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Módulo de um número real, cálculo combinatório e probabilidades( I Trimestre 2013)
Escola Secundária Mateus Sansão Mutemba-Beira.Texto apoio da 12ª classe.15 de Janeiro de 2013 Elaborador pelo docente:Luís Comodo Dique. E-mail:[email protected] Page 1
6 de Fev Unidade tematica I:Módulo de número real
Objectivos especificos:
Definir o que é o módulo de um número real;
Resolver equações e inequações com módulos de forma gráfica e analítica;
Consturir gráficos de funções modulares do tipo )()( xfyexfy ;
Determinar o domínio, o contradomínio, os zeros da função modular e indicar a monotonia e a
variação do sinal da função modular.
1.Definição do módulo de um número real
Sendo x um número real que se corresponder ao ponto “ A” do eixo real com origem no ponto “ O” como se
indica na figura:
O A
0 |x| x
Chama -se módulo de um numero real x e representa-se por |x| à distancia entre um ponto qualquer e a
origem desse ponto.
Veja os exemplos asseguir:
a) 33 b) 5
4
5
4 c) 55 d) 7,07,0 e) 22 f) 00
Portanto, módulo de um número é o seu valor absoluto desse sem considerar o seu sinal, ou seja, se o
número for positivo, o seu modulo é esse numero mas, se for negativo , o seu modulo é o seu simétrico
e é zero se é zero.
Simbolicamente representa-se: IRxxsex
xsexx
,
0
0
2.Propriedades do módulo de um número real
Sendo x e y dois números reais diferentes de zero, cujos os módulos destes satisfazem os seguintes itens
abaixos:
a) 0x b) xx c) xxx d)2xx e) yxyx f) yxyx g)
yxyx .. h)y
x
y
x i) yxyxyx j)se axaaxax
k) se axaxaxax
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6 de Fev
Exemplos dos dois últimos itens
1. 41822532533523352 xxxxx
O valor 3 é um positivo,então os valores que satisfazem a condição ilustrada acima está entre 1 e 4.
2.2
13
2
1672672726726726 xxxxxxx
Os valores que satisfazem a condição acima são os valores não superiores a 2
1 ( inferiores ou iguais) ou
não inferiores a 2
13( superiores ou iguais ).
3. Interpretação geométrica de módulo da diferença de dois números
O valor absoluto de um número x é, na reta, a distância entre o ponto x e a origem do sistema coordenado
Vamos representar a distância por de assim teremos ),0( xdx
d d
x 0 x
Isto é, x corresponde a distância do ponto x ao ponto 0 ( origem do sistema coordenado)
Os números que distam x unidades da origem são xex
Exemplo
1. )5,0(5 d
5 0 5
Os números que distam 5 unidades da origem são -5 e +5, pois 5555 e
Se os números reais x e y estão associados aos pontos X e Y na recta real ( eixo das abcissas), ouseja, são as
coordenadas de X e Y, então yx corresponde à distância do ponto Xao ponto Y.
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6 de Fev Isto é : ),( yxdyx
),( yxdyx
0 x y
Exemplos
1. )4,2(42 d
6 unidades
4 0 2
De acordo com a representação acima, significa que 6)4,2(42 d
2. )8,3(83 d
5 unidades
8 3
5)8,3(83 d
3. )8,3(83 d
5 unidades
3 8
Procedimentos: contar os tracinhos patentes no eixo do sistema coordenado, partindo do número que esta á
esquerda, consederando com ponto de partida ( origem do sistema coordenado) até encontrar o número que
esta á direita do sistema.A seta mostra o ponto de partida e chegada.
Para calcular analiticamente o módulo de um número real yx podemos fazer :
xyyxyxyx
Exemplos:
1. 176)7(676 2. 7)15(8158 3. 6)6(12612
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6 de Fev 4.Função modular do tipo )()( xfyexfy
Definição: chama-se função modular à função do tipo f(x) = | x |.
A função modular é definida por sentença ( partes ou ramos) .Ou seja a função modular pode ser
transformada em duas possibilidades, a saber: quando a função que está no módulo for positiva ( + ), ela
permanece como está e quando a função que está no módulo for negativa ( – ), troca-se o sinal da
função.
Isto é :
0,
0,)(
xsex
xsexxxf , IRx
4.1.Função modular do tipo )(xfy
a) Consideremos a função xxf )( .
Na representação gráfica de uma função modular devemos considerar aluguns critérios tais como:
xxf )(
xxf )( , através de uma simétria em relação ao eixo da abcissas para os pontos de ordenadas
positivas ( todos os valores das ordenadas "" y , negativos transformam-se em positivos e os positivos
mantêm-se)
Veja a representação gráfica da função xxf )( ,obdecendo os critérios anteriores.
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6 de Fev b) Consideremos a função 2)( xxf .Obdece-se o mesma ideia da anterior
2)( xxf
2)( xxg
c)Consideremos a função 3)( 2 xxf .
Comecemos por representar o gráfico da função 3)( 2 xxf
Estudar os zeros da função ( se 0)( xf )
Determinar coordenadas de vertice
)(
2vvv xfye
a
bx
Constrói o gráfico de 3)( 2 xxf ,através de uma simétria em relação ao eixo das abcissas.
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6 de Fev d) Consideremos a função 56)( 2 xxxf .
4.2.Função modular do tipo )( xfy
Consideremos a função 2)( xxf
Comecemos por representar o gráfico de 2)( xxf
Constrói o gráfico de 2)( xxf ,através de uma simetria em relação ao eixo da ordenadas
Veja a representação gráfica da função dada.
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6 de Fev Consideremos a função definida por 56)( 2 xxxf
Comecemos por representar o gráfico da função 56)( 2 xxxf
Determinar os zeros da função
Determinar coordenada de vertices
Constrói o gráfico de 56)( 2 xxxf através de uma simetria em relação ao eixo da ordenadas .
Tendo em consideração: 00 xex .
4.3.Domínio, contradomínio,zeros da função, monotonia e variação do sinal de uma
função modular
Vamos estudar diversos aspectos de funções envolvendo módulos, através da análise dos seus gráficos
Consideremos a função 13)( 2 xxxf
Começa-se por construir o gráfico da função dada
Em seguida faz-se a leitura do gráfico
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6 de Fev
Domínio da função: IRx
Contradomínio: ;1y
Zeros da função:2
53
2
530)( 21
xxxf
Monotonia:Para que valores de x é que 0)( xf ( a função é crescente):
;3
2
3;0x
Para que valores de x é que 0)( xf ( decrescente):
3;
2
30;
A função é positiva expecto os intervalos que situam abaixo do eixo das abcissas e negativa excepto
os intervalos que se encontram acima dos eixos das abcissas.
4.4 Equações e inequações modulares
a) Equações modulares do tipo axf )(
Vamos resolver a equação 23 x
Podemos determinar a solução desta equação aplicando o método geometrico,na qual os números reais x
distam 2 unidades do número 3, ou seja, considerando número 3 como ponto central, deslocando 2 unidades
( positivass) á direita e 2 unidades á esquerda ( negativas)
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6 de Fev 2 unidades 2 unidades
1 2 3 4 5 x
Os números que distam 2 unidades do número 3 são 1 e 5.Isto é , 23 x , se 51 xx .A extremidade de
cada seta corresponde a solução da equação.
Também podemos resolver uma equação modular usando a definição do módulo.Assim:
31
35
0323
032323
xsex
xsex
xsex
xsexx
As duas soluções pertencem nas respectivas condições, isto é 1 e 5 são soluções da equação.
Podemos, ainda resolver uma equação modular considerando a propriedade alinea ddeste texto de apoio ( 2xx )
Então:
51
051056496232323 22222
xx
xxxxxxxxx
b) 152 x
36215252 xxxx .
Condição de validade: 5.22
5052 xxx
3x pertence á condição de validade 5,2x
23215215252 xxxxx
Condição de validade: 5.22
5052 xxx
2
3x é valida na condição 5,2x .
Então 2 e 3 são soluções da equação.
c) Vamos resolver a equação 1212 xxx
Esta igualidade para que sentido é necessário que 012 x , pois sabemos que o módulo de qualquer número real é
sempre positivo.
Assim a variável x será do tipo 2
112012 xxx
Resolvendo teremos:
1021
010210023
121121121
22
222
xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxx
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6 de Fev
Pela condição 2
1x , 01 xex não faz parte ao conjunto solução por serem menores da condiçào imposta. A
solução procurada é 21 xex
b) Inequações modulares do tipo axf )( ou axf )(
Inequações do tipo axf )(
Resolver a inequação, significa determinar quais os números reais cuja distancia à origem O, são
maiores ou iguais ao número positivoa
Vamos resolver a equação 3x
A resolução consiste na determinação do conjunto de números reais que se localizam a mesma distância superior a 3
unidades em relação a zero.
3 0 3
O conjunto solução é 33: xxIRx
Em geral, a equação do tipo ax , sendo 0a , é axaxIRxS :
Resolve a inequação 232 x
2
5
2
1
52
12
232
232232
x
x
x
x
x
xx
2
5
2
1: xxIRxS
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6 de Fev Inequações do tipo af(x)
Vamos resolver a inequação 3x .
Resolver a inequação acima, significa determinar quais os números reais cuja distancia à origem O, são
menores ao número positivo 3.
33 x
3 0 3 x
O conjunto solução é 33: xIRx
Vamos resolver 532 x
12
222532532 xxxxx
42
882532532 xxxxx
41: xIRxS
Podemos resolver inequações modulares usando a propriedade : 22 axax
)14()14()022082()022082(
0)22)(82(0)532)(532(0532532532 2222
xxxxxxxx
xxxxxxx
Analisando a resolução apresentada, a solução da inequação será 41 xx , ou seja representando
no eixo real,teremos:
1 0 4 x
Vamos resolver a inequação 323 xx
)20()20()0630()0630(063
032332303233233232222
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
20: xxIRxS
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6 de Fev Exercícios de consolidação
1.Associa V e F ás seguintes proposições:
a) 77 b) 7997 c) )8(8 d) 8
5
8
5 e) 119119
2.Indique o módulo dos seguintes números:
a) 8 b) 95 c) 108 d) 95
3.Calcule, geometricamente, os seguintes módulos:
a) 45 b) 53 c) 48 d) 32
4.Calcule analíticamente o número 3.
5. Seja dada a função
1,log
1,1)(
1
2 xse
xsexxf
x, esboce gráficos das seguintes funções:
a) )(xfy b) )(xfy c) )( xfy d) )( xfy
6.Constrói o gráfico e indique o domínio e o contradomínio da função 3)( xxf
7. Sobre a função 1)( 2 xxf , responde as seguintes questões:
a)Para que valores se x é que 0)( xf , 0)( xf e 0)( xf ?
b) Para que valores de x é que )(xf é crescente ou decrescente?
8.Faz on estudo da monotonia e da variação do sinal e indica os zeros e o contradominio da função abaixo
Fig.01
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6 de Fev 9.Resolve as seguintes equações modulares:
a) 95 x b) 42 x c) 223 x d) 8
1
2
1
4
3x e) 231 xx
f) 231 xx g) 82232 xxx h) 263 xx i) xx 2323
j) 062
xx k) 3
123 xx l) 12 xx , para 12 x o) 1232 xxx
p) 01522 xx
10.Resolve as seguintes inequações modulares:
a) 32 x b) 0113 x c) 232 x d) 652 xx e) 652 xx
f) 0 x g) 4x h) 0232
xx i) 0132
xx k) 1582
xx
l) 01892
xx m) xx 547
11. O gráfico abaixo representa a função 1)( 2 xxf
Fig.02
Resolve as seguintes inequações: a) 312 x b) 312 x c) 110 2 x
12.Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: a) 2)( xxf b) 13)( xxg
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6 de Fev Mini- Teste 01
ESCOLA SECUNDÁRIA MATEUS SANSÃO MUTEMBA-BEIRA
MATEMÁTICA CIÊNCIAS 1° TRIMESTRE/ 1° TESTE
12ªCLASSE DOCENTE:COMODO DIQUE DURAÇÃO: 90 minutos
Esta prova contém 30 perguntas com 4 alternativas de respostas para cada uma. Escolha a
alternativa correcta RISQUE a letra correspondente na mesma.
1.Qual é a proposiçãon equivalente ba ?
A. ba B. ba C. ba D. ba
2.Considere as seguintes expressões :I:5
14 ; II: 3353 ; III: 012 x ; IV: 106 .
Quais representam proposições?
A.I e II B.I e III C.II e IV D.III e IV
3.Considere o conjunto 3;1;0;1;2 M .Qual é a proposição verdadeira?
A. 102: xMx B. 402: xMx C. 179: 2 xMx D. 1: 2 xxMx
4.Considere a seguinte tabela: p q p q qp qp
V V F F F t
V F F V x V
F V V F F z
F F V V F F
Quais são os valores de x, t e z, respectivamente?
A.VVV B.VVF C.FVF D.VFV
5. Qual é a escrita simbólica de “ o quadrado de um número real é não negativo”
A. 0: 2 xIRx B. 0: 2 xIRx C. 0: 2 xIRx D. 0: 2 xIRx
6. A soma de quaisquer números naturais é sempre maior que zero.Qual é o quantificador
correcto?
A. 0:, yxINyx C. 0:, yxINyx
B. 0:, yxINyx D. 0:, yxINyx
7. Qual é a negação ?312: xIRx
A. 312: xIRx C. 312: xIRx
B. 312: xIRx D. 312: xIRx
8. Qual das expressões é racional inteira?
A.5
328
x
x B.
4
12
x
x C. xx 352 D. 75
3
2 2 xx
9.Qual é o valor de m na equação 2
2
8
22 logloglog m
?
A.16 B.8 C.4 D.2
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6 de Fev
10.Qual é o valor de 32
3227
1
3
32
2 log2loglog ?
A.1 B.5 C.7 D.8
11.Qual é a equação cujas raizes são 2
7 e 1?
A. 0752 2 xx B. 0752 2 xx C. 0752 2 xx D. 0752 2 xx
12.Qual é a soma das raizes da equação 043 23 xxx ?
A. 4 B. 3 C. 0 D. 1
13.Qual é a solução da equação 032 x ?
A.3B.5 C.7D.11
14.Qual é a expressão equivalente a 1
1
x
x?
A.1
1
x B. 1x C.
1
1
x
x D. 1x
15.Qual é o valor numérico de
413
201
131
?
A.-3 B.-2 C.2 D.3
16.Considere a equação 4
22
313
111
k
?
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
17..Sabendo que o valor do produtoescalar entre osvectores
4
12be
ka é igual a 18. Qual é o
valor de k?
A.1 B.2 C.3 D.4
18.Quais as coordenadas do ponto médio do segmentocujasextremidadessão ?5;87;2 e
A.(2;3) B.(3;4) C.(5;6) D.(6;5)
19.Qual é a distância entre os pontos A (1;2) e B(4;5)?
A. 8 B. 14 C. 18 D. 24
20.Qual é a equação da recta que passa pelo ponto A (5;-3) e é paralela á recta ?12 xy
A. 132 xy B. 132 xy C. 12 xy D. 12 xy
21.Qual é a distância do ponto P( 2;5) á recta de equação ?643 yx
A.0 B.1 C.2 D.4
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6 de Fev 22.Qual é o valor de 3660cos ?
A.2
3 B.
2
1 C.
2
1 D.
2
3
23.Qual é o valor numérico da expressão
60cos33
3
30sin22
2?
A.3
5 B.
3
8 C. 2 D.8
24.Qual é a expressão simplificada de 1)()cos(
1
xtgx?
A.xx sincos
1
B.
1cos
1
tgxx C.
xx sincos
1
D.
xcos2
1
25.Qual é a expressão simplificada de senxx
x
cos
2cos?
A. senx2 B. xsenx cos C. gxcot D.senx
1
26.Que valores de, k pode tomar, para que a equação kx 423 NÃO tenha solução?
A. 4;k B. 4;k C. ;4k D. ;4k
27.Qual é a soma das raizes da equação ?23 x
A. 6 B. 5 C. 4 D. 1
28.Considere a inequação 0 x .Qual é a solução?
A. B. 0; C. ;0 D. IR
29.Qual é a solução da inequação ?23 x
A. ;15; B. ;15; C. 1;5 D. IR
30.Qual é a expressão analítca da função cujo o gráfico está representado na figura?
A. 2)( 2 xxf B. 2)( 2 xxf C. 4)( 2 xxf D. 4)( 2 xxf
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6 de Fev
Unidade temática II:Cálculo combinatório e probabilidades
Objectivos especificos:
Aplicar fórmulas de factorial, arranjos, combinações e permutações de um número natural
para resolver problemas reais da vida;
Destinguir arranjos, permutações e combinações;
Aplicar a fórmula de Binómio de Newton para efectuar desenvolvimento denyx )( , sendo
n um número natural;
Calcular frequências absolutas relativas para cálculo de probabilidade;
Aplicar probabilidades para resolução de problemas práticos;
Calcular probabilidades de acontecimentos incompactíveis equiprováveis;
Resolver problemas de determinação da probabilidade de um acontecimento em casos
simples.
Cálculo combinatório e probabilidades
O cálculo combinatório é a parte da Matemática que se dedica ao estudo da constituição de grupos
formados com todos os elementos ou com alguns dos elementos dados, grupos que podem definir uns dos
outros, quer pela natureza dos elementos, quer pela ordem como estão dispostos.
A história das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roletas.Esse é o motivo
pelo qual há tantos exemplos de jogos de azar no estudo das probabilidades.A teória da probabilidade
permite que se calcule a probabilidade de ocorrência de um face numa experiência aleatória.
1.Factorial e cálculo com factorial de um número natural
Factorial de um número natural n diferente de zero ao produto de todos números naturais e sucessivos
desde n até 1.Factorial de n represnta-se por n!
Se 1!00 n e 1!11 n
Pela definição tem-se: .1)....4)(3)(2)(1(! nnnnnn
Exemplos:
1. Calcule os factoriais seguintes : a) 21.2!2 b) 1201.2.3.4.5!5 c) 241.2.3.4!4
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6 de Fev
2.Simplifique as expressões:
a) 6!5
!5.6
!5
!6 b) 3603.4.5.6
!2
!2.3.4.5.6
!2
!6 c) )1:(,
!)1(
!)1(
!)1(
!
nINnn
n
nn
n
n
d)5
7
)16(!5
)16(!5
!5!5.6
!5!5.6
!5!6
!5!6
e) 23)1)(2(
!
!)1)(2(
!
)!2( 2
nnnnn
nnn
n
n
3. Resolva em IN as equações:
a) 1010!)1(
!)1(10
!)1(
!
n
n
nn
n
n; 10S
b) 11;1111010110!)2(
!)2()1(10
!)2(
!)1(
Snnn
n
nn
n
n
c) 8;88)1(!)1(
!)1()1(8
)1()!1(
!)1(
Sn
nn
nnn
nn
n
2. Arranjos simples (sem repetição): Definição e fórmula de arranjos An
p.
Consideremos uma palvra qualquer que conhecemos. Por exemplo, ROMA. Mudando a ordem das letras,
obtemos sempre com palavras com significados e até palavras sem significado algum.
Eis as palavras:AMOR, MORA, RAMO, MRAO, ROAM, RMOA,…
Agrupamentos que têm a caractéristica de mudar quando alteramos a ordem dos elementos, como é o caso
das letras das palavras anteriores, são designados de arranjos simples.Nos arranjos, a ordem dos
elementos é significativa.
Definição:Arranjos simples de n elementos agrupados p a p ao número de grupos que se podem formar
com p elementos dos n elementos dados, definidos uns dos outros, quer pela natureza e pela ordem desses
elementos.
Fórmula: Representa-se por ):(,!)(
!pnINn
pn
nA
n
p
Exemplos:
1.Calcule
a) 123.4!2
!2.3.4
!)24(
!44
2
A b) 603.4.5!2
!2.3.4.5
!)35(
!55
3
A
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2.Determine o valor de n, sabendo que .302 nA
650605
0)6)(5(03030)1(30!)2(
!)2)(1(30
!)2(
!30 2
2
nnnn
nnnnnnn
nnn
n
nAn
6:: nINnS .
3. Dispomos dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.Quantos números de três algarismos distintos podemos
escrever?
O conjunto é formado por 6 elementos )6( n , pretende -se formar grupos de números com três algarismos
)3( p
Pela fórmula teremos: 1204.5.6!3
!3.4.5.6
!)36(
!6
!)(
! 6
3
Apn
nAn
p
Significa que podemos escrever 120 números de três algarismos distintos.
3. Permutações simples: Definição e fórmula de permutações simples Pn.
Definição: Permutações simples de n elementos do conjunto finito são arranjos em que participam todos os
n elementos disponiveis.
Fórmula: Designa-se permutações simples de n elementos por !nPn (lê-se permutações de n elementos)
Exemplos:
1.Calcule
a) 61.2.3!33 P b) 1201.2.3.4.5!55 P c) 451!5!)1(120)1( nnnP n
c) 541!4!)1(24!)1( nnnnnn
2.Quantos números de quatro algarismos podemos escrever com os números 1, 3, 5 e 7 sem repeti-los?
Pela fórmula: 241.2.3.4!44 P
3.Com as letras da palavra MATIQUE
a) Quantos anagramas podem escrever: 50401.2.3.4.5.6.7!77 P
b) Quantos anagramas começam por T: Fixando T, podemos permutar as outras 6 letras , assim teremos
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6 de Fev
7201.2.3.4.5.6!66 P
c) Quantos anagramas começam por A e terminam por U ?
Fixando A e U podemos permutar as restantes 5 letras e teremos 1201.2.3.4.5!55 P
NOTA: ANAGRAMA é o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não
significado na linguagem comum.
4. Combinações simples: Definição e fórmula de combinações simples
!!)(
!
ppn
nC
n
p .
Definição: Chama-se combinações simples de n elementos agrupados p a p, ao número de grupos que se
podem formar com p dos n elementos, deferindo uns dos outros pela natureza dos seus elementos.
Fórmula: !!)(
!
ppn
nC
n
p
’ com INpnp ,0
Significado:Cn
p representa o número de subconjuntos de p elementos que é possível formar num conjunto de
n elementos.
Exemplos:
1.Calcule as combinações seguintes:
a) 567.86
6.7.8
1.2.3
6.7.8
!3!5
!5.6.7.8
!3!)38(
!88
3
C
b) 102
20
1.2
4.5
!2!3
!3.4.5
!2!)25(
!55
2
C
2.Determine o valor de n, sabendo que 102C
n
450)4)(5(020
20)1(2.10)!2(
)!2)(1(10
2)!.2(
)!2)(1(10
!2)!2(
!10
2
2
nnnnnn
nnn
nnn
n
nnn
n
nC
n
5:: nINnS
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3.Quantos subconjuntos de 3 elementos o conjunto 9;7;5;3;1A possui?
Um dos subconjuntos de A com 3 elementos é 5;3;1 .Mudando a ordem dos elementos obtemos os
conjuntos 3;5;1 , 1;5;3 , 1;3;5 , 3;1;5 e 5;1;3 , que são todos iguais, pois nos conjuntos a ordem dos
elementos não é significativa. Logo, os conjuntos são exemplos de combinações.O número de combinações (
subconjuntos de A de 3 elementos) é dado por 102
20
!3!2
!3.4.5
!3)!35(
!55
3
c
O número de subconjuntos de A com 3 elementos é 10.
4.Quantas saladas de frutas com 4 frutas cada podemos preparar com 7 frutas diferentes?
Saladas de frutas são agrupamentos em que a ordem dos elementos não significativa. Portanto, trata-se de
combinações.Pretende-se saber quantas combinações ( saladas de frutas) de 4 frutas cada podemos preparar
com as 7 frutas disponiveis. O número pretendido é 356
6.35
1.2.3
6.35
!4!3
!4.5.6.7
!4)!47(
!77
4
c .
Podemos preparar 35 saladas de frutas diferentes.
5.Uma turma da 12ª Classe quer eleger, entre seis alunos, uma comissão de três alunos para organizar uma
festa. De quantas maneiras diferentes pode fazer a escolha da comissão?
A ordem na escolha dos elementos não determina, necessariamente, uma comissão diferente da outra.Trata-
se de escolher grupos de três alunos.É um problema de combinação de 6 elementos agrupados 3 a 3.
Assim 206
20.6
!3!3
!3.4.5.6
!3)!36(
!66
3
c
4.1.Propriedade de combinações simples ccn
pn
n
p
Quaisquer que sejam os inteiros n e p tais que np 0 , tem-se: ccn
pn
n
p .
Demonstração: ccn
p
n
pn ppn
n
pnp
n
pnpnn
n
!!)(
!
!)(!
!
)!()!(
!cc
n
pn
n
p
Exemplo: 10!2!3
!5
!3!2
!5
)!25(!)255(
!5 5
2
5
25
5
25
5
2
cccc .
5.Triângulo de Pascal
Chama-se Triângulo de Pascal , o Triângulo obtido pela disposição dos números binomiais em linhas e
colunas. O binomial
p
nserá colocado na linha n e na coluna p, isto é, o numerador do binomial indica
linha e o denominador indica coluna.
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6 de Fev
Coloquemos os números
p
n em sucessivas linhas, formando um triângulo equilátero.
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
146414
4
3
4
2
4
1
4
0
4
13313
3
2
3
1
3
0
3
1212
2
1
2
0
2
111
1
0
1
10
0
Obsevações:
1.Em cada linha, são iguais os números equidistantes dos extremos, isto significa, em termo de combinações
que:
pn
n
p
n
Exemplos:
a)
2
2
0
2
02
2
0
2 b)
2
3
1
3
13
3
1
3
2.A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que, linha seguinte que figura entre
eles.
Traduzindo o item 2 simbolicamente tem-se:
p
n
p
n
p
n 1
1
Exemplos:
a)
2
4
2
3
1
3
2
13
2
3
12
3 b)
3
4
3
3
2
3
3
13
3
3
13
3
c)
1
2
1
1
0
1
1
11
1
1
11
1
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6 de Fev 3.A soma de todos os números binomiais de uma linha de Triângulo de Pascal é igual a n2 ( potência de
base dois), cujo expoente é o número da linha.
Assim:
)(,21
...210
..............................................................................
.............................................................................
............................................................................
16214641
821331
42121
2211
4
3
2
1
INnn
n
n
nnnnn
GENERALIZANDO:n
n
p n
n
n
nnnn
p
n2
1...
2100
Um conjunto de n elementos tem exactamente n2 subconjuntos.
Exemplos:
1.Sem calcular os binomiais, podem escrever:
a) 3225
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
555
5
0
p p
b) 823
3
2
3
1
3
0
333
3
0
p p
6.Binómio de Newton
Definição: Binómio de Newton é toda expressão do tipo nyx , em que a e b são números reais e n
é um número natural.
Sabemos que nyx significa o produto de n factores do tipo ba , isto é:
factoresn
nyxyxyxyxyxyx ........
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6 de Fev Vejamos alguns casos:
...........................................................................................................................
16152015616
151010515
146414
13313
1212
111
10
65423324566
543223455
4322344
32233
222
1
0
yxyyxyxyxyxxyxn
yxyyxyxyxxyxn
yxyyxyxxyxn
yxyyxxyxn
yxyxyxn
yxyxn
yxn
Precebemos então que para desenvolver nyx , devemos usar como coeficientes os números
binomiais da linha n, fazer os expoentes de x decrescem de n até 0 e os de y crescem de 0 até n
O desenvolvimento nyx tem mais um termo do que o grau do polinómio
GENERALIZANDO: Por indução empírica para um binómio de expoente INn qualquer, teremos
a fórmula conhecida por fórmula doBinómio de Newton:
nnnnnnnnyx
n
nyx
n
nyx
nyx
nyx
nyx
nyx
nyx .
1.....
43.
2.
10
011443322110
Usando a notação de somatório tem-se: ppnn
p
nyx
p
nyx .
0
Termo geral do desenvolvimento: ppn
p yxp
nT .1
Exemplos:
1.Desenvolva os binómios:
a) 8110824123.4
43.
3
43.
2
43.
1
43.
0
43 23440312213044
xxxxxxxxxx
b)
54322345
543223455
3280804010
32.5
52.
4
52
3
52.
2
52.
1
5
0
52
yxyyxyxyxx
yyxyxyxyxxyx
c) 812623
32
2
32
1
3
0
32 23321233
xxxxxxx
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6 de Fev 2.Calcule o termo de sexto grau do desenvolvimento de 10
2x
No desenvolvimento de nyx , todo o termo tem a forma
ppn yxp
n.
.
No binómio 102x , todo o termo tem a forma
ppxp
2.10
10
.Se pretendemos o termo de sexto grau, basta
igualar o expoente de x ao número 6. Assim: 4610 pp .
Substituindo p por 4, teremos o termo procurado:664410
5 336016.4
102.
4
10xxxT
3. No binómio
63
xx , calcule o termo independente de x.
Neste binómio, basta procurar o termo de grau zero. Neste binómio, todo termo tem a forma
ppp
pp
pp
ppppp
p xp
xp
xxp
xx
pxx
pT 3.
63.
63..
6
3.
63.
6362
26
2
6
2
66
1
Igualando o expoente de x a zero obtemos: 2036 pp
Logo o termo procurado é: 1353.2
62
3
T
4. Calcule o terceiro termo do desenvolvimento 412 x
Todo termo do binómio é do tipo pp
p xp
T 1.4
4
1
.Para encontrar o terceiro basta igualar 2p ,teremos:
22
3
224
12 241.4.61.22
4xxTxT
5.Sendo o binómio ( ) , com .Determine para que no desenvolvimento do binómio , o coeficiente do
3º termo seja 15.
Podemos desenvolver o binómio até encontrar o coeficiente do terceiro termo e igualar a 15, assim:
mmmmmyx
m
myx
myx
myx
myx ......
2.
1.
0
02210
, então o coeficiente do terceiro termo do
desenvolvimento é
6::;650)6)(5(030
30)1(152!.)2(
!)2)(1(15
!2!)2(
!15
2
2
mINmSmmmmmm
mmm
mmm
m
mm
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6 de Fev 7. Cálculo de probabilidades
O conceito de Probabilidade, que nos propomos estudar neste texto, é o instrumento que permite ao estatístico
utilizar a informação recolhida da amostra para descrever ou fazer inferências sobre a População de onde a amostra
foi recolhida.
O cálculo das probabilidades é actualmente o ramo fundamental da matemática para o estudo da Estatística.
7.1.Fenómenos aleatórios
Chama-se fenómeno aleatório aquele cujos resultados podem ser previstos, mas não se pode dizer
qual resultado ocorrerá.
Exemplos:
a)Lançamento de um dado;
b)Lançamento de duas moedas;
c)Lançamento de uma moeda e um dado;
d)Retirada de uma carta de um baralho;
e)Retirada de n bola de uma urna que contém bolas azuis, vermelhas e brancas;
f) Aparecimento do número 5 na face inferior no lançamento de um dado.
Espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória
Exemplos:
a) Lançar um dado e observar a face virada para cima: 6;5;4;3;2;1
b) Lançar uma moeda e observar a face cara virada para baixo: KC ;
Acontecimento numa experiência é qualquer subconjunto do espaço de resultados
Exemplos:
1.Seja 10;9;8;7;6;5;4;3;2;1E um espaço amostral associado ao seguinte experimento: retirar uma
etiqueta de uma urna que contém dez etiquetas numeradas de 1 a 10.
Consideremos, então, os seguintes acontecimentos:
A.Etiqueta que tem número impar: 9;7;5;3;1
B.Etiqueta que tem número primo: 7;5;3;2
C.Etiqueta que tem número primo e par: 2
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6 de Fev Acontecimento elementar é constituido por umelemento ou resultado
O acontecimento impossível relativo a uma prova é aquele que nunca se verifica sempre que se
realiza a prova.
Exemplos:
a)No lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6,” sair número 10”.
b)Na queda de uma moeda lançada ao ar, “ sair cara e coroa”.
O acontecimento certo relativo a uma prova é aquele que se verifica sempre que se realiza a prova.
O acontecimento certo é aquele que possui todos elementos do espaço amostral.
Exemplos:
a)No lançamento de uma moeda ” sair cara ou coroa “
b)No lançamento de um dado com faces numeradas de 1 a 6 “ sair número menor que 7 ”.
7.2.Operações com acontecimentos
A união dos acontecimentos de A e B é o acontecimento que consiste na realização de, pelo menos, um dos
acontecimentos e representa-se por BA (constituído pelos resultados que pertencem a pelo menos um dos
acontecimentos.
Exemplo:
No lançamento de um dado, cujo o espaço amostral é 6;5;4;3;2;1 e com seguintes acontecimentos:
A: Sair um número que é múltiplo de 3: 6;3
B: Sair um número par: 6;4;2
O acontecimento união de A com B é o acontecimento” sair um número que é múltiplo de 3 ou par”
Simbolicamente teremos: 6;4;3;2BA .
DIAG.01
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6 de Fev A intersecção de acontecimentos A e B é o acontecimento que consiste na realização simultânea dos
acontecimentos dados e representa-se por BA (constituído por resultados comuns de A e B ).
Exemplo: consideremos a experiência e os acontecimentos anteriores: 66;4;26;3 BA
Neste caso o acontecimento intersecção de A com B é o acontecimento” sair um número que é multiplo de
3 e par”
DIAG.02
Acontecimento disjuntos: Dois acontecimentos A e B dizem-se disjuntos quando a sua intersecção é um
acontecimento impossível.Isto é, A e B são disjuntos se .BA
Exemplo:
Consideremos o espaço amostral de lançamento de um dado: .6;5;4;3;2;1
Eis os acontecimentos:
A:”sair um número inferior a 3”= 2;1
B:” sair um número múltiplo de 4”= 4
Então teremos BA :” sair um número inferior a 3 e multiplo de 4 é igual ao conjunto vazio.
Simbolicamente: 42;1BA .
DIAG.03
Acontecimento contrário
O acontecimento contrário de A é o acontecimento que consiste na não verificação de A. Isto é, é o
conjunto complementar de A e representa-se por .___
A
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6 de Fev Exemplos:
1.A: Sair cara no lanaçamento de uma moeda
2.___
A : Sair coroa no lançamento de uma moeda: Sair coroa no lançamento de uma moeda
7.3.Frequência absoluta e relativa de um acontecimento
Noção de probabildade obtida a partir da noção de frequência relativa.
A noção de frequência relativa de um acontecimento é fundamental para o bom entendimento da teória
de probabilidade.Á medida que o número de vezes em que se realiza a experiência aumenta, é o valor que
se toma para a probabilidade. Para tanto, consideremos a experiência:guardar o nascimento de uma criança e
observar a que sexo ela pertence.
No arquivo da maternidade em que estão registados todos os nascimentos, encontramos os seguintes
dados relativos ao mês de Dezembro de 2012:
Dezembro-2012 Sexo Frequência relativa
Dia Número de nascimento Masc. Fem. 1Ef 2Ef
10 40 14 26 0,350 0,650
11 52 19 33 0,365 0,635
12 57 21 36 0,368 0,362
13 62 22 40 0,354 0,646
14 62 23 39 0,354 0,646
15 67 24 43 0,358 0,642
16 75 27 48 0,360 0,640
17 80 29 51 0,362 0,638
18 90 32 58 0,355 0,645
19 100 36 64 0,360 0,640
De acordo com o problema apresentado acima, o espaço amostral da experiência esta associado á
FME , , representemos por 1E e 2E os acontecimentos elementares( unitários) de .E
Isto é, ME 1 e FE 2 .
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6 de Fev Suponhamos que numa maternidade, certo dia, nasceram 100 crianças sendo 36 do sexo masculino. Isto
quer dizer que o acontecimento elementar 1E ocorreu 36 vezes, em 100 experiências, então
36,0100
361 Efr chama-se frequência relativa do acontecimento 1E .
Verificadas as colunas da direita as frequências relativas )( 1Efr e )( 2Efr dos acontecimentos elementares
1E e 2E , respectivamente. Observando os valores de )( 1Efr , por exemplo, verificamos que elas ficam em
torno de 0,36. Se persistir esta situação, isto é, se a frequência relativa de )( 1Efr do acontecimento 1E se
estabilizar em torno de 0,36 ao longo do tempo, designaremos este valor de probabilidade de um
acontecimento elementar. Indicamos por 36,01 EP .Isto quer dizer que em cada nascimento que ocorrer
nessa maternidade, a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino é 0,36 ou 36%.
Se a frequência relativa )( 1Efr , se estabilizar em torno de 0,36, a frequência relativa )( 2Efr , do
acontecimento elementar 2E , se estabiliza em torno de 0,64. Logo 64,02 EP , o que significa que a
probabilidade de nascer uma criança do sexo femenino é 0,64 ou 64%.
Nota:Ao número á volta do qual estabiliza a frequência relativa de um acontecimento, quando o número
de repetições da experiência cresce consideravelmente, chama-se probabilidade do acontecimento.
7.4.Propriedades das frequências relativas
1.A frequência relativa de um acontecimento A é um número compreendido entre 0 e 1.
Isto é: 1)(0 Afr
2.A frequência relativa de um acontecimento certo é 1 ou seja 1)( Efr
3.A frequência relativa de um acontecimento impossível é zero ou seja 0)( Bfr
4.Ao acontecimento A de uma prova podemos sempre associar o acontecimento contrário ou ” não A”,
que notamos por A____
e cuja frequência relativa é
AfrAfr
_____
1)( .
7.5.Axiomatização do conceito de probabilidade num espaço finito
Seja E o espaço de acontecimento e )(EP o conjunto das sua partes.
Chama-se probabilidade a toda aplicação p do conjunto das suas partes )(EP no conjunto 1,0 de
números reais, que se verifica os seguintes axiomas:
1.A probabilidade de qualquer acontecimento A do conjunto )(EP é um número compreendido entre zero e
um.
1,0)(:)( APEPA
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6 de Fev 2.A probabilidade do acontecimento certo é 1.
1)( EP , sendo E o espaço de acontecimentos.
3.A probabilidade da reunição de dois acontecimentos incompatíveis (disjuntos) A e B de E é igual á soma
das probabilidades desses acontecimentos.
)()()( BPAPBAP se BA
Destes axiomas podemos deduzir as seguintes propriedades:
1.A probabilidade do acontecimento A____
é igual a 1 menos a probabilidade do acontecimento A.
)(1_____
APP A
Demonstração:
Sabe-se que EAA ___
, ____
AA donde 1)(_______
EPAPAPAAP , então:
APAPAPAP
11
________
c.q.d
2.A probabilidade do acontecimento impossível é zero. Isto é 0)( P
Demonstração: 0)(011)(1)()(______
PEPEPPE c.q.d
3.Se A, B e C são acontecimentos incompactíveis dois a dois, então )()()()( CPBPAPCBAP .
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6 de Fev Demonstração: ).()()()()(])[()( CPBPAPCPBAPCBAPCBAP c.q.d
4.Sendo A e B dois acontecimentos quaisquer, tem-se: ).()()()( BAPBPAPBAP
Demonstração: BBABA )\( . No então BA \ e B são conjuntos disjuntos.
Por isso ).()\()( BPBAPBAP
)()\( BABAA e )()\( BABA
Então )()()\()()\()( BAPAPBAPBAPBAPAP
Conclusão: ).()()()()()()( BAPBPAPBPBAPAPBAP
7.6.Determinação da probabilidade de um acontecimento, quanto os acontecimentos
elementares são equiprováveis e não equiprováveis.
Quando E é um espaço de acontecimento equiprovável e tem nelementos, a probabilidade de cada
acontecimento elementar é n
1.Se A for um acontecimento de E e tiver )( nkk elementos, então a
probabilidade de ocorrer o acontecimento A será n
k1
. ou seja n
k
nkAP
1.)(
Considere a experiência que consiste em lançar um dado equilibrado de faces numeradas de 1 a 6.
Os acontecimentos elementares 6;5;4;3;2;1 são igualmente equivocáveis, incompatíveis dois a
dois, e a sua união é o espaço de acontecimento 6,5,4,3,2,1E
Assim: 1)()6()5()4()3()2()1( EPPPPPPP ;6
1)6()5()4()3()2()1( PPPPPP
Veja os acontecimentos seguintes:
A: “ Sair múltiplo de 3”, isto é 6,3A .Atendendo em consideração que 63 A , teremos:
3
1
6
2
6
1
6
1)6()3()( PPAP ou podia ser
3
1
6
2
#
#)(
E
AAP .
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6 de Fev 2.No lançamento duma moeda não equilibrada, verifica-se que a probabilidade de sair cara é
dupla da de sair coroa.Determine a probabilidade de sair
a)A face cara
Sabe-se que 3
1121)()( kkkcoroaPcaraP
3
2
3
1.22)( kcaraP .
b)A face coroa
3
1)( coroaP
Em geral:Se os acontecimentos elementares são equiprováveis e incompactavéis dois a dois, a probabilidade
de um acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o
número de casos possíveis.
Isto é: E
A
possiveiscasosdenumero
favoraveiscasosnumeroAP
#
#)(
7.7.Resolução de problemas envolvendo cálculo de probabilidade
1.Uma urna contém 20 bolas vermelhas e 30 bolas brancas.Extrai-se uma bola ao acaso.Qual a
probabilidade de que saia:
a) Uma bola vermelha?5
2:R
b)Uma bola branca?5
3:R
c)Uma bola vermelha ou branca? 1:R
2.Uma urna contém 7 bolas pretas e 6 bolas brancas.Retirando, ao acaso e simultaneamente 8 bolas, qual
é a probabilidade de se obter 4 e só 4 bolas pretas. 4,0:R
3.Uma urna contém 5 bolas: 3 vermelhas numeradas de 1 a 3 e 2 pretas numeradas de 1 a 2.Tira-se uma
bola ao acaso.Calcule a probabilidade de obter:
a)Uma bola numerada com 1.5
2:R
b)Uma bola vermelha.5
3:R c)Uma bola com um número ímpar.
5
3:R
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6 de Fev
4.Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam Matemática,150 estudam Física,10 estudam Matemática e
Física e 208 não estudam nem Matemática nem Física.Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a
probabilidade de que ele:
a)Estude Matemática e Física?50
1:R
b)Estude somente Matemática?50
7:R
c)Estude Matemática ou Física?25
11:R
d)Estude somente Física?25
7:R
e)Não estude Matemática nem Física?25
14:R
5.(TESTE PROVINCIAL 2012) Uma caixa contém 6 anilhas e 3 parafusos, tiram-se ao simultaneamente
duas peças ao casos. Qual é a probabilidade de ambas as peças serem anilha?12
5:R
6.(TESTE PROVINCIAL 2012) A probabilidade da equipa Ferroviário da Beira ganhar o campeonato
Nacional de futebol é de 0,07.Qual é a probabilidade de ela não ganhar o campeonato? 93,0:R
7.(TESTE PROVINCIAL 2012) De 30 declarações de impostos de MODELO DEZ sabe-se que 10
apresentam erros. Se um fiscal selecionar ao acaso 5 declarações para verificar. Qual é a probabilidade
dessas 5 declarações conterem erros? 002,0:R
8.(TESTE PROVINCIAL 2012) De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso. Qual é a probabilidade de que
a carta seja rei ou copas?13
4:R
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6 de Fev
Exercícios de consolidação
1.Calcula o valor de:
a)!10
!8 b)
!5.6
!7!.4 c)
!2003
!2002!2001 d)
!20!19
!19!21
e) 7
3A f) !7 g)!5
. 7
3
5
2 CA
2.Simplifique as seguintes fracções:
a) !)1(
!
n
n b)
!)1(!)2(
!
nn
n c)
!)1(!)1(
!
nn
n d)
!)1(!
!2!)1(
nn
nn e)
)23(!)1(
)2(!)1(2
nnn
nn
f)!!)2(
!)3(2!)3(
nn
nn
g)
!)2(
!)1(3!)1(2
n
nnh)
!
1
n
PP nn
3.Determine o valor de n sabendo que:
a) 56!)3(
!)1(
n
n b)
28
1
!)3(
!)5(
n
n c) 24!)1( nn d) )!(3!)1( nn e) 60
!
!)3(
n
n
f) 13!)1(!)2(
!)3(2!)1(
nn
nn g) 102 nA h) nn AA 57 .30 i) 120)12( nP j) n
n AP 2.720
l) 452 nC n) .213
3
1
5
n
n
C
C
4.Quantos números de três algarismos diferentes podem ser escritos com os algarismos do conjunto
9;8;7;3;1M ?
5.Quantos números de três algarismos se podem representar com os algarismos ( 3, 5, 6 e 8)?
6.Colocaram-se num saco cinco bolas de cores diferentes, verdes,azul,amarela, vermelha e castanha. Tira-
se sucessivamente uma bola até sair amarela.
a)Quantos casos diferentes há em que a bola amarela saia em último lugar?
b)Quantas são as possibilidades de que a bola amarela não saia último lugar?
7.Numa prova de velocidade participam 8 corredores. Quantos são os resultados possíveis para os
primeiros 3 lugares?
8.Trocando de lugar nas aulas de matemática: Os oito alunos da fila frente da Escola Secundaria Mateus
SANSãO Mutemba – Beira decidiram, desde a primeira aula de Matemática, trocar diariamente os lugares
entre si mas de forma a nunca repetir qualquer posição relativa. Na última aula, verificaram que, justamente
nesse dia, acabavam de esgotar todas as hipóteses possíveis. Quantas aulas de Matemática houve nesse ano?
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6 de Fev 9.De quantas maneiras diferentes pode -se escolher o chefe da turma e seu adjunto, numa turma de 10
alunos?
10.Os números de telefones de uma cidade são uma sequência de três dígitos diferentes e nenhum deles entra
o algarismo zero. Quantos telefones têm a cidade?
11.Com os algarismos 2,4,6,8 e 9.Quantos números diferentes de algarismos diferentes podemos escrever se:
a) Cada número tem 5 algarismos.
b) Cada número tem 2 algarismos
c)Cada número é impar e tem 4 algarismos.
12.De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar num carro , se somente uma delas sabe conduzir?
13.Determine o número de palavras diferentes que se podem escrever com as letras de palavras “ VOTE”.
14..De um grupo de 30 alunos de uma turma vai ser feita uma lista de três para representantes da turma.
Quantas listas diferentes são possível fazer?
15.Numa cidade, 4 ruas estão sem nome. Existem 6 nomes para serem atribuídos a essas ruas. De quantas
maneiras diferentes pode ser feita a referida atribuição?
16.De quantas maneiras diferentes pode – se formar uma comissão de 3 professores dentre os 7 de uma
turma?
17.Quatros jogadores disputam um torneio de xadrez, no sistema de campeonato a uma volta, isto é, cada
um deles deve jogar com todos os outros mas apenas uma vez com cada um. Quantos jogos haverá?
18.Três amigos foram ao futebol e cada um comprou uma camisola com a cor do seu clube. No fim
resolveram tirar uma fotografia para recordar o grande desafio a que tinham assistido. De quantos modos
diferentes se podiam posicionar na fotografia?
19.Existem 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e pretende – se escolher 4 lugares entre as cadeiras existentes.
Quantas formas isso pode ser feito?
20.Numa turma de 20 alunos vão ser escolhidos 3 para representar a turma numa reunião do conselho
pedagógico. Quantos grupos podem ser formados sabendo que o chefe da turma deverá fazer parte do grupo?
21.Considera dez pontos diferentes de uma circunferência.
a)Quantas rectas diferentes definidas por esses 10 pontos?
b)Quantos triângulos distintos são determinados pelos 10 pontos?
22.Determine o número de comissões com três membros, sem deferenciação de funções que podem ser
formadas, escolhidas entre 5 raparigas e 5 rapazes.
a) Se qualquer restrição.
b)Com duas raparigas e um rapaz.
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6 de Fev 23.De quantos modos diferentes pode ser formada uma comissão de 3 rapazes e 4 raparigas de um grupo
de 8 rapazes e 6 raparigas?
24.De quantas maneiras diferentes pode-se escolher o chefe da turma e seu adjunto, numa turma de 10
alunos?
25.De quantas maneiras diferentes pode-se formar uma comissão de 3 professores dentre os 7 de uma
turma?
26.Desenvolve:
a) 4)13( x b) 4)2( ba c)
4
2
y
y d) 55
3232
27.Determine o termo independente de x no desenvolvimento de:
a)
6
3
3
x b)
50
5
5
1
x
x c)
61
x
x
28.Calcule:
a) O quarto termo do desenvolvimento de
92
xx
b)O quinto termo no desenvolvimento de 93x
c)O termo central do desenvolvimento de 412 x
d)O termo central do desenvolvimento de 832 yx
29.Qual é o termo em 5x no desenvolvimento de 93x
30.Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 73yx
31.Sabendo - se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binómio mba é igual a 256,
calcule !2
m
32.Determine o valor de , sabendo que a soma dos coeficiente do desenvolvimento de ( ) é 625.
33.Determine o valor do produto dos coeficientes do 2º e do penúltimo termo do desenvolvimento de
( ) .
34.Um dos termos do desenvolvimento de nx 1 é 12 x . Determine o valor de x .
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6 de Fev 35.Sendo o binómio ( ) , com .Determine para que no desenvolvimento do binómio , o
coeficiente do 3º termo seja 15.
36.Considere a experiência que consiste em lençar duas moedas ao ar e anotar o resultado das suas faces
superiores.
a)O espaço de acontecimentos
b)O número de acontecimentos possíveis
37.Na prova que consiste em lançar um dado e tomar nota do número da face superior, considere os
acontecimentos:
A: sair múltiplo de 3.
B:Sair número primo
C: Sair número par
D: Sair número superior a 4
38Num lançamento duma moeda ao ar, indique:
a)Um acontecimento certo
b)Um acontecimento impossivel
c)A frequência relativa dum acontecimento certo
d)A frequência relativa do acontecimento” sair cara”
e) A probabilidade de “ sair coroa “
39.Um saco contém 12 bolas, sendo 3 brancas, 5 azuis e 4 pretas.Tirando ao acaso, diga qual a
probabilidade de sair:
a)Bola branca
b)Bola preta
c)Bola branca ou azul
d)Bola vermelha
40.Lançam-se dois dados equilibrados simultaneamente.Qual é a probabilidade de se obter uma soma de
pontos igual a 9?
41.Uma caixa contém 10 camisas das quais 4 são defeituosas. Extraem-se 2 ao acaso.Qual a
probabilidadede que enre estas:
a) Nenhuma camisa é defeituosa
b) Nenhuma camisa é boa.
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6 de Fev 42.Uma caixa contém dez camisas das quais quatro são de mangas compridas.Extrai-se duas ao acaso.
Qual é a probabilidade de que nenhuma das camisas extraida seja de mangas compridas?
43.Um casal planeia ter dois filhos. Considerando igual a probabilidade de se ter um filho do sexo
masculino ou feminino, qual é a probabilidade de ambos serem do sexo feminino?
44. Uma urna tem 10 bolas idênticas, enumeradas de 1 a 10. Se retirarmos ao acaso uma bola da urna,
qual é a probabilidade de não obtermos a bola de número 7?
45.Numa determinada empresa há 20 trabalhadores, dos quais 8 são eventuais e 12 são efectivos. Deseja-se
se formar uma comissão de 2 trabalhadores para representar a empresa numa reunião sobre a concertação
salarial. Qual é a probabilidade de os dois trabalhadores escolhidos ao acaso serem efectivos?
46.Uma caixa contém 20 cartões numerados de 1 a 20. Um cartão é escolhido ao acaso. Determine a
probabilidade dos seguintes acontecimentos:
a) O cartão tem o número 11.
b) O cartão tem o número maior que 15.
c) O cartão tem múltiplo de 3.
d) O cartão não tem o número 13.
47.Uma urna contém 10 bolas: 5 azuis, 3 brancas e 2 pretas. Escolhe-se uma bola ao acaso, qual é a
probabilidade de:
a) Ser branca?
b) Ser preta?
c)Ser azul ou preta?
48.Em uma caixa existem sete bolas azuis e dez bolas brancas. Duas bolas são retiradas simultaneamente da
caixa, de forma aleatória. Qual é a probabilidade de serem brancas?
49. Uma urna contém 7 bolas pretas e 6 bolas brancas. Retirando, ao acaso e simultaneamente 8 bolas, qual é
a probabilidade de obter 4 e só 4 bolas pretas?
50.De um baralho de 52 cartas tira – se uma ao acaso. Qual é a probabilidade de que a carta seja:
a) Uma figura?
b) Dama ou às?
c) Rei ou copas?
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6 de Fev ESCOLA SECUNDÁRIA MATEUS SANSÃO MUTEMBA-BEIRA
MATEMÁTICA CIÊNCIAS 1° TRIMESTRE/ 2° TESTE
12ªCLASSE DOCENTE:COMODO DIQUE DURAÇÃO: 90 minutos
Esta prova contém 33 perguntas com 4 alternativas de respostas para cada uma. Escolha a
alternativa correcta RISQUE a letra correspondente na mesma.
1.Considere o conjunto 3;1;0;1;2 M .Qual é a proposição verdadeira?
A. 102: xMx B. 402: xMx C. 179: 2 xMx D. 1: 2 xxMx
2.Considere a seguinte tabela: p q p q qp qp
V V F F F t
V F F V x V
F V V F F z
F F V V F F
Quais são os valores de x, t e z, respectivamente?
A.VVV B.VVF C.FVF D.VFV
3.Qual é a escrita simbólica de “ o quadrado de um número real é não negativo”
A. 0: 2 xIRx B. 0: 2 xIRx C. 0: 2 xIRx D. 0: 2 xIRx
4.A soma de quaisquer números naturais é sempre maior que zero.Qual é o quantificador
correcto?
A. 0:, yxINyx C. 0:, yxINyx
B. 0:, yxINyx D. 0:, yxINyx
5.Qual é a negação ?312: xIRx
A. 312: xIRx C. 312: xIRx
B. 312: xIRx D. 312: xIRx
6.Qual das expressões é racional inteira?
A.5
328
x
x B.
4
12
x
x C. xx 352 D. 75
3
2 2 xx
7.Qual é o valor de 32
3227
1
3
32
2 log2loglog ?
A.1 B.5 C.7 D.8
8.Qual é a equação cujas raízes são 2
7 e 1?
A. 0752 2 xx B. 0752 2 xx C. 0752 2 xx D. 0752 2 xx
9.Qual é a soma das raízes da equação 043 23 xxx ?
A. 4 B. 3 C. 0 D. 1
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6 de Fev 10.Qual é a solução da equação 032 x ?
A.3 B.5 C.7 D.11
11.Qual é a expressão equivalente a 1
1
x
x?
A.1
1
x B. 1x C.
1
1
x
x D. 1x
12.Qual é a distância entre os pontos A (1;2) e B(4;5)?
A. 8 B. 14 C. 18 D. 24
13.Qual é a equação da recta que passa pelo ponto A (5;-3) e é paralela á recta ?12 xy
A. 132 xy B. 132 xy C. 12 xy D. 12 xy
14.Qual é a distância do ponto P( 2;5) á recta de equação ?643 yx
A.0 B.1 C.2 D.4
15.A distância entre os pontos da recta numérica cujas abcissas são x e 2 é igual a 4.
Como se escreve simbolicamente esta afirmação?
A. 24 x B. 24 x C. 42 x D. 42 x
16.Qual é o conjunto solução da equação ?513 x
A.
2;3
4 B.
3
4;2 C.
2;
3
4 D.
3
4;2
17.A que é igual a soma das soluções da equação ?212 xx
A.3
8
B.
3
4
C.
3
2
D.
3
1
18.Sendo 2
1x ,a que é igual ?12 x
A. 12 x B. 12 x C. 12 x D. 12 x
19.Seja )(2)( xsenxf uma função de domínio IR.Qual é o contradomínio da função ?)(xfy
A. 2;2 B. 2;2 C. 2;0 D. 2;0
20.Qual é o contradomínio da função ?1)( xxg
A.IR B.
0IR C.
0IR D. IR
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6 de Fev
21.Qual é a solução da inequação ?53
5
x
A. x B. 3x C. 3x D. IR
22.Qual é a expressão equivalente a ?!)1(
!!)1(
n
nn
A. nn 22 B. 2n C. nn 22 D. 122 nn
23.Sendo 30!)2(
!
n
n, qual é o valor de n?
A.2 B.4 C.5 D.6
24.Na equação 211
2 nC , com INn e 1n , qual é o valor de n?
A.4 B.5 C.6 D.7
25.De quantas maneiras diferentes três amigos podem se posicionar numa fila para tirar uma
fotografia?
A.3 B.6 C.9 D.12
26.Quantos números de 3 algarismos diferentes podem ser escritos com os algarismos do
conjunto ?9;8;7;3;1M
A.10 B.15 C.60 D.125
27.De quantas maneiras diferentes pode-se formar uma comisão de 3 professores dentre os 7 de
uma turma?
A.6 B.35 C.210 D.5040
28.Qual é o quarto termo do desenvolvimento de
92
xx , com 0x
A.3672x B.
2672x C. x672 D. 672
29.Um casal planeia ter dois filhos.Considerando igual a probabilidade de se ter um filho de sexo
Masculino ou feminino, qual é a probabilidade de ambos serem do sexo feminino?
A.25% B.50% C.75% D.100%
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6 de Fev 30.A Maria pretende ter filhos. Sabe-se que a probabilidade de NÃO engravidar por mês é de 0,3.
Qual é a probabilidade de engravidar por mês?
A.1 B.0,7 C.0,5 D.0,3
31.Duas moedas são lançadas uma vez ao mesmo tempo.Qual é a probabilidade de ao cairem,
apresentarem faces idênticas?
A.4
1 B.
2
1 C.
4
3 D.1
32.Numa certa familia, 10 pessoas jogam futebol, 8 andebol e 3 praticam as duas modalidades.
Qual é a probabilidade de, ao escolher ao acaso um membro desta familia, seja somente
praticante de andebol?
A.5
1 B.
3
1 C.
3
2 D.
2
1
33.Uma caixa contém 10 camisas das quais 4 são defeituosas e as restantes são boas. Extrairam-se duas
camisas ao acaso, qual é a probabilidade dentre estas nenhuma camisa seja defeituosa?
A.3
1
B.
3
2 C.
2
1
D.
4
1