Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura ... · Teodoro, João Vitor Avaliações multivariada, geoestatística e de medidas repetidas de um experimento sob delineamento

Universidade de São Paulo

Escola Superior de Agricultura �Luiz de Queiroz�

Avaliações multivariada, geoestatística e de medidas repetidas de

um experimento sob delineamento sistemático tipo �leque�

João Vitor Teodoro

Tese apresentada para obtenção do título de Doutorem Ciências. Área de concentração: Estatística eExperimentação Agronômica

Piracicaba

2016

João Vitor Teodoro

Licenciado em Matemática

Avaliações multivariada, geoestatística e de medidas repetidas de um

experimento sob delineamento sistemático tipo �leque�

versão revisada de acordo com a resolução CoPGr 6018 de 2011

Orientadora:Profa Dra SÔNIA MARIA DE STEFANO PIEDADE

Tese apresentada para obtenção do título de Doutorem Ciências. Área de concentração: Estatística eExperimentação Agronômica

Piracicaba2016

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

DIVISÃO DE BIBLIOTECA - DIBD/ESALQ/USP

Teodoro, João Vitor Avaliações multivariada, geoestatística e de medidas repetidas de um experimento

sob delineamento sistemático tipo "leque" / João Vitor Teodoro. - - versão revisada de acordo com a resolução CoPGr 6018 de 2011. - - Piracicaba, 2016.

109 p. : il.

Tese (Doutorado) - - Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”.

1. Delineamento sistemático tipo "leque" 2. Floresta 3. Geoestatística 4. Medidas repetidas 5. Multivariada I. Título

CDD 634.97332 T314a

“Permitida a cópia total ou parcial deste documento, desde que citada a fonte – O autor”

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Dedicatória

Dedico este trabalho:

Aos meus pais, João e Sônia e ao meu irmão Jonatas, que sempre me apoiaram

independente das di�culdades e, compreenderam os motivos de minha ausência.

À minha esposa Jaqueline, por todo companheirismo e motivação.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço...

A Deus, por ter me concedido o privilégio da vida e o dom da aprendizagem.

À Profa. Sônia Maria De Stefano Piedade, que me orientou no desenvolvi-

mento deste trabalho e sempre foi uma amiga, me ajudando nos momentos em que mais

precisei.

Ao Prof. Omar Daniel (in memoriam) da FCA/UFGD que forneceu os

dados referentes a este trabalho e me instigou a me aprofundar nos estudos relativos à

problemática. E ao Prof. Rogério de Oliveira que intermediou meu contato com o Prof.

Omar.

Aos meus pais João Maria Teodoro e Sônia Maria Alves Teodoro, por terem

me educado de forma singular e priorizando meu crescimento pessoal. Foram eles meus

primeiros professores e aqueles que sempre acreditaram em meu potencial.

Ao meu irmão Jonatas Henrique Teodoro, pela amizade, con�ança e carinho.

À minha esposa Jaqueline Meneghini Fernandes Teodoro, pelo apoio, inspi-

rações concedidas, por sonhar e realizar os sonhos comigo.

À médica oftalmologista Rosana Teresa Alves Lóis Martin, por desa�ar a

ciência salvando minha visão.

Aos professores e demais pro�ssionais da Escola Estadual Manoel dos Santos,

que me propiciaram uma formação básica sólida e fundamental aos estudos posteriores.

Em especial aos professores Ijosiel Mendes, Fabiano Gonçalves Nicolau, Antonio Lungatto

e Isabel Cristina Bertolo.

Aos professores e demais pro�ssionais do Departamento de Matemática da

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista �Júlio de

Mesquita Filho�, que me propiciaram um curso de graduação completo e com qualidade.

Ao meu orientador de iniciação cientí�ca Prof. José Marcos Lopes, que me

inseriu no campo cientí�co, me despertou o interesse de ensinar e de seguir carreira na

área de estatística.

Aos amigos com os quais convivi durante o período da graduação em Ilha

Solteira. Sempre serão lembrados por toda amizade e companheirismo. Em especial Luiz

Fernando de Souza Freitas e Douglas Silva Maioli.

À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior,

pela bolsa concedida.

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Aos professores que me ministraram aulas durante o curso de mestrado e

doutorado em Estatística e Experimentação Agronômica, me apresentando as ferramen-

tas e possibilidades de alto nível, com as quais pude me inteirar e trabalhar em minhas

pesquisas: Paulo Justiniano Ribeiro Junior, Roseli Aparecida Leandro, Clarice Garcia Bor-

ges Demétrio, Sílvio Sandoval Zocchi, César Gonçalves de Lima, Sônia Maria De Stefano

Piedade, Carlos Tadeu dos Santos Dias, Edwin Moisés Marcos Ortega, Gerson Barreto

Mourão, João Luís Ferreira Batista e Joanir Pereira Eler.

Às professoras Rachel Santos Bueno Carvalho e Mirian Rumenos Piedade

Bacchi pela aprendizagem durante o período de estágio no Programa de Aperfeiçoamento

de Ensino (PAE).

Aos amigos e companheiros de turma de mestrado e doutorado: Adriele,

Ana Júlia, Anderson, Daniel, Gabriel, Iábita, Ítalo, Jaqueline, José Nilton, Kuang, Luiz

Ricardo, Maria Joseane, Marisol, Naimara, Natalie Verônica, Patrícia e Sérgio, por tudo

de bom que compartilhamos.

Aos alunos do curso de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação

Agronômica da ESALQ/USP, com os quais compartilhei essa fase da minha vida.

Aos amigos com quem pude conviver durante o mestrado e doutorado em

Piracicaba, por todo companheirismo e amizade.

Aos amigos com quem pude compartilhar bons momentos e experiências sa-

tisfatórias durante a condução de experimentos e coletas de dados: Aline Zampar, Fabiane

de Lima Silva, Gilson Silvério da Rocha, Gregori Alberto Rovadoscki, Johanna Ramirez

Diaz, Juliana Petrini, Laiza Helena de Souza Iung, Mary Ana Petersen Rodriguez, Mayara

Salvian, Simone Fernanda Nedel Pértile e Tiago Almeida de Oliveira.

Aos professores e funcionários do LCE/ESALQ/USP, em especial as secre-

tárias Solange de Assis Paes Sabadin, Luciane Brajão e Mayara Segatto pelo apoio no

transcorrer do curso.

Aos professores Carlos Tadeu dos Santos Dias (LCE/ESALQ/USP), Renata

Alcarde Sermarini (LCE/ESALQ/USP) e Lúcio Borges de Araújo (UFU), pelas dicas e

críticas referentes ao meu trabalho apresentado no exame de quali�cação.

Aos funcionários da Universidade Metodista de Piracicaba. Em especial ao

Prof. Antonio Nelson Corrêia Filho que me propiciou a primeira experiência na docência

de ensino superior.

A todos os professores, funcionários e alunos da Universidade Federal da

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Grande Dourados, com os quais venho convivendo diariamente nos últimos anos. Em es-

pecial aos professores Ana Maria Villela Grecco, Irene Magalhães Craveiro, Lino Sanabria,

Luiz Gonzaga Manzine, Rogério de Oliveira, Sandra Regina de Oliveira de Souza e Selma

Helena Marchiori Hashimoto.

Aos professores Sônia Maria De Stefano Piedade (LCE/ESALQ/USP),

Renata Alcarde Sermarini (LCE/ESALQ/USP), César Gonçalves de Lima

(FZEA/ESALQ/USP), Antonio Carlos Simões Pião (UNESP/Rio Claro) e José Sil-

vio Govone (UNESP/Rio Claro) pela participação em minha banca de defesa de tese e

pelas signi�cativas contribuições. E à Simone Grego, Valiana Alves Teodoro e Viviane

Panariello Paulenas pela presença em minha defesa.

A todos que contribuíram de alguma forma para a realização deste trabalho

e também àqueles que colocaram as pedras em meu caminho.

Muito obrigado!

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SUMÁRIO

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 HIPÓTESES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1 Modelos multivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Análise de componentes principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 Análise de agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.3 Análise discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Modelos geoestatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Medidas repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Plantios �orestais: a Canafístula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 MATERIAL E MÉTODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1 Análise multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Análise geoestatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Análise de medidas repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4 Análises conjuntas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Pesquisas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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RESUMO

Avaliações multivariada, geoestatística e de medidas repetidas de umexperimento sob delineamento sistemático tipo �leque�

Os experimentos �orestais que estudam os efeitos de espaçamento devemadotar delineamentos distintos daqueles utilizados convencionalmente, por conta dagrande demanda de área experimental dos delineamentos convencionais, o delineamentosistemático tipo �leque� é a forma mais viável de se executar este tipo de ensaio. Nestedelineamento, as árvores são dispostas em diversos círculos concêntricos, de modo que,vários espaçamentos são gerados, porém, sem que haja possibilidade para a casualização.Para este tipo de experimento, convencionalmente são realizadas análises geoestatísticasque modelam o comportamento espacial de dependência entre os elementos, utilizandoalém da variável observada, as coordenadas das observações. Assim, é modelada umafunção denominada semivariograma que explica esta dependência espacial, possibilitandoa criação de um mapa de tendências denominado krigagem. Neste trabalho, são tratadasas variáveis de altura, diâmetro do fuste, diâmetro da copa, área da copa e volumecilíndrico de árvores de Canafístula, aos seis meses para altura e aos 13, 25 e 37 mesespara todas as variáveis, após o plantio de mudas de Canafístula (Peltophorum dubium)em um experimento conduzido em Mato Grosso do Sul. Além da análise geoestatística,também é realizada a análise multivariada objetivando relacionar as variáveis por meiode medidas de correlação, efetuar a análise de componentes principais, de agrupamentose discriminante. Além disso, é realizada a análise de medidas repetidas, objetivandoavaliar o comportamento dessas variáveis ao longo dos períodos. Por �m, algumas formascombinadas de avaliar e interpretar os resultados são apresentadas, de modo a relacionaras análises já realizadas, calculando novos componentes principais para as variáveis, porperíodo, efetuando a análise geoestatística dos componentes principais e avaliando ocomportamento desses componentes ao longo do tempo.

Palavras-chave: Delineamento sistemático tipo �leque�; Floresta; Geoestatística; Medidasrepetidas; Multivariada

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ABSTRACT

Multivariate, geostatistical and repeated measures analyses of anexperiment under a systematic fan design

Forest experiments which study the spacing e�ects should adopt di�erentdelineations from those conventionally used, due to the great demand for experimentalarea of conventional delineations, the systematic fan design is the most viable way to per-form this type of test. In this design, the trees are arranged in several concentric circles, sothat various spacings are generated, however, with no possibility for randomization. Forthis type of experiment, statistical analyses modeling the spatial behavior of dependencebetween the elements are conventionally performed using, in addition to the variable ob-served, the coordinates of the observations. Thus, a function called semivariogram thatexplains the spatial dependence is modeled, enabling the creation of a map of trends calledkriging. In this paper, the variables of height, bole diameter, treetop diameter, area andits cylindrical volume of trees Cana�stula, are treated at six months for height and at13, 25 and 37 months for all variables after planting canafístula seedlings (Peltophorumdubium) in an experiment carried out in Mato Grosso do Sul. In addition to the geosta-tistical analysis, a multivariate analysis is also performed, aiming to relate the variablesby correlation measures and performing the analysis of the main, grouping and discrimi-nating components. Furthermore, the repeated measures analysis is performed aiming toevaluate the behavior of these variables over the periods. Finally, some combined waysto assess and interpret the results are presented in order to relate the previous analyses,calculating new key components for the variables, by period, performing the geostatisticalanalysis of the main components and evaluating the behavior of these components overtime.

Keywords: Systematic fan design; Forest; Geostatistics; Repeated measures; Multivariateanalysis

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Semivariograma com efeito pepita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 2 - Semivariograma experimental e alguns modelos de semivariância: a) es-

férico, b) exponencial, c) gaussiano e d) linear. Fonte: Miranda-Salas e

Condal (2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 3 - Exemplar de Canafístula. Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE FLO-

RESTAS (2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 4 - Locais de ocorrência natural de Canafístula no Brasil. Fonte: Carvalho

(2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 5 - Delineamento sistemático tipo �leque� proposto por Nelder . . . . . . . . 62

Figura 6 - Área da planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 7 - Estimativas para área da planta (diâmetro do círculo) em cada posição . 64

Figura 8 - Grá�co CP1 × CP2 (esquerda), CP1 × CP3 (meio) e CP2 × CP3 (di-

reita), para todas as observações, em que pontos em vermelho correspon-

dem à área por árvore de 7,55m2 a 19,37m2 e pontos em azul correspon-

dem à área por árvore de 21,79m2 a 55,92m2. . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 9 - Dendrograma das variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 10 -Dendrograma para os círculos observados, do mais interno C01 ao mais

externo C18, para 13 meses (esquerdo) e 25 meses (direito) após o plantio 74

Figura 11 -Dendrograma para os círculos observados, do mais interno C01 ao mais

externo C18, para 37 meses (esquerdo) após o plantio e para todos os

períodos (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 12 -Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para A6 77




Figura 16 -Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para DF13 79



Figura 19 -Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para DC13 80



Figura 22 -Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para AC13 81

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Figura 25 -Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para VC13 82



Figura 28 -Krigagem da variável A, para 6, 13, 25 e 37 meses respectivamente . . . 83

Figura 29 -Krigagem da variável DF, para 13, 25 e 37 meses respectivamente . . . . 83

Figura 30 -Krigagem da variável DC, para 13, 25 e 37 meses respectivamente . . . . 84

Figura 31 -Krigagem da variável AC, para 13, 25 e 37 meses respectivamente . . . . 84

Figura 32 -Krigagem da variável VC, para 13, 25 e 37 meses respectivamente . . . . 85

Figura 33 -Per�s médios de resposta das alturas (A) nos círculos ao longo do tempo 86

Figura 34 -Per�s médios de resposta dos diâmetros do fuste (DF) nos círculos ao

longo do tempo (esquerda) e tendência das áreas da copa (AC) nos cír-

culos ao longo do tempo (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 35 -Per�s médios de resposta dos diâmetros da copa (DC) nos círculos ao

longo do tempo (esquerda) e tendência dos volumes cilíndricos (VC) nos

círculos ao longo do tempo (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 36 -Semivariograma (esquerda) e krigagem (direita) do componente principal

1 do grupo de todas as variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94






1 do grupo de variáveis de 13 meses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95









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Figura 45 -Per�s médios de resposta dos escores de CP1M nos círculos ao longo do

tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Análise de variância nos índices Z com N indivíduos . . . . . . . . . . . 39

Tabela 2 - Densidade equivalente de árvores a cada círculo . . . . . . . . . . . . . . 65

Tabela 3 - Estatísticas descritivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Tabela 4 - Coe�cientes de correlação de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Tabela 5 - Componentes principais e autovalores, proporção e proporção acumulada

correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Tabela 6 - Autovetores (coe�cientes de correlação de Pearson entre os componentes

principais e as variáveis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Tabela 7 - Parâmetros dos semivariogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Tabela 8 - Teste de esfericidade de Mauchly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tabela 9 - Correlações estimadas para alturas (A) entre os quatro períodos avaliados 87

Tabela 10 -Correlações estimadas para diâmetros de fuste (DF) entre os três períodos

avaliados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tabela 11 -Correlações estimadas para diâmetros de copa (DC) entre os três períodos

avaliados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Tabela 12 -Correlações estimadas para área de copa (AC) entre os três períodos

avaliados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Tabela 13 -Correlações estimadas para volume cilíndrico (VC) entre os três períodos

avaliados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Tabela 14 -Análise multivariada da altura (A) por árvore, no delineamento inteira-

mente casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio 88

Tabela 15 -Análise multivariada da altura (A) por árvore, no delineamento inteira-

mente casualizado, testando o efeito nulo de interação período após o

plantio × círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Tabela 16 -Análise multivariada de diâmetro do fuste (DF) por árvore, no delinea-

mento inteiramente casualizado, testando o efeito nulo de fator período

após o plantio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Tabela 17 -Análise multivariada de diâmetro do fuste (DF) por árvore, no delinea-

mento inteiramente casualizado, testando o efeito nulo de interação pe-

ríodo após o plantio × círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20

Tabela 18 -Análise multivariada de diâmetro da copa (DC) por árvore, no delinea-


após o plantio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Tabela 19 -Análise multivariada de diâmetro da copa (DC) por árvore, no delinea-



Tabela 20 -Análise multivariada de área da copa (AC) por árvore, no delineamento

inteiramente casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o

plantio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Tabela 21 -Análise multivariada de área da copa (AC) por árvore, no delineamento

inteiramente casualizado, testando o efeito nulo de interação período após

o plantio × círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Tabela 22 -Análise multivariada de volume cilíndrico (VC) por árvore, no delinea-


após o plantio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Tabela 23 -Análise multivariada de volume cilíndrico (VC) por árvore, no delinea-



Tabela 24 -Componentes principais e autovalores, proporção e proporção acumulada

correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Tabela 25 -Autovetores considerando grupos de variáveis por período . . . . . . . . 92

Tabela 26 -Coe�cientes de correlação de Pearson entre os componentes principais e

as variáveis, considerando grupos de variáveis por período . . . . . . . . 92

Tabela 27 -Parâmetros dos semivariogramas dos escores dos componentes principais,

considerando grupos de variáveis por período e geral . . . . . . . . . . . 93

Tabela 28 -Correlações estimadas para CP1 entre os quatro períodos avaliados . . . 98

Tabela 29 -Teste de esfericidade de Mauchly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Tabela 30 -Análise multivariada de CP1M por árvore, no delineamento inteiramente

casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio . . . . 98

Tabela 31 -Análise multivariada de CP1M por árvore, no delineamento inteiramente

casualizado, testando o efeito nulo de interação período após o plantio ×

círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

21

1 INTRODUÇÃO

Os sistemas de produção, independente da área, necessitam ser cada vez

mais sustentáveis. Há alguns anos, a exploração dos recursos naturais era realizado sem

qualquer preocupação com os impactos causados, como se o objeto de exploração �zesse

parte de uma fonte inesgotável. Atualmente, após sofrermos efeitos de tais impactos,

e impulsionados por campanhas de conscientização e políticas de incentivos, buscamos

práticas renováveis que tragam maiores benefícios como qualidade, quantidade e lucro,

sob aspectos como baixo custo e tempo reduzido.

A utilização de madeira proveniente de �orestas naturais já consumiu boa

parte da Mata Atlântica e Floresta Amazônica, além de provocar a transformação das

�orestas em pastagens. A implantação de �orestas plantadas vem ocorrendo desde o inicio

do século XX, com a produção de Eucalipto, que gerava parte da matéria prima para a

construção ferroviária. Desde então, diversas espécies vêm formando �orestas plantadas e

gerando diversos produtos além da madeira.

Ao possuir a segunda maior cobertura �orestal em nível mundial, grande po-

tencial e complexo sistema produtivo de �orestas plantadas, principalmente considerando-

se Pinus e Eucaliptos, o Brasil se destaca como forte produtor neste setor. Porém, apesar

das várias restrições impostas pela legislação, que até mesmo limitam a produção �orestal

legal, ainda há muitas ocorrências de desmatamento ilegal de �orestas nativas (SISTEMA

NACIONAL DE INFORMAÇÃO FLORESTAL - SNIF, 2015).

Conforme a Indústria Brasileira de Árvores (2015), atualmente o Brasil tem

3% de participação nos US$ 250 bilhões anuais gerados pela venda de produtos proveni-

entes da madeira produzida em �orestas plantadas no mundo, porém, há uma previsão

de que dobre a área plantada, que em 2015 era de 7 milhões de hectares, até o ano de

2020. Isto se dará pelas condições climáticas associadas aos investimentos empregados em

tecnologia e em pesquisas.

Este trabalho aborda especi�camente a espécie Canafístula (Peltophorum

dubium), que produz madeira de alto valor econômico, utilizada amplamente na construção

civil e na produção de papel, dentre outros produtos. De forma que, conforme Matos

(2014), foi conduzido um experimento na cidade de Dourados no estado de Mato Grosso

do Sul contendo 528 árvores dispostas em delineamento sistemático tipo �leque� proposto

por Nelder (1962), cujas mudas são plantadas ordenadamente de forma circular sob vários

22

raios pré-determinados, objetivando avaliar as características de altura, diâmetro do fuste,

diâmetro da copa, área da copa e volume cilíndrico aos 13, 25 e 37 meses. A altura foi

observada também aos 6 meses.

A disposição experimental em delineamento sistemático tipo �leque� possi-

bilita, por meio da disponibilidade de uma área relativamente pequena e com quantidade

não exagerada de observações, avaliar uma grande quantidade de espaçamentos entre as

árvores. A determinação do espaçamento é um dos fatores mais importantes na produ-

ção �orestal, pois, se houver um espaçamento exagerado, ocorrerá desperdício de área de

produção e, para espaçamentos reduzidos, as árvores podem se desenvolver com caracte-

rísticas de interesse econômico prejudicadas; assim, se faz necessário identi�car, para cada

atributo, o espaçamento ótimo entre árvores. Por conta da grande demanda de terreno

e de mudas, alguns delineamentos �orestais diferentes do esquema de Nelder são muitas

vezes inviáveis, relevando ainda mais a importância deste esquema.

Em grande parte das áreas de conhecimento, os dados provenientes de pes-

quisas, são avaliados normalmente, considerando-se apenas uma variável ou as variáveis

de forma independente. Tanto a localização das unidades amostrais, quanto a natureza

das variáveis e as mensurações feitas nas mesmas unidades amostrais, podem favorecer

uma relação de dependência, de tal forma que análises das variáveis de forma individual e

sem considerar esses aspectos, podem deixar de apresentar determinadas tendências que

convêm ao interesse do pesquisador.

Deste modo, a utilização de modelos que consideram técnicas geoestatísticas,

multivariadas e com medidas repetidas é de fundamental importância. Tratando-se de

dados resultantes de experimentos que utilizam a disposição experimental de Nelder, é

comum ocorrer a análise geoestatística, que possibilita avaliar qual modelo melhor explica

o relacionamento espacial entre as observações (semivariograma), se há realmente uma

dependência espacial, qual o alcance da dependência espacial e quais as estimativas para

as regiões não amostradas por meio de um mapa denominado krigagem.

Em se tratando de um grande conjunto de variáveis, é importante consi-

derar que pode haver um relacionamento entre elas, expresso pelas correlações. Desta

forma, avaliar cada uma delas individualmente pode trazer muitos resultados de forma

redundante. Utilizar técnicas multivariadas para avaliar o conjunto de dados em questão

possibilita obter resultados sucintos, ao abordar os componentes principais, identi�car a

área em que a árvore se desenvolveu, informando-se as variáveis, e avaliar a similaridade

23

entre as árvores amostradas.

Como os atributos abordados foram tomados em vários períodos, é impor-

tante avaliar o comportamento ao longo do tempo, identi�cando como cada área por árvore

in�uencia as variáveis temporalmente. Assim, a análise com medidas repetidas pode trazer

resultados que identi�quem períodos ideais de plantio.

Além das análises convencionais já citadas, outras foram propostas de modo

a combiná-las, possibilitando obter interpretações sob enfoques alternativos que puderam

trazer resultados importantes ainda não identi�cados.

24

25

2 HIPÓTESES

O comportamento espacial de cada variável é identi�cado em função da

mudança do espaçamento.

A relação de correlação entre as variáveis é determinada, favorecendo a re-

dução do número de variáveis e o estudo de agrupamento dos raios e das variáveis, além

da estimação do espaçamento para uma observação por meio dos valores das variáveis.

Mesmo sem a condição de aleatorização satisfeita, é possível identi�car o

comportamento de cada círculo ao longo do tempo.

É possível estabelecer estratégias alternativas para avaliação dos dados, com-

binando as avaliações espaciais, multivariada e com medidas repetidas.

26

27

3 OBJETIVOS

Realizar a análise geoestatística individualmente para cada variável, veri�-

cando a existência de dependência espacial e identi�cando o modelo de semivariograma,

possibilitando obter o alcance espacial desta dependência e gerar a krigagem.

Avaliar o conjunto de dados de forma multivariada, obtendo os coe�cientes

de correlação entre as variáveis, efetuando a análise de componentes principais, a análise de

agrupamentos para as variáveis e para os espaçamentos, e realizar a análise discriminante

objetivando classi�car cada observação nos grupos de espaçamento.

Efetuar a análise de medidas repetidas, veri�cando a tendência dos atributos

ao longo do tempo, para cada círculo.

Desenvolver estratégias que facilitem a interpretação conjunta dos resultados

obtidos nas avaliações geoestatística, multivariada e com medidas repetidas.

28

29

4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

4.1 Modelos multivariados

Em pesquisas nas áreas da estatística, é necessário levar em consideração um

grande número de fatores. Estabelecer relações entre variáveis pode não ser uma tarefa

trivial e não depende apenas da análise intuitiva do cientista. A área da estatística que

trata das variáveis de forma conjunta é a estatística multivariada.

Antes da prática computacional estar inclusa na ciência e deter certa ca-

pacidade de processamento, era praticamente impossível trabalhar estatisticamente com

variáveis de forma conjunta. Já com o advento desta capacidade se tornou possível avaliar

os fenômenos em sua totalidade, estudando como e quanto as variáveis se relacionam. A

Análise Multivariada é um grande conjunto de métodos e técnicas que avaliam, simulta-

neamente, várias variáveis na interpretação teórica em um conjunto de dados (MOITA

NETO, 2014).

Existem vários métodos de análise multivariada com �nalidades variadas,

assim, a decisão sobre qual método utilizar depende dos objetivos do estudo e resultados

que se deseja gerar. A maior di�culdade, geralmente, não está no processo de análise dos

dados, mas sim, na obtenção de uma boa interpretação para os resultados obtidos.

Uma observação multivariada é uma coleção de medidas em p variáveis to-

madas na mesma unidade amostral. Desta forma, n observações podem ser dispostas em

uma matriz da forma:

X =

x11 x12 . . . x1p

x21 x22 . . . x2p...

.... . .

...

xn1 xn2 . . . xnp

(1)

em que, cada linha de X representa uma observação multivariada. Assim, os dados re-

presentam uma amostra de tamanho n de uma população p variada. Além disso, há um

vetor de médias x de dimensão p e uma matriz de covariâncias S de dimensão p × p que

pode ser associada a X.

Com a �nalidade de se fazer inferências, é necessário considerar pressuposi-

ções a respeito das variáveis cujos valores observados constituem um conjunto de dados X.

30

Os elementos (j, k), j = 1, . . . , n e k = 1, . . . , p da matriz de dados, representam realizações

de uma variável aleatória Xjk e cada conjunto de medidas Xj˜ em p variáveis é um vetor

aleatório (FERREIRA, 1996).

Algumas conclusões podem ser obtidas da distribuição de X˜ e S sem pres-

suposições sobre a distribuição conjunta das variáveis. Considerando X1˜ , X2˜ , . . . , Xn˜ uma

amostra aleatória de uma distribuição conjunta com vetor média µ˜ e matriz de covariância

Σ, então E(X̄˜ ) = µ˜ e Cov(X̄˜ ) = 1nΣ.

Já as análises estatísticas de modelos com erros aditivos baseiam-se na pres-

suposição de normalidade. A distribuição normal requerida refere-se, não à variação dos

dados, mas à variação residual. Para se veri�car a normalidade para distribuições p-

variadas, tem-se que (x− µ)tΣ−1(x− µ) ≤ χ2p(1− α).

Conforme Anderson (1984), a função de densidade de probabilidade normal

multivariada é dada por:

f(X˜ ) =1

(2π)p2 |Σ| 12

exp

[−1

2(X˜ − µ˜)tΣ−1(X˜ − µ˜)

](2)

em que, µ˜ é o vetor esperado do vetor X˜ e Σ é sua matriz de covariâncias.

Conforme Kendall (1975), a estatística multivariada fornece ferramentas

para avaliar e interpretar os dados de várias formas, dos quais, a simpli�cação de uma

estrutura de dados, por meio da transformação, geralmente linear, do conjunto de dados

original em um menor conjunto de dados independentes, o agrupamento de observações

ou variáveis por similaridade e a formulação de hipóteses. Avaliação de interdependência,

incluindo a colinearidade, quando há combinação linear entre variáveis.

Avaliar e interpretar dados univariados é comum e, geralmente, não produz

grandes di�culdades, porém, ao se tratar de múltiplas variáveis correlacionadas, dada a

exigência de trabalhar em espaços multidimensionais, principalmente naqueles superiores

a três dimensões, a di�culdade pode ir além da capacidade humana e exigir alternativas

secundárias. Porém, a análise multivariada oferece soluções que possibilitam avaliar estes

tipos de estruturas de dados de modo mais simpli�cado.

Mas, para casos em que é conhecido o não relacionamento entre as variáveis,

ou seja, independência, por meio da não correlação, é evitável utilizar-se das técnicas mul-

tivariadas. Neste caso, o estudo individual das variáveis, por meio de técnicas univariadas

é a melhor alternativa, pois, de forma mais simpli�cada, obteremos resultados consisten-

31

tes. Porém, se há evidência da relação de dependência, entre algumas das variáveis, é

conveniente o uso das técnicas multivariadas.

4.1.1 Análise de componentes principais

Diante de um grande número de variáveis correlacionadas, é importante que

haja uma redução deste número de variáveis para facilitar na avaliação e interpretação dos

dados. Assim, a análise de componentes principais permite obter um pequeno número de

combinações lineares de um grupo de variáveis, conservando ao máximo, a variabilidade

original dos dados.

Esta técnica não exige o conhecimento sobre a distribuição de probabilidades

da população, assim, não sendo necessária a determinação do modelo estatístico que explica

o comportamento residual. Deve-se testar, para os dados, se há distribuição multinormal,

deste modo, se pode obter signi�cância dos componentes por meio de uma con�abilidade.

Pearson (1901) apresenta pela primeira vez a noção de componentes prin-

cipais, por meio do ajuste de um sistema de pontos multivaridos a uma linha ou plano.

Posteriormente Hotelling (1933) amplia o trabalho de Pearson, sistematizando e de�nindo

o conceito de componente principal, da forma como a utilizamos. Identi�cando e enfo-

cando aqueles componentes com maior variabilidade do sistema, ou seja, que continham

grande porção da variabilidade dos dados.

Ainda segundo Hotelling (1933), a análise de componentes principais, pos-

sibilita identi�car a relação entre elementos da população ou se nesta relação existam

variáveis ou propriedades que a in�uencie.

Assim como outras avaliações, a análise de componentes principais é sensível

às diferenças de magnitude das variáveis, relativamente às unidades de medida. Deste

modo, não é conveniente trabalhar com variáveis que in�uenciarão mais do que outras,

simplesmente pela magnitude e unidade de medida. Assim, uma alternativa coerente que

torna a in�uência das diferentes variáveis mais justa é a padronização, que fornece uma

nova variável com média zero e variância igual a um. Isto é conseguido por meio da

divisão da diferença entre os valores dos dados e a média aritmética pelo desvio padrão

dos mesmos. Assim, a matriz de covariâncias consistirá das correlações. Caso as variáveis

estejam na mesma unidade de medida, é utilizada a matriz de covariância ou de dispersão,

para o cálculo dos componentes principais.

Os componentes principais, sobretudo os dois primeiros, que podem conter a

32

grande parte da variabilidade dos dados, podem determinar os eixos de uma representação

multidimensional e identi�car as coordenadas de cada elemento do conjunto de dados, em

relação a esses componentes dos eixos, reduzindo as dimensões e facilitando a interpretação,

tornando possível classi�car elementos similares em grupos.

Na análise de componentes principais, o número de variáveis originais corre-

lacionadas é reduzido para um conjunto de novas variáveis não correlacionadas, ou seja, os

componentes principais, que são funções lineares das variáveis, por meio da transformação

do espaço dimensional, de modo que a projeção seja ortogonal, tornando-o independente

dos demais.

Conforme a�rma Ribeiro (2001), a análise de componentes principais tam-

bém é útil para identi�car dados anormais do conjunto de dados. Ao observar os primeiros

componentes principais é possível identi�car valores que contribuem fortemente para o

aumento da variância e covariância. Já por meio dos últimos componentes é possível iden-

ti�car valores observados que apresentem dimensões incomuns para o estudo em questão.

A utilização de diagramas de dispersão entre os componentes dois a dois podem auxiliar

nesta identi�cação.

Manly (2004) descreve a análise de componentes principais tomando ini-

cialmente um conjunto com p variáveis em n indivíduos. Assim, o primeiro com-

ponente principal (Z1) é calculado pela combinação linear das p variáveis conforme

Z1 = a11X1 + a12X2 + ... + a1pXp, que varia tanto quanto possível para os indivíduos,

sujeito à a211 + a212 + ...+ a21p = 1.

Desta forma, a variância de Z1 deve ser maximizada, dadas restrições de a1j,

pois caso contrário, esta variância cresce ao aumentar algum a1j.

O segundo componente principal (Z2) é calculado pela combinação linear

das p variáveis conforme Z2 = a21X1 +a22X2 + ...+a2pXp, que varia tanto quanto possível

para os indivíduos, sujeito à a221 + a222 + ...+ a22p = 1.

Desta forma, a variância de Z2 deve ser maximizada, dadas restrições de a2j,

pois caso contrário, esta variância cresce ao aumentar algum a2j.

Do mesmo modo, são determinados os demais componentes principais, até

totalizar uma quantidade máxima de p. O método consiste no cálculo de uma matriz de

covariância e seus autovalores. Seja C a matriz de covariâncias em (3).

33

C =

c11 c12 . . . c1p

c21 c22 . . . c2p...

.... . .

...

cp1 cp2 . . . cpp

(3)

em que,

cii é variância da variável Xi;

cij, i 6= j é a covariância entre as variáveis Xi e Xj.

Os p autovalores de C são as variâncias dos componentes principais, dos

quais alguns podem ser nulos, porém não podem ser negativos. Consideremos os au-

tovalores ordenados segundo λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λp ≥ 0, em que, λi = V ar(Xi), para

Zi = ai1X1 +ai2X2 + ...+aipXp, e ai1, ai2, ..., aip são os elementos do autovetor escalonado,

de forma que a2i1 + a2i2 + ...+ a2ip = 1 seja válido.

Uma importante propriedade dos autovalores é que sua soma corresponde

ao traço de C, conforme λ1 +λ2 + ...+λp = c11 + c22 + ...+ cpp. Portanto, os componentes

principais contêm toda a variabilidade proveniente do conjunto de dados.

Conforme já sugerido anteriormente, as variáveis devem ser padronizadas,

para casos em que haja unidades de medida distintas, assim,C é uma matriz de correlações,

de modo que c11 = c22 = ... = cpp = 1.

A contribuição de cada componente principal é dada pela quociente entre a

variância do componente e a variância total, conforme (4), e é dado em porcentagem. Esta

medida representa a importância do componente ou a variância do mesmo em relação à

total. O somatório dos autovalores correspondentes aos k primeiros componentes principais

corresponde à variabilidade acumulada e que é representada em k dimensões. Regazzi

(2000) a�rma que, para escolha do número de componentes considerados, uma alternativa

válida é considerá-los até que 70% ou mais da variabilidade acumulada seja explicada.

Conti =λi × 100%∑p

i=1 λi(4)

Um dos fatores mais importantes na elaboração de uma análise de com-

ponentes principais é a interpretação dada a cada componente. Como os componentes

principais são novas variáveis, também devem ser nomeadas, conforme a interpretação

concedida pelo pesquisador da área de estudo ao observar o nível de in�uência que cada

34

variável tem sobre o componente interpretado, por meio de medidas de correlação (5).

Desta forma, avaliando a correlação entre cada variável original e o componente principal,

é possível nomeá-lo de acordo com as in�uências de cada uma, tornando a avaliação mais

consistente, melhorando a interpretação.

Corr(Zi, Xj) = aij ×√λi√

V ar(Xj)(5)

4.1.2 Análise de agrupamento

Outra análise multivariada amplamente utilizada é a Análise de Agrupa-

mento Hierárquico. Esta análise é dada pelo tratamento matemático de cada amostra

no espaço multidimensional descrito pelas variáveis escolhidas. Podemos assim, conside-

rar uma variável como um ponto no espaço por meio da descrição amostral, existindo a

possibilidade de agrupar variáveis ou amostras. Ao considerar os valores amostrais em

coordenadas do espaço de variáveis, podem-se determinar as distâncias entre eles, gerando

uma matriz de distâncias (MOITA NETO; MOITA, 1998).

Em um conjunto de dados com n observações em p variáveis, X1, X2, ..., Xp,

os valores para o i-ésimo objeto podem ser denotados por xi1, xi2, ..., xip. A forma de cal-

cular distâncias mais simples é a distância euclidiana, que utiliza o teorema de Pitágoras

considerando como hipotenusa a distância entre dois pontos. Deste modo, por exemplo, em

um espaço bivariado, a distância euclidiana entre dois pontos i-ésimo e j-ésimo é calculada

conforme (6), já para uma quantidade p de variáveis, ou seja, em um espaço p-variado,

a distância entre os pontos i e j é dada por (7). Salientando que para p > 3 não é pos-

sível ilustrar gra�camente para visualização, os eixos e valores amostrais correspondentes

(MANLY, 2004).

dij =√

(xi1 − xj1)2 + (xi2 − xj2)2 (6)

dij =

√√√√ p∑k=1

(xik − xjk)2 (7)

Assim como já a�rmado durante a discussão sobre o método de componentes

principais, no cálculo das distâncias também existe grande in�uência das magnitudes e

unidades de medida, pois, algumas variáveis podem in�uenciar signi�cativamente mais do

35

que outras. Assim, neste caso, também é conveniente a padronização de todas as variáveis,

a menos que já estejam na mesma unidade de medida.

Além da distância euclidiana, inúmeras outras são úteis e utilizadas ampla-

mente para a distância entre populações multivariadas. Manly (2004) aborda a distância

de Penrose e a distância de Mahalanobis. Seja µki a média da variável Xk na população i

e Vk a variância de Xk para todas as populações, assim, conforme sugere Penrose (1952),

a expressão (8) fornece uma distância entre as populações i e j. Porém, não é considerado

o relacionamento entre as variáveis por meio da matriz de correlações, tornando algumas

distâncias redundantes quando envolvem variáveis com altas correlações, medindo várias

vezes a mesma variação.

Pij =

∑pk=1(µki − µkj)

2

pVk(8)

Para reparar tal redundância, Manly (2004) sugere a utilização da medi-

dade de distância de Mahalanobis (MAHALANOBIS, 1948), dada pela expressão (9), que

considera, para o cálculo, as correlações entre variáveis, lembrando que esta medida só é

superior à distância de Penrose, quando as covariâncias são estimadas com alta precisão.

Além disso, também permite calcular a distância de cada observação ao centro da sua po-

pulação de origem por meio da expressão (10). Uma interpretação para D2 é relacioná-lo

a um resíduo de x, em relação à distância aos centros das distribuições dos valores, além

disso, se a população é normalmente distribuída de forma multivariada, então D2 tem

distribuição qui-quadrada com p graus de liberdade.

D2ij = (µi − µj)

′V −1(µi − µj) (9)

em que,

µi é o vetor de médias populacional para a i-ésima população;

V é a matriz de covariância populacional, supondo que esta seja a mesma para todas as

populações.

D2ij = (x− µ)′V −1(x− µ) (10)

em que,

x = (x1, x2, . . . , xp);

36

µ é o vetor de médias populacional;

V é a matriz de covariância populacional.

Após determinar qual a melhor metodologia para o cálculo das distâncias

do conjunto de dados multivariado em questão, é desejável que se construa uma matriz

de distâncias, ou de dissimilaridade, entre as amostras. Além desta matriz é conveniente

utilizar uma representação por meio de um diagrama, como o diagrama de similaridade

dendrograma, de modo que o su�xo �dendro� incorpora o signi�cado de árvore. Uma

das técnicas mais usuais na construção de dendrogramas utiliza a forma de classi�cação

conhecida como agrupamento sequencial aglomerativo, que agrupa amostras mais próximas

sequencialmente, formando os grupos.

Para entender o que representa um dendrograma entre amostras, devemos

considerar previamente que duas amostras consideradas próximas devem apresentar maior

proximidade entre os valores das variáveis, apresentando pouco distanciamento no espaço.

O dendrograma representa esta similaridade de forma hierarquizada, de modo que, haja

uma representação no espaço bidimensional entre todas as similaridades, e de uma forma,

também da dissimilaridade, entre quaisquer conjuntos amostrais tratados. Já nos dendro-

gramas elaborados para as variáveis, a similaridade se refere à correlação entre elas.

Várias formas de agrupar ou aglomerar os valores multidimensionais podem

ser desenvolvidas, envolvendo os agrupamentos hierárquicos e utilizando a matriz de si-

milaridade. Os métodos hierárquicos iniciam utilizando a matriz de distâncias entre os

objetos de estudos, e considerando que estes objetos estão inicialmente sozinhos nos gru-

pos. Posteriormente, grupos que estão mais próximos se unem, formando um único grupo,

conforme há redução na similaridade. Este procedimento é realizado sucessivamente, ou

seja, conforme há redução na similaridade, os grupos próximos vão se unindo em um novo

grupo.

A identi�cação da proximidade entre dois grupos para assim poder considerá-

los um único grupo, pode ser realizada de várias formas, uma delas é a ligação do vizinho

mais próximo, de modo que, grupos são unidos a certo nível de distância se um dos objetos

de um grupo está àquela distância ou menos de no mínimo um objeto do outro grupo. Já

no método de ligação do vizinho mais distante, a ligação entre dois grupos ocorre se os

dois elementos mais distantes entre os dois grupos são considerados próximos. E a ligação

média de grupo ocorre se a distância média entre todos os elementos dos dois grupos é

considerada próxima (MANLY, 2004).

37

Manly (2004) ainda a�rma que além dos métodos hierárquicos que produzem

dendrogramas para análise de agrupamento, também há a abordagem que utiliza partição,

que envolve muitos algoritmos. Basicamente, em um estágio inicial os grupos são determi-

nados arbitrariamente, com objetos designados ao centro mais próximo. Posteriormente,

outros centros são calculados, representando a média do grupo. Os objetos são realocados

a novos grupos se estão mais próximos ao novo centro. Grupos próximos são unidos e com

elementos mais distantes são desmembrados em mais grupos. Assim, os procedimentos

são efetuados repetidamente até que se obtenha uma estabilidade satisfatória.

4.1.3 Análise discriminante

Outra técnica de análise estatística multivariada que envolve distâncias é a

análise discriminante. Esta análise, como o próprio nome diz, é utilizada para discriminar

e classi�car elementos. É uma técnica que avalia a separação de elementos da população

em várias classes, e o processo de discriminação/separação é o primeiro a ser executado,

consistindo numa análise exploratória. Esta parte da análise busca e identi�ca as relações

entre variáveis que torna possível designar com mais segurança os objetos em grupos

pré-de�nidos, diferente do que ocorre na análise de agrupamentos (KHATTREE; NAIK,

2000).

Segundo Johnson e Wichern (1999), esta classi�cação pode ser utilizada pos-

teriormente para classi�car também novos objetos. Esta problemática de discriminação

em grupos objetivando classi�cações posteriores foi apresentada inicialmente por Fisher

(1936), de forma que, era constituída pela obtenção de funções com a capacidade de classi-

�car cada observação p-variada Xj em uma das classes, com base nas p características, de

modo que a probabilidade de classi�cação errônea fosse minimizada, ou seja, de classi�car

Xj em uma classe, quando na verdade não pertence à esta.

A obtenção de uma combinação linear das p variáveis que forneça maior

capacidade de discriminação entre grupos é o maior objetivo da metodologia. Esta função

dada pela combinação linear é denominada função discriminante e deve minimizar as

probabilidades de classi�cação errônea considerando tais grupos com distribuições normais

com média e covariâncias conhecidas. Porém, o conhecimento sobre a média e covariâncias

não é possível, apenas o valor estimado. Assim, é possível assumir ou não a igualdade

entre matrizes de covariância, Fisher assume igualdade e sua função é denominada função

discriminante linear. Além da função discriminante linear, também, é possível utilizar

38

uma quadrática.

Um dos objetivos da função discriminante é a identi�cação das regiões de

alocação, que são os conjuntos de elementos separados por uma fronteira. A função discri-

minante utiliza para tal, uma amostra de treinamento. Posteriormente, uma nova amostra

poderá ser classi�cada em cada população, respeitando-se os limites estabelecidos pela

fronteira. Na prática, o conceito de fronteira não existe no sentido de estabelecer parti-

ções, pois haverá superposições, de modo que uma mesma região pode pertencer a vários

grupos, envolvendo um erro de classi�cação, de modo que, uma classi�cação é boa quando

há poucos erros de classi�cação, envolvendo baixa probabilidade de classi�cação errônea.

Johnson e Wichern (1999) a�rmam que, para que haja uma boa classi�cação,

devem ser considerados os custos da má classi�cação e probabilidades a priori. Para

avaliar a classi�cação, é considerado se as variâncias das populações são ou não as mesmas.

Caso sejam consideradas iguais, as funções discriminantes são denominadas lineares, caso

contrário, são ditas quadráticas. Além disso, outras metodologias envolvendo lógica fuzzy

ou redes neurais podem ser utilizadas para elaboração das regras classi�catórias. Esta

última, comparada aos métodos estatísticos, tem a vantagem de indicar uma separação de

classes por meio de planos não-lineares, ao invés de lineares ou quadráticos.

Segundo Manly (2004), uma forma de discriminar é utilizando a distância

de Mahalanobis, de modo que, dadas m amostras, os vetores de médias são considerados

estimativas dos vetores de médias dos grupos; assim, calcula-se as distâncias de cada

observação aos centros dos grupos e cada observação é considerada pertencente aquele

grupo cuja distância ao centro seja inferior. Para tal, consideremos x′i = (x1i, x2i, . . . , xpi)′

o vetor de médias do grupo i, e Ci e C respectivamente, a matriz de covariâncias e a matriz

de covariâncias amostral combinada, assim, pode-se estimar a distância entre a observação

x′ = (x1, x2, . . . , xp)′ e o centro do i-ésimo grupo conforme D2

i = (x−xi)′C−1(x−xi), de

modo que x é considerada pertencente ao grupo cujo valor de distância D2i seja inferior.

Ainda segundo Manly (2004), é importante determinar as combinações li-

neares das variáveis X1, X2, . . . , Xp, que dividem os m grupos de forma otimizada, assim,

tomemos Z = a1X1+a2X2+. . .+apXp para isto. Deste modo, a separação será e�ciente se

Z apresenta variação considerável entre grupos e valores dentro do grupo bem próximos.

O problema então consiste em determinar os coe�cientes ai. Isto possível,

de modo a maximizar o valor da razão F da análise de variância de um fator conforme a

Tabela 1. Assim, a função mais adequada à separação dos grupos, dada por Z, é aquela

39

para o qual F seja máximo, conforme Fisher (1936) sugere.

Nesta metodologia, pode ocorrer a determinação de várias funções lineares,

denominadas funções discriminantes canônicas. Consideremos assim, Z1 = a11X1+a12X2+

. . .+ a1pXp como a primeira delas, apresenta maior F na análise de variância de um fator

para a variação dentro e entre grupos. Se esta função não é única, a próxima é de�nida por

Z2 = a21X1 + a22X2 + . . .+ a2pXp, apresentando maior F possível na análise de variância

de um fator, dado que não há correlação entre Z1 e Z2 nos grupos. E desta forma a análise

prossegue caso haja mais funções discriminantes canônicas.

Tabela 1 - Análise de variância nos índices Z com N indivíduos

Fonte de variação Graus de liberdade Quadrado médio FEntre grupos m-1 MB

MB

MW

Dentro dos grupos N-m MW -Total N-1 - -Fonte: Manly (2004)

Manly (2004) a�rma que a determinação dos coe�cientes das funções discri-

minantes canônicas é contemplada pela utilização de autovalores, de modo que, dadas as

matrizesW de somas de quadrados e produtos cruzados dentro da amostra e T , a matriz

amostral total de somas de quadrados e produtos cruzados, é possível obter a matriz entre

grupos B = T −W . Então, é possível determinar autovalores e autovetores deW−1B, de

forma que, se λ1 > λ2 > . . . > λs, em que s é o número de combinações lineares possíveis,

em geral dado pelo mínimo entre p e m − 1. Assim, λi apresenta a razão da soma dos

quadrados entre grupos e a soma dos quadrados dentro dos grupos, para a combinação

associada a Zi, além de que os autovetores correspondem aos coe�cientes das variáveis

neste índice i. É esperado que não sejam necessárias muitas funções discriminantes, pois

geralmente as primeiras já são o su�ciente para representar as importantes diferenças entre

grupos.

Este método utilizado pressupõe que a matriz de covariâncias dentro do

grupo populacional seja a mesma para os grupos e que, para que seja possível aplicar

testes de signi�cância, haja distribuição multivariada nos dados dentro dos grupos.

4.2 Modelos geoestatísticos

É frequente, nas análises estatísticas de dados, a suposição de independência

das variáveis aleatórias, considerando que as observações não se in�uenciam. Porém, em

40

grande parte dos fenômenos, principalmente naqueles naturais, há in�uência entre obser-

vações feitas em unidades experimentais �sicamente próximas, ou seja, são espacialmente

dependentes.

Nesses casos, avaliar as informações de forma clássica, não deve ser a única

alternativa, pois a análise espacial deve complementá-la utilizando abordagens como a

geoestatística.

Durante algumas análises com dados provenientes de mineração, Krige

(1951) veri�cou que as variâncias deveriam ser avaliadas considerando-se as distâncias

entre as amostras, pois, caso contrário, as conclusões estariam erradas. Considerando-se

esta a�rmação de Krige (1951) é que, Matheron (1963) elaborou uma teoria sobre variá-

veis regionalizadas, em que, é de�nida uma função espacial numérica que varia conforme

o local, apresenta continuidade e a variação não pode ser descrita por uma função mate-

mática simples, criando-se assim, a geoestatística. A geoestatística ganhou impulso em

áreas distintas da mineração e da geologia a partir de 1980, com grande aplicabilidade na

ciência do solo, o que se justi�ca pela relativa simplicidade computacional viabilizando os

cálculos trabalhosos, nesta época.

Segundo Yamamoto e Landim (2015), Matheron criou em 1968 o Centre de

Morphologie Mathématique que, posteriormente foi rami�cado em dois centros, de Mor-

fologia Matemática e de Geoestatística. Os ex-alunos de Matheron, André G. Journel e

Michel David, divulgaram a Geoestatística na América do Norte com a publicação dos

livros Geostatistical ore reserve estimation (DAVID, 1977) e Mining geostatistics (JOUR-

NEL; HUIJBREGTS, 1978).

Em 1969 Jean-Laurent Mallet criou, na Universidade de Lorraine na França,

o Consórcio GoCad, para auxiliar em estudos acadêmicos e industriais, sendo um centro

de aplicação geoestatística e de técnicas de modelagem de reservatórios. Já na década

de 1980, a aplicação de geoestatística passou a ser mais amplamente utilizada além da

mineração, na agricultura de precisão, análise espacial de crimes, cartogra�a, climatologia,

ecologia da paisagem, engenharia �orestal, epidemiologia, geologia do petróleo, geotecnia,

hidrogeologia e pedologia (YAMAMOTO; LANDIM, 2015).

O estudo, em geoestatística, das variáveis regionalizadas, é baseado em al-

guns pressupostos como ergodicidade, estacionariedade e hipótese intrínseca. A ergocidade

se dá pelo fato de que a esperança do conjunto de todas as realizações prováveis é igual a

média de uma delas, em certo domínio. A estacionariedade indica que o fenômeno deve

41

ser homogêneo na região das estimativas e a hipótese intrínseca equivale a a�rmar que as

diferenças são estacionárias localmente, ou seja, têm fraco incremento. Estes pressupostos

serão detalhados matematicamente a seguir.

A geoestatística, é um ramo da estatística espacial que considera o conjunto

de dados y1, y2, . . . , yn nas respectivas localizações x1, x2, . . . , xn de uma região A contínua

espacialmente, em que, A ⊂ Rd. Essas medidas são associadas a um fenômeno espacial,

dado pela realização de um processo estocástico Z(x ), com x ∈ A ⊂ Rd pertencentes a um

mesmo espaço de probabilidade, com d sendo o número de linhas de x , cujos elementos

são as localizações amostrais (DIGGLE; RIBEIRO JR.; CHRISTENSEN, 2003).

A teoria das variáveis regionalizadas pressupõe que a variação de uma va-

riável Z(x ) pode ser expressa pela soma de três componentes (BURROUGH, 1986):

Z(x ) = m(x ) + ε′(x ) + ε′′, em que, m(x ) é uma função determinística que descreve o

componente estrutural de Z em x , ε′(x ) é um termo estocástico, que varia localmente e

depende espacialmente de m(x ) e ε′′ é um resíduo aleatório não correlacionado, com distri-

buição normal com média zero e variância σ2. A geoestatística atua no termo estocástico

ε′(x ).

A Teoria das Variáveis Regionalizadas (geoestatística) é um grande ramo da

estatística espacial, que estuda a relação de uma variável regionalizada com ela mesma,

em outra posição (CRESSIE, 1993).

Segundo Oliveira (1991), há duas propostas para modelar populações: Con-

siderando como uma população, conforme a abordagem clássica de amostragem, conside-

rando independência das unidades amostrais. Neste caso, não é vantajoso considerar a

estrutura de dependência que possivelmente há; Considerando como uma amostra reti-

rada de uma �população� de populações. Neste caso, é considerada a correlação espacial,

porém há pressupostos geoestatísticos (hipótese intrínseca) que requer a estacionaridade

do variagrama, que é a principal hipótese (VIEIRA, 2000).

Em geoestatística se trabalha com situações que envolvem variáveis regio-

nalizadas, que possuem comportamento espacial e características intermediárias entre as

variáveis determinísticas e aleatórias, pois, não há previsão exata em determinado ponto,

mas é esperado que haja um valor neste ponto, parecido com pontos próximos (LANDIN,

2006).

Uma variável regionalizada é intrínseca se existe a esperança para a variável

regionalizada e não depende da posição x , ou seja, E[Z(x )] = m,∀x . Além disso, para

42

qualquer vetor h , V ar[Z(x ) − Z(x + h)] é �nita, depende de h e não depende de x ,

V ar[Z(x )− Z(x + h)] = 2γ(h).

Conforme Silva (1988), a avaliação e estimativa da dependência em um con-

junto de amostras vizinhas pode envolver a utilização da autocorrelação, pois, é de grande

importância na amostragem em uma única direção, porém, ao envolver duas direções, ou

seja, observações no plano, é mais conveniente utilizar o semivariograma.

O semivariograma é um método geoestatístico que identi�ca a existência de

dependência entre as unidades amostrais (DUARTE, 2000). Como forma de caracterização

da estrutura de continuidade espacial, o semivariograma é uma alternativa preferida, pois

exige a hipótese intrínseca, além de apresentar uma função de semivariâncias em relação às

distâncias, sendo assim, a semivariância equivale à metade da variância de diferenças entre

as observações da variável aleatória Z, distanciadas h unidades (RIBEIRO JR., 1995).

O semivariograma detecta e explica o comportamento da dependência es-

pacial entre as amostras de uma área em que o experimento é conduzido, e de�ne os

parâmetros ideais para estimar os valores, para as regiões dentro e próximas desta área,

que não apresentaram amostras, por meio da krigagem (SALVIANO, 1996).

Quanto maior o valor da semivariância, menor é a similaridade e, quanto

mais próximo de zero, mais similares são. A tendência é que haja uma estabilidade após o

aumento da distância, pois, em determinada distância, espera-se que as unidades amostrais

não se in�uenciem mais entre si. Segundo Tobler (1979), na primeira lei da geogra�a, �Tudo

é relacionado com tudo, mas coisas mais próximas estão mais relacionadas que coisas

distantes�. Há vários métodos de estimação de semivariâncias, um dos mais utilizados é o

Método dos Momentos (VIEIRA, 2000).

A função semivariograma equivale à metade da função do variograma (11),

deste modo, seu estimador é dado por (12), em que, h é a distância, N(h) é o número de

pares de pontos com distância h, Z(xi) é o valor da variável regionalizada em xi e Z(xi+h)

é o valor da variável regionalizada em xi + h.

V ar[Z(x )− Z(x + h)] = 2γ(h) (11)

γ̂(h) =

∑N(h)i=1 [Z(xi)− Z(xi + h)]2

2N(h)(12)

O grá�co (Figura 1) da função γ̂(h) representa o semivariograma, permi-

43

tindo estimar os valores de semivariâncias em diferentes possibilidades para os pares de

pontos, sendo possível veri�car o grau da dependência espacial e a de�nição dos parâme-

tros necessários para estimar os valores nos pontos da região experimental, não amostrados

(SOUZA, 1999). Conforme há aumento em h, γ(h) tende a aumentar, pois, conforme Ca-

margo (1997), espera-se que, para amostras extraídas em distâncias reduzidas tenham

[Z(xi)−Z(xi +h)]2 inferiores às das extraídas de maiores distanciamentos. Cressie (1993)

salienta que, embora γ(h) seja considerado nulo quando h = 0, na realidade é comum acei-

tar que, a medida que γ(h) se aproxima de um valor C0 > 0, denominado efeito pepita, h

tende a zero.

Há muitos modelos teóricos que podem ser utilizados para representar com-

portamentos de continuidade espacial, ou seja, ajustado a γ(h)× h. Esses modelos devem

apresentar uma representação estável, denominada krigagem. Os parâmetros a serem es-

timados são o efeito pepita C0, dado por γ(0), a é o alcance da dependência espacial,

ou seja, é a maior distância, cuja dependência espacial existe, assim, γ(h) é denominado

patamar, quando a distância é o alcance de dependência espacial, dado por C + C0. Os

modelos podem ou não apresentar patamar, alguns exemplos seguem.

Figura 1 - Semivariograma com efeito pepita

Exponencial:

γ(h) = C[1− e−

3ha

](13)

Gaussiano:

γ(h) = C[1− e(−

3ha)2]

(14)

44

Esférico:

γ(h) =

C[32(ha)− 1

2(ha)3]

, se h < a;

0 , caso contrário.(15)

Linear:

γ(h) = C0 + bh (16)

Matérn:

γ(h) =21−k

Γ(k)(a‖h‖)kKk(a‖h‖) (17)

em que,

a é um parâmetro de alcance;

Γ(k) é a função Gama;

Kk é a função Bessel de ordem k.

Figura 2 - Semivariograma experimental e alguns modelos de semivariância: a) esférico,

b) exponencial, c) gaussiano e d) linear. Fonte: Miranda-Salas e Condal (2003)

Alguns modelos, como o linear, não apresentam patamar.

Amostras que apresentam maiores distanciamentos não são espacialmente

45

dependentes, enquanto as amostras mais próximas que o alcance são espacialmente de-

pendentes, assim, o semivariograma igual à variância dos dados causa variação aleatória.

Além disso, o alcance de�ne o raio de ação máximo de interpolação por krigagem, ou

range, em que os fatores ponderadores podem afetar signi�cativamente os valores estima-

dos (SOUZA, 1992).

Vieira (2000) a�rma que, convencionalmente, ao obter um semivariograma

ajustado, em seu comportamento, os valores de semivariância aumentam conforme há o

aumento do distanciamento entre os pontos da região, até estabilização, atingindo um

patamar. Silva (1988) ainda completa, informando que se atinge o patamar no momento

em que a variância dos dados amostrados torna-se constante, em relação à distância entre

amostras. Já o valor de γ̂(h) é em torno do valor da variância total neste ponto, além de

ser um parâmetro que permite determinar a distância limite de dependência entre pares

de amostras.

O modelo pode ser considerado com ou sem patamar, pois, para h grande,

o desempenho do semivariograma pode variar. Sendo assim, segundo Machado (1994),

os modelos sem patamar apresentam semivariogramas que podem ser de�nidos, porém,

não estabilizam para nenhum valor de patamar e os modelos satisfazem apenas a hipótese

intrínseca. Os modelos com patamar são funções que expressam a estacionaridade de

segunda ordem, de forma que a semivariância é elevada com o aumento das distâncias

amostrais, até um patamar, ocorrendo a estabilização.

O efeito pepita re�ete o erro analítico, pois, por meio dele, é possível veri�car

a variabilidade proveniente do acaso, entre dois pontos, por conta, dentre vários fatores,

de erros de medida ou microvariação em relação às distâncias amostradas não explicadas

pelo modelo, assim, há a impossibilidade de explicar de forma quantitativa a contribuição

particular de erros de medida e variabilidade.

Antes de efetuar interpolações espaciais ou seguir com demais estimativas

geoestatísticas, é possível veri�car se, de fato, a amostra em questão possui estrutura

geoestatística. Assim, após selecionar o modelo que melhor se ajusta aos dados, por meio

do maior coe�ciente de determinação e a menor soma de quadrados, utilizemos a proposta

de Cambardella et al. (1994) modi�cada por Robertson (1998), que sugere analisar o

avaliador de dependência espacial (ADE), dado por ADE = 100× CC+C0

, considerando os

seguintes critérios:

1. ADE ≤ 25%: Dependência espacial fraca da variável;

46

2. 25% < ADE ≤ 75%: Dependência espacial mediana da variável;

3. ADE > 75%: Dependência espacial forte da variável.

Havendo dependência espacial entre as amostras e por meio deste modelo

de semivariograma, é possível interpolar valores para cada ponto da região em questão

utilizando a krigagem (JOURNEL; HUIJBREGTS, 1978), sem tendência e com variância

mínima (VIEIRA, 2000). Assim, pelo método de interpolação, baseando-se na amostra da

variável e levando em consideração as propriedades estruturais do semivariograma, é pos-

sível representar o comportamento desta variável por um mapa. Em muitos casos o ajuste

do modelo aos dados é feito de forma visual, porém, podem ser utilizados métodos como O

Método dos Quadrados Mínimos Ordinários, Ponderados e da Máxima Verossimilhança.

A seleção do melhor modelo pode ser realizada considerando o critério de informação de

Akaike (AIC) (AKAIKE, 1983) e técnicas de validação cruzada.

Segundo Landim (2006), o termo krigagem, traduzido do francês krigeage,

e do inglês kriging, foi uma homenagem ao engenheiro de minas Daniel G. Krige, que foi

pioneiro em utilizar as técnicas estatísticas em mineração. Esta técnica pode ser usada

como algoritmo estimador para cálculo médio para um volume maior que o suporte ge-

ométrico, de uma variável regionalizada ou previsão de valores pontuais de uma variável

regionalizada dentro do campo geométrico de uma região, sendo um processo exato de

interpolação, levando em consideração os valores observados, para uma construção car-

tográ�ca automática computacionalmente, ao dispor de uma amostra de certa variável

regionalizada em determinada região. Para tais situações há, além dos valores estimados,

cada erro associado às estimativas, assim, diferenciando-o dos demais algoritmos similares

disponíveis.

Ainda segundo Landim (2006), a krigagem usa informações provenientes

do semivariograma para determinar os pesos ótimos associados às amostras, estimando

pontos, áreas ou, até mesmo, blocos. Além disso, a estimativa da krigagem, por meio do

semivariograma não tem como pressuposição a normalidade dos dados, porém, devem ser

observados possíveis assimetrias com valores atípicos, pelo fato de que a krigagem é um

estimador linear.

Conforme Salviano (1996), a função que apresenta o valor estimado da va-

riável regionalizada em determinado ponto da região é Z∗(x0) = λ0 +∑n

i=1 λiZ(xi),

em que, n é a quantidade de pontos vizinhos medidos, Z(xi) são os pontos utilizados

47

na estimativa e λi são os ponderadores referentes a cada Z(xi), selecionados de forma

estimada não tendenciosa, ou seja, E[Z∗(x0) − Z(x0)] = 0 e V ar[Z∗(x0) − Z(x0)] =

E{[Z∗(x0)− Z(x0)]2} seja mínima, garantindo que Z∗(x0) seja o melhor estimador linear

não tendencioso (BLUE), apresentando mínima variância e somatório dos pesos igual à

unidade, ou seja, não é tendencioso.

4.3 Medidas repetidas

A expressão �medidas repetidas� refere-se às respostas múltiplas tomadas em

sequência em uma mesma unidade experimental (NOBRE; SINGER, 2007). Deste modo,

é possível avaliar características em uma dimensão ordenada temporalmente ou espaci-

almente. Experimentos com medidas repetidas podem apresentar vários fatores, dentre

eles, os mais comuns são os tratamentos e os tempos e, dentre seus objetivos principais

estão, a avaliação simultânea de várias sequências de tratamentos e a comparação de di-

ferentes tratamentos quando a variabilidade entre unidades é um fator importante e não

é controlado, porém, é de fundamental importância, observar a evolução de respostas sob

determinadas condições iniciais, dentre outras. Além disso, em muitos casos, por conta de

limitações, o uso de medidas repetidas se apresenta como alternativa única.

A utilização de medidas repetidas possibilita manter o controle da diferença

entre as unidades, de forma que, os efeitos de tratamentos para qualquer medida são

considerados em comparação à média das respostas do indivíduo para cada tratamento.

Assim, a variabilidade das diferenças entre indivíduos é dissociada do resíduo experimental

aumentando a sensibilidade da avaliação experimental.

Nem sempre o tempo é um dos fatores deste tipo de experimento, pois,

qualquer experimento em que são tomadas diversas observações em uma mesma unidade

experimental pode ser caracterizado como medidas repetidas. No caso em que as me-

didas são repetidas no tempo, é possível efetuar comparações entre os tratamentos em

cada tempo e comparações dos tempos em cada tratamento. Portanto, o tempo pode ser

considerado um fator intraindivíduos.

Dentre as principais características de um experimento com esta estrutura

podemos citar que deve haver mais de uma unidade experimental avaliada, assim, não

se tratará apenas de uma série, mas de um conjunto delas. Além disso, por conta da

mesma característica ser medida na mesma unidade experimental diversas vezes, não há

independência entre as respostas, deste modo algumas análises clássicas como de regressão

48

não são adequadas. E a associação entre as observações de mesma variável na mesma

unidade experimental o difere do tratamento multivariado.

Crowder e Hand (1990) apresentam uma estrutura para um conjunto de

dados com medidas repetidas por uma matriz indivíduos × medidas, de forma que cada

indivíduo corresponde à unidade em que as observações são um conjunto de medidas rela-

cionadas e a medida no indivíduo é o que foi observado naquele indivíduo em determinado

momento. Se há, associado à estrutura de medidas repetidas, a observação de duas ou

mais variáveis, a estrutura se dimensionará como indivíduo × medida × variável.

Vários tipos de estudo e delineamentos podem ser desenvolvidos utilizando

medidas repetidas, como por exemplo, parcelas subdivididas, �cross-over� e longitudinais.

A parcela subdividida ou �split-plot� é utilizada quando é desejado obter maior precisão em

uma variável do que em outra, as limitações forçam a utilização de unidades experimentais

de tamanhos diferentes para alguns fatores ou são esperadas que as diferenças dos níveis

de um fator di�ram das diferenças dos níveis de outro fator. E é estruturada quando

cada nível do fator primário é aplicado a uma grande parcela e os níveis de um outro

fator à subparcelas daquela grande parcela. Assim, os tratamentos são atribuídos às

parcelas respeitando o delineamento conveniente e os fatores secundários aleatoriamente às

subparcelas (FISHER, 1925; YATES, 1935). Fernandez (1991) ressalta que, em um estudo

que utiliza parcelas subdivididas e tempo como fator, nem sempre se pode aleatorizar os

níveis do tempo para intervalos, assim, a análise convencional torna-se inválida, pois não

é corretamente estruturada por uma matriz de covariâncias. Deste modo, a probabilidade

do Erro Tipo I é in�acionada.

Já nos experimentos organizados em esquema �cross-over�, são atribuídas às

unidades experimentais uma série de tratamentos, de forma que, os indivíduos recebem,

aleatoriamente, os tratamentos de modo distintamente sequenciados. Assim, ao comparar

tratamentos, também há a comparação dos períodos. Além disso, alguns contrastes de

tratamentos podem ser estimados com maior precisão. Porém, neste tipo de esquema,

geralmente está associado um tempo de execução do experimento mais elevado, e também

podem ocorrer efeitos além do período experimentado.

Os experimentos longitudinais são aqueles quando há repetição das medidas

ao longo do tempo. Neste caso, o principal objetivo deste estudo é descrever as alterações

das variáveis resposta em conformidade com a passagem do tempo, além de identi�car as

in�uências de covariáveis. Sendo assim, já é esperada a dependência das observações da

49

mesma unidade observacional (FARAWAY, 2006).

Dizemos que temos uma estrutura de dados longitudinais, balanceada em

relação ao tempo, quando os intervalos de tempo entre as medidas repetidas consecutivas

sempre forem os mesmos, além disso, possa ser feita a consideração de que, para cada

tempo, as observações foram realizadas em ummesmo instante. Caso contrário, a estrutura

é denominada desbalanceada em relação ao tempo (AMADOR, 2010).

As análises de dados longitudinais trazem algumas vantagens como: a pos-

sibilidade de fazer um estudo do comportamento da variável resposta média de cada tra-

tamento, exige menos unidades experimentais, pois as medidas são feitas nas mesmas

parcelas, possibilita veri�car a existência de dependência da variável resposta com as co-

variáveis, diminui o erro experimental e aumenta a precisão das estimativas de parâmetros

(NOBRE; SINGER, 2007).

Segundo Freitas et al. (2008), um dos tipos de análise de dados longitudinais

é a análise de per�l, que permite a utilização de técnicas univariadas e multivariadas e,

tem como um dos objetivos principais, testar as hipóteses sobre os valores médios da

variável resposta nos diversos tempos e compará-los entre os tratamentos. O modelo mais

simples para ensaios com medidas repetidas é o modelo de parcelas subdivididas. Neste

caso, o tempo é tomado como variável discreta, ordenando a variável resposta na parcela

experimental. O modelo univariado em parcelas subdivididas no tempo com delineamento

inteiramente casualizado é dado por:

yijk = µ+ αi + γj(i) + βk + (αβ)ik + εijk (18)

em que,

yijk é o valor observado para a variável resposta;

µ é uma constante comum a todas as observações;

αi é o efeito do i-ésimo tratamento;

γj(i) é o efeito aleatório da j-ésima unidade experimental dentro do i-ésimo tratamento

com γj(i) ∼ N(0, σ2a);

βk é o efeito do k-ésimo tempo;

(αβ)ik é o efeito da interação do i-ésimo tratamento com o k-ésimo tempo;

εijk é o erro associado às subparcelas com ε ∼ N(0, σ2).

Ao utilizar tal modelo, admite-se que as medidas tomadas em tempos dife-

50

rentes têm variâncias homogêneas e são igualmente correlacionadas. Na prática, isto nem

sempre ocorre.

Uma condição necessária e su�ciente para que a análise de variância univari-

ada seja utilizada no esquema de parcelas subdivididas para um experimento com medidas

repetidas, é que a matriz de covariâncias entre os tempos satisfaça a condição de esferi-

cidade ou circularidade, ou seja, considerar que as variâncias entre pares de erros sejam

iguais (HUYNH; FELDT, 1970).

Tal condição pode ser testada pelo teste de esfericidade (MAUCHLY, 1940),

que veri�ca se uma população normal multivariada apresenta variâncias iguais e correla-

ções nulas. Caso o teste seja não signi�cativo, então a matriz de covariâncias é do tipo

esférico, e o experimento pode ser analisado como parcelas subdivididas. Se o teste for

signi�cativo, então deve-se utilizar a análise multivariada de per�s ou a análise univariada

utilizando-se modelos mistos que permitem incorporar estruturas de matriz de covariân-

cias (De KETELAERE et al., 2003). Littell, Henry e Ammerman (1998) descrevem e

comparam alguns destes métodos.

A análise multivariada de per�s (MANOVA) é relacionada à avaliação simul-

tânea das relações entre múltiplas medidas temporais em cada indivíduo, considerando-se

também outro atributo, geralmente o tratamento. A MANOVA não exige que as estruturas

de variância das medidas repetidas ou de correlação, sejam invariáveis ao longo do tempo,

mas exige a homogeneidade de variâncias e correlações em cada período, não colocando

imposições sobre a matriz de covariâncias (MEREDITH; STEHMAN, 1991).

O modelo utilizado na análise multivariada de per�l é o mesmo daquele

utilizado no estudo da análise de variância multivariada, conforme Ferreira (1996) descreve

pela expressão Y = XB + E, em que, Y é a matriz (n×t) de dados em t variáveis e em n

unidades experimentais, X é a matriz (gk× (g+ 1)) de delineamento, para o inteiramente

casualizado com g tratamentos e k repetições, B é a matriz ((g + 1)× t) de parâmetros e

E é a matriz (n× t) dos erros experimentais.

Considerando ε′ij uma linha de E, o vetor de erros εij corresponde à ij-ésima

unidade experimental. Assim, cada εij é normalmente distribuído de forma t-variada com

vetor de média Φ e matriz de covariâncias Σ, está associado à observação yij. Deste

modo, yij também é normalmente distribuído de forma t-variada, com E[yij] = XB e

V ar[yij] = Σ, ou seja, yij ∼ Nt(XB,Σ) com Σ não estruturada e contendo t(t + 1)/2

parâmetros.

51

Conforme Freitas (2007), nestes casos, três hipóteses podem ser testadas.

Por conta do paralelismo dos per�s médios das respostas associadas aos tratamentos, é as-

sinalada a ausência de interação entre os fatores que determinam os tempos e tratamentos.

Esta hipótese é denotada pela expressão (19).

H0 :

µ11 − µ12

µ12 − µ13

...

µ1(t−1) − µ1t

=

µ21 − µ22

µ22 − µ23

...

µ2(t−1) − µ2t

= . . . =

µg1 − µg2

µg2 − µg3

...

µg(t−1) − µgt

(19)

Um segundo teste pode ser realizado considerando-se que os per�s médios de

respostas referentes aos tratamentos são coincidentes, o que leva à conclusão da ausência

do efeito deste fator tratamento, conforme indica a expressão (20).

H0 :

µ11

µ12

...

µ1t

=

µ21

µ22

...

µ2t

= . . . =

µg1

µg2

...

µgt

(20)

E um terceiro teste pode ser realizado considerando que os per�s médios de

respostas relativos aos tratamentos são paralelos ao eixo das abscissas, o que aponta que

não ocorre efeito do fator tempo, conforme indica a expressão (21).

H0 :

µ11

µ21

...

µg1

=

µ12

µ22

...

µg2

= . . . =

µ1t

µ2t

...

µgt

(21)

Essas hipóteses podem ser expressas de modo a constituírem uma hipótese

linear geral, objetivando a simpli�cação com a forma de resultados uni�cada (FREITAS,

2007). Para testar esta hipótese linear geral, são consideradas as matrizes de somas de

quadrados e produtos de tratamentos e de erros, e a variância generalizada (FERREIRA,

1996). Dentre as várias estatísticas dos testes que são utilizados para avaliação destas

hipóteses estão, em ordem de preferência, Traço de Pillai, Lambda de Wilks, Traço de

Hotelling-Lawley e Raíz máxima de Roy (VIEIRA et al., 2007).

52

É esperado que as observações de uma mesma unidade experimental sejam

correlacionadas e, para que as inferências sejam válidas, esta correlação deve ser modelada

(ROCHA, 2010). Existem vários padrões de correlação e covariância, como por exemplo,

aqueles que consideram as estruturas utilizadas pelo software estatístico SAS (STATISTI-

CAL ANALYSIS SYSTEM, 1999):

Não estruturada (UN): As variâncias e covariâncias podem ser diferentes, pois é uma

matriz geral, atribuindo um parâmetro para cada variância/covariância. Para uma matriz

de dimensões 5× 5 há 15 parâmetros.

σ211 σ12 σ13 σ14 σ15

σ12 σ222 σ23 σ24 σ25

σ13 σ23 σ233 σ34 σ35

σ14 σ24 σ34 σ244 σ45

σ15 σ25 σ35 σ45 σ255

(22)

Componentes de variância: Apresenta mesmas variâncias e covariâncias zero. Assume-se

independência entre as observações e normalidade, apresentando apenas um parâmetro,

por conta das variâncias iguais e covariâncias nulas.

σ2 0 0 0 0

0 σ2 0 0 0

0 0 σ2 0 0

0 0 0 σ2 0

0 0 0 0 σ2

(23)

Toeplitz (TOEP): Esta é uma estrutura de médias móveis de ordem igual ao tamanho da

matriz.

σ21 σ2 σ3 σ4 σ5

σ2 σ21 σ2 σ3 σ4

σ3 σ2 σ21 σ2 σ3

σ4 σ3 σ2 σ21 σ2

σ5 σ4 σ3 σ2 σ21

(24)

Toeplitz de Banda (TOEPH): Equivale a Toeplitz considerando-se nulas as correlações a

53

partir de certa distância entre as observações.

σ21 σ2 0 0 0

σ2 σ21 σ2 0 0

0 σ2 σ21 σ2 0

0 0 σ2 σ21 σ2

0 0 0 σ2 σ21

(25)

Auto-regressiva de Primeira Ordem (AR(1)): É geralmente utilizada em dados provenien-

tes de séries temporais espaçadas de forma igual e cujas correlações diminuem exponen-

cialmente. O parâmetro ρ é chamado autorregressivo e representa o alcance. Além disso,

são considerados |ρ| < 1 para um processo estacionário e dois parâmetros.

σ2

1 ρ ρ2 ρ3 ρ4

ρ 1 ρ ρ2 ρ3

ρ2 ρ 1 ρ ρ2

ρ3 ρ2 ρ 1 ρ

ρ4 ρ3 ρ2 ρ 1

(26)

Não estruturada de Banda (UN(1)): Admite variâncias e covariâncias que podem ser

distintas, porém, considera apenas um número de bandas, ou seja, para as observações

que estão acima de certo distanciamento é considerada correlação nula.

σ21 σ6 0 0 0

σ6 σ22 σ7 0 0

0 σ7 σ23 σ8 0

0 0 σ8 σ24 σ9

0 0 0 σ9 σ25

(27)

Espacial (SP): Também chamada de potência, possui mesma variância (σ2) e as correlações

são dadas por ρdij , em que, d é a distância entre as observações i e j e ρ é a correlação

54

entre observações vizinhas.

σ2

1 ρd12 ρd13 ρd14 ρd15

ρd12 1 ρd23 ρd24 ρd25

ρd13 ρd23 1 ρd34 ρd35

ρd14 ρd24 ρd34 1 ρd45

ρd15 ρd25 ρd35 ρd45 1

(28)

Observa-se que o parâmetro ρ da estrutura Auto-regressiva de Primeira Or-

dem é o parâmetro auto-regressivo, tal que |ρ| < 1 para estacionariedade e o parâmetro ρ

da estrutura Espacial é o parâmetro de correlação espacial e dij são as distâncias euclidi-

anas.

Algumas técnicas devem ser utilizadas para escolha do modelo e da estrutura

de covariância (WOLFINGER, 1993; OGLIARI, 1998; XAVIER, 2000). O teste da razão

de verossimilhança compara os modelos encaixados dois a dois, estimados por máxima ve-

rossimilhança, em que, um dos modelos é uma versão restrita do outro, ou seja, um modelo

tem r parâmetros adicionais e o teste veri�ca se esses parâmetros a mais proporcionam

um melhor modelo. Sejam λ1 o valor de −2log da função de verossimilhança do modelo

com menos parâmetros e λ2 o valor de −2log da função de verossimilhança do modelo com

mais parâmetros. Assim, é testada a hipótese de que os dois modelos são equivalentes,

dado que λ1−λ2 ∼ χ2r assintoticamente, em que, r é a diferença do número de parâmetros

(MOOD; GRAYBILL; BOES, 1974).

Outro teste pode ser realizado considerando a matriz de informação de

Fisher, para o teste qui-quadrado associado à estatística de Wald dos parâmetros de

covariância, comparando dois modelos com efeitos �xos, ainda nos casos em que um é

caso particular do outro. Ele só é utilizado quando se comparam duas estruturas de co-

variância e só apresenta bom desempenho para grandes amostras (BOZDOGAN, 1987).

Para modelos que são casos particulares de outros, é melhor construir testes da razão de

verossimilhança e para modelos mistos é conveniente utilizar a verossimilhança restrita

(SHAALJE et al., 1991).

Outra forma para seleção dos modelos envolve a obtenção dos critérios de

informação de máxima verossimilhança. Deste modo, o modelo escolhido é aquele que

possui o menor valor para um desses critérios. Esses critérios penalizam os modelos com

número grande de parâmetros e indicando uma escolha parcimoniosa (BOZDOGAN, 1987).

55

É importante lembrar que não existem modelos exatos, verdadeiros ou cor-

retos, apenas modelos que se aproximam dos fenômenos estudados com alguns desvios de

informação. Com os testes é possível veri�car quais modelos melhor se ajustam aos dados

analisados e se apresentam de forma simpli�cada.

O critério de informação de Akaike (AIC) (AKAIKE, 1973) é amplamente

utilizado na seleção de modelos, originado na minimização da distância de Kullback-Leibler

(K-L). A informação de K-L representa uma distância do modelo verdadeiro a um modelo

candidato, possibilitando a comparação de um bom modelo a vários candidatos, é possível

obter alguns que se relevem e apresentem resultado satisfatório no relacionamento com os

dados avaliados.

A estimativa desta informação de K-L é baseada na maximização da função

de log-verossimilhança associada à uma penalidade do número de parâmetros:

AIC = −2n∑

i=1

lnL(µ̂i, y1) + 2p (29)

em que,

yi é o valor da resposta i;

µ̂i é a estimativa de yi ao se ajustar um modelo com p parâmetros pela maximização da

função de log-verossimilhança;

2p (duas vezes o número de parâmetros) é a penalidade que corrige um provável viés

advindo da comparação de modelos com quantidades de parâmetros diferentes.

Hurvich e Tsai (1989) apresentaram uma versão do AIC com vício corrigido

(AICc). O comportamento do AIC é melhorado em condições em que a razão entre quan-

tidade de parâmetros ajustados e quantidade de elementos na amostra é grande ou quando

há pequenas amostras. Assim, como o AICc é o AIC somado a um termo não estocástico,

a redução do vício é realizada sem aumento da variância:

AICc = AIC +2(p+ 1)(p+ 2)

n− p− 2(30)

em que,

p é o número de parâmetros;

n é o tamanho da amostra.

Outro critério amplamente utilizado, proposto por Schwarz (1978) e deno-

56

minado critério de Schwarz ou critério de informação bayesiano (BIC), avalia modelos

em termos de probabilidade a posteriori, pois são utilizados argumentos bayesianos. Ele

pressupõe um �modelo verdadeiro� que relaciona a variável dependente com as variáveis

explanatórias para diversos modelos. O critério é a estatística que torna máxima a proba-

bilidade de detecção do �modelo verdadeiro� dentre os testados:

BIC = −2 log f(xn|θ) + p log n (31)

em que,

f(xn|θ) é o modelo escolhido;

p é o número de parâmetros;

n é o tamanho da amostra.

4.4 Plantios �orestais: a Canafístula

O plantio �orestal no Brasil foi iniciado em 1903 por Edmundo Navarro de

Andrade, que trouxe mudas de Eucalipto (Eucalyptus spp.) para formação de �orestas com

o objetivo de fornecer dormentes para as estradas ferroviárias. Por volta de 1947, foi trazido

para o Brasil o Pinus (Pinnus spp.) de modo que o Eucalipto teve boa adaptabilidade no

cerrado do estado de São Paulo, já o Pinus, na região sul. Esses recursos tornaram-se uma

alternativa sustentável à exploração que vinha sendo, até então, realizada com recursos

naturais, principalmente da Mata Atlântica (ANTONANGELO; BACHA, 1998).

Conforme o SERVIÇO FLORESTAL BRASILEIRO (2015), foi na década

de 70 que o país passou por uma política de re�orestamento, incluindo, dentre as prin-

cipais medidas, os incentivos �scais, que foram iniciados ainda na década de 60. Assim,

foi possível produzir grande estoque madeireiro que sustenta a demanda nacional. Houve

grande crescimento nos investimentos em pesquisas silviculturistas destas espécies, tor-

nando o Brasil detentor das melhores tecnologias para tal prática, além de que, ocorreu

também a inserção de outras espécies, visando não apenas a produção madeireira, como

por exemplo, a Seringueira (Hevea spp.), que produz látex.

A Canafístula (Peltophorum dubium) (Figura 3) é uma espécie encontrada

naturalmente em algumas regiões do Uruguai (LOMBARDO, 1964), Paraguai (LOPEZ;

STERRET; MCDONALD, 1987), Argentina (CROVETTO, 1963) e Brasil em locais in-

dicados na Figura 4.

57

Figura 3 - Exemplar de Canafístula. Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE FLORES-

TAS (2015)

Figura 4 - Locais de ocorrência natural de Canafístula no Brasil. Fonte: Carvalho (2002)

A Canafístula apresenta, dentre as principais características, tronco cilín-

drico cujo fuste atinge até 15 metros, copa ampla, umbeliforme, largamente achatada-

arredondada, casca externa marrom-escura e rugosa, folhas compostas, bipinadas, alter-

nas, de até 50 cm de comprimento por 25 cm de largura, com 16 a 21 pares de pinas, de

cor verde-escura, �ores amarelo-vivas ou alaranjadas, com até 2 cm de comprimento, seu

fruto é a sâmara com 4 a 9,5 cm de comprimento e 1 a 2,5cm de largura cuja superfície

varia de castanho-avermelhada a marrom, contendo de uma a quatro sementes e perde

58

totalmente as folhas no inverno (CARVALHO, 2002).

Ainda segundo Carvalho (2002), a Canafístula é encontrada na natureza

em locais com variados tipos de solo, desde os ácidos até os de alta fertilidade química.

Experimentalmente apresentou melhor desenvolvimento em solos com fertilidade química

média e alta, bem drenados, não suportando aqueles pedregosos, rasos e com alto índice de

umidade. Exige altos teores de nitrogênio e o uso de lodo ou esterco auxilia na produção

de mudas de qualidade elevada.

Um dos pontos positivos na produção de Canafístula é seu crescimento rá-

pido, conforme os resultados mostrados por Nogueira (1977) e Nogueira et al. (1982).

Nesses trabalhos, também foi observada uma média de produtividade volumétrica de

19, 6m3/ha.ano. Sua madeira é densa, conforme observado por Braga (1960) a 15% de

umidade e durabilidade natural moderada ao apodrecimento e altamente resistentes a fun-

gos e cupins conforme observado por Cavalcante et al. (1982), porém, a durabilidade no

solo não é superior a nove anos.

Atualmente, a madeira produzida pela Canafístula é muito valorizada eco-

nomicamente, uma grande inversão considerando-se que há algum tempo era muito des-

valorizada. Sua madeira é indicada para a construção civil com produtos como vigas,

caibros, ripas e assoalhos, além do uso externo como mourões, como material naval, mi-

litar e de carpintaria em geral. Produz carvão e lenha de qualidade mediana e é viável

para a produção de papel. Além da madeira, a Canafístula fornece sementes com açúcares

e galactomanana e folhas com pequena porcentagem de saponina. Sua forragem é uma

ótima alternativa à alimentação animal e suas �ores são melíferas, no entanto há, con-

forme Correa (1952), indícios de sua nocividade para as abelhas. Além do uso medicinal

de algumas partes de sua estrutura, uso paisagístico e de re�orestamento (CARVALHO,

2002).

Ao se tratar de �orestas plantadas, é de fundamental importância ponderar,

dentre vários elementos, lucro e qualidade, para isto, um dos fatores a ser considerado é o

espaçamento entre as árvores. Entretanto, esta determinação deve levar em consideração

diversos critérios como clima, oferta de água, espécie, existência de outras plantas, prin-

cipalmente as daninhas, objetivo do uso da matéria prima e tempo pretendido do plantio

ao corte (CHAPMAN; ALLAN, 1978).

Conforme Balloni e Simões (1980), geralmente, a determinação do espaça-

mento desconsidera grande parte das informações ecológicas e silviculturais, levando em

59

consideração apenas a espécie a ser plantada. Assim, de acordo com Gomes (2002), o

espaçamento ideal é aquele que agrega qualidade e baixo custo, ao espaço apropriado para

máximo desenvolvimento arbóreo para a espécie em questão.

Características de alto interesse econômico como altura e diâmetro arbóreo,

são positivamente correlacionadas com o espaçamento e desta forma, maiores espaçamen-

tos tendem a fornecer árvores maiores (SCHNEIDER, 1993), limitando-se, é claro, a certo

alcance de relação espacial, pois, a partir de certo espaçamento, as árvores não sofrem in-

�uência uma da outra, estabilizando a produção sob maiores espaçamentos. A necessidade

de estudar esta relação espacial, juntamente com o período de plantio, tornam necessárias

análises geoestatísticas e longitudinais.

Istchuk et al. (2010) relatam os efeitos de espaçamentos (1 × 1 m e 1 × 2 m)

no diâmetro do coleto e na altura das plantas de Canafístula, identi�cando uma in�uência

do espaçamento sobre ambas as variáveis, de modo que o espaçamento 1 × 1 m forneceu

médias signi�cativamente maiores.

60

61

5 MATERIAL E MÉTODOS

O experimento foi instalado e conduzido conforme descrito por Matos (2014),

com o plantio das mudas de Canafístula (Peltophorum dubium), em dezembro de 2010, na

Fazenda Experimental da Universidade Federal da Grande Dourados com latitude 22◦ 13'

18.54�S e longitude 54◦ 48' 23.09�O, altitude média de 412 m, no município de Dourados-

MS. O clima é classi�cado como tropical úmido Aw (KÖPPEN, 1948), com estação chuvosa

no verão e seca no inverno. A área apresenta topogra�a plana e o solo é classi�cado como

Latossolo Vermelho distroférrico textura muito argilosa. Os valores para a caracterização

inicial da fertilidade do solo são apresentados para as profundidades de 0-20 cm: MO

(3,2 %), pH CaCl2 (5,7), P (8 mg dm−3); K+(4,4 mmolc dm−3); Ca2+(6,1 cmolc dm−3),

Mg2+(2,6 cmolc dm−3), H+ + Al3+(2,3 cmolc dm−3), SB (90,9 mmolc dm−3), CTC (113,9

mmolc dm−3), V% (79,2 %), conforme análise química realizada no Laboratório de Ferti-

lidade dos Solos da UFGD.

As mudas de Canafístula utilizadas no plantio (2009) foram obtidas do vi-

veiro municipal de São Gabriel do Oeste e apresentavam altura média de 20 cm. A dispo-

sição das plantas ocorreu de forma aleatória, obedecendo ao desenho proposto por Nelder

(1962) (Figura 5), sendo as distâncias e ângulos determinados conforme Namkoong (1965),

com raio dado por (32) e área de cada planta segundo (33), (34) e Figura 6:

rn = r0αn (32)

An = tan

(θ

2

)[(r2n4

)f(α)

](33)

f(α) = (1 + α)2 − (1 + α−1)2 (34)

em que,

An é a área da planta n em cada raio;

α é a constante que determina a razão de mudança no crescimento do espaçamento;

rn é a distância radial para a enésima planta e r0 para a primeira planta de cada raio;

θ é o ângulo entre raios adjacentes.

62

Figura 5 - Delineamento sistemático tipo �leque� proposto por Nelder

Figura 6 - Área da planta

Alguns fatores como tempo, mão-de-obra, área experimental e dinheiro, li-

mitam a prática de alguns delineamentos experimentais. Em se tratando especi�camente

de experimentos �orestais, que objetivam avaliar a in�uência das densidades das árvores,

ao utilizar os planejamentos convencionais, seria necessária uma imensa área experimental,

porém, o esquema de Nelder possibilita avaliar uma vasta quantidade de densidades em

uma área reduzida, tornando possível implantar o experimento.

63

Foram estabelecidos 22 círculos concêntricos e 24 raios, com ângulo θ = 15◦

entre raios adjacentes (Figura 5), totalizando 528 mudas plantadas, observando-se uma

taxa de redução de 12,5 % na densidade das árvores. Isso resultou em acréscimo de 6,066%

na distância para cada novo círculo, representando α de 1,06066. Os dois círculos internos

e os dois externos foram considerados como bordaduras.

Para facilitar no momento do plantio das mudas, conforme suas localizações

(Figura 5), diante de um posicionamento circular, é conveniente utilizar coordenadas po-

lares, pois, há apenas que veri�car a distância dos pontos de plantio até um ponto central,

dados em um mesmo raio, e posicionar os demais raios utilizando um ângulo de 15◦. Po-

rém, ao avaliar os dados é necessário utilizar as coordenadas em sua forma cartesiana,

pois, geralmente os aplicativos de avaliação geoestatística não apresentam suporte para

coordenadas polares. Deste modo, é possível transformar as coordenadas polares dadas

por raio (r) e ângulo (θ), em cartesianas dadas por x = r cos θ e y = rsenθ.

Foram coletadas amostras do experimento das variáveis altura (6, 13, 25 e

37 meses após o plantio), diâmetro do fuste (13, 25 e 37 meses após o plantio), diâmetro

da copa (13, 25 e 37 meses após o plantio), área da copa (13, 25 e 37 meses após o plantio)

e volume cilíndrico (13, 25 e 37 meses após o plantio). Assim, por simpli�cação, vamos

vconsiderar a seguinte representação para as variáveis:

A6 Altura aos 6 meses após o plantio




DF13 Diâmetro do fuste em 1,3 m de altura aos 13 meses após o plantio



DC13 Diâmetro da copa aos 13 meses após o plantio



AC13 Área da copa aos 13 meses após o plantio

64



VC13 Volume cilíndrico aos 13 meses após o plantio



Matos (2014) a�rma que foram mensurados o comprimento da circunferência

a 1,3 m de altura (C), a altura total das árvores (A) e o diâmetro de copa (DC), utilizando-

se �ta métrica e régua graduada. Assim, para o cálculo do diâmetro do fuste considerou-se

a relação DF = C/π, e para o cálculo do volume cilíndrico (VC) foi utilizada a relação VC

= [π/( DF2/4)]×A. Já para o estabelecimento do diâmetro da copa (DC) foram realizadas

duas medições perpendiculares dos diâmetros da projeção da copa.

Além das variáveis observadas, consideremos como tratamento, a área por

árvore, denotado por APA, ilustrada na Figura 6, dadas por An e cujos valores para cada

raio são apresentados na Figura 7 e na Tabela 2.

−60 −40 −20 0 20 40 60

−60

−40

−20

020

4060

X Coord

Y C

oord

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Figura 7 - Estimativas para área da planta (diâmetro do círculo) em cada posição

A organização e manipulação do conjunto de dados foram realizadas por meio

dos softwares Excel 2010 e R. Para cada atributo estudado foi efetuada a análise inicial por

meio da estatística descritiva no software R. Os resíduos foram calculados considerando-se

65

Tabela 2 - Densidade equivalente de árvores a cada círculo

Série Círculo Distância radial (m) Área por árvore (m2) Densidade das árvores (ha)1 - 19,60 - -2 - 20,79 - -3 1 22,05 7,55 13244 2 23,39 8,50 11775 3 24,81 9,56 10466 4 26,31 10,75 9307 5 27,91 12,10 8278 6 29,60 13,61 7359 7 31,40 15,31 65310 8 33,30 17,22 58111 9 35,32 19,37 51612 10 37,46 21,79 45913 11 39,73 24,51 40814 12 42,15 27,59 36215 13 44,70 31,03 32216 14 47,41 34,90 28617 15 50,29 39,27 25518 16 53,34 44,18 22619 17 56,58 49,71 20120 18 60,01 55,92 17921 - 63,65 - -22 - 67,51 - -

Fonte: Matos (2014)

os efeitos do círculo pertencente. Por meio do método grá�co Boxplot (MCGILL; TUKEY;

LARSEN, 1978), foi veri�cada a presença de valores discrepantes para cada atributo e,

em caso positivo o valor foi substituído utilizando técnicas de imputação (RUBIN, 1996).

Foi efetuada a análise da distribuição de frequência associado ao teste de Shapiro e Wilk

(1965) a 5% de signi�cância para testar a hipótese de normalidade. Nos casos em que a

distribuição normal não se adequou, foi realizada a transformação Box-Cox (BOX; COX,

1964), buscando obter a normalidade. A heterogeneidade de variâncias foi testada por

meio do teste de Levene (LEVENE, 1960) ao nível de signi�cância de 5%.

Conforme Oda (2005) relata, a casualização é uma proposta de Fisher para

contornar a problemática da variabilidade ambiental entre as unidades experimentais, de

modo a garantir a independência dos erros e que eles sejam identicamente distribuídos.

Em muitos experimentos, principalmente naqueles cujos espaçamentos são os objetos de

estudo, a casualização não é praticável, como no delineamento sistemático tipo �leque�

(NELDER, 1962), delegando toda incumbência sobre aquela problemática estudada por

Fisher, à homogeneidade total da área experimental e à boa condução do ensaio. Para

66

tais testes, que estudam os efeitos dos espaçamentos, a aleatorização implicaria em expe-

rimentos de dimensões descomunais, exigindo vastas áreas, grande efetivo de mão-de-obra

quali�cada e considerável recurso �nanceiro. Em nosso estudo, a análise de medidas repe-

tidas será realizada, porém, por conta da ausência da aleatorização, é evidenciado que os

resultados podem não ser con�áveis.

Para a realização das análises estatísticas multivariadas foi utilizado o soft-

ware estatístico SAS (SAS, 1999). Os resíduos foram calculados utilizando-se os efeitos

de APA. As variáveis foram padronizadas previamente, por conta das diferentes unidades

de medida, por meio do procedimento proc standard. A matriz de correlações de Pearson

foi calculada, por meio do procedimento proc corr, entre todas as variáveis e incluindo-se

o tratamento APA, para veri�cação de sua in�uência nos resultados obtidos, porém, para

os procedimentos multivariados que seguem, APA foi desconsiderada.

A análise de componentes principais foi realizada utilizando a função Inte-

ractive Data Analysis (SAS, 1999) considerando a estrutura de correlações e apresentando

todos os componentes principais, autovalores e autovetores, de modo a serem selecionados

aqueles que representem pelo menos 70% da variabilidade dos dados, além de autovalores

superiores a 1. As correlações entre os componentes principais e as variáveis foram ob-

servadas para que os componentes sejam nomeados e para que ocorra uma interpretação

contundente para cada um.

Foram elaborados dendrogramas com ligação média que consideram a dissi-

milaridade calculada pela distância de Mahalanobis, utilizando o procedimento proc clus-

ter. O primeiro dendrograma relaciona as variáveis, de modo que para tal, as variáveis

são consideradas como observações e as observações consideradas variáveis, sendo possível,

após a padronização, relacionar as variáveis. Além deste, mais quatro dendrogramas foram

elaborados, de modo a relacionar as circunferências que contêm diferentes raios, ou seja,

grupos com APA diferenciadas, para cada período e considerando todos os períodos.

Foram realizadas as análises das funções discriminantes linear e quadrática

que classi�cam cada observação multivariada por círculo, ou por diferentes áreas por ár-

vore (APA), utilizando o procedimento proc discrim, sendo observada a taxa de erro de

classi�cação dos dados existentes.

Na análise geoestatística, para cada atributo foi efetuada a análise da depen-

dência espacial por meio da elaboração do semivariograma, com base nas pressuposições

de estacionaridade da hipótese intrínseca e do avaliador de dependência espacial (CAM-

67

BARDELLA et al., 1994). Desta forma, foi realizada a seleção do modelo por meio da

observação dos maiores avaliadores de dependência espacial, menores somas dos quadrados

dos resíduos e maiores coe�cientes de determinação, sendo possível identi�car o alcance e

gerar a krigagem. Estas análises foram realizadas utilizando-se o software Gamma Design

GS+ versão 9.0 (GAMMA DESIGN SOFTWARE, 2004).

Para a realização da análise com medidas repetidas no tempo, foi utilizado

o software SAS (SAS, 1999), de modo que preliminarmente foram gerados os grá�cos da

tendência de cada variável resposta nos círculos ao longo do tempo. Cada variável foi

avaliada univariadamente, por meio da análise de variância, considerando os dados no

esquema de parcelas subdivididas, em que cada árvore representa uma parcela e cada

período em cada árvore uma subparcela, conforme o modelo apresentado em (18). Damon

e Harvey (1987) descrevem este procedimento como parcelas subdivididas em análise do

tempo. Porém, esta metodologia considera que há mesma variância em todos os tempos,

e que pares de medidas em um mesmo indivíduo sejam igualmente correlacionados, não

dependendo do distanciamento no tempo entre elas. Para a validade desta metodologia,

a condição Huynh-Feldt (HUYNH; FELDT, 1970) para a matriz de covariâncias deve ser

satisfeita, para tal veri�cação foi utilizado o teste de esfericidade de Mauchly (MAUCHLY,

1940) a 5% de signi�cância.

Os coe�cientes de correlação foram estimados para cada variável, entre os

períodos, de forma que é possível visualizar a ocorrência a�rmada por Littell, Henry e Am-

merman (1998), de que medidas tomadas em períodos mais próximos no tempo tendem a

serem mais fortemente correlacionadas. Posteriormente, por meio dos testes multivariados

Lambda de Wilks, Traço de Pillai, Traço de Hotelling-Lawley e Raíz máxima de Roy,

foram veri�cados os efeitos do fator período e da interação círculos × períodos. Como

há somente quatro períodos avaliados para a variável altura e três para as demais, há

inviabilidade do ajuste por funções, ao comportamento de cada círculo ao longo do tempo,

sendo necessário obter mais amostras em distintos períodos.

Após realizar as análises multivariada, geoestatística e com medidas repeti-

das, são propostas algumas alternativas de análise conjunta, que envolvem mais de uma

dessas avaliações simultaneamente. Inicialmente, é realizada uma nova análise de compo-

nentes principais, considerando agora, além daquela análise já realizada que avalia todas

as variáveis, três outras considerando grupos de variáveis para 13, 25 e 37 meses. As-

sim, é possível veri�car o comportamento dos componentes e das correlações nas mesmas

68

variáveis, em períodos distintos.

Dados esses quatro grupos de componentes principais, foi efetuada a análise

geoestatística dos mesmos, avaliando o ajuste do modelo de semivariograma, a dependên-

cia espacial e a krigagem. Assim, é possível interpretar os componentes principais que

consideram todo conjunto de variáveis, de forma geoestatística. Os outros três conjun-

tos de componentes, para cada período, podem ser associados por meio da similaridade

entre os autovetores, possibilitando uma comparação aproximada entre suas avaliações

geoestatísticas.

Como os três grupos de componentes principais fornecem autovetores dife-

rentes, apesar da similaridade, não podemos considerá-los como sendo uma mesma variá-

vel, assim, diante da proximidade dos valores, podemos calcular componentes principais

modi�cados, considerando um mesmo conjunto de autovetores para ambos os períodos,

dado pelo valor médio daqueles calculados para os componentes principais originais. Deste

modo, é possível considerar os componentes entre os períodos como uma mesma variável,

possibilitando efetuar a análise com medidas repetidas dos mesmos, para veri�car seus

comportamentos ao longo do tempo.

69

6 RESULTADOS E DISCUSSÃO

As estatísticas descritivas para cada variável são apresentadas na Tabela 3.

Não foram encontrados valores discrepantes para nenhuma variável, não sendo necessário

utilizar técnicas de imputação. O teste de Shapiro e Wilk (1965) a 5% de signi�cância,

rejeitou a hipótese de normalidade para todos os atributos. Foi realizada a transformação

Box-Cox (BOX; COX, 1964) para todos os atributos, por meio do software R, sendo

possível obter a normalidade para todos. Após a transformação dos dados, veri�cou-se

que não existem evidências para rejeitar a hipótese de homogeneidade das variâncias, ao

nível de signi�cância de 5% (LEVENE, 1960).

Tabela 3 - Estatísticas descritivas

Variável Mínimo Máximo Média Variância Coe�ciente de variaçãoA6 0,6 1,50 0,9708 0,030423 17,96%A13 1,0 2,50 1,9381 0,061650 12,81%A25 2,75 4,25 3,7760 0,100683 8,40%A37 3,00 5,00 4,0939 0,122103 8,53%DF13 0,028648 0,05 0,0388 1,77 × 10−5 10,85%DF25 0,044563 0,07 0,0568 3,79 × 10−5 10,84%DF37 0,054113 0,08 0,0659 3,45 × 10−5 8,91%DC13 2,0 4,75 3,2529 0,308721 17,08%DC25 2,75 5,75 4,1198 0,34104 14,17%DC37 3,0 6,25 4,6302 0,394984 13,57%AC13 3,1416 17,72 8,5525 8,743421 34,57%AC25 5,9396 25,97 13,5976 14,42716 27,93%AC37 7,0686 30,68 17,1476 20,97467 26,71%VC13 0,000963 0,004025 0,0023 2,47 × 10−7 21,68%VC25 0,006239 0,015786 0,0096 3,48 × 10−6 19,45%VC37 0,009199 0,019894 0,0140 3,89 × 10−6 14,13%

Na Tabela 3, percebe-se que os valores mínimos, máximos e médios aumen-

tam ao longo do tempo para todas as variáveis, fato já esperado por conta do crescimento

apresentado para todas as observações. Além disso, também houve o aumento da variância

para cada atributo ao longo do tempo. Já os coe�cientes de variação reduziram ao longo

do tempo para todos os atributos, com exceção de A25 e A37. Inicialmente de médios para

baixos para A e DF, permanecendo médios para DC, variando de muito altos para altos

para AC e de altos para médios para VC, conforme classi�cação sugerida por Pimentel-

Gomes (1970). É importante lembrar que esta classi�cação foi desenvolvida baseada em

ensaios agrícolas e podem variar para ensaios �orestais.

70

Foram realizadas as análises multivariadas, geoestatísticas e com medidas

repetidas, além de algumas análises propostas envolvendo mais de uma dessas metodologias

simultaneamente.

6.1 Análise multivariada

Foi calculada a matriz de correlações de Pearson para as variáveis em estudo

(Tabela 4), além da área por árvore (APA). As variáveis referentes às alturas (A) apre-

sentaram correlações positivas entre si com intensidades variando de medianas a fortes,

conforme a proximidade no tempo. As variáveis de diâmetros do fuste (DF) apresentaram

correlações positivas medianas entre elas, assim como entre as variáveis de diâmetro da

copa (DC) e entre as variáveis de área da copa (AC). Já as variáveis de volume cilíndrico

(VC) apresentaram correlações variando de medianas a fracas conforme o aumento no

espaço temporal.

As variáveis de diâmetro do fuste (DF) e volume cilíndrico (VC) apresenta-

ram alta correlação positiva dentro de cada tempo. Este resultado já era esperado, pois as

duas variáveis representam características similares e diretamente associadas. O mesmo

ocorre entre as variáveis de diâmetro da copa (DC) e área da copa (AC).

A área por árvore (APA) apresentou correlações fortes negativas pratica-

mente estáveis ao longo do tempo com a altura (A), já com o diâmetro do fuste (DF)

houve leve aumento da correlação de moderada positiva para alta positiva ao longo do

tempo. Com o diâmetro da copa (DC) e área da copa (AC), a correlação com APA foi

de mediana positiva a fraca positiva. A correlação de APA com o volume cilíndrico (VC)

variou de fraca positiva a mediana positiva ao longo do tempo.

Foi realizada a análise de componentes principais identi�cando que 78% da

variabilidade dos dados pode ser representada pelos três primeiros componentes principais.

O primeiro representa 50%, o segundo 16% e o terceiro 12% da variabilidade total. Os

três primeiros componentes principais apresentam autovalores maiores que 1 (Tabela 5).

Os autovetores e os coe�cientes de correlação entre os três primeiros com-

ponentes principais e as variáveis podem ser visualizados na Tabela 6. Assim, o primeiro

componente principal (CP1) se correlaciona de forma negativa mediana com as variáveis

de altura, e de forma positiva variando sua intensidade de média a forte com as demais

variáveis. Podemos assim, chamar o primeiro componente principal do contraste entre

largura e altura da árvore.

71

Tabela4-Coe�cientes

decorrelação

dePearson

APA

A6

A13

A25

A37

DF13

DF25

DF37

DC13

DC25

DC37

AC13

AC25

AC37

VC13

VC25

A6

-0,70

A13

-0,71

0,75

A25

-0,70

0,61

0,66

A37

-0,67

0,58

0,61

0,88

DF13

0,60

-0,43

-0,33

-0,35

-0,38

DF25

0,63

-0,49

-0,46

-0,47

-0,46

0,73

DF37

0,70

-0,52

-0,52

-0,59

-0,63

0,61

0,71

DC13

0,55

-0,39

-0,38

-0,46

-0,49

0,40

0,48

0,63

DC25

0,51

-0,38

-0,38

-0,42

-0,40

0,33

0,39

0,53

0,78

DC37

0,42

-0,33

-0,31

-0,34

-0,33

0,30

0,38

0,49

0,60

0,68

AC13

0,55

-0,39

-0,38

-0,45

-0,48

0,40

0,48

0,63

0,99

0,79

0,60

AC25

0,52

-0,38

-0,38

-0,42

-0,41

0,34

0,40

0,54

0,79

0,99

0,68

0,81

AC37

0,42

-0,32

-0,31

-0,34

-0,33

0,29

0,38

0,50

0,60

0,67

0,99

0,60

0,67

VC13

0,16

0,01

0,27

0,06

0,00

0,81

0,45

0,29

0,16

0,10

0,11

0,17

0,10

0,11

VC25

0,39

-0,26

-0,20

-0,06

-0,11

0,66

0,90

0,53

0,33

0,24

0,27

0,34

0,25

0,28

0,54

VC37

0,47

-0,30

-0,27

-0,19

-0,18

0,53

0,61

0,87

0,49

0,41

0,41

0,50

0,42

0,42

0,37

0,61

72

Tabela 5 - Componentes principais e autovalores, proporção e proporção acumulada cor-respondentes

Componente Autovalor Proporção Acumulativo1 7,96 0,4981 0,49812 2,50 0,1560 0,65413 1,98 0,1238 0,77794 0,89 0,0558 0,8337

Tabela 6 - Autovetores (coe�cientes de correlação de Pearson entre os componentes prin-cipais e as variáveis)

Variável Componente 1 (CP1) Componente 2 (CP2) Componente 3 (CP3)A6 -0,236 (-0,64) 0,122 (0,19) 0,351 (0,50)A13 -0,215 (-0,61) 0,224 (0,35) 0,373 (0,53)A25 -0,230 (-0,65) 0,237 (0,38) 0,355 (0,50)A37 -0,233 (-0,66) 0,205 (0,32) 0,344 (0,48)DF13 0,236 (0,67) 0,364 (0,58) -0,147 (-0,20)DF25 0,272 (0,77) 0,283 (0,45) -0,182 (-0,26)DF37 0,305 (0,86) 0,098 (0,15) -0,120 (-0,17)DC13 0,296 (0,83) -0,102 (-0,16) 0,198 (0,28)DC25 0,280 (0,79) -0,169 (-0,27) 0,276 (0,39)DC37 0,256 (0,72) -0,120 (-0,19) 0,299 (0,42)AC13 0,296 (0,84) -0,099 (-0,16) 0,203 (0,29)AC25 0,283 (0,80) -0,168 (-0,26) 0,274 (0,39)AC37 0,255 (0,72) -0,120 (-0,19) 0,299 (0,42)VC13 0,106 (0,30) 0,508 (0,80) 0,084 (0,12)VC25 0,200 (0,57) 0,430 (0,68) -0,041 (-0,06)VC37 0,240 (0,68) 0,256 (0,41) 0,057 (0,08)

Já o segundo componente principal (CP2) apresenta forte correlação po-

sitiva com VC13 e moderada correlação positiva com VC25. Denominemos então este

componente principal como volume cilíndrico nos primeiros meses.

O terceiro componente principal (CP3) apresenta coe�cientes de correlação

com as variáveis com intensidades médias e baixas.

Veri�cou-se que os coe�cientes de correlação de Pearson entre APA e PCR1

é 0,78, entre APA e PCR2 é -0,06 e entre APA e PCR3 é -0,36. Então, a proporção entre

largura e altura aumenta conforme se eleva a área por árvore, por conta do coe�ciente

de correlação forte positivo entre APA E PCR1. Isto pode ser veri�cado por meio da

Figura 8, pois no grá�co da esquerda e do meio, veri�ca-se que as observações com área

por árvore entre 7,55m2 e 19,37m2 (vermelho) apresentam com maior frequência valores

73

negativos para CP1, enquanto que as observações com área por árvore entre 21,79m2 e

55,92m2 (azul) apresentam com maior frequência valores positivos para CP1. Já para

os demais componentes, não há diferenças proporcionais para determinadas regiões para

os dois grupos. Foram selecionados apenas dois grupos de áreas por árvore para melhor

visualização grá�ca.

Figura 8 - Grá�co CP1 × CP2 (esquerda), CP1 × CP3 (meio) e CP2 × CP3 (direita),

para todas as observações, em que pontos em vermelho correspondem à área

por árvore de 7,55m2 a 19,37m2 e pontos em azul correspondem à área por

árvore de 21,79m2 a 55,92m2.

A Figura 9 é um dendrograma elaborado para veri�car a associação entre

as variáveis, sendo uma alternativa que apresenta resultados que podem ser associados à

matriz de correlações. Assim, é possível veri�car que DC13 está altamente associada a

AC13, DC25 está altamente associada a AC25 e DC37 está altamente associada a AC37,

ou seja, DC e AC estão altamente correlacionadas dentro de cada tempo. Posteriormente,

veri�ca-se que DF25 tem grande associação com VC25, DF37 tem grande associação com

VC37 e A25 tem grande associação com A37. A partir daqui, considerando-se distâncias

maiores entre as variáveis, as relações entre elas são tomadas aos grupos de variáveis e

estão associadas a relações de médias a fracas. Esses resultados são con�rmados também

por meio dos coe�cientes de correlação (Tabela 4).

A Figura 10 esquerda é um dendrograma que representa a associação entre

os grupos de círculos de árvores, ou seja, cada área por árvore, considerando-se 13 meses.

Assim, observou-se que grupos de círculos adjacentes para 13 meses são mais similares,

com exceção dos círculos C02 e C04 que são mais similares que C02 e C03, e C03 e C04.

Já para 25 meses (Figura 10 direita), 37 meses (Figura 11 esquerda) e considerando-se

todos os períodos (Figura 11 direita), círculos adjacentes apresentam maiores associações.

74

Figura 9 - Dendrograma das variáveis

Figura 10 - Dendrograma para os círculos observados, do mais interno C01 ao mais externo

C18, para 13 meses (esquerdo) e 25 meses (direito) após o plantio

Figura 11 - Dendrograma para os círculos observados, do mais interno C01 ao mais externo

C18, para 37 meses (esquerdo) após o plantio e para todos os períodos (direita)

75

A análise discriminante linear apresentou 87% de classi�cações erradas nos

círculos, ou área por árvore, das observações pré-existentes. Assim, foi realizada a análise

discriminante quadrática, porém, esta apresentou 73% de classi�cações erradas. Portanto,

não foi encontrada função discriminante e�ciente para a classi�cação de novos objetos nos

círculos. Uma alternativa a ser testada é a utilização de metodologias que envolvem redes

neurais e lógica fuzzy.

6.2 Análise geoestatística

As análises descritivas prévias dos valores para cada variável em função de

suas posições são apresentadas nas Figuras 12 a 27 na parte esquerda, possibilitando

uma noção prévia de como os valores para as variáveis se comportam dependentes da

posição. A análise geoestatística iniciou-se com a entrada dos dados para cada variável e

suas respectivas coordenadas no software Gamma Design GS+ versão 9.0 (Gamma Design

Software, 2004). Posteriormente observou-se o melhor ajuste para cada modelo, por meio

dos maiores coe�cientes de determinação e menores somas dos quadrados dos resíduos.

Antes de prosseguir com a avaliação geoestatística, veri�cou-se a existência da dependência

espacial por meio do avaliador de dependência espacial (ADE). Na Tabela 7 seguem os

resultados obtidos para o ajuste para cada variável.

Conforme Tabela 7, é possível concluir que o modelo esférico foi o que melhor

se ajustou às variáveis altura (A) e diâmetro do fuste (DF), para todos os tempos após o

plantio, além disso, para as variáveis diâmetro da copa (DC), área da copa (AC) e volume

cilíndrico (VC), o modelo exponencial foi o que melhor se ajustou, em todos os tempos

após o plantio.

Para a altura (A), as estimativas dos parâmetros de efeito pepita (C0) e

patamar (C + C0) aumentaram do tempo 6 meses ao tempo 37 meses, já o alcance (A),

que é de 37,5 m aos 6 meses, foi reduzido aos 13 meses para 34,7 m, posteriormente, para

25 e 37 meses houve seu aumento para, respectivamente 38 m e 40,1 m. O avaliador de

dependência espacial (ADE) foi mediano aos 6 meses, tornando forte a partir do tempo

13 meses após plantio (Tabela 7, Figura 12, Figura 13, Figura 14 e Figura 15).

O diâmetro do fuste (DF) teve as estimativas do efeito pepita (C0) aumen-

tadas conforme o aumento dos tempos após o plantio medidos, já o patamar (C + C0)

aumentou dos 13 meses para os 25 meses, reduzindo seu valor aos 37 meses após o plan-

tio. O alcance permaneceu praticamente estável para as três medidas no tempo, variando

76

de 35,1 m a 36,9 m. O avaliador de dependência espacial foi forte para as variáveis de

diâmetro do fuste (Tabela 7, Figura 16, Figura 17 e Figura 18).

Considerando as variáveis de diâmetro da copa (DC), as estimativas dos

parâmetros de efeito pepita (C0) e patamar (C + C0) aumentaram dos 13 meses para 25

meses e dos 25 meses para 37 meses após o plantio. Já o alcance (A) foi reduzido, variando

de 31,5 m aos 13 meses para 27,9 m aos 25 meses e para 24,6 m aos 37 meses após o plantio.

O avaliador de dependência espacial apresentou-se forte para os 13 meses e mediano para

os demais tempos de plantio (Tabela 7, Figura 19, Figura 20 e Figura 21).

Avaliando a área da copa (AC), o efeito pepita (C0) e o patamar (C + C0)

aumentaram dos 13 meses para 25 meses e dos 25 meses para 37 meses após o plantio. O

alcance (A) reduziu de 31,8 m aos 13 meses, para 29,4 m aos 25 meses e para 22,8 m aos

37 meses após o plantio. O avaliador de dependência espacial (ADE) foi forte apenas nos

13 meses, já para 25 e 37 meses após o plantio, o ADE foi mediano (Tabela 7, Figura 22,

Figura 23 e Figura 24).

O volume cilíndrico (VC) apresentou estimativas dos parâmetros de efeito

pepita (C0) e patamar (C+C0) aumentados dos 13 meses para os 25 meses e dos 25 meses

para os 37 meses. O alcance aos 13 meses foi de 33,6 m, aumentando para 39,3 m aos 25

meses e reduzindo para 25,5 m aos 37 meses. O avaliador de dependência espacial (ADE)

foi forte para todos os tempos após o plantio neste atributo (Tabela 7, Figura 25, Figura

26 e Figura 27).

Considerando os valores dos avaliadores de dependência espacial (ADE) ob-

tidos, foi efetuada a krigagem para todas as variáveis. Para a variável altura (A), conforme

a Figura 28, observou-se que, em todos os tempos após o plantio, as árvores apresentaram

maiores valores para posições mais centrais do círculo, ou seja, as árvores apresentaram

maior altura para áreas por árvores (APA) menores. Fato que pode ser justi�cado pela

competição pela luz e pela presença de árvores dominantes, indicando a possibilidade de

avaliação de outros atributos como a área da copa iluminada (PADOIN; FINGER, 2010;

TONINI; ARCO-VERDE, 2005).

Contrariamente à altura (A), para as demais variáveis, houve a tendência

de obter valores mais elevados para área por árvore superiores (Figura 29, Figura 30 e

Figura 32) com a presença de alguns sumidouros e aportes a serem investigados, porém

que podem ter sido in�uenciados por variações no solo e outros efeitos não controlados.

77

Tabela 7 - Parâmetros dos semivariogramas

Variável Modelo C0 C0 + C A r2 SQR ADEA6 Esf. 1, 095× 10−2 3, 138× 10−2 37, 5 0, 912 7, 032× 10−5 65, 1%A13 Esf. 1, 480× 10−2 6, 230× 10−2 34, 7 0, 917 3, 384× 10−4 76, 2%A25 Esf. 9, 200× 10−3 9, 340× 10−2 38, 0 0, 926 1, 088× 10−3 90, 1%A37 Esf. 1, 390× 10−2 1, 188× 10−1 40, 1 0, 971 6, 243× 10−4 88, 3%DF13 Esf. 1, 834× 10−6 1, 834× 10−5 35, 8 0, 960 1, 982× 10−11 90, 1%DF25 Esf. 1, 600× 10−6 3, 910× 10−5 36, 9 0, 980 5, 270× 10−11 95, 9%DF37 Esf. 3, 900× 10−6 3, 580× 10−5 35, 1 0, 949 9, 189× 10−11 89, 1%DC13 Exp. 5, 240× 10−2 3, 048× 10−1 31, 5 0, 912 6, 029× 10−3 82, 8%DC25 Exp. 1, 150× 10−1 3, 380× 10−1 27, 9 0, 832 9, 240× 10−3 66, 0%DC37 Exp. 1, 553× 10−1 4, 096× 10−1 24, 6 0, 908 5, 449× 10−3 62, 1%AC13 Exp. 1, 120× 100 8, 347× 100 31, 8 0, 886 6, 760× 100 86, 6%AC25 Exp. 4, 060× 100 1, 398× 101 29, 4 0, 710 1, 860× 101 71, 0%AC37 Exp. 7, 180× 100 2, 117× 101 22, 8 0, 907 1, 860× 101 66, 1%VC13 Exp. 2, 580× 10−8 2, 648× 10−7 33, 6 0, 939 3, 790× 10−15 90, 2%VC25 Exp. 1, 900× 10−7 3, 700× 10−6 39, 3 0, 978 3, 289× 10−13 94, 9%VC37 Exp. 3, 200× 10−7 3, 920× 10−6 25, 5 0, 939 7, 221× 10−13 91, 8%

Esf.: Esférico; Exp.: Exponencial; C0: Efeito pepita; C + C0: Patamar; A: Alcance; r2:Coe�ciente de determinação; SQR: Soma de quadrados dos resíduos; ADE: Avaliador dedependência espacial.

−60 −40 −20 0 20 40 60

−60

−40

−20

020

4060

X Coord

Y C

oord

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Figura 12 - Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para A6

78

−60 −40 −20 0 20 40 60

−60

−40

−20

020

4060

X Coord

Y C

oord

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Figura 19 - Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para DC13

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Figura 25 - Valores em cada posição (esquerda) e semivariograma (direita) para VC13

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83

Figura 28 - Krigagem da variável A, para 6, 13, 25 e 37 meses respectivamente

Figura 29 - Krigagem da variável DF, para 13, 25 e 37 meses respectivamente

84

Figura 30 - Krigagem da variável DC, para 13, 25 e 37 meses respectivamente

Figura 31 - Krigagem da variável AC, para 13, 25 e 37 meses respectivamente

85

Figura 32 - Krigagem da variável VC, para 13, 25 e 37 meses respectivamente

6.3 Análise de medidas repetidas

Antes da análise de medidas repetidas, mostra-se gra�camente os per�s mé-

dios de respostas das variáveis em cada círculo ao longo dos períodos (Figuras 33, 34 e 35).

Assim como veri�cado na avaliação geoestatística, há um aumento ao longo do tempo para

ambas as variáveis, além de que, há tendência de elevação dos valores ao se aproximar dos

círculos das extremidades, com exceção da altura (A), em que há a tendência de redução.

Apesar destas tendências, os círculos não se apresentam necessariamente ordenados, ha-

vendo também alguns casos em que círculos que apresentavam valores menores em alguns

períodos, apresentam valores maiores que outros círculos em outros períodos.

Ao considerar a análise univariada de per�l, por meio do esquema de parcelas

subdivididas, foi constatado, para todas as variáveis em estudo, que o teste de Mauchly

rejeitou a hipótese de esfericidade (Tabela 8), deste modo, conclui-se que a matriz de

covariâncias dos erros não satisfazem à condição H-F (HUYNH; FELDT, 1970). Assim,

será procedida a análise multivariada de per�s, pois não apresenta restrições sobre a matriz

de covariâncias dos resíduos.

86

C1

0

1

2

3

4

5

TP

6 13 25 37

PLOT C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18

Figura 33 - Per�s médios de resposta das alturas (A) nos círculos ao longo do tempo

C1

0.034

0.036

0.038

0.040

0.042

0.044

0.046

0.048

0.050

0.052

0.054

0.056

0.058

0.060

0.062

0.064

0.066

0.068

0.070

0.072

0.074

TP

13 25 37


C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18

C1

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

TP

13 25 37


C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18

Figura 34 - Per�s médios de resposta dos diâmetros do fuste (DF) nos círculos ao longo

do tempo (esquerda) e tendência das áreas da copa (AC) nos círculos ao longo

do tempo (direita)

C1

2

3

4

5

6

TP

13 25 37


C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18

C1

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.010

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

TP

13 25 37


C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18

Figura 35 - Per�s médios de resposta dos diâmetros da copa (DC) nos círculos ao longo

do tempo (esquerda) e tendência dos volumes cilíndricos (VC) nos círculos ao

longo do tempo (direita)

87

Tabela 8 - Teste de esfericidade de Mauchly

Variável Graus de Critério de Estatística de Valor-pliberdade Mauchly (W) Qui-quadrado χ2

A 5 0,4895786 294,77043 <,0001DF 2 0,9704567 12,385243 0,0020DC 2 0,8527957 65,764176 <,0001AC 2 0,7367622 126,1674 <,0001VC 2 0,9744359 10,695253 0,0048

As Tabelas 9 a 13 apresentam os coe�cientes de correlação estimados para

cada variável, entre os períodos. É possível veri�car que, conforme Littell, Henry e Am-

merman (1998) a�rmam, medidas tomadas em períodos mais próximos tendem a ser mais

fortemente correlacionadas.

Conforme as Tabelas 14, 16, 18, 20 e 22 apresentam, foi testada a hipótese

nula de per�l horizontal para cada variável, ou seja, foi veri�cado o efeito do fator período.

Para tal, foram utilizados os testes multivariados Lambda de Wilks, Traço de Pillai, Traço

de Hotelling-Lawley e Raiz máxima de Roy.

Sob estes mesmos testes, conforme as Tabelas 15, 17, 19, 21 e 23, foi testada

a hipótese nula de per�s paralelos para cada variável, ou seja, foi veri�cada a existência

do efeito da interação círculos × períodos.

Ambos os testes rejeitaram as hipóteses nulas para todas as variáveis, in-

dicando que pelo menos uma combinação de círculos e períodos interage. Além disso,

veri�cou-se a rejeição da hipótese sobre a igualdade dos períodos.

Tabela 9 - Correlações estimadas para alturas (A) entre os quatro períodos avaliados

6 meses 13 meses 25 meses 37 meses6 meses 1,0000 0,4341 (<,0001) 0,1692 (0,0005) 0,1352 (0,0058)13 meses 0,4341 (<,0001) 1,0000 0,2937 (<,0001) 0,2291 (<,0001)25 meses 0,1692 (0,0005) 0,2937 (<,0001) 1,0000 0,7629 (<,0001)37 meses 0,1352 (0,0058) 0,2291 (<,0001) 0,7629 (<,0001) 1,0000

Tabela 10 - Correlações estimadas para diâmetros de fuste (DF) entre os três períodosavaliados

13 meses 25 meses 37 meses13 meses 1,0000 0,5255 (<,0001) 0,2791 (<,0001)25 meses 0,5255 (<,0001) 1,0000 0,4293 (<,0001)37 meses 0,2790 (<,0001) 0,4293 (<,0001) 1,0000

88

Tabela 11 - Correlações estimadas para diâmetros de copa (DC) entre os três períodosavaliados

13 meses 25 meses 37 meses13 meses 1,0000 0,7007 (<,0001) 0,4767 (<,0001)25 meses 0,7007 (<,0001) 1,0000 0,6021 (<,0001)37 meses 0,4767 (<.0001) 0,6021 (<,0001) 1,0000

Tabela 12 - Correlações estimadas para área de copa (AC) entre os três períodos avaliados


Tabela 13 - Correlações estimadas para volume cilíndrico (VC) entre os três períodos ava-liados

13 meses 25 meses 37 meses13 meses 1,0000 0,4889 (<,0001) 0,2853 (<,0001)25 meses 0.4889 (<,0001) 1,0000 0,4793 (<,0001)37 meses 0,2853 (<,0001) 0,4793 (<,0001) 1,0000

Tabela 14 - Análise multivariada da altura (A) por árvore, no delineamento inteiramentecasualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,00564548 24188,9 3 412 <,0001Traço de Pillai 0,99435452 24188,9 3 412 <,0001Traço de Hotelling-Lawley 176,13295097 24188,9 3 412 <,0001Raiz máxima de Roy 176,13295097 24188,9 3 412 <,0001G.L. Num.: Graus de liberdade do numerador; G.L. Den.: Graus de liberdade dodenominador.

Tabela 15 - Análise multivariada da altura (A) por árvore, no delineamento inteiramentecasualizado, testando o efeito nulo de interação período após o plantio ×círculo

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,71960129 2,81 51 1227,4 <,0001Traço de Pillai 0,29495959 2,66 51 1242 <,0001Traço de Hotelling-Lawley 0,36968334 2,98 51 1029,9 <,0001Raiz máxima de Roy 0,30850381 7,51 17 414 <,0001

G.L. Num.: Graus de liberdade do numerador; G.L. Den.: Graus de liberdade dodenominador.

89

Tabela 16 - Análise multivariada de diâmetro do fuste (DF) por árvore, no delineamentointeiramente casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,02257111 8942,36 2 413 <,0001Traço de Pillai 0,97742889 8942,36 2 413 <,0001Traço de Hotelling-Lawley 43,30443091 8942,36 2 413 <,0001Raiz máxima de Roy 43,30443091 8942,36 2 413 <,0001


Tabela 17 - Análise multivariada de diâmetro do fuste (DF) por árvore, no delineamentointeiramente casualizado, testando o efeito nulo de interação período após oplantio × círculo

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,81963597 2,54 34 826 <,0001Traço de Pillai 0,18206299 2,44 34 828 <,0001Traço de Hotelling-Lawley 0,21798100 2,64 34 738,77 <,0001Raiz máxima de Roy 0,20801627 5,07 17 414 <,0001


Tabela 18 - Análise multivariada de diâmetro da copa (DC) por árvore, no delineamentointeiramente casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio



Tabela 19 - Análise multivariada de diâmetro da copa (DC) por árvore, no delineamentointeiramente casualizado, testando o efeito nulo de interação período após oplantio × círculo

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,89080508 1,45 34 826 0,0493Traço de Pillai 0,11154262 1,44 34 828 0,0518Traço de Hotelling-Lawley 0,11994455 1,45 34 738,77 0,0474Raiz máxima de Roy 0,09097531 2,22 17 414 0,0037


90

Tabela 20 - Análise multivariada de área da copa (AC) por árvore, no delineamento intei-ramente casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio



Tabela 21 - Análise multivariada de área da copa (AC) por árvore, no delineamento intei-ramente casualizado, testando o efeito nulo de interação período após o plantio× círculo



Tabela 22 - Análise multivariada de volume cilíndrico (VC) por árvore, no delineamentointeiramente casualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio



Tabela 23 - Análise multivariada de volume cilíndrico (VC) por árvore, no delineamentointeiramente casualizado, testando o efeito nulo de interação período após oplantio × círculo

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,68061251 5,15 34 826 <,0001Traço de Pillai 0,32310834 4,69 34 828 <,0001Traço de Hotelling-Lawley 0,46379789 5,62 34 738,77 <,0001Raiz máxima de Roy 0,45169479 11,00 17 414 <,0001


91

O ajuste de uma função polinomial para representar o comportamento de

cada variável ao longo do tempo, para cada círculo, pela análise de regressão e a pos-

terior identi�cação dos efeitos aleatórios e a escolha das matrizes de covariâncias mais

adequadas, foi inviabilizada pela pequena quantidade de períodos amostrados. Assim,

para que haja prosseguimento às abordagens citadas, é necessário conduzir experimento

amostrando maior quantidade de períodos. É advertido que o delineamento realizado não

admite aleatorização, assim, os resultados aqui obtidos na análise com medidas repetidas

podem não ser adequadas.

6.4 Análises conjuntas alternativas

Novos componentes principais foram calculados para cada grupo de variáveis

pertencentes a cada tempo. Assim, A, DF, DC, AC e VC foram analisadas conjuntamente

aos 13 meses. Suas correlações, assim como para os outros períodos, também podem ser

observadas na Tabela 4. Os componentes principais obtidos (Tabela 24) acumulam 84% da

variabilidade explicada pelos dois primeiros, de modo que o primeiro componente contém

53% e o segundo 31% da variabilidade total, além de apresentarem autovalores maiores

que um.

Os dois primeiros componentes principais obtidos para as variáveis A, DF,

DC, AC e VC aos 25 meses, representam juntos 84% da variabilidade total do conjunto de

variáveis, sendo 57% correspondente ao primeiro e 27% ao segundo componente, de modo

que ambos apresentam autovalores maiores que 1. Para o período de 37 meses, as variáveis

A, DF, DC, AC e VC apresentam os dois primeiros componentes principais representando

83% da variabilidade, tal que o primeiro e o segundo respondem respectivamente por 62%

e 21% da variabilidade, e ambos têm autovalores maiores que a unidade (Tabela 24).

Tabela 24 - Componentes principais e autovalores, proporção e proporção acumulada cor-respondentes

Grupo de variáveis Componente Autovalor Proporção Acumulativo13 meses 1 2,63 0,53 0,5313 meses 2 1,54 0,31 0,8425 meses 1 2,87 0,57 0,5725 meses 2 1,34 0,27 0,8437 meses 1 3,11 0,62 0,6237 meses 2 1,05 0,21 0,83

92

Tratando-se especi�camente do primeiro componente principal, é possível

observar grande similaridade entre os autovetores (Tabela 25) e nos coe�cientes de corre-

lação de Pearson entre os componentes principais e as variáveis (Tabela 26) ao comparar

os três períodos, fato que explicita os signi�cados similares para este componente nos

períodos correspondentes. Correlações fracas negativas com altura (A), fracas positivas

com volume cilíndrico (VC) e medianas positivas com diâmetro do fuste (DF), diâmetro

da copa (DC) e área da copa (AC). Esta similaridade também é observada ao incluir na

comparação o primeiro componente principal obtido na análise que considera todas as

variáveis simultaneamente (Tabela 6).

Tabela 25 - Autovetores considerando grupos de variáveis por período

Variável CP1 CP2 Variável CP1 CP2 Variável CP1 CP2A13 -0,299 0,457 A25 -0,356 0,212 A37 -0,335 0,284DF13 0,473 0,417 DF25 0,484 0,476 DF37 0,499 -0,458DC13 0,548 -0,245 DC25 0,496 -0,402 DC37 0,478 0,521AC13 0,550 -0,241 AC25 0,496 -0,397 AC37 0,479 0,519VC13 0,291 0,707 VC25 0,379 0,640 VC37 0,424 -0,410

Tabela 26 - Coe�cientes de correlação de Pearson entre os componentes principais e asvariáveis, considerando grupos de variáveis por período

Variável CP1 CP2 Variável CP1 CP2 Variável CP1 CP2A13 -0,49 0,57 A25 -0,60 0,25 A37 -0,59 0,29DF13 0,77 0,52 DF25 0,82 0,55 DF37 0,88 -0,47DC13 0,89 -0,30 DC25 0,84 -0,47 DC37 0,84 0,53AC13 0,89 -0,30 AC25 0,85 -0,46 AC37 0,84 0,53VC13 0,47 0,88 VC25 0,64 0,74 VC37 0,75 -0,42

Para visualizar o comportamento geoestatístico dos componentes principais

1, 2 e 3 do grupo com todas as variáveis, foram ajustados os modelos e obtidas as estima-

tivas dos parâmetros para os semivariogramas (Tabela 27). Para o primeiro componente

principal foi obtido, por melhor ajuste, o modelo esférico, com alcance considerável de 36,5

metros e ADE forte. Já para o segundo e terceiro componentes, o modelo utilizado para o

ajuste foi o exponencial, com alcances dados respectivamente por 12,4 m e 6,07 m, e ADE

forte para o segundo e mediano para o terceiro componente.

A análise geoestatística para os dois primeiros componentes principais do

grupo de variáveis de 13 meses indicou o modelo esférico para o melhor ajuste para o

93

semivariograma de ambos os componentes, de modo que o primeiro apresenta alcance de

33,8 metros, com ADE forte, e o segundo componente apresenta alcance de 26,6 m e ADE

mediano (Tabela 27).

Já para os dois primeiros componentes principais do grupo de variáveis de 25

meses, o modelo de semivariograma esférico se ajustou melhor ao primeiro e o exponencial

se ajustou melhor ao segundo, tal que para o primeiro componente, o alcance é de 36,5 m

com ADE forte, e para segundo, o alcance é de 8,7 m e ADE também forte (Tabela 27).

Os dois primeiros componentes principais das variáveis observadas aos 37

meses, tiveram como melhor ajuste para o semivariograma, respectivamente o modelo

esférico e o exponencial. O primeiro componente apresenta alcance de 33,9 m e ADE

forte, e o segundo apresenta alcance de 2,6 m e ADE também forte (Tabela 27). Os

grá�cos dos modelos de semivariogramas são apresentados nas Figuras 36 a 44 à esquerda.

Tabela 27 - Parâmetros dos semivariogramas dos escores dos componentes principais, con-siderando grupos de variáveis por período e geral

Variáveis Componente Modelo C0 C0 + C A r2 SQR ADETodas CP1 Esf. 0, 620 6, 002 36, 5 0, 939 3, 2900 89, 7%Todas CP2 Exp. 0, 322 1, 490 12, 4 0, 978 0, 0346 78, 4%Todas CP3 Exp. 0, 403 1, 040 6, 1 0, 871 0, 0422 61, 5%13 meses CP1 Esf. 0, 231 1, 568 33, 8 0, 936 0, 2020 85, 3%13 meses CP2 Esf. 0, 348 0, 858 26, 6 0, 944 0, 0217 59, 4%25 meses CP1 Esf. 0, 371 1, 940 36, 5 0, 934 0, 2980 80, 9%25 meses CP2 Exp. 0, 125 0, 688 8, 7 0, 956 0, 0128 81, 8%37 meses CP1 Esf. 0, 501 2, 040 33, 9 0, 959 0, 1690 75, 4%37 meses CP2 Exp.. 0, 063 0, 497 2, 6 0, 858 0, 0063 87, 3%

Esf.: Esférico; Exp.: Exponencial; C0: Efeito pepita; C + C0: Patamar; A: Alcance; r2:Coe�ciente de determinação; SQR: Soma de quadrados dos resíduos; ADE: Avaliador dedependência espacial.

A similaridade encontrada entre os componentes principais 1 dos quatro

grupos de variáveis, também pode ser observada ao comparar suas krigagens (Figuras 36,

39, 41 e 43 à direita). Ambas as krigagens apresentam tendência de redução do valor

conforme os círculos são mais internos, ou seja, conforme há redução da APA. Fato a ser

observado também nos grá�cos da esquerda e central na Figura 8.

As krigagens do segundo e do terceiro componentes principais do grupo for-

mado por todas as variáveis (Figuras 37 e 38 à direita), assim como do segundo componente

principal do grupo de variáveis de 13 meses (Figura 40 à direira), do segundo componente

do grupo de variáveis de 25 meses (Figura 42 à direita) e do segundo componente do grupo

de variáveis de 37 meses (Figura 44 à direita), não mostram nenhuma tendência espacial

94

dependente dos círculos, ou de APA, apesar da dependência espacial entre os valores.

Figura 36 - Semivariograma (esquerda) e krigagem (direita) do componente principal 1 do

grupo de todas as variáveis





95


grupo de variáveis de 13 meses





96







97

Interessados em avaliar o comportamento do primeiro componente principal

ao longo dos períodos, desejamos utilizar análise de medidas repetidas para tal avaliação.

Porém, como em cada período o componente principal está relacionado a autovalores e au-

tovetores diferentes, não podemos considerar os componentes de diferentes períodos como

uma mesma variável, impossibilitando a análise de medidas repetidas. Uma alternativa é

utilizar mesmos autovalor e autovetor para gerar componentes principais modi�cados em

cada período, calculados pelos valores médios dos autovalores e autovetores dos componen-

tes principais originais. Como há grande similaridade entre os autovalores e autovetores

nos diferentes períodos, pouco diferirão as correlações entre os componentes modi�cados

e as variáveis, daquelas entre os componentes originais e as variáveis.

Deste modo, avaliando o primeiro componente principal modi�cado (CP1M)

ao longo dos três períodos por meio da Figura 45, veri�ca-se gra�camente baixa alteração

dos valores de um período para outro, de modo que as proporções entre largura e al-

tura das árvores são estáveis, apresentando mesma tendência observada nas krigagens dos

componentes principais originais 1 (Figuras 36, 39, 41 e 43), ou seja, redução dos valores

conforme os círculos são mais internos.

C1

-2

-1

0

1

2

3

TP

13 25 37


C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18

Figura 45 - Per�s médios de resposta dos escores de CP1M nos círculos ao longo do tempo

A Tabela 28 apresenta os coe�cientes de correlação estimados para cada

variável, entre os períodos, corroborando com a a�rmação de Littell, Henry e Ammerman

(1998), de que medidas tomadas em períodos mais próximos tendem a ser correlacionados

de forma mais forte. O teste de Mauchly foi realizado, rejeitando a hipótese de esfericidade,

assim, a análise univariada de per�l não deve ser realizada para o esquema de parcelas

subdivididas (Tabela 29). Assim, será realizada a análise de per�l multivariada.

98

Ao testar a hipótese nula de per�l horizontal e a hipótese nula de per�l

paralelo para o componente principal 1 modi�cado, por meio dos testes multivariados

Lambda de Wilks, Traço de Pillai, Traço de Hotelling-Lawley e Raiz máxima de Roy,

veri�cou-se que ambos não rejeitaram as hipóteses nulas, indicando a não rejeição da

hipótese de igualdade dos períodos (Tabela 30) e que os efeitos de círculos não interagem

com efeitos de períodos (Tabela 31).

Tabela 28 - Correlações estimadas para CP1 entre os quatro períodos avaliados


Tabela 29 - Teste de esfericidade de Mauchly

Variável Graus de Critério de Estatística de Valor-pliberdade Mauchly (W) Qui-quadrado χ2

CPM1 2 0,9171039 35,738758 <,0001

Tabela 30 - Análise multivariada de CP1M por árvore, no delineamento inteiramente ca-sualizado, testando o efeito nulo de fator período após o plantio

Estatística Valor F G.L. Num. G.L. Den. Valor-pLambda de Wilks 0,9999 0,01 2 413 0,9999Traço de Pillai 0,0001 0,01 2 413 0,9999Traço de Hotelling-Lawley 0,0001 0,01 2 413 0,9999Raiz máxima de Roy 0,0001 0,01 2 413 0,9999


Tabela 31 - Análise multivariada de CP1M por árvore, no delineamento inteiramente ca-sualizado, testando o efeito nulo de interação período após o plantio × círculo



99

Novamente, por conta do baixo número de períodos avaliados, não se reali-

zou o ajuste por uma função polinomial para o comportamento de cada círculo ao longo

do tempo, impedindo a identi�cação dos efeitos aleatórios e o estudo das matrizes de cova-

riâncias. Vale relembrar que a análise de medidas repetidas pode não ser adequada, pois

a ausência de aleatorização pode não evitar a dependência dos resíduos.

100

101

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

7.1 Conclusões

Por meio da avaliação multivariada, avaliando-se todas as variáveis, é pos-

sível explicar 77,78% da variabilidade inicial dos dados por meio dos três primeiros com-

ponentes principais. O primeiro, que responde por 49,8% da variabilidade se correlaciona

negativamente de forma mediana com as alturas, e positivamente com os demais atributos,

representando a relação entre largura e altura. A análise de agrupamento para os círculos

mostrou que círculos adjacentes são mais similares.

Já a análise geoestatística mostrou que há dependência espacial para todas

as variáveis, de forma que as alturas tendem a ser maiores para círculos mais centrais,

enquanto que as demais variáveis tendem a apresentar valores menores nos círculos mais

centrais. Pertencer a um círculo mais central equivale a ter menor área por árvore.

A análise de medidas repetidas mostrou gra�camente o aumento em todos

os círculos para os valores de todas as variáveis ao longo dos períodos. Por conta da

rejeição da hipótese de esfericidade, a análise univariada de per�l, por meio do esquema

de parcelas subdivididas não pôde ser realizada. Ao realizar a análise multivariada de

per�l, veri�cou-se que ao menos uma combinação de círculos e períodos interage de modo

dependente e rejeitou-se a hipótese sobre a igualdade dos períodos, para todas as variáveis.

Na análise conjunta das metodologias, foram identi�cados componentes prin-

cipais para cada grupo de variáveis por período. Os componentes principais 1 de cada

período apresentaram grande similaridade entre si e também com o primeiro componente

principal do conjunto de todas as variáveis, ao avaliar seus autovalores, autovetores e cor-

relações com as variáveis. Esta similaridade também foi visualizada nas krigagens desses

componentes, mostrando que os componentes tendem a ser menores para círculos mais

centrais. Já para os demais componentes, apesar da existência de dependência espacial,

não houve nenhum padrão identi�cado.

Ao avaliar os componentes principais modi�cados ao longo do tempo,

veri�cou-se que, para cada círculo, eles tendem a permanecer inalterados nos períodos.

Além disso, não se rejeita a hipótese de igualdade dos períodos e não há interação círculo

× período.

Assim, além da análise geoestatística utilizada tradicionalmente para avaliar

dados de experimentos �orestais, também se apresentam como ferramentas importantes

102

a análise multivariada, abordando as variáveis de forma conjunta, e a análise de medi-

das repetidas, abordando o comportamento das variáveis observadas ao longo do tempo.

Além disso, é possível utilizar procedimentos que associam todas estas formas de análise,

sintetizando os resultados e facilitando a interpretação.

7.2 Pesquisas futuras

Pretende-se, por meio dos resultados aqui obtidos, selecionar alguns dos es-

paçamentos, planejar e executar experimento com Canafístula sob delineamento em que

haja aleatorização, obtendo amostras em uma quantidade máxima de períodos, possibili-

tando modelagem com medidas repetidas con�ável e completa. Deste modo, será possível

o ajuste por funções polinomiais por meio de regressão e a identi�cação dos efeitos aleató-

rios e escolha da melhor estrutura de covariâncias. Outras variáveis também poderão ser

incluídas nas análises.

103

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