UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROINSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas: Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

EDinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 7: Teoria das Falhas

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

7.1-Materiais Dúcteis;-Teoria da tensão de cisalhamento máxima

-Teoria da Energia de distorção máxima.

7.2-Materiais Frágeis;-Teoria da tensão normal máxima

-Critério de falha de Mohr

7.3-Mecânica da Fratura.

OBJETIVO:

Estabelecer os limites de tensão para falha dos materiais dúcteis ou frágeis, imóveis e sob carregamento constantes, através de

teorias baseadas nas tensões principais.

7.1-Materiais Dúcteis.Teoria da tensão cisalhante máxima (ou critério de escoamento de Tresca); “Dúcteis falham por escoamento, deslizando planos cristalinos devido ao cisalhamento.”Imagine um corpo de prova (em formato de tira fina) sob tração;Teremos estes planos à 45º do eixo.Na tensão axial limite de escoamento σE para um elemento da superfície , por Mohr a tensão cisalhante máxima seria;Multiaxialmente, esta teoria diz que o escoamento inicia quando atinge este .Vimos em 1.6 que;Se σ1 e σ2 tem mesmo sinal-> = max|σ1ou2|/2 (fora do plano)

Se σ1 e σ2 tem sinais diferente-> = (σ1-σ2)/2 (no plano)

Fazendo = para os dois casos, teremos; GRAFICAMENTE;

NA REGIÃO FORA DA ÁREA HEXAGONAL O MATERIAL ESCOARÁ.

Teoria da energia de distorção máxima (ou de von Mises e H. Hencky); Vimos em 6.1 (eq. (18)) que a energia de deformação no estado multiaxial é dada por; Logo p/ um elem. cúbico com E,ν, σ1, σ2

e σ3 ctes, dividindo por V temos a densidade de energia de deformação:Que se separa em 2 componentes: u=uh+ud (hidrostática + distorção)

buscamosud = u – uh

Substituindo u, uh ,e σ h= (σ1+σ2+σ3 )/3;

no estado plano com σ3=0;

ou num teste uniaxial σ1=σE, σ2=σ3=0;

Esta teoria compara ud do estado multiaxial, com (ud)E uniaxial buscando a tensão uniaxial equivalente de von Mises (σ’) que causaria a mesma en. de deformação multiaxial.

Igualando no estado triplo;

igualando no estado biaxial;

Graficamente temos;

σ2 e σ3

uh é devido à σh=σ1=σ2=σ3 (só muda volume, ñ a forma) ; uh =(1/2E)(3 σh

2 – 2.ν.3 σh2 )

ud é devido à distorção (só muda forma e dá uma dimensão do cisalhamento)

σ'

σ'

Estado triplo;(cilindro inclinado) Estado biaxial;

(elipse)

Comparação dos critérios de falha dúcteis;• Observe que a Teo. da máxima def. por cis. é mais conservadora. • Observe que com cisalhamento puro (só torção) temos a máxima diferençaentre as teorias.

(σ1e σ2 à 45º de τ, com σ1=τ (tração) e σ2=-τ (compressão))

σ'

σ'

Exemplo; O estado de tensão sobre a estrutura do assento durante umatrombada é mostrado na figura. Determine o menor limite de escoa-mento para o aço a ser selecionado para o elemento, baseando-se na teoria da tensão de cisalhamento máxima.Sol:Com a convenção de sinais temos As tensões principais serão obtidas por Mohr, ou pela relação;

->Sinais contrários; pela T.M.T.C;

Fazer; Uma liga de alumínio 6061-T6 (σE=37.103ksi) deve ser usada em um eixo de acionamento para que transmita 40 hp (1hp=550ft.lb/s) à 2.400 rev/min.Usando um fator de segurança F.S. = 2, em relação ao escoa-mento, determine o menor diâmetro do eixo com base na teoria da energia de distorção máxima.

Da tabela, o aço ferramenta L2 por ex. é indicado!

Teoria da tensão normal máxima; (p/materiais uniformes) “Frágeis falham por fratura devido à tração, (sem escoar) ao atingir σr(lim. resist.)”σr será aproximadamente a mesma tanto em ensaio de tração simples (σ1=σr), Obs: Em uniformes diag. σ-ε para traçãoe compressão tem mesmos valores;

Critérios de falha de Mohr; (p/ ñ uniformes)Analisamos σr nos testes de; tração (σr)t , compressão (σr)c etorção τr;A região dentro do envelope tg aos círculosserá segura,Experimentalmente comprova-se que a mais indicada é a Teo.de Coulumb Mohr modificada. Ela tb utiliza uma tensão equivalente uniaxial;(em analogia à von Mises),

Onde;

7.2-Materiais Frágeis.

quanto em ensaio de torção (σ1=σr à 45º);

Esta região é representada graficamente pelas 3 novas teorias abaixo;

Graficamente;

F=1000lb

Exemplo; O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50mm está sujeito a um torque de500 N.m e a uma força de compressão axial de 2 kN. Determinar se ele falhará de acordo coma teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência do concreto é σr =28 MPa.Sol: A T.T.N.M exige verificar se σ1 e σ2 < σr para não falhar;Propriedades da seção;O estado de tensão terá;

E as tensões principais;Como 28MPa, e 28MPa o critério é satisfeito.Fazer; Determine o F.S para a haste. Use a Teo.de Mohr Modif. nos ptscríticos A e B. Dados; (σr)t =52500psi, (σr)c =-164000psi, L=6in, a=8in e d=1,5 in.

7.3-Mecânica da Fratura.Consideramos até aqui materiais homogêneos e isotrópicos, sem fendas, lacunas ou inclusões.Trincas causam tensão concentrada (numa direção θ e posição r) em suas extremidades (Ex. Trinca de borda),Isso pode causar falha brusca mesmo em materiais dúcteis:Teoria da mecânica da fratura linear elástica(MFLE);Consideramos a MFLE que pressupõe;Pequena região de escoamento plástico próximo à ponta, se comparada com a região elástica do restante do corpo.

Modos geométricos de trinca:Trabalharemos no modo (I)

Fator de intensidade de tensão (KIII, KII ou KI(trabalhado)):Para trincas agudas e b>>a, calcula-se tensão de von Mises (σ’) em fun-ção de θ teremos: Ex. para r=10-6in; teremos θmáx=+- 81º.Mantendo θ máx =81º e plotando σ’ em função de r temos;Observa-se que próximo à ponta (r->0 ) temos σ’->máx. Nessa região a tensão é diretamente prop. à K;Onde:• σnom é a T. nominal (despreza comprimento da trinca(menos preciso)).• β varia p/ geometria, carga, (a/b) e tipo; Ex: -Trinca central; (ou ϐ=1 com Erro<10% para a/b<0,4)-Trinca de borda ou ambas as bordas ou de borda sob flexão; (Erro<10% para a/b<0,13 ou a/b<0.6 ou a/b<0,4 respetivamente)Tenacidade à fratura (Kc )ou (KIc):Propriedade do material obtida experimentalmente (varia como a ductilidade);Trinca Estável se K<Kc (Fator de segurança F.SFM=Kc/K) Propagação súbita se K>=Kc

Puxa Desliza Rasga

Exemplo; Uma tira de aço projetada para suportar 60000 N de tração axial foi acidentalmente talhada em suaborda. Determine (a)o coeficiente de segurança da tira original, sem trinca, baseado no escoamento, e (b)seu novo coeficiente de segurança "trincado" baseado na mecânica da fratura. (c) Quão grande a trinca poderia ficar antes da falha? Dados σE=540MPa e Kc=66MPa.m0,5,comprimento L =6 m, largura b=80mm e espessura t=3 mm. O comprimento da trinca a=10mm, paralela à espessura.Sol: (a)

Então teremos a tensão equivalente de von Mises;Logo pela T. da energia de distorção temos:

F.S=σE/σ’

(b) a/b é < 0,13 permitindo usarLogo;

Para que a trinca esteja estável precisamos K<Kc (Fator de segurança F.SFM=Kc/K) Logo; F.SFM=66/49,63=1,33

(c) O tamanho ‘a’ máximo da trinca pode ser aproximada usando; a trinca se propaga se; F.SFM>=1 (ou seja, K=Kc );

66/(1.12(250)

a=0.017m ou 17mm é o tamanho aproximado máximo da trinca sem falha!

σ'

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.– Robert L. Norton – Projeto de máquinas, uma abordagem integrada.