Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ELISABETE TERESINHA GUERATO
TRATAMENTO VETORIAL DA GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
SÃO PAULO 2012
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
ELISABETE TERESINHA GUERATO
TRATAMENTO VETORIAL DA GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros
SÃO PAULO 2012
ii
ELISABETE TERESINHA GUERATO
TRATAMENTO VETORIAL DA GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante de São Paulo –
UNIBAN, à seguinte banca examinadora:
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros – (Presidente – Orientador)
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Armando Traldi Júnior – (1º Titular Externo – IFSP)
_____________________________________________________________
Profa. Dra. Monica Karrer – (2º Titular Interno – UNIBAN)
SÃO PAULO
2012
iii
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _____________________________________
Local e Data: ____________________________________
iv
DEDICATÓRIA
Dedico esse trabalho a todos que acreditaram em
mim. Em especial aos meus pais e aos meus filhos
que são a razão da minha vida.
v
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a todos que de alguma forma contribuíram para a
realização desse trabalho, em especial ao professor doutor Luiz Gonzaga
Xavier de Barros que acreditou em mim desde as primeiras aulas do curso e
que muito colaborou com o meu trabalho nas pesquisas, no estudo da teoria e
até diminuindo minha insegurança.
Agradeço também ao professor doutor Armando Traldi Júnior e à
professora doutora Mônica Karrer que contribuíram muito com as sugestões
dadas na ocasião da qualificação enriquecendo meu trabalho e ajudando para
que este chegasse ao seu término.
Agradeço aos professores do programa de pós graduação da
Universidade que, com suas aulas, me introduziram no mundo da Educação
Matemática e me deram força para continuar estudando o tema.
À amiga, professora doutora Fátima Beatriz Delphino que tanto
contribuiu ajudando na correção gramatical da dissertação.
Aos colegas de curso que muito contribuíram com sugestões e
pesquisas bem feitas para a apresentação dos seminários que ocorreram
durante o curso e que acabaram ajudando na minha pesquisa também.
Aos meus pais que sempre me incentivaram a estudar e aos meus filhos
que tiveram paciência suficiente para aguentar a mãe estudando após muitos
anos de formada.
vi
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo sobre o uso dos vetores no estudo
da Geometria Analítica Plana e faz uma comparação com a abordagem
clássica cartesiana. O referencial teórico adotado foi a Teoria dos Registros
das Representações Semióticas (DUVAL (1993), (1995)) e a metodologia
utilizada foram algumas etapas da Teoria da Engenharia Didática de Michèle
Artigue (ARTIGUE (1988)). Um texto sobre abordagem vetorial da Geometria
Analítica Plana foi escrito e depois foi desenvolvido com uma turma de alunos
do curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade pública. Foram
analisados e avaliados alguns livros didáticos, incluindo obras brasileiras e uma
obra francesa, que abordam o assunto Geometria Analítica Plana. Também
foram estudadas algumas dissertações que trataram do tema. Algumas
atividades foram aplicadas aos estudantes e também realizadas análises
comparativas entre a abordagem vetorial e a abordagem cartesiana.
Consideramos que essas duas abordagens são complementares, e que
nenhuma deve prevalecer sobre a outra.
Palavras-chave: Geometria Analítica Plana. Vetores. Representações
semióticas. Engenharia Didática. Livros didáticos.
vii
ABSTRACT
This work presents a study of a vector approach to the Plane Analytic
Geometry and makes a comparison with the Cartesian classic approach. The
theoretical reference adopted was the Theory of the Registers of Semiotic
Representations developed by Raymond Duval (DUVAL (1993), (1995)) and the
methodology used was the Theory of the Didactic Engineering created by
Michèle Artigue (ARTIGUE (1988)). A text about the vector approach of the
Plane Analytic Geometry was written and, after, developed with a group of
Mathematics students in a public university. With the goal of having a
comparative term, some didactic books, including Brazilian books and one
French book, which treat the Plane Analytical Geometry theme were analyzed.
Also some dissertations which worked the matter were studied. Some activities
were applied to the students and comparative analysis between the vector
approach and the cartesian approach were made. The conclusion is that these
two approaches are complementary, and that any must predominate over the
other.
Keywords: Plane Analytic Geometry. Vectors. Semiotic representations.
Didactic books.
viii
SUMÁRIO
Introdução 1 Capítulo 1 – Geometria Analítica Plana com Tratamento Vetorial 5 1.1 Vetores 5 1.2 Aplicação dos Vetores à Geometria Plana 15 1.3 Exemplos 19 1.4 Aspectos Históricos da Geometria Plana 24 1.4.1 As origens da Geometria Analítica 24 1.4.2 A origem dos vetores 28 Capítulo 2 – Referenciais Teóricos 34 2.1 Registro das Representações Semióticas 34 2.2 Engenharia Didática 40 2.3 Revisão de Literatura 43 2.4 Procedimentos Metodológicos 53 Capítulo 3 – Análise Preliminar 55 3.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais 55 3.2 Análise de Livros Didáticos 60 3.2.1 Livro 1 60 3.2.2 Livro 2 63 3.2.3 Livro 3 67 3.2.4 Livro 4 72 3.2.5 Livro 5 77 3.2.6 Livro 6 83 3.3 Comparação entre os Livros 87 Capítulo 4 – O Experimento 88 4.1 Elaboração das Atividades 88 4.2 Análise das Atividades 95 4.3 Observações sobre as Atividades 111 Capítulo 5 – Considerações Finais 115 Bibliografia 119
ix
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: René Descartes (1596-1650) 25 Figura 2: Pierre de Fermat (1601-1665) 26 Figura 3: Joseph Louis Lagrange (1736-1813) 27 Figura 4: Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 28 Figura 5: Leonhard Euler (1707 – 1783) 29 Figura 6: Gabriel Cramer (1704–1752) 29 Figura 7: Georg Ferdinand Frobenius (1849 – 1917) 30 Figura 8: Willian Rowan Hamilton (1805-1865) 31 Figura 9: Hermann Grassmann (1809–1877) 32 Figura 10: Josiah Willard Gibbs (1839-1903) 32 Figura 11: Tipos de registros 37 Figura 12: Representações do objeto matemático reta em diferentes
registros
40 Figura 13: Mapa da Engenharia Didática 43 Figura 14: Kátia e Roku (1998), pág. 37 60 Figura 15: Kátia e Roku (1998), pág. 43 61 Figura 16: Kátia e Roku (1998), pág. 60 62 Figura 17: Kátia e Roku (1998), pág. 82 62 Figura 18: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 13 64 Figura 19: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 15 e 16 65 Figura 20: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 19 65 Figura 21: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 29 67 Figura 22: Reis e Silva (1996), pág. 16 68 Figura 23: Reis e Silva (1996), pág. 24 e 25 70 Figura 24: Reis e Silva (1996), pág. 32 71 Figura 25: Reis e Silva (1996), pág. 53 e 54 72 Figura 26: Lima (2006), pág. 32 e 33 75 Figura 27: Lima (2006), pág. 39 e 40 76 Figura 28: Lima (2006), pág. 67 e 69 77 Figura 29: Winterle (2000), pág. 5 78 Figura 30: Winterle (2000), pág. 6 79 Figura 31: Winterle (2000), pág. 17 79 Figura 32: Winterle (2000), pág. 18 80 Figura 33: Winterle (2000), pág. 41 81 Figura 34: Winterle (2000), pág. 55 83 Figura 35: Lee (2011), pág. 230 85 Figura 36: Lee (2011), pág. 232 86 Figura 37: Lee (2011), pág. 237 86
1
INTRODUÇÃO
O tema desse trabalho surgiu da experiência da pesquisadora
primeiramente no ensino em turmas de Ensino Médio e em seguida na
experiência em turmas de Ensino Superior. Ainda cursando a graduação houve
um interesse especial na disciplina Geometria Analítica e Vetores que a levou a
trabalhar como monitora acadêmica dessa disciplina durante dois anos do
curso e a se aprofundar mais em seus conteúdos.
Ao final da graduação, várias vezes surgiram oportunidades para
ministrar aulas de Geometria Analítica Plana, com tratamento clássico para
alunos do Ensino Médio. Com o tempo, foi trabalhar numa instituição de ensino
pública destinada a alunos de Ensino Médio onde teve muitas oportunidades
de aplicar a Geometria Analítica plana com o tratamento clássico1.
Quando, em 2001, essa escola passou a oferecer também a modalidade
de Ensino Superior, a pesquisadora pôde ministrar aulas de Geometria
Analítica e Vetores, para os cursos de tecnologia e, também, para os cursos de
Engenharia e Licenciatura, sem deixar as turmas de Ensino Médio.
O ensino da Geometria Analítica Plana acontece normalmente no Ensino
Médio e por meio de uma abordagem clássica, privilegiando-se, para o estudo
da reta no plano, a noção de coeficiente angular e a equação geral da reta.
No Ensino Superior, em muitos cursos de Ciências Exatas, estuda-se a
Geometria Analítica Espacial, e nesse momento se utiliza uma abordagem
vetorial para simplificação de notações e análises.
Para os estudantes parece que há uma ruptura de conceitos e que se
está lidando com outro tipo de Geometria Analítica, totalmente desvinculada da
Geometria Analítica Plana estudada no Ensino Médio.
Nesse contexto é que surgiu um tipo de inquietação da pesquisadora:
por que não tratar a Geometria Analítica Plana no Ensino Médio na forma
vetorial também, e se tirar a abordagem clássica como uma consequência
natural?
1 Nessa pesquisa é usado o termo “Tratamento Clássico” para a forma tradicional de se ensinar
a Geometria Analítica Plana utilizando-se das representações no Plano Cartesiano auxiliadas pelo conceito de coeficiente angular.
2
As pesquisas iniciais mostraram que essa experiência já existe na
França (BITTAR, 2003) e que no Rio de Janeiro alguns livros didáticos vêm
propondo a Geometria Analítica Plana dessa maneira.
Dessa forma surgiram então duas questões de pesquisa:
I) O tratamento vetorial torna mais efetivo o processo de ensino e
aprendizagem da Geometria Analítica Plana no Ensino Médio?
II) Estudantes que estudaram Geometria Analítica Plana com abordagem
vetorial tiveram uma aprendizagem mais efetiva da Geometria Analítica
Espacial?
Para estudar essas questões foi escolhido como referencial teórico a
Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (DUVAL,
1993, 1995, 2000, 2003, 2006, 2011), (DAMM, 2008). Essa teoria foi escolhida
por permitir estudar a Geometria Analítica Plana levando em conta os diversos
tipos de registros (língua natural, algébrico, gráfico, figural) para representar os
objetos matemáticos relacionados e as possíveis articulações entre eles.
Para a parte experimental da pesquisa, a metodologia escolhida foi a da
Teoria da Engenharia Didática de Michéle Artigue (ARTIGUE, 1988).
Utilizando-se essa metodologia utilizou-se de algumas etapas de uma
engenharia didática que permitiu elaborar e aplicar algumas atividades e
analisar as produções discentes para, no final, se chegar às conclusões e
respostas para as questões de pesquisa.
Para se criar um cenário da pesquisa, primeiro se tratou dos aspectos
históricos e epistemológicos da Geometria Analítica, se fez análise de alguns
livros didáticos e documentos oficiais que tratam da Geometria Analítica Plana,
e se elaborou um texto didático introduzindo a disciplina por meio de vetores.
A pesquisa iniciou-se com a análise de alguns trabalhos realizados
anteriormente e que tratavam de assuntos semelhantes acompanhado de
leitura e análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
para se verificar o que a legislação espera que se ensine na disciplina de
Matemática nessa modalidade de ensino.
3
Analisou-se também seis livros didáticos que tratam da Geometria
Analítica Plana, sendo que dois desses livros foram escritos especificamente
para serem usados nas aulas do Ensino Médio, dois foram escritos voltados à
formação do professor do Ensino Médio e um deles é um livro escrito para o
Ensino da Geometria Analítica Vetorial nos cursos superiores, mas que
introduz o conteúdo a partir dos vetores no plano, para depois transpor os
conteúdos para o espaço.
Pela leitura dos estudos realizados por outros pesquisadores percebeu-
se que a Geometria Analítica é ensinada pelas escolas da França, no
equivalente à Educação Básica brasileira, com o tratamento vetorial e, dessa
forma, um livro editado nesse país foi usado como apoio para essa pesquisa.
No primeiro capítulo desse trabalho há um texto escrito especialmente
para esta pesquisa, onde a Geometria Analítica Plana é apresentada com um
tratamento vetorial para ser usado nas aulas que serviram de base para a
pesquisa. Este texto foi escrito no formato idealizado pela pesquisadora para
se apresentar o conteúdo com o tratamento proposto, pois nenhum dos livros
analisados foi escrito com o formato escolhido para essa pesquisa. Nesse
capítulo encontra-se também uma análise histórica da formação da Geometria
Analítica e do estudo dos Vetores mostrando os matemáticos que se
interessaram pelo assunto no decorrer da história da humanidade e também
quais as necessidades práticas que os levaram a propor o estudo desses
assuntos.
No capítulo 2 encontra-se o referencial teórico usado para a pesquisa.
Primeiramente, é exposta a teoria dos Registros de Representação Semiótica
de Raymond Duval e, em seguida, a teoria da Engenharia Didática de Michèle
Artigue que nos forneceu os subsídios metodológicos para o trabalho. Ainda
nesse capítulo encontra-se a análise de alguns trabalhos que foram feitos
anteriormente sobre a Geometria Analítica usando a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica. Esses estudos são de Marilena Bittar e Samira
Choukri de Castro. Foi considerada, também, a pesquisa de Luiz Jean Lauand
que mostrou que a preocupação com a Geometria Analítica Plana com
tratamento vetorial não é recente. Essas pesquisas serviram para analisar seus
resultados e usá-los para nortear a pesquisa atual.
4
No capítulo 3 encontra-se a Análise preliminar onde foram consideradas
as orientações dadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino
da Matemática no Ensino Médio e foram analisados seis livros didáticos que
tratam da Geometria Analítica Plana. Cinco desses livros foram editados no
Brasil e um deles foi feito para ser utilizado nas escolas francesas. Essas
análises serviram para que se elaborasse o texto do capítulo 1 e as atividades
que estão no capítulo 4.
O capítulo 4 trata do experimento. Nele encontram-se as atividades que
foram desenvolvidas, o que se esperava obter de resultado a partir das
mesmas e os resultados efetivamente obtidos. Nesse capítulo a metodologia foi
descrita em todas as suas etapas e é nele também que aparecem as análises
das atividades desenvolvidas.
O quinto e último capítulo traz as considerações finais em que a teoria
proposta pôde ser considerada e analisar em que situações ela levou a
soluções satisfatórias para o processo de ensino e aprendizagem do conteúdo
proposto e em quais situações ela não se mostrou adequada. Nesse capítulo
encontram-se também algumas sugestões para pesquisas futuras.
5
CAPÍTULO 1
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA COM TRATAMENTO VETORIAL
Este capítulo apresenta os vetores e suas aplicações, restritos a uma
situação bidimensional. As definições e proposições da seção 1.1, na verdade,
não dependem dessa restrição e, geralmente, são feitas nos cursos de
Geometria Analítica de cursos superiores em situações tridimensionais.
1.1 Vetores
Quando fazemos alguma mensuração podemos nos defrontar com dois
tipos diferentes de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares
dependem apenas da sua intensidade, como por exemplo: tempo, massa,
comprimento, área, volume, temperatura e outras mais. Já as vetoriais
dependem, além da intensidade, também de uma direção e um sentido, como
por exemplo: velocidade, força, deslocamento, torque e outras mais.
Para representar uma grandeza escalar basta usar um número real e
sua respectiva unidade de medida, porém, para representar uma grandeza
vetorial é usado o objeto matemático chamado vetor.
Vamos fazer uma introdução geométrica desse objeto. Para isso
consideramos o conjunto E2 dos pontos de um plano e assumimos como já
conhecidos os conceitos de reta, semirreta e segmento de reta.
Definição: Chama-se segmento orientado determinado por um par
ordenado de pontos distintos A e B de E2, o segmento de reta AB percorrido no
sentido de A para B. Denotamos esse segmento orientado por (A,B), e
chamamos A de origem do segmento orientado (A,B) e B a extremidade do
segmento orientado (A,B).
Se o ponto A coincide com o ponto B, entendemos por (A,A) o conjunto
formado apenas pelo ponto A. Neste caso, o segmento orientado (A,A) é
chamado de segmento orientado nulo, e a origem e a extremidade desse
segmento orientado coincidem com A.
Observemos que se A B então (A,B) (B,A), isto é, o segmento
orientado (A,B) é distinto do segmento orientado (B,A).
6
(segmento orientado (A, B))
(segmento orientado (B, A))
Um segmento orientado tem três características: o módulo, a direção e o
sentido. O módulo do segmento orientado (A,B) coincide com o comprimento
do segmento AB. A direção de um segmento orientado (A,B) é a direção da
reta AB determinada por A e B. O sentido de um segmento orientado (A,B) é o
sentido que vai da origem A para a extremidade B.
Definição: Diz-se que o segmento orientado (A,B) é equipolente ao
segmento orientado (C,D), e escrevemos (A,B) (C,D), se ambos forem nulos
ou se valerem as três condições a seguir:
i) o módulo de (A,B) é igual ao módulo de (C,D);
ii) a direção de (A,B) é a mesma que a direção de (C,D), isto é, se a reta AB é
paralela à reta CD;
iii) o sentido de (A,B) é o mesmo que o sentido de (C,D).
Proposição: A relação de equipolência entre segmentos orientados é
uma relação de equivalência no conjunto de todos os segmentos orientados
definidos em E2, isto é, para todos os segmentos orientados (A,B), (C,D) e
(E,F) valem as seguintes propriedades:
Propriedade reflexiva: (A,B) (A,B);
Propriedade simétrica: Se (A,B) (C,D) então (C,D) (A,B);
Propriedade transitiva: Se (A,B) (C,D) e (C,D) (E,F) então (A,B) (E,F).
Definição: Sejam A e B pontos de E2. Chama-se vetor AB a classe de
equivalência determinada pelo segmento orientado (A,B), isto é,
AB = { (C,D) | (C,D) (A,B) } .
Definição: O segmento orientado (A,B) é chamado um representante do
vetor AB.
7
Definição: Denotamos por V2 o conjunto de todos os vetores AB para
todos os pontos A e B de E2.
Definição: Seja A um ponto de E2. O vetor determinado pelo par
ordenado (A,A) se chama o vetor nulo, e é denotado por 0 .
Um vetor de V2 é determinado por três características: o módulo, a
direção e o sentido. O módulo de um vetor AB é o módulo do segmento
orientado (A,B) A direção de um vetor AB é a direção do segmento orientado
(A,B). O sentido de um vetor AB é o sentido do segmento orientado (A,B).
Proposição: Dois vetores de V2 são iguais quando têm o mesmo
módulo, a mesma direção e o mesmo sentido.
Proposição: Sejam v um vetor de V2 e A um ponto de E2. Então existe
um único ponto B de E2 tal que AB = v .
Representante do vetor v
Representante do vetor AB
Definição: Sejam A e B pontos de E2 e v o vetor determinado pelo
segmento orientado (A,B). O vetor determinado pelo segmento orientado (B,A)
se chama o vetor oposto de v , e é denotado por - v . Dessa forma BA = - AB .
Representante do vetor v
Representante do vetor - v
Definição: Seja v um vetor de V2. Chama-se módulo de v , denotado por
v , o comprimento de qualquer segmento orientado que o represente.
Definição: Um vetor de módulo igual a 1 se chama um vetor unitário.
8
Definição: Sejam u e v vetores não nulos de V2. Diz-se que os vetores
u e v são paralelos, e denotamos por u v , se algum representante do vetor
u é paralelo a algum representante do vetor v . O vetor nulo é, por definição,
paralelo a todos os vetores.
Definição: Sejam u e v vetores não nulos de V2. Define-se o ângulo
entre os vetores u e v como o menor ângulo entre os segmentos orientados
representantes desses dois vetores construídos a partir de uma mesma origem.
Definição: Sejam u e v vetores não nulos de V2. Diz-se que os vetores
u e v são ortogonais, e denotamos por u v , se o ângulo entre u e v vale
90º. O vetor nulo é, por definição, ortogonal a todos os vetores.
Definição: Sejam u e v vetores não nulos de V2 e A um ponto de E2.
Existe um único ponto B tal que u = AB e um único ponto C tal que v = BC . O
vetor AC chama-se o vetor soma de u com v e é denotado por u v .
9
Proposição: Para todos os vetores u , v e w de V2 valem as seguintes
propriedades:
A1 - Associativa: u v w u v w
A2 – Comutativa: u v v u
A3 - Elemento Neutro: Existe um vetor 0 tal que u 0 0 u u
A4 - Elemento Oposto: Para todo vetor u , existe um vetor u , tal que
u u u u 0
Definição: Sejam u e v vetores não nulos de V2.
O vetor u v u v se chama o vetor diferença entre u e v .
Definição: Sejam um número real e v um vetor de V2.
Define-se o vetor v por
i) Se 0 ou v 0 , então v 0.
ii) Se 0 e v 0 , então v é o vetor caracterizado por:
a) v é paralelo a v .
b) v e v têm o mesmo sentido se 0 e
têm sentido contrário se 0 .
c) v = | | . v .
Costumamos indicar também o produto v na forma v .
10
Proposição: Para todos os vetores u , v e w de V2 e para todos os
números reais e valem as seguintes propriedades:
M1 - u v u v
M2 - .v .v .v
M3 - 1.v v
M4 - . .v . .v . .v
O conjunto V2, com as operações de adição de vetores e de
multiplicação de um vetor por número real junto com as propriedades A1, A2,
A3, A4, M1, M2, M3 e M4, tem uma estrutura algébrica que é chamada espaço
vetorial real.
Proposição: Sejam u e v vetores não nulos de V2.
Então u v se e somente se existe um escalar tal que .u v .
Definição: Dados um vetor u de V2 e um ponto P de E2, define-se a
soma do ponto P com o vetor u como sendo o único ponto Q tal que PQ u , e
escreve-se Q P u .
Proposição: Para todos os vetores u e v de V2 e para todos os pontos
A e B de E2 valem as seguintes propriedades:
P1 - A u v A u v
P2 - Se A u A v então u v
P3 - Se A u B u então A = B .
P4 - A u u A
11
Definição: Um vetor v é uma combinação linear dos vetores 1 2 nv ,v ,...,v
se existirem escalares a1, a2, ... ,an tais 1 2 n1 2 nv a .v a .v ... a .v .
Definição: Um conjunto de vetores { 1 2 nv ,v ,...,v } é linearmente
dependente se um deles puder ser escrito como combinação linear dos outros.
No caso contrário, isto é, quando nenhum deles pode ser escrito como
combinação linear dos outros, dizemos que o conjunto { 1 2 nv ,v ,...,v } é
linearmente independente.
Proposição: Em V²:
i) Um conjunto { v } é linearmente dependente se e somente se v 0.
ii) Um conjunto {u,v } é linearmente dependente se e somente se u v .
iii) Um conjunto { u,v,w } é sempre linearmente dependente.
Definição: Um conjunto de vetores linearmente independentes B =
{ 1 2e ,e } de V2 se chama uma base de V2. Portanto uma base de V2 é sempre
formada por dois vetores não paralelos.
Proposição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2.
Então todo vetor v de V2 pode ser escrito na forma 1 21 2v .e .e com
1 e 2números reais determinados de modo único.
Definição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2 e 1 21 2v .e .e .
Os números reais 1 e 2 se chamam as coordenadas do vetor v em relação
à base B. Nesse caso costuma-se escrever 1 2 Bv , . Quando não há dúvida
sobre a base B, escrevemos simplesmente 1 2v , . Portanto, 1 2 Bv ,
se e somente se 1 21 2v .e .e .
Definição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2 e 1 21 2v .e .e .
12
Os vetores 11.e e 22.e se chamam as componentes do vetor v na direção
dos vetores 1e e 2e , respectivamente.
Proposição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2 e sejam os vetores
1 2u u ,u e 1 2v v ,v dados por suas coordenadas em relação à base B.
Então u v se e somente se u1 = v1 e u2 = v2 .
Definição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2 e seja O um ponto de E2.
Dado um ponto qualquer P de E2, o vetor OP se escreve na forma
1 21 2OP .e .e . Os números reais 1 e 2
se chamam as coordenadas (ou
afixos) do ponto P em relação ao sistema de coordenadas S = (O, 1 2e ,e ).
Costumamos escrever P 1 2 S, ou P = 1 2 S
, .
Quando não houver dúvida sobre o sistema de coordenadas, costuma-se
escrever também P 1 2, ou P = 1 2, .
Portanto, escrever P = 1 2,
é equivalente a escrever
1 21 2OP .e .e .
Fixada uma base de V2 e um sistema de coordenadas em E2, as
operações com vetores e com pontos definidas de forma geométrica podem ser
reescritas na forma algébrica.
Proposição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2, sejam os vetores
1 2u u ,u e 1 2v v ,v dados por suas coordenadas em relação à base B,
sejam os pontos P PP x ,y e A AA x ,y dados por suas coordenadas em
relação ao sistema de coordenadas S = (O, 1 2v ,v ) e seja um número real.
Então:
i) 1 1 2 2u v u v ,u v
ii) 1 2.u .u , .u
iii) Se Q P u então P 1 P 2Q x u ,y u .
13
iv) P A P AAP OP OA (x x ,y y ) .
Costuma-se escrever neste caso AP = P – A.
Proposição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2 e sejam os vetores não-
nulos 1 2u u ,u e 1 2v v ,v . São equivalentes as seguintes afirmações:
i) Os vetores u e v são linearmente dependentes.
ii) Os vetores u e v são paralelos.
iii) Existe um número real tal que u .v .
iv) Existe um número real tal que 1 1u .v e 2 2u .v .
v) 1 2
1 2
u u
v v
(com a convenção de que se v1 = 0 então u1 = 0 e se v2 = 0 então u2 = 0)
Definição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2. Se os vetores 1e e 2e
forem unitários e ortogonais, dizemos que a base B é uma base ortonormal.
Definição: Seja B = { 1 2e ,e } uma base de V2. Diz-se que a base B é
positiva se o ângulo orientado de 1e para 2e tem sentido anti-horário.
Se fixarmos no conjunto de pontos E2 um par de eixos ortogonais que se
cortam no ponto O, podemos construir, a partir do ponto e de uma base
ortonormal positiva { ⃗ , ⃗ }, um sistema de coordenadas S = (O, ⃗ , ⃗ ) de tal
forma que ⃗ tem a direção de um eixo e ⃗ tem a direção do outro eixo.
14
A partir deste ponto, serão fixados a base B = { ⃗ , ⃗ } em V2 e o sistema
de coordenadas S = (O, ⃗ , ⃗ ) em E2 .
Proposição: Seja o vetor 1 2v (v ,v ) de V2, dado por suas coordenadas
em relação à base B i, j . Então o módulo de v vale 2 2
1 2v v v .
Definição: Sejam os vetores u = (u1 , u2) e v = (v1 , v2) dados por suas
coordenadas em relação à base B = { ⃗ , ⃗ }. Chama-se produto escalar do vetor
u pelo vetor v , denotado por u v , o número real u v = u1.v1 + u2.v2 .
Proposição: Sejam u , v e w vetores de V2 e um número real.
Então valem:
i) u v = v u
ii) u ( v + w ) = u v + u w
iii) . (u v ) = ( . u ) v = u ( . v )
iv) u u > 0 se u 0 e u u = 0 se u = 0
v) u u = 2
u
Proposição: Sejam u e v vetores de V2. Então vale a seguinte
igualdade:
2
u v = 2
u - 2 . u v + 2
v
15
Proposição: Sejam u e v vetores de V2 e seja o ângulo entre u e v .
Então vale a seguinte igualdade u v = u . v . cos
Proposição: Sejam u e v vetores de V2.
Então u e v são ortogonais se e somente se u v = 0.
Definição: Sejam os vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) dados por suas
coordenadas em relação à base B = { ⃗ , ⃗ }. Chama-se produto cruzado do
vetor u pelo vetor v , denotado por u v , o número real u v = u1.v2 – u2.v1 .
Proposição: Sejam u , v e w vetores de V2 e β um número real.
Então valem:
i) u v = - v u
ii) u ( v + w ) = u v + u w
iii) β.( u v ) = (β.u ) v = u (β. v )
iv) u u = 0
v) u v = 0 se e somente se u || v .
Proposição: Sejam os vetores u e v de V2 e seja θ o ângulo entre u
e v . Então vale a seguinte igualdade | u v | = u . v . senθ.
1.2 Aplicações dos Vetores à Geometria Plana
Dados um ponto A e um vetor v , fica determinada uma única reta r que
contém o ponto A e tem a direção do vetor v . O vetor v se chama o vetor
diretor da reta r.
16
Um ponto X pertence à reta r se e somente se o vetor (X – A) é paralelo
ao vetor v , isto é, se e somente se existe um número real λ tal que
(X – A) = λ . v , ou, equivalentemente, tal que X = A + λ . v .
Definição: A equação X = A + λ . v , com λR, é chamada a equação
vetorial da reta r.
Fixado um sistema de coordenadas S = (O, ⃗ , ⃗ ), e escrevendo
X = (x , y), A = (xA , yA) e v = (v1 , v2), a equação vetorial X = A + λ . v pode
ser escrita como (x , y) = (xA , yA) + λ . (v1 , v2).
Igualando as coordenadas obtém-se
A 1
A 2
x x . v
y y . v
Definição: As equações
A 1
A 2
x x . v
y y . v com λR são
chamadas as equações paramétricas de r.
Definição: As equações
A A
1 2
x x y y( )
v v, com a convenção de que
se algum denominador for igual a zero então o numerador também é igual a
zero, são chamadas as equações simétricas de r.
Essas equações podem ser reescritas na forma 2 1 2 A 1 Av .x v .y v .x v .y ,
e fazendo a = v2, b = - v1 e c = 2 A 1 Av .x v .y , obtém-se uma equação da forma
a.x + b.y = c , que se chama a equação geral de r e chamando
2 1 A 2 A
1 1
v v .y v .xy .x
v v e fazendo m = 2
1
v
v e n =
1 A 2 A
1
v .y v .x
v , obtém-se uma
equação da forma y = m.x + n , que se chama a equação reduzida de r.
Proposição: Sejam respectivamente X = A + λr . rv e X = B + λs . sv
as equações vetoriais das retas r e s no plano . Então
17
i) r e s são concorrentes se e somente se rv não é paralelo a sv .
ii) r e s são paralelas distintas se e somente se rv é paralelo a sv e
o ponto A não pertence à reta s.
iii) r e s são paralelas coincidentes se e somente se rv é paralelo a sv e
o ponto A pertence à reta s.
Definição: Sejam respectivamente X = A + λr . rv e X = B + λs . sv
as equações vetoriais das retas r e s no plano . Define-se o ângulo entre a
reta r e a reta s como sendo o ângulo entre os seus respectivos vetores
diretores rv e sv .
Proposição: Sejam os pontos A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ) dados em
relação a um sistema de coordenadas S = (O, ⃗ , ⃗ ) em E2 .
Então a distância entre o ponto A e o ponto B vale
d(A,B) = AB = B A =
2 2
B A B Ax x y y .
Proposição: Sejam os pontos A = (xA , yA ), B = (xB , yB ) e C = (xC , yc )
dados em relação a um sistema de coordenadas S = (O, ⃗ , ⃗ ) em E2 .
Então a área do triângulo ABC é dada por A(ABC) = 1
2.
A A
B B
C C
x y 1
x y 1
x y 1
.
De fato, A(ABC) = 1
2. | AB AC | =
1
2. | (B – A) (C- A) |.
Efetuando as operações, obtemos
A(ABC) = 1
2. | (B – A) (C- A) | =
1
2. | (xB – xA , yB – yA ) (xC – xA , yC – yA ) | =
= 1
2. | (xB – xA) . (yC – yA ) - (yB – yA) . (xC – xA ) | =
= 1
2.
B A B A
C A C A
x x y y
x x y y
=
1
2.
A A
B A B A
C A C A
x y 1
x x y y 0
x x y y 0
=
18
= 1
2.
A A
B B
C C
x y 1
x y 1
x y 1
.
Proposição: Sejam os pontos P = (xP , yP ) e a reta r, cuja equação
vetorial é X = A + λr . rv , dados em relação a um sistema de coordenadas
S = (O, ⃗ , ⃗ ) em E2. Então a distância do ponto P à reta r vale
d(P,r) = 1
2. | (P – A) (C- A) |, onde C é o ponto C = A + rv .
Definição: A distância entre duas retas paralelas r e s é a distância
entre um ponto P da reta r e a reta s.
Proposição: Sejam respectivamente X = A + λr . rv e X = B + λs . sv
as equações vetoriais das retas concorrentes r e s no plano . Seja P = r s
e sejam respectivamente rw e sw os versores dos vetores rv e sv .
19
Então as equações vetoriais das retas bissetrizes b1 e b2 das retas r e s
são
1 r sX P w w e 2 r sX P w w .
1.3 Exemplos
A seguir são apresentados alguns exemplos de resoluções de exercícios
nas duas formas: com abordagem da geometria clássica e com abordagem da
geometria vetorial.
Exemplo 1
Seja um paralelogramo ABCD contido em um plano α e cujas diagonais são
AC e BD . Mostrar que AC e BD se cortam num ponto que é o ponto médio de
cada um desses segmentos.
Seja M o ponto médio da diagonal AC .
Vamos provar que M é também o ponto médio da diagonal BD .
Abordagem vetorial:
20
Como ABCD é um paralelogramo então BC AD .
Como M é ponto médio do segmento de reta AC então AM MC .
Dessa forma, BM BA AM CD MC MC CD MD , isto é,
BM MD . Portanto M é ponto médio da diagonal BD .
Abordagem clássica:
Se ABCD é um paralelogramo, por definição ˆ ˆAB / /DC DCA CAB ,
pois é um par de ângulos alternos internos.
Como M é o ponto de intersecção entre as diagonais AC e BD então
ˆ ˆDMC AMB , pois são ângulos opostos pelo vértice.
Por hipótese, CD AB , pois são lados opostos de um paralelogramo.
Pelo caso OLAA , temos: ΔCDM ΔABM, portanto AM MC
BM MD
. Então
podemos concluir que M é o ponto médio do segmento AC e ponto médio do
segmento BD .
Exemplo 2
Dado um triângulo de vértices A, B e C, contidos em um plano, o
segmento que une os pontos médios de dois de seus lados é paralelo ao
terceiro lado e tem a metade da sua medida.
21
Sejam M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC.
Vamos provar que MN / /AB e que d(A,B) 2d(M,N)
Abordagem vetorial:
Seja o triângulo ABC e sejam os pontos M, ponto médio do lado AC e N,
ponto médio do lado BC. Podemos escrever:
1 1 1 1MN MC CN AC CB AC CB AB
2 2 2 2
Logo, se vale a afirmação 1
MN AB2
podemos concluir que os vetores
MN e AB são paralelos e que o módulo do vetor MN é a metade do módulo
do vetor AB . Geometricamente, podemos concluir que: MN / /AB e
1MN AB
2 .
Abordagem clássica:
Vamos provar a semelhança entre os triângulos ΔACB e ΔMNC pelo
caso LAL.
22
Os ângulos ˆACB e ˆMCNsão comuns aos dois triângulos, portanto
podemos concluir a congruência: ˆ ˆACB MCN
Como M é o ponto médio do segmento AC , podemos escrever a
igualdade: AC = 2MC e como o ponto N é o ponto médio do segmento BC ,
podemos escrever a igualdade: BC = 2NC. A partir das duas igualdades,
podemos concluir que: AC BC
2MC NC
e que vale a semelhança de triângulos:
ΔACB ΔMNC.
Então, vale a relação: AC BC AB
2MC NC MN
de onde podemos concluir
que AB = 2 MN.
Pela semelhança, ainda podemos afirmar que ˆ ˆCMN CAB e que
ˆ ˆCMN CBA o que nos leva a concluir, pelo Teorema de Tales que MN / /AB .
Exemplo 3
M (2,-1), N( -1, 4) e P(-2,2) são os pontos médios, respectivamente, dos
lados AB , BC e AC de um triângulo. Determine A, B e C, vértices do Δ ABC.
Sejam os vértices do ΔABC representados por: 1 1A x ,y , 2 2B x ,y e 3 3C x ,y .
Abordagem vetorial:
Pelo Exemplo 2 temos que, PA NM ; MB PN e PC MN .
Usando cada uma das igualdades, temos:
A P NM
N – M = P – A
A 2,2 3, 5
A(1, - 3)
B M PN
B 2, 1 1,2
B (3, 1)
C P MN
23
C 2,2 3,5
C( -5,7)
Abordagem clássica:
Utilizando a fórmula do ponto médio de um segmento dados suas
extremidades, temos:
1 2P
x xx
2
e 1 2
P
y yy
2
1 3N
x xx
2
e 1 3
N
y yy
2
2 3M
x xx
2
e 2 3
M
y yy
2
Substituindo as expressões pelos dados do problema, temos:
1 2x x2
2
e 1 2y y
22
1 3x x1
2
e 1 3y y
42
2 3x x2
2
e 2 3y y
12
Essas expressões gerarão os sistemas de equações:
1 2
1 3
2 3
x x 4
x x 2
x x 4
e
1 2
1 3
2 3
y y 4
y y 8
y y 2
Resolvendo esses sistemas de equações encontramos:
1x 1 , 2x 3 e 3x 5
1y 3 , 2y 1 e 3y 7
24
Portanto, os vértices do ΔABC são: A (1, -3), B (3, 1) e C (-5, 7).
1.4 Aspectos Históricos da Geometria Analítica
O objetivo deste item é abordar as origens da Geometria Analítica, da
Álgebra Vetorial e da Álgebra Linear. Todo ele se fundamenta em pesquisas
bibliográficas realizadas em Eves (2007) e Dorier (2000).
1.4.1 As Origens da Geometria Analítica
De acordo com EVES (2007), a Geometria Analítica é a Geometria que
usa sistemas de coordenadas e métodos algébricos na representação de
pontos, retas e curvas. Para que um problema seja considerado como sendo
de Geometria Analítica é necessário que se tenha uma realidade geométrica
sendo tratada por meio de coordenadas com o princípio da representação
gráfica.
O uso de coordenadas na resolução de problemas matemáticos se
observa desde a época da Grécia Antiga. É conhecido que Apolônio de Perga
(262-190 a.C.), estudou as seções cônicas representando-as por meio de
equações. No mundo antigo, os egípcios e os romanos utilizavam a ideia de
coordenadas na agrimensura e na confecção de mapas. No século XIV, o
matemático francês Nicolo Oresme (1323-1382) usava coordenadas para
representar pontos, e introduziu as palavras latitudo, para se referir às variáveis
dependentes, e longitudo, para se referir às variáveis independentes.
O mundo científico considera René Descartes (1596-1650) e Pierre de
Fermat (1601-1665) como sendo os pais da Geometria Analítica.
Descartes, nascido na França, era filósofo e matemático. Sua obra
principal foi um tratado sobre a ciência universal intitulado Discours de la
Méthode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la Vérité dans les Sciences
(Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas
Ciências) publicado em 1637.
25
Figura 1: René Descartes (1596-1650)2
Além do texto principal, esse tratado tinha três apêndices; La Dioptrique,
Les Météores e La Géométrie. No terceiro apêndice, La Géométrie, apareceu a
importante contribuição de Descartes à Geometria Analítica. Nessa obra ele
utilizou a Álgebra para representar entes geométricos. Ele considerou três
planos dois a dois perpendiculares e estabeleceu que qualquer ponto do
espaço pode ser representado a partir das distâncias desse ponto a cada um
desses planos fixados. Essas distâncias são o que hoje se denominam
coordenadas do ponto, ou seja, cada ponto do espaço pode ser representado
por três coordenadas. Descartes introduziu as coordenadas retangulares e a
equação de reta, mas sua teoria não evoluiu pela falta de um simbolismo
algébrico, que só seria criado mais tarde. Por exemplo, a terminologia:
coordenadas, abscissas e ordenadas, no sentido que conhecemos hoje, só foi
estabelecida em 1692 por Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), após a
morte de Descartes.
2 https://thescienceclassroom.wikispaces.com/Ren%C3%A9+Descartes
26
Fermat tratou da Geometria Analítica no artigo Ad Locus Planos et
Solidos Isogoge, publicado em setembro de 1636. Nesse artigo encontram-se a
equação geral da reta, a equação da circunferência e uma discussão sobre
hipérboles, elipses e parábolas.
Figura 2: Pierre de Fermat (1601-1665)3
Fermat era filho de um comerciante de couro e recebeu sua educação
inicial em casa. Era advogado e aos trinta anos foi nomeado conselheiro do
Parlamento de Tolouse. Dedicava parte de seu tempo livre ao estudo da
Matemática. Pouco publicou, mas mantinha correspondência intensa com
3 http://www.sdmathcircle.org/index.php?page=fermat
27
muitos matemáticos, tendo assim influenciado as pesquisas matemáticas da
época. Além de contribuições para a Geometria Analítica, Fermat tem
importantes contribuições também para a Teoria dos Números e para a Teoria
das Probabilidades.
A principal diferença entre os trabalhos de Descartes e Fermat é que
Descartes partia de um lugar geométrico e buscava uma equação algébrica
que pudesse representá-lo, enquanto Fermat partia de uma equação algébrica
e buscava um lugar geométrico que pudesse ser representado por essa
equação.
No século XVIII, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) também deu
grandes contribuições à Geometria Analítica. Lagrange estabeleceu a fórmula
0 0
2 2
ax by cd
a b
, que dá a distância d de um ponto 0 0P x ,y a uma reta de
equação y ax by c ; e também estabeleceu a fórmula 1
A D2
, onde
1 1
2 2
3 3
x y 1
D x y 1
x y 1
, que dá a área A de um triângulo de vértices 1 1A x ,y , 2 2B x ,y
e 3 3C x ,y .
Figura 3: Joseph Louis Lagrange (1736-1813)4
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) também deu uma grande contribuição
à Geometria Analítica ao estabelecer as equações da reta na forma
paramétrica. Essas representações permitiram que Gauss e Jean Robert
3 http://www.philatelia.net/bonapart/plots/?id=140
28
Argand (1768-1822) utilizassem o plano cartesiano para descrever os números
complexos.
Figura 4: Carl Friedrich Gauss (1777-1855)5
1.4.2 As Origens dos Vetores
Embora a sistematização do estudo de vetores só tenha acontecido no
início do século XIX, a noção de vetor aparece de modo intuitivo desde a
Antiguidade. Existem indícios de que Aristóteles (385–322 a.C.) na Grécia
Antiga e Hierão de Alexandria (10–70 d.C.) já realizavam adição de certas
grandezas, utilizando o que hoje se chama a regra do paralelogramo. Mesmo
Isaac Newton (1642-1727), em sua obra Principia, utilizou a noção de
grandezas vetoriais como velocidade, aceleração e força, mas nunca
mencionou a palavra vetor.
Os estudos sistemáticos dos vetores e sua utilização apareceram a partir
do início do século XIX com os matemáticos Caspar Wessel (1745-1818), Jean
Robert Argand (1768-1822) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) no estudo dos
números complexos.
Anteriormente, Leonhard Euler (1707–1783), já tinha estudado os
sistemas de equações lineares em sua obra Sur une Contradiction Apparente
dans la Doctrine des Lignes Courbes, publicada em 1750. O conceito de
sistemas de equações lineares é um suporte importantíssimo para o estudo de
5 http://www.english.upenn.edu/Projects/knarf/People/gauss.html
29
dependência (ou independência) linear de vetores, mas Euler não utilizou um
tratamento vetorial na sua obra.
Figura 5: Leonhard Euler (1707 – 1783)6
Gabriel Cramer (1704–1752) contribuiu também bastante para os
estudos de sistemas de equações lineares. Em 1750 publicou a obra
Introduction à l’Analyse des Lignes Courbes Algébriques, onde, usando uma
notação matemática mais moderna, introduziu a regra conhecida hoje pelo seu
nome para resolução de sistemas de equações lineares, onde o número de
equações é igual ao número de incógnitas. Nesse trabalho aparece também a
noção de determinante de uma matriz.
Figura 6: Gabriel Cramer (1704–1752)7
Georg Ferdinand Frobenius (1849–1917) foi outro matemático que deu
importantes contribuições ao estudo de vetores, introduzindo em 1875, na sua
obra Über das Pfaffsche Probem, as noções de dependência linear e
6 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Leonhard_Euler.jpg
7 http://www.e-escola.pt/personalidades.asp?nome=cramer-gabriel
30
independência linear. Foi Frobenius quem estabeleceu a noção de base de um
espaço vetorial.
Figura 7: Georg Ferdinand Frobenius (1849 – 1917)8
Outro matemático que deu importantes contribuições à teoria dos
vetores foi o matemático irlandês Willian Rowan Hamilton (1805-1865). Aos
quinze anos de idade, Hamilton teve contato com um exemplar da Arithmetica
Universalis de Isaac Newton e passou a se interessar pelo estudo da
Geometria Analítica e do Cálculo. A partir de então passou a ler os clássicos
matemáticos da época, ingressou no famoso Trinity College, onde fez uma
carreira brilhante de modo que com apenas vinte e dois anos foi indicado por
unanimidade para ser astrônomo real da Irlanda.
Em 1833 escreveu um artigo no qual a álgebra dos números complexos
era apresentada como uma álgebra de pares ordenados de números reais. Em
1843 criou a álgebra dos quatérnios, o primeiro exemplo de uma álgebra não-
comutativa de dimensão maior que 3, a qual foi de suma importância para o
desenvolvimento da Física-Matemática, e da Álgebra Linear.
8 http://serge.mehl.free.fr/chrono/Frobenius.html
31
Figura 8: Willian Rowan Hamilton (1805-1865)9
August Ferdinand Möebius (1790-1868), matemático alemão, publicou,
em 1827, o livro The Barycentric Calculus, no qual segmentos de reta eram
nomeados com letras do alfabeto e eram vetores na essência, mas não no
nome. Para estudar os centros de gravidade e a geometria projetiva, Möebius
mostrou como adicionar esses segmentos e como multiplicá-los por um número
real, mas o interesse que sua teoria não estava neles, e sim na geometria
projetiva.
Na mesma época em que Hamilton desenvolveu essa teoria, outro
matemático, Hermann Grassmann (1809–1877), começou a desenvolver um
novo cálculo geométrico como parte do seu estudo da teoria das marés. Para
isso expandiu o conceito de vetores de duas ou três dimensões para n
dimensões, o que estendeu grandemente as ideias de espaços de vetores,
antecipando grande parte da Álgebra Linear e da Álgebra Tensorial.
9 http://en.wikipedia.org/wiki/File:William_Rowan_Hamilton_portrait_oval_combined.png
32
Figura 9: Hermann Grassmann (1809–1877)10
Foi o físico escocês James Clerk Maxwell (1831–1879) quem dividiu as
grandezas físicas em duas categorias: as grandezas escalares e as grandezas
vetoriais.
Por fim, o físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903) criou a
Álgebra Vetorial e a Análise Vetorial numa obra de 1881, intitulada Vector
Analysis. Nela aparece o conceito gráfico de vetor tal como é conhecido hoje
em dia. Esses conceitos foram fundamentais para as pesquisas que Gibbs
desenvolveu em Termodinâmica.
Figura 10: Josiah Willard Gibbs (1839-1903)11
10
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Hgrassmann.jpg 11
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Josiah_Willard_Gibbs_-from_MMS-.jpg
33
Resumindo, a noção de espaço de vetores se organizou a partir de
conceitos geométricos em dimensão 2 ou 3. Com o estudo de sistemas de
equações lineares, com o desenvolvimento de Matemática mais avançada e
com o estudo de problemas da Física, essa noção evoluiu para a noção de
espaços vetoriais de dimensões maiores que 3 e, muitas vezes, não-finita.
Finalmente, a sistematização do estudo da Álgebra Linear, com as noções de
espaços vetoriais, subespaços vetoriais, bases e dimensões, criou uma nova
maneira de se organizar os conhecimentos matemáticos e de se analisar
antigos problemas da Matemática. Dessa forma, a teoria retroagiu sobre os
vetores em dimensão 2 e 3, e o estudo dos vetores com enfoque geométrico
passou a ser efetuado de um modo mais eficiente e moderno.
34
CAPITULO 2
REFERENCIAIS TEÓRICOS
Esta pesquisa é norteada por duas teorias, o Registro das
Representações Semióticas de Raymond Duval e a Engenharia Didática de
Michéle Artigue.
2.1 Registros das Representações Semióticas
Como em Barros (2011), será adotada a concepção de que a Semiótica
é uma ciência que se ocupa de signos e símbolos utilizados para a função de
comunicação. Um sistema semiótico será visto como um conjunto de signos
que se articulam segundo regras próprias. Uma representação semiótica de um
objeto será entendida como o resultado do ato de criar uma cópia ou produzir
alguma expressão que lembre esse objeto. A produção é a primeira atividade
cognitiva associada a uma representação semiótica.
Segundo Duval (1993), as representações semióticas são produções
oriundas do emprego de signos de um determinado sistema semiótico com
regras de significado e de funcionamento com o intuito de representar um
objeto. Palavras faladas, palavras escritas, imagens desenhadas, imagens
produzidas por artefatos, gráficos, esboços podem ser uma representação
semiótica de um objeto.
Ainda para esse pesquisador, as representações semióticas apresentam
dois aspectos fundamentais, a sua forma (o representante) e o seu conteúdo (o
representado). Além disso, são externas e conscientes do sujeito. O sistema
semiótico ao qual a representação semiótica está vinculada é determinado pela
forma da representação.
Conforme Foucault (1992), na cultura ocidental moderna, as
representações semióticas assumiram um papel central na estrutura dos
saberes, na qual o próprio pensamento é regido por representações. Dessa
forma os signos, e as representações semióticas, adquiriram uma importância
fundamental na produção dos conhecimentos e também nos processos de
ensino e aprendizagem.
A utilização de representações de objetos matemáticos por meio de
símbolos, incrementada por Viète no fim do século XVI, por Descartes no início
35
do século XVII e por Leibniz no final do século XVII, tornou possível o
desenvolvimento das ideias matemáticas num nível formal e abstrato.
Duval (1993) foi um dos primeiros a estudar a importância das
representações semióticas na Educação Matemática. Lembrando que o objeto
a ser representado neste caso é um objeto matemático: conceitos,
propriedades, estruturas, relações, as representações semióticas são
fundamentais para os processos de ensino e aprendizagem de Matemática,
pois, somente por meio das representações semióticas é que se pode ter
acesso aos objetos matemáticos. Na página 38 deste trabalho encontra-se um
exemplo de como as representações semióticas são usadas na Matemática.
Ele distingue a semiósis, apreensão ou produção de uma representação
semiótica de um objeto, da noésis, apreensão conceitual do objeto
representado, e afirma a sua inseparabilidade. Não se pode ter uma sem ter a
outra. Para que ocorra a apreensão de um objeto matemático, é necessário
que a noésis (conceitualização) aconteça por meio de significativas semiósis
(representações).
A representação semiótica, segundo Duval, pode sofrer duas
transformações cognitivas: o tratamento e a conversão. O tratamento se dá no
interior do sistema semiótico onde a representação foi produzida. A
representação é transformada em outra representação sem mudar a forma e o
conteúdo. A representação se transforma em outra representação, mas o
sistema semiótico se mantém. A conversão se dá entre sistemas semióticos
distintos. A representação é transformada em outra representação mudando a
sua forma, portanto mudando o sistema semiótico, mas sem mudar o conteúdo.
Um registro de uma representação semiótica é um sistema semiótico
que permite que essa representação semiótica possa sofrer essas três
transformações cognitivas: a produção, o tratamento e a conversão. Portando
todo registro é um sistema semiótico, mas nem todo sistema semiótico é
necessariamente um registro.
A utilização de diferentes registros de representação semiótica é uma
maneira didática e metodológica que pode ser utilizada pelo professor quando
se busca que os estudantes aprendam conceitos e conhecimentos
matemáticos. Como observa (DAMM, 2008, p.135),
36
o essencial não são os registros de representação que estão sendo utilizados, mas a maneira como estão sendo utilizados. Poderemos falar em conceitualização, aquisição de conhecimentos somente a partir do momento em que o aluno transitar naturalmente por diferentes registros. Para isso, é necessário que o professor tenha claro o objeto matemático a ser ensinado, pois isso lhe possibilitará definir quais os registros de representação semiótica que possibilitarão a construção do mesmo.
Quanto à sua natureza, os registros podem ser classificados em
multifuncionais ou monofuncionais. Os registros multifuncionais são aqueles
usados em vários campos da cultura principalmente para fins de comunicação.
Apesar de que as representações vinculadas a registros deste tipo admitam
várias formas de tratamento, estes não são algoritmizáveis. Segundo DUVAL
(1993), os registros monofuncionais são aqueles cujas representações
vinculadas foram desenvolvidas para um tipo específico de tratamento com a
finalidade de se obter melhores desempenhos e permitem um tratamento
algorítmico.
Os registros podem ser discursivos ou não discursivos, dependendo da
presença ou não de um discurso na expressão das representações vinculadas.
Dessa forma os registros de representações semióticas podem ser de
quatro tipos diferentes:
Registros da língua natural (discursivos e multifuncionais)
Registros figurais (não discursivos e multifuncionais)
Registros simbólicos (discursivos e monofuncionais)
Registros gráficos (não discursivos e monofuncionais)
A Figura 11 mostra essa classificação.
Registros discursivos
Registros não discursivos
Registros
multifuncionais
Registros da língua natural
Registros figurais
Registros
monofuncionais
Registros simbólicos
Registros gráficos
Figura 11: Tipos de registros
37
Ainda segundo DUVAL (1993), na análise do desenvolvimento cognitivo
e das dificuldades encontradas na aprendizagem matemática aparecem três
fenômenos interligados:
A existência de diversos registros de representações semióticas
de um mesmo objeto;
A diferenciação entre o objeto representado e suas
representações semióticas;
A coordenação entre diferentes registros de representação
semiótica de um objeto.
Para o autor, o entendimento matemático requer o estabelecimento da
coordenação de representações entre pelo menos dois registros, em que um é
multifuncional e o outro monofuncional. Afirma ainda que, nos níveis mais
avançados do ensino, há uma predominância de registros monofuncionais
discursivos, e que, na maioria dos casos, os livros didáticos têm privilegiado um
registro em detrimento dos outros.
Em seguida são apresentados exemplos de algumas representações
semióticas do objeto matemático reta em diferentes registros:
Representação Registro Tipo de
registro
Representação R1
Seja a reta r determinada pelos pontos A(1,2) e
B(2,-1).
Registro na
língua
portuguesa
Língua
natural
Representação R2
Seja a reta r definida pela equação (geral)
r : { 3x + y = 5
Registro
algébrico
Simbólico
38
Representação R3
Seja a reta r definida pela equação (reduzida)
r : { y = - 3x + 5
Registro
algébrico
Simbólico
Representação R4
Seja a reta r cujo coeficiente angular vale –3 e
cujo coeficiente linear vale 5.
Registro na
língua
portuguesa
Língua
natural
Representação R5
Seja a reta r definida pelas equações
(paramétricas)
x tr :
y -3t +5
com tR.
Registro
algébrico-
paramétrico
Simbólico
Representação R6
Seja a reta r determinada pela tabela
x y
1 2
2 -1
Registro
tabular
Gráfico
Representação R7
Registro em
forma de
desenho
Figural
Representação R8
Registro
cartesiano
Gráfico
39
Representação R9
Registro
figural- vetorial
Figural
Representação R10
Seja a reta r definida pela equação (vetorial)
X = A + .(B-A) com R
X = (1,2) + .(1, -3) com R
Registro
algébrico-
vetorial
Simbólico
Representação R11
Seja a reta r que passa pelo ponto A(1,2) e tem a
direção do vetor B - A = (1,-3).
Registro na
língua
portuguesa
Língua
natural
Representação R12
Seja a reta r definida pelas equações
(paramétricas)
x 1r
y 2 - 3
com R.
Registro
algébrico-
paramétrico
Simbólico
Figura 12: Representações do objeto matemático reta em diferentes registros.
40
As transformações R1→R2 , R2→R5 , R2→R7, R2→R8 , R2→R9 e R2→R10
são exemplos de conversões de representações.
R1→R2: conversão do registro na língua natural para o registro algébrico;
R2→R5: conversão do registro algébrico para o registro algébrico-
paramétrico;
R2→R7: conversão do registro algébrico para o registro figural;
R2→R8: conversão do registro algébrico para o registro gráfico;
R2→R9 : conversão do registro algébrico para o registro figural;
R2→R10: conversão do registro algébrico para o registro algébrico-
vetorial.
As transformações R2→R3, R5→R12 e R1→R11 são exemplos de
tratamentos de representações.
R2→R3: tratamento dentro do registro algébrico;
R5→R12: tratamento dentro do registro algébrico;
R1→R11 : tratamento dentro do registro na língua natural.
2.2 Engenharia Didática
A Engenharia Didática é uma metodologia usada em pesquisas na área
de Educação Matemática. Essa metodologia considera a pesquisa em didática
como sendo uma pesquisa empírica, pois considera as situações pesquisadas
como sendo laboratórios (sala de aula, material didático, escola, etc.).
Esta metodologia leva esse nome por considerar que o professor ao
pesquisar sua própria prática, age como um engenheiro, pois precisa ter um
sólido conhecimento científico, mas também tem de enfrentar as situações
práticas que irão surgindo no decorrer do processo.
Segundo Carneiro (2005), a Engenharia Didática considera que o
conhecimento teórico do professor/pesquisador não é suficiente para enfrentar
os desafios que o ensino e a aprendizagem apresentam no dia a dia da sala de
aula. Conforme as situações se apresentam, é necessário que o professor
analise-as e use dos seus conhecimentos anteriores para adequar suas aulas e
enfrentar os desafios. Nesse ponto o seu saber prático e a sua experiência são
valiosos e de extrema importância para o processo.
41
Esta teoria é essencial para unir teoria com prática e é muito utilizada
em produção de materiais para o ensino, em que é necessário utilizar-se das
teorias que surgem no meio acadêmico e do conhecimento que o professor
adquire a partir da sua prática em sala de aula.
A Engenharia Didática foi estudada por Michèle Artigue (1988) na
década de 1980, na França, e é composta por uma sequência de aulas
propostas por um professor-engenheiro articuladas de forma a comprovar, ou
não, hipóteses inicialmente concebidas por esse. Nessa metodologia,
sequências de ensino são concebidas, realizadas, observadas e analisadas.
Para a análise levam-se em consideração as complexas situações ocorridas
em sala de aula e também os fenômenos ligados às situações de ensino e
aprendizagem.
Essa metodologia prevê que o pesquisador tenha algumas hipóteses
iniciais que deverão passar por uma análise a priori , apoiadas pelo quadro
teórico, para, no final, passar por uma análise a posteriori que poderá ou não,
validar as hipóteses iniciais. Nessa metodologia o pesquisador se envolve
diretamente com a pesquisa, ou seja, ele é parte integrante dessa.
A metodologia da Engenharia Didática é composta por quatro fases:
análises preliminares, concepção e análise a priori das situações didáticas,
experimentação e análise a posteriori e validação.
A análise preliminar é composta pela análise dos conteúdos que se
pretende trabalhar e do estudo dos métodos que se pretende utilizar para se
trabalhar esses conteúdos. Essa análise pretende fornecer os subsídios que
serão utilizados na análise a priori.
Na análise preliminar é essencial que se delimite o objeto da
ação/investigação e que se estude a viabilidade de uma abordagem
epistemologicamente mais satisfatória.
A análise a priori tem como fundamentação o preparo de sequências
didáticas e de um esquema experimental para ser utilizado em sala de aula que
possibilitarão a delimitação de variáveis de controle para dar subsídios ao
experimento.
Segundo Artigue (1988), a análise a priori é composta por uma parte
descritiva e uma parte preditiva. É necessário que se descreva as escolhas
42
efetuadas onde são definidas variáveis de comando no âmbito global e no
âmbito local e para isso é necessário que se descreva cada atividade proposta.
A experimentação é o processo que se origina a partir da aplicação das
sequências didáticas bem como da transcrição das observações realizadas
durante o processo. É todo o processo realizado durante o curso.
Durante a experimentação as ações devem ser organizadas em uma
sequência onde o ponto de partida são algumas questões de controle que
ajudem a prever os comportamentos dos alunos no decorrer do processo.
Estas questões fornecerão hipóteses que serão comparadas com os resultados
finais, contribuindo para a validação da Engenharia. Essas hipóteses não
podem ser muito amplas para não comprometer o processo da aprendizagem.
Durante toda a experimentação essas hipóteses têm que estar sempre
na mente do pesquisador que não pode perdê-las de vista.
A análise a posteriori é a análise do processo efetuado durante a
experimentação e também tem por objetivo fornecer subsídios para uma nova
análise a priori e uma nova experimentação e fornecimento de materiais para a
atualização dos processos em questão.
Umas das características da Engenharia Didática é que nela a teoria e a
prática caminham juntas.
Durante a análise a posteriori é necessário que se analise as produções
dos alunos, os registros de observações feitos pelo professor durante todo o
processo, os diários de classe e todo o qualquer material proveniente da
experiência para que se possa validar as ações.
Na Engenharia Didática, a validação se dá com o confronto entre a
análise a priori e a análise a posteriori onde se confrontam as hipóteses com o
que aconteceu na prática para que essas possam ser ou não validadas.
A seguir, foi elaborado um quadro baseado em Carneiro (2005) no artigo
publicado na revista Zetetikè e que mostra as diversas etapas da Engenharia
Didática e suas intersecções.
43
Mapa da Engenharia Didática
Figura 13: Mapa da Engenharia Didática
2.3 Revisão de literatura
2.3.1 A pesquisa realizada por Marilena Bittar
A tese de doutorado de Marilena Bittar, intitulada “O Ensino de Vetores e
os Registros de Representação Semiótica” é resultado de uma pesquisa
desenvolvida na França em 1998. Essa tese é o relato de uma pesquisa sobre
a aprendizagem de vetores tratada sob o ponto de vista dos registros de
representação semiótica e foi conduzida por meio de uma experiência em
engenharia didática.
44
Segundo a autora, as atividades utilizadas nessa pesquisa podem ser
testadas e aplicadas em pesquisas no Brasil também, pois as dificuldades
apresentadas pelos alunos franceses são semelhantes às dificuldades
apresentadas pelos alunos brasileiros, embora o conceito de vetores ser
apresentado em momentos diferentes nesses dois países. Na França o
conceito de vetores é apresentado nos dois últimos anos do Ensino
Fundamental e ao longo do Ensino Médio, enquanto no Brasil12 ele é abordado
apenas nos primeiros semestres do Ensino Superior nas disciplinas de
Geometria Analítica e de Álgebra Linear.
A fundamentação teórica dessa pesquisa parte inicialmente de um
estudo epistemológico que mostra a relação entre os vetores e a geometria
realizado por Dorier em 1990, que diz que para o desenvolvimento da álgebra
linear foi preciso que os vetores se desvinculassem da geometria e que para se
entender o conceito de espaço vetorial é necessário que o conceito geométrico
de vetores seja abandonado, pois embora o conceito de vetor seja introduzido
por meio da representação geométrica para que o aluno entenda com mais
facilidade esse conceito, essa representação não é adequada para a
introdução do conceito de vetor como elemento de um espaço vetorial.
O uso das representações semióticas nesse trabalho se justifica pela
multiplicidade de representações usadas para vetores, entre elas tem-se o
vetor usado na física, a representação geométrica de vetor e a ideia de vetor
como elemento de um espaço vetorial usado na álgebra linear. A autora conclui
também que para se entender realmente a noção de vetor é necessário que se
transite por essas diferentes representações fazendo a conversão entre elas.
Segundo a autora, na França a noção geométrica de vetores aparece na
Educação Básica como ferramenta para se resolver problemas de geometria
analítica e na álgebra linear o vetor passa a ser um objeto de estudo. Pois é
essa diferença entre o objeto vetor e o vetor usado como ferramenta que a
inquietou e fez com que escolhesse esse assunto para sua pesquisa.
Nos livros didáticos franceses dedicados ao Ensino Fundamental, o
vetor aparece como uma ferramenta a ser usada na resolução de problemas de
geometria, mas a autora questiona como o conceito de vetores é apreendido
12
Essa observação está no texto de Bittar (2003), porém nessa pesquisa notou-se que as escolas do Rio de Janeiro adotam os vetores para o ensino da Geometria Analítica Plana no Ensino Médio.
45
pelos alunos. Em resumo, se eles realmente entendem o que é um vetor
quando essa ferramenta é apresentada nesse determinado momento da sua
escolaridade.
Segundo Pavlopoulou (1994), para se compreender a noção de vetor é
necessário que se transite por diferentes registros desse objeto, portanto,
nesse ponto, pode-se encarar o conceito de vetor de duas maneiras diferentes:
o objeto vetor e o vetor como ferramenta. Tem-se o conceito visto como
ferramenta quando ele serve para se resolver um problema mesmo que esse
problema possa ser resolvido por outros caminhos que não usem essa
ferramenta, no entanto, o conceito é considerado como sendo um objeto
quando o seu estudo é objeto de estudo do problema a ser resolvido.
Na pesquisa de Bittar, o objetivo é verificar se essa utilização do vetor
como ferramenta facilita o ensino e a aprendizagem da geometria analítica.
Quer-se saber se essa ferramenta ajuda ao aluno a compreensão dos
conceitos envolvidos ou se dificulta o aprendizado, uma vez que para que se
use essa ferramenta é necessário que o conceito do objeto esteja bem claro na
cabeça de quem a usa.
Para atingir esse objetivo duas questões foram levantadas pela autora
no seu trabalho:
Para que tipo de problemas se espera que os alunos utilizem
vetores na resolução? Quais as propriedades e definições que
devem ser utilizadas na resolução do problema?
Para um problema de geometria, enunciado no quadro
geométrico, sem utilizar notações vetoriais, mas onde vetores
representam uma resolução possível, o aluno pensará em usar
essa noção? Em caso afirmativo, ele terá êxito em seu problema?
A princípio a autora questionou se as características geométricas dos
vetores ajudariam ou atrapalhariam a resolução de problemas que independem
dessas características. Portanto, para responder essas perguntas, a autora
utilizou as idas e voltas entre os diferentes tipos de registros e verificou, com
êxito, que os alunos aprendem a fazer essas conversões entre registros,
muitas vezes de modo automático, relacionadas ao tipo de problema que
querem resolver, embora isso não garanta êxito na resolução de problemas,
46
pois para que realmente haja aprendizagem, segundo Duval (2011), é
necessário que se vá além dessas conversões.
Nessa pesquisa, Bittar utilizou da análise de alguns livros didáticos
utilizados nas escolas francesas e que tratavam do assunto vetores e analisou
como esses livros tratavam e usavam o vetor nas suas diferentes
representações.
Nesses livros, examinou-se a teoria para verificar se o conceito de vetor
aparece ou não como ferramenta, em seguida observou-se os exercícios
resolvidos e propostos onde usa-se a noção de vetores para verificar se são
usadas conversões e quais as propriedades mas utilizadas nesses.
Um aspecto que foi intensamente observado nessa análise foi quanto
aos tipos de representações semióticas presentes na teoria e nos exercícios e
se são utilizadas as mudanças de registros no decorrer da teoria ou da
resolução dos exercícios. Para que servem essas mudanças e se existem
articulações entre esses diferentes tipos de registros e os diferentes tipos de
exercícios.
Ao final da pesquisa concluiu-se que os vetores são introduzidos na
educação básica, nas escolas francesas, na forma geométrica com a função
principal de auxiliar na resolução de problemas de geometria. As definições e
propriedades são relacionadas ao aspecto geométrico dos vetores, no entanto,
segundo Bittar, esse tipo de apresentação do conceito de vetor pode dificultar o
seu entendimento como objeto de um espaço vetorial.
Segundo ela, com essa apresentação dos vetores sempre por meio de
representantes semelhantes a uma flecha, o aluno terá dificuldades em
enxergar uma matriz como sendo um elemento de um espaço vetorial, ou ainda
em perceber que quando representa geometricamente um vetor, está
representando apenas um dos elementos de uma classe de equivalência com
infinitos representantes do mesmo vetor.
Outra confusão que essa representação pode gerar é que o aluno
confunda o comportamento da extremidade de um vetor com o comportamento
de um ponto representado num sistema de coordenadas cartesiano, uma vez
que o conceito de representação algébrica de um vetor é introduzido a partir do
seu representante com extremidades na origem do sistema de coordenadas
cartesianas e em um ponto desse sistema.
47
Concluindo, a pesquisadora diz que o que faz com que os vetores não
sejam eficazes na resolução de problemas de geometria é a conversão entre
os diversos registros de representação semiótica ser feito de maneira
automática e o tratamento que não é quase utilizado, de modo que o aluno
realmente compreenda adequadamente a noção de vetor.
No caso dos livros brasileiros, o assunto vetor não costuma ser
encontrado em livros da Educação Básica. Nos livros analisados neste
trabalho, encontra-se o vetor em apenas um deles, mas nesse livro o conceito
é puramente geométrico sem que seja considerado como sendo um elemento
de uma classe de equivalência. No entendimento da pesquisadora, esse
conceito de vetor como elemento de uma classe de equivalência é essencial
para que ele possa ser utilizado na resolução de problemas de geometria. O
vetor não pode ser considerado apenas como uma “flecha”, um segmento
orientado, pois nesse caso, se há uma mudança do representante do vetor, há
mudança do vetor também e não é isso que se quer que o aluno utilize na
resolução de problemas geométricos. Enfim, o objeto não pode ser confundido
com a sua representação.
Para se tratar adequadamente do conceito de vetores, de modo que ele
seja útil na resolução de problemas geométricos analiticamente tratados, houve
a necessidade de se recorrer a livros do ensino superior que tratam desse
assunto formalmente. A escolha do livro adequado para apresentação do
assunto aos alunos foi feita pelo fato do livro escolhido tratar formalmente de
vetores primeiramente no plano para só posteriormente ampliar o conceito para
o espaço.
Ao se induzir um aluno a resolver problemas geométricos usando
vetores espera-se, segundo a autora, que se sigam os seguintes passos:
Traduzir vetorialmente as propriedades geométricas de uma
figura;
Trabalhar-se com os vetores;
Traduzir-se geometricamente os resultados obtidos vetorialmente.
(BITTAR, 2003, p.77)
Porém, para que essas conversões sejam úteis na resolução de
problemas geométricos é necessário que não sejam feitas automaticamente. O
48
aluno deve conhecer bem o objeto vetor para utilizá-lo como ferramenta para
resolução de problemas geométricos.
Para provar a validade de sua tese, a autora analisou alguns problemas
geométricos resolvendo-os das duas formas possíveis: usando apenas a
geometria e usando os vetores. Para analisar os dois tipos de resolução ela
analisou os vários tipos de registro utilizados para as representação dos entes
envolvidos na resolução dos problemas. São eles:
Geométrico-numérico (gnum) – quando é preciso fazer cálculos,
como, por exemplo, calcular o módulo de um vetor;
Simbólico geométrico (G) – quando se trata de uma escrita
simbólica sobre uma propriedade geométrica, por exemplo, as
retas (AB)//(CD);
Linguagem natural (LN) – quando se trata de informações dadas
na forma discursiva, como, por exemplo, “seja um triângulo
ABC...”;
Simbólico vetorial (V) – quando se trata de usar relações ou
notações vetoriais;
Gráfico (G) – quando um desenho é dado ou deve ser construído.
(BITTAR, 2003, p. 8)
2.3.2 A pesquisa realizada por Samira Choukri de Castro
Castro (2001) também fez uma pesquisa de Mestrado envolvendo o
ensino de geometria analítica vetorial com alunos de curso superior na área de
Ciências Exatas. Para tanto usou da aplicação de uma Sequência Didática e
usou a Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval. Essa
pesquisa foi aplicada a alunos de uma universidade brasileira, mas usou como
referencial teórico algumas pesquisas feitas anteriormente em escolas da
França.
Essa pesquisadora colocou uma questão relacionada à teoria de Duval.
Ela questionou se os registros de representações semióticas são essenciais
para o desenvolvimento cognitivo do estudante, ou são um meio cômodo, mas
secundário para esse desenvolvimento.
49
Ela usou a própria teoria de Duval para tentar responder a essa
pergunta, pois segundo ele há uma diferença essencial entre o objeto
matemático e a sua representação e esses dois elementos não podem ser
confundidos.
Um mesmo objeto matemático pode ser representado de várias
maneiras diferentes e o que importa é o objeto em questão e não as suas
várias representações semióticas.
Outro argumento usado é o de que a principal representação do objeto
matemático é a representação mental e que as representações semióticas
nada mais são do que a exteriorização dessas representações mentais. É um
artifício utilizado pelo sujeito para conseguir exteriorizar um conceito que foi
formado anteriormente em sua mente, cumprindo assim uma função de
comunicação.
Essa ideia está ligada ao conceito de semiósis que é a apreensão pelo
sujeito do conceito estudado e a noésis que é a exteriorização desse conceito
e, segundo Duval (2011), não há semiósis sem noésis e vice e versa.
Segundo a pesquisadora, na aprendizagem em matemática as
representações semióticas são essenciais, pois não há operação de tratamento
e conversão sem essas representações, ou seja, não é possível se fazer essa
operação apenas mentalmente.
O desenvolvimento e a apreensão dos conceitos matemáticos
dependem essencialmente das representações semióticas usadas na sua
formação. O desenvolvimento de novos sistemas semióticos é essencial para o
desenvolvimento da ciência.
No entanto a representação de objetos matemáticos, bem como a
conversão entre várias representações semióticas diferentes, essenciais à
formação de conceitos matemáticos, não é tão óbvia como se tende a pensar,
para os alunos que delas se utilizam na sua formação. O aluno, em geral, tem
dificuldade de reconhecer um mesmo objeto matemático, quando representado
por registros de naturezas diferentes.
A literatura evidencia que o aluno tem bloqueio ao tentar enxergar o
objeto matemático em representações diferentes e também ao fazer
tratamentos dentro de um mesmo registro. Ele, em geral, não consegue
reconhecer o mesmo objeto matemático nessas diferentes representações.
50
Dessa forma, a problemática enfrentada por essa autora foi levantar
quais seriam as dificuldades encontradas por alunos de Universidades
Brasileiras na aprendizagem da Álgebra Linear, em particular do conceito de
vetor. Para tanto ela utilizou-se de algumas pesquisas feitas na França com
enfoque no ensino e na aprendizagem de vetores e do software Cabri
Géomètre II que foi utilizado para a conversão entre os diferentes tipos de
representação de registros distintos.
Dessa forma, ela fez um levantamento das dificuldades encontradas por
esses alunos na aprendizagem desse conceito e de como enfrentá-las através
do ensino. Partindo do pressuposto de que a principal dificuldade enfrentada
pelos alunos é a de transitar pelos diferentes tipos de representação do objeto
matemático, ela propôs uma sequência didática que tinha como objetivo testar
se o aluno era capaz de efetuar conversões entre registros e tratamentos
dentro de um mesmo registro.
Ao final da pesquisa, a pesquisadora pôde concluir que a maior
dificuldade dos alunos está na conversão quando um dos registros usados é o
gráfico, principalmente quando esse registro é o de chegada. Chegou à
conclusão, também, que é possível uma intervenção, através do ensino, para
diminuir essa dificuldade, pois ao fazer interferências didáticas junto aos alunos
conseguiu resultados melhores e que a partir dos resultados dessa pesquisa o
ensino dos vetores podem ter um resultado mais efetivo.
Na pesquisa atual, ao se introduzir o conceito de vetor, propôs-se alguns
exercícios para serem resolvidos utilizando única e exclusivamente o conceito
de vetor e numa segunda etapa, propôs-se alguns exercícios utilizando o
conceito de ponto no plano, retirados de livros de geometria analítica
tradicionais para que o aluno resolvesse escolhendo o método a ser utilizado:
geométrico ou com conversão vetorial.
Para analisar o raciocínio mais utilizado pelos alunos na resolução
desses problemas foram aplicadas atividades. Essas atividades foram
compostas por problemas geométricos que poderiam ser resolvidos utilizando
ou não a notação vetorial.
51
2.3.3 A pesquisa de Luiz Jean Lauand
Durante a revisão bibliográfica foi encontrada uma dissertação de
Mestrado que, embora tenha sido escrita em 1981, em uma realidade muito
diferente da atual, por coincidência tem um título que remete a um tema
semelhante ao dessa dissertação. Essa dissertação intitulada: “O Ensino da
Geometria Analítica Plana na 3ª Série do 2º Grau – subsídios para um estudo
comparativo de dois enfoques” foi escrita por Luiz Jean Lauand e foi
apresentada na Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo.
Devido à semelhança entre os temas foi feito um apanhado dos
objetivos e resultados referentes a esse trabalho.
Embora o título diga que a pesquisa é sobre o Ensino da Geometria
Analítica Plana o trabalho foi executado sob a orientação de um professor da
linha de pesquisa “Filosofia da Educação” e, provavelmente por esse motivo,
tem seu texto mais voltado a questões filosóficas do ensino da matemática do
que à Geometria Analítica Plana em si.
Esta pesquisa foi feita num período da História onde começou-se a
questionar a validade do Movimento da Matemática Moderna13 e, por esse
motivo, o enfoque central dela é o questionamento da validade desse
Movimento com argumentos filosóficos que tentam justificar o posicionamento
do autor e de seu orientador contra esse.
Como o enfoque desta dissertação é sobre a aplicação do Tratamento
Vetorial para o ensino da Geometria Analítica Plana, a análise da dissertação
de Lauand (1981) se restringiu aos pontos onde ela se refere ao ensino da
Geometria Analítica Plana, comparando os dois tratamentos que ele classifica
como Enfoque Clássico (EC) e Enfoque Vetorial (EV).
O trabalho se inicia fazendo um questionamento sobre o que é a
Geometria Analítica com uma análise filosófica que analisa, também, se o
tratamento vetorial não descaracteriza a Geometria Analítica Plana. Uma vez
concluindo que a Geometria Analítica mantém suas características nos dois
13 Nos anos 60, o ensino de Matemática no Brasil, e também em outros países, sofreu a
influência do chamado Movimento da Matemática Moderna (MMM), que buscava aproximar a Matemática ensinada na escola básica com a Matemática produzida pelos pesquisadores da área. Como consequência, as propostas defendidas pelo Movimento enfatizam as estruturas algébricas, a teoria dos conjuntos, a topologia, as transformações geométricas, entre outras. (Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 6, n.18, p.49-63, maio./ago. 2006.Maria Célia Leme da Silva)
52
enfoques, o pesquisador passa à análise do programa dessa disciplina nos
guias curriculares e no programa do vestibular organizado pela Fuvest.
Após apresentar uma sugestão de como o professor poderia abordar o
assunto com o enfoque vetorial nas aulas de Geometria Analítica Plana, ele
apresenta um texto onde os dois enfoques são colocados paralelamente. O
enfoque clássico foi retirado de um livro destinado ao terceiro ano de 2º Grau e
o enfoque vetorial for elaborado pelo pesquisador a partir da adaptação de
textos de livros destinados ao ensino da Geometria Analítica Vetorial em cursos
superiores. O texto que se refere ao Enfoque Vetorial está muito próximo do
texto elaborado por essa pesquisadora e que se encontra no capítulo 1 desse
trabalho.
Ao final do trabalho, Lauand faz um balanço a respeito das vantagens e
desvantagens do uso do Enfoque Vetorial no ensino da Geometria Analítica
Plana, sempre utilizando a Matemática Moderna como parte das justificativas
contra o Enfoque Clássico.
Segundo o autor, o Enfoque Clássico apoia-se na Álgebra Moderna e o
Enfoque Vetorial apoia-se na Álgebra Linear e dessa forma justifica-se que o
rigor e a criatividade estão presentes nos dois enfoques. A sugestão final do
autor foi que se usasse tanto um enfoque como o outro no ensino desse
conteúdo na terceira série do 2º Grau (atual Ensino Médio) sendo que parte
das aulas com um dos enfoques e parte com o outro, pois, segundo ele, o
Enfoque Vetorial poderá levar esse aluno, que já possui alguma maturidade
intelectual, a compreender os conceitos e métodos da Matemática
Contemporânea, levando-o a conhecer outros tipos de conceitos e métodos
utilizados, além de reconhecer a inter-relação entre os vários campos da
Matemática e também entre a matemática e a física, antecipando assim os
conceitos de interdisciplinaridade que surgiriam alguns anos após esse
trabalho ter sido feito.
Segundo o autor, algumas fórmulas ensinadas na física seriam melhor
entendidas se o aluno conhecesse um pouco mais de vetores.
Nas conclusões, o autor afirma que o tratamento vetorial da Geometria
Analítica Plana seria interessante pelos motivos listados anteriormente e
também por exigir um nível menor de abstração do aluno, o que seria bom,
53
pois, nessa fase dos estudos, ele ainda não tem maturidade suficiente para
tanto.
2.4 Procedimentos Metodológicos
Essa pesquisa foi realizada em uma Universidade pública na cidade de
São Paulo com alunos do curso de Licenciatura em Matemática que aceitaram
participar de maneira voluntária da mesma.
Para que esta pesquisa pudesse acontecer, as aulas de Geometria
Analítica Plana com o enfoque vetorial foram desenvolvidas por três semestres
seguidos com a turma do segundo semestre do curso de Licenciatura em
Matemática. Em cada semestre uma turma nova assistiu a essas aulas com a
pesquisadora.
No segundo semestre de 2010, a professora/pesquisadora ministrou as
aulas com o enfoque vetorial, observando quais as dificuldades que estes
alunos apresentavam ao estudar o assunto com o enfoque diferente do
convencional. A partir da observação feita durante essas aulas, no primeiro
semestre de 2011, uma segunda turma dessa mesma disciplina, nesse mesmo
curso, teve essas aulas com o enfoque vetorial, enquanto a
professora/pesquisadora começou a elaboração do texto e das atividades que
seriam aplicados na pesquisa.
Este texto, bem como as, atividades, foi elaborado no decorrer das aulas
e foi sendo testado e ajustado no decorrer do semestre letivo.
Numa terceira etapa, durante o segundo semestre de 2011, o texto que
consta no primeiro capítulo desse trabalho já estava pronto e pôde ser aplicado
à turma do curso de Licenciatura em Matemática que frequentou as aulas de
Geometria Analítica Plana nesse semestre.
Foram os alunos dessa terceira turma que resolveram os exercícios das
atividades que constam do Capítulo 3 desta pesquisa. Esses exercícios foram
realizados em papel e recolhido para poder ser analisado.
Para que se pudesse responder às questões de pesquisa, além das
atividades aplicadas aos dezenove alunos da turma mencionada no parágrafo
anterior, uma quarta atividade foi aplicada a um grupo de dez alunos do
54
terceiro ano do Ensino Médio que havia acabado de aprender a Geometria
Analítica Plana com o enfoque clássico e foi analisada em seguida.
Durante todo o processo, as observações realizadas durante as aulas
serviram para ajustar o texto base e as atividades.
As análises foram efetuadas com base na teoria dos Registros de
Representações Semióticas de Duval.
O curso de Licenciatura em Matemática existe nessa instituição desde o
início de 2008. A disciplina de Fundamentos da Geometria Analítica faz parte
da grade do segundo semestre do curso e a disciplina Vetores e Geometria
Analítica faz parte da grade do terceiro semestre do curso.
Para se responder à segunda questão da pesquisa foram analisadas as
notas finais dos alunos na disciplina de Vetores e Geometria Analítica de todos
os alunos que passaram por essa disciplina, desde o início do curso. Nesse
tempo de existência do curso foram seis as turmas que fizeram essa disciplina,
sendo que as quatro primeiras tiveram a disciplina de Geometria Analítica
Plana, tratada com o enfoque clássico antes de participar das aulas de Vetores
e Geometria Analítica e as duas últimas foram as turmas que participaram da
preparação desta pesquisa e, portanto, tiveram a disciplina de Geometria
Analítica Plana ensinada com o enfoque vetorial.
55
CAPÍTULO 3
ANÁLISE PRELIMINAR
Neste capítulo, é apresentada uma descrição das orientações dos
Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da Geometria Analítica no
Ensino Médio. Em seguida, foi feita a análise de como alguns livros didáticos
apresentam os conteúdos de Geometria Analítica. Foram analisados dois livros
didáticos de Ensino Médio, dois livros destinados a professores de Ensino
Médio e estudantes de cursos de Licenciatura em Matemática, um livro didático
do Ensino Superior e um livro francês escrito para ser usado no primeiro ano
da etapa de ensino nomeada de Lycée (equivalente ao Ensino Médio). A
ênfase da análise foi quanto à presença dos registros de representações
semióticas nessas publicações.
Após a apresentação da análise dos livros didáticos foi feita uma
comparação entre o enfoque dado à disciplina Geometria Analítica Plana nos
diversos livros analisados e a proposta desta pesquisa.
3.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs)
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) constituem-se de uma
série de documentos criados em 1999 para a implementação da Lei de
Diretrizes e Bases da Educação criada em 1997. São dois PCNs: um destinado
ao Ensino Fundamental e outro destinado ao Ensino Médio. A análise foi feita
desse segundo material que consta de quatro cadernos, o primeiro com as
Bases Legais e os outros três, sendo cada um destinado a uma das áreas de
conhecimento. No caderno 2 encontram-se as diretrizes para a área de
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias, no caderno número 3 encontram-se
as diretrizes para a área de Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias e no caderno 4 encontram-se as diretrizes para a área de Ciências
Humanas e suas Tecnologias.
No caderno 3 existe um texto sobre o sentido do aprendizado na área e
outros quatro textos sobre Competências e Habilidades em cada uma das sub
áreas de conhecimento englobadas por essa grande área: conhecimentos de
Biologia, conhecimentos de Física, conhecimentos de Química e
56
conhecimentos de Matemática. Ao final do volume há um texto sobre rumos e
desafios para o ensino na área.
Foi focada a atenção no capítulo que trata das competências e
habilidades para os conhecimentos de Matemática.
Esse texto é uma proposta para o Ensino Médio, no que se relaciona às
competências indicadas na Base Legal Comum e pretende atender as
diretrizes delimitadas pela Lei de Diretrizes e Bases (LDB) para o Ensino
Médio. Considerando que o Ensino Médio é a etapa final da Educação Básica,
esse texto tem por objetivo propor ações que complementem as competências
e habilidades já desenvolvidas anteriormente no Ensino Fundamental.
Esses referenciais têm por objetivo direcionar o aprendizado das
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias de modo que esse
conhecimento seja efetivo, de significado próprio e não apenas propedêutico.
Tem por objetivo, também, promover a interdisciplinaridade e a
contextualização de modo a formar cidadãos de sentido universal e não
somente de sentido profissionalizante.
O objetivo central é promover um aprendizado útil à vida e ao trabalho,
sem ser profissionalizante, e evitar que se proponha conteúdos que serão
entendidos apenas em outra etapa da escolarização. Dessa forma, recomenda-
se a contextualização propiciando uma interface entre as diversas disciplinas
da área de conhecimento e também das outras duas áreas.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) estabelece o Ensino
Médio como sendo a última etapa da Educação Básica e dessa forma
considera que esse deve complementar o aprendizado de Ciências e
Matemática já iniciado no Ensino Fundamental aprofundando-o, pois nessa
etapa o aluno já conta com uma maior maturidade e pode adquirir habilidades e
competências formativas.
Segundo os PCNs a Matemática deve ser ensinada no Ensino Médio de
modo a criar condições para que o aluno se insira num mundo em mudança
com diferentes motivações, interesses e capacidades de modo que esse
desenvolva as capacidades que lhe serão exigidas em sua vida social e
profissional.
Uma característica que deve prevalecer nessa fase do ensino é a
articulação interdisciplinar entre as disciplinas de Física, Química, Biologia e
57
Matemática, sendo que essa interdisciplinaridade deve ser de caráter científico
sem tirar as características disciplinares do conhecimento.
O fato da área de conhecimento chamar-se Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias leva a entender que ao se estudar essas
disciplinas tem-se sempre que promover competências e habilidades que
sirvam para que se faça intervenções e julgamentos práticos relacionados às
tecnologias envolvidas com esse conteúdo estudado.
Nessa nossa sociedade que está em constante mudança é de se
esperar que as competências matemáticas sejam exigidas em todas as áreas
quando se cobra do sujeito que tire conclusões e que faça argumentações
tanto na sua vida pessoal quanto na vida profissional.
A Matemática estudada no Ensino Médio deve ter um valor formativo
para poder ajudar a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo e também
deve agir como ferramenta para ajudar o sujeito a enfrentar as tarefas que
surgirão no decorrer de sua vida.
Os conhecimentos adquiridos durante o Ensino Médio devem, em cada
área de conhecimento, desenvolver conhecimentos práticos, contextualizados
e que respondam às necessidades da vida contemporânea e também
desenvolver uma cultura geral ampliando a visão de mundo do aluno. No caso
particular das Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias pretende-
se que o aluno desenvolva competências e habilidades que sirvam para o
exercício de intervenções e julgamentos práticos, pois no mundo atual cada
vez mais é necessário o entendimento de equipamentos e procedimentos
técnicos, a análise de informações e a análise e avaliação de riscos e
benefícios em procedimentos tecnológicos não só na vida profissional, mas
também na vida social, propiciando uma visão de mundo articulada com o
mundo da informação.
O Ensino Médio deve deixar de ser uma modalidade pré universitária ou
profissionalizante para passar a contemplar tanto o aluno que pretende
continuar sua escolarização após esse nível de ensino como também aquele
que encerre sua escolarização no Ensino Médio. Em consequência, é
necessário que as disciplinas deixem de ter o caráter propedêutico, mas que
passem a ter um caráter de atualização do conhecimento científico e
tecnológico. O aluno deve passar a ter uma visão de mundo atualizada. Para
58
que isso aconteça é necessário que os professores dessas disciplinas se
mantenham atualizados em relação aos avanços tecnológicos nas suas
respectivas áreas de conhecimento não só na produção científica como
também nas aplicações práticas dos conteúdos.
No caso da Matemática, devido à sua universalidade, ela deve permear
o estudo de todas as outras disciplinas sendo tratada como uma linguagem que
dá suporte não só ao estudo de qualquer área do conhecimento, como também
à maioria das atividades da vida contemporânea onde ela aparece para
codificar, ordenar, quantificar e interpretar compassos, taxas, dosagens,
coordenadas, tensões, frequências e uma infinidade de outras variáveis. Além
disso, a Matemática como ciência serve para construir e validar conceitos e
argumentações além de generalizar, relacionar e concluir fazendo possível a
interpretação de fenômenos e informações. Além disso, o raciocínio
matemático é de muita utilidade no estudo das outras ciências, favorecendo
abstrações e evitando a simples memorização indiscriminada de algoritmos e
fórmulas.
Outro fator que deve ser levado em conta ao se ensinar matemática no
Ensino Médio é o impacto que a tecnologia ocasionou à sociedade. O ensino
da matemática deve propiciar ao aluno o desenvolvimento de competências
que façam com que ele interaja com essas tecnologias e faça uma leitura de
mundo focada na elaboração de conjecturas, na busca de regularidades e na
generalização de padrões. É importante também que esse aluno desenvolva
sua capacidade de argumentação e de leitura e interpretação da realidade em
que vive.
Embora os PCN’s não contemplem a teoria dos registros de
representação semiótica, pode-se destacar neste documento um trecho em
que ao estabelecer os objetivos para que o ensino da Matemática possa
resultar em aprendizagem real e significativa, encontra-se: “reconhecer
representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando
procedimentos associados às diferentes representações”.
Na verdade, esse objetivo está relacionado às conversões e aos
tratamentos a que se refere a teoria de Raymond Duval (2011).
Outro objetivo que é colocado com destaque nesse documento é que o
conhecimento matemático não deve ficar restrito à informação, às definições e
59
aos exemplos, bem como à exercitação com exercícios de aplicação e fixação.
É necessário que o aluno consiga estabelecer relações entre os conteúdos
matemáticos e que relacione-os também com as necessidades do aluno para
que possa viver em sociedade e se inserir no mercado de trabalho.
O documento diz que essas conexões não são feitas automaticamente
pelos alunos e que é necessário que o currículo proporcione ao professor a
oportunidade de ajudar no estabelecimento das mesmas, por meio de temas
que mostrem a aplicação tanto dentro como fora da Matemática,
desenvolvendo assim habilidades e atitudes que favoreçam a aprendizagem
dessa disciplina de maneira integral e não segmentada em tópicos.
Uma sugestão estabelecida pelo texto é a da contextualização e da
interdisciplinaridade que, segundo ele, poderá proporcionar essa aprendizagem
de maneira mais efetiva.
Dentre as conexões internas sugeridas há um exemplo usando o estudo
das funções que deve ter um caráter integrador, relacionando-se com a
trigonometria, as progressões, o estudo dos polinômios e também com a
geometria analítica, cujas equações são na verdade funções, cujos gráficos
são as curvas por elas representadas.
As funções servem também para estabelecer conexões externas com as
outras áreas do conhecimento como, por exemplo, a Física, a Geografia e a
Economia que se beneficiam dos gráficos das funções que representam os
seus modelos específicos.
Outro aspecto a ser observado é que o aluno que não prosseguirá seus
estudos na área das Ciências Exatas devem terminar o Ensino Médio com
conhecimentos matemáticos que o ajudem a interpretar o mundo que o cerca
desenvolvendo habilidades que proporcionem a resolução de problemas, a
descrição de modelos e a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação
e intervenção no real.
O cidadão necessita também de habilidades relacionadas à estimativa, à
argumentação lógica, reconhecimento de ordens de grandeza e analisar dados,
além do uso da Geometria e suas propriedades na visualização e
representação de partes do mundo que o cerca.
Concluindo, a Matemática não pode ser apenas mais uma disciplina do
currículo, mas o seu estudo deve ser um momento privilegiado de inserção do
60
aluno na sociedade levando-o a entendê-la e interpretá-la adequadamente de
modo a se tornar um cidadão inserido no mundo do conhecimento, da
tecnologia e do trabalho.
Na sequência deste trabalho, encontra-se a análise de alguns livros
didáticos que têm, como parte de seu conteúdo, a Geometria Analítica Plana.
Observou-se, além do conteúdo, a forma como este foi apresentado e os
exercícios propostos sempre observando-se os registros e as representações
dos objetos matemáticos.
3.2 Análise de Livros Didáticos
3.2.1 Livro 1
SMOLE, K.C.S. e KIYUKAWA, R. Matemática (Volume 3), São Paulo: Editora Saraiva. 1998.
Este livro foi escrito por Kátia Cristina Stocco Smole e por Rokusaburo
Kiyukawa, e uma das razões de sua escolha para análise foi o fato de que uma
das autoras fez parte da equipe de consultores dos Parâmetros Curriculares
Nacionais de 1999.
O livro começa fazendo uma breve introdução histórica da Geometria
Analítica. Em seguida, ele apresenta o plano cartesiano indicando os
quadrantes, a representação dos pontos e as bissetrizes dos quadrantes
utilizando o registro na língua natural e o registro gráfico.
Figura 14: Kátia e Roku (1998), pág. 37
61
Na sequência, o livro apresenta a fórmula para o ponto médio de um
segmento conhecidas as coordenadas de suas extremidades e a fórmula para
o baricentro de um triângulo conhecidas as coordenadas de seus vértices. A
primeira fórmula é demonstrada a partir do Teorema de Tales aplicado à
representação gráfica do segmento de reta no Plano Cartesiano, e a segunda é
demonstrada admitindo-se a primeira fórmula. Alguns exercícios são resolvidos
utilizando-se o registro gráfico como apoio à resolução algébrica.
Utilizando-se o Teorema de Pitágoras, é demonstrada a fórmula da
distância entre dois pontos e, em seguida, a fórmula para o cálculo da área de
um triângulo a partir das coordenadas dos seus vértices.
Nessa parte os registros predominantes são o registro da língua natural,
o registro algébrico e o registro gráfico. Todas as demonstrações estão no
registro algébrico e são ilustradas por representações no registro gráfico que
mostram as situações sempre representadas no plano cartesiano ortogonal.
Após cada item são encontrados exercícios resolvidos e propostos com o
intuito de aplicar as fórmulas anteriormente demonstradas. A maioria dos
exercícios explora o tratamento dentro do registro algébrico e não explora a
conversão entre registros.
Figura 15: Kátia e Roku (1998), pág. 43
A fórmula para se calcular analiticamente a área de um triângulo a partir
das coordenadas de seus vértices é demonstrada usando-se semelhança de
triângulos, a partir da representação gráfica do triângulo.
62
Usando o Teorema de Tales, o livro apresenta a condição de
alinhamento de três pontos, já preparando para o capítulo seguinte que vai
tratar do Estudo Analítico da Reta. Neste capítulo, o registro algébrico é
privilegiado, sendo que em muito poucas situações o registro gráfico é usado
como apoio à visualização da situação geométrica.
Em seguida, são apresentadas as posições relativas entre duas retas,
relacionando-se com os coeficientes da equação geral da reta a partir da
discussão de um sistema linear com duas equações e duas variáveis. A
conversão entre os registros gráfico e algébrico é bastante explorada nesta
parte.
Uma característica diferencial deste livro é que, a cada assunto tratado,
ele propõe que o aluno invente um problema a partir de uma figura que
representa alguma situação referente ao assunto estudado, procurando
explorar conversões de representações no registro cartesiano para o registro
em língua natural e levando ao desenvolvimento da criatividade do aluno.
Figura 16: Kátia e Roku (1998), pág. 60
Em seguida, o livro apresenta as condições de paralelismo e de
perpendicularismo entre duas retas a partir da análise de seus coeficientes
angulares demonstradas a partir da noção de tangente de um ângulo. Nessa
teoria os quatro tipos de registro são explorados quase sempre a partir da
conversão entre eles. Entretanto, os exercícios propostos neste capítulo não
indicam o tipo de registro de resolução, esperando-se, provavelmente, que o
aluno os resolva utilizando tratamento no registro algébrico.
63
Figura 17: Kátia e Roku (1998), pág. 82
Essas mesmas observações valem para o capítulo que trata da distância
de ponto a reta, distância entre retas paralelas e ângulo entre retas.
3.2.2 Livro 2
GIOVANNI, J.R. e BONJORNO, J.R. Matemática Completa (Volume 3), São Paulo: Editora FTD. 2005.
Este livro, escrito por José Ruy GIOVANNI e por José Roberto
BONJORNO, foi escolhido por ser um livro bastante adotado nas escolas de
Ensino Médio na cidade de São Paulo. Inclusive, esse livro é distribuído em
várias escolas pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) na cidade de
São Paulo e, em particular, para os alunos do Ensino Médio da escola
participante da pesquisa.
O capítulo 1 explica o que é uma reta orientada ou eixo, a princípio
trabalhando apenas com o eixo das abscissas. Define distância entre dois
pontos na reta orientada, segmento orientado e razão de um segmento
orientado, sempre relacionando o registro algébrico com o registro figural,
usando cores para destacar as fórmulas e os aspectos da figura para os quais
os autores querem que se volte a atenção.
Em seguida, encontramos alguns exercícios resolvidos onde são usados
os registros gráfico e algébrico como apoio para resolução de exercícios
propostos com o auxílio do registro em língua natural. Os exercícios propostos
a seguir utilizam muito da conversão entre registros algébrico, gráfico,
geométrico e da língua natural. A conversão entre os diversos registros é a
proposta da maioria dos exercícios apresentados, sendo que em alguns deles
há a necessidade do tratamento dentro de um registro também. Ao final dessa
seção o livro apresenta um quadro com dois parágrafos destinados à Historia
da Matemática comentando sobre a invenção da Geometria Analítica, citando
como fonte o livro do EVES utilizado no capítulo 1 deste trabalho.
64
Figura 18: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 13
Na segunda seção desse capítulo é estudado o Sistema Cartesiano
Ortogonal onde são apresentados os eixos das abscissas e das ordenadas, os
quadrantes e as bissetrizes dos eixos coordenados. Ao final de cada item
tratado o livro apresenta alguns exercícios resolvidos e alguns propostos,
sendo que entre os propostos há sempre alguns exercícios contextualizados
onde a teoria estudada é aplicada a outro ramo do conhecimento e a exercícios
retirados de vestibulares. Observa-se, também, que nos exercícios resolvidos,
mesmo que o enunciado não peça, a representação gráfica é sempre utilizada
como apoio. Convém observar que alguns dos exercícios utilizam o tratamento
dentro do registro gráfico.
Eis, a seguir, um dos exercícios resolvidos:
65
Figura 19: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 15 e 16
Na sequência, ele apresenta a distância entre dois pontos no plano
cartesiano com a fórmula demonstrada a partir do Teorema de Pitágoras. As
fórmulas que determinam as coordenadas do ponto médio de um segmento,
dados os seus pontos extremos, é demonstrada a partir de semelhança de
triângulos. Todos os exercícios resolvidos apoiam-se em conversões entre
registros gráfico, algébrico e de língua natural.
A seguir, um dos exercícios resolvidos:
Figura 20: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 19
66
No terceiro item do capítulo encontra-se o estudo da reta iniciado com a
condição de alinhamento de três pontos que, a partir da semelhança de
triângulos chega ao determinante que permite classificar esses pontos em
colineares ou não colineares. A partir da condição de alinhamento tem-se a
equação geral da reta e a análise dos casos particulares de retas horizontal,
vertical e inclinada analisadas, usando-se os coeficientes da sua equação
geral. Todas as fórmulas contidas nesse item são demonstradas utilizando-se
de tratamentos dentro do registro algébrico e com o apoio de figuras que
representam as situações dentro do registro gráfico.
Em seguida, encontram-se as definições de inclinação e de coeficiente
angular de uma reta calculadas a partir de dois pontos distintos dessa reta,
usando a noção de tangente. Essas definições nos levam à equação da reta
que passa por um ponto e 0 0P x ,y e de coeficiente angular m e também à
equação reduzida, à equação segmentária e às equações paramétricas da
reta.
A partir do coeficiente angular, tem-se a análise da posição relativa de
duas retas, com atenção especial para as retas paralelas e para as retas
perpendiculares. O livro chega a fórmulas para verificação desses dois casos
usando o coeficiente angular das duas retas.
Após uma lista de exercícios aplicativos que exploram bem as
conversões entre os registros e o tratamento dentro de um mesmo registro,
tem-se a noção de pontos e retas simétricos em relação a uma reta dada com
a explicação de como se encontrar esses pontos simétricos a partir de uma
construção em desenho geométrico, utilizando-se dessa forma, o registro
gráfico.
A seguir, o livro apresenta a fórmula para determinação do ângulo entre
duas retas, demonstrada a partir da noção de tangente, a fórmula da distância
entre ponto e reta demonstrada a partir da noção de cosseno de um ângulo e a
fórmula que determina as bissetrizes de duas retas. Finalizando o capítulo,
temos a demonstração da fórmula que fornece a área de um triângulo
analiticamente a partir das coordenadas de seus vértices.
67
Os exercícios sobre o assunto desse capítulo tratam, na maior parte das
vezes, de situações de tratamento dentro do registro algébrico. Porém, se bem
explorados pelo professor, esses exercícios podem ter a conversão para o
registro gráfico como artifício para compreensão da situação problema.
Após as listas de exercícios sobre esses assuntos, encontra-se ainda
uma lista geral de problemas, muitos retirados de vestibular, envolvendo todo o
conteúdo do capítulo estudado e, no final do livro, testes de vestibular,
separados pelos assuntos dos capítulos.
Nos exercícios retirados de vestibular encontram-se alguns exercícios
que exploram a conversão entre os diversos registros.
Um exercício contextualizado que relaciona a Geometria Analítica com
a Biologia e usa da conversão entre o registro tabular e o registro gráfico
encontra-se a seguir:
Figura 21: Giovanni e Bonjorno (2005), pág. 29
3.2.3 Livro 3
REIS, G.L. e SILVA, V.V. Geometria Analítica. 2ª. Edição. Goiânia: Editora LTC. 1996.
Este livro, escrito por Genésio Lima dos REIS e Valdir Vilmar da SILVA,
foi escolhido por tratar a Geometria Analítica Plana com um enfoque vetorial.
No prefácio desse livro consta que ele foi escrito como apoio para os alunos
ingressantes na Universidade para os cursos de Matemática, Engenharia ou
Física. Ele tem como objetivo fazer uma ponte entre a Geometria Analítica
cursada no Ensino Médio, a Geometria Analítica Vetorial e a Álgebra Linear
cursadas no Ensino Superior.
68
O primeiro capítulo faz uma revisão sobre reta numerada, números
racionais, irracionais e reais e ainda trata um pouco sobre a noção de módulo
de um número. Essa revisão é feita sempre relacionando os registros de língua
natural com o algébrico e o figural geométrico. No entanto, os exercícios que
são propostos exploram apenas o tratamento dentro do registro algébrico.
O segundo capítulo inicia descrevendo o plano a partir de um Sistema
de Coordenadas estabelecendo uma correspondência biunívoca entre os
pontos do plano e os pares ordenados de números reais (x, y). Em seguida,
introduz a distância entre dois pontos distintos do plano deduzindo a fórmula a
partir do Teorema de Pitágoras. A teoria está sempre relacionando o registro
algébrico com o registro gráfico, utilizando-se da conversão entre eles.
Figura 22: Reis e Silva (1996), pág. 16
Na segunda parte do capítulo ele define um vetor no plano como uma
seta que parte da origem do plano cartesiano e vai até o ponto que determina
esse vetor. Ele compara o vetor com o conceito de Força que, considerado já
de conhecimento do aluno e acrescenta a situação do vetor, cujo representante
não inicia na origem do plano cartesiano.
69
Na sequência, ele apresenta a adição de vetores e a multiplicação de
vetor por um escalar com suas propriedades e deixa as demonstrações a cargo
do leitor. Depois ele apresenta duas aplicações dos vetores na física: vetor
deslocamento e vetor resultante. Nesse ponto, ele explora bastante o registro
figural para explicar as noções algébricas fazendo as conversões.
70
Figura 23: Reis e Silva (1996), pág. 24 e 25
Para apresentar a fórmula para determinação do Ponto Médio de um
segmento ele usa do recurso da multiplicação de vetor por um escalar e o vetor
unitário é definido como sendo o vetor multiplicado pelo inverso do módulo do
mesmo.
Em seguida, há uma lista de exercícios de aplicação, onde alguns são
de conversão do registro algébrico para o registro figural, outros de tratamento
71
dentro do registro algébrico e alguns de demonstração de propriedades dos
vetores.
Após a lista de exercícios de aplicação, ele apresenta o produto escalar,
o ângulo entre dois vetores e a projeção de vetores com as demonstrações
sempre apoiadas no registro figural, que visa facilitar o entendimento do que foi
demonstrado usando o registro algébrico.
O interessante nesse capítulo é que a fórmula geométrica do produto
escalar é deduzida a partir da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores
que é deduzida a partir da fórmula de Cachy-Schwarz.
Figura 24: Reis e Silva (1996), pág. 32
72
Após outra lista de exercícios encontram-se as equações paramétricas
da reta demonstradas a partir da equação vetorial e a partir das equações
paramétricas ele apresenta a equação geral da reta que denomina equação
cartesiana da reta.
Em seguida, ele apresenta a determinação de ângulos entre retas
calculado a partir do ângulo entre os seus vetores diretores, e por último, ele
apresenta a fórmula da distância de um ponto a uma reta. Os exercícios sobre
retas, na sua maioria, exploram o registro algébrico e o tratamento dentro dele.
Alguns poucos usam o registro figural e a conversão para o registro algébrico.
Um dos exercícios de conversão é o seguinte:
Figura 25: Reis e Silva (1996), pág. 53 e 54
3.2.4 Livro 4
LIMA, E.L. et al. A Matemática do Ensino Médio (Volume 3). 6ª. Edição. Rio de Janeiro: SBM. 2006.
Este livro, escrito por Elon Lages LIMA, Paulo Cezar Pinto CARVALHO,
Eduardo WAGNER e Augusto César MORGADO, foi escolhido por ter sido
editado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) a partir do material
produzido para ser apresentado no programa de aperfeiçoamento para
professores de Matemática do Ensino Médio. Esse programa vem sendo
73
realizado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) desde 1996, com
o apoio da CAPES e da FAPERJ.
Segundo o site da SBM, este livro é destinado a professores do Ensino
Médio e alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática, procurando sempre
fazer a conexão dos métodos algébricos com os métodos geométricos.
O livro trata da Geometria Analítica Plana, introduz a Geometria Analítica
Espacial, mas não tem a pretensão de trabalhar os assuntos até esgotá-los,
tanto que sugere ao leitor interessado em complementar os assuntos que use
outro livro da mesma editora que é mais completo, segundo eles.
No capítulo sobre Geometria Analítica Plana ele começa introduzindo os
conceitos de coordenadas na reta, segmento orientado e distância entre
pontos. Para isso ele orienta uma reta e usando uma unidade de medida e um
ponto da reta como sendo ponto de origem, representa cada um dos pontos
dessa reta por meio de números reais que indicam a distância desses pontos à
origem. No item seguinte ele acrescenta outro eixo perpendicular ao primeiro,
formando o sistema de coordenadas cartesiano e passa a representar os
pontos do plano por meio de pares ordenados que estão relacionados com a
distância desses pontos a cada um desses eixos. A teoria é sempre organizada
usando os registros algébrico e da língua natural.
Na sequência, o livro apresenta a o conceito de quadrante, bem como as
suas bissetrizes e faz a dedução das fórmulas para determinação do ponto
médio de um segmento dadas as coordenadas de suas extremidades. Essa
fórmula foi deduzida utilizando-se a semelhança de triângulos. Aproveitando a
noção de ponto médio, o livro amplia o conceito para a divisão de um segmento
de reta numa razão dada.
No item seguinte encontra-se a fórmula da distância entre pontos,
deduzida utilizando-se o Teorema de Pitágoras, e a análise de um problema
referente a conjunto de pontos equidistantes de dois pontos dados.
Em seguida, já é apresentado o estudo das equações da reta. Essas
equações foram divididas em três tipos: as equações do tipo y = ax + b; as
equações do tipo: ax + by = c e as equações paramétricas da reta. Os
conceitos de inclinação e de coeficiente angular não são explicados, apenas é
citado que esse conceito já foi tratado no primeiro volume da coleção, quando
se estudou as funções polinomiais do primeiro grau.
74
Ao apresentar esses tipos de equações ele apresenta simultaneamente
o estudo da posição relativa de duas retas utilizando-se do estudo dos
sistemas lineares de duas equações com duas variáveis, fazendo um paralelo
entre os tipos de sistemas e as posições relativas das retas.
A seguir, encontram-se os conceitos de ângulos entre duas retas,
distância de um ponto a uma reta e o cálculo da área de um triângulo dadas as
coordenadas dos seus vértices, mas remetendo a uma fórmula sem o uso do
determinante para esse cálculo.
Interessante notar que o ângulo entre as retas é calculado a partir do
cosseno, porém sem remeter ao conceito de produto escalar, mas utilizando os
coeficientes das equações gerais das retas. Ao se analisar a equação geral da
reta ax + by + c = 0 pode-se notar que o vetor (a, b) é ortogonal ao vetor diretor
da reta e que, portanto, a fórmula utilizada é derivada da fórmula que utiliza o
produto escalar entre os vetores diretores.
75
Figura 26: Lima (2006), pág. 32 e 33
Quanto à fórmula da área do triângulo, na verdade é a mesma que é
proposta normalmente e que utiliza o determinante formado pelas coordenadas
dos vértices do triângulo, porém o livro traz a fórmula com o determinante
desenvolvido sem indicá-lo.
76
Figura 27: Lima (2006), pág. 39 e 40
Ao final do capítulo, há uma lista de exercícios que explora o tratamento
dentro do registro algébrico sendo que apenas um dos exercícios explora a
conversão do registro fgural para o algébrico. A maioria desses exercícios é de
demonstração de propriedades.
A seguir encontram-se alguns dos exercícios contidos nesse livro:
77
Figura 28: Lima (2006), pág. 67 e 69
3.2.5 Livro 5
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 1ª. Edição. São Paulo: Makron. 2000.
Este livro, escrito por Paulo WINTERLE, foi escolhido por tratar do
assunto vetores tanto em duas como em três dimensões e também por ser
adotado em vários cursos superiores onde há a disciplina Vetores e Geometria
Analítica.
O primeiro capítulo é dividido em duas partes, a primeira faz o
tratamento geométrico dos vetores a partir da noção intuitiva e a segunda parte
faz o tratamento algébrico, primeiramente no plano e, em seguida, no espaço.
O tratamento geométrico é feito basicamente com o uso do registro
figural e o registro da língua natural. Ele parte da noção de grandezas
escalares e vetoriais mostrando a necessidade da direção e do sentido além do
módulo nas grandezas vetoriais, usando para isso alguns exemplos práticos.
Em seguida, ele introduz o conceito de segmento orientado e define vetor a
partir desse conceito, considerando cada segmento orientado como sendo um
representante de um determinado vetor, estabelecendo também os conceitos
de módulo, direção e sentido.
78
Na sequência, o livro introduz algumas propriedades geométricas dos
vetores estabelecendo os conceitos de vetores paralelos, iguais, ortogonais e
coplanares, sempre se apoiando no registro figural.
Um exemplo de como são tratados os dois tipos de registros usados é o
seguinte:
Figura 29: Winterle (2000), pág. 5
Após alguns exemplos que exploram a conversão entre os registros
algébrico e figural, ele define geometricamente a adição de vetores e a
multiplicação de vetores por escalares analisando as propriedades desses dois
tipos de operação e por último define geometricamente o ângulo entre dois
vetores, sempre a partir do registro figural, ou seja, até esse momento, não é
usado o registro gráfico com o uso de coordenadas.
Um exemplo interessante que ajuda o aluno a entender o conceito de
classe de equivalência de segmentos orientados encontra-se a seguir:
79
Figura 30: Winterle (2000), pág. 6
Em seguida, o livro propõe alguns exercícios que exploram a conversão
entre o registro algébrico e o registro figural e algumas demonstrações da
geometria plana para serem efetuadas com o apoio dos vetores.
Algumas das demonstrações propostas nesse capítulo são:
Figura 31: Winterle (2000), pág. 17
Ainda nesse capítulo, na segunda parte, ele introduz o tratamento
algébrico iniciando pelos vetores no plano. Essa parte do capítulo inicia-se com
a ideia de base mostrando que cada vetor pode ser escrito de uma forma
80
diferente dependendo da base estabelecida, mas sem entrar em detalhes de
como fazer a mudança de base. Essa noção é apresentada com apoio nos
registros geométrico e gráfico e na conversão entre o registro gráfico e o
registro algébrico. Em seguida, ele apresenta a base canônica ( i , versor do
eixo das abscissas Ox e j , versor do eixo das ordenadas Oy) e estabelece que,
daquele ponto em diante, irá tratar os vetores sempre representados na base
canônica.
Encontra-se, a seguir, a ilustração utilizada para se dar a noção de base:
Figura 32: Winterle (2000), pág. 18
81
Dessa forma, cada vetor passa a ser representado por um par ordenado
que é a mesma representação do ponto do plano cartesiano, onde termina o
vetor quando esse se inicia na origem do sistema. A conversão entre as duas
representações algébricas dos vetores (expressão algébrica utilizando os
versores da base canônica e pares ordenados) é explorada em toda a teoria e
em todos os exemplos a partir desse ponto.
Na sequência o autor estabelece a igualdade de vetores e as operações
de adição de vetores e de multiplicação de escalar por vetor utilizando o
registro algébrico com apoio no registro gráfico, sendo que as propriedades são
enunciadas, mas deixando as suas demonstrações a cargo do leitor. Em
seguida, encontra-se o vetor definido por dois pontos, a fórmula do Ponto
Médio de um segmento de reta e as noções de paralelismo de dois vetores e
de módulo de um vetor.
Os exemplos apresentados, pedem muitas vezes a demonstração de
teoremas da Geometria Analítica usando a noção de vetores e ao final do
capítulo, ele apresenta o versor k do eixo ordenado Oz introduzindo, dessa
forma, o tratamento dos vetores no espaço.
Após analisar como se comportam os vetores nos diversos octantes do
espaço, sobre os eixos coordenados e nos planos coordenados, ele apresenta,
no espaço, cada um dos aspectos já estudados com os vetores no plano.
Em seguida, ele apresenta alguns exemplos resolvidos, quase todos
relacionados a teoremas da Geometria Analítica, mas que devem ser
resolvidos com o apoio dos vetores, e uma lista de exercícios propostos, sendo
alguns de demonstração. A maioria dos exercícios trata da conversão entre os
diversos registros, que é muito explorada nesse capítulo.
Um exercício que explora bem a conversão do registro algébrico para o
geométrico e vice e versa é o seguinte:
Figura 33: Winterle (2000), pág. 41
O segundo capítulo é dedicado ao estudo do produto escalar,
primeiramente a partir da definição algébrica seguido de algumas propriedades
82
e, em seguida, a partir da definição geométrica de Produto Escalar que propicia
que na sequência se trate da Desigualdade de Schwarz u.v u v e da
Desigualdade Triangular u v u v que têm suas demonstrações
deixadas a cargo do leitor.
O produto escalar é usado para se fazer a classificação dos ângulos em
retos, agudos e obtusos utilizando o registro algébrico apoiado ao registro
figural.
Usando da definição geométrica de produto escalar, ele demonstra
alguns teoremas da geometria plana e, em seguida, apresenta o cálculo do
ângulo de dois vetores seguido dos ângulos diretores e dos cossenos diretores,
além da projeção ortogonal de um vetor sobre outro, utilizando sempre o
registro algébrico. Após alguns exemplos, é feita uma observação que mostra
que o produto escalar pode ser considerado no plano também com as mesmas
propriedades do produto escalar no espaço, válidas.
Dois teoremas que são demonstrados nesse capítulo estão
representados a seguir:
83
Figura 34: Winterle (2000), pág. 55
O último item desse capítulo trata de uma aplicação do produto escalar
na Física que é o cálculo do trabalho realizado por uma força quando essa
produz um deslocamento.
3.2.6 Livro 6
LEE, Y. Mathématiques. 2e Edition. Paris: Ellipses. 2011.
Este livro, escrito por Yoan Lee, foi escolhido por ser um livro adotado
pelas escolas francesas e estar de acordo com o novo programa de ensino
deste país. Ele é um livro adotado nas escolas francesas no curso Lycée,
equivalente ao Ensino Médio, na segunda série para os alunos que escolhem
estudar nas turmas que dão ênfase à tecnologia.
84
Nele encontram-se os conteúdos: funções, polinômios, derivação, séries
numéricas, estatística, probabilidade, binomiais, trigonometria, vetores e o
trabalho prático com algoritmos.
Será considerado apenas o capítulo que trata dos vetores, que inclui
também o conteúdo de Geometria Analítica Plana, tratada sob o enfoque
vetorial. O título deste capítulo é: “Vetores, produto escalar e geometria
analítica plana”.
Este capítulo se inicia com uma série de lembretes que falam sobre
norma de um vetor, condições para que dois vetores sejam colineares, tanto
condições geométricas (mesma direção) como condições algébricas ( u e v
são colineares se v ku ).
A partir desses lembretes pode-se concluir que esta não é a primeira vez
que o aluno tem contato com esse conteúdo, ou seja, o aluno já foi
apresentado à noção de vetor anteriormente.
Em seguida, o livro apresenta a soma de vetores usando o que ele
chama de Relação de Chasles14: “por quaisquer pontos M, N e P, vale:
MN NP MP ”. Em seguida ele apresenta alguns exercícios resolvidos que
aplica essa relação, porém esses exercícios usam apenas o registro algébrico
e o tratamento dentro deste registro.
Em seguida, ele apresenta a definição de coordenadas apresentando o
vetor na forma algébrica utilizando dois vetores nomeados de i e j como
sendo os vetores que formam uma base genérica. Esses vetores, embora
tenham esses nomes, não são os versores da base ortonormal.
Para explicar melhor as coordenadas do vetor, ele usa o registro figural,
conforme a ilustração a seguir:
14
Michael Chasles (1793 - 1880) foi um matemático francês que dedicou seus estudos à geometria.
85
Figura 35: Lee (2011), pág. 230
Em seguida, ele apresenta a Equação Cartesiana da Reta que, na
verdade, é a equação vetorial que aparece nos livros brasileiros, pois usa um
ponto da reta e o seu vetor diretor para ser construída. Para isso o livro usa o
registro da língua natural e o registro algébrico.
A notação usada para vetores e para retas é um pouco diferente da
usada nos livros brasileiros. A seguir, pode-se ver como essa notação aparece
nesse livro.
86
Figura 36: Lee (2011), pág. 232
Em seguida, encontra-se a definição algébrica do produto escalar no
plano, suas propriedades e o seu uso com o auxílio dos módulos dos vetores.
Apresenta-se alguns exercícios de aplicação usando apenas o registro
algébrico e o tratamento dentro deste.
Ainda no mesmo capítulo, encontram-se aplicações do produto escalar à
geometria plana em que a conversão entre os registros geométrico e algébrico
é explorada e algumas propriedades e alguns teoremas da geometria plana
são demostrados a partir do uso do produto escalar.
Figura 37: Lee (2011), pág. 237
87
No item seguinte, ele volta ao estudo da equação da reta e apresenta a
equação cartesiana do círculo. Após exercícios aplicativos onde aparece,
inclusive, a equação polar do círculo, ele apresenta a definição geométrica do
produto escalar, aproveitando para apresentar o ângulo entre as retas
calculado a partir do cosseno do ângulo entre os vetores diretores destas.
O capítulo termina com mais alguns exercícios aplicativos.
3.3 Comparação entre os livros
A partir da análise dos vários livros pôde-se notar que a conversão entre
os diversos registros é muito usada pelos autores dos livros didáticos para a
comunicação com o leitor/estudante. Em particular, o registro figural é bastante
usado como complemento às informações dadas pelo registro algébrico já que
este possibilita a visualização da situação geométrica.
A Geometria Analítica é um ramo da Matemática que possibilita este tipo
de situação, uma vez que relaciona a geometria com a álgebra o que possibilita
esta mobilidade entre os registros.
Apenas o livro 4 apresenta a teoria sem usar muito do recurso do
registro figural, usando mais os registros de língua natural e algébrico.
Quanto aos exercícios aplicativos, os livros, em geral usam a conversão
entre os registros como artifício para resolver os exercícios usados como
exemplo. Já os exercícios propostos, em sua maioria, pedem apenas o
tratamento dentro do registro algébrico, cabendo ao aluno usar o artifício da
conversão entre os registros para “enxergar” a situação geométrica proposta.
Poucos são os exercícios que têm na proposta alguma conversão entre os
registros como situação a ser resolvida.
O livro que mais chamou a atenção da pesquisadora foi o livro francês
que tem um texto semelhante ao proposto neste trabalho. Como o texto desse
livro é usado nas escolas francesas, pode-se concluir que a proposta dessa
pesquisa é viável uma vez que é utilizada nesse país.
88
CAPÍTULO 4
O Experimento
4.1 Elaboração das atividades
Para testar as hipóteses desta pesquisa foram aplicadas quatro
atividades com o objetivo de testar as conversões entre os diversos registros e
o tratamento dentro de um registro específico. A seguir, está indicado o que se
esperava de cada atividade, quais os objetivos de cada uma delas e quais as
dificuldades que eram esperadas na resolução de cada uma delas.
4.1.1 Atividade 1
O objetivo desta atividade é verificar se o aluno consegue fazer a
conversão do registro gráfico para o registro simbólico e vice e versa. Nela
foram apresentados pontos15 registrados no plano cartesiano e o aluno devia
escrever esses mesmos pontos representados pelas suas coordenadas
cartesianas, ou seja, no formato de par ordenado de números.
Na segunda parte dessa atividade foram apresentados alguns pontos
representados pelo registro simbólico, ou seja, na forma de pares ordenados e
foi solicitado que o aluno fizesse a conversão para o registro gráfico, ou seja,
que representasse esses pontos num plano cartesiano.
Essa atividade foi aplicada a dezenove alunos do curso de Licenciatura
em Matemática durante o semestre em que cursaram a disciplina de
Fundamentos de Geometria Analítica, após ter sido discutido nas aulas o texto
que consta do Capítulo 1 deste trabalho.
Nesta atividade esperava-se que o aluno fizesse corretamente todas as
associações entre coordenadas de pontos e representações no plano
cartesiano, pois esse tipo de atividade já é familiar a esse grupo de alunos que
fizeram no semestre anterior a disciplina de Fundamento de Funções e as
aplicaram na construção dos gráficos de funções a partir de tabelas de pontos.
A atividade aplicada foi a seguinte:
15
Os pontos podem ser indicados de duas formas: A(x,y) ou A=(x,y). Nas atividades será usada a primeira notação.
89
Atividade 1:
1) Dados os pontos representados no sistema de coordenadas, determine
suas coordenadas:
A_____ B_____ C_____ D_____ E_____ F_____ G_____ H_____
2) Marque no sistema de coordenadas, representado abaixo, os seguintes
pontos: A=(2. 3); B=(-1, 5); C=(-3, -2); D=(4, -2); E=(0, 3); F=(-2, 0);
G=(0, 4) e H=(0, -2).
90
4.1.2 Atividade 2
O objetivo desta atividade é verificar se o aluno consegue efetuar a
conversão do registro gráfico para o registro algébrico e vice e versa. Foi
usada, também, para verificar se o aluno entendeu a diferença entre vetor e
representante do vetor. Neste caso, também verificar se o estudante valoriza
mais a definição geométrica ou a definição algébrica de vetor.
Para tanto, a atividade foi formatada de modo a mostrar ao aluno alguns
vetores representados no registro gráfico, ou seja, no plano cartesiano e foi
sugerido que ele representasse esses mesmos vetores no registro simbólico,
ou seja, por meio de pares ordenados.
Na segunda parte da atividade foram apresentados alguns vetores no
registro simbólico, por meio de pares ordenados, e foi pedido que o aluno
representasse esses vetores no registro gráfico, ou seja, no plano cartesiano.
Essa atividade foi aplicada ao mesmo tempo com a atividade 1 para os
mesmos dezenove alunos, pois os objetivos eram semelhantes, ou seja,
verificar se os alunos conseguiriam fazer a conversão entre os registos
simbólico e gráfico nas duas direções.
Na primeira parte desta atividade esperava-se que o aluno escolhesse
um dos caminhos a seguir: encontrar o representante do vetor que deveria
nomear que tivesse origem no ponto (0,0) e lesse o seu valor a partir do ponto
onde ele terminasse ou então, que verificasse os pontos onde o representante
iniciava e terminava considerando a fórmula do vetor definido por dois pontos (
AB B A ).
A experiência profissional da pesquisadora e as pesquisas analisadas
apontam que as principais dificuldades que os alunos poderiam encontrar
seriam:
Inversão entre os valores da abscissa e da ordenada;
Troca de sinal dos valores da abscissa ou da ordenada;
No caso do uso de AB B A , erro na conta da diferença ou ainda nos
sinais.
Na segunda parte dessa atividade esperava-se que o aluno traçasse, no
plano cartesiano, dois representantes diferentes de cada um dos vetores
solicitados.
91
Na teoria vista anteriormente, os vetores foram nomeados pelo par
ordenado que representa o ponto onde o vetor termina quando ele é iniciado na
origem do plano cartesiano. Desta forma, esperava-se que os alunos
colocassem um dos representantes com origem na origem do sistema
cartesiano terminando no ponto que é representado pelo par ordenado, usado
para nomear o vetor. O segundo representante do vetor era esperado em
qualquer outra posição do plano cartesiano que o aluno escolhesse.
A experiência profissional da pesquisadora e as pesquisas analisadas
apontam que uma das dificuldades que poderia acontecer ao se resolver essa
atividade seria a troca dos valores das abscissas pelos valores das ordenadas,
principalmente nos vetores paralelos a um dos eixos do plano cartesiano (com
abscissa ou ordenada zero).
A atividade 2 encontra-se a seguir:
Atividade 2:
1) Os segmentos orientados desenhados abaixo representam vetores
de V². Dê as coordenadas de cada um deles.
AB = ______
CD =______
EF=_______
GH=______
IJ =_______
KL =_______
MN= ______
OP = _____
2) Desenhe no plano cartesiano dois representantes de cada um dos
seguintes vetores:
u 3,2 ; v 3,1 ; w 2, 1 ; x 4, 3 ; y (4,0) e z 0, 3
92
4.1.3 Atividade 3
O objetivo desta atividade é verificar:
(i) Se o estudante consegue fazer a conversão do registro gráfico
para o registro simbólico;
(ii) Verificar se ele identifica a equação de uma reta a partir de sua
representação gráfica e
(iii) Se ele identifica pontos e vetores diretores de retas.
Nessa atividade foi também verificado se o aluno faz o tratamento da
equação de uma reta pelos seus vários formatos usando pontos e vetores
diretores das mesmas.
Essa atividade foi aplicada também aos mesmos dezenove alunos que
resolveram os exercícios das atividades 1 e 2.
A experiência da pesquisadora e as observações no decorrer da
pesquisa mostraram que nesta atividade esperava-se que o aluno não tivesse
muitas dificuldades para construir as equações de retas solicitadas. Alguns
erros que se esperava que acontecessem eram:
Troca de nome no formato das equações;
Erro de sinal ao se fazer as contas para chegar no vetor diretor;
93
Ao se escrever as equações paramétricas, inversão dos valores
referentes a pontos e a vetores;
Os alunos tendem a não querer resposta com valores fracionários e
muitas vezes somem com o denominador das frações mudando
completamente a equação encontrada.
Nessa atividade esperava-se que o aluno encontrasse primeiramente o
vetor diretor da reta e que, a partir desse vetor, determinasse a equação
vetorial da reta. A partir da equação vetorial, esperava-se que ele encontrasse
as equações paramétricas que gerariam a equação simétrica que serviria para
encontrar as equações geral e reduzida da reta. Era considerado provável que
o aluno seguisse esse caminho, pois foi o seguido em sala de aula pela
professora ao explicar o conteúdo e a ordem em que as equações foram
pedidas no enunciado da atividade, embora não tenha sido solicitada a
aplicação da equação simétrica.
A atividade 3 encontra-se relatada a seguir:
Atividade 3:
1) Escreva as equações vetorial, paramétricas, geral e reduzida da reta
que passa pelos seguintes pontos: A 2,5 e B 3,1 ;
2) Escreva as equações vetorial, paramétricas, geral e reduzida da reta
que passa pelos pontos representados no plano cartesiano abaixo:
94
4.1.4 Atividade 4
Esta atividade foi aplicada a dois grupos de alunos. Um dos grupos era
composto por alunos do terceiro ano do Ensino Médio e que tiveram a
disciplina de Geometria Analítica apresentada unicamente pelo enfoque
clássico. O segundo grupo ao qual foi aplicada essa atividade é o mesmo ao
qual foram aplicadas as três primeiras atividades, ou seja, um grupo de 19
alunos do curso de Licenciatura em Matemática na disciplina Fundamentos da
Geometria Analítica.
O objetivo dessa atividade é verificar qual o método será usado pelo
aluno ao resolver alguns problemas referentes a equações de retas dadas por
seus pontos e se ele usa das conversões como artifício para ajudar a visualizar
as situações propostas.
A atividade 4 aplicada foi a seguinte:
Atividade 4:
1. Considere os pontos do plano dados por suas coordenadas: A = (1,
3), B = (4, 1), C = (3, 4), D = (- 4, 4), E = (- 2, 2) e F = (2, - 3)
95
Determine a posição relativa (concorrentes, paralelas ou coincidentes)
entre as retas AB e CD.
2. Determine a intersecção entre as retas EF e AD.
3. Determine o ângulo formado pelas retas EF e AD.
4. Determine a distância do ponto E à reta AB.
5. Determine a área do triângulo de vértices A, B e C.
4.2 Análise das Atividades
A seguir encontra-se a análise das atividades resolvidas pelos grupos de
alunos. Em primeiro lugar será feita uma caracterização dos grupos que
resolveram cada uma das atividades. Em seguida, as análises serão feitas
atividade por atividade e, ao final, será feita uma análise geral envolvendo as
quatro atividades.
4.2.1 Características do grupo ao qual foram aplicadas as
atividades 1, 2 e 3.
Esse grupo de alunos do curso de Licenciatura em Matemática resolveu
os exercícios das atividades numa data próxima à metade do curso. Ao término
dessa pesquisa, esse grupo de alunos já havia terminado a disciplina e isso
possibilitou que fosse verificada a situação de cada um deles em relação à
disciplina Fundamentos da Geometria Analítica. Os alunos foram classificados
em aprovados, retidos por notas e retidos por faltas. Os alunos retidos por
faltas são os alunos que abandonaram a disciplina antes do final do semestre.
Com esses dados foram construídas uma tabela e um gráfico que se
encontram a seguir:
Situação Final Frequência
Aprovados 12
Retidos por notas 4
Retidos por faltas 3
96
4.2.2 Característica dos alunos que resolveram a atividade 4:
Esta atividade foi resolvida por dois grupos de alunos. O primeiro grupo
era composto por dez alunos do Ensino Médio que aprenderam a Geometria
Analítica com o Enfoque Clássico e que foram alunos de uma professora que
não participou desta pesquisa. O segundo grupo era formado pelos mesmos
dezenove alunos que resolveram as atividades 1, 2 e 3. Estes alunos do
segundo semestre do curso de Licenciatura em Matemática que estavam
frequentando as aulas de Fundamentos da Geometria Analítica Plana com
enfoque vetorial, tinham acabado de completar o estudo das retas. Estes
alunos tiveram esse conteúdo com a pesquisadora.
Alunos Frequência
Ensino Médio 10
Segundo semestre do curso 19
4.2.3 Análise individual dos alunos que resolveram as
atividades 1, 2, 3 e 4
Neste capítulo encontra-se uma análise individual das atividades dos
dezenove alunos que participaram da pesquisa realizando as quatro atividades
propostas. O objetivo foi, a partir dessa análise, observar o ensino e a
aprendizagem da Geometria Analítica Plana com enfoque vetorial, uma vez
que esses alunos participaram das aulas dadas a partir do material proposto
para essa pesquisa.
Aprovados
Retidos por notas
Retidos por faltas
97
Esses alunos foram nomeados de A1 até A19 e foi feito inicialmente,
para cada um deles, um levantamento sobre o seu desempenho na disciplina
em termos de nota final e frequência às aulas. Nesse curso a nota mínima para
aprovação é 6,0 e a disciplina teve, nesse semestre, exatamente 62 aulas
dadas e é necessário 75% de frequência na disciplina para aprovação.
Aluno A1
Este aluno que teve 2 faltas durante o semestre foi aprovado com média
6,5. Na Atividade 1, este aluno atendeu plenamente aos objetivos propostos
sendo que a executou de acordo com o previsto. Na primeira parte da Atividade
2 ele localizou os pontos de início e de término dos vetores no plano cartesiano
e usou a diferença entre as coordenadas dos pontos para determinar os
vetores, porém errou nas contas em dois deles, o que fez com que errasse na
determinação dos mesmos. Porém pode-se considerar que ele teve sucesso ao
resolver a atividade uma vez que acertou a maioria dos vetores. Na segunda
parte da atividade, ele encontrou apenas o representante de cada vetor que se
iniciava na origem do sistema cartesiano, sendo que em dois deles, inverteu as
coordenadas do vetor ao representá-los. Pode-se considerar que nessa
atividade os objetivos foram parcialmente atingidos, pois a maioria dos vetores
foram representados. Uma hipótese que poderia ser levantada é que o aluno
só conheceria a representação a partir da origem, mas essa hipótese está
descartada, pois ele acertou as coordenadas das representações da primeira
parte da atividade.
Na Atividade 3, os objetivos foram atingidos plenamente, pois o único
erro que o aluno cometeu foi colocar a equação simétrica como sendo a
paramétrica. Foi apenas um erro de nomenclatura ocasionado provavelmente
pelo fato de que foram apresentadas as equações simétricas e paramétricas
nas aulas e na atividade foi cobrado apenas as equações paramétricas.
Na Atividade 4, o aluno usou a análise dos vetores diretores das retas
para resolver a primeira parte da atividade, conforme o previsto. Na segunda
parte, ele apenas encontrou os vetores diretores das retas solicitadas e
abandonou a atividade sem encontrar nem as equações e nem a intersecção
entre as retas pedidas. Na terceira parte, ele encontrou o ângulo entre as retas
98
utilizando o cosseno do ângulo formado pelos vetores diretores das mesmas,
utilizando para isso o produto escalar entre eles, exatamente como foi previsto
que se fizesse. Na quarta parte, ele tentou determinar a distância do ponto à
reta utilizando a área do triângulo, mas não conseguiu chegar a nenhum
resultado satisfatório, pois ao calcular a área do triângulo que era o pedido na
quinta parte da atividade, ele tentou usar a fórmula que usa o seno do ângulo
formado entre os lados do triângulo, mas errou ao confundir e trocar o produto
das medidas dos lados pelo produto escalar entre os vetores que seriam
determinados pelos vértices do triângulo.
Aluno A2
A aluna A2 teve 16 faltas durante o curso, o que representa 74% de
frequência e média final 3,5. Desta forma, essa aluna foi retida por notas e por
faltas na disciplina. No entanto, ela participou de todas as etapas da pesquisa e
por esse motivo suas atividades serão analisadas também. Convém ressaltar
que essa aluna estava cursando a disciplina pela segunda vez e que na vez
anterior as aulas foram com um professor que usou o tratamento clássico.
Na Atividade 1, a aluna teve um desempenho de acordo com o
esperado, acertando todas as conversões de representações dos pontos, tanto
na primeira como na segunda parte da atividade.
Na primeira parte da Atividade 2, ela utilizou a diferença entre as
coordenadas das extremidades do representante do vetor solicitado, deixando
inclusive as contas indicadas na folha onde realizou a mesma. Errou apenas
nas contas ao determinar um dos vetores, portanto podemos considerar seu
desempenho satisfatório nessa parte da atividade. Porém, na segunda parte, a
aluna encontrou apenas um representante de cada vetor solicitado, sendo que
foi encontrado o vetor com origem no ponto (0,0), em todos os casos. Não
temos como afirmar se a aluna não sabia como encontrar esse segundo
representante ou se ela não leu o enunciado da atividade com atenção e não
percebeu que deveria determinar dois representantes.
A Atividade 3 foi resolvida de acordo com o esperado. A aluna começou
encontrando o vetor diretor da reta, em seguida determinou a equação vetorial
da mesma e a partir dessa, chegou nas equações paramétricas, simétricas,
99
geral e reduzida. Em ambas as partes, todas as equações foram encontradas
corretamente.
Na Atividade 4, a aluna tentou usar a comparação entre os coeficientes
da equação geral da reta para verificar a posição relativa entre as mesmas,
mas se atrapalhou e usou as coordenadas dos pontos dados, não conseguindo
chegar a um resultado satisfatório. Na segunda parte da atividade, ela
encontrou as equações das retas e determinou o ponto de intersecção
corretamente, embora não tenha deixado indicado como chegou às equações.
Ela não resolveu a quarta parte da atividade e na quinta parte determinou a
área do triângulo, utilizando o determinante formado pelas coordenadas do
vértice do mesmo, atingindo satisfatoriamente o resultado esperado.
Aluno A3
Este aluno faltou em apenas 2 aulas durante o curso e obteve média
final 8,5, tendo sido aprovado na disciplina.
Na Atividade 1 seu desempenho foi plenamente satisfatório, pois a
resolução foi impecável. A Atividade 2 também foi resolvida com muita
facilidade pelo aluno, sendo que os vetores da primeira parte foram
determinados sem que ele indicasse qualquer conta e na segunda parte, foram
encontrados corretamente os dois representantes de cada vetor conforme o
solicitado, porém o aluno não teve o cuidado de indicar o nome de cada
representante dos vetores. Uma curiosidade que aconteceu nessa atividade foi
que o aluno colocou cada par de representantes paralelos e sempre à mesma
distância do seu par.
O aluno deixou a Atividade 3 em branco, não resolveu nenhuma das
duas partes da mesma.
Na Atividade 4, o aluno usou o determinante formado por dois pontos da
reta para encontrar a equação geral da mesma e usou a comparação dos
coeficientes da equação geral das retas para concluir sobre a posição relativa
entre as mesmas. O mesmo procedimento foi utilizado para determinar as
equações que tornaram possível a determinação do ponto de intersecção entre
as retas na segunda parte da atividade. Ele não resolveu a terceira parte, que
solicitava o ângulo formado pelas retas, porém obteve sucesso ao determinar a
100
distância entre o ponto e a reta e a área do triângulo que foram ambas
calculadas utilizando-se das fórmulas.
Aluno A4
Este aluno teve 14 faltas durante o semestre e obteve média final 6,5,
portanto foi aprovado por notas e por faltas.
O aluno resolveu a Atividade 1 sem nenhum erro, como era de se
esperar. Na primeira parte da Atividade 2 ele errou nas coordenadas de dois
dos vetores por ter feito as contas das diferenças entre os pontos de cabeça, já
na segunda parte da atividade, ele errou apenas na representação de um dos
vetores, nos dois representantes. No entanto, nos outros vetores ele encontrou
dois representantes de cada um identificando-os corretamente.
Na primeira parte da Atividade 3 o aluno usou um caminho diferente do
esperado para encontrar as equações das retas. Ele considerou que a equação
reduzida da reta é da forma y = ax + b e, considerando que os pontos dados
são pontos da reta, substituiu-os nessa equação encontrando um sistema de
equações nas variáveis a e b. Resolvendo esse sistema, ele chegou à equação
reduzida da reta. Da equação reduzida, ele passou para a equação geral, para
depois encontrar as equações: vetorial e paramétricas. Já na segunda parte
dessa atividade, o aluno resolveu conforme o esperado inicialmente. O aluno
achou o vetor diretor da reta, a partir das coordenadas dos pontos dadas,
escreveu a equação vetorial e a partir dela ele chegou às equações
paramétricas, geral e reduzida nesta ordem.
Na Atividade 4, este aluno resolveu todas as partes de acordo com o
esperado. Usou os vetores diretores para verificar a posição relativa entre as
retas, determinou o ângulo entre as retas a partir do cosseno do ângulo
formado pelos vetores diretores e usou as fórmulas para chegar na distância do
ponto à reta e na área do triângulo.
Aluno A5
Esta aluna faltou em 2 aulas e obteve média final 6,5, portanto foi
promovida na disciplina.
101
A Atividade 1 foi resolvida de acordo com o esperado sem erros. A
Atividade 2 também foi realizada como o esperado, sendo que na primeira
parte, a aluna escreveu ao lado da figura as coordenadas dos pontos o que
deixou claro que ela usou a diferença entre as coordenadas destes para
determinar os vetores solicitados. Na segunda parte da atividade ela construiu
os representantes dos vetores de acordo com o solicitado mostrando que a
aluna entendeu bem a noção de representante de vetor e como representá-los
no plano cartesiano. A aluna identificou de maneira diferente cada um dos
representantes do mesmo vetor (u' e u' ).
A Atividade 3 também foi resolvida de acordo com o solicitado e de
acordo como esperado. Ela encontrou os vetores diretores das retas, a partir
deste chegou na equação vetorial e usando esta equação encontrou as
equações paramétricas, geral e reduzida das retas.
Já na Atividade 4, a aluna não teve um desempenho de acordo com o
esperado. Ela encontrou os vetores diretores das retas, na primeira parte, mas
não soube o que fazer com eles para verificar a posição relativa das retas. Ela
encontrou corretamente a intersecção entre as retas e o ângulo entre as
mesmas, a partir do cosseno do ângulo formado pelos vetores diretores, porém
não soube encontrar a distância do ponto à reta e nem a área do triângulo.
102
Aluno A6
Este aluno faltou a 10 das aulas dadas e obteve média final 4,0; portanto
foi retido por notas.
O aluno resolveu a Atividade 1 de acordo com o esperado fazendo as
conversões adequadamente. Na primeira parte da Atividade 2, ele determinou
as coordenadas dos vetores corretamente sem, no entanto, deixar vestígios de
como efetuou as conversões, sendo que em um dos vetores ele inverteu as
coordenadas. Já na segunda parte da atividade, todos os vetores foram
construídos corretamente.
Na Atividade 3 o aluno resolver as duas partes de acordo com o
esperado encontrando o vetor diretor a partir dos pontos dados e usando este
ele construiu a equação vetorial e a partir desta ele chegou nas outras
equações corretamente.
Na quarta parte da Atividade 4 o aluno fez adequadamente a distância
do ponto à reta, encontrando a equação da reta com o uso do determinante e a
distância usando a fórmula específica. Quanto às outras partes dessa
atividade, o aluno deixou-as em branco, sem resolver.
Aluno A7
Este aluno teve duas faltas durante o curso e obteve média final 4,5,
tendo sido considerado retido por notas.
Na Atividade 1 o aluno teve o desempenho esperado fazendo todas as
conversões adequadamente. Na primeira parte da Atividade 2 ele usou a
diferença entre as coordenadas dos pontos para determinar os vetores
solicitados e encontrou todos corretamente, no entanto na segunda parte dessa
atividade ele acertou na representação de três dos seis vetores solicitados,
sendo que a segunda representação de cada vetor estava de acordo com a
primeira, tanto nos vetores corretos como nos incorretos.
A Atividade 3 foi resolvida de acordo com o esperado. O aluno encontrou
os vetores diretores das retas e construiu as equações vetoriais, paramétricas,
gerais e reduzidas, nessa ordem.
103
Na Atividade 4, o aluno determinou a posição relativa das retas a partir
dos vetores diretores das mesmas, porém não conseguiu fazer o restante da
atividade, apenas tentou encontrar a distância do ponto à reta usando a
fórmula da distância entre dois pontos não obtendo sucesso.
Aluno A8
Este aluno teve 14 faltas durante o curso e obteve média final 6,0 e
portanto foi considerado aprovado na disciplina.
Nas Atividades 1 e 2, este aluno atingiu os objetivos plenamente, pois
efetuou as atividades adequadamente e de acordo com o esperado.
Na Atividade 3, o aluno tentou começar a resolução determinando a
equação reduzida na forma y = ax + b, substituindo as coordenadas dos pontos
dados e chegando a um sistema de equações nas variáveis a e b, porém não
substituiu adequadamente os valores e não conseguiu resolver o exercício
referente a essa atividade.
Na Atividade 4, ele tentou encontrar as equações da segunda parte para
determinar a intersecção entre as retas, porém seguiu o mesmo caminho
utilizado na Atividade 3 e não obteve sucesso. Na terceira parte encontrou
corretamente o cosseno do ângulo formado pelos vetores diretores das retas.
As outras partes dessa atividade não foram feitas.
Aluno A9
Este aluno teve 14 faltas durante o semestre e média final 7,0, portanto
o aluno foi considerado promovido na disciplina.
Suas quatro atividades foram executadas de acordo com o esperado,
exatamente como se esperava que fosse feito e com apenas dois erros de
sinal.
Aluno A10
Este aluno teve 4 faltas durante o semestre e teve média final 6,0 sendo,
portanto, considerado aprovado na disciplina.
Nas três primeiras atividades esse aluno resolveu os exercícios
exatamente como se esperava que ele resolvesse usando os vetores e fazendo
104
as conversões adequadamente. Na primeira parte da atividade 2, ele indicou as
contas que usou para determinar os vetores a partir dos pontos dados.
No entanto, na Atividade 4, ele encontrou a posição relativa das retas
analisando a relação entre os coeficientes da equação geral das retas, mas
não fez as outras partes dessa atividade. Ele apenas tentou encontrar o ponto
de intersecção entre as retas, mas não seguiu um caminho que fosse
adequado para tanto.
Aluno A11
Esta aluna teve 22 faltas e obteve média 2,0, portanto, pode ser
considerada retida por notas e por faltas na disciplina.
A aluna resolveu a Atividade 1 de acordo com o esperado, tendo obtido
sucesso nas conversões. Na primeira parte da Atividade 2 também sua
resolução foi correta, sendo que ela encontrou os vetores a partir da diferença
entre os pontos das suas extremidades e deixou as contas indicadas na folha
de resolução. Já na segunda parte dessa atividade, ela acertou apenas dois
dos seis vetores solicitados e construiu apenas um representante de cada
vetor.
Na Atividade 3, ela encontrou o vetor diretor de cada reta, encontrou as
equações vetoriais e as equações paramétricas, porém não construiu as
equações geral e reduzida de nenhuma das duas equações.
105
Na ocasião, quando a Atividade 4 foi aplicada, essa aluna não estava
mais frequentando as aulas. Ela abandonou a disciplina antes do final de
semestre.
Aluno A12
Esta aluna frequentou a disciplina sem ter nenhuma falta e obteve média
final 7,0. Esta aluna já havia cursado a disciplina anteriormente, sendo que da
primeira vez o professor usou o tratamento clássico nas suas aulas.
Na Atividade 1 o desempenho da aluno foi de acordo com o esperado,
sem erros. Na primeira parte da Atividade 2, a resolução ficou de acordo com o
esperado, porém na segunda parte dessa atividade, ela representou
corretamente os vetores iniciando sempre na origem do sistema cartesiano e
não desenhou o segundo representante de cada um deles.
A Atividade 3 foi resolvida de acordo com o esperado com o uso dos
vetores diretores para encontrar a equação vetorial e as outras formas de
equação a partir da equação vetorial.
A Atividade 4 também foi realizada de acordo com o esperado, sem
erros, porém ela encontrou as equações das retas utilizando do determinante
que usa as coordenadas dos pontos igualando a zero. Ela não usou muito a
forma vetorial, provavelmente porque essa aluna estava fazendo a disciplina
pela segunda vez e na primeira vez fez com outro professor que usou o
tratamento clássico nas suas aulas.
Aluno A13
Esta aluna foi, dos alunos pesquisados, a que teve melhor desempenho
na disciplina. Ela não teve nenhuma falta e obteve média final 9,5. Portanto, foi
aprovada na disciplina.
Na Atividade 1, a aluna efetuou as conversões de acordo com o
esperado, tanto dos pontos com representação geométrica para a
representação gráfica como no sentido contrário. Na Atividade 2 houve apenas
um engano na representação do vetor x (4, 3) que foi representado pelo vetor
(- 3, 4). Todas as outras conversões estavam corretas e de acordo com o
esperado.
106
Na Atividade 3, esta aluna, ao encontrar o vetor diretor (- 5, - 4), usou
para construir as equações o seu oposto, ou seja, o vetor (5, 4) que não tem
coordenadas negativas. Dos alunos pesquisados, foi a única que fez dessa
maneira. Essa atitude mostrou que ela tinha bem clara a noção de vetor diretor.
Na Atividade 4, a aluna usou sempre os vetores para resolver seus
exercícios, tanto para verificar a posição relativa entre as retas como para
construir as equações das retas onde ela partiu sempre da equação vetorial
para chegar nas outras equações. Encontrou o ângulo entre as retas utilizando
o cosseno do ângulo formado pelos vetores diretores, utilizou a fórmula para
encontrar a distância do ponto à reta e o determinante para encontrar a área do
triângulo.
Aluno A14
Este aluno que estava frequentando a disciplina pela terceira vez, teve 2
faltas e obteve média final 6,0. Portanto, foi aprovado na disciplina.
Nas Atividades 1 e 2, o aluno efetuou corretamente as conversões,
inclusive deixando indicadas as contas utilizadas para encontrar os vetores da
primeira parte da Atividade 2.
Na primeira parte da Atividade 3, o aluno encontrou as equações
conforme o esperado, partindo do vetor diretor para determinar a equação
vetorial e usando essa equação para chegar nos outros formatos pedidos pela
atividade, menos a equação geral, que foi encontrada a partir da determinante
entre os pontos colineares igualada a zero.
Na Atividade 4, o aluno usou os coeficientes angulares das retas para
determinar a posição relativa entre as retas. Acertou o exercício, porém
utilizou-se de um enfoque que não foi dado à teoria durante o curso. Para
encontrar a intersecção entre as retas, encontrou as equações gerais, usando
os determinantes e resolveu o sistema de equações para encontrar o ponto de
intersecção.
Para encontrar o ângulo entre as retas, o aluno utilizou a fórmula que
usa os coeficientes angulares das retas para determinar a tangente do ângulo,
também de modo diferente do que era esperado. Ele não encontrou a distância
do ponto à reta, mas encontrou corretamente a área do triângulo.
107
Aluno A15
Este aluno não frequentou as aulas até o final do semestre. Teve 26
faltas na disciplina e média final 1,5, portanto foi retido por notas e por faltas.
Na Atividade 1, este aluno atingiu os objetivos esperados, tendo feito
todas as conversões. Na primeira parte da Atividade 2 ele deixou indicadas as
contas que mostram que ele chegou às coordenadas dos vetores, utilizando a
diferença entre os pontos. Na segunda parte desta atividade, o aluno encontrou
apenas o representante do vetor que se iniciava na origem do sistema
cartesiano e não encontrou o segundo representante conforme foi solicitado.
Na Atividade 3, o aluno seguiu o caminho previsto encontrando
primeiramente o vetor diretor e a partir desse, encontrando a equação vetorial e
as outras solicitadas. O único engano que cometeu foi em colocar a equação
simétrica como sendo as equações paramétricas, que não foram determinadas.
A Atividade 4 não foi efetuada por esse aluno, pois foi aplicada quando
este já não estava mais frequentando as aulas da disciplina.
Aluno A16
Igualmente ao aluno anterior, este aluno também abandonou a disciplina
antes do final do semestre. Ele teve 18 faltas e obteve média final 2,0, tendo
sido considerando retido por notas e por faltas.
Na Atividade 1 o aluno atingiu os objetivos, tendo resolvido
satisfatoriamente as duas partes da atividade. Na Atividade 2, ele também
atingiu os objetivos, tendo efetuado as conversões satisfatoriamente e errado
nas contas apenas em dois dos vetores da primeira parte e em dois dos
vetores da segunda parte. Os vetores da segunda parte em que ele errou eram
vetores com umas das coordenadas 0. Talvez isso tenha feito com que ele se
confundisse ao representá-los.
Na Atividade 3, ele atingiu os objetivos, pois resolveu a atividade de
acordo com o esperado. Ele encontrou o vetor diretor da reta e a partir desse
chegou nas equações solicitadas conforme o esperado.
Esse aluno não participou da Atividade 4, pois já havia abandonado a
disciplina quando esta foi aplicada.
108
Aluno A17
Esta aluna estava cursando a disciplina pela segunda vez, sendo que na
primeira o professor usou o enfoque clássico, foi promovida com 4 faltas e
média final 6,0.
Na Atividade 1, a aluna atingiu os objetivos esperados tendo efetuado as
conversões adequadamente. Na primeira parte da Atividade 2, ela deixou
indicadas as contas que mostram que chegou aos vetores utilizando a
diferença entre as coordenadas dos pontos das suas extremidades. Na
segunda parte dessa atividade, ela chegou corretamente aos vetores, porém
encontrou apenas o representante de cada um deles que iniciava na origem do
sistema cartesiano.
Na Atividade 3, a aluna determinou as equações das retas de acordo
com o esperado, partindo do vetor diretor para encontrar a equação vetorial e
passou dessa representação para as outras solicitadas. Seu desempenho foi
plenamente satisfatório nessa atividade.
A aluna resolveu a primeira parte da Atividade 4 encontrando a equação
geral da reta a partir do determinante que utilizava os pontos dados. Usando
essa equação, ela encontrou outros dois pontos da reta que lhe deram os
109
vetores diretores. Observando os vetores diretores, ela concluiu que as retas
eram distintas, mas não classificou-as em concorrentes ou paralelas.
Na segunda parte da atividade, ela encontrou o ângulo entre as retas a
partir do cossenos do ângulo formado pelos vetores diretores das retas, usou a
fórmula para encontrar a distância do ponto à reta e o determinante para
encontrar a área do triângulo, porém errou em contas e não encontrou
adequadamente nem a distância do ponto à reta, nem o cosseno do ângulo e
nem a área do triângulo.
Aluno A18
Essa aluna foi aprovada na disciplina com 2 faltas e média final 7,0.
Na Atividade 1 os objetivos foram atingidos, pois ela fez a conversão de
acordo com o esperado. A Atividade 2 também foi realizada corretamente. Uma
observação a ser feita é que na segunda parte dessa atividade, a aluna
nomeou os dois representantes de forma diferente ( v e 1v ). Isso foi feito para
todos os vetores pedidos. Segundo a aluna, ela quis identificar o primeiro e o
segundo representante de cada vetor.
110
Na Atividade 3, a aluna encontrou todas as equações de forma incorreta.
Ela não encontrou os vetores diretores das retas. Ao montar a equação
vetorial, a aluna usou um dos pontos fornecidos como ponto da reta e o outro
ponto como se fosse as coordenadas do vetor diretor. Podemos concluir que,
nesse momento, a aluna ainda não tinha entendido corretamente o que era um
vetor diretor. Uma vez encontrada a equação vetorial de maneira incorreta,
todas as outras equações também ficaram erradas. Esse erro foi cometido nas
duas partes da atividade.
Na Atividade 4, a aluna construiu um sistema de coordenadas
cartesianas onde representou os pontos dados. A partir da observação dessa
figura, ela encontrou a posição relativa entre as retas. Ela não encontrou a
intersecção entre as retas e ao encontrar o ângulo entre as retas, tomou os
pontos errados, ou seja, encontrou corretamente um ângulo, mas que não era
o ângulo pedido na atividade.
Para encontrar a distância do ponto à reta, ela encontrou corretamente a
equação da vetorial da reta e a partir dessa encontrou a equação geral que
serviu para a aplicação da fórmula da distância de ponto a reta. A área do
triângulo também foi encontrada corretamente.
Podemos observar que ao efetuar a Atividade 4, a aluna efetuou
corretamente o procedimento, mas mostrou ter dúvidas ao efetuar a Atividade
3. Isso aconteceu porque a Atividade 4 foi aplicada algum tempo após as
outras três atividades.
Aluno A19
Esta aluna. que estava cursando a disciplina pela segunda vez, sendo
que na primeira vez fez a disciplina com o enfoque clássico, foi retida por
notas, pois teve 6 faltas e média final 5,0.
Esta aluna efetuou a Atividade 1 de acordo com o esperado tendo
efetuado as conversões adequadamente. Na primeira parte da Atividade 2
usou a diferença entre os pontos para chegar nos vetores pedidos. Ela deixou
as contas efetuadas na folha da atividade. Na segunda parte dessa atividade,
ela encontrou apenas os vetores com origem no ponto (0, 0) não tendo
encontrado o segundo representante de cada vetor.
111
A Atividade 3 foi efetuada de acordo com o esperado. A aluna encontrou
o vetor diretor de cada reta, usou-o para determinar a equação vetorial e a
partir dessa, encontrou as outras equações solicitadas corretamente.
Na Atividade 4, a aluna deixou todas as partes dessa atividade sem
resolver. Talvez isso tenha ocorrido pelo fato das três primeiras atividades
terem sido aplicadas em sala de aula como atividade extra e a Atividade 4 ter
sido aplicada junto à avaliação de conteúdos.
4.3 Observações sobre as Atividades
4.3.1 Observações sobre a Atividade 1
Todos os dezenove alunos resolveram corretamente os dois exercícios
da Atividade 1, tanto a primeira parte onde deviam colocar as coordenadas dos
pontos representados no plano cartesiano, quanto a segunda parte em que
deviam representar os pontos no plano cartesiano, a partir das suas
coordenadas.
Portanto, podemos considerar que os resultados obtidos a partir dessa
atividade foram satisfatórios, ou seja, os alunos fizeram as conversões de
maneira adequada.
4.3.2 Observações sobre a Atividade 2
Na primeira parte dessa atividade, dez dos alunos testados acertaram as
coordenadas de todos os vetores solicitados, porém os outros nove cometeram
erros, na maioria das vezes em sinais e em algumas vezes houve inversão das
coordenadas. Oito dos alunos deixaram indicadas as contas e pode-se
perceber que eles encontraram as coordenadas dos vetores usando a
diferença entre as coordenadas dos pontos ( AB B A ).
Na segunda parte dessa atividade, a maioria dos alunos desenhou as
duas representações dos vetores solicitadas, porém sete indicaram apenas
uma representação de cada vetor. Poucos erraram ao indicar essas
representações.
112
Uma observação interessante foi que alguns alunos indicaram a
segunda representação do vetor iniciando no extremo da primeira
representação, talvez para acompanhar a direção que já havia sido encontrada.
Alguns alunos usaram para nomear os representantes de um mesmo
vetor letras com índices diferentes (u e 1u ). Nesse caso ficou a dúvida se o
aluno estaria utilizando representações diferentes por serem segmentos
orientados diferentes ou porque consideram os vetores diferentes.
Uma observação a ser feita nessa atividade é que os resultados obtidos
são semelhantes aos que foram obtidos por Bittar (2003) na pesquisa realizada
na França. De acordo com o seu relato, as facilidades, as dificuldades e
maioria dos erros foram semelhantes na sua pesquisa e nessa relatada nessa
dissertação.
4.3.3 Observações sobre a Atividade 3
Essa atividade foi cumprida de modo adequado pela maioria dos alunos.
4.3.4 Observações sobre a Atividade 4
Com o objetivo de verificar como um aluno que não tem conhecimento
nenhum sobre vetores resolveria esta atividade, ela foi aplicada a um grupo de
dez alunos do terceiro ano do Ensino Médio, os quais já haviam estudado esse
conteúdo.
Após a aplicação pôde-se observar alguns detalhes:
- No exercício 1, apenas um dos alunos usou o recurso da representação
gráfica para verificar a posição relativa entre as retas, um dos alunos verificou
que as retas eram concorrentes procurando a intersecção entre elas e os
outros fizeram essa verificação analisando os coeficientes angulares das retas.
De acordo com Duval (1993) os registros monofuncionais discursivos são
privilegiados no ensino, em detrimento dos outros tipos de registro, o que
justifica apenas esse aluno ter utilizado o recurso gráfico e os outros terem
utilizado apenas o recurso algébrico.
113
- No exercício 2, um dos alunos encontrou as equações das retas para poder
determinar o ponto de intersecção entre as mesmas, substituindo os pontos na
equação reduzida de reta (y = ax + b), porém, os outros alunos encontraram
essas equações utilizando o determinante entre os dois pontos da reta e o
ponto genérico (x, y) e igualando a zero.
- No exercício 3, para encontrar o ângulo entre as retas, os alunos utilizaram a
fórmula que calcula o ângulo a partir dos coeficientes angulares das retas
dadas. Percebe-se que usaram essa fórmula automaticamente, sem a
preocupação com o significado geométrico da mesma. Um dos alunos
determinou os coeficientes angulares das retas dadas, porém esqueceu-se de
aplicar a fórmula para cálculo do ângulo.
- No exercício 4, os alunos utilizaram a fórmula da distância de ponto a reta
para determinar esta distância, porém, um dos alunos que não devia se
lembrar dessa fórmula tentou encontrar essa distância determinando a
equação da reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto dado,
encontrando assim a intersecção entre as duas retas e a distância entre os dois
pontos. Foi o único que fez uma figura para representar a situação.
114
- No exercício 5, os alunos utilizaram a fórmula que utiliza o determinante das
coordenadas dos vértices do triângulo para cálculo da área do mesmo, porém,
um dos alunos encontrou essa área determinando, a partir das fórmulas de
distância entre dois pontos e da distância de ponto a reta, as medidas da base
e da altura do triângulo e aplicando a fórmula usada na geometria plana para
cálculo da mesma.
- Pôde-se perceber que esses alunos encaram a Geometria Analítica mais
como uma disciplina ligada à Álgebra do que à Geometria propriamente dita,
pois quase não utilizam representações e conceitos geométricos para resolver
os exercícios, na maior parte das vezes limitam-se à aplicação de fórmulas
algébricas descaracterizando a geometria.
Novamente, essa observação está de acordo com o que diz Duval
(2003) que afirma que os livros privilegiam o registro algébrico utilizando pouco
o registro geométrico.
115
CAPÍTULO 5
Considerações Finais
Ao se iniciar essa pesquisa foram feitas duas questões. A primeira delas
foi: O tratamento vetorial facilita o processo de ensino e aprendizagem da
Geometria Analítica Plana no Ensino Médio? Essa pergunta foi respondida
analisando-se os pontos positivos e os pontos negativos que surgiram após as
observações feitas no decorrer do processo.
Pode-se considerar que a experiência teve como ponto positivo a
oportunidade de poder refletir sobre o ensino da Geometria Analítica e como o
aluno aprende esta disciplina.
Uma inquietação antiga sobre a viabilidade do ensino da Geometria
Analítica Plana com enfoque vetorial pôde ser resolvida, uma vez que houve a
oportunidade real de se aplicar esta metodologia numa turma de alunos que
estudava esta disciplina.
Outro ponto positivo é o fato de esses alunos pertencerem ao curso de
Licenciatura em Matemática e poderem eventualmente reproduzir esta
metodologia após sua graduação.
Houve também a possibilidade de se entrar em contato com livros de
outros Estados do Brasil e de outros países e ficar sabendo que em alguns
desses lugares é comum o ensino da Geometria Analítica Plana com o enfoque
vetorial, como foi proposto nesta pesquisa. Foi muito bom ficar sabendo que no
Estado do Rio de Janeiro ensina-se a Geometria Analítica Plana nas escolas
de Ensino Médio com o enfoque vetorial e que nas escolas francesas isso
também ocorre, pois antes de começar esse trabalho, a pesquisadora não tinha
ideia que isso pudesse ocorrer.
Pôde-se também estudar a parte histórica do surgimento e do
desenvolvimento da Geometria Analítica e dos Vetores. Esta oportunidade
serviu também para se conhecer melhor a interface desse conteúdo com outros
conteúdos da Matemática, bem como a interface com outras áreas de
conhecimento que utilizam a Geometria Analítica e os Vetores como
ferramenta.
Pôde-se perceber, também, que os registros de representações
semióticas, teoria usada nesse trabalho, possibilitam um melhor entendimento
116
do aluno proporcionando que, por meio das conversões entre registros,
perceba-se melhor os conceitos e as propriedades da Geometria Plana.
Observações em sala de aula e conversas com os alunos mostraram
que as demonstrações de teoremas e propriedades geométricas ficaram bem
mais claras quando apresentadas com o enfoque vetorial.
Pode-se dizer que, apesar dos muitos pontos positivos da experiência,
houve também pontos onde ela não foi tão bem sucedida.
O ponto principal foi no estudo da reta, pois, em algumas situações,
pôde-se notar que o uso do conceito de coeficiente angular poderia ter
facilitado os procedimentos.
Ao se preparar o aluno para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral é
necessário que ele tenha conhecimento do conceito de coeficiente angular para
compreender o conceito de derivada de uma função num ponto e, nessa
experiência, ao se privilegiar o conceito de vetor para o ensino da Geometria
Analítica Plana, o conceito de coeficiente angular não foi muito explorado, pois
ele tem a ver com a representação clássica dos entes geométricos no plano
cartesiano.
Analisando-se estas observações pode-se sugerir que o ensino da
Geometria Analítica Plana seja realizado de uma forma híbrida. A parte inicial
poderia ser ensinada auxiliando-se da teoria dos vetores de modo que o aluno
visualizasse melhor os entes geométricos, usando conversões entre registros e
tratamentos dentro de cada tipo de registro. Ao se iniciar o estudo da reta, a
sugestão é que se migre aos poucos para o tratamento com enfoque clássico,
utilizando os coeficientes angulares das retas para a construção de equações,
análise de posições relativas e cálculo de distâncias entre retas.
Desta forma, ao se estudar as outras curvas (circunferências e curvas
cônicas), o aluno terá maior facilidade de entendimento, principalmente se
forem usadas as conversões entre registro algébrico e registro cartesiano para
melhor visualização dessas curvas.
Desta forma pode-se responder à primeira questão de pesquisa
afirmando que o ensino da Geometria Analítica Plana com enfoque vetorial
ajuda sim na compreensão desta disciplina e dos conceitos referentes a ela.
Quanto à segunda pergunta da pesquisa: Estudantes que estudaram
Geometria Analítica Plana com abordagem vetorial tiveram mais
117
facilidade no processo de ensino e aprendizagem de Geometria Analítica
Espacial?, foi feita uma análise do desempenho dos alunos na disciplina de
Vetores e Geometria Analítica em seis turmas. As quatro primeiras turmas
frequentaram essas aulas após ter tido o contato com a Geometria Analítica
Plana com enfoque clássico, e as duas últimas tiveram esse contato após as
aulas dadas pela pesquisadora seguindo o enfoque sugerido por esta
pesquisa.
A seguir encontra-se uma tabela que indica:
AM = número de alunos matriculados na disciplina no semestre;
AA = número de alunos aprovados na disciplina;
ARN = número de alunos retidos por nota e com frequência dentro do limite
estabelecido pelo regimento escolar;
ARF = número de alunos retidos por faltas;
PA = porcentagem de alunos aprovados.
Semestre AM AA ARN ARF PA
1 20 14 3 3 70
2 16 10 5 1 62,5
3 19 13 0 6 68,4
4 17 11 2 4 64,7
5 23 20 2 1 87,0
6 20 15 0 5 75,0
Os semestres indicados com 1, 2, 3 e 4 são os que tiveram os alunos
que haviam estudado a Geometria Analítica Plana com o enfoque clássico e os
semestres indicados com 5 e 6 são os que estudaram a Geometria Analítica
Plana com enfoque vetorial.
Observando-se os dados pode-se observar que a porcentagem de
alunos aprovados na disciplina Geometria Analítica e Vetores foi maior nas
turmas onde os alunos haviam tomado contato com os vetores na disciplina de
Geometria Analítica Plana.
Esses resultados sugerem que os alunos que estudaram a Geometria
Analítica Plana com enfoque vetorial tiveram melhor desempenho na disciplina
Geometria Analítica Espacial, pois a porcentagem de aprovação nessa
situação foi maior do que na situação anterior, respondendo assim à segunda
pergunta proposta por esta pesquisa.
118
Levando-se em consideração os resultados obtidos nesta pesquisa
pode-se sugerir como estudo futuro o acompanhamento das aulas de alguns
desses alunos quando eles forem trabalhar como professores. Seria
interessante analisar qual o enfoque que eles dariam às suas aulas de
Geometria Analítica para o Ensino Médio.
Outra pesquisa interessante pode ser a aplicação dessa mesma
pesquisa para uma turma de alunos de Ensino Médio, que nunca tiveram
contato com a Geometria Analítica e verificar os resultados.
Outra sugestão para pesquisa é o estudo do ensino e da aprendizagem
da disciplina Álgebra Linear usando o enfoque da Teoria do Registro de
Representações Semióticas, verificando se essa teoria pode ajudar ou não na
aprendizagem dessa disciplina, fazendo um paralelo com esta pesquisa.
119
BIBLIOGRAFIA
ARTIGUE, M. Ingénierie Didactique. Recherches en Didactiques des Mathématiques, v.9, n.3, p. 281-308. 1988.
BARROS, L.G.X. Uma Introdução Ingênua à Teoria dos Registros de Representações Semióticas. Revista Ceciliana, Ano 22, nº 32, p.33 – 41. Santos, 2011.
BITTAR, M. O ensino de vetores e os registros de representação semiótica. In: In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p. 71-94. ISBN 85-308-0731-6.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica. 1999. ISBN 85-98171-43-3.
CARNEIRO, V.C.G. Engenharia didática: um referencial para ação investigativa e para formação de professores de matemática In: ZETETIKE – CEMPEM – FE – Unicamp – Volume 13 – Número 23 – Janeiro/junho 2005. p. 87-120.
CASTRO, S.C. Os Vetores do Plano e do Espaço e os Registros de Representação. Dissertação de Mestrado. PUC-SP. 2001.
DAMM, R.F. Registros de representação. In: MACHADO, S.D.A. (org.) Educação Matemática: uma (nova) introdução. 3ª ed. São Paulo: Educ. 2008. ISBN 978-85-283-0373-5.
DORIER, J.L. Epistemological Analysis of the Genesis of the Theory of Vector Spaces. In: DORIER, J.L. (Ed.) On the Teaching of Linear Algebra, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. p. 3-81. ISBN 0-792-36539-9
DUVAL, R. Registre de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Strasbourg: IREM – ULP, 1993.
DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine - Registres sémiotiques et apprentissage intellectuel, Berna: Peter Lang, 1995.
DUVAL, R. Basic Issues for Research in Mathematics Education. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 24, 2000, Hiroshima. Proceedings of the 24th PME. Hiroshima: Department of Mathematics Education Hiroshima University, 2000. p. 55-69.
DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p. 11-33. ISBN 978-85-308-0731-6.
DUVAL, R. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Springer, 61: 103-131, 2006.
DUVAL, R. Ver e ensinar a Matemática de outra forma – Entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: Proem Editora, 2011. ISBN 978-85-87564-26-9.
120
EVES, H. Introdução à História da Matemática. 3ª Edição. Campinas: Unicamp, 2007. ISBN 85-268-0657-2.
FIORENTINI, D. & LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática. Coleção Formação de Professores: 1ª Edição. Campinas. Autores Associados. 2006. ISBN 85-7496-147-7.
FOUCAULT, M. As palavras e as coisas: uma arqueologia das ciências humanas. 6ª Edição. São Paulo: Martins Fontes, 1992.
GIOVANNI, J.R. e BONJORNO, J.R. Matemática Completa (Volume 3), São Paulo: Editora FTD. 2005. ISBN 85-322-5613-9.
LAUAND, J.L. O Ensino da Geometria Analítica Plana na 3ª Série do 2º Grau – Subsídios para um Estudo Comparativo de dois Enfoques. Dissertação de Mestrado. FE-USP. 1981.
LEE, Y. Mathematiques. 2e Édition. Paris. Ellipses. 2011. ISBN 978-2-7298-65887.
LIMA, E.L. et al. A Matemática do Ensino Médio (Volume 3). 6ª. Edição. Rio de Janeiro: SBM. 2006.
MACHADO, S.D.A. Engenharia Didática. IN: Educação Matemática – Uma (Nova) Introdução. 3ª Edição. São Paulo. EDUC. 2008. ISBN 978-85-283-0373-5
NÓBRIGA, J.C.C. Aprendendo Matemática com o Geogebra, 1ª Edição. São Paulo. Editora Exato. 2010. ISBN 978-85-903254-4-4.
PAVLOPOULOU, K. Un problème décisif pour l´apprentissage de l’algèbre linéaire: la coordination des registres de représentation. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, n. 5, 1994, p. 67-93.
REIS, G.L. e SILVA, V.V. Geometria Analítica. 2ª. Edição. Goiânia: Editora LTC. 1996. ISBN 978-85-216-1065-6.
SMOLE, K.C.S. e KIYUKAWA, R. Matemática (Volume 3), São Paulo: Editora Saraiva. 1998. ISBN 85-02-02762-X.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 1ª. Edição. São Paulo: Makron Books. 2000. ISBN 85-346-1109-2.
