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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Um estudo sobre as disciplinas de Geometria em cursos
de Licenciatura em Matemática
ELIZA MARIA BAPTISTELLA LIMA
Orientadora: Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos
Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
SÃO PAULO
2014
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
L697e
Lima, Eliza Maria Baptistella. Um estudo sobre as disciplinas de geometria em cursos de
licenciatura em matemática / Eliza Maria Baptistella Lima. -- São Paulo; SP: [s.n], 2014.
132 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Cintia Aparecida Bento dos Santos. Dissertação (mestrado) - Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Formação de professores - Matemática 2. Licenciatura em
matemática 3. Construção do conhecimento 4. Matemática – Ensino superior. I. Santos, Cintia Aparecida Bento dos. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 371.13:51(043.3)
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
Um estudo sobre as disciplinas de Geometria em cursos
de Licenciatura em Matemática
Eliza Maria Baptistella Lima
Dissertação de mestrado defendida e aprovada
pela Banca Examinadora em 30/09/2014.
BANCA EXAMINADORA:
Profa . Dra . Cintia Aparecida Bento dos Santos
Universidade Cruzeiro do Sul
Profa. Dra. Edda Curi
Universidade Cruzeiro do Sul
Profa. Dra. Vera Maria Jarcovis Fernandes
Universidade Cidade de São Paulo
Dedico este trabalho ao meu filho João Vitor
Lima Lourenção, pela compreensão das horas
de minha ausência e a todos aqueles que, de
alguma forma, contribuíram para o meu trabalho.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado forças para superar os obstáculos que se fizeram
presentes nesta jornada, concedendo-me paz, saúde e discernimento. Sem Ele, não
conseguiria conquistar mais esta vitória em minha vida.
Ao meu filho João Vitor, por me dar alegrias e suportar minha ausência em
alguns momentos.
Aos meus pais João Lacerda e Maria Baptistella, que sempre me
incentivaram e me apoiaram em minhas decisões.
À Professora Doutora Cintia Aparecida Bento dos Santos, minha orientadora,
pela paciência e compreensão, ao compartilhar comigo seus conhecimentos, por
acreditar e confiar em minha capacidade. Sua competência, seu apoio e seus
ensinamentos foram importantes, porque me ajudaram a chegar ao final desta
jornada com êxito.
Às professoras Doutora Edda Curi e Doutora Vera Jarcovis Fernandes, que
enriqueceram este trabalho com suas preciosas contribuições.
E, incondicionalmente, a todos os que me ajudaram direta ou indiretamente
na concretização desta obra.
LIMA, Eliza Maria Baptistella. Um estudo sobre as disciplinas de geometria em cursos de licenciatura em matemática. 2014. 132 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.
RESUMO
O objetivo central desta pesquisa é o de realizar uma investigação nas ementas e
grades curriculares em uma amostra de Instituições de Ensino Superior, a fim de
verificar como se constitui a proposta de formação dos futuros professores de
Matemática em relação ao conteúdo de Geometria. A fundamentação teórica
envolveu estudos de dois autores: Lee Shulman, que discute sobre os diferentes
tipos de conhecimentos dos professores, considerando que a primeira base de
conhecimento de que o professor deve apropriar-se é o conhecimento do conteúdo
da disciplina, vindo a seguir o conhecimento pedagógico do conteúdo e o
conhecimento curricular; J. Gimeno Sacristán, que remete a uma reflexão sobre
currículo. Para Sacristán, o professor é quem vai pôr em prática o que está sendo
ensinado nos documentos curriculares. Sendo assim, esse autor apresenta um
modelo de currículo que sugere seis fases: o currículo prescrito, o currículo
apresentado aos professores, o currículo moldado pelos professores, o currículo em
ação, o currículo realizado e o currículo avaliado. Para atingir o objetivo do trabalho,
adotou-se uma metodologia de pesquisa de natureza qualitativa com técnica de
análise documental. A pesquisa se deu por meio do levantamento e análise de
ementas e grades relacionadas às disciplinas de Geometria Plana, Geometria
Espacial, Geometria Métrica e Geometria Analítica em uma amostra de 12
Instituições de Ensino Superior, pública e privada, que oferecem os cursos
presenciais de Licenciatura em Matemática do Estado de São Paulo. Constatou-se
que algumas Instituições de Ensino pesquisadas oferecem Geometria Plana e
Geometria Métrica em uma mesma disciplina e, nas mesmas Instituições em que
isso ocorre, a Geometria Espacial e a Geometria Métrica aparecem em outra
disciplina. Verificou-se que a totalidade das instituições oferece uma disciplina só
para Geometria Analítica, de modo a constatar-se a grande importância que é
atribuída a essa disciplina.
Palavras-chave: Licenciatura em matemática, Geometria, Formação de professores
de matemática, Conhecimentos docentes.
LIMA, Eliza Maria Baptistella. A study of geometry disciplines degree courses in mathematics. 2014. 132 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2014.
ABSTRACT
The main objective of this research is to make an investigation on the menus and the
school curriculum among some samples of higher education institutions in order to
verify how it is the proposal of training the future teachers of Mathematics in relation
to the Geometry content. The theoretical framework involved the studies of two
authors: Lee Shulman, who discusses about the different types of teachers’
knowledge considering that the first base of knowledge that the teacher has to have
is the knowledge of all the content that can be found in his/her own discipline,
followed by the pedagogic knowledge of the content and also the knowledge of the
school curriculum. J. Gimeno Sacristán is the one who leads us upon the reflection of
the school curriculum. To Sacristán, the teacher is the one who is going to put into
practice what has been taught in the curriculum documents. This author presents an
example of curriculum which suggests six phases: the prescribed curriculum, the
curriculum presented to teachers, the curriculum shaped by teachers, the curriculum
into action, the curriculum accomplished and the one evaluated. To reach the
objective of this work, a methodology on qualitative research was adopted with the
technique on documentary analysis. The research happened through the result and
analysis of the menus and school curriculum related to the discipline of the Plain
Geometry, Space Geometry, Metric and Analytic Geometry in a sample of twelve
higher education institutions, public and private, which offer the graduation course in
Mathematics from the state of São Paulo. It was revealed that some High Schools
researched offer the Plain Geometry and Metric Geometry in the same discipline and,
in the same High Schools that this happens the Space and Metric Geometry appear
in other discipline. It was found that the great majority of the Institutions only offer one
discipline for Analytic Geometry in this way to show you how it is given a great
importance to this discipline.
Key-words: Mathematics graduation, Geometry, Mathematics teachers’ training and
teachers’ knowledge.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 A objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento... 24 Figura 2 exemplo de situação problema ............................................................ 40 Figura 3 IES 2 ....................................................................................................... 58 Figura 4 IES 1 ....................................................................................................... 59 Figura 5 IES 5 ....................................................................................................... 60 Figura 6 IES 10 ..................................................................................................... 60 Figura 7 IES 12 ..................................................................................................... 61 Figura 8 IES 1 ....................................................................................................... 65 Figura 9 IES 2 ....................................................................................................... 65 Figura 10 IES 5 ....................................................................................................... 66 Figura 11 IES 10 ..................................................................................................... 67 Figura 12 IES 12 ..................................................................................................... 67 Figura 13 IES 3 ....................................................................................................... 70 Figura 14 IES 4 ....................................................................................................... 72 Figura 15 IES 9 ....................................................................................................... 72 Figura 16 IES 7 ....................................................................................................... 74 Figura 17 IES 8 ....................................................................................................... 74 Figura 18 IES 6 ....................................................................................................... 76 Figura 19 IES 11 ..................................................................................................... 77 Figura 20 IES 3 ....................................................................................................... 80 Figura 21 IES 4 ....................................................................................................... 82 Figura 22 IES 5 ....................................................................................................... 84 Figura 23 IES 10 ..................................................................................................... 84
Figura 24 IES 8 ....................................................................................................... 85 Figura 25 IES 7 ....................................................................................................... 85 Figura 26 IES 2 ....................................................................................................... 86 Figura 27 IES 12 ..................................................................................................... 87 Figura 28 IES 9 ....................................................................................................... 88 Figura 29 IES 11 ..................................................................................................... 89 Figura 30 IES 1 ....................................................................................................... 90 Figura 31 IES 6 ....................................................................................................... 90
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Quadro síntese segundo PEREIRA, 2001 ........................................... 37 Quadro 2 Distribuição dos conteúdos e habilidades por ele proposto ............ 41 Quadro 3 Organização do conteúdo em cada ano do Ensino Médio ................ 43 Quadro 4 Distribuição dos conteúdos por bimestre no Ensino Fundamental . 46 Quadro 5 Distribuição dos conteúdos por bimestre no Ensino Médio ............. 48 Quadro 6 Instituições pesquisadas no estado de São Paulo ............................ 55 Quadro 7 Ano, semestre ou trimestre em que é oferecida a disciplina de
Geometria Espacial nas IES pesquisadas .......................................... 57
Quadro 8 Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES .......... 57
Quadro 9 Ano, semestre ou trimestre em que é oferecida a disciplina de
Geometria Plana nas IES pesquisadas ............................................... 63 Quadro 10 Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES .......... 64 Quadro11 Ano, semestre ou trimestre em que são oferecidas as disciplinas
de Geometria Espacial, Geometria Plana e Geometria Métrica nas IES pesquisadas .................................................................................... 68
Quadro 12 Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES .......... 69
Quadro 13 Ano, semestre ou trimestre em que é oferecida a disciplina de
Geometria Analítica nas IES pesquisadas .......................................... 78
Quadro 14 Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES .......... 79
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 12
CAPÍTULO 1 A PESQUISA, PROBLEMÁTICA E METODOLOGIA ............................ 16
1.1 Apresentação da pesquisa e problemática ......................................... 16
1.2 Metodologia da pesquisa ..................................................................... 17
CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................. 20
2.1 Os conhecimentos docentes segundo Lee Shulman ........................ 20
2.2 Uma síntese sobre o que representa o currículo segundo J.
Gimeno Sacristán .................................................................................. 23
2.3 Considerações sobre as abordagens apresentadas.......................... 25
CAPÍTULO 3 O ENSINO DE GEOMETRIA .................................................................. 28
3.1 Uma breve discussão sobre as diferentes vertentes da geometria:
geometria espacial, geometria plana, geometria métrica e
geometria analítica ................................................................................ 28
3.2 Pesquisas que discutem o ensino de geometria ............................... 32
3.3 Documentos curriculares oficiais e o ensino de geometria .............. 37
3.3.1 Parâmetros curriculares nacionais do ensino fundamental
(PCNEF).................................................................................................. 37
3.3.2 Parâmetros curriculares nacionais do ensino médio (PCNEM) ........ 38
3.3.3 Parâmetros curriculares do ensino médio (PCN+) ............................. 40
3.3.4 Currículo do estado de São Paulo ....................................................... 44
3.3.5 Diretrizes curriculares nacionais para os cursos de matemática,
bacharelado e licenciatura ................................................................... 49
3.4 Considerações sobre o ensino de geometria ..................................... 51
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DAS GRADES E EMENTAS DE INSTITUIÇÕES DE
ENSINO SUPERIOR ............................................................................... 54
4.1 Sobre o mapeamento realizado ........................................................... 54
4.2 Análise geral das instituições de ensino superior ............................. 55
4.2.1 O ensino de geometria espacial .......................................................... 56
4.2.2 O ensino de geometria plana ............................................................... 63
4.2.3 O ensino de geometria espacial e geometria plana ........................... 68
4.2.4 O ensino de geometria analítica .......................................................... 78
4.3 Considerações sobre as instituições pesquisadas e a formação
inicial de professores ........................................................................... 91
CAPÍTULO 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................... 93
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 97
ANEXOS .............................................................................................................. 100
ANEXO A GRADE CURRICULAR DA IES 3 ........................................................ 100
ANEXO B GRADE CURRICULAR DA IES 9 ........................................................ 102
ANEXO C GRADE CURRICULAR DA IES 7 ........................................................ 104
ANEXO D GRADE CURRICULAR DA IES 8 ........................................................ 106
ANEXO E GRADE CURRICULAR DA IES 2 ........................................................ 109
ANEXO F GRADE CURRICULAR DA IES 1 ........................................................ 110
ANEXO G GRADE CURRICULAR DA IES 4 ........................................................ 112
ANEXO H GRADE CURRICULAR DA IES 6 ........................................................ 114
ANEXO I GRADE CURRICULAR DA IES 10 ...................................................... 116
ANEXO J GRADE CURRICULAR DA IES 5 ........................................................ 117
ANEXO K GRADE CURRICULAR DA IES 11 ...................................................... 119
ANEXO L GRADE CURRICULAR DA IES 12 ...................................................... 122
ANEXO M PLANO DE ENSINO DA DISCIPLINA GEOMETRIA I DA IES 2 ......... 124
12
INTRODUÇÃO
Graduada em Licenciatura em Matemática pela Unesp – São José do Rio
Preto, em 1988, iniciei minha carreira como professora de Matemática em 1989.
Trabalhei durante cinco anos em escolas estaduais e particulares do estado de São
Paulo.
Em 1991, fui convidada a ministrar aulas em uma instituição de ensino
privada, na cidade de Osasco, com o objetivo de iniciar a disciplina de Desenho
Geométrico naquele colégio, o que despertou em mim um grande interesse pela
Geometria e também uma preocupação em relação a forma como a disciplina era
trabalhada nos anos finais do Ensino Fundamental.
A partir de 1993, passei a trabalhar apenas em escolas particulares, dividindo
as aulas entre as disciplinas de Matemática e Desenho Geométrico. Observei que,
na escola onde eu trabalhava, os professores utilizavam um material didático que
favorecia o ensino da Geometria. Todavia, essa não era, na época, a realidade de
algumas escolas em que colegas de profissão atuavam. Isso só fez aumentar meus
questionamentos: por que esse assunto nem sempre é abordado pelos professores
nas escolas? Será que a maneira como venho trabalhando o ensino de Geometria
com os alunos é próxima do ideal, no que diz respeito ao processo de aprendizagem?
Durante muitos anos, ensinei do mesmo modo como aprendi no transcorrer
da minha formação como professora, utilizando o quadro negro de forma semelhante
à que meus professores utilizavam, o mesmo tipo de livro texto ou material de apoio
ou apostilas.
Embora questionasse o porquê de meus alunos apresentarem tantas
dificuldades na aprendizagem de Geometria, continuei a ensinar do mesmo modo,
pois, no fundo, acreditava que a maneira como eu trabalhava a Geometria era
apropriada e ideal para os alunos dos anos finais do Ensino Fundamental e do
Ensino Médio. Entretanto, em dado momento, percebi que algo não estava
adequado: os alunos decoravam fórmulas e não articulavam os conteúdos. Essa
constatação levou-me a repensar minha trajetória como docente e a buscar novos
13
conhecimentos, com o intuito de estar melhor qualificada e, assim, melhorar a
qualidade das minhas aulas.
Assim, iniciei o curso de Pós-graduação “Latu Sensu” em Educação
Matemática pela UNINOVE (Universidade Nove de Julho) e, dando continuidade à
minha trajetória como professora, ampliei as pesquisas voltadas para o ensino de
Geometria, com o objetivo de aprimorar conhecimentos e metodologias de ensino, a
fim de contribuir mais e melhor na formação de meus alunos.
Entre minhas observações e preocupações a respeito da aprendizagem de
Geometria, estão a falta de clareza de alguns conceitos, como a diferença entre reta,
semirreta e segmento de reta; a troca entre os conceitos de perímetro de uma figura
e sua área; o desenho de um retângulo quando solicitado o desenho de um
quadrado; a área ou o volume.
Tais dificuldades com relação às noções de área, volume e perímetro de
figuras geométricas evidenciam que, no momento em que esse aluno teve contato
com o assunto, ele, provavelmente, decorou a fórmula e a esqueceu ou, para ele,
não ficou clara a diferença existente entre área e perímetro, o que me leva a crer
que esses alunos aprendem procedimentos e não conceitos.
Em 2008, depois de concluído o curso de Especialização em Educação
Matemática, fui convidada a dar aula em uma universidade, no curso de Licenciatura
em Matemática, onde estou até o momento. Nesse período, minhas angústias com a
Geometria só aumentaram, pois percebi em meus alunos, futuros professores, o
desconhecimento em relação a essas questões, tema desta pesquisa.
A reflexão sobre esse problema permite pressupor que as lacunas
observadas no conhecimento de noções geométricas − tanto em estudantes dos
anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, como em estudantes do
Ensino Superior − tenham origem e possam ser explicadas pelo lugar que a
Geometria ocupou e ocupa nos currículos dos anos finais do Ensino Fundamental,
do Ensino Médio e Superior, relacionando-se, consequentemente, à forma como
esse conteúdo matemático tem sido tratado durante as fases de escolarização.
14
É sabido que, ao longo dos últimos vinte anos, no Brasil e em outros países, o
trabalho com a Geometria é um problema para professores e educadores, e quase
totalmente ausente no currículo real das escolas, trabalhado pelos professores em
sala de aula.
A disciplina de Geometria, de acordo com os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN), inicia-se no 1º ano, passando na 5ª série/ 6º ano1 e deve ser
trabalhada até a 8ª série/ 9º ano2 do Ensino Fundamental e novamente voltar a ser
trabalhada no Ensino Médio. Apesar de documentos curriculares oficiais insistirem
na importância desse tema, sabe-se que a maioria dos livros didáticos e dos
professores não aborda a Geometria com a devida importância, atentando-se
sobretudo à Aritmética e à Álgebra. O conteúdo de Geometria é, muitas vezes,
deixado para ser trabalhado por último e, assim, em muitas situações, fica apenas
no âmbito documental, faltando tempo para ser tratado adequadamente.
É possível, ainda, verificar que muitos dos alunos que chegam ao Ensino
Superior possuem uma formação fragilizada quanto à fase de escolarização da
Educação Básica, de modo que determinados conteúdos nunca tenham sido vistos
por eles. Isso dificulta a aprendizagem em relação aos conteúdos que são
ministrados no curso de Licenciatura em Matemática, nesse caso em específico, a
Geometria.
Considerando que alunos da Licenciatura em Matemática chegam com
conhecimentos fragilizados em Geometria e que, após sua formação, irão trabalhar
ensinando esse conteúdo nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio,
torna-se necessário analisar o que se ensina nos cursos de Licenciatura em
Matemática em relação à Geometria, comparando com o que é prescrito para ser
ensinado nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio em relação a
esse tema matemático.
1 5ª série/ 6º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros
Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do EF em séries; atualmente, a nomenclatura vigente para cada fase é ano. 2 8ª série/9º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros
Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do EF em séries; atualmente, a nomenclatura vigente para cada fase é ano.
15
Sendo assim, no desejo de encontrar respostas para minhas dúvidas em
relação ao ensino de Geometria e contribuir com a formação mais adequada dos
estudantes no que diz respeito a essa disciplina, ingressei no programa de Pós-
graduação da Universidade Cruzeiro do Sul para fazer o Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática, a fim de empreender uma pesquisa que elucidasse tal
processo e que favorecesse o discernimento de uma metodologia que efetivamente
aprimorasse a aprendizagem de tais conceitos.
16
CAPÍTULO 1- A PESQUISA, PROBLEMÁTICA E METODOLOGIA
Neste capítulo, são apresentadas a problematização e a metodologia
empregadas para o desenvolvimento desta investigação.
1.1 Apresentação da pesquisa e problemática
Esta pesquisa apresenta uma análise das grades e ementas de Instituições
de Ensino Superior (IES) que oferecem o curso de Licenciatura em Matemática, cujo
objetivo é verificar o que essas IES propõem de conteúdos de Geometria em seu
curso, investigar como se encontra distribuído o tema Geometria nas grades
curriculares das IES e o que os documentos curriculares oficiais sugerem para ser
trabalhado pelos professores nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino
Médio.
O presente estudo traz como fundamentação teórica autores que estudam os
conhecimentos docentes, como Lee Shulman (1986; 2004), segundo o qual os
saberes são provenientes do conhecimento da disciplina a ser ensinada; do
conhecimento pedagógico da disciplina; do conhecimento do currículo.
Como são abordadas questões curriculares em um tópico específico, este
trabalho apresenta, também, uma breve discussão sobre as seis fases que Sacristán
(2000) descreve sobre os currículos.
Quanto aos documentos curriculares oficiais, é apresentada uma análise dos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF/1998),
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM/1999), Parâmetros
Curriculares do Ensino Médio (PCN+/2001), Currículo do Estado de São Paulo
(2012), a fim de que seja verificado o que os professores devem ensinar de
Geometria em cada etapa de escolarização.
Para discutir o ensino de Geometria, procedeu-se ainda uma análise de
pesquisas acadêmicas de mestrado e doutorado que abordam esse tema, para
evidenciar o que tem sido discutido no cenário acadêmico.
17
À luz dos objetivos anunciados, foram elaboradas as seguintes questões que
norteiam esta pesquisa:
O que indicam as ementas de cursos de Licenciatura em Matemática em
relação ao ensino de Geometria?
Que relações as ementas dos cursos de Licenciatura em Matemática
apresentam com os conteúdos de Geometria prescritos pelos documentos
curriculares oficiais a serem trabalhados nos anos finais do Ensino
Fundamental e do Ensino Médio?
1.2 Metodologia da pesquisa
Com o objetivo de responder às questões de pesquisa, o trabalho foi
realizado por meio de pesquisa de natureza qualitativa, com técnica de análise
documental.
A pesquisa consiste na análise de grades e ementas em uma amostra de 12
instituições de Ensino Superior do estado de São Paulo que formam professores em
curso de Licenciatura em Matemática. As instituições foram localizadas no site do
MEC (Ministério da Educação e Cultura). Uma parte dessas instituições disponibiliza
em seus sites as grades e ementas das disciplinas; outra parte forneceu diretamente
seus projetos pedagógicos e suas ementas para este estudo.
O trabalho foi construído a partir da análise das ementas, a fim de verificar se
contemplam os conteúdos necessários para os futuros professores ensinarem na
Educação Básica, atendendo ao que é sugerido pelos Parâmetros Curriculares
Nacionais.
A pesquisa qualitativa tem como objetivo principal buscar entender um
fenômeno específico em profundidade. Esse tipo de pesquisa trabalha com
descrições e interpretações. Segundo Goldenberg (1999), “na pesquisa qualitativa, a
preocupação do pesquisador não é com a representatividade numérica do grupo
pesquisado, mas com o aprofundamento da compreensão de um grupo social, de
uma organização, de uma instituição, de uma trajetória, etc.” (GOLDENBERG, 1999,
p.14).
18
Na análise das grades e ementas, procurou-se realizar um trabalho detalhado
com o olhar voltado às Geometrias Plana, Métrica, Espacial e Analítica. Tal análise
está fundamentada em Goldenberg (1999); segundo a qual, o pesquisador
qualitativo deverá buscar casos exemplares que possam ser reveladores da cultura
em que estão inseridos. Para essa verificação, o fato de não existirem regras
precisas e passos a serem seguidos, o bom resultado da pesquisa depende da
sensibilidade, da intuição e experiência do pesquisador.
Lakatos e Marconi (2011) foram estudadas para sustentar e justificar a
amostra de 12 instituições de Ensino Superior analisadas nesta pesquisa. Segundo
sua perspectiva teórica, o método qualitativo não emprega instrumentos estatísticos
e as formas de coleta e de análise dos dados são diferenciadas; as amostras
reduzidas e os dados analisados em seu conteúdo psicossocial e os instrumentos de
coletas não são estruturados. Para as autoras, a pesquisa qualitativa pode empregar
vários métodos e técnicas, o que dependerá do tipo de investigação.
Neste estudo, optou-se por técnica de análise documental, pautada em Ludke
e André (1986), os quais justificam que quaisquer materiais escritos são
considerados documentos para análise. Nesta pesquisa, o instrumento utilizado
consiste nos documentos com grades e ementas das instituições de Ensino Superior,
por meio dos quais procurou-se identificar se a disciplina de Geometria é oferecida
de modo adequado e necessário para a formação de futuros professores, para que
possam aplicar o conhecimento adquirido na sua profissão, e se essas ementas
estão de acordo com as Propostas Curriculares vigentes.
O presente trabalho estrutura-se em cinco capítulos. Na introdução, é relatada
a trajetória profissional acadêmica da pesquisadora, apresentando o que motivou o
desenvolvimento da pesquisa, bem como as angústias que acompanham a trajetória
nos anos de profissão.
No capítulo 1, são apresentadas a pesquisa, a metodologia utilizada, bem
como as questões de pesquisa que levaram a esse trabalho.
No capítulo 2, são discutidos os conhecimentos docentes segundo Lee
Shulman (1986; 2004) e o que representa o currículo segundo J. Gimeno Sacristán
19
(2000). O capítulo se encerra com algumas considerações sobre os estudos dos
dois autores.
O capítulo 3 versa sobre o ensino de Geometria. Foram pesquisadas
dissertações de mestrado e teses de doutorado que discutem o ensino de Geometria,
no que diz respeito ao tratamento dado à Geometria e o que tais pesquisas
revelaram sobre esse tema. Esse capítulo traz ainda a pesquisa realizada nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEF/1998; PCNEM/1999; PCN+/2001), no
Currículo do Estado de São Paulo (2012) e nas Diretrizes Curriculares Nacionais
para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura (2001). A análise
documental deu origem a um levantamento que permite verificar as sugestões
contidas nos documentos e o momento em que se deve trabalhar com a Geometria.
Finalizando o capítulo, são apresentadas algumas considerações sobre esses
assuntos.
No capítulo 4, foi analisada uma amostra de 12 instituições de Ensino
Superior do Estado de São Paulo suas grades e ementas. Nesses documentos, foi
analisado se essas instituições de Ensino, que disponibilizam o curso de
Licenciatura em Matemática, oferecem em sua grade o conteúdo de Geometria, e se
o conteúdo abordado concede possibilidades para capacitar o futuro professor a
ensinar esse tema no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
O capítulo 5 é destinado às considerações finais da pesquisa, em que se
buscou apontar alguns indicativos para o ensino de Geometria nos cursos de
Licenciatura em Matemática, bem como reflexões quanto às questões de pesquisa
que foram propostas inicialmente.
20
CAPÍTULO 2- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo, apresenta-se uma discussão sobre como devem ser
constituídos os conhecimentos docentes de um professor. Esses estudos foram
apoiados em Lee Shulman (1986; 2004), buscando apresentar como ele entende
esse processo e o que menciona ser necessário para construção do saber de um
professor. Também é apresentado, segundo Sacristán (2000), como se definem as
diversas fases de currículos necessários ao ambiente escolar.
2.1 Os conhecimentos docentes segundo Lee Shulman
Segundo Lee Shulman (1986), é possível distinguir três categorias de
conhecimentos presentes no desenvolvimento cognitivo do professor: conhecimento
do conteúdo da disciplina a ser ensinada, conhecimento pedagógico da disciplina e
conhecimento curricular. Devido a essas vertentes propostas por Shulman, o autor
contribuirá para a elaboração de parâmetros quanto à análise das grades e ementas.
Além disso, sua contribuição para este trabalho consiste na visão de que é
importante que um professor tenha conhecimento não apenas do conteúdo a ensinar,
mas também conhecimento didático e curricular.
Para Shulman (1986), conhecimento do conteúdo da disciplina ensinada
refere-se às compreensões do professor acerca da estrutura da disciplina e de como
ele organiza cognitivamente o conhecimento da disciplina que será objeto de ensino.
Assim, o domínio da estrutura da disciplina não se resume somente à detenção
bruta dos fatos e conceitos do conteúdo, mas também à compreensão dos
processos de sua produção, representação e validação epistemológica.
Shulman (1986) considera que a primeira base do conhecimento é o
conhecimento do conteúdo que será objeto de ensino. Esse conhecimento é
baseado em dois fundamentos: a literatura acumulada na área e o conhecimento
filosófico e histórico sobre a natureza do conhecimento no campo de estudo.
Isso significa que o modo pelo qual esse entendimento é comunicado
transmite ao aluno o que é essencial sobre um assunto e o que é superficial. Ao
21
enfrentar a diversidade dos alunos, o professor deve ter a flexibilidade para dar-lhes
explicações alternativas dos mesmos conceitos e princípios.
Outra categoria destacada pelo autor é o conhecimento pedagógico da
disciplina. Esse conhecimento baseia-se nos modos de formular e apresentar o
conteúdo de forma a torná-lo compreensível aos alunos. Sendo assim, o
conhecimento pedagógico do conteúdo também inclui o entendimento do que torna
fácil ou difícil a aprendizagem de determinado tópico.
Levando em consideração que ensinar é, antes de tudo, entender, Shulman
(1986) acredita que a base do conhecimento vai além da base do conhecimento da
disciplina por si mesma para uma dimensão do conhecimento para o ensino. Ele
acredita que o professor deve ter a capacidade de transformar o conhecimento do
conteúdo que ele possui em formas que sejam pedagogicamente eficazes e
possíveis de adaptação às variações de habilidade e contexto apresentados pelos
alunos.
O conhecimento curricular descrito por Shulman (1986) aponta para o
conjunto de programas elaborados para o ensino, específicos em um dado nível e
suas variedades de materiais instrucionais disponíveis relacionados àqueles
programas. Os professores precisam dominar o conhecimento curricular para poder
ensinar aos seus alunos.
Os estudos realizados por Shulman (1986) permitem entender que o ensino
começa com um ato da razão; em seguida, continua com um processo de raciocínio;
culmina com o desempenho e, então, reflete-se mais sobre ele, até que todo o
processo inicie novamente. Desse modo, o ensino é tido como compreensão e
raciocínio, como transformação e reflexão.
Shulman (2005a) propõe uma ampliação das categorias de base dos
conhecimentos dos professores e as apresenta da seguinte forma:
• Conhecimento do conteúdo: refere-se ao conhecimento da disciplina na qual
o professor é especialista (Matemática, História, Português, etc.);
• Conhecimento didático geral: refere-se especialmente àqueles princípios e
estratégias gerais de organização da aula que vão além do âmbito da disciplina;
22
• Conhecimento do currículo: com um especial domínio dos materiais e dos
programas que servem como ferramentas para o ofício do docente;
• Conhecimento didático do conteúdo: trata-se do especial amálgama entre
disciplina e pedagogia, que constitui uma esfera exclusiva dos professores, sua
forma própria e especial de compreensão profissional;
• Conhecimento dos alunos e de suas características;
• Conhecimento dos contextos educativos: abarcam desde o funcionamento
do grupo ou da aula, a gestão e o financiamento dos distritos escolares, até o
caráter das comunidades e culturas;
Para o autor, o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo é possuidor de um
valor particular, porque identifica os corpos de conhecimentos distintivos para o
ensino.
É essa categoria que permite, com maiores possibilidades, distinguir o
conhecimento do conteúdo de um especialista em uma disciplina do professor dessa
mesma disciplina. O conhecimento pedagógico do conteúdo “[…] representa a
mistura entre conteúdo e didática para que se chegue a uma compreensão de como
determinados temas e problemas organizam-se, representam-se e se adaptam aos
diferentes interesses e capacidades dos alunos, e como se expõem para seu ensino”
(SHULMAN, 2005b, p. 11). Desse modo,
a chave para identificar a base de conhecimentos do ensino reside na interseção entre conteúdo e pedagogia, na capacidade do professor transformar o conhecimento que possui em formas que são pedagogicamente poderosas, mas adequadas à variedade, a habilidades e a contextos apresentados pelos seus alunos (SHULMAN, 2005b, p.21).
O conhecimento pedagógico do conteúdo tem despertado o interesse de
diversos pesquisadores no mundo todo, de maneira especial pela sua potencialidade
na análise dos processos de formação inicial e continuada de professores nas
diversas áreas do conhecimento. Seus impactos na formação profissional docente
parecem ser evidentes, tanto para aqueles que ainda estão cursando a licenciatura,
como para aqueles que já estão atuando como professor em sala de aula.
23
Assim, é possível dizer que essa categoria de conhecimento profissional
vislumbra um cenário em que a prática docente deve ser constantemente
revitalizada, revigorada por meio da reflexão sobre o ato de ensinar, no qual se
considera, por um lado, a singularidade do contexto em que se ensina e por outro,
no interior de um projeto maior, a especificidade da disciplina ministrada, ou seja,
uma das formas de ampliação do conhecimento pedagógico do professor evolui e se
desenvolve durante sua própria prática. Têm-se, assim, um movimento contínuo de
ensino e aprendizagem no qual se observa claramente a especificidade do trabalho
e do conhecimento profissional do professor.
2.2 Uma síntese sobre o que representa o currículo segundo J. Gimeno
Sacristán
Na década de 1990, foi regulamentada a Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional (LDB) nº 9.394, aprovada em 20 de dezembro de 1996. Nessa
lei, fica estabelecido que um professor deve ter curso superior com formação em
cursos de licenciatura plena em universidades e institutos superiores de educação.
Após essa época, aumentaram os cursos de Licenciatura em Matemática.
Os cursos de Licenciatura em Matemática têm buscado adaptar-se às
mudanças exigidas nas Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de
professores. Essas diretrizes definem que os cursos de Licenciatura em Matemática
devem integrar a formação matemática do licenciando com a prática docente, pois a
formação docente é que vai garantir a melhoria da qualidade do ensino na educação
básica. Dentre as adequações que as IES vêm promovendo, uma delas é fazer com
que o trabalhado em um curso de formação de professores seja coerente com a
prática profissional que se espera do futuro professor.
Segundo Sacristán (2000), o professor é quem vai pôr em prática o que está
sendo elaborado e determinado nos documentos curriculares. Assim, sua opinião é
muito importante, o que evidencia a necessidade de se trabalhar com discussões
curriculares nos cursos de Licenciatura em Matemática. Como o foco desta pesquisa
é o Curso de Licenciatura em Matemática, fica clara a importância dos estudos sobre
o currículo em um curso de formação de professores, pois os futuros professores, ao
concluírem a graduação, precisam saber os conteúdos que vão ensinar e em que
24
série/ano vão aplicar esses conhecimentos, levando em consideração as propostas
curriculares de seus estados e municípios.
Para o autor, a visão de currículo como algo que se constrói deve ser
discutida de forma explícita em um processo aberto por parte dos agentes
participantes, a saber: professores, alunos, pais, forças sociais, grupos de criadores
e intelectuais, para não ser considerado uma reprodução de decisões implícitas em
que os currículos e os subsistemas que os determinam são realidades históricas.
A Figura 1 apresenta as seis fases de um modelo de currículo segundo
Sacristán:
Figura 1: A objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento.
Fonte: Sacristán (2000, p. 105)
Sacristán (2000) define essas instâncias curriculares da seguinte forma:
1. O currículo prescrito: prescrição ou orientação do conteúdo que deve ser
trabalhado, principalmente na escolaridade obrigatória. São aspectos de
referência na ordenação do sistema curricular servindo de apoio para o ponto
de partida para a elaboração de materiais, conteúdo do sistema, etc.
25
2. O currículo apresentado aos professores: são os meios pelos quais
diferentes instâncias procuram levar os conteúdos prescritos aos professores,
porém não são suficientes para orientar a atividade educativa nas aulas. Um
exemplo mais utilizado são os livros-texto.
3. O currículo moldado pelos professores: como o professor é um agente
ativo e decisivo na concretização dos conteúdos e significados dos currículos,
ele molda seu currículo a partir de sua cultura, por meio de qualquer proposta
que lhe é feita, seja pelos materiais, guias ou livro-texto, ou por meio dos
planos de ensino.
4. O currículo em ação: é a própria prática, guiada pelos esquemas teóricos e
práticos do professor, é aquele trabalho feito pelo professor em sala de aula
com os alunos, em que professores e alunos tomam as decisões.
5. O currículo realizado: em consequência da prática, produzem-se efeitos
complexos dos mais diversos, como cognitivo, afetivo, social, moral e outros.
São efeitos que chamam a atenção por serem considerados “rendimentos”
valiosos do sistema ou dos métodos pedagógicos. As consequências do
currículo refletem-se em aprendizagem dos alunos, mas também afetam os
professores e se projetam no ambiente social e familiar.
6. O currículo avaliado: são as pressões exteriores sofridas pelos professores
e levam a ressaltar, na avaliação, aspectos do currículo, sendo coerente ou
não. Acaba impondo critérios para o ensino do professor e para a
aprendizagem dos alunos.
Analisando esses aspectos, percebe-se que o currículo é um processo social,
que interfere em ideias e práticas e só adquire sentido no contexto real, sendo o
professor o intermediário entre o aluno e o currículo.
2.3 Considerações sobre as abordagens apresentadas
26
Neste capítulo, busca-se a apropriação das teorias de Lee Shulman (1986)
sobre conhecimentos docentes e de Sacristán (2000) sobre currículos, os quais
auxiliaram nesta pesquisa para responder se as instituições de ensino superior que
oferecem o curso de Licenciatura em Matemática apresentam, em suas ementas, o
conteúdo necessário para que os futuros professores possam exercer a sua
profissão com os devidos conhecimentos adquiridos sobre o conteúdo de Geometria,
que é o foco desta pesquisa.
Para Shulman (1986), a primeira base do conhecimento para um professor é
o conhecimento do conteúdo da disciplina ensinada. Assim, o domínio do conteúdo
da disciplina leva à flexibilidade do professor em determinada situação, sendo esse
conteúdo adquirido em diversas fontes. Isso vem ao encontro do que afirma
Sacristán (2000) sobre currículo moldado pelos professores, em que ele, como
agente, molda o conteúdo a ser ensinado de acordo com a situação.
Shulman (1986) também reconhece outro conhecimento dos professores
como conhecimento pedagógico, em que o professor deve apresentar o conteúdo de
forma compreensível para o aluno, isso é possível na medida em que o professor se
apropria do conhecimento da disciplina.
Um dos conhecimentos citados por Shulman (1986) em suas teorias, o
conhecimento curricular da matéria ensinada, embasará esta pesquisa, para
responder, no quarto capítulo deste trabalho, se os Cursos de Licenciatura em
Matemática trabalham ou oferecem os temas sobre Geometria em sua grade
curricular.
Depois de adquirido esse conhecimento, fica claro que o professor terá
condições de adaptá-lo a cada momento em sua carreira. Nessa fase, as condições
sociais, o tempo e a maturidade farão com que cada professor adquira,
paulatinamente, características próprias. Segundo Sacristán (2000), os cursos de
Licenciatura em Matemática deveriam oferecer a seus alunos uma disciplina em que
fosse possível aprender a modelar e a elaborar um currículo.
O estudo desses dois autores foi fundamental para desenvolver esta pesquisa,
cujo objetivo é verificar se as instituições de Ensino Superior pesquisadas oferecem,
em suas grades, conteúdos de Geometria suficientes para preparar os futuros
27
professores para sua carreira profissional e se esses conteúdos estão de acordo
com o que sugerem os Parâmetros Curriculares Nacionais, uma vez que se percebe
grande ligação entre suas teorias
28
CAPÍTULO 3- O ENSINO DE GEOMETRIA
Neste capítulo, será apresentada uma breve discussão sobre o que é campo
de estudo da Geometria, o que se estuda na Geometria Espacial, na Geometria
Plana, na Geometria Métrica e na Geometria Analítica. Serão também apresentadas
algumas pesquisas que discutem o ensino de Geometria e estratégias de como esse
conteúdo pode ser trabalhado. Também é apresentada a inserção curricular da
Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, por meio de
uma análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental
(PCNEF/1998), dos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM/1999),
Parâmetro Curricular do Ensino Médio (PCN+/2001) e do Currículo do Estado de
São Paulo (2012), vigentes na rede estadual de ensino desde 2010, e o que as
Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e
Licenciatura (2001) sugerem para as instituições de Ensino Superior sobre o tema
Geometria.
Por meio das considerações realizadas neste capítulo, buscam-se
contribuições para o desenvolvimento deste estudo, levando em consideração o que
se tem discutido no cenário acadêmico em relação a essa temática, bem como sua
inserção curricular.
3.1 Uma breve discussão sobre as diferentes vertentes da geometria:
geometria espacial, geometria plana, geometria métrica e geometria analítica
A Geometria é uma das áreas mais antigas da Matemática. Desde seus
primórdios, o saber geométrico envolveu o que hoje se pode chamar de grandezas
geométricas – comprimento, área, volume e abertura de ângulo. De acordo com
Lima e Carvalho (2010), seguindo as recomendações curriculares mais recentes,
não só do Brasil, mas também de outros países, o estudo das grandezas
geométricas tem sido incluído no campo das grandezas e medidas e não só da
Geometria. Uma das razões para essa escolha reside na necessidade de maior
atenção ao ensino do conceito de grandeza em geral e não apenas das
geométricas.
29
Segundo Lima e Carvalho (2010), é consenso de alguns autores que os
professores, em Geometria, definem quadrado como um quadrilátero que possui
quatro ângulos retos e quatro lados de comprimentos iguais. Essa é a definição de
um objeto abstrato, no qual não se podem efetuar medições com instrumentos
concretos. Quando são utilizados exemplos concretos de quadrados, desenhados ou
construídos de algum material adequado, as medições fornecerão sempre
igualdades aproximadas dos comprimentos dos lados e das aberturas dos ângulos.
Assim, no que se refere à definição geométrica, o comprimento do lado do quadrado
pode ser determinado em centímetros, em metros, ou em qualquer outra unidade de
comprimento. Logo, pode-se dizer que o enfoque puramente geométrico das
grandezas geométricas é mais abstrato que o enfoque adotado quando elas são
estudadas ao lado de grandezas em geral, em seu âmbito específico.
Conteúdos de Geometria podem ser abordados sem necessariamente intervir
com grandezas geométricas. Se o estudo da Geometria com os alunos for iniciado
procurando valorizar a movimentação corporal, além de possibilitar o manuseio e a
visualização de objetos do mundo físico, desenhos e imagens de objetos facilitarão a
aprendizagem em Geometria. Para Lima e Carvalho (2010), quando as experiências
de visualização e de manipulação de objetos são bastante valorizadas, os alunos
podem descobrir e compreender melhor as propriedades dos objetos físicos e as
relações que existem entre eles.
Segundo Lima e Carvalho (2010), os objetos que fazem parte do
conhecimento matemático sistematizado devem ser adquiridos ao longo das várias
fases da escolaridade. A passagem do físico, perceptível e palpável para o abstrato
são objetivos centrais do ensino e da aprendizagem da Geometria, e isso é
fundamental. Uma criança pode ter contato com a Geometria, Plana ou Espacial,
desde muito cedo. Para tanto, é preciso que a apresentação dos conteúdos
geométricos esteja adequada à sua idade escolar e, à medida que evolua, novos
conceitos surgirão.
Para os autores Lima e Carvalho (2010), na designação de figuras
geométricas como o cubo, é frequente utilizar, também, a expressão “sólido
geométrico”. Porém é preciso esclarecer que, na expressão acima, não se faz
referência ao estado sólido da Física, seu emprego, nesse contexto, está ligado a
30
objetos e não a materiais. Para os autores, os objetos são divididos em três tipos:
objetos matemáticos, objetos físicos e objetos gráficos.
É muito comum, quando se inicia o conteúdo de Geometria, ocorrerem
dúvidas em relação a começar pela Geometria Plana ou pela Geometria Espacial.
As impressões visuais e palpáveis ocorridas na presença dos objetos do mundo
físico é que vão constituindo, progressivamente, nos alunos, as ideias de objetos
tridimensionais que ocupam posições em um ambiente também tridimensional. Os
modelos abstratos dos objetos tridimensionais são os chamados de sólidos
geométricos. Deve-se, entretanto, ao mesmo tempo, fazer com que os alunos
entrem em contato com objetos do mundo físico, cujos modelos geométricos são
ditos como bidimensionais.
Assim, percebe-se que, na formação geométrica inicial, é necessário fazer
uso simultaneamente das figuras geométricas de várias dimensões, diferente do que
se recomendou durante algum tempo, em que se deveria partir das figuras
unidimensionais, seguidas das bidimensionais e, depois, das tridimensionais.
Atualmente, essa proposta de se trabalhar com objetos bidimensionais e
tridimensionais simultaneamente já é observada nos livros didáticos e nas propostas
curriculares.
Nos anos finais do Ensino Fundamental, são frequentes as atividades em que
são utilizadas planificações para montagem de figuras espaciais, por meio de recorte
e colagem. Essas atividades são importantes do ponto de vista da formação
geométrica e, ainda, para o desenvolvimento de habilidades motoras do aluno. Em
todos os momentos, o conhecimento geométrico é construído gradativamente, e
essa construção é sugerida nos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Para Lima e Carvalho (2010), o papel do professor na formação do
pensamento geométrico está relacionado a duas capacidades. De um lado, captar e
interpretar as informações provenientes do mundo com o qual se tem contato e que
são mediadas pela visão humana, ou seja, ter a capacidade de ver e de gerar
imagens mentais. Por outro lado, traduzir as imagens mentais e as ideias em objetos
visíveis, isto é, ter a capacidade de tornar visíveis as ideias e imagens mentais, por
31
meio de objetos físicos ou de representações gráficas, denominada capacidade de
visualização.
Quanto à nomenclatura de figuras geométricas, Lima e Carvalho (2010)
sugerem que, no início do estudo da Geometria, o ideal é que as classificações e a
nomenclatura sejam introduzidas com moderação e gradualmente, para auxiliar a
criança a se familiarizar com as figuras geométricas a fim de que, aos poucos, ela
perceba suas propriedades. Anos de trabalho com a Geometria permitem sugerir
que o estudo dos sólidos geométricos deve ser iniciado por aqueles mais simples,
que vêm acompanhados da riqueza de propriedades, comuns no cotidiano, como
cubo e o paralelepípedo retângulo, também chamado de bloco retangular, que pode
ser reconhecido na caixa de leite, no dado utilizado em jogos. Todavia, uma
definição mais rigorosa desses sólidos geométricos faz-se desnecessária nos anos
finais do Ensino Fundamental.
Há grandezas de medidas que são associadas a sólidos geométricos.
Pressupõe-se que esse tópico seja melhor entendido pelos alunos no Ensino Médio,
como a área de superfícies laterais, a área total e o volume dos sólidos.
Observa-se, também, que a apresentação excessiva de fórmulas tem gerado
alguns entraves futuros para os alunos, como a confusão entre perímetro e área, ou
o uso inadequado de unidades de área como, por exemplo, expressar a área de
uma figura em metros, que são unidades de comprimento. Há muitas situações de
problemas que envolvem a área de figuras geométricas planas, sendo
desnecessário o uso de fórmulas para resolvê-los. A palavra “área” é usada na vida
cotidiana com múltiplos sentidos, em expressões como: vende-se esta área; área de
serviço; grande área. Isso tem ajudado a dar sentido à área na matemática escolar.
Outro conceito que precisa estar claro para os alunos é o de capacidade, ou
seja, o volume da parte interna de um objeto que tenha um espaço interno
disponível, um recipiente. É muito comum entre os alunos a dúvida entre essas
duas grandezas, volume e capacidade.
Pretende-se aqui apresentar maneiras de trabalhar com os alunos alguns
conceitos de Geometria Métrica como perímetro, área, volume ou capacidade. Essas
sugestões são citadas por Lima e Bellemain (2010). Algumas considerações são de
32
extrema importância para o aluno: uma delas é que ele vivencie atividades que lhe
permitam compreender que a uma figura geométrica 3 podem ser associadas
diferentes grandezas e a área é uma delas; que é possível comparar as áreas de
duas figuras geométricas sem precisar recorrer a medições; figuras geométricas
idênticas têm mesma área, mas figuras de mesma área não precisam ser idênticas;
figuras geométricas compostas de pedaços idênticos dois a dois têm a mesma área;
figuras geométricas com áreas iguais podem ter perímetros diferentes e figuras com
mesmo perímetro não precisam ter a mesma área; para medir a área utilizam-se
unidades de área; quando se mede a área de uma figura, usando diferentes
unidades, o número obtido muda, mas a área não se altera, logo, para expressar a
área, o número não é suficiente, é necessário saber qual unidade está sendo usada.
Essas reflexões sobre alguns conteúdos de Geometria vêm sendo
recomendados nos Referenciais Curriculares Nacionais. Elas têm sido normalmente
abordadas nos anos finais do Ensino Fundamental e também nos livros didáticos
destinados a essa fase da escolaridade. Com isso, acredita-se que o professor deva
considerar aspectos teóricos, não só na fundamentação dos conceitos matemáticos,
mas nas questões didáticas relativas a esses conceitos.
3.2 Pesquisas que discutem o ensino de geometria
Pesquisas como as de Pavanello (1989, 1993) evidenciam o recorrente
abandono do ensino de Geometria, o que leva a crer que esse conteúdo matemático
torna-se um problema para professores e alunos, fazendo com que, por motivos
diversos, torne-se um conteúdo quase, ou totalmente ausente no currículo real das
escolas. A própria sistemática dos livros didáticos colabora para que, em muitas
séries/anos, não seja trabalhada e essa falta de comprometimento com o ensino da
Geometria se repetiu por muito tempo.
Atualmente, muitos livros didáticos já se preocupam com esse fato e a
Geometria é inserida no decorrer dos capítulos relacionando-se com a Álgebra. Esse
reflexo, nas gerações anteriores, ainda pode ser percebido nitidamente nas turmas
de Licenciatura em Matemática mais recentes. A experiência como professora do
3 Expressão que, no contexto desta pesquisa, será usada para designar tanto um objeto físico, um
desenho ou imagem quanto uma figura geométrica bidimensional propriamente dita.
33
curso de Licenciatura em Matemática durante alguns anos permitiu verificar que há
alunos ingressantes que possuem pouco ou nenhum conhecimento de Geometria.
No entanto, é sabido que não basta a disposição de um conteúdo matemático
em um livro didático ou em um material curricular. O papel do professor é essencial,
pois é ele quem gerencia o ensino em sala de aula e, ainda, determina os conteúdos
a serem trabalhados com mais ou menos profundidade. Isso equivale a dizer que, se
o próprio professor possuir dificuldades em trabalhar com Geometria, decorrente de
questões culturais, então, certamente isso irá gerar reflexos na aprendizagem de
seus alunos.
Um dos fatores mais críticos percebidos por professores em sala de aula, não
é apenas o fato de os alunos não saberem determinados conceitos, mas o fato de
não conseguirem fazer conexões com conteúdos aprendidos anteriormente e utilizá-
los em situações em que é introduzido um novo conhecimento. Por exemplo, os
alunos possuem dificuldade para interpretar o enunciado de problemas ou utilizar a
linguagem matemática apropriada para resolver determinadas tarefas de Geometria.
Isso leva a crer que eles não sabem o que fazer com ferramentas matemáticas que
aprenderam em séries anteriores em uma nova situação problema. Tal fato leva a
crer que eles podem ter aprendido conceitos matemáticos fragmentados, pois não
conseguem articular determinados domínios.
Os fatores supracitados são algumas situações indicativas de que o ensino de
Geometria ainda não tem recebido a devida atenção, pois o que se aprende em sala
de aula parece desvinculado da realidade do aluno e não colabora para que ele
desenvolva sua autonomia, quando precisa utilizar o que aprendeu em situações
distintas daquelas habituais da sala de aula.
Estudos como os de Pavanello (1989) e Pirola (2000), entre outros autores,
mostram que existe uma redução no currículo de Geometria e que disciplinas como
Geometria Espacial, Geometria de Posição e Desenho Geométrico estão sendo
suprimidas dos livros didáticos, mas ainda se tenta manter a Geometria Plana e a
Geometria Espacial. Pavanello (1993) ressalta, ainda, que isso não vem
acontecendo apenas em nossas escolas, mas é um fenômeno mundial.
34
Para Pirola (2000), a falta de trabalho com o conteúdo de Geometria deve-se,
entre outros motivos, ao fato de o professor apresentar um déficit na sua formação.
Muitos cursos de Licenciatura em Matemática estão deixando de dar a devida
importância para as Geometrias. Os professores não ensinam, porque
provavelmente não sabem, e sua formação não o capacitou devidamente, o que
trará reflexos na forma como seu aluno aprende.
Essas considerações de Pirola (2000) levam a refletir sobre um quadro que
pode ser ainda mais preocupante: parte dos alunos que saem da Educação Básica
acabam ingressando em cursos de Licenciatura em Matemática e futuramente serão
professores que precisam ensinar as Geometrias a seus alunos. Se esse futuro
professor não recebeu formação adequada na Educação Básica nem em um Curso
de Licenciatura em Matemática, no que diz respeito à formação do pensamento
geométrico, certamente ensinará Geometria com base em conhecimentos que
podem não ter sido devidamente organizados.
Há consenso entre pesquisadores acerca da importância da Geometria no
currículo da Educação Básica, pois ela desenvolve habilidades de pensamento e de
organização para o mundo que vivemos.
Segundo Leivas (2009), o ensino de Geometria é muito discutido em
seminários, debates e palestras. Alega-se que a dificuldade ou deficiência na área
dá-se pela falta de tempo em abordá-lo em sala de aula, pois o assunto é deixado
para ser trabalhado no final do ano letivo. O pesquisador considera que muitas
tentativas têm sido feitas com o objetivo de sanar esse problema, inclusive a de
destinar uma carga horária específica para Geometria a cargo de um professor
apenas para essa disciplina. Essa tentativa, entretanto, é equivocada, uma vez que,
ao definir uma disciplina como Geometria, tem-se a impressão de tentar desvinculá-
la da Matemática e é preciso exatamente fazer com que os alunos consigam
compreender a relação entre a Matemática e a Geometria. Em recentes pesquisas
feitas por Leivas (2009), fica evidenciado que, em cursos de formação de
professores, há eliminação de conteúdos como Desenho Geométrico, Geometria
Descritiva e até mesmo Geometria Analítica.
35
Já Silva (2006) procura mostrar, em sua pesquisa, uma opção diferenciada
para tentar sanar a dificuldade apresentada por alunos no conteúdo de Geometria
Espacial. Sua proposta é ensinar a Geometria Espacial aliada à tecnologia. Para ele,
ao mesmo tempo em que as mídias digitais apresentam vantagens tecnológicas,
apresentam algumas desvantagens pedagógicas, uma vez que muitas dessas
informações não terão como consequência o crescimento intelectual ou cultural do
aluno. Para Silva (2006), o professor precisa utilizar a tecnologia como uma forma de
se adequar à realidade, pois competir com um mundo altamente tecnológico já não é
mais possível. O pesquisador afirma que o professor deve oferecer aos alunos
meios para que o conhecimento seja construído por eles próprios, incentivando o
aluno a aprender e a utilizar suas melhores habilidades e conhecimentos adquiridos
no cotidiano.
Segundo Silva (2006), a principal dificuldade apresentada pelos alunos em
relação à Geometria Espacial é a visualização dos sólidos num ambiente
bidimensional como livros, apostilas ou lousa e, assim, propõe a aplicação do
WebQuest4 na sua pesquisa. Em sua concepção, com essa atividade, os alunos
conseguiram ter um desenvolvimento e uma visualização melhor da Geometria
Espacial numa terceira dimensão, porém não teria como deixar de lado os cálculos.
Pereira (2001) fez um trabalho em que procurou entender o porquê de alunos
da Educação Básica apresentarem tanta dificuldade em Geometria. Essa
inquietação surgiu a partir do momento em que ela aplicou uma atividade para
alunos da 3ª série do Ensino Médio. Na atividade, os alunos deveriam determinar a
menor distância entre dois vértices de um cubo. Os alunos podiam medir com régua
ou mesmo resolver utilizando procedimentos próprios. Para sua surpresa, os alunos
não conseguiam resolver, surgiam dúvidas sobre o que são vértice, ângulo reto,
aresta, planos diferentes, dentre outras. Após a atividade, a pesquisadora
questionou colegas da escola em que trabalhava sobre como eles tratavam com
seus alunos tal conteúdo. Houve respostas variadas: alguns colegas disseram que
se dedicavam mais ao ensino da Álgebra; outros responderam que, ao trabalharem
com a Geometria, ensinavam, basicamente, medidas.
4 A atividade WebQuest é uma forma de ensinar que visa abranger o uso da tecnologia e das mídias
digitais. Essa atividade foi criada por Bernie Dodge, professor da San Diego State University.
36
Diante dessa situação, Pereira (2001) fez um levantamento dos índices do
SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica) e do SARESP (Sistema
de Avaliação do Rendimento Escolar) de 96/97/98, nos quais constatou um baixo
índice de aprovação nas questões relativas à Geometria.
Com base nessa constatação, Pereira (2001) iniciou sua pesquisa mostrando,
por meio de trabalhos já publicados (Dissertações de Mestrado e Teses de
Doutorado), a evidência da falta de comprometimento, por parte dos professores, em
se trabalhar com a Geometria na Educação Básica. Tais docentes, em sua maioria,
optam por dar ênfase ao ensino de Álgebra.
As considerações de Pereira (2001) fazem refletir sobre o fato de que, quando
o ensino se faz dessa forma, os professores perdem um fértil terreno de ensino, o
qual consiste na articulação de noções matemáticas que poderiam ser empregadas
concomitantemente entre Geometria e Álgebra. Adota-se por hipótese que essa é
uma forma de não somente dar significado ao ensino de Matemática, mas também
de gerar a possibilidade de alunos articularem conhecimentos matemáticos. A
mesma observação também é citada por Leivas (2009), o qual verifica que algumas
instituições sugeriram haver, nas escolas, professores diferentes para trabalhar com
a Matemática e a Geometria, ficando, assim, mais evidente a falta de vínculo entre
as duas disciplinas.
A pesquisa apresentada por Pereira (2001) constata que a Geometria vem
sofrendo um abandono há muito tempo, iniciando com o Movimento da Matemática
Moderna (MMM). Sugere que esse abandono, ou falta de comprometimento, pode
ser dividido em três categorias: problemas com a formação do professor; omissão da
Geometria nos livros didáticos; e as lacunas deixadas com o MMM. Para ela, essas
três categorias compõem um círculo vicioso.
Diante das pesquisas de mestrados e doutorados analisadas, Pereira (2001)
elaborou um quadro em que procurou mostrar, com base em três categorias, a
síntese das suas análises.
37
Quadro 1: Quadro síntese segundo PEREIRA, 2001 Problemas com a
formação de
professores
Omissão da
Geometria nos livros
didáticos
Lacunas deixadas com o
MMM
Vianna 1998 X X X
Bertonha 1989 X X X
Pavanello 1989 X
Perez 1991 X X
Sangiacomo 1996 X
Gouvêa 1998 X X X
Mello 1999 X
Passos 2000 X X
Fonte: PEREIRA (2001, p. 56)
Com base no quadro apresentado, fica evidente que, embora com pouca
diferença, o maior foco das pesquisas analisadas refere-se à inserção da Geometria
em relação aos livros didáticos. A pesquisa de Pavanello (1989) e de Passos (2000)
foram as únicas em que Pereira (2001) não constatou esse problema.
3.3 Documentos curriculares oficiais e o ensino de geometria
Para dar continuidade à discussão acerca do ensino e aprendizagem da
Geometria, é preciso apresentar algumas considerações sobre Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF/1998), Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM/1999), Parâmetros Curriculares do
Ensino Médio (PCN+/2001), Currículo do Estado de São Paulo e as Diretrizes
Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura
(2001).
3.3.1 Parâmetros curriculares nacionais do ensino fundamental (PCNEF)
Os Parâmetros Curriculares do Ensino Fundamental (1998) para os anos
finais do Ensino Fundamental dividem sua estruturação em terceiro ciclo5 e quarto
5 Terceiro ciclo: designação para o ciclo que compreendia a 5ª série e 6ª série na época da
publicação do documento. Atualmente, não se utiliza mais a nomenclatura de ciclos e essas séries correspondem a 6º ano e 7º ano do Ensino Fundamental.
38
ciclo 6 . Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental
(PCNEF), os objetivos da área de Matemática no terceiro ciclo devem visar ao
desenvolvimento:
do pensamento geométrico, por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas, envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas representações; resolver situações-problema que envolvam figuras geométricas planas, utilizando procedimentos de decomposição e composição, transformação, ampliação e redução (BRASIL, 1998, p.64).
No terceiro ciclo, “as atividades geométricas centram-se em procedimentos de
observação, representações e construções de figuras, bem como no manuseio de
instrumentos de medidas que permitam aos alunos fazer conjecturas sobre algumas
propriedades dessas figuras.” (BRASIL, 1998, p.68), porém, mesmo assim, os
PCNEF evidenciam que é importante ter a preocupação de levar os alunos a
fazerem uso de um vocabulário mais preciso.
Em relação às grandezas e medidas, os PCNEF indicam que a exploração de
medidas relativas a comprimento, massa, capacidade, superfície, tempo,
temperatura, iniciada nos ciclos anteriores, deva ser ampliada, incorporando-se o
estudo das medidas de ângulo, de volume e de algumas unidades da informática
como quilobytes, megabytes, as quais estão se tornando usuais em determinados
contextos. O trabalho com medidas deve centrar-se, sobretudo, na análise de
situações práticas que levem o aluno a aprimorar o sentido real das medidas.
No quarto ciclo, no que se refere ao pensamento geométrico, os PCNEF
propõem “ampliar e aprofundar noções geométricas como incidência, paralelismo,
perpendicularismo e ângulo para estabelecer relações, inclusive as métricas, em
figuras bidimensionais e tridimensionais” (BRASIL, 1998, p.82).
3.3.2 Parâmetros curriculares nacionais do ensino médio (PCNEM)
6 Quarto ciclo: designação para o ciclo que compreendia a 7ª série e 8ª série na época da publicação
do documento. Atualmente, não se utiliza mais a nomenclatura de ciclos e essas séries correspondem a 8º ano e 9º ano do Ensino Fundamental.
39
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM 2002)
apontam a Geometria como campo apropriado para o desenvolvimento de
habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca
de solução de problemas. Cita, ainda, que é importante a forma como o aluno
percebe a Matemática:
[...] é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, (...) são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações (BRASIL, 2002, p.40).
Constata-se claramente a importância do ensino de Geometria no Ensino
Médio. Cabe à Matemática do Ensino Médio apresentar ao aluno o conhecimento de
novas informações e instrumentos necessários para que ele continue aprendendo.
Saber aprender é a condição básica para prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da
vida, auxiliá-lo no desenvolvimento da autonomia e da capacidade de pesquisa,
fazendo com que ele possa confiar em seu próprio conhecimento (BRASIL, 2002,
p.41).
O documento não sugere uma distribuição de temas ou conteúdos por série,
apenas informa sobre competências e habilidades a serem desenvolvidas no Ensino
Médio e os rumos e desafios que a Matemática proporciona.
O documento sugere como um trabalho adequado a ser desenvolvido pela
Geometria o desenvolvimento de habilidades de visualização, desenho,
argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas. Tais
ações fazem com que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na
representação e na visualização de partes do mundo que o cerca. Segundo o
documento:
essas competências são importantes na compreensão e ampliação da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento. De fato, perceber as relações entre as representações planas nos desenhos, mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem, conceber novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir dessas representações são essenciais para a leitura do mundo através dos olhos das outras ciências, em especial a Física (BRASIL, 2001, p.41).
40
Com base na citação do documento, pode-se verificar que é importante o
desenvolvimento do pensamento geométrico desde a fase do Ensino Fundamental.
3.3.3 Parâmetros curriculares do ensino médio (PCN+)
O documento Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCN+) teve como
objetivo indicar um ensino compatível com as novas pretensões educativas e a
ampliação das orientações contidas nos PCNEM, adiantando elementos que não
estavam ainda explicitados, procurando trazer questões de utilidade para o professor
de cada disciplina, na definição de conteúdos e na adoção de opções metodológicas,
como, por exemplo, temas transversais.
Para concretizar o que significa, no âmbito do ensino de Matemática, o
desenvolvimento de competências e habilidades, o PCN+ analisa dois exemplos de
problemas que podem ser apresentados na disciplina de Matemática.
Em um deles, apresenta uma situação em que o aluno precisa de
conhecimentos de Geometria Espacial:
Figura 2: exemplo de situação problema
Fonte: Brasil (2002, p. 112)
O exemplo da figura 2 procura mostrar a necessidade de adequar o PCN+ e
mostra que é necessário uma graduação no conteúdo para que se desenvolva o
aprendizado no aluno.
Segundo o documento, o aluno deve “identificar e fazer uso de diferentes
formas e instrumentos apropriados para efetuar medidas ou cálculos; por exemplo,
41
discriminar o melhor instrumento para medir, comparar ou calcular comprimentos e
distâncias, ângulos, volumes ocupados por líquidos, em cada situação específica”
(BRASIL, 2002, p. 116).
Para evitar grande quantidade de informação na elaboração do PCN+, foi
preciso fazer um recorte, usando critérios orientadores do processo de seleção dos
temas. Um desses critérios usados no documento foi o de que os temas escolhidos
deveriam permitir ao aluno desenvolver as competências, nesse caso, relativas à
Geometria, e ir avançando a partir de cada ponto em que se encontrar, ou seja,
deve-se avançar o conteúdo partindo do ponto em que o aluno parou,
gradativamente.
O PCN+ encontra-se estruturado em temas, divididos em três eixos, da
seguinte forma:
1. Álgebra: números e frações;
2. Geometria e medidas;
3. Análise de dados.
Como pode ser observado no quadro 2, esses conteúdos são distribuídos
pelos três anos do Ensino Médio.
Quadro 2: Distribuição dos conteúdos e habilidades por ele proposto Unidades Temáticas
1. Geometria Plana: semelhança e congruência; representações de figuras.
• Identificar dados e relações geométricas relevantes na resolução de situações-problema.
• Analisar e interpretar diferentes representações de figuras planas, como desenhos, mapas,
plantas de edifícios, etc.
• Usar formas geométricas planas para representar ou visualizar partes do mundo real.
• Utilizar as propriedades geométricas relativas aos conceitos de congruência e semelhança de
figuras.
• Fazer uso de escalas em representações planas.
2. Geometria Espacial: elementos dos poliedros, sua classificação e representação; sólidos
redondos; propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo;
inscrição e circunscrição de sólidos.
• Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como
peças mecânicas, embalagens e construções.
• Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como
projeções, planificações, cortes e desenhos.
• Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.
• Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de
42
demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma específica para validar
resultados.
3. Métrica: áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado.
• Identificar e fazer uso de diferentes formas para realizar medidas e cálculos.
• Utilizar propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de comprimentos,
áreas e volumes em situações reais relativas, por exemplo, de recipientes, refrigeradores, veículos
de carga, móveis, cômodos, espaços públicos.
• Efetuar medições, reconhecendo, em cada situação, a necessária precisão de dados ou de
resultados, estimando margens de erro.
4. Geometria Analítica: representações no plano cartesiano e equações; intersecção e posições
relativas de figuras.
• Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas geométricos.
• Reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentes instrumentais
matemáticos, de acordo com suas características.
• Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes formas algébricas e
representações gráficas e vice-versa.
• Construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática,
estabelecendo conexões entre eles.
O documento cita que os temas a serem trabalhados pelo professor devem
ter, para o aluno, relação com a arte, a arquitetura e outras ciências:
Um exemplo disso pode ser visto na Geometria. A abordagem tradicional, que se restringe à métrica do cálculo de áreas e volumes de alguns sólidos, não é suficiente para explicar a estrutura de moléculas e cristais em forma de cubos e outros sólidos, nem tampouco justifica a predominância de paralelepípedos e retângulos nas construções arquitetônicas ou a predileção dos artistas pelas linhas paralelas e perpendiculares nas pinturas e esculturas. Ensinar Geometria no Ensino Médio deve possibilitar que essas questões aflorem e possam ser discutidas e analisadas pelos alunos (BRASIL, 2002, p. 119).
A forma de trabalho com os conteúdos precisa atender o aluno de cada
escola, ou seja, levar em consideração as especificidades de cada um, pois cada
aluno tem um projeto de vida individual, vida social própria, histórias de vida e
escolar pessoais. De acordo com Brasil (2002), atendendo a essa proposta, a escola
garantiria que a aprendizagem do aluno acontecesse de forma que ele pudesse
interagir com seus colegas e com o professor, tendo uma vivência coletiva e, dessa
maneira, adquirindo autonomia para se comunicar na área de Matemática.
Fonte: BRASIL (2002, p. 125)
43
O ensino das propriedades métricas, envolvendo cálculos de distâncias, áreas
e volumes é apenas uma parte do trabalho que deve ser desenvolvido, não se
podendo ignorar as relações geométricas em si, como pode ser visto:
para desenvolver esse raciocínio de forma mais completa, o ensino de Geometria na escola média deve contemplar também o estudo de propriedades de posições relativas de objetos geométricos; relações entre figuras espaciais e planas em sólidos geométricos; propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais; análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos (BRASIL, 2002, p. 123).
Uma sugestão citada no PCN+ é que, para o cálculo de comprimentos, áreas
e volumes relacionados a figuras planas e espaciais, a composição e a
decomposição de figuras sejam utilizadas como procedimentos metodológicos por
parte do professor. Propõe que a distribuição desses conteúdos e suas habilidades
sejam desenvolvidas de acordo com o apresentado no Quadro 2.
A escolha de uma maneira e sequência de distribuição dos temas objetiva
que, a cada série, haja a ampliação de cada conteúdo, de forma a aprofundar o seu
conhecimento. A organização do Quadro 3 é citada no documento em uma situação
de quatro aulas semanais.
Quadro 3: Organização do conteúdo em cada ano do Ensino Médio
1ª série/ 1º ano
2ª série/ 2º ano
3ª série/ 3º ano
2. Geometria plana:
Semelhança e congruência;
representações de figuras
2. Geometria espacial:
Poliedros; sólidos redondos;
propriedades relativas à
posição; inscrição e
circunscrição de sólidos.
2. Métrica: áreas e volumes;
estimativas.
2. Geometria analítica:
Representações no plano
cartesiano e equações;
intersecção e posições relativas
de figuras.
Fonte: BRASIL (2002, pág. 128)
44
Percebe-se que, na 1ª série/1º ano7 do Ensino Médio, a sugestão era a de
que se trabalhasse com a Geometria Plana, como um pré-requisito fundamental para
o conteúdo a ser trabalhado na 2ª série/2º ano8. O documento apresenta a ideia de
que o aluno precisa ter conhecimentos de áreas de figuras geométricas planas para
dar continuidade aos seus estudos e aprender Geometria Espacial. Sabe-se,
atualmente, que pesquisas discutem a construção do pensamento geométrico sem
que se tenha a Geometria Plana como pré-requisito para a aprendizagem da
Geometria Espacial.
Já para a 3ª série/ 3º ano 9 , o documento indica um trabalho restrito à
Geometria Analítica.
3.3.4 Currículo do estado de São Paulo
O Currículo do Estado de São Paulo, vigente na Rede Estadual de Ensino
desde 2008, foi elaborado levando em consideração as orientações dos documentos
mencionados até o momento. Apresenta não apenas sugestões, mas também um
“cronograma” a ser seguido pelo professor, idêntico em todas as escolas da Rede
Estadual de Ensino de São Paulo. O documento considera que as Geometrias
devem ocupar um papel articulado, sem levar em conta que uma deve vir
necessariamente antes da outra.
Em Geometria, no Ensino Fundamental, a preocupação inicial é o reconhecimento, a representação e classificação das formas planas e espaciais, preferencialmente trabalhadas em contextos concretos com os alunos de 5ª série/6º ano e 6ª série/7º ano
10. Certa ênfase na construção de
raciocínios lógicos, de dedução simples de resultados a partir de outros anteriormente conhecidos poderão ser a tônica dos trabalhos na 7ª série/8º
7 1ª série/ 1º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros
Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do E.M. em séries. Atualmente a nomenclatura vigente para cada fase é ano. 8 2ª série/ 2º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros
Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do E.M. em séries. Atualmente a nomenclatura vigente para cada fase é ano. 9 3ª série/ 3º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros
Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do E,M, em séries. Atualmente a nomenclatura vigente para cada fase é ano. 10
6ª série/ 7º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do E.F. em séries. Atualmente a nomenclatura vigente para cada fase é ano.
45
ano11
e na 8ª séries/9º ano12
. É importante que se atente para a necessidade de incorporar a Geometria ao trabalho em todas as séries/anos da grade escolar, cabendo ao professor a busca de um equilíbrio no tratamento dos conteúdos fundamentais nos diversos bimestres. Como já se mencionou, praticamente qualquer um dos conteúdos fundamentais − Números, Geometria, Relações − presta-se naturalmente a uma relação com os outros. Um ponto a ser destacado é a frequente interpretação de que a Geometria Plana é um assunto do Ensino Fundamental e as Geometrias Espacial e Analítica são temas do Ensino Médio muito comuns em diversas propostas curriculares. Na apresentação que aqui se faz dos conteúdos, tal interpretação não está presente, buscando-se entrelaçar continuamente as Geometrias Plana e Espacial, bem como a Álgebra e a Geometria, em uma permanente aproximação com a Geometria Analítica desde a apresentação do plano cartesiano, na primeira metade do Ensino Fundamental (SÃO PAULO, 2012, p. 41).
Fica evidente que esse documento considera importante que a Geometria
trabalhe de forma articulada com a Álgebra, bem como que a Geometria não seja
estudada de forma estanque, mas conjuntamente, a fim de dar sentido ao processo
de aprendizagem dos alunos.
Outro aspecto importante citado no documento é a maneira como deve ser a
relação na caracterização do espaço: a percepção, a concepção, a construção e a
representação, devendo haver inter-relação entre os conceitos.
PERCEPÇÃO CONCEPÇÃO
CONSTRUÇÃO REPRESENTAÇÃO
O fluxograma demonstra que o aluno deve ter a percepção, a capacidade de
apropriar-se do conteúdo, das figuras, das formas geométricas para ter sua
concepção, ou seja, para conseguir compreender, conseguir representá-la ou
mesmo construí-la em cada situação problema. As quatro categorizações do espaço
precisam comunicar-se entre si. O aluno necessita dessa interligação para adquirir o
11
7ª série/ 8º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais dividiam-se as fases de escolarização do E.F. em séries. Atualmente a nomenclatura vigente para cada fase é ano. 12
8ª série/ 9º ano: essa nomenclatura foi utilizada, porque, na época de publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais, dividiam-se as fases de escolarização do E.F. em séries. Atualmente a nomenclatura vigente para cada fase é ano.
46
conhecimento geométrico, uma está interligada à outra, porque elas são
dependentes, uma não se faz sem as outras.
O Quadro 4 apresenta a proposta de distribuição dos conteúdos de Geometria
no Ensino Fundamental segundo o Currículo do Estado de São Paulo.
Quadro 4: Distribuição dos conteúdos por bimestre no Ensino Fundamental 1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre
5ªsérie /
6ºano
_______________
_______________
formas
geométricas:
planas e
espaciais.
perímetro e
área: unidades de
medida; perímetro
e área de uma
figura plana;
cálculo de área
por composição e
decomposição;
problemas
envolvendo área e
perímetro de
figuras planas.
_______________
6ªsérie /
7ºano
_______________
geometria:
ângulos; polígonos;
circunferência;
simetrias;
construções
geométricas;
poliedros.
_______________
_______________
7ªsérie /
8ºano
_______________
________________
_______________
geometria: área
de polígonos;
volume de
prismas.
8ªsérie /
9ºano
_______________
_______________
_______________
corpos
redondos: o
número ; a
circunferência; o
círculo e suas
partes; área do
círculo; área e
volume do cilindro.
Fonte: SÃO PAULO (2012, p. 57)
47
Pode-se observar, no Quadro 4, que o ensino de Geometria inicia-se nos
anos finais do Ensino Fundamental. No terceiro bimestre da 5ª série/6º ano, o aluno
já tem contato com as formas de Geometria Plana e Espacial, com o objetivo de
identificá-las e classificá-las, utilizando, nesse momento, materiais concretos,
desenhos, malhas quadriculadas; partindo de planificações, já seria possível
visualizar o que é a área de uma figura plana. Nesse instante, deveria compreender
a noção de área e perímetro de uma figura.
No segundo bimestre da 6ª série/7º ano, o aluno é levado a aprender a
identificar os elementos de um poliedro e a classificá-lo segundo diversos pontos de
vista; aprende, também, a planificar e representar (em vistas) as figuras espaciais.
Ele tem seu primeiro contato com o número , como uma razão constante da
Geometria, sabendo que irá utilizá-lo para o cálculo do comprimento e da área de
circunferências e suas partes.
A Geometria Espacial aparece novamente na 7ª série/8º ano, no quarto
bimestre, quando o aluno irá aprender a calcular a área de polígonos de diversos
tipos, dando destaque para os polígonos regulares, e deverá identificar prismas em
diferentes contextos, bem como saber construí-los e calcular os seus volumes.
Percebe-se que, na 8ª série/9º ano, no quarto bimestre, o aluno volta a ter
contato com os corpos redondos: a circunferência, o círculo e suas partes, devendo
calcular a área do círculo. Nesse bimestre, ele aprende a calcular a área e o volume
do cilindro.
O Quadro 5 apresenta a proposta de distribuição dos conteúdos de Geometria
no Ensino Médio segundo o Currículo do Estado de São Paulo.
48
Quadro 5: Distribuição dos conteúdos por bimestre no Ensino Médio 1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre
1ª série
_______________
_______________
_______________
geometria:
polígonos
regulares;
inscrição,
circunscrição e
pavimentação de
superfícies.
2ª série
_______________
_______________
_______________
geometria
métrica espacial:
elementos de
geometria de
posição;
poliedros,
prismas e
pirâmide;
cilindro, cone e
esfera.
3ª série
geometria
analítica
pontos:
distância; ponto
médio e
alinhamento de
três pontos.
reta: equação e
estudo dos
coeficientes;
problemas
lineares.
ponto e reta:
distância.
circunferência:
equação.
reta e
circunferência:
posições relativas.
cônicas: noções,
equações,
aplicações.
_______________
_______________
_____________
Fonte: SÃO PAULO (2012, p. 65)
O Currículo do Estado de São Paulo também propõe a grade para o Ensino
Médio. Conforme observado no Quadro 5, já se considera que boa parte do
conteúdo de Geometria teve sua base no Ensino Fundamental. É possível observar
49
que, na 1ª série do Ensino Médio, a proposta curricular trabalha com construções de
polígonos regulares inscritos ou circunscritos em uma circunferência, bem como
sugere que sejam exploradas todas as propriedades dos polígonos para que estas
sejam aplicadas em situações-problemas de pavimentação de superfícies.
Na 2ª série do Ensino Médio, no quarto bimestre, há sugestão para se
trabalhar Geometria Métrica Espacial, sendo, então, trabalhados os poliedros, os
prismas, as pirâmides, os cilindros, os cones e as esferas. O objetivo é fazer com
que o aluno identifique propriedades características desses sólidos e efetue os
cálculos com as relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes),
utilizando-as em diferentes contextos.
Nota-se que apenas na 3ª série do Ensino Médio é sugerido o trabalho com
Geometria Analítica, quando o aluno deverá usar o sistema de coordenadas
cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações. Nessa série, o
aluno tem seu primeiro contato com equações de circunferências e de cônicas na
forma reduzida.
Na análise feita dos Parâmetros Curriculares, fica evidente a proposta de um
trabalho detalhado e sugestivo para o ensino de Geometria nos anos finais do
Ensino Fundamental e Ensino Médio. Essa análise auxilia a encontrar respostas
para uma das questões desta pesquisa: que relações as ementas dos cursos de
Licenciatura em Matemática apresentam com os conteúdos prescritos de Geometria
pelos documentos oficiais a serem trabalhados nos anos finais do Ensino
Fundamental e no Ensino Médio?
3.3.5 Diretrizes curriculares nacionais para os cursos de matemática,
bacharelado e licenciatura
Segundo o Conselho Nacional de Educação, órgão responsável pela
elaboração do documento que orienta sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais
para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura, o documento tem como
objetivos orientar as instituições para melhorias e transformações na formação do
Bacharel e do Licenciado em Matemática e assegurar que os egressos dos cursos
credenciados de Bacharelado e Licenciatura em Matemática tenham sido
50
adequadamente preparados para uma carreira na qual a Matemática seja utilizada
de modo essencial, assim como para um processo contínuo de aprendizagem.
Os currículos dos cursos de Bacharelado e Licenciatura em Matemática
devem desenvolver as seguintes competências e habilidades:
a) capacidade de expressar-se escrita e oralmente com clareza e precisão;
b) capacidade de trabalhar em equipes multidisciplinares;
c) capacidade de compreender, criticar e utilizar novas ideias e tecnologias para a resolução de problemas;
d) capacidade de aprendizagem continuada, sendo sua prática profissional também fonte de produção de conhecimento;
e) habilidade de identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação, utilizando rigor lógico-científico na análise da situação-problema;
f) estabelecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento;
g) conhecimento de questões contemporâneas;
h) educação abrangente necessária ao entendimento do impacto das soluções encontradas num contexto global e social;
i) participar de programas de formação continuada;
j) realizar estudos de pós-graduação;
k) trabalhar na interface da Matemática com outros campos de saber.
(BRASIL, 2001, p. 3)
Segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Licenciatura
em Matemática, a organização dos currículos das instituições de Ensino Superior
(IES) deve contemplar os conteúdos comuns a todos os cursos de Matemática,
complementados com disciplinas organizadas conforme o perfil escolhido pelo aluno.
Os conteúdos descritos a seguir, comuns a todos os cursos de Licenciatura, podem
ser distribuídos ao longo do curso de acordo com o currículo proposto pela IES:
− Cálculo Diferencial e Integral
− Álgebra Linear
− Fundamentos de Análise
− Fundamentos de Álgebra
51
− Fundamentos de Geometria
−Geometria Analítica
Segundo o documento, a parte comum deve ainda incluir conteúdos
matemáticos presentes na educação básica nas áreas de Álgebra, Geometria e
Análise. As IES poderão organizar os seus currículos de modo a possibilitar ao
licenciado uma formação complementar, propiciando uma adequação do núcleo de
formação específica a outro campo de saber que possa complementá-lo.
3.4 Considerações sobre o ensino de geometria
Verificou-se que, pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEF, PCNEM
e PCN+) e pelo Currículo do Estado de São Paulo, há uma grande preocupação
quanto ao estudo das noções de área e volume, pois propõe-se trabalhar essas
noções desde a 5ª série/6º ano até a 8ª série/9º ano, tendo um aprofundamento no
Ensino Médio.
Pode-se perceber, inclusive, que houve uma evolução na forma como os
documentos curriculares concebem o ensino das Geometrias nos anos finais do
Ensino Fundamental e no Ensino Médio, pois, nos Parâmetros Curriculares
Nacionais, havia uma separação hierárquica entre Geometria Plana, Espacial e
Analítica. Já no Currículo do Estado de São Paulo, há indicação de um ensino
articulado, tanto no campo da Geometria como em relação a outros conteúdos
matemáticos como, no caso, a Álgebra.
Foi possível verificar que existe uma preocupação em trabalhar o conteúdo de
Geometria, objeto desta pesquisa, e que essa noção matemática é gradativamente
trabalhada em todas as séries/anos finais do Ensino Fundamental, sugerindo que se
iniciem paulatinamente os conceitos e que estes sejam aprofundados no decorrer
dos anos. Já no Ensino Médio, a proposta é a de se trabalhar com Geometria Plana
na 1ª série/1º ano; os sólidos geométricos na 2ª série/ 2º ano; e a Geometria
Analítica na 3ª série/ 3º ano.
Outro fator importante diz respeito aos exemplos fornecidos para o trabalho
dos conteúdos, pois, além da indicação, acaba por fornecer sugestões ao professor
em relação à organização de sua rotina docente e de estratégias de ensino. É
52
possível perceber, ainda, uma integração vertical, pois essas noções, a cada série
em que são apresentadas, são retomadas e ampliadas.
Assim, com este estudo, é possível verificar a evidente preocupação do
documento com uma aprendizagem significativa, em que a abordagem das noções
matemáticas incorpora os conhecimentos anteriores dos alunos. Além disso, as
abordagens relativas às fórmulas do cálculo de área de figuras planas não se
resumem a simples aplicação algébrica há uma preocupação explícita de fazer com
que o aluno tenha acesso aos significados envolvidos na construção de cada
fórmula, em relação à Geometria Plana, utilizando composições e decomposições de
figuras planas para entender o conceito de área, e à Geometria Espacial, fazendo
com que o aluno se aproprie de planificação e construção para a visualização da
área total da superfície de um sólido geométrico.
Cabe lembrar que a primeira preocupação com um currículo unificado deu-se
com a elaboração do documento Parâmetros Curriculares Nacionais (1998),
posteriormente vieram os documentos PCNEM e PCN+. Esses documentos
subsidiaram a elaboração da Proposta Curricular do Estado de São Paulo em 2008
e, atualmente, é denominada de Currículo do Estado de São Paulo.
Pavanello (1989) e Pirola (2000) constataram em seus estudos que há vários
fatores que contribuíram para esse descaso. A redução no currículo de Geometria e
a posição que esse conteúdo ocupa nos livros didáticos, nos últimos capítulos, são
para eles um dos fatores que reforçaram esse abandono das Geometrias no Ensino
Fundamental e no Ensino Médio. Hoje já se percebe uma mudança da Geometria
nos novos livros didáticos.
Pirola (2000) afirma que essa defasagem pode vir dos professores – eles não
ensinam, porque não sabem – afirmação com a qual se pode concordar. Atualmente,
poucos professores procuram investir na formação continuada e até mesmo se
aprofundar nos estudos de Geometria, ficando mais atentos à Álgebra.
Nota-se também que, embora a pesquisa de Pereira (2001) reforce que o
grande problema está na formação dos professores e na omissão dos conteúdos de
Geometria nos livros didáticos, essa realidade constatou-se há mais de treze anos e
não se pode deixar de considerar que muitos professores participantes da pesquisa
53
foram formados nos moldes dos currículos propostos e executados nessa época, em
que de fato isso ocorria. Enfatiza-se, mais uma vez, que os livros didáticos atuais já
abordam o ensino de Geometria de forma diferente.
Recentemente, Leivas (2012) fez um trabalho em que procurou verificar, no
Estado do Rio Grande do Sul, se os cursos de Licenciatura em Matemática
ofereciam as disciplinas de Geometria para os futuros professores. Constatou essa
eliminação nas instituições de Ensino Superior por ele pesquisadas. A pesquisa feita
por Leivas (2012) reforça a pesquisa de Pirola (2000), que discute como um
professor pode ensinar Geometria, se isso não lhe é oferecido no curso de
Licenciatura em Matemática.
Alguns autores como Silva (2006) procuram amenizar esse problema
apropriando-se de softwares educativos voltados para o ensino de Geometria,
acreditando que essa proposta pode ser uma maneira de facilitar a compreensão por
parte dos alunos do conceito dessa disciplina, principalmente, para a visualização da
Geometria Espacial.
Enfim, há documentos oficiais que sugerem os momentos em que se deve
trabalhar os conteúdos de Geometria, bem como sua distribuição por níveis; e
pesquisas que parecem mostrar que esses temas não vêm sendo trabalhados em
muitas instituições. É preciso, portanto, que os formadores de futuros professores
trabalhem o conteúdo de Geometria nos cursos de Licenciatura em Matemática para
que se possa reverter esse quadro.
54
CAPÍTULO 4- ANÁLISE DAS GRADES E EMENTAS DE
INSTITUIÇÕES DE ENSINO SUPERIOR
Tendo como objetivo evidenciar como tem se dado a formação de futuros
professores de Matemática em relação ao conteúdo de Geometria, este capítulo é
destinado a apresentar um mapeamento de grades, ementas e projetos pedagógicos
de instituições de Ensino Superior do estado de São Paulo que oferecem o Curso de
Licenciatura em Matemática, para verificar quais disciplinas e conteúdos são
oferecidos na área de Geometria.
4.1 Sobre o mapeamento realizado
O levantamento foi realizado no site do Ministério da Educação e Cultura
(MEC), no qual se buscou listar as instituições credenciadas que ofereciam o Curso
de Matemática em janeiro de 2013. Na portaria do MEC, constam 126 instituições
credenciadas para o curso de Matemática no estado de São Paulo, porém 7 dessas
instituições, embora constassem no site que estavam no estado de São Paulo, pelo
endereço da instituição, elas não se localizavam nesse estado, sendo assim, foram
desconsideradas da pesquisa.
Dentre as instituições credenciadas pelo MEC, 6 estavam com o curso
suspenso por “Suspensão de Autonomia – Despacho nº 191/2012, nota técnica nº
933/2012”, restando 113 instituições de Ensino Superior para a análise.
A princípio, o objetivo era verificar quais dessas instituições ofereciam os
cursos de Licenciatura em Matemática em Ensino a Distância (EAD), quais
ofereciam o curso Presencial e quais ofereciam o curso com as duas modalidades.
O levantamento mostrou que apenas 2 instituições ofereciam o curso de Matemática
em EAD; 10 instituições ofereciam o curso nas duas modalidades, EAD e Presencial;
e 101 instituições ofereciam apenas cursos presenciais.
O universo de pesquisa ficou restrito às 111 instituições que oferecem o curso
de Licenciatura em Matemática presencial. Dessas 111 instituições, optou-se por
realizar a análise com base em uma amostra. Foram consideradas para a escolha
55
dessa amostra aquelas instituições que disponibilizam em sua página da internet o
projeto pedagógico do curso com suas respectivas grades e ementas. Assim, a
amostra foi composta por 12 instituições de ensino superior, entre públicas e
privadas, das quais 5 são privadas e 7 são públicas.
As análises foram estabelecidas com base nos seguintes critérios: carga
horária das disciplinas oferecidas; tipo de instituição (pública ou privada);
organização anual, semestral ou trimestral da disciplina ministrada; conteúdos
propostos nas ementas das disciplinas.
O levantamento das grades e das ementas da disciplina de Geometria,
ministrada no curso de Licenciatura em Matemática do estado de São Paulo, foi
realizado conforme segue no Quadro 6.
Quadro 6: Instituições pesquisadas no estado de São Paulo
Fonte: http://emec.mec.gov.br/ (Acesso em: janeiro de 2013)
4.2 Análise geral das instituições de ensino superior
Número da
Instituição
Ensino
Categoria
Administrativa
IES-1 Privada
IES-2 Privada
IES-3 Pública
IES-4 Pública
IES-5 Pública
IES-6 Pública
IES-7 Privada
IES-8 Privada
IES-9 Privada
IES-10 Pública
IES-11 Pública
IES-12 Pública
56
Neste tópico, será apresentada uma análise das IES quanto ao conteúdo de
Geometria. Serão analisadas as diferentes frentes dentro da Geometria: Geometria
Espacial, Geometria Plana, Geometria Métrica e Geometria Analítica.
Segundo os PCN+, o ensino de Geometria Espacial deve abordar elementos
dos poliedros, sua classificação e representação; usar formas geométricas espaciais
para representar ou visualizar partes do mundo real; interpretar e associar objetos
sólidos a suas diferentes representações bidimensionais; utilizar o conhecimento
geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade. O ensino de
Geometria Plana deve abordar formas geométricas planas para representar ou
visualizar partes do mundo real; utilizar as propriedades geométricas relativas aos
conceitos de congruência e semelhança de figuras. O ensino de Geometria Métrica
deve abordar o cálculo de áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado,
identificando e fazendo uso de diferentes formas para realizar medidas e cálculos;
utilizar propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de
comprimentos, áreas e volumes em situações reais relativas. O ensino de Geometria
Analítica deve abordar representações no plano cartesiano e equações; intersecção
e posições relativas de figuras, interpretando e fazendo uso de modelos para a
resolução de problemas geométricos.
Considerando-se o que sugerem os Documentos Curriculares Oficiais, a
seguir, será analisada a primeira frente, Geometria Espacial.
4.2.1 O ensino de geometria espacial
Conforme sugerido pelo Currículo do Estado de São Paulo (2012), a
Geometria Espacial deve ter inicio na 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental e ser
trabalhada até a 2ª série (2º ano) do Ensino Médio. Durante o período em que se
trabalha com o ensino de Geometria Espacial, sugere que seja abordada, também, a
Geometria Métrica.
O Quadro 7 apresenta em que ano/semestre/trimestre é oferecida a disciplina
de Geometria Espacial nos Cursos de Licenciatura em Matemática de cada
instituição pesquisada.
57
Quadro 7: Ano, semestre ou trimestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Espacial nas IES pesquisadas
Disciplina
Anual, Semestral ou
Trimestral
Semestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Espacial
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
IES 1
A
Oferecida
Semestre inexistente
IES 2
A
Oferecida
IES 5
S
Oferecida
IES
10
S
Oferecida
IES
12
T
Oferecida
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013.
Percebe-se, no Quadro 7, que, entre as instituições pesquisadas, duas delas
oferecem a disciplina anualmente, com a carga horária de 80 e 144 horas. Nas
instituições semestrais, a carga horária é 60 e 80 horas e apenas a IES 12 oferece a
disciplina trimestral com uma carga de 36h. Conforme Quadro 8 abaixo:
Quadro 8: Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES Nº da
IES
Nome da disciplina Carga horária da
disciplina
CH
em %
Carga horária
do curso
IES – 1 Geometria III (Geometria
Espacial)
80 h 2,82 % 2833 h
IES – 2 Geometria III 144 h 4,70% 3060 h
IES – 5 Geometria Espacial e
Descritiva
60 h 2,10% 2850 h
IES - 10 Geometria 80 h 3,60% 2220 h
IES - 12 Práticas de Ensino de
Matemática III
36 h 1,28% 2808 h
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013. Grades
Curriculares de cada IES.
Segundo os documentos curriculares nacionais (PCNEF, PCNEM e PCN+),
no âmbito do campo da Geometria Espacial, devem ser trabalhados elementos dos
poliedros, sua classificação e sua representação; sólidos redondos; propriedades
58
relativas à posição, iniciando esse conteúdo já nos anos finais de Ensino
Fundamental.
Uma instituição analisada apresenta a disciplina de Geometria Espacial com a
seguinte descrição em seu plano de ensino conforme apresentado na Figura 3.
Figura 3: IES 2
Disciplina: GEOMETRIA II
Ementa:
Poliedros. Prismas: área e volumes. Pirâmides: áreas e volumes. Cilindros: áreas e volumes.
Cone: áreas e volumes. Esfera: área, volume, fuso, cunha. Sólidos semelhantes. Troncos. Sólidos
inscritos e circunscritos.
Tratar axiomaticamente a Geometria Euclidiana no que se refere ao paralelismo e
perpendicularismo.
Esta disciplina completa a discussão em torno do conhecimento geométrico iniciado na série
anterior, fundamental para o trabalho do professor de matemática no Ensino Fundamental e
Médio.
Objetivos:
Gerais:
- Identificar uma estrutura lógico-dedutiva em Geometria.
- Discutir o ensino e aprendizagem da Geometria Espacial no Ensino Médio.
- Compreender e aplicar corretamente as definições em Geometria Espacial.
- Resolver corretamente problemas envolvendo sólidos geométricos.
Específicos:
- Reconhecer, definir e analisar prismas, pirâmides e troncos de pirâmides, bem como suas
propriedades e elementos.
- Calcular área e volume de prismas, pirâmides e troncos de pirâmides.
- Identificar poliedros e seus elementos.
- Identificar poliedros convexos e poliedros regulares.
- Aplicar a relação de Euler.
- Reconhecer, definir e analisar cilindros, cones, troncos de cones e esferas, bem como
suas propriedades e seus elementos.
- Calcular área e volume de cilindros, cones, troncos de cones e esferas.
- Reconhecer sólidos semelhantes e suas propriedades.
- Resolver problemas envolvendo sólidos inscritos e circunscritos.
- Perceber que os resultados obtidos mediante um tratamento axiomático da Geometria
dependem dos elementos primitivos e postulados.
- Estabelecer condições de paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos e
relacionar propriedades que delas decorrem.
- Sempre que for necessário, serão retomados os conteúdos de Geometria Plana, com o
objetivo de fornecer ao aluno condições para melhor compreender o corrente ano.
Fonte: http://www.fsa.br/ (Acesso em: 05/03/2013)
59
Pode-se observar, na ementa da disciplina da IES 2, que existe uma
preocupação em discutir o ensino e a aprendizagem da Geometria Espacial no que
se refere à formação do professor de Matemática que irá atuar nos anos finais do
Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Entretanto, também falta clareza entre os
campos da Geometria. Percebe-se que não há uma diferenciação entre Geometria
Espacial e Geometria Métrica, mas pressupõe-se que o futuro professor também não
tenha dificuldades para distinguir essas diferenças.
A IES 2 utiliza em sua metodologia de ensino a prática de seminários sobre
os temas da Geometria com o objetivo de desenvolver a habilidade para o futuro
professor apresentar-se em público quando for exercer sua profissão, deixando clara
sua preocupação com foco no ensino do aluno.
Em seu programa detalhado, a IES 2 oferece, na disciplina Geometria II, todo
o conteúdo de Geometria Espacial e também Geometria Métrica, com o trabalho de
área da superfície dos sólidos e seus respectivos volumes, e esse conteúdo é bem
distribuído em suas 144 horas. Percebe-se a preocupação da instituição com a
formação do aluno sobre o ensino de Geometria.
Na Figura 4, é apresentada a ementa da IES 1.
Figura 4: IES 1
Disciplina: GEOMETRIA III (Geometria Espacial)
Ementa:
Geometria de Posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros e poliedros. Geometria
Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes, superfícies e sólidos de revolução,
sólidos esféricos.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior.
Dentre as instituições pesquisadas, verifica-se que a IES 2 e a IES 1
oferecem as disciplinas com nome Geometria II e Geometria III, porém nota-se, na
IES 1, que sua carga horária é muito menor em relação à IES 2. Além disso, em sua
ementa, não fica explicitado o conteúdo que é trabalhado dentro da Geometria
60
Métrica; também não é mencionado se é trabalhado o cálculo de área e volume,
uma vez que, pelo PCN+, esse é o conteúdo atribuído à Geometria Métrica.
A IES 1 apresenta uma ementa muito sucinta e refere-se apenas a conteúdos,
deixando implícito se sua metodologia tem o foco no ensino ou não.
Ao longo da pesquisa, foram identificadas outras duas instituições que
também oferecem a disciplina com o nome de Geometria Espacial e Geometria
Descritiva, cujas ementas são apresentadas na Figura 5 e na Figura 6.
Figura 5: IES 5
Disciplina: GEOMETRIA ESPACIAL E DESCRITIVA
Ementa:
Objetivos: Estudo de tópicos específicos, tais como Fórmula de Euler e volume de sólidos. Estudo
da Geometria de Posição analisada do ponto de vista da Geometria Descritiva. Utilização de
recursos computacionais como auxílio à visualização e compreensão da Geometria Espacial.
Conteúdo programático: Noções básicas de Geometria Espacial de Posição. Noções
fundamentais de diedros, prismas e pirâmides. Sistema Mongeano de Projeção; épuras. Traços de
retas e planos; interseções. Volumes de sólidos: Princípios de Cavalieri. Poliedros regulares,
fórmula de Euler. Noções de métodos para representação de poliedros.
Fonte: http://www2.ufscar.br/home/index.php (Acesso em: 18/02/2013)
Figura 6: IES 10
Disciplina: GEOMETRIA ESPACIAL E GEOMETRIA DESCRITIVA
Ementa:
Tratamento axiomático da Geometria Euclidiana Espacial. Introdução à Geometria Projetiva.
Geometria Descritiva. Tópicos da história da geometria.
Fonte: http://www.unicamp.br/unicamp/ (Acesso em: 24/02/2013)
A IES 10 sugere, em sua ementa, que se trabalhe com Geometria Espacial,
mas não é detalhado se o conteúdo descrito aborda a Geometria Métrica como o
cálculo de área e volume dos sólidos. Como a disciplina é oferecida semestralmente
com uma carga horária de 80 horas, acredita-se que o conteúdo de Geometria
Métrica deve ser trabalhado. Nessa IES, observa-se o caráter conteudista da ementa,
pois em nenhum momento aborda a sua metodologia e qual o foco de seu ensino.
61
A IES 5, que também apresenta a mesma disciplina semestralmente, oferece
uma ementa mais detalhada e um dos objetivos dessa instituição é a utilização de
recursos computacionais para auxiliar a visualização e a compreensão da Geometria
Espacial.
Como se pode ver, a IES 5 trabalha o conteúdo de volume dos sólidos, mas
em nenhum momento refere-se à área das superfícies dos sólidos, nem mesmo cita
em sua ementa a frente de Geometria Métrica.
Assim, é possível verificar que, também na IES 5 e na IES 10, há uma
preocupação com o estudo de Geometria de maneira geral, porém não é detalhado
o estudo de Geometria Espacial e, novamente, as instituições cometem o equívoco
de tratar a Geometria Métrica no âmbito da Geometria Espacial, sem deixar claro
sobre essa diferenciação.
Uma das instituições pesquisadas destaca-se pela carga horária que é de 36
horas no trimestre. A Figura 7 traz a ementa dessa instituição:
Figura 7: IES 12
Disciplina: PRÁTICAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA II
MC 8206 Práticas de Ensino de Matemática II (3-0-4)
(Estrutura Filosófica e Mediação Educacional)
Matemática: linguagem, ciência ou componente lúdica do conhecimento humano?
Contextualização.
Matemática e Mídia.
Jogos e Artes para estudo da Matemática.
Laboratórios de Ensino de Matemática.
Resolução de Problemas e Olimpíadas.
62
Disciplina: PRÁTICAS DE ENSINO DE MATEMÁTICA II
Planejamento e Avaliação associados aos conteúdos:
1. Progressões;
2. Matemática Financeira;
3. Análise Combinatória;
4. Probabilidade;
5. Geometria Espacial: estrutura axiomática, perpendicularismo, distância e ângulos;
6. Poliedros;
7. Áreas e Volumes;
8. Superfícies Regradas e Sólidos de Revolução.
Fonte: http://www.ufabc.edu.br/ (Acesso em: 19/02/2013)
Pela ementa e pelo nome que é atribuído à disciplina, Prática de Ensino de
Matemática II, não fica claro de que forma essa disciplina é trabalhada, apenas
sugere que seu objetivo é semelhante ao da IES 2, que é o de trabalhar a Geometria
de forma contextualizada, com uso de práticas pedagógicas. Nota-se que, pelo
conteúdo da ementa, os itens 5 a 8 são voltados para a Geometria Espacial. Logo,
pode-se concluir que, apesar de uma pequena carga horária, o conteúdo é
trabalhado, porém não se sabe de que forma esse conteúdo é abordado.
Assim como em outras instituições, a IES 12 trabalha a Geometria Métrica no
item 7 de sua ementa, mas também não cita que na Geometria Métrica deve se
trabalhar com cálculo de área e volume como sugere os PCN+, ficando claro para o
aluno que a Geometria Métrica não parece ser um campo da Geometria, mas faz
parte da Geometria Espacial.
A análise que se fez das instituições indica que apenas a IES 1 cita em sua
ementa Geometria Métrica, embora outras citem ou sugiram que é trabalhado o
cálculo de área e volume de sólidos geométricos.
Para Shulman (1986), um dos conhecimentos presentes no desenvolvimento
cognitivo do professor é o conhecimento do conteúdo da disciplina ensinada e, até o
momento, a análise das ementas das instituições pesquisadas não deixa claro esse
conteúdo necessário para o futuro professor. Não foi possível fazer uma análise
63
mais detalhada dos conteúdos nem em Geometria Espacial, nem em Geometria
Métrica.
Segundo Sacristán (2000), o currículo prescrito é aquele que deve ser
trabalhado, principalmente, na escolaridade obrigatória e que serve de apoio para
elaboração de materiais e conteúdos. Diante dessa descrição, percebe-se, nas
instituições de ensino pesquisadas, certa falta de clareza em suas ementas no que
se refere aos conteúdos trabalhados no campo da Geometria Espacial e Geometria
Métrica. Assim, permanece a dúvida acerca da formação dos futuros professores, ou
seja, se estão sendo preparados para atuarem nos anos finais do Ensino
Fundamental e no Ensino Médio com esse conteúdo.
Em seguida, apresenta-se a análise das ementas dessas mesmas instituições
de ensino com o olhar voltado para o campo da Geometria Plana.
4.2.2 O ensino de geometria plana
Conforme visto em Geometria Espacial, o Currículo do Estado de São Paulo
distribui o conteúdo de Geometria Plana e de Geometria Métrica também desde a 5ª
série/ 6º ano do Ensino Fundamental até a 2ª série (2º ano) do Ensino Médio.
O Quadro 9 apresenta em que semestre/ano é oferecida a disciplina de
Geometria Plana nos Cursos de Licenciatura em Matemática de cada instituição
pesquisada.
Quadro 9: Ano, semestre ou trimestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Plana nas IES pesquisadas
Disciplina
Anual, Semestral ou
Trimestral
Semestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Plana
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
IES
1
A
Oferecida
Semestre inexistente
IES
2
A
Oferecida
IES
5
S
Oferecida
64
IES
10
S Oferecida
IES
12
T
Oferecida
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013.
Percebe-se que, das instituições pesquisadas, duas delas oferecem a
disciplina de Geometria Plana anualmente, com a carga horária de 160 e 144 horas.
Nas instituições semestrais, a carga horária é de 60 e 90 horas, e apenas a IES 12
oferece a disciplina trimestral com uma carga de 48 horas. Como pode ser visto no
Quadro 10:
Quadro 10: Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES Nº da
IES
Nome da disciplina Carga horária da
disciplina
CH
em %
Carga horária do
curso
IES - 1 Geometria I (Geometria
Euclidiana Plana)
160 h 5,64 % 2833 h
IES - 2 Geometria I 144 h 4,70% 3060 h
IES - 5 Geometria Euclidiana 60 h 2,10% 2850 h
IES - 10 Geometria Plana e
Desenho Geométrico
80 h 3,60% 2220 h
IES - 12 Geometria Plana e
Construções Geométricas
48 h 1,71% 2808 h
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013. Grades
Curriculares de cada IES.
É importante observar que, nas ementas analisadas, encontram-se duas
instituições que oferecem a disciplina com o mesmo nome, a IES 1 e a IES 2, ambas
são instituições privadas que apresentam a disciplina com o nome de Geometria I e,
em suas ementas, consta que são trabalhados vários conteúdos relacionados à
Geometria Plana, como pode ser visto nas Figuras 8 e 9.
65
Figura 8: IES 1
Disciplina: GEOMETRIA I (Geometria Euclidiana Plana)
Ementa:
Noções e proposições primitivas, Ângulos, Triângulos, Paralelismo e Perpendicularismo. Quadriláteros, Polígonos, Circunferências, Aplicações. Construções com régua e compasso.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior.
Figura 9: IES 2
Disciplina: GEOMETRIA I
Ementa:
Axiomática da Geometria Euclidiana, com suas noções, definições, propriedades e teoremas com ênfase na Geometria Plana. Trigonometria no triângulo retângulo. Construções Geométricas no Plano. Conhecimentos básicos sobre o Ensino de Geometria na Educação Básica. Ao longo do ano, desenvolveremos atividades relativas às Práticas Pedagógicas, leitura e interpretação de problemas, além da participação desta disciplina no “Projeto Global de Nivelamento de conteúdos e acolhimento dos novos alunos”. Objetivos:
Gerais:
Compreender e mostrar desenvolvimento dos Fundamentos e Raciocínio Lógico em Geometria;
Aplicar os conceitos geométricos à resolução de problemas do cotidiano com ênfase na Geometria Plana, inclusive trigonometria no triângulo retângulo;
Mostrar habilidades em construções geométricas usando régua e compasso;
Desenvolver competências e habilidades esperadas de um profissional docente, crítico, participativo e competente para atuar na sala de aula no que concerne ao Ensino de Geometria na Educação Básica (Fundamental e Média).
Específicos:
Compreender a construção axiomática de uma Teoria Matemática, com ênfase na Geometria Euclidiana Plana;
Conhecer e aplicar as propriedades geométricas das construções geométricas;
Reconhecer, representar, estabelecer e aplicar relações métricas simples;
Reconhecer e relacionar formas e calcular medidas na área da geometria básica;
Sistematizar a linguagem geométrica e o encadeamento lógico das proposições geométricas, avançando na Teoria, com o máximo rigor e sistematização.
Dominar habilidades de cálculos de geometria plana.
Fonte: http://www.fsa.br/ (Acesso em: 05/03/2013)
Observa-se que essas IES oferecem a disciplina com cargas horárias
diferentes. O conteúdo citado pela IES 1, em sua ementa, sugere que são
trabalhados na disciplina tópicos de desenho geométrico, construções com
66
compasso e régua. No Plano de Ensino da disciplina da IES 2, encontra-se
detalhado o que se trabalha em Geometria I, conforme Anexo 13. Percebe-se a
preocupação da IES 2 com a formação do aluno quando se trata do ensino de
Geometria, porém, nessas ementas, apenas a IES 2 cita em seus objetivos
específicos que há o trabalho com o cálculo de área de figuras planas, entretanto
nenhuma delas cita em suas ementas que o cálculo de área faz parte da Geometria
Métrica e cita como um campo da Geometria.
A IES 5, apresenta a disciplina com o nome de Geometria Euclidiana, e
trabalha nela a Geometria Plana. Como demonstra a ementa da Figura 10.
Figura 10 : IES 5
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
Ementa:
Objetivos: Compreensão da importância da axiomática na construção de teorias matemáticas, em especial da consistência da Geometria Euclidiana. Raciocínio matemático através do exercício de indução e dedução de conceitos geométricos. Leitura e redação de Matemática. Visualização de objetos planos e espaciais. Desenvolvimento do raciocínio geométrico. Conteúdo programático: A Geometria Euclidiana como modelo de sistematização da Matemática: origem e história. Axiomática da Geometria Euclidiana Plana e introdução à formalização de demonstrações matemáticas. Medição de segmentos e ângulos: grandezas comensuráveis, congruências, distâncias, triângulos especiais. Perpendicularismo e Paralelismo. O Axioma das paralelas: a geometria neutra e as consequências do axioma das paralelas. Semelhanças. Círculos, inscrição e circunscrição de polígonos. Polígonos, polígonos regulares. Utilização de recursos de informática na Geometria Plana.
Fonte: http://www2.ufscar.br/home/index.php (Acesso em: 28/02/2013)
Essa instituição oferece outra disciplina que aborda a Geometria Espacial,
conforme visto no tópico anterior, embora apresente uma carga horária pequena de
60 horas semestrais, percebe-se que, dentro de sua ementa, todo conteúdo de
Geometria Plana é oferecido.
A IES 5 apresenta uma ementa detalhada e um dos objetivos dessa
instituição é a utilização de recursos computacionais para auxiliar a visualização e a
compreensão da Geometria Plana. A ementa demonstra uma preocupação com o
foco no ensino, porém, mais uma vez, não é citado o trabalho com o cálculo de área
de figuras planas.
67
A IES 10 oferece uma disciplina de 80 horas semestrais, a qual parece
abordar o conteúdo de Geometria Plana, chamada de Geometria Plana e Desenho
Geométrico, mas, ao se analisar sua ementa, verificou-se que não é claro se nessa
disciplina é trabalhado esse conteúdo de Geometria Plana, é totalmente subjetivo,
pois não detalha o que se trabalha sobre esse conteúdo, como se pode ver na
Figura 11.
Figura 11: IES 10
Disciplina: GEOMETRIA PLANA E DESENHO GEOMÉTRICO
OF:S-1 T:04 P:00 L:00 HS:04 SL:04 C:04 Ementa: Tratamento axiomático da Geometria Euclidiana Plana. Introdução às Geometrias não Euclidianas. Isometrias no Plano. Desenho Geométrico. Tópicos da História da Geometria.
Fonte: http://www.unicamp.br/unicamp/ (Acesso em: 24/02/2013)
Percebe-se que a ideia é trabalhar outros conteúdos como Geometria não
Euclidiana dentro dessas 80 horas, o que parece ser insuficiente para um curso de
Licenciatura em Matemática. Essa instituição, assim como outras analisadas, não
oferece uma ementa detalhada, o que impossibilita um estudo mais aprofundado.
Trata-se de uma instituição que oferece, em sua ementa, apenas conteúdos, não
ficando claro se ela prioriza em sua metodologia o foco na educação.
Da mesma forma como foi analisada a IES 12 quanto a Geometria Espacial,
observa-se que o mesmo acontece com a disciplina Geometria Plana e Construções
Geométricas. Destaca-se a carga horária, que é de 48 horas no trimestre. A ementa
pode ser visualizada na Figura 12:
Figura 12: IES 12
Disciplina: GEOMETRIA PLANA E CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
MC 8310 Geometria Plana e Construções Geométricas (4-0-4)
Ementa:
Axiomática da Geometria Euclidiana. Congruência de Triângulos. Desigualdades Geométricas. O postulado das Paralelas. Semelhança de Triângulos. Circunferências. Áreas. Construções Geométricas. Lugares Geométricos. Isometrias. Homotetias.
Fonte: http://www.ufabc.edu.br/ (Acesso em: 19/02/2013)
68
Evidencia-se que a ementa não é detalhada e fica subentendido o trabalho
com a Geometria Plana e a Geometria Métrica; a instituição foca sua ementa apenas
nos conteúdos.
Segundo Sacristán (2000), o currículo apresentado aos professores são os
meios pelos quais diferentes instâncias procuram levar os conteúdos prescritos aos
professores, porém não são suficientes para orientar a atividade educativa nas aulas.
Diante das análises feitas nas ementas, também de Geometria Plana, percebe-se
que há indícios de que o currículo apresentado não é claro o suficiente para que os
futuros professores concluam o curso de Licenciatura em Matemática com o real
conhecimento do que é Geometria Espacial, Geometria Plana e Geometria Métrica.
Como foi verificado nas instituições acima mencionadas, as IES 1, IES 2, IES
5, IES 10 e IES 12 apresentam em suas grades curriculares as disciplinas de
Geometria Espacial e Geometria Plana em disciplinas diferentes, porém a Geometria
Métrica não é diferenciada; ela é trabalhada juntamente à Geometria Espacial e
Geometria Plana e nem sempre é citada como Geometria Métrica.
4.2.3 O ensino de geometria espacial e geometria plana
Algumas instituições não contemplam as disciplinas separadamente, em uma
mesma disciplina são trabalhadas Geometria Espacial, Geometria Plana e
Geometria Métrica.
O Quadro 11 mostra o semestre em que são oferecidas a Geometria Plana,
Geometria Espacial e Geometria Métrica em uma mesma disciplina.
Quadro11: Ano, semestre ou trimestre em que são oferecidas as disciplinas de Geometria Espacial, Geometria Plana e Geometria Métrica nas IES pesquisadas
Disciplina
Anual, Semestral ou
Trimestral
Semestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Plana,
Geometria Espacial e Geometria Métrica
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
IES
3
A
Oferecida
IES
4
A
Oferecida
IES
Oferecida
69
6 A
IES
7
S
Oferecida
Semestre
inexistente
Semestre
inexistente
IES
8
S
Oferecida
Semestre
inexistente
Semestre
inexistente
IES
9
S
Oferecida
Semestre
inexistente
Semestre
inexistente
IES
11
S
Oferecida
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013.
Observa-se que, das instituições pesquisadas, três oferecem a disciplina
anualmente, com a carga horária variando de 90 a 120 horas. Nas instituições
semestrais, a carga horária varia de 68 a 90 horas. Conforme pode ser visto no
Quadro 12:
Quadro 12: Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES Nº da
IES
Nome da disciplina Carga horária da
disciplina
CH
em %
Carga horária do
curso
IES - 3 Geometria Euclidiana 120 h 4,65% 2580 h
IES - 4 Geometria Euclidiana 120 h 4,28% 2800 h
IES - 6 Geometria Euclidiana 90 h 3,17% 2835 h
IES - 7 Geometria Euclidiana 68 h 2,07% 3290 h
IES - 8 Prática de Ensino III 80 h 2,70% 2814 h
IES - 9 Geometria Euclidiana 80 h 2,53% 3160 h
IES - 11 Geometria e Desenho
Geométrico II
90 h 2,85% 3155 h
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013. Grades
Curriculares de cada IES.
É importante observar que, na ementa da IES 3, são trabalhados vários
conteúdos relacionados à Geometria, são abordadas também noções de lógica
dentro dessa disciplina. Em sua ementa, alguns tópicos são voltados para a
Geometria Espacial e outros para Geometria Plana. Como mostra a Figura 13.
70
Figura 13: IES 3
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
Ementa:
1. Noções de Lógica: proposições, conectivos, tabelas-verdade, equivalência lógica, proposições
condicionais e bicondicionais, quantificadores. Noções sobre demonstração.
2. Axiomas de incidência e ordem: noções primitivas, semirreta e semiplano.
3. Axiomas sobre medição de segmentos: desigualdade triangular, definição de círculo.
4. Axiomas sobre medição de ângulos: ângulos, definições e propriedade. Retas paralelas e
perpendiculares, polígono convexo.
5. Congruências: triângulos e casos de congruências, mediatriz.
6. Desigualdades geométricas: Teorema do Ângulo Externo e suas consequências. Congruência
de triângulos retângulos. Desigualdade triangular.
7. Axioma das paralelas: antecedentes históricos, paralelismo entre retas. Quadriláteros, Teorema
Fundamental da Proporcionalidade, Teorema de Tales.
8. Semelhança de Triângulos: teoremas fundamentais. Teorema de Pitágoras.
9. Circunferências: elementos, posições relativas entre retas e circunferências, tangência, arcos de
circunferências, inscrição e circunscrição. Pontos notáveis de um triângulo: baricentro, ortocentro,
incentro e circuncentro.
10. Áreas: áreas de regiões poligonais, setor circular e circunferência.
11. Axiomas da Geometria Euclidiana Espacial. Propriedades. Posições relativas entre retas e
planos, entre planos e entre retas. Construção de pirâmides e cones. Semiespaço.
12. Paralelismo. Entre retas, entre retas e planos e entre planos. Construções de prismas e
paralelepípedos.
13. Perpendicularismo. Entre retas, entre retas e planos e entre planos.
14. Aplicações: projeções, proporcionalidade, distâncias geométricas, ângulo entre planos, ângulo
entre retas e planos.
15. Poliedros convexos. Relação de Euler, Poliedros de Platão e Poliedros Regulares.
16. Noções fundamentais de: prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas. Área lateral e volume.
Princípio de Cavaliere.
Objetivos:
1. Estudar a Geometria Euclidiana Plana Elementar de um ponto de vista mais preciso e crítico,
visando ao desenvolvimento do raciocínio dedutivo, promovendo a passagem do raciocínio concreto
para o abstrato.
2. Desenvolver a habilidade de argumentação matemática através da resolução de problemas de
Geometria pertinentes ao programa.
3. Resolver geometricamente os problemas da Geometria Plana e Espacial, desenvolvendo o
raciocínio lógico, a organização, o rigor e a precisão.
4. Estudar as propriedades das figuras geométricas espaciais, do ponto de vista da Geometria
Euclidiana, com rigor matemático, visando ao aperfeiçoamento da percepção de características dos
sólidos geométricos e preparando o futuro professor para a prática docente de tal conteúdo.
Metodologia de ensino:
Aulas expositivas e práticas em laboratório de ensino ou de informática, construindo materiais
didáticos para abordar conteúdos programáticos no ensino fundamental e médio e usando software
de Geometria Dinâmica. Apresentação de seminários e discussão de listas de exercícios. A PCC
será desenvolvida por meio do levantamento e aprendizagem de softwares educacionais,
especialmente os disponíveis nas escolas da rede oficial de ensino, utilização de dobraduras e
outros recursos educacionais no ensino da Geometria, especialmente para “descoberta” dos
resultados, motivando a discussão sobre a diferença entre a heurística e a demonstração, bem
71
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
como a importância de se demonstrar e como se pode chegar a demonstrações em diferentes
níveis de ensino.
Fonte: http://www.ibilce.unesp.br/ (Acesso em: 09/03/2013)
Observa-se que a IES 3, apesar de oferecer a disciplina com uma carga
horária de 120 horas, tem conteúdo bastante extenso. Em sua ementa, os itens de 2
a 10 são voltados para Geometria Plana. Do item 11 ao 16, são contemplados os
tópicos voltados para a Geometria Espacial. Nos itens 12 e 13, que tratam de
paralelismo e perpendicularismo, percebe-se que os tópicos são mais voltados para
a visão/demonstração dos sólidos no espaço. A parte que cabe à Geometria
Espacial com ênfase na Álgebra está presente nos tópicos 15 e 16, em que são
trabalhados os cálculos de área lateral e volume dos prismas, pirâmides, cilindros,
cones e esferas.
Evidencia-se, na ementa dessa instituição, que, no âmbito dessa disciplina,
também se trabalha a Geometria Métrica, como é observado no item 10, em que é
proposto o trabalhado com o cálculo de área em figuras planas, e no item 16, em
que também se trabalha com cálculo de área e volume dos sólidos geométricos.
Há, ainda, uma confusão na própria ementa entre os diferentes campos da
Geometria. Não fica claro o que se refere à Geometria Plana e à Geometria Espacial,
e a Geometria Métrica não é mencionada. Verifica-se que a Geometria Métrica é
trabalhada no item 10 com a área de figuras planas, e no item 16 com o cálculo de
área total e volume de sólidos geométricos.
Percebe-se que os temas voltados para a Geometria Espacial e a Geometria
Plana da IES 3 abordam em seu conteúdo o que é proposto pelo Currículo do
Estado de São Paulo, conforme citado no item 3.3.4 no Quadro 4. Observa-se a
preocupação dessa IES com o foco no ensino, já que trabalha com seminários e
suas aulas são voltadas para a prática, o que vem ao encontro do que, para
Shulman (1986), é o conhecimento pedagógico da matéria que será ensinada aos
alunos no futuro.
72
Na IES 4, encontra-se a disciplina Geometria Euclidiana oferecida no 2º ano
com uma carga horária de 120 horas. Sua ementa pode ser verificada na Figura 14.
Figura 14: IES 4
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
EMENTA (Tópico que caracteriza as unidades dos programas de ensino)
Construção axiomática da Geometria Plana e Espacial. Medidas (segmentos e ângulos), áreas e
volumes. Posições relativas. Poliedros e corpos redondos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO (título e descriminação das Unidades)
1. Ponto, reta e plano; origens da Geometria; os conceitos e suas definições; propriedades e suas
demonstrações.
2. Duas retas no espaço; intersecção de planos; reta e planos paralelos; planos paralelos entre si;
retas e planos perpendiculares.
3. Os axiomas de incidência e ordem, sobre medição de segmento e ângulos, das paralelas.
4. Congruência: de segmentos; de triângulos.
5. Desigualdades Geométricas: Teorema do ângulo externo e desigualdade triangular.
6. Semelhança de triângulos; critérios de semelhança; relações métricas.
7. Lugares geométricos; círculo e esfera.
8. Áreas: dos polígonos, do círculo e dos setores.
9. Geometria no espaço; conceitos primitivos; paralelismo; perpendicularidade; diedros; triedros;
poliedros convexos.
10. Volumes: de um sólido; de um prisma; de uma pirâmide; do tronco de pirâmide; do cilindro; de
um cone; do tronco de cone; da esfera.
Fonte: http://www1.fct.unesp.br/#!/graduacao/matematica/ (Acesso em: 19/02/2013)
Conforme foi verificado na Figura 16, a IES 4 apresenta uma ementa que
aborda, em seu conteúdo, a construção axiomática da Geometria Plana e Geometria
Espacial, medidas (segmentos e ângulos), áreas e volumes, posições relativas,
poliedros e corpos redondos, e a Geometria Métrica embutida dentro da disciplina,
deixando mais detalhado como se pretende abordar o tema sobre Geometria
Espacial no item 10 do conteúdo programático. Percebe-se uma ementa focada no
conteúdo e, em sua ementa, não fica explicitada a Geometria Métrica.
A seguir, apresenta-se a ementa da IES 9 conforme a Figura 15.
Figura 15: IES 9
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
Ementa:
73
Estudo crítico e reflexivo a partir de diferentes concepções de construções elementares, expressões
algébricas, áreas, construções aproximadas, transformações geométricas, construções com régua e
compasso e software de Geometria Dinâmica, voltados à Educação Básica e ao processo de ensino
e aprendizagem das situações do Ensino Fundamental II e do Ensino Médio.
Objetivo Geral
Compreender as construções geométricas como um instrumento auxiliar no aprendizado da
Geometria, através da utilização de régua, compasso e aplicativos computacionais, por meio de um
contexto crítico com relação à abordagem da escola de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Objetivos Específicos
- Conhecer as propriedades geométricas inseridas nas construções geométricas;
- Reconhecer, nomear, representar e estabelecer as relações métricas simples quanto às formas
geométricas;
- Relacionar formas e medidas;
- Sistematizar a linguagem geométrica e o encadeamento lógico das proposições geométricas.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior.
Essa instituição oferece, no curso de Licenciatura em Matemática, a disciplina
de Geometria Euclidiana no 1º semestre, com uma carga horária de 80 horas.
Embora Geometria Euclidiana sugira que se trabalhe Geometria Plana e Espacial,
não fica explícito na ementa se o conteúdo trabalhado na disciplina tem algum
conteúdo voltado para a Geometria Espacial. “Áreas” não é especificado em relação
ao que será trabalhado, se na ementa refere-se à Geometria Plana ou à Geometria
Espacial.
A IES 9 não contempla, em sua ementa, conteúdo detalhado sobre Geometria
Espacial. Esse fato indica que os futuros professores não verão durante o curso
conteúdos que precisarão ministrar nos anos finais do Ensino Fundamental e no
Ensino Médio. Percebe-se um foco voltado para o conteúdo, não havendo uma
preocupação com a didática do conteúdo.
Nessa instituição, exatamente como acontece com as outras IES analisadas
anteriormente, não é especificada a diferenciação entre a Geometria Espacial, a
Geometria Plana e a Geometria Métrica.
A ementa da disciplina da IES 7 é apresentada na Figura 16.
74
Figura 16: IES 7
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
Ementa:
Desenvolver a Geometria Euclidiana, abordando os conteúdos básicos da Geometria Plana e da
Geometria Espacial
Fonte: http://www.puc-campinas.edu.br/ (Acesso em: 19/03/2013)
A ementa da disciplina Geometria Euclidiana oferecida no 1º semestre com
uma carga horária de 68 horas não evidencia quais assuntos são trabalhados sobre
a Geometria Espacial e a Geometria Plana. Diferentemente da IES 9, sua ementa
sugere que se trabalhe algo de Geometria Espacial e de Geometria Plana, porém o
conteúdo não é mencionado. Trata-se de uma ementa bastante sucinta, que não
possibilita saber quais os conteúdos de Geometria, de fato, são trabalhados com os
futuros professores. Tampouco esclarece se seus objetivos são voltados apenas
para o conteúdo ou se têm um foco voltado para o ensino da disciplina.
A instituição não especifica se são trabalhadas formas planas e espaciais,
áreas, volumes e perímetro, como sugere o Currículo do Estado de São Paulo. Além
disso, sequer é citado o campo da Geometria Métrica. Desse modo, não deixa claro
se os futuros professores formados nessa instituição são capacitados a ensinar
Geometria Espacial, Geometria Plana e Geometria Métrica nos anos finais do Ensino
Fundamental e no Ensino Médio.
Até o momento, a análise demonstra que as ementas não dão indicativos de
um trabalho didático a ser desenvolvido em relação ao conteúdo matemático.
Na IES 8, cuja ementa é apresentada na Figura 17, pode-se perceber que o
nome da disciplina não sugere o que deve ser trabalhado. A disciplina é oferecida no
3º semestre com uma carga horária de 80 horas.
Figura 17: IES 8
Disciplina: PRÁTICA DE ENSINO III
Ementa:
Geometria Plana, Cálculo de áreas, Geometria Espacial de posição e métrica, Estudo de volumes,
75
Cubos, cones, pirâmides.
Conteúdo Programático
Conceitos sobre Geometria Plana de posição e métrica;
Conceitos sobre Geometria Espacial de posição e métrica;
Conceitos sobre volumes;
Estudo dos Prismas;
Estudo dos Cubos;
Estudo dos Cones;
Estudo dos Cilindros;
Estudo das Esferas;
Estudo das Pirâmides.
Metodologia
Estudos dirigidos; trabalhos de pesquisa; Resolução de Problemas; Seminários.
Os alunos farão 12 horas de atividades discentes, envolvendo estudos e pesquisas em ambientes
escolares, extra-sala de aula, para analisar e confrontar os temas abordados em sala de aula com
a realidade das salas de aula nas instituições de ensino Fundamental e Médio.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior.
Conforme visto, a IES 8 é uma instituição privada que oferece a disciplina
com o nome de Prática de Ensino III e apresenta uma ementa bem detalhada,
embora o nome da disciplina não evidencie se seu conteúdo aborda Geometria
Percebe-se, na IES 8, significativa preocupação com os conhecimentos
didáticos em relação ao conteúdo a ensinar, uma vez que prevê pesquisas, a
articulação com o ambiente da sala de aula e a elaboração de materiais para esses
conteúdos. Pode-se observar que estão cumprindo com o que recomenda o
Currículo do Estado de São Paulo. A instituição oferece todo o conteúdo a ser
trabalhado pelos futuros professores nos anos finais de Ensino Fundamental e
Ensino Médio.
Verifica-se, no conteúdo programático, que a instituição aborda todo o
conteúdo de Geometria Plana, área da superfície dos sólidos e seus respectivos
volumes, porém coloca esse conteúdo, que faz parte da Geometria Métrica, dentro
do conteúdo de Geometria Espacial, ficando, assim, difícil para os alunos
diferenciarem a Geometria em seus diferentes campos, como Geometria Espacial,
Geometria Plana e Geometria Métrica.
Um aspecto que merece atenção em outras duas instituições de ensino, a IES
7 e a IES 9, que oferecem a disciplina com o nome de Geometria Euclidiana, é o fato
76
de ambas trabalharem um semestre com a disciplina e, em suas ementas, fica a
sugestão de que sejam trabalhadas Geometria Plana e Geometria Espacial.
Entretanto, em nenhum momento, isso fica evidente quando analisadas as ementas,
lembrando que a IES 9 cita em sua ementa que trabalha área, que é do campo da
Geometria Métrica. Suas ementas não especificam o que se pretende trabalhar
dentro da Geometria Plana, isso sugere uma falta de clareza segundo o que cita o
Currículo do Estado de São Paulo.
A IES 7 apresenta uma ementa bastante sucinta, que não possibilita saber
quais conteúdos de Geometria são, de fato, trabalhados com os futuros professores.
Outra instituição que apresenta, em sua grade curricular, a disciplina com o
nome de Geometria Euclidiana, como a IES 3, a IES 4, a IES 7 e a IES 9, é a IES 6,
cuja ementa é apresentada na Figura 18.
Figura 18: IES 6
Disciplina: GEOMETRIA EUCLIDIANA
Ementa:
Construção Axiomática da Geometria. Medidas. Geometria da Posição. Polígonos e Ângulos
Poliédricos. Cilindros, Cores e Poliedros. Circunferência e Esfera. Áreas e Volumes.
Fonte: http://www.feis.unesp.br/ (Acesso em: 05/03/2013)
Analisando a IES 6, verifica-se que, em sua grade curricular, no 1º ano do
curso de Licenciatura em Matemática, é oferecida outra disciplina com o nome de
Geometria Analítica Espacial. Pela ementa, observa-se que, em Geometria
Euclidiana, é que se trabalha o conteúdo de área e volume de sólidos geométricos
no 3º ano do curso. No entanto, por ser oferecida anualmente, sua carga horária é
muito pequena, apenas 90 horas no ano.
Como pode ser observado, até o momento, a Geometria Métrica não é
explicitada nas ementas. Imagina-se que a falta de clareza nas ementas possa levar
os futuros professores a não saber diferenciar Geometria Espacial, Geometria Plana
e Geometria Métrica.
77
Essa IES não mostra claramente, em sua ementa, um conteúdo voltado para
o cálculo de área na Geometria Plana.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+), Geometria Métrica
contempla: o cálculo de áreas e volumes; estimativa, valor exato e aproximado.
Sendo assim, as disciplinas analisadas trabalham com a Geometria Métrica em suas
ementas dentro da Geometria Espacial e da Geometria Plana.
Outra instituição que oferece a disciplina semestralmente com uma carga de
90 horas é a IES 11. A Figura 19 traz a ementa dessa instituição.
Figura 19: IES 11
Disciplina: GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO II
Objetivos
Desenvolver a capacidade de raciocinar sobre figuras geométricas no espaço. Destacar o papel da
medida, através de uma construção axiomática das funções área e volume. Desenvolver, ao longo
do conteúdo do programa, o raciocínio geométrico envolvido nas construções geométricas com
régua e compasso, bem como salientar o caráter restritivo dessas construções. Desenvolver
atividades de Prática como Componente Curricular.
Programa Resumido
Programa
A função área: áreas de figuras geométricas planas. Diedros, triedros e poliedros. Poliedros
regulares. Prismas, pirâmides. Cilindros, cones e esferas. A função volume: volumes de figuras
geométricas no espaço. Secções cônicas. Estudo da solubilidade de construções com régua e
compasso (problemas clássicos da antiguidade, ciclotomia).
Fonte: https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/jupDisciplinaLista?codcg=45&tipo=D (Acesso em: 06/03/2013)
O programa detalhado evidencia o trabalho com Geometria Plana, já que se
trabalha com área de figuras planas, novamente colocando a Geometria Métrica
dentro dos outros campos da Geometria. Porém, percebe-se que, mesmo com uma
restrita carga horária, também se trabalha com Geometria Espacial. Dentro dessa
disciplina, procura-se solucionar problemas com o uso do compasso e da régua,
mas, em nenhum momento, é citado o conteúdo de área e volume como Geometria
Métrica.
78
Conforme analisado nas ementas e grades curriculares até o momento,
verifica-se que algumas das instituições pesquisadas oferecem as disciplinas com o
conteúdo de Geometria Espacial, Geometria Plana e Geometria Métrica em
semestres diferentes, porém outras trazem essas três frentes da Geometria em uma
mesma disciplina.
A análise realizada evidencia a falta de clareza nas ementas. Shulman (1986)
reconhece como fundamental para um futuro professor o conhecimento do conteúdo
da matéria que será ensinado por ele. Nesse sentido, não é possível afirmar que
essas instituições estão preparando os alunos para ministrarem as disciplinas de
Geometria nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
No próximo tópico, é apresentada uma análise das ementas dessas
instituições de ensino, tendo em vista a Geometria Analítica.
4.2.4 O ensino de geometria analítica
A Geometria Analítica, também chamada de Geometria de Coordenadas ou
de Geometria Cartesiana, é o estudo da Geometria por meio de um sistema de
coordenadas e dos princípios da Álgebra e da Análise. Segundo os PCN+, ela tem
como objetivo principal as representações no plano cartesiano e equações;
intersecção e posições relativas de figuras. A Geometria Analítica é muito utilizada
na Física e na Engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da
Geometria, incluindo Geometria Algébrica, Diferencial, Discreta e Computacional.
As instituições de ensino pesquisadas apresentam a disciplina de Geometria
Analítica, conforme o Quadro 13.
Quadro 13: Ano, semestre ou trimestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Analítica nas IES pesquisadas
Disciplina
Anual,
Semestral ou
Trimestral
Semestre em que é oferecida a disciplina de Geometria Analítica
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º
IES 1
A
Oferecida
Semestre inexistente
IES 2
A
Oferecida
79
IES 3
A
Oferecida
IES 4
A
Oferecida
IES 5
S
Oferecida
IES 6
A
Oferecida
IES 7
S
Oferecida
Oferecida
Semestre
inexistente
Semest
re
inexiste
nte
IES 8
S
Oferecida
Oferecida
Semestre
inexistente
Semest
re
inexiste
nte
IES 9
S
Oferecida
Semestre
inexistente
Semest
re
inexiste
nte
IES
10
S
Oferecida
IES
11
S
Oferecida
IES
12
T
Oferecida
Fonte: Projetos Pedagógicos das Instituições de Ensino Pesquisadas em janeiro/2013.
Das instituições apresentadas, duas chamam a atenção, a IES 7, que oferece
dois semestres de Geometria Analítica, diferenciando-as em Geometria Analítica A e
B com carga horária de 68 horas cada uma; e a IES 8, que oferece em dois
semestres Geometria Analítica I e II, com carga horária de 80 horas cada uma delas.
O Quadro 14 traz a distribuição das cargas horárias de cada instituição e o
nome atribuído a essa disciplina em cada caso.
Quadro 14: Nome atribuído à disciplina e sua carga horária em cada IES Nº da
IES
Nome da disciplina Carga horária da
disciplina
CH
em %
Carga horária
do curso
IES - 1 Geometria II (Geometria
Analítica)
80 h 2,82 % 2833 h
IES - 2 Geometria Analítica 144 h 4,70% 3060 h
IES - 3 Geometria Analítica e 120 h 4,65% 2580 h
80
Vetores
IES - 4 Geometria Analítica e
Vetores
120 h 4,28% 2800 h
IES - 5 Vetores e Geometria
Analítica
60 h 2,10% 2850 h
IES - 6 Geometria Analítica Plana e
Geometria Analítica
Espacial
120 h 4,23% 2835 h
IES - 7 Geometria Analítica A e
Geometria Analítica B
68 h e 68 h 4,14% 3290 h
IES - 8 Vetores e Geometria
Analítica I e Vetores e
Geometria Analítica II
80 h e 80 h 5,40% 2814 h
IES - 9 Geometria Analítica 80 h 2,53% 3160 h
IES - 10 Geometria Analítica e
Vetores
80 h 3,60% 2220 h
IES - 11 Geometria Analítica 90 h 2,85% 3155 h
IES - 12 Geometria Analítica 36 h 1,28% 2808 h
Percebe-se que, diferentemente do que acontece com as disciplinas de
Geometria Plana, Geometria Espacial e Geometria Métrica, em todas as instituições
acima pesquisadas, a Geometria Analítica é uma disciplina separada dos demais
campos da Geometria, possui uma carga horária independente das demais
Geometrias e uma carga horária maior se comparada com as anteriormente
analisadas.
A análise das ementas demonstra que algumas possuem o mesmo nome
atribuído à disciplina de Geometria Analítica.
A Figura 20 apresenta a ementa da IES 3.
Figura 20: IES 3
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Matrizes: definição, operações (adição, subtração, multiplicação por escala, multiplicação,
81
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES
transposição, inversão) e suas propriedades. Determinantes de matrizes 2x2 e 3x3.
2. Sistemas de Equações lineares: resolução pelo método de eliminação de Gauss. Discussão da
existência de solução, interpretação geométrica de sistemas com duas equações e duas incógnitas
e com três equações e três incógnitas.
3. Geometria Analítica Plana: equações da reta e da circunferência e estudo das proposições
relativas.
4. Vetores no plano e no espaço: conceito, operações, dependência linear, base, orientação,
sistema de coordenadas no espaço; expressões analíticas de um vetor no espaço; produtos
escalar, vetorial e misto.
5. Estudo da reta e do plano no espaço: equações, posições relativas, ângulos e distâncias.
6. Mudança de sistema de coordenadas no plano e no espaço; rotação e translação,
coordenadas polares e cilíndricas.
7. Estudo das cônicas e quadráticas: formas reduzida e geral; reconhecimento.
8. Superfícies cilíndricas e de rotação.
OBJETIVOS
Introduzir o conceito de vetor e familiarizar o aluno com a Álgebra Vetorial em dimensão dois e três,
mostrando o alcance da Álgebra. Desenvolver a capacidade e a habilidade do aluno de trabalhar
em espaços de dimensão dois e três. Desenvolver a capacidade e habilidade do aluno de
reconhecer algumas curvas e superfícies por meio de suas equações. Mostrar a inter-relação entre
os tratamentos axiomáticos, analítico e vetorial da Geometria.
METODOLOGIA DE ENSINO
Aulas expositivas, discussão de listas de exercícios. Aulas práticas em laboratório de informática,
utilizando softwares que permitam visualizar os lugares geométricos; construção e/ou manipulação
de modelos de superfícies. A PCC se dará pelo desenvolvimento de projeto sobre como algum
conteúdo programático estudado pode ser abordado no Ensino Médio.
Fonte: http://www.ibilce.unesp.br/ (Acesso em: 09/03/2013)
Nota-se, nessa instituição de ensino, uma ementa pormenorizada e com
riqueza de detalhes em seu conteúdo. A ementa sugere que se aborde todo
conteúdo proposto pelo PCN+ para ser trabalhado na 3ª série/3º ano do Ensino
Médio. Observa-se que a instituição tem foco voltado para o ensino e significativa
preocupação com o ensino e aprendizagem do aluno.
82
Assim como a instituição IES 3, a IES 4, retratada na Figura 21, também
apresenta a disciplina Geometria Analítica e Vetores. Ambas são instituições
públicas e oferecem a disciplina anualmente.
Figura 21: IES 4
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES
OBJETIVOS (ao término da disciplina, o aluno deverá ser capaz de:)
- apresentar domínio de conteúdos de Geometria Analítica, de modo a ser capaz de transmitir
conteúdos associados, com facilidade e segurança, quando atuar no Ensino Médio;
- utilizar os conteúdos abordados na compreensão do mundo que nos cerca, suas características e
fenômenos que nele ocorrem;
- relacionar os conteúdos de Cálculo Vetorial e de Geometria com outras áreas do conhecimento,
principalmente a Física;
- ter adquirido conhecimento que o possibilite cursar outras disciplinas do curso, como Álgebra
Linear I, Cálculo Diferencial e Integral II e Física Geral e Experimental I, além de ser capaz de
relacionar o conhecimento obtido com aqueles estudados em outras disciplinas;
- aplicar os conteúdos aprendidos na resolução de problemas práticos e/ou teóricos, relacionados
ao Cálculo Vetorial e à Geometria.
- ter aprimorado sua argumentação e compreensão matemáticas e o raciocínio lógico, através do
estudo de definições, propriedades, proposições, teoremas e suas demonstrações, próprios da
disciplina;
- ter capacidade de analisar criticamente textos didáticos sobre Geometria.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO (título e descriminação das Unidades)
1. Matrizes: definição, igualdade, matriz identidade e matriz transposta. Operações com matrizes.
Determinantes: definição por recorrência, propriedades. Matriz adjunta. Matriz inversa. Resolução
de sistemas lineares usando inversão de matrizes (Método de Cramer). Resolução de sistemas
lineares por escalonamento.
2. Vetores.
2.1. Tratamento Geométrico. Noção intuitiva: grandezas escalares e vetoriais; vetores como
segmentos orientados. Casos particulares: vetores iguais, paralelos, unitários (versores),
ortogonais e coplanares. Operações com vetores: adição e multiplicação por escalar.
Propriedades. Ângulos entre vetores.
2.2. Tratamento Algébrico - Vetores no Plano. Combinações lineares de vetores. Bases. Base
canônica. Coordenadas de um vetor com relação a uma base. Operações usando coordenadas.
2.3. Tratamento Algébrico - Vetores no Espaço. Combinações lineares de vetores. Bases. Base
canônica. Coordenadas de um vetor com relação a uma base. Operações usando coordenadas.
83
Bases ortonormais. Mudança de base. Produto escalar, produto vetorial, produto misto e suas
características geométricas.
3. Sistemas de Coordenadas Cartesianas.
4. Geometria Analítica no Espaço
4.1. Retas: equações. Plano: equações. Vetor normal a um plano. Posições relativas: reta e reta,
reta e plano, plano e plano. Perpendicularismo. Paralelismo. Ortogonalidade.
4.2. Distâncias: de dois pontos no plano, de um ponto a uma reta, de um ponto a um plano, entre
duas retas, entre reta e plano, entre dois planos. Ângulos: entre duas retas, entre dois planos,
entre reta e plano. Áreas e volumes (triângulo, paralelogramo, paralelepípedo, tetraedro).
5. Curvas planas: circunferência, elipse, hipérbole, parábola. Equação geral das cônicas. Equação
geral do 2º grau em duas variáveis (reconhecimento de cônicas).
6. Mudança de coordenadas: polares no plano, polares no espaço, cilíndricas.
7. Noções sobre superfícies: esféricas, cilíndricas, cônicas.
METODOLOGIA DO ENSINO
1. Aulas expositivas da parte teórica, que contemplem também a apresentação de exemplos,
resolução de exercícios e a relação com os conteúdos ensinados em outras disciplinas do curso e
também no Ensino Fundamental e Médio. Sugere-se que o professor introduza primeiro os vetores
no plano e, em seguida, no espaço, seguindo, por exemplo, o que é feito na referência [5] da
bibliografia básica.
2. Proposição de listas de exercícios a serem resolvidas pelos alunos, fora do horário regular das
aulas, como instrumento complementar no processo de ensino-aprendizagem e também para
fixação e apreensão do conhecimento.
3. Proposição de trabalhos extraclasse que levem o aluno a conhecer a utilização da Geometria
Analítica em problemas aplicados e ao seu desenvolvimento no Ensino Fundamental e no Médio,
como elemento motivador no processo de ensino-aprendizagem e também como forma de
despertar o interesse do aluno pela disciplina.
4. Fixar horário de atendimento aos alunos, para sanar dúvidas e dar orientação sobre os
trabalhos propostos. Sugere-se, pelo menos, quatro horas semanais.
Fonte: http://www1.fct.unesp.br/#!/graduacao/matematica/ (Acesso em: 19/02/2013)
A IES 4, assim como a IES 3, apresenta uma ementa detalhada e voltada
para o ensino e aprendizagem. Há a preocupação em oferecer ao futuro professor
todo o conteúdo necessário para o ensino no Ensino Médio, uma vez que essa
disciplina deve ser trabalhada no 2º ano. A IES 3 e a IES 4 estão oferecendo a seus
alunos um curso de Licenciatura apoiado no que diz Shulman (1986) sobre os
conhecimentos que o aluno deve adquirir para ser um futuro professor conhecer o
conteúdo a ser ensinado. Suas ementas sugerem que isso é feito.
84
As Figuras 22 e 23 apresentam outras duas instituições de ensino que
oferecem a disciplina de Geometria Analítica com o mesmo nome das acima citadas,
porém com uma ementa diferente.
Figura 22: IES 5
Disciplina: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
Ementa
Objetivos: Prover ao aluno conhecimentos básicos de cálculo vetorial elementar e de Geometria
Analítica Plana e Espacial.
Conteúdo programático: Noções sobre matrizes e sistemas lineares. Vetores. Produtos: escalar,
vetorial e misto. Retas e planos. Cônicas. Quádricas.
Fonte: http://www2.ufscar.br/home/index.php (Acesso em:18/02/2013)
Figura 23: IES 10
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES
Ementa:
Sistemas lineares. Vetores, operações. Bases, sistemas de coordenadas. Distância, norma e
ângulo. Produtos escalar e vetorial. Retas no plano e no espaço. Planos. Posições relativas,
interseções, distâncias e ângulos. Círculo e esfera. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Seções cônicas, classificação. Introdução às quádricas.
Fonte: http://www.unicamp.br/unicamp/ (Acesso em:24/02/2013)
Embora a IES 5 e a IES 10 também apresentem a mesma modalidade da IES
3 e IES 4, ambas são públicas e oferecem a disciplina em apenas um semestre.
Observa-se ementas extremamente sucintas, que não deixam clara a maneira como
essa disciplina é trabalhada no semestre. Além disso, não se pode verificar a
existência de preocupação da instituição com o foco no ensino. Suas ementas
apresentam apenas o conteúdo a ser trabalhado durante o curso.
Dentre as instituições de ensino pesquisadas, foram encontradas a IES 8 e a
IES 7, as quais oferecem dois semestres da disciplina de Geometria Analítica, como
pode ser visto em suas ementas nas Figuras 24 e 25.
85
Figura 24: IES 8
Disciplina: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA I E VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA II
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA I
Ementa
Vetores e operações. Sistemas de coordenadas. Produto entre vetores. Equações da Reta no
espaço.
Conteúdo Programático
VETORES - Segmento de reta, segmento orientado, segmentos equipolentes, definição de vetor,
soma de vetores, multiplicação de um vetor por um escalar.
COORDENADAS CARTESIANAS - Sistema de coordenadas cartesianas no plano e no espaço,
representação cartesiana do vetor, vetores diretores.
PRODUTO ENTRE VETORES - Produto escalar, projeções; produto vetorial, cálculo de áreas;
produto misto, cálculo de volumes.
EQUAÇÕES DA RETA NO ESPAÇO - Equação vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta,
posição relativa entre duas retas, ângulo e intersecção entre retas.
VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA II
Ementa
A Equação geral do Plano no espaço; Distâncias; Lugar Geométrico: Cônicas e Circunferência.
Conteúdo Programático
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO NO ESPAÇO: Equação geral e paramétrica do plano, posição
relativa entre planos, ângulo e intersecção.
DISTÂNCIAS NO ESPAÇO: Distâncias entre ponto e ponto, ponto e reta, ponto e plano, reta e
reta, reta e plano, e plano e plano.
CÔNICAS: Lugar Geométrico, Equação da parábola, da elipse e da hipérbole.
CIRCUNFERÊNCIA: Equação da circunferência, posição relativa entre circunferência e ponto,
circunferência e reta e circunferência e circunferência.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior
Figura 25: IES 7
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA A E GEOMETRIA ANALÍTICA B
Ementa:
Geometria Analítica A
Desenvolve a Álgebra Vetorial como ferramenta para a construção de conceitos geométricos de
86
reta, plano no espaço tridimensional e apresenta aplicações utilizando softwares educativos.
Geometria Analítica B
Estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria no estudo dos conceitos
geométricos e propriedades das Cônicas.
Fonte: http://www.puc-campinas.edu.br/ (Acesso em:06/03/2013)
A análise das ementas das instituições 7 e 8 permite verificar que, embora
sejam privadas e ofereçam dois semestres da disciplina, suas ementas são bem
diferentes. A IES 8 descreve o conteúdo que supostamente será trabalhado no
período, diferenciando os dois semestres do curso. Já a IES 7 não explicita o
conteúdo, tampouco o que será trabalhado dentro da Geometria Analítica A e B. Não
há indícios de preocupação das instituições com o ensino.
Na Figura 26, é apresentada a ementa da IES 2, uma instituição privada. Em
seguida, na Figura 27, a ementa da IES 12, uma instituição pública.
Figura 26: IES 2
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA
Ementa:
1. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Definições, Operações, Propriedades e
Aplicações.
2. Geometria Analítica no plano: Pontos, Retas, Circunferências e Cônicas.
3. Geometria Analítica no espaço: Vetores, operações, dependência linear, bases. Sistemas de
coordenadas, base ortonormal. Produtos, escalar, vetorial, misto e duplo vetorial. Pontos, retas
e planos, posições relativas, projeções, distâncias, ângulos, áreas e volumes.
4. Coordenadas Polares e Cilíndricas: No plano e no espaço.
5. Atividades relativas à Prática de Ensino: como componente curricular, desenvolvidas ao longo
do ano.
Leitura e interpretação de enunciados de exercícios e problemas. Apresentação de técnicas
e suporte para desenvolvimento de raciocínio na condução e solução de problemas relativos
à Matemática em geral e à disciplina de Geometria Analítica em particular.
Fonte: http://www.fsa.br/ (Acesso em: 05/03/2013)
87
Figura 27: IES 12
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA
Ementa:
Vetores: Operações Vetoriais, Combinação Linear, Dependência e Independência Linear; Bases;
Sistemas de Coordenadas; Produto Interno e Vetorial; Produto Misto.
Retas e Planos: Equações de Retas e Planos; Posições Relativas entre Retas e Planos. Posições
relativas entre reta e plano; Posições relativas entre planos; Distâncias e Ângulos.
Mudança de coordenadas: Rotação e translação de eixos.
Cônicas: Círculo. Elipse: Equação e gráfico; Parábola: Equação e gráfico; Hipérbole: Equação e
gráfico. Equação Geral do segundo Grau.
Fonte: http://www.ufabc.edu.br/ (Acesso em: 19/02/2013)
As instituições 2 e 12 apresentam ementas sintéticas, nas quais o conteúdo é
apresentado de forma muito parecida. Suas ementas evidenciam que o conteúdo
proposto durante o curso satisfaz o que é proposto pelo PCN+ para Geometria
Analítica.
Entre as instituições pesquisadas, a IES 2 é a que apresenta a maior carga
horária, oferecendo em seu curso uma carga de 144 horas anuais. A IES 12 é a
instituição que oferece a menor carga horária de Geometria Analítica, apenas 36
horas semestrais. Uma questão relevante é o fato da IES 2, no item 5 de sua ementa,
sugerir que a instituição tem um foco voltado à prática de ensino e procura relatar
isso na ementa da disciplina. O mesmo não ocorre na IES 12, pois a sua ementa
não cita sua metodologia, assim, não é possível afirmar que a instituição tem foco
para o ensino.
É perceptível, nas análises realizadas, que todas as instituições pesquisadas
apresentam uma disciplina única para Geometria Analítica, diferentemente do que se
verificou nas análises de Geometria Plana, Geometria Espacial e Geometria Métrica.
A IES 9 também atribui a essa disciplina o nome de Geometria Analítica,
como pode ser observado na Figura 28.
88
Figura 28: IES 9
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA
Ementa
Estudo crítico e reflexivo a partir de diferentes concepções das múltiplas aplicações da Geometria
Analítica com as outras disciplinas afins através dos vetores no R3 e no plano, voltados à Educação
Básica e ao processo de ensino e aprendizagem das situações do Ensino Fundamental II e do
Ensino Médio.
Objetivo Geral
Desenvolver e aplicar o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Euclidiana
através do estudo dos vetores e resolução de problemas de Geometria Analítica.
Objetivos Específicos
- Aplicar os conhecimentos da Geometria Euclidiana, relacionados com a forma e grandeza,
restringindo essa dependência à posição relativa de pontos das figuras no plano e no espaço;
- Utilizar seus conhecimentos de Álgebra, Trigonometria e Geometria Analítica no plano e de outras
disciplinas afins, no equacionamento dos problemas analíticos e aplicação das propriedades das
figuras através dos vetores;
- Estabelecer a continuidade da Geometria Analítica no plano para o espaço;
- Compreender definições, operações, propriedades e relações dos vetores no R3;
- Reconhecer sequência de vetores do ponto de vista de sua dependência linear, segundo as bases
vetoriais, em particular ortonormais e ainda sistemas ortogonais;
- Determinar produtos de vetores e as suas aplicações práticas em projeções e cálculos de áreas e
volumes;
- Visualizar e compreender as equações de retas e planos no espaço, incluindo suas propriedades,
interações e aplicações práticas por meio de exercícios e solução de problemas;
- Estabelecer relações entre coordenadas cartesianas, polares e cilíndricas no plano e espaço.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior.
Essa instituição também traz uma ementa sucinta. Explicita quais são seus
objetivos específicos, mas não detalha o conteúdo que se pretende trabalhar nessa
disciplina, nem mesmo a preocupação com a formação de seus futuros professores,
somente cita que o conteúdo é voltado para o Ensino Fundamental II e o Ensino
Médio. Na verdade, a disciplina de Geometria Analítica deve ter seu foco voltado
para a 3ª série/3º ano do Ensino Médio, segundo o PCN+.
89
A figura a seguir traz a ementa de outra instituição pública, a IES 11, que
oferece a disciplina semestral com uma carga horária ampla de 90 horas.
Figura 29: IES 11
Disciplina: GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO II
Objetivos: Prover ao aluno conhecimentos básicos de cálculo vetorial elementar e de Geometria
Analítica Plana e Espacial.
Conteúdo programático: Noções sobre matrizes e sistemas lineares. Vetores. Produtos: escalar,
vetorial e misto. Retas e planos. Cônicas. Quádricas.
Fonte: https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/jupDisciplinaLista?codcg=45&tipo=D (Acesso em: 06/03/2013)
Essa instituição apresenta a disciplina com o nome de Geometria e Desenho
Geométrico II. Pelo nome da disciplina, não parece referir-se ao ensino de
Geometria Analítica. A instituição apresenta uma ementa extremamente sucinta, em
que não é possível identificar quais conteúdos de Geometria Analítica realmente são
trabalhados. No nome da disciplina, aparece Desenho Geométrico II, mas, no
conteúdo da ementa, nada sugere ser conteúdo de Desenho Geométrico. Tem-se a
impressão de ser uma ementa que não condiz com nenhum dos tipos básicos de
currículo sugeridos por Sacristán (2000), que deve ser apresentado pelas
instituições, já que é o currículo prescrito.
Segundo o autor, o currículo prescrito é a prescrição ou orientação do
conteúdo que deve ser trabalhado principalmente na escolaridade obrigatória; são
aspectos de referência na ordenação do sistema curricular, que servem de apoio
para o ponto de partida para a elaboração de materiais e conteúdos. A IES 11 não
parece oferecer isso a seu aluno.
As ementas de duas instituições de ensino, a IES 1 e IES 6, que oferecem
uma carga horária de 80 horas e 120 horas anuais, respectivamente, são
apresentadas a seguir.
90
Figura 30: IES 1
Disciplina: GEOMETRIA II (Geometria Analítica)
Ementa:
Sistema de coordenadas cartesianas no plano. Distância entre dois pontos, ponto médio de
segmento de reta. Coeficiente angular. Estudo analítico cartesiano da reta no plano. Estudo
analítico cartesiano da circunferência. Posições relativas entre reta e circunferência. Cônicas:
Elipse Hipérbole e Parábola.
Fonte: Projeto Pedagógico interno oferecido por membro da Instituição de Ensino Superior.
Figura 31: IES 6
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA E GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL
0982 - GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (4 créditos)
Ementa:
Sistemas de Coordenadas. Equação e Lugar Geométrico. A Reta. A Circunferência. Cônicas.
Transformações de Coordenadas. A Equação Geral do Segundo Grau em Duas Variáveis.
0527 - GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL (4 créditos)
Ementa:
Vetores no espaço: definição e operações. Produtos. Sistemas de Coordenadas no Espaço.
Estudo da Reta no Espaço. Estudo do Plano. Posições Relativas. Perpendicularismo e
Ortogonalidade. Ângulos. Distâncias. Noções sobre Superfícies.
Fonte: http://www.feis.unesp.br/ (Acesso em: 05/03/2013)
Como pode ser observado, ambas apresentam um conteúdo semelhante,
mas a carga horária das duas difere. A IES 1 é uma das instituições de ensino
pesquisadas que apresentou a menor carga horária anual. Além disso, nenhuma
delas explicita, em sua ementa, se sua metodologia é direcionada ao ensino. Ambas
descrevem todo o conteúdo necessário para ser ensinado pelos futuros professores
nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, porém não descrevem
como isso seria ministrado durante a apresentação da disciplina no curso de
Licenciatura.
91
4.3 Considerações sobre as instituições pesquisadas e a formação inicial de
professores
Com base nas ementas analisadas, pode-se observar que ocorre significativa
preocupação em todas as IES quanto ao tratamento dos conteúdos de Geometria,
os quais não são apresentados apenas em caráter de revisão de Ensino
Fundamental e de Ensino Médio. Ao contrário, recebem o devido aprofundamento
em algumas instituições, o que evidencia que a disciplina de Geometria é importante
para o curso de Licenciatura em Matemática.
Evidentemente, a prioridade de um curso de Licenciatura em Matemática é
formar professores de Matemática. Conforme destacam as próprias Diretrizes
Curriculares Nacionais para os Cursos de Licenciatura Matemática, em relação aos
conteúdos, nas licenciaturas, devem ser trabalhados conteúdos de áreas afins à
Matemática, uma vez que estas são fontes de problemas e campos de aplicação de
suas teorias, assim como a Geometria.
Considera-se que um trabalho voltado para a Geometria, com uma carga
horária maior de horas nas Licenciaturas em Matemática, faria uma considerável
diferença no âmbito da Geometria, uma vez que, conforme foi visto no capítulo
anterior, muitas pesquisas relatam o efetivo abandono dessa disciplina em relação à
Educação Básica.
Ainda é possível notar que é inexpressiva a quantidade de instituições de
ensino que se preocupam em ofertar, como disciplinas optativas, as disciplinas de
Geometria. Se essa prática fosse mais comum, poderia dar a oportunidade para os
futuros professores adquirirem mais conhecimento nesse conteúdo. Acredita-se que
o conhecimento do conteúdo seja imprescindível para a formação inicial dos futuros
professores; contudo, há necessidade da abordagem de aspectos mais amplos, com
aplicação da disciplina como uma prática de ensino, fato que foi pouco observado
nas ementas das instituições.
Percebe-se que, com relação às categorias estabelecidas por Shulman (2000),
para categorizar os conhecimentos dos professores nas ementas pesquisadas,
algumas se colocam na categoria “conhecimento do conteúdo”. Parece que não há a
preocupação em formar professores que desenvolvam conhecimentos didáticos e
92
curriculares. Além dessa categoria, torna-se essencial o conhecimento dos objetivos
específicos intrínsecos à disciplina, que fariam com que os professores pudessem
entender em que situações estariam as reais dificuldades de seus alunos.
Os cursos de Licenciatura têm um diferencial em relação a outros cursos
superiores, pois os futuros professores precisam aprender estratégias eficientes
sobre como ensinar; além de aprender os conteúdos que irão ensinar. Dessa forma,
pode-se perceber que essas estratégias estão diretamente ligadas aos
conhecimentos didáticos dos conteúdos, o que fica evidente em algumas das
instituições de ensino que têm como metodologia a prática de ensino.
Acredita-se que o fato de um professor dominar totalmente um conteúdo
específico não garante que tenha habilidade para desenvolver e elaborar estratégias
de ensino que levem os alunos a aprender o que se pretende ensinar, vindo de
encontro às instituições que oferecem a disciplina como prática de ensino.
93
CAPÍTULO 5- CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa foi desenvolvida, com o objetivo de verificar, nas ementas das
instituições de Ensino Superior do Estado de São Paulo, se as mesmas oferecem,
durante o curso de Licenciatura em Matemática, as disciplinas de Geometria
necessárias para que os futuros professores trabalhem na Educação Básica.
Também se objetivou verificar se esse conteúdo oferecido estava de acordo com o
que sugerem as Propostas Curriculares vigentes.
Para dar início a esta pesquisa, foi selecionada, no site do MEC, uma amostra
de IES que oferecem o curso de Licenciatura em Matemática presencial. Diante de
suas grades e ementas, foram analisadas as disciplinas de Geometria, bem como
sua carga horária. O critério de seleção das IES foi aleatório, apenas dando
preferência para aquelas que oferecem suas ementas e grades curriculares nos sites
das instituições.
Para tanto, foram tomadas como ponto de partida duas questões de pesquisa,
sobre as quais são feitas reflexões com embasamento nas investigações, a fim de
que se possa respondê-las.
A primeira questão de pesquisa é: “o que indicam as ementas de cursos de
Licenciatura em Matemática em relação ao ensino de Geometria?”.
Foi possível verificar que, nas Instituições de Ensino Superior pesquisadas, as
disciplinas de Geometria Plana, Geometria Espacial, Geometria Métrica e Geometria
Analítica por todas as IES. Constatou-se que a Geometria Métrica é trabalhada junto
à Geometria Plana e à Geometria Espacial, e não como outra frente da Geometria.
Foi possível identificar que há uma diferença na forma como essas disciplinas
são oferecidas nas IES. Algumas oferecem a Geometria Plana, a Geometria
Espacial e a Geometria Métrica em uma mesma disciplina, algumas semestrais e
outras anuais. Algumas IES oferecem a Geometria Plana separada da Geometria
Espacial, porém a Geometria Métrica encontra-se nas duas disciplinas.
94
Foi verificado que, das cinco IES pesquisadas que possuem a disciplina de
Geometria Espacial e Métrica separada da disciplina de Geometria Plana e Métrica,
duas são privadas e três são públicas. Quando analisadas as IES que oferecem as
disciplinas de Geometria Espacial, Geometria Plana e Geometria Métrica em uma
mesma disciplina, foram encontradas quatro instituições públicas e três privadas.
Assim, observa-se que o ensino de Geometria é oferecido igualmente nas IES
públicas ou privadas.
Outro aspecto relevante é o fato de que algumas IES procuram detalhar mais
os conteúdos trabalhados em cada disciplina, inclusive evidenciando o objetivo e a
metodologia por ela utilizados. Em outras, percebe-se que o conteúdo é oferecido,
mas não é possível dizer qual é o enfoque para tal. Todavia, como o objetivo deste
trabalho é apenas verificar se as IES oferecem as disciplinas de Geometria, as
respostas encontradas são satisfatórias.
No que se refere a outro campo, o da Geometria Analítica, verifica-se que, em
todas as IES pesquisadas, a disciplina é tratada separadamente das demais. Isso
também é observado nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Licenciatura em Matemática, que descrevem seis conteúdos distribuídos ao longo do
curso e um desses conteúdos é a Geometria Analítica. Assim, constata-se a grande
importância que é atribuída a essa disciplina.
A segunda questão de pesquisa é: “que relações as ementas dos cursos de
Licenciatura em Matemática apresentam com os conteúdos prescritos de Geometria
pelos documentos curriculares oficiais a serem trabalhados nos anos finais do
Ensino Fundamental e no Ensino Médio?”.
Essa questão de pesquisa foi respondida por meio da análise dos
Documentos Curriculares Oficiais, dentre eles, os PCNEF, PCNEM, PCN+ e o
Currículo do Estado de São Paulo. Esses documentos sugerem que o professor
trabalhe a Geometria com seus alunos desde a 5ª série/6º ano.
Foi possível perceber que esses documentos sugerem que o professor
trabalhe a Geometria com seus alunos dos anos finais do Ensino Fundamental ao
Ensino Médio, e descrevem os momentos em que se devem trabalhar esses
conteúdos e suas distribuições por níveis. Outro fator importante é que nesses
95
documentos há uma integração vertical do conteúdo. A cada ano em que são
apresentados, são retomados e ampliados, assim, o aluno irá construir seu
conhecimento com o paulatinamente.
Diante das análises realizadas, foi possível concluir que, nas ementas
oferecidas pelas IES, os conteúdos de Geometria abrangem o que é proposto pelos
Documentos Oficiais para ser trabalhado nos anos finais do Ensino Fundamental e
no Ensino Médio. Entretanto, em algumas instituições, não é possível, pela ementa
apresentada, verificar de que forma se trabalham esses conteúdos ao longo do
curso.
A metodologia de pesquisa de natureza qualitativa com técnica de análise
documental, adotada para a realização das análises, contribuiu para este estudo e,
principalmente, para que fosse possível responder às questões de pesquisa. Com
isso, a visão qualitativa dos dados possibilitou verificar, em cada ementa, os
conteúdos de Geometria oferecidos nas instituições.
Em relação ao estudo teórico sobre o conhecimento docente proposto por
Shulman (1986) e sobre o que representa o currículo na visão de Sacristán (2000),
foi possível constatar o quanto essas teorias podem colaborar para o ensino de
Geometria dos futuros professores. Verificou-se nas teses e dissertações analisadas
que, se há uma defasagem no ensino de Geometria, é porque os professores não
sabem. Atualmente, poucos professores procuram investir em formação continuada
e até mesmo se aprofundar nos estudos de Geometria, ficando mais focados na
Álgebra.
Ao longo da realização deste estudo, foi possível observar que as instituições
de Ensino Superior pesquisadas oferecem, durante seu curso, as disciplinas de
Geometria. No entanto, em algumas pesquisas analisadas, é possível constatar a
defasagem do conhecimento geométrico nos alunos. Assim, é preciso que
formadores de futuros professores trabalhem o conteúdo de Geometria nos cursos
de Licenciatura em Matemática de forma adequada para que se possa ter certeza de
que esses alunos concluirão seu curso com bagagem suficiente para seu futuro
profissional.
96
Diante desse trabalho, sugere-se, para possíveis pesquisas na área de
Geometria, a verificação, juntamente com os discentes e docentes, dos conteúdos
prescritos nas ementas da instituições de Ensino Superior, de modo a averiguar se
tais conteúdos são efetivamente trabalhados.
97
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. ensino de quinta a oitava séries. Brasília: MEC/ SEF, 1998. ______. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: matemática.
ensino médio. Brasília: MEC/ SEMTEC, 2002. ______. Ministério da Educação. Diretrizes curriculares nacionais para os cursos de matemática, bacharelado e licenciatura. Brasília: MEC/ SEMTEC, 2001.
______. Ministério da Educação. Sistema de regulação do ensino superior.
Disponível em: <http://emec.mec.gov.br>. Acesso em: jan. 2014. CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO SANTO ANDRÉ –(FAFIL). Grade e ementa da IES. Disponível em: <http://www.fsa.br>. Acesso em: fev. 2014.
CURY, H. N.; VIANNA, C. R. (Org.). Formação de professores de matemática:
reflexões e propostas. Santa Cruz do Sul: IPR, 2012. GOLDENBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em ciências sociais. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 1999. LAKATOS, E. M.; MARCONI, M. A. Metodologia cientifica. 6. ed. São Paulo: Atlas,
2011. LEIVAS, J. C. P. imaginação, intuição e visualização: a riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de matemática. 2009. Tese (Doutorado em Educação)-Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2009. LIMA, P. F.; BELLEMAIN, P. M. B. Grandezas e medidas. In: Brasil. Matemática: ensino fundamental. Coord. João Bosco Pitombeira Fernandes de Carvalho. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2010. (Coleção Explorando o Ensino; v. 17) LUDKE, M.; ANDRÉ, M. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São
Paulo: EPU, 1986. PAVANELLO, R. M. O abandono da geometria: uma visão histórica. 1989. Dissertação (Mestrado em Psicologia Educacional)–Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1989. ______. O abandono do ensino de geometria no Brasil: causas e consequências. Zetetiké, v.1, n.1, p. 7-17, 1993.
98
PEREIRA, M. R. O. Geometria escolar: uma análise dos estudos sobre o abandono
de seu ensino. 2001. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)–Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2001. PIROLA, N. A. Solução de problemas geométricos: dificuldades e perspectivas.
2000. Tese (Doutorado em Psicologia Educacional)–Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000. PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS – PUC. Grade e ementa da IES. Disponível em: <http://www.puc-campinas.edu.br/>. Acesso em: jan. 2014. SACRISTÁN, J. G. O currículo: uma reflexão sobre a prática. Tradução de Ernani F. da F. Rosa. 3. ed. Porto Alegre: Artmed, 2000. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: matemática e suas tecnologias. São Paulo: SE, 2012. 72 p. SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986.
______. The wisdom of practice: essays on teaching and learning to teach. San
Francisco: Jossey-Bass, 2004. ______. Conocimiento y enseñanza: fundamentos de la nueva reforma. Revista de Currículum y Formacíon del Profesorado, v. 9, n. 2, 2005. Disponível em:
<http://www.ugr.es/local/recfpro/Rev92ART1.pdf>. Acesso em: jan. 2014. SILVA, M. B. da. A geometria espacial no ensino médio a partir da atividade webquest: análise de uma experiência . 2006. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática)–Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Julio de Mesquita Filho” – São José do Rio Preto. (UNESP). Grade e ementa da IES. Disponível em:
<http://www.ibilce.unesp.br>. Acesso em: jan. 2014. ______. Presidente Prudente. (UNESP). Grade e ementa da IES. Disponível em: <http://www1.fct.unesp.br/#!/graduacao/matematica>. Acesso em: jan. 2014. ______. Ilha Solteira. (UNESP). Grade e ementa da IES. Disponível em:
<http://www.feis.unesp.br>. Acesso em: jan. 2014. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – (UFSCAR). Grade e ementa da IES. Disponível em: <http://www2.ufscar.br/home/index.php>. Acesso em: jan. 2014.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS- (UNICAMP). Grade e ementa da IES.
Disponível em: <http://www.unicamp.br/unicamp>. Acesso em: jan. 2014 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – (USP). Grade e ementa da IES. Disponível em: <https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/jupDisciplinaLista?codcg=45&tipo=D>. Acesso em: jan. 2014.
99
UNIVERSIDADE DO ABC – (UFABC). Grade e ementa da IES. Disponível em: <http://www.ufabc.edu.br>. Acesso em: jan. 2014.
100
ANEXOS
ANEXO A – GRADE CURRICULAR DA IES 3
101
102
ANEXO B - GRADE CURRICULAR DA IES 9
103
104
ANEXO C - GRADE CURRICULAR DA IES 7
105
106
ANEXO D - GRADE CURRICULAR DA IES 8
Série Disciplina HR
1 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 68
1 TRIGONOMETRIA E APLICAÇÕES 34
1 LÓGICA MATEMÁTICA 34
1 FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 68
1 LEITURA E PRODUÇÃO TEXTUAL I 68
1 PRÁTICA DE ENSINO I 80
1 ATIVIDADES ACADÊMICO - CIENTÍFICO - CULTURAIS 35
Total da carga horária do semestre 387
2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 68
2 VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA I 68
2 FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 68
2 LEITURA E PRODUÇÃO TEXTUAL II 68
2 PRATICA DE ENSINO II 80
2 ATIVIDADES ACADÊMICO - CIENTÍFICO - CULTURAIS 35
Total da carga horária do semestre 387
3 VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA II 68
3 FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III 68
3 INFORMÁTICA APLICADA 68
3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 68
3 PRÁTICA DE ENSINO III 80
3 ATIVIDADES ACADÊMICO - CIENTÍFICO - CULTURAIS 35
Total da carga horária do semestre 387
107
4 FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV 68
4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 68
4 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 68
4 PRÁTICA DE ENSINO IV 80
4 DIDÁTICA 34
4 MODELAGEM MATEMÁTICA - APLICAÇÕES 34
4 PROJETO EM MODELOS MATEMÁTICOS 34
4 ESTÁGIO CURRICULAR SUPERVISIONADO I 140
4 ATIVIDADES ACADÊMICO - CIENTÍFICO - CULTURAIS 35
Total da carga horária do semestre 561
5 ANÁLISE MATEMÁTICA 68
5 ÁLGEBRA I 68
5 PRÁTICA DE ENSINO V 80
5 ANTROPOLOGIA E SOCIOLOGIA DA EDUCAÇÃO 34
5 ELETIVA I 34
5 ESTRUTURA E FUNCIONAMENTO DO ENSINO 34
5 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 34
5 ESTÁGIO CURRICULAR SUPERVISIONADO II 130
5 ATIVIDADES ACADÊMICO - CIENTÍFICO - CULTURAIS 30
5 TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO I 40
Total da carga horária do semestre 552
6 METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA 68
6 ÁLGEBRA II 68
6 CÁLCULO NUMÉRICO 68
6 ELETIVA II 34
108
6 PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO 34
6 LINGUA BRASILEIRA DE SINAIS - LIBRAS 34
6 MATEMÁTICA FINANCEIRA 34
6 TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO II 40
6 ESTÁGIO CURRICULAR SUPERVISIONADO III 130
6 ATIVIDADES ACADÊMICO - CIENTÍFICO - CULTURAIS 30
Total da carga horária do semestre 540
Carga total da matriz curricular 2814
109
ANEXO E - GRADE CURRICULAR DA IES 2
110
ANEXO F - GRADE CURRICULAR DA IES 1
111
112
ANEXO G - GRADE CURRICULAR DA IES 4
113
114
ANEXO H - GRADE CURRICULAR DA IES 6
115
116
ANEXO I - GRADE CURRICULAR DA IES 10
117
ANEXO J - GRADE CURRICULAR DA IES 5
118
119
ANEXO K - GRADE CURRICULAR DA IES 11
120
121
122
ANEXO L - GRADE CURRICULAR DA IES 12
123
124
ANEXO M – PLANO DE ENSINO DA DISCIPLINA GEOMETRIA I DA IES 2
CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO
SANTO ANDRÉ
FAFIL
PLANO DE DISCIPLINA – 2012
Curso: Licenciatura em Matemática
Disciplina: Geometria I Série: 1º
Carga Horária: 04 h/a/semana 144 h/a/ano
Professor: Me. Odair de Sá Garcia
CAPÍTULO 2 I – Ementa
Axiomática da Geometria Euclidiana, com suas noções, definições, propriedades e teoremas com ênfase na
Geometria Plana. Trigonometria no triângulo retângulo. Construções Geométricas no Plano. Conhecimentos básicos sobre o Ensino de Geometria na Educação Básica. Ao longo do ano desenvolveremos atividades
relativas às Práticas Pedagógicas, leitura e interpretação de problemas, alem da participação desta disciplina no
“Projeto Global de Nivelamento de conteúdos e acolhimento dos novos alunos”.
CAPÍTULO 3 II – Objetivos
a) Objetivos Gerais:
Compreender e mostrar desenvolvimento dos Fundamentos e Raciocínio Lógico em Geometria;
Aplicar os conceitos geométricos à resolução de problemas do cotidiano com ênfase na Geometria
Plana, inclusive trigonometria no triângulo retângulo;
Mostrar habilidades em construções geométricas usando régua e compasso;
Desenvolver competências e habilidades esperadas de um profissional docente, crítico, participativo e
competente para atuar na sala de aula no que concerne ao Ensino de Geometria na Educação Básica (Fundamental e Média).
b) Objetivos Específicos:
Compreender a construção axiomática de uma Teoria Matemática, com ênfase na Geometria Euclidiana
Plana;
Conhecer e aplicar as propriedades geométricas das construções geométricas;
Reconhecer, representar, estabelecer e aplicar relações métricas simples;
Reconhecer e relacionar formas e calcular medidas na área da geometria básica;
Sistematizar a linguagem geométrica e o encadeamento lógico das proposições geométricas, avançando
na Teoria, com o máximo rigor e sistematização.
Dominar habilidades de cálculos de geometria plana.
III – Programa detalhado da Disciplina
125
1) Introdução à Geometria Euclidiana: histórico e localização na História e na Ciência. Nesta parte inicial, serão apresentados, analisados e resolvidos em sala, uma série de “situações
problemas” objetivando motivar e instigar os alunos sobre a necessidde de sistematização da Teoria da
Geometria Euclidiana.
2) Noções Primitivas do Plano Euclidiano
Entes Geométricos;
Linhas e sus classificações.
3) A reta e suas partes
Semi-reta;
Segmento de reta;
Segmentos consecutivos;
Segmentos colineares;
Segmentos adjacentes;
Medida de segmentos;
Ponto médio de um segmento de reta;
Congruência de segmentos de reta.
4) Operações com segmentos de reta
Transporte de segmentos de reta;
Adição de segmentos;
Subtração de segmentos;
Multiplicação de segmentos;
Divisão de segmentos.
5) Ângulos
Região convexa;
Conceito de ângulo;
Interior de um ângulo;
Exterior de um ângulo;
Elementos de um ângulo;
Ângulos consecutivos;
Ângulos adjacentes;
Ângulos opostos pelo vértice;
Medida de um ângulo;
Ângulos complementares;
Ângulos suplementares;
Ângulos replementares.
5.1. Classificação de ângulos
Ângulo nulo;
Ângulo agudo;
Ângulo reto;
Ângulo obtuso;
Ângulo reto;
Ângulos convexos;
Ângulos côncavos;
Ângulo de volta inteira.
5.2 Operações com ângulos e seus submúltiplos
Adição de ângulos;
Subtração de ângulos;
Multiplicação de ângulos;
126
Divisão de ângulos.
5.3 Operações com ângulos com o compasso.
Transporte de ângulos;
Adição de ângulos;
Subtração de ângulos;
Multiplicação de ângulos;
Divisão de ângulos;
Bissetriz.
5.4 Construção de ângulos com o compasso.
Construção de ângulos notáveis, de 15º em 15º.
6) Posições relativas de retas
Retas concorrentes;
Retas paralelas;
Retas perpendiculares;
Retas oblíquas;
Mediana de um segmento de reta;
Mediatriz de um segmento de reta;
Distância entre ponto e reta;
Retas interceptadas por transversal.
7) Teorema de Tales
Teorema de Tales. Apresentação.
Teorema da bissetriz interna;
Teorema da bissetriz externa.
8) Triângulos
Conceito;
Elementos de um triângulo;
Classificação de triângulos;
Desigualdades triangulares;
Construção de triângulos;
Teorema de Pitágoras;
Relações métricas no triângulo retângulo;
Congruência de triângulos;
Área de triângulos.
8.1 Cevianas
Mediana do lado de um triângulo;
Baricentro;
Bissetriz do ângulo interno de um triângulo;
Incentro e Circunferência inscrita;
Altura relativa ao lado de um triângulo;
Ortocentro.
8.2 Semelhança de Triângulos
Semelhança de triângulos;
Casos de semelhança;
Potência de ponto.
8.3 Trigonometria no triângulo retângulo
Noção dos conceitos de seno, cosseno e tangente;
Cálculos de lados e ângulos;
127
Resolução de problemas, aplicando-se trigonometria básica, com uso de tabelas.
9) Quadriláteros
Conceito;
Elementos de um quadrilátero;
Classificação de quadriláteros;
Propriedades dos quadriláteros notáveis;
Construção de quadriláteros;
Áreas de quadriláteros.
10) Circunferência e Círculo
Conceito de Circunferência;
Elementos da circunferência;
Posições relativas entre retas e circunferência;
Posições relativas entre circunferências;
Segmentos tangentes;
Quadriláteros circunscritíveis.
10.1 Medida de uma Circunferência
Conceito;
Propriedades.
10.2 Circunferência Circunscrita
Mediatriz relativa ao lado do triângulo;
Circuncentro.
10.3 Ângulos na Circunferência
Congruência de arcos;
Adição de arcos;
Desigualdade de arcos;
Ângulo central, inscrito, circunscrito;
Ângulo de segmento;
Arco Capaz.
10.4 Círculo e suas partes
Conceito;
Partes do círculo;
Área do círculo e de suas partes.
11) Polígonos Regulares
Conceitos;
Propriedades dos polígonos regulares;
Cálculo de lado e apótema de polígonos regulares;
Áreas de polígonos regulares: conceitos e cálculos de medida de superfície
128
IV – Metodologia de Ensino
Aulas Expositivas com apoio do quadro negro Elaboração de Projetos
Aulas Expositivas com retroprojetor Trabalhos Individuais, e em grupo, realizados
na sala,e em casa
Vídeos e Filmes seguido de debates Seminários individuais e em grupo
Apresentações(PPT e outras) em Multimídia,
seguida de debates
Estudo de Campo, envolvendo o Processo
Ensino Aprendizagem de Geometria.
Aulas Expositivas com uso de Apóstilas, Jornais
e outros
Leitura, interpretação e produção de textos,
relacionados ao conteúdo de geometria e de
história da geometria
Aulas Práticas – Análise de Casos de Ensino de
Geometria, em Sala de Aula e em Laboratório de
Ensino de Matemática
.
V – Critérios de Avaliação da aprendizagem do aluno
Será dada ênfase à avaliação da aprendizagem qualitativa, contínua e formativa, visando avaliar o “desempenho
global do aluno”. Para isto os instrumentos e métodos baseados nas observações do Professor e nos seus
registros, de presença e de participações em sala, produção individual dos alunos, durantes as atividades em sala,
ou em casa, serão meios priorizados.
Serão realizadas, como “avaliação somativa”, dando cumprimento ao regimento da Faculdade, duas Provas
semestrais, intituladas de P1 e P2, escrita e individual. Comporá, ainda, a Nota Final que indicará o
desempenho dos alunos, as atividades realizadas ao longo do ano, individuais, sendo algumas com consulta ao
seu material didático. OBS: 1º) Os alunos que participarem da Semana Cultural do Curso de Licenciatura em Matemática, totalizando
um mínimo de 12 horas, ou seja, três palestras, terão acrescido um ponto (1,0) à sua Nota Final de Atividade do
2º semestre.
2º) SOBRE PESOS PARA MÉDIA PONDERADA:
A média final do ano, para efeito de aprovação terá peso de 40% para Atividade e 60% para a Prova. 3º) O “material – pessoal- (didático) do Aluno”, a critério do Professor desta disciplina será considerado
na avaliação formativa e continua tanto para as Notas das P1 e P2 como nas Notas de Atividades do 1.sem e 2.
Sem..
VI – Inter-relacionamento Disciplinar
Disciplinas do Curso que fornecem subsídios para
essa disciplina Geometria Analítica, Laboratório de Ensino de
Matemática (ambas, de forma “paralela”, em vista de
serem estas duas, disciplinas de 1° ano)
Disciplinas deste Curso para as quais esta
disciplina fornece subsídios
Geometria II, Fundamentos da Geometria,
Metodologia, História da Matemática, Projetos de
Ensino de Matemática e Prática de Ensino
Fundamental e Médio.
VII – Bibliografia
Básica: DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José N. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2.ed , 1977.
GUELLI, Cid A. et al. . Geometria Métrica. São Paulo: Moderna, 1.ed., 1977.
REZENDE, Elaine Q. F.; QUEIROZ, Maria Lucia B. Geometria Euclidiana e Construções Geométricas.
Campinas: Ed. Unicamp, 1ª ed. , 2000.
BARNETT, Rich. Teoria e Problemas de Geometria. Porto Alegre: Bookman, 3ª ed. , 2003.
129
Complementar:
BONGIOVANI, Vincenso et al. . Desenho Geométrico para o 2 Grau. São Paulo: Ática, 2.ed., 1994. CHAVES, A. L. Rodrigues et al. . Trabalhando com a Geometria. São Paulo: Ática, 1989.
DOWNS, Moise. Geometria Moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971.
JOTA, J. C. Putnoki. Geometria e Desenho Geométrico: coleção régua e compasso, v 4. São Paulo: Scipione,
1990.
MARCHESI, Isaias Jr.. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo: Ática, v 3., 1991.
MARMO, Carlos; MARMO, Nicolau. Curso de Desenho Geométrico. São Paulo: Scipione, Scipione, 3
v., 1995.
MATSUMURA, Amadeu Z. Uma Introdução à História da Geometria. São Paulo: Departamento de
Publicação do Colégio Bandeirantes, 1983.
MORGADO, A. C.; WAGNER, E. ; JORGE, Miguel. Geometria II. Rio de Janeiro: Livraria Francisco
Alves, 1974.
Obras paradidáticas:
IMENES, Luiz Marcio. Coleção Vivendo a Matemática: geometria dos mosaicos. São Paulo: Scipione, 1995
IMENES, Luiz Marcio. Coleção Vivendo a Matemática: geometria das dobraduras. São Paulo: Scipione, 1995
IMENES, Luiz Marcio. Coleção Vivendo a Matemática: descobrindo o Teorema de Pitágoras, São Paulo:
Scipione, 1995
MACHADO, Nilson José. Coleção Vivendo a Matemática: os Poliedros de Platão e os dedos da mão. São
Paulo: Scipione, 1995
IMENES, Luiz Marcio. Coleção Vivendo a Matemática: semelhança não é mera coincidência. São Paulo:
Scipione, 1995
IMENES; JAKUBO; LELLIS. Coleção Pra que serve a Matemática? Semelhança. São Paulo: Atual, 1992. IMENES; JAKUBO; LELLIS. Coleção Pra que serve a Matemática? Geometria. São Paulo: Atual, 1992.
OBS.: Serão utilizados para consulta e manuseio diversos textos (em mimeo) fornecidos aos alunos na forma
de arquivos eletrônicos de autoria (ou organização) do Prof. Me. Odair de Sá Garcia, responsável por esta
disciplina, em especial contendo conteúdos de "geometria euclidiana”, em nível de Educacao Básica e em
nível de Educacao Superior, além de conteúdos afins com vistas a formar um Professor de Matematica ou
Matematico. Ou seja, diversos materiais eletrônicos em mídia eletrônica serão produzidos (ou organizados
pelo professor) e enviado por meio eletrônico para os alunos.
Prof. Me.. Odair de Sá Garcia
Responsável pela Disciplina
12 de Fevereiro de 2012
