UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO … · o ambiente de Geometria Dinâmica favorece o processo de ensino e aprendizagem de lugar geométrico, pois nele foi obtido um número

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ANDERSON ANTONIO DE ARAUJO

ABORDAGEM DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA

SÃO PAULO 2011

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

ANDERSON ANTONIO DE ARAUJO

ABORDAGEM DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS EM UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA

Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros

SÃO PAULO 2011

Araujo, Anderson Antonio de Abordagem de alguns lugares geométricos planos em um ambiente de geometria dinâmica / Anderson Antonio de Araujo. São Paulo: [s.n.], 2011.

Dissertação de Mestrado para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo. Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros. 1. Educação matemática 2. Ensino e aprendizagem 3. Lugar geométrico 4. Livros didáticos 5. História da Matemática. 6. Geometria Dinâmica. I. Título

ANDERSON ANTONIO DE ARAUJO

ABORDAGEM DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS PLANOS EM

UM AMBIENTE DE GEOMETRIA DINÂMICA DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO,

COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA,

PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Presidente e Orientador NOME: Titulação: Instituição ASSINATURA: __________________________________________________ 2ª Examinador Nome: Titulação: Instituição: ASSINATURA: __________________________________________________ 3ª Examinador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: __________________________________________________ Biblioteca Bibliotecário: Assinatura:_________________________________________Data____/____/____

São Paulo, de de 2011

Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

i

Dedicatória

Dedico esse trabalho à minha mãe, Norma Dutra de Araujo, ao meu pai

Deusded Gomes de Araujo, ao meu tio Santinho ( Sebastião Dutra ) e aos amigos

Paulo Roberto Furtado Dias e Paulo Roberto Petrillo pois foram pessoas que sempre

acreditaram nos meus sonhos e permaneceram do meu lado, mesmo nos momentos

mais difíceis da minha vida . De coração, agradeço pela amizade de todos vocês e

sempre terei um lugar reservado dentro de mim para lembrar da importância do

amor e do carinho que sempre terei por vocês.

ii

Agradecimentos

Agradeço a Virgem Maria pela presença constante na minha vida e a sua

ajuda amorosa que fez com que eu me reerguesse e continuasse meu caminho me

fazendo enxergar que nenhuma situação triste e dolorosa dura para sempre.

Ao Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros pela orientação competente e

pela sua incrível sensibilidade, aliada ao seu grande conhecimento, que tanto me

ajudou a encontrar os caminhos corretos no desenvolvimento do meu trabalho

. Ao meu amigo Laerte, que esteve sempre presente do meu lado, me

apoiando em todos os momentos do meu trabalho. Ao Governo do Estado de São

Paulo pela bolsa concedida a minha pessoa e ao apoio incondicional da direção e

coordenação da FAFIT agradeço o apoio.

Agradeço também a Dona Arlete por ter me acolhido como um filho em sua

casa e a professora Josete Biral pela revisão competente da parte gramatical da

minha dissertação.

iii

Sucesso é, antes de tudo, a exata e intransferível sensação

de fazermos aquilo que gostamos. Não há nada mais

gratificante do que a realização de nossos sonhos!

Quando identificamos o que efetivamente nos motiva,

conseguimos entender e buscar a verdadeira razão de

nossa existência: O poder de sonhar e de realizar.

Karine Bighelini

iv

RESUMO Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa exploratória com seis

estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola estadual da cidade de

Itararé – SP sobre abordagem de alguns lugares geométricos em dois ambientes de

aprendizagem: um ambiente de papel & lápis e um ambiente de Geometria

Dinâmica. Para embasá-la foram tomados como referenciais a Engenharia Didática

de Michèle Artigue, a Teoria das Situações Adidáticas e o Contrato Didático da Guy

Brousseau. Como elemento motivador, o trabalho se apoiou nos aspectos históricos

de lugares geométricos e na análise de alguns livros didáticos utilizados nas últimas

décadas. Para o aspecto exploratório, foram elaboradas e aplicadas oito atividades

referentes a lugares geométricos a dois grupos de estudantes. Um dos grupos

trabalhou em um ambiente de papel & lápis, enquanto o outro grupo trabalhou num

ambiente de Geometria Dinâmica. Em seguida foram feitas análises das produções

discentes. A pesquisa chegou em dois resultados. O primeiro é que a noção de lugar

geométrico evoluiu ao longo do tempo, mas só recentemente tem sido abordada de

maneira mais qualificada nos livros didáticos. O segundo resultado do trabalho é que

o ambiente de Geometria Dinâmica favorece o processo de ensino e aprendizagem

de lugar geométrico, pois nele foi obtido um número bem maior de informações e de

maneira mais rápida que no ambiente de papel & lápis, facilitando, assim, a

formação do conceito de lugar geométrico.

Palavras chaves: Educação matemática, Ensino e aprendizagem. Lugar geométrico.

Livros didáticos. História da Matemática. Geometria Dinâmica.

v

ABSTRACT

This work presents the results of an exploratory research with Fundamental Teaching

9th grade students in a state school in Itararé – SP about the approach to some loci in

two learning environments: a paper & pencil environment and a Dynamic Geometry

environment. The Didactics Engineering by Michele Artigue and the Didactics

Situations Theory and Didactic Contract by Guy Brousseau are taken as referential.

The historical aspects of locus and the analysis of some didactical books which were

in use during the last decades support this work as a motivational element. Eight

activities related to focus were elaborated and applied to two groups of students. One

of the groups worked in a paper & pencil environment while the other group worked

in a Dynamics Geometry environment. After that it was made analysis of the student

productions. The research had two conclusions. The first is that the locus notion had

an evolution from the Antiquity but only recently this matter has been approached in

a better qualified way in the didactics books. The second conclusion of this work is

that the Dynamics Geometry helps the teaching and learning process of locus, since

in it a bigger number of data was obtained and in a quicker way than in the paper &

pencil environment, becoming easier the locus concept formation.

Key words: Mathematics education. Teaching and learning. Locus. Didactics books.

Mathematics History. Dynamics Geometry.

vi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 : Situação de ação.......................................................................................12

Figura 2 : Situação de formulação.............................................................................13

Figura 3 : Situação de validação................................................................................14

Figura 4: Caderno do aluno 2a série..........................................................................21

Figura 5 : Caderno do aluno 6a série..........................................................................21

Figura 6 : duplicação do cubo...................................................................................23

Figura 7 : Trissecção do ângulo ABC ........................................................................25

Figura 8 : conchóide de Nicomedes...........................................................................28

Figura 9 : Trissecção do ângulo dado ABC ...............................................................29

Figura 10 : Demonstração da proposição XVIII ........................................................30

Figura 11 : Espiral de Arquimedes ............................................................................31

Figura 12 : Trissecção usando espiral Arquimedes...................................................32

Figura 13 : Quadratriz Hípias ...................................................................................33

Figura 14 : Cissóide Diocles .....................................................................................35

Figura 15 : Demonstração da equação cissóide ......................................................35

Figura 16 : trissecção de um ângulo usando uma hipérbole ....................................37

Figura 17 : Demonstração da trissecção de um ângulo usando uma hipérbole.......38

Figura 18 : capa do livro Geometria Elementar.........................................................41

Figura 19 : Indice do livro Geometria Elementar.......................................................41

Figura 20 : Explicação do conceito de mediatriz ......................................................42

Figura 21: Exercícios de bissetriz interna .................................................................42

Figura 22: Exercícios propostos sobre lugares geométricos ....................................43

Figura 23: Livro II : Circulo.........................................................................................44

Figura 24: Arco capaz................................................................................................44

Figura 25: Aplicação do conceito de arco capaz........................................................45

Figura 26: Problema do circulo de Apolônio...............................................................46

Figura 27: Definição de circunferência como limite de polígonos regulares..............47

Figura 28: Capa do livro Matemática: Curso Ginasial - 3a Série ..............................48

Figura 29: Índice do capítulo II PARTE I...................................................................49

Figura 30: Índice do capítulo 2 PARTE II..................................................................49

vii

Figura 31: Os instrumentos geométricos na construção de lugares geométricos....50

Figura 32: Definição de lugar geométrico.................................................................50

Figura 33: mediatriz e bissetriz interna como lugares geométricos..........................51

Figura 34: Circunferência como lugar geométrico....................................................51

Figura 35 : Construção da bissetriz interna..............................................................53

Figura 36 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos

fixos é constante PARTE I........................................................................................53

Figura 37 : Figura 36 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a

dois pontos fixos é constante PARTE II....................................................................53

Figura 38 : Capa do livro Lugares Geométricos Planos............................................54

Figura 39 : Sistema de referência para se resolver problemas de lugares

geométricos...............................................................................................................55

Figura 40 : Histórico sobre origem do termo lugar geométrico.................................55

Figura 41 : Observações para se resolver problemas de lugares geométricos........56

Figura 42 : Lugar geométrico dos pontos cuja diferença dos quadrados das

distâncias a dois pontos fixos seja constante...........................................................57

Figura 43 : Lugar dos pontos cuja razão das distâncias a um ponto fixo e uma reta

fixa, ( que não se pertençam ) seja constante...........................................................58

Figura 44 : Elipse, hipérbole e parábola como lugares geométricos........................59

Figura 45 : O problema Delineano............................................................................60

Figura 46 : Solução de Menecmo para o problema da duplicação do cubo.............60

Figura 47 : Solução de Diocles para o problema da duplicação do cubo.................61

Figura 48 : Etimologia de alguns lugares geométricos.............................................61

Figura 49 : Capa do livro Matemática Ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e

Souza (Livraria Francisco Alves de 1948 – 3aedição)...............................................63

Figura 50 : Definição de lugar geométrico como trajetória de pontos........................63

Figura 51 : Exemplos de lugares geométricos definidos como trajetórias de

pontos........................................................................................................................64

Figura 52 : Definição de lugar geométrico como conjuntos de pontos......................64

Figura 53 : Definição de circulo como lugar geométrico............................................65

Figura 54 : Superfície esférica como lugar geométrico.......... ...................................65

Figura 55 : Critérios para se estabelecer um lugar geométrico..................................65

Figura 56 : Outra forma de se estabelecer um lugar geométrico ..............................66

viii

Figura 57 : A mediatriz como lugar geométrico.........................................................66

Figura 58 : A bissetriz como lugar geométrico..........................................................67

Figura 59 : Definição de problema gráfico e de problema quadrático.......................67

Figura 60 : Método dos lugares geométricos............................................................68

Figura 61 : Construções geométricas pelo método dos lugares geométricos..........68

Figura 62 : Definição de circulo como lugar geométrico...........................................68

Figura 63 : Diâmetro como lugar geométrico............................................................69

Figura 64 : ângulo sob o qual se vê um segmento de reta.......................................69

Figura 65 : Capa do livro Desenho Geométrico – Jose Carlos Putnoki ....................69

Figura 66 : O método dos lugares geométricos.........................................................71

Figura 67 : Circunferência como lugar geométrico.....................................................72

Figura 68 : Mediatriz como lugar geométrico.............................................................73

Figura 69 : Resolução de exercícios pelo uso do método do lugar geométrico.........74

Figura 70 : Retas paralelas e Bissetriz como lugares geométricos ...........................75

Figura 71 : Definindo um lugar geométrico................................................................78

Figura 72 : Construindo pontos com o LOCI..............................................................78

Figura 73 : Fazendo conjecturas com o LOCI............................................................79

Figura 74 : Atividade envolvendo uso do LOCI..........................................................79

Figura 75 : Análise do lugar geométrico................................................................79/80

Figura 76 : Solução de um aluno usando o LOCI......................................................81

Figura 77 : Lugar geométrico do simétrico de um ponto P.........................................83

Figura 78 : Solução do Cabri evidenciando uma parábola.......................................85

Figura 79 : Soluções do Cabri evidenciando uma hipérbole e uma elipse................85

Figura 80 : Limaçon de Pascal...................................................................................86

Figura 81 : Uso do wandering dragging ....................................................................90

Figura 82 : Uso do line dragging ...............................................................................91

Figura 83 : Uso do linked dragging ...........................................................................91

Figura 84 : Uso do dragging test ...............................................................................92

Figura 85 : Baricentro como lugar geométrico...........................................................95

Figura 86 : Uso das ferramentas lugar geométrico e rastro no Cabri-Géomètre II ...95

Figura 87 : Solução do problema do baricentro como lugar geométrico....................96

Figura 88 : Desenhos protótipos................................................................................98

Figura 89 : Variação da posição do ortocentro...........................................................98

Figura 90 : Ortocentro como lugar geométrico...........................................................99

ix

Figura 91 : Demonstração ortocentro como lugar geométrico ................................100

Figura 92 : Ângulos inscritos numa circunferência ...................................................103

Figura 93 : Construção usando lugar geométrico.....................................................104

Figura 94 : Passos de uma construção usando o método dos lugar geométricos...105

Figura 95 : construção mole divisão segmento em 3 partes iguais...........................106

Figura 96 : Divisão de um segmento em 3 partes iguais...........................................106

Figura 97 : Campo de futebol exemplificando um problema de lugar geométrico...110

Figura 98 : Solução do problema 1............................................................................111

Figura 99 : Solução do problema 2............................................................................113

Figura 100 : Atividade 1.............................................................................................117

Figura 101 : Resolução da atividade 1 do GRUPO I.................................................118

Figura 102 : Resolução da atividade 1 do GRUPO II................................................120

Figura 103 : Atividade 2............................................................................................123

Figura 104 : Resolução da atividade 2 do GRUPO I................................................126

Figura 105 : Resolução da atividade 2 do GRUPO II..............................................126






Figura 111 : Resolução da atividade 4 do GRUPO II...............................................136













x

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Atividade 1 GRUPO I.....................................118/119

Quadro 2 - Atividade 1 GRUPO II...........................................121

Quadro 3 - Atividade 2 GRUPO I............................................124






Quadro 9 - Atividade 5 GRUPO I.....................................140/141

Quadro 10 - Atividade 5 GRUPO II..................................142/143

Quadro 11 - Atividade 6 GRUPO I..........................................146

Quadro 12 - Atividade 6 GRUPO II..................................148/149


Quadro 14 - Atividade 7 GRUPO II.........................................153


Quadro 16 - Atividade 8 GRUPO II.........................................158

xi

SUMÁRIO

CAPÍTULO I FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS

1.1 Introdução ................................................................................................................. 1

1.2 O conceito de Engenharia Didática .......................................................................... 4

1.3 A noção de Contrato Didático .................................................................................... 8

1.4 A Teoria das Situações Didáticas..............................................................................10 CAPÍTULO II ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO

2.1 Introdução ............................................................................................................... 16

2.2 A importância da História da Matemática no processo de ensino aprendizagem ... 18

2.3 Os Cadernos da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo........................19

2.4 Os três problemas clássicos da Antiguidade ........................................................... 21

2.4.1 O problema da trissecção de um ângulo ......................................................... 22

2.4.2 O problema da duplicação do cubo ................................................................. 23

2.4.3 O problema da quadratura do circulo .............................................................. 24

2.5 A construção por nêusis e o uso de lugares geométricos na solução dos três

problemas clássicos da antiguidade grega ....................................................................24

2.6 Nicomedes e sua solução para o problema da trissecção de um ângulo ................ 27

2.7 A espiral de Arquimedes e sua solução para o problema da trissecção de um

ângulo.............................................................................................................................29

2.8 A quadratriz de Hípias e o seu uso na solução do problema da trissecção

de um ângulo e na quadratura do circulo...................................................................... . 33

2.9 A cissóide de Diocles e sua solução para o problema da duplicação do cubo ........ 34

2.10 Papus de Alexandria e a solução do problema da trissecção usando uma

hipérbole........................................................................................................................ 36

xii

CAPÍTULO III

O CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO EM ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS

3.1 Introdução.................................................................................................................40

3.2 Livro: Geometria Elementar ..................................................................................... 41

3.3 Livro: Matemática: Curso Ginasial ........................................................................... 48

3.4 Livro: Lugares Geométricos Planos......................................................................... 54

3.5 Livro : Matemática Ginasial......................................................................................63

3.6 Livro: Desenho Geométrico......................................................................................70

CAPÍTULO IV O PAPEL DA GEOMETRIA DINÂMICA NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DO CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO

4.1 Introdução ............................................................................................................... 76

4.2 O software Loci ....................................................................................................... 77

4.3 O software Cabri – Géomètre II e lugares geométricos ........................................... 82

4.4 Tipos de deslocamento ........................................................................................... 87

4.4.1 Um exemplo de aplicação do conceito de deslocamento na solução de um

problema de lugar geométrico ....................................................................................... 90

4.5 As conjecturas e a demonstração matemática no ambiente de geometria dinâmica

........................................................................................................................................94

4.6....... As construções moles e robustas e o papel de cada uma delas no ensino da

Geometria e dos lugares geométricos......................................................................101

4.6.1 A construção robusta .................................................................................... 102

4.6.2 A construção mole ........................................................................................ 105

4.7 O uso dos problemas abertos e a Geometria Dinâmica ........................................ 107

4.7.1 Análise e discussão dos problemas abertos ................................................... 111

xiii

CAPÍTULO V

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E ANÁLISE DAS ATIVIDADES

5.1 Experimento de ensino...........................................................................................115

5.2 Sujeitos da pesquisa...............................................................................................115

5.3 Procedimento experimental....................................................................................116

5.4 Atividades propostas..............................................................................................116

5.4.1 Análise a priori e a posteriori da atividade 1.................................................116





5.4.6 Análise a priori e a posteriori da atividade 6 .................................................143



5.5 Considerações sobre as atividades.......................................................................159

Considerações finais....................................................................................................161

Referencias bibliográficas............................................................................................164

1

CAPÍTULO I – FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS

1.1 Introdução

Desde a adolescência, o estudo da Geometria foi algo que me cativou

bastante. Busquei com o passar do tempo, pesquisar diversas obras, no intuito de

conseguir aprender de forma mais simples este conteúdo. Alguns autores eram bem

metódicos colocando cada tema de forma bem ordenada e fazendo inúmeras

demonstrações.

Outros autores buscavam um diálogo mais aberto com os leitores, explicando

a teoria envolvendo algumas situações diárias que pudesse ficar evidenciada a

utilidade da Geometria. Desta forma, percebi que muitos assuntos eram vistos com

um enfoque bem grande, como, por exemplo, a semelhança de triângulos e indo

num caminho contrário notei que um assunto sempre era colocado de forma

simplória no final de alguns livros. Muitas das vezes era exposto no final da obra

como uma observação ou se um capítulo era dedicado a este assunto,

pouquíssimas páginas eram escritas. Falo do conceito de lugar geométrico exposto

nos livros didáticos.

Com o passar do tempo, ingressei no curso de licenciatura em Matemática na

Universidade Federal de São Carlos, onde tive contato com uma disciplina chamada

História da Matemática. Este curso me ajudou a pensar e procurar respostas para

diversas questões relativas ao ensino do conceito de lugar geométrico exposto nos

livros didáticos. Percebi que nenhum enfoque histórico era dado e me deparei com

diversas dúvidas e a principal foi: Será que o enfoque abordado em relação ao

conceito de lugar geométrico sempre foi visto desta maneira? Existiu alguma época

no qual um enfoque diferenciado foi dado a este tema?

Analisando obras da Federal de São Carlos relativas à História da Matemática

percebi que o conceito de lugar geométrico era algo muito mais profundo pois estava

envolvido na solução de diversos problemas históricos, dando desta forma uma

grande contribuição para a evolução da Matemática. Desta forma, surgiu na minha

mente a necessidade de procurar associar a História da Matemática com o conceito

de lugar geométrico.

2

De fato, estudando os livros didáticos atuais percebi um único enfoque

voltado somente para alguns lugares geométricos, como a circunferência e a

mediatriz de um segmento, e colocando desta forma o conceito de lugar geométrico

como algo superficial desprovido de qualquer associação histórica. O aspecto

histórico é primoroso no ensino da Matemática. Este tipo de enfoque potencializa em

muito a aprendizagem de um aluno e esta visão não é usada de forma continua em

diversos livros didáticos atuais. Gomes (2005, p.58 apud VIANNA, 1995, P.4) nos

fala a respeito disso.

A análise dos livros didáticos revelou-me que os usos didáticos da História da Matemática têm estado limitados às questões de motivação e/ou simples informações adicionais, raramente incorporando-se o conhecimento histórico na elaboração de novas sequências ou estratégias didáticas. (VIANNA, 1995: 4)

Levando em consideração a importância que creditamos ao uso da História

da Matemática como algo tangível, que visa melhorar a compreensão do aluno,

tornando-o um sujeito crítico com relação aos conceitos matemáticos ao seu redor,

foi criado um capítulo que visa dar suporte a este aspecto, relacionando - o ao

conceito de lugar geométrico. Tivemos este intuito no sentido de desmitificar o

aspecto puramente formal de um lugar geométrico dado nos livros didáticos atuais,

desligando-o de qualquer prática histórica, deixando assim de mostrar o seu uso na

solução de problemas importantíssimos que serviram de base para o aprimoramento

de muitos conceitos matemáticos.

Tendo em mente este tipo de metodologia, foi feita uma análise de 4 livros

didáticos existentes em épocas distintas e foram estudadas as metodologias

estabelecidas por cada um destes com relação ao conceito de lugar geométrico.

Esta análise foi feita buscando responder a uma primeira questão: Como o

conceito de lugar geométrico tem sido tratado nos livros didáticos ao longo das últimas décadas?

Outro ponto da pesquisa surgiu quando tive a oportunidade, no curso de

Desenho Geométrico na Federal de São Carlos, de conhecer o software Cabri-

Géomètre. Este software abriu caminho para que eu pudesse refletir sobre o uso das

suas ferramentas no ensino da Geometria e buscar respostas visando um melhor

uso do conceito de lugar geométrico. Esta idéia ficou adormecida na minha mente.

3

Anos depois, quando me tornei professor da rede pública do Estado de São

Paulo, este software foi distribuído pelo Governo para as escolas estaduais no intuito

de ajudar alunos e professores a desenvolver questões e trabalhos em conjunto.

Com a vinda deste software, o Governo buscou mudar a visão de muitos docentes

com relação ao ensino da geometria plana em sala de aula.

Pela minha prática e vivência como professor no Estado de São Paulo percebi

que este software deixou de ser usado, tanto pelos professores, quanto pelos alunos

e não houve nenhum curso envolvendo docentes com a intenção de capacitá-los no

sentido de torná-los sujeitos fluentes no uso deste programa de Geometria

Dinâmica.

Estudando de forma mais profunda este software e lendo artigos referentes as

suas potencialidades como as ferramentas rastro, lugar geométrico, o uso do mouse

para movimentarmos uma figura em diversas posições testando nossas conjecturas

de forma bem rápida e dinâmica, somando a isto a possibilidade de escondermos

partes da construção que não nos interessa, percebi a utilidade bem nítida de se

usar o Cabri-Géomètre como uma ferramenta facilitadora para resolvermos diversos

problemas geométricos, fazendo-se uso de um lugar geométrico, e a partir disto

fazer a junção com temas relacionados a História da Matemática, como por exemplo

o problema da trissecção de um ângulo fazendo-se uso de uma nêusis.

Assim, uma segunda questão de pesquisa é colocada: O uso de um software de Geometria Dinâmica amplia as possibilidades de ação, formulação e validação em uma situação a-didática do estudo de lugares geométricos

planos?

Desta forma, ao longo do trabalho, foram colocados diversos tópicos

relacionados ao uso da Geometria Dinâmica envolvendo o tema lugar geométrico,

procurando fazer uso deste na sala de aula no intuito de mudar o paradigma

encontrado em diversos livros didáticos.

Terminando o estudo referente ao conceito de lugar geométrico, foi proposta

uma Engenharia Didática baseada nos trabalhos de Michele Artigue, tendo como

pressuposto metodológico os trabalhos de Guy Brousseau relativos às metodologias

das Situações adidáticas e do Contrato Didático.

4

1.2 O conceito de Engenharia Didática

O conceito de Engenharia Didática surgiu em meados da década de 1980

com as pesquisas de Michele Artigue. Esta metodologia faz analogia com o trabalho

de um engenheiro que usa seus conhecimentos teóricos de forma prática. No meio

acadêmico isto se faz através da pesquisa e da vivencia educativa.

Desta forma, da mesma maneira que um prédio para poder se erguer precisa

passar por todas as etapas, desde a construção do alicerce, no processo de ensino

ocorrerá algo análogo pois o trabalho realizado pelo professor terá de seguir todas

as etapas, desde a elaboração das atividades iniciais até a execução destas de

forma prática. Carneiro (2005) fortalece o que foi dito acima :

A origem desta teoria está na preocupação com uma certa “ideologia de inovação” presente no domínio educativo, que abre caminho para qualquer tipo de experiência na sala de aula, descolada de fundamentação científica. Ao mesmo tempo, está relacionada com o movimento de valorização do saber prático do professor, com a consciência de que as teorias desenvolvidas fora da sala de aula são insuficientes para captar a complexidade do sistema e para, de alguma forma, influir na transformação das tradições de ensino. Nesta perspectiva, a questão consiste em afirmar a possibilidade de agir de forma racional, com base em conhecimentos matemáticos e didáticos, destacando a importância da realização didática na sala de aula como prática de investigação. (CARNEIRO, 2005, pg. 89-90)

A engenharia didática permite ao pesquisador, elaborar estratégias visando

uma melhor abordagem metodológica na sala de aula. Pode-se compreender essa

como uma prática investigativa. O conteúdo, explicado pelo docente, é discutido de

forma plena entre os alunos. Trocas constantes de opiniões são feitas no ambiente

escolar.

Esse mecanismo, muda a visão com relação a visão de um professor como

um sujeito detentor de todo conhecimento e o aluno como alguém estático, receptor

das idéias transmitidas, onde não cabe a esse fazer qualquer tipo de

questionamento. Dessa forma, passa a existir, de modo bem coerente a relação

entre o saber teórico e o saber prático. Artigue (2002) coloca a sua concepção a

respeito do que seja uma Engenharia Didática

5

Considera-se um ponto do sistema didático cujo funcionamento parece, por razões de naturezas diversas, pouco satisfatório. Analisa-se esse ponto de funcionamento e as condições que tendem a encontrar um novo ponto de equilíbrio e, depois, trabalhando com essas condições, busca-se determinar condições de existência de um modo de funcionamento mais satisfatório. (ARTIGUE, 2002)

Para que a metodologia da Engenharia Didática seja realizada de forma plena

é preciso que diversas fases sejam seguidas criteriosamente numa determinada

ordem, visando assim uma melhor abordagem desta metodologia. Temos então as

seguintes fases:

Análise preliminar: Aqui é feito um levantamento geral dos principais aspectos que

fundamentarão a pesquisa. Pode-se considerar por exemplo os aspectos didáticos,

psicológicos e cognitivos. Isto é feito para que se possa ter uma idéia das variáveis

que estarão presentes no ambiente de pesquisa que poderão ou não, interferir de

forma positiva em cada caso analisado. De uma maneira geral, pode-se resumir o

que foi dito através de Santana et al. (2004):

Algumas pessoas podem confundir este processo com o levantamento bibliográfico, no entanto, a engenharia didática é uma tentativa de análise de todas as situações didáticas que podem ocorrer ao se ensinar um conteúdo específico. Em outras palavras o que é proposto aqui é uma tentativa de se evitar a “reinvenção da roda”.

De acordo com Almouloud (2008), pode-se resumir essa primeira fase, levando

em consideração os seguintes critérios:

A epistemologia que será usada com relação aos conteúdos que serão

ensinados pelo professor

A prática da metodologia do ensino que será visado e as características de

seus efeitos

Análise das dificuldades oriundas dos alunos, e o que esses fatores poderão

dizer a respeito da evolução destes no experimento de ensino.

Colocar de forma bem nítida, os objetivos que o pesquisador pretende

alcançar no decorrer da pesquisa

A necessidade de se ensinar o conhecimento afim de modificá-lo, levando em

consideração o sistema educativo ao qual desejamos realizar o trabalho

6

Deve-se ressaltar que nada impede do pesquisador nas etapas subseqüentes

retornar essa parte do experimento. Na realidade, isso é algo lícito e muito

proveitoso, pois irá permitir ao pesquisador, analisar de forma contínua, processos

que necessitam de algum reajuste.

Análise a priori: Nesta fase, considerando os dados coletados na análise preliminar

é feita uma sequência didática no intuito de ter um controle nas experiências

realizadas. Artigue (1988) nos fala de dois tipos de variáveis fundamentais para a

realização de uma Engenharia Didática que são as variáveis macrodidáticas ou

globais e as variáveis microdidáticas ou locais.

Macro – didáticas: O pesquisador faz um levantamento global da sua

engenharia, levando em conta, aspectos como tipos de materiais a serem

usados, como será realizada a medição do conhecimento adquirido pelos

alunos.

Micro – didáticas: O pesquisador realiza e organiza a engenharia, levando

em consideração a organização de alguma sessão, tendo como variáveis o

meio em que a engenharia se estabelece .

Almouloud e Coutinho (2008) reforçam o que foi dito:

O objetivo de uma análise a priori é determinar como as escolhas efetuadas ( as variáveis que queremos assumir como pertinentes ) permitem controlar os comportamentos dos alunos e explicar seu sentido. Dessa forma, em uma análise a priori devemos: Descrever as escolhas das variáveis locais e as características da

situação adidática desenvolvida Analisar a importância dessa situação para o aluno e, em

particular, em função das possibilidades de ações e escolhas para construção de estratégias, tomadas de decisões, controle e validação que o aluno terá. As ações do aluno são vistas no funcionamento quase isolado do professor, que, sendo o mediador no processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a tornar o aluno responsável por sua aprendizagem.

Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise feita permite controlar seu sentido, assegurando que os comportamentos esperados, se e quando eles intervêm, resultam do desenvolvimento do conhecimento visado pela aprendizagem.

7

Conforme foi dito, a análise a priori possui duas características que auto se

complementam. A parte da descrição e a parte da previsão. Levando em

consideração esses dois fatores, diversos questionamentos podem ser levantados

como: Qual o conhecimento necessário para o aluno compreender e resolver um

problema proposto? Até que ponto o aluno consegue ter controle sobre sua ação no

momento de realizar alguma atividade?

Logo, nesta etapa, as hipóteses levantadas, irão constituir um alicerce forte

para o desenvolvimento da nossa engenharia didática pois é a partir dessa etapa

que poderá ser analisado com uma profundidade maior, os resultados obtidos na

última etapa, mostrando ou não a validação dos resultados apresentados pelos

sujeitos da pesquisa.

Experimentação: Neste instante o pesquisador coloca em prática toda teoria

elaborada nas fases anteriores. Um fator importante, evidenciado nesta fase, é a

possibilidade de corrigir pontos da sequência didática quando o experimento

realizado nos mostra esta necessidade. O processo de experimentação pode ser

feito usando uma determinada quantidade de aulas e segundo Silva (2010) “essas

aulas devem passar por um planejamento e uma análise prévia apurada com o

intuito de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos

na pesquisa didática”.

Análise a posteriori: Depois do processo de experimentação, o material é recolhido

e analisado pelo professor onde este verifica as principais intervenções que podem

ser feitas no intuito de melhorar de forma significativa o experimento. Dando

sequência a idéia exposta citamos novamente Almouloud e Coutinho (2008)

Assim, a análise a posteriori depende das ferramentas técnicas (material didático, vídeo) ou teóricas (teoria das situações, contrato didático...) utilizadas com as quais se coletam os dados que permitirão a construção de protocolos de pesquisa. Esses protocolos serão analisados profundamente pelo pesquisador e as informações daí resultantes serão confrontadas com a análise a priori realizada. O objetivo é relacionar as observações com os objetivos definidos a priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos fenômenos didáticos identificados.

8

Considerando o aspecto didático que deve ser escolhido no momento de

elaborar uma Engenharia Didática, optamos pelas Teorias das Situações Didáticas e

do Contrato Didático de Guy Brousseau, pois elas permitiram modelar de forma

coerente as atividades que foram elaboradas para o experimento. As próximas

seções tratam um pouco dessas teorias.

1.3 A noção de Contrato Didático

Lendo textos referentes à didática estabelecida na sala de aula, nos

deparamos com a importância de um plano de aula bem estruturado. Um fator

importante muita das vezes é deixado de lado e acaba não sendo percebido por

muitos professores. Neste sentido, a noção de Contrato Didático criado por

Brousseau nos auxilia como uma ferramenta facilitadora nesta relação dinâmica

entre professor e aluno dentro de uma sala de aula.

De forma geral, o Contrato Didático estabelece a relação entre professor e

aluno e os deveres que devem coexistir entre eles. Devemos focar aqui, que este

contrato pode se expandir para outros tipos de ambientes, não ficando

necessariamente dentro da instituição escolar.

Chama-se Contrato Didático o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor (...) Esse contrato é o conjunto de regras que determinam, uma pequena parte explicitamente, mas sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar conta perante o outro. (Brousseau, 1980, pg.101 apud MORETI, 2009, p.116).

A origem deste termo esta relacionado ao contrato social de Rousseau, este

destacou a noção de contrato pedagógico, onde são estabelecidas e determinadas

as relações inerentes entre aluno, professor e sociedade. Devemos levar em conta

que este contrato pode parecer algo paradoxal e na realidade isto acaba por ser

verdade, vejamos as palavras de Brousseau:

Dei-me conta de que semelhante construção de modelos levava a contradições, que se expressavam na realidade por meio de paradoxos: o professor, por exemplo, não pode dizer explicitamente, e

9

de antemão, o que o aluno terá de fazer diante de um problema, sem tirar-lhe, ao fazê-lo, a possibilidade de manifestar ou adquirir o conhecimento correspondente. O professor não pode se comprometer a “fazer o aluno entender” um conhecimento e, muito menos, fazer com que este se produza: ninguém sabe como “se faz” uma matemática nova e, menos ainda, como se pode “fazer com que seja feita” de maneira acertada. De forma que a relação didática não pode formalmente gerar um contrato. As cláusulas não podem ser escritas, as sanções em caso de quebra não podem ser previstas. Contudo, a ilusão de que existe um contrato é indispensável para que a relação aconteça e seja, eventualmente,bem sucedida. (BROUSEAU, 2008, p.73-74)

Do que foi dito até o momento percebemos que o Contrato Didático é algo

muito flexível e dinâmico. Além do mais, permite uma maior interação entre

professor e aluno. O docente deixa de ser detentor de todo conhecimento, o saber

não se torna algo pronto e acabado. Diversas mudanças podem ser feitas no

decorrer das atividades e poderemos chamar isso de ruptura do contrato que poderá

nos dar um retorno positivo ou negativo dependendo de cada situação analisada.

São apresentados em seguida os principais efeitos de um Contrato Didático

segundo Brousseau:

Efeito Topaze: Este efeito ocorre quando o professor procura, através de diversos

tipos de mecanismos, ajudar o aluno a obter a resposta de algum problema, tirando

deste a oportunidade de mostrar suas idéias com uma plenitude substancial

Efeito Jourdain: Neste caso, o professor procura evitar um debate com o aluno com

receio de diagnosticar algum fracasso deste. Assim, o professor admite um

conhecimento sábio no aluno, mesmo tendo plena convicção de que este não possui

uma idéia concreta e coerente. Na realidade, o efeito Jourdain é uma forma de efeito

Topaze.

Uso abusivo de analogias: O uso excessivo de analogias pode gerar uma grande

produção de feitos Topazes. Quando o aluno não consegue resolver algum

problema o professor acaba criando um mecanismo para que o aluno decore a

solução deste, não conseguindo criar assim um conhecimento de forma plena. De

acordo com Brousseau (2008):

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Se os alunos fracassam em seu processo de aprendizagem, devem receber uma nova oportunidade no mesmo assunto. Eles sabem disso. Ainda que o professor dissimule o fato de que o novo problema se parece com o anterior; os alunos vão procurar – o que é legítimo – a solução que já lhes foi dada. Essa resposta não significa que a consideram adequada para a pergunta formulada, mas simplesmente que reconheceram indícios, talvez totalmente exógenos e não controlados, de que o professor queria que eles a produzissem. Desta forma, obtêm a solução lendo as orientações didáticas, e não graças a um compromisso com o problema. (BROUSEAU, 2008, p.84)

1.4 A Teoria das Situações Didáticas

Segundo Brousseau, o comportamento dos alunos no momento de

resolverem um problema revela o funcionamento deste meio. Desta forma, um

problema ou exercício não deve ser encarado como uma regra que visa somente

repetir o conhecimento transmitido pelo professor, mas sim um dispositivo que faça o

sujeito refletir de forma plena sobre a situação proposta. Isso pode ser feito através

de um jogo, um desafio, uma situação que gere um antagonismo, fazendo com que

o sujeito pense de tal modo a colocar suas próprias idéias, conservando ou

mudando-as de acordo com o meio em que interage.

Brousseau propõe desta forma, que o aluno se torne um pesquisador

colocando suas idéias, expondo suas opiniões, colocando suas conjecturas,

testando suas hipóteses e fazendo tudo isso em parceria com um meio, um conjunto

de colegas que socializem suas descobertas.

Pommer (2010, p.7 apud BROUSSEAU, 1996, p. 37-38) nos coloca essas

idéias: O trabalho intelectual do aluno deve ser, por momentos, comparável a esta atividade científica. Saber matemática não é apenas aprender definições e teoremas, a fim de reconhecer as ocasiões que eles podem ser utilizados e aplicados; sabemos perfeitamente que fazer matemática implica resolver problemas. (...) Uma boa reprodução pelo aluno de uma atividade científica exige que ele aja, formule, prove, construa modelos, linguagens conceitos, teorias,os troque com outros,reconheça aqueles que são conformes à cultura, retire destas aquelas que lhe são úteis (...) (BROUSSEAU, 1996a, p. 37-38).

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A esses tipos de situações, Brousseau chamou de situações adidáticas, que

podem ser descritas da seguinte maneira:

Situações de ação

Neste tipo de situação, o professor propõe um problema para um aluno ou

grupo de alunos com o intuito de criar um ambiente investigativo. Aqui o aspecto

experimental é predominante. Através de um jogo, uma situação instigante o

aprendiz vai fazendo suas conjecturas sem pensar de imediato numa teoria que

fundamente suas idéias. O processo continua, com trocas contínuas de informações

entre os aprendizes onde uma teoria poderá ser aceita ou não depois de diversos

diálogos e experimentações existentes no grupo de alunos.

Cabe ao professor fazer interações sem interferir de forma direta na solução

do problema. Este poderá através de análises contínuas ajustar as ações dos

alunos, verificando quais resultados serão pertinentes para a validação de uma idéia

proposta. Desta forma, usando este tipo de situação, o aprendiz se torna construtor

do seu próprio conhecimento, não recebendo informações prontas e acabadas,

conseguindo se tornar um sujeito ativo no processo de ensino aprendizagem.

Conforme nos fala Brousseau (2008) temos:

Para um sujeito, “atuar” consiste em escolher diretamente os estados do meio antagonista em função de suas próprias motivações. Se o meio reage com certa regularidade, o sujeito pode relacionar algumas informações as suas decisões (feed-back), antecipar suas respostas e considerá-las em suas futuras decisões. Os conhecimentos permitem produzir e mudar essas “antecipações”. A aprendizagem é o processo em que os conhecimentos são modificados. Podemos apresentar esses conhecimentos por meio de descrições de táticas (ou procedimentos) que o indivíduo parece seguir ou pelas declarações daquilo que parece levar em consideração, mas tudo são só projeções. A manifestação observável é um padrão de resposta explicado por um modelo de ação implícito. (BROUSSEAU, 2008, p.28)

Buscando colocar as palavras num esquema figurativo, poderemos entender

esta situação analisando a seguinte figura.

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Figura 1 : Situação de ação Fonte : (Brousseau 2008 p.28)

Situações de formulação

Esta situação tem como característica principal a troca de conhecimento entre

o sujeito e os colegas que interagem com ele, existindo uma linguagem um pouco

mais formal sem a adoção de um critério matemático rigoroso.

Neste contexto, o uso de termos colocados pelos alunos que expressem suas

idéias fazendo-se uso de metáforas, de algum código simbólico é algo contínuo que

visa a compreensão entre os grupos procurando buscar um entendimento comum.

Citamos então Maioli (2004) que fortalece nossas colocações :

O objetivo das situações de formulação é a troca de informações: há momentos em que um aluno quer agir, mas as informações que detém são insuficientes, então ele consulta seus companheiros em busca dos dados que lhe faltam. Com estas trocas, pode haver julgamentos e questionamentos sobre validade, no entanto, esses aspectos não são exigidos para caracterizar uma situação de formulação. (MAIOLI, 2004, p.6)

Podemos exprimir a situação de formulação usando o seguinte quadro

esquemático:

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Figura 2: Situação de formulação. Fonte : (Brousseau 2008 p.29)

Situações de validação

Nesta situação, o aprendiz procura usar uma linguagem matemática

apropriada ( demonstrações, provas ) Pomeer (2008). Temos aqui, a possibilidade

de corrigir qualquer equívoco de conceitos matemáticos. Nesta etapa, o aluno

consegue interagir com seus pares sem entrar em contradição, usando esquemas

de prova.

Brousseau (2008) nos fala deste tipo de situação:

Os alunos colaboram na busca da verdade, ou seja, no esforço de vincular de forma segura um conhecimento a um campo de saberes já consolidados, mas entram em confronto quando há dúvidas. Juntos encarregam-se das relações formuladas entre um meio e um conhecimento relativo a ele. Cada qual pode posicionar-se em relação a um enunciado e, havendo desacordo, pedir uma demonstração ou exigir que o outro aplique suas declarações na interação com o meio. (BROUSSEAU, 2008, p.30)

Nesta situação temos a elaboração de algum tipo de prova que não foi

realizada e concretizada nas duas etapas anteriores. Cabe então, ao grupo de

alunos discutirem suas idéias fazendo uso de algum tipo de demonstração

fundamentada num aspecto lógico e formal. O quadro abaixo resume este tipo de

situação.

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Figura 3: Situação de validação. Fonte: (Brousseau 2008 p.30)

As situações de ação, formulação e validação formam a tipologia das

situações a-didáticas onde o professor se torna o mediador, não revelando de forma

imediata as suas idéias na solução do problema. O aluno procura encontrar uma

resposta visando a situação colocada pelo professor, sem existir qualquer tipo de

raciocínio que busque uma mera reformulação de conceitos e fórmulas. Brousseau

acreditava que estas três situações bastavam para caracterizar de forma plena o

conhecimento adquirido pelo aluno, mas no decorrer de suas pesquisas este

observou uma lacuna:

No passado, acreditávamos que, ao considerarmos as situações de ação, formulação e validação, dispúnhamos já de todos os tipos possíveis de situação. Tínhamos situações de aprendizagem – no sentido dos psicólogos – e se poderia pensar que havíamos reduzido o ensino a sucessões de aprendizagem. Mas, no decorrer das experiências desenvolvidas na escola Jules Michelet, vimos que os professores, depois de certo tempo, precisavam ordenar um espaço. Não queriam passar de uma lição a seguinte, queriam parar para “rever o que já haviam feito”. Vimo-nos obrigados a perguntar a causa dessa resistência dos professores a reduzir a aprendizagem aos processos que havíamos concebido. (BROUSSEAU, 2008, p.31) O fato de garantir a consistência do conjunto das modelagens, eliminando as que são contraditórias, exige um trabalho teórico – mostraram a necessidade de considerar as fases de institucionalização que deram a determinados conhecimentos o staus cultural indispensável de saber. (BROUSSEAU, 2008, p.31)

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Situações de institucionalização

Nesta situação, o professor retorna sua posição inicial, ou seja, o sujeito que

transmite o conhecimento de forma a esclarecer as dúvidas oriundas do corpo

discente após a explanação de algum conteúdo. Aqui, cabe ao professor corrigir

conceitos, idéias ou generalizações colocadas pelos alunos de tal forma a construir

um saber formal que será compartilhado por todos.

Cabe ressaltar que esta etapa não se enquadra na tipologia das situações

a-didáticas pois conforme dito existe uma interferência direta do professor,

caracterizando assim uma situação didática. Desta forma, citamos Azevedo e

Pietrocola (2008) que ressaltam o que foi dito até o momento:

O papel do professor inclui, além de organizar a aprendizagem, verificar o que os alunos fizeram ou não, o que eles aprenderam ou ainda precisam aprender. Deste modo, há uma retomada das ações e formulações realizadas que são incluídas no repertório dos alunos para serem usados posteriormente. O conhecimento produzido durante a sequência de atividades é discutido e resgatado de modo que o aluno perceba tratar-se de um saber aceito pela comunidade social e científica representada pelo professor. Esta situação não é mais uma situação adidática: há explicitamente a intenção de incluir o conhecimento gerado pelo aluno no estatuto do saber institucionalizado. (AZEVEDO E PIETROCOLA, 2008, p.7)

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CAPÍTULO II – ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO

2.1 Introdução

Nos dias atuais, quando se faz referência a uma curva, podemos definir esta

como um lugar geométrico, ou seja, um conjunto de pontos o qual satisfaz

determinada propriedade. Essa visão conjuntista é algo criado de forma recente.

LIMA (2001) fala que a expressão “lugar geométrico” é anterior a teoria dos

conjuntos e permaneceu depois dela.

Ele não cita algum período onde essa expressão começou a ser usada. Numa

crítica a um livro sobre uma definição de lugar geométrico fala :

Na realidade, “conjunto” e “propriedade” são conceitos intercambiáveis. Portanto, a definição acima simplesmente diz que lugar geométrico é qualquer conjunto de pontos. Isto nos leva a concluir que o conjunto dos pontos do plano que têm coordenadas racionais é um lugar geométrico. (Seria mais adequado dizer que este é um lugar algébrico.) Se é assim, então para que falar em lugar geométrico, se já temos a consagrada palavra “conjunto” ? Uma saída para os autores de livros didáticos seria dizer um lugar geométrico (plano) é um subconjunto do plano definido por uma propriedade geométrica. (LIMA, 2001, p.41)

Caso se olhe os originais gregos, não será encontrado o nome lugar

geométrico. Arquimedes, por exemplo, na sua obra “As espirais”, antes de colocar a

proposição 12, coloca sete definições explicando o que seja uma espiral e em

nenhuma dessas definições encontramos qualquer referência a um lugar

geométrico. Como exemplo, colocamos a primeira definição:

Se, uma linha reta for desenhada no plano e se, permanecendo fixa uma das suas extremidades, ela girar com uma velocidade uniforme um número qualquer de vezes até retornar da posição de que partiu, e se, além disso, durante esta rotação da linha reta, um ponto se mover sobre a reta com uma velocidade uniforme a partir da extremidade fixa, o ponto descreverá uma espiral no plano

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Assim, deixamos claro, que as definições usadas fazendo referência a essas

curvas como lugares geométricos estão associados a conceitos mais modernos,

mas de qualquer modo isso não nos impede de dar uma visão mais atual, sem faltar

de forma alguma com o rigor de qualquer definição ou demonstração matemática.

Na maioria dos livros didáticos atuais, o conceito de lugar geométrico é

apresentado sem nenhum enfoque histórico. Dessa forma, muitas vezes, o lugar

geométrico é colocado como algo pronto e acabado, desassociado completamente

das inúmeras aplicações que este conceito contém. Assim, o aluno é levado a deixar

de ter a possibilidade de redescobrir, através da história, o papel primoroso dos

lugares geométricos na matemática, e potencialmente pode se tornar um sujeito

estagnado, que aceita informações oriundas de várias fontes sem procurar

questionar o que está por de trás de diversos conceitos relacionados a matemática.

Outro ponto importante é a inter - relação entre a História da Matemática e as

demonstrações. Acreditamos que o uso da história da matemática pode ajudar no

entendimento de uma demonstração, colocando esta como algo associado a um

momento, a uma época. Isso torna o processo de ensino aprendizagem algo mais

prazeroso e faz com que o aluno possa compreender, de forma mais ampla, os

diversos meios que os matemáticos criaram para resolver um determinado

problema.

Levando em consideração essas colocações, neste capítulo estabelecemos

os três problemas clássicos da antiguidade grega e procuraremos explorar a relação

destes com o conceito de lugar geométrico. Vale ressaltar que nesta pesquisa foi

encontrada uma variedade enorme de problemas históricos envolvendo lugares

geométricos, mas escolhemos este tema por considerá-lo bem fecundo e propício.

18

2.2 A importância da História da Matemática no processo de ensino aprendizagem

Muitos educadores matemáticos enfatizam a importância da História da

Matemática como uma ferramenta facilitadora na aprendizagem do aluno. Partindo

dessa premissa, temos a oportunidade de formar uma pessoa crítica que não aceita

uma idéia como algo imutável. Em Geometria, o uso de fatos históricos coloca o

aluno como um sujeito centrado nos aspectos investigativos, analisando as

características que levaram à descoberta de um modelo, de um padrão e de um

contexto cultural de certa época.

Neste sentido, temos o papel importante desempenhado pela demonstração

em Geometria. Alguns temas envolvendo fatos históricos, como por exemplo, “a

soma dos ângulos internos de um triangulo vale 1800”, ou a demonstração do

teorema de Pitágoras, são assuntos com uma fundamentação histórica riquíssima, e

a aprendizagem desses temas não se restringe somente a uma única demonstração

possibilitando diversos caminhos ao aluno, aumentando assim, o seu raciocínio

dedutivo e abrindo possibilidades para que este se torne um aprendiz no processo

de pesquisa.

Segundo Miguel, Carvalho, Brito e Mendes (2009), o papel da História da

Matemática já vem sendo discutido desde o século XVII, com Clairaut. Desde o

início do século XIX, essas idéias passaram a fazer parte de congressos

internacionais de ensino da matemática. Miguel et al.(2009, p.9 apud FAUVEL,

1991) fala da importância da história da matemática no auxilio do ensino da mesma :

1) A História da Matemática aumenta a motivação para a

aprendizagem da Matemática 2) Humaniza a Matemática 3) Mostra seu desenvolvimento histórico por meio da ordenação e

apresentação de tópicos no currículo 4) Os alunos compreendem como os conceitos se desenvolveram 5) Contribui para as mudanças de percepções dos alunos com

relação à matemática 6) Suscita oportunidades para a investigação em Matemática (MIGUEL et al.2009, p.9 )

O professor não deve ficar estagnado com relação a sua prática docente, e

por isso deve buscar métodos inovadores, visando a melhorar o ensino da

Matemática na sala de aula. Neste contexto, a História da Matemática dá a sua

19

contribuição de forma bem plausível, pois o docente tem condição de estabelecer

múltiplas conexões, fazendo um elo com várias disciplinas. Desta forma, o aluno terá

uma variedade de possibilidades de vislumbrar o processo de ensino aprendizagem,

não se limitando ao uso e aplicações de fórmulas e aumentando sua percepção de

analisar fatos de forma mais metódica.

D’AMBRÓSIO (1999, p.97 apud VIANNA, 2008, p.4) nos relata e fortalece as

idéias comentadas acima:

Em Matemática é impossível discutir práticas educativas que se fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e nas tradições sem recorrer à história, que compreende o registro desses fundamentos. Desvincular a Matemática das outras atividades humanas é um dos maiores erros que se pratica particularmente em Educação Matemática (DÁMBRÓSIO, 1999, p.97)

2.3 Os Cadernos da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

O currículo de Matemática das escolas públicas do Estado de São Paulo dá

um enfoque muito relevante aos aspectos históricos, tornando-os ferramentas

primorosas para o desenvolvimento de novas habilidades por parte dos alunos. Isso

quebra paradigmas dentro da sala de aula.

Fazendo uma análise do currículo proposto, podemos encontrar diversos

trechos que falam da importância de se usar e vivenciar os aspectos históricos com

os alunos: Na construção dos significados, uma idéia norteadora é a de que as narrativas são muito importantes, são verdadeiramente decisivas na arquitetura de cada aula. É contando histórias que os significados são construídos (SP: SEE, 2010, p.45) Na verdade, não parece concebível ensinar qualquer disciplina sem despertar o interesse em sua história – e na história em sentido pleno. Ainda que possamos tentar ensinar os conceitos que nos interessam, tais como eles nos são apresentados atualmente, os significados são vivos, eles se transformam, eles tem uma história (SP: SEE, 2010, p.45) E é na história que buscamos não apenas uma compreensão mais nítida dos significados dos conceitos fundamentais, mas

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principalmente o significado das mudanças conceituais, ou seja, o significado das mudanças de significado. (SP: SEE, 2010, p.45) Para contar uma boa história, é necessário, no entanto, ganhar a atenção dos alunos, é preciso criar centros de interesse. É fundamental cultivar o bem mais valioso de que dispõe um professor na sala de aula: o interesse dos alunos. (SP: SEE, 2010, p.46)

Nos Cadernos da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, existe

uma prioridade com relação ao desenvolvimento de conteúdos matemáticos,

levando em consideração aspectos históricos da Matemática. Procura-se assim,

formar jovens com uma consciência maior da importância do desenvolvimento desta

na vida de um sujeito como um todo. Isso fica evidenciado, por exemplo, no caderno

do aluno, volume 4, da oitava série, quando o aluno é convidado a fazer um estudo

do número PI.

Apresentar o numero PI somente a partir de sua definição formal não é suficiente para garantir um significado amplo deste conceito. É preciso ir além, trazendo para a sala de aula outras situações que ampliem tal significado. A história constitui um excelente recurso a favor da construção do significado dos conceitos em qualquer área do conhecimento. Na Matemática, particularmente, ela é de fundamental importância para evitar visões cristalizadas ou excessivamente simplistas. Ainda que alguns livros tratem a Matemática como um conhecimento pronto e acabado, é importante que os alunos saibam que o que estudamos hoje é fruto de muito trabalho e pesquisa de pessoas que lhe dedicaram tempo e esforço no decorrer da história da humanidade. Fonte: São Paulo ( 2009, 8asérie vol. 4 pg.12 )

De maneira geral, analisando esses Cadernos, sempre se encontra alguma

referência ao aspecto histórico da Matemática, incentivando o docente a fazer uso

deste na sua aula. Outro ponto positivo, ao fazer uso dessa metodologia, é

transformar a mentalidade do professor, incentivando-o a buscar respostas a fatos

que antes pareciam simples e pitorescos, fazendo sua visão em relação aos

aspectos históricos se tornar mais concreta e ampliando seus horizontes. Dessa

forma, o professor pode auxiliar o aluno de forma mais segura e ganha muito com

isso, pois se torna alguém com um saber mais consistente, analisando fatos de

forma bem mais profunda e segura.

Apresentamos, em seguida, dois exemplos do uso de fatos históricos

encontrados nos Cadernos, evidenciando mais uma vez o que foi dito acima. No

21

primeiro exemplo, é comentado o princípio de Cavalieri, e são citados os nomes de

outros matemáticos como Arquimedes e Galileu Galilei. No segundo exemplo, é

comentada a razão áurea e sua importância para os gregos nas construções de uma

forma geral.

Figura 4: Caderno do aluno 2a série. Fonte: São Paulo (2009, 2asérie, vol. 4 pg.10).

Figura 5: Caderno do aluno 6a série. Fonte: São Paulo (2009, 6asérie, vol. 3 pg. 35).

2.4 Os três problemas clássicos da Antiguidade

Os Elementos de Euclides, em seus três primeiros postulados, não fazem

qualquer referência ao uso de uma régua não graduada e de um compasso:

Postulado I: Pode-se desenhar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer

ponto.

Postulado II: Uma linha reta determinada pode continuar sobre si mesma até onde

seja necessário.

Postulado III: Com centro qualquer e raio qualquer podemos descrever um circulo.

Descrevendo de forma mais prática esses três postulados, Eves (2007) fala

que, com uma régua, é permitido apenas traçar uma reta de comprimento infinito,

dados dois pontos não coincidentes, e que, com um compasso, é permitido traçar

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uma circunferência de centro A passando por B. Por causa disso é comum chamar a

régua e o compasso de instrumentos euclidianos.

Ficam estabelecidas, então, de maneira informal, as regras para se fazer uso

desses dois instrumentos para resolver qualquer problema de construção

geométrica. Isso é algo importante, pois se fosse proposto um problema envolvendo

algum tipo de construção, com certeza, levaria vantagem aquele matemático que

pudesse fazer uso de uma régua graduada ou delimitada por um número condizente

de pontos.

Na geometria grega, resolver um problema de construção geométrica se

baseava nesses três postulados. Mas, com o passar do tempo, foram surgindo

alguns problemas que na realidade não podiam ser resolvidos usando as regras

citadas acima. Estes necessitavam de outros métodos para serem resolvidos e se

tornam então os três problemas clássicos da matemática grega. O problema da

trissecção de um ângulo, o problema da duplicação de um cubo e o problema da

quadratura de um círculo.

2.4.1 O problema da trissecção de um ângulo

Diversos autores acreditam que o problema da trissecção de um ângulo

surgiu de forma natural a partir de um problema mais simples, o de dividir um ângulo

qualquer em dois ângulos de mesma medida, ou seja traçar a bissetriz interna de um

ângulo dado.

Pode parecer à primeira vista um problema bem simples o de dividir um

ângulo dado em três partes de mesma medida, talvez pela facilidade de dividir um

ângulo de 90 em três partes iguais, assim como os múltiplos deste ângulo. Este

problema, ao contrário do que se pensava, abriu uma lacuna de milênios até a

definitiva prova da sua insolubilidade.

Contador (2006) diz que uma possibilidade da criação desse problema se

deve à construção de um polígono de nove lados, a qual, para ser realizada,

necessita da construção de um ângulo de 600 para obtermos um ângulo de 400 que

é, na realidade, a divisão de 3600 por 9.

23

Outra origem atribuída a esse problema é citado por Carvalho (2004), que diz

acreditar que Hípias de Elis foi um dos primeiros gregos a tentar encontrar uma

solução para esse problema.

2.4.2 O problema da duplicação do cubo

O problema da duplicação de um cubo ou, o problema deliano, teve uma de

suas origens numa lenda grega que diz respeito ao oráculo de Apolo. De acordo

com Netto (1956), essa versão se deve a Filopônio, que fala a respeito de uma

grande maldição que estava devastando a cidade de Atenas. O povo, em grande

desespero, procurou o oráculo de Delfos e perguntou o que poderia ser feito para

aplacar a ira dos Deuses, e Apolo respondeu que deveriam dobrar o tamanho do

altar de forma cúbica.

Dessa forma, de maneira errônea, foi construído um altar com o dobro da

aresta do altar anterior. Fazendo isso, ao invés de duplicarem o volume, acabaram

multiplicando o volume deste por 8, deixando assim os Deuses em cólera

aumentando o tamanho da peste.

Outra versão, segundo Eves (1994), é atribuída a Eutócio ( 560 d.C ), que

relata uma suposta carta escrita por Eratóstenes a Ptolomeu, referente ao rei Minos,

que teve o desejo de construir uma tumba em forma de cubo para seu filho. Mas,

este, descontente com o tamanho do monumento, ordenou que fosse dobrado,

pedindo que aumentassem duas vezes o tamanho da aresta. Intrigado, Eratóstenes

descobriu o erro e, a partir disso vários geômetras se dispuseram a resolver o

problema.

Figura 6 : duplicação do cubo. Fonte : Bossle e Gobbi 2004)

24

Usando os conceitos de nossos dias, o problema pode ser equacionado e

resolvido da seguinte forma:

Considerando um cubo de aresta a=1, queremos obter um novo cubo de

aresta a com o dobro do volume do primeiro cubo, ou seja,

Vcubo aresta a = 2 V cubo aresta1 a3 = 2 a = 3 2 . Desta forma, um cubo

de aresta 3 2 tem o dobro do volume de um cubo de aresta igual a 1.

2.4.3 O problema da quadratura do circulo

Este problema se reduz a encontrar um quadrado que tenha área equivalente

a um circulo dado. Dos três problemas clássicos, este é, sem dúvida, o mais antigo,

pois, no papiro de Rhind, já se encontravam resultados da equivalência dessas duas

figuras.

Contador (2006) relata que esse problema pode ter surgido por mera

curiosidade, mas com o passar do tempo foi intrigando a mente de muitos

matemáticos e o primeiro matemático grego a estudar esse problema de forma

profunda foi Anaxágoras (440 a.C) e, apesar de estar preso por motivos políticos,

conseguiu alguns resultados, mas sem obter uma conclusão satisfatória.

Carvalho (2004) diz que o problema primitivo teve origem na quadratura do

retângulo e Aristóteles afirmava tudo se iniciou na tentativa de se obter a média

geométrica mas foi esquecido com o passar do tempo.

2.5 A construção por nêusis e o uso de lugares geométricos na solução dos três problemas clássicos da antiguidade Grega

Muitas tentativas infrutíferas foram feitas no desejo de resolver os três

problemas clássicos, usando as regras dos instrumentos Euclidianos. Com o passar

do tempo, novas idéias foram surgindo e ao contrário de muitos, os gregos usavam

outros tipos de técnicas para resolverem problemas de construções geométricas.

Citamos então Carvalho (2004) que nos fala :

25

No entanto, é falsa a crença de que os gregos, na resolução de problemas de construções geométricas, trabalhavam somente com a régua e o compasso. Exatamente como os matemáticos de hoje, para resolverem um problema eles usavam todas as ferramentas disponíveis ou criavam novas ferramentas apropriadas. De suas tentativas para achar soluções para os problemas clássicos, surgiram várias curvas e métodos que enriqueceram a Matemática. (CARVALHO, 2004, p.2)

Essas curvas descritas por Carvalho são na realidade lugares geométricos

criados para resolverem os referidos problemas. No decorrer dos séculos, outros

lugares geométricos foram encontrados e utilizados para resolverem problemas

clássicos, como foi o caso do problema da catenária e da braquistótona que aguçou

a mente de muitos matemáticos renomados.

Antes de apresentar qualquer solução a respeito do uso de lugares

geométricos na obtenção desses problemas, é de suma importância explicar o que

significa uma construção por nêusis e o papel desempenhado por esse tipo de

construção, pois é a partir disso que se pode evidenciar e compreender as novas

soluções apresentadas pelos matemáticos gregos, fazendo uso do conceito de lugar

geométrico.

Antes de uma definição formal, será usado o exemplo de Souza (2001), que

reduz o problema da triseccção de um ângulo dado a uma construção por nêusis

para poder explicar de forma prática o que significa esse tipo de construção.

Para isso, considere o ângulo ABC dado, conforme a figura a seguir.

A

B C

D

E

F

Figura 7 : Trissecção do ângulo ABC

26

A partir do ponto A, são traçadas uma paralela e uma perpendicular em

relação ao segmento BC. O segmento DE é construído de tal forma que DE=2AB e

que o ponto E pertença à semi reta construída a partir do ponto A. Fazendo uso

desta construção, pode-se provar que o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC.

A demonstração deste fato será feita no próximo tópico, mas, aceitando a

referida construção, pode-se citar Souza (2001) que nos diz :

O problema da trissecção dum ângulo agudo fica resolvido se soubermos inserir o segmento DE (duplo de AB) entre as rectas FA e AE e apontando para o ponto B. Assim, ao depararmo-nos com o problema da trissecção de um ângulo, reduzimo-lo a um outro problema, que os geômetras gregos designaram por problema de construção por nêusis – a inserção dum segmento de recta de comprimento pré-definido entre duas curvas, de modo a que um ponto fixo se encontre ou nesse segmento ou no seu prolongamento. (SOUZA, 2001, p.18)

A palavra nêusis, em grego, significa apontar. Na realidade, pode-se dizer

que é uma construção por ajustamento ou “a inserção dum segmento de recta pré-

definido entre duas curvas, de modo a que um ponto fixo se encontre ou neste

segmento ou no seu prolongamento” (SOUZA, 2001, p.18).

De acordo com Pappus no seu livro “A coleção”, os gregos dividiram os

problemas geométricos em 3 classes:

1) Problemas geométricos planos : construções feitas usando somente régua e

compasso

2) Problemas geométricos sólidos : construções envolvendo o uso de elipses,

hipérboles, parábolas e diversas secções cônicas

3) problemas geométricos lineares : construções envolvendo o uso de nêusis com o

auxilio de diversas curvas como a espiral de Arquimedes, a conchóide de

Nicomedes, a cissóide.

O uso de construções por nêusis era aceitável desde que todas as tentativas

pelos dois primeiros métodos fossem esgotadas. Uma evidência desse fato pode ser

percebida quando é feita a leitura dos elementos de Euclides, onde não se encontra

qualquer referência a uma construção por nêusis. Existia também outro tipo de

construção, usando instrumentos mecânicos, segundo Sallum (2006)

27

A construção de máquinas para desenhar certos tipos de curvas,

como as cônicas , a cissóide e a conchóide, teve importância

fundamental na resolução alternativa de problemas clássicos

insolúveis com régua e compasso tais como duplicação do cubo e

Trissecção de ângulo. (SALLUM,2006, p.1)

Como exemplo desses tipos de máquinas, podemos citar a máquina de

Platão, a máquina de Eratóstenes, mas esses tipos de mecanismos não eram

aceitos de forma plena, fugindo dos moldes das construções Euclidanas.

2.6 Nicomedes e sua solução para o problema da trissecção de um ângulo

De acordo com Galvão (2008), Nicomedes viveu na primeira metade do

século III a.c e inventou esta curva com a intenção de resolver o problema da

trisecção de um ângulo, sendo posteriormente usado na resolução do problema da

duplicação do cubo.

Uma definição da conchóide de Nicomedes é dada, baseado em Sallum

(2006):

Considere fixados um ponto O, uma reta r cuja distância a O é AO = a > 0 e b > 0.

Para cada ponto X r considere os pontos P e P’ obtidos pela intersecção da reta

OX com a circunferência de centro X e raio b.

A conchóide é o lugar geométrico dos pontos P e P’ assim obtidos quando X percorre a reta r

28

Figura 8 : conchóide de Nicomedes. Sallum (2006, p.20)

Pelo desenho, há três possibilidades distintas para obtermos o referido lugar

geométrico: a > b , a = b e a < b . Analisando esse problema do ponto de vista

teórico e histórico, uma demonstração será dada, baseada em Galvão (2008), mas

os mesmos comentários podem ser encontrados em Eves (2008).

Vamos supor que queremos dividir em três partes iguais um dado

ângulo CBA ˆ . Com esse intuito, consideremos um retângulo BCAD de tal forma que o

referido ângulo esteja entre a diagonal AB e o lado BC. Toma-se, a partir do ponto B,

um segmento BF com F pertencente à semi-reta DA. O segmento BF encontra o

segmento AC em E de tal forma que EF = 2AB (por construção) . Com esses dados

vamos provar que 1ˆ ˆ3

EBC ABC

Pela figura abaixo, temos CEBAEF pelo caso AA, pois (ângulos retos)

BCEFAE ˆˆ e BECFEA ˆˆ (ângulos opostos pelo vértice) logo EBCEFA ˆˆ .

Tomando um ponto G sobre EF de tal forma que G seja ponto médio deste

segmento, temos EG = GF. Considerando o triângulo retângulo AEF, AG será a

mediana da hipotenusa EF e, assim, teremos AG=EG=GF, pois a mediana relativa à

hipotenusa de um triângulo retângulo mede a metade da hipotenusa.

29

B C

AD

E

F

G

Figura 9 : Trissecção do ângulo dado ABC

Assim, o triângulo AGF é isósceles, e EBCFAGGFA ˆˆˆ . Considerando o

AGF , temos CBEBGA ˆ2ˆ , pois BGA ˆ é ângulo externo do AGF e, pela relação

acima teremos essa igualdade.

Do problema, temos que 2EF AB , mas como G é ponto médio de EF vem:

2EF AB , 2EF EG logo AB EG . Dessa forma, como AG EG , temos AB AG .

Com isso, teremos ABG isósceles com BGAGBA ˆˆ Sendo:

CBEBGAGBA ˆ2ˆˆ e CBEGBACBA ˆˆˆ vem:

BGACBACBE ˆˆˆ

CBECBACBE ˆ2ˆˆ

3

ˆˆˆˆ3 CBACBECBACBE

2.7 A espiral de Arquimedes e sua solução para o problema da trissecção de um ângulo

Arquimedes deu uma valorosa contribuição matemática ao tentar resolver o

problema da trissecção de um ângulo bem como o problema da duplicação do cubo.

Para esse fim ele usou uma construção por nêusis, criando um lugar geométrico

chamado de espiral de Arquimedes.

30

Esse lugar geométrico pode ser definido como o lugar dos pontos P que se

movem uniformemente ao longo de um raio que, por sua vez, gira uniformemente

num plano em torno de sua origem Eves (2008).

Essa curva, bem como diversas proposições relacionados a ela encontra-se

no trabalho “Sobre as Espirais” e no “Livro dos Lemas”. De acordo com Souza

(2001), em diversas proposições de “Sobre as Espirais”, são feitas referências a

construções por nêusis e, no “Livro dos Lemas” é encontrada uma proposição com

uma solução para o referido problema. Por exemplo :

Proposição XVIII : Se AB for qualquer corda num círculo de centro O, e se AB for

prolongado até C de modo que BC seja igual ao raio e se, por outro lado, CO

intersectar o círculo em D e for prolongado de modo a intersectar o circulo uma

segunda vez em E, o arco AE será igual a três vezes o arco BD.

O

A

B

C

E

D

Figura 10 : Demonstração da proposição XVIII

Demonstração :

Seja ÂOE o ângulo que deve ser trissectado. Os triângulos AOB e OBC

são isósceles, logo ˆ ÔAB OBA e ˆ ˆBOC BCO . O ângulo é ângulo externo

no OBC , logo, 2 mas 180 2 180 3

ou seja,

13

arcoBD arcoAE .

31

A solução foi obtida. No entanto, pela construção realizada, não pode ser

resolvida sem o uso de uma régua graduada e compasso, recaindo então num

problema por nêusis. Arquimedes, então, na sua obra “Sobres as Espirais”

apresenta diversas definições sobre sua referida curva e apresenta uma proposição

que serve de base para a solução do problema da trissecção do ângulo :

Proposição XIV: Se, a partir da origem da espiral, se traçarem duas linhas retas até encontrarem a primeira volta da espiral, e se se prolongarem até encontrar a circunferência do primeiro circulo, as linhas traçadas até a espiral terão entre si a mesma razão que os arcos da circunferência entre a extremidade da espiral e as extremidades das retas prolongadas até encontrarem a circunferência, sendo os arcos medidos para a frente a partir da extremidade da espiral.

Figura 11: Espiral de Arquimedes

Arquimedes, além de matemático, era engenheiro e, na solução de diversos

problemas, usou métodos experimentais, baseando-se em leis da Física. Para o

entendimento dessa proposição, é lícito dizer que ele usou algum método

experimental para descrever tal fato.

Com o objetivo de dar uma explicação, consideremos a espiral descrita acima

pelos pontos A,B,C,D,E e F bem como a circunferência que descreve essa espiral

que contém os pontos F,G,H e K. Vamos demonstrar que a seguinte proporção

abaixo é verdadeira:

AE EKGAD FKH

32

Pela definição da espiral de Arquimedes como um lugar geométrico, o ponto

A percorre o segmento AF com velocidade constante, ocorrendo o mesmo com o

ponto F quando este percorre a circunferência dada. Baseado então nas leis da

Cinemática e levando em consideração a proporcionalidade entre os segmentos

considerados na espiral e os arcos descritos pelas mesmas de acordo com a

proposição XIV, temos a referida relação, que é o alicerce fundamental para a

solução do problema da trissecção de um ângulo dado.

Na realidade, Arquimedes simplificou o problema, pois, ao invés de usar arcos

na circunferência, ele reduziu o problema a segmentos de reta que determinam tais

arcos, sendo um segmento sempre comum, aquele que é o que dá origem à espiral.

Levando em consideração isso, a compreensão da solução deste problema, usando

este lugar geométrico, se torna evidente. Para isso, consideremos a figura abaixo.

Figura 12 : Trissecção usando espiral Arquimedes – Fonte Boyer 2009 p. 88

Seja POA ˆ o ângulo que se deseja trissectar. Fazendo coincidir o vértice O

com a origem da espiral e da semi-reta AO, o segmento OP é dividido em três partes

de mesma medida, obtendo assim os pontos R e S. A partir de O são traçadas

circunferências de raios OR e OS. Esses círculos cortam a espiral nos pontos U e V

e desta forma tem-se as retas OU e OV trissectando o ângulo dado.

33

2.8 A quadratriz de Hípias e o seu uso na solução do problema da trissecção de um ângulo e na quadratura do circulo

Hípias de Elide nasceu aproximadamente em 425 A.C. Souza(2001) diz que

este lugar geométrico descreve uma das mais antigas curvas da matemática e que

foi inventada com a intenção de resolver o problema da trissecção de um ângulo,

sendo usada posteriormente por Dinóstrato para realizar a quadratura do círculo.

Uma das vantagens do uso dessa curva é a possibilidade de dividir um ângulo em n

partes iguais e não ficando apenas em três partes iguais.

Para exemplificar como a quadratriz de Hípias irá trissectar um ângulo dado,

primeiramente mostraremos como este lugar geométrico é gerado, e a partir disto

faremos uma demonstração baseada nas idéias de Contador (2006), Carvalho

(2004) e Souza (2001).

Considerando o quadrado ABCD da figura I, o lado AD irá se deslocar para

baixo e no mesmo intervalo de tempo o lado AB irá e deslocar no sentido horário,

gerando o arco AC, com centro em B e raio AB. Quando esse movimento é realizado

na sua totalidade, irá gerar a curva AE, descrita pela figura II. Então pode-se definir

a quadratriz como : O lugar geométrico gerado pela intersecção desses dois lados

móveis.

Figura 13 : Quadratriz Hípias - Fonte Contador 2006 p.240

Sendo P um ponto pertencente à quadratriz, quer-se trissectar o ângulo PBC.

Para isso, observando a figura III, basta traçar uma paralela ao segmento BC

passando por P, obtendo assim o ponto S, pertencente ao segmento AB. Com isso,

deve-se dividir o segmento BS em três partes de mesma medida.

34

A quadratriz segue o mesmo modelo cinemático descrito pela espiral de

Arquimedes e por esse fato existe uma proporção entre a distância percorrida pelo

lado AD e o arco AC. Dessa forma pode-se escrever :

ÁB ACBS A C

Sento T e U as projeções ortogonais de P´ e P´´ sobre o segmento AB, A´ o

ponto de intersecção do arco AC com a semi reta BP e A´´ o ponto de intersecção

do arco AC com a semi reta BP´´ vem :

´´́ ´´

BS A C PBCBU A C P BC

O segmento BU é a terça parte do segmento BS. Pela proporcionalidade

descrita pela quadratriz de Hípias, esse problema se resume em encontrar os

segmentos descritos acima, transformando a trissecção de um ângulo qualquer em

uma tarefa bem mais cômoda.

2.9 A cissóide de Diócles e sua solução para o problema da duplicação do cubo

Diócles viveu aproximadamente em 180 a.C e inventou esta curva com a

intenção de resolver o problema da duplicação de um cubo. No intuito de mostrar a

sua solução, nos basearemos na demonstração dada por Carvalho (2004) e Frensel

(2002), que usaram os conceitos de Geometria Analítica, dando assim um enfoque

mais moderno na solução do problema.

Considerando um sistema de eixos coordenados e uma circunferência com

centro A(a,0) e diâmetro igual a 2a, considere os pontos B(2a,0) e C(0,4a).Traça-se

uma reta perpendicular ao eixo dos x, passando pelo ponto B. Sendo P um ponto

pertencente à circunferência a semireta OP encontrará esta reta perpendicular no

ponto D. Tomando um ponto E sobre o segmento OD de tal forma que OP=DE,

pode-se definir a cissóide como :

O lugar geométrico do ponto E quando o ponto P percorre a circunferência

35

Figura 14: cissóide Diocles

Vamos fazer a dedução da equação da cissóide em coordenadas polares.

Para isso, considerando a figura abaixo:

Figura 15: Demonstração da equação cissóide

Seja a circunferência de diâmetro AO, AB um segmento tangente ao círculo

no ponto A e C o ponto de intersecção entre o segmento OB e o

círculo.Considerando o ponto P sobre o segmento OB de tal forma que OP=BC.

36

Pela figura, temos CABCOA ˆˆ . Chamando de estes ângulos e pelo triângulo

retângulo AOB, vem AB=2a.tg . Sendo =OP=CB e considerando o triângulo

retângulo ABC, tem-se CB=AB.sen , dessas duas igualdades, podemos escrever

=2a.tg sen (*)

Passando para coordenadas cartesianas e fazendo uso das fórmulas de

transformação 2 2x y , 2 2

yx y

sen

, ytg x e substituindo em (*) vem :

2 2

2 22 y yx y a

x x y

22 2 3 22 (2 )ayy y a x

xx x ,

que é a equação da cissóide em coordenadas cartesianas. Neste caso a=1/2 e

dessa forma, a equação da cissóide se torna 3 2(1 )y xx .

Obtendo a equação da reta BC, temos:

4 0 22 0BC BCam ma

) 0 2( 2 2 4 2 2y x a y x a y x

Fazendo a intersecção da reta BC com a cissóide, encontramos o ponto F

dado por: 3 2(1 )

2(1 )y x

y xx

3

2 2= yxy 3 32y x 3 2xy

Que é uma reta de coeficiente angular 3 2 . Fazendo a intersecção desta reta com a

reta x=1 obtemos o ponto G dado por (0, 3 2 ) que é na realidade a solução do

problema.

2.10 Papus de Alexandria e a solução do problema da trissecção usando uma hipérbole

Papus de Alexandria viveu em torno do final do século III d.C. e escreveu uma

obra chamada de “Coleção”, composta por 8 livros, que desempenhou um papel

importante no estudo da matemática grega, pois este se preocupou em fazer um

37

registro histórico de muitos teoremas e proposições de matemáticos que viveram em

épocas anteriores. Segundo (Boyer p. 129) :

“A coleção de Papus é o último tratado matemático antigo realmente significativo, pois a tentativa do autor de ressuscitar a geometria não teve sucesso. Obras matemáticas continuaram a ser escritas em grego por mais de mil anos, continuando uma influencia com início quase um milênio antes, mas os autores que vieram depois de Papus nunca mais chegaram ao seu nível. Suas obras tem quase exclusivamente a forma de comentários sobre tratados anteriores. O próprio Papus é em parte responsável pelos comentários que surgiram em seguida de todos os lados, pois ele escreveu comentários sobre Os elementos de Euclides e o Almagesto de Ptolomeu, entre outros, dos quais só restam fragmentos.”

Segundo Souza (2001), Papus usou a seguinte construção para trissectar um

ângulo dado ABC:

1) Construir uma circunferência de centro B e intersectando os lados do ângulo

dado nos pontos A e C sendo AC seu arco

2) Seja a corda AC dividida em H de modo que AH = 2HC

3) Construímos uma hipérbole com AH como eixo transverso e 3 AH como eixo

não transverso

4) Um dos ramos desta hipérbole vai intersectar a circunferência num ponto que

vamos designar por P

Figura 16: Trissecção de um ângulo usando uma hipérbole

Com essa construção, teremos 1ˆ ˆ3

PBC ABC e para provar isso

primeiramente vamos aceitar como verdadeira a seguinte relação:

38

23.

PBAB BH

Consideremos a figura a seguir:

Figura 17 : Demonstração da trissecção de um ângulo usando uma hipérbole

Considerando a segunda figura, é marcado um ponto C no prolongamento da

semi-reta AH de tal forma que AH=2HC. Da mesma forma, são marcados os pontos

E e Z para que se tenha BC=BE=EZ. Da figura AC=AH+HC e como AH=2HC, vem

AC=3HC. Da mesma forma se chega a conclusão que CZ=3BC. Da mesma figura

temos CH=BC+BH BH=CH – BC. Multiplicando ambos os lados por 3, vem

3BH=3(CH – BC) 3BH = 3CH – 3BC 3BH = AC – CZ 3BH = AZ

Pelo que foi provado, pode-se escrever a relação: 2 2 2 2EZ EP BEEP Pois EZ=BE por construção 2 2 2EZ BPEP Teorema de Pitágoras no PBE 2 2 3 .EZ BH ABEP Relação demonstrada 2 2 .EZ AZ ABEP 2 2 ( ).( )EZ AE EZ AE BEEP

Como BE=EZ vem : 2 2 ( ).( )EZ AE EZ AE EZEP

2 22 2EZ AE EZEP

39

Desta última relação, vem EP=AE

Assim, o AEP é isósceles com ˆÂPE PAE sendo o ângulo ˆPEC , ângulo

externo do AEP , vem ˆˆ ˆPEC APE PAE ˆˆ 2PEC PAE . Do CEP , o ponto B é

ponto médio do segmento CE e, como o ponto P é perpendicular a este segmento, o

triângulo será isósceles, com ˆ ˆPCE PEC e, como ˆˆ 2PEC PAE , vem ˆ ˆ2PCE PAE .

Da figura temos ˆ ˆPAE PAC e ˆ ˆPCE PCA logo ˆ ˆ2PCA PAC .

Da primeira figura, o ângulo ˆPBA é ângulo central correspondendo ao arco

AP , logo ˆPBA AP . O ângulo ˆPCA , sendo ângulo inscrito do arco AP , vem

ˆ2

APPCA ˆˆ 2PBA PCA e da mesma forma vem ˆˆ 2PBC PAC , e com isso:

1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 22

PBC PAC PCA PBA PBA PBC

Da primeira figura, sabemos que ˆ ˆ ÂBC ABP PBC e da última relação concluímos

que 1ˆ ˆ3

PBC ABC .

40

CAPÍTULO III - O CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO EM

ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS

3.1 Introdução

Neste capítulo, a intenção é mostrar como o conceito de lugar geométrico é

colocado em algumas obras clássicas de matemática escolar. Iremos adotar os

critérios estabelecidos por Alves (2009, p.3 apud CHOPIN, 2002, p.3) que fala como

definir uma determinada amostra para escolha de livros a serem analisados.

De acordo com Alves (2009), são quatro os fatores adotados por Chopin

(op.cit., p.20) para verificar se um livro terá uma grande difusão de publicação: A duração da vida editorial ( diferença entre as datas da última e da primeira edição); o número de edições declaradas (mas a estratégia dos diferentes editores não é idêntica e a realidade das edições anteriores não é sempre assegurada); o número das edições indicadas pelas biliografias;e, por fim, o número de exemplares conservados (ALVES, 2009, p.3)

Os livros analisados foram:

1) Geometria Elementar – Companhia Livraria Francisco Alves (1914)

2) Matemática: Curso Ginasial – Osvaldo Sangiorgi – Companhia Editora

Nacional (1961)

3) Lugares Geométricos Planos – F. A. Lacaz Neto – Livraria Nobel (1957)

4) Matemática Ginasial (1948) – Euclides Roxo, Julio Cesar de Mello e Cecil

Thiré – Livraria Francisco Alves (1948)

5) Desenho Geométrico – José Carlos Putnoki – Editora Scipione - (1991)

O intuito foi pesquisar os vários enfoques nos períodos diversos do ensino da

Matemática ao tema lugar geométrico e o destaque que foi dado por cada obra ao

lidar com esses conceitos. Tentamos observar a influência que cada um desses

livros exerceu nas obras de escritores posteriores, tentando entender a maneira

como o conceito de lugar geométrico é abordado em livros didáticos.

41

3.2 Livro: Geometria Elementar

Figura 18: Capa do livro Geometria Elementar (Companhia Livraria Francisco Alves - 1914)

O livro intitulado “Geometria Elementar” data do ano de 1914 e foi escrito por

um grupo de professores, os quais não são nomeados no livro. Conforme o índice

mostrado na Figura 19, no LIVRO I, os autores registram algumas definições, como

o conceito de linhas e ângulos para, depois, tratarem do estudo da congruência de

triângulos e dos polígonos regulares.

Figura 19 : Índice do livro Geometria Elementar

Nesta primeira parte, nenhuma referência ao conceito de lugar geométrico é

feita, nenhuma definição é dada. Não há preocupação em dar provas do tipo

42

hipótese - tese e por isso acreditamos que os autores resolveram omitir os conceitos

de alguns lugares geométricos importantes, como é o caso da mediatriz de um

segmento ou da bissetriz interna de um ângulo dado. No exemplo abaixo, estamos

falando da mediatriz de um segmento e é apresentada uma prova, mas, como

podemos perceber, não existe referência à mediatriz ou citação desta como um

lugar geométrico.

1Figura 20: Explicação do conceito de mediatriz

Ao final desta primeira parte do livro, encontramos uma série de exercícios, e,

para que um aluno consiga resolver sem dificuldade cada um deles, é primordial que

tenha em mente o conceito envolvendo cada ente geométrico explorado em cada

problema proposto. Dessa forma, analisando os exercícios da lista abaixo,

verificamos que os autores acreditavam que os alunos já tinham em mente o

conceito de bissetriz interna como um lugar geométrico.

2Figura 21: Exercícios de bissetriz interna

1 Figura 20– página 15 do livro Geometria Elementar


43

Observemos agora o problema 23: “As bissectrízes dos três ângulos de um

triângulo concorrem no mesmo ponto”. Aqui não ficou especificado que se tratava da

bissetriz interna, podendo gerar outra interpretação por parte do aluno. Não houve

sequer uma pequena explicação dizendo que o ponto de encontro dessas 3

bissetrizes internas se chama incentro, evidenciando mais uma vez a falta de

preocupação dos autores com relação a esse tema. Continuando com a lista, temos

os seguintes problemas:

3Figura 22: Exercícios propostos sobre lugares geométricos

No problema 46, os autores propõem na realidade que o aluno seja capaz de

encontrar a mediatriz de um segmento AB e, mais uma vez, nada foi citado sobre


44

este lugar geométrico. Analisando os exercícios, percebemos uma falta de precisão

ao definirmos um lugar geométrico, pois há várias frases com o mesmo significado.

Seria lícito que os autores tivessem verificado essa analogia entre as frases

citadas acima, pois o estudante menos atento poderia pensar que cada situação

descrita seria bem diferente da outra, e na realidade não é. Da mesma forma, no

exercício 56, é pedido para provar que as três medianas de um triângulo concorrem

num mesmo ponto, e nada é dito a respeito deste lugar geométrico, o qual

chamamos de baricentro.

No LIVRO II são estudadas as propriedades da circunferência conforme é

mostrado na figura seguinte:

4Figura 23: Livro II : Circulo

Na pagina 73 encontramos o seguinte problema “Sobre uma recta dada A’B’

como corda construir um segmento de circulo capaz de um ângulo dado A”

5Figura 24: Arco capaz

4 Figura 23- Índice do livro Geometria Elementar

5 Figura 24 – página 73 do livro Geometria Elementar

45

Observemos que naquela época se usava a palavra “círculo” como sinônimo

de “circunferência”. Aqui, é ensinado a construir o arco capaz de um ângulo dado,

mas não há referência deste como um lugar geométrico, encontrando somente a

justificativa da construção.

Logo em seguida, é proposto o seguinte problema :

“Três pontos A, B e C, sendo situados num terreno horizontal e indicados num

mappa, determinar neste mappa o ponto M donde as distâncias AB e BC se

observam debaixo dos ângulos e que foram medidos.”

6Figura 25: Aplicação do conceito de arco capaz

Conforme a figura retirada do livro, o ponto M será a solução, pois este se

acha sobre o segmento AB e é o arco capaz do ângulo , e o ponto M irá satisfazer

as mesmas condições para o segmento BC, sendo arco capaz do ângulo .

Chegamos então a uma observação dada pelos autores conforme a figura acima.

Pela explicação feita, percebemos que só no final desta é colocada uma

referência com relação ao arco AMC, dizendo que este é o conjunto de pontos que

satisfazem o problema. Mostra-se dessa forma, a pouca ênfase ao lidar com esse

assunto. Na página 103, encontramos, pela primeira vez, uma referência com


46

relação ao conceito de lugar geométrico. Não é usado este termo, mas sim “o lugar

dos pontos”. Temos o seguinte teorema:

“O lugar dos pontos taes que a razão de suas distâncias a dois pontos fixos A e B

seja constante, é uma circumferência.”

7Figura 26: Problema do circulo de Apolônio

Comprovamos aqui, mais uma vez, a falta de estabelecimento de um critério

único ao definir um lugar geométrico. Um detalhe que podemos perceber nesta obra

é a inexistência de tentar relacionar um lugar geométrico a um fato histórico. No

caso acima, poderia ter sido dito algo a respeito do círculo de Apolônio, falar deste

problema histórico e relacionar a sua solução com o teorema proposto, que nada

mais é do que um lugar geométrico.

No LIVRO II, não existe enfoque algum ao definir a circunferência como um

lugar geométrico. Nesse sentido, no LIVRO III há uma definição bem diferente,

apresentando a circunferência como o limite de uma quantidade variável de

polígonos regulares inscritos numa circunferência. Seguem, abaixo, a explicação e a

respectiva definição dada neste capítulo:

7 Figura 26 – página 104 do livro Geometria Elementar

47

8Figura 27: Definição de circunferência como limite de polígonos regulares inscritos nesta

Analisando as páginas seguintes referentes à parte da geometria plana, não

encontramos teorema ou qualquer observação a respeito de um lugar geométrico,

ficando evidente a falta de preocupação em colocar um capítulo sobre o tema.

Temos a impressão de que os autores acreditam firmemente que o aluno já tenha

pré estabelecidos, os conceitos relativos aos lugares geométricos mais comuns.

Mesmo assim, houve uma falta de sequência lógica ao lidar com o tema.

8 Figura 27 – página 125 do livro Geometria Elementar (companhia Livraria Francisco Alves - 1914)

48

3.3 Livro: Matemática: Curso Ginasial

Figura 28: Capa do livro Matemática: Curso Ginasial - 3a Série de Osvaldo Sangiorgi

(Companhia Editora Nacional – de 1961 – 57aedição)

O livro “Matemática, curso ginasial 3a série” de autoria do professor Osvaldo

Sangiorgi, foi escrito na década de 1950. Camilo (2007, p.28 apud MIORIM 2005,

p.3) fala sobre a atualização dos livros de Matemática desta época, segundo a

portaria ministerial no 966/1951. De acordo com Pinto (2009), os livros de

Matemática escritos de acordo com essa portaria eram metódicos, com uma linha

rígida de demonstrações, não tendo a preocupação de criar um diálogo mais aberto

entre o autor e o aluno. “O uso do livro didático pelo aluno ginasial restringia-se à consulta das definições, ao estudo das demonstrações e à cópia dos enunciados dos exercícios nos cadernos. A maioria das aulas era expositiva, centrada na ação do professor e na prática de exercícios, cujos procedimentos eram passo a passo explicados pelo mestre. O livro didático era, portanto, um material secundário para o aluno e que perdia de longe para o caderno escolar. Para o professor, o livro era um importante auxiliar para o cumprimento do programa oficial” (PINTO, 2009, p.64)

Tendo em vista essa concepção, a parte relativa à Geometria Plana é tratada

a partir do capítulo II, conforme o índice abaixo:

49

9Figura 29: Índice do capítulo II PARTE I

10Figura 30: Índice do capítulo 2 PARTE II

9 Figura 29 – Páginas 10 e 11 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi 10 Figura 30 – Páginas 12 e 13 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi

50

É interessante notar a preocupação de Sangiorgi com a utilização de

construções geométricas como base para um melhor entendimento das suas

demonstrações e um estudo mais criterioso de diversos lugares geométricos.

11Figura 31: Os instrumentos geométricos na construção de lugares geométricos

Posteriormente, poderemos perceber a ligação feita entre construções

geométricas e lugares geométricos, ao ficar evidenciada a construção da mediatriz

de um segmento AB ou a bissetriz interna de um ângulo dado AOB.

Pelo índice mostrado anteriormente, temos o capítulo 5 referente a

“Perpendiculares e oblíquas. Lugares Geométricos”. Analisando este capítulo, temos

uma definição do conceito de lugar geométrico.

12Figura 32: Definição de lugar geométrico

Logo em seguida, são apresentadas a mediatriz e a bissetriz interna como

lugares geométricos. Uma demonstração criteriosa, usando o conceito de hipótese-

tese é feita por Sangiorgi, evidenciando, de fato, a característica das obras de

matemática desta época.

11 Figura 31 – Página 19 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi

12 Figura 32– Página 147 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi

51

13Figura 33: mediatriz e bissetriz interna como lugares geométricos

Apesar do intuito do autor, de dedicar parte de um capítulo ao estudo dos

lugares geométricos, isso acabou sendo dado de forma pouco aprofundada, pois no

geral 3 páginas foram dedicadas a este tema. Não houve um aprofundamento, além

desses dois lugares geométricos, nenhum outro foi comentado. Dessa forma, um

leigo teria uma visão bem limitada, pois da quantidade de exercícios propostos

neste capítulo (10 no total) não encontramos um sequer que nos fale de um lugar

geométrico específico.

Assim, mesmo com todo rigor da obra do professor Osvaldo Sangiorgi, pouca

ênfase foi dada ao lidar com um lugar geométrico e, somente na página 196, temos

outra referência a um lugar geométrico, quando o autor nos dá a definição de uma

circunferência como sendo “O lugar geométrico dos pontos de um plano

eqüidistantes de um ponto dado no mesmo plano”.

14Figura 34: Circunferência como lugar geométrico

13 Figura – Páginas 148 e 149 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi

14 Figura 34– Página 196 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi

52

Na página 231, é apresentado o capítulo “Construções geométricas com

régua e compasso”, onde são explicadas, através de exemplos, as construções

geométricas básicas que servem de apoio para a solução de problemas mais

elaborados, envolvendo este mesmo assunto. No primeiro exemplo, é pedido que se

trace a mediatriz de um segmento. Aqui, novamente, é lembrada a definição de

mediatriz como um lugar geométrico e, com isso em mente, é apresentada a

construção passo a passo. Na página 233, temos como exemplo a construção da

bissetriz de um ângulo dado e não encontramos referência ao defini-la novamente

como um lugar geométrico.

15Figura 35 : Construção da bissetriz interna

No capítulo III, na parte relativa a “linhas proporcionais no triângulo”

encontramos o círculo de Apolônio, discutido anteriormente, mas Sangiorgi o retrata

como “Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é

constante”


53

16Figura 36 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é

constante PARTE I

17Figura 37 : Lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é

constante PARTE II

Ele faz uma demonstração bem detalhada ao provar que este lugar

geométrico é uma circunferência conforme visto nas páginas acima. É interessante

notar o processo de uma sequência lógica adotada no livro, pois Sangiorgi nos diz

16 Figura 36 – Páginas 256 e 257 do livro matemática curso ginasial 3o volume de Osvaldo Sangiorgi


54

“como aplicação das propriedades das bissetrizes de um triângulo vamos

demonstrar o seguinte teorema” (SANGIORGI, 1961, p.256), ou seja, neste capítulo

ele coloca todas as propriedades relativas a bissetrizes internas de um triângulo, faz

as demonstrações e só depois ele nos apresenta esse lugar geométrico. Dessa

forma, o aluno não terá maiores problemas de compreensão se tiver total clareza

dos teoremas expostos .

Fica evidenciado o rigor nesta obra, assim como a demonstração criteriosa e

a sequência lógica seguida para poder compreender cada teorema. Mesmo agindo

dessa forma, o assunto lugar geométrico poderia ter sido tratado com ênfase bem

maior e não colocado somente em algumas páginas, sem nenhum exercício

proposto aos alunos, abrindo uma grande lacuna e impedindo que estes pudessem

tentar assimilar de forma mais primorosa o conceito de um lugar geométrico.

3.4 Livro: Lugares Geométricos Planos

Figura 38 : Capa do livro Lugares Geométricos Planos de F.A.Lacaz Netto (Livraria Nobel

S/A de 1957 – 2aedição)

55

Esse livro foi escrito na década de 1950 com o intuito de aprofundar os

conhecimentos dos alunos no entendimento e resolução de exercícios envolvendo

lugares geométricos. A obra trata somente deste tema, apresenta, assim, uma

análise profunda dos problemas propostos bem como notas históricas envolvendo

lugares geométricos específicos.

O caminho tomado por F. A. Lacaz Netto é bem diferente de outros autores

quando nos referimos ao método usado na solução de um problema. Na sua obra, é

empregado o método cartesiano na resolução de todos os problemas, mas este

deixa bem claro o uso de outros métodos, como, por exemplo, o vetorial, embora

nesta obra foi feita a opção pelo primeiro, conforme visto a seguir :

18Figura 39 : Sistema de referência para se resolver problemas de lugares geométricos

O livro começa com uma nota histórica atribuindo a Platão a criação da teoria

dos lugares geométricos e os motivos que levaram ao desenvolvimento desta, que

serviu de base para a resolução de problemas históricos, como a duplicação do

cubo e da trissecção do ângulo conforme visto no capítulo I

19Figura 40 : Histórico sobre origem do termo lugar geométrico

18 Figura 39 – pagina 6 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto 19 Figura 40 – pagina 7 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto

56

Lacaz faz uma observação importante com relação ao sistema de referência

adotado no momento de resolver um problema de lugar geométrico. Temos em

mente, analisando as obras atuais, um único sistema de referência. Aquele que tem

como origem a intersecção de duas retas que formam um ângulo de 900. No entanto,

apresenta diversas escolhas bem distintas, demonstrando, assim, a plenitude de

várias decisões cabíveis, aumentando de certa forma as possibilidades empregadas

na solução de um exercício.

20Figura 41 : Observações para se resolver problemas de lugares geométricos

20 Figura 41 – pagina 8 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto

57

Levando em consideração o que foi dito acima, Lacaz apresenta diversos

problemas esmiuçados com todos os detalhes possíveis. Dessa forma, são citados a

seguir dois exemplos com suas respectivas soluções.

“11 – Exercício. Lugar geométrico dos pontos cuja diferença ( numa certa ordem )

dos quadrados das distâncias a dois pontos fixos seja constante. ”

21Figura 42 : Lugar geométrico dos pontos cuja diferença dos quadrados das distâncias a

dois pontos fixos seja constante

Neste exemplo, Lacaz considera, no eixo dos x, o segmento de reta

determinado pelos pontos A e B constrói a mediatriz deste segmento ( item b) da

observação 4 ), obtendo o eixo y e tendo como origem a intersecção destes. Ao

tomar a decisão de escolher a mediatriz de AB como parte do sistema de referência,

Lacaz torna o problema mais simples, pois os pontos A e B serão simétricos em


58

relação ao eixo y, facilitando em muito as manipulações algébricas no momento de

resolver a equação e obter a solução mostrada acima.

20 – Exercício : Lugar dos pontos cuja razão das distâncias a um ponto fixo e uma

reta fixa, ( que não se pertençam ) seja constante

É colocado um sistema de referência que realmente facilita a solução

conforme citado abaixo :

22Figura 43 : Lugar dos pontos cuja razão das distâncias a um ponto fixo e uma reta fixa,

( que não se pertençam ) seja constante

É feito o cálculo da projeção ortogonal do ponto P sobre a reta d=y e obtida

uma curva a partir do qual tem início uma discussão para verificar se a elipse,

parábola ou uma hipérbole.


59

23Figura 44 : Elipse, hipérbole e parábola como lugares geométricos

E com essa discussão vem a conclusão do autor : teremos uma elipse caso a

constante seja menor que um, uma hipérbole, se a constante for maior do que um e

uma parábola caso seja igual a um.

Existe uma preocupação em evidenciar fatos históricos, colocando a

importância do estudo dos lugares geométricos na solução dos problemas da

antiguidade clássica, conforme foi visto no capítulo I. Aqui é mostrado o problema

delineano e colocadas duas origens para o referido problema, uma atribuída a

Filopônio e a outra a Erastótenes


60

24Figura 45 : O problema Delineano

É colocada uma solução atribuída a Menecmo e outra a Diocles. A primeira

faz uso da intersecção de duas parábolas, e a segunda faz uso de uma cissóide e

de um círculo com diâmetro tomado igual a unidade.

25Figura 46 : Solução de Menecmo para o problema da duplicação do cubo



61

26Figura 47 : Solução de Diocles para o problema da duplicação do cubo

No final do livro, como curiosidade, é dada a etimologia de alguns lugares

geométricos como a cissóide e a conchóide

27Figura 48 : Etimologia de alguns lugares geométricos

Dos livros analisados, este representa uma obra muito aprofundada, fazendo

um estudo metódico de diversos lugares geométricos, partindo de conceitos simples,

a partir dos quais são apontados outros lugares geométricos. Para um entendimento

plausível é necessário um conhecimento algébrico e geométrico profundo e, junto

com as definições e inúmeros exercícios resolvidos, o livro traz uma quantidade 26 Figura 47 – pagina 98 e 99 do livro Lugares geométricos planos de F.A.Lacaz Netto


62

enorme de exercícios. Isso mostra a preocupação do autor com o aluno, com o fato

de exercitar o que foi ensinado, não ficando somente numa teoria vaga e pouco

profunda.

63

3.5 Livro: Matemática Ginasial 3a série

Figura 49 : Capa do livro Matemática Ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

(Livraria Francisco Alves de 1948 – 3aedição)

Este livro data do ano de 1948 e foi escrito em conjunto pelos professores

Euclides Roxo, Julio César de Mello e Cecil Thiré. Dos livros analisados, este é o

único que apresentou duas definições distintas do conceito de lugar geométrico.

Primeiro, os autores definem um lugar geométrico como uma trajetória :

28Figura 50 : Definição de lugar geométrico como trajetória de pontos

28 Figura 50 – pagina 144 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

64

Existe uma preocupação em dar exemplos, não ficando um texto pautado

somente na teoria. É dado então um exemplo histórico de um lugar geométrico que

é a ciclóide e outro bem prático, mostrando o lugar geométrico como um curva :

29Figura 51 : Exemplos de lugares geométricos definidos como trajetórias de pontos

Logo em seguida, os autores falam a respeito do conceito de lugar geométrico

como um conjunto de pontos, mas antes de qualquer definição formal, um exemplo

minucioso é dado. Existe uma preocupação em estabelecer um diálogo com o leitor

e, bem depois disso, o formalismo em questão é apresentado :

30Figura 52 : Definição de lugar geométrico como conjuntos de pontos

29 Figura 51 : Páginas 144 e 145 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

30 Figura 52 : Página 145 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

65

31Figura 53 : Definição de circulo como lugar geométrico

Interessante é a observação registrada no final do capítulo, onde é

estabelecida a relação entre superfície esférica e lugar geométrico e, após isso, a

definição de lugar geométrico como uma linha ou superfície.

32Figura 54 : Superfície esférica como lugar geometrico

Na página 185, são explicados os critérios para se estabelecer um lugar

geométrico, critérios usados nos livros didáticos atuais.

33Figura 55 : Critérios para se estabelecer um lugar geométrico

31 Figura 53 : Página 146 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

32 Figura 54 : Página 146 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza 33 Figura 55 : Página 185 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

66

Os autores apresentam outra possibilidade: a negação do item (b) mostrando

então dois caminhos no estabelecimento de um lugar geométrico

34Figura 56 : Outra forma de se estabelecer um lugar geométrico

Logo em seguida, são dadas a mediatriz e a bissetriz interna como lugares

geométricos. Uma demonstração rigorosa é feita seguindo a linha hipótese e tese.

Ao observar as obras do professor Euclides Roxo, percebe-se que é possível um

diálogo com o leitor, e escrever de forma acessível, sem deixar de lado o rigor

matemático.

35Figura 57 : A mediatriz como lugar geométrico

34 Figura 56 : Página 186 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza 35 Figura 57 : Páginas 186 e 187 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

67

36Figura 58 : A bissetriz como lugar geométrico

Os autores apresentam um capítulo a respeito das construções geométricas e

falam a respeito do método euclidiano e das possíveis soluções através deste

método.

37Figura 59 : Definição de problema gráfico e de problema quadrático


68

É estabelecido um método denominado pelos autores de método dos lugares

geométricos, fazendo mais uma vez referência a esse conceito e interligando

construção geométrica e lugar geométrico conforme visto abaixo:

38Figura 60 : Método dos lugares geométricos

39Figura 61 : Construções geométricas pelo método dos lugares geométricos

No capítulo referente ao estudo do círculo, este é definido como um lugar

geométrico de duas maneiras distintas, fato que revela mais uma vez a preocupação

dos autores em dar uma visão mais ampla do entendimento de qualquer conceito

envolvendo um lugar geométrico.

40Figura 62 : Página 237 do livro Matemática Ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e

Souza (Livraria Francisco Alves de 1948 – 3aedição) 38 Figura 60 : Página 230 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza 39 Figura 61 : Página 231 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza 40 Figura 62 : Página 237 do livro Matemática ginasial 3a série de Roxo –Thiré – Melo e Souza

69

Nesta obra é encontrada uma definição distinta para o conceito de diâmetro

de uma circunferência. Os autores colocam o diâmetro como um lugar geométrico,

fato evidenciado somente neste livro.

41Figura 63 : Diâmetro como lugar geométrico

Uma característica comum nas obras analisadas é o problema do círculo de

Apolônio, colocado também nesta obra conforme a figura a seguir :

42Figura 64 : Ângulo sob o qual se vê um segmento de reta

Das obras analisadas, esta foi a que mais apresentou referências ao conceito

de lugar geométrico, fazendo elo entre lugar geométrico e desenho geométrico, por

meio de diversas definições. Não se limitou ao estudo deste tema somente em um

capítulo, mas distribuiu em várias partes da obra .


70

3.6 Livro: Desenho Geométrico

Figura 65 : Capa do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki (Editora Scipione 1991)

Este livro apresenta um modo de resolver problemas de desenho geométrico,

chamado de Método dos lugares geométricos, o qual será explicitado no capitulo

IV.

Putnoki explica o método dos lugares geométricos dando exemplos

preliminares, onde incita o aluno a pensar na resposta de algumas perguntas feitas

no livro. Após este fato é apresentado o conceito de lugar geométrico e um problema

preliminar é resolvido, procurando tirar dúvidas surgidas pelos leitores.

O autor coloca cinco lugares geométricos que ele considera como

fundamentais que são:

Lugar geométrico 1 : circunferência

Lugar geométrico 2 : mediatriz

Lugar geométrico 3 : Retas paralelas

Lugar geométrico 4 : Bissetriz

Lugar geométrico 5 : Arco capaz

71

Uma explicação do conceito de lugar geométrico é dada e ilustrando a

definição. O autor coloca um exemplo para um melhor entendimento do que foi

exposto.

43Figura 66 : O método dos lugares geométricos

Com isso, Putnoki começa a resolver problemas fundamentais de construções

geométricas usando cada um dos seus lugares geométricos.

43 Figura 66 : Páginas 65 e 66 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki

72

No inicio, conforme visto na figura 68 é apresentado o seguinte problema

“São dados dois pontos, A e B, e duas distâncias, m e n. Obtenha um ponto X que

diste m de A e n de B.”. Neste caso, é usada a intersecção de duas circunferências

na obtenção do ponto X caracterizando desta forma o uso do lugar geométrico 1.

44Figura 67 : Circunferência como lugar geométrico

44 Figura 67 : Página 68 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki

73

Seguindo as explicações, o autor apresenta o lugar geométrico 2 : mediatriz

de um segmento. Ele coloca de forma bem clara, um exemplo preliminar, e após

esse fato da definição de mediatriz como um lugar geométrico conforme visto na

figura 69.

45Figura 68 : Mediatriz como lugar geométrico

Dois exemplos são apresentados. No primeiro, pede que se construa um

triângulo isósceles, dados dois pontos e uma circunferência e no segundo uma

construção clássica que é a de se construir uma circunferência dados 3 pontos não

colineares.

Considerando o problema resolvido, Putnoki obtém as intersecções dos

lugares geométricos e dessa forma obtém a solução de cada um deles conforme

visto na figura 70.

45 Figura 68 : Página 71 do livro Desenho Geométrico - José Carlos Putnoki

74

46Figura 69 : Resolução de exercícios pelo uso do método dos lugares geométricos

Seguindo a mesma linha de raciocínio, são apresentados de forma seqüencial

os outros lugares geométricos, seguidos de diversos exemplos conforme pode ser

visto na figura 71.


75

47Figura 70 : Retas paralelas e Bissetriz como lugares geométricos

Esta obra apresenta de forma bem clara um método que faz uso dos lugares

geométricos para se resolver diversos problemas de construções geométricas. Um

livro de geometria pode fazer associação com fatos envolvendo construções

geométricas e a partir disso, trabalhar de forma bem mais ampla e criteriosa,

exercícios e problemas de geometria.


76

CAPÍTULO IV - O PAPEL DA GEOMETRIA DINÂMICA NO PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DO CONCEITO DE LUGAR GEOMÉTRICO

4.1 Introdução

Neste capitulo será discutido o papel da geometria dinâmica no processo de

ensino-aprendizagem de Geometria Plana, dando ênfase ao seu uso no estudo de

lugares geométricos. No início apresentaremos um software chamado Loci, que teve

o intuito de facilitar o estudo de lugares geométricos, ajudando o aluno a criar suas

próprias conjecturas.

Em seguida, apresentaremos o Cabri-Géomètre II, o software usado na

pesquisa em foco. No início, será dada uma visão geral das funcionalidades deste

software e a seguir serão discutidas duas ferramentas primordiais no estudo de um

lugar geométrico, a ferramenta lugar geométrico e a ferramenta rastro. Concluindo

esta parte, mostraremos a facilidade do uso deste software no momento de

realizarmos construções geométricas envolvendo lugares geométricos.

Terminando o capítulo, será feita uma análise dos problemas abertos e como

poderemos usá-los para dar um enfoque diferenciado no estudo de lugares

geométricos. Uma discussão a respeito do uso do deslocamento no ambiente de

geometria dinâmica e das construções moles e robustas será enfatizada e veremos

como esses dois fatores poderão auxiliar o aluno a desenvolver novos conceitos,

fazendo uso do aspecto experimental e investigativo que um software de geometria

dinâmica pode oferecer.

77

4.2 O software Loci

No boletim GEPEM, encontramos um artigo escrito por Hershkowitz,

Friedlander e Dreyfus (1994), chamado “Loci e Pensamento Visual”, no qual os

autores descrevem um software chamado Loci, que tem como finalidade permitir aos

estudantes construírem uma imagem bem global do conceito de lugar geométrico.

No artigo, encontramos uma crítica ao processo estereotipado dado ao estudo

de um lugar geométrico evidenciando a visão algébrica de muitos autores ao lidarem

com este tema :

O processo requisitado do aluno consiste na análise de uma situação que geralmente é apresentada verbalmente, traduzi-la para uma linguagem algébrica e então executar computações de acordo com regras formalizadas. Os processos de intuir, visualizar, explorar, conjecturar, definir, construir e dinamicamente transformar, que são tão importantes na matemática não encontram seu lugar neste tipo de atividade. (HERSHKOWITZ et al., 1994, p.77)

Usando o Loci, tem-se a possibilidade de escolher quatro tipos de ação:

Definir lugar geométrico

Construir pontos do lugar geométrico definido

Fazer conjecturas sobre sua forma

Transformar o lugar geométrico modificando os dados em sua definição

A seguir o funcionamento de cada ação é detalhado:

Definir um lugar geométrico : O usuário escolhe e fixa dois elementos,

como por exemplo duas retas ou um ponto e uma reta. Desse modo o lugar

geométrico será decidido pela soma, diferença ou razão entre os elementos

escolhidos. Assim, pode-se obter por exemplo uma elipse, escolhendo dois

pontos fixos e informando para o Loci esta distância, pois :

Elipse é o conjunto de pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos

fixos do plano é constante

78

Na realidade, um número enorme de possibilidades pode ser criada e

evidenciada fazendo uso do Loci

Figura 71 : Definindo um lugar geométrico (Hershkowitz et al., 1994, p.78)

Construir pontos do lugar geométrico definido : Depois de definir o lugar

geométrico o aluno terá a possibilidade de verificar se um determinado ponto

pertence ou não a tal conjunto de pontos. Para isso, ele poderá escolher

circunferências de raios pré-definidos ao redor de um determinado ponto e

traçar paralelas verificando as intersecções entre estas duas .

Figura 72 : Construindo pontos com o Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.79)

Fazer conjecturas : No Loci, fica evidenciado o papel importante do aluno de

fazer conjecturas pois este software possibilita uma lista de 22 escolhas

possíveis para o lugar geométrico. Logo temos a oportunidade de quebrar

este paradigma de problemas de construções prontas e acabadas mudando a

visão dos alunos. Abaixo citamos um exemplo dado pelos autores : Em nosso exemplo, o lugar geométrico consiste de dois segmentos de parábolas (figura 3). Em qualquer momento, o usuário pode escolher construir mais pontos para fazer novas conjecturas. Se um número suficiente de construções já tiver sido realizado – 6 construções, no mínimo – também é possível obter o lugar geométrico sobre a tela sem ser necessário fazer uma conjectura correta sobre sua forma. (HERSHKOWITZ et al., 1994, p.79)

79

Figura 73 : Fazendo conjecturas com o Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.79)

Feito estas operações, se a hipótese do aluno estiver em acordo com o lugar

geométrico pedido este será desenhado na tela do computador e este irá descrevê-

lo de forma verbal.

Transformar locus: Nesta situação, temos a possibilidade de fazer

transformações no lugar geométrico construído. No caso da elipse, podemos

aumentar ou diminuir a distância entre os dois pontos fixos. Se esta distância

for reduzida de forma significativa num determinado momento o lugar

geométrico irá se tornar vazio e o Loci irá evidenciar isso para nós.

Os autores propõem uma atividade descrita abaixo onde nos falam a respeito de

dois tipos de raciocínio, o local e o global. “Dados uma reta b e um ponto A. Decida

para cada um dos seguintes desenhos se ele é ( ou não é ) o lugar geométrico dos

pontos com a soma das distâncias ao ponto A e a reta b é fixa”

(HERSHKOWITZ et al., 1994, p.81)

Figura 74 : Atividade envolvendo uso do Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.81)

Fazendo uso do Loci ou verificando de forma algébrica as distâncias pedidas

tem-se como resposta correta os itens ii) e iv).

80

Pode-se combinar o uso do Loci com outro software denominado Geogebra. Este

é um software livre que possui uma ferramenta para somar medidas de segmentos e

verificar se esta soma é constante. Isso facilita a visualização e ajuda na

confirmação de conjecturas. A Figura 76 mostra os resultados obtidos com esse

software.

81

Figura 75 : Análise do lugar geométrico com soma constante

Analisando as respostas de alguns alunos ficou evidenciado o

Raciocínio local : neste caso, temos uma análise superficial da situação

descrita pois o aluno escolhe um número muito reduzido de pontos para

tomar uma decisão. Citamos como exemplo o raciocínio de um aluno no caso

ii) que nos diz

“ A circunferência A não é o lugar geométrico, pois as distâncias do ponto E e O ao

ponto A são r, mas a distancia do ponto O a reta b é maior do que a distancia do

ponto E a reta b. ” (HERSHKOWITZ et al., 1994, p.83)

Figura 76 : Solução de um aluno usando o Loci (Hershkowitz et al., 1994, p.83)

Raciocínio global : neste caso, a visão do aluno sobre o lugar geométrico

pedido é mais profunda. Ele tem um foco bem aguçado de um lugar

geométrico como um conjunto de pontos satisfazendo uma certa propriedade.

O número de pontos considerados na solução do problema também é maior e

citamos como exemplo o raciocínio do aluno Amir que fez seu comentário

sobre o caso i

82

“Não a parábola não é o lugar geométrico porque conforme nós

caminhamos pela parábola, as distâncias tanto ao ponto A quando a

reta b são aumentadas. ” (HERSHKOWITZ et al., 1994, p.84)

Pelo que foi apresentado acima, o Loci foi um software criado para evidenciar

e aprimorar o tratamento dado no estudo de um lugar geométrico, e segundo a

pesquisa dos autores um software de Geometria Dinâmica pode ajudar em muito na

mudança de um raciocínio local para um raciocínio global.

Tivemos o intuito de focar neste software, pois ele trabalha diretamente com o

nosso tema de pesquisa e nos abre caminho para falar do Cabri-Géomètre que será

usado na nossa atividade de pesquisa.

4.3 O software Cabri Géomètre II e lugares geométricos

O uso dos instrumentos euclidianos na elaboração de construções

geométricas via papel e lápis sofre muitos empecilhos quando comparado às

construções feitas fazendo uso de um software de Geometria Dinâmica. Gravina

(1996) afirma que um dos fatores desfavoráveis quanto ao uso do primeiro meio é a

impossibilidade de variarmos a posição da figura. Não existi assim, formas viáveis de

fazer novas conjecturas.

No caso de construções envolvendo lugares geométricos, este fator se torna

preponderante, pois muitas vezes a construção será feita usando uma nêusis como

no caso da trissecção de um ângulo usando a conchóide de Nicomedes. O ajuste da

figura será feito de forma bem mais fácil, usando o ambiente de Geometria

Dinâmica.

Fica evidenciado então o papel das ferramentas rastro e lugar geométrico, no

Cabri Géomètre II, como facilitadoras na construção de lugares geométricos. Isso é

verdadeiro, pois no ambiente papel e lápis, a precisão no momento de estabelecer

um lugar geométrico fica a mercê de diversos fatores.

Segundo Araujo (2010, p.29 apud KING E SCHATTSCHNEIDER, 1997), é

difícil imaginar um conjunto de pontos se movendo na tela do computador

respeitando determinada característica e, a partir disso, conceber o lugar geométrico

determinado por estes pontos.

83

Citando exemplos, podemos relatar a precisão imposta pela pessoa que irá

realizar a construção. Os mecanismos usados devem estar em condições

apropriadas, sem levar em consideração que estabelecer uma grande quantidade de

pontos para determinar o lugar geométrico poderá ser uma tarefa árdua, gerando a

possibilidade de diversos tipos de erros.

Como primeiro exemplo, iremos nos basear na construção abaixo :

a) Construa duas retas r e s concorrentes não formando ângulo reto.

b) Construa uma circunferência num dos quadrantes determinados pelas duas retas.

c) Considere um ponto P sobre a circunferência

d) Conduzir uma paralela a s por P e achar o ponto de intersecção dessa reta com a

reta r .Nomeie este ponto de Q.

e) Obtenha o simétrico de P em relação ao ponto Q. Nomeie este ponto de P’

f) Qual é o lugar geométrico de P’ quando P se movimenta sobre a circunferência?

r

s

P

Q

P´

Figura 77 : Lugar geométrico do simétrico de um ponto P

No ambiente papel-lápis, esta construção poderia ter o empecilho de ter uma

grande quantidade de pontos do simétrico de P em relação ao ponto Q. Isso poderia

ser feito, usando uma régua graduada ou fazendo transporte de segmento com um

compasso.

Por outro lado, fazendo uso do Cabri-Géomètre, o aluno poderá usar por

exemplo a ferramenta rastro, conseguindo uma visualização mais rápida do referido

84

lugar geométrico não entrando em possíveis erros acarretados por um mau uso da

régua graduada ou por qualquer instrumento de desenho.

Vejamos agora esse segundo exemplo: Considere um circulo de centro O e

raio d uma reta r que não se interceptam, ambos contidos no plano. Determine o

lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes ao círculo dado

(exteriormente) e à reta dada.

Pela definição de parábola, temos: Uma parábola é o conjunto de pontos do

plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta que não contém o ponto. Dessa

forma, o lugar geométrico pedido será uma parábola cujo foco será O e cuja diretriz

é uma reta paralela, a uma distância d da reta dada, não passando pelo ponto O.

Levando em consideração a falta de conhecimento da definição de parábola

como lugar geométrico, o aluno, fazendo uso da ferramenta circunferência no Cabri-

Géomètre II, poderá através do método de tentativas e erros, criar circunferências

que sejam tangentes aos objetos dados. No entanto, diferentemente do primeiro

caso, encontrar um conjunto de pontos que mostrem uma visão geral do lugar

geométrico se tornará mais difícil, pois, conforme foi dito no primeiro caso, a simetria

da figura era bem mais simples de se obter, mas neste segundo exemplo, caso o

sujeito desconheça a parábola como lugar geométrico não ficará evidenciado

qualquer simetria de forma clara e nítida.

Dessa forma, obter o lugar geométrico via papel e lápis se tornará uma árdua

tarefa. No ambiente de geometria dinâmica, este empecilho poderá ser minimizado,

pois caso o centro da circunferência não satisfaça a condição dada, este poderá ser

apagado de forma rápida, e logo em seguida, uma nova tentativa poderá ser feita.

Além do mais, as circunferências desenhadas que satisfizeram a condição

poderão ser escondidas, deixando somente o ponto considerado, fazendo com que

a construção fique livre de objetos construídos que poderiam dificultar a visão do

sujeito no momento de buscar uma generalização.

Caso exista o conhecimento de que uma cônica é dada a partir de 5 pontos

poderá ser feita uma escolha minuciosa de 5 pontos e, com isso, usando a

ferramenta cônica, obter o lugar geométrico desejado, conforme visto na figura

abaixo.

85

O

O

Figura 78 : Solução do Cabri evidenciando uma parábola

Se a precisão estabelecida no momento de determinar os pontos não for

adequada, o software poderá dar como resposta lugares geométricos diferentes do

correto, conforme podemos verificar na figura abaixo onde temos o traçado de uma

hipérbole e de uma elipse, levando neste caso o aluno ao erro.

O

O

Figura 79 : soluções do Cabri evidenciando uma hipérbole e uma elipse

Uma característica positiva dos lugares geométricos é o seu uso na resolução

de problemas envolvendo construções geométricas, bem como na associação e

confirmação de um lugar geométrico como uma curva algébrica Araujo (2010). Como

exemplo, consideremos a seguinte curva chamada de Limaçon de Pascal, dada pela

seguinte equação cartesiana (x2 + y2 - 2ax)2 = b2(x2 + y2). Plotando pontos num

86

sistema de eixos cartesianos, a tarefa se tornará árdua e muita vezes o número de

pontos obtidos não será suficiente para caracterizar de forma concreta a curva em

questão.

Mudando o foco e considerando esta curva como um lugar geométrico, pode-

se realizar a seguinte sequência e obtermos a sua construção :

a) Construa uma circunferência de centro O. b) Obtenha um ponto P sobre a circunferência. c) Crie o segmento OP. d) Construa uma reta r pelo ponto P perpendicular ao segmento OP. e) Considere um ponto fixo A externo à circunferência e à reta r. f ) Obtenha a projeção ortogonal de A sobre a reta r. Nomeie esta projeção de X. g) Agora movimente o ponto P sobre a circunferência e tente imaginar a curva descrita pelo ponto X

Desta forma podemos defini-la como: O lugar geométrico dos pontos M e N quando B se desloca sobre a circunferência

Figura 80 : Limaçon de Pascal

Logo, mudando o enfoque algébrico da referida curva e colocando-a como

associada a um lugar geométrico a tarefa de obter seu traço num plano cartesiano

ficará bem mais fácil. Assim, o Cabri Géomètre, com suas ferramentas rastro, lugar

geométrico, cônica e tantas outras, torna a visualização e construção de curvas

associadas a um lugar geométrico algo mais simples, possibilitando uma acuidade

visual bem mais primorosa se comparada a um ambiente estático.

87

4.4 Tipos de deslocamento

A visualização desempenha um papel importante no aprendizado da

Geometria. Deslumbrar uma figura num ambiente computacional permite ao aluno

formar uma imagem mental de alguma característica desta que ainda não se tornou

evidente para ele. Por isso relatamos o uso do deslocamento como uma ferramenta

auxiliadora na aprendizagem da Geometria Dinâmica. Essa função tão benéfica,

pode ser usada fazendo uso do mouse ou das propriedades características do

software o qual queremos usar.

Segundo Silva e Penteado (2009, p.1069 apud GOLDENBERG, SCHER E

FEURZEING, 2008) temos que

o arrastar permite ao usuário mover livremente certos elementos de um desenho e observar outros elementos que correspondem às condições alteradas. Dessa forma a tela fornece a impressão de que o desenho está sendo deformado continuamente em todo o processo de arrastar, enquanto mantém as relações que foram especificadas como essenciais da construção original. Isso permite agilidade na investigação, pois figuras que demorariam muito tempo para serem construídas no papel são criadas em segundos na tela do computador. (GOLDENBERG, SCHER E FEURZEING, 2008)

Logo, a oportunidade de usarmos o mouse para arrastarmos um ponto sobre

algum objeto ou de efetuarmos operações mais complexas, envolvendo conceitos

mais elaborados, torna-se algo mais simples e eficiente quando realizamos nossas

atividades fazendo bom uso do deslocamento. Com essa opção, podemos obter e

determinar o movimento de vários objetos, usando caminhos bem diferentes. Frank

e Mariotti (2009) registram dois tipos de movimentos : o movimento direto e o

movimento indireto .

No primeiro caso, citamos como exemplo o arrastar do vértice de um

triângulo, caracterizando assim o aumento ou a diminuição de seu perímetro. ou

seja, teremos a variação deste elemento (o vértice) com relação ao ambiente

geométrico (o plano).

No segundo caso, temos algo bem mais elaborado, este tipo de movimento

ficará bem determinado quando realizamos uma construção geométrica e esta no

final do processo fica bem sucedida. Neste caso, o deslocamento permitirá uma

88

visão mais global das características da figura construída, auxiliando a enxergar

particularidades que não seriam vistas num ambiente estático.

Citamos Silva (2010) que nos diz

Por tanto, é observado que, contrariamente aos desenhos feitos com régua e compasso no “mundo real”, as construções geométricas virtuais produzidas com o software Régua e Compasso são dinâmicas: elas se movem sobre o comando do aluno, além disso, os pontos geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse mantendo-se as relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Com isso, é permitido o estudo de uma construção sob diferentes configurações de pontos, sem que seja necessário realizar uma nova construção. Esse é um dos pontos fortes dos programas de Geometria Dinâmica. (SILVA, 2010, p.5)

Dessa forma, o deslocamento acaba se tornando uma grande chave no

entendimento e desenvolvimento de conjecturas, pois permite visualizar as relações

das propriedades geométricas contidas numa figura com relação à imagem desta na

tela do computador. Falando de uma outra maneira, o deslocamento permite a

realização de testes para verificar a validade de uma construção quando vários

elementos da figura são modificados, tornado-se assim uma ferramenta para

acentuar a percepção dos alunos ao analisarem novas propriedades do objeto

geométrico em questão .

Arzarello, Oliveiro, Paola e Robutti (2002) apontam diversos tipos de

deslocamentos e do papel de cada um na aprendizagem dos estudantes. Realizam

uma análise do movimento do mouse enquanto os alunos resolvem um determinado

problema proposto pelo professor. Nesta pesquisa foi possível identificar as

seguintes modalidades :

Wandering dragging : modalidade em que o aluno arrasta move pontos e

objetos sobre a tela, de forma aleatória, com a intenção de encontrar certas

regularidades no desenvolver do deslocamento desses entes geométricos.

Bound dragging : modalidade em que o aluno arrasta um objeto, mas este

fica ligado diretamente à figura e não é possível o deslocamento deste sem

deixar de estar interligado com a figura em questão.

89

Guided dragging : nesta modalidade deslocamos os elementos da figura a

fim de obtermos uma forma determinada. Um exemplo bem simples é quando

arrastamos os vértices de um retângulo a fim de obter um quadrado.

Dummy locus dragging : neste caso movemos pontos de uma figura com

uma característica ou propriedade que permanece escondida.

Line dragging : o aluno desenha novos pontos para “marcar um caminho” a

fim de perceber algum tipo de regularidade ou padrão, descobrindo assim um

possível lugar geométrico não evidenciado anteriormente.

Linked dragging : aqui o aluno tem a opção de deixar um rastro na tela

quando move um objeto, permitindo uma visão de um lugar geométrico por

meio deste rastro.

Dragging test : Temos a possibilidade de mover uma figura e verificar até

que momento esta guarda uma propriedade inicial. Se isso for verdadeiro,

nosso teste foi validado, caso isso seja falso, a construção estará incorreta e

terá de ser refeita.

Cada modalidade citada ajuda a entender alguma característica de uma

figura, de um lugar geométrico que não ficou evidenciado num determinado

momento. Azarello et al. (2002) afirmam :

Nós temos observado que estudantes exploram essas diferentes modalidades de arrasto para testar diferentes afirmações como exploração, conjectura, validação e justificação. Por exemplo, wandering e guided dragging são geralmente usados na descoberta de alguma característica da figura e dummy locus e dragging test são usados principalmente para testar uma conjectura (AZARELLO et al., 2010, p.3)

Tomando como base o que foi dito até o momento, percebemos a importância

de verificarmos estas modalidades de deslocamento para um melhor entendimento

da aprendizagem de cada aluno. Auxiliando assim, em um processo de

compreensão das etapas que cada sujeito segue de forma individual e diferenciada.

90

4.4.1 Um exemplo de aplicação do conceito de deslocamento na solução de um problema de lugar geométrico

Vamos dar um exemplo de como podemos usar esses modelos no momento

de resolvermos um problema de lugar geométrico, fazendo o uso de um software de

Geometria Dinâmica, e como isso poderá ajudar a estabelecer critérios de

raciocínios dedutivos por parte dos alunos.

Problema: Achar o lugar geométrico dos pontos extremos de todas as secantes a

uma circunferência traçados de um ponto A desta circunferência e tal que a parte

interna de cada secante tenha o mesmo comprimento da parte externa

No começo, num intuito dedutivo, o aluno poderá marcar de forma aleatória

pontos no plano de tal modo que o ponto considerado em cada situação tenha o

mesmo comprimento da secante interna, caracterizando assim o uso do wandering

dragging.

A

Figura 81 : Uso do wandering dragging

A seguir, poderá ser usada a ferramenta “simétrico de um ponto em relação a

outro ponto” que pode ser encontrada no Cabri Géomètre II, por exemplo. Marcando

mais alguns pontos e seus simétricos, o aluno poderá evidenciar alguma

regularidade, mostrando assim o uso do line dragging.

91

A

BC

D

E

F

G

BĆ´

D´

E´

F´

G´

Figura 82 : Uso do line dragging

Usando a opção rastro do software de Geometria Dinâmica e deslocando o

ponto A sobre a circunferência, o aluno poderá vislumbrar o lugar geométrico pedido

e, dessa forma, teremos o linked dragging.

A

B

Figura 83 : Uso do linked dragging

Terminando, o aluno poderá mover a figura e perceber desse modo a

invariância desta com relação ao lugar geométrico pedido, ou seja, ele estará

fazendo uso do dragging test e, depois disso, através desses testes, uma

demonstração criteriosa poderá ser realizada

92

Demonstração : Construímos 3 pontos notáveis do lugar geométrico pedido : A, C e

outro ponto qualquer que chamaremos de E; em cada caso traçamos as secantes

ABC, ADE de tal modo que a parte exterior BC, DE seja igual a parte interior AB, AD

e com isso teremos AB = BC e AD = DE; os três pontos A, C e E não estão em

linha reta e levando em conta o fato de AB = BC e AD = DE o lugar geométrico

pedido será uma circunferência. Para terminarmos a demonstração, vamos obter o

centro e o raio desta circunferência .

O

A

C

D

E

B

Figura 84 : Uso do dragging test

Demonstração : traçamos DB e CE, BD tem extremidades nos pontos médios de

dois lados do triângulo ACE, então BD será paralelo ao lado CE e, pelo teorema

fundamental da semelhança de triângulos, teremos ACEABD ; pelo fato do

ângulo BDA ˆ ser reto por ser ângulo inscrito numa circunferência de diâmetro AB e

da semelhança de triângulos citada, temos ângulo CEA ˆ reto também, e como B é o

ponto médio do segmento AC, o lugar geométrico pedido é a circunferência de

diâmetro AC e centro em B, como queríamos demonstrar.

Dessa forma, o uso do deslocamento permite avanços bem significativos na

aprendizagem da geometria. Evidenciamos abaixo alguns pontos positivos do seu

uso na sala de aula :

93

O fato de podermos mover a figura em diversas posições aumenta a

percepção do aluno, e com isso ele poderá antecipar, de forma mais eficiente

e precisa, alguma conjectura

A experimentação e a exploração aumentam, e esses diversos tipos de

deslocamentos evidenciam uma maior facilidade de sairmos de uma

conjectura e irmos para uma prova

A visualização para procedermos uma demonstração aumenta de forma

considerável, pois caso o aluno não tivesse a opção do deslocamento este

levaria um tempo bem maior até adquirir um amadurecimento para fazer uma

prova via papel e lápis

Esta hierarquia de deslocamentos permite compreender melhor o processo

de aprendizagem de cada aluno e o caminho evidenciado por cada um no

momento da realização de uma atividade.

Com o uso do deslocamento, temos a possibilidade de conseguir uma nova

abordagem aos problemas geométricos, dando um enfoque maior aos

problemas de construções geométricas e deixando de dar uma evidência tão

grande a problemas de pouca praticidade.

Movendo uma figura, temos a possibilidade de verificarmos suas invariantes,

adquirindo assim uma maior percepção de algum lugar geométrico ou

propriedade não evidenciada anteriormente.

Esclarecemos que um conhecimento teórico é importante para o aluno ter um

bom retorno do uso do deslocamento. Sem esse embasamento, fica difícil a

visualização de entes geométricos da figura em questão. Farias (2008) afirma :

A utilização do deslocamento como um instrumento exige do utilizador conhecimentos geométricos precisos. É necessário ter conhecimento suficiente para poder reconhecer as propriedades geométricas da figura quando esta se desloca pois, o deslocamento permite encontrar as primitivas geométricas da figura e contém, por conseguinte, a idéia de propriedade válida subjacente a demonstração. Essa pode ser a causa das dificuldades de apropriação do deslocamento, especialmente dos alunos no início do ensino fundamental II ( ginásio ) pois estes ainda não possuem esta noção (FARIAS, 2008, p.8)

94

Dessa forma, a união deslocamento – conhecimento teórico deve sempre ser

enfatizada no momento de usarmos um software de Geometria Dinâmica, pois caso

isso não seja feito, o professor poderá entrar em erro e ter sua aula prejudicada,

deixando assim de aproveitar de forma satisfatória os recursos do deslocamento

neste ambiente dinâmico.

4.5 As conjecturas e a demonstração matemática no ambiente de geometria dinâmica

No ramo da Matemática, tivemos a criação de diversos softwares

matemáticos servindo de apoio em disciplinas como a Geometria Plana e Espacial, o

Cálculo Diferencial e Integral, a Geometria Analítica e a Álgebra Linear. Esse tipo de

tecnologia é muito benéfica no ensino e aprendizagem da Matemática, mas o

professor deve ficar atento à maneira de inserir esta nova ferramenta, pois, sem um

embasamento teórico apropriado, sua validade pode ficar comprometida.

Um problema de Geometria Plana deve aguçar a mente do aluno para que

este consiga, através das diversas formas de manipulação das ferramentas do

software de Geometria Dinâmica, verificar as propriedades intrínsecas do objeto

geométrico, e a partir disso, fazer novas descobertas que servirão de apoio para seu

amadurecimento rumo a uma possível demonstração. Muitos podem pensar, de

forma errônea, que fazendo todas as manipulações possíveis na figura estaremos

comprovando uma tese, mas isso é uma falácia. Damos como exemplo o seguinte

problema :

Considere o triângulo ABC inscrito no círculo de centro O, seja G o baricentro deste

triângulo. Qual o lugar geométrico do ponto G quando o ponto A percorre toda a

circunferência ?

95

O

A

B C

G

Figura 85 : Baricentro como lugar geométrico

Usando o cabri–Géomètre II, o aluno poderá girar o ponto A em torno da

circunferência e, através do deslocamento deste, evidenciar a circunferência

formada com o movimento do ponto G. Isso poderá ser feito usando também a

ferramenta lugar geométrico ou a ferramenta rastro.

O

A

B C

G

O

A

B C

G

Figura 86 : Uso das ferramentas lugar geométrico e rastro no Cabri-Géomètre II

Uma pessoa leiga poderia acreditar e afirmar que a demonstração foi feita. A

validade da nossa tese é correta, mas este não é o papel da Geometria Dinâmica.

Essa ferramenta facilitadora nos auxilia a testar conjecturas e não a validar uma

96

demonstração. Uma demonstração rigorosa deve ser dada, neste caso, fazendo uso

da geometria euclidiana conforme dados a seguir :

Demonstração : Seja M o ponto médio do segmento BC, sendo OM um

segmento que pertence ao raio da circunferência, e BC uma corda, então OM será

perpendicular a BC. Dividindo o segmento OM em 3 partes iguais e colocando um

ponto P pertencente a OM, pela figura, temos 13

MP MO . Sendo os pontos O e M

fixos, o ponto P também será fixo. A mediana AM que contém o baricentro (ponto G)

esta dividida em 3 partes de mesma medida, logo 13

MG MA . Pela construção

realizada e pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos

MGP MAO com razão de semelhança 1/3. Sendo AO o raio da circunferência

circunscrita ao triângulo ABC, teremos PG igual a 1/3 de AO. Como P é um ponto

fixo e a distancia de P até G é um valor constante, então o ponto G só tem liberdade

de se movimentar numa circunferência de centro P e raio R/3, ou seja, 3 3

OA RPG

O

A

B C

G

M

P

Figura 87 : Solução do problema do baricentro como lugar geométrico

Logo, o lugar geométrico de G é a circunferência de centro P e raio R/3

No entanto, o fato de testarmos conjecturas é válido e desempenha um papel

importante na aprendizagem. A Geometria Dinâmica nos permite uma multiplicidade

de visão. Podemos enxergar uma construção geométrica sob vários focos,

auxiliando então a encontrar propriedades geométricas que não seriam vistas

97

usando somente a lousa com régua e compasso. Brandão e Isotani (2003) afirmam

:

Em resumo, como a Geometria Dinâmica possibilita visualizar uma mesma construção de diversas formas, e assim facilitar a compreensão do comportamento geométrico dos elementos envolvidos, podemos utilizar um programa de Geometria Dinâmica para revelar relações geométricas intrínsecas que poderiam passar desapercebidas numa representação estática. Com isso, o professor pode incentivar o espírito investigativo do aluno, solicitando ao final uma justificativa para as relações encontradas (rumo a uma a prova matemática), podendo ser mais formal de acordo com o nível de aprendizagem do aluno. (BRANDÃO E ISOTANI, 2003, p.4)

Outro ponto a ser analisado, que dificulta consideravelmente uma mudança

de pensamento geométrico por parte do aluno é o modo com que as construções

geométricas são vistas nos livros didáticos. Fazendo uma análise meticulosa dos

livros de Matemática adotados no Brasil, observa-se uma tendência muito forte a

demonstrações criteriosas, levando em consideração raciocínios sequenciais e

prontos. Gravina (1996) estuda este modelo estereotipado encontrado nos livros de

geometria : Os livros escolares iniciam com definições, nem sempre claras, acompanhadas de desenhos bem particulares, os ditos desenhos prototípicos. Por exemplo, quadrados com lados paralelos às bordas da folha de papel, retângulos sempre com dois lados diferentes, alturas em triângulos sempre acutângulos, etc... Isto leva os alunos a não reconhecerem desenhos destes mesmos objetos quando em outra situação. E mais, para os alunos, a posição relativa do desenho ou seu traçado particular, passam a fazer parte das características do objeto, quer no aspecto conceitual ou quer no aspecto figural, estabelecendo desequilibrios na formação dos conceitos como veremos adiante. O aspecto de construção de objetos geométricos raramente é abordado; dificilmente encontramos no livro escolar a instrução “ construa ” , e no entanto esta é uma das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos. Mais difícil ainda é encontrar questões do tipo “ o que podemos dizer nesta situação ? ” ou “ que regularidades percebemos ? ”, onde estratégias de investigação devem ser estabelecidas (GRAVINA, 1996, p.2)

Essas configurações chamadas por Gravina (1996) de desenhos protótipos

acabam por exercer um obstáculo epistemológico no ensino de Geometria; como

exemplo, temos a configuração do seguinte triângulo retângulo.

98

Modelo I

Modelo II

Figura 88 : Desenhos protótipos

O primeiro modelo é encontrado em diversos livros de ensino fundamental e

serve como base para o entendimento do teorema de Pitágoras. Depois da fixação

desta imagem pelos alunos, uma outra configuração é ensinada em séries

posteriores ( Modelo II ).

Alunos acostumados com a imagem mental da primeira figura acabam por ter

dificuldades de assimilar a segunda configuração como um triângulo retângulo e

acabam por deixar de perceber que se trata do mesmo objeto geométrico. Levando

em consideração o que foi dito acima, citamos como exemplo o pensamento fixo de

que o ortocentro de um triângulo sempre está localizado no interior deste. Usando

um SGeometria Dinâmica, poderemos verificar de forma bem rápida a falsidade

desta conjectura.

A

B C

H

Triângulo acutângulo

A

B CH

Triângulo retângulo

A

B C

H

Triângulo obtusângulo

Figura 89 : Variação da posição do ortocentro

No primeiro caso, temos o ortocentro localizado no interior do triângulo

(triângulo acutângulo), no segundo caso, temos o ortocentro coincidindo com o

ângulo reto ( triângulo retângulo ) e, no terceiro caso temos o ortocentro fora do

triângulo ( triângulo obtusângulo).

99

Essas três configurações, juntamente com o auxilio da Geometria Dinâmica,

permitem elaborar o seguinte problema envolvendo o conceito de lugar geométrico,

que ajuda a compreender de forma mais clara e concisa a importância da variação

do ortocentro, que não é vista de maneira coerente nos livros didáticos :

Qual o lugar geométrico descrito pelo ortocentro de um triângulo ABC quando o

vértice C se desloca sobre uma reta paralela ao lado oposto AB ?

Fazendo o uso do Cabri – Géomètre II, podemos obter o ortocentro através

da ferramenta “reta perpendicular” passando por um ponto. Dessa forma, teremos o

ponto H. Arrastando o vértice C e observando a variação do ponto H, a suposição de

que o lugar geométrico é uma parábola ficará bem evidente. Usando a ferramenta

“lugar geométrico” ou “rastro”, uma possível confirmação da hipótese será

estabelecida e deste modo ficará mais fácil gerar uma demonstração baseada nas

suposições evidenciadas no SGeometria Dinâmica.

A B

C

H

Figura 90 : Ortocentro como lugar geométrico

Demonstração : Sejam A(-d,0) , B(d,0) e C(xc,h) de tal forma que AB=2d

conforme a figura abaixo :

100

Figura 91 : Demonstração ortocentro como lugar geométrico

A equação do lado BC é

( )c

x dhy x d

Com isso, a equação da altura do ponto A ortogonal ao lado BC será :

) ( )( c d x dy hx

O ortocentro satisfaz esta relação com cx x que é a equação da altura passando

pelo ponto C. Desta forma :

2 2 2 2) ( ) 4( c d d x

hABx d hy h y h

x x

Esta equação corresponde a uma parábola com concavidade para baixo,

passando por A e B, simétrica com relação a mediatriz do lado AB.

Dessa forma, a posição evidenciada pelo ortocentro em cada configuração

pode ser colocada nos livros didáticos, fazendo uso de um problema de lugar

geométrico. Assim, teríamos uma aplicação da movimentação deste objeto

geométrico, enfatizando, então, a importância de se colocar problemas envolvendo

lugares geométricos para que se possa mudar o enfoque dado em diversos livros

didáticos.

Pelo que foi exposto, e levando em conta pesquisas realizadas neste tema

podemos dizer que a fisionomia estática do desenho desempenha um empecilho na

elaboração de conceitos, na generalização de padrões ou na validação de certas

conjeturas. Deste pressuposto, evidenciamos neste momento o papel dos softwares

101

de Geometria Dinâmica como ferramenta facilitadora na aprendizagem de

Geometria. Quadros (2007) nos fala do papel destes softwares

A Geometria Dinâmica pode ser entendida como a implementação da geometria da “régua e compasso”. Uma vantagem importante da Geometria Dinâmica é a necessidade de explicar as relações entre os objetos geométricos (como pontos, retas ou circunferências). Outra vantagem é sua interatividade: uma vez feita a construção pode-se mover algum ponto inicial e o programa redesenha, de modo aparentemente contínuo, todos os objetos da construção preservando suas relações. Vem daí o termo dinâmica do nome Geometria Dinâmica. (QUADROS, 2007, p.4)

Dessa maneira, conjecturas feitas pelos alunos podem ser testadas

rapidamente de modo eficiente, pois os softwares de Geometria Dinâmica fornecem

um retorno rápido a cada hipótese permitindo, assim, uma melhor visualização e

validação do seu raciocínio dedutivo. Contribui dessa forma, para uma possível

confirmação de uma demonstração matemática.

A demonstração de uma proposição adquire grande credibilidade quando é apoiada em fatores visuais. Uma imagem ou uma seqüência de imagens é capaz de convencer até mesmo observadores que não têm grande habilidade em Matemática e pouca familiaridade com artifícios e sutilezas de demonstrações formais. Entre aqueles que possuem uma tendência para a Matemática, a observação de imagens que sugerem resultados torna o trabalho muito mais interessante e, em geral, incentiva o estudante para a realizações de novas investigações As provas no sentido usual, necessárias em muitos casos, em geral satisfazem os matemáticos – e são dirigidas para eles - mas não convencem a maioria dos estudantes que, por não entendê-las, passa a decorar a seqüência de palavras, traços e argumentos, e daí a repulsa pela Matemática. (LOURENÇO, 2002, p.88)

4.6 As construções moles e robustas e o papel de cada uma delas no ensino da Geometria e dos lugares geométricos

A dualidade entre os termos variação e invariante desempenha um papel

importante na Geometria. Segundo Laborde (2005) a Geometria Dinâmica

exterioriza essa dualidade, pois, fazendo uso do deslocamento, podemos mover

102

uma figura e verificar se certas propriedades inerentes desta permanecem

inalteradas

Uma propriedade geométrica é uma invariante satisfazendo um objeto variável bem como este objeto varia sobre um conjunto de objetos satisfazendo alguma condição comum. A variabilidade de objetos geométricos é geralmente invisível porque a formulação de uma propriedade geométrica é na maioria das vezes expressa como sendo ligada com um único objeto estático, as quantidades são implícitas, especialmente na escala secundária. Isto acaba causando problemas para os estudantes que não percebem a generalidade dos teoremas ou propriedades (LABORDE, 2005, p.1)

Verificando a dificuldade dos estudantes de perceberem a generalidade de

objetos geométricos e de teoremas, o autor cita dois paradigmas no uso do

deslocamento : o paradigma da construção robusta e o paradigma da construção

mole. Construções robustas são construções que preservam suas propriedades quando usamos o modo de arrastar. Tais construções devem ser feitas usando os objetos geométricos e as relações que caracterizam a construção que queremos obter. Em tais construções a variação é usada como um meio de verificação. Nas construções moles, a variação é parte da construção em si e uma propriedade somente se torna visível quando a outra esta satisfeita. (LABORDE, 2005, p.1)

4.6.1 A construção robusta : Para um melhor entendimento do que seja uma

construção robusta daremos um exemplo, considerando a circunferência de centro

O e marcar os pontos A, B, C e D pertencentes a ela; construindo os segmentos de

reta AD , AC , BC e BD , encontramos o ponto P, intersecção de AC e BD .

Usando o Cabri-Géomètre marcamos os ângulos ˆCAD e ˆCBD obtendo o valor de

cada um deles.

103

A

D

CB

32,0 °

32,0 °

Figura 92 : Ângulos inscritos numa circunferência subentendidos por um mesmo arco

Arrastando o ponto A ou o ponto B sobre a circunferência, verificamos que

esses ângulos sempre irão possuir a mesma medida, o que comprova a sua

invariância. De fato, como os ângulos ˆCAD e ˆCBD são ângulos inscritos

subtendendo o mesmo arco, eles terão o mesmo valor. Neste caso, estamos lidando

com uma construção robusta, ou seja, os pontos A e B pertencem à figura e, por

mais que o movimentemos, o valor dos ângulos citados permanece inalterado.

Usando o mouse e fazendo uso de uma construção robusta, os alunos podem

validar alguma propriedade do objeto em questão bem como desconsiderar alguma

conjectura que este tinha na mente como verdadeira. As construções robustas estão

relacionadas intimamente com as construções euclidianas, pois oferecem um

caminho seguro e firme no momento de resolver um problema de geometria fazendo

uso de uma régua não graduada e um compasso.

Levando em consideração o que foi dito, o uso de lugares geométricos surge

como uma ferramenta poderosa quando lidamos com uma construção robusta.

Wagner (2009) fala deste método que consiste basicamente no seguinte : encontrar

um ponto chave que dará a solução do problema e, a partir disso, obter a

intersecção de dois lugares geométricos que contenham o referido ponto.

Colocamos então o exemplo proposto por Wagner no intuito de deixar bem

elucidado esse método .

Problema : São dados uma circunferência de centro O, um ponto P e um segmento

a. Pede-se traçar por P uma reta que determine na circunferência uma corda de

comprimento a

104

Figura 93 : Construção usando lugar geométrico. Fonte : Wagner (2009) página 22

Wagner pede para imaginar o problema resolvido e expõe a configuração de

uma possível solução. A partir disso afirma :

Se M é o ponto médio da corda AB de comprimento a em qualquer posição, então OM é constante pois AO e AM são constantes. Assim, o lugar geométrico de M é uma circunferência de centro O. Por outro lado, supondo o problema resolvido, a reta que passa por P e determina na circunferência dada uma corda de comprimento a é tal que ˆPMO= 900 e, portanto, M também pertence a circunferência de diâmetro PO. (WAGNER, 2009, p.22)

Uma construção para a obtenção do problema é feita. Colocamos passo a

passo as etapas seguidas por Wagner (2009), usando o fato de podermos esconder

partes da construção que já não interessam, mostrando mais uma vez a eficiência

dos softwares de Geometria Dinâmica que possibilitam uma melhor visualização da

solução do problema. 1) Assinale um ponto X qualquer sobre a circunferência dada 2) Pegue com o compasso o segmento dado e determine, sobre a

circunferência um ponto Y tal que XY = a 3) Trace por O uma perpendicular a XY determinando o ponto Z

médio de XY 4) Trace a circunferência de centro O e raio OZ, que é um lugar

geométrico de M 5) Trace a mediatriz de PO determinando seu ponto médio C 6) Com centro em C trace a circunferência de diâmetro PO, que é

outro lugar geométrico de M 7) As duas circunferências se cortam em M e M ́8) As retas PM e PM´ são a solução do problema (WAGNER, 2009, p.23)

105

O

X

Y

Passos 1 e 2

O

X

Y

Passos 3

Z

O

X

Y

Passo 4

Z

O

X

Y

Passo 5

Z

P

C

O

X

Y

Passo 6

Z

P

C

O

Passos 7 e 8

P

M

M´

A

B

A´

B´

Figura 94 : Passos de uma construção usando o método dos lugares geométricos. Fonte :

(WAGNER, 2009, p.23)

Pelo que foi exposto, há uma intima relação entre o uso de lugares

geométricos e a obtenção de uma construção robusta, sendo um método eficiente

para resolver problemas de construções geométricas e de geometria plana,

validando de forma concreta, através do arraste de pontos da figura, a solução de

um problema proposto.

4.6.2 A construção mole : Como um exemplo de construção mole, citamos o

seguinte problema : dividir um segmento AB dado em 3 partes de mesma medida.

Fazendo uso do Cabri –Géomètre II, um aluno pode criar dois pontos

arbitrários C e D sobre o segmento dado e, com isso, obter os segmentos AC, CD e

DB. Usando a ferramenta “distância ou comprimento”, poderá ser marcado o valor

de cada segmento. Usando o deslocamento nos pontos C e D, o aluno poderá obter

106

uma aproximação excelente para a solução do problema, mas esta estará

comprometida com qualquer deslocamento na construção, caracterizando assim a

construção mole.

A BC D2,95 cm 2,97 cm 3,08 cm

Figura 95 : construção mole divisão segmento em 3 partes iguais

De acordo com as idéias de Laborde (2009) e Healy (2000), a construção

mole serve como uma base, uma caminho para que se possa obter uma construção

robusta, na qual podemos movimentar a figura em qualquer posição sem que se

modifiquem os aspectos intrínsecos desta. Assim, o aluno poderá, a partir desta

construção inicial, realizar uma construção robusta, usando o método dos lugares

geométricos. Uma construção robusta pode ser feita usando os seguintes passos

1o Passo : Traça-se por A uma reta r auxiliar formando um ângulo agudo com AB 2o Passo : Escolhe-se um segmento u qualquer e, a partir de A, transporta-se u para a reta r, obtendo-se os pontos C, D e E 3o Passo : Traça-se EB e as paralelas a esse segmento passando por D e C. Desta forma obtêm-se os pontos C´ e D´ que dividem AB em três partes iguais.

A B

PRIMEIRO PASSO

A B

u

C

D

E

SEGUNDO PASSO

A B

C

D

E

DĆ´

TERCEIRO PASSO

Figura 96 : Divisão de um segmento em 3 partes iguais

Outro aspecto importante da construção mole está relacionado com as

construções por nêusis. Realmente isso é algo verídico, pois nestas construções é

necesário um ajuste para obter a referida solução. Um exemplo foi dado no capítulo I

quando foi obtida a trissecção de um ângulo ABC, tomando como base um

segmento DE com o dobro do comprimento do segmento AB.

107

Obviamente o Cabri-Géomètre II ajuda a fazer esse ajuste, usando os

diversos tipos de ferramentas que contém, facilitando muito o trabalho no momento

de obter a construção por nêusis que acaba sendo caracterizada por uma

construção mole.

4.7 O uso dos problemas abertos e a Geometria Dinâmica

Com o uso da Geometria Dinâmica, damos início ao processo da

experimentação. Os alunos têm a devolução do computador a cada passo feito,

permitindo dessa maneira um aprimoramento e refinamento de suas idéias iniciais.

O aluno, então, entrará num processo mais sofisticado, obtendo argumentações

mais precisas para uma demonstração matemática. Logo, a Geometria Dinâmica

liberta do empecilho originado pelos desenhos estáticos, onde as verdadeiras

propriedades geométricas deixam de ser vistas. Chamamos esse aspecto de

invariante de uma determinada configuração.

No ambiente lousa-giz, esse número se torna muito pequeno, reduzindo,

então, as possibilidades de ensino do professor. No ambiente dinâmico, essas

invariantes aumentam e, dessa forma, com o movimento das figuras, podemos

analisar a solução do problema sob diversos pontos de vista. Citamos mais uma vez

Gravina (1996) que teoriza a respeito da geometria dinâmica e do papel dos

invariantes

Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõem o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado objeto ou propriedade, temos associada uma coleção de “ desenhos em movimento ”, e os invariantes que ai aparecem correspondem as propriedades geométricas intrínsecas ao problema. E este é o recurso didático importante oferecido : a variedade de desenho estabelece harmonia entre os aspectos conceituais e figurais; configurações geométricas clássicas passam a ter multiplicidade de representações; propriedades geométricas são descobertas a partir dos invariantes no movimento

108

O papel do professor sofre uma drástica mudança quando se faz uso de um

software de Geometria Dinâmica. Ele deixará de ser o detentor de todo

conhecimento, o saber passará a coexistir entre professor e aluno. Este último

poderá interagir com os outros colegas, verificando e discutindo suas formulações e

possíveis validações advindas do problema proposto pelo professor.

Um fator preponderante, que irá medir a eficácia da atividade proposta, é o

controle do professor no momento de lidar com situações inesperadas. Com o

auxilio de um software de Geometria Dinâmica, e com a proposta de testarmos

conjecturas para transformá-las num teorema, o docente terá pela frente o desafio

de lidar constantemente com perguntas inesperadas. O número de grandes

possibilidades existentes ao escolheremos um determinado comando levará o aluno

a ter diversas escolhas, aumentando assim a quantidade de novas situações. Desta

forma, este processo de ensino – aprendizagem ocorrerá em um tempo maior.

O docente deve tomar cuidado para não entrar numa situação de

acomodação quando fizer uso de um software de Geometria Dinâmica. Muitos irão

usar os mesmos passos aplicados em aulas anteriores, e isso será um empecilho no

ensino da geometria. Por isso, torna-se importante e evidente a elaboração de novos

problemas que instiguem e agucem o pensamento geométrico do aluno, libertando-o

de um ciclo formado por uma quantidade muito finita de caminhos, que poderia

impedir o aluno a elaborar uma conjectura ou uma possível demonstração. Silva e

Penteado (2009) afirmam :

Mesmo utilizando TIC em sua prática docente, alguns professores acabam voltando à zona de conforto, conduzindo toda turma aos mesmos “passos”, trabalhando, por exemplo, em forma de tutorial. Valente (1993) destaca que esse método não é o que vai usufruir vantagem educacional da TIC, pois é apenas uma versão computadorizada do que já ocorre usualmente na escola. (SILVA E PENTEADO, 2009, p.4)

Silva e Penteado também apontam os benefícios que a incerteza e a

imprevisibilidade podem trazer na aprendizagem dos alunos., Esses fatores também

podem servir de apoio para o professor alavancar novas estratégias. Fica evidente,

então, a união da Geometria Dinâmica com fatores de imprevisibilidade na

elaboração e validação de conjecturas.

109

Esse tipo de foco de ensino, o qual muitos pesquisadores chamam de

problemas abertos, traz uma nova maneira de construir o conhecimento matemático.

Realmente, o professor deve procurar mudar sua visão, deixando de lado os

problemas mecânicos, que não trazem um grande benefício nesta estratégia de

ensino da geometria. Medeiros (2004) trata dos benefícios do uso de problemas

abertos na sala de aula :

Os problemas abertos se caracterizam por não terem vínculo com os últimos conteúdos estudados, evitando as regras de contrato didático já arraigadas. Por estarem em um domínio conceitual familiar, permitem que o aluno tenha condições de resolvê-los. E, sobretudo, por possuírem enunciado curto, os problemas abertos podem permitir ao aluno conquistar as primeiras idéias em um novo estudo. Isso pode dar a impressão, bem vinda, de que o problema é de fácil solução, fazendo com que o aluno se interesse em encontrá-la. Um problema aberto também possui uma ou mais soluções. Além disso, ele pode ser trabalhado em grupo, diminuindo o medo de não conseguir resolver, aumentando a chance de produção de conjecturas num intervalo de tempo razoável e possibilitando o surgimento de ricos conflitos sócio cognitivos. (MEDEIROS, 2004, p.4)

Fazendo a junção entre Geometria Euclidiana e Geometria Dinâmica

podemos propor aos estudantes diversos problemas abertos, acerca dos quais terão

a oportunidade de fazer suas investigações e elaborar questionamentos. Dúvidas

emergentes dessas discussões serão bem vindas para um tratamento mais formal

do desafio proposto. Tentando esclarecer de forma mais objetiva o papel de um

problema aberto, colocamos como exemplo três enfoques distintos desse tipo de

situação e daremos a solução de dois deles com a intenção de mostrar os benefícios

desta metodologia quando bem aplicada pelo professor.

Problema 1 ) Por um ponto da base de um triângulo isósceles, traçam-se paralelas

aos lados iguais. Pergunta-se :

a) Qual o nome do quadrilátero obtido ?

b) O que podemos afirmar a respeito do perímetro do quadrilátero obtido ?

Problema 2 ) Numa região limitada por um quadrado, ache, justificando, o ponto tal

que a soma das distâncias aos quatro vértices do quadrado é a menor possível

110

Problema 3 ) O esquema da figura seguinte representa um campo de futebol. Supõe

que, num determinado momento de um jogo, João, Miguel e Francisco jogadores de

Os vencedores, se encontram, respectivamente, nas posições J, M e F. O arbitro

encontra-se a igual distância dos três jogadores. Assinale a lápis, na figura, com a

letra A o ponto onde esta o árbitro.

Figura 97 : Campo de futebol exemplificando um problema de lugar geométrico

Antes de realizar qualquer demonstração, é possível verificar nos enunciados

propostos a mudança de questionamento na elaboração de cada problema. Aqui o

esquema hipótese-tese deixa de existir. Experimentos terão de ser feitos pelos

alunos para que estes consigam formular idéias válidas na solução do problema. A

certeza que tínhamos quando era feita uma pergunta do tipo “demonstre que” não

tem espaço no momento de lidarmos com essa nova situação. Paterlini (2009)

afirma :

Para propiciar aos estudantes “fazer Matemática” sugere-se que o professor trabalhe, em sala de aula, com atividades exploratórias e investigativas. Dentre essas atividades destacamos, nesse trabalho, os denominados problemas abertos. São questões com um enunciado que delimitam um contexto, e o estudante é convidado a explorar aquela situação. O problema aberto se contrapõe ao problema fechado, e a diferença entre eles pode, de forma simples, ser caracterizada pelo fato de que este último diz o que o estudante deve demonstrar, enquanto o primeiro o deixa livre para perceber quaisquer relações matemáticas naquele contexto. Naturalmente podem ser utilizados problemas com enunciado intermediário, em que o trabalho do estudante é parcialmente direcionado. (PATERLINI, 2009, p.2) Os problemas abertos (quando) sugeridos em aula levam o aluno a uma maior exploração das situações, a elaborar conjecturas, tirar conclusões. O professor deve utilizá-los eventualmente, pensando na

111

melhor estratégia: introdução de um assunto? fechamento de um assunto? (PATERLINI, 2009, p.6)

A união do software de Geometria Dinâmica com um embasamento de

Geometria euclidiana permite ao aluno obter as pistas necessárias para a validação

de suas idéias. Muitas soluções diferentes poderão ser apresentadas e isso servirá

de apoio para novas discussões, acrescentando dessa forma novos conhecimentos.

A dúvida, gerada pela incerteza, acaba se tornando um ponto positivo ao

nosso favor, aguçando a curiosidade de cada aluno, fazendo com que este procure

trabalhar em conjunto para que, assim, possa encontrar um caminho viável na

solução do problema proposto.

4.7.1 Análise e discussão dos problemas abertos

Solução do problema 1 :

Na solução deste problema, fizemos o uso do software Geogebra, obtendo a

figura abaixo:

Figura 98 : Solução do problema 1

Arrastando o ponto P sobre o lado AB do ABC e marcando os valores dos

segmentos EP , EC , CF e FP e dos ângulos assinalados iremos perceber a

invariância destes que permanecerão com a mesma medida. O software Geogebra

112

possui uma função que permite somar segmentos. Usando essa função,

descobriremos que EP + EC + CF + FP = 8, independente da posição de P quando

este percorre AB . O uso do deslocamento do ponto P ajudou a verificar nossas

hipóteses iniciais. Dessa forma, pelo uso do SGeometria Dinâmica, poderemos

acreditar na suposição da validade da congruência dos ângulos assinalados, mas a

prova só poderá ser contundente fazendo uso da geometria euclidiana.

De fato, as retas passando por EP e CF são paralelas e, usando as

transversais passando por FP e EC , que também são duas retas paralelas,

teremos a confirmação. Depois de testar essas conjecturas, o aluno poderá passar

para uma demonstração rigorosa.

Na verdade, temos FP paralelo a EC , e da transversal CF teremos

ˆ ÊCF CFG e, como EP é paralelo a CF , teremos ˆ ˆCFG EPF , por serem ângulos

correspondentes. Usando o conceito de transitividade encontraremos ˆ ÊCF EPF e,

com raciocínio análogo, teremos ˆ ˆPEC PFC . Falta mostrar que EP CF e

EC PF . Como o aluno poderá chegar a esse fato fazendo uso do Geogebra ? Um

dos caminhos seria traçar o segmento CG paralelo ao segmento AP , usando o

comando de marcar ângulos. Com isso o aluno iria verificar que AEP GFC , pois

teríamos ˆ ˆGCF APE e ˆ ˆGFC AEP .

De forma rigorosa, poderiam ser usadas as paralelas passando por CG e AP

e usar as transversais passando por CF e EP para demonstrar a congruência

destes ângulos. Usando o mesmo raciocínio, conseguiremos provar que PF EC .

Para provarmos a segunda parte do problema, o aluno poderá fazer uso da relação

EP + EC + CF + FP = perímetro. Da primeira parte, teremos EP = CF e EC = FP ,

logo 2 EP + 2 FP = perímetro. Pelo fato de FP ser paralela a EC e EP paralela a

CF , a proporcionalidade dos segmentos paralelos terá de ser mantida. Logo, o

perímetro terá de ser constante.

Indicamos, aqui, apenas um caminho que poderia ser tomado, fazendo

conjecturas com o uso do Geogebra. Conforme foi explicitado em parágrafos

anteriores, o enfoque que esse tipo de problema proporciona é enorme,

113

possibilitando, assim, diversos questionamentos produtivos, encorajando o grupo de

alunos a buscar novas idéias para uma solução mais simples e elegante.

Solução do problema 2 :

Construindo um quadrado ABCD com o auxilio do Geogebra, teremos a figura

abaixo onde colocamos o ponto de intersecção das duas diagonais na origem do

sistema de eixos coordenados; marcamos então as diagonais AC e BD . Tomando

um ponto P qualquer dentro do quadrado, unimos este aos vértices A, B, C e D,

obtendo os segmentos AP , BP , PC e PD ; como foi dito anteriormente, o Geogebra

permite arrastar o ponto P e obter a soma AP + BP + PC + PD quando P percorre

todo interior do quadrado. Fazendo isso, teremos a possibilidade de testar onde esta

distância será mínima.

Figura 99 : Solução do problema 2

Fazendo esse teste chegaremos à conclusão de que P deve estar no

encontro das diagonais AC e BD . Falta, agora, uma prova formal, por meio da qual

teremos a certeza e a confirmação da nossa dedução, realizada com o uso do

software de Geometria Dinâmica. Antes dessa prova, reforçamos nossas idéias com

Talavera (2004) que afirma :

114

Os softwares de geometria dinâmica unem a técnica ao raciocínio dedutivo, valorizando o pensamento geométrico, permitindo realizar ações independentes; o aluno se sente motivado, capaz de formular argumentos informais e, em seguida, utilizar o pensamento dedutivo, pelo fato de estar visualizando o que acontece com as figuras quando as manipula na tela do computador. Neste nível, o aluno pode compreender o significado da dedução como uma maneira de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático, ou seja, esses recursos permitem um pensamento mais livre (TALAVERA, 2004, p.127)

Primeira demonstração :

Usando o sistema de eixos coordenados estabelecido temos P(a,b) , A(-x/2 , x/2)

B(x/2 , x/2) , C(x/2 , -x/2) e D(-x/2 , -x/2) . calculando as distâncias de P aos vértices

do quadrado temos : 2 2

2 2x xdPA a b

2 2

2 2x xdPB a b

2 2

2 2x xdPC a b

2 2

2 2x xdPD a b

A soma dessas distâncias tem de ser mínima, mas sendo esta a menor

possível, se elevarmos todos os membros ao quadrado, a invariância continuará a

mesma, logo :

Mínimo = 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2x x x xa b a b

Mínimo = 2( 2a2 + 2b2 + x2 )

Para que essa expressão seja mínima, teremos de ter a=b=0, ou seja ,P(0,0)

e, como colocamos nossa origem no ponto de encontro das duas diagonais, o ponto

P será mínimo quando estiver na intersecção das diagonais AC e BD .

Uma outra solução pode surgir se lembrarmos da desigualdade triangular.

Esta desigualdade pode ser verificada quando variamos P e este é diferente do

centro O; assim teremos as desigualdades PA PC AC e PB PD BD , logo

PA PC PB PD > AC BD no caso de termos P O . Portanto, a soma das

distâncias de P aos vértices é a menor possível quando P = O

115

CAPÍTULO V - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA

5.1 Experimento de ensino

Neste capítulo é apresentado o experimento que foi realizado com os alunos

do Ensino Fundamental. São relatadas as ações desenvolvidas e são apresentadas

e comparadas as análises a priori e a posteriori do experimento, completando assim

a última parte do desenvolvimento da Engenharia Didática deste trabalho.

O objetivo geral do experimento foi comparar as dificuldades oriundas de

problemas envolvendo conceitos relativos a lugares geométricos com relação aos

dois ambientes. O primeiro ambiente num espaço estático, fazendo uso de papel,

lápis e pelos instrumentos euclidianos usuais e o segundo num ambiente dinâmico

tendo como suporte o software de geometria dinâmica Cabri – Géomètre II.

No final, foi realizada uma comparação entre esses dois ambientes,

procurando caracterizar e evidenciar as facilidades que apareceram no ambiente

dinâmico, mostrando dessa forma, o seu potencial no momento de visualizar e

caracterizar algum lugar geométrico, o que sem dúvida favoreceu o processo de

ensino e aprendizagem dos alunos.

5.2 Sujeitos da pesquisa

Os sujeitos que participaram desta pesquisa são alunos da rede estadual de

ensino, situada na cidade de Itararé no Estado de São Paulo. Esses alunos

cursavam o nono ano do Ensino Fundamental no ano de 2011.Foi feito um convite

oral para as três classes dessa série existentes na escola sem nenhum tipo de

restrição. Um grupo de 35 alunos mostrou interesse em participar do experimento.

Não existiu nenhum tipo de empecilho com relação ao deslocamento dos alunos até

a escola fora do período escolar regular.

Outro fator importante na hora da seleção dos sujeitos foi escolher alunos que

não tinham tido contato algum com o software Cabri – Géomètre II e alunos que

desconhecessem qualquer tipo de construção no ambiente papel e lápis. Isso foi

importante, pois para se fazer tal tipo de comparação entre os trabalhos de cada

grupo foi fundamental que os sujeitos não tivessem fluência nesses dois ambientes.

116

5.3 Procedimento experimental

Os seis alunos escolhidos foram divididos em dois grupos. O primeiro grupo

realizou as atividades fazendo uso de papel, lápis, par de esquadros, transferidor e

compasso. O segundo grupo fez uso de um ambiente de Geometria Dinâmica, no

nosso caso, o software Cabri – Géométre II.

O experimento foi realizado em 3 sessões no período de primeiro de julho à 3

de julho. O GRUPO I realizou as atividades no período matutino e o GRUPO II no

período vespertino. O pesquisador tomou os devidos cuidados para que não

houvesse qualquer troca de informações entre os grupos pois caso isso ocorresse o

experimento poderia sair prejudicado.

As mesmas orientações foram passadas em ambos os grupos. Somente

intervenções bem superficiais foram dadas, ou seja, o pesquisador interveio de

forma bem sucinta no desenvolvimento de todas as atividades.

Fez–se o uso de um gravador de som para que o pesquisador pudesse

analisar as idéias dos alunos e, caso existisse alguma dúvida com relação a fala dos

sujeitos poderia ser feita uma volta as atividades retirando alguma suspeita sobre o

conteúdo exposto.

Com isso, fazendo o recolhimento das fichas de cada atividade proposta, foi

realizada uma análise dos dados que podem ser evidenciados nas atividades que se

seguem no próximo tópico.

5.4 Atividades propostas

Nesta seção é feita a apresentação das atividades, assim como, são feitas as

análises das produções discentes.

5.4.1 Análise a priori e a posteriori da atividade 1

117

Atividade 1

Dado um ponto A num plano e uma distância fixa d, obter o conjunto de

pontos do plano que estejam a uma distância d deste ponto dado.

A

Figura 100 : Atividade 1

Análise a priori

Nesta atividade a variável didática é o lugar geométrico chamado

circunferência. Deseja-se que os alunos sejam capazes de identificar este conjunto

de pontos, utilizando as ferramentas dadas. Não se espera uma dificuldade maior na

identificação deste lugar geométrico em ambos os ambientes.

GRUPO I

Análise a posteriori

No início, os alunos tiveram dificuldades em compreender o que o

pesquisador queria dizer com “obter um conjunto de pontos” . Os alunos, na primeira

tentativa, obtiveram apenas 3 pontos e, de forma apressada, desenharam um

triângulo como resposta.

Após uma intervenção, foi dada mais uma explicação, sugerindo um número

maior de pontos no papel. Depois disso, os alunos discutiram entre si, colocando

outras hipóteses, colocando, por exemplo, um quadrado ou uma circunferência.

O grupo levou um tempo considerável para obter a solução, prevalecendo o

aspecto da tentativa e erro. O professor, no decorrer da atividade, foi colocando

pontos a serem discutidos, incitando a troca de idéias até o surgimento de uma

118

hipótese consistente aceita por todos os elementos do grupo, determinando o lugar

geométrico pedido.

Figura a)

Figura b)

Figura 101 : Resolução da atividade 1 do GRUPO I

As etapas da atividade podem ser resumidas pelo uso do quadro abaixo : Quadro 1 - Atividade 1 GRUPO I , análise a posteriori

Situação adidática Atividade 1

Ação O grupo lê o enunciado. Os sujeitos elaboram a

primeira interpretação. Em seguida, usando uma noção

bem intuitiva começam a discutir os possíveis pontos do

lugar geométrico.

Formulação Os alunos discutem entre si, propondo algumas

soluções. Vão aumentando o número de pontos,

obtendo um triângulo, logo após, um quadrado e

começam a verificar uma associação entre um número

maior de pontos e o traçado de uma circunferência.

119

Validação O grupo consegue ter uma postura mais firme ao

sugerir a circunferência como lugar geométrico dizendo

que qualquer distância pré estabelecida a priori do

ponto dado dará a referida solução. Para comprovar o

que foi dito, escolhem uma circunferência de raio igual a

5 cm e, com o compasso, desenham a figura, validando

a hipótese.

Institucionalização

Levando em consideração a discussão e as idéias

colocadas pelo grupo, o professor faz a concatenação

dos fatos levantados. Explica-se que o conjunto de

pontos que permanecem a uma distância fixa de um

ponto dado é uma circunferência de centro A e raio r.

GRUPO II


O GRUPO II apresentou as mesmas dificuldades iniciais do GRUPO I,

colocando um número insuficiente de pontos e, a partir disso acabaram, tomando

decisões precipitadas, obtendo figuras que não iriam satisfazer a propriedade

requerida. Foi feita a mesma intervenção realizada no GRUPO I, onde o

pesquisador, de forma mais detalhista explicou o que significava a expressão

“conjunto de pontos”.

Após esse fato, colocando alguns pontos aleatórios, o grupo usou as

ferramentas “segmento” e “distância e comprimento”, tomando como medida um

segmento de comprimento 4.18 cm. Usando o mouse e arrastando os segmentos

obtidos, tiveram como resultado a figura a) onde imaginaram como solução uma

estrela.

Verificando esse fato, foi apresentada a ferramenta “Esconder/Mostrar” e,

fazendo uso desta, o grupo conseguiu obter uma construção “limpa”, deixando

somente os pontos pertencentes ao lugar geométrico ( figura b ). Assim, a

120

visualização ficou mais clara e com isso, usando a ferramenta circunferência

obtiveram o referido lugar geométrico ( figura c ).

Neste ambiente, pode-se notar um tempo menor para obter a resposta.

Mesmo em se tratando de uma construção mole, os alunos, com a ajuda do arrastar

do mouse, obtiveram os segmentos com o comprimento pré-determinado e,

escondendo os objetos auxiliares na construção, visualizaram, de forma mais nítida,

a solução da atividade proposta.

Figura a)

Figura b)

Figura c)

Figura 102 : Resolução da atividade 1 do GRUPO II

As etapas da atividade podem ser resumidas no quadro abaixo :

121

Quadro 2 - Atividade 1 GRUPO II, análise a posteriori


Ação O grupo lê o enunciado. Os sujeitos elaboram a

primeira interpretação. Colocam pontos de forma

aleatória no Cabri, e manipulando-os, tentam obter

algum padrão.

Formulação Usando as ferramentas “segmento” e “distância e

comprimento”, medem os segmentos obtidos,

conjecturando a forma de diversas figuras. Uma

discussão é feita, procurando limitar o número de

soluções, tentando encontrar algum padrão comum a

todos os pontos determinados.

Validação Usando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, o grupo

consegue deixar presente na tela somente os pontos

que estão satisfazendo o lugar geométrico pedido. Com

isso, conseguem obter rapidamente um número bem

maior de pontos e, assim, afirmam que o lugar

geométrico é uma circunferência e para validarem essa

hipótese usam a ferramenta “circunferência”, obtendo a

solução desejada

Institucionalização

Levando em consideração a discussão e as idéias


dos fatos levantados. Explica-se que o conjunto de

pontos que permanecem a uma distância fixa de um

ponto dado é uma circunferência de centro A e raio r.

122


Atividade 2

Dado o segmento de reta AB abaixo, contido num plano , obter o conjunto de

pontos do plano, pertencentes ou não a esse segmento de reta que estejam a

mesma distância dos pontos A e B

A

B

Figura 103 – Atividade 2

Análise a priori

Nesta atividade as variáveis didáticas estão relacionadas com o conceito da

obtenção da mediatriz de um segmento AB. Espera-se que os grupos consigam

perceber que o ponto médio do segmento AB é caracterizado por esta propriedade e

depois desta constatação, eles consigam obter pontos fora do segmento dado bem

como o ponto médio de AB obtendo assim, a mediatriz deste segmento.

GRUPO I Análise a posteriori

O grupo continua a confundir o conceito de conjuntos de pontos, relacionando

este com alguma figura geométrica. Percebe-se que os traços deixados no papel

confundem o raciocínio do grupo . Na figura a), o grupo diz que o resultado será uma

123

circunferência. Na realidade, eles encontram o ponto médio de AB que satisfaz a

condição pedida e, a partir disso, desenham a circunferência, mas abandonam essa

idéia quando pegam um ponto pertencente a esta. Medindo com régua a distância

entre um ponto pertencente à circunferência e os vértices do segmento dado,

encontram valores discordantes, abandonando dessa forma esta primeira idéia.

Depois de uma breve explicação, o professor salienta que as figuras obtidas

funcionam como objetos auxiliares. Na figura a) é desenhado um triângulo isósceles,

onde o grupo liga o ponto médio de AB ao vértice C, podendo, dessa forma,

encontrar a solução. Mas nenhum aluno consegue visualizar este fato e, com o

decorrer do diálogo estabelecido, vão fazendo algumas medidas até chegarem na

figura b).

Na figura b), os alunos tiveram a idéia de dar como resposta diversos tipos de

losangos, demonstrando de certa forma uma percepção de simetria de ponto em

relação a uma reta, mas, conforme dito, após a intervenção do pesquisador, os

alunos mudaram a conjectura, dizendo que a resposta seria uma reta. Conforme

explicitado na resposta, vê-se uma insegurança “ dependendo do lugar onde se

ligam os pontos, o resultado vai ser uma reta”. Analisando os diálogos e as figuras

feitas, nota-se um obstáculo à compreensão do lugar geométrico de acordo com os

traços desenhados no papel.

Figura a)

Figura b)


124


Quadro 3 - Atividade 2 GRUPO I, análise a posteriori


Ação O grupo procura encontrar algum ponto sobre o

segmento AB, satisfazendo a propriedade pedida.

Encontram o ponto médio de AB e, de forma

equivocada, procuram generalizar, dizendo que o a

solução será uma circunferência de diâmetro AB

Formulação O grupo desenha um triângulo isósceles ABC, mas não

consegue perceber que a altura deste dará a resposta

requerida. Procuram algum tipo de padrão ou simetria,

e começam a tentar desenhar um quadrado no intuito

de obter outros pontos com a mesma propriedade.

Validação Percebem uma simetria entre os pontos obtidos, pegam

a régua e medem as distâncias do ponto a cada vértice

do segmento AB. Verificando que o resultado é análogo

para os diversos pontos desenhados, o grupo traça uma

reta passando pelos pontos C e D, obtendo desta forma

o resultado desejado.

Institucionalização Levando em consideração a discussão e as idéias


dos fatos levantados. Explica-se que a união dos pontos

obtidos forma um conjunto, que é uma reta, que passa

pelo ponto médio do segmento AB, formando com este

um ângulo de 90o

GRUPO II


Usando as ferramentas mostradas pelo pesquisador na atividade 1, os alunos

conseguem, de forma mais rápida, obter o resultado desejado. No início não

125

compreendem claramente o que foi pedido. Eles medem o comprimento do

segmento AB, colocam um ponto aleatório e, unindo este aos vértices do segmento

dado. Usando o arrastar do mouse, procuram obter uma distância igual ao

comprimento de AB.

Percebendo isso, é feita uma intervenção, e o professor explica que as

distâncias pedidas não precisam ter necessariamente o comprimento de AB. Desse

modo, o grupo consegue obter um número maior de pontos. Nesta atividade é

apresentada a ferramenta “Fixo/Livre”, com a qual podem demarcar pontos e outros

objetos que necessitam estar fixos.

Os alunos observam que cada ponto obtido forma um triângulo isósceles com

o segmento AB. Usando a ferramenta “Esconder/Mostrar”, eles visualizam os pontos

obtidos, chegando à conclusão de que o lugar geométrico pedido é uma reta contida

nesse conjunto de pontos. É interessante notar que este grupo não considera o caso

de ter algum ponto pertencente ao segmento AB, preocupando-se somente com

pontos fora desse segmento.

Figura a)

Figura b)

Figura c)

126





Ação O grupo marca um ponto qualquer não pertencente ao

segmento AB. Usando a ferramenta segmento, ligam

este ponto aos vértices e, com a ferramenta “distância e

comprimento”, procuram estabelecer um valor que

contenha a medida do segmento dado.

Formulação Começa uma discussão e cada aluno procura colocar

seu ponto de vista. Percebe-se que o grupo, de forma

intuitiva, detém o conceito de simétrico de um ponto em

relação a uma reta e,assim obtém a figura b)

Validação O grupo obtém outros pontos e, escondendo as

construções auxiliares, conseguem visualizar mais

nítidamente os pontos desejados. Fazem uma análise e

entram num acordo, dizendo que o resultado será uma

reta.

Institucionalização Levando em consideração a discussão e as idéias


127

dos fatos levantados. Explica-se que a união do

conjunto de pontos obtidos passa pelo ponto médio do

segmento AB, formando com este um ângulo de 90o

5.4.3 Análise a priori e a posteriori da atividade 3 Atividade 3

Dados dois pontos A e B, obter o conjunto de pontos formado pelos centros

das circunferências que passam por A e B

A

B


Análise a priori

Nesta atividade o lugar geométrico circunferência será usado para evidenciar

mais uma vez o lugar geométrico mediatriz de um segmento. Espera-se que, no

desenrolar desta atividade, os alunos consigam fazer a associação entre as duas

atividades anteriores, conseguindo obter a solução requerida pelo pesquisador.

128

GRUPO I


Os alunos começaram o debate, escolhendo o ponto médio de AB. O

pesquisador pergunta por que eles marcaram este ponto e os alunos dizem que este

ponto é bom, pois está a mesma distância do segmento AB. Aqui, sem usarem um

termo formal, conseguiram estabelecer o conceito de centro de uma circunferência,

dado o diâmetro AB. Fazendo uso do compasso, os alunos começam a tatear

pontos com a ponta seca do compasso tentando descobrir uma outra circunferência

passando pelos pontos A e B.

O grupo descobre mais alguns pontos e com isso marcam um segmento de

reta. Colocando a ponta seca do compasso sobre o segmento, verificam a hipótese,

dizendo que o lugar geométrico pedido é uma reta. Aqui, não existiu uma associação

com as atividades 1 e 2. O pesquisador tinha em mente que, com o desenrolar do

debate, essa associação fosse feita, mas isso não ocorreu .

Não houve uma dificuldade maior em obter o lugar geométrico pedido.

Analisando o procedimento dos alunos, percebeu-se que o uso do compasso ajudou

e muito no momento de encontrar o conjunto de pontos requerido. O grupo chegou a

algumas conclusões interessantes como, por exemplo, “A partir do momento em que

eu for aumentando a reta, a circunferência aumenta também”, ou seja, de forma

intuitiva, tiveram a noção da proporcionalidade entre diâmetro e comprimento da

circunferência.

129





Ação Os alunos leem o enunciado. Com uma régua, marcam

o ponto médio do segmento AB. Entram em consenso,

dizendo que este ponto irá satisfazer a condição pedida.

Formulação Com a ponta seca do compasso no ponto médio de AB,

os alunos determinam uma circunferência, satisfazendo

a condição dada. Tendo isso como pressuposto, pegam

o compasso e começam a procurar pontos com a

mesma propriedade.

Validação Traçam uma reta passando por dois pontos obtidos,

satisfazendo a condição do problema. Com isso,

descrevem diversas circunferências com centro nesta

reta. Com essa experimentação, conseguem validar o

130

resultado obtido anteriormente.

Institucionalização O professor explica que esta atividade está relacionada

com as duas atividades anteriores. Mostra que esta reta

passa pelo ponto médio do segmento AB e forma com

este um ângulo de 90o. Assim, o professor explica que

dado um segmento de reta de medida qualquer, esta

reta obtida chama-se mediatriz deste segmento.

GRUPO II


Nesta atividade apresentou-se a ferramenta “circunferência”. Foi mostrado

como aumentar, diminuir e arrastar este ente geométrico. O grupo descreveu

algumas circunferências, realizando manipulações e, logo após foi explicado a

atividade proposta.

Fazendo-se uso desta ferramenta, o grupo realizou uma construção mole,

procurando ajustar a posição e o comprimento da circunferência aos dois pontos

dados. Gastaram um tempo bem menor do que o grupo 1 para realizar esta

atividade. Este grupo não se preocupou em obter o ponto médio de AB como uma

das soluções.

Analisando o desenvolvimento da atividade, notou-se uma grande facilidade

no momento de se ajustar a circunferência aos dois pontos considerados e, por este

fato, acredita-se que o grupo se deteve somente a pontos não pertencentes ao

segmento dado.

Este grupo não fez analogia com as duas atividades anteriores. Usando a

ferramenta “Esconder/Mostrar”, deixaram somente os pontos, satisfazendo a

propriedade pedida. Traçaram uma reta passando por dois pontos que obtiveram e

consideraram esta como o lugar geométrico requerido.

131





Ação Os alunos descrevem algumas circunferências, usam a

nova ferramenta ensinada e, a partir disso, procuram

encontrar o primeiro ponto do lugar geométrico

Formulação Marcam circunferências com centros aleatórios. O

grupo busca obter novos pontos, satisfazendo a

propriedade dada.

Validação Descobrem um padrão, dizendo que o lugar geométrico

será uma reta. Constroem essa reta e, para validar o

resultado, marcam mais algumas circunferências com

centros na reta obtida anteriormente.

Institucionalização O professor explica que esta atividade está relacionada

com as duas atividades anteriores. Mostra que esta reta

passa pelo ponto médio do segmento AB e forma com

este um ângulo de 90o. Assim, o professor explica que

132

dado um segmento de reta de medida qualquer, esta

reta obtida chama-se mediatriz deste segmento.


Atividade 4

Dado o ângulo ABC abaixo, obter o conjunto de pontos que estejam à mesma

distância das semi retas BA e BC

B

A

C Figura 109 – Atividade 4

Análise a priori

Nesta atividade as variáveis didáticas estão relacionadas com o conceito da

bissetriz interna de um determinado ângulo. Espera-se que os grupos consigam

estabelecer a distância apropriada entre os dois segmentos, fazendo uso do

conceito de distância entre ponto e reta. Foi colocada a figura, formando um ângulo

maior do que 900, sendo cada segmento não paralelo às bordas da folha para

verificar a noção de projeção ortogonal, sem levar em consideração um desenho

estereotipado.

133

GRUPO I


O professor inicialmente explica o conceito de distância entre ponto e reta.

Antes da realização da atividade, foi ensinado como usar o par de esquadros para

marcar um ângulo de 900 e também como fazer uso do transferidor para conferir a

determinação do referido ângulo.

Logo após, foi explicada a experiência para o grupo de alunos. Eles

compreenderam bem o enunciado e começaram a procurar o primeiro ponto,

satisfazendo a propriedade pedida. O grupo sentiu uma dificuldade em marcar os

pontos, pois não conseguiram obter uma distância apropriada entre o ponto e as

duas retas, satisfazendo o enunciado. Isso acabou gerando uma insegurança no

momento de se obter o lugar geométrico. Analisando a figura a), percebe-se essa

dificuldade ”Estamos em dificuldades de achar os ângulos, cada ponto que a gente

coloca, nunca da certo a mesma distância dos pontos AB e BC” .

Depois de algum tempo, um elemento do grupo disse “primeiro a gente acha

o meio aqui” e pede para um colega medir o ângulo para verificar a validade da sua

hipótese. O teste é feito, e o aluno confirma dizendo, “aí professor, vai dar mesmo,

vai dar uma reta”. O grupo justifica essa afirmação, dizendo que no inicio foi formado

um losango e, achando o meio dessa figura geométrica, conseguiriam obter os

outros pontos.

Observando a figura b), nota-se que o grupo encontrou de certa forma a

solução do problema, pois o lugar geométrico pedido é a bissetriz interna do ângulo

dado, mas houve um erro, pois esta reta deveria ter origem no vértice B . Acredita-

se, então, que esse ambiente dificultou um pouco na visualização do conjunto de

pontos. Os alunos não conseguiram obter de forma mais precisa o conjunto de

pontos pedidos, sendo levados ao erro no momento de obterem este lugar

geométrico.

134

Figura a)

Figura b)


As etapas da atividade podem ser resumidas pelo uso do quadro abaixo :



Ação O professor ensina o grupo a usar o par de esquadros e

o transferidor, explica o conceito de distância entre

ponto e reta. Os alunos começam a procurar o primeiro

ponto do lugar geométrico.

Formulação O grupo obtém um ponto que esteja próximo à bissetriz

interna. Pegam o par de esquadros para obterem uma

projeção de 90o com um dos lados do ângulo dado.

Com o transferidor, conferem o valor determinado e

assim conseguem determinar o primeiro ponto. Com

isso, conjecturam que os outros pontos devam

pertencer também à bissetriz interna do referido ângulo.

Validação Traçam uma reta e validam o resultado, dizendo que o

conjunto de pontos determinará vários losangos e,

135

assim, qualquer ponto pertencente a diagonal destes

será a solução. Com isso, dizem que o lugar geométrico

pedido é uma reta.

Institucionalização O professor explica o conceito de bissetriz interna de

um ângulo, dizendo que esta divide o ângulo em duas

partes de mesma medida e que a solução será uma

semi – reta com origem no vértice do ângulo dado.

GRUPO II Análise a posteriori

O professor inicialmente explica o conceito de distância entre ponto e reta.

Apresenta ao grupo a ferramenta “reta perpendicular” e mostra a funcionalidade

dessa ferramenta. Os alunos descrevem uma reta na tela do Cabri – Géomètre,

marcam um ponto qualquer fora desta e traçam a perpendicular a esta reta

passando por este ponto.

Após este início de explicações, é apresentada a atividade. O grupo lê o

enunciado e, da mesma forma que ocorreu com o primeiro grupo, compreendem

bem o que foi pedido. Marcam um ponto interno ao ângulo dado e traçam uma

perpendicular aos segmentos AB e BC passando por este ponto. Com a ferramenta

“distância e comprimento”, movimentam o ponto até obter a mesma projeção

ortogonal aos segmentos AB e BC.

O procedimento é repetido mais duas vezes, e o grupo dialoga entre si,

dizendo que a resposta será uma reta. Eles escondem os objetos auxiliares e traçam

uma reta passando por dois pontos obtidos, que irá passar também pelo ponto B.

Neste caso, mesmo em se tratando de uma construção mole, o grupo obteve o

resultado da figura b), pois foi usada uma grande precisão no momento de arrastar

os pontos desejados.

Não foi usada uma construção robusta. Desse modo o grupo poderia recair no

mesmo erro do GRUPO I, que acabou traçando uma reta sem considerá-la

passando pelo ponto B. Um item favorável a este ambiente é realmente a facilidade

que oferece no momento de obter uma precisão bem melhor de algum resultado

envolvendo uma construção mole, se comparado ao ambiente papel e lápis.

136

Lendo a análise do grupo, percebe-se uma grande dificuldade em explanar o

resultado obtido. A reta (bissetriz interna) irá dividir o ângulo no meio, mas não

formará um ângulo de 900 com os dois segmentos de reta. Neste caso faltou ao

grupo um pouco de critério, pois foi observando somente a figura é que chegaram a

essa conclusão. Nesta atividade o grupo não havia tomado conhecimento da

ferramenta “ângulo”, que só foi apresentada na atividade 5 e, por este fato, acredita-

se que este erro possa ter acontecido.


137

As etapas da atividade podem ser resumidas pelo uso do quadro abaixo :

Quadro 8 - Atividade 4, GRUPO II análise a posteriori


Ação O professor ensina o grupo a usar a ferramenta “reta

perpendicular”, explica o conceito de distância entre

ponto e reta. Os alunos começam a procurar o primeiro

ponto do lugar geométrico.

Formulação Traçam as perpendiculares aos segmentos dados,

ajustam os pontos de forma a obterem a mesma

projeção ortogonal. Conjecturam que o lugar geométrico

será uma reta.

Validação Apagam os objetos auxiliares, marcam mais alguns

pontos e validam o resultado, construindo uma reta

passando por dois destes pontos, dizendo que esta irá

dividir o ângulo em duas partes de mesma medida.

Institucionalização O professor explica o conceito de bissetriz interna de

um ângulo, dizendo que esta divide o ângulo em duas

partes de mesma medida e que a solução será uma

semi – reta com origem no vértice do ângulo dado.

138


Atividade 5

Dado segmento de reta AB, obter o conjunto de pontos que vêem esse

segmento sob um ângulo de 900

A

B


Análise a priori

Nesta atividade estaremos propondo a construção do lugar geométrico

circunferência. Espera-se que o aluno seja capaz de marcar ângulos com um

transferidor ou com as ferramentas do Cabri – Géomètre II a fim de descobrir que o

conjunto desses pontos dará um circunferência. Acredita-se que os alunos que

fizerem uso do ambiente de geometria dinâmica terão uma maior facilidade de obter

este referido lugar geométrico e conseguirão uma visualização mais primorosa,

facilitando, assim, a visualização de possíveis características deste lugar geométrico.

GRUPO I


O professor ensina o grupo a usar o transferidor. Os alunos realizam algumas

atividades preliminares, medindo alguns ângulos dados pelos pesquisador. Marcam

um primeiro ponto, que eles chamam de ponto C. Pela figura a) observa-se que eles

139

apenas deslocam o transferidor sobre o segmento de reta, obtendo pontos que

formam retas paralelas ao segmento dado.

Em determinado momento, o grupo entra num primeiro consenso, quando um

dos elementos diz “vai aumentando aqui,vai formando um retângulo que não fecha

em cima”. Um outro aluno questiona se é possível obter pontos abaixo do segmento

AB. O grupo abre uma discussão e todos concordam que é possível obter pontos

abaixo de AB.

Em seguida, o grupo decide que o lugar geométrico será formado por várias

retas que darão origem a diversas formas geométricas. O professor, observando os

resultados, para a atividade e explica novamente como se deve usar o transferidor,

pois percebe que o grupo não compreendeu bem o uso deste instrumento. Dessa

forma, a atividade é refeita.

Começam a usar novamente o transferidor e marcam, após diversas

tentativas, o primeiro ponto que chamam de c (figura b). Uma grande dificuldade é

encontrada para se obter pontos satisfazendo o lugar geométrico. O grupo não

consegue prosseguir de forma satisfatória. Usando o método da tentativa e erro, vão

marcando pontos e medindo o ângulo que cada um forma com o segmento dado.

Acabam se detendo na parte de cima do desenho e não observam que

poderia existir uma semicircunferência. Concluem a atividade, dizendo da dificuldade

que tiveram de obter os pontos. O grupo obtém o simétrico do ponto C, mas acaba

concluindo de forma errônea que este não seria um ponto pertencente ao lugar

geométrico.

140




Ação O professor ensina para o grupo como usar o

transferidor. O grupo lê e interpreta o enunciado.

Marcam os primeiros pontos, fazendo uso deste

instrumento.

Formulação Usam o transferidor e marcam pontos que irão formar

retas paralelas ao segmento dado. Dizem que o lugar

geométrico será o conjunto de várias retas que dará

origem a várias formas geométricas.

Validação O pesquisador explica novamente o uso do transferidor

e o grupo marca novos pontos no papel. O grupo

obtém de forma coerente alguns pontos, mas não

141

consegue validar o resultado, não percebendo que

poderia existir uma semi circunferência com o conjunto

de pontos obtidos.

Institucionalização O professor explica o conceito de ângulo inscrito em

uma circunferência e sua relação com o arco que este

determina, e após isso fala a respeito do referido lugar

geométrico.


Foi apresentada ao grupo a ferramenta “ângulo” e como usá-la para conhecer

o valor de um ângulo determinado por 3 pontos. No caso em questão, para obter o

valor de um ângulo qualquer, só é necessário um ponto fora do segmento AB, pois

os pontos A e B são fixos. Tendo isso em mente, foi colocada a atividade para o

grupo.

Ao contrário do GRUPO I, que teve muitas dificuldades para obter algum

resultado significativo, este grupo determinou de forma mais clara a solução do

problema. Marcaram de início um ponto qualquer fora do segmento AB, criaram dois

segmentos e com isso usaram a ferramenta “ângulo” para obter o valor do ângulo

desejado.

Manuseando os pontos colocados, foram ajustando seus valores até

conseguirem obter ângulos de 900 e, com isso, obtiveram a figura a). Os alunos, no

decorrer da discussão, perceberam que diversos triângulos seriam formados. No

início, ficaram limitando os pontos somente na parte de cima da figura e com isso

concluíram que o resultado daria uma semi circunferência, mas no decorrer da

atividade pegaram pontos, considerando a figura como um todo. Assim, a hipótese

estipulada foi derrubada e o grupo chegou a um consenso de que o lugar geométrico

seria uma circunferência.

Escondendo os objetos auxiliares, o grupo deixou somente os pontos obtidos,

determinaram o ponto médio do segmento AB e, com a ferramenta circunferência,

validaram o resultado, obtendo então a figura b) .

142




Ação O grupo lê e interpreta o enunciado. Escolhem um

ponto aleatório acima do segmento AB. Constroem dois

segmentos ligando o ponto aos vértices do segmento

AB. Deste modo usam a ferramenta “ângulo” e,

arrastando o ponto, obtém um ângulo de 900, fazendo-

se uso de uma construção mole.

Formulação Pegam mais alguns pontos e vão realizando o mesmo

procedimento. No primeiro momento se detém na parte

de cima da figura e concluem que o lugar geométrico

pedido será uma semicircunferência. Após este fato,

uma discussão é aberta e o grupo busca encontrar

143

pontos abaixo do segmento dado, satisfazendo a

propriedade requerida.

Validação Observam, pela configuração dos pontos, que o lugar

geométrico será uma circunferência. Validam o

resultado, construindo uma circunferência com centro

no ponto médio de AB, com diâmetro AB.

Institucionalização O professor explica o conceito de ângulo inscrito em

uma circunferência e sua relação com o arco que este

determina, e após isso fala a respeito do referido lugar

geométrico.


Atividade 6

Dado um ponto A pertencente à circunferência, obter o conjunto de pontos de

todas as secantes traçadas por A de tal modo que a parte interna de cada secante

tenha o mesmo comprimento da parte externa.

A


144

Análise a priori

Nesta atividade, o intuito é analisar o conceito de simetria axial para obter o

lugar geométrico desejado . Espera-se que o grupo que fará uso da régua e do

compasso no ambiente de papel e lápis use estes instrumentos para medir o

comprimento de cada secante e, com isso, obter o seu simétrico com relação ao

ponto pertencente à circunferência. Neste caso, por se tratar de uma simetria bem

simples, acredita-se que os estudantes não terão maiores problemas em obter o

referido lugar geométrico. No ambiente dinâmico, será apresentada a ferramenta

“compasso” para que os alunos possam fazer transportes de segmentos e, assim,

conseguir obter os pontos simétricos para a obtenção do lugar geométrico. Neste

sentido, depois de analisada esta hipótese, será apresentada a ferramenta “simetria

axial” e será verificada a diferença de metodologia usada pelos alunos.

GRUPO I


O professor explica o conceito de secante e, em seguida, ensina como fazer

transporte de segmentos, usando o compasso, deixando bem claro que se pode

fazer uso da régua graduada caso sintam necessidade de medir qualquer segmento.

É feita a leitura da atividade para os alunos que conseguem compreender bem o

enunciado, e desta forma começam a realizar a tarefa. O grupo escolhe a régua

para medir os segmentos de cada secante.

Procuram de forma intuitiva encontrar o centro da circunferência. Feito isso,

traçam um diâmetro com vértice no ponto A e marcam o primeiro ponto sobre a

circunferência que pertence ao diâmetro citado acima. Determinam assim a primeira

secante interna. Chamam, na linguagem deles, de “ponto maior” (figura b) e com

isso medem o diâmetro obtido e marcam a secante externa.

Seguindo essa analogia, marcam outros pontos, concentrando-se na parte de

cima da figura e chegam a uma primeira conclusão, dizendo que o lugar geométrico

será uma semi circunferência. Um componente do grupo sugere marcar pontos ao

redor de toda circunferência e, dessa forma, aumentam o número de pontos. O

145

grupo acaba considerando que o resultado pode ser um conjunto de diversas

circunferências. Num determinado momento, um aluno coloca a ponta seca do

compasso sobre a circunferência no ponto pertencente ao diâmetro passando por A.

Com a outra ponta no vértice A, determina a circunferência que será o lugar

geométrico pedido.

O professor pergunta para o aluno por ele tomou essa decisão, e ele

responde “peguei esse ponto, pois ele é o meio da circunferência, ele é o maior

também ” . Na realidade, ele falou a respeito do diâmetro, não houve uma

justificativa fundamentada em termos mais concretos para ter uma aceitação

plausível desta resposta, mas, agindo dessa maneira, o grupo conseguiu obter o

lugar geométrico pedido. Houve uma demora muito grande para a validação do

resultado, o grupo discutiu diversas conjecturas até conseguir chegar ao resultado

desejado.

Figura a)

Figura b)


146



Ação O grupo lê o enunciado e faz as primeiras

interpretações. De forma intuitiva, traçam o diâmetro da

circunferência passando pelo ponto A e, a partir disso

obtém o primeiro ponto da secante externa.

Formulação Continuam o processo. Escolhem pontos pertencentes

somente a uma determinada parte da figura e com isso

concluem que o lugar geométrico será uma semi

circunferência.

Validação Tomam pontos em partes distintas e observam que a

primeira hipótese não é coerente. De forma intuitiva,

colocam a ponta seca do compasso sobre a

circunferência no diâmetro determinado pelo ponto A e,

com a outra ponta neste ponto, validam o resultado,

dizendo que o lugar geométrico será uma

circunferência.

Institucionalização O professor explica que o lugar geométrico pedido será

uma circunferência de raio igual ao diâmetro da

circunferência dada e demonstra como obter esse

respectivo resultado.

GRUPO II


Primeiramente é apresentada ao grupo a ferramenta “compasso” . Com isso,

o professor mostra como fazer o transporte de um segmento dado, e o grupo realiza

algumas atividades para se habituar com essa nova ferramenta.

Logo após é apresentada a atividade. Os alunos não se preocupam em

escolher o centro da circunferência para marcarem a primeira secante. Marcam um

ponto qualquer pertencente à circunferência traçam o segmento determinado por

este e o ponto A e, usando o compasso, encontram o primeiro ponto .

147

Analogamente repetem o processo, obtendo desta forma a figura a). O

pesquisador notou uma dificuldade dos alunos ao usarem o compasso após este

fato foi apresentada a ferramenta “simetria central”.

Novamente, uma atividade complementar foi dada, explicando essa

ferramenta antes de prosseguirem na atividade. Feito isso, o grupo marcou pontos

aleatórios pertencentes à circunferência e, fazendo o simétrico dos pontos em

relação ao ponto A, obtiveram o conjunto de pontos mostrados na figura b).

Fazendo uso da simetria central, os alunos obtiveram o conjunto de pontos de

forma bem simples, sem maiores problemas. Conseguiram visualizar de maneira

coerente, que a resposta seria uma circunferência mas, usando uma construção

mole, cometeram um equivoco no momento de validarem a resposta.

O grupo não percebeu que o centro da circunferência maior seria simétrico do

ponto A em relação ao cento da circunferência menor e, tomando um outro ponto da

circunferência menor, construíram a circunferência da figura b), dizendo que esta era

“ maior, mas não exata”.

Conversando com o grupo, percebe-se que este termo foi usado no sentido

de dizer que não conseguiram obter uma circunferência passando por todos os

pontos obtidos usando - se a simetria central.

Concluindo esta atividade, percebeu-se uma dificuldade em usar

coerentemente o compasso, mas fazendo uso da simetria central, o grupo elaborou

de forma bem rápida a solução da atividade, vislumbrando mais nitidamente o lugar

geométrico pedido pelo professor. No momento final, quando validaram o resultado,

não perceberam o centro da circunferência maior, mas obtiveram de maneira

simples o resultado pedido.

148




Ação O grupo lê o enunciado. Fazem as primeiras

interpretações. Com a ajuda do compasso, traçam as

primeiras secantes, procurando buscar o lugar

geométrico pedido.

Formulação Usam o compasso, procurando obter a solução.

Verificando uma demora no momento de realizar a

atividade, é apresentada ao grupo a ferramenta simetria

central. Fazendo uso desta, os alunos conjecturam que

149

o lugar geométrico será uma circunferência .

Validação Observam pela configuração dada pelo cabri -

Géomètre que o lugar geométrico será uma

circunferência. Validam, fazendo uma construção

robusta, escolhendo um centro qualquer com um ponto

pertencente à circunferência menor

Institucionalização O professor explica que o lugar geométrico pedido será

uma circunferência de raio igual ao diâmetro da

circunferência dada e demonstra como obter esse

respectivo resultado.

5.4.7 Análise a priori e a posteriori da atividade 7 Atividade 7

Sejam as retas r e s formando um ângulo de 90o entre si. Dado o ponto P

pertencente a circunferência, seja P´ o simétrico de P em relação a reta r. Qual o

conjunto de pontos que P´ irá formar enquanto P percorre a circunferência ?


150

Análise a priori

Nesta atividade espera-se que cada grupo consiga, de forma bem simples

obter o lugar geométrico circunferência. Pela simetria da atividade acredita-se que

não ocorrerá maiores dificuldades para se obter a solução em ambos os grupos.

No GRUPO I poderá se fazer uso da régua ou do compasso para se fazer

transporte de segmento. Mesmo com alguma imprecisão de medida acredita-seque

não irá existir algum problema para validar o resultado.

No GRUPO II, após as primeiras tentativas, será apresentada a ferramenta

“rastro” , ferramenta esta que ajudará na validação do resultado final. Pelas

atividades anteriores, pode-se imaginar que o grupo marque pontos em torno de P´

para visualizarem de forma mais ampla o lugar geométrico pedido obtendo dessa

forma um resultado bastante significativo.



151



Ação O grupo lê o enunciado. Procuram, usando os

instrumentos obter o primeiro ponto simétrico de P.

Formulação Marcam mais alguns pontos sobre a circunferência

dada. Discutem entre si dizendo que o lugar geométrico

será um semi círculo

Validação Após uma intervenção do professor, os alunos

procuram obter o simétrico do centro da circunferência

dada e com um compasso validam o resultado

descrevendo uma circunferência

Institucionalização O professor explica o conceito de simétrico de um ponto

com relação a uma reta e diz que, neste caso, pela

configuração da atividade apresentada, o resultado será

a reflexão da circunferência.


O professor explica o enunciado para os alunos e estes, dizendo terem

entendido, arrastam o ponto P sobre a circunferência e, com isso começam a

discutir qual será o conjunto de pontos que dará origem ao Lugar geométrico. O

grupo observa o ponto Q pertencente à reta r bem como o segmento PQ’ e, no

primeiro momento, dizem que o Lugar geométrico será um retângulo. Analisando

essa primeira idéia do grupo, percebe-se que o deslocamento deste segmento

causou um problema na visualização do Lugar Geométrico no início da atividade.

Tendo isso em mente, o pesquisador explica novamente o enunciado e pede

que eles não se detenham ao movimento deste segmento. Dessa forma, o grupo

abre uma nova abordagem e começa e fixar a visão em P’ e, desse modo, dizem

que o resultado será uma circunferência. Um elemento do grupo questiona se

existiria algum modo de obter pontos para ter uma visualização mais concreta da

figura pedida, e um colega sugere arrastar o ponto P sobre a circunferência e, a

152

cada movimento correspondente de P’, pegar um ponto e demarcar este bem

próximo de P’. Com isso, o grupo forma a circunferência mostrada na figura a) e

dizem que o resultado será uma circunferência.

Após esses fatos, o professor apresenta a ferramenta “rastro”, procurando

responder ao questionamento do grupo com relação a uma melhor visualização da

figura formada. Dessa forma, escrevem as conclusões que podem ser lidas na figura

b). Observa-se, então, pelo desenrolar da atividade, uma dificuldade inicial de

entendimento, mas depois de uma breve intervenção, conseguiram visualizar de

forma clara o Lugar geométrico pedido, não apresentando maiores dúvidas no

momento de validar o resultado.


153



Ação O grupo lê o enunciado e manipulam o ponto P sobre a

circunferência, procurando observar uma primeira

configuração dada pelo movimento do ponto P’.

Formulação Dizem que o Lugar geométrico será um retângulo.

Acredita-se que essa primeira impressão se deu pelo

fato de os alunos deterem a visão no movimento do

segmento P’Q. Após isso, uma intervenção é feita e o

grupo começa a realizar uma nova discussão.

Validação O grupo movimenta o ponto P sobre a circunferência

dada e observam que o Lugar Geométrico será uma

circunferência. Procuram validar o resultado, marcando

pontos sobre P’ conforme este se movimenta sobre a

circunferência. Usando a ferramenta “rastro”, confirmam

o resultado, dizendo que será uma circunferência .

Institucionalização O professor explica o conceito de simétrico de um ponto

com relação a uma reta e diz que, neste caso, pela

configuração da atividade apresentada, o resultado será

a reflexão da circunferência.


Antes de se propor a atividade 8 uma explicação será dada a respeito da

figura abaixo :

Dadas duas retas concorrentes r e s no plano e um ponto P fora delas,

traçamos por P uma reta paralela a s. Essa reta intercepta a reta r no ponto O.

Sobre essa reta construímos um ponto P´ tal que a distância de P´ a O é igual a

distância de P a O. O ponto P´ é chamado o simétrico de P em relação a r tomando

como direção a reta s. Levando em conta essa explicação temos a atividade 8

descrita abaixo :

154

Atividade 8

Se o ponto P percorre uma circunferência situada num quadrante

determinado por r e s, qual é o conjunto dos pontos P´ construídos conforme a

descrição acima?


Análise a priori

Nesta atividade estaremos lidando com o conceito de simetria axial para

obtermos o lugar geométrico pedido, que será uma elipse. Acreditamos que os

grupos de alunos que farão a atividade no ambiente papel e lápis terão dificuldades

em obter o referido lugar geométrico, pois a simetria aqui é mais elaborada e difícil

de ser visualizada neste ambiente.

No ambiente de geometria dinâmica a solução poderá ser vista e elaborada

de forma mais simples, pois o ponto P poderá ser deslocado ao redor da

circunferência e com isso os alunos terão uma imagem mental do referido lugar

geométrico, usando também a ferramenta rastro a visualização ficará muito nítida

nos mostrando desta forma a solução da atividade proposta.

155


Uma explicação do enunciado é feita pelo pesquisador. O pesquisador explica

novamente ao grupo a noção de simetria. O grupo começa a atividade marcando

alguns pontos. Percebe-se a incoerência da obtenção dos pontos simétricos

conforme fica explicitado na figura a).

Desta forma, uma nova explicação é dada. O professor tenta, sem intervir de

forma a passar alguma informação que invalide a atividade, a diferença entre esta

atividade e a anterior. Com isso, uma nova figura é obtida pelo grupo.

Eles ficam em dúvida se seria mais fácil obter os simétricos usando uma

régua ou um compasso e uma discussão é aberta. Os alunos optam por obter os

simétricos, fazendo uso do segundo instrumento, mas declinam dessa atitude

conforme pode ser visto na figura b).

Outro ponto a se considerar é o pensamento do grupo de não considerar

pontos na parte de baixo da circunferência. Eles concentram os pontos somente na

parte de cima e isso acaba prejudicando o raciocínio e a visão no momento de obter

o lugar geométrico.

Não querendo fazer um número muito grande de intervenções, para não

atrapalhar no resultado da atividade, é deixado que os alunos terminem a atividade e

coloquem os resultados. Não conseguiram obter nenhum resultado satisfatório. Uma

demora muito grande foi obtida para obter um número mínimo de pontos.

Todo momento que se cometia algum erro a figura era apagada. A indecisão

de se usar o compasso ou a régua para obter o simétrico gerou muita confusão e

perda de tempo. O ambiente estático formado por estes materiais não contribui de

forma satisfatória para o sucesso dos alunos nessa atividade.

156




Ação O grupo lê o enunciado. Marcam os primeiros pontos

procurando obter alguma configuração plausível

Formulação Com um conjunto de pontos estabelecido dizem que o

resultado será uma linha torta. Após algumas

discussões, aumentam os números de pontos, mas não

chegam a um acordo com relação a uma resposta

aceitável por todos.

Validação O grupo não consegue validar o resultado. Obtém

somente, resultados inconclusivos, não podendo assim,

chegar a uma conclusão que mostre algum resultado

coerente.

Institucionalização O professor explica para o grupo o conceito de simetria

axial e a diferença existente entre esta atividade e a

anterior. Desta forma é colocado o conceito de elipse


157

GRUPO II


O professor explica o enunciado para o grupo. Fazendo uma associação com

a atividade anterior o grupo arrasta o ponto P sobre a circunferência e analisa o

movimento de P´.

Dizem que o resultado será uma “boca de um buraco”, mas para terem

certeza, utilizam a estratégia de demarcar pontos conforme P´ vai se movimentando,

obtendo desta forma a figura a). Logo após, usam a ferramenta rastro e validam o

resultado figura b).

A execução da atividade foi bem rápida. Levando em conta a experiência

anterior, o grupo conseguiu fazer um elo bem forte descobrindo na sua maneira de

colocar os fatos que o lugar geométrico seria uma elipse.

Neste ambiente, a validação foi bem rápida e precisa. Não existiu empecilhos

que invalidassem as conclusões. O grupo conseguiu trabalhar de maneira bem

coerente com os objetos. O software ajudou de forma bem nítida, fazendo com que

o grupo encontrasse o resultado sugerido pelo professor.

O poder de visualização dos conjuntos de pontos dados pelo Cabri_Géomètre

quando P percorria a circunferência foi um fator preponderante, mostrando a

eficiência deste meio, ao lidarmos com lugares geométricos que exigem uma

acuidade visual maior por parte dos alunos.

158




Ação O grupo lê o enunciado e manipulam o ponto P sobre a

circunferência, procurando observar uma primeira

configuração dada pelo movimento do ponto P’.

Formulação Marcam pontos na tela do computador conforme P´ vai

se deslocando. dizem que o resultado será uma “boca

de buraco”.

Validação Validam o resultado usando a ferramenta rastro, onde

conseguem obter de forma nítida o formato da figura,

uma elipse

Institucionalização O professor explica para o grupo o conceito de simetria

axial e a diferença existente entre esta atividade e a

anterior. Desta forma é colocado o conceito de elipse


159

5.5 Considerações sobre as atividades

As atividades propostas buscaram evidenciar o papel da Geometria Dinâmica

como ferramenta facilitadora na aprendizagem de conceitos relativos ao tema lugar

geométrico. O trabalho foi realizado levando em conta construções moles. Não se

teve o intuito de fazer com que os alunos fizessem construções robustas usando o

método dos lugares geométricos.

Fazendo as devidas comparações entre as análises a priori e a posteriori das

atividades propostas conseguiu-se notar de forma bem coerente um entendimento

bem maior do aspecto de lugar geométrico no ambiente de Geometria Dinâmica.

No início das atividades, notaram-se as mesmas dúvidas oriundas dos dois

grupos e as mesmas dificuldades no entendimento dos enunciados, mas com o

passar do tempo o grupo que realizou as atividades no ambiente dinâmico

conseguiu retornar devolutivas bem mais rápidas e mais precisas para o

pesquisador.

O grupo do ambiente papel & lápis demorou um tempo considerável, se

comparado ao outro, para obter um conjunto mínimo de pontos e dessa forma,

conseguir algum resultado satisfatório. Notou-se um empecilho ao colocar os pontos

nesse ambiente. A precisão no momento de realizar as atividades ficou

comprometida. O fato de ter de apagar a todo o momento algum ponto que por

ventura não tivesse satisfeito a referida propriedade dificultou o aprendizado das

atividades.

Outro ponto a ser considerado foi o manuseio dos instrumentos euclidianos.

Em algumas atividades o uso da régua no momento de marcar distâncias acabou

causando dificuldades. O uso do transferidor, mesmo depois de diversas

intervenções do pesquisador, acabou sendo comprometido, pois mesmo sabendo

fazer uso coerente desse instrumento, o método da tentativa e erro foi usado e

dessa forma não foi possível existir uma validação por parte dos alunos.

O ambiente dinâmico mostrou-se eficiente, pois no avançar das atividades o

grupo conseguiu gastar um tempo bem menor e deu ao pesquisador devolutivas

bem concretas na maior parte das tarefas propostas. O software Cabri-Géomètre II,

bem como as ferramentas fornecidas por ele, desempenhou um papel primoroso na

obtenção de diversos tipos de lugares geométricos.

160

A importância de se poder esconder objetos, apagar de forma simples pontos

que poderiam ser desconsiderados na construção, a facilidade de movimentação de

entes geométricos somados a ferramentas do tipo “simetria central”, “rastro”,

“distância ou comprimento”, “medida de angulo”, “Esconder/Mostrar” e tantas outras,

ajudaram a evidenciar a potencialidade deste meio em comparação ao ambiente

estático.

Logo, na obtenção de resultados relativos ao conceito de lugar geométrico

fazendo-se uso de construções moles o ambiente dinâmico teve um desempenho

bem melhor se comparado ao primeiro. Pelas análises a priori e a posteriori de todas

as atividades, pouquíssimas contradições foram obtidas. Os resultados previstos

pelo pesquisador foram satisfatórios, descrevendo, assim, as evidências favoráveis

ao uso deste meio na sala de aula no estudo de lugares geométricos.

161

Conclusões e Considerações Finais

Este trabalho se originou da tentativa de responder a duas questões ligadas a

lugares geométricos e que surgiram durante a vida de estudante e de professor do

autor.

Primeira questão: Como o conceito de lugar geométrico tem sido tratado nos livros didáticos ao longo das últimas décadas?

Segunda questão: O uso de um software de Geometria Dinâmica amplia as possibilidades de ação, formulação e validação em uma situação a-didática do estudo de lugares geométricos planos?

Para tentar obter respostas para essas duas questões, o autor procurou um

embasamento teórico e metodológico na Teoria da Engenharia Didática, na Teoria

das Situações Didáticas e na Teoria do Contrato Didático. Para entender a formação

do conceito de lugar geométrico, o autor procurou as origens históricas dos temas

ligados ao lugar geométrico e levantou as construções das curvas clássicas da

Geometria.

Para a primeira questão, além de procurar apoio na História da Matemática

para entender o conceito, foram analisados cinco livros didáticos que procuraram

contemplar cinco períodos diferentes no século XX. A conclusão a que se chegou é

que o conceito de lugar geométrico só foi formalizado pelos matemáticos no último

século, embora desde a Antiguidade o assunto já fosse abordado, e isso se refletiu

também nos livros didáticos do século XX. Os livros do início daquele século

tratavam os problemas de lugares geométricos como problemas de geometria em

geral. Da metade do século XX para frente é que o assunto passou a ter um

destaque sendo abordado como um assunto quase que autônomo dentro da

geometria. Os livros mais recentes já formalizam esse conceito, inclusive adotando

métodos geométricos baseados em lugares geométricos.

Para a segunda questão, além de desenvolver um capítulo referente ao

software Cabri-Géomètre e sua relação com o conceito de lugar geométrico, foram

elaboradas e aplicadas oito atividades exploratórias depois de uma análise a priori,

como preconiza a Teoria da Engenharia Didática. As atividades foram aplicadas a

162

dois grupos distintos de estudantes. Um dos grupos trabalhou num ambiente

estático de papel & e lápis e o outro grupo trabalhou num ambiente dinâmico

apoiado pelo software Cabri-Géomètre.

Foi de grande importância o papel do trabalho colaborativo vivenciado pelos

dois grupos, caracterizado pelas situações a-didáticas. As situações de ação, onde o

pesquisador colocava o problema e o grupo discutia as primeiras idéias, seguida

pela etapa de validação onde cada elemento colocava a sua opinião, muitas das

vezes em dissonância com o restante do grupo acabou se tornando algo muito

benéfico. Diversos questionamentos foram levantados e a partir disso foi possível se

caracterizar de forma plena a etapa da validação, onde o grupo consegue discutir de

forma mais fluente a caracterização dos aspectos matemáticos envolvidos na

atividade, procurando dessa forma, dar uma resposta coerente ao problema

proposto. Com isso, foi possível ao pesquisador, colocar a etapa da

institucionalização, desmitificando qualquer dúvida oriunda dos componentes de

cada grupo.

Dificuldades surgiram no decorrer do experimento. O pesquisador teve de

fazer algumas interferências no decorrer das diversas atividades, visando auxiliar,

sem dar qualquer tipo de “dica” ou resposta a cada um dos alunos, evitando dessa

forma um efeito Topaze. Deve-se levar em consideração também, a falta de costume

dos alunos na realização desse tipo de atividade, pois esta metodologia é pouco

utilizada nas escolas brasileiras.

Em todas as oito atividades ficaram evidenciadas as vantagens do ambiente

dinâmico em relação ao ambiente estático, destacando três delas:

1) A quantidade de informação obtida no ambiente dinâmico é muito maior do

que a obtida no ambiente estático.

2) A qualidade da informação obtida no ambiente dinâmico é muito melhor do

que a obtida no ambiente estático.

3) O tempo de compreensão do problema e de institucionalização da

resolução atividade é muito menor no ambiente dinâmico do que no

ambiente estático.

e isso responde à segunda questão.

163

Obviamente, as conclusões obtidas neste trabalho são parciais e incompletas,

apenas apontando para conclusões já obtidas em outros trabalhos. Portanto não

esgotam o assunto. Outros experimentos com outras atividades com outros sujeitos

em situações distintas da situação descrita aqui deverão ser feitos para consolidar a

impressão apontada neste experimento.

Mais que a obtenção de respostas às duas questões, os resultados mais

importantes para o autor foram o amadurecimento das ideias relativas ao conceito

de lugar geométrico, a imersão na História da Matemática e no conhecimento de

livros didáticos, às vezes, quase centenários, o desenvolvimento de um modo

disciplinado de trabalho para atingir um objetivo e a alegria do trabalho em ambiente

de Geometria Dinâmica com adolescentes interessados em aprender e progredir.

164

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170

ANEXOS

Ficha de atividades Atividade 1

Dado um ponto A num plano e uma distância fixa d, obter o conjunto de

pontos do plano que estejam a uma distância d deste ponto dado.

A Atividade 2

Dado o segmento de reta AB abaixo, contido num plano , obter o conjunto de

pontos do plano, pertencentes ou não a esse segmento de reta que estejam a

mesma distância dos pontos A e B

A

B

171

Atividade 3

Dados dois pontos A e B, obter o conjunto de pontos formado pelos centros

das circunferências que passam por A e B

A

B

Atividade 4

Dado o ângulo ABC abaixo, obter o conjunto de pontos que estejam à mesma

distância das semi retas BA e BC

B

A

C

172

Atividade 5

Dado segmento de reta AB, obter o conjunto de pontos que vêem esse

segmento sob um ângulo de 900

A

B

Atividade 6

Dado um ponto A pertencente à circunferência, obter o conjunto de pontos de

todas as secantes traçadas por A de tal modo que a parte interna de cada secante

tenha o mesmo comprimento da parte externa.

A

173

Atividade 7

Sejam as retas r e s formando um ângulo de 90o entre si. Dado o ponto P

pertencente a circunferência, seja P´ o simétrico de P em relação a reta r. Qual o

conjunto de pontos que P´ irá formar enquanto P percorre a circunferência ?

Atividade 8

Se o ponto P pertencente uma circunferência, qual é o conjunto dos pontos P´

construídos conforme a descrição acima ?

174

Ficha de respostas dos alunos Atividade 1 GRUPO I

Atividade 1 GRUPO II

175

Figura a)

Figura b)

Figura c)

Atividade 2 GRUPO I


176

Figura a)

Figura b)

Figura c)

Atividade 3 GRUPO I

177


178

Atividade 4 GRUPO I

Figura a)

Figura b)


179

Atividade 5 GRUPO I


180

181

Atividade 6 GRUPO I

Figura a)

Figura b)


182

Atividade 7 GRUPO I


183

Atividade 8 GRUPO I


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