Y S201

Sj30

1

=

S457,70

1

Sj 01,001,0 +

Pode-se ento calcularY equivalente:

+=

457,70

1

30

1j

20

1Y

Y = 0,05 - j 0,033 + 0,01 + j 0,01

Y = 0,06 - j 0,023 S

Y = 97,20064,0

A impedncia equivalente dada por:

== 97,2056,151 YZ


46/65



IV.6 Soluo de Circuitos em CA

Nesta seo os teoremas e leis apresentados nos captulos anteriores para os circuitosCC sero revistos de maneira a aplic-los aos circuitos CA.

A lei de Ohm anunciada no primeiro captulo como sendo IRV .= , neste captulo serenunciada em termos da impedncia da seguinte maneira: IZV .= .

ALei das Tenses de Kirchhoff LTKenunciada no captulo dois como: A soma (ossinais das correntes e quedas de tenso so includas na adio) de todas as tenses tomadasnum sentido determinado (horrio ou anti-horrio), em torno de um circuito fechado nula vlida quando se trabalha com circuitos em CA, da mesma maneira que a Lei das Correntesde Kirchhoff LCK A soma algbrica (soma das correntes com os sinais) de todas ascorrentes que entram num n nula. As correntes que entram em um n so consideradascomo sendo positivas e as que saem so consideradas como sendo negativas.

IV.6.1 Associao em Srie de Impedncias

A frmula para o clculo da impedncia eqivalente de uma associao em srie de N

impedncias similar quela apresentada para os resistores, ou seja:

Neq ZZZZZ ++++= 321

Exemplo 17: Para o circuito abaixo calcular a corrente I e as tenses sobre cada um doselementos que o compem sabendo que = 050E e que R = 3 , XC = 3 eXL = 7 .

C

.

-

+

E

XL

XR

.I

O primeiro passo determinar Zeq. Tem-se ento:

=+=+=

++=

13,53543733

90900

jjjZ

XXRZ

eq

LCeq

Pode-se agora determinar a corrente:

A13,531013,535

050 =

==eqZ

EI

Pode-se agora calcular a tenso sobre cada um dos elementos utilizando a lei de ohm:

V13,5330

0313,5310).(

=

===

R

R

V

RIV

V13,14330

90313,5310).(

=

===

C

CC

V

jXIV

V87,3670

90713,5310).(

=

===

L

LL

V

jXIV


47/65


48/65


49/65


50/65


51/65



Exemplo 22: Para o circuito abaixo, determinar o Equivalente de Thevenin em relao aos

pontos AB e ento a tenso E1 .

-j5 j10 A

-

+

B

A305 V9020 1E

10

Determinao da Impedncia de Thevenin, ThZ .

/Z /j5Th = 10

.(

Zj5)

10 + j5Th =

10

, ,ZTh =

50 90

1118 26 57

, ,ZTh = 4 47 63 43

Pode-se agora determinar a tenso de Thevenin ThE .

-j5 j10 A

-

+

B

V9020 I

10 ThE

Utilizando a regra do divisor de tenso

tem-se:

., ,

E20 90

10 j5 j10Th =

+=

10

200 90

1118 26 57

, ,E VTh = 17 89 63 43

Utilizando o Circuito Eqivalente de Thevenin apresentado abaixo pode-se finalmente

calcular a tenso E1 .

A

-

+

B

A305 V43,6389,17 =Th

E1E

= 43,6347,4Z Th

)305()43,6347,4(43,6389,17E1 +=

, , , ,E1 = + 17 89 63 43 22 35 93 43

V14,8088,38E

31,38j66,6E

22,31j1,34-16,00j8,00E

1

1

1

=

+=

+=

IV.6.6 Mtodo das Correntes de Malha

A nica diferena entre o mtodo das correntes de malha apresentando para os circuitos

CC e o que deve ser utilizado em circuitos AC que a matriz de resistncias dos circuitos CC

deve ser substituda pela matriz das impedncias para os circuitos AC. Tem-se ento que:

IZE .= .

Exemplo 23: Determinar a tenso V para que a tenso sobre a impedncia 2 + j 3 da figura

abaixo seja nula.


52/65


53/65


54/65



3 4

-j4

AZ

BZ

A C

B

CZ

=

=

= 74,2949,1

74,2906,8

12

47

43

jZA

=

=

= 26,6098,1

74,2906,8

9016

47

)4(4

j

jZ

B

=

=

= 26,6049,174,2906,8

901247

)4(3jjZC

Pode-se agora remontar o circuito utilizando as impedncias calculadas. Tem-se ento:

1Z

I

+

C

-

A

V30200 j1

-j2

B

26,6049,1

74,2949,1

26,6098,12 + j1,5Pode-se ento calcular a

impedncia 1Z do circuito acima

comeando por cada um dos braos

em que os pontos B e C so

intermedirios:

1,98-60,26 + j1 = 0,98 - j1,72 + j1 = 0,98 - j0,72 = 1,22-36,30

1,4929,74 - j2 = 1,29 + j0,74 - j2 = 1,29 - j1,26 = 1,8-44,33

=

=

+

= 54,3973,0

09,4101,3

63,8020,2

33,448,130,3622,1

33,448,130,3622,11Z

Pode-se agora calcular TZ

:76,13,15,1239,540,7360,261,491,5j2ZT jj ++=+++=

== 4,48-3,31j0,263,3ZT

Finalmente pode-se calcular a corrente I. A corrente solicitada no fasorial. Deve-se

portanto utilizar somente o mdulo da impednciaT

Z e da tenso aplicada ao circuito

final. Tem-se desta maneira: A42,603,31

200=I = .


55/65

V POTNCIA EM CIRCUITOS CA

V.1 Potncia Senoidal

-

+ Circuito

Eltrico

i(t)

e(t)

A Potncia Instantnea p(t) de um circuito eltrico em corrente alternada dada por

)().()( titetp = e a energia lquida fornecida pela fonte entre os instantes t1 e t2 dada por:

W(t ) W(t ) e(t).i(t)d(t)2 1t

t

1

2

=

A potncia p pode ter valores positivos e negativos dependendo do instante considerado.

Uma potncia p positiva indica uma transferncia de energia da fonte para o circuito, ao passo

que, um valor negativo corresponde a uma transferncia de energia do circuito para a fonte.

A potncia instantnea )().()( titetp = dada em funo do tempo. Temos portanto que:

e(t) = Emx .sen (wt + )

i(t) = Imx. .sen (wt + )

E

I

Ref.

Se adotarmos - = e mudarmos areferncia temos:

E

IRef.

Adotando a mudana de referncia temos:

e (t) = Emx sen (wt + )

i (t) = Imx sen wt

e a potncia instantnea p dada por: p(t) = Emx sen (wt + ) . Imx sen wt.

Se lembrarmos que: ( )[ ]sen sen cos cos( ) = +1

2 e que

= (wt + ) e = wt, tem-se:


56/65


57/65


58/65


59/65

Eletrotcnica Geral V. Potncia em Circuitos CA

DLSR/JCFC - UNESP/FEG/DEE 5/11/

V.2.1 Potncia Complexa

A potncia eficaz absorvida por um elemento passivo sobre o qual aplicada uma tenso

de vefef VV = (vj

ef eV

. ) e pelo qual passa uma corrente de iefef II = (ij

ef eI. ), foi definida

como sendo: ( )ivefef IVP = cos.. . Representando este valor com a frmula de Euler, tem-se:

( )ivj

eefef eRIVP

=.. ou ( )

iv j

ef

j

efe eIeVRP

=.

Na frmula acima pode-se verificar que a parcela vj

efeV corresponde ao fasor de tenso.

J a parcela ij

efeI

corresponde ao conjugado do fasor de corrente original. Portanto, tem-se

que: ( )*. efefe IVRP =

Desta maneira, como [ ]SRP e= , pode-se dizer que a Potncia aparente complexa, S dada por:

*. efef IVS =

Pode-se representar a potncia aparente em termos dos fasores da tenso e da corrente.Tem-se ento:

+ S=senj.E.I+cosIE.=jQP=I.E=S

Como pode ser observado, a potncia ativa e a reativa so componentes da potncia

aparente, conforme apresentado acima.

Frmulas (E = ERMS I = IRMS):

1. [ ]SRR

EI.RcosE.IP e

2

R2 ====

2. [ ]SIX

EIXsenI.EQ m

2

X2 ====

3. S E.I Z.IE

ZP Q

22 2= = = = +2

4.S

P

E

E

Z

RcosFP R ====

5.

R

X

E

Etg

R

Xtg

P

Qtg 111 ===

6. S = E .I

7. )2cos(.cos.)( += tSStp

8. W(t) = p(t)dtt

t

1

2

Exerccios:

1. Determinar o de potncias de cada ramo do circuito sendo de 20 W a potncia consumidano resistor de 2 . Determinar tambm o de potncia total e o FP.

1I

2

-j5

1

j1

1V

I 2I A16,310II.220I.R20 1

2

1

2

1 ====

Z1 = + =2 5 5 3852 2 ,

V Z I1 1 1= V1 = Z1I1

V1 = 5,385 x 3,16 = 17,02 V


60/65


61/65



3. Dado um circuito com V30500=E e A6010 =I (valores eficazes) determinar o depotncias.

AIES V3050006010.30500. * ===

VA)(-30sen5000j+(-30)cos5000=S

S = 4330 - j 2500 VA

P = 4330 W

Q = 2500 VAR (capacitivo)

4330

2500tg 1-=

= 30 adiantado

4330 W

2500 VAR

5000 VA

30

4. Calcular a corrente na linha, a potncia consumida e o FP global de um circuito monofsicode distribuio de 110 V, 60 Hz, que alimenta as seguintes cargas em paralelo:

a. 10 lmpadas incandescentes de 100 W cada

b. 20 lmpadas fluorescentes, que consomem 40W cada lmpada com reator de 8W(cada) com FP global de 0,9 atrasado.

c. 2 motores de induo que consomem 1 kW com corrente de 12A cada, atrasado emrelao a tenso.

d. Um forno eltrico a resistncia de 1 kW.

Adota-se V0110 =E .

Para a carga a tem-se um circuito puramente resistivo e tem-se:

FP = 1

P = 10.100 W = 1000 W

Q = 0 e S = 1000 VA

A009,9011001000

.

VA0100001000**

* =

=

==

=+=+=

E

SIIES

jjQPS

a

Para a carga b tem-se um circuito reativo e tem-se:

FP = 0,9 (atrasado) == 84,25)9,0(cos 1b

P = 40.20 + 8.20 = 960 W

Q = P.tg b = P.tg (cos-1 0,9) = 464,94 VAR

VA67,106694,464960 2222

=+=+=QPS

VA84,2567,1066 =S


62/65



A84,2570,90110

84,2567,1066.

**

* =

=

==

E

SIIES b

Para a carga c tem-se um circuito reativo e tem-se:

S = E . I = 110 . 12 = 1320 VA

VAR63,86110001320PS=Q 2222 ==

A75,40240110

75,402640.

VA75,40264063,861.21000.2**

* =

=

==

=+=+=

E

SIIES

jjQPS

c

Para a carga dtem-se um circuito puramente resistivo e temos:

FP = 1

P = 1000 W

Q = 0 e S = 1000 VA

A009,90110

01000.

VA0100001000**

* =

=

==

=+=+=

E

SIIES

jjQPS

d

A seguir apresenta-se, de forma tabular, os resultados obtidos acima para cada uma dascargas, bem como os totais para cada quantidade.

Carga P(W) Q(VAR) S (VA) I (A)

1 1000 0 01000 009,9

2 960 464,96 (ind) 84,2566,1066 84,2570,9

3 2000 1723,25 (ind) 75.402640 75,4000,24

4 1000 0 01000 009,9

Total 4960 2188,21 (ind) 81,2322,5421 81,2329,49

Pode-se calcular os valores solicitados para conferir com as somas obtidas na tabelaacima.

WPTotal 4960=

A81,2328,490110

81,2322,5421.

VA81,2322,542121,21884960**

* =

=

==

=+=+=

E

SIIES

jjQPSTotal

atrasado91,0)81,23cos( ==FP

V.3 Correo do Fator de Potncia

As alimentaes eltricas, a partir de uma demanda instalada so feitas atravs de trsfases. Os sistemas industriais em geral possuem um componente indutivo preponderante devidoao grande nmero de motores. Cada carga individual tende a ser uma resistncia para um FP


63/65



unitrio ou uma impedncia indutiva com FP em atraso. Todas as cargas so ligadas em paraleloe a impedncia equivalente resulta em uma corrente em atraso e uma potncia reativa indutiva Q.Se o FP baixo (menor que 0,92), devido a programa de tarifao das companhias distribuidorasde energia a empresa deve pagar uma multa. Para que isto no ocorra existe a necessidade decorreo do FP. Para corrigir o FP so ligados capacitores ou bancos de capacitores nosequipamentos ou no transformador na subestao.

P

S1

1

Q1

P

S2

2Q2

Situao original:

FP1 = cos 1

P

Qtg 11 =

Q1 = P.tg 1

Situao final (desejada):

FP2 = cos 2

P

Qtg 22 =

Q2 = P tg 2A Potncia Reativa a ser fornecida pelo capacitor ou banco de capacitores dada por: Q 1

- Q2 = Q.

Q = P(tg 1 - tg 2)

Do formulrio apresentado no incio do captulo tem-se que XEX2Q = , ou seja, a

potncia capacitiva dada pelo quadrado da tenso aplicada ao capacitor dividido pelo valor dareatncia capacitiva. Como os capacitores sero ligados em paralelo com a carga, a tensoaplicada aos mesmos ser a prpria tenso de alimentao: EX = EAL. Tem-se ento que

C

2AL

X

E=Q . Como

fCCXC

2

11== o valor do capacitor necessrio para efetuar a correo do

fator de potncia dado por:

C =Q

2 f EAL2

Exemplo: Um transformador de 25 kVA (potncia nominal) operando em 127 V, 60 Hz fornece12 kW a uma carga com FP = 0,6 atrasado.

a. Determinar a porcentagem de plena carga que o transformador alimenta.

b. Desejando-se alimentar cargas com FP unitrio com este transformador, quantosKW podem ser acrescentados, at que o transformador esteja em plena carga?

c. Se as cargas adicionais tiverem FP 0,8666 adiantado, quantos kVA dessa cargasero necessrios para levar o transformador a operar com sua capacidade plena decarga?

d. Nestas duas situaes qual o FP final, e qual a capacitncia necessria, se for

preciso, para que o FP fique acima de 0,92 indutivo.


64/65



a) A plena carga, o transformador opera com 25 kVA. Para se calcular a porcentagemde plena carga, deve-se portanto calcular a potncia aparente para a carga em questo(12 kW com fp=0,6 atrasado)

Pa = 12 kW fpa = 0,6 atrasado

a = cos-1(0,6) = 53,13

Qa = Pa tg a = 16 kVAR

kVA20QPS 2a2aa =+=

ST = 25 kVA

80%=.100%25

20%100.% ==

T

a

S

S

12 kW

a

16 kVAR

Logo o transformador est operando a80% de plena carga.

b) solicitado a quantidade de carga com fp=1 (puramente resistivas) que se pode

adicionar (P) at que o transformador esteja operando a plena carga (Sb/ST=1). Comoser adicionada somente carga resistiva, Qb = Qa.

Pa=12 kW

Qa=Qb

P

Sb=25 kVA

b

22b

22b

1625P

P

=

= bT QS

Pb = 19,2 kW

P = 19,2 - 12 = 7,2 kW

c) Neste item solicitada a quantidade de carga com fp=0,8667 adiantado que se deveadicionar para que o transformador opere a plena carga (Sc/ST=1). Com fp=0,8667adiantado teremos a adio de potncia ativa e reativa (PC e QC). A figura abaixoapresenta esta situao.

Pa

Qa

c

Pc

QcSa

Sc

Sa

Pc

QT=Qa-QcST

PT=Pa+Pc

cf

1612 jSa +=

Carga adicionada:

c = cos-1(0,8667) = 30

ccc QjPS +=

Potncia aparente a plena carga:ST = 25 kVA

cc QP

tg

73,1

58,0P

Q30

P

Q=tg

c

c

c

cc

=

==

)Q-(16jP12SSS

S

cccaT

T

++=+=

+=

TT QP

( )

( )

( )

025,5639,2

32256357,41144625

)Q-(16Q73,112625

)Q-(16P1225

)Q-(16P12S

2

22

2c

2c

2c

2c

2

2c

2cT

=+

++++=

++=

++=

++=

cc

cccc

QQ

QQQQ

Calculando o delta para a equao tem-se:

= 5,72 + 225 = 230,7

kVAR40,62

19,1539,2Qc =+=


65/65


Pc = 1,73Qc = 11,08 kW

kVA8,12QPS 2c2cc =+=

d) O fator de potncia final dos itens b e c obtido do tringulo de potncia final. Assimtem-se:

atrasado768,025

2,19SP)b(FP

b

bT ===

atrasado923,025

08,23

52

PP)c(FP aT ==

+= c

O fator de potncia final do item b, menor que 0,92 e necessita portanto decorreo.

Q = P(tg cos-1 b- tg cos-1 0,92)

Q = 19,2 (tg cos-1 0,768 - tg cos-1 0,92)

Q = 19,2 (0,834 - 0,426) = 7,83

C =Q

2 f E2

=

7 830

2 60 127 2,

. ( )

C = 1288 F

Portanto deve-se colocar um capacitor de 1288 F em paralelo com as cargaspara que o fator de potncia final seja igual a 0,92.

Documents

Unid 1.1 Revisao de Circuitos Eletricos I Parte I (DLSR JCFC)