1

1

3ª Lista de Exercícios – 2013.2 1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo Ox, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas abaixo: a) y = x +1, x = 0 , x = 2 e y = 0 b) y = x e y = x2

c) y = x2 e y = x3 d) y = x1

, x = 1, x = 2, e y = 0

e) y = x3, x = -1, x = 1, e y = 0 f)y =x2 +1, x = 0, x=2 e y=0

g) y = 1x − , x = 2, x = 5 e y = 0 h)y =cosx, y =senx , x=0 e x=4π

2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y = 2 da região limitada por y = 2x1− ; y = 2; 2x −= e x = 2 3) Calcular o volume gerado pela rotação da região y = 3 , 1≤ x ≤ 3 , em torno da reta y =2 4) Calcular o volume gerado pela rotação da região y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 , em torno da reta y =1

xy

z

eixo de revolução

x

y

z

−1 1 2 3 4

−1

1

2

3

x

y

y = 2

y=3

x

y

z

−5 −4 −3 −2 −1 1 2

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

y = 1

UNIFACS - Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo Integral Ano: 2013

2

2

Obs: Não confundir o cálculo acima com o do volume gerado pela rotação da região determinada por y=1, y =1/2 x + 2 , 1≤ x ≤ 2 em torno do eixo Ox. Melhor dizendo, não confundir as integrais

dx))x(g)x(f(Vb

a

21 ∫ −π= dx ])x(g)x(f[V

b

a

222 ∫ −π=

5) Considere a região R limitada pelas curvas xy = e y = x. Dê apenas a expressão da integral ( indicando os limites de integração), que permite calcular o volume do sólido obtido, nos seguintes casos: a) R gira em torno de OY; b) R gira em torno de x = − 1 6) Considere R a região limitada pela curva 21 xy += e a reta y = 2, no 1º quadrante. Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume gerado pela rotação de R em torno de: a) 0Y; b) y = 3; c) x = − 1

7) Considere a região R limitada pela curva x1y = as retas x = 2 e y = 2. Esboce a região

R e: a) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de y = 2. b) Dê a expressão da integral ( indicando os limites de integração) que permite calcular o volume gerado pela rotação de R em torno de:

b1) y = 0; b2) y = 3; b3) x = 0; b4) x = 2 8) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes

a) ( )∫

+

∞

1 213xdx

; b) ∫∞

1dx

xlnx ; c) dx

xlnx

1 2∫∞

;

d) ∫

++

∞

0 3)2)(x(xdx ; e) ∫

+∞

∞-

3dx x ; f) ∫−

∞

1

-

2t- dte

9) Esboce a região e encontre a área (se a área for finita)

a) S = { }xey0 1, xy);(x, ≤≤≤ b) S = { }-x/2ey0 2, xy);(x, ≤≤−≥

c) S = { }2(lnx)/xy0 1,xy);(x, ≤≤≥

3

3

10) Determine os valores de p para os quais a integral dx x1

1p∫

∞ converge, para os quais

diverge e avalie a integral quando ela convergir . 11) A vida média M de um átomo numa substância radioativa é definida como sendo

∫−=+∞

0

ktdttekM , onde k é uma constante negativa que depende da substância. Sabendo que

para o isótopo radioativo do carbono, 14C , k = −0,00012, calcule a vida média de um átomo de 14C .

12) Encontrar a área sob o gráfico da curva de y = 21x1)( +

para x ≥ 1.

Respostas:

1) a) u.v.326π b)

152π u.v. c)

352π u.v d)

2π

u.v e)72π u.v f )

15206πu.v g)

215π u.v. h)

2π

u.v.

2) 15412π u.v. 3) 2π u.v. 4)

12π37 u.v. 5) a) V= ∫ −π

1

0

42 dy)yy( b) ∫ +−+1

0

222 dy])1y()1y[(π

6) a) ∫ −π∫ =−π2

1

2

1

2 dy)1y( dy)1y( b) dx]1)x2[(dx]1))1x(3[(1

0

221

0

22 −∫ −π=−∫ +−π c) ∫ −+−π2

1

2 dy]1)11y[(

7) a) ( ))2ln8 2/15(π − u.v.

b1) ∫ −2

2/12 dx)x14(π b2) ∫ −−

2

2/1

2 dx)1)x13((π b3) ∫ −

2

2/12 dy)y14(π b4) ∫ −

2

2/1

2 dy)y12(π

8) a) 1/12 ; c) 1; d)

32ln− . As demais divergem

9) a) e b) 2e c) 1

10) converge se p 1> e 1p

1dx x1

1p −

=∫∞

, diverge se p 1≤ .;

11) M ≈ 8.333 12) ½